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Diseño Óptimo de un Intercambiador de Calor de Tubos Concéntricos Reporte de Investigación de Proyecto Terminal I y II Licenciatura en Ingeniería en Energía Presentado por: Eduardo Vázquez Valdez Bajo la Asesoría de: Dr. Juan Manuel Zamora Mata Dra. Elizabeth M. Salinas Barrios Síntesis y Optimización de Procesos Área de Ingeniería en Recursos Energéticos Departamento de Ingeniería de Procesos e Hidráulica México D.F., Abril de 2012
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Diseño Óptimo de un Intercambiador de Calor de Tubos
Concéntricos
Reporte de Investigación de Proyecto Terminal I y II
Licenciatura en Ingeniería en Energía
Presentado por:
Eduardo Vázquez Valdez
Bajo la Asesoría de:
Dr. Juan Manuel Zamora Mata
Dra. Elizabeth M. Salinas Barrios
Síntesis y Optimización de Procesos
Área de Ingeniería en Recursos Energéticos
Departamento de Ingeniería de Procesos e Hidráulica
México D.F., Abril de 2012
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CONTENIDO
Resumen 6
CAPÍTULO 1 INTERCAMBIADORES DE CALOR
Introducción 7
1.1 Tipos de intercambiadores de calor 7
1.1.1 Intercambiadores de calor de tubos concéntricos 7
1.1.2 Intercambiadores de calor de coraza y tubos 9
1.1.3 Intercambiadores de calor de flujos cruzados 10
1.1.4 Intercambiadores de calor de superficie o recuperadores 11
1.1.5 Intercambiadores de calor de contacto directo 11
1.1.6 Intercambiadores de calor de mezcla 13
1.2 Aplicaciones de los intercambiadores de calor 13
1.3 Ejemplos de intercambiadores de calor 15
1.3.1 Precalentador 15
1.3.2 Radiador 16
1.4. Ensuciamiento de un intercambiador de calor 16
1.4.1 Ensuciamiento químico 17
1.4.2 Ensuciamiento biológico 17
1.4.3 Ensuciamiento por depósito 17
1.4.4 Ensuciamiento por corrosión 17
CAPÍTULO 2 ANÁLISIS DIMENSIONAL PARA
TRANSFERENCIA DE CALOR
Introducción 19
2.1 Análisis dimensional de la ecuación de continuidad y de convección
forzada 19
2.1.1 Ecuación de continuidad 19
2.1.2 Análisis dimensional de la ecuación de convección forzada 22
3
2.2 Teorema π de Vaschy Buckingham 25
2.2.1 Correlación del número de Nusselt a partir del teorema π en
convección forzada 26
2.3 Grupos adimensionales utilizados en transferencia de calor 30
2.4 Experimentación y correlación 35
2.4.1 Aparato experimental 36
2.5 Evaluación de una correlación forzada a partir de los experimentos de Morris y
Whitman 37
2.5.1 Método algebraico para correlación de Nusselt 40
2.5.2 Método gráfico de la correlación de número de Nusselt 42
2.6 Correlaciones para el número de Nusselt 46
2.7 Factor de fricción en tuberías 48
2.7.1 Diagrama de Moody 49
CAPÍTULO 3 DISEÑO DE UN INTERCAMBIADOR
DE CALOR DE TUBOS CONCÉNTRICOS
Introducción 51
3.1 Planteamiento del problema 52
3.1.1 Objetivo 53
3.2 Caso de estudio 53
3.2.1 Asimilación de información 54
3.2.2 Propiedades de los fluidos 55
3.2.3 Propuesta de tubos 55
3.3 Metodología de cálculo 56
3.3.1 Cálculo del flujo másico y del calor requerido o disponible 57
3.3.2 Cálculo de coeficiente de película 59
3.3.3 Cálculo del coeficiente global de transferencia de calor 64
3.3.4 Diseño del intercambiador de calor 65
3.3.5 Factor de ensuciamiento actual 67
3.3.6 Caída de presión en el tubo interno 68
3.3.7 Cálculo de caídas de presión en el espacio anular 70
4
3.4 Tabla de resultados 73
CAPÍTULO 4 DISEÑO ÓPTIMO DE UN INTERCAMBIADOR
DE CALOR DE TUBOS CONCÉNTRICOS
Introducción 75
4.1 Formulación del problema 76
4.1.1 Objetivo 77
4.2 Caso de estudio 77
4.2.1 Suposiciones 77
4.2.2 Asimilación de información 77
4.3 Construcción de un modelo matemático de optimización 78
4.4 Nomenclatura 79
4.5 Modelo matemático 83
4.6 Comentarios sobre el modelo matemático de optimización 87
4.6.1 Función objetivo 87
4.6.2 Ecuaciones 87
4.6.3 Grados de libertad 87
4.6.4 Comentarios de ecuaciones 88
4.6.5 Cotas del problema 94
4.7 Resultados 96
4.8 Gráfica de región factible 98
CAPÍTULO 5 AJUSTE AL DISEÑO ÓPTIMO DEL
INTERCAMBIADOR DE CALOR
Introducción 100
5.1 Ajuste con base a tablas de tubería comercial 101
5.2 Metodología de ajuste del intercambiador de calor 101
5.2.1 Análisis del diseño del intercambiador de calor obtenido con la
optimización 101
5.2.2 Planteamiento de casos en el ajuste de tubos 102
5.3 Ajuste al número de horquillas del intercambiador de calor 105
5
5.3.1 Cálculos debidos a corrección de horquillas 106
5.3.2 Secuencia de cálculo por corrección de horquillas 107
5.4 Diseño final de un intercambiador de calor de tubos concéntricos 109
5.4.1 Mejor diseño de un intercambiador de calor para el caso de
estudio 109
5.5 Comparación con el modelo propuesto por Kern 110
5.5.1 Tabla comparativa de resultados 111
CONCLUSIONES 104
REFERENCIAS 115
APÉNDICE A 116
A.1 Solución al sistema algebraico 2.8 116
A.2 Solución uno al sistema algebraico no cerrado 2.14 118
A.3 Solución dos al sistema algebraico no cerrado 2.14 123
6
Resumen
Este proyecto, “Diseño óptimo de un intercambiador de calor de tubos concéntricos”,
es un trabajo que se desarrolló durante mí estancia en la universidad Autónoma
metropolitana, unidad Iztapalapa, en los últimos dos trimestres de la carrera de
Ingeniería en Energía. Trata principalmente sobre el estudio del análisis dimensional y
sobre la obtención del mejor diseño de un intercambiador de calor de doble tubo a
contra corriente, usando tubería comercial, para un problema dado.
Dentro del documento se podrá identificar con claridad una breve recopilación de
intercambiadores de calor así como algunas de sus aplicaciones en la industria. Con
respecto al análisis dimensional, se ejemplifica su utilidad aplicándolo para obtener la
ecuación de continuidad y de convección forzada. Igualmente se describe el teorema
Π ( )pi de Buckingham y su aplicación para conseguir distintos grupos
adimensionales, que se relacionen con el coeficiente de película. Finalmente, una vez
que se ha entendido la forma en que se obtiene una correlación, se utiliza la
metodología propuesta por Kern para la construcción de un intercambiador de calor de
tubos concéntricos, sujeto a restricciones de máxima caídas de presión dentro del
intercambiador de calor.
La metodología que se utiliza, es en primera parte, obtener un diseño de forma
heurística, es decir, elegir los tubos que conformarán el intercambiador de calor y con
base a esto hacer los cálculos correspondientes para observar que sucede con las
caídas de presión. Para obtener un diseño óptimo del mismo intercambiador de calor,
lo que se hace es un modelo matemático de optimización continuo, es decir, las
variables que corresponden a las dimensiones de los tubos son tratadas como variables
continúas y con el programa de optimización GAMS resolver este modelo y así llegar
a un diseño óptimo. Después se hace una corrección en el número de horquillas y
finalmente se ajusta el intercambiador de calor con la ayuda de una tabla de tubos
comerciales, obteniendo así un diseño óptimo de un intercambiador de calor de tubos
concéntricos con tubos comerciales.
7
CAPÍTULO 1
INTERCAMBIADORES DE
CALOR
INTRODUCCIÓN
Un intercambiador de calor (IC) es un dispositivo diseñado para realizar la
transferencia de calor de un fluido a otro fluido; en la mayoría de los casos la
transferencia de calor se realiza por medio de una pared. En esta sección se describen
los tipos de intercambiadores de calor, sus aplicaciones y las razones por las cuales se
ensucian.
1.1 TIPOS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR (HOLMAN, 1999; INCROPERA
Y COL., 1999)
Los tipos de intercambiadores de calor pueden clasificarse según diferentes
criterios, tales como el arreglo del flujo y el tipo de construcción. Una primera
clasificación podría ser la siguiente.
1.1.1 INTERCAMBIADORES DE CALOR DE TUBOS CONCÉNTRICOS
Un IC de tubos concéntricos, mostrado en la Fig. 1.1, es un dispositivo en el
cual un fluido con temperatura 1T a la entrada fluye por el tubo interior y otro fluido a
temperatura 2T fluye en la región anular de los tubos. Ambos fluidos están separados
por la superficie sólida del tubo interior a través de la cual se realiza el intercambio de
calor.
8
Fluido
Frío
Fluido
Caliente
TH2TH1
TF1
TF2
a)
Fluido
Frío
Fluido
Caliente
TH1TH2
TF1
TF2
b)
Figura 1.1. Intercambiadores de calor de tubos concéntricos. a) IC a co-corriente. b) IC a contracorriente.
Este tipo de intercambiadores se clasifica como:
1. Intercambiador a co-corriente: dispositivo en el que las corrientes que van
dentro del intercambiador de calor, es decir, el fluido caliente y el fluido frío
tienen la misma dirección, como se observa en la Fig. 1.2a.
2. Intercambiador a contraflujo: dispositivo en el que la corriente del fluido
caliente y la corriente del fluido frío llevan direcciones contrarias, como se
observa en la Fig. 1.2b.
El IC a contraflujo es más eficiente que el IC a co-corriente por una sencilla razón,
el equipo a contracorriente permite una mayor recuperación de calor. Para poder
explicar esto es necesario el análisis de las siguientes figuras, obtenidas de
experimentos (Kern y Col., 1999),
T
L
T
L
Fluido
Caliente
Fluido
Frío
Fluido
Caliente
Fluido
Frío
Fluido
Frío
Fluido
Frío
Fluido
Caliente
Fluido
Caliente
a) b)
Figura 1.2. Distribución de temperatura en intercambiadores de calor de
tubos concéntricos.
a) IC a co-corriente. b) IC a contracorriente.
9
La figura que se muestra en el esquema anterior, es el resultado de haber
graficado la temperatura de cada corriente en función de la longitud de intercambio de
calor. Si analizamos únicamente la corriente fría, podemos observar que en un arreglo
en contracorriente, el fluido frío alcanza una mayor temperatura que en el caso de un
arreglo a co-corriente, en donde a la salida del intercambiador de calor se tiene una
menor temperatura. Esto da lugar a una mayor recuperación de calor en el
intercambiador de calor a contracorriente.
1.1.2 INTERCAMBIADORES DE CALOR DE CORAZA Y TUBOS
Consiste en una serie de tubos lineales colocados dentro de un tubo muy
grande llamado coraza y representan la alternativa a la necesidad de una gran
transferencia en un IC pequeño, tal y como se muestra en la Fig. 1.3. Las formas
específicas difieren con el número de pasos de tubos y coraza.
Normalmente se instalan bafles para aumentar el coeficiente de convección del
fluido del lado de la coraza al producir turbulencia y una componente de la velocidad
de flujo cruzado. En la Fig. 1.4 se muestra un intercambiador de calor con deflectores
con un paso por la coraza y con dos por los tubos, mientras que en la Fig. 1.5 se
muestra el mismo intercambiador de calor, pero ahora con dos pasos por la coraza y
cuatro pasos por los tubos.
mA
mB
mA
mB
Figura 1.3. IC de coraza y tubos.
10
Salida de la
coraza
Entrada de la
coraza Salida de
los tubos
Entrada de
los tubos
Figura 1.4. IC un paso por la coraza y dos por los tubos.
Entrada de la
coraza Salida de
los tubos
Salida de la
coraza
Entrada
de los
tubos
Figura 1.5. IC con dos pasos por la coraza y cuatro pasos por los tubos.
1.1.3 INTERCAMBIADORES DE CALOR DE FLUJOS CRUZADOS
En ellos las corrientes de fluido forman un cierto ángulo entre sí, como se
muestra en la Fig. 1.6 y pueden estar construidos de placas de distintas formas y
arreglos. En este arreglo los fluidos se mueven de forma perpendicular entre sí, como
se muestra en los intercambiadores de calor de tubos con aletas y sin aletas de la
Fig. 1.7. Las dos configuraciones difieren según el fluido que se mueve sobre los tubos
de este mezclado o no mezclado. En la Fig. 1.7a, se dice que el fluido no está
mezclado, porque las aletas impiden el movimiento en una dirección, que es
transversal a la dirección del segundo flujo, en este caso la temperatura del fluido varía
con la dirección. Por el contrario para el conjunto de tubos sin aletas de la Fig. 1.7b, es
posible el movimiento del fluido en la dirección transversal que en consecuencia es
mezclado, y las variaciones de temperatura se producen, en principio en la dirección
de flujo principal.
11
mA
mAmB
mB
Figura 1.6. Intercambiador de calor de flujos cruzados.
Flujo
del tubo
Flujo
cruzado
a) b)Flujo
del tubo
Flujo
cruzado
Figura 1.7. Intercambiadores de calor de flujo cruzado. a) Sin mezclado. b) Con mezclado
1.1.4 INTERCAMBIADORES DE CALOR DE SUPERFICIE O RECUPERADORES
En ellos la transmisión de calor tiene lugar a través de una superficie no
habiendo mezcla de fluidos. Estos intercambiadores pueden clasificarse en función de
que existan o no cambios de fase. En caso de que exista cambio de fase, pueden ser
evaporadores o condensadores.
1.1.5 INTERCAMBIADORES DE CALOR DE CONTACTO DIRECTO
En ellos las corrientes entran en contacto una con otra íntimamente, cediendo
la más caliente directamente calor a la más fría. Generalmente se utilizan cuando las
dos corrientes en contacto son inmiscibles y no reaccionan entre sí, por tanto no
pueden utilizarse en sistemas gas-gas; pueden ser de una o varias etapas y con flujo en
contracorriente o cruzado. Un caso de importante aplicación es el intercambiador gas-
sólido de lecho fluido de la Fig. 1.8, en el que las partículas del sólido permanecen
12
suspendidas en la corriente de gas al equilibrarse las fuerzas aerodinámicas ejercidas
por ésta con el peso de las partículas. Debido a la amplia superficie de contacto gas-
sólido y a la rápida circulación de los sólidos en el lecho, suele ocurrir que la
temperatura de salida del gas y del sólido sean iguales, y que la de éste sea uniforme
en todo el lecho. Ello limita la eficacia de los de una etapa, por lo que se recurre a los
multietapa para mejorar la eficacia. Otro caso es el intercambiador gas-sólido de lecho
móvil, en donde las partículas de sólido cruzan la corriente de gas en cintas
transportadoras o parrillas móviles, tal y como se muestra en la Fig. 1.9. Hay también
intercambiadores de líquidos inmiscibles, o en donde uno de ellos se encuentra en
ebullición.
Tgas
Tsólido
Figura 1.8. Intercambiador de calor de contacto directo gas–sólido, de lecho
fluido, de tres etapas y en contracorriente.
Figura 1.9. Intercambiador sólido-gas, de lecho móvil, con cintas transportadoras.
13
1.1.6 INTERCAMBIADORES DE CALOR DE MEZCLA
En ellos el intercambio térmico va acompañado de intercambio másico. El
tratamiento adecuado para este tipo de intercambiadores requiere la utilización de
métodos que consideren simultáneamente transferencia de calor y de masa.
1.2 APLICACIONES DE LOS INTERCAMBIADORES DE CALOR (O. A.
JARAMILLO, 2007)
Los intercambiadores de calor se encuentran en muchos sistemas químicos o
mecánicos. Algunas de las aplicaciones más comunes se encuentran en calentamiento,
ventilación, sistemas de acondicionamiento de espacios, radiadores en máquinas de
combustión interna, calderas, condensadores, y precalentadores o enfriamiento de
fluidos. Un ejemplo de este tipo de intercambiadores de calor se muestra en la Fig.
1.10.
AguaVapor
Agua
caliente
Figura 1.10. Precalentador de mezcla de las turbinas de vapor.
A continuación se dan algunos ejemplos de las aplicaciones de los intercambiadores de
calor, usados en algunos sectores de la industria.
14
Energía: auxiliar de refrigeración del circuito de aislamiento, aplicaciones de
cogeneración, aplicaciones geotérmicas, refrigeración de aceite de lubricación,
refrigeración del motor diesel, recuperación de calor.
Refinería: enfriamiento de salmuera, intercambiador de agua, tratamiento de
petróleo crudo, intercambiador de petróleo crudo sin tratamiento, productos de
calefacción, refrigeración e intercambio de calor, chaqueta de agua de
refrigeración
Industria marítima: los intercambiadores a placas (ICP) son utilizados como
enfriadores de aceite, enfriadores de agua de refrigeración de los motores,
generadores de agua potable. El material de las placas de estos
intercambiadores es el Titanio, de menor peso que el acero inoxidable y
resistente a la corrosión del agua salina. En los generadores de agua potable
también se utilizan ICP, que a diferencia de los intercambiadores de tubos,
ocupan mucho menor espacio y son muy eficientes. Esto es particularmente
importante en los navíos, dado que el espacio y el peso son dos factores
cruciales en su construcción.
Alimentación y bebidas
Lechería: pasteurización de la leche, recepción de la leche, tratamiento de la
leche cultivada, leche UHT, crema de pasteurización, tratamiento de la mezcla
de helado, tratamiento térmico de la leche del queso.
Elaboración de la cerveza: ebullición de mosto, refrigeración del mosto,
refrigeración de la cerveza, pasteurización de la cerveza.
Bebidas: pasteurización de la miel y el producto final, calentamiento de agua y
el azúcar, disolución del producto final.
Procesamiento de frutas: pasteurización de jugos, néctares y concentrados,
enfriamiento del producto final.
Azúcar: calefacción del agua, del jugo, del jarabe y de la melaza.
Desmineralización y evaporación del jugo.
Farmacéutico: calefacción y refrigeración de productos, sistemas de
enfriamiento, sistemas de agua caliente, condensadores e intercambiadores.
Minería: calentadores y enfriadores del revestimiento, calentadores y
enfriadores de análisis, enfriadores de aceite de enfriamiento, el ácido
15
sulfúrico, ácido clorhídrico, peróxido de hidrógeno, dióxido de titanio, cloruro
alcalino, carbonato de sodio.
Pulpa y papel: refrigeradores de purga de licor, contenedores con sosa
caustica, calefacción, licor negro, purga de calderas de recuperación de calor.
Aplicaciones textiles: recuperación de calor, calefacción de la solución
cáustica y refrigeración arandelas.
1.3 EJEMPLOS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR (O. A. JARAMILLO,
2007)
1.3.1 PRECALENTADOR
En sistemas de vapor de gran escala, o en sistemas donde se requieren grandes
temperaturas, el fluido de entrada es comúnmente precalentado en etapas, en lugar de
tratar de calentar dicho fluido en una sola etapa desde el ambiente hasta la temperatura
final. El precalentamiento en etapas incrementa la eficiencia de la planta y minimiza el
choque térmico de los componentes, que es el caso de inyectar fluido a temperatura
ambiente en una caldera u otro dispositivo operando a alta temperatura. En el caso de
sistemas de generación de vapor, una porción del vapor generado es sustraído y
utilizado como fuente de calor para recalentar el agua de alimentación en etapas.
Al entrar el vapor al intercambiador de calor y fluir alrededor de los tubos, éste
transfiere su energía térmica y se condensa, el vapor entra por la parte superior de la
coraza del intercambiador de calor, donde transfiere no solamente el calor sensible
(cambio de temperatura) sino también transfiere su calor latente de la vaporización
(condensación del vapor en agua). El vapor condensado entonces sale como líquido en
el fondo del intercambiador de calor. El agua de alimentación entra al intercambiador
de calor en el extremo inferior derecho y fluye por los tubos, después de hacer una
vuelta de 180 , entonces el agua de alimentación parcialmente calentada está sujeta a
la entrada de vapor más caliente que entra a la coraza. El agua de alimentación es
calentada a mayor temperatura por el vapor caliente y después sale del intercambiador
de calor. En este tipo de intercambiador de calor, el nivel fluido del lado de la coraza
es muy importante en la determinación de la eficacia del intercambiador de calor.
16
Figura 1.11. Intercambiador de calor de tubos en "U" (O. A. Jaramillo, 2007)
1.3.2 RADIADOR
Algunas plantas dependen de intercambiadores de calor aire-líquido; el
ejemplo más familiar es un radiador de automóvil. El líquido refrigerante fluye por el
motor y toma el calor expelido y lo lleva hasta el radiador. El líquido refrigerante fluye
entonces por tubos que utilizan aire fresco del ambiente para reducir la temperatura del
líquido refrigerante. Ya que el aire es un mal conductor del calor, el área de contacto
térmico entre el metal del radiador y el aire se debe maximizar, lo cual se logra
INCORPORANDO ALETAS EN EL EXTERIOR DE LOS TUBOS. LAS ALETAS MEJORAN LA EFICACIA
DE UN intercambiador de calor y se encuentran comúnmente en la mayoría de los
intercambiadores de calor del aire-líquido y en algunos intercambiadores de calor
líquido-líquido de alta eficacia.
1.4. ENSUCIAMIENTO DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR (JAUME POUS,
2004).
En la mayoría de los casos, un intercambiador de calor disminuye la transferencia
de calor debido a la acumulación de una capa de suciedad o cualquier otra sustancia en
uno o los dos lados de las superficies del tubo. Estas capas aumentan por efecto del
17
uso; sin embargo, a veces es preferible mantenerlas que parar el equipo para limpieza
del intercambiador.
1.4.1 ENSUCIAMIENTO QUÍMICO
Es en el que cambios químicos en el fluido causan que se deposite una capa de
ensuciamiento sobre la superficie (interna o externa) de los tubos. Un ejemplo común
de este fenómeno es la expansión en una caldera causados por el depósito de sales de
calcio en los elementos de calentamiento conforme la solubilidad de las sales
disminuye al aumentar la temperatura. Este tipo está fuera del control del diseñador de
intercambiadores de calor pero puede ser minimizado controlando cuidadosamente la
temperatura del tubo en contacto con el fluido. Cuando se presenta este tipo de
ensuciamiento normalmente es eliminado mediante tratamiento químico o procesos
mecánicos (cepillos de acero, taladros o incluso pistolas de agua a alta presión en
algunos casos).
1.4.2 ENSUCIAMIENTO BIOLÓGICO
Causado por el crecimiento de organismos en el fluido que se depositan en la
superficie. Este tipo también está fuera del control del diseñador del intercambiador
pero puede verse influido por la elección de los materiales ya que algunos,
notablemente los latones no ferrosos, son venenosos para algunos organismos. Cuando
se presenta este tipo de ensuciamiento normalmente es eliminado mediante tratamiento
químico o procesos mecánicos abrasivos.
1.4.3 ENSUCIAMIENTO POR DEPÓSITO
En el que las partículas en el fluido se acumulan en la superficie cuando la
velocidad cae por debajo de cierto nivel crítico. Esto está en gran medida bajo el
control del diseñador ya que la velocidad crítica de cualquier combinación fluido-
partícula puede ser calculada para permitir un diseño en el que la velocidad mínima
sea siempre mayor que la crítica. Montar el intercambiador de calor verticalmente
también puede minimizar los efectos ya que la gravedad tiende a llevar las partículas
fuera del intercambiador fuera de la superficie de intercambio térmico. Cuando se
presenta este tipo de ensuciamiento normalmente es eliminado mediante procesos de
cepillado mecánico.
18
1.4.4 ENSUCIAMIENTO POR CORROSIÓN
En el que una capa de corrosión se acumula en la superficie del tubo, formando una
capa extra, normalmente de material con un alto nivel de resistencia térmica. Mediante
la elección adecuada de los materiales de construcción los efectos pueden ser
minimizados ya que existe a disposición del fabricante de intercambiadores un amplio
rango de materiales resistentes a la corrosión basados en acero inoxidable.
19
CAPÍTULO 2
ANÁLISIS DIMENSIONAL PARA
TRANSFERENCIA DE CALOR
INTRODUCCIÓN
El análisis dimensional consiste en la correlación de variables derivadas a
variables fundamentales en una sola ecuación, además de que es usado para
comprobar la veracidad dimensional de una expresión física, pero no es suficiente para
establecer una ley física. El Teorema Π ( )pi de Buckingham es el teorema
fundamental del análisis dimensional y a partir de él se obtienen los diferentes grupos
adimensionales de gran utilidad en procesos de transferencia de calor. En este capítulo
se aplica el análisis dimensional para deducir la ecuación de continuidad y la ecuación
de convección forzada. Es conocido que una correlación establece un modelo obtenido
de resultados experimentales y de leyes físicas, en este capítulo se deducen
correlaciones del coeficiente de película, h , con grupos adimensionales.
2.1 ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Y DE
CONVECCIÓN FORZADA (KERN D. Q., 1999)
2.1.1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Consideremos un fluido de densidad a una temperatura T que fluye con
velocidad u a través de un tubo de diámetro constante D y longitud L , como se
muestra en la Fig. 2.1, para deducir la ecuación de continuidad con un flujo másico m
estacionario, a partir del análisis dimensional.
20
D
L Figura 2.1. Flujo en una tubería
Para un problema físico, en el cual el parámetro dependiente se puede expresar
matemáticamente como Φ Φ , , , , 0m u A T , en principio puede evaluarse en
términos de una serie de potencias que contengan todas las variables y encontrar una
correlación entre ellas, esto es:
Φ 0a b c d e a b c d em A T A Tmu u (2.1)
donde los factores y ' son constantes adimensionales de proporcionalidad, A
denota el área transversal del tubo. En la expresión anterior se tienen dimensiones
idénticas para cada uno de los términos, por lo que solo es necesario considerar el
primer término de la serie. En base a lo anterior, la Ec. 2.1 se simplifica de la siguiente
manera,
1a b c d eu Am T (2.2)
en donde indica que es una función de las variables indicadas y está igualada a uno
por tratarse de una ecuación adimensional.
Cabe destacar que la elección de parámetros que intervienen en el problema es
meramente intuitivo y mediante el uso de la observación, ya que en un principio no se
tiene la certeza de los parámetros que en realidad intervienen en el problema, es
decir, no importa si se eligen parámetros que no alteren el problema de estudio, pues
éstos se descartarán al aplicar el análisis dimensional.
Se quiere que la variable dependiente m tenga como exponente a la unidad y
es por ese motivo que se selecciona al exponente 1a y así evitar que en la
expresión final se obtenga un valor fraccionario para este exponente,
b c d em u A T (2.3)
, , u T , , u T
21
La Ec. 2.3 se puede escribir dimensionalmente de la siguiente manera:
2
3
b dc eM L M
L Tt t L
Aplicando leyes de los exponentes a la expresión anterior,
2
3
b dec
b d
M L ML T
t t L
A continuación se aplican las leyes de los exponentes, para que de esta forma
se agrupen las dimensiones,
2 3d db eb cMM t L T
t
De la expresión anterior sale un sistema de ecuaciones, que nos permitirá
conocer los valores de las variables , , y b c d e .
: 1
: 1
: 0 2 3
: 0
M d
t b
L b c d
T e
A continuación se muestra la solución al sistema de ecuaciones anterior:
1 1 1 0b c d e
Como se puede observar el valor del exponente e que corresponde al
exponente de la temperatura, es igual a cero, lo que significa que la temperatura no es
un parámetro que influya para la obtención de la expresión final de la ecuación de
continuidad.
Sustituyendo el resultado del sistema de ecuaciones en la Ec. 2.3,
m Au
22
Experimentalmente se conoce que el flujo másico es exactamente proporcional
a , yA u , por lo tanto el valor de alfa es igual a uno y finalmente la expresión para
la ecuación de continuidad queda de la siguiente manera.
m Au (2.4)
2.1.2 ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LA ECUACIÓN DE CONVECCIÓN FORZADA
Consideremos un fluido incompresible viajando en régimen de flujo turbulento
por una tubería de diámetro uniforme con flujo másico constante.
D
L
Se observa experimentalmente lo siguiente:
1.- La transferencia de calor por convección forzada en un fluido incompresible
depende de la velocidad u , la densidad , el calor específico PC , la conductividad
térmica k , la viscosidad y así como por el diámetro interno de la tubería D .
2.- Las propiedades del fluido y , así como el diámetro del tubo y la
velocidad de flujo afectan el grueso de la película del fluido en la pared del tubo, a
través de la cual primero debe ser conducido el calor.
A continuación se muestra el perfil de temperaturas dentro del tubo mostrado
en la Fig. 2.1
T0T∞ T
Figura 2.2. Perfil de temperaturas dentro del tubo
23
La carga térmica puede ser calculada mediante la siguiente expresión
[ ]Btu
Q h A Thr
(2.5)
En dónde Q es el flujo de calor.
Para encontrar la relación entre el coeficiente de película h y las otras
variables, recordemos la ley de enfriamiento de Newton.
0 2
Btuq h T T
hr ft (2.6)
En donde q es el flux de calor, 0T es la temperatura en el seno del fluido y T
la temperatura de la pared interna del tubo. Dimensionalmente esta ley se escribe
como:
[ ]
HhT
At
En donde H es el calor absorbido o cedido debido a una diferencia de
temperatura. Ya que no se conoce si todos los términos de energía serán expresados
mecánica o térmicamente, se incorpora una constante dimensional,
2
2H
MLK
Ht
Entonces, el coeficiente de película puede expresarse como el producto de las
variables elevadas a una potencia, tal y como se hizo para la ecuación de continuidad,
1 a b d e f g iP Hu C D k K
a b d e f g iP Hh u C D k K (2.7)
en forma adimensional:
24
2
2 3 2
2
2 3 2
2
ia b d f ge
a b d f g i ie
a b d d f f f g g i i
H L M H H M M LL
t M T t LT t LL t T L H t
H L M H H M M LL
L t T t L M T t L T t L H t
H
L
2
3 2
1 1
a e i b g i d f
b f g a f g i d i d f
L L L M M M H H
t T L L L t t t t M H T T
Aplicando leyes de los exponentes se tiene que:
2 1 1 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a e i b f g a f g i b g i d d f i d fHL t T L t M H T
Para encontrar el valor de cada una de las variables, es necesario resolver el
siguiente sistema de ecuaciones.
: 1 -
: - 2 -3 - - 2
: -1 - - - - 2
: -1 - -
: 0 -
H d f i
L a b e f g i
t a f g i
T d f
M b d g i (2.8)
Tenemos 5 ecuaciones y 7 incógnitas, por lo que el sistema de ecuaciones
algebraicas no es cerrado. Una forma de resolver el sistema es hacerlo en términos de
las variables y a f . Este sistema se puede resolver con el siguiente resultado, el cual
es explicado en el apéndice A.1.
1- -1
1- - 0
b a d f e a
g f a i
Sustituyendo estos valores en la Ec. 2.7 se tiene que:
1 1 1 0
11
a a f a f a fP H
a fP
h u C D k K
CDuh kD
k
25
Reagrupando la expresión anterior, se llega a la siguiente expresión:
1
a fPChD Du
k k (2.9)
en donde las constantes , y a f deben obtenerse de forma experimental.
2.3 TEOREMA DE VASCHY-BUCKINGHAM (1914)
Este teorema establece que dada una relación física expresada mediante una
ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas
variables se expresan en términos de k dimensiones físicas, entonces la ecuación
original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n k
grupos adimensionales.
Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros
adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. Con el uso de
la experiencia se hace la elección de parámetros, ya que la elección de éstos no es
única y el teorema no elige cuáles tienen significado físico.
Si tenemos una ecuación física que refleja la relación existente entre las
variables que intervienen en un cierto problema debe existir una funciónΦ tal que:
1 2 , , . . . , 0 nA A A (2.10)
en donde iA son las n variables o magnitudes físicas, y se expresan en términos de k
unidades físicas independientes. Entonces la Ec. 2.10 se puede reescribir de la
siguiente manera.
1 2 , , . . . , 0n k (2.11)
La notación de i como parámetros adimensionales fue introducida por
Edgar Buckingham en su artículo de 1914, de ahí el nombre del teorema. No obstante,
la autoría del mismo debe adscribirse a Aimé Vaschy, quien lo enunció en 1892.
26
Este teorema de Buckingham indica que:
1. No todos los exponentes deben suponerse en una operación, puesto que los
grupos adimensionales se componen únicamente por tres o cuatro variables.
2. Todos los exponentes deben ser usados alguna vez.
3. El número de grupos adimensionales independientes es igual a la diferencia
entre el número de variables y el número de dimensiones usadas para
expresarlas.
2.3.1 CORRELACIÓN DEL NÚMERO DE NUSSELT A PARTIR DEL TEOREMA EN
CONVECCIÓN FORZADA
Se tiene una ecuación física que refleja la relación existente entre las variables
que intervienen en un problema, de la Ec. 2.11 se sigue que los grupos adimensionales
i deben ser construidos a partir de la siguiente expresión.
1a b d e f g i mP Hh u C D k K (2.12)
O bien, en forma dimensional:
2
2 3 2
ia b d e g mfH L M H H M L M
Lt M T t LT t LL t T L H t
(2.13)
Para encontrar el valor de cada exponente, es necesario resolver el siguiente
sistema de ecuaciones.
: 0
: 0 2 3 2
: 0
: 0 2
: 0
H a e g i
L a b d f g m i
T a e g
t a b g m i
M d e m i
(2.14)
Este es un sistema de ecuaciones algebraicas no cerrado puesto que se tiene 5
ecuaciones y 8 incógnitas. Se desea obtener una expresión para h como variable
dependiente, por esa razón se escoge a la variable a elevada a la primera potencia. Se
27
escoge el valor de uno para asegurar que en la expresión final no aparezca elevada a
una potencia fraccionaria.
Para saber cuántos grupos adimensionales pueden haber en la expresión final, a
partir del teorema se reconoce que hay 8n , variables, , , , , , , , Hh u c D k K y
5k unidades físicas , , , , H L M T t , por lo tanto el número de grupos adimensionales
independientes será igual a 3n k , que corresponde al número de grados de libertad
del sistema de ecuaciones. En el apéndice A2 se obtienen con todo detalle estos
grupos, dando como resultado:
' '1 1 1
' '2 2 2
' '3 3 3
( )
(Re)
(Pr)P
h DNu
k
u D
C
k
La expresión final es:
, , 0PCh D u D
k k (2.15)
De donde se sigue que:
1 1 2Re (Pr)hD
k
(2.16)
O bien:
1
P Pq qP PC ChD u D DG
k k k (2.17)
en donde el valor , y P q se obtiene de métodos experimentales.
Cabe señalar que los tres grupos adimensionales encontrados anteriormente no
son los únicos que pudieran existir, ya que la obtención de éstos depende de los
28
parámetros que se fijen al momento de resolver el sistema de ecuaciones. Puede darse
el caso en que los grupos adimensionales obtenidos no tengan sentido físico alguno,
aunque se haya aplicado correctamente el teorema pi de Buckingham.
Partiendo de la Ec. 2.11 para aplicar el teorema pi se sigue que:
' 1a b d e f g i mP Hh u C D k K
Para saber el número exacto de grupos adimensionales que salen de la ecuación
anterior, es necesario aplicar la siguiente expresión:
!Grupos adimensionales
!( - )!
n
k n k (2.18)
donde:
número de variables
dimensiones físicas
n
k
Para este caso el número total de grupos adimensionales que podemos obtener
a partir del teorema pi de Buckingham se calcula sustituyendo valores en la Ec. 2.18,
tal y como se muestra a continuación.
8 ! 565! 8 5 !
a b d e f g i m
1 × × ×
2 × × ×
3 × × ×
4 × × ×
56 × × ×
Figura 2.3. Matriz de combinaciones posibles usadas con el teorema pi .
Como se muestra en el la Fig. 2.3 podemos obtener 56 combinaciones de
grupos adimensionales diferentes, los cuales dependen de la elección que tomemos
29
para fijar las variables con las que cerremos el sistema de ecuaciones y también
repercute directamente en el sentido físico de la expresión final.
A continuación se muestra un caso en el que la elección de parámetros a fijar
para resolver el sistema de ecuaciones nos da como resultado tres grupos
adimensionales totalmente diferentes a los obtenidos anteriormente.
2
2 3 2
ia b d e g mfH L M H H M L M
Lt M T t LT t LL t T L H t
Para encontrar el valor de cada una de las variables, es necesario resolver el siguiente
sistema de ecuaciones.
: 0
: 0 2 3 2
: 0
: 0 2
: 0
H a e g i
L a b d f g m i
T a e g
t a b g m i
M d e m i
En el apéndice A3 se obtiene con todo detalle tres soluciones a este sistema de
ecuaciones algebraicas, dando como resultado los siguientes grupos adimensionales.
'1
PC
h D Derivado de suponer 1, 0 y 1e g m
'2 2
PC k Derivado de suponer 0, 0 y 1a f m
' '3 3 3 (Re)
u D Derivado de suponer 0, 1 y 0a d g
2.4 GRUPOS ADIMENSIONALES UTILIZADOS EN TRANSFERENCIA DE
CALOR (PI1, 2011; BIRD Y COL., 1999; INCROPERA Y COL. 1999)
30
Número de Reynolds (1883)
Relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y el diámetro de la tubería por
donde circula el fluido en una expresión adimensional. Interviene en numerosos
problemas de dinámica de fluidos. Este número es de gran utilidad para identificar el
régimen de flujo (laminar o turbulento),
Fuerzas inerciales Re
Fuerzas viscosas
u D (2.19)
En donde y son la densidad y viscosidad dinámica del fluido,
respectivamente; u la velocidad característica del fluido y D la longitud característica
del sistema como puede ser el diámetro de la tubería a través de la cual circula el
fluido.
Para flujo en tuberías el flujo es laminar cuando Re 2100 y turbulento cuando
3 52.1 x1 0 Re 10 (Bird y col., 1999).
Número de Prandtl (1904)
El Número de Prandtl ( Pr ) es un número adimensional proporcional al
cociente entre la difusividad de momento (viscosidad) y la difusividad térmica. Se
llama así en honor a Ludwig Prandtl y se define como:
Velocidad de difusión de momentoPr
Velocidad de difusión de calor
v
(2.21)
En donde es la viscosidad cinemática o y la difusividad térmica, la
cual se rescribe como p
k
C,
pC la capacidad calorífica a presión constante y
finalmente k denota la conductividad térmica. Sustituyendo la definición de la
difusividad térmica en la Ec.2.21, el número de Prandtl se reescribe como
Pr PC
k (2.22)
Número de Schmidt
31
El Número de Schmidt (Sc) es un número adimensional definido como el cociente
entre la difusión de cantidad de movimiento y la difusión de masa, y se utiliza para
caracterizar flujos en los que hay procesos conectivos de cantidad de movimiento y
masa. Se llama así en honor a Ernst Schmidt.
El número de Schmidt relaciona los grosores de las capas límite de cantidad de
movimiento y de masa. Se define como:
´
vSc
D
en donde:
v es la viscosidad cinemática.
´D es la difusividad másica.
El análogo al número de Schmidt en transferencia de calor es el número de
Prandtl.
Número de Péclet
El número de Péclet (Pe) es un número adimensional que relaciona la
velocidad de advección de un flujo y la rapidez de difusión, habitualmente difusión
térmica. Es equivalente al producto del número de Reynolds y el número de Prandtl en
el caso de difusión térmica, y al producto del número de Reynolds y el número de
Schmidt en el caso de difusión másica. Se llama así en honor a Jean Claude Eugène
Péclet.
Para difusión térmica, el número de Péclet se define como:
Rapidez de advección de flujo
Rapidez de difusión térmica
LVPe (2.23)
en donde L es una longitud característica y V es la velocidad del fluido.
Número de Grashof
32
El Número de Grashof (Gr) es un número adimensional proporcional al
cociente entre las fuerzas de flotación y las fuerzas viscosas que actúan en un fluido.
Se llama así en honor al ingeniero alemán Franz Grashof. Su definición es:
3
2
Fuerzas de flotación
Fuerzas viscosas
sg T T LGr
(2.24)
En donde g es la aceleración de la gravedad, el coeficiente de expansión térmica,
sT la temperatura de la superficie y T la temperatura ambiente.
Número de Rayleigh
El número de Rayleigh representado por Ra, dentro de lo que es la mecánica de
fluidos, es considerado como un número adimensional que se encuentra asociado con
la transferencia de calor dentro del fluido. Este número recibe su nombre en memoria
a Lord Rayleigh. En el caso que el número de Rayleigh, este se encuentra por debajo
de cierto valor, debido al paso de calor que se produce por la conducción; pero cuando
se encuentra por encima del valor crítico, entonces la transferencia de calor se realiza
por convección. Este número es el resultado del producto del número de Grashof y el
número de Prandtl. El número de Rayleigh cuando se encuentra en una convección
natural dentro de una pared vertical puede ser definido como:
PrRa Gr
Número de Nusselt
El Número de Nusselt (Nu) compara el aumento de la transmisión de calor
desde una superficie por la que un fluido fluye (transferencia de calor por convección)
con la transferencia de calor si ésta ocurriera solamente por conducción.
Así por ejemplo, en transferencia de calor dentro de una cavidad por
convección natural, cuando el número de Rayleigh es inferior a 1000 se considera que
la transferencia de calor es únicamente por conducción y el número de Nusselt toma el
valor de la unidad. En cambio para números de Rayleigh superiores, la transferencia
de calor es una combinación de conducción y convección, y el número de Nusselt
toma valores superiores,
33
Transferencia de calor por convección
Transferencia de calor por conducción
hLNu
k (2.25)
Ambas transferencias se consideran en la dirección perpendicular al flujo.
Número de Biot
El Número de Biot (Bi) relaciona la transferencia de calor por conducción
dentro de un cuerpo y la transferencia de calor por convección en la superficie de
dicho cuerpo. Este número tiene numerosas aplicaciones, entre ellas su uso en cálculos
de transferencia de calor en disipadores por aletas.
El número de Biot se define como:
Transferencia de calor por convección en la superficie
Transferencia de calor por conducción dentro de un cuerpoBi
h LBi
k (2.26)
Número de Brinkman
El Número de Brinkman (Br) es un número adimensional relacionado con la
conducción de calor desde una pared a un fluido viscoso en movimiento. Se usa
habitualmente en la fabricación y procesado de polímeros,
2
0
( )w
uBr
k T T (2.27)
En donde w 0T y T son las temperaturas de la pared y del fluido, respectivamente.
Número de Eckert
El Número de Eckert expresa la relación entre la energía cinética de un fluido
y su entalpía. Su nombre es en honor del profesor Ernst R. G. Eckert.
Se define como:
34
2 Energía cinética
Entalpía
p
uEc
C T (2.28)
En donde T es la diferencia de temperaturas característica del fluido.
Número de Rayleigh
En mecánica de fluidos, el Número de Rayleigh (Ra) de un fluido es un
número adimensional asociado con la transferencia de calor en el interior del fluido.
Cuando el número de Rayleigh está por debajo de un cierto valor crítico, la
transferencia de calor se produce principalmente por conducción; cuando está por
encima del valor crítico, la transferencia de calor se produce principalmente por
convección. Se define como:
3( )p
gRa T T L
v (2.29)
En donde, pT la temperatura de la pared y T la temperatura en el seno del fluido o
corriente libre.
Número de Fourier
En física e ingeniería el Número de Fourier (Fo) o Módulo de Fourier, llamado
así en honor a Joseph Fourier, es un número adimensional que caracteriza la
conducción de calor. Conceptualmente es la relación entre la velocidad de la
conducción de calor y la velocidad del almacenamiento de energía. Se define como:
2
tFo
L (2.30)
En donde t es el tiempo característico y L es la longitud a través donde la conducción
de calor ocurre.
Número de Lewis
35
El Número de Lewis (Le) es un número adimensional definido como el
cociente entre la difusividad térmica y la difusividad másica. Se usa para caracterizar
flujos en donde hay procesos simultáneos de transferencia de calor y masa por
convección. Se define como:
.Pr
ScLe (2.31)
Número de Stefan
El Número de Stefan (Ste) es un número adimensional que relaciona la
capacidad calorífica y el calor latente de cambio de fase o estado de un material.
ΔCp TSte
H (2.32)
En donde T es la diferencia de temperaturas entre fases y H es el calor latente, por
ejemplo: de fusión.
2.5 EXPERIMENTACIÓN Y CORRELACIÓN
Uno de los grandes problemas industriales es determinar la superficie de
transferencia de calor requerida para cumplir con las condiciones del proceso, lo cual
involucra conocer la correlación del coeficiente de película con otros parámetros del
sistema. Mediante el análisis dimensional se encontrarán las correlaciones necesarias,
apoyándose también en los resultados experimentales. Para poder obtener las
correlaciones recordemos que la ecuación de energía térmica se define como
2 1 pQ mC T T (2.33)
En donde M es la masa del fluido y pC es su capacidad calorífica. Las
temperaturas del fluido que entra caliente al sistema son 1 2 y T T a la entrada y a la
salida, respectivamente. Por otro lado, para el caso de convección forzada es necesario
utilizar la ley de enfriamiento de Newton, la cual se define como:
0bQ h T T (2.34)
36
Siendo 0 y bT T las temperaturas de la superficie sólida y la temperatura de mezcla de
fluido, respectivamente.
Consideremos un aparato experimental de diámetro y longitud conocidos y a
través del cual circula un líquido a varios gastos medibles (Kern, 1999) y que cuenta
con equipos para medir la temperatura del líquido a la entrada, 1T y a la salida, 2T así
como la temperatura de la pared del tubo. Igualando las Ecs. 2.33 y 2.34 obtenemos
que para este sistema
2 1 pQ mC T T h A T (2.35)
De donde se sigue que el coeficiente de película está dado por:
2 1( )
p
T Th mC
A T (2.36)
Similarmente, las temperaturas del fluido que entra frío son 1 2 y t t a la entrada y a la
salida, respectivamente.
2.5.1 APARATO EXPERIMENTAL
En la Fig. 2.4 se muestra un aparato utilizado para determinar el coeficiente de
película para líquidos que fluyen dentro de tuberías (Kern, 1999).
Figura 2.4. Aparato para determinar el coeficiente de película en un tubo (Kern D. Q., 1999)
La parte principal es el intercambiador de prueba que consiste en una sección
de prueba parecida a un intercambiador de tubos concéntricos.
37
Como se puede observar en la Fig. 2.4 se observa un intercambiador auxiliar, el
cual tiene una función opuesta al intercambiador de prueba, es decir, enfría cuando en
la sección de prueba es usada para calentar y viceversa. Cuando se realizan
experimentos de calentamiento, el líquido se recircula al intercambiador auxiliar
mediante una bomba centrifuga para bajar la temperatura del fluido.
Cuando se comienza a realizar el experimento, primero se mide la temperatura
del fluido con un termómetro, obteniendo 1t , inmediatamente después el fluido entra a
la sección de prueba y un tramo de tubo sin calentar antes de mezclarse y de que se
registre la temperatura 2t ; después el fluido entra al intercambiador de calor auxiliar y
baja su temperatura hasta 1t .
La ejecución del experimento requiere la selección de una temperatura inicial y
ésta se logra al recircular varias veces el fluido hasta que la temperatura en el enfriador
sea igual a la temperatura del depósito, es decir, la temperatura del depósito sea igual a
1t , después se selecciona un gasto dado. Cuando las temperaturas 1 2 y t t persisten por
cinco minutos o más, se registran estas temperaturas junto con el gasto másico, las
lecturas de los termómetros ubicados en el intercambiador y el incremento en el nivel
del condensado durante el tiempo de prueba.
2.6 EVALUACIÓN DE UNA CORRELACIÓN FORZADA A PARTIR DE LOS
EXPERIMENTOS DE MORRIS Y WHITMAN (1928)
Morris y Whitman (1928) obtuvieron una serie de datos durante el
calentamiento de gasóleo y aceite de parafina (“straw oil”) con vapor, en un tubo de
0.5in con una longitud de calentamiento de 10.125 ft. En la Tabla 2.1 se dan valores
de algunos de los parámetros que ellos obtuvieron.
38
Corridas de calentamiento de Gasóleo
1 2 3 4 5 6 7 8
Corrida
No [ / ]
m
lb hr 1 t
[°F]
2 t
[°F]
w t
[°F]
Q
[Btu/hr]
i Δt
[°F]
i
2
h
[Btu/ft hr °F]
B1 722 77.1 106.9 210.1 1015 115.7 53.6
B4 126 89.8 121.9 208 19350 98.5 120
B11 458 116.8 139.7 203 51900 66.9 474
B12 536 122.2 142.9 202.9 54900 62.3 538
Corridas de calentamiento de Straw oil
C11 353 100.5 115.7 205.5 25000 94 162
C12 372 163 175.1 220.1 22600 47.9 288
Tabla 2.1. Datos de Morris y Whitman
En donde 1 2 y t t son las temperaturas a la entrada y a la salida del aceite,
respectivamente; wt es la temperatura promedio de la superficie exterior del tubo, pt es
la temperatura uniforme en la superficie interna del tubo, G es el flujo másico y ih el
coeficiente de película. Las viscosidades, conductividades térmicas y calores
específicos de los fluidos pueden obtenerse de resultados experimentales (Kern, 1999),
los cuales se grafican en las Figs. 2.5, 2.6 y 2.7, respectivamente. Como puede verse
en esas figuras, ambas cantidades dependen de la temperatura a la que se encuentren
los fluidos en ese momento. Generalmente, las propiedades del fluido se evalúan a la
temperatura promedio 1 2
2
t tt . La conductividad térmica del metal se considera
constante e igual a 35 Btuh ft F
.
39
300
200
150
100
80
60
Tem
per
atu
ra
[
°F]
1.52 3 4 6 8 10 15 20Viscosidad [cP]
StrawoilGasóleo
Figura 2.5.Viscosidades de gasóleo y aceite de parafina (Kern, 1999).
10
15
20
25
30
35
40
45
5055
60
6570 °API
10
15
20
253035
40
45
5055
60
65
70 °API
Extrapolado
Temperatura [°F]
Co
nd
uct
ivid
ad t
érm
ica
k [
Btu
/(h
ft2 °
F/ft
) ]
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0 200100 300 400 500 600
Fig. 2.6. Conductividades térmicas de hidrocarburos líquidos (Kern, 1999)
40
700 800 900 1000
0 100 200 300 400 500 600 100 110 1200.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
K
Temperatura [°F ]
Ca
lor
Esp
eci
fico
[B
TU
/Lb
°F]
1.05
1.00
0.95
0.90
Fact
or
de
co
rre
cció
n p
ara
esp
ecí
me
ne
s co
n k
dif
ere
nte
de
11
.8
10
20
30
40
506070
1.00
0.934
0.780
0.8780.825
0.7390.702
SP. GR.
A.R.I
ETA
NO
PR
OPA
NO
I-B
UT
AN
ON
-BU
TA
NO
I-PEN
TAN
O
N-P
ENTA
NO
N-H
EXA
NO
Figura 2.7. Calores específicos para hidrocarburos líquidos.
Para poder obtener una correlación de la forma dada en la Ec. 2.9 a partir de los
datos experimentales, esto es, obtener los valores de los exponentes, se proponen dos
tipos de solución, una algebraica y otra gráfica. Teniendo en cuenta que es necesario
determinar si el flujo es turbulento, régimen para el cual este tipo de correlación es
válida.
La Ec. 2.9 puede rescribirse en función de los números de Reynolds y de Prandtl,
Re Prp qNu (2.37)
En donde , y p q pueden ser obtenidas algebraicamente tomando los datos para
tres puntos de prueba.
2.6.1 MÉTODO ALGEBRAICO PARA CORRELACIÓN DE NUSSELT
Para poder demostrar la validez de la Ec. 2.37 se calculan los números de Nusselt,
Reynolds, Prandtl, a partir de las propiedades del fluido y del diámetro del tubo,
41
considerando las corridas B4, B12 y C12 de la Tabla 2.1. Los valores de las variables
en cada fluido se reportan en la Tabla 2.2.
Corridas de calentamiento de Gasóleo
1 9 10 11 12
Corrida
No
B1 35.5 342000 2280 47.2
B4 79.5 597000 4620 41.4
B11 313 2176000 20950 34.1
B12 3.56 2538000 25550 32.9
Corridas de calentamiento de Straw oil
C11 107.5 1675000 3880 133.3
C12 191 1767000 10200 57.8
Tabla 2.2. Números adimensionales obtenidos a través de los datos experimentales
en las corridas.
Sustituyendo los datos de la Tabla 2.2 en la Ec. 2.37 para cada una de las corridas, se
obtienen las siguientes expresiones.
C12: 1 91 10200 57.8
B12: 356 25550 32.9
B4: 79.5 4620 41.4
p q
p q
p q
Ahora se saca el logaritmo natural a ambos lados de cada ecuación para cambiar la
forma de la expresión, ya que de esta forma se quitan las potencias.
12 : 2.2810 log 4.0086 1.7619
12 : 2.5514 log 4.4065 1.5172
4 : 1 .9004 log 3.6646 1.6170
C p q
B p q
B p q
De las tres ecuaciones anteriores se forma un sistema de ecuaciones, el cual
esta formado por tres ecuaciones y consta de tres incógnitas, por lo que el sitema es
cerrado y puede tener solución. La solución al sistema de ecuaciones se muestra a
continuación.
0.00682 0.93 0.407p q
42
Sustituyendo estos valores en la Ec. 2.37 se obtiene la siguiente correlación para el
número de Nusselt.
0.93 0.4070.00892Re PrNu (2.38)
En algunos casos esta expresión se simplifica haciendo un redondeo para el exponente
del número de Prandtl fijando 1/ 3q , esto es:
0.93 1/30.00892Re PrNu (2.39)
2.6.2 MÉTODO GRÁFICO DE LA CORRELACIÓN DE NÚMERO DE NUSSELT
Este método es utilizado cuando se tiene un gran número de puntos. Se empezará
por rescribir la Ec. 2.37 como
Pr Req pNu (2.40)
Esta expresión tiene la forma de una curva dada por la ecuación py x ,
tomando el logaritmo en ambos lados de la ecuación para y .
log log logy a p x
La cual se reduce en coordenadas logarítmica a la ecuación de una recta
α pxy (2.41)
De las Ecs. 2.40 y 2.41 se sigue que Rex , Pr qy Nu y p es la pendiente
de los datos cuando se gráfica y vs x ; el valor de alfa representa la ordenada al origen.
Para graficar la Ec. 2.40 es necesario considerar un valor de q , para el cual se tenga
una mínima dispersión de datos, esto es, que el ajuste de una recta a los valores
experimentales sea óptimo.
Ahora consideremos la corrida B1 de la Tabla 2.1, la cual consiste de una
prueba de gasóleo. Los datos observados durante el experimento son:
43
[ / ]
m
lb hr 1 t
[°F]
2 t
[°F]
w t
[°F]
722 77.1 106.9 210.1
De donde se sigue que la diferencia de temperaturas a la entrada 2t y a la
salida 1t del tubo son:
2 208.7 77.1 131.6 t F
1 208.7 106.9 101.8 t F
Ahora ya se puede calcular la diferencia de temperaturas media logarítmica.
2 1
2
1
115.7
logi
t tt LMTD F
t
t
Los valores físicos del tubo de 0.5 in son:
Longitud
[ ]ft
Diámetro
interno
[ ]in
Diámetro
externo
[ ]in
Superficie
2ft
Btu
h ft F
10.125 0.62 0.84 1.65 35
Las propiedades físicas del fluido obtenidas a partir de las Figs. 2.5, 2.6 y 2.7
para la temperatura media son:
t
F
lbhr ft
Btu
lb F
k
P
Btulb F
C
92 7.8 0.078 0.472
A partir de los valores de la tabla anterior se resuelven las siguientes expresiones:
44
El flux másico está dada por la siguiente expresión:
22 2
2
3.140 0.624
40 12
722342000 lb
h ftDG
m
El flujo de calor está dado por la siguiente expresión:
2 2 722 0.472 106.7 77.1
10150
BtuP lb
lbh
Btu
F
h
Q m t t F
Q
C
La temperatura en la superficie interior del tubo ( )pt se obtiene como la
diferencia de la temperatura en la superficie exterior del tubo ( )wt y la temperatura
obtenida después de que el proceso de conducción de calor se dio a través del espesor
del tubo. La ecuación que determina esta temperatura está dada por (Kern, 1999, Cap.
2, Ec. 2.31)
2
1
2.3log
2p w
Dqt t
k D
en donde q es el flujo de calor por pie lineal y está dado por la siguiente expresión.
10150 /1007
10.125
Q Btu h Btuq
L pie h ft
Sustituyendo este valor en la ecuación para pt se tiene que:
2
1
2.3 10072.3 0.84 log 210.1 log 208.7
2 2 3.14 35 0.62p w
Dqt t F
k D
Anteriormente se definió la ecuación para el cálculo de la carga térmica y para este
instante ya es posible saber el cálculo del coeficiente de película:
iQ h A t
45
Despejando el coeficiente de película de la ecuación anterior y sustituyendo valores a
cada variable se tiene que:
2
1015053.6
1.65 115.7Btu
h ft Fi
Qh
A t
Con los datos anteriores se calculan los números de Nusselt, Reynolds y Prandtl,
Nu Re Pr
35.5 2280 47.2
Sustituyendo estos valores y suponiendo 1 y 1/ 3q q en la Ec. 2.40 se obtienen
los siguientes valores.
1/3
0.75Pr
9.83Pr
H
H
Nuj
Nuj
En la Fig. 2.8a se muestran la recta asociada a ReHj vs con un valor de 1q
para los dos aceites. Al ajustar 13
q se obtiene una sola curva que contempla ambos
aceites, como se observa en la Fig. 2.8.b. De esta manera concluimos que el valor
1/ 3q , es el mejor valor ya que de esta manera se está obteniendo una sola ecuación
para la correlación de los dos fluidos.
En la gráfica se puede medir la pendiente, la cual es 0.90 y se obtiene de
extrapolar la recta hasta que Re 1 , obteniéndose el valor 0.0115 en la
intercepción. De esta forma se obtiene una correlación de manera gráfica para el
número de Nusselt.
1
0.9 30.0115Re PrNu (2.42)
46
15
10
8
6
5
4
3
2
1.5
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8
1.0
1
1.5
2
3
4
56
8
10
15
20
30
4050
60
80
100
150
2,000 5,000 10,000 20,000
ReDG
1 3ihD
cH
kk
j2,000 5,000 10,000 20,000
0.1
0.15
0.2
ReDG
1.0
iH
hD
cj
kk
0.90 Pendiente
o Gas oil+ Straw oil
o Gas oil+ Straw oil
Figura 2.8. Re a) 1 b) 1/ 3H vs q qj
2.7 CORRELACIONES PARA EL NÚMERO DE NUSSELT
Existen muchas correlaciones empíricas expresadas en términos del número de
Nusselt, por ejemplo placas planas, cilindros, dentro de tuberías, etc., que
generalmente evalúan el número de Nusselt medio en una superficie. Estas
correlaciones son función de grupos adimensionales como ya se encontró en la sección
anterior, esto es:
(Re,Pr)Nu Nu
A continuación se darán algunas correlaciones para diferentes intercambiadores de
calor.
Correlación de Dittus & Boelter (1930) (INCROPERA F.P. 1999)
La siguiente expresión es utilizada para calcular el número de Nusselt, para flujo
turbulento completamente desarrollado, en un tubo circular suave.
451,023Re Prn
DNu
47
En donde DNu es el número de Nusselt considerando como longitud característica el
diámetro o diámetro hidráulico. Esta correlación se puede usar bajo las siguientes
condiciones.
0.7 Pr 160
Re 10,000
10L
D
El exponente de Pr tiene el valor de 0.3n cuando el fluido se enfría y 0.4n
cuando el fluido se calienta. Se puede utilizar tanto en cálculos en condiciones de
temperatura de pared y flujo de calor constantes.
Correlación de Sieder y Tate (1936) (Bird R. B., Stewart W. E., Lightfoot E.
N., 1999)
Esta correlación se utiliza en aplicaciones en donde la influencia de la temperatura
en las propiedades físicas es significativa y principalmente donde se tiene flujo
completamente desarrollado en un tubo liso.
0.144
0.45
0
0.023 DNu Re Pr
En donde 0 y son la viscosidad evaluada en la temperatura del seno del fluido y a
la temperatura de la pared, respectivamente.
Consideraciones de aplicación:
Esta correlación es válida para los rangos 4D0.7 Pr 16700 y Re 10
Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura del fluido excepto μ0.
Se puede utilizar tanto en cálculos en condiciones de temperatura de pared y
flujo de calor constantes.
48
2.8 FACTOR DE FRICCIÓN EN TUBERÍAS (WHITE, 2008)
A medida que un fluido fluye por un conducto, tubo o algún otro dispositivo,
ocurren pérdidas de energía debido a la fricción que hay entre el líquido y la pared de
la tubería, tales factores traen como resultado una disminución de la presión entre dos
puntos del sistema de flujo.
El factor de fricción o coeficiente de resistencia de Darcy-Weisbach f es un
parámetro adimensional que depende del número de Reynolds y de la rugosidad
relativa . Para calcular las pérdidas de energía por fricción en una tubería puede
utilizarse la expresión racional de Darcy-Weisbach. El cálculo del factor de fricción
depende del régimen de flujo.
a) Para régimen laminar Re 2000 el factor de fricción se calcula como:
64f
Re
En régimen laminar, el factor de fricción es independiente de la rugosidad relativa y
depende únicamente del número de Reynolds.
b) Para régimen turbulento Re 4000 el factor de fricción se calcula en función
del tipo de régimen.
Para régimen turbulento liso, se utiliza la Ecuación de Kármán-Prandtl.
1 2.512log
f Re f
En el régimen turbulento liso, el factor de fricción es independiente de la
rugosidad relativa y depende únicamente del número de Reynolds.
Para régimen turbulento intermedio se utiliza la primera Ecuación de
Colebrook simplificada.
49
1.111 6.91.8 log
3.7Ref
Para régimen turbulento rugoso se utiliza la segunda Ecuación de Kármán-
Prandtl.
12 log
3.7f
f
En régimen turbulento rugoso, el factor de fricción depende solamente de la rugosidad
relativa. Alternativamente a lo anterior, el coeficiente de fricción puede determinarse
de forma gráfica mediante el Diagrama de Moody.
Una vez conocido el coeficiente de fricción se puede calcular la pérdida de carga en
una tubería debida a la fricción mediante la ecuación de Darcy-Weisbach,
2
2f
Luh f
Dg
donde fh es pérdida de carga debida a la fricción.
2.8.1 DIAGRAMA DE MOODY
Es la representación gráfica en escala doblemente logarítmica del factor de
fricción en función del número de Reynolds y la rugosidad relativa de una tubería. La
ecuación de Darcy-Weisbach aparece el término el factor de fricción de Darcy,
conocido también como coeficiente de fricción. El cálculo de este coeficiente no es
inmediato y no existe una única fórmula para calcularlo en todas las situaciones
posibles. Se pueden distinguir dos situaciones diferentes, el caso en que el flujo sea
laminar y el caso en que el flujo sea turbulento.
En el caso de flujo laminar el factor de fricción depende únicamente del
número de Reynolds. Para flujo turbulento, el factor de fricción depende tanto del
50
número de Reynolds como de la rugosidad relativa de la tubería, por eso en este caso
se representa mediante una familia de curvas, una para cada valor del parámetro kD
,
donde k representa la rugosidad relativa (rugosidad directamente medible en el tubo)
y el resultado de este cociente , es el valor de la rugosidad relativa. En la Fig. 2.9 se
puede observar el diagrama de Moody.
Número de Reynolds, Re
Coef
icie
nte
de
fric
ción
, f
Rugosi
dad
rel
ativ
a,
Régimen laminar Régimen turbulento
Re
64
210 310 410510 610
0.05
0.02
0.03
0.005
0.002
0.001
0.0001
0.01
1.00
0.60
0.40
0.30
0.80
0.06
0.20
0.10
0.08
0.04
0.03
0.02
0.01
Figura 2.9. Diagrama de Moody. Ven te Chow. (1959)
51
Capítulo 3
DISEÑO DE UN
INTERCAMBIADOR DE CALOR
DE TUBOS CONCÉNTRICOS
INTRODUCCIÓN
Para diseñar un intercambiador de calor de tubos concéntricos se parte de datos
ya conocidos, a estos datos se les conoce como parámetros. Se debe tomar en cuenta
todos aquellos parámetros que pudieran afectar el diseño de un intercambiador de
calor y con la metodología de cálculo usada por Donald Q. Kern, que a su vez usa
correlaciones previamente publicados en la literatura, para llegar al diseño de un
intercambiador de calor de tubos concéntricos.
Ahora para ser más preciso supóngase que se cuenta con dos corrientes de
intercambio, una fría y una caliente las cuales se colocarán dentro de cada uno de los
tubos de un intercambiador de calor de tubos concéntricos usando el criterio del mayor
flujo másico. Cabe destacar que algunos de los parámetros de los que se habló
anteriormente son las propiedades de los fluidos, tales como: capacidad calorífica,
viscosidad, conductividad térmica, densidad y las temperaturas de entrada y objetivo.
Las cuales afectan la transferencia de calor y son tomadas como valores promedio a
una cierta temperatura.
Una segunda parte en la recopilación de parámetros, es la elección de los tubos
que conformarán el intercambiador de calor y para hacer esto nos debemos basar en
tablas de tubos comerciales, ya que si quisiéramos construir el intercambiador con
medidas específicas para los tubos, se elevaría el costo de construcción del
52
intercambiador de calor. La elección de tubos debe estar acorde a la caída de presión
permitida pues pudiera ser el caso de obtener un intercambiador de calor
sobredimensionado o un intercambiador que exceda el límite de caída de presión
permitido. Por este motivo la selección de tubos se convierte en un método de prueba
y error, por lo que de forma heurística se buscará un arreglo de un intercambiador de
calor de tubos concéntricos que respete la restricción que se tiene como límite en la
máxima caída de presión.
3.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
A continuación se realiza una formulación simplificada del problema, para la
construcción de un intercambiador de calor de tubos concéntricos en la que se hacen
las siguientes suposiciones: flujo a contracorriente, que las capacidades caloríficas son
constantes, calculadas para un valor intermedio de la temperatura, que no existe
cambio de fase en las corrientes de proceso, que la pared externa del intercambiador es
adiabática.
Se quiere realizar una tarea de transferencia de calor mediante un intercambiador de
calor de tubos concéntricos donde se tienen dos corrientes de proceso, una que debe
enfriarse y otra que debe calentarse.
Se conoce de ambas corrientes:
Flujo másico
Temperaturas de suministro y objetivo
Capacidad calorífica promedio
Viscosidad promedio
Densidad promedio
Conductividad térmica promedio
Velocidad promedio mínima y máxima permitida
Caída máxima de presión máxima permitida
53
3.1.1 OBJETIVO
Construir un diseño de un intercambiador de calor de tubos concéntricos que
realice las tareas de enfriamiento y calentamiento, respetando las máximas caídas de
presión permitidas en cada tubo.
3.2 Caso de estudio (Kern D. Q. 1999, 31ª Ed., Ejemplo 6.1)
Se desea calentar una corriente de 9,820 lbhr
de benceno frío de 80 a 120 °F.
Para realizar esta tarea se dispone de una corriente de tolueno caliente que puede
enfriarse de 160 a 100 °F. Diseñe un intercambiador de calor para realizar la tarea de
calentamiento asignando un factor de obstrucción de 0.001 a cada corriente,
permitiendo una caída de presión máxima de 210 flb
in para cada corriente.
Prensa estopa
Cabezal de retorno
Codo
“T”
Prensa estopaPrensa estopa
Figura 3.1. Diseño de una horquilla usada para la construcción de un intercambiador de calor de tubos concéntricos.
En la Fig. 3,1 se muestra el diseño de una horquilla, las cuales se usan para la
integración de un intercambiador de tubos concéntricos y el número de estas depende
de las condiciones de operación. Más adelante, en este capítulo se hace el cálculo para
el número de horquillas a utilizar en el caso de estudio.
54
3.2.1 ASIMILACIÓN DE INFORMACIÓN
En la Tabla 3.1 se muestran las temperaturas de entrada y objetivo en cada
corriente, así como el flujo másico y las capacidades caloríficas de cada fluido, pues a
partir de esto se hará un balance de masa y energía, que darán como resultado el valor
de los datos faltantes en la misma tabla.
Fluido
lbhr
m
P
Btulb F
C
inT
F
outT
F
/ dis req
Btuhr
Q
Benceno 9,820 0.425 80 120 -
Tolueno - 0.44 160 100 -
Tabla 3.1. Parámetros del benceno y tolueno
En la Fig. 3.2 se muestra el perfil de temperaturas en cada corriente, es decir,
para el fluido caliente y el fluido frío. Donde hdt es la diferencia de temperatura en el
lado caliente del intercambiador de calor y cdt denota la diferencia de temperatura en
el lado frio del intercambiador de calor. En la tabla 3.1 se muestran las temperaturas
objetivo, así como las temperaturas de entrada en el intercambiador de calor.
80 °F
140 °F
160 °F
120 °F
100 °F
80 °F
140 °F
160 °F
120 °F
100 °F
Tolueno
Benceno
dtc= 20 °F
dth= 40 °F
Figura 3.2 Perfil de temperaturas dentro del intercambiador de calor
55
3.2.2 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
En la Tabla 3.2 se muestran las propiedades para cada fluido, calculadas a una
temperatura promedio. Estas propiedades se irán utilizando según se avance en el
desarrollo del problema, ya que de los valores de estas propiedades depende el
resultado del intercambiador de calor.
@ 130Tolueno F @ 100Benceno F
/ PC Btu lb F 0.44 0.425
/ lb ft hr 0.99 1.21
2 [ / ( / )]k Btu h ft F ft 0.085 0.091
3 [ / ]lb ft 54.3 55
Tabla 3.2. Propiedades de los fluidos de intercambio de calor.
3.2.3 PROPUESTA DE TUBOS
Ahora se procede a proponer los tubos que se usarán en la construcción del
intercambiador de calor. Para este capítulo las dimensiones deben darse o proponerse,
por lo que se usará el apéndice X del libro Kern D. Q. (1999) como referencia para
seleccionar dichas dimensiones. Recordemos que la finalidad de ocupar esta tabla es
para disminuir el costo de construcción del intercambiador de calor, pues estos tubos
son de uso comercial y en consecuencia son resultan más baratos.
En la Tabla 3.3 se muestra la propuesta de tubos a usar, así como las
dimensiones de cada uno de los tubos, mismas que se encuentran directamente en el
apéndice.
56
Tubo interior
1 ¼, . 40 Ced
Tubo exterior
2’’, . 40Ced
Diámetro interno, iD 1.38 ~ 0.115 in ft 2.067 ~ 0.17225 in ft
Diámetro externo, eD 1.66 ~ 0.13833 in ft 2.38 ~ 0.19833 in ft
Área de flujo, AF 2 21.50 ~ 0.0104 in ft
2 23.35 ~ 0.0233in ft
Superficie interior por pie
lineal, SPI
2
0.362 inft
2
0.542 inft
Superficie exterior por pie
lineal, SPE
2
0.435 inft
2
0.622 inft
Peso por pie lineal, PPL 2.28 lbft
3.66 lbft
Tabla 3.3. Dimensiones de tubería de la propuesta de tubos
3.3 METODOLOGÍA DE CÁLCULO
Básicamente la metodología de cálculo que se ocupa en este capítulo es la que
ocupa Kern (Kern D. Q., 1999. Procesos de Transferencia de calor, 31a Ed.) en la
resolución del caso de estudio en su libro, la diferencia solo radica en los puntos en
que se subdividen los cálculos para obtener el diseño de un intercambiador de tubos
concéntricos. A continuación se enlistan los pasos para encontrar un diseño de un
intercambiador de tubos concéntricos.
Cálculo del flujo másico y del calor requerido o disponible.
Cálculo de coeficiente de película.
Cálculo del coeficiente global de transferencia de calor.
Diseño del intercambiador de calor.
Análisis de resultados.
57
3.3.1 CÁLCULO DEL FLUJO MÁSICO Y DEL CALOR REQUERIDO O DISPONIBLE
Ya que se trata de un intercambiador de tubos concéntricos, la transferencia de
calor que se requiere puede ser calculada mediante la aplicación de la ecuación de
transferencia de calor,
lnQ U A T (3.1)
donde A representa el área donde se llevará a cabo la transferencia de calor, U el
coeficiente global de transferencia de calor y lnT la diferencia de temperaturas
logarítmica, la cual se define como:
h cln
h
c
dt dtT
dtln
dt
(3.2)
Tomando los valores de la Tabla 3.1 y sustituyendo en la Ec. 3.2 para obtener
el valor de la diferencia media de temperaturas logarítmica LMTD, se obtiene el
siguiente valor:
40 20 28.854
40
20
ln
F FT F
Fln
F
Por otra parte la carga térmica también puede ser calculada mediante el uso de
un balance de energía, y bajo la observación de que dentro del intercambiador de calor
no hay cambio de fase en ninguna corriente. Además, se considera que el valor del
calor específico permanece constante en cada fluido, tal y como se puede observar en
el desarrollo del problema se tiene que,
PQ Cm T (3.3)
Con los datos contenidos en la Tabla 3.1 para el benceno y aplicando la Ec. 3.3, se
obtiene la carga térmica disponible, misma que se usará para poder encontrar el flujo
másico de la corriente de tolueno. Cabe destacar que se ha introducido el uso de los
subíndices B y T para referirse al benceno y al tolueno respectivamente.
58
Corriente de Benceno
, P BB BmQ C T
9,820 0.425 120 80 166,940
lb Btu BtuQ F
hr lb F hr
Corriente de Tolueno
Despejando el flujo másico del tolueno de la Ec. 3.3 se tiene la siguiente
expresión, la cual está en términos de variables ya conocidas y por lo tanto es posible
saber el valor del flujo másico del tolueno:
,pT
T T
mQ
C T
Sustituyendo valores en la ecuación anterior, se obtiene el valor del flujo másico del
tolueno:
166,940
6,323.485
0.44 160 100
T
Btu
lbhrBtu hr
Flb F
m
El criterio para decidir que corriente se debe colocar en que tubo depende del flujo
másico de cada corriente. Este criterio dice que la corriente con un flujo másico mayor
se colocará en el espacio con un área de flujo mayor (espacio anular o tubo interno) y
en consecuencia el otro fluido se colocará en el otro espacio. Usando el criterio
anterior, a continuación se hace la distribución de fluidos dentro del intercambiador de
calor.
Tubo interior
2 0.0104 Área de flujo ft
Espacio anular
59
22 2 2 2 2
2
1 2.067 1.66 1.1914 ~ 0.00827
4 12
ftÁrea de flujo in in ft
in
A manera de resumen, en la siguiente tabla se muestra la forma en que
colocaron los fluidos dentro del intercambiador de calor:
Colocación de fluidos
Tubo interior Espacio anular
Benceno Tolueno
Tabla 3.4. Colocación de fluidos.
La Fig. 3.2 se muestra la forma en que se colocaron los fluidos dentro del
intercambiador de calor, es decir, el tolueno se colocó en el espacio anular y el
benceno en el tubo interno.
Figura 3.2. Colocación de fluidos.
3.3.2 CÁLCULO DE COEFICIENTE DE PELÍCULA
Como ya se estudió en el Capítulo 2, el coeficiente de película se puede obtener
mediante el uso de correlaciones, una opción es despejándolo del número de Nusselt
haciendo uso de la correlación propuesta por Sieder y Tate (1936) y finalmente
obtener el coeficiente global de transferencia de calor. A continuación se mencionan
Tolueno Benceno
60
las ecuaciones que se usarán en el cálculo del coeficiente de película así como el
análisis dimensional de cada una de ellas.
Flux másico G
2 2
Área de flujo
lb
lbhrGft hr
m
ft (3.4)
Número de Reynolds Re
2
[ ] adimensional
lbft
DG hr ftRe
lb
ft hr
(3.5)
Número de Prandtl Pr
2
Pr [ ] adimensional
p
Btu lb
C lb F ft hr
Btuk
Fhr ft
ft
(3.6)
Coeficiente de Película h
2 0.141 0.8 3
20.027 [ ]
Btu
Fhr ft
ft
wi
k Btuh Re Pr
D ft hr ft F (3.7)
A continuación se procede a realizar el cálculo del coeficiente de película para el tubo
interior aplicando la Ec. 3.4. Sustituyendo valores para hacer el cálculo del flux
másico en el tubo interno,
2 2
9,820 944,230.769
0.0104
lbh lb
Gft hr ft
De la misma manera, en la Ec. 3.5 se sustituyen valores para el cálculo del
número de Reynolds,
61
20.115 944,230.77
89,740.941
1.21
lbft
hr ftRe
lb
ft hr
Ahora para encontrar el número de Prandtl se sustituyen las propiedades del
benceno en la Ec. 3.6,
2
0.425 1.21
5.651
0.091
Btu Lb
lb F ft hrPr
Btu
Fhr ft
ft
Finalmente se sustituyen los valores obtenidos anteriormente en la Ec. 3.7 para
obtener el valor del coeficiente de película dentro del tubo interno,
2
10.8
320
0.091
0.027 89,740.94 5.651 348.9860.115
Btu
Fhr ft
ft Btuh
ft hr ft F
En intercambiadores de doble tubo es costumbre usar la superficie exterior del
tubo interno como la superficie de referencia para el cálculo de la Ec. 3.7, y puesto que
el coeficiente de película, ih , se ha determinado para iA , es decir, para el área interna
del tubo externo, se debe hacer una corrección al coeficiente de película en el área
interna del tubo interno. Dicha corrección está dada por la siguiente ecuación.
0i i
i i ie
A Dh h h
A D (3.8)
donde Di es el diámetro interno y De el diámetro externo del tubo interno.
A continuación se hace el análisis dimensional en el cálculo en la corrección al
coeficiente de película.
62
2 2
iio i
D Btu ft Btuh h
De fthr ft F hr ft F
2 2
0.115 348.986 290.13
0.13833 io
Btu ft Btuh
fthr ft F hr ft F
Velocidad Promedio
Algo muy importante que se debe tomar en cuenta, es el valor de la velocidad
promedio que se tiene en cualquiera de las regiones del intercambiador de calor, pues
esta no debe de exceder los 6ft
s, ya que de lo contrario podría provocarse vibraciones
en el intercambiador de calor y golpeteo en los retornos y en consecuencia disminuir el
tiempo de vida útil del intercambiador de calor. Por otra parte la velocidad promedio
no debe estar por debajo de los 2ft
s para evitar ensuciamiento por deposición, y en
consecuencia tener paros frecuentes en el intercambiador de calor, para hacerle
limpieza.
3
lb
Re ftft hrv
lbD hrft
ft
(3.9)
3
89,740.94 1.21 1
17,167.83 ~ 4.7688 3600
55 0.115
lb
ft hr ft hr ftv
lb hr s sft
ft
min 2 4.7688 6 máx
ft ft ftv v
s s s
*mínima y máxima velocidad recomendada para acero al carbón (criterio para agua).
Ahora se procede a calcular el coeficiente de película para el espacio anular
donde fluye el tolueno.
63
De manera similar en los cálculos para al tubo interior, ahora se realizan los
cálculos para obtener el coeficiente de película. Cabe destacar que la superficie
externa del tubo se considera adiabática.
2 2
6,326.48 762,226.51
0.0083
lb
lbhrGft hr ft
Para poder calcular el coeficiente de película en la región anular se introduce el
concepto de diámetro equivalente, el cual es usado en un conducto que tiene sección
diferente a la circular, tal como un ánulo, es conveniente expresar los coeficientes de
transferencia de calor y factores de fricción mediante los mismos tipos de ecuación.
Para permitir este tipo de representación para la transferencia de calor en los ánulos, se
ha encontrado ventajoso emplear un diámetro equivalente.
El diámetro equivalente es cuatro veces el radio hidráulico, el cual se define
como la razón del área de flujo y el perímetro húmedo. En este caso se tiene un
espacio anular, tal y como se muestra en la figura 3.2, por lo que el área de flujo de
este es 2 22 1( / 4)( )D D . Con base a lo anterior la expresión para el diámetro
equivalente resulta ser,
2 22 1
1
4 Área de flujo 44
Perímetro húmedo 4e h
D DD r
D
en donde:
Es el radio hidráu licohr
2 Es el diámetro interior del tubo externoD
1 Es el diámetro exterior del tubo inD terno
Con lo anterior, la expresión para el diámetro equivalente queda de la siguiente
manera:
2 22 1
1e
D DD
D (3.10)
64
2
e
ftD ft
ft
Sustituyendo valores en cada uno de los términos de la Ec. 3.10
2 20.17225 0.13833
0.076158 0.13833
e
ft ftD ft
ft
Usando el valor del diámetro equivalente y con los datos de la tabla 3.2, se
procede a calcular las Ecs. 3.5, 3.6 y 3.7 para la región anular,
20.076158 762,226.51
58,636.007
0.99
lbft
hr ftRe
lb
ft hr
0.44 0.995.1247
0.085
pCPr
k
Finalmente obtenemos,
2
1 0.83
2
0.085
0.027 58,636.007 5.1247 338.96 0.076158
II
Btu
Fhr ft
ft Btuh
ft hr ft F
3.3.3 CÁLCULO DEL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Usando los factores de obstrucción, los cuales se encuentran en el enunciado
del problema y con los coeficientes de película previamente calculados, se obtiene el
coeficiente global de transferencia de calor,
0
11 1
di doio
U R Rh h
(3.11)
en donde diR y doR representan el factor de obstrucción para cada uno de los fluidos y
una de las razones por la que son iguales es para que cuando se tenga que detener el
intercambiador de calor, se haga limpieza en todo el intercambiador de calor.
65
Sustituyendo los valores en la Ec. 3.11, se obtiene el valor del coeficiente global de
transferencia de calor en el intercambiador de calor.
1
2
2 2
1 10.001 0.001 119.09
290.13 338.96
BtuU
Btu Btu hr ft F
hr ft F hr ft F
3.3.4 DISEÑO DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR
Para este momento ya es posible calcular el área estimada de intercambio de
calor, es decir, el área externa del tubo interno y se dice que es estimada porque se
tienen que hacer algunas correcciones para llegar al área real de intercambio de calor.
Aunque no se sepa cuantas horquillas integrarán el intercambiador de calor, se sabe
que este número es un valor entero. En el cálculo de número de horquillas se obtiene
un número fraccionario y es aquí donde se hace una corrección al área de intercambio.
Cuando se redondea el número de horquillas se debe de hacer hacia el primer entero
superior, lo que provoca un aumento en el área de intercambio y por consiguiente una
corrección en otros términos, tal y como se describe a continuación.
La expresión para el cálculo del área estimada de transferencia de calor es la
siguiente, la cual esta en términos del flujo de calor, el coeficiente global de
transferencia de calor y la diferencia media logarítmica de temperaturas , los cuales
fueron obtenidos anteriormente,
est
ln
QA
U T
Sustituyendo valores en la expresión anterior para obtener el valor del área
estimada de intercambio de calor,
2
2
166,940
48.58
119.09 28.8539
est
Btu
hrA ftBtu
Fhr ft F
66
A continuación se define la ecuación para calcular la longitud estimada del
intercambiador de calor, misma que está en función del área y la superficie exterior
por pie lineal del tubo interno.
SPE
eest
stAL (3.12)
2
2 est
ftL ft
ft
ft
Sustituyendo valores en la Ec. 3.12 se obtiene el siguiente valor para la
longitud estimada del intercambiador de calor.
2
2
48.58 111.678
0.435
est
ftL ft
ft
ft
Se sabe que la longitud por horquilla hL es de 40 ft y que la longitud estimada
del intercambiador de calor es de 111.678 ft, con lo que es posible saber el número de
horquillas que integrarán el intercambiador de calor.
La siguiente expresión se usa para el cálculo de número de horquillas.
111.678 2.792
40
Total
hh
L ftN
L ft
Como ya se mencionó antes, no podemos utilizar un número fraccionario de
horquillas, pues esto implicaría cortar una de ellas, lo cual no es posible hacer por
cuestiones de diseño, por lo tanto tenemos que acoplar nuestro intercambiador a 3
horquillas ya que no se cumpliría la transferencia de calor con dos horquillas. Ahora se
procede a hacer las correcciones debidas al excedente que se tiene en el área de
intercambio de calor.
Si se tienen 3 horquillas y en consecuencia se tiene una nueva longitud de
intercambio de calor de 120 ft ,
120 actualL ft
67
De la tabla 3.3 se conoce la superficie por pie lineal exterior del tubo interno y
despejando el área de la Ec. 3.12 se encuentra el área actual de intercambio de calor,
2 x Superficie por pie lineal exterior 52.2 Actual actualA L ft
La siguiente corrección en consecuencia de la nueva área de intercambio de
calor, es la corrección al cálculo del coeficiente global de transferencia de calor, tal y
como se muestra a continuación:
2 2
166,940 111.8841
52.2 *28.8539 actual
actual ln
Btu
Q BtuhrUA T ft hr ft℉ ℉
3.3.5 FACTOR DE ENSUCIAMIENTO ACTUAL (KERN D. Q. 1999, 31ª ED.)
Cuando los aparatos de transferencia de calor han estado en servicio por algún
tiempo, se les depositan incrustaciones y ensuciamiento en la parte interior y exterior
de las tuberías como se mencionó en Capítulo 1. Es costumbre diseñar un equipo
anticipando el ensuciamiento del intercambiador de calor, introduciendo una nueva
resistencia fR , llamada factor de basura o factor de ensuciamiento. La resistencia
adicional reduce el valor original de U , y la cantidad requerida de calor ya no se
transfiere por la superficie original A , la temperatura en el tolueno aumenta y la
temperatura del benceno disminuye respecto a las temperaturas de salida deseadas, aun
cuando 0h y 0ih , se mantienen sustancialmente constantes. Para obviar esta
eventualidad.
1 1 1f
D actual io o
RU h h
(3.13)
Sustituyendo valores en la expresión anterior:
2
2 2 2
1 1 1 0.002625
111.8841 290.13 338.96
f
hr ftR
Btu Btu Btu Btu
hr ft hr ft hr ft
℉
℉ ℉ ℉
Resultando entonces que:
0.002625 0.002
68
Como se puede observar, esto permite alargar el tiempo de operación. Ahora el
paro por limpieza en el intercambiador de calor se hará cuando el factor de
ensuciamiento esté en 0.002625 y no en 0.002 como anteriormente se tenía.
3.3.6 CAÍDA DE PRESIÓN EN EL TUBO INTERNO
La caída de presión permitida en un intercambiador de calor es la presión
estática del fluido que debe disiparse para mover el fluido a través del intercambiador.
La bomba seleccionada para la circulación del fluido en proceso debe desarrollar
suficiente carga a la capacidad deseada para vencer las pérdidas de fricción causadas
por la tubería, conexiones, reguladores de control y la caída de presión en el
intercambiador de calor mismo.
Empezando por el cálculo de la caída de presión en el tubo interno para el cálculo de
caída de presión, se hacen los siguientes cálculos.
Cálculo del coeficiente de factor de fricción (Wilson, McAdams y Seltzer),
para tubos de hierro y acero comerciales en régimen turbulento.
0.42
0.264
R0.0035
ef
(3.14)
~ 0.005694f
De aquí en adelante cada que se hable del factor de fricción en tubos de acero
comerciales, se dará por hecho que se trata del factor de fricción propuesto por
Wilson, McAdams y Seltzer.
Ahora la caída de presión en el tubo interior se calcula con la siguiente expresión.
2
4
2 p
c
f G LP F
g D (3.15)
69
Donde:
P Diferencia de presiones
G Flux másico
f Factor de fricción
cg Constante física de proporcionalidad
L Longitud total del intercambiador
D Diámetro interno
El análisis dimensional de la ecuación anterior se hace a continuación, así
como la descripción de cada variable,
2
2 4
2
2 3
m
f
m m
f
lbft
lbhr ftP
lb ft lb ftftlb hr ft
Sustituyendo valores en la Ec. 3.15
28
2 2 2
(3600 )32.2 4.173 10
(1 )
m mc
f f
lb ft lb ftsg x
lb s hr lb hr
232.2
ftg
s
2
2
2 2
2 3
4 0.005694 944,230.77 120
461.5976 ~ 3.20554
2 417,312,000 55 0.115
f f
m
f
lbft
lb lbhr ftP
ft inlb ft lbft
lb hr ft
La caída de presión en el espacio interno es menor al máximo valor permitido y
además de esto la velocidad media en este tubo también está entre el rango permitido,
70
lo que permite un buen funcionamiento. Por lo que es factible utilizar el tubo interno
con diámetro nominal 1 ¼ cedula 40 en el intercambiador de calor de tubos
concéntricos,
max2 23.2055 10
f flb lbP
in in
3.3.7 CÁLCULO DE CAÍDA DE PRESIÓN EN EL ESPACIO ANULAR
Anteriormente se calculó el diámetro equivalente para la transferencia de calor y es
por ese motivo que no se tomó en cuenta la pared interna del tubo externo. En este
caso se calcula el diámetro equivalente en función del diámetro externo del tubo
interno y del diámetro interno del tubo externo, por lo que la expresión para el cálculo
del diámetro equivalente queda reducida de la siguiente manera,
2
2 2
1
2 1
2 1
4 ( )4 x área de flujo
perímetro húmedo de friccióne
D DD D D
D D
1 2eD D D (3.16)
eD ft
Sustituyendo valores en la Ec. 3.16 se obtiene el valor del diámetro equivalente,
mismo que será utilizado en los cálculos de caída de presión en el espacio anular del
intercambiador de calor.
1 2
1 2.067 1.166 0.03392
12 e
ftD D D in in ft
in
El número de Reynolds en el espacio anular es totalmente diferente, esta diferencia se
debe a que el diámetro equivalente es diferente para la transferencia de calor y para la
caída de presión como ya se comentó anteriormente. El cálculo del número de
Reynolds queda de la siguiente manera.
71
2´
0.03392 762,226.51
26,108.18
0.99
e
lbft
hr ftD GRe
lb
hr ft
Ahora se procede al cálculo de la caída de presión en el espacio anular, esto se hace de
forma parecida al cálculo de caída de presión en el tubo interno. El valor del
coeficiente del factor de fricción. se obtiene de la siguiente manera.
0.42 0.42
0.264 0.2640.0035 0.0035 ~ 0.00718
Re 26,108.18f
2
1
4
2 c
f G LP
g D
La caída de presión en el espacio anular se divide en dos partes, la primera en tubos y
la segunda en codos en las horquillas. A continuación se hacen los cálculos para la
caída de presión en la región anular,
2
2
1
2 3
4 0.00718 762,226.51 120
2 417,312,000 54.3 0.03392
f
fm
f
lbft
hr ftP
lblb ftft
lb hr ft
2
1 2 2 2
1 1,302.528 ~ 9.0453
(12 )
f flb lbftP
ft in in
Finalmente se hace el cálculo de caída de presión en cada vuelta de las horquillas, es
decir, por cada horquilla se tiene una vuelta, lo que da como resultado un total de tres
vueltas en el intercambiador de calor,
2
2 32
A
c
vP
g
72
2
2 2 3
2 2
2
3 2
m
fA
mc
f
lbft
v lbs ftP
lb ftg ft
lb hr
2
3
A
lb
G fthr ftv
lb hr
ft
2
3
762,226.51 1
14,037.3206 ~ 3.89933600
54.3 A
lb
ft hr fthr ftv
lb hr s s
ft
Sustituyendo los valores anteriormente calculados, se tiene el valor de la caída de
presión en el espacio anular debido a la vuelta de la horquilla en la región anular,
2
3 2
2 2 2 2
2
3.8993 54.3 1
3 38.459 ~ 0.2671 (12 )
2 32,232.2
f
m
f
ft lb
lbs ft lb ftP
ft in inlb ft
lb s
Finalmente la caída de presión en el espacio anular es la suma de la caída de presión
en la región recta de la horquilla y en la vuelta de horquilla,
1 2 2 2 29.0453 0.2671 9.3124
f f fa
lb lb lbP P P
in in in
2 29.3124 10
f fmáx permitida
lb lbP
in in
Como se puede observar el valor correspondiente a la caída de presión en la región
anular es menor al máximo en la caída de presión permitida. Con base a que la
velocidad media en la región anular también está dentro de lo permitido se concluye
que es factible utilizar el tubo propuesto (2in de diámetro nominal y cedula 40) para
usar como tubo externo del intercambiador de calor de tubos concéntricos.
73
Finalmente se tiene que la caída de presión para los dos fluidos en el intercambiador
de calor es menor a la caída de presión permitida para cada una de las regiones, con lo
que se puede concluir que el par de tubos seleccionados forman parte de un arreglo
factible para lograr la tarea de enfriamiento del caso de estudio.
3.4 TABLA DE RESULTADOS
En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos en este Capítulo. Se han
introducido algunos subíndices para referir los datos, la letra B para el benceno; T para
el tolueno; I para el tubo interno; A para el espacio anular.
Variable Dimensiones Valor Variable Dimensiones Valor
Diámetro interno
del tubo interno ft 0.115 hdt F 40.00
Diámetro externo
del tubo interno ft 0.13833 cdt F 60.00
Diámetro interno
del tubo externo ft 0.17225 lnT F 28.854
estA 2ft 48.58 0Ih 2
Btu
fr th F 290.13
Área de flujo en
el tubo interno
2ft
0.0104 IIh 2hr
Btu
ft F 338.96
Área de flujo en
el espacio anular
2ft 0.00827 fR 2r ft
u
h F
Bt 0.002625
Tm lb
hr 6323.485 estL ft 111.599
IG 2
lb
hr ft 944,230.769 estU 2
Btu
fr th F 119.09
AG 2
lb
hr ft 762,226.51 Q
Btu
hr 166940.0
PDe [ ]epD ft 0.03492 actualL ft 120.0
hDe ft 0.07616 actualU 2
Btu
fr th F 111.8841
74
ReP adimensional 26,108.18 actualA 2ft 52.20
Re I adimensional 89,740.941 hN adimensional 3.00
ReA adimensional 58791.566 If adimensional 0.005694
Iv
ft
s 4.769 Af adimensional 0.007
Av
ft
s 3.899 IP
2
flb
in 3.2055
PrI adimensional 5.651 1P 2
flb
in 9.045
PrA adimensional 5.125 2P 2
flb
in 0.267
0h 2
Btu
fr th F 348.946 AP
2
flb
in 9.312
75
Capítulo 4
DISEÑO ÓPTIMO DE UN
INTERCAMBIADOR DE CALOR
DE TUBOS CONCÉNTRICOS
INTRODUCCIÓN
En el Capítulo 3 han seleccionado de manera heurística los tubos para llegar al
diseño de un intercambiador de calor de tubos concéntricos, y se han realizado los
cálculos para que dicho diseño del intercambiador de calor resultara factible, ya que se
contaba con ciertas restricciones en caídas de presión que podían dejar el diseño
resultante como infactible si se hacía una mala elección de tubos. Ahora se quiere
obtener un diseño óptimo de un intercambiador de calor de tubos concéntricos que esté
sujeto a las mismas restricciones del caso estudiado en el capítulo tres, sólo que en este
caso se quiere que aproveche en medida de lo posible el máximo valor para caídas de
presión permitidas dentro del intercambiador de calor, para ello se manejarán los
diámetros como variables continuas.
Al no tener una propuesta de tubos, el sistema de ecuaciones no es cerrado, es
decir, que tenemos más grados de libertad que ecuaciones y a menos que estos grados
de libertad se fijen no podremos encontrar un diseño único de un intercambiador de
calor de tubos concéntricos. Por lo que haremos uso del software de optimización
GAMS para resolver un modelo matemático de optimización y de esta manera llegar a
un diseño óptimo de un intercambiador de calor de tubos concéntricos. Se quiere llegar
al diseño óptimo de un intercambiador de calor de tubos concéntricos y para lograr
esto se ocupan las ecuaciones usadas en la metodología de cálculo de Kern y otras más
que se irán discutiendo más adelante. Con base a estas ecuaciones se planteará un
modelo matemático de optimización para encontrar el diseño óptimo de un
intercambiador de calor de tubos concéntricos. Cabe reafirmar que no existe ninguna
76
propuesta de tubos, es decir, las dimensiones de los tubos forman parte de las variables
del modelo de optimización.
4.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
A continuación se enuncia el problema para la construcción de un diseño óptimo
de un intercambiador de calor de tubos concéntricos en donde se hacen las siguientes
suposiciones: flujo a contracorriente, que las capacidades caloríficas de los fluidos son
constantes calculadas para un valor intermedio de temperatura, que no existe cambio
de fase en las corrientes de proceso, diámetros como variables continuas y que la
pared externa del intercambiador es adiabática, es decir, que no hay pérdidas de calor
en el sistema.
Problema
Se quiere realizar una tarea de transferencia de calor mediante un intercambiador
de calor de tubos concéntricos donde se tienen dos corrientes de proceso: una que debe
enfriarse y otra que debe calentarse.
Se conoce en ambas corrientes:
Flujo másico
Temperatura de suministro y objetivo
Capacidad calorífica promedio
Viscosidad promedio
Densidad promedio
Conductividad térmica promedio
Velocidad promedio mínima y máxima permitidas
Caída de presión máxima permitida
77
4.1.1 OBJETIVO
Diseñar un intercambiador de calor de tubos concéntricos con la mínima área
de transferencia de calor, que realice las tareas de enfriamiento y calentamiento,
respetando las máximas caídas de presión permitidas.
4.2 CASO DE ESTUDIO
Se desea calentar una corriente de 9,820 lbhr
de benceno frío de 80 a 120 °F.
Para realizar esta tarea se dispone de una corriente de tolueno caliente que puede
enfriarse de 160 a 100 °F. Diseñe un intercambiador de calor para realizar la tarea de
calentamiento asignando un factor de obstrucción de 0.001 a cada corriente,
permitiendo una caída de presión máxima de 210 lb
in para cada corriente (Kern D. Q.
1999, 31a Ed., Ejemplo. 6.1).
4.2.1 SUPOSICIONES
El diseño de un intercambiador de calor está sujeto a las siguientes suposiciones.
Corrientes de intercambio de calor a contraflujo.
El intercambiador de calor esta aislado de los alrededores y el único
intercambio de calor es entre los fluidos caliente y frío.
Propiedades de los fluidos constantes tomados a una temperatura media.
Coeficiente global de transferencia de calor constante
Los diámetros de los tubos de comportan como variables continuas
4.2.2 ASIMILACIÓN DE INFORMACIÓN
En la siguiente tabla se muestran los valores del flujo másico y de las
temperaturas de suministro y objetivo de cada corriente así como la carga térmica
disponible o requerida según sea el caso, cabe destacar que estos valores son
independientes de las dimensiones del intercambiador de calor y por lo tanto serán los
mismos en todo momento, sin embargo el diseño del intercambiador de calor si
depende de estas propiedades.
78
Fluido
lbhr
m
P
Btulb F
C
inT
F
outT
F
/ dis req
Btuhr
Q
Benceno 9,820 0.425 80 120 -
Tolueno - 0.44 160 100 -
Tabla 4.1. Datos de las corrientes de intercambio de calor.
En la siguiente tabla se muestran los valores de las propiedades de los fluidos
de intercambio de calor a una temperatura promedio, ya que estos valores serán
ocupados como parámetros del modelo de optimización, es decir, que bajo ninguna
circunstancia pueden cambiar para el caso de estudio.
@ 130Tolueno F @ 100Benceno F
/ PC Btu lb F 0.44 0.425
/ lb ft hr 0.99 1.21
2 [ / ( / )]k Btu h ft F ft 0.085 0.091
3 [ / ]lb ft 54.3 55
Tabla 4.2. Propiedades físicas de las corrientes de intercambio.
4.3 CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO DE
OPTIMIZACIÓN
Como ya se ha dicho, lo que se quiere es obtener un modelo matemático de
optimización. A continuación se enuncian las partes de nuestro modelo.
Función objetivo:
f x
Restricciones de igualdad:
0h x
Restricciones de desigualdad:
0g x
79
4.4 NOMENCLATURA
Aunque en este momento se puede enunciar el modelo matemático, antes es
necesario introducir una nueva nomenclatura, ya que se vuelve indispensable para este
capítulo, pues de otra manera podríamos confundirnos porque la mayoría de los
términos están referidos al benceno y al tolueno, al tubo interno y el tubo externo, al
espacio del tubo interno y al espacio anular.
La nomenclatura usada está dividida en dos partes, en la primera se encuentran los
parámetros del problema que son todos aquellos datos dados desde un principio y en la
segunda parte se encuentran las variables que son las variables desconocidas o
variables de decisión en el modelo matemático.
Parámetros
, [ ]P B
BtC
u
lb F Capacidad calorífica del benceno.
, [ ]P T
BtC
u
lb F Capacidad calorífica del Tolueno.
[ ]B
lb
ft hr Viscosidad del benceno.
[ ]T
lb
ft hr Viscosidad del tolueno.
3[ ]B
lb
ft Densidad del benceno.
3[ ]T
lb
ft Densidad del tolueno.
2
[ ]T
Btuk
Fh ft
ft
Conductividad térmica del tolueno.
80
2
[ ]A
Btuk
Fh ft
ft
Conductividad térmica del benceno.
[ ]B
lbm
hr Flujo másico del benceno.
, [ ]in Tt F Temperatura de entrada del tolueno.
, [ ]out Tt F Temperatura de salida del tolueno.
, [ ]in Bt F Temperatura de entrada del benceno.
, [ ]out Bt F Temperatura de salida del benceno.
[ ]IR Factor de obstrucción asociado al tubo interno.
[ ]IIR Factor de obstrucción asociado al tubo externo.
2 [ ]gft
s Aceleración gravitacional.
2 [ ] mc
f
lb ft
lbg
s Constante física de proporcionalidad.
Variables
2[ ]A ft Área de transferencia de calor, sobre el lado exterior del
tubo interno
[ ]Btu
Qhr
Carga térmica.
[ ]T
lbm
hr Flujo másico del tolueno.
81
[ ]BT F Diferencia de temperaturas de entrada y salida del
benceno.
[ ]TT F Diferencia de temperaturas de entrada y salida del
tolueno.
[ ]cdt F Diferencia de temperaturas en el lado frío del
intercambiador de calor.
[ ]hdt F Diferencia de temperaturas en el lado caliente del
intercambiador de calor.
LMTD Diferencia media logarítmica de temperaturas.
Pr [ ]adimensionalI Número de Prandtl en el tubo interno.
Pr [ ]adimensionalA Número de Prandtl en el espacio anular.
2 [ ]I
lG
b
hr ft Flux másico en el tubo interno.
2 [ ]A
lG
b
hr ft Flux másico en el espacio anular.
2 [ ]AFI ft Área de flujo del tubo interno.
2 [ ]AFA ft Área de flujo en espacio anular.
[ ]DII ft Diámetro interno en el tubo interno.
[ ]DIE ft Diámetro interno del tubo externo.
2[ ]SEI ft Superficie exterior por pie lineal del tubo interno.
[ ] ft Espesor del tubo interno.
82
[ ]ehD ft
Diámetro equivalente usado para el cálculo del
coeficiente de película para la transferencia de calor en
espacio anular.
[ ]epD ft
Diámetro equivalente usado para el cálculo de la caída de
presión en el espacio anular.
Re [ ]adimensionalI Número de Reynolds en el tubo interno.
Re [ ]adimensionalA Número de Reynolds en el espacio anular.
PRe [ ]adimensional Número de Reynolds en caída de presión del espacio
anular.
2[ ]
hr I
Btu
ft Fh
Coeficiente de película que va ligado al tubo interno.
2,0[ ]hr
I
Btuh
ft F
Coeficiente de película en el lado interno del tubo,
referido a la superficie exterior del tubo.
2[ ]
hr II
Btuh
ft F Coeficiente de película en el tubo externo.
I
ftv
s Velocidad media en el tubo interno.
A
ftv
s Velocidad media en el espacio anular.
2[ ]
hr
Btu
fU
t F Coeficiente global de transferencia de calor.
[ ]hN Número de horquillas.
[ ]TL ft Longitud total de intercambio de calor.
[ ]If Factor de fanning en el tubo interno.
83
[ ]Af Factor de fanning en el espacio anular.
2[ ]
fI
lbP
in Caída de presión en el tubo interno.
2 2[ ]
flbP
in Caída de presión en cabezal de retorno de la horquilla.
1 2[ ]
flbP
in Caída de presión en la sección anular.
2[ ]A
flb
nP
i Caída de presión total en la sección anular.
4.5 MODELO MATEMÁTICO
Antes de enunciar las ecuaciones, debemos enfatizar que tenemos un modelo
matemático de optimización en el espacio continuo y que las correcciones que implica
el hacer esta premisa se realizarán en el siguiente capítulo.
Función objetivo.
min A (4.0)
Sujeto a:
0.0818 0.0114DEI 2 ( , ) 0f DEI (4.1)
DEI DII 3( , , ) 0f DEI DII (4.2)
, ,B out B in BTT T 4 ( ) 0BTf (4.3)
, P BB BQ Cm T 5 ,( ) 0BQf T (4.4)
84
, ,in T o TT utT TT 6 ( ) 0TTf (4.5)
, p TT TmQ C T 7 ,( 0, )T Tf mQ T (4.6)
2
4AFI DII
8( , ) 0f AFI DII (4.7)
BI
m
IG
AF 9 ( ) 0,If AFIG (4.8)
Re I
IB
DII G
10 Re( , , ) 0I IDII Gf (4.9)
,r
P
p B BI
B
C
k 11 Pr( 0)If
(4.10)
1
0.8 30.027 IB
I I
kh Re Pr
DII
12 , ( , ) 0 ,I IIh Re Pr DIIf
(4.11)
*Correlación de Sieder & Tate (1936)
,0I I
IDh h
I
I
DE 13 ,0( , , 0, )I Ih h DEI DIIf (4.12)
B II
B
v DIIRe
14 , , )( 0I IRe v DIIf (4.13)
2 2 ( )4
AFA DIE DEI 15( , , 0)f AFA DIE DEI (4.14)
2 2
eh
DIE DEID
DEI 16 0( ,, )ehf D DIE DEI (4.15)
85
TA
m
AG
AF 17 , ) 0( ,A Tmf AFAG (4.16)
Re eh A
AT
D G
18(Re , , 0)A eh Af D G (4.17)
, P
r
p T TA
T
C
k 19 (Pr 0)Af (4.18)
1
0.8 30.027 TA A
ehII
kh Re Pr
D
20 , ,( 0 ),A A ehIIf h Re Pr D (4.19)
T ehAA
T
v DRe
21( , , ) 0A ehAf Re v D (4.20)
11 1
I IIo
III
U R Rh h
22 ,( 0, )Io IIf U h h (4.21)
, ,in T o Bh utt tdt 23 0( )hf dt (4.22)
, ,o Bc ut T ind t tt 24 0( )cf dt (4.23)
h cln
h
c
dt dtT
dtln
dt 25 ,( , ) 0ln h cf T dt dt (4.24)
ln
QA
U T 26 ( , , , 0)lnf A Q U T (4.25)
SEI DEI 27 ( , ) 0f SEI DEI (4.26)
T
AL
SEI 28( , 0),Tf L A SEI (4.27)
86
Th
h
LN
L 29 ( , ) 0h Tf N L (4.28)
0.42
0.264
R0.0035
eI
If
30 ( , Re ) 0I If f (4.29)
2
4
2
I I TI
B
f G LP
g DII 31( , , , , 0)I I I Tf P f G L DII (4.30)
epD DIE DEI 32 0( ,, )epf D DIE DEI (4.31)
eP A
PT
D GRe
33( , , ) 0P eP Af Re D G (4.32)
0.42
0.264
R0.0035
eP
Af
34 ( , Re ) 0A Pf f (4.33)
2
1
4
2
A A T
c T ep
f G LP
g D 35 1( , , ,, ) 0A A T epf P f G L D (4.34)
AA
T
Gv 36 ( , ) 0Af V G (4.35)
2
22
h Tc
AP Nv
g 37 2 , , 0( )hP N Vf (4.36)
1 2AP P P 38 1 2, , ) 0( Af P P P (4.37)
Cotas
2 6I
ft ftv
s s (1)
87
2 6A
ft ftv
s s (2)
0.03033 0.33550ft DIE ft (3)
0.02242 0.25567ft DII ft (4)
12 20
f flb lbP
in in (5)
2 20 A
lb lbP
in in (6)
4.6 COMENTARIOS SOBRE EL MODELO MATEMÁTICO DE
OPTIMIZACIÓN
4.6.1 FUNCIÓN OBJETIVO
El tamaño de un intercambiador de calor de tubos concéntricos está
directamente relacionado con el área de intercambio de calor y repercute en los costos
de construcción y mantenimiento y es por esto que se quiere un intercambiador de
calor con la mínima área de transferencia de calor, es decir, el tubo interno más
pequeño siempre y cuando las restricciones del modelo lo permitan.
4.6.2 ECUACIONES
La mayoría de las ecuaciones que aparecen en el modelo matemático son las
que ocupa Kern en su metodología de cálculo para la construcción de un
intercambiador de calor de tubos concéntricos, las otras ecuaciones (Ecs. 4.1, 4.2) se
explican más adelante.
4.6.3 GRADOS DE LIBERTAD
Es sabido que los grados de libertad de un problema se obtienen del número de
variables menos el número total de ecuaciones independientes que intervienen en el
88
problema. Del modelo matemático se sigue que hay 37 ecuaciones y 39 incógnitas o
variables, así que el número de grados de libertad en el modelo matemático de
optimización es de dos.
4.6.4 COMENTARIOS DE ECUACIONES
A continuación se hace una breve descripción sobre las Ecs. 4.1 y 4.2 ya que éstas
fueron incluidas para obtener un modelo con variables continuas y por lo tanto se
requiere la justificación del por qué aparecen en el modelo matemático.
Superficie exterior por pie lineal en el tubo interno, Ec. 4.26.
Anteriormente se utilizó este dato tal y como aparece en la tabla de dimensiones de
tubería comercial, pero nótese que esta variable puede ser escrita en función del
diámetro externo del tubo interno. A continuación se muestra la expresión que
relaciona el diámetro externo del tubo interno con la superficie exterior por pie lineal
del tubo interno
SEI DEI
Área de flujo en el tubo interno, Ec. 4.7.
Una vez más se tiene que por geometría es posible saber el área de flujo del tubo
interno si se conoce el diámetro interno del tubo interno. De esta manera se puede
escribir esta variable en función del diámetro interno del tubo interno.
2
4AFI DII
Área de flujo en el espacio anular, 4.14.
El área de flujo en el espacio anular es el área comprendida entre el perímetro
externo del tubo interno y el perímetro interno del tubo externo. Si se conocen estos
dos diámetros se puede saber el área de flujo en la región anular.
89
2 2 ( )4
AFA DIE DEI
Espesor del tubo interno, 4.1.
La siguiente figura representa el tubo interno del intercambiador de calor y la parte
punteada representa el grosor del tubo. Se sabe que el grosor de un tubo no depende de
un parámetro en especial, ya que éste solo depende de las condiciones de operación y
no existe una expresión matemática que los relacione.
DEI
DII
Figura 4.1. Tubo interno.
Para encontrar la relación que existe entre el diámetro externo del tubo interno
y su grosor se realiza mediante una correlación, esto se hace con el uso de la tabla de
dimensiones de tubos usada por Kern, misma que fue obtenida de su libro en el
apéndice X. Calculando el grosor de cada uno de los tubos de la tabla (ced. 40) y
graficando contra el diámetro externo de los tubos se obtiene la gráfica de la Fig. 4.1.
90
Tamaño
nominal
del tubo,
IPS plg
DE, plg Cédula
No. DI, plg
Área de
flujo por
tubo, plg2
Superficie por pie
lineal, pies2/pie
Peso por
pie lineal,
lb de
acero Exterior Interior
1/8 0.405 40* 0.269 0.058 0.106 0.070 0.25
¼ 0.540 40* 0.364 0.104 0.141 0.095 0.43
3/8 0.675 40* 0.493 0.192 0.177 0.129 0.57
½ 0.840 40* 0.622 0.304 0.220 0.163 0.85
¾ 1.050 40* 0.824 0.534 0.275 0.216 1.13
1 0.320 40* 1.049 0.864 0.344 0.274 1.68
1 ¼ 1.660 40* 1.380 1.500 0.435 0.362 2.28
1 ½ 1.900 40* 1.610 2.040 0.498 0.422 2.72
2 2.380 40* 2.067 3.350 0.622 0.542 3.66
2 ½ 2.880 40* 2.469 4.790 0.753 0.647 5.80
3 3.500 40* 3.068 7.380 0.917 0.804 7.58
4 4.500 40* 4.026 12.70 1.178 1.055 10.80
6 6.625 40* 6.065 28.90 1.734 1.59 19.00
8 8.625 40* 7.981 50.0 2.258 2.09 28.60
10 10.750 40* 10.020 78.80 2.814 2.62 40.50
12 12.750 30 12.09 115 3.338 3.17 43.80
14 14.0 30 13.25 138 3.665 3.47 54.60
16 16.0 30 15.25 183 4.189 4.00 62.60
18 18.0 20‡ 17.25 234 4.712 4.52 72.70
20 20.0 20 19.25 291 5.236 5.05 78.60
22 22.0 20‡ 21.25 355 5.747 5.56 84.00
24 24.0 20 23.25 425 6.283 6.09 94.70
Tabla 4.3. Dimensiones de Tubería, IPS. (Kern D. Q. 1999, 31a Ed., Apéndice X, tabla 11)
*Comúnmente conocido como estándar
‡Aproximadamente
La siguiente curva es el resultado de haber graficado el diámetro interno contra el
grosor de un tubo. Estos datos fueron obtenidos de la Tabla 4.3.
91
Figura 4.2. Gráfica de espesor vs diámetro interno de tubería.
En la Fig. 4.2 se puede observar que los puntos no siguen un comportamiento
lineal tal y como ya se había comentado anteriormente y que a pesar de que la
aproximación dada por el programa Excel ésta dentro de lo aceptable, es decir, que la
R2 es mayor al 0.8, sería un error tomar en cuenta toda la región de la Fig. 4.2 ya que
según la norma ASME (American Society of Mechanical Engineers) el tubo externo
que es el de mayor tamaño no rebasa las 4 pulgadas 0.333 ft de diámetro.
Tomando como límite superior lo indicado por la norma ASME solo se toman en
consideración los tubos menores a 4pulgadas de diámetro nominal.
y = 0,0277x + 0,0226 R² = 0,8224
0,000
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00
Esp
esor
[ f
t]
Diámetro externo [ ft ]
92
Figura 4.3. Región de estudio según el diámetro máximo en el tubo externo
En la Fig. 4.3 se especifica la región delimitada por el valor máximo que el
tubo externo puede tomar. Esta región se muestra de manera independiente en la
siguiente gráfica.
Figura 4.4 Región de estudio.
y = 0,0277x + 0,0226 R² = 0,8224
0,000
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00
Esp
esor
[ f
t ]
Diámetro externo [ ft ]
y = 0,0818x + 0,0114 R² = 0,9601
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Esp
esor
[ ft
]
Diámetro externo [ft]
93
Finalmente la Fig. 4.4 muestra el resultado de haber graficado los diámetros
encontrados en la tabla de dimensiones menores a lo permitido (4 in de diámetro
nominal) según la norma ASME y como se puede observar el dato de la aproximación
que Excel nos arroja es aun mejor que en la Fig. 4.1, ya que el valor de la 2R , es decir,
el coeficiente de correlación, tiene un valor de 0.96 que puede interpretarse como el
porcentaje de variabilidad debida a la recta de regresión y al tener este valor se deduce
que se tiene un error del 3.99 % por lo que se concluye que la aproximación dada por
el programa Excel es razonablemente buena y es posible utilizar esta correlación de
diámetro-espesor. A continuación se muestra el análisis que se hace para llegar a la
relación de diámetros en el tubo interno.
La expresión obtenida a la recta de aproximación de la Fig. 4.3 se muestra a
continuación y representa la correlación diámetro espesor.
2
0.0818 0.0114
0.9601
Y X
R
Donde Y es el espesor del tubo y X el diámetro externo del tubo interno.
Sustituyendo las variables de la ecuación anterior por la nomenclatura utilizada.
0.0818 0.0114DEI
Diámetro externo del tubo interno, Ec. 4.2.
Se sabe que el diámetro externo de un tubo es la suma del diámetro interno y el
espesor del tubo, por lo tanto la expresión que relaciona el diámetro interno del tubo
interno con el diámetro externo del mismo tubo, es la siguiente.
DEI DII
94
4.6.5 COTAS DEL PROBLEMA
En esta sección se enlistan y justifican el uso de cotas para algunas de las variables
del modelo matemático.
Velocidad promedio
Un factor esencial para el buen funcionamiento de un intercambiador de calor de
tubos concéntricos es la magnitud de la velocidad promedio dentro de cualquiera de
las regiones de flujo, por lo que se han establecido un valor mínimo y uno máximo
para la velocidad media del fluido dentro de los tubos .
Se ha determinado una velocidad media mínima y máxima para las corrientes de
intercambio de calor. Como velocidad mínima se tienen 2 ft/s ya que por debajo de
este valor se pueden hacer deposiciones de ensuciamiento, provocando una mala
transferencia de calor. Mientras que el valor de la velocidad media máxima es de 6
ft/s, pues si se tuviera una velocidad mayor ocasionaría golpeteo dentro del
intercambiador de calor sobretodo en codos y de esta manera se reduciría su vida útil.
A continuación se expresan de manera matemática las cotas que delimitan la velocidad
promedio en las regiones de flujo del intercambiador de calor.
Tubo interno
2 6I
ft ftv
s s
Región anular
2 6A
ft ftv
s s
Diámetros
Con base a la norma ASME, las cotas para los diámetros fueron obtenidas de la
tabla de tubería, teniendo que para el diámetro interno del tubo interno el valor
mínimo que puede tomar es el del tubo más pequeño y el valor máximo es el del
penúltimo tubo de los tubos contemplados para la gráfica 4.3. En el caso del diámetro
interno del tubo externo se observa que el valor mínimo que puede tomar es el que
95
tiene el segundo tubo de la tabla, mientras el valor máximo es el de 4in de diámetro
nominal que es justamente el límite permitido por la norma ASME.
Tamaño
nominal
del tubo,
IPS plg
DE, plg Cédula
No. DI, plg
Área
de flujo
por tubo,
plg2
Superficie por pie
lineal, pies2
/pie
Exterior Interior
1/8 0.405 40 0.269 0.058 0.106 0.07
1/4 0.54 40 0.364 0.104 0.141 0.095
3/8 0.675 40 0.493 0.92 0.177 0.129
1/2 0.84 40 0.622 0.304 0.22 0.163
3/4 1.05 40 0.824 0.534 0.275 0.216
1 0.32 40 1.049 0.864 0.344 0.274
1 1/4 1.66 40 1.38 1.5 0.435 0.362
1 1/2 1.9 40 1.61 2.04 0.498 0.422
2 2.38 40 2.067 3.35 0.622 0.542
2 1/2 2.88 40 2.469 4.79 0.753 0.647
3 3.5 40 3.068 7.38 0.917 0.804
4 4.5 40 4.026 12.7 1.178 1.055
Tabla 4.4. Tabla de tubería con el tamaño permitido por la norma ASME.
0.405 3.068
0.02242 0.25567
in DII in
ft DII ft
0.540 4.026
0.03033 0.33550
in DIE in
ft DIE ft
Caídas de presión
Para las caídas de presión se tiene que ambas deben de ser mayor o igual a cero y
la máxima caída de presión permitida esta establecida en el enunciado del caso de
estudio.
2 20
f fI
lb lbP
in in
2 20
f fA
lb lbP
in in
96
4.7 RESULTADOS
A continuación se enlistan los valores correspondientes a las variables del modelo
matemático de optimización. Estos valores fueron obtenidos con el programa de
optimización GAMS y corresponden a los datos requeridos para la construcción de un
diseño óptimo de un intercambiador de calor de tubos concéntricos con la mínima área
de intercambio de calor.
Variable Dimensiones Valor Variable Dimensiones Valor
A 2ft 45.733 hDe ft 0.079
DII
ft 0.103
AG 2
lb
hr ft 816900.770
DEI
ft 0.124 ReA adimensional 65509.479
DIE
ft 0.159 PrA adimensional 5.125
hN adimensional 2.932
IIh 2hr
Btu
ft F
355.314
L ft 117.262 A
v ft
s 4.179
ft 0.022 U 2
Btu
fr th F 126.509
BT F 40.0 hdt F 20.000
97
Q Btu
hr 166940.0 cdt F 40.000
TT F 60.0 lnT F 28.854
Tm lb
hr 6323.485 SEI 2ft 0.390
AFI 2ft 0.008 If adimensional 0.006
IG 2
lb
hr ft 1188000.000 1P
2
flb
in 9.700
Re I adimensional 100724.160 PDe [ ]epD ft 0.035
PrI adimensional 5.651 ReP adimensional 28726.798
Ih 2
Btu
fr th F 391.601 Af adimensional 0.007
0Ih 2
Btu
fr th F 323.608 IP
2
flb
in 5.458
Iv
ft
s 2P
2
flb
in 0.300
AFA 2ft 0.008 AP
2
flb
in 10.000
98
Como se puede observar en los datos anteriores la caída de presión en el tubo
interno no alcanza la máxima caída de presión permitida, ya que la velocidad media
del fluido en este tubo alcanza antes su máximo valor permitido, dejando un valor de
45.7 ft2 como mínima área de intercambio de calor. Mientras que para el espacio
anular sí se alcanza la máxima caída de presión permitida, concluyendo así que para el
caso de estudio se cuenta con un intercambiador de calor de tubos concéntricos con la
mínima área de intercambio de calor y que además agota en lo posible las máximas
caídas de presión permitidas.
4.8 GRÁFICA DE REGIÓN FACTIBLE
La Fig. 4.5 muestra la región factible para el cálculo de un diseño de un
intercambiador de calor de tubos concéntricos, la cual esta basada en el problema del
caso de estudio y las líneas punteadas delimitan las máximas caídas de presión
permitidas en cada región de intercambio de calor. Esta figura fue obtenida con la
Tabla 4.4 y está a su vez fue obtenida usando a GAMS para poner como función
objetivo la caída de presión de alguna de las regiones de flujo y fijar la caída de
presión en la otra región, anotando así las máximas y mínimas caídas de presión para
cada valor fijado.
Figura. 4.5. Gráfica de región factible para el caso de estudio.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
Caí
da
de
pre
sió
n e
n e
spac
io a
nu
lar
[lb
f/in
2]
Caída de presión en tubo interno [lbf/in2]
Gráfica de región Factible
min PA
max PA
max PImin PI
99
Valor a
fijar
Función
objetivo
Valor a
fijar
Función
objetivo
Valor a
fijar
Función
objetivo Valor a fijar
Función
objetivo
DPI [lbf/in2]
Min DPA [lbf/ in2]
DPI [lbf/in2]
Max DPA [lbf/in2]
DPA [lbf/in2]
MAX DPI [lbf/in2]
DPA [lbf/in2]
MINDPI [lbf/in2]
0.4 1.867 0.364 10 1.769 7.574 1.87 0.364
0.7 1.822 0.7 10 2.000 7.355 2.00 0.360
1.107 1.794 1.00 10.000 2.228 7.159 2.25 0.353
1.500 1.781 1.25 10.000 2.500 6.993 2.50 0.347
1.750 1.776 1.50 10.000 2.750 6.851 2.75 0.342
2.000 1.772 1.75 10.000 3.000 6.727 3.00 0.337
2.250 1.769 2.00 10.000 3.250 6.617 3.25 0.333
2.500 1.767 2.25 10.000 3.500 6.520 3.50 0.330
2.750 1.765 2.50 10.000 3.750 6.432 3.75 0.326
3.000 1.764 2.75 10.000 4.000 6.353 4.00 0.323
3.250 1.763 3.00 10.000 4.250 6.281 4.25 0.321
3.500 1.762 3.25 10.000 4.500 6.214 4.50 0.318
3.750 1.762 3.50 10.000 4.750 6.154 4.75 0.316
4.000 1.762 3.75 10.000 5.000 6.097 5.00 0.314
4.250 1.762 4.00 10.000 5.250 6.045 5.25 0.312
4.500 1.762 4.25 10.000 5.500 5.996 5.50 0.310
4.750 1.762 4.75 10.000 5.750 5.951 5.75 0.308
5.000 1.762 5.00 10.000 6.000 5.908 6.00 0.307
5.250 1.763 5.25 10.000 6.250 5.868 6.25 0.305
5.500 1.763 5.46 10.000 6.500 5.830 6.50 0.304
5.750 1.764 5.50 9.478 6.750 5.795 6.75 0.302
6.000 1.764 5.75 7.082 7.000 5.761 7.00 0.301
6.250 1.765 6.00 5.481 7.100 5.748 7.25 0.300
6.500 1.765 6.25 4.363 7.200 5.735 7.50 0.299
6.750 1.766 6.50 3.554 7.300 5.722 7.75 0.297
7.000 1.767 6.75 2.950 7.400 5.710 8.00 0.296
7.100 1.767 7.00 2.489 7.500 5.698 8.25 0.295
7.200 1.767 7.25 2.129 7.600 5.686 8.50 0.294
7.300 1.767 7.50 1.842 7.800 5.663 8.75 0.293
7.400 1.768 7.57 1.769 8.000 5.641 9.00 0.293
7.500 1.768
8.250 5.615 9.25 0.292
7.540 1.768
8.500 5.589 9.50 0.291
7.575 1.768
8.750 5.565 9.75 0.290
9.000 5.542 10.00 0.289
9.250 5.52
9.500 5.498
9.750 5.477
10.000 5.458
Tabla 4.5. Datos de caídas de presión de región factible.
100
Capítulo 5
AJUSTE DE UN DISEÑO ÓPTIMO
INTERCAMBIADOR DE CALOR
DE TUBOS CONCÉNTRICOS
INTRODUCCIÓN
Uno de los factores más importantes que se debe tomar en cuenta cuando se
diseña un intercambiador de calor de tubos concéntricos, es el factor económico, ya
que en la industria se cuenta con ciertos tubos comerciales, de los cuales nos debemos
basar para elegir los tubos que integrarán el intercambiador de calor, pues de otra
manera podría resultar costoso obtener los tubos con dimensiones no especificadas
comercialmente. Si se quiere construir un intercambiador de calor de tubos
concéntricos debemos escoger el par de tubos que conformarán el intercambiador de
calor mediante el uso de tablas de tubería y de ahí escoger el que se ajuste a nuestras
necesidades.
La optimización es una herramienta útil ya que aunque no se construya el
diseño óptimo encontrado mediante un modelo matemático de optimización, si se
puede usar como referencia de construcción y de esta manera no terminar con un
intercambiador de calor que no sea capaz de absorber al máximo la restricción de
máximas caídas de presión permitidas. La idea de haber hecho un modelo de
optimización es que mediante el diseño obtenido se debe hacer un análisis y acoplar
este diseño con tablas de tubería comercial.
Como un segundo ajuste, se tiene que hacer una corrección al número de
horquillas que se ha venido manejando, el cual fue obtenido en la optimización. Por
motivos de diseño es imposible manejar un número fraccionario de horquillas y por lo
tanto se debe de redondear el número de horquillas.
101
5.1 AJUSTE CON BASE A TABLAS DE TUBERÍA
Hasta el momento se cuenta con un diseño óptimo de un intercambiador de
calor de tubos concéntricos obtenido con el modelo matemático de optimización del
Capitulo 4, pero por cuestiones de comerciales no es posible conseguir tubos con las
medidas arrojadas por la optimización, así que se requiere de un ajuste en las
dimensiones con las de los tubos usados comercialmente.
5.2 METODOLOGÍA DE AJUSTE DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR
La metodología a seguir se compone básicamente por los siguientes puntos y darán
como resultado el diseño final de un intercambiador de calor de tubos concéntricos.
Análisis del diseño del intercambiador de calor obtenido con la optimización.
Planteamiento de casos en el ajuste de tubos.
Ajuste en el número de horquillas.
Corrección en caídas de presión debido al ajuste en horquillas.
5.2.1 ANÁLISIS DEL DISEÑO DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR OBTENIDO CON
LA OPTIMIZACIÓN
En la Fig. 5.1 se muestra un corte transversal del intercambiador de calor con
las dimensiones de tubería obtenidas con la optimización.
210.000 f
A
lP
b
in
25.458 I
flbP
in
0.159 DIE ft
0.103 DII ft
0.124 DEI ft
Figura 5.1. Corte transversal del diseño óptimo del intercambiador de calor del capitulo cuatro.
102
A continuación se muestran los datos de un diseño de un intercambiador de
calor de tubos concéntricos para el caso de estudio, obtenidos mediante el uso de la
optimización, es decir, de un intercambiador de calor con la mínima área de
intercambio de calor requerida. La nomenclatura sigue siendo la que se estableció en
el capítulo cuatro.
2Área 45.733 ft
II
A
DII = 0.103 ft v = 6.000 ft/s Re = 100724
DEI = 0.124 ft v = 4.179 ft/s DPI = 5.458 lb /if
2
2
h
n
AFI = 0.008 ft2 U = 126.509 Btu/hrft2°F DPA = 10.000 lb /in
SEI = 0.390 ft2/ft LMTD = 28.854 °F
DIE = 0.159 ft N
f
T
2
A
= 2.932
Q = 166940 Btu/hr L = 117.262ft
AFA = 0.008 ft Re = 65509
Objetivo
Encontrar el diseño de un intercambiador de calor de tubos concéntricos con
base a tablas de tubería comercial, sujeto a las restricciones de diseño y operación
especificadas por el caso de estudio.
5.2.2 PLANTEAMIENTO DE CASOS EN EL AJUSTE DE TUBOS
Caso 1:
Dado que se quiere tener la mínima área de transferencia de calor, se podría pensar
en disminuir el diámetro del tubo interno, es decir, un diámetro menor a 0.124 ft que
fue el valor obtenido en el capítulo anterior, ya que al disminuir este valor también se
disminuye el área de transferencia de calor, sin embargo para hacer esto se debe
considerar la velocidad promedio dentro del mismo tubo pues ya se encuentra en el
límite superior, es decir, que se tiene valor de 6 ft/s y por lo tanto disminuir el área de
flujo en el tubo interno aumentaría la velocidad promedio como se puede analizar en la
ecuación para el número de Reynolds. La decisión a tomar es elegir un tubo mayor
inmediato encontrado en tablas de tubería.
103
En cuanto al tubo externo, se observa que la velocidad promedio en la región
anular aún no llega a su límite superior mientras que la máxima caída de presión
permitida en está región ya se encuentra en el límite superior, por lo que un aumento
en el diámetro del tubo interno provocaría un aumento en la caída de presión en el
espacio anular, por lo tanto es imposible contemplar un tubo menor al que se tiene. Así
que la decisión es aumentar este tubo y analizar los resultados.
Selección de tubos
Tubo interno, diámetro nominal 1 ¼”, ced. 40
Tubo externo, diámetro nominal 2” , ced. 40
En la siguiente tabla se muestra con más detalle las especificaciones de los tubos
seleccionados con el análisis hecho anteriormente.
Tamaño nominal
del tubo, IPS plg
DE
[in] Cédula
DI
[in]
Área de flujo
por tubo, plg2
Superficie por pie lineal,
ft2/ft Peso por pie
lineal, lb de
acero Exterior Interior
1 1/4 1.66 40 1.38 1.5 0.435 0.362 2.28
2 2.38 40 2.067 3.35 0.622 0.542 3.66
Tabla 5.1. Selección de tubos de caso uno.
2.067DIE in
1.66DEI in
1.38DII in
Figura 5.2. Propuesta de tubos caso uno.
104
En la Figura 5.2 se muestran los valores de los diámetros elegidos, ahora ya datos del
problema, los cuales se fijaron en la programación del modelo matemático del
Capitulo 4. Esto con la finalidad de eliminar los grados de libertad, es decir, se cuenta
con 36 ecuaciones y 39 variables. La razón por la que ahora se tienen 35 ecuaciones,
es porque al saber los diámetros de los tubos, ya no es necesario ocupar las Ec. 4.1.
0.172 DIE ft
0.138 DEI ft
0.115 DII ft
28.331 I
flbP
in
210 f
A
lbP
in
Figura 5.3. Diseño del intercambiador de calor del caso uno
En la Fig. 5.3 se muestra el diseño del intercambiador de calor de tubos
concéntricos con las medidas especificadas para los tubos, así como las caídas de
presión obtenidas en la programación hecha en GAMS.
A continuación se enlistan las resultados mas relevantes relacionados con el
intercambiador de calor obtenido en el caso uno. Se especifica por separado el valor
del área del intercambiador de calor, ya que ésta representa el área mínima de
intercambio de calor.
2Area 48.524 ft
105
I
A
DII = 0.115 ft Re = 89854
DEI = 0.138 ft Re = 58790
AFI = 0.010 ft2 U = 119.233 Btu/hrft2°F
SEI = 0.435 ft2/ft
h
T
2 2
I
LMTD = 28.854 °F
DIE = 0.172 ft N = 2.791
Q = 166940 Btu/hr L = 111.656 ft
AFA = 0.008 ft DPI = 2.990 lb /in
v = 4.775 ft/
f
2
A
s DPA = 8.715 lb /in
v = 3.910 ft/s
f
Como se observa en los resultados primeramente para el tubo interno se ve que
la caída de presión disminuyó de 2 2
lb lb10 a 8.715
f f
in in, tal y como se esperaba,
mientras que la velocidad promedio también bajo, pero sin sobrepasar el límite inferior
permitido, es decir, que el valor de la velocidad promedio es mayor a 2ft
s pero menor
a 6ft
s, con lo que se concluye que es factible utilizar este tubo en el intercambiador de
calor. Ahora para el tubo externo se ve que la velocidad promedio bajo con respecto a
lo obtenido en la optimización, pero sigue estando en lo permitido, mientras que la
caída de presión está por debajo de la máxima caída de presión permitida,
concluyendo así que la elección de este tubo es factible y ya no es necesario buscar
otro.
Cabe destacar que para el caso de estudio no hay más casos en el ajuste de
tubos, pues con este diseño se obtiene la menor área de intercambio de calor y la
máxima caída de presión en ambas regiones de flujo.
5.3 AJUSTE AL NÚMERO DE HORQUILLAS DEL INTERCAMBIADOR DE
CALOR
Las horquillas que integran un intercambiador de calor de doble tubo
generalmente se ensamblan en longitudes efectivas de 12, 15 o 20 pies, la longitud
efectiva es la distancia en cada rama sobre la que ocurre transferencia de calor y
excluye la prolongación del tubo interior después de la sección de intercambio.
Cuando las horquillas se emplean en longitudes mayores de 20 pies correspondientes a
106
40 pies lineales efectivos o más, el tubo interior se vence tocando el tubo exterior, por
lo que hay una mala distribución del fluido en el ánulo y en consecuencia una mala
transferencia de calor.
Anteriormente ya se han elegido horquillas de 40 pies lineales efectivos de
distancia para la construcción del intercambiador de calor. Si se analiza el valor
obtenido en la optimización para el número de horquillas el cual es de 2.791
horquillas se puede notar que este valor corresponde a un número fraccionario, lo cual
no puede ser posible ya que el número correspondiente al total de horquillas que
conformarán el intercambiador de calor debe ser un número discreto, es decir, un
número entero y por lo tanto se debe hacer un redondeo hacia el número entero
superior que permita hacer la corrección correspondiente ya que las horquillas no
pueden ser cortadas por cuestiones de diseño.
Haciendo el redondeo en el número de horquillas obtenido después de hacer el
ajuste de tubos se llega a que el número mínimo de horquillas que integrarán el
intercambiador de calor es de tres.
5.3.1 CÁLCULOS DEBIDOS A CORRECCIÓN DE HORQUILLAS
En la secuencia de cálculo del Capítulo 3 se hace una corrección en el número
de horquillas y en consecuencia una corrección en la longitud total de intercambio de
calor, al coeficiente global de transferencia de calor y finalmente en el área de
intercambio de calor, las cuales repercuten directamente en las caídas de presión
dentro del intercambiador de calor.
Recordemos que en la secuencia de cálculo original ocupada en el Capítulo 3 y
establecida por Kern, que a su vez utilizó otras correlaciones publicadas previamente
en la literatura, para el cálculo de intercambiadores de calor de tubos concéntricos, se
rehacen los cálculos para hacer las correcciones correspondientes debido al cambio en
el número de horquillas. A continuación se muestran las ecuaciones que se ven
directamente afectadas por ésta modificación. Éstas corresponden a las Ecs. 4.24, 4.27,
4.28, 4.29, 4.30, 4.31, y 4.37. Los valores a las variables faltantes son los que ya se
tenían con la corrección en los tubos.
107
Th
h
LN
L
TA L SEI
ln
QU
A T
2
4
2
I I TI
B
f G LP
g DII
2
1
4
2
A A T
c T ep
f G LP
g D
2
22
h Tc
AP Nv
g
1 2AP P P
5.3.2 SECUENCIA DE CÁLCULO POR CORRECCIÓN DE HORQUILLAS
Se sabe que el número de horquillas es igual a tres y que la longitud total por
horquilla es de 40 ft, por lo que sustituyendo estos datos en la Ec. 5.1 es posible saber
la longitud total del intercambiador de calor, tal y como se muestra a continuación.
(3) (40 ) 120T h h fL N tL t f
Con el valor de la longitud total de intercambio de calor, la superficie por pie
lineal del tubo interno y la Ec.5.2 es posible conocer el área de intercambio del calor
como a continuación se muestra,
22 120 0.432 51.84T
ftftA L
tSEI f
ft
Para el cálculo del coeficiente global de transferencia de calor, solo se calcula a
partir de la Ec. 5.3, pues ya se conocen los valores de las variables que están de lado
derecho de la ecuación.
108
2 2
166940
52.150 119.2
(28.854 °F)33
Btuhr
ln
Q btuU
A T hr fft t F
Ahora para el cálculo de las caídas de presión, se sabe que el factor de Fanning
sigue siendo el mismo por lo que el cálculo de la Ec. 5.4 es posible hacerlo con lo que
ya se tiene.
Para el tubo interno
2
2 3
2
2
22
4( ) 1204 1
3.2132 1442 32.2 (3600 ) 55
0.006 945422.482
(0.115 )m
f
I I TI
lb ft s lbBhrlb s
lb
ft
hr ft fft
f G LP
g DII inf
b
t
l
Para el espacio anular
2
2
3
2
2
1 22
4( ) 1204 1
2 1442 32.2 (3600
0.007 764320.118 9.098
54.3 0.034 ) ( )m
f
A A T
lb ft s lbc T ephr
lbhr ft f
lb s ft
ftf G L
Pg D inf
b
t
l
2
2
2 3 254.3
3.91
3 0.2692 1442 32.2 m
f
h Tlb ft
cl s
fA
b
v lft
lbsP Ng ft in
b
Y finalmente la caída de presión total en el espacio anular se obtiene sumando
los valores de las caídas de presión obtenidas en esta región.
1 2 2 2 29.09 0.269 368 9. 6
f f fAP P P
in
lb
in i
l
n
b lb
29.366
fA
lbP
in
109
5.4 DISEÑO FINAL DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR DE TUBOS
CONCÉNTRICOS
Recapitulando lo que se ha hecho para obtener un diseño de un intercambiador de
calor de tubos concéntricos, se tienen los siguientes puntos.
1. Se obtuvo un diseñó óptimo de un intercambiador de calor de tubos
concéntricos, considerando las diámetros y número de horquillas, como
variables continuas.
2. Se ajustó el intercambiador de calor obtenido en la optimización con base
tablas de tubería comercial.
3. Corrección en el número de horquillas.
En la Fig. 5.4 se muestra el diseño de un intercambiador de calor de tubos
concéntricos obtenido mediante la optimización hecha en el Capítulo 4 y ajustado a
tablas comerciales en este capítulo, así como el ajuste en el número de horquillas.
Finalmente se puede decir que la Fig. 5.4 representa el diseño de un intercambiador de
calor de tubos concéntricos con la mínima área de intercambio de calor para el caso de
estudio y que además respeta las máximas caídas de presión permitidas para las
regiones dentro del intercambiador de calor y que utiliza tubos con medidas estándar.
5.4.1 MEJOR DISEÑO DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR PARA EL CASO DE
ESTUDIO
Tubos a usar en el caso de estudio
Tubo interno, diámetro nominal 1 ¼ ”, ced. 40
Tubo externo, diámetro nominal 2 ”, ced. 40
110
2.067DIE in
1.66DEI in
1.38DII in
23.213 I
flbP
in
29.366
fA
lbP
in
Figura 5.4. Diseño final de un intercambiador de calor de tubos concéntricos.
5.5 COMPARACIÓN CON EL MODELO PROPUESTO POR KERN
En la Figura 5.5a se muestra el diseño del intercambiador de calor de tubos
concéntricos obtenido por Kern en el ejercicio 6.1 de su libro, mientras que en la
Figura 5.5b se muestra el diseño obtenido a partir de un modelo matemático de
optimización.
a) b)
2.067DIE in
1.66DEI in
1.38DII in
23.213I
flbP
in
29.366 f
A
lbP
in
2.067DIE in
1.66DEI in
1.38DII in
23.213I
flbP
in
29.366 f
A
lbP
in
Figura 5.5. Comparación de diseños.
a) Diseño obtenido por Kern. b) Diseño obtenido a partir de la optimización
111
Como se puede observar en la figura anterior el diseño obtenido por Kern y el
nuestro son el mismo, lo que significa que la propuesta planteada por Kern además de
ser factible también era la mejor. Basándonos en este resultado podemos deducir que
Kern pudo haberse basado en un método de prueba y error para encontrar el mejor
arreglo de tubos posibles, pues la tabla de tubería se redujo a solo doce tubos.
Analizando un poco más, la tecnología de cómputo de aquel tiempo no estaba muy
desarrollada como para pensar que Kern resolvió el caso de estudio mediante un
programa de cómputo, como fue el caso de nosotros durante el desarrollo de este
trabajo.
5.5.1 TABLA COMPARATIVA DE RESULTADOS
A continuación, en la siguiente tabla, se presentan los resultados obtenidos en
los Capítulos 3, 4 y 5.
Diseño
propuesto por
Kern
Capítulo 3
Diseño
óptimo del
IC
Capítulo 4
Ajuste del IC
en tubos y
horquillas
Capítulo 5
Variable Dimensiones Valor Valor Valor
A 2ft 52.2 45.733 52.150
DII
ft 0.115 0.103 0.115
DEI
ft 0.138 0.124 0.138
DIE
ft 0.172 0.159 0.172
hN adimensional 3 2.932 3
L ft 120.0 117.262 120.0
ft 0.023 0.022 0.023
BT F 40.0 40.0 40.0
112
Q Btu
hr 166940.0 166940.0 166940.0
TT F 60.0 60.0 60.0
Tm lb
hr 6323.485 6323.485 6323.485
AFI 2ft 0.010 0.008 0.010
IG 2
lb
hr ft 944,230.769 1188000.000 945422.482
Re I adimensional 89,740.941 100724.160 89854.203
PrI adimensional 5.651 5.651 5.651
0h 2
Btu
fr th F 348.946 391.601 349.341
0Ih 2
Btu
fr th F 290.13 323.608 290.416
Iv
ft
s 4.769 6.000 4.775
AFA 2ft 0.00827 0.008 0.008
hDe ft 0.07616 0.079 0.076
AG 2
lb
hr ft 762,226.51 816900.770 764320.118
ReA adimensional 58791.566 65509.479 58790.149
PrA adimensional 5.125 5.125 5.125
IIh 2hr
Btu
ft F
338.96 355.314 339.718
113
Av
ft
s 3.899 4.179 3.910
U 2
Btu
fr th F 111.8841 126.509 111.9
hdt F
40.00 20.000 40.000
cdt F 60.00
40.000 20.000
lnT F 28.854
28.854 28.854
SEI 2ft 0.435 0.390 0.435
If adimensional 0.005694 0.006 0.006
1P 2
flb
in 9.045 9.700 9.098
PDe [ ]epD ft 0.03492 0.035 0.034
ReP adimensional 26,108.18 28726.798 26185.041
Af adimensional 0.007 0.007 0.007
IP 2
flb
in 3.2055 5.458 3.213
2P 2
flb
in 0.267 0.300 0.269
AP 2
flb
in 9.312 10.000 9.366
114
Conclusiones
Con base a los resultados obtenidos durante todo el trabajo en la construcción del
diseño de un intercambiador de calor de tubos concéntricos, se plantearon las
siguientes conclusiones.
Para realizar el diseño de un intercambiador de calor se bebe de cubrir todas
aquellas condiciones de construcción y operación que pudieran beneficiar el
costo final de nuestro diseño, ya que siempre se va ha buscar el beneficio
económico.
El uso de una herramienta como la optimización es de vital importancia, ya que
mediante la aplicación de ésta es posible obtener un diseño óptimo, es decir, el
mejor diseño posible que se acople a nuestras necesidades.
Si bien la optimización de un intercambiador de calor nos da como resultado el
mejor diseño posible, muchas veces no es posible construir este diseño, pues su
construcción pudiera resultar costosa, en cambio es bastante útil si se toma
como referente para la elección de un diseño que ya se encuentra
comercialmente disponible.
En la práctica, construir un intercambiador de calor puede requerir de un
sobredimensionado del diseño ya sea por cuestiones que no se contemplan en
este trabajo que nos alejen del mejor diseño del intercambiador de calor, pero
siempre partiendo del diseño optimo.
115
REFERENCIAS
Bird R. B., Stewart W. E., Lightfoot E. N. (1999). Fenómenos de transporte,
Reverté 1ra. Ed. México.
Buckingham, E.: On physically similar systems. Illustrations of the use of
dimensional equations. Physical Review 4, 345-376 (1914).
Drew, T. B., E. C. Koo, y W. H. McAdams, Trans AIChE, (1932).
Holman J. P. (1999). Heat Transfer. 10a ed., McGraw-Hill. Singapore.
Incropera F.P., De Witt D. P., Bergmann, T.L., Lavine, A.S. (1999).
Fundamentos de transferencia de calor. 4a ed., Prentice Hall. México.
Jaume P., Lluís J. (2004). Energía geotérmica. Ceac 1ra Ed. España.
Kern D. Q. (1999). Procesos de Transferencia de calor, 31a ed. McGraw-Hill.
México.
Merle C. Potter David C. Wiggert. (2001). Mecánica de fluidos. Tercera
edición. Thomson. México
Morris, F. H. and W. G. Whitman, Ind. Eng. Chm., 20, 234. 1928.
Pysmenny Y. y Col. (2007). Manual de Intercambiadores de Calor, Reverté.
R. W. Fox A. T. Mc. Donald. (1988). Introducción a la Mecánica de Fluidos.
2a ed. Interamericana. México.
Vaschy, A.: "Sur les lois de similitude en physique". Annales Télégraphiques
19, 25-28 (1892)
White, Frank (2008). Mecánica de Fluidos (6ª edición). McGraw-Hill.
PI:http://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:N%C3%BAmeros_adimen
sionales
PI2: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Nusselt
116
APÉNDICE A
Solución de sistemas algebraicos para convección forzada
A.1 SOLUCIÓN DEL SISTEMA ALGEBRAICO 2.8.
: 1 -
: - 2 -3 - - 2
: -1 - - - - 2
: -1 - -
: 0 -
H d f i
L a b e f g i
t a f g i
T d f
M b d g i
Despejando a la variable d de la Ec. T .
: 1T d f
1d f (A.1)
Sustituyendo la Ec. A.1 en la Ec. H y despejando a i de la ecuación resultante, se
obtiene la siguiente expresión.
: 1 H d f i
1 1 f f i
0i (A.2)
Sustituyendo en la Ec. A2 en la Ec. t y despejando g se obtiene la siguiente
expresión:
: 1 2t a f g i
1 2(0)a f g
1g f a (A.3)
Sustituyendo la Ec. A.1, A.2 y A.3 en la Ec. M y despejando a la variable b , se
obtiene la siguiente expresión:
117
: 0M b d g i
0 1 1 0b f f a
a b (A.4)
Sustituyendo a (A.2), (A.3) y (A.4) en L y despejando e , se obtiene la siguiente
expresión.
: 2 3 2L a b e f g i
2 3 1 2*0a a e f f a
1e a (A.5)
Finalmente la solución al sistema de ecuaciones 2.8 es el siguiente.
a b 1d f 1e a
1g f a 0i
118
A.2 SOLUCIÓN UNO AL SISTEMA ALGEBRAICO 2.14
Como no todos los exponentes se necesitan incluir para evaluar 1 , se supone b 0 y
e 0 , arbitrariamente.
Ahora para conocer el valor de los exponentes es necesario resolver el siguiente
sistema de ecuaciones:
1) 0 1
2) 0 2 3 2
3) 0 1
4) 0 1 2
5) 0
g i
d f g m i
g
g m i
d m i
En este caso se tienen 5 variables y 5 ecuaciones, lo cual indica que el sistema ésta
cerrado y que tiene solución.
Se despeja a la variable g de la Ec. 3) para conocer el valor de la única variable en la
expresión, tal y como se muestra a continuación.
0 1 g
1g (B.1)
Despejando a la variable i de la Ec. 1) y sustituyendo el valor de la Ec. B.1 se tiene lo
siguiente.
1 i g 1 1 0i
0i (B.2)
Despejando a la variable m de la Ec. 4) y sustituyendo las Ecs. B.1 y B.2 se tiene la
siguiente expresión.
1 ( 1) 2(0) 0m
0m (B.3)
Despejando de la Ec. 5) a la variable d y sustituyendo las Ecs. B.2 y B.3.
119
0 d m i (0) 1d m i
0d (B.4)
Despejando de la Ec. 2) a la variable f y sustituyendo las Ecs. B.1, B.2, B.3 y B.4
para encontrar el valor de la variable f .
0 2 3 2d f g m i 0 2 1f
1f (B.5)
Finalmente la solución al sistema de ecuaciones es:
1a 0b 0d 0e 1f
1g 0i 0m
La siguiente correlación es el resultado que se obtiene al sustituir los valores a cada
variable en la Ec. 2.12
' '
1 1 1 hD
NuR
2 Como ya apareció h y como sabemos que en fenómenos de transporte es muy
útil el número de Reynolds, proponemos 0a , podemos elegir 1b o 1f ,
elegimos 1f y 0e
Ahora el sistema de ecuaciones se reduce a la siguiente forma
1) 0
2) 0 3 1 2
3) 0
4) 0 2
5) 0
g i
b d g m i
g
b g m i
d m i
Despejando a la variable g de la Ec. 3) para obtener directamente el valor de esta
variable.
120
0g (B.6)
Despejando a la variable i de la Ec. 1) y sustituyendo a la Ec. B.6.
0i g
0i (B.7)
Despejando a la variable d de la ecuación 5) y sustituyendo a la Ec. B.7 se tiene que:
0 d m i 0d i m m
d m (B.8)
Despejando a la variable b de la Ec. 4) y sustituyendo las Ecs. B.6, B.7 y B.8 se tiene
que:
0 2 b g m i
(0) 2(0)b d m
b d (B.9)
Despejando a la variable b de la ecuación 2) y sustituyendo a las Ecs. B.6, B.7, B.8 y
B.9 se tiene que:
0 3 1 2b d g m i 0 3 1 0b d d
1b (B.10)
Finalmente la solución del sistema de ecuaciones es el siguiente:
0a 1b 1d 0e 1f 0g 0i
La siguiente correlación es el resultado de haber sustituido los valores a cada variable
de la Ec. 2.12.
121
' '
2 2 2
Re
u L
3 Para evitar que el término h y la velocidad o densidad aparezcan de nuevo, se
supone:
0a 1e 1f
Ahora todos los exponentes habrán aparecido en una o más soluciones.
El conjunto de ecuaciones resulta ser:
1) 0 1 g i
2) 0 b 3d g m 2i
3) 0 1 g
4) 0 b g m 2i
5) 0 d 1 m i
Despejado a la variable g de la Ec. 3) se tiene que:
1g (B.11)
Despejado a la variable i de la Ec. 1) y sustituyendo a Ec. B.11
0 1 g i
1 1 i
0i (B.12)
Despejado a la variable d de la Ec. 5) y sustituyendo a la Ec. B.12
0 1 d m i 1 0 d m
1 m d (B.13)
Despejado a la variable b de la Ec. 4) y sustituyendo las Ec. B.11, B.12 y B.13, se
llega a la siguiente igualdad.
122
0 2b g m i 1 1b d d
b d (B.14)
Despejado a la variable d de la Ec. 4) y sustituyendo las Ecs. B.11, B.12, B.13 y B.14
para obtener el valor de la variable d .
0 3 2 3 1 1 2(0) b d g m i d d d d
0d (B.15)
Finalmente la solución al sistema es el siguiente:
0a 0b 1e 0d
0f -1g 1m 0i
La siguiente correlación es el resultado se haber sustituido los valores a cada una de
las variables de la Ec. 2.12.
' '
3 3 3
Pr
k
123
A.3 SOLUCIÓN DOS AL SISTEMA ALGEBRAICO 2.14
Para poder cerrar el sistema se fijan las variables ,g e y m que corresponden a los
exponentes de la conductividad térmica, al calor específico y a la viscosidad
correspondientemente.
1e 0g 1m
1) 0 1
2) 0 2 3 2 1
3) 0 1
4) 0 2 1
5) 0
a i
a b d f i
a
a b i
d i
Despejando a la variable a de la Ec. 3):
0 1a 1a
Sustituyendo el valor de 1a en Ec.1) y despejando a la variable i :
0 1a i 0 i
Sustituyendo el valor de la variable i en la Ec.5) y despejando a la variable d .
0 d i 0 d
Sustituyendo el valor de las variables a e i en la Ec. 4) y despejando a la variable b
0 2 1 a b i 0b
Ahora se sustituyen los valores de a , b y d en la Ec. 2) y despejando a la variable f
0 2 3 2 1a b d f i
1f
Finalmente la solución al sistema de ecuaciones es la siguiente:
1 a 0 b 0 d -1f 0i
124
Sustituyendo en la Ec. 2.14 se obtiene el siguiente resultado.
-1 1 1 1
1 '( ) 'c
h c DhD
2 Para poder cerrar el sistema se fijan tres variables a , f y m que
corresponden a los exponentes del coeficiente de película, el diámetro del tubo y la
viscosidad correspondientemente.
0a 0f 1m
1) 0
2) 0 3 1 2
3) 0
4) 0 1 2
5) 0 1
e g i
b d g i
e g
b g i
d e i
De la Ec. 1) se despeja a la variable e :
0 -e g i
- e i g (A.1)
Sustituyendo a la variable A.1 en la Ec. 3)
0 - -e g 0 -( - ) - - 0i g g i
0i
-e g
Sustituyendo el valor de la variable i y sustituyendo la variable e por la variable g en
la Ec. 5) y despejando a la variable d :
0 1 d e i 0 1 d g
1d g
Despejando a la variable b de la Ec. 4)
125
0 1 2 b g i
b g 1 (A.3)
Sustituyendo el valor de la variable i y las Ecs. A.2 y A.3 en la ecuación 2) y
despejando a la variable g :
0 3 1 2b d g i 0 g 1 3( g 1) g 1 2(0)
g 1
Finalmente se sustituye el valor de g en b , d y e y obtener la solución al sistema de
ecuaciones el cual queda de la siguiente manera:
0 d 0 b 1 e 1g
Sustituyendo en la Ec. 2.11.
' -1 1 1 '
2 2 2( )
c kC k
3 Para poder cerrar el sistema se fijan tres variables a , d y g que corresponden
a los exponentes del coeficiente de película, la viscosidad y la conductividad térmica
correspondientemente.
a 0 d 1 g 0
1) 0 e i
2) 0 b 3 f m 2i
3) 0 e
4) 0 b m 2i
5) 0 1 e m i
De la ecuación 3) se despeja a la variable e
0 e e 0
Sustituyendo el valor de la variable 0e en la ecuación 1) y despejando a la variable
i
126
0 e i 0i
Enseguida se sustituye el valor de 0e y el valor de 0i en la Ec. 5) y despejando a
la variable m .
0 1 e m i 0 1 (0) (0) m
1m
Sustituyendo em i en la Ec. 4) y despejando la variableb :
0 2 b m i 0 ( 1) 2(0)b
1b
Sustituyendo los valores de 0b , 0i y 1m en la Ec. 2) y despejando a la
variable f :
0 3 2b f m i 0 1 3 1 2 0f
1f
Finalmente la solución al sistema de ecuaciones queda de la siguiente manera:
1 b 1 d 1 f 1g
Sustituyendo en la Ec. 2.12
' 1 1 1 1 '
3 3 3( ) Reu D
