UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y Valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE PEDAGOGÍA Y CULTURA FÍSICA

Escuela Profesional de Educación Primaria

MONOGRAFÍA

DESARROLLO Y DIFICULTADES DE APRENDIZAJE DE LAS

MATEMÁTICAS EN LA ETAPA PRIMARIA.

Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0629-2019-D-FPYCF

Presentada por:

Ríos Vásquez, Darwin

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

Especialidad: Educación Primaria

Lima, Perú

2019

ii

iii

Dedicatoria

A mi familia, por el apoyo constante que me han

brindado y el soporte que han significado para mí

durante esta etapa de mi vida.

iv

Índice de contenidos

Portada .................................................................................................................................. i

Hoja de firmas de jurado ..................................................................................................... ii

Dedicatoria.......................................................................................................................... iii

Índice de contenidos ........................................................................................................... iv

Lista de tablas .................................................................................................................... vii

Lista de figuras ................................................................................................................. viii

Introducción ........................................................................................................................ ix

Capítulo I. Desarrollo del aprendizaje de las matemáticas ............................................... 11

1.1 Definición del aprendizaje .......................................................................................... 11

1.2 Actividades mentales durante el aprendizaje de las matemáticas .............................. 12

1.2.1 Memorización. .................................................................................................... 13

1.2.2 Aprendizaje algorítmico. .................................................................................... 16

1.2.3 Aprendizaje conceptual. ..................................................................................... 18

1.2.4 Resolución de problemas. ................................................................................... 21

1.3 Enfoques de estudio del aprendizaje de las matemáticas ........................................... 23

1.3.1 Aprendizaje por asociación. ............................................................................... 23

1.3.1.1 Edward Thorndike. .......................................................................................... 25

1.3.1.2 Burrhus Skinner. .............................................................................................. 27

1.3.2 Aprendizaje por reestructuración. ....................................................................... 29

1.3.2.1 Piaget. .............................................................................................................. 30

Capítulo II. Dificultades de aprendizaje en matemáticas (DAM) .................................... 35

2.1 Definición de las DAM .............................................................................................. 35

v

2.2 Etiología de las DAM ................................................................................................. 36

2.2.1 Origen interno de las DAM. ............................................................................... 36

2.2.2 Origen externo de las DAM. .............................................................................. 37

2.3 Tipología de las DAM ................................................................................................ 38

2.3.1 Tipología de Kosc. .............................................................................................. 38

2.3.2 Tipología de Natlie A. Badian. ........................................................................... 39

2.3.3 Tipología de Geary. ............................................................................................ 40

2.4 Evaluación de las DAM .............................................................................................. 40

2.4.1 Clasificación de las pruebas y procedimiento de evaluación de las DAM. ........ 40

2.4.1.1 Evaluación formal. ........................................................................................... 41

2.4.1.1.1 Test estandarizados. ...................................................................................... 41

2.4.1.1.2 Medidas basadas en el currículo y pruebas de diagnóstico. ......................... 44

2.4.1.2 Evaluación informal. ....................................................................................... 46

2.4.1.2.1 Valoraciones basadas en el currículo (CBA). ............................................... 46

2.4.1.2.2 Test de referencia criterial (CRT). ................................................................ 46

2.4.1.2.3 Análisis de tarea. ........................................................................................... 47

2.4.1.2.4 Entrevista clínica. ......................................................................................... 47

2.4.1.2.5 Evaluación de la Zona de Desarrollo Próximo (ZPD). ................................. 47

2.4.1.2.6 Evaluación auténtica. .................................................................................... 47

2.4.1.2.7 Portafolios o carpetas de trabajo. .................................................................. 48

2.4.1.2.8 Análisis de errores. ....................................................................................... 48

2.4.1.2.9 La observación. ............................................................................................. 49

vi

2.4.2 Evaluación neuropsicológica. ............................................................................. 49

2.4.3 Tendencias actuales en evaluación. .................................................................... 50

2.5 Intervención en el área de las matemáticas ................................................................ 51

2.6 Criterios para diagnosticar un estudiante con DAM .................................................. 56

Capítulo III. Aprendizaje de las matemáticas en el Perú .................................................. 58

3.1 Las matemáticas en el Currículo Nacional ................................................................. 60

3.2 Evaluación del aprendizaje de las matemáticas en el Perú, ECE ............................... 62

3.2.1 Logros y dificultades del aprendizaje de las Matemáticas, ECE 2018. .............. 63

3.2.1.1 Competencia: Resuelve problemas de cantidad. ............................................. 66

3.2.1.2 Competencia: Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio. ... 68

3.2.1.3 Competencia: Resuelve problemas de forma, movimiento y localización. ..... 70

3.2.1.4 Competencia: Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre. ....... 71

Aplicación didáctica ......................................................................................................... 73

Síntesis .............................................................................................................................. 84

Apreciación crítica y sugerencias ..................................................................................... 86

Referencias ....................................................................................................................... 88

vii

Lista de tablas

Tabla 1. Fases de resolución de un problema ...................................................................... 22

Tabla 2. Procesos de reforzamiento y castigo ..................................................................... 28

Tabla 3. Etapas del desarrollo cognitivo de Piaget .............................................................. 32

viii

Lista de figuras

Figura 1. Sistema de memoria del ser humano .................................................................... 14

Figura 2. Logro de aprendizaje ............................................................................................ 64

Figura 3. Mejora en matemáticas ........................................................................................ 65

Figura 4. Niveles de aprendizaje en el área de las Matemáticas en cada departamento ..... 66

Figura 5. Aprendizajes esperados para el cuarto grado de Educación Primaria en la

competencia resuelve problemas de cantidad ...................................................................... 66

Figura 6. Problemas en la competencia resuelve problemas de cantidad ............................ 67

Figura 7. Aprendizajes esperados para el cuarto año de Educación Primaria en la

competencia resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio ........................... 68

Figura 8. Problemas en la competencia resuelve problemas de regularidad, equivalencia y

cambio ................................................................................................................................. 69

Figura 9. Aprendizajes esperados para el cuarto año de Educación Primaria en la

competencia resuelve problemas de forma, movimiento y localización ............................. 70

Figura 10. Aprendizajes esperados para el cuarto año de Educación Primaria en la

competencia resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre ............................... 71

Figura 11. Problemas en la competencia resuelve problemas de de gestión de datos e

incertidumbre ....................................................................................................................... 72

ix

Introducción

Las Matemáticas conforman uno de los ejes de la formación educativa de los ciudadanos

peruanos, siendo importante debido a su gran impacto en el desarrollo de estos, tanto a

nivel cognitivo, como práctico. Por esto, en la presente monografía titulada Desarrollo y

dificultades del Aprendizaje de las Matemáticas en la Educación Primaria, se realiza una

recopilación de información al respecto de este tema, esperando que pueda servir como

base para lograr un mejor entendimiento acerca del origen y las posibles soluciones de las

dificultades presentadas para la comprensión de esta área en los estudiantes durante los

primeros años de formación educativa.

Esta información ha sido estructurada en tres capítulos, siendo el primero de estos

una extensa revisión de los procesos de desarrollo del aprendizaje. Durante el desarrollo de

conocimientos, los estudiantes se sirven de una serie de actividades mentales que permiten

asentar esta nueva información e interiorizarla, siendo algunas de estas la memorización, el

aprendizaje algorítmico (o por receta), el aprendizaje conceptual y el aprendizaje por

resolución de problemas. Estas actividades y otras más ligadas al aprendizaje han sido

estudiadas por muchos personajes, encontrándose estos divididos en dos vertientes

principales: aquellos que enfocan el aprendizaje como un proceso de asociación y aquellos

que lo enfocan como un proceso de reestructuración. Entendidas las distintas teorías

involucradas en el desarrollo del aprendizaje, podemos abordar cómo es que este

aprendizaje no se da efectivamente en algunos individuos, entre los cuales se presentan las

llamadas Dificultades del Aprendizaje.

Dentro de los trastornos de aprendizaje específico, se encuentran las dificultades

del aprendizaje de las matemáticas (DAM) y se refiere al menor ritmo de aprendizaje visto

x

en algunos estudiantes, pudiendo ser estos causados por factores internos a los mismos

estudiantes o externos a estos. Existen diversos tipos de dificultades, encontrándose estos

divididos de muchas maneras, dependiendo de quién haga esta division. Las evaluaciones

de estas dificultades son realizadas mediante pruebas formales (test) o informales

(herramientas de evaluación dentro del salón de clase), entre las más conocidas, que sirve

como una introducción al diagnóstico de las dificultades del estudiante y una herramienta

para la determinación de la intervención adecuada para poder ayudar a superarlos.

Descrito el panorama teórico del desarrollo y del aprendizaje de las matemáticas en

la Educación Primaria, en el tercer y último capítulo se ahonda en el panorama peruano

con respecto a estos puntos, mostrándose las dificultades vistas en estudiantes de

Educación Primaria del 2018, información provista por los resultados dados por el ECE

tomado ese mismo año.

Finalmente, esta información condensada en los tres capítulos que conforman el

cuerpo del trabajo, se realiza una aplicación didáctica elaborada con una sesión de

aprendizaje, mediante la cual se consolidan las sugerencias provistas a lo largo del trabajo.

Este, además, se encuentra complementado con anexos que ayuden al estudiante a abordar

conceptos matemáticos de forma más didáctica.

El trabajo culmina con la redacción final de una síntesis de toda la información

provista en la monografía, además de una serie de sugerencias y críticas con las que se

espera abrir la discusión para trabajos futuros realizados por otros colegas.

11

Capítulo I

Desarrollo del aprendizaje de las matemáticas

1.1 Definición del aprendizaje

Zapata-Ros (s.f.) define al aprendizaje como:

El proceso o conjunto de procesos a través del cual o de los cuales, se adquieren o

se modifican ideas, habilidades, destrezas, conductas o valores, como resultado o

con el concurso del estudio, la experiencia, la instrucción, el razonamiento o la

observación (p. 5).

Mediante el aprendizaje es que el conocimiento adquirido desde cualquier medio

pueda tener significado, de tal manera que este pueda ser identificado y utilizado en

distintos contextos.

En el caso de las matemáticas, el aprendizaje de esta no se encuentra limitada por la

repetición de reglas tradicionales o de nociones geométricas, sino a la aplicación de

nociones y conceptos matemáticos para la resolución de problemas que emerjan de la

interacción del sujeto con el ambiente.

12

El desarrollo del aprendizaje en un individuo, especialmente en aquellos dentro del

período escolar, se lleva a cabo mediante diversos procesos que ejercen cambios en el

nivel cognitivo de la persona. Estos procesos de cambio se dan mediante ciertas

actividades, tales como la memorización de procedimientos matemáticos, la comprensión

conceptual de las matemáticas, el adiestramiento en algoritmos de resolución y hasta en la

resolución continua de problemas. Cada una de estas actividades crea en el estudiante las

bases sobre las cuales las matemáticas más complejas se pueden realizar.

A lo largo de la historia, estas actividades y todos los otros procesos que subyacen

durante el desarrollo de las habilidades cognitivas matemáticas, se ha estudiado el

aprendizaje desde distintas perspectivas, basadas en la percepción que se tiene del

aprendizaje. En el presente trabajo, tomamos consideración de aquellas que relacionan al

aprendizaje como resultado de un proceso de asociación y al aprendizaje como resultado

de una reestructuración cognitiva.

Entender cómo es que este aprendizaje se desarrolla en los estudiantes es el primer

paso para poder entender, diagnosticar y solucionar las dificultades que se puedan dar en el

aprendizaje de las matemáticas.

1.2 Actividades mentales durante el aprendizaje de las matemáticas

Durante el desarrollo de las capacidades matemáticas que permiten la aplicación del

razonamiento matemático a problemas de relación de cantidades, se llevan a cabo diversas

actividades mentales para estructurar el conocimiento provisto en puntos a los cuales

recurrir cuando sea necesario.

De acuerdo con lo descrito por Lovell (1966) “las matemáticas son, ante todo, una

actividad mental” (p. 33) que se complementa y se sirve de signos matemáticos para poder

13

ser expresada. La adquisición de conceptos matemáticos y modelos que ayuden a

establecer relaciones entre diversos fenómenos son parte fundamental del desarrollo de la

capacidad matemática, pero no es lo único. La comprensión de estos conceptos y el

dominio del lenguaje y la simbología matemática, además de la metodología y las

herramientas demostrativas, completan este conocimiento, dando al estudiante la

capacidad de retener, aprender y, más importante aún, reproducir las concepciones

matemáticas.

Entre las tantas clasificaciones realizadas para estructurar estas actividades

mentales dadas durante el aprendizaje de las matemáticas, destaca una que establece cuatro

tipos de aprendizaje matemático:

1. La memorización

2. El aprendizaje algorítmico

3. El aprendizaje conceptual

4. La resolución de problemas

1.2.1 Memorización.

El proceso de aprendizaje de las matemáticas de acuerdo con Bermejo y Castillo

(2006) entre los primeros años de los niños, incluido el período comprendido en la

educación primaria, se encuentra limitado al no poder establecer conexiones claras entre

situaciones matemáticas como el conteo, la medición, la secuencia de eventos y

expresiones simbólicas, pudiendo ser capaz de desarrollar al inicio solo una de estas. Solo

con un continuo y progresivo acercamiento a estos conceptos, es que estos nexos son

establecidos y reforzados con vínculos cada vez más complejos.

14

Mientras mayor sea la cantidad de problemas o situaciones matemáticas a las que el

niño se vea expuesto, mayor la probabilidad de que los vínculos y las estrategias mediante

las cuales estos se construyen (además de las estrategias de resolución) se construyan y

puedan después formar un concepto matemático mucho más claro.

De acuerdo con Orton (1988) “en el aprendizaje de las matemáticas, y sobre todo

en los primeros años, parece inevitable que esté presente el aprendizaje memorístico o por

simple asociación” (p. 39) siendo para esto más importante la memoria de corto plazo,

también conocida como memoria de trabajo.

Figura 1. Sistema de memoria del ser humano. Fuente: Szabo, 2017.

La memoria de trabajo es un recurso de capacidad limitada que se encarga de

almacenar y procesar la información que se recibe continuamente por medio de los canales

sensoriales. Esta consiste en tres componentes:

1. Un sistema central de control que actúa como ejecutador.

2. Un sistema visoespacial de almacenamiento, responsable del registro de

información espacial y visual.

3. Un sistema de bucle fonológico de almacenamiento, que retiene la información

acústica cuya base se encuentra en el habla.

15

Actualmente, se sabe que estos tres componentes actúan juntos y son determinantes

en el desarrollo de la habilidad matemática.

Las capacidades matemáticas se encuentran ligadas estrechamente a la información

visoespacial que llega a la memoria de trabajo, pues es mediante este sistema que se

recogen, por ejemplo, las representaciones mentales de los símbolos matemáticos, como

los números. La memoria visoespacial contribuye directamente a la capacidad de un niño

de poder realizar cálculos mentales y, además, es ampliamente usada en adultos que

poseen una gran facilidad para poder realizar cálculos mentales rápidamente. Por otro lado,

el bucle fonológico y el sistema central de control actúan durante el proceso de resolución

de problemas de los niños de primaria, cuyo proceso de aprendizaje se encuentra

dominado casi enteramente por el registro verbal de los problemas matemáticos a los que

se enfrentan.

La habilidad de esta memoria de trabajo depende principalmente del flujo (cantidad

y rapidez) de información que reciba de la memoria a largo plazo, trabajo que recae en el

sistema central de control.

Por ejemplo, si un estudiante se encuentra desarrollando un problema de

matemática, podrá llegar a resolverlo si logra recordar reglas, estrategias de resolución y

otro tipo de información que sea significativo para la actividad realizada. Mientras mayor

sea la información almacenada en la memoria a largo plazo, y mientras más rápido pueda

acceder a esta, mejor será su desempeño matemático para la resolución de problemas.

Al inicio, mucha de la información conservada en la memoria a largo plazo (o corto

plazo) puede no encontrarse asociada a algún concepto o conocimiento previo, sin contar

con algún significado, pero la adición continua de información puede ayudar a establecer

estas conexiones y, finalmente, mejorar el aprendizaje de las matemáticas en el estudiante.

16

1.2.2 Aprendizaje algorítmico.

Los algoritmos durante el desarrollo del aprendizaje de las matemáticas permiten

que los estudiantes se enfrenten y resuelvan los problemas matemáticos de manera más

eficiente y eficaz. Según Flores (2005), los algoritmos básicos para el aprendizaje de la

adición, la resta, la multiplicación y la división tienen sus bases en el trabajo realizado por

el sabio árabe Mohamed ibn Musa Al’khwarizmi, quien a inicios del s. VIII d. C introdujo

al sistema simbólico matemático la numeración hindú, el valor posicional de las cifras y,

más importante aún, el cero.

Un algoritmo puede ser definido como el conjunto ordenado de pasos que se deben

de tomar para poder resolver un problema. Buendía et al. (1990) complementan esta

definición al establecer que un algoritmo es:

Una serie finita de reglas a aplicar en un orden determinado a un número finito de

datos para llegar con certeza (es decir, sin indeterminación ni ambigüedades), en un

número finito de etapas, a cierto resultado, y esto, independientemente a los datos

(p. 7).

Son muchos los algoritmos usados a nivel de primaria, que por lo general son

inicialmente llevados a los estudiantes como reglas generales a seguir, los cuales son

adoptados por estos, quienes más adelante los usarán como una serie de pasos, a modo de

receta, que les ayudarán a dar solución a problemas propuestos.

Por ejemplo, el algoritmo de resolución de la adición, generalmente, se da por

reagrupación de valores. Es decir, cada una de las columnas de la adición es considerada

un nuevo grupo, empezando desde el extremo derecho. Estos grupos son sumados y, si se

obtiene un valor mayor a nueve, se añade un valor de una unidad a la columna inmediata

17

de la izquierda por cada diez unidades sobrepasadas. Gráficamente, esto se representa de la

siguiente manera:

Se inicia sumando los números dentro de la columna (grupo) de la derecha.

Tenemos 12 unidades, pero solo un espacio para una cifra en el resultado. Realizamos una

reagrupación de estas 12 unidades en una decena de unidades y dos unidades. De esta

manera, trasladamos la decena de unidades al grupo de las decenas (columna inmediata de

la izquierda) y dejamos los dos en el grupo de las unidades (columna de la derecha).

Terminamos al sumar las decenas del segundo grupo con la decena ya reagrupada,

obteniendo que 2+3+1=6.

Este algoritmo, así como todos los otros utilizados para aprender ciertos aspectos

de las matemáticas, permiten sistematizar la resolución de problemas de los estudiantes,

sin dejar de ser pasos lógicos que, más que solo memorizar, permiten la comprensión de

los pasos comprendidos en el desarrollo de problemas. Esto, sin embargo, solo se alcanza

con la guía del maestro, pues existe el riesgo de que los estudiantes retengan el

procedimiento del algoritmo sin penetrar ni adentrarse en el significado detrás de cada

paso del proceso.

Para la solución de un solo problema, de existir un algoritmo de resolución, se

pueden definir otros tantos algoritmos para esta resolución que no sean necesariamente

numéricos (simbología matemática). Esta es una práctica común desde hace mucho

tiempo, el uso de los ábacos, como la yupana incaica, el sorobán japonés y otros, se sirven

de un proceso algorítmico que permite realizar cálculos matemáticos sin usar notaciones

matemáticas. De igual manera, los estudiantes, especialmente durante la etapa de

educación primaria, suelen acercarse a las nociones matemáticas desde sus propios

algoritmos generados por sus propias situaciones vivenciales los cuales, más allá de ser

18

desestimados, deben de ser utilizados para, dentro de los mismos, introducir conceptos que

permitan generalizar la aplicación de estos a otras situaciones problemáticas. En palabras

de Steffe (1994) “es un grave error ignorar los algoritmos generados por los niños, a favor

de los algoritmos estándares de lápiz y papel que actualmente se enseña en las escuelas

primarias" (p. 60).

1.2.3 Aprendizaje conceptual.

Dentro de los distintos métodos de aprendizaje de las matemáticas, se diferencian

dos tendencias o tipos de aprendizaje: aquel que se da mediante fuentes conceptuales y

aquel que se da mediante los procedimientos de resolución.

Stelzer et al. (2016) expresan:

Por una parte, el conocimiento conceptual considera los principios abstractos que

rigen un dominio y sus interrelaciones. Por otra parte, el conocimiento

procedimental refiere a la capacidad de ejecución de los diferentes pasos o

algoritmos requeridos para la resolución de un problema (p. 14).

Aunque ambos procesos se asocian para poder lograr un adecuado aprendizaje de

las matemáticas, a la fecha se desconoce el mecanismo mediante el cual esta relación se

sustenta.

Los conceptos matemáticos cumplen un importante rol en el desarrollo del

aprendizaje de las matemáticas puesto que en estos se fundamenta el pensamiento

matemático desarrollado por el niño. Es mediante estos conceptos que el fin último de las

matemáticas se alcanza: el encontrar la relación entre las matemáticas como ciencia y la

realidad objetiva que nos rodea.

19

De acuerdo con Montenegro (s.f.) la comprensión conceptual de los significados

matemáticos permite:

1. Comprender las relaciones matemáticas.

2. Aplicar de forma creativa distintos conceptos, procedimientos y leyes matemáticas

que, de otra manera, pueden verse inconexas.

3. Adiestrar vinculando el pensamiento lógico-lingüístico.

4. Entender y comprender las matemáticas como parte de un todo complejo,

interdisciplinario y transdiciplinario.

5. Elaborar juicios y razonamientos que fundamenten el pensamiento crítico.

6. Dar significado a los objetos y simbología matemática.

Este proceso de conceptualización de nociones matemáticas es enteramente

personal, siendo cada individuo el único responsable de construir sus propios conceptos,

pudiendo cada uno de estos llegar de distintas maneras a la comprensión total de un solo

concepto.

Estos, sin embargo, no son adquiridos de forma espontánea, ni inician como una

estructura compleja, requieren de la guía y ayuda de los profesores, además de una amplia

exposición a actividades que permitan cimentar estos fundamentos en el cerebro.

Durante la etapa de educación primaria de los estudiantes, los profesores tienen una

gran responsabilidad al ser quienes deben garantizar no solo una memorización de

símbolos y metodologías matemáticas, sino también el aprendizaje conceptual y los

esquemas matemáticos que serán necesarios para futuras (y presentes) necesidades.

Encontrar las oportunidades adecuadas para realizar estas conexiones entre los

procesos algorítmicos (enseñados con mucha más frecuencia) y la comprensión profunda

de los conceptos y los procesos matemáticos en los niños de educación primaria, depende

20

de los profesores. Al lograr esto, se logra que los niños puedan conectar un tema (que

pueda parecer aislado) y otro, formando uno más complejo.

Por ejemplo, en la multiplicación de números decimales se puede conectar temas

para lograr que el estudiante desarrolle una mejor comprensión del proceso y deje de

omitir conexiones que serían claras al expresar la operación de otra manera. Una manera

clásica de expresar la resolución de una multiplicación de este tipo sería:

3,5 × 0,13 =

3,5, 13

10535

455

×

Se suele enseñar que este tipo de operación se suele realizar como si el punto

decimal no existiera y se tuvieran que multiplicar números enteros, como en el ejemplo

previo. Tras esto, se debe de contar el número de cifras que se encuentren a la derecha del

punto decimal en los dos números, siendo este el total de cifras que debe estar a la derecha

del punto decimal en el resultado. Por lo tanto, la solución de este problema sería 0,445.

¿Cuál es el fundamento de este procedimiento? ¿Por qué se realiza esto?

Un acercamiento conceptual al enseñar (y comprender) este proceso, de tal manera

que se mantenga la lógica y la comprensión de lo que la multiplicación de números

decimales es, sería:

35

10×

13

100=

35 × 13

10 × 100=

455

1000

Mostrando ahora que el proceso realizado al inicio, que, aunque era correcto, tiene

mayor sentido matemático.

21

1.2.4 Resolución de problemas.

La resolución de problemas puede ser visto tanto como objetivo, contenido o como

metodología: (1) como objetivo, la resolución de problemas es el fin de la enseñanza de las

matemáticas, puesto que del aprendizaje de las matemáticas, se espera que los estudiantes

puedan ser capaces de resolver este tipo de problemas; (2) como contenido, puesto que

para lograr su solución se requieren técnicas y estrategias que permitan llegar a su

solución; y (3) como metodología, al ser este uno de los métodos más eficientes (y más

usado) para poder enseñar y aprender las matemáticas.

La finalidad de las otras tres actividades descritas previamente es el dar las

herramientas necesarias al estudiante para que este pueda operar nociones matemáticas y

poder así, dar solución a problemas propuestos, dándole a estas actividades un sentido

preciso dentro del proceso educativo de las matemáticas.

El aprendizaje por resolución de problemas es, en contraste con el aprendizaje de

ensayo y error, un aprendizaje por descubrimiento orientado hacia la hipótesis que exige la

transformación y la reintegración del conocimiento existente para adaptarse a la demanda

de una meta específica de una relación medio –fines.

Es así como la introducción de la resolución de problemas como parte de la

metodología de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas desde los primeros años de

escolaridad se vuelve sumamente importante para garantizar que las capacidades

matemáticas esperadas sean desarrolladas en el estudiante.

El aprendizaje mediante la resolución de problemas matemáticos se sirve de ciertos

factores que determinarán la capacidad de poder dar soluciones:

22

1. Conocimiento de fundamentos matemáticos, conocimientos previos que puedan dar

información inicial de la metodología de resolución del problema.

2. Estrategias de resolución de problemas, serie de pasos estándares que permitan

resolver problemas matemáticos de cualquier índole.

3. Aspectos metacognitivos, que incluyan las habilidades matemáticas con las que se

cuente.

4. Aspectos afectivos, que incluyan los constructos individuales que influyan en la

forma en la que un problema se contextualiza.

Todos estos actúan de manera conjunta para determinar finalmente la habilidad del

estudiante para el desarrollo matemático.

Si bien los problemas matemáticos presentados a los estudiantes en cualquier etapa

de su proceso educativo son de diversas áreas, Polya determinó cuatro fases para poder dar

solución a los problemas: la comprensión del problema propuesto, la concepción de un

plan de resolución, la ejecución de este plan y la visión retrospectiva. Cada una de estas

fases, a su vez, puede ser dividida en secciones menores que permitan facilitar la solución

de problemas, las cuales pueden ser identificadas mediante ciertas preguntas:

Tabla 1

Fases de resolución de un problema Comprensión del problema

1. ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?

Concebir un plan

1. ¿Se ha encontrado con un problema similar? ¿Se ha visto el mismo problema

planteado en forma ligeramente diferente?

2. Si fuera así, ¿puede este ser utilizado? ¿Podría utilizar su resultado? ¿Podría

emplear su método? ¿Haría falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder

utilizarlo?

3. ¿Se puede enunciar el problema en otra forma?

4. ¿Se ha empleado todos los datos? ¿Se han considerado todas las nociones

esenciales concernientes al problema?

Ejecutar el plan

1. Comprobar cada uno de los pasos al ejecutar el plan planteado para la solución.

2. ¿Se puede estar seguro de que el paso dado es correcto? ¿Hay alguna forma de

poder demostrarlo?

23

Visión retrospectiva

1. ¿El resultado puede ser verificado? ¿El razonamiento seguido puede ser

verificado?

2. ¿Se puede obtener el resultado de forma diferente? ¿Se puede usar el resultado

obtenido o el método seguido en otro problema?

Nota: Detalle de las fases comprendidas durante la resolución de un problema. Fuente:

Bustamante, 2016.

Cada una de estas preguntas dentro de cada fase establece los procesos más básicos

que se comprenden dentro del proceso de resolución y que asientan, finalmente, este tipo

de aprendizaje. Cualquier problema matemático, aún los más complejos, requieren que

este sea comprendido para, a partir de esto, concebir un plan que permita establecer la

metodología y las operaciones que permitan llegar a un resultado.

La importancia de la resolución de problemas como actividad requerida para el

desarrollo de las matemáticas en un individuo recae en que, para lograr dar solución a un

problema, el estudiante debe haber sido capaz de reorganizar sus conocimientos previos

para poder ajustarlo a lo requerido por el problema al que se enfrente, siendo un referente

del nivel de capacidad matemática alcanzada.

1.3 Enfoques de estudio del aprendizaje de las matemáticas

El desarrollo de las capacidades matemáticas y la metodología de enseñanza que se plantee

para lograrlo, varían de acuerdo con el principio psicológico desde el que se describa.

Existen dos corrientes que predominan en el campo del aprendizaje de las matemáticas: el

aprendizaje por asociación y el aprendizaje por reestructuración.

1.3.1 Aprendizaje por asociación.

Basa sus principios en los enfoques conductistas. Bajo esta perspectiva, el

aprendizaje es el cambio de conducta que las personas experimentan cuando estas

24

adquieren algún conocimiento. Este cambio de conducta puede ser dado de manera

condicionada por parte del instructor (profesor), y en ella, el aprendiz (estudiante) brinda

una respuesta al recibir un estímulo particular al que se ha creado un vínculo, una

asociación.

Este aprendizaje por asociación se basa en:

1. El aprendizaje se da sobre la base de la relación entre estímulos y respuestas

sucesivos que se encuentran asociados y persisten en la memoria.

2. Al secuenciar y fragmentar los contenidos, se puede dar el aprendizaje a partir de la

continua repetición. Este aprendizaje puede ser medido y observado de forma objetiva

mediante la actitud vista en el estudiante.

3. Los ejercicios y las prácticas provistas a los estudiantes permiten aumentar la

velocidad y precisión de respuesta del estudiante, lo cual se traduce en un aumento de la

destreza matemática.

Además, dentro del aprendizaje dado por asociación se pueden establecer las

siguientes características:

1. El aprendizaje se da por asociación, pues es el aprendizaje de datos y técnicas el

que permite establecer relaciones entre los conocimientos.

2. El aprendizaje es pasivo y receptivo por parte del estudiante, estando este limitado

al copiado de datos y procedimientos de resolución.

3. El aprendizaje es acumulativo, pudiendo aumentarse el conocimiento al proveer

una mayor cantidad de datos y técnicas.

4. La enseñanza es activa, puesto que, para producir una correcta asociación en los

estudiantes, el profesor debe de moldear la respuesta que el estudiante da mediante el uso

de castigos o premios.

25

De los distintos personajes que se han visto vinculados con esta línea psicológica,

resaltan John B. Watson, considerado el padre del conductismo al ser quien puso en la

práctica educativa lo estudiado por Pavolv, Edward L. Thorndike, Burrhus Skinner y

Robert Gagné.

1.3.1.1 Edward Thorndike.

La teoría desarrollada por Edward Thorndike es también conocida como la teoría

del aprendizaje mediante el éxito y de acuerdo con Alcalde (2010) se rige por tres leyes: la

ley del efecto, la ley de la disponibilidad y la ley del ejercicio.

De acuerdo con la ley del efecto, si se realiza una asociación entre un estímulo y

una respuesta, esta última se ve reforzada y cimentada si es que se acompaña

inmediatamente por una acción satisfactoria (como un premio), asimismo, se ve debilitada

si es que se acompaña de una acción insatisfactoria (como un castigo).

Con respecto a la ley de la disponibilidad, se requiere de una motivación, una

predisposición al aprendizaje, para poder establecer una conexión entre el estímulo y la

respuesta esperada.

Según la ley del ejercicio, se puede fortalecer estas asociaciones al incrementarse la

frecuencia de uso.

De estas, la ley del efecto es el punto central de la teoría de aprendizaje de

Thorndike, pues en esta se enfatiza las consecuencias del comportamiento del estudiante:

las respuestas obtenidas que conlleven a consecuencias satisfactorias (recompensas) son

aprendidas, mientras que las respuestas obtenidas que conlleven a consecuencias

insatisfactorias (castigos) no son aprendidas.

26

De acuerdo con Stelzer et al. (2016) Thorndike establece la metodología mediante

la cual lo conocido en los experimentos con animales, se aplica en el aprendizaje humano,

específicamente, en el aprendizaje del cálculo numérico a partir del establecimiento de

asociaciones entre estímulos y respuestas para resolver una suma simple por columnas:

Aprender a no salirse de la columna al ir sumando.

Aprender a recordar el resultado de cada suma hasta pasar a la siguiente.

Aprender a sumar un número que se ve a otro que se recuerda.

Aprender a saltarse los espacios vacíos de la columna.

Aprender a saltarse los ceros de la columna.

Aprender a aplicar las combinaciones a las decenas superiores.

Aprender a escribir la cifra de las unidades, en lugar de toda la suma total de la

columna.

Aprender a llevarse, que supone por lo menos dos procesos diferentes, se enseñe

como se enseñe. (p. 7)

Ya establecidas estas asociaciones, las mismas pueden ser reforzadas al establecer

un sistema de prácticas y ejercicios, desde los más sencillos a los más complejos, que

permita un aprendizaje gradual de los contenidos.

Además de esto, Thorndike estableció que, para mejorar el aprendizaje de los

estudiantes, era necesario que las habilidades y los contenidos sean introducidos por los

profesores de la siguiente manera:

1. En el momento o justo antes de que este sea necesitado para un fin.

2. En el momento en el que el estudiante se encuentra consciente de la necesidad de

aprender para poder satisfacer un requerimiento.

27

3. Cuando el nivel de dificultad se encuentre acorde a las habilidades innatas del

estudiante.

4. Cuando se tenga una base de conocimientos previos ya consolidada y, además, se

requiera de este nuevo conocimiento para crear otros pronto.

1.3.1.2 Burrhus Skinner.

Skinner, tras realizar experimentos con animales, identificó en ellos respuestas y

fenómenos que, muy temprano en su carrera, introdujo en la educación y la enseñanza,

conociéndose esto como el condicionamiento operante.

El condicionamiento operante es aquel proceso mediante el cual se puede regular la

frecuencia de ocurrencia de una conducta mediante las consecuencias: aquella conducta

que tenga consecuencias agradables para el individuo se ve fortalecida y puede presentarse

con mayor frecuencia, por lo contrario, aquella conducta que tiene consecuencias negativas

para el individuo se ve debilitada y va desapareciendo.

Skinner identificó que el aprendizaje de los estudiantes no estaba dado por alguna

motivación positiva, sino que se daba con la finalidad de evitar alguna consecuencia

desfavorable, por lo que planteó el que estos deberían de recibir una retroalimentación

inmediata y constante tras cada resultado, instaurando así un reforzamiento inmediato en lo

que se conoce como aprendizaje programado.

Los procesos básicos en los que se basan la teoría de Skinner son el reforzamiento

y el castigo.

1. Reforzamiento. El reforzamiento es el responsable del fortalecimiento de ciertas

respuestas. Un estímulo reforzador es cualquier estímulo o evento que se da después de

una respuesta y con el que se pretende reforzar este estímulo. Estos reforzamientos son

28

específicos para cada situación: lo que puede causar un reforzamiento de una actividad

durante una lectura, puede no funcionar para lograr un reforzamiento de una actividad

ligada a las matemáticas. De acuerdo con Schunk (2012) este condicionamiento puede ser

modelado en un esquema de tres términos:

𝑆𝐷 → 𝑅 → 𝑆𝑅

𝐴𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 → 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Un estímulo discriminador (𝑆𝐷) que conlleva a una respuesta (𝑅), es seguida por un

estímulo de reforzamiento (𝑆𝑅) que incrementará la probabilidad de que esta respuesta sea

repetida en el futuro cada que el estímulo discriminador se presente. Un reforzamiento

positivo es un estímulo que, cuando se presenta después de una respuesta, aumenta la

probabilidad de que esta respuesta se repita. Un reforzamiento negativo implica, por otro

lado, remover un estímulo (o una situación) tras una respuesta, lo cual incrementa la

probabilidad de que esta respuesta se repita en el futuro.

2. Castigo. El castigo permite disminuir la probabilidad de que se dé una respuesta a

cierto estímulo. Este puede involucrar el retirar un reforzamiento positivo o, por otro lado,

el presentar un reforzamiento negativo tras una respuesta a eliminar.

Tabla 2

Procesos de reforzamiento y castigo

𝑺𝑫 → 𝑹 → 𝑺𝑹

Estímulo discriminativo Respuesta Reforzamiento

Reforzamiento positivo (refuerzo positivo presente)

Profesor da tiempo de

estudio independiente

Estudiante estudia Profesor felicita al

estudiante por el buen

trabajo

Reforzamiento negativo (refuerzo negativo ausente)

Profesor da tiempo de

estudio independiente

Estudiante estudia Profesor no le da más

tarea al estudiante

Castigo (reforzamiento negativo presente)

Profesor da tiempo de

estudio independiente

Estudiante desperdicia el

tiempo

Profesor le da tarea al

estudiante

Castigo (reforzamiento positivo ausente)

Profesor da tiempo de

estudio independiente

Estudiante desperdicia el

tiempo

El profesor no le da más

tiempo libre al estudiante

29

Nota: Estímulo, respuesta y reforzamiento establecidos en el proceso básico. Fuente:

Schunk, 2012.

1.3.2 Aprendizaje por reestructuración.

La concepción inicial dada por el aprendizaje por asociación, también conocida

como conductismo, en la que el aprendizaje se ve como una respuesta pasiva a estímulos a

los que se expone repetidamente, cambia desde el punto de vista del aprendizaje por

reestructuración. En este, el aprendizaje de conocimientos se da mediante la

reestructuración de contenidos en la mente de los individuos.

Mediante esta perspectiva, el interés recae en entender cómo es que los individuos

construyen una representación del ambiente con el que interactúan y cómo es que

responden a los estímulos provenientes de este con cada cambio cognitivo realizado.

Desde el punto de vista del aprendizaje por reestructuración, y a diferencia del

provisto por el aprendizaje por asociación, la adopción de conocimientos y habilidades

depende de la acción activa del sujeto, siendo este el responsable de lograr la asimilación y

reestructuración de conceptos, y ya no un simple receptor.

En esta rama de estudio del aprendizaje se pueden determinar los siguientes rasgos:

1. Debe existir una motivación intrínseca para buscar información.

2. La comprensión va más allá de la información que se provee.

3. Las representaciones mentales cambian con el desarrollo.

4. Los niveles de entendimiento van afinándose progresivamente.

5. Existen ciertas dificultades propias del desarrollo del sujeto para lograr el

aprendizaje.

6. La reflexión y la reconstrucción de contenidos estimulan el aprendizaje.

30

1.3.2.1 Piaget.

A diferencia de los gestálticos, Piaget tuvo principal interés en el proceso y el

desarrollo específico del pensamiento. Dentro de sus postulados, se puede ver que este

priorizaba la conducta humana como una forma de comprender las características

fundamentales del pensamiento humano. Además, de su prolífera producción, resalta los

numerosos estudios que este desarrolló con respecto al pensamiento de los niños,

centrándose en las etapas de desarrollo de estos.

Para este, el desarrollo cognitivo dependía de cuatro factores:

1. La madurez biológica

2. Las experiencias dadas con el ambiente físico que rodea

3. Las experiencias dadas con el ambiente social que rodea

4. La equilibración.

Los tres primeros requieren de poca explicación adicional, pero todos estos

dependen del cuarto. La equilibración hace referencia a las reacciones biológicas que

conllevan a un adecuado sentido de equilibrio entre las estructuras cognitivas presentes y

el ambiente. Por lo tanto, la equilibración se posiciona como el factor central y el empuje

motivador detrás del desarrollo cognitivo. De esta manera, cuando se introducen nuevas

ideas sobre algunas que se encontraban presentes previamente en las estructuras

cognitivas, el desequilibrio mental formado se ve equilibrado con un efecto de

equilibración. Este el aspecto más importante de la teoría de aprendizaje de Piaget.

Esta equilibración actúa, según Piaget, bajo dos procesos: la asimilación y la

acomodación. La primera de estas hace referencia a la adopción o aceptación de nuevos

datos a una estructura presente previamente; la segunda, involucra las modificaciones que

se deben de dar en estas estructuras para poder lograr esta primera asimilación.

31

Según Piaget, el desarrollo cognitivo solo puede darse cuando el desequilibrio, o

los conflictos cognitivos se presentan, alterando la relación que creía encontrar entre las

creencias del niño y la realidad observada, lo cual es resuelto por la equilibración y sus

procesos de asimilación y acomodación.

Durante el aprendizaje de las matemáticas en la etapa escolar primaria, los niños

deben migrar de conceptos continuamente. Por ejemplo, en un inicio, los niños son

expuestos a la idea de adición de números reales como un incremento de valores con un

resultado igual o mayor al que se contaba al inicio. Al migrar de esto a la adición dada en

números enteros, esta adición no siempre presenta un incremento de cantidades, pudiendo

presentarse casos como:

(+6) + (−2)

en el que el resultado final ha decrecido, generando conflictos mentales que solo serán

resueltos mediante la interacción de la asimilación y la acomodación durante la

equilibración.

Sin embargo, la disponibilidad del sujeto (el estudiante) para poder lograr este

aprendizaje se ve determinado por la adecuación cognitiva del estudiante para entender

esta nueva tarea. Esto, depende de dos factores: los conocimientos previos con los que

cuente y la etapa intelectual en la que el sujeto se encuentre.

Schunk (2012) hace referencia a este último factor, mencionando que Piaget

determina cuatro etapas de desarrollo que determinan la clase de operaciones que el niño

puede aprender de acuerdo con su edad o madurez mental. Cada una de estas etapas es

construida en base a ciertos preceptos que establecen que:

32

1. Las etapas son discretas y se encuentran diferenciadas por diversos rasgos

cualitativos. La transición de una etapa a la siguiente no se da de manera gradual ni

continua, es abrupta.

2. El desarrollo de las estructuras cognitivas de un determinado momento depende

enteramente del desarrollo previo.

3. Cada una de las etapas son consecutivas y su orden de aparición no puede ser

alterado en un sujeto. Sin embargo, las edades a las que aparecen pueden ser diferentes en

sujetos distintos.

Tabla 3

Etapas del desarrollo cognitivo de Piaget a

Etapa de desarrollo Rango aproximado de edades

(años)

Sensoriomotor Nacimiento - 2

Preoperacional 2 – 7

Operaciones concretas 7 – 11

Operaciones formales 11 - adultez

Nota: Detalle de las edades que corresponden a determinadas etapas de desarrollo.

Fuente: Schunk, 2012.

Las etapas establecidas tienen las siguientes características:

1. Período sensoriomotor. Desde que el niño nace hasta que alcanza aproximadamente

los dos años, el aprendizaje se da como producto de las interacciones sensoriales y motoras

que pueda tener con el ambiente que lo rodea. Dado el rápido y constante cambio que el

aprendizaje experimenta, los niños requieren de la utilización de la equilibración

continuamente: las estructuras cognitivas formadas por los estímulos ambientales se

construyen y se alteran frecuentemente. Al terminar esta etapa, los niños son capaces de

desarrollar ciertas nociones matemáticas como el desplazamiento y la concepción del

objeto permanente (no hay necesidad de ver continuamente al objeto para saber que

33

existe). Además de esto, se han desarrollado ciertas concepciones matemáticas (de manera

bastante primitiva) como el tamaño, la cantidad, las dimensiones, que le permiten hacer

actividades como el armar una torre de figuras.

2. Período preoperacional. Durante este período, el niño empieza a usar símbolos para

poder representar el mundo que lo rodea sin necesidad de tener con él una interacción

inmediata. Se sirve de procesos como la imitación y la representación para poder acceder a

las concepciones matemáticas, siendo todo esto un cimiento para el desarrollo del

pensamiento abstracto y la lógica. Esta edad se encuentra caracterizada por presentar

rasgos de egocentrismo, animismo, centración, irreversibilidad y transducción. Entre las

nociones matemáticas desarrolladas a esta edad se encuentran las transformaciones

espaciales de figuras, aunque aún sin tener una concepción de conservación.

3. Período de las operaciones concretas. A lo largo de esta etapa es que los niños

empiezan a desarrollar un pensamiento lógico para poder entender las cosas que lo rodean.

Es en esta etapa en la que la capacidad verbal y lógica de los niños se acelera

dramáticamente, haciendo ver un acelerado crecimiento cognitivo. El pensamiento

abstracto se va consolidando en esta etapa, dejándose de lado el aspecto egocéntrico de su

personalidad. Dentro del desarrollo cognitivo, resalta el desarrollo de la reversibilidad y de

otras nociones matemáticas que serán esenciales para la adquisición de las habilidades

matemáticas. En esta etapa, el niño es capaz de categorizar y clasificar, estableciendo

relaciones concretas de objetos, sin poder alcanzar ideas abstractas en su totalidad.

Conceptos como la seriación, la clasificación, las operaciones numéricas (suma y

multiplicación), orden, entre otros. Algunas de las actividades que se pueden realizar son:

(a) la seriación, (b) la clasificación, (c) el concepto de número, (d) el simbolismo

matemático, (e) las operaciones con los números, (f) as relaciones espaciales,

reconociendo transformaciones

34

4. Período de las operaciones formales. En la etapa de las operaciones formales, el

pensamiento no se encuentra centrado solo en cosas tangibles, siendo capaces de poder

formular situaciones hipotéticas, caracterizados por tener cualidades abstractas. A

diferencia del niño del período anterior, el sujeto de esta etapa trata de prever todas las

relaciones existentes que puedan ser válidas entre los datos con los que se cuenta,

desarrollando así una capacidad de reorientación mucho más allá de la simple

organización de datos obtenidos por medios sensoriales. El pensamiento, en esta etapa, es

fundamentalmente hipotético-deductivo, y se sirve de bases proposicionales para poder

expresar sus ideas. En conclusión, las operaciones formales realizadas en esta etapa son

operaciones realizadas sobre las operaciones concretas de la etapa anterior, sirviéndose de

dos aptitudes: la aptitud abstracta y la aptitud dialéctica (noción temporal de las cosas,

identificando en ellas su origen y sus etapas). En cuanto al desarrollo matemático, durante

este período, se destacan los siguientes aspectos: (a) capacidad de elaborar suposiciones,

hipótesis y leyes matemáticas, (b) capacidades de hacer definiciones y símbolos, (c)

concepto de continuidad e infinidad y (d) realizar relaciones entre otras relaciones

(aumento del nivel de complejidad).

35

Capítulo II

Dificultades de aprendizaje en matemáticas (DAM)

2.1 Definición de las DAM

Las dificultades de aprendizaje en Matemáticas son englobadas bajo la denominación de

Trastornos de Aprendizaje Especifico, en el Manual Diagnóstico y Estadístico de los

Trastornos Mentales-DSM-V, el cual incluye dificultades de aprendizaje en lectura,

expresión escrita y matemática. Este tipo de déficit en matemáticas está referido al menor

ritmo de aprendizaje que presentan algunos estudiantes a comparación de sus compañeros.

Algunos términos aceptados para referirse a este tipo de deficiencia tenemos: acalculia,

discalculia, trastornos de cálculo. La acalculia (o discalculia adquirida) es el déficit en el

procesamiento numérico o aritmético y está relacionada a la existencia de una lesión

cerebral. Mientras que el término discalculia (del desarrollo) se refiere a una anomalía

neuroevolutiva. En resumen, desde un punto de vista educativo se prefiere el termino

Dificultades de aprendizaje de las Matemáticas (DAM) y de un punto de vista

neuropsicológico el término discalculia.

Durante los años escolares se observa un gran número de niños y niñas con

dificultades en las matemáticas, a raíz de ello se empezó a estudiar este tipo de DAM y

36

darle un gran impulso al estudio del desarrollo del pensamiento matemático del niño en las

tres últimas décadas.

2.2 Etiología de las DAM

Las DAM pueden ser consecuencia de circunstancias internas del estudiante, pero también

son influencia de circunstancias externas como la propia naturaleza de las matemáticas o

metodología de enseñanza y actitud del profesor.

2.2.1 Origen interno de las DAM.

Muchos estudios demuestran poca relación entre las DAM y alteraciones

neuropsicológicas pero que a su vez las relacionan con otros tipos de deficiencias. De

acuerdo con Granados (2003) las causas de las DAM de origen interno se pueden clasificar

según:

1. Deficiencias perceptuales: Las áreas perceptivas como diferenciación figura-fondo,

orientación espacial y discriminación afectan las matemáticas provocando dificultades al

hacer comparación de semejanzas.

2. Deficiencias simbólicas: dificulta la decodificación e interpretación de palabras y

números, así como en su escritura.

3. Deficiencias memorísticas: las deficiencias en memoria dificultan el

reconocimiento visual, auditiva y de forma gráfica afectando los cálculos mentales y los

procesos a seguir en la resolución de problemas. Conlleva además a dificultades en el

conteo.

37

4. Deficiencias cognitivas: dificultad en la integración y procesamiento de la

información de manera rápida y continua al establecer relaciones causales.

5. Deficiencias conductuales: Mercer establece tres factores: la impulsividad provoca

un bajo grado de reflexión en los requisitos, el proceso a seguir y el planteamiento de

hipótesis absurdas; la perseveración excesiva hace que el estudiante continúe con la

operación más allá de lo necesario; finamente la atención poco duradera.

2.2.2 Origen externo de las DAM.

Pueden ser definidos dos factores:

1. DAM y la naturaleza de las matemáticas. Las matemáticas generan acierta ansiedad

por su naturaleza, debido a la fácil percepción de aciertos y errores, además del alto nivel

de abstracción en sus conceptos el cual se amplifica si el estudiante no los relaciona con

sus experiencias cotidianas. Por su funcionalidad, el aprendizaje de los contenidos es

afectado cuando los estudiantes no ven su utilidad causando una pérdida de interés y

desmotivación. En este sentido estos contenidos deben relacionarse a su entorno y ayudarle

a resolver situaciones de su vida cotidiana. El lenguaje propio de las matemáticas es otro

factor importante en su aprendizaje, por su diferencia con el lenguaje natural de los

estudiantes, generando dificultades causadas por su complejidad sintáctica y vocabulario

(Fernández, 2013).

2. DAM y metodología de enseñanza. La metodología y la postura del profesor

durante la enseñanza de matemáticas es un factor crucial, determinando la predisposición e

interés de los estudiantes. Los métodos de enseñanza deben aplicarse pesando en los

alumnos, con un análisis y valoración de los contenidos y su forma de exposición.

Además, se debe considerar el ritmo de trabajo, conocimientos previos, competencias para

38

afrontar nuevos contenidos, nivel de abstracción para la introducción de nuevos conceptos

que tengan los estudiantes. Deben adecuarse los recursos de aprendizaje y la forma de

evaluación. El estudiante debe recibir una educación más personalizada y debe participar

en todo momento de este proceso. El profesor, por otro lado, además de poseer una buena

preparación matemática y pedagógica, debe disfrutar enseñar generando un ambiente de

respeto y confianza lo cual motiva a los escolares. En los últimos años se aplica una

metodología que fomenta el aprendizaje cooperativo, formando grupos heterogéneos.

(Fernández, 2013)

2.3 Tipología de las DAM

Las DAM se pueden clasificar de acuerdo con diferentes criterios, entre las clasificaciones

más conocidas tenemos la tipología clásica de Kosc, la tipología de Geary y la tipología de

Natlie A. Badian.

2.3.1 Tipología de Kosc.

Kosc menciona que existen seis subtipos de discalculias, y se presentan de forma

aislada o combinada:

1. Discalculia gráfica: Al estudiante se le dificulta escribir número y símbolos de las

operaciones. Sin embargo, él puede comprender operaciones matemáticas que son

presentadas oralmente además de poder leer información numérica.

2. Discalculia operativa: El estudiante tiene dificultad para resolver operaciones

aritméticas.

3. Discalculia practognóstica: el estudiante tiene dificultad para traducir los

conocimientos abstracto-matemáticos alcanzados a conceptos reales. Comprende

39

conceptos matemáticos, pero se le dificulta enumerar, comparar y ordenar objetos reales.

No puede diferenciar si un objeto es más grande, más pequeño o del mismo tamaño.

4. Discalculia verbal: Dificultad el estudiante para expresar verbalmente términos y

relaciones matemáticas, aun cuando él pueda escribir o leer el número.

5. Discalculia léxica: Deficiencia en la lectura de simbología matemática (números,

signos, dígitos) aun cuando el estudiante puede emplear estos conceptos mediante lenguaje

oral.

6. Discalculia ideognóstica: Deficiencia en la comprensión de ideas y relaciones

matemáticas las cuales se necesitan para realizar cálculos mentales. Pueden leer y escribir

números mas no los comprenden, tampoco puede relacionar números.

2.3.2 Tipología de Natlie A. Badian.

Este menciona que se pueden adquirir cuatro tipos de discalculia:

1. Dislexia: Dificultad del estudiante en la lectura y escritura de números, la cual

muchas veces está relacionada a dificultades de lectura. Este tipo de dificultad se asocia a

lesiones en el hemisferio izquierdo.

2. Discalculia espacial: Dificultad en representar información numérica en el espacio,

tales como omisión y rotación de números, problemas con los signos en operaciones

matemáticas, dificultad con las posiciones de los dígitos y los decimales. Está relacionado

con daños en la región posterior del hemisferio derecho.

3. Disaritmética: Dificultad en los cálculos.

4. Discalculia atencional-secuencial: Dificultad con problemas de secuenciales, sumas

que requieren llevar o recordar operaciones durante la multiplicación.

40

2.3.3 Tipología de Geary.

De acuerdo con los estudios de Geary, las DAM en niños y niñas son causadas por

deficiencias cognitivas o neuropsicológicos y considera que pueden ser heredables. De

acuerdo con Geary, existen tres subtipos:

1. Subtipo de Memoria semántica: Dificultad para recordar acciones numéricas que

pueden observarse en operaciones sencillas, en el que el estudiante emplea el recuerdo.

Está relacionado con lesiones cerebrales corticales izquierdas o subcorticales.

2. Subtipo de procedimientos: Dificultades al ejecutar procedimientos y en la

secuenciación de pasos para procedimientos más difíciles. En él se observan deficiencias

en la memoria y los procesos de ejecución. Se observa también problemas en el conteo. Se

relacionan con lesiones frontales y/o parietales del hemisferio derecho.

3. Subtipo visoespacial: Dificultades en habilidades espaciales por lo cual el

estudiante no puede representar ni interpretar información aritmética. Afectan áreas como

geometría y resolución de problemas complicados.

2.4 Evaluación de las DAM

2.4.1 Clasificación de las pruebas y procedimiento de evaluación de las DAM.

Con las nuevas tendencias educativas es necesario aplicar evaluaciones para medir

la competencia matemática y las dificultades de su aprendizaje. Los procedimientos

desarrollados en la actualidad son de distinta naturaleza en los que se evalúa la referencia

criterial, se mide la base curricular y análisis de errores, entre otros.

41

Blanco (2009) clasifica y analiza estas pruebas y procedimientos de evaluación

desde un punto de vista de la formalidad en su aplicación y los divide en 2 grandes grupos:

evaluación formal e informal.

2.4.1.1 Evaluación formal.

Procedimientos con reglas específicas de administración, calificación e

interpretación. Dentro de él tenemos a las pruebas estandarizadas, en los que se evalúa la

competencia matemática.

2.4.1.1.1 Test estandarizados.

Los test estandarizados de inteligencia se aplican con la finalidad de descartar

procesos cognitivos subyacentes deficitarios (retraso mental). Además, con este tipo de

evaluación puede confirmarse discrepancias entre el CI y la habilidad matemática. Este

tipo de evaluación, como las de memoria auditiva y visual, no aporta información al

profesor sobre la intervención que debe llevar a cabo. La información que brindan estas

pruebas nos permite conocer los puntos fuertes y débiles de los alumnos (habilidades en

áreas como música, danzo o deporte) las cuales permiten el desarrollo de su autoestima.

Entre las pruebas de aplicación individual más conocidas tenemos:

1. La escala de Weschler (WISC-R) para niños de la etapa preescolar y primaria (6 y

16 años), con el que se obtiene un perfil cognoscitivo del estudiante. Este tipo de pruebas

cuenta con subtest de aritmética y problemas verbales sin apoyo visual los cuales nos dan

una valoración del estudiante en el campo del cálculo.

2. La escala McCarthy de Aptitudes y Psicomotricidad (MSCA) para niños entre 2 y 8

años, es una prueba que agrupa 5 subescalas: Lingüística, Perceptivo-Manipulativo,

42

Motricidad, Memoria y Numérica. Se proponen tareas de conteo dentro de otras

actividades.

3. La batería de evaluación de Kaufman (K-ABC) para niños entre 2,5 y 12,5 años,

comprende 3 escalas: Procesamiento simultáneo, Procesamiento secuencial y

Conocimiento. Cuenta con subtest de aritmética y problemas verbales con apoyo visual sin

tiempo límite.

Los test de referencia normativa de matemáticas son evaluaciones comparativas de

cada niño con el rendimiento medio al de una muestra representativa de niños de similares

características y aplicado bajo las mismas condiciones. Su objetivo es determinar si el

estudiante te presenta dificultades y el grado de estas. Este tipo de pruebas está diseñado

para aplicarse en forma colectiva.

La información normativa proporcionada por esta evaluación permite conocer si los

errores de cada niño son normales o están por encima de la media donde sugiere

complementar estos resultados con otras evaluaciones con diferente forma de presentación.

Estas pruebas son sistemáticamente aplicadas en Estados Unidos con la finalidad

de conocer el número de estudiantes por encima de la media.

Entre las principales pruebas de este tipo se tienen:

1. Aptitudes Mentales Primarias (PMA): es de aplicación colectiva a niños entre 10 y

11 años, evalúa aptitudes para el aprendizaje verbal, concepción espacial, fluidez verbal,

razonamiento y cálculo numérico. Se evalúan dos sectores: (a) razonamiento, con

resolución de problemas lógicos, comprende 30 elementos de series de letras con un orden

específico y (b) cálculo matemático, donde se evalúa el manejo de números y la resolución

de problemas cuantitativos rápidamente. Se tiene que resolver 70 sumas con resultados

erróneos en algunos casos.

43

2. Test de aptitudes escolares (TEA-1 y TEA-2): de aplicación colectiva a niños entre

8 y 12 años (TEA-1) y 11-14 (TEA-2), estas pruebas integran vocabulario, dibujos y

palabra, razonamiento y cálculo. Estas pruebas son utilizadas para conocer las aptitudes y

el potencial de los estudiantes. Clasifica a los estudiantes con capacidad similar

(superdotados e infradotados), permitiendo identificar a los alumnos con dificultades de

aprendizaje. Se evalúan dos áreas: (a) razonamiento, como el ordenamiento en conjuntos

de figuras abstractas (números o letras) y (b) cálculo, el TEA-1 pregunta si las sumas están

correctas o no, el TEA-2 evalúa el manejo de números.

3. Batería de Aptitudes para el Aprendizaje Escolar (BAPAE): aplicación individual o

colectiva para niños entre 6 y 8 años, evalúa la comprensión verbal, aptitud perceptiva:

Constancia de la forma y orientación espacial y Aptitud numérica. En el subtest de aptitud

numérica se evalúan conceptos de número, sumas y restas, problemas de doble y mitad y

problemas de cambio y combinación.

4. Batería Española de Test de Aptitudes (BETA) de aplicación individual o colectiva,

para niños entre 4 y 18 años. Es una evaluación de la inteligencia con una serie de subtest

enfocados en subfactores de atención, memoria, aptitud verbal, aptitud numérica, aptitud

espacial, aptitud para la abstracción y aptitud mecánica. Tiene ocho niveles y su estructura

toma en cuenta la edad cronológica y el estadio evolutivo de la inteligencia.

5. Test de pronóstico académico (TPA) de aplicación individual o colectiva a niños

entre 11 y 15 años con un estadio de desarrollo normal. Evalúa la aptitud de razonamiento

abstracto, capacidad verbal y capacidad numérica

6. Test de Aptitud Numérica (TAN) evalúa la aptitud numérica, los aspectos de

automatismo del cálculo y razonamiento numérico. Aplicado a alumnos de tercer grado de

primaria de forma individual o colectiva. Contiene seis apartados: (a) operaciones:

comprende sumas, restas y multiplicaciones, (b) interrogación: con preguntas en diferentes

44

lugares de la operación, (c) secuencias numéricas: te piden el número que continúa en una

seriem (d) clasificaciones: ordenamiento de cantidades, (e) problemas: resolución de

problemas sencillos y (f) cuestiones: cuestiones numéricas.

7. Test de Aptitudes Diferenciales (DAT): Evalúa aptitudes básicas de la inteligencia:

aspectos verbales, numéricos, razonamiento abstracto, rapidez y precisión perceptiva,

comprensión mecánica y dotes espaciales. Se evalúa individual o colectivamente a niños

mayores de 13 años. Es una de las evaluaciones más usadas debido a que la información

proporcionada puede ser usada para la orientación de la enseñanza superior.

8. Prueba de Aptitud y rendimiento matemático: Se aplica a niños entre 7 y 12 años,

en ella se evalúan: (a) nociones previas: conservación, seriación, previsión, clasificación e

inclusión, (b) conocimiento de la simbolización matemática: concepto de valor y signos,

conocimiento de figuras y cuerpos geométricos y dictado y lectura de números, y (c)

disposición para el cálculo y resolución de problemas: resta y reparto, solución de

problemas con dificultad de enunciado y problemas abstractos.

2.4.1.1.2 Medidas basadas en el currículo y pruebas de diagnóstico.

Las pruebas estandarizadas evalúan el conocimiento de un estudiante respecto a su

entorno en función del currículo, comparándolo con sus compañeros del centro de

estudios. Al tomarse de forma individual determina las áreas deficientes del estudiante, y

los resultados ayudan a decidir el tipo de intervención.

De acuerdo con las etapas educativas, se toma una evaluación diferente, en

educación infantil se evalúa el desarrollo temprano y en educación primaria las habilidades

básicas.

45

Las pruebas de diagnóstico, por otro lado, evalúan las fortalezas y debilidades en el

área curricular. El cual es utilizado para desarrollar programas de instrucción.

Entre las evaluaciones matemáticas más empleadas tenemos:

1. La prueba Key-Math: Valora la competencia matemática desde el preescolar hasta

finalizar el nivel primario con variación en la dificultad de la evaluación. En él se evalúa

contenido, operaciones y aplicaciones. Esta prueba ha sido traducida al español, adaptada y

validada por Pérez-Santamaría. La utilidad de esta prueba está en categorizar al estudiante,

pero sufre limitaciones para diagnosticar debido a que no analiza la fuente del error y en

algunos casos provoca la desmoralización del alumnado y profesorado.

2. Test de habilidad matemática temprana (TEMA-2) evalúa niños entre 3 y 9 años en

la comprensión en conceptos y procedimientos matemáticos (formal e informal). No

cuenta con una traducción y adaptación al castellano.

3. Prueba de cálculo y nivel matemático: valora competencias matemáticas que van

desde la escritura hasta operaciones de potencias y raíces. S clasificación va desde

estudiantes eficientes pero lentos, eficientes y rápidos pero inseguros, lentos e inseguros.

Este tipo de evaluaciones es usado, además, para comparar las competencias

curriculares entre centros educativos o educación en diferentes países dado que se basan en

currículos comunes. Estas pruebas cumplen con determinadas condiciones y requisitos a

pesar de que no son estandarizadas. Estas evaluaciones son utilizadas, por instituciones

como la Asociación internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA) y

el Proyecto PISA de la Organización para la Cooperación y Desarrollo económicos, para

evaluar los conocimientos adquiridos y destrezas.

46

2.4.1.2 Evaluación informal.

Este tipo de evaluación no tienen una puntuación e interpretación ni un

procedimiento rígido. Incluye test de referencia criterial, análisis de tareas, y los procesos

de valoración relacionados al aula como la observación y análisis de trabajo de los

estudiantes.

2.4.1.2.1 Valoraciones basadas en el currículo (CBA).

Es un tipo de evaluación que emplea procedimientos informales, este incluye la

valoración diaria del estudiante, así como los exámenes.

2.4.1.2.2 Test de referencia criterial (CRT).

Utiliza criterios de maestría, establecido por una autoridad, para valorar el

conocimiento en un área especifica. Su propósito es obtener un indicador del nivel del

estudiante en un objetivo y determinar una acción educativa que lo beneficie. Estas

pruebas aportan información que ayudan a tomar decisiones curriculares y son de

aplicación sencilla. Es la evaluación que cumple con mayor eficiencia la relación

evaluación-intervención, siempre y cuando tenga los suficientes ítems en cada dominio

matemático.

Entre las principales pruebas de referencia criterial tenemos:

1. Pruebas Pedagógicas Graduadas de Visor: se aplica en el primer grado de

educación primaria y consta de 3 escalas: Lenguaje, Matemáticas y Perceptivas. En la

escala matemática se evalúan Lógica, conocimientos de serie numérica, calculo aditivo y

cálculo sustractivo.

2. VanNCoC: Se basa en el currículo oficial del estado español, consta de 4 pruebas

para cada ciclo de la primaria.

47

2.4.1.2.3 Análisis de tarea.

Para ello se hace un análisis conductual de las tareas matemáticas, determinando

prerrequisitos cognitivos necesarios. Por ello debe detallarse una tarea en diferentes

subtareas. Entre las criticas halladas a esta metodología se tiene que el análisis en sí se

realiza sobre la tarea y no en el proceso de aprendizaje de esta. Además, se conoce que

existen varios caminos por los que un niño pueda aprender un mismo contenido.

2.4.1.2.4 Entrevista clínica.

Es usada como complemento a otro tipo de evaluación. En este caso se le pide al

niño que piense en voz alta mientras ejecuta un algoritmo de resolución de una tarea. Este

tipo de evaluación nos permite valorar la estrategia usada por el estudiante para resolver a

tarea.

2.4.1.2.5 Evaluación de la Zona de Desarrollo Próximo (ZPD).

Este tipo de evaluación considera las diferencias entre estudiantes por el grado de

experiencia que tengan, ya que estos pueden tener un nivel de instrucción diferente. En

esta prueba el alumno es evaluado luego se le somete a instrucción y es evaluado

nuevamente, con ello puede determinarse si las dificultades son internas o de carácter

ambiental para el estudiante.

2.4.1.2.6 Evaluación auténtica.

Los estudiantes son sometidos a problemas cotidianos en la vida real, evaluando su

conocimiento, habilidad y conducta.

48

2.4.1.2.7 Portafolios o carpetas de trabajo.

Este tipo de evaluación documenta la evolución del estudiante tras una recopilación

de sus trabajos mostrando sus esfuerzos, progresos y logros a través del tiempo y con

diferentes técnicas de instrucción. En esta recopilación el estudiante debe participar en la

selección del contenido. Esta evaluación aplicada a las matemáticas es muy útil al

momento de monitorizar el aprendizaje y evaluar la efectividad de los programas

ejecutados. Al analizar los documentos contiene: respuestas correctas e incorrectas,

habilidades en el cálculo, errores de lectura, errores de sintaxis, estrategia de resolución de

problemas, etc.

2.4.1.2.8 Análisis de errores.

Los análisis de los errores nos permite clasificarlos como:

1. Conceptuales: incapacidad para crear una representación interna del problema

evaluado

2. Procedimentales: incapacidad para proponer un procedimiento adecuado de

solución de una representación interna creada.

3. Ejecución: aplicación del procedimiento en la resolución del problema.

Una vez clasificado el tipo de error puede analizarse detalladamente como:

estrategias incorrectas en la resolución del problema, deficiencias en la ejecución de la

resolución, errores sistemáticos en los procedimientos al pasar a una situación nueva y

errores derivados de la comprensión del lenguaje.

Geary y Hoard dividen, además, los errores de lectura y escritura de números en

errores semánticos y errores sintácticos. Por ejemplo, confundir el 8 con 7 o el 702 con 72.

49

Girelli clasifica los errores en la puesta en práctica de los procedimientos, los

errores son conscientes y sistemáticos si es causado por el déficit en el conocimiento de un

procedimiento, por otro lado, los errores inconsistentes o no sistemáticos en los que el niño

inicia bien en la resolución de los problemas, pero a medida que va avanzando.

2.4.1.2.9 La observación.

Este tipo de evaluación puede combinarse con información de otros procedimientos

de evaluación. En los centros educativos, los profesores continuamente hacen este tipo de

evaluaciones con observaciones en el aula.

2.4.2 Evaluación neuropsicológica.

Desde la neuropsicología, las dificultades de aprendizaje se relacionan a una

disfunción del sistema nervioso central, por ello estas investigaciones permiten elaborar

perfiles neuropsicológicos para cada tipo de deficiencias. Un ejemplo es el caso de los

niños que sufren dislexia cuyo fracaso severo es consecuencia de este tipo de disfunción.

Para este tipo de evaluación se adaptan pruebas para adultos y se utilizan con niños.

Entre algunas propuestas de este tipo se tiene:

1. Prueba de Diagnostico de Luria: en él se valoran destrezas aritméticas de bajo nivel

junto a funciones cerebrales. Se evalúan la comprensión, producción y comparación de

números y se plantean operaciones aritméticas como sumas y restas, contar según un

criterio, colocar signos.

2. Batería Luria-DNI: Es una evaluación neurológica con 4 áreas de competencia:

Funciones motoras, Lenguaje hablado, Lenguaje escrito y aritmética y Memoria. En

aritmética se evalúa, la estructura numérica (concepto numérico, lectura numéricos y

50

comparación de pares) y operaciones aritméticas (cálculos simples, sumas y restas, signos

y operaciones seriales).

3. McCloskey propone una evaluación con tareas de comparación de magnitudes,

transcodificación de números (transformar un numero de un código a otro), comprensión

de la operación en palabra (oralmente la operación y elección de la operación correcta),

tareas de aritmética escrita (realizar operaciones recuperando hechos numéricos de la

memoria y por cálculos de adición sustracción y multiplicación) y aritmética oral (adición,

sustracción y multiplicación).

2.4.3 Tendencias actuales en evaluación.

Waterman, considera que los objetivos de la evaluación en educación son:

Identificar a los estudiantes con dificultades para aprender, diagnosticar la fuente de las

dificultades, Informar sobre el mejor tipo y modo de apoyar al estudiante, así como un

programa de desarrollo, Planificar la enseñanza en función de las necesidades de los

estudiantes y Evaluar el progreso del alumno.

Rivera menciona que en el específico caso de las DAM se debe dirigir a responder

preguntas como: ¿cuáles con los puntos fuertes y débiles en los conocimientos de los

estudiantes?, ¿qué estrategias utilizar?, ¿qué dificultades presentan los estudiantes en

matemáticas? Finalmente, estas evaluaciones deben servir para tomar decisiones

considerando las necesidades de los niños.

Gardner, por otro lado, considera que las habilidades matemáticas de los niños

deben ser evaluadas con el planteo de problemas con contextos matemáticos, es decir

reducir al máximo las instrucciones verbales. De acuerdo con Gardner conocer sus

capacidades permite sugerir futuros aprendizajes.

51

2.5 Intervención en el área de las matemáticas

Para que un niño pueda adquirir la noción de número, este debe manipular durante sus

actividades los signos numéricos y lo que representan obteniendo así un significado real

para él. Tal actividad debe hacerse en reiteradas ocasiones mediante clasificación,

ordenación y correspondencia. La expresión verbal y la gráfica del número también deben

ser dominadas (Granados, 2003).

Para que el niño pase de la percepción a la representación de un conjunto, por su

grado de dificultad, toma tiempo y debe primero sea representado por imágenes,

posteriormente por símbolos y finalmente dar paso a las grafías. De esta manera el

estudiante el alumno puede acostumbrarse a asociar la correspondencia al numeral

correspondiente, su designación verbal y el símbolo que lo representa.

Gelman y Gallistel señala que debe utilizarse conjuntos distintos durante el

ejercicio del conteo hasta alcanzar un automatismo. Con ello se afianzan actividades

cognitivas como: correspondencia uno a uno, orden estable, cardinalidad (representación

de orden relacionado al total de elementos), abstracción e irrelevancia de orden (cuando a

un conjunto de elementos se le asocie números).

Debe evitarse que el estudiante aprenda por memoria la numeración, por ello es

importante el aprendizaje del valor posicional de los dígitos dentro de los números.

Introducir el concepto de decena de forma manipulativa para simplificar su comprensión,

posteriormente su representación gráfica y designación. La comprensión del 0 se facilita

también de esta manera.

Las matemáticas por su nivel de abstracción necesitan un pensamiento

paradigmático el cual se diferencia del modo narrativo familiarizado con el sujeto en su

etapa infantil. Por ello los conceptos matemáticos deben contextualizarse social y

52

culturalmente de manera que el estudiante pueda comprenderlo y asimilarlo

progresivamente.

El aprendizaje de las operaciones se facilita desarrollando un proceso lento y

gradual que va desde la manipulación hasta la automatización. Durante este proceso

pueden utilizarse materiales para este tipo de aprendizaje como bloques, ábacos, dominós,

entre otros debido a que estos permiten una mayor facilidad para el paso del lenguaje

natural al matemático y posteriormente al gráfico. En algunos casos se utilizan programas

computacionales que ayudan a tratar las dificultades de cada estudiante. Este aprendizaje

involucra el dominio de nociones como numeración, relaciones espaciotemporales y

vocabulario especifico. También involucra un cambio en términos como juntar y separar

por sumar y restar respectivamente.

Por la diferencia que puede haber en los ritmos de desarrollo de los niños, es

común que el tiempo para la comprensión de determinados conceptos u operaciones varíe.

El dominio de las operaciones más fáciles sirve de fundamento para el correcto desarrollo

de operaciones más complejas por ello debe realizarse con dificultad creciente. Un orden

aconsejado por Granados (2003) es: sumar dígitos, sumar con decenas sin llevar, luego

llevando, resta, y finalmente combinar estas operaciones.

Mayer considera cuatro tipos de procesos durante la resolución de problemas:

1. Traducción: capacidad para traducir un problema a una representación mental.

2. Integración: reconocimiento del tipo de problema que se le presenta utilizando sus

esquemas de conocimiento.

3. Planificación y control: organización de las estrategias conocidas para resolver un

problema.

53

4. Ejecución: aplicación de las matemáticas de manera precisa en la ejecución de los

cálculos necesarios para la solución de un problema.

Para la presentación de problemas se deben dejar muy claro los términos y

conceptos, iniciando con cantidades pequeñas. Y para los problemas numéricos debe

iniciarse con objetos, luego dibujos, luego símbolos y al final con números.

Durante el proceso la comprensión de la semántica del problema es de suma

importancia, el estudiante debe tener tiempo para plantear inicialmente el problema,

razonar, proponer y dar soluciones que eviten el uso mecánico de conocimientos. Por ello

es recomendable cambiar datos e incógnitas para el mismo problema.

Respecto de la solución del problema, el estudiante debe verificarlo y analizarlo,

además de plantear procesos alternativos y elegir el más apropiado. Schoenfeld propone

cinco etapas para esto: Análisis (analizar el enunciado), Diseño (plantear un plan global de

solución), Exploración (el problema debe ser una rutina de cálculo), Hacer (operar) y

Verificar (la solución).

El desarrollo de procesos metacognitivos es necesario para controlar, analizar y

mejorar los procesos cognitivos del estudiante. Para ello el estudiante debe reflexionar

sobre su enfoque, planificación y verificación al momento de presentar la resolución del

problema.

Cuando se diagnostica discalculia, deben conocerse las habilidades matemáticas del

niño (fortalezas y debilidades), una vez conocido esto plantear objetivos de instrucción

apropiados a las capacidades de este. De manera documentada establecer los logros que

debe realizar el niño, las condiciones y el criterio de evaluación para alcanzar el objetivo.

54

Una vez fijados los objetivos debe analizarse la intervención, con respecto a las

tareas a realizarse para la recuperación del estudiante. Granados (2003) propone las

siguientes pautas para potenciar el desarrollo de habilidades matemáticas:

1. Cantidad: Para una comprensión de este concepto matemático, la práctica de

correspondencia entre dos conjuntos con diferentes elementos suele ser eficaz. Por

ejemplo, el uso de tuercas con tornillos, ojales y botones, entre otros.

2. Sistema decimal: Una recomendación para comprender este concepto es el formar

grupos de fichas en subgrupos y fichas sueltas, en principio el niño debe poder expresar el

número de subgrupos y de fichas sueltas en cada grupo. Por ejemplo, la formación de

cuatro grupos de siete fichas y 5 fichas sueltas, expresado de la siguiente manera: 4(siete)

y 5.

3. Lectura de numerales: Asociar el símbolo del número al número de elementos

correspondiente.

4. Asociación de símbolo visual: las representaciones deben realizarse con el sentido

más desarrollado a la vez que se dice el nombre del número. Por ejemplo, en niños con

discriminación visual se les debe guiar de forma verbal mientras trazan el número.

5. Discriminación auditiva: La práctica en los que el estudiante escucha el nombre de

los numerales mientras dice si son iguales o distintos. Este procedimiento ayuda a sujetos

con dificultades de este tipo. Por ejemplo, los números sesenta y setenta.

6. Correspondencia uno a uno: Para comprender este concepto son necesarios

ejercicios que aumentan gradual y sucesivamente. Por ejemplo, ir colocando elemento por

elemento mientras se menciona el resultado de la suma (uno, uno más un es dos, dos más

uno es tres, etc.); de la misma manera con la resta.

7. Conservación de la cantidad: En este caso se debe disponer de dos recipientes uno

vacío y el otro con una cantidad fija de elementos, el alumno deberá contar los elementos

55

que hay en cada recipiente y finalmente escribir el total de los elementos entre los dos

recipientes, posteriormente debe pasarse un elemento al recipiente vacío y repetir el

proceso sucesivamente.

8. Operaciones aritméticas: Para abordarlo el niño debe comprender el concepto de

número, saber contar y conocer el valor de las cifras. Para facilitar la comprensión de

incremento o decremento se suele contar hacia adelante y hacía atrás, y luego hacer lo

mismo, pero escribiendo los valores en una pizarra de forma repetida.

9. Cálculo: Para los problemas de cálculo, la auto instrucción es un procedimiento

eficaz: (a) el profesor actúa como modelo al resolver la operación que quiere realizar

alzando la voz para dar las instrucciones, (b) ambos, el profesor y el estudiante resuelven

la operación con la voz elevada durante las instrucciones, el profesor debe guiar al

estudiante, (c) el estudiante realiza la operación en voz alta, mientras el profesor

comprueba si el estudiante aplica las instrucciones correctamente, (d) el estudiante realiza

la operación en voz baja, mientras el profesor comprueba si el estudiante aplica las

instrucciones correctamente y (e) el estudiante realiza la operación en silencio.

10. Resolución de problemas: la resolución de problemas aplicando operaciones

aritméticas nos garantiza que el estudiante las aplique correctamente en contextos

diferentes. Para ello deben relacionarse procesos ligados al lenguaje oral, con formación de

conceptos. Por ello los problemas planteados a los estudiantes deben estar acordes a su

experiencia en matemáticas y su nivel en lectura y educación. Por ello el alumno debe leer

el problema calmada y repetidamente, reproducir la situación planteada y traducirlo en

lenguaje matemático. Una estrategia sugerida por la autora para comprender y resolver los

problemas es el siguiente: (a) comprender la estructura y la situación del problema, (b)

determinar que te pide el problema, (c) identificar y relacionar los elementos del problema,

56

(d) plantear la acción y el orden en el que debe realizarse, (e) realizar las operaciones y (f)

revisar los cálculos y resultados.

2.6 Criterios para diagnosticar un estudiante con DAM

De acuerdo con el CIE-10, un estudiante con trastorno de cálculo es aquel que tiene

dificultad en aritmética, acalculia y discalculia, no se considera las dificultades causadas

por una metodología de enseñanza deficiente, ni las asociadas a trastornos de lectura.

Mientras que el DSM-IV-TR califica de esta manera a un niño cuyos resultados

académicos no corresponden a su nivel de inteligencia.

Un estudiante diagnosticado con DAM, en la actualidad, no solo presenta

problemas con cálculos matemáticos, sino también tienen dificultad para relacionar las

matemáticas con sus actividades cotidianas y para resolver problemas (Fernández, 2013).

Estudiar las causas de estas dificultades es importante ya que por lo general un niño

con este diagnóstico tienen una inteligencia normal. Para ello deben descartarse

deficiencias sensoriales o déficit de atención e hiperactividad las cuales pueden realizarse

algunas pruebas neuropsicológicas estandarizadas.

Una vez descartados estas deficiencias se recurren a métodos estandarizados para

diagnóstico de las DAM, en ella se usan: Escala McCarthy de Aptitudes y

Psicomotricidad, Test de Competencia Matemática básica, etc. A su vez puede

complementarse con otros métodos no estandarizados: observaciones, portafolios,

entrevistas, etc. Estos ofrecen una visión muy valiosa con los errores más reiterados y

persistentes.

57

En los primeros años de educación primaria, pueden verse algunos síntomas de las

DAM como la incorrecta escritura de números, dificultades para resolver algoritmos de

problemas muy sencillos.

Algunos autores plantean los pasos a seguir para un diagnóstico correcto de DAM:

1. Análisis de las pruebas realizadas al estudiante, pruebas como estandarizadas,

observación, portafolio, etc.

2. Evaluaciones de variables internas o externas al estudiante que influyen en estas

dificultades.

3. Selección de estrategias de intervención estructuradas.

4. Evaluación de dichas estrategias de intervención.

58

Capítulo III

Aprendizaje de las matemáticas en el Perú

Las matemáticas son parte fundamental de la formación educativa de los estudiantes,

quienes entran en contacto con estos conceptos desde sus primeros años de escolaridad,

esperando que mediante el aprendizaje de esta ciencia se desarrolle en ellos la capacidad

de poder actuar y pensar desde un punto de vista matemático para poder resolver algún

problema o tomar una decisión en base a la situación presente. Este desarrollo del

pensamiento matemático, sin embargo, está muy lejos de ser un proceso aislado a la

formación escolar, siendo, por lo contrario, una actividad sumamente compleja y dinámica

resultado de la interacción de factores cognitivos, socioculturales, afectivos y otros

(Ministerio de Educación del Perú, 2015).

La necesidad de lograr un aprendizaje adecuado en los estudiantes peruanos se

encuentra justificada por el Ministerio de Educación del Perú (2015):

1. Permitir entender el mundo y desenvolverse en él: las matemáticas permiten

transformar y comprender nuestra cultura y nuestras actividades cotidianas, muchas de las

cuales se encuentran ligadas a la aplicación de conceptos matemáticos como al elaborar un

presupuesto de gastos mensuales, la organización de objetos dentro de un área, entre otros.

59

2. Ser la base del desarrollo de la ciencia y la tecnología de una nación: las ciencias

toman a las matemáticas como un medio de comunicación entre diversas áreas, siendo esta

necesaria para desarrollar nuevas investigaciones y nuevas aplicaciones.

3. Promover formación de ciudadanos capaces de tomar decisiones conscientes:

ciudadanos con la capacidad crítica ante hechos y situaciones sociales, son el objetivo final

de la educación.

Actualmente, en el Perú, la enseñanza (y el aprendizaje) de las matemáticas a nivel

primario se da bajo un enfoque de planteamiento y resolución de problemas en diversos

contextos que permita a los estudiantes crear, investigar, plantear y resolver problemas,

sugerir rutas de resolución, analizar las estrategias utilizadas y, finalmente, sistematizar y

comunicar los conocimientos adquiridos (Ministerio de Educación del Perú, 2015).

Este enfoque de enseñanza bajo resolución de problemas tiene las siguientes

características:

1. Los problemas necesitan ser planteados bajo situaciones contextuales que

promuevan el desarrollo del pensamiento matemático, al promover en los estudiantes un

sentido de significado y valoración de los conceptos matemáticos aplicados a diversos

contextos y situaciones.

2. Los problemas son escenario para lograr el desarrollo de competencias y

capacidades matemáticas.

3. La resolución de problemas permite que los estudiantes construyan conceptos

matemáticos, descubran relaciones entre situaciones, procedimientos, conceptos y

representaciones matemáticas.

4. Los problemas deben alinearse a los intereses y necesidades de los niños,

involucrando las resoluciones de problemas reales que estos puedan tener.

60

5. Permite lograr una conexión entre ideas, estrategias y procedimientos matemáticos

que ayuden a interpretar situaciones reales.

De estos, se destaca la orientación del uso de resolución de problemas para alcanzar

el desarrollo de competencias y capacidades matemáticas, esquema mediante el cual se

desarrolla y se evalúa el aprendizaje de las matemáticas en los colegios.

3.1 Las matemáticas en el Currículo Nacional

De acuerdo con el Ministerio de Educación del Perú (2015):

(...) la educación y las actividades de aprendizaje deben orientarse a que los

estudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol de ciudadanos, lo cual

involucra el desarrollo pleno de un conjunto de competencias, capacidades y

conocimientos que faciliten la comprensión, construcción y aplicación de una

matemática para la vida y el trabajo (p. 16).

Estas competencias y capacidades, definidas como la facultad del ser humano para

actuar sobre una realidad usando sus conocimientos y habilidades, son la base sobre la cual

se promueve el desarrollo del aprendizaje entre los estudiantes peruanos. En la Educación

Básica Regular, se han especificado las competencias a alcanzar en el área de las

matemáticas bajo cuatro situaciones, todas estas consolidadas sobre la idea de que las

matemáticas deben de ser un medio mediante el cual los fenómenos naturales y sociales

puedan ser descritos, comprendidos e interpretados haciendo uso de ciertos conocimientos

matemáticos.

Es así que se definen las competencias bajo las capacidades del estudiante para

resolver problemas matemáticamente a través de situaciones de cantidad (analizado y

61

modelado desde la aritmética); situaciones de regularidad, equivalencia y cambio

(fenómenos abordados desde el álgebra); situaciones de forma, movimiento o localización

(abordado desde la geometría); y las situaciones de gestión de datos e incertidumbre

(usando estrategias y herramientas matemáticas relacionadas con la probabilidad). Estas

competencias y las capacidades para cada una de estas, definidas para la enseñanza de las

matemáticas son (Ministerio de Educación del Perú, 2015):

1. Resuelve problemas de cantidad. Con la cual se definen las siguientes capacidades

esperadas en los estudiantes: (a) traduce cantidades a expresiones numéricas, (b) comunica

su comprensión sobre los números y las operaciones, (c) usa estrategias y procedimientos

de estimación y cálculo y (d) argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las

operaciones.

2. Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio. Con la cual se definen

las siguientes capacidades esperadas en los estudiantes: (a) traduce datos y condiciones a

expresiones algebraicas y gráficas, (b) comunica su comprensión sobre las relaciones

algebraicas, (c) usa estrategias y procedimientos para encontrar equivalencias y reglas

generales y (d) argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencias.

3. Resuelve problemas de forma, movimiento y localización. Con la cual se definen

las siguientes capacidades esperadas en los estudiantes: (a) modela objetos con formas

geométricas y sus transformaciones, (b) comunica su comprensión sobre las formas y

relaciones geométricas, (c) usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio y

(d) argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas.

4. Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre. Con la cual se definen las

siguientes capacidades esperadas en los estudiantes: (a) representa datos con gráficos y

medidas estadísticas o probabilísticas, (b) comunica su comprensión de los conceptos

62

estadísticos y probabilísticos, (c) usa estrategias y procedimientos para recopilar y procesar

datos y (d) sustenta conclusiones o decisiones con base en la información obtenida.

3.2 Evaluación del aprendizaje de las matemáticas en el Perú, ECE

El Ministerio de Educación del Perú, con el objetivo de recaudar información sobre los

aprendizajes alcanzados por los estudiantes peruanos, realiza periódicamente evaluaciones

de las áreas curriculares para monitorear cómo el desarrollo de los estudiantes y cómo la

enseñanza de estos puede reorientarse para lograr que una mayor cantidad de estudiantes

alcance los niveles esperados.

La Evaluación Censal de Estudiantes (ECE) es una de estas herramientas, la cual ha

sido aplicada a escuelas públicas y privadas para saber qué y cuánto han aprendido los

estudiantes en las competencias de las áreas curriculares de Comunicación y Matemática,

teniendo en cuenta la adaptación de las pruebas a la diversidad del contexto de los

estudiantes.

En el 2018, esta prueba fue ejecutada entre estudiantes del segundo y cuarto grado

de Educación Primaria, permitiendo obtener información acerca del aprendizaje de los

estudiantes, los logros obtenidos en cada competencia y, más importante aún, las

dificultades principales vistas entre esta población (Ministerio de Educación del Perú,

2018).

La elección de estudiantes en estos dos años de escolaridad, con evaluaciones

anuales, permite relacionar los logros alcanzados en el segundo año y los logros vistos por

estos mismos estudiantes, cuando cursan el cuarto año de educación primaria. Se sabe que

los primeros años de educación primaria (primer y segundo grados) son clave para lograr

consolidar los aprendizajes básicos en el área de las Matemáticas; siendo los resultados

63

obtenidos en el cuarto año la suma total del aprendizaje de los años anteriores, y no solo lo

avanzado en un único año.

Si bien esta metodología de evaluación cambiará desde este año según la ministra

de Educación Flor Pablo Medina, la información provista por la ECE realizada en el 2018

brinda un panorama que es necesario evaluar y que es resumida en el siguiente apartado.

(Cárdenas, 2019)

3.2.1 Logros y dificultades del aprendizaje de las Matemáticas, ECE 2018.

Tomemos como referencia la evaluación de estudiantes del cuarto año de primaria

durante el ECE 2018. En esta prueba, se evalúa cada competencia:

1. Cantidad: Noción de número, sistema de numeración decimal, operaciones y

propiedades, y noción de fracción.

2. Regularidad, equivalencia y cambio: Secuencias numéricas y gráficas, números

desconocidos en operaciones o comparaciones y relaciones entre magnitudes

3. Forma, movimiento y localización: Formas geométricas de 2 y 3dimensiones,

desplazamientos y posiciones y traslación y simetría.

4. Gestión de datos e incertidumbre: Tablas y gráficos estadísticos, frecuencias y

moda y nociones de Seguro, posible (probable) e imposible

Orientando todos estos bajo dos contextos:

1. Contexto extramatemático

2. Parte de una situación real o simulada

3. Contexto intramatemático

4. Parte de una situación referida solo al ámbito matemático

64

Figura 2. Logro de aprendizaje. Fuente: Ministerio de Educación del Perú, 2018.

Los resultados obtenidos fueron presentados mediante la ubicación de los logros de

los estudiantes en cuatro niveles, relacionándose cada uno de estos con el conjunto de

aprendizajes logrados:

1. Previo al inicio

2. En inicio

3. En proceso

4. Satisfactorio

La data obtenida por estos estudiantes del cuarto grado de Educación Primaria

durante el 2018, fue comparada con la data de estos mismos estudiantes mientras cursaban

el segundo grado de Educación Primaria durante el 2016, obteniéndose:

65

Figura 3. Mejora en matemáticas. Fuente: Ministerio de Educación del Perú, 2018.

Esto muestra que el aprendizaje en Matemáticas ha mejorado, pues existe un

aumento de la cantidad de estudiantes que alcanzaron el Nivel Satisfactorio,

disminuyéndose la cantidad de estudiantes ubicados en los niveles iniciales y previo al

inicio. Esto es importante, pues refleja que son muchos más los estudiantes que se

encuentran camino a alcanzar el aprendizaje esperado para esta área, reflejando los

resultados positivos de la enseñanza brindada en las escuelas. Para tener una perspectiva

real del nivel de aprendizaje de los estudiantes peruanos, es necesario visualizar la data

obtenida en cada área regional, para así saber el estado en el cual se encuentran los

estudiantes en cada uno de estos, dado que el contexto de vida y enseñanza en cada

departamento, no es el mismo.

66

Figura 4. Niveles de aprendizaje en el área de las Matemáticas en cada departamento.

Fuente: Ministerio de Educación del Perú, 2018.

3.2.1.1 Competencia: Resuelve problemas de cantidad.

Figura 5. Aprendizajes esperados para el cuarto grado de Educación Primaria en la

competencia resuelve problemas de cantidad. Fuente: Ministerio de Educación del

Perú, 2018.

Evaluando esta competencia, se determinó que los estudiantes presentaron grandes

dificultades para comprender la noción de la fracción como una parte del todo. Dos de las

preguntas propuestas en este tema fueron las mostradas en la Figura 6.

67

Figura 6. Problemas en la competencia resuelve problemas de cantidad. Fuente:

Ministerio de Educación del Perú, 2018.

La Tarea 1 fue resuelta correctamente por el 69,7% de estudiantes. El error

presentado en la Tarea 1 muestra que los estudiantes no logran (1) comprender el concepto

de fracción y los elementos de este, probablemente viendo al numerador y al denominador

de la misma fracción como dos números independientes que no tienen ninguna relación, y

(2) relacionar la representación simbólica de una fracción con su representación gráfica.

La Tarea 2 fue resuelta correctamente por el 22,8% de estudiantes. El error

presentado en esta pregunta muestra las dificultades de los estudiantes para interpretar las

nociones aditivas de las fracciones, aplicando estrategias incorrectas no comprendidas.

Dado que los estudiantes presentan dificultades para interpretar las nociones de

fracciones y la adición de estas, es importante desarrollar estos conceptos mediante

situaciones significativas y representaciones que clarifiquen estos conceptos. Algunas

sugerencias propuestas son:

1. Abordar el concepto de fracciones desde situaciones reales para lograr la

comprensión de su significado y que el estudiante vea que estos temas están ligados a

situaciones reales y no solo a un tema matemático abstracto.

68

2. Plantee situaciones en la que los estudiantes vean que la division del todo en partes

equivalentes o partes iguales se relaciona con el tener áreas o espacios iguales, no formas

idénticas.

3. Presentar actividades gráficas o visuals para ayudar a comprender el concepto de

suma de fracciones que vayan más allá de las formulas matemáticas.

3.2.1.2 Competencia: Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio.

Figura 7. Aprendizajes esperados para el cuarto año de Educación Primaria en la

competencia resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio. Fuente:

Ministerio de Educación del Perú, 2018.

Evaluando esta competencia, se determinó que los estudiantes comprenden

fácilmente las actividades relacionadas al uso de una sola equivalencia gráfica, pero que

presentan muchas dificultades cuando se involucra más de una equivalencia, aunque

tengan material gráfico como soporte.

69

Figura 8. Problemas en la competencia resuelve problemas de regularidad,

equivalencia y cambio. Fuente: Ministerio de Educación del Perú, 2018.

La Tarea 1 presentada en la Figura 8 fue resuelta correctamente por el 65,5% de

estudiantes. El error presentado en la Tarea 1 muestra que los estudiantes tienen

dificultades para interpretar las relaciones de equivalencia expresada gráficamente, no

pudiendo realizar todos los procedimientos numéricos necesarios para poder relacionar los

elementos presentados.

La Tarea 2 fue resuelta correctamente por el 46,7% de estudiantes. El error

presentado en la Tarea 2 muestra que los estudiantes no comprenden las nociones de

equivalencia, presentando errores al realizar más de una equivalencia o relacionándolas de

manera incorrecta.

Dado que los estudiantes muestran dificultad para comprender la noción de

equivalencia, es necesario hacerles llegar estos conceptos mediante la representación y

generalización de regularidades en situaciones cotidianas, tomando en cuenta la edad y el

nivel de desarrollo alcanzado. Algunas de las sugerencias para esto son:

1. Proponer actividades lectivas que incluyan materiales de uso común y familiar para

los estudiantes, como la equivalencia con monedas.

70

2. Plantear tareas con equivalencias arbitrarias a manera de canje que implique el

contacto con objetos físicos.

3. Proponer equivalencias con símbolos o representaciones gráficas.

4. Desarrollar actividades que involucren más de una equivalencia.

3.2.1.3 Competencia: Resuelve problemas de forma, movimiento y localización.

Figura 9. Aprendizajes esperados para el cuarto año de Educación Primaria en la

competencia resuelve problemas de forma, movimiento y localización. Fuente:

Ministerio de Educación del Perú, 2018.

Evaluando esta competencia, se determinó que los estudiantes presentan diversas

dificultades para establecer relaciones entre las propiedades de las figuras geométricas y

sus propiedades de medida.

En la actividad presentada, se vio que el porcentaje de estudiantes que respondieron

esta pregunta adecuadamente fue el 58,1%. Las fallas en este tipo de problemas, muestran

que los estudiantes establecen relaciones incorrectas entre las características propias del

cuadrado y las medidas de este, como el perímetro. Más allá de la enseñanza de fórmulas

memorizadas para atacar este tipo de problemas, la enseñanza de conceptos geométricos

71

debe estar ligada a la identificación del espacio físico y sus propiedades. Algunas

sugerencias específicas son:

1. Tomar en cuenta el nivel de razonamiento alcanzado por los estudiantes. De

acuerdo con Van Hiele, el razonamiento es construido en base a niveles, siendo necesario

el dominar los más básicos para avanzar a los siguientes. Estos niveles son: (1)

visualización (percepción física de la forma de los objetos), (2) análisis (reconocimiento de

las propiedades de los objetos geométricos), (3) ordenación o clasificación (establecer y

relacionar propiedades de las figuras), y (4) deducción formal (construcción de

demostraciones).

2. Proponer actividades claras cuya complejidad vaya aumentando.

3.2.1.4 Competencia: Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre.

Figura 10. Aprendizajes esperados para el cuarto año de Educación Primaria en la

competencia resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre. Fuente:

Ministerio de Educación del Perú, 2018.

Evaluando esta competencia, se determinó que los estudiantes presentan diversas

dificultades para comprender la significancia intuitiva de la probabilidad.

72

Figura 11. Problemas en la competencia resuelve problemas de de gestión de datos e

incertidumbre. Fuente: Ministerio de Educación del Perú, 2018.

Por ejemplo, en la actividad propuesta, un 50,8% de estudiantes respondió

correctamente a la pregunta. Viendo esto, se determina que los estudiantes presentan

dificultades para entender el concepto de posibilidad al compararse diversas situaciones.

1. Desarrollar gradualmente en el estudiante el concepto de probabilidad, ligandolo a

eventos cotidianos que solo se liguen a fórmulas matemáticas una vez comprendidos de

manera intuitiva, los conceptos.

2. Consolidar la comprensión de conceptos de probabilidad mediante la manipulación

de experiencias para realizar el cálculo de las probabilidades.

73

Aplicación didáctica

Planificación de la sesión de aprendizaje

I. Datos informativos

1.1. Área curricular : Matemáticas

1.2. Grado y fecha : Cuarto grado de Educación Primaria

1.3. Unidad : IV

1.4. Sesión : 07

1.5. Horas : 2

1.4. Docente : Darwin Ríos Vásquez

II. Organización de los aprendizajes

Título de la sesión

Conozcamos las fracciones y determinemos las fracciones equivalentes

Competencias Capacidades Indicadores

Actúa y piensa

matemáticamente

en situaciones de

cantidad

Matematiza situaciones

Identifica datos en problemas que

impliquen repartir una cantidad en

forma equitativa, expresándolos en un

modelo de solución con fracciones

usuales con denominadores 3, 6, 5 y 10.

Comunica y representa

ideas matemáticas

Elabora representaciones concretas,

pictóricas, gráficas y simbólicas de las

fracciones como parte de un todo,

fracciones homogéneas y heterogéneas,

fracciones usuales equivalentes

74

III. Secuencia didáctica

Momentos de la sesión de clase

Inicio (20 min)

El docente ingresa al aula de clase y saluda a los estudiantes. Escribe con ayuda de los

estudiantes la fecha del día de hoy en el extremo superior izquierdo para captar la

atención de todos los estudiantes.

Después de esto, el docente recuerda con los estudiantes lo aprendido en la sesión de

clase anterior usando para esto algunas preguntas como: (a) ¿Qué es una fracción? (b)

¿Cuáles son los elementos? ¿Cuál es el numerador y cuál es el denominador? (c) En la

clase pasada se vieron las fracciones con denominadores 2, 4 y 8, ¿cuáles serían algunos

ejemplos? (d) En la clase pasada, tomamos una hoja de color azul, ¿cómo cortábamos a

esta para obtener una mitad? y (e) ¿Cómo podríamos cortar esta hoja para obtener un

cuarto de hoja y un octavo de hoja?

1

2

1

2

1

4

1

4

1

4

1

4

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

El docente anota las respuestas y las ideas de los estudiantes en la pizarra, logrando así

recopilar los conocimientos previos y reforzarlos para poder complementarlos con la

clase del día de hoy.

El docente indica a los estudiantes el título de la sesión de hoy: “Conozcamos las

fracciones y determinemos las fracciones equivalentes” y les dice que es la continuación

de la sesión anterior, usándose ahora las fracciones con denominadores 3, 6, 5 y 10.

75

El docente forma ahora grupos de tres estudiantes y repasa con ellos las normas de

convivencia a seguirse en la clase, como el escuchar y respetar el turno de los

compañeros que se encuentren compartiendo sus respuestas y el participar

continuamente en las preguntas dadas por el docente.

Desarrollo (55 min)

El docente introduce a los estudiantes la situación significativa a considerarse en la clase

de hoy:

El docente discute el problema con los estudiantes y les pregunta qué material

disponible en el salón puede ayudarles a representar los queques. El docente orienta a

los estudiantes a seguir usando las hojas de colores también usadas en la clase anterior,

al ser un material con el que ya se encuentran familiarizados.

Discutido esto, el docente reparte cuatro hojas de colores diferentes (marrón, amarillo,

anaranjado y rojo) para representar cada uno de los queques de diferentes sabores

(chocolate, vainilla, naranja y fresa, respectivamente) a cada uno de los grupos.

El docente indica a los estudiantes que resuelvan la primera actividad de la ficha de

trabajo, en la cual se hace un refuerzo de los conocimientos previos, usando

denominadores 2, 4 y 8. El docente desarrolla con los estudiantes la primera

representación gráfica de un medio de uno de los rectángulos.

1

2

1

2

El docente guía a los estudiantes en el desarrollo de lo que resta de esta primera

actividad. El docente pide a los estudiantes que elijan a uno de sus integrantes para

compartir lo aprendido en esta primera actividad.

Daniel ha comprado cuatro queques rectangulares del mismo tamaño y de

sabores diferentes (chocolate, vainilla, naranja y fresa) y los ha llevado a su casa

para compartirlo con su familia. Su hermana Ana le ha pedido la tercera parte

del queque de chocolate; su papá Bernardo, la quinta parte del queque de

vainilla; su mamá Carla, la sexta parte del queque de naranja y su hermano

Ernesto, la décima parte del último queque. ¿Cómo debe Daniel cortar cada uno

de los queques para poder realizar estas reparticiones?

76

El docente empieza a discutir con los estudiantes lo que se verá en la actividad siguiente,

en la cual se introduce las fracciones con denominadores 3, 6, 5 y 10. Para iniciar, el

docente les indica que tomen la hoja de color anaranjado y les pregunta: (a) ¿Qué

representa en el problema la hoja de color anaranjado? (b) Ahora que sabemos la hoja

anaranjada representa el queque de naranja, recordemos ¿qué integrante de la familia

quería probar este queque y cuánto de este le pidió a Daniel? (c) ¿En cuántas partes

podemos cortar esta hoja para poder obtener la porción que cortaríamos del queque de

naranja? y (d) ¿Cuántas de estas porciones ha pedido la mamá de Daniel?

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

El docente les pide a los estudiantes que grafiquen en su ficha de trabajo esta primera

representación. Les pide a los estudiantes que realicen la misma actividad con las otras

hojas, de acuerdo a lo pedido en el problema. Los estudiantes culminan con hojas de

colores cortadas de la siguiente manera:

1

3

1

3

1

3

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

6

1

10

77

El docente les pide a los estudiantes que identifiquen las porciones que cada uno de los

integrantes ha pedido y que separe estas fracciones. Teniendo todas estas porciones

separadas, les pregunta a los estudiantes: (a) ¿Cuál de todas estas porciones es mayor?

(b) ¿Cuál de todas estas porciones es menor? (c) Si cada porción es una fracción de cada

queque, ¿qué fracción es la mayor y qué fracción es la menor? y (d) ¿Qué representa

cada uno de los queques? ¿Sería correcto indicar que cada queque indica la unidad de la

cual se obtendrán fracciones?

Habiendo logrado que los estudiantes identifiquen las fracciones, las relacionen entre sí

y sean capaces de comprender el concepto de unidad, el docente pide a los estudiantes

que compartan sus conclusiones acerca de lo aprendido entre ellos mismos.

El docente empieza a discutir lo que se verá en la tercera actividad, en la cual se ve el

concepto de equivalencia de fracciones. Para esto, le pide nuevamente a los estudiantes

que junten todas las fracciones hasta formar la unidad (un queque completo), de cada

hoja de color (queques de diferentes sabores).

El docente le pide a los estudiantes que cojan la porción más grande, la cual corresponde

a la del queque de chocolate y les pregunta: (a) Veamos la porción de la hoja color

chocolate, ¿a qué fracción corresponde esta? (b) Ahora miremos las porciones de la hoja

color anaranjado, ¿una porción de esta es igual a la de la hoja color chocolate? ¿Cuántas

porciones necesitamos de la hoja color anaranjado para igualar una porción de la hoja

color chocolate? (c) ¿A qué fracción corresponde la hoja de color anaranjado? y (d)

Entonces, qué podemos concluir con respecto a estas dos fracciones?

De esta manera, el docente logra que los estudiantes relacionen que se necesitan dos

porciones de la hoja color anaranjado (1/6) para igualar una porción de la hoja color

chocolate (1/3). Es decir:

1

6× 𝟐 =

1

3

Encontrando esta primera equivalencia. De la misma manera, el docente le pide a los

estudiantes que encuentren una equivalencia entre las porciones de la hoja color amarillo

y las porciones de la hoja color rosado.

Viendo los resultados, y guiándolos en las dudas que puedan aparecer, el docente les

pide a cada grupo que desarrollen lo indicado en la tercera actividad, en la cual se pide a

los estudiantes que encuentren más relaciones entre estas porciones ya obtenidas.

78

Después del tiempo necesario para que culminen esta actividad, el docente les pide a los

grupos de estudiantes que elijan a un representante, el cual compartirá las conclusiones

de cada grupo con el resto de los compañeros.

El docente toma nota en la pizarra de las conclusiones compartidas y finaliza

uniformizando las ideas compartiendo con la clase las conclusiones de la sesión del día

de hoy: (a) La unidad puede ser dividida en fracciones, o porciones. Si queremos

obtener un tercio del total, podemos lograrlo dividiendo la unidad en tres partes

iguales, y repetir esta actividad para cualquier otra fracción deseada, (b) no todas las

fracciones son iguales, algunas son mayores o menores a otras, y puedo identificar esto

mediante la comparación de cada porción y (c) puedo obtener unas fracciones a partir

de otras usando relaciones de equivalencia.

Cierre (10 min)

El docente les pregunta a los estudiantes si en algún momento han necesitado realizar

este tipo de operaciones en su vida diaria y les pide que compartan su solución con el

resto de sus compañeros.

El docente reflexiona con sus estudiantes acerca de la clase realizada y la importancia de

la clase de hoy en su vida diaria mediante preguntas como: ¿qué he aprendido el día de

hoy? ¿el tema me pareció difícil? ¿cómo puedo usar esto en mi día a día?

79

Ficha de Trabajo

¡Hallemos las fracciones y comparémoslas!

Integrantes:

1. ....................................................................................................................

2. ....................................................................................................................

3. ....................................................................................................................

Hoy aprenderemos a:

a) Hallar fracciones con denominadores 3, 6, 5 y 10.

b) Comparar estas fracciones.

c) Determinar equivalentes entre estas fracciones.

Partiremos de la siguiente situación:

Actividad 1: Conocimientos previos

1. En el siguiente rectangulo pinta con colores diferentes una porción de un medio, otra de

un cuarto y una de un octavo.

Daniel ha comprado cuatro queques rectangulares del mismo tamaño y de sabores

diferentes (chocolate, vainilla, naranja y fresa) y los ha llevado a su casa para compartirlo

con su familia. Su hermana Ana le ha pedido la tercera parte del queque de chocolate; su

papá Bernardo, la quinta parte del queque de vainilla; su mamá Carla, la sexta parte del

queque de naranja y su hermano Ernesto, la décima parte del último queque. ¿Cómo debe

Daniel cortar cada uno de los queques para poder realizar estas reparticiones?

80

2. Mira las siguientes barras de chocolate y pinta un medio de una de ellas, un cuarto de la

otra y un octavo de la última. Finalmente, indica en forma de fracción cuánto has pintado

de cada chocolate.

3. ¿Cuál de estas tres fracciones es mayor? ¿En cuál se pinta una mayor cantidad de

chocolate? Puedes usar los gráficos anteriores para responder esta pregunta.

Actividad 2: Fracciones con denominadores 3, 6, 5 y 10

4. Según el problema, ¿cómo debe de partir Daniel cada queque para poder repartir lo que

su familia le ha pedido?

Chocolate Vainilla

Naranja Fresa

81

5. Según el problema anterior, todos los queques son del mismo tamaño. Dibuja en el

siguiente espacio cuadriculado uno de estos y las porciones que Daniel separará para cada

integrante de su familia.

6. ¿Cuál de estas porciones es la más grande? ¿Cuál es la más pequeña? ¿Qué fracciones

representan cada una de estas porciones y cómo se relacionan estas?

Actividad 3: Equivalencia de fracciones

7. ¿Qué equivalencia podrías encontrar entre las porciones separadas para el queque de

naranja y el queque de chocolate? Usa gráficos.

82

8. ¿Qué equivalencia podrías encontrar entre las porciones separadas para el queque de

fresa y el queque de vainilla? Usa gráficos.

9. ¿Qué equivalencia existe entre las fracciones representadas por estas porciones?

83

Lista de cotejo

N° Nombres y Apellidos

Identifica datos

en problemas

que impliquen

repartir una

cantidad en

forma

equitativa,

expresándolos

en un modelo

de solución con

fracciones

usuales con

denominadores

3, 6, 5 y 10.

Expresa, de

forma oral o

escrita, el uso

de las

fracciones

usuales en

diversos

contextos de la

vida diaria

(recetas,

medidas de

longitud,

tiempo, etc.

Identifica datos

en problemas

que impliquen

repartir una

cantidad en

forma

equitativa,

expresándolos

en un modelo

de solución con

fracciones

usuales con

denominadores

3, 6, 5 y 10.

Elabora

representacione

s concretas,

pictóricas,

gráficas y

simbólicas de

las fracciones

como parte de

un todo

Elabora

representacione

s concretas,

pictóricas,

gráficas y

simbólicas de

las fracciones

como parte de

un todo,

fracciones

homogéneas y

heterogéneas,

fracciones

usuales

equivalentes.

84

Síntesis

En el primer capítulo del presente trabajo se especifica las diversas actividades o procesos

mentales que permitan estructurar el conocimiento provisto durante la enseñanza de las

matemáticas, en puntos a los cuales recurrir al enfrentarse a situaciones problemáticas de

índole matemático, siendo estos procesos la memorización (mediante el cual se absorbe los

conocimientos de forma autómata y mediante la repetición constante), el aprendizaje

algorítmico (mediante el cual se siguen los pasos ya establecidos para ciertos problemas),

el aprendizaje conceptual (mediante el cual se hace hincapié en la comprensión cabal de

conceptos por encima de la única resolución de problemas) y el aprendizaje mediante la

resolución de problemas (mediante el cual los problemas son utilizados para aprender el

proceso algorítmico del tema, la concepción conceptual a abarcar y cómo usar estas

herramientas para resolver un problema práctico). Han sido muchos los estudios realizados

sobre el desarrollo del aprendizaje, encontrándose principalmente dos vertientes

consideradas en este primer apartado: quienes consideran al aprendizaje como un proceso

por asociación y quienes lo consideran como un proceso de reestructuración. En la

primera perspectiva, el aprendizaje es el cambio de conducta que las personas

experimentan cuando estas adquieren algún conocimiento, siendo este cambio una

respuesta asociada a un estímulo ya determinado. En la segunda perspectiva, el aprendizaje

de conocimientos se da mediante la reestructuración de contenidos en la mente de los

individuos.

Si este aprendizaje no es completamente desarrollado, esto se debe a la presencia

de dificultades del aprendizaje, trasfondo teórico que se ve en el segundo capítulo. Las

dificultades del aprendizaje en las matemáticas son parte de lo que se conoce como

trastorno de aprendizaje, y puede ser definido en base a dificultades de aprendizaje en

lectura, expresión escrita y matemática. Estas dificultades pueden tener su origen en

85

factores internos, como las deficiencias perceptuales, memorísticas, cognitivas, entre otras;

o, factores externos, tales como el desarrollo motivacional de la clase o la idea de las

matemáticas como ciencia compleja. Estas dificultades han sido caracterizadas y

tipificadas por diversos estudiosos, siendo lo más conocida la de Kosc, quien divide estas

dificultades en (a) discalculia gráfica, (b) discalculia operativa, (c) discalculia

practognóstica, (d) discalculia verbal, (e) discalculia léxica y (f) discalculia ideognóstica.

La determinación de esta o de cualquier rasgo de estas dificultades, se da mediante

evaluaciones. Estas evaluaciones son de 2 tipos: aquella estandarizadas (incluyen los test

estandarizados y las pruebas informales realizadas en aula) y aquellas nueropsicológias, en

las que las dificultades de aprendizaje se relacionan a una disfunción del sistema nervioso

central. Todas estas permiten establecer una metodología de diagnóstico e intervención.

Lo visto en los dos capítulos iniciales, se complementa con el tercer capítulo, en el

cual se presenta el estado actual del aprendizaje de las matemáticas en el Perú, en el que

las matemáticas son parte central de la formación educativa, por lo que determinar los

logros alcanzados en esta área, así como identificar las mayores dificultades entre los

estudiantes peruanos, es una de las grandes preocupaciones del Estado. La Evaluación

Censal de Estudiantes, siendo la última realizada en el año 2018, arroja datos que dejan ver

las dificultades de los estudiantes en las cuatro competencias, así mismo proponiendo

algunas mejoras que se puedan llevar a cabo en las clases para aumentar la cantidad de

estudiantes que alcancen un alto índice de superación.

86

Apreciación crítica y sugerencias

Garantizar la enseñanza y el aprendizaje adecuado de las ciencias matemáticas a

estudiantes con dificultdes donde puedan lograr competencias y capacidades.

Se sugiere que un estudiante con dificultades de aprendizaje tenga el apoyo

constante por parte de los profesores o tutores en la práctica y en el desarrollo de

habilidades básicas de la lectura y escritura de la aritmética.

Hacer que utilicen herramientas multisensoriales para leer, y más instrucción para

interpretar lo que leen.

Realicen trabajos de manera independiente monitoreados por un docente o tutor en

sus horas libres fuera del tiempo designado para las clases.

Asignarles proyectos de investigación cortos, pues necesitan saber cómo recopilar

información de varias fuentes y cómo presentar dicha información con sus propias

palabras.

Darles el espacio libre necesario para que puedan inventar trabajos útiles y sean

capaces de poder explicar lo inventado y, asimismo, utilizar organizadores gráficos para la

matemática.

Que los profesores fortalezcan las habilidades matemáticas de los estudiantes

relacionándolas con actividades y proyectos de ciencias matemáticas.

Coordinar con el equipo de tutoría, equipo del programa de educación

individualizada (IEP) y otros que la institución educativa disponga, acerca de las

adaptaciones y el apoyo requerido por el estudiante para desarrollar las habilidades

necesarias para lograr un aprendizaje de las matemáticas y otras ciencias.

87

Cuando existe algún tipo de desagrado del estudiante con respecto a una clase, que

haga que este no desee seguir asistiendo a sus clases, es recomendable hablar con él de

buena manera, de tal forma que se le haga entender que la clase es buena para él y que será

de mucha utilidad en algún momento, siendo solo necesario que este se enfoque en su

progreso de aprendizaje.

88

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estudiantes para el aprendizaje de la didáctica de las matemáticas en las

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