Tiempo y espacio en biomatemáticas; bifurcaciones y dinámica ...

Vctor F. Brena MedinaCentro de Ciencias Matematicas, UNAM

Department of Engineering Mathematics, UoB

Tiempo y espacio en biomatematicas;bifurcaciones y dinamica aplicada

Escuela de Matematicas de America latinay el Caribe,

Casa Matematica Oaxaca

14 de junio, 2016

Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales

Tabla de contenidos

1 Forma y movimiento2 Eventos especiales3 Algunos ejemplos4 Comentarios finales

http://matmor.unam.mx/victorb http://pccm.umich.unam.mx/


Sistemas biologicosConchas marinas

H. Meinhardt, 1995

Piel de pecesA. R. Sandersen, 2006

Glioblastoma multiformaO. Clatz et al., 2004

Tejido danadoS. Kondo & T. Miura, 2010

http://youtu.be/IeUANxFVXKc?t=1m16s


Sistemas fsicos

Respiradores en descarga de gasesV. K. Vanag & I. R. Epstein, 2007

FerrosolitonesR. Richter & I. V. Barashenkov, 2005

Oscilones de arcillaB. L. Gary, 1999



Interacciones bioqumicas

Procesos de iniciacionbioqumica a nivelsubcelular

C. Grierson, 2009

S. Rigas et al., 2001

J. Massuci &J. Schiefelbein, 1994

M. Jones &J. Smirnoff, 2006

C. Grierson, 2009



Tabla de contenidos




Bifurcaciones basicas

y

R

y

R

y

R

y

R

z

C

z

C

y = f(y;)



SIN energa asociada

Difusion + Reaccion Estabilidad temporal + Inestabilidad espacial

U, V : concentraciones de sustancias (bio)qumicasD1, D2 : coeficientes de difusion F,G : terminos cineticos

D1D2 max{D1, D2} , sign{(

F

U

)(G

V

)}< 0 .

Activador-inhibidor Activador-substrato

Koch & Meinhardt , 1994

Bifurcacion de Turing



CON energa asociada

Ecuacion de SwiftHohenberg:

Ut = EijU

,

E35(U) =R

[[(1 + yy)U ]

2

2+U2

2 U

4

4+U6

6

]dy ,

E23(U) =R

[[(1 + yy)U ]

2

2+U2

2 U

3

3+U4

4

]dy .

La ecuacion de estados (dinamica espacial):

EijU

= (1 + yy)2U U + U3,2 U5,3 = 0 ,

u = f(u;) , u = [U,Uy, Uyy, Uyyy]T ,

R2 = I , Rf(u;) = f(Ru;) .

Bifurcacion de HamiltonHopf



CON energa asociada

< 0

C

= 0

C

> 0

C

Avitabile et al., 2010




CON energa asociada

E35(U) Avitabile et al. , 2010

E23(U) Lloyd et al. , 2008




Tabla de contenidos




Patrones localizados

Ut = D1U+

Reaccion k2U

2V (c+ r)U + hV ,

Vt = D2V Difusion

k2U2V + cU hV + b .

Invariante ante traslaciones en el espacio.

Reversibilidad espacial:

[Ux, Vx]T [Ux,Vx]T y [Uy, Vy]T [Uy,Vy]T ,

x x y y y .

Estado de equilibrio unico: [U0, V0]T .

No tiene energa asociada.

Transicion de criticalidad en bifurcaciones de Turing (tenedor).




150 100 50 0 50 100 150150

100

50

0

50

100

150

x

yu

8

16

24

32

40

48

56

150 100 50 0 50 100 150150

100

50

0

50

100

150

x

yu

8

16

24

32

40

48

56

150 100 50 0 50 100 150150

100

50

0

50

100

150

x

yu

0

8

16

24

32

40

48

56

64

... junto con A. ChampneysPhys. Rev. E 90, 032923 (2014).




150 100 50 0 50 100 150150

100

50

0

50

100

150

x

yu

8

16

24

32

40

48

56

40 20 0 20 40

40

20

0

20

40

x

yu

0.6

1.2

1.8

2.4

3.0

3.6

4.2

4.8

5.4

150 100 50 0 50 100 150150

100

50

0

50

100

150

x

yu

8

16

24

32

40

48

56

150 100 50 0 50 100 150150

100

50

0

50

100

150

x

y

u

0.6

1.2

1.8

2.4

3.0

3.6

4.2

4.8

5.4

150 100 50 0 50 100 150150

100

50

0

50

100

150

x

yu

0

8

16

24

32

40

48

56

64

40 20 0 20 40

40

20

0

20

40

y

x

u

5

10

15

20

25

30

35

40

... junto con A. ChampneysPhys. Rev. E 90, 032923 (2014).



Crecimiento, protenas y una hormona

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

k20

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

||U|| 2

Mutant with basal end patch

Wild type with single interior patch

Mutant with basal end and interior patch

Mutant with two interior patch

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

k20

20

30

40

50

60

70

80

90

100

L

AB

Boundary patch

Interior patch

Boundary and interior patch

Two interior patch

... junto con A. Champneys, C. Grierson & M. WardSIAM J. Appl. Dyn. Syst. 13(1), pp. 210248 (2014).



Una poblacion de cerdos

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=2.90000

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

xt+1 = rxt(1 xt) , 0 r 4 .




0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=2.90000

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=3.30000

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

xt+1 = rxt(1 xt) , 0 r 4 .




0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=2.90000

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=3.30000

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=3.47016

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0xt+

1

xt

r=3.55726

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

xt+1 = rxt(1 xt) , 0 r 4 .




0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=2.90000

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=3.30000

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=3.47016

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0xt+

1

xt

r=3.55726

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=3.73000

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

xt+1 = rxt(1 xt) , 0 r 4 .




0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=2.90000

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=3.30000

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=3.47016

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0xt+

1

xt

r=3.55726

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt+

1

xt

r=3.73000

0 10 20 30 40 50 60

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xt

2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0r

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

2.9

3.3

3.4

7016

3.5

5726

3.7

3

xt+1 = rxt(1 xt) , 0 r 4 .



Caos espacio-temporal

Ruta al caos RuelleTakensNewhouse

Aragon et al., 2012

Caos: un orden para el desorden?,SAHUARUS, Revista de Matematicas, Depto. de Mat.,U. de Sonora (por aparecer).



Caos espacio-temporal Ruta al caos RuelleTakensNewhouse

Aragon et al., 2012

Caos: un orden para el desorden?,SAHUARUS, Revista de Matematicas, Depto. de Mat.,U. de Sonora (por aparecer).



Tabla de contenidos




Los sistemas dinamicos (discretos o continuos) pueden arrojar luzal entendimiento de fenomenos biologicos.

Las bifurcaciones son fenomenos dinamicos clave para elentendimiento de procesos que experimentalmente soninaccesibles.

No siempre es posible asociar un funcional de energa.

La descripcion de fenomenos biologicos pueden ser descritos poringredientes de naturaleza no-homogenea en un sistema dinamico.

Como incorporar hipotesis mas realistas en estos sistemas?Procesos de difusion heterogeneos, propiedades geometricas,interacciones simultaneas en diversas escalasespacio-temporales. . . .

Becas de elaboracion de tesis de licenciatura para esteano.



Alberto Montt

Forma y movimientoEventos especialesAlgunos ejemplosComentarios finales

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