DERIVADAS
1) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y=8
x2+4 en el punto (2,1).
SOLUCION
Se conoce que mL1=dydx
, de donde dydx
= −16 x(x2+4)2
Luego mL1=−16 x(x2+4)2
=−3282
= −3264
= −12
L1: y-1= −12
(x-2), de donde L1: x+2y =4
2) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x5 + y5 – 2xy = 0 en el punto (1,1).
SOLUCION
En primer lugar calculamos la derivada, es decir:
x5 + y5 – 2xy = 0 5x4 + 5y4dydx
-2y -2xdydx
= 0
(5y4 – 2x)dydx
= 2y – 5x4 dydx
= 2 y−5x 4
5 y4−2 x
pero como mL1 = dydx =
2 y−5x 4
5 y4−2 x =
2−55−2 = -1
además L1: y – y0 = mL1(x – x0) , de donde L1: x + y -2 =0
X=2
X=2
P (1,1) P (1,1)
3) Hallar la ecuación de la tangente a la curva x2y = x + 1 cuya inclinación es de 45°.
SOLUCION
Como 45° es el ángulo de inclinación de L1, entonces:
mL1 = tg 45° = 1 mL1 = 1 … (1)
también x2y = x + 1 y = x+1x2
= 1x
+ 1
x2 , derivando
dydx = -
1
x2 - 2
x3 mL1 =
dydx = -
1
a2 - 2
a3 … (2)
Igualando (2) y (1) se tiene: - 1
a2 - 2
a3 = 1 de donde a3 + a + 2 = 0 a = -1
como p(a,b) pertenece a la curva b = a+1a2
para a = -1, b = 0 P(-1,0),
L1: y – 0 = 1(x + 1), de donde L1: x – y + 1 = 0
4) Encontrar una ecuación para cada una de las rectas tangentes a la curva
3y = x3 – 3x2 + 6x + 4 que sean paralelas a la recta 2x – y + 3 = 0.
SOLUCION
Se sabe que L1 // L: 2x – y + 3 = 0 mL1 = mL = 2 … (1)
Además 3y = x3 – 3x2 + 6x + 4 dydx
= x2 – 2x + 2
como mL1 = dydx
= a2 – 2a + 2 … (2)
Ahora igualando (1) y (2) se tiene: a2 – 2a + 2 a(a - 2) = 0 a = 0, a = 2
X=a
P(a, b)
además el punto p(a, b) pertenece a la curva entonces:
3b = a3 – 3a2 + 6a + 4 para a = 0 b = 43
p (0, 43
)
L1: y - 43
= 2(x - 0), de donde L1: 2x – y + 43
= 0
para a = 2, b = 4 p(2, 4), Ll1 = y – 4 = 2(x - 2), de donde Ll
1: 2x – y = 0
5) Si una recta tangente curva x4 – 2x2 – x + y = 0 en el punto (-1, 0) es también tangente a
la misma curva en el punto P(a, b), hallar las coordenadas de P.
SOLUCION
Como mL1 = dydx
= (1 + 4x – 4x3) = 1 … (1)
mL1 = dydx
= 1 + 4a - 4a3 …
(2)
igualando (1) y (2) se tiene: 1 + 4a - 4a3 = 1 (1 – a2) = 0 a = ± 1 a = 1
como P(a,b) es punto de la curva entonces: a4 – 2a2 – a + b = 0 para a = 1 b = 2
El punto es P (1, 2)
p (-1, 0)p (-1, 0)
p (a, b)
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