DERIVADAS

1) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y=8

x2+4 en el punto (2,1).

SOLUCION

Se conoce que mL1=dydx

, de donde dydx

= −16 x(x2+4)2

Luego mL1=−16 x(x2+4)2

=−3282

= −3264

= −12

L1: y-1= −12

(x-2), de donde L1: x+2y =4

2) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x5 + y5 – 2xy = 0 en el punto (1,1).

SOLUCION

En primer lugar calculamos la derivada, es decir:

x5 + y5 – 2xy = 0 5x4 + 5y4dydx

-2y -2xdydx

= 0

(5y4 – 2x)dydx

= 2y – 5x4 dydx

= 2 y−5x 4

5 y4−2 x

pero como mL1 = dydx =

2 y−5x 4

5 y4−2 x =

2−55−2 = -1

además L1: y – y0 = mL1(x – x0) , de donde L1: x + y -2 =0

X=2

X=2

P (1,1) P (1,1)

3) Hallar la ecuación de la tangente a la curva x2y = x + 1 cuya inclinación es de 45°.

SOLUCION

Como 45° es el ángulo de inclinación de L1, entonces:

mL1 = tg 45° = 1 mL1 = 1 … (1)

también x2y = x + 1 y = x+1x2

= 1x

+ 1

x2 , derivando

dydx = -

1

x2 - 2

x3 mL1 =

dydx = -

1

a2 - 2

a3 … (2)

Igualando (2) y (1) se tiene: - 1

a2 - 2

a3 = 1 de donde a3 + a + 2 = 0 a = -1

como p(a,b) pertenece a la curva b = a+1a2

para a = -1, b = 0 P(-1,0),

L1: y – 0 = 1(x + 1), de donde L1: x – y + 1 = 0

4) Encontrar una ecuación para cada una de las rectas tangentes a la curva

3y = x3 – 3x2 + 6x + 4 que sean paralelas a la recta 2x – y + 3 = 0.

SOLUCION

Se sabe que L1 // L: 2x – y + 3 = 0 mL1 = mL = 2 … (1)

Además 3y = x3 – 3x2 + 6x + 4 dydx

= x2 – 2x + 2

como mL1 = dydx

= a2 – 2a + 2 … (2)

Ahora igualando (1) y (2) se tiene: a2 – 2a + 2 a(a - 2) = 0 a = 0, a = 2

X=a

P(a, b)

además el punto p(a, b) pertenece a la curva entonces:

3b = a3 – 3a2 + 6a + 4 para a = 0 b = 43

p (0, 43

)

L1: y - 43

= 2(x - 0), de donde L1: 2x – y + 43

= 0

para a = 2, b = 4 p(2, 4), Ll1 = y – 4 = 2(x - 2), de donde Ll

1: 2x – y = 0

5) Si una recta tangente curva x4 – 2x2 – x + y = 0 en el punto (-1, 0) es también tangente a

la misma curva en el punto P(a, b), hallar las coordenadas de P.

SOLUCION

Como mL1 = dydx

= (1 + 4x – 4x3) = 1 … (1)

mL1 = dydx

= 1 + 4a - 4a3 …

(2)

igualando (1) y (2) se tiene: 1 + 4a - 4a3 = 1 (1 – a2) = 0 a = ± 1 a = 1

como P(a,b) es punto de la curva entonces: a4 – 2a2 – a + b = 0 para a = 1 b = 2

El punto es P (1, 2)

p (-1, 0)p (-1, 0)

p (a, b)