VECTORESVECTORES

REPRESENTACIÓN DE FUERZASHay dos tipos de magnitudes: ESCALARES y VECTORIALES

Las magnitudes ESCALARES quedan determinadas mediante una cantidad y su unidad correspondiente:

L (Longitud) = 12’35 mm (Masa) = 5’678 kgd (Densidad) = 3’4 g/cm3

Las magnitudes VECTORIALES necesitan de otras características más:velocidad, aceleración, fuerzas, etc. Por ello, se representan mediante VECTORES (segmentos de recta que están orientados). Encima del símbolo de la magnitud dibujaremos una pequeña flecha para indicar que se trata de una magnitud vectorial:

vr

vr

Fr a

r

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR

Las características de un vector son cuatro:

�MÓDULO

�DIRECCIÓN�DIRECCIÓN

�SENTIDO

� PUNTO DE APLICACIÓN

MÓDULO

El MÓDULO viene dado por la longitud de la flecha. El módulo es proporcional a la intensidad de la fuerza.

Al representar las fuerzas usaremos una escala similar a la utilizada en los mapas, por ejemplo, 1 centímetro en el papel equivaldrá a 1 Newton de fuerza (1 cm:1 N).

3 cm

Escala Þ 1 cm : 2 N

3 cm . 2 N = 6 N

1 cm

DIRECCIÓNLa DIRECCIÓN es la recta sobre la que se aplica la fuerza. Viene expresada por el ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc.

45º

120º

- 100º = 260º- 30º = 330º

!OJO! En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN:

2π rad = 360º; π rad = 180º; π/2 rad = 90º, etc.

SENTIDOEl SENTIDO indica hacia dónde se aplica la fuerza. En una misma dirección existen dos sentidos posibles.

45º

Sentido hacia arriba, hacia la derecha o ascendente

45º

Sentido hacia abajo, hacia la izquierda o descendente

PUNTO DE APLICACIÓNEl PUNTO DE APLICACIÓN es el punto del espacio en que se aplica la fuerza. Esto es importante, pues los efectos que producen las fuerzas dependen en muchos casos del punto de aplicación.

Luna Tierra,Fr

TierraLuna,Fr

FLuna, Tierra = FTierra, Luna

Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero difieren en su PUNTO DE APLICACIÓN.

FUERZA RESULTANTEA menudo ocurre que dos o más fuerzas actúan sobre un

cuerpo. Piensa, por ejemplo, en dos caballos que tiran de un carro. En este caso, cuando dos o más fuerzas actúan a la vez, sus efectos se suman.

En otras ocasiones, los efectos se restan, por ejemplo, dos niños disputándose un paquete de chucherías.

El conjunto de las fuerzas se puede sustituir entonces por El conjunto de las fuerzas se puede sustituir entonces por una sola fuerza llamada FUERZA RESULTANTE.

1Fr

?

COMPOSICIÓN DE FUERZASA continuación estudiaremos la manera de calcular la fuerza

resultante para el caso de varias fuerzas aplicadas en la misma dirección y para el caso de fuerzas aplicadas en direcciones diferentes. Es lo que se denomina COMPOSICIÓN DE FUERZAS.

Vamos a distinguir varias situaciones:a) Misma dirección

a.1) Mismo sentidoa.1) Mismo sentido

a.2) Sentidos contrarios

b) Distinta dirección

b.1) Perpendiculares

b.2) No perpendiculares

c) Paralelas

c.1) Igual sentido

c.2) Sentidos contrarios

Para componer dos o más fuerzas existen dos métodos, aunque no siempre aplicaremos ambos. Son:

Gráfico

Se colocan las fuerzas una a continuación de la otra respetando sus correspondientes direcciones y sentidos (“se transportan”). La resultante será el vector determinado por el punto de aplicación inicial y el extremo del último vector dibujado. Cuando se aplica a dos vectores se le suele llamar también “método del paralelogramo”; para más de dos vectores, “método del polígono”. Seguro que eres capaz de deducir el porqué…

COMPOSICIÓN DE FUERZAS

“método del polígono”. Seguro que eres capaz de deducir el porqué…

Resultante Rr

Numérico

Dependiendo de las direcciones y sentidos de las fuerzas a componer tendremos que sumar los módulos, restarlos o realizar operaciones más complejas.

a) Misma direccióna.1) Mismo sentido: se suman los módulos de los vectores a componer.

1Fr

2Fr

1Fr

2Fr

+ F1r

2Fr

R =r

Numéricamente:R = F1 + F2

a) Misma direccióna.2) Sentidos contrarios: se restan los módulos de los vectores a componer.

1Fr

2Fr

1Fr

2Fr

Numéricamente:R = F1 - F2

+ F1r

2Fr

R =r

b) Distinta direcciónb.1) Perpendiculares: se aplica el método gráfico y usamos el teorema de Pitágoras sobre el triángulo que determinan los dos vectores y su resultante. Obviamente, el triángulo es rectángulo (para los despistados).

2Fr

2FrR

r

1Fr

22

21

2 F F R +=

1Fr

2F

RF sen 2=α

F1

RF2α R

F cos 1=α

1

2

1

2

FF

R / FR / F

cos sen tg ===ααα

1

2

FF arctg =α

b) Distinta dirección

1Fr

b.2) No perpendiculares: se aplica el método gráfico exclusivamente. El método numérico se dejará para cursos más avanzados.

2Fr

Rr

Fr

2Fr

1F 1F

En caso que hubiera que componer más de un vector, lo haríamos sucesivamente, uno a uno:

Resultante Rr

c) Paralelasc.1) Igual sentido (paralelas)

d

Punto de aplicación de la

xd -x

2Fr

Fr

Fraplicación de la

resultante1Fr

2Fr

1Fr

1Fr

2Fr

1Fr

2Fr

Rr

Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante son iguales:

F1 · (d – x) = F2 · xPor otro lado, el módulo de la resultante es la suma de los módulos de las dos fuerzas:

R = F1 + F2

c) Paralelasc.2) Sentidos contrarios (antiparalelas)

d

Punto de aplicación de la

resultante 1Fr

2Fr

1Fr

2Fr

2Fr

1Fr

resultante 1FNuméricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante son iguales:

F1 · (d + x) = F2 · x

Por otro lado, el módulo de la resultante es la diferencia de los módulos de las dos fuerzas:

R = F2 - F1

Siempre se restará la menor a la mayor.

2F

Rr

2Fr

1Fr

xd

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASDescomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente dos) cuya composición nos de el vector inicial. Esencialmente, es el proceso contrario al de la composición. Veamos algunos ejemplos:

1Fr

2Fr

Fr

Aunque hay otras posibilidades:1Fr

Fr

Fr

1F

2Fr

Y otra más:

Fr

Fr

1Fr

2Fr

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASEntonces, ¿cuál es la forma correcta de descomponer un vector? Pues todas. En realidad hay infinitas maneras de descomponer un vector y todas son correctas pues cumplen la definición de descomposición vectorial.Nosotros vamos a estudiar una llamada DESCOMPOSICIÓN NORMAL, en la que los vectores obtenidos (componentes), son perpendiculares entre sí.

Fr

x

yFr

yFr

Fr x

Fr

yFr

xFr

y

De forma que…

2y

2x

2 F F F +=

FF

α sen y=

Fx

FFyα

xF xF

Fx = componente x

α F·senF y =

FF cos x=α α F·cosF x =

Fy = componente y

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASVamos a ver ahora una aplicación práctica de la descomposición de vectores: el desplazamiento sobre un plano inclinado.

Nos centraremos, concretamente, en la descomposición de la fuerza-peso. Esta fuerza tiene dos efectos sobre el cuerpo que se desplaza: lo mantiene en contacto con la superficie del plano inclinado y lo empuja hacia abajo.

Cada uno de estos dos efectos es debido a las dos componentes de la fuerza-peso:

yxPr P

r

xPr

P

α

x

xPr

yPr

Pr

α

PP sen X=α α P·senP x =

PP

cos y=α α P·cosP y =

Py = componente normal del peso

Px = componente tangencial del peso

yPr

Pr

yPr

α αyP

xPα

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

Fr

N 3.613 3 2F F F 222y

2x ≈=+=+=

En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos usando coordenadas cartesianas:

y

x1 2 3 4 5 6

54321

(2,3) F =r

α

1.523

FF

tgx

y ===α

)F,F( F yx

rrr=

xFr

yFr

(2,0) Fx =r

(0,3) Fy =r

56.3º 1.5 arctg ==α

1Fr

y

x1 2 3 4 5 6

54321

2Fr

(2,3) F1 =r

(4,1) F2 =r

α

Para componer dos vectores a partir de sus cordenadas cartesianas:

Rr

(4,1) (2,3) R +=r

21 FF Rrrr

+= (6,4) R =r

0.6764 tg ≈=α 33.7º 0.67 arctg ≈=α

N 7.252 46F F F 222y

2x ≈=+=+=