DISTRIBUCIÓN NORMAL

Distribución normal

◦La distribución normal, una de las más

importantes, recibe su nombre debido a que en cierto

momento se pensó que la mayoría de los fenómenos

estaban distribuidos de dicha manera. Esta

distribución nos permite representar fenómenos

estadísticos de manera probabilística.

Variable aleatoria de la distribución normal◦ Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal

de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se

cumplen las siguientes condiciones:

◦ 1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)

◦ 2. La función de densidad, es la expresión en términos de

ecuación matemática de la curva de Gauss:

Propiedades de la distribución normal

◦ El campo de existencia es cualquier valor real, es

decir, (-∞, +∞).

◦ Es simétrica respecto a la media µ.

◦ Tiene un máximo en la media µ.

◦ Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.

◦ En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

◦ El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

◦ El área del recinto determinado por la función y el eje

de abscisas es igual a la unidad.

◦ Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja

un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la

derecha.

◦ La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Curva de la distribución normal

◦p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.683 = 68.3 %

◦p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.955 = 95.5 %

◦p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

Ejercicios

◦Determina en cuáles de los siguientes casos se

trata de una población con distribución normal.

◦a. Sueldos que se pagan en una empresa.

◦b. Edad a la que una persona muere.

Variable tipificada

◦

Función densidad

◦ La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y

por desviación típica la unidad, σ =1.

◦ Su función de densidad es:

Ejercicio resuelto

◦El resultado de una prueba de cuarto

medio, tiene una distribución N(5,3 ; 0,6). El

total de estudiantes que rindió la prueba es de

150. ¿Cuál es la probabilidad de que al

escoger un estudiante al azar este haya

obtenido al menos un 6,0?

◦Calcularemos la probabilidad de que un alumnotenga menos de un 6,0; para facilitar el uso de latabla, el complemento será lo buscado.

Ver tabla

Si una poblacióntiene distribuciónnormal con

media μ ydesviacióntípica, anotamosque elladistribuye

N(μ, ).

◦En la tabla, 1,2 corresponde a 0,8849; por lo tanto,1 – 0,8849 = 0,1151 (probabilidad de obtener un alumno con nota igual o superior a 6,0, o bien el 11,51% de los alumnos obtuvo

◦una nota perteneciente a ese intervalo).

◦¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota igual o superior a 6?

◦¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota inferior a 6?