1

Tema 2.- GIROS Y CAMBIOS DE PLANOS

2-1.- La figura representa un tramo acodado de tubería cilíndrica que empalma dos alineaciones rectas M y N situadas en un mismo plano.Si el codo se corta mediante un plano , normal al eje, se obtiene una sección recta, circular, y los dos tramos en que queda dividido el "codo" pueden girarse libremente uno respecto al otro cualquier ángulo. Tras efectuar el giro y soldar el corte, el codo mantiene su continuidad pero los tramos rectos M y N han dejado de ser coplanarios, es decir; sus ejes son rectas que se cruzan en el espacio. A la vista de la figura, y si α coincide con el bisector del codo;

SE PIDE:Determinar el ángulo que debe girar una sección respecto de la otra para que las alineaciones rectas M y N se crucen ortogonalmente en el espacio.Una vez realizado el giro, hallar la mínima distancia entre los ejes de las alineaciones

Para facilitar los trazados gráficos de resolución se colocan los ejes de los tramos de tubería en el plano horizontal pero con el tramo BC perpendicular a la LT. El eje N corta a la prolongación de la recta BC en el punto V; y en el punto (1) a la L.T.

Se puede girar ahora el tramo V1 alrededor de BC, que se toma como eje resultando sobre el plano vertical una semicircunferencia, que representa el lugar geométrico de las posiciones que puede ocupar el punto (1) en el giro. De todas estas posiciones, habrá que determinar aquella en la que la recta V1 sea ortogonal, en el espacio, al eje M.

Se traza, para ello, un plano proyectante sobre el horizontal que sea perpendicular al eje M y contenga a V, de esta forma, la recta V1 pertenecerá a . La intersección de la traza vertical 2

del plano con la semicircunferencia (punto 2), será la posición que debe ocupar el punto 1 para que el eje N, que contiene a los puntos V y (1), y el otro eje M sean ortogonales en el espacio.

El ángulo girado, por tanto, coincide con el del sector circular (1)V(2), ángulo Uº.Para calcular la mínima distancia (d) entre M y N, basta con abatir y con él la recta V2 y trazar después la perpendicular desde el punto de intersección entre M y (punto 3), a la recta abatida (V2)0.

2

3

2-2- Tres piezas prismáticas diferentes R, S y T, presentan la disposición que muestra la figura. Como se observa las piezas están aproximadas entre sí mediante sus caras inclinadas formando, en conjunto, una estructura cerrada. La unión entre las piezas se realiza mediante rótulas que están situadas en los centros de las caras que las unen; rótulas que permiten realizar giros de una pieza con respecto a le otra la manteniendo siempre el contacto entre dichas caras. Mediante este sistema se ha unido la pieza S con R y T. SE PIDE:Dibujar, a escala natural, la planta y el alzado de la figura que se obtiene como resultado de haber girado la pieza S 60º respecto a la R; y la T otros 60º respecto a la S.

NOTA: Los giros se tomarán en sentido horario.

El problema se resuelve mediante cambios de plano y giros.

Se parte de la pieza apoyada sobre un plano horizontal. Y se ha realizado en primer lugar un cambio de plano vertical (v1-h) con objeto de situar la cara H C 3 8 (ver figura) paralela al nuevo plano de proyección. Posteriormente, la pieza T se gira 60º tomando como eje la recta (e); luego se deshace el cambio de plano. Se obtiene así la planta y alzado del conjunto con la pieza T girada 60º.

Se realiza un nuevo cambio de plano vertical para colocar las caras G B 2 7 y E J 5 10 paralelas al mismo; ahora ya se puede efectuar el giro de 60º alrededor del eje (o), de la pieza S y junto con ella, la pieza T girada anteriormente.

Una vez realizado el giro de las piezas S y T alrededor del eje (o), el ángulo de 60º, se deshacen los cambios de plano para obtener el resultado final. Como ejes de giro (e) y (o), se han elegido rectas perpendiculares a los planos de proyección correspondientes y a su vez a las caras en contacto; además pasan por los centros de estas últimas.

4

5

2-3. Mostrar, el soporte representado, sujeto sobre la placa dada por sus proyecciones (de espesor no considerable a efectos gráficos), haciendo coincidir los taladros de ambos elementos

DATOS: Vértices de la placa: A(43,36,0) B(74,16,33) C(35,74,14) D(3,93,71) Taladros en la placa: P(59,31,34) Q(46,39,20) O(39,55,52)

El problema de representar la pieza dada sobre la placa se podría realizar de formas diversas.En este caso se utilizan cambios de plano. El fin es colocar la placa en posición horizontal y con sus lados de mayor longitud paralelos al plano vertical. De esta forma es más sencilla la representación de las proyecciones del soporte y la placa.

En el primer cambio de plano (v1-h) el plano α que forma la placa (plano que se ha definido mediante las rectas (r) y (s), se transforma en proyectante vertical.En el segundo cambio de plano (v1-h1) se convierte en horizontal.

Para que la placa tenga sus lados de mayor longitud paralelos al plano vertical.se puede recurrir, o bien a girarlos o a realizar otro cambio de plano, no vinculado a los anteriores, como ocurre en la figura con el sistema de planos (v2-h1) se obtienen así las proyecciones A1´, B1´, C1´.... y A2´´, B2´´, C2´´…. de la placa, sobre la que se pueden obtener sin problemas las proyecciones de la pieza.Deshaciendo los cambios de plano se consiguen las proyecciones finales de placa y pieza.

6

7

2-4 Determinar el ángulo que forman entre sí los planos limitados de la figura, así como la verdadera magnitud de uno de ellos.

En primer lugar se resuelve la intersección de ambos planos mediante la ayuda de los planos auxiliares horizontales y . Cada uno de estos planos, en su intersección con las figuras, producen un par de rectas .En el caso del plano α resultan las rectas (3)(C) y (1)(2), en el de β las rectas (6)(A) y (4)(5), que se cortan entre sí dando como resultado de sus intersecciones correspondientes, los puntos P y Q. La unión de P y Q define la recta intersección entre los planos limitados α y β.

A continuación se realizan los cambios de plano necesarios hasta colocar la recta PQ de punta. De esta forma se consigue ver en verdadera magnitud el ángulo formado por los planos dados, al convertirse ambos en proyectantes del mismo nombre.

Finalmente, se realiza un último cambio de plano para obtener la verdadera dimensión de una de las formas: en este caso de la figura triangular.

8

9

2-5. Disponemos de una chapa ABCD plegada según AB; corregir el plegado hasta conseguir un diedro de 75o.

Una vez situados los puntos A, B, C y D. Mediante cambios de planos se hace que la recta AB pase a ser perpendicular a alguno de los planos de proyección, en este caso al plano vertical.. Como resultado se puede observar en la proyección vertical, el ángulo α que forma dicha chapa plegada en verdadera magnitud. Se corrige el ángulo, hasta que llegue a ser el pedido de 75°; Se obtiene así el punto E (nueva posición del punto D).

Se deshacen los cambios de plano y se obtiene la posición final que adquiere la chapa con el plegado corregido.

10

11

2-6.- Representar el soporte de tirante de la figura (1), situado sobre la plancha metálica R(R'-R''), S(S'-S''), T(T'-T'') y V(V'-V'') de la figura (2). La línea central (XY) del soporte deberá coincidir con la recta (AB) de la plancha.

Se obtiene el plano (1 2) definido por tres de los puntos R, S, T y V.

Mediante cambios de planos se hace que el plano pase a ser en primer lugar proyectante sobre el plano vertical y después paralelo al plano horizontal, (el objetivo es adoptar una posición idónea de la plancha para dibujar el soporte sin dificultades).Se dibuja el soporte situado sobre el plano , haciendo coincidir la recta AB con la línea XY.Se deshacen los cambios de plano y se obtiene la posición que adopta el soporte.

También se puede resolver, sin determinar el plano α, pues la primera nueva LT. se puede trazar también perpendicular a la proyección horizontal (h') de la horizontal (h) introducida en el plano (RSTV).

12

13

2-7.- Dos tuberías de conducción perpendiculares, cuyos ejes se cortan, se enlazan mediante un codo. La recta (r) es el eje perpendicular al plano que define el arco del codo.Suponiendo que en el interior del codo existe una chapa, de forma triangular cuyos vértices (1, 2, y 3) pertenecen a la superficie cilíndrica del codo.

DETERMINAR:El tramo de codo que enlaza las tuberías, y el radio de las mismas.

Para que los vértices (1), (2) y (3) se encuentren sobre la superficie cilíndrica propuesta, el eje de la superficie (tramos rectos y codo intermedio) pasará por el puto (o), circuncentro del triángulo.El plano α que pasa por el punto (O) y es perpendicular a la recte (r) dada, es el plano que define al arco del codo, produce en él una sección longitudinal máxima.La intersección de la recta (r) y el plano α nos determinará el punto (C), centro del arco del eje del codo, y de radio (CO).El plano β es un proyectante sobre α que contiene a (r) y si se desea, también a uno de los vértices del triángulo, lo cual facilita la resolución. Dicho plano produce en la superficie cilíndrica una sección recta circular.Los planos α y β se cortan según la recta (i), que también queda definida por los puntos (C) y (O).La recta (s) paralela a la (r), proyecta al punto (1) sobre el plano α, obteniéndose (1α) en la intersección de las rectas (s) e (i).Determinaremos la distancia (d) entre el punto (1) y el plano α. Sobre la recta (s) llevaremos la distancia (d) a partir de (1α), obteniendo (10), El radio de la sección recta de la tubería cilíndrica será ρ=O10.

En las figuras de análisis se pueden apreciar los pasos dados para poder resolver el problema propuesto.

14

15

2-8 Se dispone de una chapa con forma de triángulo equilátero. Se divide cada lado del triángulo en 3 partes iguales, obteniendo los puntos A, B, C, D, E, F. suponiendo que esta chapa se puede doblar por las rectas AB, CD y FE. Ver figura.

SE PIDE: Determinar la forma que adquiere dicha chapa cuando se pliega por el lado AB un ángulo de 45°, por el lado CD un ángulo de 60°, y por el lado EF un ángulo de 30°. Se coloca la chapa de forma que la recta AB quede situada perpendicular al plano vertical.Se gira el vértice (1) para que el ángulo formado entre 1AB y el resto de la chapa sea de 45°.

Mediante cambios de planos se hace que la recta CD pase a ser perpendicular al plano horizontal. Se gira el vértice (3) hasta que el ángulo formado entre 3CD y el resto de la chapa sea de 60°, obteniendo así el nuevo punto (32).

Finalmente, se repite la operación con EF; es decir se sitúa la recta EF de punta y se gira el punto 21 hasta que 2EF forme 30° con el resto de la chapa. Se deshacen los cambios de planos, obteniendo la nueva posición del punto (22).

16

17

2-9 Hallar los ángulos y que forman los planos AFGB y AFJE, así como KCBGH y DCK, respectivamente, paredes de una tolva para moldeador de plástico. Ver figura .

El ángulo entre dos planos cualesquiera se puede obtener en la vista de punta de la recta de intersección de los dos planos. En la proyección vertical vemos que AF es la recta de intersección de los planos AFGB y AFJE.

Para obtener la vista de punta de la recta AF hay que realizar dos cambios de planos. En el primero de ellos se cambia el horizontal. La nueva línea de tierra será paralela a A’’F’’. En el segundo cambio de plano se cambia el vertical. y l a nueva línea de tierra se sitúa perpendicular a A'F'. Podemos ver que los planos AJEF y ABFG son proyectantes y por lo tanto, será el ángulo β el que determinan los planos.

De forma análoga, se obtiene el ángulo que forman los planos KCD y KCBGH. Vemos que la recta de intersección de los planos es KC. Realizamos un primer cambio de plano moviendo el vertical. La nueva línea de tierra será paralela a K’C’. En el segundo cambio de plano movemos el horizontal situando la nueva línea de tierra perpendicular a K’’C’’. La intersección de los planos se ha convertido en perpendicular al plano horizontal, los planos en proyectantes del mismo nombre y por lo tanto α el ángulo que forman.

18

19

2-10 Determinar el ángulo que forma el cilindro de alimentación, con el depósito de aceite representado en la figura .

SUGERENCIA:Para una resolución más sencilla, se puede usar el paralelogramo 1-2-3-4, en lugar del contorno de la pared del depósito, y el eje AB, en vez del cilindro.Resolver el problema, sin emplear rectas y planos auxiliares.

Para hallar la solución del problema, utilizaremos cambios de plano. En el primer cambio se mueve el vertical. La nueva línea de tierra la situaremos perpendicular a 1´2´ y 3´4´. En la proyección vertical aparecerá el plano 1-2-3-4 proyectante. El ángulo que forman en la proyección vertical, el eje AB y la vista de perfil del plano 1-2-3-4, no es el verdadero ya que el eje es oblicuo respecto al plano de proyección. Por tanto, realizamos un cambio de plano horizontal. La nueva línea de tierra, será paralela a la vista de perfil del plano 1´´-2´´-3´´-4´´. Aparecerá en verdadera magnitud el plano según su proyección 1´-2´-3´-4´. Por último, realizaremos un cambio de plano vertical. La nueva línea de tierra, será paralela a la proyección horizontal del eje A´B´. En el vertical, tendremos el eje AB frontal y el plano 1-2-3-4 horizontal. Por lo tanto, podremos ver el ángulo en verdadera magnitud.

Se puede resolver también con solo dos cambios de plano, pero preparando el problema de l la forma siguiente. Por el punto A trazaremos una recta (r) perpendicular al plano 1-2-3-4, la recta (r) corta al plano en un punto C. El triángulo ABC contiene en B el ángulo buscado. Mediante dos cambios de plano ABC puede, por ejemplo, pasar en primer lugar a perpendicular al plano horizontal y posteriormente a paralelo al plano vertical.

20

21

2-11 Las dos rectas AB y CE que se cruzan, representan los ejes de dos tuberías; hallar la conexión más corta posible que une ambas tuberías, sabiendo que su pendiente sea del 25%.

El plano BAM contiene a la recta AB y es paralelo a la recta CE por contener a la recta AM paralela a la CE. Se realiza un cambio de plano vertical. La nueva línea de tierra se traza perpendicular a B´M´ siendo BM una horizontal del plano ABM que se convierte en proyectante, pudiéndose medir la pendiente. Todas las rectas con esta pendiente que unen las dos rectas que se cruzan parecerán que son de la misma longitud en esta proyección; sin embargo, solamente una de las rectas se proyectará en verdadera magnitud, y como las otras aparecen reducidas, la recta proyectada en verdadera magnitud será la más corta. Por lo tanto, se realiza un nuevo cambio de plano, en este caso horizontal, siendo la nueva línea de tierra perpendicular a la recta de pendiente dada. En la proyección horizontal la solución será la recta de longitud mínima en su vista de punta, que coincidirá con el punto de cruce de las rectas AB y CE. Siendo la solución la recta OP.

22

23

2-12 Hallar el ángulo que forman, una pared oblicua (plano 1-2-3-4) y el plano A-B-C que representa el plano del cable y la polea. Ver figura .

SUGERENCIA:Realizar dicho problema sin emplear la recta de intersección.

Para evitar el empleo de la recta de intersección utilizaremos tres cambios de planos. En el primer cambio de plano cambiaremos el vertical. La nueva línea de tierra es perpendicular a 1´2´ y 3´4´. En la proyección vertical aparecerá el plano 1-2-3-4 visto de perfil. Realizaremos el segundo cambio de plano moviendo el horizontal. La nueva línea de tierra será paralela a la última proyección vertical del plano 1´´-2´´-3´´-4´´. El plano ha pasado de proyectante a horizontal, en el horizontal se verá dicho plano en verdadera magnitud.

Por otra parte en el plano ABC se ha situado la recta horizontal AE. y en estas condiciones realizaremos el tercer cambio de plano moviendo el vertical. La nueva línea de tierra será perpendicular a A´E´, convirtiéndose AE en recta perpendicular al nuevo plano vertical de proyección apareciendo el plano ABC como proyectante y el 1-2-3-4 sigue siendo horizontal. Por lo tanto, podremos ver el ángulo ß en verdadera magnitud.

24

25

2-13 En los basamentos de un puente se debe utilizar un determinado elemento constructivo, del que se dispone de las proyecciones vertical (alzado) y horizontal (planta) dadas. Dicho elemento constructivo deberá estar orientado de forma que, conocida la dirección N, el segmento A-B esté situado en la dirección N20°SE. Habrá que representar las proyecciones vertical, horizontal y de perfil del elemento una vez en su situación definitiva. Una vez en esta situación, obtener las proyecciones auxiliares indicadas. Ver figura.

Comenzamos trazando, en un dibujo auxiliar una recta paralela a A´B´, por cuyo extremo B trazamos una recta paralela a la dirección N, y a partir de esta, trazamos la nueva dirección N20°SE, obteniendo el ángulo α, ángulo que deberemos girar el elemento para situarlo en la posición deseada.

Elegimos un eje de giro vertical (e). Prolongamos A´B´, recta r´, y por el centro de giro (e´) le trazamos una recta perpendicular a que la corta en X´. Giramos el punto X´ un ángulo α hasta conseguir el punto X´1, por el cual se traza la recta r´1 perpendicular al segmento e´-X´1. Esta recta será donde se situarán los puntos A´ y B´ una vez girados

Con centro en e´ y radio e´-A´, trazamos un arco que corta a r´1 en A´1. A partir de este momento, y como en la proyección horizontal se mantendrán las dimensiones originales al estar en verdadera magnitud, llevando las medidas correspondientes, y por medio de paralelas, dibujamos la planta del elemento constructivo en su nueva posición.

Las proyecciones vertical y de perfil las obtenemos por medio del uso de líneas auxiliares perpendiculares a LT y paralelas a la misma, ya que el eje de giro elegido es vertical y se mantienen las cotas de los puntos girados.

26

27

Para obtener las dos proyecciones auxiliares pedidas, observando la disposición de las mismas, decidimos que para la obtención de la vista según la dirección "a" vamos a utilizar dos cambios de plano, y para la obtención de la vista según la dirección "b" vamos a utilizar un giro según un eje vertical.

Comenzamos con la vista desde "a". Realizamos primero un cambio de plano vertical, de forma que el nuevo plano sea paralelo a la superficie cuya proyección nos interesa. Trazamos líneas auxiliares perpendiculares a la nueva LT y sobre ellas y a partir de la citada LT llevamos las cotas correspondientes a cada punto, ya que al ser un cambio de plano vertical, se mantienen constantes las cotas de los puntos. Determinando así la nueva proyección vertical de la pieza.

Hacemos un nuevo cambio de plano, esta vez de plano horizontal, trazando la nueva LT paralela a la superficie cuya proyección nos interesa obtener en verdadera magnitud. Así lo que hacemos es situar dicha superficie en posición horizontal. Mediante de líneas auxiliares perpendiculares a la nueva LT, y llevando sobre ellas y a partir de LT, los valores del alejamiento correspondiente, obtendremos las proyecciones horizontales de los puntos de la superficie, determinando así la vista auxiliar buscada.

Para obtener la vista desde "b", elegimos el eje vertical "e". Prolongamos la proyección horizontal de la superficie CDUT (C´D´U´T´) según la recta t´. Dicha recta se gira con centro en (e´) hasta situarla paralela a la LT según (t´1). Girando todos los puntos de la proyección horizontal ese mismo ángulo, obtendremos la proyección horizontal del elemento constructivo girado hasta situar la superficie CDUT como un plano paralelo al plano vertical con lo cual se proyectará en verdadera forma y dimensión sobre dicho plano de proyección.

.

28

29

2-14 Se dispone de las proyecciones horizontal y vertical de un elemento deslizante de una máquina. Por necesidades impuestas por un futuro diseño, se debe obtener la verdadera forma y dimensiones de la superficie oblicua del elemento. Ver figura.

Partimos de las proyecciones vertical y horizontal de dicho elemento. Trataremos mediante dos cambios de plano, de situar la superficie que nos interesa como una superficie horizontal.

Comenzamos haciendo un cambio de plano vertical, tal que la nueva LT sea paralela a la recta e´, eje de simetría de la proyección horizontal de la pieza. Por medio de líneas auxiliares perpendiculares a la nueva LT, y llevando sobre ellas las cotas de los puntos correspondientes, cotas que, al ser un cambio de plano vertical, se mantendrán inalterables, obtenemos así la nueva proyección vertical del elemento.

Haciendo un nuevo cambio de plano, esta vez de plano horizontal, y tomando la nueva LT paralela a la proyección vertical correspondiente a la superficie oblicua, conseguiremos situar dicha superficie oblicua como horizontal, con lo que se proyectará en verdadera magnitud sobre el nuevo plano horizontal. Por medio de perpendiculares a la LT y llevando sobre ellas los alejamientos correspondientes, obtenemos así la proyección horizontal buscada.

30

31

2-15 Se quiere construir sobre una edificación una torre de estructura metálica, de forma que su base, si llegara hasta el plano del suelo, sería un triángulo equilátero de 3 unidades de medida como magnitud del lado, situado de forma que uno de sus vértices, el vértice 1, está a 0,5 u de m. del lateral AB y del BE, y el lado (1-3) es paralelo al lateral AB. La plataforma superior de la torre estará a 7 u de m. de altura total y tendrá de lado 2 u.de m.. Dibujar dicha estructura, considerando que se construirá sobre el tejado del edificio cumpliendo los anteriores requisitos. Hallar los puntos de apoyo sobre la cubierta, y los ángulos que forman los soportes de la torre con la cubierta del edificio. Ver figura.

Comenzaremos dibujando las proyecciones del edificio y situando un triángulo equilátero de 3 u de lado en las condiciones dadas, es decir, con el vértice 1 a 0,5 u de las rectas A-B y B-E.

Dibujamos en este triángulo las tres bisectrices. Sobre una perpendicular a una de las bisectrices del triángulo, se lleva la medida de 2 u, situando 1 u a cada lado y por paralelas a la bisectriz se lleva esta medida hasta que corte a las otras dos, así tendremos situada la proyección de uno de los lados de la plataforma superior. Trazando por los extremos de este lado paralelas a los lados de la base obtendremos el triángulo de la plataforma. Uniendo los vértices de uno de los triángulos con los tres del otro obtendremos la estructura de la torre. Posteriormente obtendremos la proyección vertical.

Para encontrar los puntos de apoyo de los soportes sobre la cubierta, hallamos las intersecciones de dichos soportes con el plano de dicha cubierta, sirviéndonos de planos proyectantes. Así, el plano proyectante ß pasa por el soporte 1-4 y corta a dos laterales de la cubierta en los puntos que se llevan a la proyección vertical, obteniendo en esta (r"), el punto de corte entre (r) y 1-4 será el punto de apoyo L. Se hará lo mismo con los otros dos apoyos.

Para hallar el ángulo formado por el soporte 5-2, hacemos un cambio de plano vertical de forma que dicho soporte pase a ser una recta frontal, con lo que tendremos el ángulo en verdadera magnitud. El ángulo de los soportes 1-4 y 3-6 los obtenemos mediante giros alrededor del eje (e), situando dichas rectas como rectas frontales, girando al mismo tiempo las proyecciones de dichas rectas sobre la cubierta del tejado. El ángulo en cada caso estará definido por las rectas giradas y las rectas proyección citadas, también giradas.

32

33

34

2-16a En un barco mercante, uno de sus sistemas de carga y descarga, compuesto de un poste y un puntal de carga o aguilón, está elevando una carga de 6.500 Kg. El cable del sistema discurre por un pasador en el extremo del aguilón. En un momento dado, el aguilón se encuentra en equilibrio en la posición de la figura.

Comenzamos dándoles un sentido a las tres fuerzas. Para ello utilizamos el siguiente criterio: las fuerzas de tracción actuarán alejándose de la unión y las fuerzas de compresión, siempre acercándose. Basándonos en ello, dibujamos sobre el sistema inicial el sentido de las fuerzas actuantes, de las que conocemos la fuerza sobre el tramo vertical del cable: 6.500 Kg.

Como las tres fuerzas son coplanarias, utilizando el principio de "los orígenes con los extremos", a partir de un punto cualquiera A(A`,A"), y utilizando la escala de fuerzas dada, trazamos una recta paralela al cable vertical, obteniendo el punto B(B`,B"). Por A y B, rectas paralelas a las otras dos fuerzas, las cuales se cortan en C(C`,C").Utilizando dos giros obtenemos A"C1" y B`C2` en verdadera magnitud.

2-16b En la situación de la figura y teniendo en cuenta la componente de la fuerza de gravedad, calcular en módulo y situación la resultante de las fuerzas coplanarias, paralelas al plano de la figura, que actúan sobre el centro de gravedad del remolque, el cual pesa 55 Kg.

Calculando el centro de gravedad del remolque G(G`,G"), descomponemos sobre el peso del mismo, obteniendo así Fg(Fg`,FG"), que es la componente de la fuerza de gravedad.

Trasladamos el punto G a una figura auxiliar y, marcando un sentido de rotación, que nos dará el orden de las fuerzas, vamos situando las mismas según el principio de "origen con extremo", dando lugar a un polígono abierto. Uniendo G con el último punto de esa línea poligonal, E, obtenemos la fuerza resultante en su orientación real. Para obtener su módulo o magnitud, realizamos un giro, de forma que la situamos paralela al plano vertical en el cual se proyecta en verdadera magnitud.

35

36

2-17 Calcular la fuerza necesaria (módulo, dirección y sentido) para que el sistema de fuerzas coplanarias de la figura se equilibre. Ver figura.

Para comenzar fijamos un sentido de giro, que nos servirá como referencia a la hora de trabajar con los vectores representativos de las fuerzas. Primero lo haremos con un sentido de giro antihorario.

A partir de un punto cualquiera A, y comenzando con el vector F1, vamos formando una línea poligonal. Dicha línea, si el sistema estuviera en equilibrio, resultaría cerrada y abierta si es el caso contrario. Para formarla nos basamos en el principio de "origen con extremo". Así, en el extremo del vector F1, situamos el origen del vector F6, y así consecutivamente, siguiendo el orden que nos fija el sentido de giro, es decir, F1, F6, F5, F2, F3, F4.

Observamos en este momento que la línea poligonal formada es abierta, lo cual indica la existencia de un fuerza resultante. Para que el sistema se equilibre, será necesaria una fuerza que "cierre el polígono". Uniendo el extremo del vector F4 con el punto A, y teniendo en cuenta el anteriormente citado principio de extremos y orígenes, situaremos el extremo en el punto A, y el origen en el final del vector F4. Obtenemos así la fuerza de equilibrio Ft(Ft´, Ft´´).

Para obtener su magnitud real o módulo, procedemos a realizar un giro de tal forma que situamos el vector Ft paralelo al plano proyectante vertical, por lo que se proyecta en verdadera magnitud según Ft1".

Si escogemos el sentido de giro contrario, el proceso será el mismo, solo que variará el orden de los vectores al dibujarlos. En este caso, el orden, partiendo de F6, será F1, F2, F3, F4, F5.En este momento, situaremos el origen del vector F t en el extremo de F4, y uniendo dicho extremo con A, tendremos Ft, cuyo extremo estará en A.

37

38

2-18 En un determinado punto del espacio, punto A (30,40), actúan cuatro campos magnéticos que originan fuerzas, cuyas características en módulo y orientación son las que a continuación se indican:

a - N60°E, 58° de inclinación ascendente, 350 U. m.b - S45°O, 25° de inclinación descendente, 475 U. m.c - Sur, horizontal, 200 U. m.d - Oeste, 50° de inclinación descendente, 275 U. m.

Representar la fuerza equilibrante necesaria para anular a las anteriores, considerando que la línea de referencia de un sistema diédrico de proyecciones forma 105° con la dirección Norte-Sur. Utilizar para la escala de fuerzas la siguiente relación: 10mm=50 U.m.

Comenzamos representando las cuatro fuerzas actuantes. Para ello, una vez situado un punto auxiliar B (B',B"), situamos en la proyección horizontal la orientación Norte, y cuatro rectas que parten de B', y tengan la orientación dada para cada fuerza. Para dar las inclinaciones correspondientes a cada una utilizamos giros que las sitúan en posición favorable.

Por ejemplo, en el caso de la fuerza b (b', b"), dibujamos en el horizontal una recta con la orientación (S45°O) y en ella tomamos un punto N', el cual giramos a N1'. Por N1' trazamos una perpendicular a L.T. y prolongamos asta cortar en N1" a la recta que partiendo de B" forma 25° de inclinación descendente. Trazando por N1" una paralela a la L.T. que corte a la perpendicular a ella por N', obtendremos el punto N" con lo que tendremos situada la recta en la que actúa la fuerza (b). Llevando el módulo de dicha fuerza sobre la recta "girada", obtendremos la fuerza b(b',b").

Los casos de a (a', a") y d (d', d") se resolverán de similar forma. En el caso de c (c', c"), al ser horizontal no necesitaremos girarla.

Una vez situadas dichas fuerzas, trazaremos una paralela a la dirección a (a', a") a partir del punto A (A', A"), teniendo así Fa (Fa', Fa"), limitada por el punto A y por el punto D. Situamos a partir de este momento las fuerzas restantes a continuación unas de otras, utilizando el criterio de "origen con extremo", y siguiendo un sentido único de rotación, formando una línea poligonal que resulta abierta.

Al resultar abierta indica que las fuerzas actuantes no están en equilibrio, por lo que la fuerza equilibrante será aquella que cierre el "polígono". Para ello unimos el extremo G (G', G") con el origen A (A', A"), obteniendo la fuerza Fe (Fe', Fe").Para determinar su magnitud nos servimos de un giro, obteniendo la Fe1 (Fe1', Fe1"),cuya verdadera magnitud estará representada según Fe1".

39

40

2-19 El soporte de un equipo de perforación se representa esquemáticamente por un trípode. Dicho soporte, debido a las características del terreno, ha sido preciso instalarlo según se muestra en la figura. Si el equipo pesa 450 Kg, calcular la fuerza que ha de resistir cada elemento del soporte. Escala de fuerzas: 1cm=100Kg.

Este es un problema de fuerzas, en el cual desconocemos tres de ellas, y otra nos viene dada, Para su resolución debemos buscar que dos de las incógnitas nos aparezcan confundidas en una de las dos proyecciones del sistema, ya que con tres incógnitas en las dos proyecciones sería imposible la resolución del ejercicio.Partimos del esquema del trípode en su posición original. Unimos los puntos A' y B' mediante una recta que prolongamos. Por un punto cualquiera de esta recta y perpendicular a la misma, trazamos una nueva L.T. según la cual hacemos un cambio de plano vertical y conseguimos así que en la proyección vertical aparezcan dos de las incógnitas confundidas en la misma recta.En estas vistas trazamos el sentido de las fuerzas que actúan en el sistema. Como los soportes actúan a compresión, su sentido será dirigido al punto de unión. En un punto cualquiera, M(M',M"), trazamos una paralela a la fuerza ejercida por el peso del equipo y llevamos sobre ella el módulo del mismo, y según la escala dada marcamos con una flecha la fuerza. Tenemos así M"-N". En la proyección horizontal, coincidirán M´ y N´, ya que es una recta vertical.En la proyección vertical, y teniendo en cuenta el principio de "origen con extremo", trazamos dos rectas paralelas a las fuerzas restantes, una por N" y otra por M". Ambas rectas se cortan en P". Trazamos ahora en la proyección vertical una paralela a C'D', la cual limitamos mediante una perpendicular a L.T. por P", obteniendo P'. Por P’ paralela a A'D'. Por M',N', paralela a B'D'. Ambas rectas se cortarán en Q'. Refiriendo Q' al plano vertical, mediante una perpendicular a L.T. cortamos a P"M" en Q", con lo cual obtenemos el valor, en proyecciones, de los dos vectores cuyas proyecciones teníamos confundidas en la proyección vertical.Mediante tres giros de los vectores alrededor de sendos ejes perpendiculares al plano vertical, obtenemos las tres componentes de las fuerzas en su verdadera magnitud, según: Q'-M1' = 180 Kg, N'-P1' = 200 Kg y Q'-P2'= 170 Kg.

41

42

2-20 Se conocen tres puntos pertenecientes a un determinado estrato. Es preciso averiguar la dirección o rumbo y la pendiente de dicho estrato. Los puntos conocidos son: A, que tiene una altitud de 1.800 metros y que lo tomaremos con un alejamiento figurado de 4.200 metros; el punto B con una altitud de 2.850 metros, a 1.900 metros de la línea de referencia figurada (LT), sabiendo que la recta trazada desde A y que pasa por B, forma 45° con la dirección norte, estando el punto B a la derecha del A; punto C que se encuentra 830 metros a la derecha del A, teniendo una altura de 1.200 metros y un alejamiento de 1.450. Utilizar la escala 1:1000, tomando como dirección norte, la perpendicular a LT.

El primer procedimiento es el método general, en el cual hacemos pasar dos rectas por los puntos, tomados estos en parejas. Así, la recta r(r´, r´´) pasa por los puntos A(A´,A´´) y B(B´,B´´) y la recta s(s´, s´´) lo hace por los puntos A(A`,A") y C(C´,C´´). Dichas rectas nos determinan el plano ß (ß1,ß2). La traza horizontal de dicho plano, ß1, nos determina la dirección, y haciendo un cambio del plano vertical, tomando el nuevo de forma que sea perpendicular a ß1, obtenemos la proyección ß2´´, que forma un ángulo con la nueva LT, ángulo que corresponde al buzamiento del estrato, que es el ángulo de su línea de máxima pendiente.

El segundo procedimiento, es el que figura como "método de las tres proyecciones". Partimos de los puntos "dato" ya situados. Unimos los puntos de mayor y menor cota, en este caso B (B´,B´´) y C (C´,C´´). Basándonos en que una recta horizontal de un plano tiene la misma dirección que el plano en el que está contenida, trazamos por el punto A una recta horizontal cuya proyección corta al segmento B´´- C´´ en el punto D´´, obteniendo D´ sobre el segmento B´- C´, y uniendo D´ con A´, tendremos la dirección buscada. Trazando una nueva LT perpendicular a dicha dirección, refiriendo sobre el nuevo plano vertical las proyecciones A´, B´ y C´, y llevando sus correspondientes cotas, tendremos una recta que une dichos puntos, y que forma con la nueva LT un determinado ángulo que corresponde al buzamiento buscado.

El tercer método o "de los tres puntos del geólogo" es más sencillo, se basa en el anterior método, en el que se observa que el triángulo rectángulo (C1´´B1´´1) es semejante al (A1´´B1´´2) y B1´´2 es la diferencia de alturas entre B y C. Así se puede construir un triángulo rectángulo, sin recurrir a vistas auxiliares o a la proyección vertical. Unimos los puntos de mayor y menor cota, B´- C´. A partir del que tenga mayor cota, B´, trazamos una recta cualquiera sobre la que llevamos desde B´ la diferencia de cotas entre la mayor y la menor, obteniendo el punto 4. Llevamos ahora la diferencia entre la mayor y la mediana, así se obtiene el punto 5. Unimos 4 con C´, y por 5 trazamos la paralela que corta a C´- B´ en el punto 6. Uniendo 6 con A´, tenemos la dirección buscada. Trazamos ahora por C´ una perpendicular a A´- 6 que la corta en el punto 7, y a partir de él llevamos, sobre la dirección obtenida, la diferencia de cotas entre la mediana y la menor, obteniendo el punto 8, que unido con C´, nos define el buzamiento del estrato.

43

44

2-21 Durante el desarrollo de una manifestación un incontrolado ha efectuado dos disparos desde un edificio, no sabiéndose desde que ventana o piso. El primer disparo impactó en el suelo en el punto B y rebotando destrozó una luminaria en el punto C.

Calculando una altura media para el tirador de 1,70 metros (nivel de los ojos) y si la boca del arma se situaría normalmente a medio metro de la ventana, hallar el piso y ventana desde la que se efectuó el disparo, suponiendo el rebote perfectamente elástico.

El segundo disparo, realizado inmediatamente después del primero, atravesó una pancarta en el punto E y acabó impactando en el suelo en el punto D. Averiguar si el disparo fue realizado desde el mismo punto que el primero. Si la cabeza del tirador se situara normalmente un metro detrás de la boca del arma, representar la zona desde la que sería posible ver la cara del tirador después de hacer el segundo disparo, si en ese

momento el rifle lo tiene horizontal y a 1,70 metros y la altura media del observador fuese de 1,50 metros. Escala 1:10.

Comenzamos uniendo los puntos B´ y C´, y prolongando la recta hasta que entre dentro del edificio, observamos que lo hace por la segunda ventana. A partir del borde de la ventana, tomamos medio metro en dicha recta y así tenemos el punto A´ que será la proyección horizontal del punto donde estará la boca del arma. Para saber la altura, realizamos un cambio de plano vertical de tal forma que la nueva L.T. pasa por la recta anteriormente dibujada. En la nueva proyección vertical situamos el punto C1" que unido con B´ nos da la trayectoria después del rebote y el ángulo de la nueva trayectoria. Por B´ trazamos una perpendicular a la nueva L.T. y llevamos el mismo ángulo hacia la izquierda, trazando una recta que cortará en el punto A1´´ a la perpendicular a la nueva LT por el punto A´. Refiriendo el punto A1´´ al plano vertical inicial según A´´ tendremos el punto exacto donde se encontraba la boca del arma. Por las condiciones del problema, dicho punto se encuentra a 1,70 metros del suelo.

Unimos ahora el punto D (D´, D´´) con el punto E (E´, E´´) y prolongando comprobamos que la recta pasa por el punto A (A´, A´´), luego el punto de origen del disparo fue el mismo.

45

Para hallar la zona desde la que sería posible ver al tirador, hacemos un segundo cambio de plano, tomando una LT perpendicular al plano de la fachada y sobre el nuevo plano vertical referimos el punto F´´ según F2´´ y el punto 1´´ que es la proyección del punto de corte de la proyección horizontal del primer disparo con el marco inferior de la ventana, según 11´´, de forma que tenemos el lugar ocupado por la cabeza del tirador y el marco inferior de la ventana. Unimos ambos puntos y prolongando cortamos a un plano situado paralelo a la nueva LT a 1,50 metros en 22´´. A partir de F´ trazamos dos rectas límites tangentes a los marcos laterales de la ventana según F´- O y F´- Por 22´´trazamos una paralela al marco inferior de la ventana que cortará en M a la recta F´- O y en N a la F´- P, teniendo así la zona desde la que sería posible ver al tirador.

Resolución gráfica en la página siguiente.

46

47

2-22 Dado el modelo poliédrico de la figura, se debe representar una vista auxiliar, seleccionada de tal forma que en ella se aprecien las superficies AOD y BLMC en sus verdaderas dimensiones y forma. También se pide obtener la representación de la verdadera forma de las superficies ABLPO, CDOPM y MPL.

Para representar la superficie AOD en su verdadera dimensión y forma, vamos a efectuar un cambio de plano vertical. Para ello trazamos una nueva línea de tierra paralela a la proyección horizontal de la superficie AOD, proyección A´O´D´. Trazamos desde cada punto de la proyección horizontal una línea auxiliar perpendicular a la nueva línea de tierra, y a partir de esta y sobre las líneas auxiliares, llevamos la cota de cada punto. Se obtiene así una proyección o vista auxiliar del modelo, en la cual aparecen las superficies AOD y BLMC en sus verdaderas formas y dimensiones, ya que pertenecen a planos paralelos al plano vertical del nuevo sistema de planos de proyección.

Para la obtención de las verdaderas formas de las otras tres superficies, utilizamos tres abatimientos alrededor de las charnelas Ch1, Ch2 y Ch3.Para la obtención de la verdadera forma de la superficie BLPOA, utilizamos la charnela Ch1, en torno a la cual vamos a abatir los puntos O y L. Por ambos puntos trazamos rectas perpendiculares y paralelas a Ch1. Las rectas perpendiculares cortan a Ch1 en los puntos 1 y 2. Llevamos sobre las rectas paralelas las cotas correspondientes a cada uno de los dos puntos, obteniendo los puntos que uniremos respectivamente con 1 y 2, obteniendo los radios de los abatimientos de O en O0 y de L en L0. A partir de aquí, y mediante el uso de líneas auxiliares perpendiculares a Ch 1 y paralelas a la misma, obtendremos el resto de los puntos que nos definirán la forma verdadera de la superficie. La superficie proyección BLPOA y la abatida B0L0P0O0A0 son figuras afines, siendo el eje de la afinidad la recta Ch1 y la dirección de afinidad perpendicular al eje. Afinidad que podremos utilizar para completar los trazados.Haremos lo mismo para las otras dos superficies.

48

49