Dinámica del Continuum Espacio-Materia

Eduardo López Sandoval

Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas, Rua Dr. Xavier Sigaud, 150

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Resumen Este ensayo reflexiona sobre el Universo en su más profunda esencia analizando la

naturaleza del Espacio, Materia y Tiempo, considerándolos una unidad indivisible en evolución. Es considerado que éste desarrollo, por lo tanto, determina la dinámica de la materia en el espacio, o por el contrario, determina su evolución dinámica de un

Universo sin principio ni fin, e ilimitado. El objetivo es construir una Cosmología en su sentido más profundo: más metafísico.

Sólo se cree una teoría el científico que la ha concebido; en cambio, menos el

propio experimentador, todos tienen fe en un resultado experimental.

Albert Einstein

Introducción La comprensión del universo, que estudia la cosmología, en su significado más profundo, es el estudio del universo como un todo, como la totalidad de los fenómenos en el espacio y el tiempo; tiene que ver con la comprensión que tenemos de las cantidades físicas fundamentales, y los principios fundamentales que la rigen. Esto es, de su metafísica en el sentido dado por Aristóteles como el estudio de los constituyentes básicos del mundo –Espacio, Tiempo, Materia, etc. [1]. Siempre que ha habido un cambio a una concepción más correcta de estos, nos acercamos a una comprensión más aproximada de la realidad del universo. La descripción que damos de estas cantidades físicas fundamentales está relacionada con la descripción de su dinámica. En la actualidad existen dos posturas contrapuestas en cuanto a la descripción metafísica del universo: 1) como un objeto abstracto (Idealismo) o, 2) como un objeto concreto (Realismo o Materialismo); la diferencia filosófica entre estos, es que el objeto

abstracto no tiene existencia en el espacio, y que tampoco tiene poder causal1. Estas dos posturas o visiones antagónicas del mundo están representadas por la Mecánica Cuántica (MC) y la Relatividad General (RG). En el primer caso, está la visión del universo que nos ofrece la MC, de acuerdo a la interpretación de Copenhague, donde la causalidad y el determinismo clásico son sustituidos por la función de onda probabilística de la posición de las partículas, obtenida de la ecuación de Schroedinger. Sin embargo ha existido un grupo (aunque pequeño) contrario a ésta interpretación con Einstein, de Broglie, Schrodinger, Bohm, etc. Que creen en un universo causalista, donde las partículas siguen una trayectoria en el espacio físico, y no en un espacio matemático abstracto, como en la anterior interpretación. Einstein lo resumió bien en su famosa frase: “Dios no juega los dados con el Universo”. En cuanto a la segunda postura está la Relatividad General, aunque maneja algunos conceptos complejos como la curvatura cuatridimensional del espacio-tiempo, sus principios son más cercanos a la experiencia directa de cantidades físicas cuantificables, o de manera indirecta con sus efectos. Aquí sí es posible tener una imagen o visión física del mundo (de acuerdo a la idea que expresa Berkson en su libro [1]). Con esta teoría, Einstein da su visión de un Universo causalista y continuo. Estas dos posturas están en pugna por mostrar cual es la mas correcta en la descripción del Universo. Es Descartes el primero que intenta explicar el Universo describiendo una dinámica de los cuerpos (aunque no la matematiza), que se hace necesario discutir la esencia del espacio y la materia para la comprensión de la interacción entre la materia y su desplazamiento por el espacio. El propone un universo lleno de un fluido etéreo. Su vacío no era vacío: todo el espacio era llenado con la materia del éter que remolina en vórtices grandes y pequeños y produce lo que llamaríamos los efectos gravitacionales [2]. La Dinámica Newtoniana aunque logra una descripción matemática del movi-miento de los cuerpos terrestres y celestes, no profundiza en la esencia de la gravedad; cuando Newton dice “Hipótesis non fingo” (no invento hipótesis), reconoce que no tiene una explicación para la naturaleza de la Gravedad. Aunque sí define al espacio y tiempo como absolutos y universales, independientes entre sí, y de la materia que se desplaza por éste sin afectarla, donde la materia interactúa entre sí con una fuerza que actúa a distancia de manera instantánea, sin necesidad de ninguna intermediación de un medio, de acuerdo con su ley de fuerzas gravitacional [3]. El propone además tres leyes para la dinámica de la materia con las que consigue describir el universo con gran aproximación matemática, aunque sin profundizar más en la naturaleza del espacio y tiempo. Posteriormente Coulomb obtuvo una ecuación similar para la interacción de las cargas eléctricas inspirándose en la teoría de Newton. Este tipo de teoría o concepción del espacio se le denomina como del continente, o contenedor, porque ésta solo representa un escenario pasivo (no interactúa con la materia, aunque está lleno de una sustancia etérea) donde se realizan los eventos

1 Abstract Objects, article by Gideon Rosen in the Stanford enciclopedia of philosophy

http://plato.stanford.edu/entries/abstract-objects/

dinámicos, con un tiempo que transcurre de manera similar, e independiente de ellos, en cualquier parte del Universo [4]. Leibniz se opuso a la idea de un espacio y tiempo absolutos, argumentando que éstos solo existen por su relación entre los distintos objetos del universo. Con esto propuso una idea abstracta del universo, con lo que supone que el espacio es discreto, discontinuo. A este tipo de universo se le conoce como relacional [4]. Weber generaliza la ley de interacción gravitacional de Newton, al incluir en su formula la velocidad entre los cuerpos. El propone su ley sin explicar porque debe influir la velocidad en la interacción entre los cuerpos. El aplica su ley a la interacción entre las cargas y consigue deducir con ella las ecuaciones del Electromagnetismo, actualmente conocidas como de Maxwell [5]. Según Webber, el potencial, del cual surge esta fuerza, es:

2

2

0

11

4 2

i j ij

ij

q q VU

r c

(1)

donde ijr es la posición relacional de dos partículas en movimiento y ij

ij

drV

dt es su

velocidad relacional.

Gerber, por otra parte, propone una ley parecida, pero deducida de la interacción, o potencial retardado de los cuerpos. Aunque tampoco explica la razón para este tipo de interacción, ni la naturaleza de esta señal que viaja con la velocidad de la luz [6]. Su potencial, que lo aplica para explicar la precesión del perihelio de mercurio, es:

c

Vr

mmU

ijij

ji

1

1 (2)

donde ijr es la posición relacional del planeta mercurio y el sol y ij

ij

drV

dt es su

velocidad relacional. Faraday descubre la ley de inducción electromagnética. Para poder explicar éste fenómeno el supone la existencia de un campo, en el que las interacciones entre las cargas electricas es por transmisión contigua a través del espacio en que está contenido. El también propone que estos son generados por campos de fuerzas en cuyo centro están las cargas eléctricas, sin especificar exactamente que son estas fuerzas, ni proponer ningún modelo matemático. Maxwell toma el concepto de campo de Faraday, y se apoya en la idea de Descartes de un espacio lleno de Éter, que le da esencia física al campo, y de aquí él desarrolla un modelo matemático con el que consigue sintetizar el comportamiento de los fenómenos electromagnéticos en unas ecuaciones que llevan su nombre, y cuyo éxito es coronado

con la descripción física de la luz. Se siguió manteniendo la idea de un espacio y tiempo absoluto [1]. Einstein, en desacuerdo con el hipotético éter, e influenciado por Mach, discordó con el concepto de Espacio y Tiempo absolutos independientes de la materia, y propuso, primero, un sistema unificado Espacio-Tiempo, con los cuerpos materiales en movimiento relativo uniforme entre ellos, desechando la idea de la existencia de cualquier referencial absoluto (incluido el éter). Esta teoría es conocida como relatividad especial, aunque luego fue generalizada para sistemas con aceleración, que supuso que eran equivalente a sistema de referencia inercial pero en presencia la fuerza de gravedad, en su Principio de Equivalencia. Su Teoría de la Relatividad General supone un Espacio-Tiempo cuatro-dimensional (con el espacio como una cuarta dimensión espacial) cuya curvatura se ve influenciada por la presencia de masa, y que a su vez influencia la trayectoria de los cuerpos. En sus propias palabras [7]: When forced to summarize the general theory of relativity in one sentence: Time and space and gravitation have no separate existence from matter. ... Physical objects are not in space, but these objects are spatially extended. In this way the concept ‘empty space’ loses its meaning. ... Since the theory of general relatively implies the representation of physical reality by a continuous field, the concept of particles or material points cannot play a fundamental part, ... and can only appear as a limited region in space where the field strength/energy density are particularly high.

Una postura alternativa propuesta recientemente por A. K. T. Assis es su teoría basada en la Mecánica Relacional, inspirada en la idea de Leibniz de un espacio relacional, junto con la idea de Mach sobre la inercia de los cuerpos causada por la masa de todo el universo. En esta obra, él ataca las principales bases de la Relatividad Especial donde dice que la dinámica de los cuerpos es causado por la interacción entre los cuerpos y no por el sistema referencial en el que se cuantifica. Aquí explica que no importa que la ecuación o ley tenga distinta forma en distinto referencial, siempre y cuando describa cuantitativamente igual el mismo fenómeno [8]. Además, Assis utiliza la ley de fuerzas de Weber para cuantificar la interacción entre los cuerpos [5].

Dinámica del continuum Espacio-Materia

Nuestra impresión del Universo es que éste es continuo. La mayor evidencia hasta ahora podría ser la existencia de los campos de la materia, tanto eléctrico cómo gravitacional. Aunque la Teoría de la Relatividad General (TRG) considera un espacio-tiempo (3+1) continuo, se supone que éste contiene a la materia y que esta pliega al espacio-tiempo, tal como una bola en una tela cuatridimensional, donde la materia influye al espacio, y su vez el espacio influye el movimiento de la materia.

En nuestro modelo hipotético suponemos una unidad indivisible, una continuidad dinámica del espacio-materia, y sin frontera. También suponemos que el espacio tiene sólo tres dimensiones espaciales, sin dimensión temporal, con el tiempo es causado por la dinámica propia del espacio-materia, con lo que consideramos el movimiento de los cuerpos como una cantidad física fundamental, y al tiempo como un subproducto de éstos. Aquí estamos considerando a la materia como el mismo espacio, pero plegado o con una tensión espacial mayor, que a partir de su centro, a cierta distancia radial, decae en el espacio por la conocida propiedad del inverso del cuadrado de la distancia. Esta ultima propiedad como resultado de la distribución de la tensión en un espacio tridimensional, como es el caso de la luz [9]. Es otra concepción metafísica del Universo, del espacio-materia, como “sustancia elemental de la que se constituyen todos los objetos físicos” y en movimiento. Aquí ninguno es más fundamental, y ambas están en una interacción dinámica perpetua. Aunque la diferencia entre espacio y materia podría considerarse de grado o nivel de tensión, y considerar como explica Mario Bunge, que “todo lo que es parte del mundo físico es un trozo de espacio, y toda propiedad sustancial es propiedad de un trozo de espacio. Por consiguiente, cualquier cosa física ha de ser explicada en términos espaciales, sean los vórtices de Descartes, los montículos del espacio de Clifford o los agujeros de gusano (wormholes) de Wheeler” [4]. Aquí la materia, el campo eléctrico, magnético o gravitacional son expresiones del mismo espacio con diferente grado o nivel de tensión y/o dinámica, y a distinta escala. Nuestro modelo es más parecido al de Faraday, o los ya mencionados anteriormente de Descartes, Clifford o Wheeler. Difiere del de Einstein porque él hizo una distinción, aunque sutil, entre espacio-tiempo y materia; además propuso una ecuación para describir el Universo, pero que nosotros consideramos que no es posible y no es correcta, ya que no tiene sentido considerar el tiempo como otra dimensión al mismo nivel de naturaleza de las espaciales. Además, la curvatura del espacio es solo posible encontrar en las superficies, no para los volúmenes, es decir no para el espacio tridimensional. En el caso de la TRG se define de manera abstracta a la superficie curva tridimensional de un volumen cuatro-dimensional del cual no tenemos forma de probar su realidad, y que consideramos valido sólo como una idea matemática. Además, las ecuaciones de Einstein describen con sus ecuaciones tensoriales, cómo si cada punto del espacio fuera un centro de tensión, tal como es el caso en su aplicación de los cuerpos elásticos o los líquidos, y no solamente en los lugares del espacio donde existe materia o donde está concentrada. Esto no es posible, ya que está describiendo una transición en un sistema continuo en una zona con una singularidad en el centro de cada particular o distribución de éstas. Otro punto en su contra es que las ecuaciones tensoriales resultan muy complicadas de resolver inclusive para solo dos partículas. Aunque si es posible su aplicación para sistemas unitarios y continuos, cómo en los casos de hoyos negros, o estrella de neutrones, donde en estos cuerpos la tensión es para cada punto de su volumen, y puede ser tratada de manera similar a un cuerpo continuo o elástico. En conclusión, no creemos que sea posible describir el Universo en toda la

complejidad de su estructura con esta ecuación, tanto por su dificultad técnica, como por no corresponder a un modelo del universo real, según nuestra opinión. De acuerdo con un trabajo previo, propusimos un universo estático: infinito, eterno y auto sustentable, con centros de rotación en equilibrio entre sí [10]. Un universo homogéneo y en equilibrio, que aunque a escala de las galaxias existen grandes eventos como nacimientos o muertes de estrellas y hoyos negros, a escala global no sufre modificación en promedio. En un universo así no es necesaria una ecuación de su dinámica, ya que a nivel global no hay principio ni fin: no hay evolución global. Lo que si es necesarios encontrar son los principios fundamentales que ayuden a explicar y le den fundamento a las leyes locales del universo, y que expliquen su evolución, y el porque a nivel global el Universo permanezca homogéneo e inmutable. Entonces, para nuestro modelo del Universo no es necesaria una ecuación global. Lo mas cercano a una ecuación de la totalidad del Universo podría ser la Ecuación de Navier-Stokes (NSE), ya que se deducen del principio de continuidad, y que describen el transporte conservativo de alguna clase de cantidad, que en el caso de ésta ecuación se refiere a la masa, energía y momento, los tres principios universales de conservación que se tienen que respetar en la descripción del Universo a cualquier escala. Aunque su deducción se realiza en el transporte de una cantidad neta de un sistema local cerrado por su superficie que la delimita. Una nueva cosmología requerirá de Principios Universales, más que de ecuaciones del Universo, de los cuales se puedan deducir las leyes locales. La NSE tiene como caso especial la segunda ley de Newton, y también de acuerdo a Marmanis [11,12], se pueden deducir las ecuaciones de Maxwell con un término de viscosidad extra, tomando como analogía del potencial una relación de la presión que depende de la densidad, y la velocidad del fluido al cuadrado. Entonces, aplicando los fluidos incompresible como analogía de nuestro modelo del universo, ésta sólo alcanza a describir que el universo es un sistema continuo, con las particularidades o diferencias de que ciertas zonas del universo que estudiamos existen singularidades que representan la carga o la masa de la materia, y que, como ya explicamos, la tensión que producen decae como el inverso del cuadrado de su distancia. La matemática tensorial de la NSE no describe éste comportamiento, como ya explicamos antes, y por lo tanto tendremos que buscar otra forma de modelarlo. Por otra parte, en la Mecánica Clásica de Newton al campo gravitacional se le dio una interpretación física cómo una fuerza que actúa a distancia de manera instantánea; sin embargo al potencial gravitacional hasta ahora no se le ha dado ningún significado físico. En el Electromagnetismo el campo eléctrico sí se ha considerado una cantidad física, pero el potencial no. Al potencial en ambos casos se le ha usado como una técnica matemática útil para obtener una solución más simple y mas fácil, en virtud de que las ecuaciones a resolver son de tipo escalar. Newton no consideró al potencial con una realidad física porque suponía que las interacciones eran instantáneas, y no era necesario un campo intermediario. Sin embargo en el electromagnetismo, en la ley de Coulomb o ecuación de Poisson si se consideró que la interacción eléctrica viaja por el espacio, porque ayudo a describir el fenómeno de la onda electromagnética.

En la teoría electromagnética, el potencial de Liénard-Wiechert (LW) describe los efectos de un potencial escalar y vectorial, de cargas eléctricas en movimiento, cuya interacción tiene un tiempo retardado de acuerdo a la distancia y que viaja a la velocidad de la luz. El efecto de estos potenciales se ha interpretado como transmisión de información, aunque no explican que es lo que físicamente se trasmite, y como se transmite. Lo que sí queda claro, es que los efectos de las cargas no se pueden describir cómo un efecto de acción a distancia. En el caso del potencial de Gerber [13], que es de tipo Weber [5] y que incluye la velocidad de los cuerpos que interaccionan, de acuerdo a una nueva interpretación desarrollada por Jaume Gine [14], consigue explicar físicamente que éste es un potencial retardado de la interacción gravitacional, pero con doble efecto, yendo del emisor al receptor y de vuelta [14]. La importancia de éste potencial es que consigue cálculos exactos al corrimiento del perihelio del planeta Mercurio [14], y la deflexión de la luz que pasa cerca del sol [15], similares a los resultados obtenidos con la Relatividad General, pero basados en conceptos y matemática totalmente distinta. Estos mismos resultados se pueden obtener con el potencial de Weber pero ajustando un parámetro [16]. De hecho, estos potenciales se pueden interpretar cómo un caso particular del de potencial de LW, pero con la diferencia que en éste ultimo se considera la orientación de la posición y las velocidades vectoriales de las partículas con respecto a un sistema de referencia, y en cambio en el potencial de Gerber o Weber la interacción de las partículas es de tipo relacional [5, 8]. La interpretación física que damos a este tipo de potencial es que este efecto del tiempo retardado por las partículas en movimiento es similar al efecto Doppler por la acumulación o rarefacción de la “señal” del potencial entre éstas [17]. Con esto se podría intentar explicar físicamente porque usando el potencial de Gerber se obtienen resultados correctos para la deflexión de la luz y el corrimiento de perihelio de Mercurio. Esto porque al considerar esta corrección a los cálculos clásicos tenemos que tomar en cuenta este efecto Doppler causado por el movimiento relacional entre el planeta y el sol, que al reflejar sus ondas de su potencial del planeta en el sol, y cuyo efecto poco afecta a éste debido a su gran masa, pero la onda reflejada sí es significativo para causar la precesión. Con esto se podría intentar explicar físicamente porque usando el potencial de Gerber se obtienen resultados correctos para la deflexión de la luz y el corrimiento de perihelio de Mercurio. Esto porque al considerar esta corrección a los cálculos clásicos tenemos que tomar en cuenta este efecto Doppler causado por el movimiento relacional entre el planeta y el sol, que al reflejar sus ondas de su potencial del planeta en el sol, y cuyo efecto poco afecta a éste debido a su gran masa, pero la onda reflejada sí es significativo para causar la precesión. De manera similar al potencial escalar, se ha considerado que el potencial vectorial también tiene realidad física de acuerdo a la interpretación hecha del efecto Aharonov-Bohm (EA-B) [18]. Para una reinterpretación del EA-B y que abona detalles y

matemática a nuestra teoría ver el Anexo A: Hidrodinámica Cuántica y el efecto Aharonov-Bohm. Finalmente, y de acuerdo a todo esto y más argumentos que daremos posteriormente, nosotros proponemos como hipótesis que los potenciales que nos podrían describir de mejor manera la dinámica del Continuum Espacio-Materia son los que se obtienen con las soluciones generales de las Ecuaciones de Maxwell para el potencial escalar y vectorial (potenciales de LW) para las partículas con carga q o masa m con interacción relacional (aqui solo lo expresamos con m, mas es indistinto):

1

( , ) ( )

(1 )r

r t q mv

rc

y ( )

( , )

(1 )r

q m vA r t

vc rc

(3)

donde r es la distancia relacional entre dos partículas, vr su velocidad relacional y v velocidad de rotación de la partícula que genera el potencial con referencia al espacio o universo estático y/o sobre su propio eje (spin). Aunque se puede considerar que el potencial vectorial cómo un caso especial del escalar, y se puede rescribir como [19]:

( , ) ( , )v

A r t r tc

Estos potenciales incluyen como condición el gauge de Lorentz, y que a diferencia del gauge de coulomb donde la interacción es instantánea, aquí la transmisión es de forma contigua, ondulatoria, a la velocidad de la luz; este gauge garante la continuidad del espacio-materia [12, 19]. También estos potenciales describen la singularidad de las partículas con el decaimiento con la ley del inverso al cuadrado de la distancia y la trasmisión de su perturbación por el espacio continuo. Nosotros adoptaremos estos dos potenciales cómo los que nos describen la interacción relacional de los cuerpos en movimiento, en un Universo de espacio-materia continuo, y con singularidades físicas en los centros de carga o materia en movimiento. Interpretaremos físicamente a su potencial como la tensión o presión del espacio-materia en analogía a un fluido de acuerdo al trabajo de Marmanis [11, 12], pero utilizando el potencial de LW que toma en cuenta estas singularidades (sus fuentes). Este potencial, por tanto, describirá la interacción reciproca entre dos o más partículas en movimiento

(el potencial es la presión del espacio causada por la carga o masa de los cuerpos); el potencial vectorial A describirá los vórtices causados en el espacio por la rotación propia (spin) o por un bucle de corriente de carga (o materia), ambas generadoras del campo magnético, de acuerdo a la interpretación hidrodinámica de las Ecuaciones de Maxwell hecha por Marmanis [11] y Rousseaux [12]. Un efecto similar podría existir en el caso de la rotación de las masas. Las dos clases de interacciones entre las partículas se desplazará de manera contigua, como ya explicamos, por el espacio como una onda esférica a la velocidad de la luz, similar a como en un fluido viaja la variación de presión cuando un cuerpo es desplazado; cada cuerpo recibirá la variación de presión de los otros cuerpos (similar al efecto Doppler, como ya mencionamos), además del propio que causó en

otros cuerpos y que se le regresó, de acuerdo al potencial de LW, como lo consideramos aquí. Con la suma de sus potenciales (dependientes de su posición y velocidad) se realizará su mapeamiento, y con el gradiente resultante del potencial se describirán la dinámica de los cuerpos. Como hipótesis adicional, aquí ya no consideramos que existe un campo gravitacional o eléctrico contenido en el espacio, sino que es el mismo espacio el que sufre la tensión (y que se manifiestan en estas dos cantidades físicas), y por donde se desplaza este mismo efecto. Por lo tanto, con el potencial de LW, que incluye a los campos y su potencial, consideramos que las cargas o la masa son efectos semejantes a diferente escala, pero no de un campo que viaja por el espacio, sino de una perturbación o efecto sobre el espacio mismo que se transmite a la velocidad de la luz. Que los dos efectos tengan la misma velocidad de transmisión puede ser indicativo de que esta hipótesis es cierta. Para el caso particular de las cargas eléctricas con sus dos tipos de polaridades, nosotros consideramos que la carga negativa podría tener una representación física como una compresión del espacio, es decir de una fuerza hacia su centro (potencial negativo). En el caso de la carga positiva sería el de una tensión, o fuerzas saliendo de su centro (potencial positivo). Este modelo seria parecido a la idea de Faraday de los centros de fuerzas, aunque en nuestro caso serian la tensión del espacio, análogo a metáfora de la hoja de de plástico de Einstein, pero en vez de curvatura del espacio cuatridimensional (3+1), sería la distribución de las tensiones en tres dimensiones espaciales. Para las interacciones entre cargas opuestas su potencial disminuirá en su vecindad para el potencial de carga positiva y crecerá para el potencial de la carga negativa, anulándose en su zona media (potencial cero), tal como se muestra en la figura 1a, y su gradiente de tensión causará que tiendan a moverse en esa dirección y juntarse respecto hacia donde tenderán a moverse las partículas, es decir en la dirección del gradiente de menor presión (o tensión), en analogía a los líquidos o cuerpos elásticos. En contraste, para cargas de misma polaridad, positiva o negativa, se incrementará en la zona de interacción entre ellas, y disminuirá en la zona opuesta, por lo que las partículas tenderán a repelerse entre sí, dirigiéndose en la dirección opuesta donde el gradiente de tensión es menor. La interacción eléctrica, aunque su efecto es muy fuerte, sólo es significativa a corta distancia, cuando las partículas se aproximan lo suficiente, a diferencia de la gravedad. Aunque su magnitud es miles de veces mayor que ésta, su influencia sólo es efectiva a corto alcance; sólo cuando se acumula gran cantidad de carga, cómo en un capacitor, su alcance es mayor. La fuerza gravitacional, según nuestra hipótesis, sería también causada por la ma-nifestación de la tensión del espacio descrito por el potencial de LW (con la transmisión

contiguo del efecto a la misma velocidad de la luz c por el mismo espacio-materia), pero como otra manifestación de ésta a una escala mayor, a nivel macroscópico alcanzando el universo entero, como explicaremos a continuación. Aún en el caso de que la tensión entre las cargas se anulen a corto alcance, el plegamiento o tensión del espacio no disminuye hasta cierto nivel, o lo hace poco, ya que

la polaridad positiva tiene mayor plegamiento o tensión (masa) que la negativa, y por lo tanto solo la anula en una milésima parte. También se podría explicar de manera alternativa como una torsión producida entre las dos cargas, que contraen el espacio que los rodea, tal como se puede apreciar en sus líneas de fuerza en la figura 1. Éste efecto podría ayudar explicar la gravedad, que aunque es más débil a pequeña escala ya que no tiene una singularidad cómo en el caso de la carga eléctrica (y por la misma razón, no recibe una atracción o una repulsión de gran magnitud a corto alcance), es acumulativa, por lo que su efecto es de más largo alcance. Lo que produce esta tensión acumulativa del espacio es modificar la dinámica de los cuerpos al alterar su desplazamiento (por causa de la modificación de la tensión del espacio) modificando su velocidad y trayectoria entre ellos. El desplazamiento de los cuerpo lo dominará o será dominante en la dirección del espacio con mayor concentración de partículas en virtud de que produce mayor tensión en el espacio entre este y otro cuerpo de menor tamaño (aún para una deformación tan débil como la luz), y acelera o deflecta a los cuerpos (o la radiación) hacia sí. Aunque el cuerpo de mucha menor masa contribuye a la deformación o tensión del espacio entre sí, la atracción que ejerce sobre el cuerpo de mayor masa es menor; es decir, tiene menor masa inercial por tensar menos el espacio, y por eso es compelido hacia el otro cuerpo. Este efecto explicaría el principio de equivalencia de Einstein, ya que un cuerpo más masivo como la tierra o el sol atrae a los cuerpos de mucho menor masa aproximadamente con la misma aceleración, ya que la tensión predominante es la de la masa mayor, y no haría mucha diferencia como para ser detectada.

En el estudio de ésta dinámica, nuestro sistema de referencia es sólo una herramienta matemática: estática, fija en el espacio, no necesariamente fija en los cuerpos en movimiento trasnacional o rotacional, y que por lo tanto no influencia o determina su dinámica, como es el caso de la Mecánica de Newton o la relatividad especial. Aunque no consideramos al espacio como absoluto, ya que éste cambia a nivel local en concordancia con el movimiento de los cuerpos, podemos suponer hipotéticamente un sistema de referencia fijo al universo y que, en promedio, a gran escala, es estático, como es mostramos en un trabajo anterior [10], y que nos ayuda a describir la dinámica del espacio-materia. Aunque no debe importar cual referencia se tome (podría estar en un cuerpo (partícula) en movimiento), pero no debe tener influencia en la dinámica de los cuerpos, como se aplica en la Mecánica Relacional, y que (a diferencia de la relatividad especial) la interacción es entre los cuerpos, y cada sistema de referencia que elijamos no debe influenciar ésta, y tiene que describir el mismo fenómeno, tal como lo explica Assis en su mecánica relacional [8]. Aunque la Mecánica Cuántica describe la cuantización de la energía y desplazamiento a nivel atómico, y que es el paradigma de la idea de un universo discontinuo, recientemente se ha propuesto un modelo alternativo que logra explicar estos como causados por un efecto de la dinámica del potencial retardado, en las orbitas donde existen estados estacionarios sin torca [20]. Esto podría ser un indicio de que es posible explicar el comportamiento cuántico de las partículas con este tipo de potenciales retardados en un espacio-materia continuo. Además, de acuerdo a una teoría propuesta por Madelung es

posible describir la solución de la ecuación de Schroedinger con una función de onda como una distribución de carga continua en el espacio, y que al sustituir ésta función en la misma ecuación de Schrodinger, obtenemos un sistema de ecuaciones análogas a las de hidrodinámica clásica, y que se les conocen como las ecuaciones de la hidrodinámica cuántica [21]. De acuerdo a una explicación dada por Feynman para la teoría de la superconductividad [22], y que nosotros consideramos que sus ecuaciones son más correcta para que las obtenidas con la interpretaciones dadas por Bohm (de acuerdo a Madelung) [21], o el mismo Madelung [21], o más recientemente Tsekov [23] para la explicación de la naturaleza de la Mecánica cuántica (ver anexo A, para leer nuestra interpretación):

Vt

(5)

y

22

2 ( )

2 2

mV q

t m

(6)

con qA

Vm

. La primera ecuación es la ley de la continuidad de estos potenciales

y la densidad, y la segunda es la ecuación de la hidrodinámica cuántica. Estos potenciales podrían ser los de LW, aunque aquí por las distancias atómicas el efecto de retardo podría ser muy pequeño. Es posible interpretar físicamente estas ecuaciones usando el Efecto Aharonov-Bohm (EA-B). Es decir, es posible entender lo que significa estas ecuaciones, interpretando la física del EA-B de acuerdo a nuestro modelo del universo continuo, ya que como Feynman dijo en sus Lecturas: “el conseguir explicar este fenómeno implicaría poder entender los fenómenos cuánticos”. De acuerdo a nuestra hipótesis la interferencia en la distribución

electrónica que se produce en la pantalla es debido a la función de onda del potencial (y que según nuestra hipótesis, es la es la misma ψ de la ecuación de Schrodinger) que representan los electrones en el espacio cuando se mueven en dirección de las ventanas (con la velocidad de la luz). Estas ondas interfieren antes y después que pasen por las ventanas, ya que anteceden a los mismos electrones, y que es lo que causa que los estos tengan éste tipo de distribución, ya que la interferencia de sus campos favorece ésta orientación de sus electrones sobre este mismo patrón de interferencia. Esta distribución se puede describir cómo el cuadrado de la suma de sus ondas generadas por estos potenciales físicos, y ya no estamos considerándolos como una función probabilística según la interpretación de Copenhague. De esta interpretación se puede hacer una analogía con la hidrodinámica, ya que cualquier cuerpo que se desplace por un líquido generará una onda y junto con las demás ondas de los otros cuerpos en movimiento

interferirán entre sí en el líquido modificando su presión y desplazamiento, y a la vez éste modificando el movimiento de los cuerpos. Pero además estas las partículas tienen una rotación interna propia (spin) o de traslación rotacional en un bucle que generan una perturbación rotacional del espacio y que físicamente interpretamos como el campo magnético. De acuerdo con esto y a lo que explicamos en el Anexo A, esto causará que en el EA-B la interferencia sea modificada en presencia de un campo magnético, por la parte rotatoria del potencial vectorial; o se desfase como sucede cuando se aísla el campo magnético, pero permanece el efecto del campo escalar. Por lo tanto, de acuerdo a ésta

metáfora la función θ se interpretaría como el potencial del momento rotacional interno

o propio (spin), A sería el potencial del momento rotacional. En la expresión de la derecha de la ecuación (6) tenemos la expresión con los gradientes de la densidad y que representa según nuestra interpretación el gradiente de la presión, dividida por la densidad, es decir la entalpía másica. Esta densidad es la resultante de la sumatoria o interferencia lineal de todas las ondas ψ y que, como ya

dijimos antes, físicamente interpretamos como las ondas generadas por el potencial del movimiento relacional de las partículas. De esta ecuaciones podemos dar cuenta que es posible describir el comportamiento cuántico de un conjunto de partículas con la hidrodinámica quántica, siempre y cuando conozcamos su potencial escalar y vectorial. Con esto deshacemos el mito de que la mecánica quántica describe un universo discreto, y vemos que es posible explicarlo como un sistema continuo, como sucede con los líquidos. También se muestra que los campos básicos para toda la física, son el campos escalar y vectorial. Además, paradójicamente la cubanización por el potencial retardado no solo ocurre a nivel atómico sino también a nivel de sistema solar, donde en este caso, según la regla de Titius, los planetas (o satélites) giran alrededor del sol (o de algún planeta) siguiendo una progresión geométrica de su distancia al sol o su periodo de rotación que es función de su posición (n=1,2,3,…) respecto del centro de rotación [20]. Aunque existe mucha polémica en cuanto a si existe una interpretación física de esta regularidad, la explicación más aceptable es que esto es causando por la resonancia de rotación de los planetas, o satélites. De acuerdo a esta, solo existen ciertas zonas de rotación permitidas en virtud de que son orbitas donde pueden existir ciclos estacionarios, donde se cumple el principio de conservación del momento angular (sin torca) y que no son inestables a causa de la resonancia, aunque paradójicamente ubicado cerca de estas zonas [24]. Estas orbitas estacionarias podrían ser ciclos limites de acuerdo a la teoría cualitativa desarrollada por Poincare en su famoso teorema [25], y demostrada por Bendixon [26].

En este trabajo no hemos tenido necesidad de proponer la fuerza relacional o la tercera ley de Newton, o la suma vectorial, ya que estas ya están implicadas en el potencial del sistema continuo de espacio-materia y que se obtiene con el cálculo de su gradiente, aplicando la segunda ley de Newton, ésta se sigue cumpliendo sólo que para las fuerzas son obtenidas de un potencial retardado. La principal objeción que se ha tenido a este tipo de fuerzas o potenciales

retardados como el Weber, es que éste no cumple con el principio de la conservación de la energía. La ley de Gerber no tiene éste problema, y por lo tanto tampoco el potencial de LW, porque de acuerdo a la demostración hecha por F. Bunchaft & S. Carneiro [27], en esta sí se cumple con el principio de la conservación de la energía. La relatividad general en esto no es muy clara, parece ser que sólo lo cumple bajo ciertas condiciones.

Análisis y Discusión En nuestro modelo del universo continuo estamos considerando que la materia y el espacio es una unidad indivisible, sin fronteras, pero una particular con un centro con una singularidad. La única diferencia sería el grado de tensión tan alto que existe cerca del centro de las partículas, y que impide que cualquier perturbación o partícula se pueda desplazar por ella. Fuera de aquí, la tensión disminuye su efecto con el inverso de la distancia, y es lo que conocemos cómo el campo de la partícula. Además que toda perturbación es una perturbación del espacio mismo y no la perturbación de un campo que viaja por el espacio. Esta concepción del espacio y la materia se le conoce como de la materia prima. Entre sus principales proponentes se encuentran Descartes con sus vortices, Clifford con sus montículos del espacio, Faraday con sus centros de fuerza y Wheeler con sus agujeros de gusano (wormholes). Esta hipótesis contrasta con la idea del espacio absoluto que considera al espacio como un escenario pasivo, abstracto, donde la materia interactúa, sin ser el espacio mismo un objeto físico que interactúe a su vez con la materia. Aquí entra la teoría de Newton, y hasta la relatividad especial. La otra concepción del espacio es la relacional, que considera la existencia del espacio y el tiempo por el entramado de relaciones entre objetos (átomos, campos) y eventos [4]. El proponente original de esta idea fue Leitniz, y actualmente Assis la ha revivido [8]. La importancia de tener clara una metafísica en el sentido de Aristóteles, una visión o imagen del mundo (y no solo una idea abstracta o matemática) [1], es que da la posibilidad de intentar explicar qué es el espacio, el tiempo y la materia, e intentar corroborar en los hechos su esencia física, y su relación entre ellos. Por esencia física queremos decir que es un ente que podemos reconocer con nuestros sentidos, y que podemos cuantificar o corroborar de manera directa con un aparato de medición, o indirecta con un modelo. Porque solo de esta manera, intentado comprender la esencia del Universo, es como podremos conseguir una mejor comprensión de los fenómenos físicos y también podremos obtener cálculo mas aproximado de las cantidades físicas. Podríamos tener un modelo matemático del mundo (ejemplos de ellos hay muchos actualmente) que nos podrían describir con buena aproximación numérica un fenómeno físico. Pero esto no significa que entendamos que es lo que está ocurriendo

realmente. Nuestro modelo matemático podría ser como una caja negra, mas el mismo desconocimiento de la esencia de las cantidades físicas nos impide darnos cuenta de los límites, y poder mejorarlos. Como lo expresa Berkson [1]: Una metafísica nos permite avanzar en el desarrollo de una nueva teoría más aproximada a la realidad. Un grupo de ecuaciones no significan nada si no existe un modelo que interprete cada variable con una cantidad física. Toda teoría tiene sus presuposiciones metafísicas aunque no seamos consciente de ello, pero estas son necesarias para que esta tenga un sentido. Probablemente nunca sabremos que son en esencia las cantidades físicas de nuestras teorías, y quizá están fuera del límite de lo que podemos comprender, pero estas nos permiten explicar y describir hechos y consecuencias de estos, que en algunos casos podemos modelar y cuantificar. Por ejemplo, probablemente nunca conoceremos la verdadera naturaleza del espacio o el tiempo, pero conceptual-mente sí podemos imaginar y aproximarnos mediante analogías, aunque nunca tengamos certeza absoluta de su esencia u ontología. En este trabajo partimos de la idea de que el universo es continuo, al contrario de la visión del mundo de la Mecánica Clásica de Newton o la Mecánica Relacional, donde supone que la materia está separada en el espacio y que como consecuencia la interacción entre las partículas es instantánea. Pero también suponemos que esta continuidad tiene inhomogeneidades (aunque sin perder la continuidad) y proponemos cómo analogía una membrana elástica con centro de tensiones que se distribuyen por toda la lámina. Este centro son puntos singulares cuya influencia se transmite de manera contigua y continua, y cuyos potenciales decaen como el inverso de la distancia por todo el espacio. También se podría hacer una analogía a un líquido en su continuidad y con las propiedades que ya explicamos. Estas analogías están limitadas a la creación de un modelo, que si nos logra describir con cierto grado de exactitud el universo, las suposiciones metafísicas son validadas; entonces, aunque no sepamos hasta que punto sea real, o no consigamos reconocer su verdadera esencia, sí nos aproxima a una comprensión más exacta. En este sentido, nuestro modelo da un cuadro mas claro del universo, y logra simplificar mucha de matemática en comparación con otros modelos. Nuestro modelo, a diferencia de la TRG de Einstein, e inclusive las teorías de Clifford o Wheeler, es más físico que geométrico, ya que describe como una analogía, la acumulación de tensión en una membrana elástica en vez de la idea matemática de una curvatura de una superficie tridimensional del espacio cuatridimensional. También define o propone menos elementos arbitrarios que los otros modelos, lo que la hace más aceptable. La TRG considera al espacio-materia como una dualidad donde la estructura

Rienmaniana del espacio contiene a la materia, y como uno modifica al otro. En contraste, nosotros consideramos al espacio-materia como una unidad, una continuidad indivisible. Además, la TRG propone una ecuación del universo, lo que nosotros no consideramos posible, y por el contrario proponemos la interacción local entre partículas con el potencial de LW, junto con la NSE como la ecuación de la conservación de la materia-energía. Nosotros creemos que lo fundamental en nuestro universo es la ya mencionada unidad e indivisibilidad del espacio-materia, sin ninguno siendo más fundamental que el otro, en tensión permanente, y en coexistencia eterna e infinita. Nosotros consideramos que las partículas son zonas singulares del espacio con una densidad (o tensión, dependiendo del modelo usado) que va a un valor muy grande, casi infinito (singularidad física), y que causa que ninguna otra partícula u onda pueda desplazarse a través de ella. El espacio sería la zona exterior, fuera de su radio o frontera donde la tensión decae proporcionalmente con el inverso de la distancia. Los efectos causales de interacción de las partículas viajan en el espacio de manera parecida a las perturbaciones ondulatorias electromagnéticas. Los efectos gravitatorios cómo la precesión del perihelio de mercurio, o la deflexión de la luz ante un cuerpo masivo como el sol, se pueden explicar cómo efectos del potencial retardado gravitatorio; un efecto tipo Doppler del potencial gravitacional [17]. La deflexión de la luz se puede explicar por la misma tensión del espacio que produce la masa del sol en el espacio, y que causa que la frecuencia de vibración de la luz se incremente, y la longitud de onda decrezca cuando se aproximan a estos, y se desvíe. Este mismo efecto podría explicar el retardo del decaimiento del pión y su posible contracción en su longitud de onda, y por lo tanto de su desplazamiento. Si nuestro parámetro de distancia es la longitud de onda de la luz, y del tiempo su frecuencia de vibración, podemos entender porque viaja mas tiempo que su vida promedio le podría permitir. Las partícula no tienen una frontera bien delimitada con el espacio, un radio límite, sino que la tensión del espacio cerca de su centro es tan grande, que cualquier partícula u onda solo consigue desplazarse hasta un radio límite. Su influencia decae con la ley del inverso de la distancia en el espacio exterior, por que esta se distribuye por el espacio tridimensional, como sucede con la transmisión de la luz [9]. La acumulación de estas partículas, acumula las tensiones cómo acontecería en una membrana elástica. Así, la dinámica de los cuerpos o la radiación será determinada por la modificación del espacio inducida por la tensión producida por el sistema de partículas, y que seguirán la dirección del gradiente con menor potencia (tensión o presión). Los cuerpos o la misma luz siguen trayectorias que pueden ser curvas de acuerdo a estos gradientes. En un espacio de este tipo no existe diferencia entre estos desplazamientos (partícula o campo), ya que es el espacio mismo, o la tensión misma del espacio la que se desplaza. Así, es la tensión la que determina el movimiento curvo y no el espacio curvo. Aunque esto mismo podría interpretarse como que el espacio es curvo (o que la trayectoria optima del espacio es curvo), aunque a diferencia de la

TRG, esto sucede en 3 dimensiones espaciales; y no sobre una “superficie curva” de tres dimensiones (algo abstracto y difícil de imaginar), sino sobre el mismo espacio tridimensional, alrededor de los centros con distribución de materia o carga. Una postura tradicional o habitual en la Mecánica Clásica era pensar que la luz no era atraída por la gravedad, que no sufría desviación de su trayectoria rectilínea, a pesar de que existen cálculos clásicos que permiten predecir la desviación con cierta aproximación a lo observado. Esta es una idea remanente de la dicotomía reduccionista del espacio y la materia. Pero si pensamos el espacio como un campo de espacio-materia continuo como hacemos aquí, esta concepción cambia, y con la corrección del potencial retardado se obtiene resultados exactos del corrimiento del perihelio de mercurio [15] y de la deflexión de la luz [16]. El Universo no tiene una geometría propiamente dicha: lo que existe es una dinámica de partículas que modifican la tensión del espacio y que a su vez modifica su trayectoria por el espacio tridimensional. Aquí ya no hablamos de curvatura ni de geodesias y tampoco de fuerzas, sino de gradiente del potencial. El concepto de fuerza sólo se puede usar en el caso de dos partículas, o en el caso una partícula en un campo promedio de un conjunto grande de partículas, porque en los casos de más de dos partículas la dinámica, es decir, la evolución del gradiente espacial es más complejo, y su solución requiere considerar éste, que se modifica a cada instante de tiempo. Por lo tanto, lo más correcto es definirla cómo interacción, ya que el primero indica sólo el hecho de que un cuerpo actúa sobre el otro, en cambio el segundo indica que los cuerpos actúan recíprocamente entre sí. El concepto de fuerza sólo se podría aplicar en el caso de una distribución de materia o partículas cuyo campo medio actúa sobre una partícula, y que el campo de la particular no afecta la posición de laa partículas de la distribución. Esta es aplicada como una situación ideal o solución aproximada, pero en una situación más real, sí se debe considerar su dinámica global, es decir interacciones entre cada cuerpos en su evolución temporal de su potencial por el espacio continuo. Que consideremos al potencial cómo la tensión del espacio es una interpretación, pero ¿es correcta? También decir que las interacciones de la materia se deben a fuerzas, la curvatura del espacio cuatridimensional o cualquier otro concepto es arbitrario, ya que tan solo son modelo del universo. La mejor analogía o metáfora nos tendrá que aproximar mejor a una mejor comprensión y descripción de la dinámica del Universo. Y esta será la mejor prueba de su veracidad, de su correcta metafísica, cómo explicamos en el inicio. Según nuestro punto de vista, el potencial representa los niveles (equipotenciales) de tensión del espacio, y su gradiente la presión que empuja los cuerpos (centros de tensión o materia) a desplazarse por el espacio con menos tensión. Ahora, de acuerdo a la ley de Poisson, la divergencia de esta tensión que representa la compresión del espacio, sería físicamente su masa, que para una partícula sería, por su singularidad, infinita en su centro y decayendo con la ley del inverso del cuadro de la distancia fuera

desde el. Entonces, es posible representar la tensión del espacio con el potencial escalar, sin necesidad de usar los tensores. Según éste trabajo el tiempo no es variable física primaria como el espacio, la materia o el movimiento de los cuerpos, sino un parámetro que surge de la dinámica del continuum espacio-materia, como un subproducto de los procesos en la naturaleza. El tiempo implica la existencia de procesos que, como relojes físicos o biológicos, tienen ciclos, principio y fin, evolución, de la propia dinámica y evolución del universo, de manera local y global. Aunque existe una sensación del tiempo, es difícil muchas veces cuantificarla científicamente, de la misma manera que para la longitud. La forma más precisa de cuantificar es tomando cómo parámetro las vibraciones de la radiación electromagnética, donde el tiempo se mide con la frecuencia, y la dimensión con la longitud de la onda. Pero estos sufren modificación con la gravedad, y por lo tanto tampoco es una unidad absoluta y universal cómo se estudió en la relatividad especial y general. Se considera cómo carga a las partículas (centros de tensión) que interactúan con dos polaridades, y como masa a su dinámica debido a al tensión del espacio causada por ellas mismas. Este último es el Principio de Equivalencia de Einstein, y aquí explicaremos una interpretación con nuestro modelo. La interacción como carga es significativa físicamente solamente a un rango corto, y la gravedad cuando la masa es más grande. Esta es la razón por la que aún para las interacciones eléctricas se tiene que usar la masa inercial m en la segunda ley de Newton. Entonces, la diferencia entre carga y masa sería notada solamente a diferente escala ya que la carga es la interacción que es significativa solamente en la vecindad de su radio singular (fuerza nuclear, principalmente), mientras que fuera de este actúa como la fuerza Coulombiana. La fuerza Gravitacional es notada a mayor escala especial porque esta surge cómo una acumulación de la tensión de las partículas. La tensión es causada por la carga de polaridad opuesta, que nulifica su carga a nivel local, pero que incrementa su tensión global. Esto explica porque la gravedad es una tensión de más grande intensidad en un rango de distancia mayor: es acumulativa. La cantidad de masa sería equivalente a la cantidad de tensión, y entre mayor es, decimos que tiene más inercia. Lo que esto significa es que un cuerpo va ser mas difícil modificar en su dinámica (trayectoria o aceleración) entre mayor sea su masa que la de los demás (porque la tensión que produce a su alrededor es mayor), o sacarlo de su estado de aparente estado estático; caso contrario de las partículas o distribución cuya concentración sea menor, y cuya dinámica se ve dominada por las de mayor masa. Para las partículas cargadas (independientemente de su polaridad) su desplazamiento es a la zona de menor tensión o gradiente de presión porque en las zonas con mayor tensión (cargas con la misma polaridad) esta puede llegar a ser tan grande que ya no pueden desplazarse más y terminan ejerciéndose una repulsión (porque su tendencia es a moverse a la zona de menor presión). La masa por el

contrario, su movimiento se ve acelerado por la mayor tensión que causa en su espacio que rodea, ya que aquí la interacción entre los cuerpos masivos surge de su dinámica (a una escala del espacio mayor), y la tensión modifica su trayectoria o la acelera hacia los cuerpos mas masivos, y solo queda estática cuando colisiona con otro cuerpo de masa mucho mayor, de tal manera que la tensión entre ellas es tan grande que impide desplazar de manera independiente a la de menor masa, y queda atrapada en su trayectoria; aunque la “atracción” no es de la magnitud de las cargas con polaridades opuestas. En nuestro modelo, la fuerza nuclear es la misma fuerza eléctrica, solamente que cómo caso particular cuando partículas con las dos polaridades opuestas están prácticamente juntas y anulan las tensiones repulsivas para cualquier otro protón o electrón que les impide separarse. Esto explicaría la fusión nuclear y la formación del núcleo. Como hipótesis suponemos que el neutrón podría ser formado con estos dos tipos de partículas, y es por esto que es posible que un protón se una a un neutrón, ya que la carga negativa del electrón serviría de enlace, o pegamento para las dos cargas positivas. Y por consecuencia la estructura del núcleo para elementos más pesados sería una estructura con interacciones de dos polaridades en equilibrio.

Referencias

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4. M. Bunge, “Una teoría relacional del espacio físico, en Controversias en Física Tecnos Madrid 1983.

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9. Barrow, J D 1983 Dimensionality, Phil. Trans. R. Soc. London A 310, 337.

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11. Marmanis, H. Analogy between the Navier-Stokes equations and Maxwell’s equations: Application to turbulence. Physics of Fluids, 1998, vol. 10, n° 6, p. 1428-1437.

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13. P. Gerber, Die raumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation (Space and temporary propagation of gravitation). Z. Math. Phys. 43 (1898), 93–104.

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21. E. Madelung, Z. Phys. 40, 322 (1926)

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23. Roumen Tsekov, Bohmian Mechanics versus Madelung Quantum Hydrodynamics,

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24. J. Giné, On the origin of the gravitational quantization: The Titius-Bode Law, Chaos Solitons Fractals, 32 (2007), no. 2, 363-369. http://arxiv.org/PS_cache/physics/pdf/0507/0507072v3.pdf

25. Poincare H. Memoire sur les courbes definies par les equations differentielles. J Math 1881;37:375–422;

26. Bendixson, Ivar (1901), “Sur les courbes 19ertici par des équations différentielles”, Acta Verticidad (Springer Netherlands) 24 (1): 1-88.

27. F. Bunchaft & S. Carneiro, Webber-like interactions and energy conservation, Foundations of Physics Letters, Vol. 10, No. 4, 1997. http://www.springerlink.com/content/624k0j5186h92764/fulltext.pdf

28. Peter Lynch , On the significance of the Titius-Bode Law, Mon. Not. R. Astron. Soc. 341, 1174–1178 (2003).

http://www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/fulltext/118873443/PDFSTART

Anexo A

Hidrodinámica cuántica y el efecto Aharonov-Bohm De acuerdo a la mecánica quántica, la amplitud probabilística de una partícula que va de un lugar a, a otro b en presencia de un campo magnético con potencial vectorial A es :

0

| | exp

b

A A

a

ìqb a b a A dl

h

, (1a)

Una manera equivalente de escribir esta ecuación es mediante la ecuación de Schroedinger,

1

2qA qA q

i t m i i

(2a)

De acuerdo a esta, podemos deducir su ecuación de corriente que tiene la siguiente expresión:

1

2

qA qAJ

m m

, donde i

(3a)

Tradicionalmente la corriente se interpreta como el producto de la densidad de probabilidad de la ubicación de las partículas por la velocidad. El operador entre corchetes representa la velocidad V

qAV

m

Por lo tanto podemos escribir

mV qA

Donde la se define como el momento dinámico.

En este trabajo nosotros interpretamos la ψ como la ondas del potencial retardado generada por las partículas con su movimiento y ψψ* se interpreta como la intensidad de la onda. Ahora, como estas ondas son lineales, su superposición o distribución resultante será la sumatoria de todas ellas, y por lo tanto podemos escribir una solución general de manera análoga a un fluido, de acuerdo a la interpretación de la mecánica cuántica hecha por Madelung y Bohm [23]:

( , )

( , ) ( , )i r t

hr t r t e

(4a)

Donde

2

( , ) ( , )i

i

r t r t

es la intensidad total de la superposición de ondas, y

( , )i r t es su

fase. Ahora, sustituyendo la función de onda (4a) en (3a), obtenemos su ecuación de corriente

q

J Am

(5a)

Por analogía con la ecuación de corriente clásica sabemos que

mV qA . (6a)

Ahora sustituyendo la función (4a) en la ecuación de Schrodinger (2a) obtenemos

qA

t m

(7a)

o

Vt

Y también obtenemos

2 22 ( )

2 2

m qAq

t m m

(8a)

que se puede expresar como

222 21 1

2 4 2

mV q

t m

(8b)

Esta ecuación es análoga a la ecuación hidrodinámica, salvo por algunos detalles. Por ejemplo, la velocidad V no se deduce directamente de un potencial escalar si no de la suma de éste con el potencial vectorial A (eq. 6a). Este le da la propiedad de ser un potencial rotacional también. En cuanto a θ es el potencial escalar de la fase, su gradiente es su velocidad de cambio. La velocidad V (la diferencia de estos dos potenciales) es solamente una analogía con respecto a los líquidos. En cuanto a la expresión del segundo término de la ec. (8b), éste se puede expresar de manera análoga con la ecuación hidrodinámica de un fluido como la entalpía másica:

2221 1

4 2

p

m

(9a)

Por lo que podemos escribir

22

2 1

4 2p

m

La ecuación (9a) también tiene sentido físico de manera análoga a la dinámica de fluidos, ya que como podemos observar del gradiente del potencial es función de la densidad, tal como sucede con los fluidos clásicos. Además la expresión entre paréntesis es análoga a la aproximación usada en la teoría de la funcional densidad para modelar el potencial eléctrico de las moléculas. Podemos observar que la ecuación (6a) es una expresión muy parecida a la transformación de gauge,

A A , salvo por el signo y las constantes. Podríamos generalizar la función de onda (1a) y (4a), y sustituir por la expresión más general de la integral de línea de la ecuación (6a) en (4a),

( , ) ( , )i

qA dlhr t r t e

(10a)

en consecuencia podemos reducir esta a

( , ) ( , )iq

i A dl

r t r t e

(11a)

que es una generalización de La ecuación (1a) y (4a). Esto nos muestra cual podría ser la interpretación física del potencial vectorial y de la transformación de gauge. Con esto podemos interpretar el efecto Aharonov-Bohm. Sabemos que por dos ventanas pasa un flujo de electrones detrás de la cual hay un solenoide con su campo magnético aislado. Aun cuando los electrones no reciben la influencia del campo magnético, sufre un desfase en su distribución en la pantalla en la que chocan con respecto a cuando no está ligado el solenoide. De la función (11a) se infiere que esto se debe a que la parte rotacional del potencial vectorial A es

cero, pero no así su parte escalar , que es la que le causa su desfase. Por lo tanto, deducimos que la integral de línea de los momentos del potencial escalar y vectorial alrededor de una trayectoria cerrada de la ecuación (10a) se podría interpretar como el operador rotación del spin y de un bucle de corriente respectivamente. Estos representarían físicamente la vorticidad de mi sistema, es decir el efecto de la parte escalar del campo magnético (la rotación intrínseca de los electrones, o spin).