Distribuciones Chi t y f (2)
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DISTRIBUCIONES EN EL
MUESTREO
Prof. Caridad Huaroto
Estructura:
• Distribución Chi-cuadrado Distribución F de Fisher - Snedecor• Distribución t de “Student”
DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
Hay tres distribuciones, relacionadas con la distribución normal, que son muy utilizadas en Inferencia Estadística.
Todas ellas se definen en función de uno o dos parámetros conocidos como
grados de libertad
Se debe entender este término como el número de variables aleatorias independientes que se suman.
DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADOUna variable aleatoria X sigue una distribución chi-cuadrado, con parámetro n, si su función de densidad es:
donde (n/2) es la función gamma de n/2.
x0 , )2/(2
x f(x)2n
2x1
2n
n
e
NOTACIÓN:
Se lee: X tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad.
2n ~X
GRAFICO DE LA FUNCION DE DENSIDAD
PROPIEDADES DE LA 1. PROPIEDAD REPRODUCTIVA:
Si son variables aleatorias independientes, cada una con distribución chi cuadrado, con parámetro respectivamente,entonces la variable aleatoria
sigue una distribución chi-cuadrado con n grados de libertad; donde n = esto es,
•
2n
kXXX , ... , , 21
in
k
iiX
1
i
in
k
iiX
1
2n
2. RELACIÓN CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL:
Si una variable aleatoria normal estándar Z se eleva al cuadrado, la variable resultante tiene distribución chi cuadrado, con un grado de libertad; esto es, si
21
2)1 ,0( ZNZ
)1 ,0(NZ
21
2 Z
3. Si Z1, ..., Zn son variables aleatorias independientes cada una con distribución normal estándar, entonces la variable aleatoria sigue una distribución chi-cuadrado con n grados de libertad.
n
iiZ
1
2
4.El valor esperado y la varianza de la distribución
están dados por:
E (X) = n V (X) = 2n .
2n
Sea X una variable aleatoria con distribución Chi-Cuadrado con 12 grados de libertad. Hallar a y b, si P(a < X b) = 0,90 y P(X a) = 0,05.
Ejemplo
Solución:
P(X a) = F(a) = 0,05X 2
(12) a = 5,226
P(a < X b) = 0,90P(X b) - P(X a) =0,90P(X b) – 0,05 =0,90P(X b) =0,95F(b) = 0.95
X 2 (12) b =
21,0261
DISTRIBUCIÓN F DE FISHER-SNEDECOR
Una variable continua X, tiene distribución F con parámetros m y n si su función de densidad es:
0 x,
nmx1
xnm
2n
2m
2nm
f(x)2
nm
12m
2m
NOTACIÓN:
Se lee X tiene distribución F con m y n grados de libertad.
n m,F~X
GRAFICO DE LA FUNCION DE DENSIDAD
PROPIEDADES:
• Si X tiene distribución F con m y n grados de libertad, se cumple
4n ,)4n(2)-m(n
2)-nm(2n V(X) 2;n ,2-n
n E(X) 2
2
• Si X e Y son variables aleatorias independientes,
X con distribución chi-cuadrado con m grados de libertad e Y con distribución chi-cuadrado con n grados de libertad, entonces la variable
sigue la distribución F con m y n grados de libertad.
Y/nX/m
0,05k5W8YP:quetal"k"devalorelcalcule,WyYSi 2
825
Solución .-
69,3kFU95,0)kU(P
F85U
U8W5Y
5W8Y
)8,5(
)8,5(28
25
Ejemplo de uso de la distribución F de Fisher
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
Una variable Y sigue la distribución t de Student con n grados de libertad si su función de densidad es
yyn11
2n21n
n1f(y)
21n
2
NOTACIÓN: Y ~ t(n).
GRAFICO DE LA FUNCION DE DENSIDAD
PROPIEDADES:• Si Z y V son dos variables aleatorias independientes,
Z con distribución normal estándar y V con distribución chi-cuadrado con n grados de libertad, entonces la variable aleatoria
sigue la distribución t-student con n grados de libertad.
V/nZ Y
• Si Y tiene distribución t-student, con n grados delibertad, se cumple
nE(Y) 0 n 1 V(Y) n 2n-2
Calcular P(-1,325 X 2,845 ), si X t20Solución .- P(-1,325 X 2,845 ) = P(X 2,845) - P(X -1,325) = = 0,995 – 0,10 = 0,895
Ejemplo de uso de la distribución T de Student