Departamento de Artes Plásticas

y Dibujo

DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO

TEMA 4. TANGENCIAS

TEMA 4. TANGENCIAS.

Los OBJETIVOS generales que se pretende logren los alumnos al acabar el tema son:

Conocer las propiedades en las que se fundan los trazados de las tangencias, así como resolver y construir adecuadamente los problemas básicos de tangencias, valorando el método de razonamiento y su acabado y presentación. Cuestiones básicas son: saber poner y señalar correctamente los puntos de tangencias y los centros de las circunferencias tangentes, así como realizar correctamente los enlaces y las uniones.

CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS.

1º BACHILLERATO

TangenciasMetodologíaPropiedadesTangencia entre rectas y circunferenciasTangencia entre circunferenciasNociones y aplicación de la potencia y eje radical.Casos especiales y aplicaciones en el dibujo técnico.EnlacesPropiedadesConstrucción de enlaces.

2º BACHILLERATO

sPropiedades de las tangencias.sEnlaces, planteamiento y aplicación.sTrazado de circunferencias sin conocer el radio.sEstudio sistemático de tangencias: circunferencias que pasan o son tangentes a...sTres puntos.sDos puntos y una recta.sDos rectas y un punto.sTres rectas.sDos puntos y una circunferencia.sUn punto, una recta y una circunferencia.sDos rectas y una circunferencia.sUna recta y dos circunferencias.sUn punto y dos circunferencias.sTres circunferencias.

TANGENCIAS

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS:

1. Si dos circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia se encuentra en la recta que une los centros. (figura 1)

T

O1O2

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES

Cuando queramos dibujar una circunferencia que sea tangente a otra circunferencia y que además pase por un punto de tangencia de esta última,lo que tenemos que hacer es unir el centro de la circunferencia con el puntode tangencia y prolongar.En esta recta estarán todos los centros de las circunferencias (infinitas) que son tangentes a la primera.

T

O1

2. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto detangencia es perpendicular a la tangente.

Cuando queramos hallar una circunferencia que sea tangente a una recta porun punto de tangencia de ésta lo primero que tenemos que hacer es levantar una perpendicular por este punto a la recta.

T

O1

r90º

T

t t

3. Recordemos que una mediatriz es la recta de todos los puntos que equidistande otros dos (extremos de un segmento). Por lo tanto el centro de cualquier circunferencia que pase por dos punto está en la mediatriz del segmento que lo forman.

figura 1

figura 5

figura 2

figura 3

figura 3

figura 4

figura 4

T

O1

O2

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES

Se pueden hacer exteriores o interiores.

T

P

Mediatriz PT

figura 5

figura 2

4. El centro de cualquier circunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz del ángulo que lo forman.

T

O1

r

t

figura 6

figura 6

T

P

O1

Aplicación de los principios anteriores en un caso de tangencias:

T

P

O1

Primer paso

Segundo paso

Mediatriz PT

- Circunferencia tangente a una circunferencia que pase por un punto T detangencia de ésta y pon un punto P exterior. figura 7

figura 7

1. Se aplica la propiedad 1: se une el centro O1 con el punto de tangencia T2. Se une P con T y se halla la mediatriz de PT. Donde corte la mediatrizcon la primera recta estará el centro de la circunferencia buscada.

ENLACES: Es la unión de varias curvas tangentes entre sí o bien curvas conrectas, creando un enlace continuo o curva continua.

O1 O2

O3

O1

r

T T

O1O2 = r1+r2O1O2 = r1-r2

Posiciones relativas de recta y circunferencia.

O1r

t

Exteriores

T

O1

rt

Tangentes

O1r

t

Secantes

A

B

figura 7

Posiciones relativas de dos circunferencias.

O1

O2

Exteriores

r1

r2O1r1

O2r2

Secantes

O1r1

O2r2

Interiores

r1O

r2

Interiores

Posición relativa rectas y circunferencias.

Nombre alumno

TANGENCIAS

Fecha

Nombre láminaN. lámina

Curso:

Nota:

TANGENCIAS: Dos o más figuras geométricas son tangentes cuando únicamente tienen UN PUNTO EN COMÚN.Los casos que nosotros vamos a estudiar son entre circunferencias o entre circunferencias y rectas.La construcción de tangencias sirve, básicamente, para diseñar objetos, figuras o planos donde intervengan curvasrealizadas con compás.

joyas

instrumental

arquitectura

muebles

Poleas

juguetes

juegos

grifos

encadenados

objetos industriales

ganchos

1.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES EXTERIORES a la dada y entre ellas.

3.- Dibujar las circunferencias de r = 12 mm., TANGENTES a la dada y que pase por el PUNTO P.

P O1

4.- Circunferencias tangentes a otra de r = 18 mm. dada,que pase por un punto P exterior y por un punto de tangencia T.

T

5.- Hallar las circunferencias tangentesCOMUNES EXTERIORES de r= 12 mm., a las circunferencias dadas O1 y O2.

O1

P

O1

O1

6.- Hallar las circunferencias tangentesCOMUNES INTERIORES de r= 35 mm.,a las circunferencias dadas O1 y O2.

Nombre alumno

TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS

Fecha

Nombre láminaN. lámina

Curso:

Nota:

O1

O1

R = 23 mm

2.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES INTERIORES a la dada y entre ellas.

R = 32 mm

R = 18 mm

El radio de la circunferencia que se busca se sabrá cuando se acabe el ejercicio.

O1= 10 mm O2 = 15 mm O1-O2 = 40 mm

O2

O1= 10 mm

O1-O2 = 30 mm

O2 = 15 mm

O2

1.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES EXTERIORES a la dada y entre ellas.

3.- Dibujar las circunferencias de r = 12 mm., TANGENTES a la dada y que pase por el PUNTO P.

P O1

4.- Circunferencias tangentes a otra de r = 18 mm. dada,que pase por un punto P exterior y por un punto de tangencia T.

T

5.- Hallar las circunferencias tangentesCOMUNES EXTERIORES de r= 12 mm., a las circunferencias dadas O1 y O2.

O1

P

O1

O1

6.- Hallar las circunferencias tangentesCOMUNES INTERIORES de r= 35 mm.,a las circunferencias dadas O1 y O2.

Nombre alumno

TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS

Fecha

Nombre láminaN. lámina

Curso:

Nota:

T1

T2

O1

O2

O3

T1

T2

O1

O2

O3

R = 23 mm

R = 10 mm

2.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES INTERIORES a la dada y entre ellas.

R = 32 mm

R = 10 mm

R = 18 mm

T1

T2

O2

O3

El radio de la circunferencia que se busca se sabrá cuando se acabe el ejercicio.

O1= 10 mm O2 = 15 mm O1-O2 = 40 mm

O3

O2

O4

O1= 10 mm

O1-O2 = 30 mm

O2 = 15 mm

O2

O3

O4

1.-Dibuja la recta r tangente a la circunferencia O1 por el punto dado de tangencia (T).

2.- Dibuja la circunferencia de radio 13 mm. quesea tangente a la recta dada y que pase por elpunto T dado.

3.- Dibuja las rectas tangentes a la circunferencia 01dada y que pasen por P

P O1

4.- Dibuja la circunferencia de radio 15 mm. que sea tangente a las rectas que se cortan dadas.

5.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES EXTERIORES a las dos circunferencias dadas..

O1

O1

O2

TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS

Nombre alumno

T

O1

T

6.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNESINTERIORES a las dos circunferencias dadas..

Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

O2

O1= 14 mm O2 = 23 mm O1= 10 mm O2 = 22 mm

1.-Dibuja la recta r tangente a la circunferencia O1 por el punto dado de tangencia (T).

2.- Dibuja la circunferencia de radio 13 mm. quesea tangente a la recta dada y que pase por elpunto T dado.

3.- Dibuja las rectas tangentes a la circunferencia 01dada y que pasen por P

P O1

4.- Dibuja la circunferencia de radio 15 mm. que sea tangente a las rectas que se cortan dadas.

5.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES EXTERIORES a las dos circunferencias dadas..

O1

O1

O2

TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS

Nombre alumno

T

O1

T

6.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNESINTERIORES a las dos circunferencias dadas..

Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

O1

O1

15 mm

15 mm

O2

T1

T2

T3

T4T1

T2T3

T4

O1= 14 mm O2 = 23 mm O1= 10 mm O2 = 22 mm

1.-Dibujar una circunferencia tangente a la recta r y quepase por el punto P. (Circunferencia que pasa por 2puntos)

TANGENCIAS III

Nombre alumno

T

Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

P

2.- Circunferencias tangentes a una recta r dada, quepasan por un punto P y que tiene de radio 20 mm.

P

4.- Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectasr y s dado el punto de tangencia T en una de ellas.

T

3.- Hallar las circunferencias tangentes a una recta ry que pasan por dos puntos dados A y B. (aplicación deeje radical)

A

B

r

5.- Dibujar las circunferencias tangentes a O1 por elpunto de tangencia dado T y a la recta r.

6.- Representar las circunferencias de radio 20 mm.tangentes comunes a la circunferencia y a la recta dadas.

r r

r

t

T

r

o

r

o

1.-Dibujar una circunferencia tangente a la recta r y quepase por el punto P. (Circunferencia que pasa por 2puntos)

Nombre alumno

T

Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

P

2.- Circunferencias tangentes a una recta r dada, quepasan por un punto P y que tiene de radio 20 mm.

P

4.- Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectasr y s dado el punto de tangencia T en una de ellas.

T

T2

T1

3.- Hallar las circunferencias tangentes a una recta ry que pasan por dos puntos dados A y B. (aplicación deeje radical)

A

B

T

Tr

5.- Dibujar las circunferencias tangentes a O1 por elpunto de tangencia dado T y a la recta r.

r r

r

t

T

r

6.- Representar las circunferencias de radio 20 mm.tangentes comunes a la circunferencia y a la recta dadas.

r= 20

h=

20

o1 o2o1

o1

o2

o1

o2

o1

o2

o

oo1 o2

Habrían dos resultados más al otro extremo de la circunferencia O

r

TANGENCIAS III

1.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, dadossus respectivos radios.

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

TANGENCIAS IV

r1

r2

r3

2.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, conocidos sus centros respectivos.

o1

o2

o3

3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentesinteriores a los lados de los ángulos de los vértices delpentágono.

3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentesinteriores a los lados de los ángulos de los vértices delpentágono.

5.- Dadas las tres rectas r, s y t que se cortan entre sí,trazar una circunferencia tangente común a las tres.

6.- Dibuja la circunferencia que es tangente a la recta r,pasa por el punto P que está en la recta t y además tiene el centro en t.

P

r

t

o3

r

t

s

1.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, dadossus respectivos radios.

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

o1

TANGENCIAS IV

o2

o3

r1

r2

r3

r2

r1r1

r3r3

r2T

T

T

2.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, conocidos sus centros respectivos.

o1

o2

o3T

T

T

3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentesinteriores a los lados de los ángulos de los vértices delpentágono.

o´

o

3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentesinteriores a los lados de los ángulos de los vértices delpentágono.

o´

5.- Dadas las tres rectas r, s y t que se cortan entre sí,trazar una circunferencia tangente común a las tres.

o

T

T

T

6.- Dibuja la circunferencia que es tangente a la recta r,pasa por el punto P que está en la recta t y además tiene el centro en t.

P

o

T

r

t

o3

r

t

s

1.- Dibujar la circunferencia tangente a dos circunferencias O1 y O2, dado el punto de tangencia de una de ellas.

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

O1

O2

T

TANGENCIAS V

2.- Dadas las rectas r y t y el punto P, dibujar las circunferencias tangentes a las rectas r y t y que pasen por P.

P

r

s

1.- Dibujar la circunferencia tangente a dos circunferencias O1 y O2, dado el punto de tangencia de una de ellas.

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

TANGENCIAS V

O1

O2

O3

O4

O5

O6

T

T

T

2.- Dadas las rectas r y t y el punto P, dibujar las circunferencias tangentes a las rectas r y t y que pasen por P.

P

r

s

P

O1

T1T2

O2O3

T3

T4

1.- Dibuja la circunferencia tangente exterior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

TANGENCIAS VI

O1

T

1.- Dibuja la circunferencia tangente interior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.

O1

Tr

r

N

M

O

1.- Dibuja las circunferencias tangentes a la circunferencia dada O y que pase por los puntos M y N

1.- Dibuja la circunferencia tangente exterior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

TANGENCIAS VI

O1

T

R

R

T

1.- Dibuja la circunferencia tangente interior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.

O1

T

R

r

r

RT

N

M

P

Q

K

O

A

B

m

O1

O2

1.- Dibuja las circunferencias tangentes a la circunferencia dada O y que pase por los puntos M y N