e Structural

MATEMATICA ESTRUCTURALEL CENTRO, 2009

Autor: Andrés Forero CuervoPortada: Andrea SolanoBogotá, Colombia, 2009.

Más información en Internet: Recursos de matemática estructural:http://matematicaestructural.googlepages.com/

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Introducción

Este libro consiste en una introducción detallada a las matemáticas de una man-era rigurosa, partiendo del estudio de los conjuntos como pilar fundamental. Secubren diversos temas como son: teoría intuitiva de conjuntos, inducción mate-mática, conteo, divisibilidad y congruencias, relaciones y funciones, relaciones deequivalencia y números cardinales. Además se introduce el concepto de isomor-fismo, noción que formaliza la idea de similaridad estructural. ¡Esperamos que ellector pase un buen rato leyendo este libro!

Durante la lectura de cada capítulo el lector se encontrará ocasionalmente conel siguiente mensaje:

! Para antes de seguir leyendo:

Es este caso le sugerimos que se detenga en la lectura e intente resolver lospequeños ejercicios que aparecen propuestos allí, con el fin de aclarar los concep-tos que se han presentado. Adicionalmente al final de cada capítulo se encuentrauna sección de ejercicios, organizados por distintos niveles de dificultad. Recomen-damos al lector intentar resolverlos durante un buen rato, y si no los puede resolver,seguir intentando. Es frecuente que el primer enfoque para resolver un ejercicio nosea el correcto, así que se deben hacer varios intentos, y para ello ciertamente serequiere de persistencia.

El autor está profundamente agradecido con Ramiro de la Vega, principal editory colaborador del libro. También agradece a Sergio Tello Lee y Alejandro Foreropor su ayuda en la escritura del primer capítulo, y a Alexander Berenstein, CarlosMontenegro, Aquiles Páramo, Silvia Barbina, Andrea Solano, Andrés “Betun” Be-tancourt y Camilo Rengifo por colaborar en diversos aspectos.

Este libro se encuentra en proceso de elaboración. Si usted tiene alguna sugerencia,ha encontrado errores en el texto o tiene comentarios generales sobre el libro y lapágina web, no dude en escribir al autor, Andrés Forero ([email protected]).

Índice general

1. Conjuntos 71.1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Propiedades de la relación ⊆ y el conjunto potencia . . . . . . . . 161.3. Operaciones básicas entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. Álgebra de conjuntos: pruebas sin doble inclusión . . . . . . . . . 321.5. Unión e intersección generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.6. La paradoja de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.7. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.8. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.9. - Proyecto: Álgebras de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2. Inducción: los números naturales 632.1. El principio del buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2. Principios de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3. Definiciones por recursión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4. Isomorfismo entre estructuras ordenadas . . . . . . . . . . . . . . 772.5. Conteo utilizando inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.6. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3. Divisibilidad: los números enteros 973.1. Conceptos fundamentales, el algoritmo de la división . . . . . . . 983.2. El máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3. El teorema fundamental de la aritmética . . . . . . . . . . . . . . 1093.4. Sucesiones eventualmente nulas y el T.F.A. . . . . . . . . . . . . 1143.5. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

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6 ÍNDICE GENERAL

3.6. El pequeño teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.7. El teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.8. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.9. - Proyecto: Clausura e ideales en Z . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4. Relaciones y funciones 1514.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.2. Órdenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.3. Clausura de una relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.4. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.6. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . 1794.7. Imagen e imagen inversa de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 1864.8. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.9. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.10. Construcción de los números enteros y racionales . . . . . . . . . 2034.11. Conteo mediante relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . 2154.12. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5. Cardinales 2295.1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2305.2. El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein . . . . . . . . . . . . . 2325.3. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.4. Conjuntos enumerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.5. Conjuntos infinitos no enumerables . . . . . . . . . . . . . . . . . 2465.6. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

6. Estructuras matemáticas 2576.1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2586.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.3. Isomorfismos de estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2676.4. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

A. Lógica 279A.1. Lógica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279A.2. La implicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283A.3. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284A.4. Lógica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288A.5. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

CAPÍTULO 1

CONJUNTOS

Todo es un conjunto...

La noción de conjunto es posiblemente la noción más importante utilizada enlas matemáticas modernas, y fue desarrollada a finales del Siglo XIX por GeorgCantor. Muchos objetos y conceptos matemáticos (relaciones, funciones, grupos,anillos, grafos, espacios vectoriales, topologías, etcétera) se definen de forma pre-cisa en términos conjuntistas. Por ejemplo, un grupo es un conjunto junto con unaoperación sobre él que posee ciertas propiedades. Una topología es un conjunto deconjuntos llamados abiertos, que cumplen con varias condiciomes. Ya que la no-ción que nos permite construir objetos matemáticos complejos es la de conjunto,

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8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS

la pregunta fundamental parece ser la siguiente: ¿qué es un conjunto exactamente?No nos molestamos por responder esta pregunta, ya que esto da pie a un juego denunca acabar: si un objeto es una colección, entonces ¿qué es una colección? siuna colección es una clase, entonces ¿qué es una clase? En vez de buscar definirun conjunto, nos enfocaremos en establecer ciertos principios fundamentales quehablen sobre ellos y que nos permitan manipularlos de forma efectiva. En vez dedecir explícitamente qué son los conjuntos, los describiremos de forma generalestableciendo sus propiedades fundamentales, y desarrollando así su teoría.

1.1. Conceptos fundamentales

En términos informales un conjunto es una colección de objetos. La nociónConjunto

básica para estudiar los conjuntos es la pertenencia. Por ejemplo, sea H el conjuntode todos los seres humanos, y d la persona “Diego Reyes”. Es claro que d es unmiembro o elemento del conjunto H. Decimos que d pertenece a H, o d es unelememto de H y escribimos:

d ∈ H.∈: Pertenencia

Como el número c = 3 no es un ser humano, decimos que c no pertenece a Hy escribimos:

c 6∈ H.

Para entender mejor qué es un conjunto, hacemos las siguientes observaciones:

Conocer un conjunto equivale a conocer a sus elementos. De esta forma, si Ay B son conjuntos que poseen exactamente los mismos elementos, entoncesson el mismo conjunto y escribimos A = B (Esto se lee: “A es igual a B”).

La notación de corchetes es una forma común de describir conjuntos. Porejemplo, si A es el conjunto cuyos elementos son 3 y 5 (y ningún otro ele-mento), podemos escribir:

A = {3,5}.

El orden en que listamos los elementos de un conjunto no es importante. Enotras palabras, un conjunto se asemeja a una bolsa de dulces distintos quepodemos revolver o “desordenar” sin que el conjunto cambie: al hacerlo, noperdemos la información sobre qué dulces pertenecen a la bolsa (el conjun-to). Por ejemplo, {3,5}= {5,3}.

1.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 9

Si un objeto pertenece a un conjunto, pertenece exactamente una vez a él.Por ejemplo, el conjunto {6,6} posee exactamente un elemento (el número6) y {6,6} = {6} (pues ambos conjuntos poseen exactamente los mismoselementos, a saber, 6). Análogamente tenemos que {2,3,3,2,3}= {2,3}.

Un conjunto puede ser finito o infinito, según éste posea un número finito oinfinito de elementos: por ejemplo, el conjunto {1,3,5} es finito (pues posee3 elementos). El conjunto de los números impares positivos {1,3,5,7, . . .}(que nunca acabaríamos de escribir) es infinito.

Un conjunto puede carecer de elementos: un conjunto con esta propiedad sedenomina un conjunto vacío. Más adelante demostraremos que en realidadexiste un único conjunto vacío.

La notación de corchetes es conveniente para describir algunos conjuntos, perohay que ser cuidadoso en su uso. Por ejemplo, podría pensarse que el conjunto{x,y} es necesariamente un conjunto con dos elementos, sin embargo si x = y,entonces {x,y} = {x} = {y}, luego éste es, en tal caso, un conjunto con un únicoelemento.

�� Ejemplo 1.1. Los siguientes son ejemplos de conjuntos:

1. Sea A el conjunto cuyos únicos elementos son 2 y 7. Esto es, 2∈A, 7∈A,y para cualquier objeto x, si x es distinto de 2 y de 7 entonces x 6∈ A. Elconjunto A se puede escribir como A = {2,7}. Gracias a estas obser-vaciones tenemos que A = {2,7} = {7,2} = {2,7,2,2} = {7,7,2,2},etcétera.

2. Si d es un objeto cualquiera, el conjunto que resulta a partir de “intro-ducir a d en un conjunto y no introducir ningún otro objeto” es {d},el conjunto cuyo único elemento es d. El conjunto {d} es llamado “elsíngleton {d}”. Por ejemplo, si A = {1,2}, entonces {A} = {{1,2}}. SingletonClaramente A es distinto de {A} ya que A posee dos elementos, mien-tras que {A} posee tan sólo un elemento.

3. Llamamos N al conjunto de los números naturales: N: Númerosnaturales

N = {0,1,2, . . .}.

N es un conjunto infinito1. Para todo n, si n ∈ N, entonces n+1 ∈ N.


4. Si c es una propiedad y x es un objeto, entonces la afirmación “x poseela propiedad c” ó “la propiedad c es válida para x” será abreviada así:c(x). Sea c una propiedad relativa a un objeto x (por ejemplo, c(x) =“xes calvo”). Denotamos el conjunto de los x que poseen la propiedad c(“el conjunto de los calvos”) por

{x : c(x)},

y lo leemos así: el conjunto de los x tales que c(x) (el conjunto de los xtales que x es calvo).

5. Sea S el conjunto de todos los números naturales entre 4 y 900, incluyen-do extremos. En lugar de listar todos los elementos de S, es convenienteescribir a este conjunto como {x ∈N : 4≤ x≤ 900}. Esto se lee: el con-junto de todos los x en N tales que x es mayor o igual a 4 y menor oigual a 900 (aquí la propiedad “x ∈N y 4≤ x≤ 900” hace las veces delc(x) del numeral anterior).

6. Sea D = {3,8,13,18,23}. Entonces D = {3 + 5 j : j = 0,1,2,3,4}, quese puede leer así: D es el conjunto de los números de la forma 3+5 j, endonde j varía entre 0 y 4. Por ejemplo 13 es de la forma 3+5 j (tomandoj = 2).

Los tres primeros ejemplos ilustran maneras extensionales de nombrar con-juntos, en las cuales listamos sus elementos explícitamente; el cuarto y quintodescriben otra forma de nombrarlos, intensionalmente2, exhibiendo la propiedadcomún que comparten sus elementos; el sexto ejemplo muestra un conjunto repre-sentado de ambas maneras.

Toda forma extensional puede traducirse a forma intensional: si S = {a0,a1, . . . ,an},entonces S = {x : p(x)}, donde p(x) es la propiedad “x = a0 ó x = a1 ó · · · ó x =an”. Sin embargo, muchas descripciones intensionales no tienen contraparte exten-sional.

Sea H1843 el conjunto de los seres humanos que nacieron en 1843. Claramentetodo elemento de H1843 es un elemento de H = {x : x es un ser humano }, esto es,para todo x, si x pertenece a H1843, entonces x pertenece a H. Lo anterior lo expre-samos diciendo que H1843 es un subconjunto de H. Si simbolizamos “para todo”mediante el símbolo ∀, e “implica” mediante el símbolo→, podemos formular la∀ Para todo

→ : Implicación2¡No confundir con intencionalmente!


definición general de subconjunto de la siguiente forma:

Definición 1.2. Sean A y B conjuntos. Diremos que A es un subconjunto de B ⊆ : Subconjunto

(en símbolos, A⊆ B) si

∀x : x ∈ A→ x ∈ B (se lee: “para todo x, si x ∈ A entonces x ∈ B.)

Por definición las expresiones “A ⊆ B”, “A es un subconjunto de B”, “A estácontenido en B” y “A está incluido en B” son equivalentes. Sin embargo éstas noson equivalentes a la expresión “A pertenece a B”. En otras palabras, las nocionesde pertenencia y contenencia son distintas y no son intercambiables. Por ejemplo,un ser humano no está contenido en el conjunto H de los seres humanos, sino quepertenece a este conjunto. Por otra parte, el conjunto de los nigerianos no perteneceal conjunto de los africanos, sino que está contenido en él (ya que para todo x, si xes nigeriano entonces x es africano).

En matemáticas frecuentemente demostramos afirmaciones de la forma A⊆ B.Esto significa demostrar que para cualquier x, si x ∈ A, entonces x ∈ B. La primeraafirmación es llamada la hipótesis (afirmación que suponemos verdadera), y la se-gunda afirmación es llamada la conclusión (afirmación que debemos concluir a par-tir de la hipótesis). Esquemáticamente, una demostración de la afirmación A ⊆ Btiene la forma siguiente:

“Sea x ∈ A: entonces ... entonces x ∈ B”.

Los puntos suspensivos representan distintas afirmaciones que se pueden concluirlógicamente a partir de la hipótesis de que x ∈ A. El objetivo es “llegar” a la afir-mación x ∈ B. Veamos un ejemplo:

�� Ejemplo 1.3. Sean A = {12n : n ∈ N}, B = {3k : k ∈ N}. Demuestre queA⊆ B.

Prueba. Sea x∈A. Entonces por definición de A, existe n∈N tal que x = 12n.Entonces x = 3k, en donde k = 4n. Claramente k ∈N (pues el producto de dosnúmeros naturales es un número natural), luego por definición del conjunto B,3k ∈ B. Como x = 3k, entonces x ∈ B. o

�� Ejemplo 1.4. Sean D = {n3 : n ∈ N,n > 1}, E = {k : k ∈ N,k > 5}. De-muestre que D⊆ E.


Prueba. Sea x ∈ D. Entonces existe n ∈ N tal que n > 1 y x = n3. Comon > 1 y n es un número natural, tenemos que n≥ 2. Entonces x = n3 ≥ 23 = 8.Claramente x ∈ N y x > 5, luego x ∈ E. o

Observación 1.5. A⊇ B significa naturalmente B⊆ A, lo que se puede leer A esun superconjunto de B.

Supongamos que A ⊆ B, y sea x cualquier objeto. Si x no pertenece a B, en-tonces x tampoco pertenecerá a A, ya que si x perteneciera a A, también perteneceríaa B, lo cual contradice nuestra hipótesis de que x 6∈ B. En resumen:

Si A⊆ B y x 6∈ B, entonces x 6∈ A.

La relación de no ser subconjunto la denotamos con el símbolo 6⊆. Por ejemplo, siA = {1,3,5} y B = {1,7}, entonces A no es un subconjunto de B ya que por ejemplo3 ∈ A y 3 6∈ B. La afirmación A 6⊆ B es equivalente a la siguiente afirmación:

Existe x tal que x ∈ A y x 6∈ B.

Sean A y B conjuntos3, y supongamos que A ⊆ B y B ⊆ A. Esto quiere decir Ay B poseen los mismos elementos: todo x que pertenezca a A debe pertenecer aB y viceversa. Pues bien, en este caso lo más natural es que podamos concluirque A y B son en realidad el mismo conjunto. En otras palabras, la única razónpara afirmar que dos conjuntos son distintos es que difieran en sus elementos. Laanterior propiedad la expresamos en el siguiente principio4:

Principio 1.6 (Extensionalidad). Si los conjuntos A y B poseen exactamente losPrincipio deextensionalidad mismos elementos, entonces A = B.

Si A y B son conjuntos y A = B, entonces claramente A y B poseen los mis-mos elementos. Ahora, gracias al principio de extensionalidad, si A y B poseen losmismos elementos, entonces A = B. En resumen, las afirmaciones “A = B” y “A yB poseen los mismos elementos” son equivalentes, esto es, siempre que alguna deAfirmaciones

equivalentes ellas sea verdadera, la otra tambien lo es5. De forma más concisa, escribimos:

A = B↔ A y B poseen los mismos elementos,

donde el símbolo↔ se lee si y sólo si, y representa la equivalencia entre dos afir-↔ :Equivalencia

3en principio podría ocurrir que A = B, pues dos nombres o símbolos distintos no garantizan quelos objetos nombrados por ellos sean objetos distintos

4Un principio es una afirmación que suponemos que es verdadera pero no la demostramos.5Para más sobre la noción de afirmaciones equivalentes, ver el apéndice de lógica.


maciones.

Observación 1.7 (Formas equivalentes para expresar la igualdad de conjun-tos). Dados conjuntos A y B, las siguientes afirmaciones son equivalentes entresí; esto es, siempre que alguna de ellas sea verdadera, entonces las demás tam-bién lo serán:

(a) A = B.

(b) A y B poseen los mismos elementos.

(c) A⊆ B y B⊆ A.

(d) (∀x : x ∈ A→ x ∈ B) y (∀x : x ∈ B→ x ∈ A).

(e) (∀x : x ∈ A↔ x ∈ B). (Para todo x, x ∈ A si y sólo si x ∈ B).

(f) Para todo elemento x, o bien x ∈ A y x ∈ B, o bien x 6∈ A y x 6∈ B.

Observación 1.8. Una analogía útil con el principio de extensionalidad es lasiguiente. Si a y b son números tales que a≤ b y b≤ a, entonces a = b.

A veces la relación de ser subconjunto es estricta en el sentido de que no se dala igualdad:

Definición 1.9. Diremos que A es subconjunto propio de B (y lo notamos por ⊂ : SubconjuntopropioA ( B o A⊂ B) si A⊆ B y A 6= B.

Por ejemplo, {1,2}( {1,2,3,4} y {}( {2,3}. Como el lector puede verificar,la afirmación A ( B es equivalente a: A⊆ B y existe un x tal que x ∈ B y x 6∈ A.


(a) Verdadero o falso: dados dos conjuntos A y B siempre vale por lo menosalguna de las siguientes afirmaciones: A ⊆ B ó B ⊆ A. (¿Cómo se com-para esto con la analogía de los números propuesta anteriormente?)

(b) Calcule el número de subconjuntos propios de {1,2}.


El conjunto vacíoSea V un conjunto. Decimos que V es un conjunto vacío si no posee ningún∅ : El conjunto

vacío. elemento. Dicho de otro modo, el conjunto V es vacío si ∀x : x /∈V (para todo x, xno pertenece a V ).

Naturalmente, un conjunto es no vacío si existe algún elemento x que le pertenez-ca. Representando “existe” con el símbolo ∃, tenemos que un conjunto V es no∃ : Existe

vacío sí y sólo si

∃x : x ∈V (se lee: “existe un x tal que x pertenece a V ”).

Es fácil pensar en conjuntos no vacíos: pensar en {2,3} es pensar en el 2 y el3 y pensar en N es pensar en infinitos números: 0,1,2, . . .. En contraste, pensar enun conjunto vacío ¡equivale a pensar en nada! A continuación establecemos, comoprincipio, que existe por lo menos un conjunto con la propiedad de ser vacío:

Principio 1.10 (Principio del conjunto vacío). Existe un conjunto V que es vacío,esto es, que cumple con la siguiente propiedad:

∀x : x /∈V.

¿Existen múltiples conjuntos vacíos diferentes entre sí? La respuesta es que no.A continuación damos una demostración de este hecho.

Teorema 1.11. Si V y V ′ son conjuntos vacíos, entonces V = V ′.

Prueba. Sean V y V ′ conjuntos vacíos. Entonces por definición tenemos que

∀x : x /∈V y ∀x : x /∈V ′.

Demostraremos que V ⊆V ′ y que V ′ ⊆V . Supongamos que V 6⊆V ′: esto significa,por la definición de 6⊆, que existe un x tal que x ∈ V y x 6∈ V ′. Sin embargo, laexistencia de un x tal que x ∈V contradice la hipótesis de que V es conjunto vacío,de modo que en realidad no puede ocurrir que V 6⊆V ′ y así V ⊆V ′.

De manera análoga podemos demostrar que V ′ ⊆ V . Como V ⊆ V ′ y V ′ ⊆ V ,concluimos, por extensionalidad (principio 1.6), que V = V ′. o

El anterior teorema nos permite utilizar un nombre para referirnos al conjuntovacío (ya que este es único). Este nombre será ∅, o también {}. Si abreviamos“existe un único” por ∃!, lo que hemos mostrado es lo siguiente: ∃!Y : ∀x : x 6∈Y . Atal Y lo llamamos ∅, o también {}, el conjunto vacío. Por definición, el conjuntovacío es un conjunto finito (pues posee cero elementos).



(a) Demuestre que ∀A : ∅⊆ A (en otras palabras: todo conjunto A contieneal conjunto vacío).

(b) ¿Es todo objeto del universo un conjunto? ¿Por qué? [Ayuda: la defini-ción de un conjunto no puede ser “algo que posee elementos”; de locontrario ∅ no sería un conjunto, lo cual estaría en contradicción con elprincipio 1.10 del conjunto vacío.]

Supongamos que queremos encontrar una propiedad que sólo la posea el número2. Por ejemplo, la propiedad p(x) := “x es par” es una propiedad relativa a 2, perootros números también la poseen. En cambio, la propiedad q(x) := “x es un númeroprimo par” es una propiedad que sólo posee el 2 (como se verá en el capítulo 3).Decimos entonces que la propiedad q (ser un par primo) caracteriza al númerodos.

La propiedad de ser un conjunto vacío, definida anteriormente, al ser satisfechapor un único objeto, lo caracteriza y le da su nombre: “el conjunto vacío”.

Veamos otra caracterización del conjunto vacío, esto es, otra propiedad que lodistingue del resto de los conjuntos. Esta propiedad es ser subconjunto de todos losconjuntos.

Teorema 1.12. Para cualquier A tenemos: A = ∅↔ (∀B : A⊆ B).

Prueba. Sea A un conjunto. Una proposición de la forma p↔ q es equivalente a“(p→ q) y (q→ p)”. Por ende, para demostrar la afirmación

A = ∅↔ (∀B : A⊆ B),

podemos demostrar por separado las siguientes dos afirmaciones:

(a) A = ∅→ (∀B : A⊆ B), y

(b) (∀B : A⊆ B)→ A = ∅.

La parte (a) se simboliza por (→), y la parte (b) por (←):

(→) Supongamos que A = ∅. Debemos demostrar que para cualquier conjuntoB tenemos que A⊆ B. Por la definición de subconjunto, debemos demostrarque para todo x tenemos que

x ∈ A→ x ∈ B.


Como x ∈ A es siempre falsa (pues A = ∅), podemos aplicar la ley del an-tecedente falso (ver apéndice de lógica) para concluir que la afirmación an-terior es verdadera para todo conjunto B, luego A⊆ B.6

(←) Supongamos que (∀B : A ⊆ B). Debemos concluir que A = ∅. Según lahipótesis, A es un subconjunto de todo conjunto B. Tomando en particularB = ∅, concluimos que:

A⊆∅.

Por lo recién demostrado en (→) sabemos que el conjunto vacío tiene lapropiedad de ser un subconjunto de todos los conjuntos, en particular de A,y entonces:

∅⊆ A.

Por el principio de extensionalidad (principio 1.6) concluimos que A = ∅, loque queriamos demostrar.

o

Las demostraciones con el formato anterior son llamadas demostraciones pordoble implicación. Éstas son bastante comunes en matemáticas, y tienen la ventajaDoble

implicación de que en muchos casos permiten partir una demostración en dos demostracionesmás sencillas.

1.2. Propiedades de la relación ⊆ y el conjunto potencia

Consideremos a N, el conjunto de los números naturales:

N = {0,1,2,3,4, . . .},

ordenado por la relación ≤. Como ejemplos de esta relación tenemos que 4 ≤ 10,10≤ 17, 4≤ 17, y 17≤ 17. La relación≤ cumple con tres propiedades fundamen-tales:

(a) Reflexividad: ∀x : x≤ x (todo número natural es menor o igual a sí mismo).Reflexividad

(b) Antisimetría: ∀x,y : (x ≤ y y y ≤ x)→ x = y (dados números naturales x yAntisimetría

y, si x es menor o igual que y y viceversa, entonces x = y).

(c) Transitividad: ∀x,y,z : (x ≤ y y y ≤ z)→ x ≤ z (dados números naturalesTransitividad

x,y,z, si x es menor o igual que y, y y es menor o igual que z, entonces x esmenor o igual que z).

6Para una demostración menos formal pero igualmente válida que la anterior, podríamos haberrazonado de un modo similar a como hicimos en la demostración del teorema 1.11.

1.2. PROPIEDADES DE LA RELACIÓN ⊆ Y EL CONJUNTO POTENCIA 17

Las anteriores tres propiedades también son válidas en el contexto de los con-juntos, con respecto a la relación ⊆:

Teorema 1.13. Dados A,B y C, se cumplen las siguientes propiedades:

(a) Reflexividad: A⊆ A.

(b) Antisimetría: (A⊆ B y B⊆ A)→ A = B.

(c) Transitividad: (A⊆ B y B⊆C)→ A⊆C.

Prueba.

(a) Evidentemente, A⊆ A, puesto que para todo x, si x ∈ A, entonces x ∈ A.

(b) Esto vale por el principio de extensionalidad (principio 1.6).

(c) Debemos demostrar que A⊆C, suponiendo como hipótesis A⊆ B y B⊆C.Sea x ∈ A. Como A⊆ B, entonces x ∈ B. Como B⊆C, entonces x ∈C.

o

Una relación que cumpla con las tres propiedades del teorema anterior se de-nomina un orden parcial. Tanto≤ como⊆ son órdenes parciales (el primero orde- Orden parcial

na a los números, y el segundo ordena a los conjuntos). Las reflexiones anterioressugieren cierto parecido estructural entre el universo de los números naturales consu relación de orden, y por ejemplo el universo de los subconjuntos de N con larelación de contenencia o inclusión. Además de que ambos universos se encuen-tran parcialmente ordenados, en ambos encontramos un mínimo: el 0 es menor oigual que cualquier número natural y el conjunto vacío está contenido en cualquierconjunto. En este sentido, el número cero y el conjunto vacío cumplen con el mis-mo papel, pero en contextos distintos.

Dados conjuntos A y B, sucede exactamente uno de las siguientes cuatro posi-bilidades (ver la figura 1.1):

1. A⊆ B pero B 6⊆ A, es decir, A⊂ B (A es un subconjunto propio de B).

2. B⊆ A pero A 6⊆ B (es decir, B⊂ A).

3. A⊆ B y B⊆ A: en este caso, A = B.

4. A 6⊆ B y B 6⊆ A: en este caso decimos que los conjuntos A y B no son compa-rables entre sí. Comparabilidad


Figura 1.1: Dados dos conjuntos A y B, ocurre una y sólo una de estas cuatroposibilidades.

Un ejemplo de la cuarta posibilidad es el siguiente: Sean A = {1,2,3}, B ={2,3,4,5}. En este caso A 6⊆ B (ya que 1 ∈ A y 1 /∈ B), y B 6⊆ A (ya que 5 ∈ B y5 /∈ A).

Un orden total es una relación de orden sobre la cual todos los elementos sonOrden total

comparables entre sí, es decir: dados dos elementos, alguno de ellos es menor queel otro, o los elementos son iguales. Como hemos notado, el orden parcial⊆ en losconjuntos no es un orden total. Por el contrario, el orden ≤ sobre N nos permitecomparar a todo par de números naturales: este orden parcial es un orden total.

La totalidad (también llamada linealidad) del orden ≤ sobre N permite ima-ginar a este conjunto ordenados en una fila infinita (con mínimo y sin máximo),mientras que la no totalidad del orden ⊆ en los conjuntos sólo permite visualizar-los como un árbol, con varias ramas bifurcantes, pero sin un “ránking absoluto”,por así decirlo.

Una analogía útil con esta cuestión es la siguiente: algunas personas creenen una lista que ordene a todas las películas existentes así: la mejor, la segundamejor, etcétera. Para estas personas, todas las películas son comparables (dadas dospelículas A y B, o A es mejor que B, o viceversa, o A y B eran la misma película).Estas personas creen que el orden ser mejor que de las películas es un orden to-tal, similar al orden ≤ sobre N. Alternativamente, algunas personas son incapacesde comparar ciertas películas, argumentando que “la primera tiene aspectos que lasegunda no tiene, pero la segunda tiene otros que la primera no tiene”, etcétera.Sin embargo en algunos casos sí determinan que cierta película es mejor que otra.Estas personas creen que el orden ser mejor que de las películas es un orden queno es total, similar al orden de los conjuntos.7

7Incluso para algunas personas la relación ser mejor que de las películas ni siquiera es transitiva.

1.2. PROPIEDADES DE LA RELACIÓN ⊆ Y EL CONJUNTO POTENCIA 19


(a) Demuestre que si A está contenido en B y C no está contenido en B,entonces C no está contenido en A.

(b) Determine si los conjuntos A = {n ∈N : n > 5} y B = {n ∈N : n2 > 36}son comparables (es decir, si alguno es un subconjunto del otro).

Conjunto potenciaSea A un conjunto. Evidentemente el conjunto de todos los elementos de A es

A mismo: A = {x : x ∈ A}. Sin embargo, el conjunto de todos sus subconjuntosresulta ser bien distinto y en general más complejo.

Definición 1.14 (Conjunto potencia). Dado un conjunto A, definimos el con- P(A) :Conjuntopotencia

junto potencia de A (o partes de A) como:

P(A) = {B : B⊆ A}.

Esto es, para todo conjunto B, B ∈P(A)↔ B⊆ A.

�� Ejemplo 1.15 (Algunos ejemplos del conjunto potencia).

1. Sea A1 = {1}. Entonces P(A1) = {∅,{1}} (un conjunto con dos ele-mentos). Note que aunque {1} ∈P(A1), {1} /∈ A1.

2. Sea A2 = {1,2}. P(A2) es el conjunto de 4 elementos{∅,{1},{2},{1,2}}.

3. Sea A3 = {1,2,3}. P(A3) es el conjunto de 8 elementos{∅,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}.

4. P(∅) = {∅}: para ver esto, basta preguntarse qué conjunto S es can-didato a ser subconjunto de ∅: Si S posee al menos un elemento x, en-tonces x 6∈ ∅, y por ende S 6⊆ ∅. Ahora, como ∅ ⊆ ∅, entonces pordefinición ∅ ∈P(∅).


Figura 1.2: Distintas representaciones del conjunto P({1,2,3}). La primera consiste enun diagrama de Venn, en donde representamos conjuntos visualmente por regiones espa-ciales. En la segunda se construye el “retículo” en donde se pintan líneas siempre que hayacontenencia (sin pintar, por supuesto, todas las líneas posibles). En la tercera se asocia acada conjunto S ∈P({1,2,3}) una sucesión ordenada de ceros y unos, fS = ( f0, f1, f2),en donde fi = 1 si y sólo si i ∈ S (así por ejemplo, al conjunto S = {1,3} se le asocia lasucesión fS = (1,0,1)).

Teorema 1.16. Sean A y B conjuntos. Tenemos:

(a) ∅ ∈P(A) y A ∈P(A).

(b) P(A) 6= ∅.

(c) A⊆ B si y sólo si P(A)⊆P(B).

(d) A = B si y sólo si P(A) = P(B).

Prueba.

(a) Como ∅⊆ A, entonces ∅ ∈P(A). Como A⊆ A, entonces A ∈P(A).

(b) Es una consecuencia inmediata de (a).

(c) Utilizamos el método de doble implicación:

(→) Supongamos que A ⊆ B y demostremos que P(A) ⊆P(B): sea S ∈P(A). Entonces S ⊆ A. Como A ⊆ B, por transitividad de la relación⊆ concluimos que S⊆ B, lo cual implica que S ∈B.

(←) Supongamos que P(A)⊆P(B). Por (a) tenemos que A ∈P(A). En-tonces A ∈P(B), lo cual implica que A⊆ B, como queríamos.

1.3. OPERACIONES BÁSICAS ENTRE CONJUNTOS 21

(d) Utilizamos el método de doble implicación:

(→) Supongamos que A = B. Entonces A⊆ B y B⊆ A; aplicando (c) dos ve-ces concluimos que P(A)⊆P(B) y P(B)⊆P(B). Por el principiode extensionalidad concluimos que P(A) = P(B).

(←) Se razona de manera análoga.

o

1.3. Operaciones básicas entre conjuntos

Unión e intersecciónSi P y Q son dos afirmaciones, entonces la afirmación “P ó Q” será verdadera

si P es verdadera ó Q es verdadera (o tanto P como Q son verdaderas). Por ejemplola afirmación “x ∈ {1,2} ó x ∈ {2,3}” será verdadera si x = 1, verdadera si x = 2,verdadera si x = 3, y falsa si x = 4. Para más sobre el uso del “ó” (disyunción), verel apéndice de lógica.

Definición 1.17 (Unión). Dados A y B conjuntos, definimos el conjunto A∪B ∪ : Unión

por:A∪B := {x : x ∈ A ó x ∈ B}.

El conjunto A∪B se denomina la unión entre A y B, o A unido con B.

Simbolizando el “ó” por ∨, entonces para todo x tenemos que: ∨ : Disyunción

x ∈ A∪B↔ (x ∈ A∨ x ∈ B).

�� Ejemplo 1.18. Si A = {1,2,3} y B = {1,3,4,5}, entonces A ∪ B ={1,2,3,4,5}. Note que el conjunto A∪B incluye los elementos que pertenecenpor lo menos a alguno de los conjuntos A o B. Por otro lado, 6 6∈ A∪B, ya que6 /∈ A y 6 6∈ B.

Como el ejemplo anterior ha ilustrado, en general vale lo siguiente:

(x /∈ A∪B)↔ (x /∈ A y x /∈ B).


Definición 1.19 (Intersección). Dados A y B conjuntos, definimos el conjunto∩ : Intersección

A∩B por:A∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

El conjunto A∩B se denomina la intersección entre A y B ó A intersecado con B.

Simbolizando el “y” por ∧, entonces para todo x tenemos que:∧ : Conjunción

x ∈ A∩B↔ (x ∈ A∧ x ∈ B).

�� Ejemplo 1.20. Si A = {1,2,3} y B = {1,3,4,5}, entonces A∩B = {1,3}.Note que A∩B incluye únicamente los elementos que aparecen en ambos con-juntos A y B. Por ejemplo 2 ∈ A pero 2 /∈ B, de modo que 2 /∈ A∩B.

Dados conjuntos A y B, tenemos que para todo x, x no pertenece al conjuntoA∩B si y sólo si éste no se encuentra simultáneamente en A y B, esto es, si x 6∈ Aó x 6∈ B:

(x /∈ A∩B)↔ (x /∈ A∨ x /∈ B).

Figura 1.3: Unión e intersección de conjuntos. Intuitivamente la unión es un conjunto“grande”, mientras que la intersección es un conjunto “pequeño”.

Diremos que A y B son disjuntos (entre sí) si A∩B = ∅. En otras palabras, AConjuntosdisjuntos y B son disjuntos si no poseen elementos en común.

! Para antes de seguir leyendo: ¿Verdadero o falso? (justificar)


1. Para todo conjunto A, A y ∅ son disjuntos.

2. Si A posee 5 elementos y B posee 6 elementos, entonces A∪B posee 11elementos.

Por el principio de extensionalidad, para demostrar que los conjuntos A y Bson iguales, basta demostrar dos afirmaciones por separado: A⊆ B y B⊆ A. A estemétodo de demostración de igualdad de conjuntos lo denominaremos el método dedoble inclusión (o método de demostración por elementos). El lector podrá notar Método de

doble inclusiónque en varios teoremas ya hemos utilizado este método.Las siguientes propiedades de la unión y la intersección son evidentes y se

basan en las propiedades lógicas de los conectivos de disyunción y conjunción (∨y ∧):

Teorema 1.21. Sean A,B ⊆ U conjuntos. Entonces se cumplen las siguientespropiedades:

(a) Idempotencia: A∪A = A ; A∩A = A.

(b) Conmutatividad: A∪B = B∪A ; A∩B = B∩A.

(c) A⊆ A∪B ; A∩B⊆ A.

(d) Identidades: A∪∅ = A ; A∩U = A.

(e) Piso y techo: A∩∅ = ∅ ; A∪U = U .

(f) Asociatividad: (A∪B)∪C = A∪ (B∪C) ; (A∩B)∩C = A∩ (B∩C).

Prueba.

(a) Demostremos que A∪A = A. Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Si x ∈ A∪A, entonces x ∈ A o x ∈ A. Pero entonces lógicamente x ∈ A.

(⊇) Si x ∈ A, entonces lógicamente x ∈ A o x ∈ A, luego x ∈ A∪A.

La demostración de que A∩A = A es análoga y se deja como ejercicio allector (ejercicio 16).

(b) Demostremos que A∩B = B∩A. Utilizamos el método de doble inclusión:


(⊆) Si x ∈ A∩B, entonces x ∈ A y x ∈ B. Pero entonces lógicamente x ∈ By x ∈ A, y por ende x ∈ B∩A.

(⊇) Si x ∈ B∩A, entonces x ∈ B y x ∈ A. Pero entonces lógicamente x ∈ Ay x ∈ B, y por ende x ∈ A∩B.

La demostración de que A∪B = B∪A se deja como ejercicio al lector (ejer-cicio 16).

(c) Veamos que A⊆ A∪B: Si x ∈ A, entonces es verdadero que x ∈ A o x ∈ B,8

luego x ∈ A∪B. Ahora demostremos que A∩B ⊆ B: Si x ∈ A∩B, entoncesx ∈ A y x ∈ B, y así lógicamente x ∈ B. Esto demuestra que A∩B⊆ B.

(d) Demostremos que A∪∅ = A. Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Si x ∈ A∪∅, entonces x ∈ A o x ∈ ∅. Pero la segunda opción es im-posible, luego x ∈ A.

(⊇) Se tiene gracias a la propiedad (c).

La demostración de que A∩U = U es dejada como ejercicio al lector (ejer-cicio 16).

(e) Demostremos que A∪U = A. Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Si x ∈ A∪U , entonces x ∈ A o x ∈U . Como A⊆U , concluimos queen cualquier caso x ∈U .

(⊇) Se tiene gracias a las propiedades (b) y (c).

Veamos ahora que A∩∅ = ∅: por (b) y (c) tenemos que A∩∅⊆∅. Pero elúnico subconjunto de ∅ es ∅, luego A∩∅ = ∅.

(f) Demostremos que (A∪B)∪C = A∪ (B∪C). Utilizamos el método de dobleinclusión:

(⊆) Si x ∈ (A∪B)∪C, entonces hay dos casos:

(i) x ∈ A∪B: Entonces x ∈ A o x ∈ B. Pero ya que B⊆ B∪C (propiedad (c)),entonces necesariamente x ∈ A o x ∈ B∪C, es decir, x ∈ A∪ (B∪C).

8Recordemos que si P y Q son proposiciones y P es verdadera, entonces la proposición “P o Q”también lo será. En la demostración en cuestión, estamos pensando que P es la afirmación “x ∈ A” yQ es la afirmación “x ∈ B”.


(ii) x ∈C: Entonces por la propiedad (c) x ∈ B∪C, y de nuevo utilizando lapropiedad (c) tenemos que x ∈ A∪ (B∪C).

En cualquier caso tenemos que x ∈ A∪ (B∪C), como queríamos de-mostrar.

(⊇) Es similar a la demostración de (⊇).

La demostración de que (A∩B)∩C = A∩ (B∩C) se deja como ejercicio allector (ejercicio 16).

o

Como el lector podrá notar, en el teorema anterior pudimos haber utilizado a(c) como herramienta para demostrar una de las dos contenencias en (a).

Otro teorema menos evidente caracteriza de dos maneras distintas la relaciónA⊆ B:

Teorema 1.22. Dados dos conjuntos A y B:

(a) B⊆ A si y sólo si A∪B = A.

(b) B⊆ A si y sólo si A∩B = B.

Prueba.

(a) Utilizamos el método de doble implicación:

(→) Supongamos que B⊆A. Debemos demostrar que A∪B = A. Utilizamosel método de doble inclusión:

(⊆) Si x ∈ A∪B, entonces como todo elemento de B es elemento de A(por la hipótesis de que B⊆ A), necesariamente x ∈ A.

(⊇) Si x ∈ A, entonces x ∈ A∪B por el teorema 1.21(e).

(←) Supongamos que A∪B = A. Debemos demostrar que B⊆ A. Sea x∈ B.Entonces x ∈ A∪B, pero por hipótesis este conjunto es igual a A, luegox ∈ A.

(b) Utilizamos el método de doble implicación:

(→) Supongamos que B⊆A. Debemos demostrar que A∩B = B. Utilizamosel método de doble inclusión:

(⊆) Si x ∈ A∩B, entonces x ∈ B.


(⊇) Si x ∈ B, entonces como B⊆ A, x ∈ A . Entonces x ∈ A∩B.

(←) Supongamos que A∩B = B. Debemos probar que B ⊆ A. Sea x ∈ B.Entonces x ∈ A∩B (pues A∩B = B), luego x ∈ A.

o

La operación ∪ es una operación binaria. Por esto, una expresión de la formaA∪B∪C en principio es ambigüa, y debe traducirse a (A∪B)∪C ó A∪(B∪C). Peroen virtud del teorema 1.21(c) ambas expresiones denotan el mismo conjunto, y porlo tanto definimos A∪B∪C como (A∪B)∪C (¡o A∪ (B∪C)!). Esta observacióntambién vale cambiando ∪ por ∩.

Ahora avanzamos un poco más, y relacionamos las operaciones de unión eintersección entre sí, mediante las llamadas leyes de distribución:

Teorema 1.23 (Distribución). Dados A, B y C conjuntos tenemos:

(a) (A∪B)∩C = (A∩C)∪ (B∩C).

(b) (A∩B)∪C = (A∪C)∩ (B∪C).

Prueba.

(a) Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Sea x∈ (A∪B)∩C. Entonces x∈ A∪B y x∈C. Por lo primero, x∈ A ox ∈ B. Si x ∈ A, entonces x ∈ A∩C. Si x ∈ B, entonces x ∈ B∩C. Luegox ∈ A∩C o x ∈ B∩C, es decir, x ∈ (A∩C)∪ (B∩C).

(⊇) Sea x ∈ (A∩C)∪ (B∩C). Entonces x ∈ A∩C o x ∈ B∩C. En el primercaso, como x ∈ A, entonces x ∈ A∪ B, luego x ∈ (A∪ B)∩C. En elsegundo caso, como x ∈ B, entonces x ∈ A∪B, luego x ∈ (A∪B)∩C.En cualquier caso, x ∈ (A∪B)∩C.

(b) Se deja al lector (ejercicio 17).

o

Teorema 1.24 (Absorción). Dados A y B conjuntos tenemos:

(a) A∪ (A∩B) = A.

(b) A∩ (A∪B) = A.

Prueba.



(⊆) Sea x ∈ A∪ (A∩B). Tenemos dos casos:

(i) x ∈ A: Entonces x ∈ A.

(ii) x ∈ A∩B: Entonces x ∈ A y x ∈ B, luego x ∈ A.

En cualquier caso concluimos que x ∈ A, como queríamos.

(⊇) Sea x ∈ A. Entonces por el teorema 1.21(b), x ∈ A∪ (A∩B).

(b) Por el teorema de distribución (teorema 1.23), tenemos que

A∩ (A∪B) = (A∩A)∪ (A∩B) = A∪ (A∩B) = A

(la última igualdad vale por la parte (a)).

o

En lo que resta de esta sección explicaremos el concepto de contraejemplo. Contraejemplo

Para ello consideremos la siguiente proposición:

x2 > x.

En la anterior proposición, x representa el valor de un número natural cualquiera.Hay dos posibilidades respecto de esta afirmación:

Que la proposición sea verdadera para todos los valores de x ∈ N, o

Que no se de el anterior caso. Es decir, que la proposición sea falsa para almenos un valor de x ∈ N.

De hecho, el segundo caso es el que se da, pues si tomamos por ejemplo ax = 1 ∈ N, entonces la afirmación x2 > x es falsa. Este ejemplo es llamado uncontraejemplo para la proposición “x2 > x (x ∈ N)”, ya que es un ejemplo quecontradice la verdad general de ella. A partir del contraejemplo podemos concluirque la afirmación

“Para todo x ∈ N, x2 > x”

es falsa.

�� Ejemplo 1.25. Para cada una de las siguientes proposiciones, determinesi ella es verdadera (para cualesquiera conjuntos A y B) o falsa, dando unademostración en caso de ser verdadera, o un contraejemplo en caso de serfalsa.


(a) Si A∪B = ∅, entonces A = ∅ y B = ∅.

(b) Si A∩B = ∅, entonces A = ∅ ó B = ∅.

(c) Si A∩B 6= ∅, entonces A 6= ∅ y B 6= ∅.

(d) (A∩B)∪B = A∪B.

Solución. (a) Es verdadera. Veamos la demostración: Si A∪ B = ∅, en-tonces como A ⊆ A∪B y B ⊆ A∪B, concluimos que A ⊆ ∅ y B ⊆ ∅.Pero el único subconjunto del vacío es el vacío, luego A = ∅ y B = ∅.

(b) Es falsa. Veamos un contraejemplo: Sea A = {1}, B = {2}. Se cumpleque A∩B = ∅, pero no se cumple que A = ∅ ó B = ∅.

(c) Es verdadera. Veamos la demostración: Si A∩B 6= ∅, entonces existe xtal que x ∈ A∩B. Entonces x ∈ A y x ∈ B, y ello implica que A 6= ∅ yB 6= ∅.

(d) Es falsa. Veamos un contraejemplo: Sea A = {1,2}, B = {2,3}. Entonces(A∩B)∪B = {2,3}, y A∪B = {1,2,3}.

o

Diferencia y complementoAsí como podemos restar dos números, también es posible restar dos conjuntos

de una manera natural. Esta operación se llama la diferencia entre conjuntos.

Definición 1.26 (Diferencia). Dados A y B conjuntos, definimos A r B como elr : Diferencia

conjuntoA r B := {x ∈ A : x 6∈ B}.

Otra forma de decir esto es que para todo x, x ∈ A r B↔ (x ∈ A∧ x 6∈ B). Elconjunto A r B se denomina A menos B, ó la diferencia entre A y B.

�� Ejemplo 1.27 (Algunos ejemplos de diferencia entre conjuntos).

(a) {1,a,2,b,3,c,4,d}r{1,b,c,4}= {a,2,3,d}.

(b) Si A = {0,4,7,10} y B = {3,4,8,10,12}, entonces A r B = {0,7} yB r A = {3,8,12}.


(c) Si A y B son disjuntos, entonces A r B = A.

(d) {3,5,7}rN = ∅.

! Para antes de seguir leyendo: ¿Verdadero o falso? (Dar unademostración o un contraejemplo)

(A∪B)r B = A.

Ahora tomamos un conjunto cualquiera U y trabajamos “dentro de P(U )”;esto significa que todos los conjuntos que consideremos serán subconjuntos de U .Llamaremos a U nuestro universo de discurso, o simplemente el universo. U : Universo

Esto nos permite definir el complemento de un conjunto A:

Definición 1.28 (Complemento). Para un conjunto A ⊆ U , definimos su com- c :Complementoplemento Ac := U r A. Note que Ac ⊆U .

Por definición, afrimar que x pertenece a Ac equivale a decir que x ∈U y x nopertenece a A. Simbolizando “no” mediante ¬, tenemos que para cualquier x: ¬ : Negación

x ∈ Ac↔ ( x ∈U ∧¬(x ∈ A) ).

�� Ejemplo 1.29. En este ejemplo tomamos como universo al conjunto U =N = {0,1,2, . . .}. Esto significa que sólo consideramos subconjuntos de N.Sea A = {1,5,6}, B = {3,7,8,10} y C = {n ∈ N : n > 3} = {4,5,6,7, . . .}.Entonces:

Ac = {n ∈ N : n 6= 1∧n 6= 5∧n 6= 6}= {0,2,3,4,7,8,9, . . .}

(A∪B)c = {0,2,4,9,11,12,13, . . .}.

Cc = {n ∈ N : n < 4}= {0,1,2,3}.

Algunos autores suelen denotar a Ac por A,¬A, A′ o incluso∼A. Dos propiedadesnotables del complemento son que para todo conjunto A⊆U , A y su complemento


Figura 1.4: Diferencia y complemento de conjuntos. El complemento es un caso especialde la diferencia.

son disjuntos, y además U se puede escribir como la unión disjunta entre A y sucomplemento (decimos unión disjunta para resaltar el hecho de que los conjuntosson disjuntos); este es el contenido del siguiente teorema:

Teorema 1.30 (Todo o nada). Para todo A⊆U :

(a) A∩Ac = ∅,

(b) A∪Ac = U .

Prueba.

(a) Utilizamos el método de contradicción9 (que consiste en suponer que lo queMétodo decontradicción queremos demostrar es falso, y a partir de esto llegar a una contradicción):

supongamos que A∩ Ac 6= ∅. Entonces existe x tal que x ∈ A∩ Ac. Peroentonces x ∈ A y x 6∈ A, lo cual es absurdo (ya que un elemento no puedepertenecer y no pertenecer simultáneamente a un conjunto). Concluimos queA∩Ac = ∅.

(b) Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Si x ∈ A∪Ac, dado que tanto A como Ac son subconjuntos de U , en-tonces x ∈U .

(⊇) Sea x ∈ U . Si x ∈ A, entonces x ∈ A∪Ac. Si por el contrario x 6∈ A,entonces (por definición de complemento) x ∈ Ac, luego x ∈ A∪Ac. Encualquier caso tenemos que x ∈ A∪Ac.

o

Veamos otras propiedades menos evidentes del complemento:

9Para más información sobre el método de contradicción, consúltese el apéndice de lógica.


Teorema 1.31. Para A, B subconjuntos de U :

(a) A r B = A∩Bc.

(b) Doble complemento: (Ac)c = A.

(c) A⊆ B si y sólo si Bc ⊆ Ac.

Prueba.

(a) Para x arbitrario, x ∈ ArB si y sólo si (x ∈ A y x 6∈ B) si y sólo si x ∈ A∩Bc.

(b) Si x ∈ (Ac)c, entonces x ∈U = A∪Ac y x 6∈ Ac, luego necesariamente x ∈ A.Ahora, si x ∈ A, entonces x ∈ U . Pero además x 6∈ Ac (de lo contrario setendría que x 6∈ A), y entonces (por definición de complemento), x ∈ (Ac)c.

(c) Utilizamos el método de doble implicación:

(→) Supongamos que A⊆ B. Debemos demostrar que Bc ⊆ Ac. Sea x ∈ Bc.Entonces x ∈ U y x 6∈ B. Este último hecho (junto con la hipótesis)implica que x 6∈ A (o de lo contrario x sería un elemento de B), así quex ∈ Ac.

(←) Supongamos que Bc ⊆ Ac. Por la implicación que acabamos de estable-cer (donde Bc juega el papel de A y Ac juega el papel de B) tenemosque (Ac)c ⊆ (Bc)c, y esto junto con (b) garantiza el resultado.

o

La prueba de la propiedad (a) no fue descompuesta en dos inclusiones como decostumbre, sino que consistió en demostrar directamente que pertenecer al primerconjunto equivale a pertenecer al segundo (luego al ambos conjuntos poseer losmismos elementos, deben ser iguales). Esta forma de demostración es llamada elmétodo directo para demostrar una igualdad de conjuntos. Pese a la elegancia del Método directo

método directo, el lector se dará cuenta con la experiencia que muchas pruebas deigualdad de conjuntos son más claras utilizando el método de doble inclusión.

Teorema 1.32 (Leyes de De Morgan). Para A,B⊆U :

(a) (A∪B)c = Ac ∩Bc (el complemento de la unión es la intersección de loscomplementos).

(b) (A∩B)c = Ac ∪Bc (el complemento de la intersección es la unión de loscomplementos).


Prueba. Dejamos la prueba de (a) al lector (ejercicio 18), y demostramos (b).Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Si x ∈ (A∩B)c, entonces x ∈U y x 6∈ A∩B; esto último implica que x 6∈ A óx 6∈ B. Por ende, necesariamente x ∈ Ac ó x ∈ Bc, esto es, x ∈ Ac∪Bc.

(⊇) Si x ∈ Ac∪Bc, entonces tenemos dos casos:

(i) x ∈ Ac : entonces x ∈U y x 6∈ A, luego x 6∈ A∩B, por ende x ∈ (A∩B)c.

(ii) x ∈ Bc: razonando de forma análoga a como lo hicimos en (i) concluimosque x ∈ (A∩B)c.

En cualquier caso, x ∈ (A∩B)c.

o

1.4. Álgebra de conjuntos: pruebas sin doble inclusión

Recordemos algunas de las propiedades básicas sobre operaciones entre con-juntos que hemos establecido:

Teorema 1.33. Dados conjuntos A,B,C ⊆U , tenemos:

(α1) Conmutatividad: A∪B = B∪A; A∩B = B∩A (teorema 1.21(b)).

(α2) Asociatividad: A∪ (B∪C) = (A∪B)∪C; A∩ (B∩A) = (A∩B)∩C (teorema1.21(f)).

(α3) Absorción: A∩ (A∪B) = A; A∪ (A∩B) = A (teorema 1.24).

(α4) Distribución: A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C); A∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C)(teorema 1.23).

(α5) Todo o nada: A∩Ac = ∅; A∪Ac = U (teorema 1.30).

(α6) Identidades: A∪∅ = A; A∩U = A (teorema 1.21(d)).

(α7) Piso, techo: A∩∅ = ∅; A∪U = U (teorema 1.21(e)).

(α8) Idempotencia: A∪A = A ; A∩A = A (teorema 1.21(a)).

(α9) Doble complemento: (Ac)c = A (teorema 1.31(b)).

(α10) De Morgan: (A∪B)c = Ac∩Bc; (A∩B)c = Ac∪Bc (teorema 1.32).

1.4. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS: PRUEBAS SIN DOBLE INCLUSIÓN 33

En esta sección presentamos una manera efectiva para establecer la igualdadentre conjuntos. Por ejemplo, supongamos que queremos demostrar que la siguien-te igualdad es válida en general:

A = (A∩B)∪ (A∩Bc).

Para demostrar esto podemos utilizar (como lo hemos hecho hasta ahora) el métodode doble inclusión. Sin embargo existe otro procedimiento, llamado álgebra deconjuntos, que consiste en demostrar la igualdad de ambos conjuntos por medio Álgebra de

conjuntosde propiedades ya establecidas. Veamos cómo:

A= A∩U (Identidades, teorema 1.30)= A∩ (B∪Bc) (Todo o nada, teorema 1.30)= (A∩B)∪ (A∩Bc) (Distribución, teorema 1.23(a))

En este esquema de prueba se debe justificar cada igualdad. Debe quedar claroque este método es igual de válido que el método de doble inclusión.

Por ejemplo, la propiedad α6 (ver teorema 1.33) puede deducirse a partir delas propiedades α1 hasta α5 utilizando el método de álgebra de conjuntos. Veamoscómo:

�� Ejemplo 1.34. Utilizando el método de álgebra de conjuntos y laspropiedades α1 hasta α5, demuestre la propiedad α6.

Solución. Veamos primero que A∪∅ = A:

A= A∪ (A∩Ac) (Absorción)= A∪∅ (Todo o nada)

Ahora veamos que A∩U = A:

A= A∩ (A∪Ac) (Absorción)= A∩U (Todo o nada)

o

El ejercicio 28 puede verse como una continuación de las ideas del ejemploanterior.


�� Ejemplo 1.35. Demuestre que (A∪B)∩ ((A∪B)∩ (A∩B)c)c = A∩B.

Solución.

(A∪B)∩ ((A∪B)∩ (A∩B)c)c

= (A∪B)∩ ((A∪B)c∪ ((A∩B)c)c) (De Morgan)= (A∪B)∩ ((A∪B)c∪ (A∩B)) (Doble complemento)= ((A∪B)∩ (A∪B)c)∪ ((A∪B)∩ (A∩B)) (Distributibidad)= ∅∪ (A∩B) (Todo o nada + pr.intersección)= A∩B (prop. unión)

o

En el ejemplo anterior, para evitar referenciar exactamente el teorema o propiedadutilizado para justificar cada paso, nos hemos dado el lujo de escribir “prop. com-plemento”, “prop. intersección” y “prop. unión”, haciendo referencia a las propiedadesrelevantes que ya hemos establecido sobre el complemento, la unión y la intersec-ción: U = A∪ Ac, A∩ A = A, A∩ Ac = ∅ y A∪∅ = A. Lo importante es quesepamos qué propiedades estamos utilizando, y que estemos convencidos de suvalidez (porque lo hayamos demostrado antes).

Sean A,B⊆U conjuntos. Si Ac∩B = ∅, es fácil ver que B⊆ A, y si Ac∪B =U , es fácil ver que A ⊆ B (véase el ejercicio 20). Concluimos que si Ac ∩B = ∅y Ac ∪B = U , entonces A = B. Este resultado lo podemos demostrar medianteálgebra de conjuntos:

Lema 1.36. Si A,B⊆U , y se tiene que

Ac∩B = ∅, Ac∪B = U ,

entonces A = B.

Prueba.Veamos primero que A = A∩B:

A= A∩U (Identidades)= A∩ (Ac∪B) (Hipótesis)= (A∩Ac)∪ (A∩B) (Distribución)= ∅∪ (A∩B) (Todo o nada)= A∩B (Identidades)

1.4. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS: PRUEBAS SIN DOBLE INCLUSIÓN 35

Ahora veamos que B = A∩B:

B= B∩U (Identidades)= B∩ (A∪Ac) (Todo o nada)= (B∩A)∪ (B∩Ac) (Distribución)= (A∩B)∪∅ (Conmutatividad + Hipótesis)= A∩B (Identidades)

Entonces A = A∩B = B. o

Utilizando las propiedades α1 hasta α9 (y en particular el lema 1.36, que hasido establecido utilizando algunas de estas propiedades), podemos dar una pruebaalternativa de la propiedad α10, esto es, de las Leyes de De Morgan, medianteálgebra de conjuntos:

Teorema 1.37 (Leyes de De Morgan). Para A,B⊆U :

(a) (A∪B)c = Ac∩Bc.

(b) (A∩B)c = Ac∪Bc.

Prueba. Dejamos la prueba de (b) al lector (ejercicio 18), y demostramos (a): SeaX = (A∪B)c, Y = Ac∩Bc. En virtud del lema 1.36, basta demostrar que Xc∩Y = ∅y Xc∪Y = U . Esto lo hacemos por el método de álgebra de conjuntos:

Xc∩Y= ((A∪B)c)c∩ (Ac∩Bc)= (A∪B)∩ (Ac∩Bc) (Doble complemento)= (A∩ (Ac∩Bc))∪ (B∩ (Ac∩Bc)) (Distribución)= ((A∩Ac)∩Bc)∪ ((B∩Bc)∩Ac) (Conmutatividad + Asociatividad)= (∅∩Bc)∪ (∅∩Ac) (Piso, techo)= ∅∪∅ (Identidades)= ∅ (Identidades)

Ahora veamos que Xc∪Y = U :


Xc∪Y= ((A∪B)c)c∪ (Ac∩Bc)= (A∪B)∪ (Ac∩Bc) (Doble complemento)= ((A∪B)∪Ac)∩ ((A∪B)∪Bc) (Distribución)= ((A∪Ac)∪B)∩ ((B∪Bc)∪A) (Conmutatividad + Asociatividad)= (U ∪B)∩ (U ∪A) (Piso, techo)= U ∩U (Piso, techo)= U (Identidades)

o

Propiedades dualesEl dual de una propiedad P es la propiedad Pd que se consigue intercambiandoPropiedad dual

∩ por ∪, ⊆ por ⊇, U por ∅ y viceversa. Por ejemplo, el dual de la propiedad P :=A∩B⊆ A es Pd := A∪B⊇ A, y el dual de P := A∩∅ = ∅ es Pd := A∪U = U .La propiedad A⊆U es siempre válida y su dual (A⊇∅) también lo es. Las leyesde distribución son duales entre sí.

Veamos un ejemplo en donde utilizamos el álgebra de conjuntos para demostrarel dual de una propiedad válida: a partir de la ley de De Morgan P := (A∩B)c =Ac∪Bc podemos demostrar su dual, esto es,

Pd = (A∪B)c = Ac∩Bc.

(A∪B)c

= ((Ac)c∪ (Bc)c)c (Doble complemento)= ((Ac∩Bc)c)c (Propiedad P)= Ac∩Bc (Doble complemento)

1.5. Unión e intersección generalizadas

En esta sección generalizamos las operaciones de unión e intersección de con-juntos. La generalización consiste en que en vez de unir únicamente dos conjuntos,podremos unir cualquier número de conjuntos (incluso un número infinito de ellos),y de forma análoga con la intersección.

Imaginemos a un conjunto A como una caja cuyos elementos son bolsas b ∈ A,cada una de las cuales contiene ciertas piedras p ∈ b. Podemos formar el conjuntoque resulta de introducir todas estas piedras en una nueva caja:

Definición 1.38 (Unión generalizada). Sea A un conjunto. Definimos⋃

A (laUnióngeneralizada unión de A) por ∀p : p ∈

⋃A↔∃b ∈ A : p ∈ b.

1.5. UNIÓN E INTERSECCIÓN GENERALIZADAS 37

Es decir, p ∈⋃

A si y solo si existe una bolsa b perteneciente a la caja A, talque p pertenece a b. Un caso particular de esto es cuando la caja A posee como ele-mentos exactamente a las bolsas B y C (A = {B,C}). Es claro entonces que x ∈

⋃A

si y solo si x ∈ B∨ x ∈C; en otras palabras,⋃

A coincide con el conjunto B∪C.

De forma análoga podemos definir la intersección (generalizada):

Definición 1.39 (Intersección generalizada). Sea A un conjunto. Definimos⋂

A Interseccióngeneralizada(la intersección de A) por ∀p : p ∈

⋂A↔∀b ∈ A : p ∈ b.

Por ejemplo, si A es una bolsa que posee ciertos conjuntos de personas comosus elementos, entonces

⋂A será la lista de las personas que aparecen en todos los

conjuntos de A. Si B = {{1,2},{2,4},{8,2,4}}, entonces⋂

B = {2}. Como ocurrecon la unión, A∩B resulta ser

⋂{A,B}.

Sea I, un conjunto, y para cada i ∈ I sea Ai un conjunto. Entonces podemosdefinir el conjunto que contiene como elementos precisamente todos los conjuntosAi:

A = {Ai : i ∈ I}.

El conjunto I se denomina un conjunto de índices. Con base en el conjunto A cuyoselementos son los conjuntos Ai (i ∈ I), definimos:⋃

i∈I

Ai :=⋃

A “la unión de los Ai con i ∈ I”,

⋂i∈I

Ai :=⋂

A “la intersección de los Ai con i ∈ I”.


Para los siguientes ejemplos es necesario introducir al conjunto de los númerosreales, R. La definición precisa de este conjunto no es tan sencilla: intuitivamenteR : Números

reales los números reales se representan por una recta infinita “sin huecos”, incluyendopor ejemplo los números −7,3,−1,1/2,

√2,π,14, etcétera.

El conjunto de los números enteros es el conjuntoZ: Númerosenteros

Z := {. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}.

El conjunto de los números racionales es el conjuntoQ : Númerosracionales

Q = {ab

: a,b ∈ Z,b 6= 0}.

Entonces tenemos que N⊂ Z⊂Q⊂ R.

Definición 1.40. Sea A⊆R, y sea a∈R . Definimos los siguientes subconjuntosA≥a,A+,A∗

de A:

A≤a = {x ∈ A : x≤ a}.

A≥a, A<a, y A>a se definen análogamente.

A∗ := {x ∈ A : x 6= 0}.

A+ := A>0 = {x ∈ A : x > 0}.

A− := A<0 = {x ∈ A : x < 0}.Por ejemplo, N∗ = N+ = Z+ = {1,2,3, . . .}, N− = ∅ y en general A∗ = A+∪

A−. Por definición, un número x ∈R es no nulo si x 6= 0; por ello el conjunto A∗ esllamado el conjunto de elementos no nulos de A.

�� Ejemplo 1.41. Dado i ∈ N∗, sea Ai = (0, i) = {x ∈ R : 0 < x < i} (el inter-valo abierto entre 0 e i). Podemos afirmar que:⋃

i∈N∗Ai = R+ y

⋂i∈N∗

Ai = (0,1).

Las anteriores igualdades se puede justificar informalmente así: si “unimos”a todos los intervalos Ai, cubrimos a todos los números reales positivos. Encontraste, si “intersecamos” a todos los intervalos Ai, nos quedamos tan sólocon los elementos x tales que 0 < x < 1 pues ellos son los únicos elementos queson comunes a todos los intervalos. El lector deberá formalizar los anterioresargumentos por medio de pruebas de igualdad de conjuntos (ver ejercicio 31,partes f), g)).

1.5. UNIÓN E INTERSECCIÓN GENERALIZADAS 39

�� Ejemplo 1.42. Dado n ∈ N∗ sea An = [0, 1n ]. Entonces tenemos que

⋂n∈N∗

An = {0}.

Teorema 1.43. Sean A y B conjuntos. Tenemos que:

(a) Monotonía: A⊆ B implica⋃

A⊆⋃

B.

(b) B⊆ A implica⋂

A⊆⋂

B.

Prueba.

(a) Si x∈⋃

A, entonces x∈ y para algún y∈ A. Como A⊆ B, entonces y tambiénpertenece a B, y entonces x ∈ y para algún y ∈ B, esto es, x ∈

⋃B.

(b) Si x ∈⋂

A, entonces para todo y ∈ A, x ∈ y. Como B⊆ A, en particular paratodo y ∈ B, x ∈ y, esto es, x ∈

⋂B.

o

Teorema 1.44. Sea A un conjunto no vacío. Entonces:

(a) Si a ∈ A, entonces a⊆⋃

A.

(b) Si a ∈ A, entonces⋂

A⊆ a.

(c) Si para cada a ∈ A se tiene que c⊆ a, entonces c⊆⋂

A.

(d) Si para cada a ∈ A se tiene que a⊆ c, entonces⋃

A⊆ c.

Prueba. Se deja al lector (ejercicio 31 h). o

El anterior teorema puede reformularse utilizando la terminología de subíndices:

Teorema 1.45. Sea {Ai : i ∈ I} un conjunto. Entonces para todo j ∈ I:

(a) Para todo j ∈ I, A j ⊆⋃

i∈I Ai.

(b) Para todo j ∈ I,⋂

i∈I Ai ⊆ A j.

(c) Si para todo i ∈ I, C ⊆ Ai, entonces C ⊆⋂

i∈I Ai.


(d) Si para todo j ∈ I, A j ⊆C, entonces⋃

i∈I Ai ⊆C.

El resultado más importante que relaciona la unión con la intersección genera-lizada es el teorema de De Morgan (generalizado):

Teorema 1.46 (De Morgan generalizado). Sea A = {Ai : i ∈ I} un conjunto talque para cada i ∈ I, Ai ⊆U . Entonces:

(a)

(⋂i∈I

Ai

)c

=⋃i∈I

Aci .

(b)

(⋃i∈I

Ai

)c

=⋂i∈I

Aci .

Prueba. Demostraremos la igualdad (a) por el método de doble inclusión, y laigualdad (b) por el método directo:

(a) Si x ∈ (⋂i∈I

Ai)c, entonces x 6∈⋂i∈I

Ai, luego no es cierto que para todo i ∈ I

x ∈ Ai, y por ende debe existir un i0 ∈ I tal que x 6∈ Ai0 , es decir, x ∈ Aci0 . Pero

Aci0 ⊆

⋃i∈I

Aci , luego x ∈

⋃i∈I Ac

i . La otra inclusión es demostrada de forma

análoga.

(b) Dado un x cualquiera, tenemos que:

x ∈ (⋃

i∈I Ai)c

↔ x 6∈⋃

i∈I Ai (def. complemento)↔ no existe i ∈ I tal que x ∈ Ai (def. unión)↔ para todo i ∈ I,x 6∈ Ai (lógica)↔ para todo i ∈ I,x ∈ Ac

i (def. complemento)↔ x ∈

⋂i∈I Ac

i (def. intersección)

o


(a) Sea A un conjunto. ¿Qué conjunto es⋃

(P(A))? ¿Y⋂

(P(A))?

(b) ¿Qué conjunto es⋃

/0?

(c) ¿Verdadero o falso?: ∀A :⋂

A⊆⋃

A.

(d) ¿Qué es⋂

/0?

1.6. LA PARADOJA DE RUSSELL 41

1.6. La paradoja de Russell

Es natural suponer que a partir de cualquier propiedad podemos construir elconjunto de los objetos que cumplen con esta propiedad. Sin embargo este no es elcaso, como se muestra a continuación.

Sea p(x) la propiedad “x 6∈ x”. Entonces A = {x : p(x)} = {x : x /∈ x} es elconjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. ¿Pertenece A a A? Haydos posibles respuestas a esta pregunta: que sí, o que no:

Supongamos que A∈ A: por definición de A, p(A) es verdadera, luego A /∈ A,contradiciendo la suposición original.

Supongamos entonces que A 6∈ A: por definición de la propiedad p, vale p(A)y, por definición del conjunto A, tenemos que A ∈ A, lo que de nuevo con-tradice la hipótesis.

En cualquier caso llegamos a una contradicción. Concluimos que el conjunto Aanteriormente descrito no existe. Esta paradoja se conoce con el nombre de parado-ja de Russell10. La moraleja de esta paradoja es que no podemos darle existenciaa un conjunto únicamente a partir de una propiedad que imaginemos. Sin embar-go, existe un axioma llamado el principio de separación, que permite hacerlo enalgunos casos (ver ejercicio 40).

1.7. Producto cartesiano

Un par ordenado (a,b) consiste en dos elementos a y b (no necesariamente (a,b) : Parordenadodistintos), que aparecen en cierto orden (a aparece de primero y b de segundo). Por

ejemplo, el par ordenado (4,6) es distinto del par (6,4), pues ambos poseen losmismos elementos pero en distinto orden. Es por esto que un par ordenado no es lomismo que un conjunto de dos elementos: en los conjuntos no “importa” el ordenen que se listen sus elementos y por ejemplo {4,6} = {6,4}, mientras que comoya hemos explicado, (4,6) 6= (6,4).

La definición conjuntista de un par ordenado (a,b) es poco útil e intuitiva parala teoría que queremos desarrollar, aunque por supuesto la daremos más adelanteen esta sección (definción 1.50); a partir de ella se puede demostrar que (a,b) =(a′,b′) si y sólo si a = a′ y b = b′, como se quiere.

10Bertrand Russell (1872 - 1970), matemático y filósofo inglés.


! Para antes de seguir leyendo:¿Verdadero o falso?

(a) (2,2) es un par ordenado,

(b) {a,b} es un conjunto de dos elementos,

(c) (3,3) = (3,5),

(d) ((3,2),1) = ((3,2),1),

(e) Si (a,b) = (b,c), entonces {a,b,c} es un singleton (esto es, un conjuntocon exactamente un elemento).

Dados conjuntos A y B, podemos definir el conjunto de todas las parejas or-denadas (a,b), en donde la primera coordenada (a) proviene de A, y la segundacoordenada (b) proviene de B. A este conjunto lo llamamos el producto cartesianoentre A y B y lo denotamos por A×B. Formalmente:

Definición 1.47 (Producto cartesiano). A×B := {(x,y) : x ∈ A,y ∈ B}.A×B : Productocartesiano

Notación: A2 := A×A = {(x,y) : x,y ∈ A}.

�� Ejemplo 1.48 (Ejemplos de producto cartesiano).

Si A = {1,2} y B = {−1,0,1}, entonces

A×B = {(1,−1),(1,0),(1,1),(2,−1),(2,0),(2,1)}.

El conjunto A posee 2 elementos, el conjunto B posee 3 elementos, y elconjunto A×B posee 2× 3 = 6 elementos (de este hecho proviene lapalabra “producto” en la definición).

Si A = B = R, entonces R2 es llamado el plano cartesiano. Las caricatu-ras y los demás objetos bidimensionales “habitan” en R2: un círculo noes más que cierto subconjunto de R2; por ejemplo, el círculo de radio 3centrado en el origen es el siguiente conjunto de pares ordenados:

{(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 = 9} ⊆ R2.

1.7. PRODUCTO CARTESIANO 43

Los objetos tridimensionales son subconjuntos de R2×R (que llamamosR3 para abreviar).

Teorema 1.49 (Propiedades del producto cartesiano). Dados A,A′,B y B′ con-juntos se tiene:

(a) A×∅ = ∅×B = ∅.

(b) Si A y B son conjuntos no vacíos, A = B si y sólo si A×B = B×A.

(c) Si A y B son conjuntos no vacíos, A = A′ y B = B′ si y sólo si A×B = A′×B′.

(d) A× (B∪C) = (A×B)∪ (A×C).

(e) A× (B∩C) = (A×B)∩ (A×C).

Prueba. Mostramos (b) y (d), y dejamos las partes (a), (c) y (e) como ejercicio allector (ejercicio 34):


(→) Supongamos que A = B. Entonces A×B = A×A = B×A.

(←) Supongamos que A× B == B× A. Debemos demostrar que A = B.Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Sea x ∈ A. Como B 6= ∅, existe y tal que y ∈ B. Entonces pordefinición (x,y) ∈ A×B. Por hipótesis A×B = B×A, entonces(x,y) ∈ B×A, lo que implica que x ∈ B.

(⊇) Es análoga.

(d) Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Sea (x,y) ∈ A× (B∪C). Entonces x ∈ A y y ∈ B∪C. Tenemos doscasos:

(i) y ∈ B: En este caso concluimos que (x,y) ∈ A×B.

(ii) y ∈C: En este caso concluimos que (x,y) ∈ A×C.

A partir del razonamiento anterior concluimos que (x,y) ∈ A× B ó(x,y) ∈ A×C, luego (x,y) ∈ (A×B)∪ (A×C).

(⊇) Sea (x,y) ∈ (A×B)∪ (A×C). Entonces hay dos casos:


(i) (x,y) ∈ A×B: En este caso x ∈ A y y ∈ B; como B ⊆ B∪C, concluimosque y ∈ B∪C, y por ende (x,y) ∈ A× (B∪C).

(ii) (x,y) ∈ A×C: Mediante un razonamiento análogo al hecho en (i) con-cluimos que (x,y) ∈ A× (B∪C).

En cualquier caso concluimos que (x,y)∈A×(B∪C), como queríamos.

o

De forma análoga a la definición de un par ordenado, podemos definir unan-tupla

n-tupla (donde n es un número natural positivo) (a1,a2, . . . ,an) como un objeto talque:

(a1,a2, . . . ,an) = (b1,b2, . . . ,bn) si y sólo si ai = bi para todo i ∈ {1,2, . . . ,n}.

Podemos generalizar el producto cartesiano entre dos conjuntos, y definir elproducto cartesiano entre n conjuntos A1, . . . ,An (donde n ∈ N∗) de la siguientemanera:

A1×A2 · · ·×An := {(a1,a2, . . . ,an) : a1 ∈ A1∧a2 ∈ A2∧·· ·∧an ∈ An}.

Definición conjuntista de un par ordenado

En esencia queremos definir (a,b) como un conjunto (en términos de a, y b),que satisfaga la siguiente propiedad:

(a,b) = (a′,b′) si y sólo si a = a′ y b = b′.

Definición 1.50 (Par ordenado). Dados a,b, definimos el par ordenado (a,b) así:

(a,b) := {{a},{a,b}}.

(a,b) es llamado “el par a coma b”, o simplemente “a coma b”.

Por ejemplo, (4,6) es el conjunto {{4},{4,6}}, mientras que (6,4) es el con-junto {{6},{6,4}}. Note que, por ejemplo, {4} ∈ (4,6) r (6,4), y por esto con-cluimos (como queríamos) que (4,6) 6= (6,4).

Antes de mostrar la propiedad que mencionamos anteriormente, vale la penaobservar los siguientes hechos conjuntistas (cuya demostración dejamos al lector),que utilizaremos constantemente:


1. a 6= b si y sólo si {a,b} no es un singleton (un singleton es, como su nombrese indica, un conjunto con exactamente un elemento). Por ejemplo, {2,2} y{a} son singletons).

2. a = b si y sólo si {a}= {b}.

Teorema 1.51 (Propiedad del par ordenado). (a,b) = (a′,b′) si y sólo si [a = a′

y b = b′].

Prueba. La dirección← es inmediata por la definición de par ordenado. Demos-tremos la otra dirección: supongamos que (a,b) = (a′,b′), esto es, que:

{{a},{a,b}}= {{a′},{a′,b′}}.

Dividimos la prueba en dos casos, según a′ y b′ sean iguales o no:

(i): a′ = b′: entonces

{{a},{a,b}}= {{a′},{a′,b′}}= {{a′},{a′,a′}}= {{a′},{a′}}= {{a′}}.

Entonces {a}= {a,b}= {a′}, lo cual implica que a = b = a′. Entonces a,a′,by b′ son el mismo elemento, y en particular podemos concluir a = a′ y b = b′.

(ii): a′ 6= b′: Entonces {{a′},{a′,b′}} posee 2 elementos (¿por que?), locual implica que {{a},{a,b}} (siendo el mismo conjunto) posee 2 ele-mentos. Pero esto implica que a 6= b (¿por qué?). Como {{a},{a,b}} ={{a′},{a′,b′}}, entonces {a} = {a′} o {a} = {a′,b′}. Pero la segunda op-ción es imposible, luego {a} = {a′}, es decir, a = a′. De manera similar,{a,b}= {a′} o {a,b}= {a′,b′}, pero la primera opción es imposible, así que{a,b} = {a′,b′}. Esto implica que b = a′ o b = b′; sin embargo la primeraopción es imposible (pues a′ = a y b 6= a). Por ende, b = b′.

En cualquier caso concluimos que a = a′ y b = b′. o

La definición de una 3-tupla es recursiva. Esto es, para definir una 3 tupla re-currimos a la definición de una 2-tupla:

Definición 1.52. Dados a1,a2,a3, definimos la 3-tupla (a1,a2,a3) así:

(a1,a2,a3) := ((a1,a2),a3).

Por ejemplo, la 3-tupla (a,b,c) es igual a ((a,b),c), que a su vez es igual a:

((a,b),c) = {{(a,b)},{(a,b),c}}= {{{{a},{a,b}}},{{{a},{a,b}},c}}.


¡Como el lector se dará cuenta, toda 3-tupla es un par ordenado! La 3-tupla (a,b,c)es el par ordenado cuyas coordenadas son (a,b) y c. De forma análoga al cason = 3, podemos definir una n-tupla para cualquier n∈N∗ (para hacer esto de formarigurosa se requiere de una definición por recursión: consultar la sección 2.3 paramás detalles).


Lecturas adicionales

Las siguientes son lecturas adicionales sobre algunos de los temas tratados enel capítulo 1:

Para más sobre teoría de conjuntos, consultar [7], secciones 1.1 a 1.5; [2],secciones 1.1, 1.2; 1.3; [3], capítulo 1; [10], capítulo 2.1; [4], secciones 8,10.

Para más sobre órdenes parciales, consultar [4], sección 50.

Para una exposición axiomática de la teoría de conjuntos, consultar [3], capí-tulo 1(3); [2], sección 6.1.


1.8. / Ejercicios

EJERCICIOS DE CALENTAMIENTO

1. Sea U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Sean A,B y C los siguientes subconjun-tos de U :

A = {1,4,5}, B = {4,6,7}, C = {2,7,8}.

Calcule los siguientes conjuntos (donde el complemento se toma con respec-to a U ):

a) A∪B,

b) A∩B,

c) A∩C,

d) A rCc,

e) B rC,

f ) A r (B∩C),

g) Bc,

h) (B∪C)c,

i) Bc∪Cc,

j) P(A),

k) P(A)∪P(B).

l) C rU .

2. Determine, si es posible, el número exacto de elementos en cada uno de lossiguientes conjuntos (donde x es un número natural):

a) {3},b) {2,2,2},c) {1,3,1,−3},

d) {},e) {x},f ) { 1,{2,3,4} },

1.8. / EJERCICIOS 49

g) { 2,{3,4},{4,2} },h) { 2,{3,4},{4,2},{4,3} },i) {n ∈ N : n2 < 16},

j) {n ∈ N : n > 6},k) {x,−x,x2},l) {x,x+1}.

3. Sea A = {y : existe n ∈ N tal que 4 < n < 8 y y = 2n + 1}. Describa elconjunto A extensionalmente, esto es, liste todos sus elementos. [Otra formade describir al conjunto A es la siguiente: A = {2n+1 : n ∈ N,4 < n < 8}.]

4. Sea x = {1,2,3,4}.

a) Liste todos los elementos de P(x) (esto es, todos los subconjuntos dex). ¿Cuántos son?

b) Sea y = x∪{5}. Liste todos los elementos de P(y)r P(x) (esto es,todos los subconjuntos de y que no son subconjuntos de x). ¿Cuántosson?

5. Sea A = {1,2, . . . ,n} (donde n ∈N∗). Calcule el número de subconjuntos deA que poseen:

a) 0 elementos,

b) 1 elemento,

c) n−1 elementos,

d) n elementos.

6. Sea A = {1,3}.

a) Calcule el conjunto P(A). ¿Cuántos elementos posee éste?

b) Calcule el conjunto P(P(A)). ¿Cuántos elementos posee éste?

c) ¿Cuántos elementos posee el conjunto P(P(P(A)))?

7. Dé un ejemplo de conjuntos A, B, C, D, E y F tales que A no sea vacío, Apertenezca a B, B sea un subconjunto propio de C, C pertenezca a D, D seaun subconjunto propio de E y E sea un subconjunto propio de F . Respondalas siguientes preguntas de acuerdo a su ejemplo (justificando su respuesta):

a) ¿Pertenece A a C?

b) ¿Es A subconjunto de C?

c) ¿Pertenece B a D?

d) ¿Es B un subconjunto de E?


e) ¿Pertenece D a F?

f ) ¿Es D un subconjunto propio de F?

8. Recuerde que Z = {. . . ,−2,1,0,1,2, . . .} es el conjunto de los números en-teros. Sea A el conjunto

A = {3s+1 : s ∈ Z}.

a) Demuestre que −11 ∈ A [Ayuda: Encuentre un número entero s tal que−11 = 3s+1.]

b) Demuestre que 8 6∈ A.

c) ¿Qué conjunto es Ac = Zr A?

ENTRADAS

9. Empareje cada afirmación de la izquierda con una de la derecha de modoque las afirmaciones emparejadas sean equivalentes entre sí:

(1) {x,y}r{x}= ∅ (a) x /∈ A(2) Ac = ∅ (b) A = B = ∅(3) A⊆ B (c) A⊆ {x}(4) A r{x}= ∅ (d) P(A)⊆P(B)(5) {x} 6= {y} (e) x = y(6) A∪{x}= A (f) A = U(7) x ∈∅ (g) A = {∅}(8) A∪B = ∅ (h) P(A) = ∅(9) A r{x}= A (h) {x}∩{y}= ∅(10) A∩B = ∅ (i) P(∅) = {}(11) Ac = U (j) x ∈ A(12) A = ∅ (k) A⊆ Bc

10. Para cada una de las siguientes afirmaciones, determine si ésta es verdaderao falsa (justificando con una demostración o un contraejemplo):

a) ∀x : x ) /0.

b) ∀x : /0 ∈ x.

c) ∅ ∈∅.

d) /0 ∈ {{}}.

e) /0⊆ {{}}.f ) ∅ = {∅}.g) ∅r∅ = ∅.

h) {1} ∈ N.

i) {1} ⊆ N.

j) {1,{2}} ⊆ N.

k) {x : x 6= x}= ∅.

l) ∀x : P(x) 6= ∅.

11. Este ejercicio consiste en encontrar propiedades precisas que nos permitandescribir la pertenencia a ciertos conjuntos.


a) Sea X el conjunto {6,10,14,18,22, . . .}. Describa a X intensionalmente,más precisamente, encuentre una propiedad p(x), tal que X = {x ∈ N :p(x)}. [Ayuda: ver el ejercicio 3.]

b) Sea 2N el conjunto de los números naturales pares: 2N := {0,2,4, . . .}.Describa al conjunto 2N intensionalmente; más precisamente, encuen-tre una propiedad p(x), distinta de “x es par”, tal que 2N = {x ∈ N :p(x)}.

c) Sea X el conjunto de los números primos (un número primo es unnúmero natural mayor que 1 cuyo único divisor mayor que 1 es él mis-mo). Escriba a X intensionalmente (¡hay varias formas de hacerlo!).

12. Demuestre mediante el método de doble inclusión las siguientes igualdades:

a) {3x+1 : x ∈ Z}= {1−3y : y ∈ Z},b) {π(n−2) : n ∈ Z}= {π(n+10) : n ∈ Z},c) {2x+5 : x ∈ Z}= {1+2y : y ∈ Z},d) {−(x+2) : x ∈ N}= {y ∈ Z : y≤−2}.

13. Diremos que A muerde a B si existe x tal que x ∈ A y x ∈ B. Para cada unade las siguientes afirmaciones, determine si ésta es verdadera o falsa, dandouna demostración o un contraejemplo:

a) A muerde a A.

b) Si A muerde a B, entonces B muerde a A.

c) Si A muerde a B y B muerde a C, entonces A muerde a C.

d) Si A muerde a B∪C entonces [ A muerde a B o A muerde a C ].

e) Si A muerde a B o A muerde a C entonces A muerde a B∪C ].

f ) Si A muerde a B∩C entonces [ A muerde a B y A muerde a C ].

g) Si A muerde a B y A muerde a C entonces A muerde a B∩C ].

h) Si A∪B muerde a C∪D, entonces A muerde a C o B muerde a D.

14. Sean A,A′,B y B′ conjuntos tales que A ⊆ A′ y B ⊆ B′. Demuestre que si A′

y B′ son disjuntos, entonces A y B son disjuntos.

15. Demuestre que A⊆ B∪C si y sólo si existen A1,A2 tales que A1 ⊆ B, A2 ⊆Cy A = A1∪A2.

16. Sean A y B conjuntos. Demuestre las siguientes propiedades (refiérase alteorema 1.21):


(a) A∩A = A.

(b) A∪B = B∪A.

(c) A∩B⊆ A∪B.

(d) A∩U = U .

(e) (A∩B)∩C = A∩ (B∩C).

17. Demuestre el teorema 1.23(b).

18. Demuestre que (A∪B)c = Ac∩Bc utilizando el método de doble inclusión,y que (A∩B)c = Ac∪Bc, utilizando el método de álgebra de conjuntos.

19. Demuestre las siguientes propiedades de operaciones entre conjuntos:

a) A∪B⊆ A∪B∪C ; A∩B∩C ⊆ A∩B.

b) A, B⊆C si y sólo si A∪B⊆C; A, B⊇C si y sólo si A∩B⊇C.

c) A∪B = A∩B si y sólo si A = B.

d) Si B 6⊆ A entonces B r A 6= ∅.

e) B r A = B si y sólo si A r B = A.

f ) A r (A r B) = A∩B.

g) A∩ (B rC) = (A∩B)r (A∩C).

h) (A∪B)∩ (C∪Bc)⊆ A∪C.

i) C r (A∪B) = (C r A)∩ (C r B).

j) C r (A∩B) = (C r A)∪ (C r B).

k) C r (B r A) = (A∩C)∪ (C r B).

l) (B r A)∩C = (B∩C)r A = B∩ (C r A).

m) (B r A)∪C = (B∪C)r (A rC).

20. Sean A,B ⊆ U conjuntos. Demuestre que las siguientes afirmaciones sonequivalentes entre sí:

a) A⊆ B,

b) Bc∩A = ∅,

c) Ac∪B = U ,

d) Bc ⊆ Ac,

e) A∩B = A,

f ) A∪B = B.


21. Sean A,B ⊆ U conjuntos. Demuestre que las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

(i) A⊆ B

(ii) Existe ∆⊆U tal que B r ∆ = A.

Concluya que el conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos (es-ta es una demostración natural de este hecho; comparar con la demostraciónde la dirección→ en el teorema 1.12).

22. Sean A,B,C conjuntos. Demuestre las siguientes afirmaciones:

a) P(A∩B) = P(A)∩P(B).

b) P(A∪B)⊇P(A)∪P(B). Además dé un ejemplo en el cual la con-tenencia anterior sea estricta.

c) A = ∅ si y sólo si P(A) = {∅}.d) A y B son disjuntos si y sólo si P(A)∩P(B) = {∅}.e) Si A⊆ B y A⊆C, entonces

{X ∩A : X ∈P(B)}= {X ∩A : X ∈P(C)}= P(A).

23. Demuestre que si A posee n elementos (para n un número natural), entoncesP(A) posee 2n elementos [Ayuda: Sea A = {a1, . . . ,an}: represente a cadasubconjunto de A como una n-tupla de ceros y unos, como se ejemplificó enla figura 1.2.]

24. Suponga que A⊆ B, A posee n elementos y B posee m elementos. ¿En térmi-nos de n y m, cuántos elementos posee el conjunto X = {A∪C : C ∈P(B)}?

PLATOS FUERTES

25. Dados conjuntos A y B, diremos que A es un vecino inferior de B si A es unsubconjunto propio de B y no existen conjuntos X tales que A es un subcon-junto propio de X y X es un subconjunto propio de B. Con base en la anteriordefinición, resuelva los siguientes ejercicios:

a) Sea B = {0,1, ...,n}. Calcule el número de vecinos inferiores de B.

b) Si B es un conjunto que posee un número infinito de vecinos inferioresA, ¿es necesariamente B un conjunto infinito? Justifique su respuesta.

c) Demuestre que A es un vecino inferior de B si y sólo si [ A es subcon-junto de B y existe x tal que x no pertenece a A, y todo elemento de Bque sea distinto de x pertenece a A. ]


d) Demuestre que si B es un conjunto infinito, entonces B posee un númeroinfinito de vecinos inferiores.

26. Para cada una de las afirmaciones siguientes, determine si ésta es verdaderao falsa (justificando con una demostración o un contraejemplo):

a) (A∪B)∩C = A∪ (B∩C).

b) Si A⊆ B, entonces A∩ (B∪C) = A.

c) (A∪B)r A = B r A.

d) (A r B)rC = A r (B∪C).

e) A⊆ B si y sólo si A r B = ∅.

f ) A r (B rC) = (A r B)rC.

g) A∩ (B∪C)⊇ B∪ (A∩C) si y sólo si A⊇ B.

h) Si A∪B∪C ⊆∅, entonces A = B = C = ∅.

i) Si A∩B∩C ⊆∅, entonces A = ∅ ó B = ∅ ó C = ∅.

j) A = B si y sólo si A r B = B r A.

k) Para todo conjunto X , si X ∩B = X ∩C, entonces B = C.

l) Si para todo conjunto X vale que X ∩B = X ∩C, entonces B = C.

m) Existe un conjunto X tal que: si X ∩B = X ∩C, entonces B = C.

n) Si existe un conjunto X tal que X ∩B = X ∩C, entonces B = C.

27. Dados dos conjuntos A y B, definimos su diferencia simétrica así:

A4B = (A r B)∪ (B r A).

a) Demuestre que A4B = (A∩Bc)∪ (B∩Ac).

b) Demuestre que A4B = (A∪B)r (A∩B).

c) Demuestre que la operación4 es conmutativa y asociativa.

d) ¿Qué conjunto es A4∅? ¿Y A4A? ¿Y A4U ?

e) ¿Si A⊆ B, qué conjunto es A4B?

f ) Demuestre que A∩ (B4C) = (A∩B)4 (A∩C).

g) Demuestre que A∪ (B4C) = A4 (B r (A∪C))4 (C r (A∪B)).

h) Demuestre que (A4B)c = (A∩B)∪ (A∪B)c.

i) Demuestre que A = B si y sólo si A4B = ∅.

j) Demuestre que B = ((A4B)∩Ac)∪ ((A4B)c∩A).


k) Demuestre que si A4C = A4B entonces B = C.

28. Sean α1,α2, . . . ,α10 las propiedades listadas en el teorema 1.33.

a) Utilizando el método de álgebra de conjuntos y las propiedades α1 has-ta α6, demuestre la propiedad α7.

b) Utilizando el método de álgebra de conjuntos y las propiedades α1 has-ta α7, demuestre la propiedad α8.

c) Utilizando el método de álgebra de conjuntos y las propiedades α1 has-ta α8, demuestre la propiedad α9.

29. Sean A1,A2,A3 ⊆U . Demuestre las siguientes igualdades:

a) A1∪A2 = (A1 r A2)∪ (A2 r A1)∪ (A1∩A2). Ilustre esta igualdad me-diante un diagrama de Venn.

b) (A1∪A2∪A3)c = Ac1∩Ac

2∩Ac3.

c) (Ac1∪A2∪Ac

3)c∪Ac

3∪Ac1∪A2 = U .

d) ((Ac1∪A2)c∪A2)c∪ (Ac

2∪A1)c∪A1 = U .

e) (A4B)4 (B4C)4 (C4D) = A4D.

f ) (A4B)∪ (A4C)∪ (C4D) = (A∪B∪C∪D)r (A∩B∩C∩D).

30. Compare los siguiente pares de conjuntos de acuerdo a la relación ⊆ (pienseantes en ejemplos con conjuntos pequeños, después intente demostrar engeneral las contenencias que cree que siempre valen):

a) P(U r A) vs. P(U )rP(A).

b) P(A4B) vs. P(A)4P(B).

c)⋂

i∈I(A∪Ai) vs. A∪ (⋂

i∈I Ai).

d) (⋃

i∈I Ai)r (⋃

i∈I Ai) vs.⋃

i∈I(Ai r Bi).

e) A4 (B∪C) vs. (A4B)∪ (A4C).

f ) A4 (B∩C) vs. (A4B)∩ (A4C).

31. Ejercicios de unión e intersección generalizadas:

a) Demuestre que ∅ =⋂

B∈P(A)

B.

b) Demuestre que A =⋃

P(A).


c) Demuestre que R− =⋃

a∈Z−[a,a + 1). [Aquí, [a,a + 1) = {x ∈ R : a ≤

x < a+1}.]

d) Demuestre que R =⋃x∈R

(⋂ε>0

(x− ε,x+ ε)

).

e) Dado s ∈ R, sea Es = {s}. ¿Qué conjunto es⋃s∈Q

Es?

f ) ¿Qué conjunto es A =⋃

a∈[0,1)

⋂b∈(a,6]

[b,b+a)

?

g) Para cada n,m ∈ I sea An,m un conjunto. Demuestre que(⋃n∈I

(⋂m∈I

An,m

))c

=⋂n∈I

(⋃m∈I

Acn,m

).

h) Dado i ∈ N∗, sea Ai = (0, i). Demuestre que⋃

i∈N∗Ai = R+.

i) Dado i ∈ N∗, sea Ai = (0, i). Demuestre que⋂

i∈N∗Ai = (0,1).

j) Dado i ∈ Z, sea Ai = [2i,2i+1]. ¿Qué conjunto es(⋃i∈Z

Ai

)c

?

k) Demuestre que A⊆ ∪i∈IBi si y sólo si existen conjuntos Bi (i ∈ I) talesque A = ∪i∈IAi y para cada i ∈ I se tiene que Ai ⊆ Bi.

l) Demuestre el teorema 1.44.

32. Encuentre un contraejemplo para la siguiente afirmación: Si ∪A ⊆ ∪B, en-tonces A⊆ B.

33. Para cada i ∈ I sea Ai un conjunto y para cada j ∈ J sea B j un conjunto.Demuestre que si para todo (i, j) ∈ I× J se tiene que Ai∩A j = ∅, entonces(⋃

i∈I

Ai

)∩

(⋃i∈J

B j

)= ∅.

34. Demuestre el teorema 1.49.


35. Sean A,B,C,A′,B′ ⊆U . ¿Cómo se comparan los siguientes conjuntos?

a) (A×B)∪ (A′×B′) vs. (A∪A′)× (B∪B′).

b) (A×B)∩ (A′×B′) vs. (A∩A′)× (B∩B′).

c) (X r A)× (Y r B) vs. (X×Y )r (A×B).

d) P(A×B) vs. E = {S×T : (S,T ) ∈P(A)×P(B)}.e) A× (B×C) vs. (A×B)×C.

36. Definición (filtro): Sea X un conjunto no vacío. Un filtro sobre X es un con-junto F ⊆P(X) que cumple las siguientes propiedades:

F 6= ∅.

F es cerrado bajo intersección finita: Si S1,S2 ∈F , entonces S1∩S2 ∈F .

F es cerrado bajo superconjunto: Si S1 ⊆ S2 ⊆ S2 y S1 ∈F , entoncesS2 ∈F .

a) El filtro de Fréchet: Sea F = {S ∈P(N) : Sc es un conjunto finito}(aquí U = N, de modo que Sc = NrS). Por ejemplo {4,5,6, ...} ∈F ,pero para n ∈ N, tenemos que nN = {nx : x ∈ N} = {0,n,2n, ...} 6∈F . Demuestre que F es un filtro sobre el conjunto de los númerosnaturales.

b) Dé un ejemplo de un filtro E sobre N, distinto del filtro de Fréchet.

c) Diremos que un filtro F sobre X es un ultrafiltro si para todo A ⊆ X ,A ∈F ó Ac ∈F . ¿Es el ejemplo dado en b) un ultrafiltro? ¿Es el filtrode Fréchet un ultrafiltro?

37. Definimos la operación L de la siguiente forma (donde A,B,C ⊆U ):

L(A,B,C) = (A∩B)∪ (B∩C)∪ (A∩C).

Demuestre las siguientes propiedades:

a) L(A,B,C)= L(A,C,B)= L(B,A,C)= L(B,C,A)= L(C,A,B)= L(C,B,A).

b) L(A,A,A) = A.

c) L(A,B,∅) = A∩B.

d) L(U ,A,B) = A∪B.

e) L(A∪B,B,C) = L(A,B,C)∪B.


f ) L(A∩B,B,C) = (A∪C)∩B.

g) A,B y C son conjuntos disjuntos dos a dos11 si y sólo si L(A,B,C) = ∅.

h) L(A,B,C) = U si y sólo si {A,B}= {U } ó {B,C}= {U } ó {A,C}={U }.

i) L(A,B,C) = A si y sólo si B∩C ⊆ A⊆ B∪C.

j) Si A⊆ B⊆C, entonces L(A,B,C) = A∪B.

k) Si A1 ⊆ B1, A2 ⊆ B2 y A3 ⊆ B3, entonces L(A1,A2,A3)⊆ L(B1,B2,B3).

l) L(A,Ac,B) = B.

m) L(Ac1,A

c2,A

c3) = {x ∈ U : si x ∈ Ai entonces x 6∈ A j ∪ Ak,{i, j,k} =

{1,2,3} }.

38. Dados A,B⊆U conjuntos definimos Z(A,B) como el siguiente conjunto:

Z(A,B) = {x ∈U : Si x ∈ A entonces x ∈ B}.

Demuestre las siguientes propiedades:

a) Z(A,A) = U .

b) Z(A,A∪B) = U .

c) Z(A∩B,A) = U

d) Z(A,Ac) = ∅.

e) Z(A,B) = Z(Bc,Ac).

f ) Z(∅,A) = U .

g) Z(A,∅) = Ac.

h) Z(A,B∩C) = Z(A,B)∩Z(A,C).

i) Z(A,B∪C) = Z(A,B)∪Z(B,C).

j) Z(A,B)c = A∩Bc.

k) Z(A,B) = Ac∪B.

l) Z(A×B,A′×B′) = [(A r A′)×B]c∩ [A× (B r B′)]c.

39. Sean A1,A2 y A3 conjuntos cualesquiera. Dado un conjunto X , diremos que Xes aglomerado si para toda elección de índices distintos entre sí i, j,k entre1 y 3 (dicho de otro modo, {1,2,3} = {i, j,k}) se cumplen las siguientespropiedades:

11Esto quiere decir que A∩B = B∩C = A∩C = ∅

1.9. - PROYECTO: ÁLGEBRAS DE CONJUNTOS 59

∅⊆ X ⊆ A1∪A2∪A3,

Si X ∩Ai 6= ∅, entonces X ⊇ Ai r (A j ∪Ak).

Si X ∩Ai 6= ∅ y X ∩A j 6= ∅, entonces X ⊇ (Ai∩A j)r Ak.

Si X ∩Ai 6= ∅, X ∩A j 6= ∅ y X ∩Ak 6= ∅, entonces X ⊇ Ai∩A j ∩Ak.

a) Sea A = {X : X es un conjunto aglomerado}. Sea k el número de el-ementos de A (k puede ser en principio infinito). Calcule todos losdistintos valores que k puede tomar, variando los conjuntos A1,A2 yA3. [Por ejemplo, si A1 = A2 = A3 = ∅, el único conjunto aglomeradoes ∅.]

b) Trabajando ahora con dos conjuntos base A1,A2, idee una definición deconjunto aglomerado análoga a la anterior, y calcule el número máximoposible de conjuntos aglomerados.

40. El Axioma de separación afirma (aproximadamente) lo siguiente: Dado unconjunto A y una propiedad p(x) existe un conjunto B tal que ∀x : x ∈ B↔(x ∈ A∧ p(x)). En otras palabras, B es el conjunto de los elementos de A conla propiedad p. Demuestre que tal conjunto B es único, es decir, que si existeB′ tal que ∀x : x ∈ B′↔ (x ∈ A∧ p(x)), entonces B′ = B.

41. Utilice el axioma de separación y la Paradoja de Russell para demostrar queno existe el “conjunto de todos los conjuntos”: esto es, que no existe unconjunto A tal que para todo x, x ∈ A.

42. Dada una palabra cualquiera, diremos que a es autológica si ella se aplicaa sí misma, y heterológica si ella no se aplica a sí misma. Por ejemplo laspalabras “esdrújula” y “larguísisisisima” son autológicas, mientras que laspalabras “persona” y “rara” son heterológicas.

a) ¿La palabra “autológica” es autológica o heterológica?

b) ¿La palabra “heterológica” es autológica o heterológica?

1.9. - Proyecto: Álgebras de conjuntos

En los tres ejercicios que siguen definiremos las álgebras de conjuntos y cara-terizaremos algunas de ellas. Para ello fijamos cierto universo U . Dado A ⊆ Udefinimos A0 := Ac, A1 := A. Sean A1,A2 ⊆U (en los siguientes ejercicios traba-jaremos con estos conjuntos; el lector podrá convencerse que es posible generalizarlos siguientes ejercicios considerando n conjuntos A1, . . . ,An (o incluso un númeroinfinito de ellos); por simplicidad nos concentramos en el caso n = 2).


1. Conjuntos básicos y estructurados:

a) Diremos que A es un conjunto básico si A es de la forma A = Ai11 ∩Ai2

2(i0, i1 ∈ {0,1}). Demuestre que dos conjuntos básicos distintos entresí deben ser disjuntos entre sí; en otras palabras, si A,B son básicos yA 6= B, entonces A∩B = ∅.

b) Calcule el máximo número posible de conjuntos básicos, dando unejemplo (debe comenzar por definir A1 y A2).

c) Diremos que A es un conjunto estructurado si A puede verse comola unión de cero o más conjuntos básicos. (En particular el conjuntovacío es estructurado, pues es la unión de cero conjuntos básicos, ytodo conjunto básico es también estructurado). Demuestre que A1 y A2son conjuntos estructurados.

d) Calcule el máximo número posible de conjuntos estructurados, dandoun ejemplo (debe comenzar por definir A1 y A2).

2. Dado A⊆U , diremos que A es un conjunto completo si para cada elecciónde i1, i2 ∈ {0,1}, se tiene que

si A∩Ai11 ∩Ai2

2 6= ∅, entonces A⊇ Ai11 ∩Ai2

2 .

a) Demuestre que A1 y A2 son conjuntos completos.

b) Demuestre que si A y B son conjuntos completos, entonces A∩B es unconjunto completo.

c) Demuestre que si A es un conjunto completo, entonces Ac es un con-junto completo.

d) Demuestre que si A y B son conjuntos completos, entonces A∪B esun conjunto completo. [Ayuda: Suponga que A y B son completos, yutilice los sub-ejercicios anteriores, junto con el hecho de que A∪B =(Ac∩Bc)c.]

e) Demuestre que todo conjunto básico es completo.

f ) Demuestre que para todo A, A es completo si y sólo si A es estructurado.

3. Dado C ⊆P(U ), diremos que C es un álgebra de conjuntos si C es ce-rrado bajo unión, intersección y complemento. En otras palabras, si dadosA,B⊆U se tiene:

Si A,B ∈ C , entonces A∪B ∈ C , A∩B ∈ C y Ac ∈ C .

1.9. - PROYECTO: ÁLGEBRAS DE CONJUNTOS 61

a) Demuestre que si C es un álgebra de conjuntos y A 6= ∅, entonces∅ ∈ C y U ∈ C .

b) Demuestre que si C y D son álgebras de conjuntos, entonces E :=C ∩D es también un álgebra de conjuntos.

c) Sea C0 := {A ∈P(U ) : A es un conjunto completo }. Demuestre queC0 es un álgebra de conjuntos.

d) Demuestre que si C es un álgebra de conjuntos tal que A0 ∈ C y A1 ∈C , entonces C0 ⊆C . [Ayuda: Si A∈C0, entonces A es completo, luegoA es estructurado. Demuestre ahora que C debe tener como elementoa todo conjunto básico (dado que tiene a A0 y A1 como elementos), ypor ende a todo conjunto estructurado, de modo que A ∈ C .]

e) Por lo anterior, C0 es la mínima álgebra de conjuntos que tiene a A0 ya A1 como elementos. Demuestre que C0 = ∩{C : C es un álgebra deconjuntos y A0,A1 ∈ C }. En particular un conjunto A es completo (oestructurado) si y sólo si A pertenece a todas las álgebras de conjuntosC tales que A0 y A1 pertenecen a C .

CAPÍTULO 2

INDUCCIÓN: LOS NÚMEROSNATURALES

¿Qué fue primero, el huevo o la gallina?

2.1. El principio del buen orden

Comencemos este capítulo por redondear algunas ideas acerca de conjuntosordenados que habíamos mencionado anteriormente (ver sección 1.2).

Definición 2.1 (Orden parcial). Una estructura parcialmente ordenada (A,≤)consiste en un conjunto A, y una relación ≤ sobre A que cumple con las siguientestres propiedades:

63

64 CAPÍTULO 2. INDUCCIÓN: LOS NÚMEROS NATURALES

(a) Reflexividad: ∀x ∈ A : x≤ x (todo elemento se relaciona consigo mismo).

(b) Antisimetría: ∀x,y ∈ A : (x≤ y∧ y≤ x)→ x = y (dados cualesquier x y y, six se relaciona con y y y se relaciona con x, entonces x = y).

(c) Transitividad: ∀x,y,z ∈ A : (x≤ y∧y≤ z)→ x≤ z (dados cualesquier x,y,z,si x se relaciona con y, y y se relaciona con z, entonces x se relaciona con z).

Bajo estas condiciones diremos que ≤ es un orden parcial sobre A.

Definición 2.2 (Orden lineal). Una estructura linealmente ordenada o totalmenteordenada (A,≤) consiste en un conjunto A, y un orden parcial (ver los comentariosque siguen al teorema 1.13) ≤ sobre A que además cumple la siguiente condición(llamada comparabilidad) :

Si a,b ∈ A, entonces a≤ b ó b≤ a.

Bajo estas condiciones diremos que≤ es un orden lineal (o total) sobre A. Tambiénse dice que ≤ ordena linealmente a A. Por convención, a < b significa “a ≤ b ya 6= b”.

En este capítulo nos interesa estudiar órdenes lineales principalmente. Un ejem-plo importante de ellos es la estructura ordenada de los números enteros:

Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}.

El orden ≤ que consideramos sobre Z es el tradicional: por ejemplo, 2 ≤ 5 (el 2está “por debajo” del 5), −1≤ 0, −4≤−3, 3≤ 3, etcétera. Puede verificarse queeste orden es lineal (de hecho, se parece a una línea sin extremos). Informalmenteeste orden es similar a un “pozo sin fondo”, puesto que por ejemplo, por debajodel 4 podemos encontrar infinitos números enteros (3,2,1,0,−1,−2, etcétera.), sinllegar así a un mínimo (o “tocar fondo”, de acuerdo con la analogía del pozo). Eneste sentido podríamos decir informalmente que Z es un conjunto “mal ordenado”.

Veamos otro ejemplo un poco más interesante. Consideremos el conjunto detodos los números reales positivos, incluyendo al cero, con su orden lineal usual:

A = {r ∈ R : r ≥ 0}= [0,∞).

En este orden, por ejemplo, 0≤ 2/3≤√

2≤ 2≤ π ≤ 1000, y claramente el 0 es elmínimo elemento de A. Sea ahora S el siguiente subconjunto de A:

S = (1,2) = {r ∈ R : 1 < r < 2}.

2.1. EL PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN 65

Es claro que S⊆ A, y además S no posee un elemento mínimo: pues dado r ∈ S, setiene que 1 < r, luego es posible encontrar un número s entre 1 y r, esto es, tal que

1 < s < r.

(por ejemplo tomamos a s como el promedio entre 1 y r: s = (r + 1)/2). “De-safortunadamente”, S es un subconjunto no vacío de A que no posee un elementomínimo... en este sentido podemos decir informalmente que A se encuentra “malordenado”, pues algunas de sus regiones (es decir, algunos de sus subconjuntos novacíos) son como pozos sin fondo, esto es, no poseen elementos mínimos.

La discusión anterior da pie a la siguiente definición:

Definición 2.3 (Conjunto bien ordenado). Sea (A,≤) una estructura linealmenteordenada. Diremos que (A,≤) es un buen orden (o A es un conjunto bien orde- Buen orden

nado por ≤) si todo subconjunto no vacío de A posee un elemento mínimo m. Oformalmente, si se cumple:

∀S⊆ A : (S 6= ∅→∃m ∈ S : (∀x ∈ S : m≤ x)).

Resulta que (N,≤) es un buen orden (este hecho se conoce como el principiodel buen orden). Intuitivamente esto lo justificamos así: si A es un subconjunto no Principio del

bueno ordenvacío de números naturales, entonces debe poseer un elemento a0 ∈ S. Si éste noes el mínimo elemento en S, es por que existe a1 ∈ S, a1 < a0. Si a1 es el mínimoelemento en S, lo hemos encontrado, y si no, podremos encontrar a3 < a2, a3 ∈ S.Este proceso de búsqueda del mínimo lo podemos repetir tan sólo un número finitode veces, pues ¡sólo hay un número finito de números naturales debajo de a1!Cuando ya no podamos seguir con el procedimiento anterior, el último elementoque hayamos encontrado en S tendrá que ser su elemento mínimo.

Principio 2.4 (Principio del buen orden, P.B.O.). La estructura (N,≤) es un buenorden.


1. ¿Verdadero o falso? Si (A,≤) es un buen orden, entonces A posee unelemento mínimo.

2. Demuestre que si ≤ es un orden parcial sobre A, S ⊆ A y m,m′ ∈ Sverifican que ∀x ∈ S : m ≤ x y ∀x ∈ S : m′ ≤ x, entonces m = m′. [Estodemuestra que en órdenes parciales, el mínimo de ún conjunto es único.]


3. ¿Cuáles de las siguientes estructuras son buenos órdenes?

a) (Q,≤).

b) (Q+ = {q ∈Q : q≥ 0},≤).

c) (P = {n ∈ N : n es primo },≤).

d) (Z,≤).

e) (N,≤−1), en donde n≤−1 m si y sólo si m≤ n (por ejemplo, 5≤−1

2, y 9 6≤−1 10).

f ) (P(N),⊆).

El buen orden de la estructura (N,≤) nos ayuda a demostrar ciertas propiedadesque valen para todo número natural:

�� Ejemplo 2.5. Demuestre que para todo n ∈ N,

0+1+ . . .+n = n(n+1)/2.

Solución. Dado n∈N, sea p(n) la propiedad 0+1+ . . .+n = n(n+1)/2. p(n)es una afirmación que en principio puede ser verdadera o falsa, dependiendodel valor de n. Por ejemplo, como 0 + 1 + 2 + 3 = 6 = 3(4)/2, entonces p(3)es una afirmación verdadera. Ahora sea

A = {n ∈ N : p(n)},

esto es, A es el conjunto de números naturales que poseen la propiedad p. Co-mo 0 = 0(1)/2, concluimos que p(0) es verdadera, esto es, 0 ∈ A. Queremosver que ∀n ∈ N : 0 + · · ·+ n = n(n + 1)/2, o en otras palabras, que A = N.Razonamos por contradicción: si A 6= N, entonces Ac = N r A es un subcon-junto no vacío de N, luego éste debe poseer un mínimo elemento m ∈ Ac. Pero0 ∈ A, así que m 6= 0 y entonces m = n+1 para algún número natural n. Comon < m y m es mínimo, concluimos que n∈ A, es decir, 0+ · · ·+n = n(n+1)/2.Sumando n+1 a ambos lados de la ecuación obtenemos:

2.2. PRINCIPIOS DE INDUCCIÓN 67

0+1+ · · ·+n+(n+1) = n(n+1)2 +(n+1)

= n2+n+2n+22

= (n+1)(n+2)2

= (n+1)((n+1)+1)2

= m(m+1)2

Entonces 0+ · · ·+(n+1) = 0+ · · ·+m = m(m+1)/2, lo cual significa quep(m) es verdadera, esto es, m ∈ A, lo cual contradice el hecho de que m ∈ Ac.Concluimos que A = N. o

2.2. Principios de inducción

A continuación enunciamos algunas propiedades fundamentales de la estruc-tura (N,≤). El lector interesado en demostrarlas a partir de la definición precisa de(N,≤) puede referirse al ejercicio 23 y posteriores al final de este capítulo.

Observación 2.6. La estructura (N,≤) cumple con las siguientes propiedades:

1. ≤ es un orden parcial sobre N.

2. 0 ∈ N es el mínimo elemento en N.

3. Para todo n ∈ N, n < n+1, y no existe m ∈ N tal que n < m < n+1.

4. Para todo n ∈ N, si n 6= 0, entonces existe m ∈ N tal que m+1 = n.

En esta sección presentamos dos principios equivalentes al principio del buenorden (principio 2.4). Para esto necesitamos definir primero la noción de un con-junto inductivo:

Definición 2.7 (Conjunto inductivo). Dado A ⊆ N, diremos que A es inductivo Conjuntoinductivosi para todo n ∈ A, n+1 ∈ A.

Por ejemplo, el conjunto vacío y el conjunto de los números naturales son con-juntos inductivos, mientras que el conjunto de los números pares no lo es. El con-junto de los números naturales menores que 300 no es inductivo, pero su comple-mento sí lo es.


Como el lector se habrá dado cuenta, en la demostración del ejemplo 2.5, losdos hechos claves para demostrar que A = N fueron: a) 0∈ A, y b) para cualquier n,p(n)→ p(n+1) (es decir, si n ∈ A entonces n+1 ∈ A, o en otras palabras, A es unconjunto inductivo). El siguiente principio establece que el anterior razonamientoes válido en general:

Principio 2.8 (Principio de inducción (P.I.)). Sea A un subconjunto de N tal quePrincipio deinducción 0 ∈ A y A es un conjunto inductivo. Entonces A = N.

Ya que no hemos dado una definición precisa de la estructura (N,≤), vamos asuponer que el principio de inducción es verdadero, sin demostrarlo (para la defini-ción de (N,≤) y la demostración del principio de inducción, véase el ejercicio23). Sin embargo es fácil convencerse de él: si 0 ∈ A y A es inductivo, entonces1 ∈ A, pero entonces 2 ∈ A, pero entonces ... pero entonces n ∈ A, pero entoncesn + 1 ∈ A . . .; como este razonamiento continúa indefinidamente, en A podremos“capturar” a todos los números naturales, y así N ⊆ A; como A es un subconjuntode N, por el principio de extensionalidad (principio 1.6) concluimos que A = N.

Como el lector sospechará, el principio de inducción puede formularse de lasiguiente manera:

Lema 2.9 (Caso base, paso inductivo). El principio de inducción es equivalentea la siguiente afirmación: (∗) Sea p una propiedad relativa a lo números naturalestal que p(0) (esto es, 0 posee la propiedad p), y p es una propiedad inductiva, en elsiguiente sentido: para todo número natural n, si p(n), entonces p(n+1) (el que nposea la propiedad p induce a que su sucesor inmediato, n+1, también la posea).Entonces todos los números naturales poseen la propiedad p, o más formalmente,∀n ∈ N : p(n).

Prueba. Demostremos primero que el principio de inducción implica (∗). Para es-to supongamos p(0) y que para todo n ∈N, p(n)→ p(n+1). Queremos demostrarlo siguiente: ∀n ∈ N : p(n). Sea A el subconjunto de N definido así: n ∈ A↔ p(n)(en donde n∈N). En otras palabras, A = {n∈N : p(n)}, esto es, A es el conjunto denaturales con la propiedad p. Por hipótesis 0 ∈ A (ya que p(0)), y además A es unconjunto inductivo (ya que para todo n∈N, n∈ A→ p(n)→ p(n+1)→ n+1∈ A,donde la segunda implicación vale por hipótesis). Por el principio de inducción ma-temática, A = N, lo que implica que ∀n ∈ N : n ∈ A, es decir, ∀n ∈ N : p(n).

Ahora supongamos que el principio (∗) es válido y demostremos que el prin-cipio de inducción es válido. Sea A un subconjunto inductivo de los naturales talque 0 ∈ A. Queremos demostrar que A = N. Definimos a p como la propiedad“pertenecer a A”, esto es, p(n) es la afirmación “n ∈ A”. Como 0 ∈ A, entoncesp(0), y como A es inductivo, podemos afirmar que ∀n ∈ N : p(n)→ p(n+1). Por


(∗) concluimos que todo número natural tiene la propiedad p, esto es, N⊆A. ComoA es un subconjunto de N, concluimos que A = N. o

Por el lema anterior, para demostrar que todos los números naturales poseencierta propiedad p, basta demostrar dos afirmaciones:

1. (Caso base) 0 posee la propiedad p, y

2. (Paso inductivo) para todo número natural n, si n posee la propiedad p, en-tonces n+1 también la posee.

Una demostración por inducción de que todos los números naturales poseencierta propiedad p consiste en realidad en dos demostraciones: el caso base y el pa-so inductivo. Éstas deben hacerse cada una por separado, y por supuesto no bastaráen general con demostrar el paso inductivo. Por ejemplo, una prueba incorrecta deque todo número natural es mayor que 5 es la siguiente: supongamos que n > 5.Entonces sumando 1 a ambos lados de la ecuación queda que n + 1 > 5 + 1 > 5,luego n+1 > 5. Por el P.I. (principio de inducción), concluimos que todo númeronatural es mayor que 5. En la anterior “demostración” habría faltado el caso base,que por supuesto es falso, pues 0 no es mayor que 5.

�� Ejemplo 2.10. Demuestre que para todo n∈N, 0+1+ . . .+n = n(n+1)/2.

Solución. Demostramos la propiedad en cuestión utilizando el P.I.:

Caso base: Como 0 = 0(1)/2, concluimos que la afirmación es ver-dadera cuando n = 0.

Paso inductivo: supongamos que la propiedad en cuestión vale para n,es decir, que

0+1+ · · ·+n = n(n+1)/2. (Hipótesis de inducción)

Queremos demostrar que la propiedad vale para n+1, es decir, queremosver que:

0+1+ · · ·+n+(n+1) = (n+1)((n+1)+1)/2.

Si partimos de la hipótesis de inducción, y sumamos n+1 a ambos ladosde esta ecuación, obtenemos:


0+1+ · · ·+n+(n+1) = n(n+1)2 +(n+1)

= n2+n+2n+22

= (n+1)(n+2)2

= (n+1)((n+1)+1)2

Concluimos que 0+1+ · · ·+n+(n+1) = (n+1)((n+1)+1)/2, comose quería.

Por el P.I, todo número natural cumple con la propiedad, es decir, para todon ∈ N, 0+1+ . . .+n = n(n+1)/2. o

�� Ejemplo 2.11. Demuestre que para todo n, n(n+1) es divisible por 2.

Solución. En general un número entero n es divisible por 2 (o es par) si existeun entero k tal que n = 2k. Así, debemos demostrar que n(n+1) es siempre dela forma 2k para algún entero k. Lo hacemos mediante inducción:

Caso base: 0(1) = 0 = 2(0), el cual es par.

Paso inductivo: supongamos que la propiedad en cuestión vale para n,es decir, que n(n+1) es divisible por 2, es decir, que existe un entero ktal que

n(n+1) = 2k (Hipótesis de inducción),

y queremos demostrar que la propiedad vale para n+1, es decir, quere-mos ver que (n +1)((n +1)+1) también es de la forma 2m para algúnnúmero entero m.

Tenemos:

(n+1)((n+1)+1) = (n+1)(n+2)= (n+1)n+(n+1)2= n(n+1)+2(n+1)= 2k +2(n+1) (hipótesis de inducción)= 2(k +n+1)


Como m := k + n + 1, es un número entero (pues k,n y 1 lo son), con-cluimos que (n+1)((n+1)+1) es divisible por 2, como se quería.

Por el P.I., todo número natural cumple con la propiedad, es decir, paratodo n ∈ N, n(n+1) es divisible por 2, o en otras palabras, es par. o

Principio 2.12 (Principio de inducción fuerte). Sea A ⊆ N tal que para todo Principio deinducción fuertenúmero natural n vale lo siguiente:

(∀k ∈ N : k < n→ k ∈ A)→ n ∈ A.

Entonces A = N.

El principio de inducción permite concluir que un conjunto A⊆N es igual a Na partir de dos condiciones (poseer al 0 y ser un conjunto inductivo). En cambio,en el principio de inducción fuerte sólo se requiere una condición (aunque máscompleja): que para cada n ∈ N, si todos los números naturales menores que npertenecen a A, entonces n también pertenece a A.

Si bien no hemos dado una demostración de que N es un buen orden, ni para losdos principios de inducción que hemos formulado, resulta que las tres propiedadesson equivalentes. En otras palabras, si una de ellas es verdadera, las otras dos tam-bién lo son:

Teorema 2.13. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

(a) Principio del buen orden.

(b) Principio de inducción.

(c) Principio de inducción fuerte.

Prueba. Demostraremos que (a)→ (b), (b)→ (c), y (c)→ (a). Esto será suficientepara concluir que (a), (b) y (c) son equivalentes (¿por qué?).

( (a) → (b) ) Supongamos que (N,<) es un buen orden, y demostremos elprincipio de inducción matemática: Sea A⊆ N tal que 0 ∈ A y A es inducti-vo. Queremos concluir que A consta de todos los naturales. Razonamos porcontradicción. Si esto no es así, entonces el conjunto Ac = NrA es no vacío,luego por hipótesis Ac posee un mínimo elemento, digamos m ∈ Ac. Como


0 ∈ A, necesariamente m 6= 0, esto es, m es de la forma n + 1 para algúnnatural n. Resumiendo, tenemos:

n < n+1 = m ∈ Ac.

Por minimalidad de m, necesariamente n 6∈ Ac, es decir, n ∈ A. Como A esinductivo, n + 1 ∈ A. Pero n + 1 = m ∈ Ac. Esto es una contradicción, puesningún elemento puede pertenecer a un conjunto y a su complemento. Estodemuestra que Ac es vacío, es decir, que A = N, como se quería.

( (b)→ (c) ) Supongamos que el principio de inducción es válido y demos-tremos el principio de inducción fuerte. Sea A⊆ N un conjunto tal que paratodo número natural n vale lo siguiente:

(∀k ∈ N : k < n→ k ∈ A)→ n ∈ A (∗)

Debemos concluir que A = N. Sea A = {n ∈N : 0, . . . ,n ∈ A}. En otras pala-bras, n ∈ A si y sólo si el conjunto {0, . . . ,n} está contenido en A.

Note que para n = 0 vale trivialmente que todo número natural k menorque 0 pertenece a A. La razón es que si esto fuera falso, entonces existiríaun natural k menor que cero que no pertenece a A, ¡pero sencillamente noexisten naturales menores que cero! Formalmente vale lo siguiente:

(∀k ∈ N : k < 0→ k ∈ A).

Por (∗) concluimos que 0 ∈ A, es decir, {0} ⊆ A, y por ende 0 ∈ A. Ahoraprobemos que A es un conjunto inductivo: sea n un natural tal que n ∈ A.Entonces 0, . . . ,n ∈ A. Por (∗) esto implica que n+1 ∈ A, y así 0, . . . ,n,n+1 ∈ A, es decir, n+1 ∈ A.

Como A es un conjunto inductivo que contiene al 0, concluimos, utilizandola hipótesis (esto es, el principio de inducción) que A = N. Pero A ⊆ A (verejercicio 1), luego N⊆ A. Como ya teníamos la otra inclusión, concluimos laigualdad, esto es, que A = N. Esto demuestra el principio de inducción fuerte.

( (c) → (a) ) Supongamos que el principio de inducción fuerte es válido ydemostremos el principio del buen orden. Observemos que para cualquierconjunto A⊆ N ocurre alguno de los siguientes dos casos:

2.3. DEFINICIONES POR RECURSIÓN 73

(i): Existe un n tal que para todo k < n, k ∈ Ac, y además n ∈ A: esto significaque todo elemento menor que n no pertenece a A, luego en este caso n es elmínimo de A.

(ii): No se da el caso (i): es decir, para todo n ∈N, si para todo k < n tenemosque k ∈ Ac, entonces n ∈ Ac: en este caso podemos utilizar directamente elprincipio de inducción fuerte para concluir que Ac = N, lo cual implica queA = ∅.

Si A no es vacío, el caso (ii) no puede ocurrir, luego necesariamente A debeposeer un elemento mínimo.

o

Vamos a suponer que el principio de inducción es verdadero (y por el teoremaanterior, también serán verdaderos el principio de inducción fuerte y el hecho deque el conjunto de los naturales es un buen orden). Una aplicación de tal principionos revela que los órdenes lineales finitos son siempre buenos órdenes:

Teorema 2.14. Todo orden lineal finito es un buen orden.

Prueba. Se demuestra mediante inducción en n = “número de elementos del or-den”. Los detalles los dejamos al lector (ejercicio 11). o

2.3. Definiciones por recursión

La operación factorial, ()!, es una función1 que a cada número natural n le n! : Factorial

asocia otro número, llamado n factorial (y denotado por n!). La definición es lasiguiente:

n! := n(n−1)(n−2) · · ·(3)(2)(1).

Además por convención 0! = 1. Por ejemplo, 1! = 1, y 4! = (4)(3)(2)(1) = 24.Una manera más formal de definir a la función factorial es recursivamente, esto

es, con un caso base, y un caso inductivo:

1. Definición “base”: Si n = 0, entonces n! = 1.

2. Definición “inductiva”: (n+1)! = (n+1)(n!).

1El concepto de función será definido con detalle en el capítulo 4. Por ahora diremos que unafunción es un objeto que transforma elementos de un conjunto en elementos de otro conjunto, comopor ejemplo la función α(x) = 2x, que transforma números en el doble de ellos.


El lector puede percatarse del parecido entre una definición recursiva y el prin-cipio de inducción.

Por ejemplo, para calcular 5!, vemos la definición, y concluimos que

5! = (4+1)! = (4+1)(4!) = (5)(4!).

Hemos reducido el problema de calcular 5! al de calcular 4!. Ahora,

4! = (3+1)! = (3+1)(3!) = (4)(3!).

3! = 3(2!).

2! = (2)(1!).

1! = (1)(0!).

Finalmente (gracias a que el conjunto de los números naturales es un buen orden)hemos llegado al 0, y por definición, 0! = 1. Pero entonces:

1! = (1)(1) = 1 , 2! = (2)(1!) = (2)(1) = 2

3! = (3)(2!) = (3)(2) = 6 , 4! = (4)(3!) = (4)(6) = 24,

y así, 5! = (5)(4!) = 5(24) = 120.Para definir una función R por recursión debe especificarse su valor en 0, y

después una descripción (o fórmula) de su valor en n+1, utilizando como recursoel valor de R en n. Veamos un ejemplo:

�� Ejemplo 2.15. Sea R la función definida recursivamente por R(0) =−3, yR(n+1) = n+R(n). Calcule los primeros cuatro valores que toma R.

Solución. Veamos:

Por definición, R(0) =−3.

R(1) = R(0+1) = 0+R(0) = 0+(−3) =−3.

R(2) = R(1+1) = 1+R(1) = 1+(−3) =−2.

R(3) = R(2+1) = 2+R(2) = 2+(−2) = 0.

o

2.3. DEFINICIONES POR RECURSIÓN 75

Las operaciones básicas de suma, producto y exponenciación en los númerosnaturales pueden ser definidas recursivamente (ejercicio 3). Por ejemplo, la funciónR(n) = 2n puede definirse recursivamente así:

R(0) = 1,

R(n+1) = 2R(n).

De esta forma por ejemplo, 23 = R(3)= (2)(R(2))= (2)(2)(R(1))= (2)(2)(2)R(0)=(2)(2)(2)(1) = 8.

Para el siguiente ejemplo es conveniente introducir una nueva notación parasumar varios números: la notación sigma. Por ejemplo, si queremos sumar cinco ∑ :Notación

sigmanúmeros a1,a2,a3,a4 y a5, al resultado de sumar estos números lo denotamos por∑

5i=1 ai. De este modo tenemos que:

5

∑i=1

ai = a1 +a2 +a3 +a4 +a5,

mientras que4

∑m=2

am = a2 +a3 +a4.

También, por ejemplo,5

∑k=2

k2 = 22 +32 +42 +52 = 54, y “la suma de los primeros

siete números impares” es exactamente7

∑n=1

(2n−1), o también ∑0≤ j≤6

2 j +1.


1. Escriba en notación sigma “la suma de los mayores seis impares nega-tivos”.

2. Calcule6

∑i=2

i(−1)i+2.

3. Demuestre que ∑5i=1(i+2) = ∑

7j=3 j.

Es natural que para demostrar ciertas propiedades de funciones definidas re-cursivamente sea necesario utilizar el principio de inducción matemática. Veamosun ejemplo:


�� Ejemplo 2.16. Demuestre que para todo n≥ 3,

n!≥ 0+ · · ·+n =n

∑i=0

i.

Solución. Debemos demostrar una propiedad para todos los números natura-les a partir de 3. Es fácil ver que podemos adaptar levemente el principio deinducción de modo que comencemos con el 3 como el caso base, y manteng-amos idéntico el paso inductivo (con la hipótesis adicional si se quiere quen≥ 3), para concluir que cierta propiedad es verdadera para todos los númerosnaturales mayores o iguales que 3. (En el ejercicio 17 se pide justificar lo an-terior).

Caso base: n = 3: 3! = 6≥ 0+1+2+3 = ∑3i=0 i.

Supongamos que n ≥ 3 es tal que n! ≥ ∑ni=0 i. Sumando n + 1 a ambos

lados, obtenemos:

n!+(n+1)≥n

∑i=0

i+(n+1) = 0+1+ . . .+n+(n+1)

Por otro lado,

(n+1)! = (n+1)n! = nn!+n!≥ 2n+n!≥ (n+1)+n!

(aquí hemos utilizado el hecho de que n≥ 3).

De las dos desigualdades anteriores concluimos

(n+1)!≥ 0+ · · ·+n+(n+1) =n+1

∑i=0

i,

como queríamos demostrar.

Gracias al principio de inducción (modificado levemente), concluimos quepara todo n≥ 3, n!≥ ∑

ni=0 i. o

2.4. ISOMORFISMO ENTRE ESTRUCTURAS ORDENADAS 77

2.4. Isomorfismo entre estructuras ordenadas

La noción de similaridad estructural o isomorfismo es central en matemáticas.En este caso nos restringiremos a isomorfismos entre dos órdenes lineales. La si-guiente definición es informal (y será precisada más adelante):

Definición 2.17 (Isomorfismo de órdenes lineales). Sean (A0,≤0) y (A1,≤1)dos órdenes lineales. Vamos a decir que estos órdenes son isomorfos (en símbolos,(A0,≤0)∼= (A1,≤1)) si existe una forma de emparejar a todos los elementos entreambos órdenes de modo que este emparejamiento preserve la estructura del orden.

Veamos un ejemplo:

�� Ejemplo 2.18. Sea A0 = 3N = {0,3,6, . . .} con su orden usual, y seaA1 = {1,3,5, . . .}, también con su orden usual. Veamos que estos órdenes sonisomorfos: para ello construimos el siguiente emparejamiento entre los ele-mentos de A0 y A1:

Note que tal emparejamiento preserva el orden: por ejemplo, en el conjuntoA0 se tiene que 6 ≤ 9, y consecuentemente al observar las parejas correspon-dientes de A1 (5 y 7 ), se mantiene el orden: 5≤ 7. Otra forma de expresar queel orden se preserva es que las líneas punteadas del anterior dibujo nunca secruzan.

Por ejemplo, dado z un entero, consideremos el conjunto

Z≥z := {n ∈ Z : n≥ z}.


Demostremos que (Z≥z,≤) ∼= (N,≤). Definimos el emparejamiento entre los ór-denes Z≥z y N por medio de la fórmula α(n) = n− z. Intuitivamente α es unatranslación de z unidades hacia la derecha o izquierda (dependiendo del signo dez). Verifiquemos que α es un isomorfismo:

Figura 2.1: En la figura se muestran dos estructuras ordenadas. Abajo, el 0 es el primerelemento. Arriba, el 0 es el tercer elemento. Sin embargo esto no impide que arriba y abajose presente la misma estructura.

Para a,b ∈ Z≥z : a < b si y sólo si a− z < b− z (pues sumar o restar lo mismoa ambos lados preserva el orden), si y sólo si α(a) < α(b).

El emparejamiento α nos enseña que el conjunto Z≥z junto con su orden es enesencia la estructura ordenada de los números naturales, pero con distintos nom-bres. En la figura 2.1 se ve el caso en el cual z =−2.

Veamos un ejemplo de dos órdenes que no son isomorfos:

�� Ejemplo 2.19. Sea A0 = Z y A1 = N, ambos conjuntos con su orden usu-al. Podemos afirmar que A0 y A1 no son isomorfos. La razón es que ningúnemparejamiento entre ambos conjuntos podrá preservar el orden: En cualquierdibujo que hagamos intentando emparejar ambos conjuntos resultarán líneaspunteadas que se crucen, y esto sucede fundamentalmente porque A0 no poseeun elemento mínimo, mientras que A1 sí lo posee. (Ver el dibujo abajo).

2.5. CONTEO UTILIZANDO INDUCCIÓN 79

El enfoque que le hemos dado a esta sección ha sido intuitivo e informal, refir-iéndonos a dibujos para justificar el hecho de que dos estructuras son o no isomor-fas. La definición formal de isomorfía entre estructural ordenadas es la siguiente:

Dados (A1,≤1), (A2,≤2) dos órdenes (no necesariamente lineales), diremosque estos son isomorfos, estructuralmente iguales o equivalentes (y lo notamos Isomorfismo

por (A1,≤1)∼= (A2,≤2)), si existe una función α de A1 en A2 tal que:

1. α es una biyección, esto es: para todo b ∈ A2, existe un único a ∈ A tal queα(a) = b, y

2. α es un homomorfismo (de órdenes), esto es: para todo par de elementosa1,a2 ∈ A, a1 ≤1 a2 si y sólo si α(a1)≤2 α(a2).

A la función α la llamamos un isomorfismo (de órdenes).El siguiente teorema nos dice que para cada n finito hay esencialmente un sóloorden lineal con n elementos:

Teorema 2.20. Dos órdenes lineales finitos son isomorfos si y sólo si sus con-juntos base poseen el mismo número de elementos.

Prueba. Se deja al lector (ejercicio 12). [Ayuda: La prueba de necesidad (direc-ción←) de este teorema se hace por inducción en n, el número de elementos de losconjuntos base.] o

2.5. Conteo utilizando inducción

El conteo en matemáticas intenta responder a preguntas como “cuántos objetosposeen cierta propiedad p”, o dicho de otro modo, “de cuántas formas distintas


podemos construir un objeto con cierta propiedad especial”. En esta sección ilus-traremos cómo la inducción matemática puede servirnos como herramienta paracontar.

Primero formalizamos (por inducción) la noción de que un conjunto posea nelementos, en donde n ∈ N:

Definición 2.21. Sea n ∈ N y A un conjunto. Definimos inductivamente la afir-mación A posee n elementos:

(n = 0) Diremos que A posee 0 elementos si y sólo si A = ∅.

Diremos que A posee n+1 elementos si y sólo si A 6= ∅, y para todo a ∈ A,A r{a} posee n elementos.

Definición 2.22. Diremos que un conjunto A es finito si existe n ∈ N tal queConjunto finito

A posee n elementos. Esto lo abreviamos así: |A| = n (se lee: “el cardinal de A esigual a n”). Si A no es finito, diremos que A es infinito.Conjunto

infinitoPor ejemplo, |{1,6}| = 2, |{1,2,2,4}| = 3 y |∅| = 0. Para demostrar que un

conjunto es infinito, debemos entonces demostrar que para todo n ∈N tal conjuntono posee n elementos. Veamos un ejemplo:

Teorema 2.23. Para todo n ∈ N vale lo siguiente: para todo k ∈ N,

|N≥k| 6= n

(en donde N≥k = {x ∈ N : x≥ k}).

Prueba. Demostramos el teorema mediante inducción en n:

n = 0: Sea k ∈ N: como k ∈ N≥k, entonces este conjunto no es vacío, luegopor definición |N| 6= 0.

Supongamos que la afirmación vale para n, esto es, que

∀k ∈ N, |N≥k| 6= n.

Demostremos que la afirmación vale para n + 1. Sea k ∈ N, y supongamos,buscando una contradicción, que |N≥k| = n + 1. Esto implica por la defini-ción 2.21 que |N≥k r{k}|= n. Pero

N≥k r{k}= {k +1,k +2, . . .}= N≥k+1.

Pero la hipótesis de inducción implica que |N≥k+1| 6= n, lo cual es una con-tradicción. Concluimos que |N≥k| 6= n+1.


o

Corolario 2.24. El conjunto N es infinito.

Prueba. Por el teorema 2.23 se tiene que para cada n, |N≥0| 6= n. Esto implica pordefinición que N≥0 es infinito. Pero claramente N≥0 = N. o

Veamos un ejemplo de un problema de conteo:

�� Ejemplo 2.25. Se disponen de 5 letras {a,b,c,d,e}, y se quieren escogerexactamente dos de ellas. ¿Cuantas elecciones distintas tenemos para haceresto?

Solución. Lo primero que hacemos es plantear el problema en términosmatemáticos: la pregunta formulada es esencialmente la siguiente: cuántossubconjuntos del conjunto B = {a,b,c,d,e} poseen exactamente 2 elemen-tos? A estos conjuntos los llamaremos 2-conjuntos. Sea P2(B) el conjunto detodos los X ⊆ B tales que B es un 2-conjunto, esto es:

P2(B) := {X ∈P(B) : |B|= 2}.

Listemos a todos los elementos de P2(B):

{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},

{b,c},{b,d},{b,e},

{c,d},{c,e},

{d,e}.

Entonces de todos los subconjuntos de B hay exactamente 1+2+3+4 = 10 2-conjuntos. Como P(B) posee 25 = 32 subconjuntos, podemos entonces decirque si tomamos un subconjunto de B al azar (suponiendo que cada uno tiene lamisma probabilidad de ser elegido), entonces la probabilidad de que éste seaun 2-conjunto es de 10/32 (aproximadamente 31 por ciento). o

Para contar el número de objetos que poseen cierta propiedad es convenienteimaginar que se está construyendo un objeto típico con tal propiedad por pasos oetapas, y es precisamente en este aspecto que las definiciones por recursión consti-tuyen una poderosa herramienta para responder a preguntas sobre conteo.


Supongamos por ejemplo que estamos interesados en contar el número de sub-conjuntos de A = {a,b,c,d,e, f} que son 2-conjuntos. Sea B = {a,b,c,d,e} (unconjunto más simple que A). Es claro que todo subconjunto de B es un subconjun-to de A, luego podemos contar los subconjuntos de A que son 2-conjuntos de lasiguiente forma:

“No. de 2-conj. que son subconj. de A” = “No.de 2-conj. que son subconj. de B +“No. de 2-conj. que no son subconj. de B”.

Este enfoque es conveniente porque en el ejemplo 2.25 ya hemos calculado el“No. de 2-conj. que son subconj. de B”. Nos falta calcular el “No. de 2-conj. que noson subconj. de B”: un objeto de este tipo necesariamente será de la forma {x, f},con x ∈ A, y es fácil ver que existen exactamente 5 objetos con esta propiedad:

{a, f},{b, f},{c, f},{d, f},{e, f}.Por ende,

|P2(B)|= (1+2+3+4)+5 = 15.

Como el lector puede anticipar, a partir de un razonamiento análogo podremosconcluir que si A = {a,b,c,d,e, f ,g}, entonces

“No. de 2-conj. que son subconj. de A” = (1+2+3+4+5)+6 = 21.

Es razonable hacer entonces la siguiente conjetura general: para todo n > 1se tiene que si un conjunto A posee n elementos (con n > 1), entonces A posee1+2+ · · ·+(n−1) subconjuntos que son 2-conjuntos. Demostrémosla utilizandoinducción matemática:

Teorema 2.26. Para todo n ∈ N con n > 1, si |A|= n, entonces

|P2(A)|= 1+ · · ·+(n−1).

Prueba. Hacemos inducción en n:

1. Caso base (n = 2): si |A|= 2, entonces el único subconjunto de A que es un2-conjunto es A mismo, luego la propiedad se verifica (pues n−1 = 1).

2. Paso inductivo: supongamos que la propiedad vale para n, y demostrémoslapara n+1. Debemos demostrar que si un conjunto A cumple que |A|= n+1,entonces A posee 1 + · · ·+ ((n + 1)− 1) = 1 + · · ·+ n 2-conjuntos. Sea Aun conjunto con |A|= n+1, A = {a1,a2, . . . ,an,an+1}. Sea B = Ar{an+1}.Queremos contar a los subconjuntos de A que son 2-conjuntos. Estos se di-viden en dos:


a) Los subconjuntos de B que son 2-conjuntos: hay 1 + 2 + . . .+(n− 1)de ellos (esto lo tenemos por hipótesis de inducción, ya que |B|= n), y

b) Los subconjuntos de A que son 2-conjuntos y no son subconjuntos deB: para que un conjunto X cumpla que X ⊆ A y X 6⊆ B, debe ocurrirque an+1 ∈ X . Por ende, los conjuntos que estamos considerando aquíserán de la forma X = {x,an+1}, con x∈B. De estos habrá uno por cadaelemento x ∈ B; como |B|= n, concluimos que hay n subconjuntos deA que son 2-conjuntos y no son subconjuntos de B.

Sumando obtenemos que A posee (1 + . . .+(n− 1))+ n = 1 + . . .+ n sub-conjuntos que son 2-conjuntos

o

Como corolario2 obtenemos el siguiente resultado:

Corolario 2.27. Para n > 1, si |A|= n, entonces |P2(A)|= n(n−1)/2.

Prueba. Es una consecuencia inmediata del teorema 2.26 y el ejemplo 2.10. o

Como nos hemos dado cuenta, el razonamiento inductivo es útil para formularuna conjetura (ver comentarios previos al teorema 2.26), y también para intentardemostrarla. Obviamente es común formular conjeturas razonables que resultansiendo falsas (hasta los mejores matemáticos han creído que ciertas afirmacionesson verdaderas hasta que se descubre un contraejemplo para ellas). Aquellas con-jeturas que pueden demostrarse dejan de ser conjeturas y se convierten en teoremas(como es el caso del teorema 2.26).

En el anterior orden de ideas, podemos afirmar que en general el razonamientoinductivo es un método de descubrimiento (o formulación de hipótesis), y tambiénun método de fundamentación (o demostración de teoremas).

Teorema 2.28. Para todo número natural positivo n, el número de formas distin-tas de ordenar linealmente un conjunto de n elementos es n!.

Prueba. Demostramos el resultado por inducción en n. Caso base: n = 1: Sea A unconjunto con un elemento. Entonces claramente hay una única forma de ordenarlinealmente a A, luego el resultado es válido. Paso inductivo: Supongamos que elresultado es cierto para n y demostrémoslo para n +1: sea A un conjunto de n +1elementos, A = {a1,a2, . . . ,an,an+1}. Sea B = Ar{an+1}. Por hipótesis de induc-ción hay n! formas distintas de ordenar linealmente a B. Consideremos cualquiera

2Un corolario es básicamente un teorema que es una consecuencia directa de uno o varios teo-remas. La distinción entre un lema, un teorema y un corolario es subjetiva y en realidad todos sonproposiciones matemáticas verdaderas que poseen una demostración.


de estos órdenes, en donde ai1 < ai2 < · · · < ain . Este orden lo podemos extendera un orden lineal sobre A de n + 1 formas distintas, según ubiquemos a an+1 conrespecto al orden previo, que son las siguientes:

an+1 < ai1 < ai2 < · · ·< ain ,

ai1 < an+1 < ai2 < · · ·< ain ,

· · · ,

ai1 < ai2 < · · ·< an+1 < ain ,

ai1 < ai2 < · · ·< ain < an+1.

Además es fácil ver que cualquier orden lineal sobre A se puede construir dela forma recién descrita, es decir, a partir de un orden lineal sobre B. Resumiendotenemos n! distintos órdenes lineales sobre B, y por cada uno de ellos, n+1 formasde ubicar a an+1. Por consiguiente, el número de formas para ordenar linealmentea A será exactamente igual a

(n+1)+(n+1)+ · · ·+(n+1)︸︷︷︸n! veces

= (n+1)n! = (n+1)!,

como queríamos demostrar. o

�� Ejemplo 2.29. Calcule de cuántas formas distintas pueden hacer una filacinco personas.

Solución. Sea A = {a1,a2,a3,a4,a5} el conjunto de las cinco personas. Unafila de estas cinco personas consiste esencialmente en ordenar linealmente a A.Por consiguiente habrá tantas filas como órdenes lineales sobre A, esto es, 5! =120. Podemos representar a tales filas como elementos de A5 que no repitansus entradas. Veamos algunos ejemplos:

(a1,a4,a3,a5,a2),

(a4,a1,a3,a2,a5),

(a3,a2,a1,a5,a4), etcétera.

o


Teorema 2.30. Sea A un conjunto tal que |A| = n, y sea k ∈ N∗. Entonces elconjunto Ak := {(a1,a2, . . . ,ak) : a1,a2, . . . ,ak ∈ A} posee nk elementos.

Prueba. Se deja al lector (ejercicio 27). o

Supongamos que disponemos de los números {1,2, . . . ,n}, y queremos extraera k de ellos (donde 1≤ k≤ n) para construir un orden lineal. De esta forma ¿cuántosórdenes lineales podemos hacer? Un razonamiento informal es el siguiente:

1. Para elegir el primer elemento del orden tenemos n posibilidades distintas,

2. Para elegir el segundo elemento del orden tenemos n− 1 posibilidades dis-tintas (pues ya hemos elegido un elemento),

3. Para elegir el tercer elemento del orden tenemos n−2 posibilidades distintas(pues ya hemos elegido dos elementos),

...

k. Para elegir el k-ésimo elemento del orden tenemos (n−(k−1)) posibilidadesdistintas (pues ya hemos elegido k−1 elementos)

Por ende el número de órdenes lineales de tamaño k construidos a partir de unconjunto de n elementos será el producto de las anteriores posibilidades, esto es :

n(n−1)(n−2) · · ·(n− k +1) =n!

(n− k)!.

Note que si A es un conjunto con n elementos y 0 < k ≤ n, entonces elegir unorden lineal de k elementos a partir de elementos de A es esencialmente elegir unak-tupla (a1,a1, . . . ,ak)∈ Ak tal que todos los ai sean distintos. Al conjunto de todasestas tuplas lo llamamos A!(k):

A!(k) := {(a1, . . . ,ak) ∈ Ak : para s 6= t, as 6= at}.

Teorema 2.31. Sean n,k ∈ N con 0 < k ≤ n. Entonces el conjunto A!(k) poseen!

(n−k)! elementos.


No es difícil ver que el teorema 2.28 es en realidad un corolario del teorema2.31 (tomando k = n).

A continuación resumimos algunos de los principales hechos fundamentalessobre conteo:


Teorema 2.32 (Resumen de conteo). Sean n,k ∈ N∗, y sea A un conjunto talque |A|= n. Entonces:

(a) |Ak|= nk.

(b) (k ≤ n) |A!(k)|= n!(n−k)! .

(c) El conjunto A puede ser ordenado linealmente de n! formas distintas (enotras palabras, |A!(n)|= n!).

(d) |P(A)|= 2n.

(e) |P2(A)|= n(n−1)/2.

Prueba. Las partes (a), (b), (c) y (e) del teorema ya han sido discutidas en estasección. La parte (d) se demostró en el ejercicio 23 del capítulo 1 mediante larepresentación de un subconjunto como una tupla de ceros y unos, y también puedeser demostrada mediante inducción (ejercicio 30). o




Para más sobre el principio del buen orden e inducción matemática, consultar[7], secciones 2.4 y 2.5; [5], Sección 1.6; [10], sección 2.7; [4], sección 19.

Para una exposición más general sobre buen orden e inducción, consultar[2], secciones 2.1 y 2.2.

Para una introducción formal al conjunto de los números naturales, consultar[3], capítulo 3(2).

Para una exposición axiomática de los naturales (axiomas de Peano), consul-tar [5], Secciones 1.1 a 1.4.

Para más sobre conteo y recurrencia, consultar [10], capítulo 3.


2.6. / Ejercicios


1. Dado un conjunto A⊆ N, sea A = {n ∈ N : 0, . . . ,n ∈ A}.

a) Demuestre que A⊆ A.

b) Demuestre que si A es no vacío y no posee máximo, entonces A = N.

c) Si A = {2n : n ∈ N}, calcule A.

2. Para cada una de las siguientes afirmaciones p(n), determine el mínimonúmero natural n0 (si es que éste existe) tal que la propiedad es verdaderapara todo n ∈ N tal que n≥ n0:

(a) p(n) : “2n > 7”.

(b) p(n) : “Si n > 3, entonces n > 2”.

(c) p(n) : “n2 ≤ 100”.

(d) p(n) : “n2−n≥ n”.

(e) p(n) : “Todo conjunto con n elementos posee siempre más de n sub-conjuntos”.

(f) p(n) : “2+2 = 4”.


3. Sea S(n) = n+1 (n ∈ N) (S es llamada la función sucesor).

a) Dado m un natural, defina recursivamente la función “sumar m” fm(n)=m+n (para esto utilice la función sucesor).

b) Utilizando la función fm, ¿cómo definiría recursivamente la función“producto por m” pm(n) = mn?

4. Para cada i ∈ N, sea ai un número real.

a) Defina recursivamente la función g(n) = ∑ni=0 ai = a0 +a1 + · · ·+an.

b) Exprese la función s(m,n) = ∑ni=m ai (m≤ n), en términos de g.

ENTRADAS

5. Demuestre que para todo número natural n, se cumplen las siguientes afir-maciones:

a) Si n≥ 1 entonces ∑nk=1 kk! = (n+1)!−1.

b) Si n > 0, entonces 12 +22 + . . .+n2 =n(n+1)(2n+1)

6.

c) Si n > 0, entonces 13 +23 + . . .+n3 = (1+2+ . . .+n)2.

d) Si n≥ 2 entonces n2 ≥ n+1.

e) Si n≥ 4 entonces n2 ≤ n!.

f ) 5n+1 tiene un 5 como último dígito.

g) 1+nh≤ (1+h)n (h ∈ R,−1 < h < ∞).

h) (1)(2)+(2)(3)+ · · ·+(n)(n+1) =n(n+1)(n+2)

3.

i) (1)(1!)+(2)(2!)+ · · ·+(n)(n!) = (n+1)!−1.

j)1

(1)(3)+

1(3)(5)

+ · · ·+ 1(2n−1)(2n+1)

=n

2n+1.

k)1

22−1+

132−1

+ · · ·+ 1(n+1)2−1

=34− 1

2(n+1)− 1

2(n+2).

l) Si n > 1, n! < nn.

m) |x1 + x2 + . . .+ xn| ≤ |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn| (x1,x2, . . . ,xn ∈ R).

n) Si n > 0 entonces√

n≤ ∑ni=1 1/

√i.

ñ) Si n > 0 entonces 1+3+ · · ·+(2n−1) es un cuadrado perfecto.

o) Si n > 0 entonces 4 es un divisor de 32n−1 +1.


6. Demuestre por inducción matemática que para todo n > 0 y dados conjuntosA1, . . . ,An valen las siguientes igualdades:

(a) (A1∩A2∩·· ·∩An)c = Ac1∪Ac

2∪·· ·∪Acn.

(b) (A1∪A2∪·· ·∪An)c = Ac1∩Ac

2∩·· ·∩Acn.

7. Sean A1,A2, . . .An conjuntos. Demuestre que A14A2 · · ·4An = Sn, en donde

Sn = {x : x pertenece a un número impar de los conjuntos A1,A2, . . .An }.

En otras palabras, demuestre que para cualquier x, x ∈ A14A2 · · ·4An si ysólo si el conjunto {i : 1≤ i≤ n,x ∈ Ai} posee un número impar de elemen-tos.

8. ¿Si (A,≤) es un buen orden, y B ⊆ A, es necesariamente (B,≤) un buenorden? ¿Por qué?

9. Sea A⊆ R.

(a) Si A es un buen orden, ¿necesariamente A posee un mínimo? ¿Por qué?

(b) Si A posee un mínimo, ¿necesariamente A es un buen orden? ¿Por qué?

(c) Encuentre A⊆ [0,1] tal que A sea un buen orden infinito.

10. Dado un orden lineal O = (A,≤), defina el orden inverso de O como el orden(A,≤−1), en donde dados a,b ∈ A, a≤−1 b si y sólo si b≤ a. Demuestre lassiguientes afirmaciones:

a) (N,≤−1) no es un buen orden.

b) (Z−,≤−1) es un buen orden.



13. Demuestre que para todo n ∈ N, si A y B son conjuntos tales que A⊆ B y Ay B poseen n elementos, entonces A = B.

PLATOS FUERTES

14. Dados a,b ∈ Z, diremos que a es divisible entre b (o a es múltiplo de b) sib 6= 0 y a es de la forma xb, con x ∈ Z. Demuestre que para todo n ∈ N valeque:


a) n3−n es un múltiplo de 6.

b) an = 22n+1 +1 es divisible entre 3.

c) an = 11n−4n es divisible entre 7.

d) an = 9n−1 es múltiplo de 8.

e) Si n es un impar positivo, entonces 2n es divisible entre 8.

f ) Si n > 0 entonces 11n+1 +122n−1 es múltiplo de 133.

g) 7 divide a 8n−1.

h) 52n+1 +1 es divisible entre 6.

i) 3n +7n−2 es divisible entre 8.

15. Demuestre que si n ∈ N y 0 < n < 41 entonces n2 + n + 41 es un númeroprimo.

16. Para cada par de estructuras ordenadas, determine si ellas son isomorfas entresí. En caso afirmativo, dibuje un emparejamiento entre ellas; en caso negati-vo, provea una razón contundente por la cual no puede existir un isomorfismoentre ellas).

(a) ( {2,5,9},≤ )?∼= ( {−1,

√2,100},≤ )

(b) ( {1,2,3,6},≤ )?∼= ( {−2,5,8,12,15},≤ )

(c) ( {1,2,3},≤ )?∼= ( N,≤ )

(d) ( N,≤ )?∼= ( 5N,≤ )

(e) ( Z,≤ )?∼= ( N,≤ )

( f ) ( Z−,≤ )?∼= ( {a ∈ Z : a≤ 9},≤ )

(g) ( Z+,≤ )?∼= ( Z−,≤ )

(h) ( R+,≤ )?∼= ( R−,≤ )

(i) ( Z,≤ )?∼= ( Q,≤ )

( j) ( Q,≤ )?∼= ( R,≤ )

17. Sea p una propiedad, y suponga que

a) p(3) es verdadera, y

b) para todo número natural n, si p(n) es verdadera, entonces p(n + 1)también lo es.


Demuestre que entonces p(n) es verdadera para todo n≥ 3. [Ayuda: Razonepor contradicción, y utilice el hecho de que N es un buen orden.] [Ayuda 2:Sea A = {n ∈ N : p(n+3) es verdadera }. Demuestre que A = N.]

18. Dado un número entero z, sea Iz el siguiente principio:

Principio 2.33 (Iz). Sea A⊆ Z≥z tal que z ∈ A y para todo n, n ∈ A implican+1 ∈ A. Entonces A = Z≥z.

Demuestre que para todo z entero, Iz es equivalente a I0 (¡note que I0 es elprincipio de inducción!).

19. Utilizando el principio del buen orden demuestre que si ∅⊂ A⊆ Z y A estáacotado superiormente (esto es, existe c ∈ Z tal que para todo a ∈ A a ≤ c),entonces A posee un elemento máximo.

20. Demuestre que si (A1,<1) ∼= (A2,<2), entonces (A1,<1) es un buen ordensi y sólo si (A2,<2) es un buen orden [en otras palabras, la propiedad ser unbuen orden es una propiedad estructural.]

21. Dado un orden lineal (A,<) con un elemento mínimo (llamémoslo 0 porcomodidad), formule el principio de inducción fuerte para A, y demuestre (sies que es cierto) que este principio es equivalente a decir que (A,<) es unbuen orden.

22. Dado un conjunto A, sea A+ = A∪{A}. Diremos que un conjunto I es induc-tivo si para todo X ∈ I, X+ ∈ I. Definimos el conjunto ω así:

ω := {x : x ∈ I para todo conjunto inductivo I tal que ∅ ∈ I}.

a) Demuestre que ∅ ∈ ω .

b) Demuestre que ω es un conjunto inductivo.

c) Demuestre que ω cumple con el principio de inducción: para todo A⊆ω , si ∅ ∈ A y A es inductivo, entonces A = ω .

23. Hasta ahora habíamos manejado una noción intuitiva e informal sobre losnúmeros naturales. Ahora podemos definir al conjunto N de los númerosnaturales así: N := ω (ver la definición de ω en el ejercicio anterior). Ademásdefinimos:

0 := ∅(∈ ω).

Si n ∈ ω , n+1 := n+ = n∪{n} ∈ ω .


Por ejemplo 1 = 0+1 = 0+ = 0∪{0}= ∅∪{∅}= {∅}. 2 = 1+ = 1∪{1}={∅}∪{{∅}} = {∅,{∅}}. ¡En general n será un conjunto “con n elemen-tos”! Por la parte (c) ejercicio anterior, el principio de inducción matemáticaes realmente un teorema y no un axioma.

a) Escriba explícitamente los primeros seis números naturales (estos sonconjuntos).

b) Demuestre por inducción que para todo número natural n > 0, n ={0, . . . ,n− 1} (de modo que todo número natural es subconjunto deN).

c) Demuestre que para todo n ∈ N,n⊆P(N).

24. Definimos el orden < en ω así: n < m si y sólo si n ∈m (note que según estadefinición se tiene que n < n+1, pues n ∈ n∪{n}= n+ = n+1).

a) Demuestre por inducción que el orden definido es irreflexivo y transi-tivo.

b) Diremos que n ≤ m si y sólo si (n < m o n = m). Demuestre que ≤ esantisimétrico (utilice inducción matemática).

c) Demuestre que las relaciones≤ y⊆ coinciden en N, es decir, que dadosnúmeros naturales n y m, n≤ m si y sólo si n⊆ m.

25. Para cada n, sea Cn el número de formas distintas de dividir a una región dedimensiones 2×n en distintas regiones rectangulares de dimensiones 2×1.En la figura se ilustra el caso para n = 3.

Figura 2.2: Caso n = 3: Cn = 3.


a) Si n > 2, encuentre una fórmula recursiva para Cn en términos de al-gunos valores de Ck (k < n).

b) Demuestre que la fórmula encontrada en (a) es válida.

c) Demuestre que para todo n ∈ N∗, C3n−1 es un número par.

d) Demuestre que para todo n ∈ N∗, C3n−1 es un múltiplo de 3.

26. Un triominó es una figura construida a partir de tres cuadrados de 1× 1,unidos como muestra la figura:

Demuestre que cualquier tablero de 2n×2n (n ∈ N∗) puede ser cubierto ex-actamente con un cuadrado de 1×1 junto con uno o más triominós.



29. Demuestre que para cada n ∈ N, n rectas en posición general (esto es, endonde ningún par de ellas son paralelas y no hay tres de ellas que pasen porel mismo punto) dividen al plano en 1+n(n+1)/2 regiones.

30. Demuestre por inducción matemática que para cada n ∈ N, si A es un con-junto tal que |A|= n, entonces |P(A)|= 2n.

31. Sea n ∈ N, n > 0. Supongamos que disponemos de 5 colores distintos paracolorear una bandera de n “casillas”, de modo que casillas adyacentes seancoloreadas de distintos colores. En términos de n ¿cuántas banderas distintaspodemos construir? Demuestre el resultado que propuso utilizando induc-ción matemática. (aquí el orden importa: para n = 3, por ejemplo, la bandera[Verde|Blanco|Naranja] es distinta de la bandera [Naranja|Blanco|Verde]. )

32. Consideremos la siguiente figura: En ella se encuentran tres estacas, y en lade la izquierda hay n discos de distintos tamaños, en donde los más grandesse ubican más abajo. Queremos trasladar todos los discos a la estaca de laderecha, mediante movimientos de discos de una estaca a otra, obedeciendocon las siguientes reglas:


Figura 2.3: La torre de Hanioi (se ilustra el caso n = 8).

Podemos mover un disco siempre y cuando éste no tenga otro(s) dis-co(s) sobre él.Podemos mover un disco hacia una nueva estaca siempre y cuando nohayan discos más pequeños que él en esta estaca.Cuando movemos un disco de una estaca a otra, tal disco quedará enci-ma de todos los discos (posiblemente ninguno) de la estaca.

a) Si n = 3, calcule el mínimo número de movimientos de discos que senecesitan para trasladar los 3 discos a la estaca de la derecha.

b) Para cada n, sea f (n) el mínimo número de movimientos de discos quese necesitan para trasladar n discos a la estaca de la derecha. Encuentreuna fórmula para f (n) en términos de n y demuestre que para todo nesta fórmula es válida.

Para más información, consultar: http://www.mazeworks.com/hanoi/

33. Una pulga puede avanzar mediante dos tipos de saltos: uno que la hace avan-zar 2 cm, y otro que la hace avanzar 5 cm. Demuestre que para todo n ∈ Ncon n > 4, la pulga puede moverse exactamente n cm a partir de varios saltos.

34. Una pulga puede avanzar mediante dos tipos de saltos: uno que la hace avan-zar 5 cm, y otro que la hace avanzar 7 cm. Demuestre que para todo n ∈ Ncon n > 23, la pulga puede moverse exactamente n cm a partir de variossaltos.

35. Demuestre que si en un país (visto como un conjunto finito de ciudades) setiene que para cada par de ciudades distintas existe un único camino de unasóla vía que las une, entonces es posible construir una ruta a partir de estoscaminos que pase por cada ciudad exactamente una vez.

CAPÍTULO 3

DIVISIBILIDAD: LOS NÚMEROSENTEROS

Es tiempo de los relojes...

97

98 CAPÍTULO 3. DIVISIBILIDAD: LOS NÚMEROS ENTEROS

El orden usual sobre el conjunto de los números enteros se encuentra íntima-mente relacionado con la operación de la suma: a≤ b si y sólo si existe un númeroentero e≥ 0 tal que a+ e = b. Intuitivamente a es menor o igual que b pues puedeevolucionar (al sumarse con e) y convertirse en b, que representa un ente más com-plejo. Por ejemplo, 2≤ 7 ya que existe e≥ 0 tal que 2+e = 7 (basta tomar e = 5).

En este capítulo estudiamos la teoría de una relación en los enteros, llamadala relación divide a. Esta relación es evolutiva (en el mismo orden de ideas delpárrafo anterior), pero con respecto a la operación de multiplicación. Por ejemplo,el 2 puede evolucionar con la suma para convertirse en 7, y por ende 2 ≤ 7; sinembargo el 2 no puede hacer lo mismo con el producto (pues ningún número enteroe verifica que 2e = 7). Por ende diremos que 2 no divide al 7, o no es un divisorde 7. Por otra parte, por ejemplo, el 3 puede evolucionar y convertirse en 12 almultiplicarse por e = 4, luego diremos que 3 es un divisor de 12.

Más adelante estudiamos la llamada relación de congruencia módulo n entrenúmeros enteros, y a partir de ella definimos una estructura numérica llamada Zn,la estructura de los enteros módulo n.

3.1. Conceptos fundamentales, el algoritmo de la división

Definición 3.1 (Relación divide). Dados a,b ∈ Z, decimos que a divide a b1 (yescribimos a|b) si y sólo si a 6= 0 y existe e ∈ Z tal que ae = b. Si a no divide a b,| : Divide

escribiremos a 6 | b.

Dados a,b ∈ Z, decimos que a es un divisor de b (o equivalentemente que b esDivisor

un múltiplo de a) si a|b. Por ejemplo, 3 es un divisor de 30 (tomamos e = 10), 4 esMúltiplo

un divisor de −8 (tomamos e = −2), −12 es un múltiplo de −4 (tomamos e = 3)y por definición, para cualquier entero a tenemos que a no es un múltiplo de 0.

La primera observación importante es que toda la información de la relacióndivide “se encuentra completamente” en el conjunto de los números enteros nonegativos (es decir, en N). Por ejemplo, la respuesta a la pregunta ¿divide −4 a−326? será la misma a la pregunta ¿divide 4 a 326? En general tenemos:

Lema 3.2. Sean a,b ∈ Z. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) a|b.

(b) −a|b.

(c) −a|−b.

1No confundir con la expresión “a dividido b” = a/b.

3.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES, EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN99

(d) a|−b.

(e) |a| | |b|.


Las siguientes son algunas de las propiedades básicas de la relación divide:

Teorema 3.3. Dados a,b,c ∈ Z tenemos que:

(a) 1|a.

(b) Si a 6= 0, entonces a|a.

(c) Si b 6= 0 y a|b, entonces |a| ≤ |b|.

(d) Si a|b y b|a, entonces |a|= |b|.

(e) Si a|b y b|c, entonces a|c.

(f) Si c|a y c|b, entonces c divide a cualquier combinación lineal (entera) entrea y b [una combinación lineal entre a y b es un número de la forma xa+yb, Combinación

linealcon x,y ∈ Z.

Prueba.

(a) Dado que 1a = a, entonces existe e ∈ Z (e = a) tal que 1e = a.

(b) Tomamos e = 1 (a1 = a). Como a 6= 0, entonces por definición concluimosque a|a.

(c) Sea e ∈ Z tal que ae = b. Entonces |a||e|= |b|. Como b 6= 0, entonces e 6= 0,luego 1 ≤ |e|. Multiplicando a ambos lados por |a| (ya que |a| es un enterono negativo, se mantiene la desigualdad) obtenemos que |a| ≤ |a||e|= |b|.

(d) De las hipótesis deducimos que a,b 6= 0. Esto junto con (c) implica que |a| ≤|b| y |b| ≤ |a|, luego por la antisimetría de ≤ concluimos que |a|= |b|.

(e) Sean e, f números enteros tales que ae = b y b f = c. Entonces c = b f =(ae) f = a(e f ), luego por definición a|c (notemos que a 6= 0 pues a|b).

(f) Sean k, l números enteros tales que ck = a y cl = b. Entonces xa + yb =x(ck)+ y(cl) = ce (en donde e = xk + yl ∈ Z), luego c|(xa+ yb).

o


Corolario 3.4. Sean n,a1,a2, . . . ,ak,x1,x2, . . . ,xk ∈ Z. Supongamos que para ca-da i con 1≤ i≤ k tenemos que n divide a ai. Entonces n divide al número entero

k

∑i=1

xiai = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xkak.


La relación divide no es un orden parcial en Z: no es reflexiva (pues 0 6 |0) ni esantisimétrica (por ejemplo 2|−2 y−2|2, pero 2 6=−2). Sin embargo, en el conjunto

N∗ = Nr{0}= {1,2,3, . . .},

la relación divide es un orden parcial:

Corolario 3.5. La estructura ordenada (N∗, |) es un orden parcial.

Prueba. La reflexividad, simetría y transitividad valen respectivamente por laspartes (b), (d) y (e) del teorema 3.3. o

¿Cómo podemos representar gráficamente al orden | en N∗? Éste ya no será unorden total como lo es ≤: por ejemplo 5 6 | 6 y 6 6 | 5. Esto significa que no podemosrepresentar el orden divide mediante una línea (como ocurre en el caso de la estruc-tura (N,≤)). Una idea para representar mediante un dibujo a la estructura (N∗, |) esla siguiente: ubicamos al 1 en el centro del dibujo, y después consideramos a todoslos números n ∈N∗ que poseen exactamente dos divisores positivos: tales númerosson: 2, 3, 5, etcétera. A tales números, que llamamos primos (ya que ellos son losprimeros elementos en nuestro dibujo después del 1), los ubicamos en el borde deun círculo alrededor de 1. Para indicar la relación que queremos representar, dibu-jamos flechas que salgan del 1 y apunten hacia todos los números primos (ya que1 divide a todos los números enteros).

El proceso anterior tiene la ventaja de que sabemos que, por ejemplo, entre 1y 5 no habrá que dibujar elementos. La razón es que además de 1 y 5 no existennúmeros naturales n tales que 1|n y n|5. Si queremos prolongar esta idea, debe-mos considerar ahora a todos los números n que poseen exactamente tres divisorespositivos. Construimos entonces un segundo anillo con estos números y dibujamosflechas desde cada número primo p hacia sus correspondientes múltiplos n (estoes, aquellos tales que p|n) en el segundo anillo.

En la figura 3.1 ilustramos de forma aproximada la construcción que hemospropuesto (esto es, sin dibujar todas las flechas posibles). A medida que los númerosaumentan en complejidad (esto es, su número de divisores), necesitamos dibujar


Figura 3.1: El orden “divide” sobre el conjunto N∗. Cada flecha de n a m sig-nifica que n divide a m (por supuesto hacen falta muchas flechas por dibujar).Una programa útil para determinar si un número es primo se puede encontrar en:http://www.mste.uiuc.edu/html.f/resource/prime.html


cada vez más círculos y flechas, lo cual complica enormemente el dibujo (pense-mos por ejemplo en el número de divisores positivos de 360; no es por casualidadni por una razón estética que un círculo posea 360 grados, en vez de, por ejemplo,359).

El algoritmo de la divisiónCuando un número entero d distinto de 0 no divide a otro entero a, al menospodemos encontrar una aproximación a la división. Por ejemplo, si queremos repar-tir a = 30 alfajores de forma equitativa a d = 7 duendes, podemos darle e = 4 dul-ces a cada duende y quedarnos con r = 2 alfajores (el residuo). En otras palabras,encontramos dos números e y r tales que a = de+ r (esto es, 30 = 7(4)+2). El si-guiente teorema nos dice que siempre podemos hacer lo anterior, con a,d númerosenteros (no necesariamente naturales), y de forma que r sea un número naturalestrictamente menor que |d| (en el caso de los alfajores, esta última condición setraduce en justicia para con los duendes, ya que si el residuo fuera mayor o igualque el número de duendes, entonces podríamos entregarle al menos un alfajor mása cada uno de ellos).

El siguiente teorema generaliza el ejemplo anterior y es fundamental en lateoría de números:

Teorema 3.6 (Algoritmo de la división). Dados a,d ∈ Z con d 6= 0, existenAlgoritmo de ladivisión números enteros únicos e y r tales que

a = de+ r, con 0≤ r < |d|.

El número r es llamado el residuo que resulta al dividir a entre d o el residuo de amódulo d, y se denota así: Resd(a).Resd(a) :

ResiduoPrueba. Sea R el siguiente conjunto:

R = {a−de : e ∈ Z,a−de≥ 0}.

Es fácil ver que x ∈ R si y sólo si a = de+ x para algún e ∈ Z y x≥ 0. ClaramenteR⊆N, y además es un conjunto no vacío (¿por qué?), luego por el P.B.O. (principio2.4), éste debe poseer un elemento mínimo, que llamaremos r. Entonces existee ∈ Z tal que r = a−de, y por ende a = de + r. Claramente r ≥ 0. Veamos ahoraque r < |d|:

Como r−|d|< r (pues d 6= 0), por minimalidad tenemos que r−|d| 6∈ R. Peror = a−de, entonces r−|d|= a−de−|d|= a−d(e±1), así que necesariamenter−|d|< 0 (o de lo contrario r−|d| pertenecería a R), luego r < |d|.

Hemos demostrado la existencia de e y r con las propiedades deseadas. Parademostrar que éstos son únicos con respecto a tales propiedades, supongamos que


existen e′,r′ ∈ Z tales que a = de′+ r′ con 0 ≤ r′ < |d|. Entonces de + r = a =de′+ r′. Hay dos casos (según quién sea mayor entre r y r′):

(i) r ≤ r′: como de + r = de′+ r′, entonces d(e− e′) = r′− r ≤ r′ < |d| (lapenúltima desigualdad vale dado que r ≥ 0). Como d(e− e′) = r′− r ≥ 0,concluimos que

|d||e− e′|= d(e− e′) < |d|,

luego |e− e′| < 1, pero el único número natural menor que 1 es 0, así que|e− e′| = 0, y esto implica que e = e′. Además tenemos que r = a− de =a−de′ = r′.

(ii) r′ ≤ r: razonamos de forma análoga a como hicimos en (i) para concluirque e = e′ y r = r′.

En cualquier caso concluimos que e = e′ y r = r′. o

�� Ejemplo 3.7. Algunos ejemplos del algoritmo de la división (esto es, deexpresiones de la forma a = de+ r, con d 6= 0 y 0≤ r < |d|):

1. 0 = (4)(0)+0.

2. 14 = (−3)(−4)+2.

3. −14 = (−3)(−5)+1.

4. −20 = (9)(−3)+7.

5. 20 = (9)(2)+2.

6. 79 = (8)(9)+7.

7. 15 = (3)(5)+0.

8. 1 = (3)(0)+1.

Observación 3.8. En el Algoritmo de la división (a = de+r, 0≤ r < d) tenemosque el residuo r = Resd(a) es cero si y sólo si d|a.


3.2. El máximo común divisor

Para esta sección necesitaremos establecer el siguiente resultado:

Lema 3.9. Todo conjunto finito no vacío de números enteros posee un elementomáximo (que es único).

Prueba. La prueba se puede hacer por inducción en el número de elementos delconjunto, y se deja como ejercicio al lector (ejercicio 9). o

Dado a ∈ Z, sea Da el conjunto de todos los divisores de a:Da : Conjuntode divisores de

a Da := {d ∈ Z : d|a}.

Por el lema 3.2 y el teorema 3.3, para todo a ∈ Z tenemos que 1 ∈ Da, y que Da =D−a. Además D0 = Z∗ ya que para cada número entero x 6= 0, x|0. Recordemos quedado a 6= 0, si d|a entonces |d| ≤ |a|, y por ende Da ⊆ {−|a|, . . . ,−1,1, . . . , |a|},luego Da es un conjunto finito no vacío. Esto da pie a la siguiente definición:

Definición 3.10 (Máximo común divisor). Dados a,b números enteros no ambos0, definimos el máximo común divisor, o m.c.d. entre a y b (y lo denotamos (a,b))así:(a,b) : Máximo

común divisorentre a y b

(a,b) := max(Da∩Db).

La anterior definición tiene sentido ya que el conjunto Da ∩Db es finito y novacío, así que por el lema 3.9 siempre posee un único elemento máximo. Note quesi a = b = 0, entonces Da∩Db = D0 = Z∗, y este conjunto carece de un elementomáximo; por esto en la definición anterior exigimos que a y b no sean ambos cero2

Para a 6= 0 tenemos que (a,0) = max(Da∩D0) = max(Da) = |a| (la última igual-dad vale gracias al teorema 3.3(c)).

En ocasiones nos referimos a (a,b) como m.c.d.(a,b). El lector notará que engeneral la expresión (a,b) puede significar cualquiera de los siguientes tres objetos:

El intervalo abierto (a,b) = {x ∈ R : a < x < b},

El par ordenado (a,b) que lista a los elementos a y b, y

El máximo común divisor entre a y b.

En general el contexto determinará a cuál de los anteriores objetos se está re-firiendo al escribir (a,b). Por ejemplo en esta sección lo más común será utilizar laexpresión (a,b) para referirse al máximo común divisor entre a y b.

2Una forma elegante de expresar que a y b no son ambos cero es decir que a2 +b2 > 0.

3.2. EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR 105

! Para antes de seguir leyendo: Demuestre que:

(a) (a,b) = (−a,b) = (−a,−b) = (a,−b) = (b,a).

(b) Si d|a, entonces (a,d) = |d|.

Teorema 3.11 (El m.c.d. como combinación lineal). Sean a y b dos enteros noambos cero. Si (a,b) = d, entonces d es la mínima combinación lineal positivaentre a y b.

Prueba. Sea C = {ax+by : ax+by > 0,x,y ∈ Z} el conjunto de todas las combi-naciones lineales positivas entre a y b. Como a y b no son ambos nulos, entoncesaa + bb > 0, y por ende C es un subconjunto no vacío de N. Sea m = min(C).Entonces existen x,y ∈ Z tales que m = ax+by. Veamos que m = d:

(a) m|a: gracias al algoritmo de la división, sabemos que existen enteros e y rtales que

a = me+ r, con 0≤ r < m.

Entonces r = a−me = a− (ax+by)e = a(1− ex)+b(−ye), luego r es unacombinación lineal entre a y b. Dado que r < m, por minimalidad de mconcluimos que r 6∈C, y esto implica r = 0. Por ende a = me y m|a.

(b) m|b: la demostración es análoga a la realizada en (a).

(c) m = d: Como m|a y m|b, entonces m ≤ d. Como d|a y d|b, por el teorema3.3, d|(ax + by), luego d ≤ ax + by = m. Concluimos que d = m, así que des la mínima combinación lineal positiva entre a y b.

o

Teorema 3.12. Para a,b números enteros no ambos nulos, Da∩Db = D(a,b).

Prueba. Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Si x ∈ Da ∩Db, entonces x|a y x|b. Por el teorema 3.3, x divide a cualquiercombinación lineal de a y b, en particular x|(a,b).

(⊇) Si x ∈D(a,b), entonces x|(a,b). Como (a,b)|a y (a,b)|b, obtenemos por tran-sitividad que x|a y x|b, luego x ∈ Da∩Db.


o

El anterior teorema tiene como consecuencia la siguiente caracterización delmáximo común divisor entre a y b:

Teorema 3.13 (Caracterización del m.c.d.). Dados a,b números enteros, d =(a,b) si y sólo si valen las siguientes condiciones:

(a) d > 0.

(b) d|a, d|b y para cada e ∈ Z, si e|a y e|b, entonces e|d.

Prueba.

(→) Si d = (a,b), entonces d > 0, d|a y d|b, y si e|a y e|b entonces e∈Da∩Db =Dd , es decir, e|d.

(←) Sabemos que d|a y d|b, luego d ∈ Da ∩Db. Además si e|a y e|b, entoncespor hipótesis e|d, luego e ≤ |e| ≤ |d| = d (la última igualdad vale gracias aque d > 0), así que d = max(Da∩Db) = (a,b).

o

Teorema 3.14. Si d 6= 0 y a = de+ r, entonces (a,d) = (d,r).

Prueba. Sea ma = (a,d) y mr = (d,r). Como ma|a y ma|d, entonces ma|(a−de)luego m|r y así ma es un divisor común de a y r, y ma ≤ mr. De forma similar,mr|d y mr|r, luego mr divide a de+ r = a. Así que mr es divisor común de a y d, ymr ≤ ma. Concluimos que ma = mr. o

El teorema anterior junto con el algoritmo de la división nos sugieren una formaefectiva de calcular (a,d), cuando d no es cero. Sabemos que a = de1 + r1, con0≤ r1 < |d|. Si r1 = 0, entonces d|a y (a,d) = |d| (¿por qué?). Si r1 > 0, entoncesutilizamos de nuevo el algoritmo de la división, “dividiendo” a d entre r1:

d = r1e2 + r2 (0≤ r2 < r1)

Note que |d| > r1 > r2 ≥ 0; así que si repetimos el proceso anterior varias veces,obtendremos residuos cada vez menores pero siempre mayores o iguales a 0, luegonecesariamente (por el P.B.O., principio 2.4) existirá un entero k tal que rk = 0 y:

a = de1 + r1 (0≤ r1 < |d|)

d = r1e2 + r2 (0≤ r2 < r1)

3.2. EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR 107

r1 = r2e3 + r3 (0≤ r3 < r2)

· · ·

rk−3 = rk−2ek−1 + rk−1 (0≤ rk−1 < rk−2)

rk−2 = rk−1ek + rk (0≤ rk < rk−1)

Como rk = 0, entonces rk−1|rk−2, es decir, (rk−1,rk−2) = rk−1. Pero por el teoremaanterior aplicado repetidamente tenemos que:

(rk−2,rk−1) = (rk−3,rk−2) = · · ·= (r2,r1) = (d,r1) = (a,d)

de modo que (a,d) = rk−1 (el “penúltimo residuo del proceso”).El anterior resultado es conocido con el nombre de algoritmo de Euclides: es Algoritmo de

Euclidesun algoritmo ya que nos proporciona un método efectivo para calcular el m.c.d.entre dos números enteros. Veamos algunos ejemplos:

�� Ejemplo 3.15. Calcule (84,30): Utilizando el algoritmo de Euclides tene-mos:

84 = (30)2 + 24.

30 = (24)1 + 6.

24 = (6)4+0.

Entonces (84,30) = 6. A partir de las ecuaciones anteriores obtenemos:6 = 30− 24 = 30− (−2(30) + 84) = (3)30 + (−1)84 y hemos escrito a 6como la mínima combinación lineal positiva entre 84 y 30.

�� Ejemplo 3.16. Calcule (−35,−48): Utilizando el algoritmo de Euclidestenemos:

−35 = (−48)1 + 13

−48 = (13)(−4) + 4

13 = (4)3 + 1

4 = (1)4+0


Entonces (−35,−48) = 1. Además a partir de las ecuaciones anterioresobtenemos 1 = 13− 3(4) = 13− 3(−48 + 4(13)) = −3(−48)− 11(13) =−3(−48)− 11(−35− 1(−48)) = 8(−48) + (−11)(−35) y hemos escrito a1 como la mínima combinación lineal positiva entre −35 y −48.

Definición 3.17 (Primos relativos). Dos enteros no ambos nulos son primosPrimos relativos

relativos si (a,b) = 1.

Pensemos en dos números que no sean primos relativos, por ejemplo 2 y 6.El lector podrá convencerse de que nunca podrá expresar al 1 como combinaciónlineal del 2 y el 6. La razón es que (2,6) = 2, luego cualquier combinación linealentre 2 y 6 será un múltiplo de 2. Algo análogo ocurre, por ejemplo, con el 5 y el10. En contraste si tomamos dos primos relativos como 2 y 9, entonces podremosescribir a 1 como una combinación lineal de ellos (1 = (5)2 +(−1)93). Recípro-camente, si podemos expresar a 1 como una combinación lineal de a y b, entoncesnecesariamente a y b son primos relativos:

Teorema 3.18. (a,b) = 1 si y sólo si existen s, t ∈ Z tales que sa+ tb = 1.

Prueba.

(→) Esta dirección la garantiza el teorema 3.11.

(←) Ya que (a,b)|a y (a,b)|b, por el teorema 3.3 (a,b)|sa + tb = 1, luego 0 <(a,b)≤ 1 y esto implica que (a,b) = 1.

o

En general si un número entero divide a un producto, no necesariamente dividea cada uno de los elementos que conforman este producto. Por ejemplo, 10|(4)(15),pero 10 6 | 4 y 10 6 | 15. Sin embargo si un entero divide al producto entre dos númerosenteros y es primo relativo con alguno de ellos, entonces necesariamente divide alotro número entero:

Teorema 3.19. Dados a,b,c ∈ Z, si (a,b) = 1 y a|bc, entonces a|c.

Prueba. Como (a,b) = 1, existen números enteros s, t tales que 1 = sa+ tb. Mul-tiplicando la igualdad anterior por c, obtenemos que c = sac + tbc. Como a|a ya|bc, entonces por el teorema 3.3, a|c. o

3Note que esta combinación lineal no tiene por qué ser única: por ejemplo también se tiene que1 = (−40)2+(9)9

3.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA 109

! Para antes de seguir leyendo:¿Verdadero o falso? (Demostrar o dar un contraejemplo)

1. Si a y b son primos relativos y b y c son primos relativos, entonces a y cson primos relativos.

2. Si a|bc y a 6 | b, entonces a|c.

3. Si (a,b) = 1, (a,c) = 1 y a|bcd, entonces a|d.

3.3. El teorema fundamental de la aritmética

En esta sección veremos que los números primos son en un sentido los “áto-mos” a partir de los cuales se componen los números enteros positivos.

Definición 3.20 (Número primo). Un número primo p es un entero mayor que Número primo

1 cuyos únicos divisores positivos son 1 y p.

Por definición 1 no es primo. Más adelante demostraremos que existen infinitosnúmeros primos (teorema 3.24). El conjunto de los números primos es:

{2,3,5,7,11,13,17, . . .}.

! Para antes de seguir leyendo:Sean a, p,q ∈ Z y supongamos que p y q son números primos. Demuestre

que:

(a) Si p 6 | a entonces (a, p) = 1.

(b) Si p 6= q entonces p 6 | q y q 6 | p.

Los números primos poseen ciertas propiedades especiales: por ejemplo, si unnúmero primo divide a un producto de enteros, entonces divide a alguno de ellos:

Teorema 3.21 (Lema de Euclides). Si p es un número primo y p|ab, entoncesp|a o p|b.


Prueba. Se deja al lector (ejercicio 15; [Ayuda: utilice el teorema 3.19 ]). o

Corolario 3.22. Si p es un número primo y p|d1d2 · · ·dn, entonces p|di para algúni entre 1 y n.

Prueba. La demostración se puede hacer por medio de inducción matemática enn, y se deja como ejercicio (ejercicio 16). o

El teorema más importante de divisibilidad es el que le otorga a los númerosprimos su estatus de materia prima para generar, a partir de productos, a todos losnúmeros naturales mayores que 1. Por ejemplo sea a = 72. Intentemos factorizara a como el producto de números primos, esto es, como un producto de la formaq1q2 · · ·qm, en donde cada qi es un número primo y q1 ≤ q2 ≤ ·· ·qm:

72 = (2)(36) = (2)(2)(18) = (2)(2)(2)(9) = (2)(2)(2)(3)(3).

Concluimos que 72 = q1q2q3q4q5, en donde

q1 = 2,q2 = 2,q3 = 2,q4 = 3,q5 = 3.

El siguiente teorema establece que el anterior proceso siempre se puede hacer, yademás sólo hay una forma de hacerlo:

Teorema 3.23 (Teorema fundamental de la aritmética o T.F.A.). Todo númeroTeoremafundamental de

la aritméticaentero n > 1 posee una única (salvo el orden) factorización en números primos. Enotras palabras, existe un m > 0 tal que

n = q1q2 · · ·qm,

en donde cada qi es un número primo, y q1 ≤ q2 ≤ ·· · ≤ qm. Además tal factor-ización es única. Esto es, si n es de la forma

n = q′1q′2 · · ·q′s,

en donde cada q′i es un número primo, y q1≤ q2≤ ·· · ≤ qs, entonces m = s y qi = q′ipara todo i tal que 1≤ i≤ m.

Prueba. Utilizamos el principio de inducción fuerte sobre n. Sea n ∈ N, y supon-gamos que el teorema vale para todo k ∈ N tal que 1 < k < n, y demostremos quevale para n. Supongamos que n > 1. Si n es un número primo, entonces n = n y talfactorización en números primos (“el producto de un único número primo”)es úni-ca. Si n no es un número primo, entonces por definición existen a,b ∈ N, a,b > 1,


tales que n = ab. Esto implica que 1 < a < n y 1 < b < n, así que por hipótesis deinducción tenemos que

a = s1 · · ·sd y b = t1 · · · te,

en donde los si y los ti son todos números primos. Entonces

n = t1 · · · tds1 · · ·se.

Reordenando este producto de menor a mayor obtenemos la factorización de n enprimos: n = q1 · · ·qm (m = d + e), con qi ≤ qi+1 para 1≤ i < m (cada qi será algúns j o t j).

Para demostrar la unicidad de la representación de n, supongamos ahora quen = q′1 · · ·q′s, en donde los q′i son números primos y q′i ≤ q′i+1 para 1 ≤ i < s. En-tonces

q1q2 · · ·qm = q′1q′2 · · ·q′s.

Note que m,s > 1 (o de lo contrario n sería un número primo). Como qm divide aq′1q′2 · · ·q′s, por el corolario 3.22 existe un i tal que qm = q′i ≤ q′s. También tenemosque q′s divide a q1q2 · · ·qm, luego existe un j tal que q′s = q j ≤ qm. Por antisimetríaqm = q′s, luego por la ley cancelativa4 tenemos:

q1q2 · · ·qm−1 = q′1q′2 · · ·q′s−1.

Dado que el número entero k := q1 · · ·qm−1 es menor estricto que n, concluimos porhipótesis de inducción que debido a la unicidad de representación, m−1 = s−1 yq j = q′j para cada j entre 1 y m−1. Se sigue que m = s y q j = q′j para j entre 1 ym, como queríamos. o

Una consecuencia importante del T.F.A. es la existencia de infinitos númerosprimos (esta prueba fue dada por Euclides):

Teorema 3.24. Existen infinitos números primos.

Prueba. Supongamos que hay un número finito de números primos, y sean todosellos:

p0, p1, p2, . . . , pr

(con r ∈ N). Sea n = p0 p1 · · · pr + 1. Es claro que n es mayor que cada númeroprimo pi, luego n no es primo, y por el T.F.A. existe un primo p j y un entero c talque n = p jc = p j(p1 p2 · · · p j−1 p j+1 · · · pr)+1. Entonces

p j(c− p1 p2 · · · p j−1 p j+1 · · · pr) = 1,

pero p j > 1, y esto es una contradicción. o

4En los números enteros, la ley cancelativa afirma que si ab = a′b y b 6= 0, entonces a = a′.


Vamos a dar una enumeración de los números primos. Esto es, definimos re-cursivamente el número primo pn:

1. p0 := 2 (el primer número primo).

2. pi+1 := “el mínimo número primo mayor que pi” (pi+1 existe gracias alP.B.O., principio 2.4, y el hecho de que existen infinitos números primos).

Por ejemplo, p1 = 3, p2 = 5, p3 = 7, etcétera. Claramente para cada n ∈ Ntenemos que pn < pn+1. En principio podría ocurrir que existiera algún númeroprimo p que no estuviera en nuestra enumeración, es decir, tal que para todo n∈N,p 6= pn. Como veremos, este no es el caso, y la enumeración dada es exhaustiva (esdecir, enumera a todos los números primos):

Observación 3.25. Sea P el conjunto de los números primos. Entonces

P = {pn : n ∈ N}.

Prueba. Definamos R := {pn : n∈N}= {p0, p1, p2, . . .}. Debemos demostrar queR = P. Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Sea p ∈ R. Entonces existe n ∈ N tal que p = pn. Por definición, pn es unnúmero primo, luego p ∈ P.

(⊇) Supongamos, buscando una contradicción, que P 6⊆ R. Esto implica queA := P r R es un conjunto no vacío. Por el principio del buen orden seaq = min(A). Entonces q 6= 2 (pues 2 = p0 ∈ R), luego el conjunto {p ∈ N :p ∈ R, p < q} es finito y no vacío, y por ende debe poseer un elemento má-ximo, pn. Entonces pn < q. Veamos que q = pn+1:

(≤) Ya que pn < pn+1, por maximalidad de pn tenemos que q≤ pn+1.(≥) Dado que pn+1 es el mínimo primo mayor que pn, y además pn < q,

entonces necesariamente q≥ pn+1.

Por antisimetría, q = pn+1, pero entonces q∈ R, lo cual es una contradicción.Concluimos que PrR = ∅, o equivalentemente que P⊆R, como queríamos.

o

Para desarrollar lo que sigue introducimos la notación de productoria:

Definición 3.26 (Notación de producto generalizado). Si a0,a1, . . . ,ak son númerosreales, definimos

k

∏i=0

ai := a0a1 . . .ak,

y a tal número lo llamamos el producto de los ai, en donde i varía entre 0 y k.


Una factorización puede incluir en muchas ocasiones primos repetidos. Porejemplo,

4000 = (2)(2)(2)(2)(2)(5)(5)(5) = 253053 = pα00 pα1

1 pα22 ,

en donde (α0,α1,α2) = (5,0,3). En notación de producto generalizado, tenemosque

4000 =2

∏i=0

pαii .

Teniendo en cuenta esta notación más concisa utilizando el producto generalizado,el T.F.A. puede ser reformulado de la siguiente manera:

Teorema 3.27 (Reformulación del T.F.A.). Para todo n > 1 existe k ∈ N tal que

n =k

∏i=0

pαii = pα0

0 pα11 . . . pαk

k ,

con αi ∈N para 0≤ i≤ k, y αk > 0. Además esta representación es única, esto es,si

n =s

∏i=0

pβii ,

con βi ∈ N para 0 ≤ i ≤ s y βs > 0, entonces k = s y αi = βi, para todo i con0≤ i≤ k.

El T.F.A. nos permite determinar si un número positivo divide a otro, compara-ndo sus factorizaciones canónicas:

Teorema 3.28. Sea n =k

∏i=0

pαii un número natural positivo. Dado un número

entero d > 0, d|n si y sólo si d es de la forma d =k

∏i=0

pβii , con 0 ≤ βi ≤ αi para i

entre 0 y k.

Prueba. Utilizamos el método de doble implicación:

(→) Sea c > 0 tal que cd = n. Todo número primo que divide a c o que divide a d

debe dividir a n. Por ende por el T.F.A. tenemos que c =k

∏i=0

pσii y d =

k

∏i=0

pβii ,

con σi +βi = αi y σi,βi ≥ 0. Concluimos que 0≤ βi ≤ αi para i entre 0 y k.


(←) Dado i entre 0 y k, sea σi = αi−βi. Por hipótesis βi ≤ αi, luego σi ≥ 0, y

por ende c =k

∏i=0

pσii es en efecto un número natural (además c > 0). Como

cd = n, entonces d|n.

o

Obtenemos como corolario la siguiente caracterización del máximo común di-visor:

Corolario 3.29. Si a =k

∏i=0

pαii y b =

k

∏i=0

pβii , entonces el número entero d =

k

∏i=0

pmii

(donde mi = min(αi,βi)) es el m.c.d. entre a y b.

Prueba. Como mi ≤ αi,βi, concluimos que d|a y d|b. Por el teorema anterior, si

e es un divisor positivo de a y b, entonces e es de la formak

∏i=0

prii con ri ≤ αi,βi,

así que ri ≤ mi y de nuevo por el teorema anterior, e|d. Gracias al teorema 3.13,concluimos que d = (a,b). o

�� Ejemplo 3.30 (Algunos ejemplos de cómo calcular (a,b) utilizando elT.F.A.).

1. Sean a = 36 y b = 24. Entonces a = 2232 y b = 2331. Así, (a,b) = 223 =12.

2. Si a = 325173 = 20325173110 y b = 2372111 = 23305072111, entonces(a,b) = 20305072110 = 72.

3.4. Sucesiones eventualmente nulas y el T.F.A.

Definición 3.31 (Sucesión). Sea A es un conjunto cualquiera. Una A-sucesión esSuceción

una función a : N→ A; por ende, la función a le asigna a cada número natural i unelemento ai ∈ A. Diremos que a es una sucesión si existe un conjunto A tal que aes una A-sucesión

A cada A-sucesión a la podemos representar (y por ende identificar) como unatupla infinitas, en donde los valores de la función a aparecen de forma ordenada:Tupla infinita

3.4. SUCESIONES EVENTUALMENTE NULAS Y EL T.F.A. 115

a = (a0,a1,a2, . . .).

Por ejemplo, la R-sucesión h, dada por hi = −i2 + 1 se encuentra identificada porla siguiente tupla infinita:

h = (h0,h1,h2,h3,h4, . . .) = (1,0,−3,−8,−15, . . .).

Una notación intensional para esta tupla es la siguiente: h = (hi)i∈N = (i2 +1)i∈N.

Definición 3.32. Si a es una A-sucesión, a = (ai)i∈N, diremos que a es even-tualmente nula si existe N ∈ N tal que para i ∈ N con i ≥ N se tiene que ai = 0.Formalmente:

∃N ∈ N : ∀i ∈ N, i≥ N→ ai = 0.

Sea F el conjunto de todas las N-sucesiones (vistas como tuplas) que soneventualmente nulas, esto es,

F = {(ai)i∈N : a es una N-sucesión y a es eventualmente nula.

Por ejemplo, la N-sucesión v dada por vi = max(0,8−3i), se puede representarpor la tupla infinita

v = (v0,v1,v2,v3,v4,v5,v6, . . .) = (8,5,2,0,0,0,0, . . .),

Es claro que para todo i ≥ 3, vi = 0 luego v es eventualmente cero y v ∈F . Porotro lado, si w es la N-sucesión dada por wi = (−1)i +1, entonces

w = (2,0,2,0, . . .).

La sucesión w no es eventualmente cero (puesto que la tupla asociada con w tomaráinfinitos valores distintos de cero), luego w /∈F .

! Para antes de seguir leyendo: Sea a una N-sucesión.

(a) Demuestre que a ∈F si y sólo si el conjunto {i ∈ N : ai 6= 0} es finito.

(b) Imaginemos que una N-sucesión a es un computador infinito que en sumemoria ordenada puede guardar los números naturales a0,a1,a2, . . .,y donde ai = 0 significa que el espacio i-ésimo en memoria no es uti-lizado por el computador. Por ejemplo, la tupla constante 0 (es decir,(0,0,0, . . .)) representa el “computador sin memoria”. De acuerdo a estaanalogía, cómo describiría al conjunto F ?


(c) Definimos la suma de dos N-sucesiones a y b como la N-sucesión ctal que ci = ai + bi (esto es, suma componente por componente). Porejemplo si a = (i+2)i∈N y b = (3i−1)i∈N, entonces a+b = (4i+1)i∈N.Demuestre que si a,b ∈F , entonces a+b ∈F .

(d) Sea a una N-sucesión, y sea n ∈ N. Definimos na como la N-sucesión ctal que ci = nai Por ejemplo si a = (3i + 2)i∈N y n = 4, entonces na =(12i+8)i∈N. Demuestre que si a ∈F y n ∈ N, entonces na ∈F .

(e) Sea a la R-sucesión dada por ai = 11+i . ¿Es a eventualmente nula? Justi-

fique claramente su respuesta.

El teorema fundamental de la aritmética brinda una conexión fuerte entre losconjuntos N∗ y F : Todo número natural positivo n = ∏

mi=0 pαi

i está asociado de unmodo bien definido (esto gracias a la unicidad de representación) con la tupla

n() = (α0,α1, . . . ,αm,0,0,0, . . .) ∈F ,

y recíprocamente toda tupla α = (α0,α1, . . . ,αm,0,0,0, . . .) ∈F se encuentra aso-ciada con el número natural positivo π(α) dado por:

π(α) =m

∏i=0

pαii ∈ N∗.

Aquí utilizamos el hecho de que existen infinitos números primos p0, p1, p2, . . .. Enparticular, la tupla (0,0,0, . . .) ∈F se encuentra asociada con el número natural20 = 1).

Veamos que () y π son operaciones inversas entre sí, es decir, para todo n ∈N∗y para todo v ∈ F, (π(v))() = v y π(n()) = n:

Dada v = (ai)i∈N ∈ F , π(v) es el natural cuya (¡única!) factorización en

números primos esm

∏i=0

paii (donde m es el máximo i tal que ai > 0, o m = 0

si para cada i ai = 0), que por definición de () es lo mismo que decir que(π(v))() = v.

Dado n =m

∏i=0

paii ∈ N∗, entonces n() = (ai)i∈N (en donde ai = 0 para i > m)

y π(n()) = ∏mi=0 pai

i = n.

3.4. SUCESIONES EVENTUALMENTE NULAS Y EL T.F.A. 117

�� Ejemplo 3.33. Algunas representaciones de enteros positivos como ele-mentos de F (n∼ n(), o lo que es lo mismo, π(v)∼ v):

(a) 1∼ (0,0,0,0,0,0,0, . . .).

(b) 2∼ (1,0,0,0,0,0,0, . . .).

(c) 6∼ (1,1,0,0,0,0,0, . . .).

(d) 11∼ (0,0,0,0,1,0,0, . . .).

(e) 28∼ (2,0,0,1,0,0,0, . . .).

(f) 36∼ (2,2,0,0,0,0,0, . . .).

(g) 26 ∼ (6,0,0,0,0,0,0, . . .).

(h) 98∼ (2,0,0,2,0,0,0, . . .).

(i) 120∼ (3,1,1,0,0,0,0, . . .).

(j) 210∼ (1,1,1,1,0,0,0, . . .).

(j) 194 ∼ (0,0,0,0,0,0,0,4,0,0,0, . . .).

(j) 7919∼ (ai)i∈N, en donde a1000 = 1 y ai = 0 para i 6= 1000.

En resumen, hemos identificado a N∗ con F . Pero podemos hacer más: defini-mos el siguiente orden ≤ en el conjunto F :

(ai)i∈N ≤ (bi)i∈N si y sólo si para todo i ∈ N, ai ≤ bi.

Esto es, una tupla es menor o igual que otra si es menor o igual componentepor componente. Por ejemplo,

(2,3,5,0,12,0,0, . . .)≤ (4,3,9,0,13,3,0,0, . . .).

La tupla (0,0,0, . . .) es un objeto inicial (es decir, es menor o igual que toda tupla).Es fácil verificar que el nuevo orden definido es un orden parcial aunque no total.Más aún:

Teorema 3.34. (F ,≤)∼= (N∗, |).


Prueba. Sea π : F −→ N∗ la función definida antes. Para cada n ∈ N∗ existe unúnico v ∈ F tal que π(v) = n (basta tomar v = n(): entonces π(v) = π(n()) = n). Esúnico pues si tenemos w ∈F tal que π(w) = n, entonces w = (π(w))() = n() = v).

Ahora, el hecho de que a = (ai)i∈N ≤ (bi)i∈N = b si y sólo si π(a)|π(b) esuna consecuencia inmediata del teorema 3.28. Por ende π es un homomorfismo deórdenes. o

�� Ejemplo 3.35. Calcule el número de divisores positivos de 80.

Solución. Sabemos que 80 = 243051, luego 80() = (4,0,1,0,0, . . .). Un divi-sor positivo de 80 es un número m ∈ N∗ tal que m|80, lo que es equivalente(gracias al teorema 3.34) a decir que m() ≤ 80(). Entonces para contar a todoslos divisores positivos de 80, basta contar todas las tuplas (a0,a1,a2,0,0, . . .)∈F tales que

(a0,a1,a2,0,0, . . .)≤ (4,0,1,0,0, . . .).

Entonces 0 ≤ a0 ≤ 4, a1 = 0 y 0 ≤ a2 ≤ 1: así a1 tiene cinco posibili-dades, a1 tiene una posibilidad y a2 tiene dos posibilidades. Multiplicandoestas posibilidades concluimos que existen exactamente (5)(1)(2) = 10 tu-plas v ∈ F menores o iguales que (4,0,1,0,0, . . .), y por ende existen ex-actamente 10 divisores positivos de 80. Por ejemplo, si v = (3,0,1,0,0, . . .)entonces π(v) = 233051 = 40, y claramente 40|80. o


(a) Calcule el número de divisores positivos de 594.

(b) Liste todos los elementos del conjunto {v ∈F : π(v)|36}.

(c) Demuestre que para cada k ∈ N∗ existe n ∈ N∗ tal que n posee exacta-mente k divisores positivos.

Consideremos de nuevo la cuestión de cómo imaginar visualmente el ordendivide: podemos utilizar el T.F.A. para ciertos casos especiales. Por ejemplo, si

n = (2)(3)(5)(7) = 210,

3.5. CONGRUENCIAS 119

entoncesn() = (1,1,1,1,0,0, . . .),

luego esencialmente el número de divisores positivos de n es igual al número de4-tuplas ordenadas de ceros y unos (¿por qué?). Dejamos como ejercicio dibujar elorden (D+

210, |) (donde D+210 es el conjunto de divisores positivos de 210) (ejercicio

5).

3.5. Congruencias

En esta sección consideramos un número natural positivo n, y a partir de ésteclasificar a cada número entero, según cuál sea su residuo al dividirlo entre n. Elsiguiente ejemplo ilustra esto:

�� Ejemplo 3.36. Sea n = 3. Sabemos que al dividir un número entero x entre3, hay tres posibles residuos: r = 0, r = 1 y r = 2. Esto es, para cada x existenenteros únicos q y r tales que x = 3q + r con 0 ≤ r < 3. Esto nos permiteclasificar a los números enteros en los siguientes tres conjuntos:

1. {3q : q∈Z}= {. . . ,−6,−3,0,3,6, . . .} (este es el conjunto de múltiplosde 3),

2. {3q+1 : q ∈ Z}= {. . . ,−5,−2,1,4,7, . . .}, y

3. {3q+2 : q ∈ Z}= {. . . ,−4,−1,2,5,8, . . .}.

Es fácil ver que todo número entero x se encuentra en uno y sólo uno de lostres conjuntos anteriores.

Recordemos que dado x ∈ Z, Resn(x) es el residuo correspondiente al dividir ax entre n, esto es:

r = Resn(x)↔ x = qn+ r, 0≤ r < n.

Ahora intruducimos la relación de congruencia módulo n sobre Z:

Definición 3.37. Sea n un número natural positivo. Dados dos enteros x y y,diremos que ellos son congruentes módulo n (en símbolos, x ≡n y) si Resn(x) =Resn(y). ≡n :

Congruencia


�� Ejemplo 3.38. Veamos algunos ejemplos de la relación de congruencia mó-dulo n:

5≡4 13.

6 6≡3 10.

13≡3 −2.

Para todo a, a ≡n a + n, ya que si a = qn + r con 0 ≤ r < n, entoncesa+n = (q+1)n+ r, luego Resn(a) = Resn(a+n).

Teorema 3.39. La relación de congruencia módulo n cumple con las siguientespropiedades (en donde x,y,z ∈ Z):

(a) Reflexividad: x≡n x.

(b) Simetría: Si x≡n y, entonces y≡n x.

(c) Transitividad: Si x≡n y y además y≡n z, entonces x≡n z .

Prueba. La prueba es sencilla a partir de la definición de la relación ≡n. o

El siguiente teorema caracteriza la relación de congruencia, y será utilizadoampliamente durante esta sección:

Teorema 3.40. Dado n ∈ N∗, x ≡n y si y sólo si la diferencia entre x y y esdivisible por n (es decir, n|(y− x)).


(→) Supongamos que x≡n y. Esto significa que Resn(x) = Rexn(y) = r. Sabemosque existen q1,q2 ∈ Z tales que x = q1n+ r, y y = q2n+ r. Si restamos estasigualdades de forma obtenemos que y− x = (q2−q1)n, lo cual implica quen divide a y− x.

(←) Supongamos que n|y− x. Entonces existe k ∈ Z tal que y− x = kn. Ahora,sean x = q1n+ r1, y = q2n+ r2, con 0≤ r1,r2 < n. A partir de las anterioresecuaciones concluimos que

kn = y− x = (q2−q1)n+ r2− r1,


lo cual implica que(k−q2 +q1)n = r2− r1.

Claramente (k− q2 + q1)n) no pertenece al conjunto {x ∈ Z : |x| < n}, amenos que éste sea igual a cero. La expresión de la derecha (es decir, r1− r2) necesariamente pertenece al conjunto {x ∈Z : |x|< n} (ya que 0≤ r1,r2 <n). Esto implica que r2− r1 = 0, y por ende Resn(x) = Resn(y). Así, x≡n y.

o

! Para antes de seguir leyendo:Sea n ∈ N∗. Demuestre las siguientes afirmaciones:

1. “Todo número entero es congruente con su residuo”; más precisamente,para todo x ∈ Z, si r = Resn(x), entonces x≡n r.

2. n≡n 0.

3. Para todo x ∈ Z, x es un múltiplo de n si y sólo si x≡n 0.

Definición 3.41 (Clase de congruencia). Dado n∈N∗ y x∈Z, definimos la clasede congruencia de x módulo n como el conjunto [x]n dado por: Clase de

congruencia[x]n := {y ∈ Z : x≡n y}.

Entonces [x]n = {y ∈ Z : Resn(x) = Resn(y)}. Ahora, si r = Resn(x), entonces[x]n = [r]n, luego existen exactamente n clases de congruencia módulo n:

[0]n, [1]n, . . . , [n−1]n.

Lo anterior permite reformular el ejemplo considerado antes:

�� Ejemplo 3.42. Sea n = 3. Calculemos, por ejemplo, la clase de congruenciadel entero x = 8 (módulo n): es fácil ver que los números congruentes con 8son los siguientes:

. . . ,−1,2,5,8,11,14,17, . . .

Por ende,[8]3 = {. . . ,−1,2,5,8,11,14,17, . . .}.


Ahora, 2 = Res3(8), y por ende [8]3 = [2]3.En general al dividir un número entero x entre 3, hay tres posibles residuos:

r = 0, r = 1 y r = 2. Esto nos permite clasificar a los números enteros en lossiguientes tres conjuntos:

1. “Los congruentes con 0”: [0]3 = {3q : q∈Z}= {. . . ,−6,−3,0,3,6, . . .}(conjunto de múltiplos de 3),

2. “Los congruentes con 1”: [1]3 = {3q + 1 : q ∈ Z} ={. . . ,−5,−2,1,4,7, . . .}, y

3. “Los congruentes con 2”: [2]3 = {3q + 2 : q ∈ Z} ={. . . ,−4,−1,2,5,8, . . .}.

Es fácil ver que todo entero x se encuentra en exactamente uno de los anteriorestres conjuntos. Es decir,

Z = [0]3∪ [1]3∪ [2]3,

y además [0]3, [1]3 y [2]3 son conjuntos disjuntos entre sí. Por ejemplo, dadoque 5 6≡3 10, podemos afirmar que [5]3 6= [10]3, y de hecho que [5]3∩ [10]3 = ∅.

El siguiente ejemplo tiene como fin ilustrar la motivación de las congruencias:

�� Ejemplo 3.43. Considere la siguiente figura:


En ella, el punto indicado puede rotarse de forma “positiva” o “negativa”cualquier número de unidades. Más precisamente, cada entero x representarála operación de rotar al punto x número de unidades (hacia la derecha o haciala izquierda, según sea el signo de x). En principio hemos definido un númeroinfinito de operaciones (una por cada número entero). Sin embargo es claro quemuchas operaciones son equivalentes entre sí, en el sentido de que producen elmismo resultado, esto es, mueven al punto a la misma casilla. Dado que en ge-neral rotar 6q unidades es esencialmente no haber realizado ningún movimien-to, podemos concluir que los números x y r = Res6(x) representan operacionesequivalentes. Concluimos que existen 6 operaciones esencialmente distintas:0,1,2,3,4 y 5 (por ejemplo la operación 13 es equivalente a la operación 1,y la operación −4 es equivalente a la operación 2). Esto es, hemos logradopartir a las infinitas operaciones (. . . ,−3,−2,−1,0,1,2, . . .) en los siguientesseis conjuntos o clases de equivalencia:

1. [0]6 = {. . . ,−12,−6,0,6,12, . . .},

2. [1]6 = {. . . ,−11,−5,1,7,13, . . .},

3. [2]6 = {. . . ,−10,−4,2,8,14, . . .},

4. [3]6 = {. . . ,−9,−3,3,9,15, . . .},


5. [4]6 = {. . . ,−8,−2,4,10,16, . . .}, y

6. [5]6 = {. . . ,−7,−1,5,11,17, . . .}.

Sea n ∈ N∗. Consideremos el conjunto de todas las clases de equivalencia mó-dulo n:

{[a]n : a ∈ Z}.

El lector desprevenido podría pensar que este conjunto es infinito. Sin embargosabemos que para todo número entero a se tiene que [a]n = [r]n en donde r =Resn(a), 0≤ r < n. Por esta observación concluimos que

{[a]n : a ∈ Z}= {[0]n, [1]n, . . . , [n−1]n}.

Definición 3.44. Dado un número natural positivo n, sea Zn el siguiente conjun-to:

Zn = {[0]n, [1]n, . . . , [n−1]n}.

A Zn lo llamaremos el conjunto de los enteros módulo n. En otras palabras, Zn esZn : Enterosmódulo n el conjunto que contiene las n clases de congruencia módulo n.

En el ejemplo anterior, Z representa todas las operaciones de rotación, mien-tras que Z6 representa todas las operaciones de rotación esencialmente distintas(únicamente 6). ¡Si el lector lo medita un poco, este proceso de clasificación derotaciones equivale a enrollar la recta de los enteros sobre un hexágono! (ver figura3.2)

Sabemos que 3 ≡4 7. Si multiplicamos a ambos números por 5 obtenemos5(3) = 15 y 5(7) = 35, que a su vez son congruentes módulo 4. Este fenómenono es una casualidad: el siguiente teorema establece que las congruencias entrelos números se mantienen cuando operamos a ambos números de ciertas maneras(como por ejemplo, la multiplicación por un entero).

Teorema 3.45 (Preservación de congruencias). Sean a,a′,b,b′,s, t ∈ Z, y sean ny k naturales positivos. Si a≡n a′ y b≡n b′, entonces:

(a) (a)+ s≡n (a′)+ s (operación suma de un entero: ( )+ s),

(b) s(a)≡n s(a′) (operación multiplicación por un entero: s( )),

(c) s(a)+ t(b)≡n s(a′)+ t(b′) (operación combinación lineal s( )+ t( )),

(d) (a)+(b)≡n (a′)+(b′) (operación suma: ( )+( )),


Figura 3.2: Hemos transformado el conjunto infinito Z en el conjunto finito Z6.

(e) (a)(b)≡n (a′)(b′) (operación producto: ( )( )).

(f) (a)k ≡n (a′)k (operación de exponenciación: ( )k),

Prueba. Por hipótesis y en virtud del teorema 3.40, existen números enteros q1 yq2 tales que a′−a = q1n y b−b′ = q2n.

(a) (a′+ s)− (a+ s) = a′−a = q1n (luego a+ s≡n a′+ s).

(b) sa′− sa = s(a′−a) = sq1n.

(c) (sa′+ tb′)− (sa+ tb) = s(a−a′)+ t(b′−b) = sq1n+ tq2n = (sq1 + tq2)n.

(d) Es un caso especial de (c).

(e) a′b′−ab = (a′−a)b′+a(b′−b) = q1nb′+aq2n = (q1b′+aq2)n.

(f) Se demuestra por inducción en k (para el paso inductivo se utiliza (e)).

o

Un polinomio con coeficientes enteros es una expresión de la forma Polinomio


p(x) = a0 +a1x+ · · ·+akxk,

en donde a0,a1, . . . ,ak ∈ Z. Por ejemplo, p(x) = 5− 3x + x2 es un polinomio concoeficientes enteros, y si x = 2, entonces p(x) = p(2) = 5− 6 + 4 = 3. Esto últi-mo se lee de la siguiente manera: el polinomio p(x) evaluado en x = 2 da comoresultado el valor de 3.

Resulta que las congruencias entre enteros se preservan bajo la aplicación deun polinomio con coeficientes enteros:

Corolario 3.46. Sean a y a′ dos enteros, y sea p(x) un polinomio con coeficientesenteros. Si a≡n a′, entonces p(a)≡n p(a′).

Prueba. Se deduce fácilmente del teorema 3.45, ya que un polinomio con coefi-cientes enteros se construye a partir de las operaciones mencionadas en tal teore-ma. o

En general es fácil ver que el recíproco5 del teorema 3.45(b) no es válido. Sinembargo bajo ciertas condiciones especiales lo será:

Teorema 3.47. Supongamos que sa≡n sa′, y (s,n) = 1. Entonces a≡n a′.

Prueba. Por hipótesis existe q ∈ Z tal que s(a′− a) = qn. Entonces n|s(a′− a),pero como (s,n) = 1, concluimos que n|(a′−a), como queríamos demostrar. o

El anterior teorema puede generalizarse de la siguiente forma:

Teorema 3.48. Supongamos que sa≡n sa′, y sea d := (s,n). Entonces a≡ nd

a′.


Ahora vamos a proveer al conjunto Zn de una estructura algebraica. Más pre-cisamente, vamos a definir la suma entre dos elementos P y Q de Zn: DadosP = [a]n, y Q = [b]n, en donde a,b ∈ Z, definimos P+Q así:

P+Q = [a]n +[b]n := [a+b]n ∈ Zn.

El lector podría cuestionar la seriedad de la definición anterior con el siguienterazonamiento: para definir P+Q hemos utilizado en esencia a los enteros a y b, endonde [a]n = P y [b]n = Q. Supongamos que a′ ≡n a y b′ ≡n b. Entonces P = [a′]n,y Q = [b′]n, luego también sería posible definir la suma P+Q como

P+Q = [a′]n +[b′]n := [a′+b′]n ∈ Zn.

5En téminos lógicos, el recíproco de p→ q es q→ p


¿Qué tal que las clases [a + b]n y [a′+ b′]n sean distintas? Esto haría ambigüa ladefinición que estamos proponiendo. Pues bien, resulta que dado que a≡n a′ y b≡b′, gracias al teorema 3.45(d) tenemos que a+a′ ≡n b+b′, lo cual implica que [a+b]n = [a′+b′]n, garantizando que la definición propuesta carece de ambigüedad, oen otras palabras, es una buena definición.

Observación 3.49. Si [a]n = [a′]n y [b]n = [b′]n, entonces [a+b]n = [a′+b′]n, ypor ende la definición de la suma dada por

P+Q = [a]n +[b]n := [a+b]n ∈ Zn

es una buena definición.

�� Ejemplo 3.50. Sea n = 5. Para calcular la suma entre P = [2]5 y Q = [9]5podemos elegir varias formas (todas producirán el mismo resultado):

Como 2 ∈ P y 9 ∈ Q, entonces P+Q = [2+9] = [11]5.

Como 2 ∈ P y 4 ∈ Q, entonces P+Q = [2+4] = [6]5.

Como −8 ∈ P y 29 ∈ Q, entonces P+Q = [−8+29] = [21]5.

Por supuesto, [11]5 = [6]5 = [21]5 (todas son iguales a [1]5).

Es fácil ver que la suma en Zn que hemos definido es conmutativa y asociativa.Por ejemplo para verificar que es conmutativa, sean P = [a]n ∈ Zn y Q = [b]n ∈ Z.Entonces:

P+Q= [a]n +[b]n= [a+b]n (def. suma en Zn)= [b+a]n (la suma de enteros es conmutativa)= [b]n +[a]n (def. suma en Zn)= Q+P

Veamos que la suma en Zn posee siempre un elemento “identidad”:

Teorema 3.51. Si Q = [0]n, entonces para cada P ∈ Zn, P + Q = P. En otraspalabras, el elemento Q = [0]n ∈ Zn es una identidad de la suma.


Prueba. Basta notar que si P = [a]n ∈ Zn, entonces

P+Q = [a]n +[0]n = [a+0]n = [a]n = P.

o

! Para antes de seguir leyendo: Definimos la relación ≤ sobre Zn de lasiguiente manera: dado P = [a]n y Q = [b]n, diremos que P ≤ Q si y sólo sia≤ b (según el orden usual de los números enteros). ¿Qué problemas presentala “definición” anterior?

Definición 3.52. Dado un número natural positivo n, diremos que un conjunto Res un sistema completo de residuos módulo n si se cumple que:Sistema

completo deresiduos R posee n elementos y

Los elementos de R son incongruentes módulo n entre sí. Dicho de otromodo, si x,y ∈ R y x 6= y, entonces x 6≡n y.

Teorema 3.53. Sea n ∈N∗, y sea R = {a1, . . . ,an} un sistema completo de resid-uos módulo n. Entonces Zn = {[a1]n, . . . , [an]n}. En particular, para cada r ∈Z con0≤ r < n existe un único i tal que [ai]n = [r]n.


3.6. El pequeño teorema de Fermat

Dado n ∈N∗, consideremos el conjunto de todos los enteros positivos menoreso iguales que n que son primos relativos con n:

Rn = {a ∈ Z : 1≤ a≤ n,(n,a) = 1}.

A este conjunto lo llamaremos el sistema canónico reducido de residuos módulon. El tamaño de este conjunto puede variar ampliamente según la naturaleza de n.Sistema

canónicoreducido

Por ejemplo, para n = 16 tenemos que

R16 = {1,3,5,7,9,11,13,15},

un conjunto con 8 elementos, mientras que si n es 17, entonces se tendrá que

R17 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16},

un conjunto con 16 elementos.

3.6. EL PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT 129

Definición 3.54 (Función ϕ de Euler). Dado un natural positivo n, definimos aϕ(n) como la cantidad de números enteros a tales que 1 ≤ a ≤ n y (a,n) = 1, es Función ϕ de

Eulerdecir, el tamaño del conjunto Rn.

Según esto, por ejemplo, ϕ(1) = 1, ϕ(16) = 8 y ϕ(17) = 16. En general si n esun número primo, el conjunto Rn tendrá n− 1 elementos, luego ϕ(n) = n− 1. Demodo que podemos pensar informalmente en ϕ(n) como un indicador del gradode primalidad de n (según qué tanto se aproxime este número a n− 1). Es fácilobservar que ϕ(n) = n−1 si y sólo si n es un número primo.

Definición 3.55. Dado un natural positivo n, diremos que un conjunto R es unsistema reducido de residuos módulo n si se cumple que: Sistema

reducido deresiduosR posee ϕ(n) elementos,

para cada a ∈ R, (a,n) = 1 y

los elementos de R son incongruentes módulo n entre sí. Dicho de otro modo,si a,b ∈ R y a 6= b, entonces a 6≡n b.

Teorema 3.56. Sea k = ϕ(n), y sea R = {r1,r2, . . . ,rk} un sistema reducido deresiduos módulo n. Si a es un entero no nulo tal que (a,n) = 1, entonces el conjuntoaR := {ar1,ar2, . . . ,ark} es también un sistema reducido de residuos módulo n.


Veamos que el conjunto Rn es un conjunto reducido de residuos módulo n,esto es, que cumple con las tres propiedades de la definición: las primeras dos sonevidentes. Para la última basta notar que dos números enteros distintos x,y talesque 1 ≤ x,y ≤ n nunca pueden ser congruentes módulo n, ya que su diferencia nopuede ser un múltiplo de n.

Teorema 3.57. Dados n > 1 y k = ϕ(n), sea R = {x1,x2, . . . ,xk} un conjuntoreducido de residuos módulo n. Para cada i sea ri = Resn(xi). Entonces Rn, elconjunto canónico reducido de residuos de n, es precisamente {r1, . . . ,rk}.

Prueba. Sea R = {r1,r2, . . . ,rk}. Hacemos varias observaciones:

(a) Para cada s, (rs,n) = 1: Dado que (xs,n) = 1, por el teorema 3.18 concluimosque existen números enteros a,b tales que axs + bn = 1. Ahora, sea q unentero tal que xs = qn+rs. Entonces a(qn+rs)+bn = 1, o equivalentemente,(aq+b)n+ars = 1. Gracias al teorema 3.18 concluimos que (rs,n) = 1.

(b) Para cada s, 1 ≤ rs < n: esto se tiene ya que rs es un residuo módulo n, y rs

no es nulo puesto que (xs,n) = 1, luego en particular n 6 | xs.


(c) R posee k elementos: para ello debemos ver que si s 6= t, entonces rs 6= rt .Si s 6= t, entonces xs 6= xt , por ende xs 6≡n xt , lo que implica, por el teorema3.40, que rs 6= rt .

Las observaciones (a) y (b) implican que R ⊆ Rn. La observación (c) implica queR y Rn poseen el mismo número de elementos, y como son dos conjuntos finitostales que uno está contenido en el otro, entonces ellos deben ser iguales. o

Teorema 3.58 (Pequeño teorema de Fermat). Para p un número primo y a unnúmero natural positivo tal que (a, p) = 1, ap−1 ≡p 1.

Prueba. Sabemos que Rp = {1,2, . . . , p−1}. Por el teorema 3.56, el conjunto

{a,2a, . . . ,(p−1)a}

es un sistema reducido de residuos módulo p. Sea ri = Resp(ia), para 1≤ i≤ p−1.Claramente para cada i tenemos que ri ≡p ia, luego una aplicación repetida delteorema 3.45(e) nos permite concluir que

(a)(2a) · · ·((p−1)a)≡p r1r2 · · ·rp−1,

o equivalentemente,ap−1(p−1)!≡p r1r2 · · ·rp−1,

Ahora, dado que los residuos ri son todos distintos entre sí y se encuentran entre 1y p−1, concluimos que

Rn = {1,2, . . . , p−1}= {r1,r2, . . . ,rp−1},

y por ende, (p−1)! = r1r2 · · ·rp−1. Entonces concluimos que

ap−1(p−1)!≡p (p−1)!.

Dado que ((p−1)!, p) = 1 (¿por qué?), el teorema 3.47 nos permite concluir que

ap−1 ≡p 1.

o

Veamos una aplicación del pequeño teorema de Fermat:

3.7. EL TEOREMA CHINO DEL RESIDUO 131

�� Ejemplo 3.59. Calcule el residuo Res13(6542), esto es, el mínimo númeronatural m tal que 6542 ≡13 m. Por el pequeño teorema de Fermat, 612 ≡13 1.Ahora, 542 = (45)12+2, luego 6542 = [612]4562. A partir de las congruencias

612 ≡13 1, 62 ≡13 62

y por el teorema 3.45 (partes (e) y (f)) concluimos que

[612]4562 ≡13 14562,

y por ende 6542 ≡13 36. Dado que Res13(36) = 10, concluimos que m = 10.

Sea n = 3576. El último dígito de este entero es 6. Otra forma de pensar en estenúmero es como el residuo que resulta al dividir a n entre 10, esto es, Res10(n).Como veremos en el siguiente ejemplo, el pequeño teorema de Fermat nos sirvecomo una herramienta para calcular el último dígito de un número entero:

�� Ejemplo 3.60. Determine el último dígito de 313 (es decir, el enteroRes10(313)). Lo primero que haremos es calcular Res5(321). Por el pequeñoteorema de Fermat, 34 ≡5 1. Como 321 = [34]53, concluimos que

[34]53≡5 153,

luego 321 ≡5 3. Esto significa que 321 es de la forma 5k + 3; dado que losmúltiplos enteros de 5 poseen a 0 ó a 5 como último dígito, entonces 321 poseeun 3 o un 8 como último dígito. Pero 321 es un entero impar (ver ejercicio 2),luego necesariamente debe tener a 3 como último dígito.

3.7. El teorema chino del residuo

Definición 3.61. Sean a,b ∈ Z, y n un número natural positivo. Diremos que lacongruencia ax≡n b posee una solución, si existe e ∈ Z tal que ae≡n b.

Supongamos que e ∈ Z es una solución de la congruencia ax≡n b, y sea e′ ∈ Ztal que e ≡n e′. Sea s ∈ Z tal que e′− e = sn. Entonces e′ = e + sn, luego ae′ =


ae + asn y por ende ae′ ≡n ae. Pero entonces ae′ ≡n b, luego e′ es también unasolución de la congruencia ax≡n b. Este resultado podemos resumirlo así:

Observación 3.62. Consideremos la congruencia lineal ax ≡n b. Si e es unasolución de esta congruencia, y e′ ∈ [e]n, entonces e′ es también una solución.

La anterior observación nos permite definir sin ambiguedad el concepto declase-solución de una congruencia lineal:

Definición 3.63. Sean a,b ∈ Z, y n un número natural positivo. Consideremosla congruencia lineal ax ≡n b. Dado P ∈ Zn con P = [e]n, diremos que P es unaclase-solución de la congruencia ax ≡n b si e es una solución de la congruenciaax≡n b.

Definición 3.64. Diremos que la congruencia lineal ax ≡n b posee exactamentek soluciones módulo n si existen exactamente k elementos P ∈ Zn tales que P esuna clase-solución de ax≡n b. En otras palabras, si el conjunto

{P ∈ Zn : P es una clase-solución de ax≡n n }

posee exactamente k elementos.

! Para antes de seguir leyendo: Sea n un número natural positivo.

(a) Demuestre que si la congruencia ax ≡n b posee al menos una solucióne ∈ Z, entonces posee infinitas soluciones.

(b) Demuestre que la congruencia ax ≡n b nunca posee infinitas clases-soluciones.

�� Ejemplo 3.65. Considere la congruencia 12x ≡8 20. Estamos interesadosen saber cuántas clases-soluciones posee esta congruencia. Para ello consider-amos cada elemento de Z8 e indagamos si éste es clase-solución de la congru-encia:

[0]8: tenemos que 12(0) = 0 6≡8 20.

[1]8: tenemos que 12(1) = 12≡8 20.


[2]8: tenemos que 12(2) = 24 6≡8 20.

[3]8: tenemos que 12(3) = 36≡8 20.

[4]8: tenemos que 12(4) = 48 6≡8 20.

[5]8: tenemos que 12(5) = 60≡8 20.

[6]8: tenemos que 12(6) = 72 6≡8 20.

[7]8: tenemos que 12(7) = 80≡8 20.

Concluimos que la congruencia 12x ≡8 20 posee exactamente 4 solucionesmódulo 8.

El siguiente teorema nos dice precisamente cuándo una congruencia posee porlo menos una solución:

Teorema 3.66. Sean a,b ∈ Z, y sea n un número natural positivo. Consideremosla congruencia lineal ax ≡n b. Sea d = (a,n). Entonces la congruencia posee porlo menos una solución si y sólo si d|b.


(→) Supongamos que existe e ∈ Z tal que ae≡n b: sea c ∈ Z tal que b−ae = cn.Entonces b = cn+ae, y como d = (a,n), entonces por el teorema 3.3(f), d|b.

(←) Supongamos que d|b, y sea c ∈ Z tal que dc = b. Como d = (a,n), entoncesd puede expresarse como una combinación lineal entre a y n, esto es, existens, t ∈ Z tales que d = sa + tn. Entonces b = dc = sac + tnc. Entonces b−a(sc) = n(tc), luego n|(b−a(sc)) y así por el teorema 3.40, a(sc)≡n b. Porende sc es una solución de la congruencia ax≡n b.

o

Si una congruencia lineal posee por lo menos una solución, podemos describirtodas sus soluciones:

Teorema 3.67. Sean a,b ∈ Z, y sea n un número natural positivo. Consideremosla congruencia lineal ax ≡n b. Sea d = (a,n). Entonces la congruencia posee porlo menos una solución e si y sólo si d|b. En este caso, la congruencia posee exac-tamente d soluciones módulo n, y además las d clases-solución de la congruencia


son

[e]n ,[e+

nd

]n,

[e+

2nd

]n, . . . ,

[e+

(d−1)nd

]n,

en donde e ∈ Z es una solución de la congruencia.

Prueba. El teorema 3.66 garantiza la primera parte del resultado (esto es, que lacongruencia posee solución si y sólo si d|b). Para demostrar la otra parte, suponga-mos que e ∈ Z es una solución de la congruencia. Debemos ver que la congruenciaposee exactamente d soluciones módulo n, y además que las d clases-solución dela congruencia son exactamente aquellas de la forma[

e+ind

]n, con 0≤ i < d.

Primero debemos observar que las clases anteriormente descritas realmente son dy no menos: si 0≤ i < i′ < d, entonces las clases [e+ in

d ]n y [e+ i′nd ]n son distintas,

pues supongamos que e + ind ≡n e + i′n

d : entonces (i′− i) nd = cn para algún c ∈ N,

luego |i′− i|= d|c|. Ahora, es claro que |i′− i|< d, lo cual implica que |i− i′|= 0,es decir, i = i′, lo cual es una contradicción.

Para terminar la demostración basta verificar que para cada e′ ∈ Z, e′ es unasolución de la congruencia si y sólo si existe i tal que 0≤ i < d y e′ ≡n e+ in

d .

(→) Supongamos que e′ es una solución de la congruencia. Entonces ae′ ≡n b≡n

ae. De modo que ae ≡n ae′, luego por el teorema 3.48, e ≡ nd

e′. Entoncesexiste c ∈ Z tal que e′− e = cn

d . Ahora, por el algoritmo de la división c esde la forma

c = hd + i,0≤ i < d.

Entonces e′−e = (hd + i) nd = hn+ in

d , o equivalentemente e+ ind −e′ =−hn,

lo cual demuestra que e′ ≡n e+ ind .

(←) Supongamos que existe i tal que 0 ≤ i < d y e′ ≡n e + ind . Por esto, para ver

que e′ es solución de la congruencia, basta verificar (por la observación 3.62)que e+ in

d lo es. Veamos que este es el caso:

a(

e+ind

)= ae+n

(iad

)≡n b+0 = b.

o

Teorema 3.68. Sean n1, . . . ,nk naturales positivos tales que para s 6= t tenemosque (ns,nt) = 1, y sean a,b ∈ Z tales que para cada i, a≡ni b. Entonces a≡n b, endonde n = n1 · · ·nk.


Prueba. Se demuestra por inducción en k:

Caso base: k = 1: es evidente.

Paso inductivo: supongamos que el resultado es válido para k, y demostré-moslo para k +1: supongamos que n1, . . . ,nk,nk+1 son enteros positivos pri-mos relativos entre ellos, y sean a,b ∈ Z tales que a≡ni b, 1≤ i≤ k+1. Sean′ = n1n2 · · ·nk. Por hipótesis de inducción concluimos que a ≡n′ b. Seane,e′ ∈ Z tales que

b−a = enk+1 y b−a = e′n′.

Entonces enk+1 = e′n′, luego nk+1|e′n′. Puede verse que (nk+1,n′) = 1, luegopor el teorema 3.19, nk+1|e′ y así existe c ∈ Z tal que cnk+1 = e′. Entonces

b−a = e′n′ = cnk+1n′ = c(n1n2 · · ·nknk+1),


o

Teorema 3.69. Sean a1,a2, . . . ,ak ∈ Z, y sean n1,n2, . . . ,nk ∈ N∗. Consideremosel siguiente sistema de congruencias lineales:

x≡n1 a1,

x≡n2 a2,

...

x≡nk ak.

Sea n = n1n2 · · ·nk, y sea s ∈ Z una solución del sistema anterior. Entonces paratodo x ∈ Z, si x≡n s entonces x es una solución de la congruencia.

Prueba. Ahora, si x ≡n s, entonces n|x− s; para cada i, ni|n. Por ende, para cadai, ni|x− s, esto es, x ≡ni s. Como s es una solución del sistema de congruencias,entonces x también lo es, como queríamos ver. o

El siguiente teorema establece condiciones suficientes para resolver un sistemade varias congruencias lineales. Su nombre se debe a que su demostración fue dadapor el chino Sun Tzu alrededor del Siglo III D.C:


Teorema 3.70 (Teorema chino del residuo). Sean a1,a2, . . . ,ak ∈ Z, y seanTeorema chinodel residuo n1,n2, . . . ,nk ∈N∗ tales que para cada s 6= t, (ns,nt) = 1. Consideremos el siguiente

sistema de congruencias lineales:

x≡n1 a1,

x≡n2 a2,

...

x≡nk ak.

Entonces el sistema posee una solución. Además, el conjunto de todas las solu-ciones del sistema de congruencias es precisamente [s]n, en donde s∈Z es cualquiersolución del sistema, y n = n1n2 · · ·nk.

Prueba. Fijamos un i tal que 1≤ i≤ k y hacemos el siguiente análisis: sea

si = n/ni = n1n2 · · ·ni−1ni+1 · · ·nk.

Es fácil ver que (n,si) = 1. Sea Rni = {r1, . . . ,rz} el sistema canónico reducido deresiduos módulo ni. Por el teorema 3.56, el conjunto

siRni = {sir1, . . . ,sirz}

es un sistema reducido de residuos módulo ni. Ahora, como 1 ∈ Rni , entonces porel teorema 3.57 debe existir un elemento b ∈ siRni tal que 1 = Resni(b). Este ele-mento b será por supuesto de la forma sirt , y sirt ≡ni 1. En resumen, para cada ihemos encontrado un entero ci tal que sici ≡ni 1. Por ende para cada i tenemos quesiciai ≡ni ai. Ahora, sea

s =k

∑i=1

siciai.

Para cada i, s≡ni ai (ya que para j 6= i, s j ≡ni 0), como queríamos demostrar.Sea s∈Z cualquier solución del sistema, y sea Sol ⊆Z el conjunto de todas las

soluciones al sistema. Gracias al teorema 3.68, Sol⊆ [s]n; el teorema 3.69 garantizaque [s]n ⊆ Sol. Concluimos que Sol = [s]n. o

En particular si consideramos un sistema de congruencias como en el enun-ciado del teorema chino del residuo, entonces la solución de este es única módulon = n1 · · ·nk, ya que si Sol es el conjunto de soluciones del sistema y s,s′ ∈ Solentonces como Sol = [s]n, concluimos que s′ ∈ [s]n, es decir, s≡n s′.

Veamos un ejemplo de cómo encontrar soluciones de un sistema de congruen-cias lineales:


�� Ejemplo 3.71. Resuelva el siguiente sistema de congruencias lineales:

x≡3 2

x≡4 3

x≡7 2

Solución. Dado que 3,4 y 7 son primos relativos entre sí, por el teorema chinodel residuo sabemos que el sistema posee una solución s ∈ Z. Razonamos dela siguiente manera:

(i) Como s≡3 2, existe a ∈ Z tal que s = 3a+2.

(ii) Por (i) tenemos que 3a + 2 ≡4 3. Manipulamos esta congruencia de lasiguiente forma para “despejar a”:

3a+2≡4 3 → 3a+2−2≡4 3−2 (Sumar −2, teorema 3.45(d))→ 3a≡4 1→ −a≡4 1−4a (Sumar −4a, teorema 3.45(d))→ −a≡4 1+0 (−4a≡4 0 + teorema 3.45(d))→ −a≡4 1→ a≡4 −1 (Mult. por −1, teorema 3.45(e))→ a+4≡4 3 (Sumar 4, teorema 3.45(d))→ a≡4 3 (4≡4 0 + teorema 3.45(d))

(iii) Por (ii) existe b ∈ Z tal que a = 4b+3, luego

x = 3(4b+3)+2 = 12b+11.

(iv) Entonces 12b+11≡7 2. Ahora “despejamos” a b:

12b+11≡7 2 → 12b+14≡7 5 (Sumar 3, teorema 3.45(d))→ 12b≡7 5 (14≡7 0 + teorema 3.45(d))→ 5b≡7 5−7b (Sumar −7b + teorema 3.45(d))→ 5b≡7 5 (−7b≡7 0 + teorema 3.45(d))→ b≡7 1 (teorema 3.47 + (5,7) = 1)


(v) Por (iv) existe c ∈ Z tal que b = 7c+1. Por ende, s = 12(7c+1)+11 =84c+23. Como 23≡n s, concluimos (de nuevo por el teorema chino delresiduo) que 23 es una solución al sistema de congruencias: de hecho, elconjunto de todas las soluciones de la congruencia es

[23]84 = {23+84z : z ∈ Z},

luego 23 es la única solución x del sistema tal que 0≤ x < 84).

o




Para más sobre divisibilidad, consultar [5], capítulo 2; [7], secciones 2.6 a2.9; [4], secciones 31-32.

Para más sobre congruencias, función de Euler y teorema chino del residuo,consultar [5], capítulos 3 y 4; [7], secciones 2.10 a 2.15; [4], secciones 33-34.


3.8. / Ejercicios


1. Recuerde que un número par es un entero n tal que 2|n, es decir, un númerode la forma n = 2k (en donde k ∈ Z). Un impar es un entero no par. Deci-mos que los números pares poseen paridad 0 y los números impares poseenparidad 1.

Si a y b son pares, y w y z son impares, determine la paridad de:

a) a+b,b) a+w,c) w+ z,d) ab,

e) wz,f ) az,g) aw (a,w ∈ N∗),h) wa + wz (a,z ∈

N∗),i) ab+wz.

2. Demuestre que para todo número entero z, z y z2 poseen la misma paridad.Generalice el anterior resultado para z y zn y demuéstrelo por inducción ma-temática.

3. Calcule todos los divisores de 240.

4. Halle d = (−120,176), y exprese a este número como una combinación lin-eal entre −120 y 176.


5. Dibuje el orden (D+210, |).

6. Dibuje al orden (Z, |) teniendo en cuenta todos los casos interesantes (el 0,el 1 y algunos números primos).

7. Demuestre el corolario 3.4.

ENTRADAS

8. Demuestre el lema 3.2.


10. Demuestre que (a,b)|c si y sólo si existen x,y ∈ Z tales que ax+by = c.

11. ¿Verdadero o falso? (dar una demostración o un contraejemplo)

a) Si a|b y a′|b′, entonces aa′|bb′.

b) Si ka|kb entonces a|b.

c) Si de|c, entonces d|c.

d) Si c|de, entonces c|d.

12. Demuestre que todo número natural n > 0 posee un número infinito de múlti-plos enteros y un número finito de divisores enteros.

13. Demuestre las siguientes propiedades del máximo común divisor (dondea,b,m ∈ Z, a y b no son ambos nulos, y m 6= 0):

a) Conmutatividad: (a,b) = (b,a).

b) Distributividad: (ma,mb) = |m|(a,b).

c) Asociatividad: ((a,b),c) = (a,(b,c)).

d) Absorción: (a,(a,b)) = (a,b).

14. Demuestre las siguientes afirmaciones:

a) (a,b) = (a,b+ ka).

b) Si b = aq+ r, entonces (a,r) = (a,b).

c) n|m si y solamente si n2|m2.

d) Si ab|cd y a y d son primos relativos, entonces a|c.

e) Si a y b son primos relativos, entonces (a+b,a−b)≤ 2.

f ) Si (a,x) = d y (b,x) = 1, entonces (ab,x) = d.


g) Si a|c y b|c, entonces ab(a,b) |c.

h) Si (a,x) = (b,x) = 1, entonces (ab,x) = 1.

i) Para n,m ≥ 1, si m2 = kn2, entonces k es el cuadrado de un númeroentero.

j) Si (a,x) = 1 y a|xy, entonces a|y.

k) Si n ≥ 2 no es un número primo, entonces existe un número primo ptal que p|n y p2 ≤ n.

15. Demuestre el lema de Euclides (teorema 3.21).


17. Muestre que cualesquiera dos enteros consecutivos son primos relativos.


19. Utilice el pequeño teorema de Fermat para calcular el último dígito de cadauno de los siguientes números enteros:

a) 276,

b) 4315,

c) 7138,

d) 477.

20. Demuestre que para todo k ∈ N∗, el último dígito de 4k es 4 o 6.

21. Demuestre que para todo n ∈ N, si b = 2n, entonces 2(b)−1 es el productode n o más números primos.

22. ¿Existen soluciones enteras a la ecuación 5200x+7500y = 1?.

23. Sea n∈N∗. Demueste que si n posee un número primo de divisores positivos,entonces n es la potencia positiva de un primo (es decir, existe k ∈ N∗ y unnúmero primo p tal que n = pk).

24. Dado a ∈ Z, sea Pa el conjunto de todos los números primos que dividen a a.

a) Demuestre que dados a,b ∈ Z,

(a,b) = 1↔ Pa∩Pb = ∅.

b) Demuestre que dados a,b ∈ Z, Pab = Pa∪Pb.

c) Si a ∈ Z y n ∈ N∗, calcule el conjunto Pan en términos de Pa.


d) Compare las afirmaciones “a|b” y “Pa ⊆ Pb”: ¿son equivalentes, algu-na implica a la otra o no son comparables? Justifique claramente surespuesta.

25. Si d 6= 0, y a = de+ r, con 0≤ r < |d|, demuestre que uno y sólo uno de lossiguientes números enteros es un múltiplo de d: a,a+1, . . . ,a+ |d|−1.

26. Demuestre que para todo n∈N∗, n es un múltiplo de 3 si y sólo si la suma delos dígitos de n es un múltiplo de 3 [Ayuda: Sea n = n0 +10n1 + · · ·+10knk.Considere el polinomio dado por p(x) = n0 + xn1 + · · ·+ xknk y utilice elcorolario 3.46.]

27. Demuestre que para todo n ∈N∗, n es un múltiplo de 4 si y sólo si Res100(n)es un múltiplo de 4.



30. Demuestre que para cada n > 1 existen n números naturales consecutivosque no son primos (esto nos da una idea de la distribución irregular de losnúmeros primos) [Ayuda: Considere los números (n + 1)! + 2,(n + 1)! +3, . . . ,(n+1)!+(n+1).]

31. Mínimo común múltiplo Dado a ∈ Z, definimos (a) = {ka : a ∈ Z}. Dadosa,b ∈ Z, no ambos nulos, definimos el mínimo común múltiplo entre a y bcomo

m.c.m(a,b) := min((a)+∩ (b)+).

a) Demuestre que m = m.c.m(a,b) verifica que a|m, b|m, y si e es unmúltiplo de a y b, entonces m|e.

b) Demuestre que la operación m.c.m es conmutativa y asociativa.c) Demuestre que (a,b) = 1 si y sólo si m.c.d(a,b) = |ab|.d) Para a,b ∈ N∗, dé una caracterización de la factorización en primos de

m.c.d(a,b) en términos de las factorizaciones en primos de a y b.

PLATOS FUERTES

32. Demuestre que si n y m son primos relativos, con n,m > 0 y nm = ak (k > 0),entonces existen enteros x,y tales que n = xk y m = yk.

33. Demuestre que si n = p0 p1 · · · pk, entonces (D+n , |) ∼= (P({0,1 . . .k}),⊆).

(Recuerde que pi es el (i + 1)-ésimo primo. Ver el capítulo de inducciónmatemática para el concepto de isomorfismo de órdenes.)


34. Encuentre todas las soluciones del siguiente sistema de congruencias lin-eales:

x≡5 2, x≡6 4, x≡7 3.

35. ¿Verdadero o falso?

a) Para todo k ∈ N∗, (kN, |)∼= (N,≤). (recuerde que kN = {0,k,2k, . . .}).b) Para todo k > 1, ({ki : i ∈ N}, |)∼= (N,≤).

c) Para todo k ∈ N∗, (kN, |)∼= (N∗, |).d) Para todo k ∈ N∗, (kN∗, |)∼= (N∗, |).

36. Clausura Dado A⊆ Z, definimos el conjunto CL(A) (la clausura de A) así:c ∈ CL(A) si y sólo si existen x1, . . . ,xn ∈ Z y a1, . . . ,an ∈ A tal que c =x1a1 + · · ·+xnan.6 Demuestre que para cada A⊆Z se cumplen las siguientesafirmaciones:

a) 0 ∈CL(A).

b) Si A⊆ B, entonces CL(A)⊆CL(B).

c) A⊆CL(A).

d) CL(CL(A)) = CL(A).

e) Existe a ∈ Z tal que CL(A) = CL({a}). [Ayuda: Si CL(A) = {0}, elresultado se tiene. De lo contrario, defina a como el mínimo elementodel conjunto N∗∩CL(A), el cual existe por el P.B.O. Como a ∈CL(A),verifique que por las partes (b) y (d) se tiene que CL({a}) ⊆ CL(A).Para la otra inclusión, comience demostrando que todo entero positi-vo que pertenezca a CL(A) debe pertenecer a CL({a}), utilizando laminimalidad de a.]

f ) CL({a,b}) = Z si y sólo si (a,b) = 1.

37. m.c.d generalizado En este ejercicio definimos el máximo común divisorgeneralizado: Sea A⊆ Z tal que A r{0} 6= ∅. Definimos el máximo comúndivisor del conjunto A, y lo denotamos por m.c.d(A) como el mayor númeroentero que divide a todos los elementos de A. Es decir:

m.c.d(A) = max

(⋂a∈A

Da

).

Note que en particular, (a,b) = m.c.d({a,b}), luego en realidad se está ge-neralizando la definición de (a,b). Demuestre las siguientes afirmaciones:

6Si A = ∅, definimos CL(A) = {0}.


a) Si A⊆ B⊆ Z, entonces m.c.d(B)⊆ m.c.d(A).

b) m.c.d({x}) = |x| (donde x ∈ Z∗).c) m.c.d(A) es el único número entero d que cumple con lo siguiente:

para todo a ∈ A, d|a, y para todo x, si para todo a ∈ a se tiene que x|a,entonces x|d.

d) m.c.d(A) = min(CL(A)∩N∗). En otras palabras, m.c.d(A) es la mínimacombinación lineal positiva de elementos de A. [Ver el ejercicio 36 parala definición de CL(A)].

e) m.c.d(A) = m.c.d(CL(A)).

f ) m.c.d(A) = 1 si y sólo si CL(A) = Z.

g) m.c.d((a)) = |a|, donde a ∈ Z∗ [recuerde que (a) es el ideal principalgenerado por a].

h) m.c.d(A∪{x}) = m.c.d(A) si y sólo si x ∈CL(A).

i) m.c.d(A∪B) = (m.c.d(A),m.c.d(B)).

38. Sean n,m ∈ N∗, y sea nat : Z → Zn ×Zm la función dada por nat(a) =([a]n, [a]m). Sea además c = m.c.m(n,m), es decir, el mínimo común múltiploentre n y m (véase el ejercicio 31).

a) Demuestre que nat no es una función inyectiva.

b) Sea natc : Zc→ Zn×Zm la función dada por natc([x]c) = nat(x). De-muestre que la anterior definición no es ambigua, esto es, que si [x]c =[y]c, entonces nat(x) = nat(y).

c) Demuestre que la función natc : Zc→ Zn×Zm es inyectiva.

d) Concluir a partir del ejercicio anterior una versión particular del teo-rema chino del residuo, cuando k = 2, es decir, cuando el sistemaposee únicamente dos congruencias. [Ayuda: Utilizar el ejercicio 31(c)y un argumento de conteo para demostrar que bajo las hipótesis delteorema chino del residuo la función natc es biyectiva.] [De hechose puede generalizar el ejercicio anterior, considerando una funciónnatn : Zn→ Zn1×·· ·×Znk , donde n es el mínimo común múltiplo ge-neralizado entre n1, . . . ,nk, y esto nos permite concluir el teorema chinodel residuo para cualquier k ∈ N∗.]

39. Teorema Resumen, primos relativos Dados n,m ∈ N∗, demuestre que lassiguientes afirmaciones son equivalentes entre si:

a) (n,m) = 1.


b) (n)+(m)= Z [Por definición, (n) := {kn : k∈Z} y (n)+(m) := {x+y :x ∈ (n),y ∈ (m)}.]

c) n y m no poseen divisores primos en común.

d) (n)∩ (m) = (nm).

e) Todo número entero es una combinación lineal entre n y m.

f ) m.c.m(n,m) = nm.

g) La función nat : Z→ Zn×Zm es sobreyectiva.

h) ([1]n, [0]m) y ([0]n, [1]m) pertenecen a la imagen de la función nat.

i) Existe c ∈ Z tal que la función natc : Zc→ Zn×Zm es sobreyectiva.

j) Existe c ∈ Z tal que la función natc : Zc→ Zn×Zm es biyectiva.

40. Entre 8000 y 9000 naves espaciales alienígenas se encuentran actualmenteen la tierra. A un mago llamado Kandú, que nunca se equivoca, le pregun-taron cuántas eran, y dijo: “Por respeto a la comunidad Alien, todo lo quepuedo decir es que el número de ellas termina en 2”. Además se sabe que lasnaves se han agrupado hasta ahora en trece frentes de igual número de naves,junto con una nave adicional que hasta ahora ha permanecido sola y ha sidobautizada como “Nebbia”. Finalmente el D.A.S ha descifrado luego de ar-duo trabajo un mensaje alienígena que dice lo siguiente: “estamos esperandoa 100 naves más para así visitar las 7 maravillas del mundo en 7 grupos pare-jos (cada uno con exactamente el mismo número de naves)”. ¿Puede usteddeterminar el número exacto de naves que se encuentran en la tierra?

41. En un pueblo se realiza un festival gastronómico cada 12 años , y un festi-val musical cada 20 años. Si en 1820 se realizó por primera vez el festivalgastronómico, y en 1826 se realizó por primera vez el festival musical, de-muestre que es imposible que en un mismo año se realicen ambos festivales.

42. En un salón hay cierta cantidad de personas, todas ellas sentadas. Suponga-mos que para cada n ∈ {1,2,3,4,5} sucede lo siguiente: “si las personas secomienzan a retirar de la sala en grupos de n+1 personas, en algún momentoquedarán exactamente n personas en el salón”. Sin embargo, si las personasse comienzan a retirar de la sala en grupos de 7 personas, en algún momentono quedarán personas en la sala. ¿Cuál es el mínimo número posible de sillasque hay en la sala?

43. El gigante David canta cada 5 días, y baila cada 8 días. Si el día de hoyDavid cantó, y dentro de 2 días bailará, ¿cuál es el mínimo número de díasque debemos esperar para que David cante y baile en un mismo día?

3.9. - PROYECTO: CLAUSURA E IDEALES EN Z 147

44. Usted se encuentra en el centro de un enorme cuarto que posee 100 puer-tas numeradas del 1 al 100, todas ellas se encuentran cerradas inicialmente.Un mago que se encuentra a su lado comienza a pronunciar lentamente losnúmeros del 1 al 100, en orden ascendente. Cada vez el mago que pronun-cia el número i, las puertas que son múltiplos de i cambian mágicamente deestado (se cierran si estaban abiertas, y se abren si estaban cerradas). Cuan-do el mago haya terminado de pronunciar el número 100, ¿exactamente quépuertas habrán quedado abiertas?

3.9. - Proyecto: Clausura e ideales en Z

Este proyecto presenta un enfoque algebraico al tema de divisibilidad, y tam-bién conjuntista ya que los resultados son establecidos en términos de ciertos con-juntos canónicos de enteros (clausura, ideales e ideales primos) cuyos elementoscomparten cierta propiedad definida a partir de las operaciones básicas en Z (sumay multiplicación). En este sentido nuestros objetos de estudio (o puntos), en vez deser los números enteros, son las clausuras y los ideales.

1. Comience por hacer el ejercicio 36 de la sección 3.8.

2. Demuestre que dados A,B⊆ Z las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) CL(A) = CL(B),

(ii) Todo elemento de A puede escribirse como una combinación lineal en-tre elementos de B, y todo elemento de B puede escribirse como unacombinación lineal entre elementos de A.

3. Encuentre un contraejemplo para la siguiente afirmación: “Sea A = {a1, ...,an}⊆Z, con n > 1. Si para cada i, j ∈ {1, . . . ,n} se tiene que CL({ai,a j}) 6= Z, en-tonces CL(A) 6= Z.”

4. Dado A ⊆ Z, diremos que A es un ideal, si A 6= ∅, dados a,∈ A y z ∈ Zentonces az ∈ A, y dados a,a′ ∈ A entonces a+a′ ∈ A.

a) Sea a ∈ Z Demuestre que el conjunto (a) = aZ = {ak : k ∈ Z} es unideal. Este es llamado el ideal principal generado por a.

b) Demuestre que para todo ideal A⊆ Z existe a ∈ Z tal que A = (a).

5. Sean a,b ∈ Z.

a) Calcule (0) y (1). (Estos son llamados los ideales triviales).


b) Demuestre que (0)⊂ (12)⊂ (6)⊂ (3)⊂ (1). (Recuerde que ⊂ denotainclusión estricta).

c) (b 6= 0) Demuestre que (a)⊆ (b) si y sólo si b|a.

d) Demuestre que (a)∩ (b) es un ideal. Encuentre c ∈ Z en términos de ay b tal que (a)∩ (b) = (c).

6. Dado un ideal A = (a) ⊆ Z (con a ∈ Z), diremos que A es un ideal primosi A 6= Z y además se tiene que para todo x,y ∈ Z, si xy ∈ A entonces x ∈ Aó y ∈ A. Demuestre que (a) es un ideal primo si y sólo si a = 0 ó |a| es unnúmero primo.

7. Demuestre que si (a) ⊆ Z es un ideal propio (es decir, 1 /∈ (a)), entoncesexiste un ideal primo (b) ⊆ Z tal que (a) ⊆ (b). (En otras palabras, todoideal propio está contenido en algún ideal primo). [Ayuda: utilizar el T.F.A.].

8. Demuestre que todo ideal primo (a) ⊆ Z tal que a 6= 0 cumple con la si-guiente propiedad: si (b) es un ideal tal que (a)⊆ (b), entonces (a) = (b) o(b) = (1) = Z.

9. Diremos que A⊆ Z es cerrado si CL(A) = A. Sea C el conjunto de todos lossubconjuntos cerrados de Z. Demuestre que

C = {CL(X) : X ∈P(Z)}= {I ∈P(Z) : I es un ideal}.

Esto demuestra que las afirmaciones “A es cerrado”, A es la clausura de unsubconjunto de Z”, “A es un ideal” y “existe a ∈ Z tal que A es el conjuntode todos los elementos de la forma ka (k ∈ Z)” son equivalentes entre sí.

10. Sea D el conjunto de todos los ideales I ⊆ Z tales que I 6= (0); sea Pr elconjunto de todos los ideales I ⊆ Z tales que I es un ideal primo e I 6= (0)(note que Pr ⊆ D), y sea P ⊆ Z el conjunto de todos los números primos.Demuestre que las estructuras ordenadas (D ,⊇) y (N∗, |) son isomorfas: másaún, defina un isomorfismo

φ : N∗ −→D ,

tal que φ [P] = Pr (donde por definición φ [P] := {φ(p) : p ∈ P}). (Debedemostrar que φ es un isomorfismo de órdenes).

Definiciones para referencia: Sean A ⊆ Z, a ∈ Z. Definimos los siguientes conjuntos ypropiedades:

La clausura de A : CL(A) = {x1a1 + . . .+ xnan : x1, . . . ,xn ∈ Z,a1, . . . ,an ∈ A}.

3.9. - PROYECTO: CLAUSURA E IDEALES EN Z 149

A es cerrado si CL(A) = A.

A es un ideal si A 6= ∅, y dados x ∈ Z, a,a′ ∈ A, se tiene que a+a ∈ A y ax ∈ A.

A es un ideal primo si A es un ideal tal que A 6= Z y dados x,y∈Z se tiene que si x /∈Ay y /∈ A, entonces xy /∈ A. (Esta definición es equivalente a la dada anteriormente).

A es un ideal maximal si A es un ideal tal que A 6= Z, y para todo ideal B tal queA⊆ B se tiene que A = B o B = Z.

(a) = aZ = {ka : k∈Z}. Se demuestra que (a) es un ideal, llamado el ideal principalgenerado por a.

A es un ideal no trivial si A es un ideal tal que A 6= (0) y A 6= (1).

CAPÍTULO 4

RELACIONES Y FUNCIONES

Conexiones entre elementos...

El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de ciertas es-tructuras. Por ejemplo, en el conjunto N de los números naturales, podemos pensaren la relación ser menor o igual que. Bajo esta relación, por ejemplo, 2 se rela-ciona con 3 pero no al contrario, y 0 se relaciona con todos los elementos de N.En el conjunto de los seres humanos, por ejemplo, la relación “tener el mismopadre” nos permite pensar en los seres humanos en terminos más familiares queindividuales, es decir, no como un conjunto de personas, sino como un conjunto dehermandades (donde una hermandad consta de todas las personas que compartenel mismo padre). En este sentido podemos decir que algunas relaciones son herra-mientas que nos permiten cambiar la forma de concebir a un conjunto.

151

152 CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES

En matemáticas, los conjuntos juegan el papel de un terreno o región abstractaconformada por elementos sin ningún orden en especial, y en donde ningún ele-mento en principio es más importante o fundamental que otro. Sobre este terrenoestos elementos se pueden “comparar”, “ordenar”, etcétera, y la forma de lograresto es mediante las relaciones. Ellas proveen estructura al conjunto en cuestión,estableciendo conexiones entre sus elementos y subconjuntos.

En este capítulo nos interesa estudiar las relaciones en general, la funciones(que son un caso particular de las relaciones) y las relaciones de equivalencia. Es-tas herramientas son fundamentales para el desarrollo matemático, pues permititendescribir fenómenos estructurales de forma precisa, definir estructuras numéricasimportantes (los enteros, los enteros módulo n, los racionales, los reales y los com-plejos), construir objetos geométricos y espaciales, definir con precisión la nociónde “isomorfismo entre estructuras” (y otras nociones similares), y contar el númerode objetos que cumplan cierta propiedad.

4.1. Relaciones

Por simplicidad, en este libro estudiaremos únicamente relaciones binarias, esdecir, aquellas en donde la conexión se da entre dos objetos. Un ejemplo es larelación R que ocurre entre personas y libros, en donde una persona p y un libro lse encuentran “R-relacionados” si y sólo si p ha leído el libro l. Podemos abreviarla afirmación “p y l se encuentran R-relacionados” de modo natural, así:

pRl.

Visualmente esto sugiere que los objetos p y l se encuentran conectados por larelación R. Diremos que R es una relación entre los conjuntos H y L (los conjuntosde todos los seres humanos y de todos los libros, respectivamente).

Lo anterior parece sugerir que la relación R no es un objeto (tal y como p yl lo son). Sin embargo hay una manera de “identificar” a R con un objeto, ¡másprecisamente con un conjunto!. Esto no debe sorprendernos, pues un conjunto esun objeto que representa cierta información al poseer o no ciertos elementos. Ennuestro caso, conocer la relación R consiste en conocer dos cosas, a saber:

1. Los dos conjuntos entre los cuales es la relación: en este caso, H y L (sereshumanos y libros).

2. El conjunto de todas las parejas relacionadas por la relación R: (Jhon Be-navides, El extranjero), (Verónica Mariño, Cien años de soledad), (JuliánCastillo, El Quijote), (Nelson Gasca, La metamorfosis), etcétera.

4.1. RELACIONES 153

Naturalmente el conjunto de todas las parejas relacionadas por la relación R porsi sóla nos da la información esencial de esta última. De este modo identificamos aR con el conjunto de parejas relacionadas por la relación que teníamos en mente:

R = {(p, l) : p es un ser humano, l es un ser humano y p ha leído a l},

o lo que es igual:R = {(p, l) ∈ H×L : p ha leído a l}.

La afirmación “pRl” será entonces una abreviación de “(p, l) ∈ R”. Una vez más,la noción de pertenencia sirve para fundamentar y formalizar conceptos más com-plejos1.

Evidentemente preguntarse cuáles son todas las posibles relaciones entre Hy L equivale a preguntarse cuáles son todos los posibles conjuntos de parejas dela forma (p, l), donde p ∈ H y l ∈ L. ¡Concluimos que el conjunto de todas lasrelaciones entre H y L es P(H×L)!.

Las consideraciones anteriores motivan la definición formal de una relación(binaria):

Definición 4.1 (Relación). Sean A y B conjuntos. Una relación entre A y B es unsubconjunto de A×B, esto es, un conjunto R tal que R⊆ A×B.

Por conveniencia si R es una relación entre A y A, diremos que R es una relaciónsobre A. Por ende, el conjunto de relaciones sobre A es P(A×A) = P(A2).

Veamos algunos ejemplos de relaciones:

�� Ejemplo 4.2. Sea R la relación descrita mediante la siguiente figura:

'

&

$

%

'

&

$

%

A B

c

a

d

b

2

4

3

1

��

��

��

��1

-

-

1Recordemos, por ejemplo, la definición de ser un subconjunto, también definida en términos dela pertenencia.


Entonces R es el conjunto de los siguientes pares ordenados:

R = {(b,1),(c,1),(c,4),(d,3)} ⊆ A×B.

Por ejemplo, el elemento c se relaciona simultáneamente con dos objetos dis-tintos, y el elemento a no se relaciona con ningún objeto. Note que no es cor-recto decir que 1 se relaciona con c, sino más bien que c se relaciona con 1 (espor eso que utilizamos flechas y no líneas como conexiones en el dibujo).

�� Ejemplo 4.3 (La relación ser madre de). Sea R la relación (entre humanos)ser madre de. Esto es, aRb si y sólo si a es madre de b. R es una relaciónsobre H, el conjunto de los seres humanos. Sabemos, por ejemplo, que paratodo x, (x,x) 6∈ R, pues nadie puede ser su propia madre. Además si (x,y) ∈ R,entonces (y,x) 6∈ R. Esto ilustra que el concepto de relación no es en generalsimétrico, de modo que al nombrar los objetos que se relacionan, el ordenen que éstos se mencionan importa. Por supuesto esto no impide que existanmuchas relaciones simétricas, como por ejemplo la relación ser hermano de.

�� Ejemplo 4.4 (La relación ≤). Sea R = {(n,m) ∈ N2 : existe k ∈ N tal quen + k = m}. Es claro que nRm si y sólo si (n,m) ∈ R si y sólo si n ≤ m, demodo que R =≤. Entonces ≤ es el subconjunto de N2 que contiene a las pare-jas {(0,0),(0,1),(1,4),(10,23),(6,6), etcétera. Una forma más precisa de de-scribir esta relación es la siguiente:

≤= ({0}×N)∪⋃

n∈N∗({n}× (Nr{0,1, . . . ,n−1})).

! Para antes de seguir leyendo:Identifique las siguientes relaciones conocidas sobre N:

(a) R =⋃

n∈N∗{n}×{0, . . . ,n−1}.

4.1. RELACIONES 155

(b) R =⋃

n∈N∗{n}×{n,2n,3n, . . .}.

�� Ejemplo 4.5 (La relación vacía). Dado que ∅⊆ A×B, por definición tene-mos que ∅ es una relación, llamada la relación vacía o relación trivial. Bajoesta relación “ningún elemento se relaciona con otro”.

�� Ejemplo 4.6 (La relación identidad). Dado A un conjunto, definimos larelación IdA := {(x,x) : x ∈ A}. En otras palabras, aIdAb si y sólo si a = b. Relación

identidadNote que IdA ⊆ A2.

�� Ejemplo 4.7 (La relación ⊆).

Dado un conjunto A, definimos la relación SA sobre P(A) así:

BSAC si y sólo si B⊆C

Es decir,SA = {(B,C) ∈P(A)×P(A) : B⊆C}

SA es llamada la relación ⊆ restringida a P(A). Observe que ∅ está SA-relacionado con todos los subconjuntos de A, y todos los subconjuntos de Ase encuentran SA-relacionados con A. De modo que, coloquialmente hablado,la relación SA posee siempre un “piso” (∅) y un “techo” (A).

Ahora definimos las nociones de dominio, imagen y campo de una relación:

Definición 4.8. Sea R una relación de A en B. Definimos los siguientes conjuntos:

1. El dominio de R, Dom(R) := {x : ∃y : (x,y) ∈ R}. Dominio

2. La imagen de R, Im(R) := {y : ∃x : (x,y) ∈ R}. Imagen


3. El campo de R, Cmp(R) := Dom(R)∪ Im(R).Campo

�� Ejemplo 4.9. Sea R = {(1,2),(3,2),(1,0),(a, t),(4,4),(5,b)}. Entonces setiene:

1. Dom(R) = {1,3,4,5,a}.

2. Im(R) = {0,2,4,b, t}.

3. Cmp(R) = {0,1,2,3,4,5,a,b, t}.

Es claro que para toda relación R, R ⊆ Dom(R)× Im(R), y R ⊆Cmp(R)2, demodo que toda relación puede verse como un subconjunto de C2 para un conjuntoC (que no es único). Esto es, no perdemos generalidad al considerar únicamenterelaciones sobre un conjunto.

Definición 4.10. Dada R una relación, y A un conjunto cualquiera, definimos lossiguientes conjuntos:

1. La imagen de A bajo R, R[A] := {y ∈ Im(R) : existe x ∈ A tal que (x,y) ∈ R}.

2. La preimagen o imagen inversa de A bajo R, R−1[A] := {x∈Dom(R) : existey ∈ A tal que (x,y) ∈ R}.

�� Ejemplo 4.11. Sea M = {(z,−z) : z ∈ Z}. Tenemos:

1. M[{0}] = {0}.

2. M[Z−] = Z+ = {1,2,3, . . .} (recuerde que Z− = {−1,−2,−3, . . .}).

3. M−1[{1,2,3,4}] = {−1,−2,−3,−4}.

4. M[2Z] = 2Z.

5. M[{π,2π}] = ∅.

4.1. RELACIONES 157

�� Ejemplo 4.12. Sea T = {(|z+1|,z) : z∈R}. Por ejemplo, (|−5+1|,−5) =(4,−5) ∈ T , y (|3+1|,3) = (4,3) ∈ T . Tenemos:

1. T [{1}] = {−2,0} ; T−1[{2}] = {3}.

2. T [N] = Z.

3. La imagen del conjunto de los pares bajo T es el conjunto de los impares,y la imagen del conjunto de los impares bajo T es el conjunto de lospares.

4. La preimagen del conjunto de los pares bajo T es el conjunto de losimpares positivos; la imagen de los enteros negativos bajo T es igual alconjunto vacío (esto vale ya que |z+1| nunca es negativo).

El siguiente teorema establece las relaciones básicas entre los conceptos dedominio, imagen, imagen de un conjunto y preimagen de un conjunto:

Teorema 4.13. Sea R una relación, y sean A y B conjuntos tales que A⊆Dom(R),B⊆ Im(R). Tenemos:

(a) A⊆ R−1[R[A]].

(b) B⊆ R[R−1[B]].

(c) R[Dom(R)] = Im(R).

(d) R−1[Im(R)] = Dom(R).

Prueba. Demostramos (a) y (d), dejando las demás propiedades al lector (ejercicio11).

(a) Sea a ∈ A: como A⊆ Dom(A), entonces a ∈ Dom(A), luego existe b tal que(a,b) ∈ R. Entonces por definición de R[A] concluimos que b ∈ R[A]. Ya que(a,b) ∈ R y b ∈ R[A], concluimos por definición que a ∈ R−1[R[A]].

(d) Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Sea a ∈ R−1[Im(R)]. Entonces por definición existe b ∈ Im(R) tal que(a,b) ∈ R. Esto implica que a ∈ Dom(R).


(⊇) Sea a ∈ Dom(R). Entonces por definición existe b tal que (a,b) ∈ R.Esto implica que b ∈ Im(R). Ahora, como (a,b) ∈ R y b ∈ Im(R), con-cluimos (por definición) que a ∈ R−1[Im(R)].

o

Dada una relación R, definimos su inversa, R−1:

Definición 4.14 (Relación inversa). Dada R una relación, su inversa es la relaciónR−1: Relacióninversa R−1 := {(y,x) : (x,y) ∈ R}. En otras palabras, aR−1b si y sólo si bRa.

Por ejemplo, la relación inversa de la relación padre es la relación hijo, y larelación inversa de la relación hermano es ella misma. La relación inversa de esmúltiplo de es divide a.

! Para antes de seguir leyendo:Demuestre las siguientes igualdades:

1. Dom(R−1) = Im(R).

2. Im(R−1) = Dom(R).

Hemos creado (de una forma sutil) un pequeño problema notacional: ¡R−1[A]denota, por una parte, a la preimagen de A bajo R, y por otra, a la imagen de Abajo la relación R−1! El siguiente lema muestra que los dos conjuntos anterioressiempre coinciden, eliminando de esta forma cualquier posibilidad de ambigüedad:

Lema 4.15. Para R una relación y A un conjunto, la imagen inversa de A bajo Res igual a la imagen de A bajo R−1.

Prueba. Sean P la preimagen de A bajo R e I la imagen de A bajo la relación R−1.Debemos probar que P = I. Para cualquier x vale lo siguiente:

x ∈ P ↔ ∃y ∈ A : (x,y) ∈ R↔ ∃y ∈ A : (y,x) ∈ R−1

↔ x ∈ I

La segunda equivalencia vale ya que (x,y) ∈ R si y sólo si (y,x) ∈ R−1. Con-cluimos que P e I poseen los mismos elementos, luego P = I = R−1[A]. o

4.2. ÓRDENES 159

4.2. Órdenes

Definición 4.16 (Propiedades de las relaciones). Sea R una relación binaria sobreun conjunto X . Diremos que R es:

1. Reflexiva sobre X si ∀a ∈ X : (a,a) ∈ R.

2. Irreflexiva sobre X si ∀a ∈ X : (a,a) 6∈ R.

3. Simétrica si ∀a,b : (a,b) ∈ R→ (b,a) ∈ R.

4. Asimétrica si ∀a,b : (a,b) ∈ R→ (b,a) 6∈ R.

5. Antisimétrica si ∀a,b : [(a,b) ∈ R∧ (b,a) ∈ R]→ a = b.

6. Transitiva si ∀a,b,c : [(a,b) ∈ R∧ (b,c) ∈ R]→ (a,c) ∈ R.

�� Ejemplo 4.17. Sea X = Z, y definimos la relación R sobre X de la siguienteforma:

(x,y) ∈ R si y sólo si |x| ≤ |y|.

Esta relación es reflexiva, pues para cada x, |x| ≤ |x|.

Esta relación no es simétrica, puesto que (2,4) ∈ R pero (4,2) 6∈ R.

Esta relación no es antisimétrica, puesto que (3,−3) ∈ R y (−3,3) ∈ R,pero 3 6=−3.

Esta relación es transitiva, puesto que si (x,y) ∈ R y (y,z) ∈ R, entoncestenemos que |x| ≤ |y| y |y| ≤ |z|. Entonces concluimos que |x| ≤ |z|, loque implica por definición que (x,z) ∈ R.


(a) Recuerde que ∅ es una relación sobre cualquier conjunto A. ¿Cuáles delas anteriores propiedades cumple la relación ∅?

(b) Sea X un conjunto no vacío. ¿Cuáles de las anteriores propiedadescumple la relación IdX ?


Dado que una relación es un conjunto (de parejas ordenadas), es natural hablarde la unión e intersección entre dos relaciones. Por ejemplo, sea X = {1,2,3,4}, ysean R y S las siguientes relaciones sobre X :

R = {(1,2),(2,1),(2,3),(4,4)},

S = {(1,2),(3,2),(1,4),(3,3),(4,4)}.

Entonces R∪S es la relación:

R∪S = {(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3),(4,4)},

mientras que R∩S es la relación:

R∩S = {(1,2),(4,4)}.

En el siguiente teorema demostraremos que la operación de intersección preservaciertas propiedades de las relaciones, en el sentido de que si dos relaciones com-parten cierta propiedad, entonces su intersección también poseerá esta propiedad.

Teorema 4.18. Sea X un conjunto, y sean R y S relaciones sobre X (esto es,R,S⊆ X2). Entonces:

(a) Si R y S son reflexivas, entonces la relación R∩S es reflexiva.

(b) Si R y S son simétricas, entonces la relación R∩S es simétrica.

(c) Si R y S son transitivas, entonces la relación R∩S es transitiva.

Prueba.

(a) Debemos demostrar que la relación R∩ S ⊆ X2 es reflexiva. Sea a ∈ X : porhipótesis, R y S son reflexivas, luego (a,a)∈ R y (a,a)∈ S. Entonces (a,a)∈R∩S, como queríamos.

(b) Debemos demostrar que la relación R∩S es simétrica. Sean a,b∈X y supon-gamos que (a,b) ∈ R∩ S. Por la definición de intersección (∩), lo anteriorimplica que (a,b) ∈ R y (a,b) ∈ S. Como R y S son simétricas, entonces(b,a) ∈ R y (b,a) ∈ S, luego por definición de intersección (b,a) ∈ R∩S.

(c) Debemos demostrar que la relación R∩ S es transitiva. Sean a,b,c ∈ X ysupongamos que

(a,b) ∈ R∩S y (b,c) ∈ R∩S.

4.2. ÓRDENES 161

Entonces (a,b)∈ R, (b,c)∈ R, (a,b)∈ S y (b,c)∈ S. Gracias a que R y S sonrelaciones transitivas (esta es nuestra hipótesis), podemos concluir entoncesque

(a,c) ∈ R, y (a,c) ∈ S.

Esto implica que (a,c) ∈ R∩S, como se quería demostrar.

o

En el ejercicio 8 se pide determinar qué propiedades preserva en general launión entre dos relaciones.

Recordemos los conceptos básicos sobre órdenes: por definición un orden par-cial sobre X es una relación R ⊆ X2 reflexiva, antisimétrica y transitiva sobre X .Usualmente se utiliza el símbolo ≤ para referirse a órdenes parciales, en vez deletras. Si ≤ es un orden parcial sobre X , definimos < como la relación sobre Xdefinida así: a < b si y sólo si a ≤ b y a 6= b (en donde a,b ∈ X). Diremos que< es el orden parcial estricto sobre X asociado a ≤. Conjuntistamente tenemosque < = ≤ rIdX , y además < es una relación irreflexiva sobre X , asimétrica ytransitiva.

Si ≤ es un orden parcial sobre X , diremos que (X ,≤) es una estructura par-cialmente ordenada.

Recordamos por referencia la definición de un orden lineal:

Definición 4.19. Sea ≤ una relación sobre X . Diremos que ≤ es un orden linealo total sobre X si:

(a) ≤ es reflexiva,

(b) ≤ es antisimétrica,

(c) ≤ es transitiva,

(d) ≤ es total, es decir, dados a y b ∈ X , entonces a≤ b o b≤ a.

Bajo estas condiciones diremos que (X ,≤) es un conjunto totalmente ordenado.

En otras palabras, un orden total es un orden parcial (propiedades (a), (b) y(c)) en el cual todos los elementos son comparables (propiedad (d)). Equivalente-mente, un orden total es un orden parcial cuyo orden estricto asociado cumple conla siguiente propiedad (llamada tricotomía):

Dados a,b ∈ X , se da exactamente una de las siguientes: a < b ó a = b ó a > b.

Hasta ahora hemos estudiado con cierto detalle los órdenes parciales de inclusióno contenencia (U ,⊆), y divisibilidad (N∗, |). Además hemos estudiado el orden


usual en los naturales y los enteros (N,≤),(Z,≤), los cuales son órdenes lineales.La relación de congruencia módulo n ( Z,≡n) que consideramos en el capítulo 3 noes un orden parcial, ya que ésta no es antisimétrica. Esta relación será un ejemplofundamental de las llamadas relaciones de equivalencia, que estudiaremos másadelante.

Ahora definimos los conceptos de cota inferior, mínimo, minimal e ínfimo deun conjunto:

Definición 4.20. Sea (X ,≤) una estructura parcialmente ordenada, y sean a ∈ Xy S⊆ X .

Diremos que a es una cota inferior de S si para cada s∈ S tenemos que a≤ s.Cota inferior

Esto lo denotamos así: a≤ S.

Diremos que a es un elemento mínimo de S si a ∈ S y a≤ S.Mínimo

Diremos que a es un elemento minimal de S si a ∈ S y no existe b ∈ S talMinimal

que b < a.

Diremos que a es un ínfimo de S si a≤ S y para cada x tal que x≤ S, entoncesÍnfimo

x ≤ s (a tal elemento s se le llama también una máxima cota inferior de S,pues es mayor o igual que todas las cotas inferiores de S).

Si cambiamos≤ por≥ en las definiciones anteriores, podemos definir de formasimilar los conceptos de cota superior, máximo, maximal y supremo (o mínimaSupremo

cota superior) de un conjunto. Por ejemplo, a es el supremo de S si a ≥ S y paracada x tal que x≥ S, entonces x≥ a.

Teorema 4.21. Sea (X ,≤) un conjunto parcialmente ordenado, y sean a,b ∈ X,y S⊆ X. Tenemos entonces que:

(a) Si a y b son elementos mínimos de S, entonces a = b.

(b) Si a es elemento mínimo de S, entonces a es minimal de S y a es ínfimo de S.

(c) Si a y b son ínfimos de S, entonces a = b.

(d) Si ≤ es un orden total, entonces a es mínimo de S si y sólo si a es minimalde S.


El anterior teorema garantiza que en un orden parcial (X ,≤), si un conjuntoS ⊆ X posee a lo sumo un mínimo y a lo sumo un ínfimo, y que si S posee unmínimo, entonces este elemento también será su ínfimo. Vale la pena hacer lassiguientes observaciones adicionales:

4.3. CLAUSURA DE UNA RELACIÓN 163

Existen conjuntos S que no poseen elemento mínimo.

Existen conjuntos S que poseen más de un elemento maximal.

Existen conjuntos S que no poseen ínfimo.

Existen conjuntos S que poseen ínfimo pero no poseen mínimo.

�� Ejemplo 4.22. Sea X = R, con su orden ≤ usual. Sean S1 = Z, S2 ={1,−2,5}, S3 = (2,4] = {x ∈ R : 2 < x ≤ 4}, S4 = ∅ y S5 = R. Entoncespodemos afirmar:

S1 no posee mínimo, máximo, ínifimo ni supremo.

S2 posee mínimo (−2) y máximo (5).

S3 no posee mínimo, pero sí ínfimo (2). Además 4 es el máximo de S3.

S4 no posee mínimo, máximo, ínfimo ni supremo.

S5 no posee mínimo, máximo, ínfimo ni supremo.

4.3. Clausura de una relación

Imaginemos una relación cualquiera R sobre un conjunto X . Supongamos queestamos interesados en transformar a R en una relación reflexiva sobre X , añadien-do más elementos a la relación de ser necesario, o en otras palabras, extendiéndola.

Por ejemplo, sea X = {0,1,2,3}, y sea R la siguiente relación sobre X :

R = {(1,2),(3,3),(0,0),(2,3)}.

Para que R sea reflexiva, debemos agregarle los elementos (1,1) y (2,2). Esto es,la relación S = R∪{(1,1),(2,2)} es una extensión reflexiva de R, es decir, S⊇ R yS es reflexiva. Además es claro que S es la mínima relación reflexiva que contienea R en el siguiente sentido:

Para toda relación T , si T es una relación reflexiva y T ⊇ R, entonces T ⊇ S.


El ejemplo anterior ilustra lo que quisiéramos hacer con una relación: agregarel mínimo número de elementos para que ella se transforme en una relación conla propiedad de ? (donde ? representa reflexividad, simetría o transitividad). Esteproceso se denomina cerrar una relación.

Definición 4.23 (Clausuras de una relación). Dada R una relación sobre un con-Clausuras deuna relación junto X , definimos las siguientes relaciones sobre X :

1. La clausura reflexiva de R es la relación

RREF =⋂{S⊆ X2 : S es una relación reflexiva sobre X y S⊇ R}.

2. La clausura simétrica de R es la relación

RSIM =⋂{S⊆ X2 : S es simétrica y S⊇ R}.

3. La clausura transitiva de R es la relación

RT R =⋂{S⊆ X2 : S es transitiva y S⊇ R}.

Note que RREF ⊇ R, luego la clausura reflexiva de R es siempre una extensiónde R (lo mismo vale, claro está, para RSIM y RT R).

Veamos que las clausuras cumplen con la propiedad de minimalidad que pre-tendíamos que tuvieran:


Teorema 4.24. Dada R una relación sobre X:

(a) RREF es la mínima relación reflexiva que contiene a R; en otras palabras,RREF es reflexiva, y para toda relación S que sea reflexiva sobre X, si R⊆ S,entonces RREF ⊆ S.

(b) RSIM es la mínima relación simétrica que contiene a R.

(c) RT R es la mínima relación transitiva que contiene a R.

Prueba. Demostramos (a) y (b), y dejamos la parte (c) al lector (ejercicio 12).

(a) Para ver que RREF es reflexiva, sea a ∈ X . Entonces para toda relación Ssobre X reflexiva, (a,a) ∈ S, es decir, (a,a) ∈

⋂{S : S es relación reflexiva

sobre X y S⊇ R}= RREF .

Ahora demostramos la minimalidad: sea T una relación reflexiva que con-tiene a R. Entonces T ⊇

⋂{S : S es una relación reflexiva sobre X y S⊇ R}=

RREF .

(b) Veamos primero que RSIM es simétrica: sea (a,b)∈ RSIM. Entonces para todarelación S ⊆ X2 tal que R ⊆ S y S es simétrica se tiene que (a,b) ∈ S. Paraverificar que (b,a) ∈ RSIM debemos verificar que para toda relación S ⊆ X2

tal que R⊆ S y S es simétrica, se tiene que (b,a) ∈ S: sea S una relación conlas propiedades anteriores: por hipótesis, (a,b) ∈ S, luego por simetría de S,concluimos que (b,a) ∈ S. Ahora demostramos la minimalidad: sea T ⊆ X2

una relación simétrica que contiene a R. Entonces T ⊇⋂{S : S ⊆ X2 es una

relación simétrica sobre X y S⊇ R}= RSIM.

o

Teorema 4.25. Sea R una relación sobre X. Entonces para ? = REF, SIM,T RANse tiene que:

R posee la propiedad ? si y sólo si R? = R.


(→) Si R posee la propiedad ?, entonces claramente R es la mínima relación conla propiedad ? que contiene a R, así que por el teorema 4.24, R = R?.

(←) Esta implicación es clara, dado que R? posee la propiedad ? (teorema 4.24).

o


Por ejemplo, la clausura transitiva de una relación transitiva es ella misma.

Corolario 4.26. Sea R una relación sobre X. Entonces para ? = REF, SIM,T RANse tiene que: (R?)? = R?.

Prueba. Se deja al lector (ejercicio 13)

o

�� Ejemplo 4.27. Sea X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, y sea R ⊆ X2 la relacióndefinida por:

R = {(1,1),(2,3),(3,1),(3,6),(4,4),(5,2),(7,1),(8,3).

A partir de teorema 4.24 vemos que para construir RREF basta con agregar a Rtodos los elementos de la forma (a,a) (con a ∈ X) que no se encuentran en R:

RREF = R∪{(2,2),(3,3),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9)}.

De forma análoga puede verse que para construir RSIM basta con agregar a Rtodos los elementos de la forma (b,a) tales que (a,b) ∈ R), que no se encuen-tran en R:

RSIM = R∪{(3,2),(1,3),(6,3),(2,5),(1,7),(3,8)}.

El caso de la clausura transitiva es el más interesante. Por ejemplo, dado que(2,3),(3,1) ∈ R, entonces (2,1) debe pertenecer a la clausura transitiva de R.Pero como (5,2) ∈ R, entonces el elemento (5,1) también debe pertenecer ala clausura transitiva de R. Siguiendo con este razonamiento, el lector puedeverificar que

RT R = R∪{(2,1),(2,6),(6,3),(2,5),(1,7),(3,8)}.

A continuación se representan las diferentes relaciones consideradas en esteejemplo. Note que en particular la clausura simétrica es, visualmente, simétrica(con respecto a la diagonal).


Las definiciones de R? son relativamente complejas. A continuación estudi-amos ciertas caracterizaciones más simples de ellas (por lo menos en el caso de lareflexividad y la simetría).

Teorema 4.28 (Caracterización de las clausuras). Sea R una relación sobre X.Entonces:

(a) RREF = R∪ IdX .

(b) RSIM = R∪R−1.

(c) RT R =⋃

n∈N∗ R(n), en donde R(n) es el conjunto de todos los pares (a,b) talesque existen a1,a2, . . . ,an,an+1 ∈ X que cumplen lo siguiente:

a1 = a, an+1 = b, y

para 1≤ i≤ n, (ai,ai+1) ∈ R}.

Prueba. Dejamos (b) como ejercicio al lector (ejercicio 14), y demostramos (a) y(c):

(a) Dado x ∈ X , (x,x) ∈ R∪ IdX , y R ⊆ R∪ IdX , luego R∪ IdX es una relaciónreflexiva sobre X que contiene a R. Por ende, RREF ⊆ R∪ IdX . Para la otra


inclusión, basta observar que si T es una relación reflexiva que contiene a R,entonces R∪ IdX ⊆ T . Por el teorema 1.44(c) ,R∪ IdX ⊆

⋂{S ⊆ X2 : S es

reflexiva y S⊇ R}= RREF .

(c) Sea R′ =⋃

n∈N∗ R(n), donde cada Rn se define como en el enunciado del teo-rema. Debemos demostrar que RT R = R′. Utilizamos el método de dobleinclusión:

(⊆) Para esta inclusión basta demostrar que R′ es una relación transitiva quecontiene a R: Si (a,b),(b,c) ∈ R′, entonces existen n,m ∈ N∗ tal que(a,b)∈Rn, (b,c)∈Rm. Esto implica que existen d2, . . . ,dn, e2, . . . ,em ∈X tales que:

(a,d2),(d2,d3), . . . ,(dn,b),(b,e2),(e2,e3), . . .(en,c) ∈ R.

Lo anterior implica por definción que (a,c)∈ Rn+m ⊆ R′, luego (a,c)∈R′. Esto prueba que R′ es una relación transitiva. Además es claro apartir de la definición que R1 = R, luego R⊆ R′.

(⊇) Para demostrar esta inclusión basta demostrar que para toda relación Tsobre X que sea transitiva y contenga a R, R′ ⊆ T : Sea T una relacióncon las anteriores propiedades. Se deja al lector la tarea de demostrarque para todo n ∈ N∗ se tiene que Rn ⊆ T (ejercicio 14). Entonces

R′ =⋃

n∈N∗R(n) ⊆ T.

(la inclusión vale por el teorema 1.45).

o

�� Ejemplo 4.29. Sea R la relación sobre Z definida por

aRb si y sólo si |a−b|= 2.

Sea S la mínima relación transitiva sobre Z que contiene a R, esto es, S = RT R.Veamos que S es precisamente E, la relación de congruencia módulo 2, esdecir que dados a,b ∈ Z, (a,b) ∈ S si y sólo si 2|b−a.

Primero demostremos que para toda relación transitiva sobre Z que con-tenga a R, se tiene que para todo b∈Z y para todo n∈N, aTa+2n y aTa−2n:


Caso n = 0: Es claro por definición de R que (b,b+2)∈ R y (b+2,b)∈R. Entonces (b,b+2),(b+2,b) ∈ T . Como T es transitiva, concluimosque (b,b) ∈ T .

Paso inductivo: supongamos que la afirmación es cierta para n y la de-mostramos para n+1: por hipótesis de inducción, (b,b+2n)∈ T ; clara-mente se tiene que (b+2n,b+2n+2)∈ R⊆ T , luego (b+2n,b+2(n+1))∈ T . Por transitividad de T concluimos que (b,b+2(n+1))∈ T . Lademostración de que (b,b−2(n+1)) ∈ T es análoga.

Ahora demostramos que E = S utilizando el método de doble inclusión:

(⊆) Si (a,b) ∈ E, entonces por definición 2|b−a, luego existe n ∈ Z tal queb− a = 2n, luego b = a + 2n. Como S es una relación transitiva quecontiene a R, la observación anterior garantiza que (a,a+2n)∈ S, luego(a,b) ∈ S.

(⊇) E es una relación transitiva (teorema 3.39(c)) y claramente R⊆ E, luegopor definición de S tenemos que S⊆ E.

Concluimos que E = S.

El anterior ejemplo es sumamente ilustrativo: La relación R es bastante pobre,sólo relaciona puntos que se encuentren a distancia 2. Su clausura transitiva, E,relaciona puntos a distancia 0, a distancia 2, a distancia 4, y así sucesivamente;intuitivamente la relación E une las piezas de rompecabezas locales de la relaciónR, obteniendo así un panorama global que clasifica a los elementos en Z según sisu distancia al cero es par o impar.


4.4. / Ejercicios


1. Sea R = {(a,b) ∈ Z2 : 0≤ a≤ 5 y b = a+2}. Liste todos los elementos dela relación R.

2. Sea (X ,≤) un conjunto parcialmente ordenado, con a,a′,b ∈ X y S,S′ ⊆ X .Demuestre que si a es una cota inferior de S, a′ es una cota inferior de S′ y bes una cota inferior de {a,a′}, entonces b es una cota inferior de S∪S′.

3. Dé un ejemplo de un orden parcial pero no total (X ,≤) en el cual todo con-junto S⊆ X posea una cota inferior y una cota superior.

4. Sea S = {1n : n = 1,2,3, . . .} ⊆R. Determine el máximo, mínimo, supremo e

ínfimo de S (en caso de existir).

5. Diremos que una relación R ⊆ X2 es completa si existe A ⊆ X tal que R =A×A. Demuestre que si R es completa entonces R es simétrica y transitiva.

6. Sea R la siguiente relación sobre Z∗: Dados a,b∈Z∗, aRb si y sólo si ab > 0.Demuestre que R es reflexiva, simétrica y transitiva.



ENTRADAS

8. Sean R,S relaciones sobre X . Para cada una de las siguientes afirmaciones,determine si ésta es verdadera o falsa, dando una demostración o un contrae-jemplo respectivamente:

a) Si R y S son reflexivas sobre X , entonces R∪S también lo es.

b) Si R y S son simétricas, entonces R∪S también lo es.

c) Si R y S son antisimétricas, entonces R∪S también lo es.

d) Si R y S son transitivas, entonces R∪S también lo es.

9. Sea R una relación sobre X .

a) Demuestre que R es asimétrica si y sólo si R∩R−1 = ∅.

b) Demuestre que R es antisimétrica si y sólo si (R∩R−1)⊆ IdX .

c) Concluya que toda relación asimétrica es antisimétrica, y dé un ejemplode una relación que sea antisimétrica pero no asimétrica.

10. Sea R ⊆ X2 una relación simétrica. Demuestre que Rc = X2 r R es unarelación simétrica.

11. Demuestre las partes (b) y (c) del teorema 4.13.

12. Demuestre la parte (c) del teorema 4.24.


14. Para este ejercicio, refiérase al 4.28.

a) Demuestre la parte (b) del teorema 4.28.

b) Para cada n∈N∗, sea Rn el conjunto definido como en el enunciado delteorema 4.28. Sea T una relación sobre X tal que T es transitiva y R⊆T . Demuestre que para todo n ∈ N∗, Rn ⊆ T [Ayuda: Hacer inducciónen n.]

15. Sea X = N, y sea R = ∅⊆ X2. Calcule:

a) RREF , la clausura reflexiva de R (sobre X),

b) RSIM, la clausura simétrica de R,

c) RT R, la clausura transitiva de R.

16. Sea R una relación sobre X . Demuestre que:


a) Dom(RREF) = Im(RREF) = X ,

b) Dom(RSIM) = Im(RSIM) = Dom(R)∪ Im(R),c) Dom(R) = Dom(RT R) e Im(R) = Im(RT R).

PLATOS FUERTES

17. Una herramienta frecuente e importante en matemáticas consiste en construiruna serie o cadena de objetos cada vez más complejos, que compartan ciertoconjunto de propiedades, y tomar el “límite” de tal cadena, que consistirá enun objeto que conservará varias propiedades de sus “precursores”. En esteejercicio se construirá una relación R como el “límite” (o unión) de ciertasrelaciones (Rn)n∈N, y como se verá, ciertas propiedades de las relacionesRn que “aproximan” a R se preservarán en el límite, esto es, serán tambiénpropiedades de R. Para cada n ∈ N sea Rn una relación reflexiva, simétrica ytransitiva sobre el conjunto Xn, y suponga que para todo n ∈ N, Rn ⊆ Rn+1.Demuestre que R =

⋃n∈N Rn es una relación reflexiva, simétrica y transitiva

sobre el conjunto X =⋃

n∈N Xn.

18. Para cada n∈N sea Rn una relación. Demuestre que⋂

n∈NR−1

n =

(⋂n∈N

Rn

)−1

.

¿Vale el mismo resultado si cambiamos⋂

por⋃

?

19. Dado un conjunto X y S⊆ X , sea RS = {(A,B)∈P(X)2 : A∪Bc ⊆ S} (Bc =X r B).

20. Definimos la relación R sobre P(N) así: dados S1,S2 ∈P(N), (S1,S2) ∈ Rsi y sólo si existe x tal que S1∪{x}= S2 o S2∪{x}= S1.

a) Demuestre que R es una relación simétrica.

b) Sea S = RT R. Demuestre que dos conjuntos se encuentran relaciona-dos bajo S si y sólo si es posible obtener un conjunto a partir del otroprimero quitando un número finito (posiblemente cero) de elementos,y luego agregando un número finito (posiblemente cero) de elementos.(De forma equivalente, (A1,A2)∈ S si y sólo si existen conjuntos finitosX1,X2 ⊆ N tal que A1∪X1 = A2∪X2 )

c) Describa precisamente a los elementos del siguiente conjunto:

{A ∈P(A) : (∅,A) ∈ S}.

d) Demuestre que la relación S se encuentra caracterizada por:

(A1,A2) ∈ S↔ A14A2 es un conjunto finito .


a) ¿Qué conjunto es Dom(RS)? ¿qué conjunto es Im(S)?

b) Demuestre que si Dom(RS)∩ Im(RS) 6= ∅, entonces S = X .

c) Dados S,T ⊆ X , ¿cómo se comparan RS∩T y RS∩RT ?

d) Dados S,T ⊆ X , ¿cómo se comparan RS∪T y RS∪RT ?

21. Demuestre que:

a) Si R,S son relaciones sobre X tales que R es reflexiva y R⊆ S, entoncesS es reflexiva.

b) La clausura transitiva de una relación simétrica es simétrica. Dé unejemplo de una relación transitiva cuya clausura simétrica no sea tran-sitiva.


4.5. Funciones

Intuitivamente una función es una regla que asocia elementos de un conjuntocon elementos de otro conjunto, de modo que cada elemento del primer conjuntose asocia o relaciona con uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Visto deotro modo, una función es una máquina que transforma ciertos elementos, de modoque cada elemento x se convierte en otro elemento bien definido, y.

Definición 4.30 (Función). Una función es una relación f que cumple la siguien-Función

te propiedad:si (x,y) ∈ f y (x,y′) ∈ f , entonces y = y′.

En otras palabras, para cada x ∈ Dom( f ) existe un único y tal que (x,y) ∈ f .

Figura 4.1: f es una función cuyo dominio es el conjunto {a,b,c,d}, mientras que g esuna relación que no es función, ya que (a,y),(a,z) ∈ g, pero y 6= z.

�� Ejemplo 4.31 (La función identidad). Dado A un conjunto, IdA es unafunción, pues si (x,y),(x,y′) ∈ IdA, entonces x = y y x = y′, luego y = y′.Concluimos que la relación identidad también es una función, y ademásDom(IdA) = A.

La relación divide | ⊆Z2 no es una función, puesto que un entero puede dividira más de un número. Por ejemplo, (2,4) ∈ | y (2,10) ∈ |, pero 4 6= 10. La relacióndefinida por xRy si y sólo si “y es la madre de x” es una función, pues todo serhumano x posee una única madre y.

4.5. FUNCIONES 175

Dada una función f y x un elemento de su dominio, llamaremos f (x) a el únicoy tal que (x,y) ∈ f . Por lo tanto, las proposiciones (x,y) ∈ f , x f y y y = f (x) sonequivalentes. Note que al utilizar la expresión f (x) se supone implícitamente quex ∈ Dom( f ). El lector debe ser cuidadoso con esta sutileza. Concluimos que si fes una función, entonces f = {(x, f (x)) : x ∈ Dom( f )}.

La expresión f : A −→ B significará por convención lo siguiente: f es unafunción, Dom( f ) = A e Im( f )⊆ B. Una manera común de definir una función f esespecificar su dominio A y dar una definición para f (x), dado x ∈ A. Por ejemplo:

�� Ejemplo 4.32. Sea f la siguiente función: su dominio es N, y dado n ∈ N,f (n) =−n2−1. Por ejemplo f (0) =−1, f (6) =−37, etcétera. Para todo n∈Ntenemos que f (n) ∈ Z−, luego podemos afirmar lo siguiente:

f : N−→ Z−.

! Para antes de seguir leyendo: ¿Cuáles de las siguientes relaciones sonfunciones? ¿por qué? Determine el dominio y la imagen de f y g.

Una manera equivalente de decir y = f (x) es x 7→ y y se lee f envía (asocia) xa (con) y. Por ejemplo la función

g : Z∗→Q

z 7→ z|z|


es aquella dada por g(z) =z|z|

, y cuyo dominio es el conjunto de los enteros no

nulos. Una descripción conjuntista de g es la siguiente:

g ={

(x,y) : x ∈ Z∗, y =x|x|

}⊆ Z∗×Q.

Si nos preguntamos quién es g(0), tenemos problemas. Por un lado, 0|0| no es ningún

número: si pensamos en g como una máquina, no podemos introducir al cero enella. Por otro lado, 0 no es un elemento del dominio de g, luego la expresión g(0)no tiene referencia alguna, es decir, no representa ningún objeto. Lo mismo sucedecon la función r(x) = el rey de(x), que no incluye a C = Colombia en su dominio,pues r(C) = el rey de Colombia no se refiere a ninguna persona.

Recordando la definición de imagen de una relación, para cualquier funciónf : A−→ B tenemos que:

Im( f ) = {y : ∃x ∈Dom( f ) : (x,y) ∈ f}= {y : ∃x ∈ A : y = f (x)}= { f (x) : x ∈ A}.

Por ejemplo, para la función f del ejemplo 4.32, sabemos que Im( f ) ⊆ Z−.Sin embargo la igualdad no se da: note que Im( f ) = { f (0), f (1), f (2), . . .} ={−1,−2,−5, . . .}.

�� Ejemplo 4.33 (Funciones dadas como tuplas). Dado An = {1,2, . . . ,n} yB un conjunto cualquiera, una función f : An −→ B puede representarse me-diante la n-tupla ( f (1), f (2), . . . , f (n)). Por ejemplo la tupla f = (3,6, . . . ,3n)representa la función dada por f (k) = 3k, para k = 1,2, . . . ,n.

En general la intersección de dos relaciones es una relación, pues si R1 ⊆ A21 y

R2 ⊆ A22, entonces R1 ∩R2 ⊆ A2

1 ∩A22 = (A1 ∩A2)2. Para el caso de las funciones

sucede lo mismo, es decir, la intersección de dos funciones (esto tiene sentido yaque una función es un conjunto de parejas ordenadas) es también una función.

Teorema 4.34. Si f1 : A1 −→ B1 y f2 : A2 −→ B2, entonces f = f1 ∩ f2 es unafunción, Dom( f )⊆ A1∩A2 e Im( f )⊆ Im( f1)∩ Im( f2).

Prueba. Ya hemos notado que f es una relación. Si x ∈ Dom( f ), entonces existey tal que (x,y) ∈ f1 ∩ f2, lo que implica que x ∈ Dom( f1)∩Dom( f2) = A1 ∩A2.Análogamente podemos probar que Im( f )⊆ Im( f1)∩ Im( f2). Demostremos que fes una función: si (x,y),(x,y′) ∈ f = f1∩ f2, entonces en particular (x,y),(x,y′) ∈f1. Como f1 es una función, concluimos que y = y′. o

4.5. FUNCIONES 177

Dadas funciones f1 y f2, diremos que f2 es una extensión de f1 (o f1 es unarestricción de f2) si f1 ⊆ f2.

! Para antes de seguir leyendo: Sean f1 : A1 −→ B1, f2 : A2 −→ B2.Para cada una de las siguientes afirmaciones determine si ésta es verdadera engeneral o no:

1. Si f1 es una restricción de f2 entonces A1 ⊆ A2 e Im( f1)⊆ Im( f2).

2. Si A1 ⊆ A2 e Im( f1)⊆ Im( f2) entonces f2 es una extensión de f1.

3. f1∪ f2 es una función.

Finalizamos esta sección listando las distintas maneras de expresar el hecho deque f (x) = y, donde f es una función:

Observación 4.35. Sea f : A−→ B una función. Entonces las siguientes expre-siones son equivalentes:

(x,y) ∈ f ,

x f y,

f (x) = y,

xf7→ y,

y es la imagen de x (bajo f ),

x es una preimagen de y (bajo f ).

Composición de funciones

Definición 4.36 (Composición de relaciones). Si R y S son relaciones, definimosla relación R ◦ S := {(a,c) : existe b tal que (a,b) ∈ S y (b,c) ∈ R}. Esta relaciónse lee R compuesto S.

En particular dos funciones pueden componerse, dado que éstas son relaciones:consideremos el caso particular en que tenemos dos funciones f : B −→ C, y g :A−→ B. Por definición de composición: f ◦g = {(x,z) : (x,y) ∈ g,(y,z) ∈ f , para


algún y}= {(x,z) : g(x) = y, f (y) = z, para algún y}= {(x,z) : f (g(x)) = z}. Noteque f ◦g es una función, pues si (x,z),(x,z′) ∈ f ◦g, entonces z = f (g(x)) = z′.

Por lo anterior, f ◦ g es el conjunto de parejas de la forma (x, f (g(x))). Re-tomemos la analogía de las funciones vistas como máquinas: si f y g son máquinas,entonces h = f ◦g es la máquina que funciona así:

1. h recibe un elemento x y lo introduce en la máquina g para obtener c = g(x).

2. h introduce a c en la máquina f para obtener f (c) = f (g(x)).

3. En resumen, h ha transformado a x en h(x) = f (g(x)).

En el anterior proceso la máquina h le aplica g a x. Para que esto tenga senti-do se requiere que x ∈ Dom(g) = A. Ahora, si x ∈ Dom(g), entonces c = g(x) ∈Im(g)⊆ B = dom( f ), luego f puede aplicarse a c y h(x) = f (c) tiene sentido (estoes, h está bien definida). Además, h(x) = f (g(x)) ∈ Im( f ) ⊆ C. Concluimos queDom( f ◦g) = A, y que Im( f ◦g)⊆C, es decir,

f ◦g : A−→C

Resumimos lo anterior en la siguiente definición:

Definición 4.37 (Composición de funciones). Sean g : A −→ B y f : B −→ Cf ◦g:Composición de

funcionesfunciones. Entonces f ◦g es la siguiente función:

f ◦g : A−→C

x 7→ f (g(x)).

[Es decir, ( f ◦g)(x) = f (g(x)).]

Si f y g son como arriba y h = f ◦ g, entonces decimos que f ◦ g es una fac-torización de h. Esto lo podemos expresar mediante cualquiera de los siguientesdiagramas, diciendo además que estos conmutan, es decir, que si le aplicamos fy luego g a cualquier elemento en A obtenemos el mismo resultado que si le apli-camos directamente la función h a tal elemento:

A B Cf g

h- -

A C

B

f

h

g

-

?��

��

4.6. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS 179

�� Ejemplo 4.38. Sea f : N −→ N la función f (x) = 5x y g : N −→ N lafunción g(x) = x + 4. Entonces h = ( f ◦ g) : N −→ N es la función h(x) =f (g(x)) = f (x+4) = 5(x+4) = 5x+20. Por otro lado, h′ = (g◦ f ) : N−→Nes la función h′(x) = g( f (x)) = g(5x) = 5x+4. Note que h y h′ son funcionesdistintas (por ejemplo h(1) = 25 6= 9 = h′(1), luego (1,25) ∈ h r h′).

Observación 4.39. La composición de funciones no es conmutativa en general.

! Para antes de seguir leyendo: Demuestre que si f : A−→ B, entonces:

(a) f ◦ IdA = f .

(b) IdB ◦ f = f .

Finalmente observamos que la composición de funciones es asociativa. Estoes, si f : A−→ B, g : B−→C y h : C −→ D, entonces:

(h◦g)◦ f = h◦ (g◦ f ).

La anterior igualdad es válida pues ambas funciones poseen el mismo dominio A,y para todo elemento a ∈ A tenemos:

((h◦g)◦ f )(a) = (h◦g)( f (a)) = h(g( f (a))) = h((g◦ f )(a)) = (h◦ (g◦ f ))(a).

4.6. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Definición 4.40 (Funciones inyectivas, sobreyectivas o biyecciones). Sea f :X −→ Y . Diremos que:

1. f es inyectiva (o uno a uno, 1:1, o f es una inyección) si y sólo si dados Inyectividad

x,y ∈ X , x 6= y implica f (x) 6= f (y).

2. f : X −→Y es sobreyectiva (o f es una sobreyección) si y sólo si Im( f ) = Y . Sofreyectividad

3. f es biyectiva (o f es una biyección) si f es inyectiva y sobreyectiva. Biyectividad


Así, una función f es inyectiva si envía dos elementos distintos a dos imágenesdistintas, y f : X −→ Y es sobreyectiva si para cada y ∈ Y existe x ∈ X tal quef (x) = y.

! Para antes de seguir leyendo: Sea P el conjunto de los policías y L elconjunto de los ladrones. Supongamos que cada policía x ha capturado exac-tamente a un ladrón y (posiblemente con ayuda de otros policías, pues existenladrones bastante rudos), de modo que existe una función “captura” c : P−→ Ltal que c(x) es igual a “el ladrón que fue capturado con ayuda del policía x”.

1. Supongamos que c es una función inyectiva: esto quiere decir que dospolicías distintos capturan a ladrones distintos. Bajo esta hipótesis, ¿có-mo se comparan los tamaños de los conjuntos P y L (|P| y |L|)? ¿esalguno necesariamente menor o igual que el otro?

2. Supongamos que c es una función sobreyectiva: esto quiere decir quepara todo ladrón y existe por lo menos un policía x que lo captura (esdecir, tal que c(x) = y). Bajo esta hipótesis, ¿cómo se comparan lostamaños de los conjuntos P y L (|P| y |L|)? ¿es alguno necesariamentemenor o igual que el otro?

3. Supongamos que c es una función biyectiva: esto quiere decir que paratodo ladrón y existe exactamente un policía x que captura a y (esto es,tal que c(x) = y. Bajo esta hipótesis, ¿qué podemos decir sobre cómo secomparan los tamaños de los conjuntos P y L (|P| y |L|)? ¿son igualesnecesariamente?


(a) Demuestre que la función identidad f : A−→ A es una biyección.

(b) Diremos que una función f : A−→ B es constante si Im( f ) es un single-ton. Encuentre una condición necesaria y suficiente para que una funciónconstante f : A−→ B sea una biyección.

(c) Demuestre que la función ∅ : ∅−→∅ es una biyección. [Ayuda: ¿Quéocurriría si no fuera 1:1? ¿Qué ocurriría si no fuera sobreyectiva?]


Note que las propiedades de sobreyectividad y biyectividad no dependen ex-clusivamente de la función f , sino también del conjunto B, de modo que, es máscorrecto decir: f es una función sobreyectiva entre A y B.

Decir que una función f es inyectiva es decir que f no puede enviar puntosdistintos a imágenes iguales; en otras palabras, que la única forma de que ocurraque f (x) = f (y) es que x = y. Tenemos entonces:

Observación 4.41. Una función f : A−→ B es inyectiva si y sólo si dados x,y ∈A, si f (x) = f (y) entonces x = y.

Figura 4.2: Una función es inyectiva si no envía elementos distintos a la misma imagen.La figura representa una función que no es inyectiva.

La anterior observación nos permite demostrar la inyectividad de una funciónde la siguiente forma:

Suponer que f (x) = f (y) y a partir de esta igualdad concluir que x = y.

�� Ejemplo 4.42. Sea f : R−→ R la función f (x) = 2x+1. Veamos que f esuna biyección:

1. Inyectividad: si f (x) = f (y), entonces 2x+1 = 2y+1. Por ende 2x = 2yy x = y.

2. Sobreyectividad: Hay que mostrar que Im( f ) = R. Es claro que Im( f )⊆R. Para la otra inclusión, sea y ∈ R. Es fácil ver que si definimos x =(y−1)/2, entonces x ∈ R y f (x) = y, y esto prueba que y ∈ Im( f ) (y esimagen bajo f de un número real x).


En general, toda función f : R−→ R de la forma f (x) = ax+b, con a 6= 0, esuna biyección.

�� Ejemplo 4.43. Sea g : R −→ [0,∞) la función g(x) = x2. Es fácil ver queIm(g) = [0,∞), luego g es sobreyectiva. Pero g no es inyectiva: g(−3) = g(3),pero 3 6= −3. En otras palabras, sabiendo únicamente quién es g(x), nopodemos sabemos con seguridad quién es x.

Definición 4.44 (Función invertible). Diremos que una función f es invertible,si y sólo si la relación f−1 es también una función.

Recuerde que f−1 = {( f (x),x) : x∈Dom( f )}, luego si f es invertible, entoncesDom( f−1) = Im( f ), e Im( f−1) = Dom( f ).

�� Ejemplo 4.45. Sea f : Z −→ R la función f (r) =√

2r. f = {(r,√

2r) :

r ∈ Z}, de modo que f−1 = {(√

2r,r) : r ∈ Z}. Si (√

2r,r),(√

2s,s) ∈ f−1 y√2r =

√2s, entonces r = s. Esto prueba que f−1 es una función, luego f es

invertible. Sea B = {√

2r : r ∈ Z}. Es claro que B = Im( f ) = Dom( f−1), yademás que Im( f−1) = Dom( f ) = Z.

Teorema 4.46. Dada una función f : A −→ B, tenemos que f es inyectiva si ysólo f es invertible.


Note que si f es invertible, entonces ( f−1)−1 = f , luego f−1 es invertible (einyectiva, por el teorema anterior). En general, aunque una función f : A−→ B seainvertible, esto no implica que Dom( f−1) sea igual a B (esto ocurre sólo en el casode que f sea sobreyectiva, ya que en general Dom( f−1) = Im( f )).

! Para antes de seguir leyendo: Demuestre que si f : A −→ B es unafunción invertible, entonces:

(a) f−1 ◦ f = IdA.

(b) f ◦ f−1 = IdS, donde S = Dom( f−1) = Im( f ).


Muchas funciones pueden expresarse como composición de varias funcionesbásicas. Para determinar la inyectividad de una función, en varios casos bastarácon estudiar la inyectividad de las funciones básicas que la componen. Lo mismoocurre con la sobreyectividad.

Teorema 4.47. Para f : A−→ B, g : B−→C, tenemos:

(a) Si f y g son inyectivas, entonces g◦ f es inyectiva.

(b) Si f y g son sobreyectivas, entonces g◦ f es sobreyectiva.

(c) Si f y g son biyectivas, entonces g◦ f es biyectiva.

Prueba.

(a) Si g( f (x)) = g( f (y)), por inyectividad de g, f (x) = f (y); ahora, por inyec-tividad de f , x = y. Esto prueba que g◦ f es inyectiva.

(b) Dado c ∈ C, por sobreyectividad de g existe b ∈ B tal que g(b) = c. Porsobreyectividad de f , existe a ∈ A tal que f (a) = b. Por ende, c = g( f (a)),y esto prueba que g◦ f es sobreyectiva.

(c) Se deduce fácilmente de (a) y (b).

o

¿Valen los recíprocos de las propiedades anteriores? La respuesta es que no engeneral. Sin embargo, por lo menos podemos concluir lo siguiente:

Teorema 4.48. Para f : A−→ B, g : B−→C, tenemos:

(a) Si g◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.

(b) Si g◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.

Prueba.

(a) Supongamos que f (x) = f (y). Entonces g( f (x)) = g( f (y)), es decir, (g ◦f )(x) = (g◦ f )(y). Por inyectividad de g◦ f , concluimos x = y.

(b) Sea c ∈C. Como g ◦ f : A −→C es sobre, existe a tal que c = (g ◦ f )(a) =g( f (a)). Esto prueba que c ∈ Im(g).

o


Definición 4.49 (Inversa por derecha e inversa por izquierda de funciones). Dadauna función f : X −→ Y :

1. Una inversa por izquierda de f es una función g : Y −→ X tal que g ◦ f =Inversa porizquierda IdX .

2. Una inversa por derecha de f es una función h : Y −→ X tal que f ◦h = IdY .Inversa porderecha

La existencia de una inversa por izquierda (por derecha) caracteriza la inyec-tividad (sobreyectividad) de una función:

Teorema 4.50. Sea f : X −→ Y . Tenemos:

(a) f es 1-1 si y sólo si f posee una inversa por izquierda.

(b) f es sobreyectiva si y sólo si f posee una inversa por derecha.

Prueba.

(a) Utilizamos el método de doble implicación:

(→) Supongamos que f es 1-1. Sea x0 ∈ X un elemento cualquiera (si Xfuera vacío, entonces f sería la función vacía, que es su propia inversapor izquierda). Definimos la función g : Y −→ X así: dado y ∈ Y , siy ∈ Im( f ), entonces sea g(y) el único elemento x en X tal que f (x) = y(se tendrá entonces que g( f (x)) = x); si y 6∈ Im( f ), sea g(y) = x0. Porconstrucción tenemos que para cada x ∈ X , g( f (x)) = x, y por endeg◦ f = IdX .

(←) Supongamos que existe una función g : Y −→ X tal que g ◦ f = IdX .Demostremos que f es inyectiva: si f (x1) = f (x2), entonces g( f (x1)) =g( f (x2)), luego x1 = x2.


(→) Supongamos que f es sobreyectiva. Construimos la función g : Y −→Xde la siguiente forma: dado un elemento y ∈ Y , consideremos el con-junto Ey = {x ∈ X : f (x) = y}: este es el conjunto de las preimágenesde y bajo f . Como f es sobreyectiva, el conjunto Ey es no vacío, luegopodemos elegir algún elemento de este conjunto, y a este lo llamare-mos g(y). Veamos que f ◦g = IdY : dado y∈Y , sabemos que g(y)∈ Ey,y por ende f (g(y)) = y. Esto era lo que queríamos demostrar.

(←) Supongamos que existe g : Y −→ X tal que f ◦ g = IdY y veamos quef : X → Y es sobreyectiva: sea y ∈ Y . Entonces f (g(y)) = y, y porende g(y) es una preimagen de y (bajo f ). Esto demuestra que f essobreyectiva.


o

Corolario 4.51. Sea A un conjunto, y f y g funciones tales que g ◦ f = IdA. En-tonces f es inyectiva y g es sobreyectiva.

Supongamos que f : A −→ B posee inversas g : B −→ A y h : B −→ A porizquierda y por derecha respectivamente. La existencia de h garantiza que B es laimagen de f , y la existencia de g garantiza que f es invertible, luego f−1 es funcióncon dominio Im( f ) = B.

Bajo las anteriores condiciones podemos concluir que g y h son la misma fun-ción, y más aún, son iguales a f−1. Veamos la demostración:

Sabemos que IdA = g ◦ f , luego f−1 = IdA ◦ f−1 = (g ◦ f ) ◦ f−1 = g ◦ ( f ◦f−1) = g◦ IdDom( f−1) = g◦ IdB = g. Así, f−1 = g. Ahora, IdB = f ◦h, luego f−1 =f−1 ◦ IdB = f−1 ◦ ( f ◦h) = ( f−1 ◦ f )◦h = IdA ◦h = h, y por ende f−1 = h.

A continuación enunciamos un criterio útil para verificar si una función esbiyectiva:

Teorema 4.52. Sean f : A −→ B, g : B −→ A funciones. Si g ◦ f = IdA y f ◦g = IdB, entonces f y g son biyectivas y mutuamente inversas, esto es, f−1 = g yg−1 = f .

Prueba. Como f tiene a g como inversa por izquierda y por derecha, entonces f esbiyectiva por el teorema 4.50. De manera análoga podemos concluir que g es unabiyección. Por la demostración anterior al enunciado de este teorema concluimosque f−1 = g. Finalmente f = ( f−1)−1 = g−1. o

Lema 4.53. Consideremos dos funciones f0 : A0−→B0 y f1 : A1−→B1, en dondeA0∩A1 = ∅ y B0∩B1 = ∅. Sea f : A0∪A1 −→ B0∪B1 la función definida así:

f (x) =

{f0(x) si x ∈ A0

f1(x) si x ∈ A1

Entonces:

(a) Si f0 y f1 son inyectivas, entonces f también lo es.

(b) Im( f ) = Im( f0)∪ Im( f1) (en particular, si f0 : A0 −→ B0 y f1 : A1 −→ B1son sobreyectivas, entonces f : A0∪A1 −→ B0∪B1 también lo es).

Prueba. Verificamos (a), y dejamos la demostración de (b) al lector (ejercicio 7).Sean x,y ∈ A0∪A1 tales que f (x) = f (y) ∈ B0∪B1. Como B0 y B1 son disjuntos,hay dos casos por considerar:


(i): f (x) ∈ B0 r B1: Entonces x ∈ A0 (pues de lo contrario se tendría x ∈A1, y consecuentemente f (x) = f1(x) ∈ B1). Análogamente y ∈ A0. Entoncesf0(x) = f (x) = f (y) = f0(y). Como f0 es inyectiva, concluimos que x = y.

(ii): f (x) ∈ B1 r B0: este caso es similar a (i).

Como en cualquier caso obtenemos que x = y, concluimos que f es inyectiva.o

4.7. Imagen e imagen inversa de funciones

A partir de las definiciones de imagen e imagen inversa de una relación, enparticular dada una función f : A −→ B y conjuntos S ⊆ A, T ⊆ B, tendremos losiguiente:

f [S] = {y : ∃x ∈ S : (x,y) ∈ f}= {y : ∃x ∈ S : y = f (x)}= { f (x) : x ∈ S}.

f−1[T ] = {x ∈ A : ∃y ∈ T : (x,y) ∈ f}= {x ∈ A : f (x) ∈ T}.

El uso “pragmático” de los conjuntos f [S] y f [T ] es el siguiente:

Si x ∈ S, entonces f (x) ∈ f [S] (aunque no necesariamente al contrario).

Si f (x) ∈ T , entonces x ∈ f−1[T ] (y al contrario).

Dada una función f : A−→B, y b∈B, llamaremos la fibra sobre b con respectoa f al conjunto f−1[{b}] = {a ∈ A : f (a) = b}. En otras palabras, la fibra sobre bFibra

con respecto a f es el conjunto de todas la preimágenes de b (respecto a f ).Recordemos que una función f : A−→ B es sobreyectiva si y sólo si para cada

b ∈ B existe un a ∈ A tal que f (a) = b. En otras palabras, si para cada b ∈ B, lafibra sobre b es un conjunto no vacío. Este hecho se utilizó en la demostración delteorema 4.50(b).

Una función f : A−→ B no es inyectiva si existen x,y tales que x 6= y y f (x) =f (y). En este caso tanto x como y pertenecen a la fibra de f (x), y por ende estafibra posee más de un elemento.

Las anteriores observaciones las podemos resumir de la siguiente forma:

Observación 4.54. Dada una función f : A−→ B:

(a) f es inyectiva si y sólo si para cada b ∈ B, la fibra f−1[{b}] posee a lo sumoun elemento.

4.7. IMAGEN E IMAGEN INVERSA DE FUNCIONES 187

(b) f es sobreyectiva si y sólo si para cada b ∈ B, la fibra f−1[{b}] posee almenos un elemento.

(c) f es biyectiva si y sólo si para cada b ∈ B, la fibra f−1[{b}] es un singleton.

�� Ejemplo 4.55. Sean A = {1,2,3,4,5,6}, B = {a,b,c,d,e} y f : A−→ B lafunción dada por la tupla (c,e,a,d,b,e) (esto es, f (1) = c, f (2) = e, f (3) = a,etcétera). Entonces por ejemplo:

(a) f [A] = B.

(b) f [ {2,6} ] = {e}.

(c) f−1[B] = A.

(d) f−1[ {a,e} ] = {2,3,6}.

(e) f−1[ f [{2}] ] = {2,6}.

! Para antes de seguir leyendo: Sea f : X → Y . Demuestre que:

(a) f [∅] = ∅.

(b) f−1[∅] = ∅.

(c) Si x ∈ X , entonces f ({x}) = { f (x)}.

A continuación estudiamos las propiedades de f [X ] (la imagen de X bajo f ) yf−1[Y ] (la imagen inversa de Y bajo f ):

Teorema 4.56. Para f : A−→ B, X ,X ′ ⊆ A, tenemos:

(a) (Monotonía) X ⊆ X ′ implica f [X ]⊆ f [X ′].

(b) f [X ∪X ′] = f [X ]∪ f [X ′].

(c) f [X ∩X ′]⊆ f [X ]∩ f [X ′].

Prueba.


(a) Supongamos que X ⊆ X ′ y verifiquemos que f [X ] ⊆ f [X ′]: si y ∈ f [X ], en-tonces existe x ∈ X tal que y = f (x): por hipótesis, x ∈ X ′, luego por defini-ción, f (x) ∈ f [X ′], es decir, y ∈ f [X ′].

(b) Utilizamos el método de doble inclusión:

(⊆) Si y ∈ f [X ∪X ′], y = f (a) para cierto a ∈ X ∪X ′. Si a ∈ X , entoncesy ∈ f [X ]. Si a ∈ X ′, entonces y ∈ f [X ′]. Por ende, y ∈ f [X ]∪ f [X ′].

(⊇) Como X ,X ′ ⊆ X ∪X ′, por monotonía (parte (a)) tenemos que f [X ]∪f [X ′]⊆ f [X ∪X ′]∪ f [X ∪X ′] = f [X ∪X ′].

(c) Como X ∩X ′ ⊆ X y X ∩X ′ ⊆ X ′, por monotonía (parte (a)) tenemos quef [X ∩X ′]⊆ f [X ] y f [X ∩X ′]⊆ f [X ′], luego f [X ∩X ′]⊆ f [X ]∩ f [X ′].

o

Como lo muestra el siguiente teorema, la operación f−1 también preserva in-tersecciones:

Teorema 4.57. Para f : A−→ B, Y,Y ′ ⊆ B, tenemos:

(a) (Monotonía) Y ⊆ Y ′ implica f−1[Y ]⊆ f−1[Y ′].

(b) f−1[Y ∪Y ′] = f−1[Y ]∪ f−1[Y ′].

(c) f−1[Y ∩Y ′] = f−1[Y ]∩ f−1[Y ′].



4.8. / Ejercicios


1. Sea f : R−→ R la función dada por f (x) = 6− x.

a) Calcule f (3) y f ( f (5)).

b) Demuestre que f es una biyección.

2. Sea f : Q −→ Q la función dada por f (x) = 2|x| − 1. ¿Qué conjunto esIm( f )? ¿Es f 1-1? ¿Es f sobreyectiva?

3. Provea un ejemplo de las siguientes:

a) Dos funciones f y g cuya composición f ◦g sea inyectiva, pero algunade ellas no lo sea.

b) Dos funciones f y g cuya composición f ◦ g sea sobreyectiva, peroalguna de ellas no lo sea.

ENTRADAS

4. Dé un ejemplo de una función f : A→ A que sea inyectiva y no sea sobreyec-tiva.



6. Dados f : A −→ A y S ⊆ A, definimos recursivamente f n así: f 0 = IdA,f n+1 = f ◦ f n. Dado A = {1,2,3,4,5}, encuentre una función f : A −→ A,tal que 4 sea el mínimo número natural n tal que f n(A) = {3}.

7. Demuestre la parte (b) del lema 4.53.


9. Sean f : A→ B, X ⊆ A y Y ⊆ B.

a) Demuestre que X ⊆ f−1[ f [X ]] (¿bajo qué condición sobre f vale siem-pre la igualdad?).

b) Demuestre que f [ f−1[Y ]]⊆Y (¿bajo qué condición sobre f vale siem-pre la igualdad?).

c) Concluya que f [ f−1[ f [X ]]] = f [X ] y f−1[ f [ f−1[Y ]]] = f−1[Y ].

10. Para i = 1, . . . ,n, sea fi : Ai −→ Ai+1 una biyección. Demuestre que

( fn ◦ fn−1 ◦ · · · ◦ f1)−1 = f−11 ◦ f−1

2 ◦ · · · ◦ f−1n .

11. Sea f : A→ B. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas ofalsas (justificando con una prueba o un contraejemplo):

a) Para X ,X ′ ⊆ A, si X y X ′ son disjuntos entonces f [X ] y f [X ′] son dis-juntos.

b) Para Y,Y ′ ⊆ B, si Y y Y ′ son disjuntos entonces f−1[Y ] y f−1[Y ′] sondisjuntos.

c) Para x ∈ A, si f (x) ∈ f [X ], entonces x ∈ X .

d) Para x ∈ A, f−1[{ f (x)}] = {x}.

12. Sea B = {2,−1,−4,−7, . . .}. Defina una función biyectiva f : Z −→ B, ydemuestre que es biyectiva.

PLATOS FUERTES

13. Sea f : P(Z)→P(Z) la función definida así:

f (S) = {z+1 : z ∈ S}.(S ∈P(Z)).

Demuestre que f es una función biyectiva.


14. Sea f : X −→ Y una función cualquiera, y sean φ ,ψ las funciones “imagen”y “preimagen” respectivamente. Esto es,

φ : P(X)−→P(Y ), φ(S) = f [S] = { f (s) ∈ Y : s ∈ S}

ψ : P(Y )−→P(X), ψ(T ) = f−1[T ] = {x ∈ X : f (x) ∈ T}

(a) Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) f es inyectiva,(ii) φ es inyectiva,

(iii) ψ es sobreyectiva.

(b) Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) f es sobreyectiva,(ii) φ es sobreyectiva,

(iii) ψ es inyectiva.

(c) Demuestre que f es una biyección si y sólo si φ y ψ son funcionesmutuamente inversas.

15. Para cada número natural n, sea fn una función cualquiera.

a) Demuestre que f =⋂

n∈Nfn es también una función. (Recuerde que fn es

el conjunto {(x, fn(x)) : x ∈ Dom( fn)}).b) ¿Cómo se comparan los conjuntos Dom( f ) y

⋂n∈N

Dom( fn)?

c) ¿Cómo se comparan los conjuntos Im( f ) y⋂

n∈NIm( fn)?

16. Sea X un conjunto no vacío. Demuestre que existe una biyección f : P(X)−→P(X) que no fija puntos, esto es, que verifica f (S) 6= S, para cualquierS ∈P(X).

17. Pensemos en 2 como el conjunto {0,1} y sea X un conjunto cualquiera. DadoA ∈P(X), sea χA : X −→ {0,1} la función: χA(x) = 1 si x ∈ A, χA(x) = 0si x 6∈ A. Note que esto define una función

χ : P(X)−→ 2X

A 7−→ χA,

en donde 2X es el conjunto de todas las funciones f : X −→ 2. Demuestreque χ es una biyección. (Para cada A, χA es llamada la función característicade A).


18. Dado A⊆ B, definimos la función fA : P(B)−→P(B) por

f (X) = A4X (X ∈P(B)).

a) Demuestre que fA es una función biyectiva.

b) Demuestre que la función φ : P(B) −→ BB dada por φ(A) = fA esinyectiva, pero no es sobreyectiva si B posee más de un elemento.[Recuerde que en general XY es el conjunto de todas las funcionesf : Y −→ X].

4.9. RELACIONES DE EQUIVALENCIA 193

4.9. Relaciones de equivalencia

Sea M un conjunto no vacío de mangos, y B un conjunto de barriles distintos,tal que cada mango está en algún (¡único!) barril de B, y todo barril de B es unconjunto no vacío de mangos de M. Es claro que si a,b y c son mangos de Mtenemos que:

Figura 4.3: Los barriles malditos

(i) a y a se encuentran en el mismo barril.

(ii) Si a se encuentra en el mismo barril que b, entonces b se encuentra en elmismo barril que a.

(iii) Si a se encuentra en el mismo barril que b y b se encuentra en el mismo barrilque c, entonces a se encuentra en el mismo barril que c.

En terminología matemática, definimos la relación ∼ sobre el conjunto M así:“a∼ b si y sólo si a se encuentra en el mismo barril que b”. Entonces∼ es reflexiva(i), simétrica (ii) y transitiva (iii). Dado un mango a ∈M sea [a] el (¡único!) barrilal cual este mango pertenece. Sea B = {[a] : a ∈ M}, el conjunto de todos losbarriles. Este último conjunto lo podemos denotar así: M/ ∼, y la justificación deesta notación es que hemos partido o dividido a M utilizando la relación ∼. Losmangos “pierden sus diferencias” dentro de cada barril, y se vuelven equivalentes.Además hemos definido de forma sutil una función f : M→ B dada por f (a) = [a],que a cada mango le asigna el barril al cual pertenece.

La anterior relación es tan solo un ejemplo de la noción general de una relaciónde equivalencia, concepto que definimos a continuación:

Definición 4.58. Dado un conjunto X , una relación de equivalencia sobre X es Relación deequivalenciauna relación E ⊆ X2 que es reflexiva, simétrica y transitiva.


Los siguientes son algunos ejemplos de relaciones de equivalencia:

�� Ejemplo 4.59 (Relaciones de equivalencia).

(a) Para un conjunto cualquiera X , E = IdX es una relación de equivalencia.Para demostrar esto, debemos verificar que E es reflexiva, simétrica ytransitiva. (i): Para cualquier x ∈ X , x = x, es decir, xEx. Así, todo ele-mento de X se relaciona consigo mismo bajo E. (ii): Sean x,y ∈ X . SixEy, entonces x = y, luego y = x, esto es, yEx. (iii): Sean x,y,z ∈ X . Su-pongamos que xEy, y yEz: entonces x = y, y y = z, luego x = z (¿porqué?), esto es xEz. En este ejemplo, los “barriles” (véase el ejemplo enla introducción de esta sección) corresponden a conjuntos de un sólo el-emento, ya que bajo E todo elemento se relaciona únicamente consigomismo.

(b) Sea X = Z y definamos la relación E sobre X así: aEb si y sólo si a≡2 b(es decir, Res2(a) = Res2(b), o lo que es equivalente 2|a−b). Gracias alteorema 3.39, E es una relación de equivalencia.

En los anteriores ejemplos hemos utilizado de manera informal la noción de“barril” para designar algún conjunto de elementos relacionados entre sí según larelación de equivalencia. En adelante cambiaremos la palabra barril por la expre-sión “clase de equivalencia”, pero el significado será el mismo.

Definición 4.60 (Clase de equivalencia). Sea E una relación de equivalenciaClase deequivalencia sobre un conjunto X . Dado a ∈ X , definimos la clase de equivalencia de a con

respecto a E, y la denotamos [a]E , así:

[a]E := {b ∈ X : aEb}.

El conjunto de todas las clases de equivalencia lo denotamos X/E (y se denominaX/E: Conjuntocociente “X partido por E”, o el conjunto cociente con respecto a E); esto es,

X/E := {[a]E : a ∈ X}.

Por brevedad llamamos simplemente clases a las clases de equivalencia, y de-notamos [a]E por [a], cuando la relación E es clara del contexto. En algunas oca-siones debemos trabajar simultáneamente con varias relaciones de equivalenciaE,F, ... sobre un mismo conjunto X . En tal situación no podemos darnos el lujo de


Figura 4.4: Las relaciones de equivalencia “colapsan puntos”.


utilizar simplemente la expresión “[a]”, pues ella podrá referirse a [a]E o [a]F , quepueden ser conjuntos distintos.

A continuación estudiamos las clases de equivalencia generadas por las rela-ciones estudiadas en los ejemplos:

�� Ejemplo 4.61 (...continuación).

(a) Si E = IdX y a∈ X , entonces [a] = {b∈ X : b = a}= {a}, luego la clasede cualquier elemento es un singleton. Por ende, X/E = {{a} : a ∈ X}.

(b) Si E =≡2 y a ∈ Z, entonces [a] = {b ∈ Z : a− b es par} = {. . . ,a−10,a−6,a−4,a−2,a,a+2,a+4, . . .}. De esto concluimos lo siguien-te:

a) Si a es par, entonces [a] es el conjunto de los pares.

b) Si a es impar, entonces [a] es el conjunto de los impares.

Por lo tanto, si bien existe un número infinito de números enteros, sólohay dos clases de equivalencia: [0] y [1]. En este caso, Z/E = {[0], [1]}=Z2. La relación E parte a Z en dos conjuntos disjuntos y no vacíos: lospares y los impares.

El siguiente ejemplo es de suma importancia y constituye una herramienta fre-cuente para construir relaciones de equivalencia:

�� Ejemplo 4.62 (Relación de equivalencia asociada a una función). Sea f :X −→Y una función cualquiera. Definimos la relación E f sobre X así: aEb si ysólo si f (a) = f (b). Claramente E f es una relación de equivalencia. Las clasescorresponden precisamente a las fibras no vacías de f , esto es, a conjuntos dela forma f−1[{y}], con y ∈ Im( f ). Para ver esto, notamos que:

[a] = {b ∈ X : f (b) = f (a)}= f−1[{ f (a)}].

Si f es inyectiva, entonces toda clase es un singelton (y recíprocamente si todaclase es un singleton, entonces f ) es inyectiva.


La relación de equivalencia E f introducida en el ejemplo anterior se denominala relación de equivalencia asociada a f .. ¡Note que las relaciones dadas en (a) y R f : Relación de

equivalenciaasociada a f

(b) en el ejemplo son casos particulares de E f ! ((a) : tómese f la función identidaden A. (b) : tómese f : Z→ {0,1}, f (x) = Res2(x) ). Más adelante demostraremosque toda relación de equivalencia es de la forma E f .

Definición 4.63. Sea E una relación de equivalencia sobre X , y sea a ∈ X . Dire-mos que b ∈ X es un representante de la clase [a] si b ∈ a (o de forma equivalente, Representante

si aEb).

Teorema 4.64. Para E una relación de equivalencia sobre X, y a,b ∈ X:

(a) a es un representante de [a].

(b) [a] = [b] si y sólo si aEb.

(c) [a]∩ [b] 6= ∅ si y sólo si aEb.

(d) [a]∩ [b] = ∅ si y sólo si a y b no se encuentran E-relacionados.

(e) [a] 6= [b] si y sólo si [a]∩ [b] = ∅.

Prueba.

(a) Para a ∈ X , aEa, luego a ∈ [a].

(b) Si [a] = [b], entonces b∈ [b] = [a], luego aEb. Para el recíproco, supongamosque aEb. Por simetría, bEa. Ahora, si c ∈ [a], entonces aEc, luego por tran-sitividad bEc, es decir, c ∈ [b]. Esto demuestra que [a]⊆ [b]. Análogamentepodemos probar que [b]⊆ [a], luego [a] = [b].

(c) Supongamos que [a]∩ [b] 6= ∅ y sea c ∈ [a]∩ [b]. Entonces aEc y bEc. Porsimetría y transitividad, concluimos que aEb. Para el recíproco, si aEb, en-tonces b ∈ [a], luego b ∈ [a]∩ [b] 6= ∅.

(d) Es una reformulación de la afirmación (c).

(e) Se deduce de las anteriores afirmaciones (¿cómo?).

o

ParticionesFinalizamos esta sección estudiando la noción de partición, la cual ayuda a

entender mejor las relaciones de equivalencia:


Definición 4.65 (Partición). Sea X un conjunto. Diremos que P⊆P(X) es unapartición de X si y sólo si:Partición

(a) ∅ 6∈ P.

(b)⋃

P = X .

(c) Los conjuntos de P son disjuntos 2 a 2, es decir, si S1,S2 ∈ P y S1 6= S2,entonces S1∩S2 = ∅.

Si P es una partición de X , entonces por (b) y (c) tenemos que para todo a,

x ∈ X si y sólo si existe un único S ∈ P tal que x ∈ S.

! Para antes de seguir leyendo: Demuestre que las siguientes afirma-ciones son equivalentes:

(i) P es una partición de X ,

(ii) P⊆P(X)r{∅}, y para todo x, x ∈ X si y sólo si existe un único S ∈ Ptal que x ∈ S.

En particular todo elemento de X se encuentra en uno y sólo un elemento S∈P,de modo que P fragmenta a X en conjuntos disjuntos. Por ejemplo, el conjuntode barriles propuesto al comienzo de la sección es una partición del conjunto demangos. Otro ejemplo de una partición consiste en la división política de un paísX : este último (visto como un conjunto de personas) se parte en departamentos novacíos S ∈P(X), disjuntos entre sí.

�� Ejemplo 4.66. Sea X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Entonces

P = {{1,9},{2,8},{3,4,5,6,7}}

es una partición de X en tres conjuntos:

{1,9},{2,8} y {3,4,5,6,7}.

Note que Q = {{1,2,9},{2,8},{3,4,5,6,7}} no es partición de X (¿por qué?).


El lector habrá notado que cada relación de equivalencia determina de maneranatural una partición:

Teorema 4.67 (Relación de equivalencia ; partición). Sea X un conjunto novacío, y ∼ una relación de equivalencia sobre X. Entonces X/∼ es una particiónde X.

Prueba. Sea P = X/ ∼. Veamos que P es una partición de X . Dado que existea ∈ X , claramente [a] ∈ P, luego P 6= ∅. Además:

1. ∅ 6∈ P: Esto se tiene pues si a ∈ X , entonces a ∈ [a], y así [a] nunca es igualal conjunto vacío.

2.⋃

P = X : Si a ∈⋃

P, entonces existe S ∈ P tal que a ∈ S, y como S ⊆ X ,esto implica que a ∈ X . Para la otra inclusión, si a ∈ X , entonces a ∈ [a] ∈ P,luego a ∈

⋃P.

3. Los elementos de P son disjuntos 2 a 2: Si [a], [b] ∈ P y [a] 6= [b], entonces[a] y [b] son disjuntos (teorema 4.64).

o

X X/∼

arr br r rr cr

arr br r rr cr[c]

[b]

[a]

Figura 4.5: Si ∼ es una relación de equivalencia sobre X conjunto no vacío, X/∼es una partición de X .

La figura 4.5 ilustra el teorema anterior: en ella, X es un conjunto de sieteelementos, mientras que la partición X/ ∼= {[a], [b], [c]} posee tan sólo tres ele-mentos.

La moraleja es la siguiente: toda relación de equivalencia sobre X automática-mente “induce” una partición sobre X . Como veremos a continuación, el fenómenoinverso ocurre también: ¡toda partición genera de manera natural una relación deequivalencia!


Teorema 4.68 (Partición ; relación de equivalencia). Dada una partición P deX, definamos la relación EP sobre el conjunto X así:

aEPb si y sólo si existe S ∈ P tal que a,b ∈ S.

Entonces EP es una relación de equivalencia.

Prueba. Sea ∼ = EP. Verifiquemos que ∼ es una relación reflexiva, simétrica ytransitiva:

(a) Reflexividad: Sea a∈ X . Como⋃

P = X , existe S∈ P tal que a∈ S. Entoncesa,a ∈ S, luego a∼ a.

(b) Simetría: Si a ∼ b, existe S ∈ P tal que a,b ∈ S, que es lo mismo que decirb,a ∈ S, y esto prueba que b∼ a.

(c) Transitividad: Supongamos que a ∼ b y b ∼ c, y sean S,T ∈ P tales quea,b ∈ S y b,c ∈ T . Como P es una partición y S∩T 6= ∅, entonces S = T , demodo que a,c ∈ S, y esto demuestra que a∼ c.

o

Una demostración alternativa del teorema anterior es la siguiente: La definiciónde una partición P sobre X define de forma implícita una función natP : X → P,dada por natP(x) = Px, en donde Px es el único conjunto tal que x ∈ Px ∈ P. Ahora,si EP es la relación definida en el teorema 4.68, entonces claramente tenemos queaEPb si y sólo si Pa = Pb, esto es, natP(a) = natP(b). Por ende EP es la relación deequivalencia asociada a la función natP (ver el ejemplo 4.73).

Los teoremas anteriores nos permiten pensar en particiones como relaciones deequivalencia y viceversa. Además las traducciones dadas son mutuamente inversas:

Teorema 4.69. Para X un conjunto, P una partición de X y ∼ relación de equi-valencia sobre X:

(a) X/EP = P.

(b) EX/∼ =∼.

Prueba.


(⊆) Sea [a]EP = [a] ∈ X/EP, y sea S ∈ P tal que a ∈ S. Veamos que [a] = S:si b ∈ [a], entonces aEPb, luego a,b ∈ T para algún T ∈ P. EntoncesS∩T 6= ∅, luego S = T , y así b ∈ S. Para la otra inclusión, si b ∈ S,entonces a,b ∈ S ∈ P, luego aEPb, es decir, b ∈ [a].


(⊇) Sea S ∈ P. Tome a ∈ S (¿por qué existe?); es fácil verificar que S =[a]EP , luego S ∈ X/EP.

(b) Utilizamos el método directo, es decir, demostramos que para todo x,y ∈ X ,

(x,y) ∈ EX/∼ si y sólo si (x,y) ∈∼:

(x,y) ∈ EX/∼ ↔ ∃S ∈ X/∼: x,y ∈ S↔ ∃a ∈ X : x,y ∈ [a]∼↔ ∃a ∈ X : x∼ a y y∼ a↔ x∼ y

La justificación de la última equivalencia es la siguiente:→: vale por simetríay transitividad.← : tome a = x (o a = y).

o

! Para antes de seguir leyendo: Demuestre que para toda relación deequivalencia E sobre X existe una función f tal que E = E f .

Introducimos ahora la noción de conjunto de representantes de una partición.Intuitivamente, un conjunto C de representantes para una partición P de un con-junto X se construye eligiendo exactamente un elemento de cada clase S ∈ P. Bajoestas condiciones se tendrá entonces que C es un subconjunto de X , y que todaclase S ∈ P intersecará a C en exactamente un elemento.

Definición 4.70 (Conjunto de representantes). Sea P una partición de X . C es unconjunto de representantes de P si y sólo si C ⊆ X y para todo S ∈ P, existe a ∈ X Conjunto de

representantestal que S∩C = {a}.

�� Ejemplo 4.71. Sea X = {0,1,2,3,4,5,6,7} y sea P la siguiente particiónsobre X :

P = { {0,1,2},{3,4},{5,6},{7} }.

Entonces es fácil verificar que C = {0,4,5,7} es un conjunto de representantespara P, ya que todo elemento de la partición interseca a C en “exactamente unelemento”. Intuitivamente, todo elemento S ∈ P se encuentra representado porun único elemento c ∈ C (tal que c ∈ S). El lector puede convencerse que lapartición P admite exactamente doce conjuntos de representantes.


La anterior definición puede darse también pensando en relaciones de equi-valencia: C es un conjunto de representantes para una relación de equivalencia E(sobre X) si y sólo si C es un conjunto de representantes de la partición X/E.

Teorema 4.72. Sea E una relación de equivalencia sobre X, y sea C ⊆ X. Lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) C es un conjunto de representantes para E,

(ii) Para todo x ∈ X existe un único c ∈C tal que xEc.

Prueba.

(i)→ (ii): Supongamos que C es un conjunto de representantes para E. Estosignifica por definición que para toda clase S ∈ X/E, existe c ∈ X tal queS∩C = {c}. Demostremos (ii): sea x ∈ X . Entonces S = [x] ∈ X/E, luegopor hipótesis existe c ∈ X tal que [x]∩C = {c}. Entonces c ∈C y xEc. Paraver la unicidad de este elemento c, supongamos que c′ verifica también quec′ ∈C y xEc′: Entonces c′ ∈ [x]∩C = {c}, luego c = c′.

(i)→ (ii): Supongamos la afirmación (ii) y demostremos que C es un con-junto de representantes para E: Sea S ∈ X/E. Entonces existe x ∈ X tal queS = [x]. Sea c ∈C el único elemento (por (ii))tal que xEc: esto significa quepara todo y tenemos que

(y ∈C y yEx) si y sólo si y = c.

La anterior equivalencia significa que S∩C = {c}. Esto demuestra que C esun conjunto de representantes para la relación E.

4.10. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES 203

o

! Para antes de seguir leyendo: Sea E una relación de equivalencia sobreX , y sea C un conjunto de representantes para E. Demuestre que dados c1,c2 ∈C, se tiene que si c1 6= c2, entonces c1 y c2 no se encuentran relacionados bajoE.

Veamos algunos ejemplos:

�� Ejemplo 4.73.

(a) A es un conjunto de representantes para la relación IdA. De hecho A esel único conjunto posible de representantes para esta relación.

(b) Para la relación de congruencia módulo 2 (≡2) sobre Z, los siguien-tes son distintos conjuntos de representantes: {0,1}, {0,3}, {−10,5},{100,−3}, {7,6}, {21,−2}, etcétera. Note que en este caso un conjun-to de representantes no es otra cosa que un sistema completo de residuosmódulo 2 (ver definición 3.52).

(c) Para la relación E f (ver ejemplo ) podemos elegir un conjunto de re-presentantes así: dado y ∈ Im( f ), elegimos xy ∈ X tal que f (xy) = y. Elconjunto C = {xy : y∈ Im( f )}⊆X es un conjunto de representantes paraE f : para [a] ∈ X/E f , si b ∈ [a]∩C, entonces f (b) = f (a) y b = xy paraalgún y ∈ Im( f ). Entonces f (a) = f (xy) = y, luego b = x f (a). Ademáses claro que x f (a) ∈ [a]∩C, de modo que [a]∩C = {x f (a)}.

El lector sospechará que si C es un conjunto de representantes para P, entoncesC y P “poseen el mismo tamaño” en algún sentido (que será precisado en el capítulo5).

4.10. Construcción de los números enteros y racionales

Esta sección constituye una aplicación importante de las relaciones de equi-valencia como herramienta natural en la construcción de estructuras matemáticasmás complejas a partir de otras más simples. En este caso construiremos a Z como


un conjunto bien definido a partir del conjunto N (para una definición conjuntistade N, consultar el ejercicio 23 del capítulo 2). Después construiremos a Q a partirde Z.

Construcción de los números enterosRecordemos que el conjunto de los números enteros es

Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}.

El orden usual en Z es el siguiente: . . . < −3 < −2 < −1 ≤ 0 < 1 < 2 < 3 < .. ..También sabemos sumar estos números: por ejemplo−3+−4 =−7, 5+−8 =−3,etcétera. Pues bien, la meta que tenemos en mente es construir la estructura de losnúmeros enteros, utilizando la estructura de los números naturales (N,≤,+) y lateoría de las relaciones de equivalencia. Construir la estructura de los númerosenteros significa:

1. Definir el conjunto Z.

2. Definir la suma + en el conjunto Z.

3. Definir el orden < en Z, esto es, dar una condición precisa de cuándo n < m,para cualquier par n,m ∈ Z

Tratemos primero, a modo de calentamiento, de construir a los enteros de unamanera rápida y algo informal. Después el lector comparará este intento con laconstrucción presentada más adelante, donde verá la elegancia y naturalidad deluso de las relaciones de equivalencia (aunque este último parezca un proceso algoartificial en un principio).

1. Definición de Z: Z = N∪{−n : n = 1,2,3, . . .}. En otras palabras, los enterosse componen de los números naturales, más una copia de los números posi-tivos n, acompañandos por un “palito” antes para indicar que son negativos:así, por ejemplo, el−3 es la copia negativa del 3. A estos números con palitoles llamaremos enteros negativos. Note que N⊆ Z.

2. Definición de la operación suma:

a) Para enteros naturales, la suma es la misma de los naturales (esto es, lasuma de enteros extiende a la suma de naturales).

b) Si a,b son ambos negativos, donde a =−n y b =−m (con n,m ∈ Nr{0}), entonces a + b se define como el número −(n + m) (donde esteúltimo + denota la suma de números naturales). Por ejemplo, −4 +


−3 =−(4+3) =−7. Esta definición garantiza que la suma de enterosnegativos es un entero negativo.

c) Dejamos al lector la tarea de definir la suma de un número positivo conun número negativo.

3. Definición del orden <: El orden en los números enteros se define así:

a) Entre números naturales, el orden es el mismo que se tenía en N (enotras palabras, el orden de los enteros extiende al orden de los natura-les).

b) Si a es negativo y b es un natural, a < b (todo número negativo esmenor que todo número no negativo).

c) Si a,b son ambos negativos, donde a = −n y b = −m (con n,m ∈ N),entonces a < b si y sólo si m < n (en negativos, el orden “se invierte”).

Esta definición se resume así: −(n+1) <−n < .. . <−3 <−2 <−1 < 0 <1 < 2 < 3 < .. . < n < n+1.

Ahora definiremos al conjunto de los números enteros de una forma notable-mente distinta, mediante una relación de equivalencia.

Consideremos el conjunto N2, que consta de todas las parejas (n,m), con n,m∈N. Imaginemos que cada pareja (n,m) codifica el movimiento vertical de un objetoque se encontraba originalmente en un lugar fijo, en donde n representa el númerode unidades que se movió hacia arriba, y m el número de unidades que se movióhacia abajo. Por ejemplo, la pareja (3,4) codifica un movimiento de 3 unidadeshacia arriba, y después 4 hacia abajo. Es claro que la pareja (2,3) representa unmovimiento distinto al representado por (3,4); sin embargo, para efectos de laposición final del objeto, ambos movimientos son equivalentes: la localización finalde un objeto, ya bien siga el movimiento (3,4) o (2,3), será de una unidad bajoel origen, esto es, de −1. Así, cada pareja representará un número entero: (4,1)representará al entero 3, (3,7) representará al entero −4, etcétera. Pero dado quemuchas parejas de naturales representan al mismo entero, debemos meter a ellasen un mismo barril, y el barril será por definición el número entero representadopor todos sus elementos.

A continuación formalizamos la discusión anterior:

Definición 4.74. Definimos la relación∼ sobre N2 de la siguiente manera: (n,m)∼(n′,m′) si y sólo si n+m′ = n′+m.

Lema 4.75. La relación∼ de la anterior definición es una relación de equivalen-cia.


Prueba. Es dejada al lector (ejercicio 28). o

Definición 4.76. Definimos Z, el conjunto de los números enteros, así:

Z = N2/∼= {[(n,m)] : (n,m) ∈ N2}.

Definición 4.77. Dado un número natural n, definimos los siguientes númerosenteros (los escribimos subrayados para enfatizar que son números enteros):

n := [(n,0)] ∈ Z.

−n := [(0,n)] ∈ Z.

Técnicamente, el número entero 2 es distinto del número natural 2.Por ejemplo, −6 = [(0,6)] = [(1,7)] = [(5,11)], y si a = [(3,5)], entonces

a = [(3,5)] = [(2,4)] = [(1,3)] = [(0,2)] =−2.

Por definición diremos que un número entero a ∈ Z es positivo si a de la forman, en donde n ∈ N∗; diremos que a es negativo si éste es de la forma −n, en donden ∈ N∗.

Antes de continuar es necesario introducir el concepto de buena definición deoperaciones o relaciones, el cual es fundamental cuando se quieren definir nuevasrelaciones u operaciones sobre conjuntos cociente, esto es, conjuntos de la formaX/∼, donde ∼ es una relación de equivalencia sobre X .

Supongamos, por ejemplo, que se nos dice lo siguiente: sea g : N2 −→ N lafunción dada por g(n,m) = n + m. Ahora, a partir de la función g, cuyo dominioes N2, sería natural definir una función g : N2/ ∼−→ N, de la siguiente manera:g([(n,m)]) = g(n,m).

El problema con la anterior definición de g es que es ambigüa, es decir, g no esuna función: pues por ejemplo sea a = [(3,4)]. Según esto, g(a) = 3 + 4 = 7. Sinembargo, dado que (3,4) ∼ (5,6), tenemos que a = [(3,4)] = [(5,6)], y por estog(a) = g([(5,6)]) = g(5,6) = 5+6 = 11. Entonces g(a) no está bien definida, estoes, el valor de g(a) depende del representante (n,m) de la clase a que se tome (estoes, g no es una función).

Quisiéramos definir la suma en Z de modo que ella coincida con la sumaque ya conocemos en los enteros. Por ejemplo, quisiéramos que al sumar 2 con−6 el resultado fuera −4. Según nuestras definiciones, el número entero 2 es,por ejemplo, la clase de la pareja (5,3), esto es, 2 = [(5,3)]. De modo similar,−6 = [(1,7)]. Notemos que si sumamos las parejas (5,3) y (1,7) “componente porcomponente”, obtenemos la pareja (5+1,3+7) = (6,10). ¡Pero la clase de (6,10)es [(6,10)] = [(0,4)], que es precisamente −4!


Si en vez de utilizar los representantes (5,3) y (1,7) de 2 y −6 respectiva-mente utilizamos otros representantes y los sumamos componente a componente,¿llegamos también a un representante de −4? Tomemos, por ejemplo, (3,1) ∈ 2 y(4,10) ∈ −6. Si sumamos estas parejas componente por componente obtenemos(3 + 4,1 + 10) = (7,11). La clase de (7,11) es −4. Note que antes habíamosobtenido la pareja (6,10), y ahora obtenemos a una pareja distinta (7,11), pero(6,10)∼ (7,11). Esto es, en esencia obtenemos la misma clase de equivalencia, asaber, −4 = {(0,4),(1,5),(2,6), . . .}.

Lo anterior motiva la definir de la suma de números enteros de la siguientemanera:

[(n,m)]+ [(n′,m′)] := [(n+n′,m+m′)].

Note que el primer símbolo de suma en la ecuación anterior denota la suma denúmeros enteros (que estamos definiendo), y los símbolos de suma a la derechade la igualdad denotan la suma en los números naturales, que aceptamos comoya definida. Definimos la función f : N2×N2 −→ N2 como f ((n,m),(n′,m′)) =(n+n′,m+m′), y a partir de esta función definimos

f : (N2/∼)× (N2/∼)−→ (N2/∼)

([(n,m)], [(n′,m′)]) 7−→ [ f ((n,m),(n′,m′))].

¿Se encuentra f bien definida? Para verificar que es así, debemos demostrar losiguiente: Si (n1,m1)∼ (n2,m2) y (n′1,m

′1)∼ (n′2,m

′2), entonces

f ((n1,m1),(n′1,m′1))∼ f ((n2,m2),(n′2,m

′2))

(esto es, [ f ((n1,m1),(n′1,m′1))] = [ f ((n2,m2),(n′2,m

′2))] ).

El ejemplo anterior es un caso particular de este hecho general, que hemos deprobar, en donde:

(n1,m1) = (5,3), (n2,m2) = (3,1)∼ (5,3),

(n′1,m′1) = (1,7), (n′2,m

′2) = (4,10)∼ (1,7),

f ((n1,m1),(n′1,m′1)) = (6,10),

f ((n2,m2),(n′2,m′2)) = (7,11)∼ (6,10).

Lema 4.78. La definición de f es una buena definición. Esto es, si (n1,m1) ∼(n2,m2) y (n′1,m

′1)∼ (n′2,m

′2), entonces

f ( (n1,m1),(n′1,m′1) )∼ f ( (n2,m2),(n′2,m

′2) ).



Por ejemplo, para sumar los enteros −5 y −8, tomamos cualquier represen-tante (n,m) ∈ −5 y cualquier representante (n′,m′) ∈ −8, sumamos estas parejascomponente por componente (esto es, calculamos f ((n,m),(n′,m′))) y la clase delresultado es, por definición el número entero −5 +−8. Hagamos esto: tomamos(2,7) ∈ −5, (1,9) ∈ −8: f ((2,7),(1,9)) = (3,16). Entonces

−5+−8 = [(3,16)] = [(2,15)] = [(1,14)] = [(0,13)] =−13.

Sumersión de N en ZDefinimos el conjunto N así:

N := {n : n ∈ N}= {0,1,2, . . .} ⊆ Z.

En esta sección para facilitar las cosas llamaremos naturales viejos a los elementosdel conjunto N, y naturales nuevos a los elementos del conjunto N.

¿Qué tan distintos son los naturales nuevos de los naturales viejos? Como con-junto son distintos. Sin embargo, como estructuras, son isomorfas: los nuevos na-turales poseen exactamente la misma estructura de los naturales viejos, en cuan-to a la suma y la multiplicación. Definamos el producto en los naturales nuevosde la forma esperada, esto es, [(n,0)][(m,0)] := [(nm,0)] (aquí nm denota el pro-ducto entre los naturales viejos n y m, que consideramos ya definido). Por ejem-plo, la operación (4)(5) = 20 en los naturales viejos, se traduce en la operación[(4,0)][(5,0)] = [((4)(5),0)] = [(20,0)], que es esencialmente la misma. Si la iden-tidad de la multiplicación en los naturales viejos es el número 1, entonces enlos naturales nuevos será [(1,0)] (ya que para todo número natural nuevo [(n,0)],[(1,0)][(n,0)] = [(1n,0)] = [(n,0)]).

Consideremos un natural viejo cualquiera, digamos, el 3. Estrictamente 3 /∈ Z,pero 3, su “copia nueva”, sí pertenece a Z. Dicho de otro modo, el conjunto N noes un subconjunto de Z, mientras que N⊆ Z. La estructura de los naturales viejos“vive”, gracias a una copia (los naturales nuevos), en Z. Además la estructura de lasuma en N funciona esencialmente igual que como funcionaba en N: por ejemplo,3+4 = 7, y como es fácil ver, 3+4 = 7.

Para formalizar lo anterior, definimos la función “copia” α : N −→ Z así:α(n) = n = [(n,0)]. Entonces tenemos que:

(a) α es inyectiva, y

(b) Dados n,m ∈ N se tiene que α(n+m) = α(n)+α(m).


Verifiquemos la inyectividad de α: supongamos que α(n) = α(m), esto es,[(n,0)] = [(m,0)], así que (n,0) ∼ (m,0), o lo que es lo mismo, n + 0 = m + 0,luego n = m. Para demostrar que la “imagen de la suma bajo α es la suma de lasimágenes bajo α”, basta observar que

α(n+m) = [(n+m,0)] = [(n,0)]+ [(m,0)] = α(n)+α(m).

La segunda igualdad vale gracias a la definición de la suma de números enteros.Ya que la función α cumple con las condiciones (a) y (b), diremos que α es

una sumersión de los naturales viejos en los enteros (α es una sumersión de N enZ). Además es claro que Im(α) = N.

Quisiéramos que los números naturales fueran también números enteros. Paralograr esto abusaremos del lenguaje e identificaremos a cada número natural viejon con su copia n: esto es: “n = n”. Tal identificación, aunque estrictamente es in-correcta (pues por ejemplo 5 y [(5,0)] son dos objetos distintos), no es nociva enabsoluto y de hecho es tremendamente pragmática y facilita las cosas, pues cuandosumemos números enteros, en vez de escribir, por ejemplo,

(2+13)+8 = 23,

simplemente escribiremos(2+13)+8 = 23.

Al identificar a cada n con n, automáticamente estamos identificando al conjuntoN con N: “N = N” (en otras palabras, “¡los nuevos naturales han reemplazado a losviejos naturales!”). Esto tiene como consecuencia que ahora los números naturalessean clases de equivalencia:

N = {[(0,0)], [(1,0)], [(2,0)], . . .}.

La anterior igualdad nos permite concluir, ahora sí, que N⊆ Z.

Definición 4.79. Dado a = [(n,m)] ∈ Z, definimos −a = [(m,n)].

Lema 4.80. La función− está bien definida, esto es, no depende del representante(n,m). Más precisamente: dados (n,m),(n′,m′) ∈ a, [(m,n)] = [(m′,n′)].

Prueba. Sean (n,m),(n′,m′)∈ a. Debemos demostrar que (m,n)∼ (m′,n′). Como(n,m) y (n′,m′) pertenecen a la misma clase, entonces son equivalentes bajo∼, estoes, n + m′ = n′+ m. Esto implica trivialmente, gracias a la conmutatividad de lasuma que m+n′ = m′+n, lo que implica, por definición, que (m,n)∼ (m′,n′). o

Es usual llamar a − la operación unaria de inverso aditivo, ya que esta opera-ción verifica la siguiente propiedad:


Lema 4.81. Para todo a ∈ Z,a+−a = 0 (recuerde que 0 = [(0,0)] según la iden-tificación de naturales viejos con naturales nuevos).

Prueba. Sea a = [(n,m)]. Entonces−a = [(m,n)], luego a+−a = [(n+m,m+n)].Pero claramente (n + m,m + n) ∼ (0,0), lo que implica que a +−a = [(0,0)] =0. o

Al entero−a lo llamaremos el inverso aditivo de a. Se tiene que todo elementoa ∈ Z posee un (único) inverso aditivo, esto es, un elemento b ∈ Z tal que a +b = 0. Esto no ocurre en general en los naturales. Por ejemplo, 8 + n 6= 0 paracualquier natural n. Intuitivamente, una vez “nos encontremos” en 8, no podemosinvertir la dirección y devolvernos al cero, utilizando números naturales. Para elloes necesario extender los naturales a los enteros, en donde hay bidireccionalidad.

A continuación hacemos una observación sutil: Recordemos que el númeroentero −n se definió como [0,n]. Ahora, dado que n = [(n,0)], concluimos graciasa la definición 4.79 que −n = −n. Dado que estamos identificando a n con n,concluimos que−n =−n =−n = [(0,n)]. Entonces tiene sentido hablar del entero−n. Por ejemplo, −5 = [(0,5)].

! Para antes de seguir leyendo:1. Demuestre lo siguiente: para todo (n,m) ∈N2 existe un natural k tal que

(n,m)∼ (k,0) ó (n,m)∼ (0,k). [Ayuda: Utilice inducción en n o en m.]

2. Utilizando la anterior propiedad demuestre que para todo a ∈ Z existeun único natural k tal que a = [(k,0)] = k (la última igualdad vale porconvención), ó a = [(0,k)] = −k (la última igualdad vale también porconvención). Concluya que Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2, . . .}. Esto es,todo número entero es un natural, o un número negativo, esto es, unnúmero de la forma −n donde n es un natural distinto de cero.

3. Demuestre que la suma de enteros es conmutativa.

4. Demuestre que 0 = [(0,0)] es la identidad bajo la suma, esto es, que paratodo a ∈ Z tenemos que 0 + a = a + 0 = a, y que además 0 es el únicoentero con esta propiedad.

5. Demuestre las siguientes propiedades, dados a,b ∈ Z:

a) −(−a) = a.b) a+−a = 0 =−a+a.c) −(a+b) =−a+−b.


Ahora definimos el orden < en Z así:

[(n,m)] < [(n′,m′)] si y sólo si n+m′ < n′+m,

en donde el símbolo < de la derecha denota el orden en los números naturalesviejos, que aceptamos como ya definido.

Quien acaba de leer el anterior párrafo tal y como está escrito debe hacer unapausa y reflexionar sobre lo que significa. Es conveniente que el lector matemáticodesarrolle una actitud crítica sobre lo que lee en mínimo dos sentidos: a) moti-vación, y b) rigor. En el caso del párrafo anterior, un lector crítico se hará, demanera natural, las siguientes preguntas:

1. ¿Por qué se está definiendo el orden en los enteros de esta manera?

2. ¿Es fácil encontrar un ejemplo que sugiera que esta definición va en la direc-ción correcta?

3. ¿Coincide este orden con el orden ya definido de los naturales (haciendo laidentificación n = n)?

4. ¿Es esta una definición libre de ambigüedad? ¿Depende o no de los repre-sentantes que elijamos?

Antes de continuar leyendo, le recomendamos al lector intentar responder porun momento a estas preguntas.

La motivación para definir el orden como arriba es la siguiente: si a = [(n,m)]y a′ = [(n′,m′)], entonces a representa la posición final después de moverse nunidades hacia arriba y m hacia abajo, y algo similar sucede con a′. Para decidir sia representa una posición más baja que a′ observamos que entre más grande seann y m′, más arriba quedará a respecto de a′, y entre más grande sean m y n′, másarriba quedará a′ respecto a a. Así, es razonable afirmar que a quedará más abajoque a′ si y sólo si la cantidad n+m′ es menor que la cantidad n′+m. El lector po-drá dar varios ejemplos que ilustren el razonamiento anterior. Este último tambiénpuede expresarse mediante ecuaciones, así: sea a = [(n,m)] = n−m, a′ = [(n′,m′)],entonces a = n−m, a′ = n′−m′ y:

a < a′ ↔ n−m < n′−m′ ↔ n+m′ < n′+m.

Note que la anterior línea no es una demostración, sino una motivación no rigurosapero poderosa para darle sentido a la definición que hemos dado.


Pasemos ahora a la cuestión del rigor. Debemos demostrar que la definicióndel orden es buena, esto es, que verificar si a < a′ no depende de los representantesque escojamos en cada clase. Más precisamente, debemos verificar lo siguiente:

Dados (n1,m1),(n2,m2) ∈ a y (n′1,m′1),(n

′2,m

′2) ∈ a′, si n1 + m′1 < n′1 + m1,

entonces también n2 +m′2 < n′2 +m2.Si verificamos lo anterior, la cuestión de si a < a′ se resolverá afirmativamente

para toda elección de representantes en a y a′ (y en este caso diremos que a < a′),o se resolverá negativamente para toda elección de representantes en a y a′ (y eneste caso diremos que a 6< a′), pero no ocurrira que se resuelva afirmativamentepara algunos representantes y negativamente para otros. Demostremos, entonces,la buena definición de <.

Lema 4.82. La definición del orden < en Z es una buena definición.

Prueba. Sean a,a′ ∈ Z, y sean (n1,m1),(n2,m2) ∈ a y (n′1,m′1),(n

′2,m

′2) ∈ a′. Su-

pongamos que n1 + m′1 < n′1 + m1. Sumando a cada lado m2 + m′2 preservamos laigualdad (esta es una propiedad del < en los naturales), y reorganizando un pocoobtenemos la siguiente desigualdad:

n1 +m2 +m′2 +m′1 < n′1 +m′2 +m2 +m1.

Ahora, como (n1,m1) y (n2,m2) pertenecen a la misma clase, entonces (n1,m1)∼(n2,m2), es decir, n1 + m2 = n2 + m1. De manera similar, podemos concluir quen′1 +m′2 = n′2 +m′1. Gracias a estas igualdades, la anterior desigualdad se transformaen

n2 +m1 +m′2 +m′1 < n′2 +m′1 +m2 +m1.

Como en ambos lados de la ecuación aparece m1 +m′1, concluimos, por propiedadesdel < en los naturales,

n2 +m′2 < n′2 +m2

Esto completa la demostración. o

Recordemos que un número entero negativo es por definición un número enterode la forma [(0,k)], con k > 0. El contenido del siguiente teorema es bien conocido:

Teorema 4.83. Sean a,a′ ∈ Z. Si a ∈ N y a′ es negativo, entonces a′ < a.

Prueba. Sea a = [(k,0)], a′ = [(0,k′)]. Como a′ es negativo, entonces k′ > 0. Estoimplica que 0+0 < k + k′, lo que a su vez implica, por definición, que a′ < a. o



1. Demuestre que para todo b ∈ Z existe a ∈ Z tal que a < b.

2. Demuestre que para a,b ∈ Z, a < b si y sólo si −b <−a.

No es nuestro objetivo demostrar las principales propiedades del orden en Z.Sin embargo es bueno preguntarse cómo se compara el orden en los naturales con elorden en los enteros: qué propiedades se preservan en los enteros, y donde hay unaruptura estructural. A continuación listamos las principales semejanzas y diferen-cias. Para ello llamamos <N al orden en los naturales y <Z al orden en los enteros.

1. Ambos órdenes carecen de un elemento máximo.

2. Ambos órdenes son discretos, esto es, todo elemento posee un sucesor in-mediato (esto no ocurre en el conjunto Q de los números racionales).

3. La relación <N es un buen orden, mientras que <Z no lo es (es por ello queno podemos hacer inducción en el orden los enteros).

4. El orden (N,<N) es rígido. Esto es, el único isomorfismo α : (N,<N) ∼=(N,<N) es la función identidad. Por el contrario, (Z,<Z) no es una estruc-tura rígida2, esto es, existe un isomorfismo α : (Z,<Z)∼= (Z,<Z) tal que α

de la identidad.


1. Encuentre un isomorfismo de órdenes α : Z ∼= Z tal que α no sea lafunción identidad, esto es, tal que α(a) 6= a para por lo menos algúna ∈ Z. [Para la noción de isomorfismo de órdenes, revisar la sección 2.4del capítulo 2.]

2. ¿Cómo definiría la multiplicación entre números enteros? Verifique quesu definición no es ambigüa, y mediante ejémplos, verifique que sudefinición coincide con la multiplicación usual en los enteros.

2una estructura se dice rígida si el único isomorfismo de ella en sí misma es la función identidad.


Construcción de los números racionalesEn esta sección construiremos el conjunto Q de los números racionales a partir

del conjunto de los números enteros.Desde temprano se nos ha enseñado que una fracción admite varias representa-

ciones distintas. Por ejemplo las fracciones 23 y 10

15 son el mismo número, represen-tado de dos formas o maneras distintas. Dicho de otro modo:

23

=1015

.

¿Es posible expresar la anterior igualdad sin hacer uso de la división o el cociente(ya que es lo que queremos definir)? Resulta que sí: la anterior igualdad es equiva-lente a la siguiente:

(2)(15) = 30 = (10)(3).

Generalizando el ejemplo anterior, podemos afirmar que dos representaciones defracciones a

b y a′b′ serán “equivalentes” (o denotarán el mismo número racional) si

y solamente si ab′ = a′b.Sea Z∗ = Zr{0}. Definimos la relación∼ sobre el conjunto X = Z×Z∗ de la

siguiente forma:(a,b)∼ (a′,b′) si y sólo si ab′ = a′b.

Lema 4.84. La relación ∼ es una relación de equivalencia sobre X.


Definimos al conjunto de los números racionales así: Q := X/∼. Dados a,b ∈Z con b 6= 0, definimos la fracción a/b así:

ab

= [(a,b)].

Por ejemplo, 45 = [(4,5)]= [(8,10)]. Además todo número entero puede verse como

un número racional: por ejemplo el 5 será ahora el número racional [(5,1)]. Engeneral todo “entero viejo” z se identificará con el racional z := [(z,1)]. Esto esanálogo a lo que hicimos en la construcción de los enteros, en donde sumergimosa los naturales en los enteros.

Las operaciones y relaciones conocidas en el conjunto de los números racionales(esto es, +, < y ·) pueden definirse en términos de las operaciones conocidad en elconjunto de los números enteros:

Definición 4.85 (Estructura de los racionales). Dados [(a,b)], [(a′,b′)] ∈ Q, de-finimos:

4.11. CONTEO MEDIANTE RELACIONES DE EQUIVALENCIA 215

(a) Suma: [ (a,b) ]+ [ (a′,b′) ] := [ (ab′+a′b,bb′) ].

(b) Producto: [ (a,b) ] · [ (a′,b′) ] := [ (aa′,bb′) ].

(c) Orden: [ (a,b) ] < [ (a′,b′) ] si y sólo si (ab′−a′b)bb′ < 0.

En el ejercicio 15 se pide al lector demostrar que las anteriores definicionesson en realidad buenas definiciones. Un buen reto para el lector consiste en des-cubrir por qué éstas se definen de este modo (para ello es recomendado pensar enejemplos).

4.11. Conteo mediante relaciones de equivalencia

En esta sección utilizaremos las funciones biyectivas y las relaciones de equiva-lencia como una poderosa herramienta para calcular el tamaño de ciertos conjuntos.Antes necesitamos el siguiente lema:

Lema 4.86. Sea n ∈ N. Si A es un conjunto tal que |A| = n y f : A −→ B es unabiyección, entonces |A|= n.

Prueba. La demostración se puede hacer mediante inducción en n, y es dejada allector (ejercicio 12). o

Como el lector podrá notar, el lema anterior se encuentra ejemplificado en lamini-sección “Para antes de seguir leyendo” que sigue a la definición 4.40: la ex-istencia de una biyección entre dos conjuntos finitos es una evidencia de que éstosposeen el mismo tamaño3.

Recordemos que Pk(A) es el conjunto de los subconjuntos de A que poseentamaño k. En el capítulo 2 (corolario 2.27) demostramos que si |A| = n ∈ N, en-tonces

|P2(A)|= n(n−1)2

.

La pregunta quedó abierta: si A posee n elementos, cuál es el tamaño del conjunto|Pk(A)| en términos de k y de n? El siguiente teorema responde a esta inquietudde forma precisa:

Teorema 4.87. Sean k,n ∈ N, y sea A un conjunto tal que |A|= n. Entonces

|Pk(A)|= n!k!(n− k)!

.

3¡En general la existencia de una biyección entre dos conjuntos será la definición oficial de queellos posean el mismo tamaño! Esto lo estudiaremos con más detalle en el capítulo 5.


Prueba. El caso k = 0 es sencillo (pues 0! = 1). Supongamos entonces que k≥ 1.Recordemos que

A!(k) := {(a1, . . . ,ak) ∈ Ak : para s 6= t, as 6= at}.

Definimos la siguiente función f : A!(k)−→Pk(A):

f ( (a1, . . . ,ak) ) = {a1, . . . ,ak}.

Esta función es evidentemente sobreyectiva. Sea ∼ la relación de equivalencia so-bre A!(k) determinada por f , es decir, dados ~a,~b ∈ A!(k),

~a∼~b si y sólo si f (~a) = f (~b).

Hacemos las siguientes observaciones:

(i) si P∈A!(k)/∼, entonces |P|= k!. La razón de esto es que si P = [(a1, . . . ,ak)],entonces P consta de todas las tuplas de longitud k formadas por a1, . . . ,akque no repiten entradas, y el número de estas tuplas es k! (ver teorema2.32(c)).

(ii) El número de elementos de Pk(A) es igual al número de elementos deA!(k)/∼: Definamos la función g : A!(k)/∼−→Pk(A) así:

g([~a]) = f (~a) (~a ∈ A!(k)).

Es fácil verificar que la función g está bien definida, puesto que si ~a ∼~b,entonces por definición f (~a) = f (~b). Veamos que g es una biyección:

Inyectividad: Si g([~a]) = g([~b]), entonces f (~a) = f (~b), luego ~a ∼~b ypor ende [~a] = [~b].

Sobreyectividad: Sea B = {b1,b2, . . . ,bk} ∈ Pk(A). Entonces clara-mente g([(b1, . . . ,bk)]) = B.

Por el lema 4.86 concluimos que |Pk(A)|= |A!(k)/∼ |.

(iii) |A!(k)/∼ |= n!k!(n−k)! : Sabemos que |A!(k)|= n!

(n−k)! (teorema 2.31), y ademáspor la observación (i) para cada clase P ∈ A!(k)/ ∼ se tiene que |P| = k!.Podemos aprovechar este hecho para plantear la siguiente ecuación4:

|A!(k)|=“número de clases de equivalencia” · “tamaño de cada clase”.

4Esta ecuación será válida cuando todas las clases de equivalencia poseen el mismo tamaño, elcual no siempre es el caso.


Es decir,n!

(n− k)!= |A!(k)/∼ | · k!.

Concluimos que |A!(k)/∼ |= n!k!(n−k)! .

Por las observaciones (ii) y (iii) concluimos que

|Pk(A)|= n!k!(n− k)!

.

o

Definición 4.88 (Coeficiente binomial). Sean k,n ∈ N con k ≤ n, y sea A unconjunto con n elementos. Definimos el coeficiente binomial

(nk

)como(

nk

):=

n!k!(n− k)!

.

Por el teorema 4.87, tenemos que

|Pk(A)|=(

nk

).

�� Ejemplo 4.89. Determine el número de subconjuntos de A ={1,2,3,4,5,6} con tamaño igual a 4.

Solución. Simplemente calculamos(64

)=

6!4!(6−4)!

=(6)(5)

2= 15.

o


(a) Demuestre que(n

k

)=( n

n−k

).

(b) Demuestre que(n+1

k

)=( n

k−1

)+(n

k

).


�� Ejemplo 4.90. Determine cuántas palabras (cuando decimos palabra eneste contexto no requerimos que ésta aparezca en el diccionario, sino sencilla-mente que sea una sucesión ordenada de letras) distintas de longitud 7 puedenhacerse a partir de las fichas de letras (podemos pensar que son fichas delconocido juego Scrabble):

[M], [A], [N], [A], [D], [A], [S].

Solución. Sea B el conjunto de todas las palabras de longitud 7 formadasutilizando las fichas anterioras. Nos interesa averigüar el tamaño de este con-junto.

Supongamos primero que las fichas de la [A] son distintas entre sí y llamé-moslas [A1], [A2] y [A3]. En estas condiciones podemos formar 7! palabrasdistintas. Sea C el conjunto de todas estas palabras. Definimos la siguienterelación de equivalencia ∼ sobre C : dadas dos palabras c,d ∈ C , c ∼ d si ysólo si al remover los subíndices de las A-es en c y d obtenemos la mismapalabra. Por ejemplo si

c = [A1][A3][M][D][A2][S][N] y [A3][A1][M][D][A2][S][N],

entonces c ∼ d, ya que al remover los subíndices de las A-es, obtenemos lamisma palabra, a saber,

[A][A][M][D][A][S][N].

Dejamos al lector la tarea de verificar que la relación ∼ es una clase de equi-valencia en la que toda clase de equivalencia posee exactamente 3! elementos.Ahora,

|C |=“número de clases de equivalencia” · “tamaño de cada clase”.

Pero es fácil ver que hay tantas clases de equivalencia con respecto a ∼ comodistintas palabras en B (las palabras que queremos contar). Por ende, 7! =|B|3!, y concluimos que

|B|= 7!3!

= (7)(6)(5)(4) = 840.

o


Una manera alternativa de resolver el problema anterior es la siguiente: paraformar una palabra a partir de las siete fichas en cuestión debemos introducir lasletras M,A,N,A,D,A y S en los espacios del 1 al 7:

[ ]1

[ ]2

[ ]3

[ ]4

[ ]5

[ ]6

[ ]7

Primero introducimos las tres letras A. Para hacer esto debemos elegir trescasillas entre 1,2,3,4,5,6,7, lo que equivale a elegir un subconjunto del con-junto {1,2,3,4,5,6,7} de tamaño 3, y esto lo podemos hacer de

(73

)formas

distintas.

Ahora introducimos las cuatro letras (M,N,D,S) en las cuatro casillas dis-tintas. Para ubicar la M tenemos 4 opciones; una vez hecho esto, para ubicarla N tenemos 3 opciones; una vez hecho esto, para ubicar la D tenemos 2opciones, y una vez hecho esto para ubicar la S tenemos sólo una opción.Entonces contamos con

4! = (4)(3)(2)(1)

formas distintas de colocar las letras M,N,D,S.

Concluimos que podemos formar(73

)4! =

7!4!3!4!

=7!3!

= 840

palabras distintas.




Para más sobre relaciones, consultar [2], sección 1.3; [3], capítulo 2(2); [10],sección 2.2.

Para más sobre órdenes, consultar [3], capítulo 2(5).

Para más sobre funciones, consultar [7], secciones 1.6 y 1.7; [2], sección 1.3;[3], capítulo 2(3); [10], sección 2.4; [4], sección 20, 22.

Para más sobre relaciones de equivalencia, consultar [7], secciones 1.8 y 1.7,[2], sección 1.4; [3], capítulo 2(4); [10], sección 2.3; [4], secciones 12 y 13.

Para más sobre la construcción de los números enteros y racionales, consultar[5], sección 1.5; [3], capítulo 10(1); [2], sección 1.8.


4.12. / Ejercicios


1. Sea R una relación sobre X , tal que Dom(R) = X y R es simétrica y transitiva.Demuestre que R es una relación de equivalencia.

2. Sea L el conjunto de todas las rectas de R2. Dé un ejemplo de una relaciónde equivalencia sobre L , distinta de la relación igualdad.

3. Demuestre que para cada conjunto no vacío X , existe una única relación deequivalencia R sobre X tal que X/R es un singleton (esto es, un conjunto conexactamente un elemento).

4. El siguiente ejercicio es informal, pero ilustrativo: Sea E el conjunto de pun-tos de una ciudad donde una persona puede pararse, esto es, el espacio librede la ciudad (por comodidad, podemos ver a X como un subconjunto de R2,el plano cartesiano). Definimos la relación ∼ sobre E así: pEq si y sólo si esposible ir a pie desde el punto p hacia el punto q.

a) Demuestre que ∼ es una relación de equivalencia.

b) Describa a [p], la clase de un punto p cualquiera.

c) Interprete al valor n = tamaño del conjunto E/∼.


5. Sea n un natural positivo. Dé un ejemplo de una relación de equivalencia Rsobre Z tal que Z/R sea un conjunto de n elementos.

6. Sea X = {0,1,2}. Calcule el número de relaciones de equivalencia sobre X .

ENTRADAS

7. Sea f : X −→ Y una función sobreyectiva, con X un conjunto no vacío. De-finimos la relación E f sobre X así: aEb si y sólo si f (a) = f (b).

a) Demuestre que E f es una relación de equivalencia.

b) Defina una biyección entre X/E f y Y . [De este modo, la relación E f

transforma al conjunto X en un conjunto X/E f con el mismo tamañodel conjunto Y .]

8. Sea R la siguiente relación sobre R: rRs si y sólo si r− s ∈ Z.

a) Demuestre que R es una relación de equivalencia.

b) Describa a [0] y a [π].

c) Demuestre que para r,s ∈ R: ([r],<)∼= ([s],<).

d) Encuentre un conjunto de representantes para R.

e) Concluya que R es la unión disjunta de copias de Z (más precisamente,R puede verse como la unión disjunta de conjuntos isomorfos con elorden a los enteros).

9. Sea E la siguiente relación sobre R: θ E β si y sólo si existe k ∈ Z tal queθ −β = 2πk.

a) Demuestre que E es una relación de equivalencia.

b) Encuentre cuatro conjuntos distintos de representantes para E.

c) Encuentre una biyección entre R/E y el círculo C = {(x,y) : x2 + y2 =1}.

10. Sea X = R2 r{(0,0)}. Definimos la relación ∼ sobre X así: (a,a′)∼ (b,b′)si y sólo si (a,a′) y (b,b′) se encuentran ambos sobre una misma recta quepasa por (0,0).


b) Describa geométricamente las clases de la relación ∼.

c) Encuentre un conjunto de representantes para ∼, y dibújelo.


11. Sea A = {n ∈ N : 1 < n < 20 y n es divisor de 20}. Sobre A definimos larelación R por

aRb si y sólo si a|b.

(a) Dibuje la relacion (A,R) (como puntos y flechas entre los puntos).

(b) Demuestre que R es reflexiva pero no es simétrica.

(c) ¿Cuál es el mínimo numero de flechas que debemos agregarle al dibujoen (a) para convertir a R en una relacion de equivalencia? Elabore unnuevo dibujo con la nueva relación.

(d) ¿Cuántas clases de equivalencia posee la nueva relación?




15. Demuestre que las definiciones dadas en la definición 4.85 son buenas defini-ciones (esto es, que no dependen de los representantes de las clases).

16. Sea X un conjunto no vacío, y sea E una relación de equivalencia sobre X , talque E no es la relación identidad. Demuestre que existe más de un conjuntode representantes para E.

17. Sea P una partición sobre X , y sea C un conjunto de representantes para P.Demuestre que existe una función biyectiva f : C→ P.

18. Sea E una relación de equivalencia sobre X y sean C1,C2 ⊆ X conjuntos derepresentantes para la relación E. Demuestre que existe una función biyecti-va f : C1→C2.

19. Calcule el número de palabras distintas de longitud 8 que pueden hacerseutilizando los bloques

[A], [E], [G], [E], [E], [R], [V ], [R].

PLATOS FUERTES

20. Sea I = [0,1] ⊆ R. Entonces I2 es un cuadrado cuyos lados tienen longitud1, con borde B = I2 r (0,1)2. Definimos la relación ∼ sobre I2 así: (a,b)∼(c,d) si y sólo si [ (a,b),(c,d) ∈ B ó (a,b) = (c,d) 6∈ B ].



b) ¿Cuáles son las clases de ∼?

c) Encuentre un conjunto de representantes para ∼.

d) Así como I2 es un cuadrado, ¿cómo puede verse el conjunto I2/ ∼ entérminos visuales?

21. Sea P⊆P(X) una partición de un conjunto X . Demuestre que para S,S′⊆P:

a) (⋃

S)∪ (⋃

S′) =⋃

(S∪S′),b) (

⋃S)∩ (

⋃S′) =

⋃(S∩S′),

c) (⋃

S)c =⋃

(Sc) (en donde (⋃

S)c = X r (⋃

S)) y Sc = P r S).

22. Estudie las igualdades del ejercicio anterior para conjuntos generales, estoes, si P⊆P(X) es un conjunto cualquiera (no necesariamente una particiónde X) y S,S′ ⊆ P, compare:

a) (⋃

S)⋃

(⋃

S′) vs.⋃

(S⋃

S′),b) (

⋃S)⋂

(⋃

S′) vs.⋃

(S⋂

S′),c) (

⋃S)c vs.

⋃(Sc) (en donde (

⋃S)c = X r (

⋃S)), y Sc = P r S).

23. Sean A,B conjuntos, y sea X = BA. Dados f ,g ∈ X diremos que f y g sonpre-equivalentes (y lo notamos f ∼ y) si dados a1,a2 ∈ A se tiene que:

f (a1) = f (a2) si y sólo si g(a1) = g(a2).

Demuestre que la relación ∼ es una relación de equivalencia, y defina unabiyección entre X/ ∼ y Part(X), donde este último es el conjunto de todaslas particiones de X .

24. Un grafo no dirigido y sin lazos G = (V,E) consiste en un conjunto V de vér-tices junto con una relación binaria E ⊆ V 2 irreflexiva y simétrica, llamadael conjunto de aristas. A los grafos los representamos por medio de distintospuntos (vértices) unidos por líneas (aristas). Por ejemplo, si V = {1,2,3,4}y

E = {(1,4),(4,1),(1,3),(3,1),(1,2),(2,1)},entonces G = (V,E) es un grafo, que dibujamos de la siguiente manera:

G ss

ss

��

�

1

2

3

4


Dados dos grafos G = (V,E) y G′ = (V ′,E ′), diremos que son isomorfos (ylo notamos: G ∼= G′) si y sólo si existe una biyección f : V −→ V ′ tal quepara u,v ∈V , (u,v) ∈ E si y sólo si ( f (u), f (v)) ∈ E ′.5

a) Encuentre un grafo isomorfo al grafo dibujado arriba (¡que sea distin-to!), tal que su conjunto de vértices sea V = {1,2,3,4}.

b) Sea X el conjunto de todos los grafos G = (V,E) no dirigidos sinlazos tales que V = {1,2,3,4}, y defina en X la siguiente relación:G = (V,E)∼ G′ = (V,E ′) si y sólo si G∼= G′.

1) Demuestre que ∼ es una relación de equivalencia.2) Exhiba un conjunto de representantes para∼ (dibuje a estos repre-

sentantes).3) ¿Cuántos elementos tiene X/ ∼? [Si |X/ ∼ | = n, diremos que

existen n grafos distintos de cuatro vértices, módulo isomorfismo.]

25. Sea G = (V,E) un grafo no dirigido. Dados x,y ∈V , llamaremos un caminoentre x y y a una tupla de la forma

(x,a1,a2, . . . ,ak,y),

en dondexEa1,a1Ea2, . . . ,ak−1Eak,akEy.

Diremos que el grafo G es conexo si entre todo par de puntos distintos x y yexiste un camino entre x y y.

a) Sea G = (V,E) el grafo definido por V = N, E la relación dada por xEysi y sólo si |x− y| ≤ 1. Demuestre que G es un grafo conexo.

b) Si V es un conjunto finito no vacío con n elementos, ¿cuál es el míni-mo número de elementos que debe tener la relación simétrica E ⊆ V 2

para que el grafo G = (V,E) sea conexo? Demuestre su afirmación porinducción matemática.

c) Calcule, módulo isomorfismo, el número de grafos conexos tales quesu conjunto de vértices tiene cuatro elementos.

26. Sea R⊆ X2. Demuestre que las propiedades de reflexividad, simetría y tran-sitividad pueden enunciarse, conjuntistamente, de la siguiente manera:

a) R es reflexiva si y sólo si IdX ⊆ R.

5Para más sobre isomorfismos de grafos, consultar [10], sección 4.5.


b) R es simétrica si y sólo si R−1 = R.

c) R es transitiva si y sólo si R◦R⊆ R.

27. Dados dos números reales a,b con a < b, sea (a,b) = {x ∈ R : a < x < b}.Llamaremos básico a un conjunto de la forma (a,b). Sea B el conjunto detodos los básicos, esto es:

B = {(a,b) : a,b ∈ R,a < b}

Dado un número real cualquiera r, sea ∼r la siguiente relación sobre B:(a,b)∼r (c,d) si y sólo si existe (y,z)∈B tal que r ∈ (y,z) y (a,b)∩(y,z) =(c,d)∩ (y,z).

a) Demuestre que ∼r es una relación de equivalencia sobre B.

b) Demuestre que si r ∈ (a,b),(c,d), entonces [(a,b)]∼r = [(c,d)]∼r .

c) Dé un ejemplo de dos básicos (a,b) y (c,d) tales que r 6∈ (a,b) y r 6∈(c,d), pero [(a,b)]∼r 6= [(c,d)]∼r .

d) ¿Cuántos elementos posee el conjunto B/∼r?


29. Dado X un conjunto y S ⊆ X , sea ES = {(A,B) ∈P(X) : A4B ⊆ S} (endonde A4B = (A∪B)r (A∩B)).

a) Demuestre que ES es una relación de equivalencia.

b) Para S,T ⊆ X , ¿cómo se comparan los conjuntos ES∩ET y ES∩T ?

c) Para S,T ⊆ X , ¿cómo se comparan los conjuntos ES∪ET y ES∪T ?

d) Para S,T ⊆ X , ¿cómo se comparan los conjuntos ES4ET y ES4T ?

30. (Una bella caracterización de las relaciones de equivalencia) Sea E una relaciónsobre X . Demuestre que E es una relación de equivalencia sobre X si y sólosi se cumple la siguiente propiedad6:

∀x,y ∈ X : xEy↔ (∀z ∈ X : xEz↔ yEz).

6Para obtener más información, véase:

http://wwwpa.win.tue.nl/wstomv/publications/equivalence.pdf.


31. Sea X un conjunto, y Q una relación sobre X . Definimos QEQ como “laclausura transitiva de la clausura simétrica de la clausura reflexiva de R”. Esdecir, definimos QEQ como la relación T , en donde

R := QREF ,S := RSIM,T := ST R.

a) Demuestre que T es una relación de equivalencia. [Ayuda: Utilizar elejercicio 21.]

b) Demuestre que T es la mínima relación de equivalencia que contiene aQ.

32. Sea X un conjunto, y Q una relación sobre X . Diremos que Q es una relacióndensa si QEQ = X2 (ver ejercicio anterior). Demuestre que las siguientesafirmaciones son equivalentes:

(i) Q es densa,

(ii) Existe una única relación de equivalencia E sobre X tal que Q⊆ E.

(iii) El grafo G = (X ,QSIM) es un grafo conexo (ver ejercicio 25).

CAPÍTULO 5

CARDINALES

Conjuntos cada vez más grandes en tamaño...

En este capítulo no nos interesa la naturaleza y el orden de los elementos deun conjunto, sino únicamente el “tamaño” del conjunto. Esto es, nos olvidamosde la naturaleza intrínseca de los elementos del conjunto, y de cómo los podamosordenar, y nos limitamos a contarlos. En el camino obtendremos varios resulta-dos soprendentes y aparentemente paradójicos, como son los siguientes: a) existen

229

230 CAPÍTULO 5. CARDINALES

conjuntos que poseen subconjuntos propios con el mismo tamaño, b) existen variostipos de infinitos y c) no existe un conjunto cuyo tamaño sea mayor o igual que eltamaño del resto de los conjuntos.


¿Bajo qué condiciones podemos decir que dos conjuntos X y Y poseen el mis-mo tamaño? Una manera satisfactoria de responder esta pregunta es la siguiente:si podemos asociar cada elemento de X con un único elemento en Y , entonces esrazonable afirmar que X y Y poseen el mismo número de elementos. Esto es, nece-sitamos una función f que a cada elemento de X le asocie un elemento en Y demodo que:

para todo y ∈ Y exista un único x ∈ X tal que f (x) = y.

La anterior condición es lograda precisamente por las biyecciones:

Observación 5.1. f : X −→Y es una biyección si y sólo si para todo y∈Y existeun único x ∈ X tal que f (x) = y.

Para fijar ideas pensemos en el conjunto X de seres vivientes en el universo(este podría ser infinito), y en el conjunto Y de todos los planetas en el universo.Para responder a la cuestión de si hay tantos seres vivos como planetas, antes quenada debemos darle un sentido preciso a la pregunta: es decir, si es posible inventaruna ley universal (función) f : X −→ Y que obligue a cada ser vivo x a vivir encierto planeta f (x) ∈ Y , de modo que se cumplan las siguientes condiciones:

1. Que no se manden dos seres distintos a vivir al mismo planeta (de lo con-trario habría planetas que “contarían” por dos o más seres).

2. Que todo planeta sea habitado (de lo contrario se podría pensar que no al-canzaron los seres vivos para habitar todos los planetas).

Es claro que las condiciones anteriores equivalen a decir que f es una biyec-ción. Esto motiva la siguiente definición:

Definición 5.2 (Relación de equipotencia). Dados X y Y dos conjuntos, defi-|X |= |Y |:Relación de

equipotencianimos la relación de equipotencia ∼ así: X ∼ Y si y sólo si existe una biyecciónf : X −→ Y . La expresión X ∼ Y también se simboliza como |X | = |Y | y se lee Xes equipotente a Y .

Teorema 5.3. La relación de equipotencia es una relación de equivalencia. Estoes, es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.


Prueba.

(a) Reflexividad: Sabemos que IdX : X −→ X es una biyección, luego X esequipotente a sí mismo.

(b) Simetría: Supongamos que X ∼Y y sea f : X −→Y una biyección. Entoncesf−1 : Y −→ X es una biyección, y por lo tanto Y ∼ X .

(c) Transitividad: Supongamos que X ∼ Y , Y ∼ Z. Por definición existen fun-ciones biyectivas f : X −→ Y y g : Y −→ Z. Pero entonces (g◦ f ) : X −→ Zes una biyección, luego por definición X ∼ Z.

o

Por convención acordaremos que las siguientes expresiones son equivalentes:

1. X ∼ Y .

2. X y Y son equipotentes.

3. X y Y son isomorfos como conjuntos.

4. X y Y poseen el mismo tamaño.

5. X y Y poseen el mismo cardinal.

6. |X |= |Y |.

De las dos expresiones anteriores, el lector podría estar tentado a concluir que|X | significa el tamaño o cardinal del conjunto X . Por ejemplo, |∅|= 0, |{1,3,4,6}|=4, etcétera. Para conjuntos finitos esto no representa ninguna dificultad. Sin em-bargo debe quedar claro que no hemos definido el objeto cardinal de X (|X |)para cualquier conjunto, sino que hemos definido qué significa que dos conjun-tos posean el mismo cardinal (|X |= |Y |).

�� Ejemplo 5.4. A = ∅ si y sólo si |A|= |∅| (¿por qué?).

�� Ejemplo 5.5. Sea X = {1,2,3,4,5} y Y = {0,2,4,6,8}. La función f :X −→ Y dada por f (i) = 2i−2 es una biyección, luego |X |= |Y |.


�� Ejemplo 5.6. Los conjuntos X = {1,2} y Y = {1,3,4} no tienen el mismocardinal: es fácil verificar que ninguna función f : X −→ Y es sobreyectiva, odicho de otro modo, que ninguna función g : Y −→ X es inyectiva.

Teorema 5.7. Sean A,A′,B y B′ conjuntos tales que |A| = |A′| y |B| = |B′|. En-tonces |A×B|= |A′×B′|.

Prueba. Por hipótesis existen funciones biyectivas fA : A −→ A′ y fB : B −→ B′.Debemos verificar que |A×B| = |A′×B′|, es decir, debemos demostrar que exis-te una función biyectiva fA×B : A×B −→ A′×B′. Para definirla utilizamos a lasfunciones fA y fB de la siguiente manera:

fA×B : A×B−→ A′×B′

fA×B( (a,b) ) = ( fA(a), fB(b)) (a,b) ∈ A×B.

Verifiquemos que la función que hemos definido es biyectiva:

Inyectividad: Sean (a,b),(c,d) ∈ A×B y supongamos que fA×B( (a,b) ) =fA×B( (c,d) ). Entonces ( fA(a), fB(b))= ( fA(c), fB(d)), de modo que fA(a)=fA(c) y fB(b) = fB(d). Por inyectividad de fA y fB concluimos que a = c yb = d. Entonces (a,b) = (c,d), como queríamos.

Sobreyectividad: Sea (a′,b′)∈A′×B′. Como fA es sobreyectiva, existe a∈Atal que fA(a) = a′; Como fB es sobreyectiva, existe b ∈ B tal que fB(b) = b′.Entonces

fA×B( (a,b) ) = ( fA(a), fB(b)) = (a′,b′).

o

5.2. El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein

Ahora definimos una relación más débil que la equipotencia:

Definición 5.8 (Sumersión). Dados A y B dos conjuntos, definimos la relaciónSumersión

sumersión así: A se sumerge en B (lo denotamos por |A| ≤ |B|) si y sólo si existeuna función inyectiva f : A−→ B.

5.2. EL TEOREMA DE CANTOR-SCHRÖDER-BERNSTEIN 233

Por definición diremos que |X | < |Y | si |X | ≤ |Y | y no ocurre que |X | = |Y |, oen otras palabras, si existe una función inyectiva f : X −→ Y , pero no existe unabiyección g : X −→ Y .


(a) Demuestre que si X ⊆ Y , entonces |X | ≤ |Y |.

(b) Demuestre que |X | ≤ |Y | si y sólo si existe C ⊆ Y tal que |X |= |C|.

Es fácil ver que |X | ≤ |X | (basta tomar como testigo la función inyectiva IdX :X −→ X). Además, si |X | ≤ |Y | ≤ |Z|, entonces |X | ≤ |Z| por el teorema 4.47.Esto es, la relación ≤ es reflexiva y transitiva. Una pregunta natural es la siguien-te: si |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|, ¿podemos concluir que |A| = |B|? esta pregunta debeconsiderarse con cierto cuidado, recordando que el símbolo ≤ tiene un significadopreciso dado en la definición anterior. Un lector desprevenido podría sentirse ten-tado a concluir que la respuesta a la pregunta anterior es evidentemente afirmativa,dejándose guiar por su conocimiento de la antisimetría del orden≤ en los númerosreales, por ejemplo.

Si reformulamos la pregunta anterior haciendo uso de las definiciones, éstatoma la siguiente forma:

Sean X y Y conjuntos, y supongamos que:

1. Existe f : X −→ Y una función inyectiva, y

2. Existe g : Y −→ X una función inyectiva.

Entonces, ¿existe necesariamente h : X −→ Y una función biyectiva? La res-puesta a esta pregunta es afirmativa y se conoce como el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein:

Teorema 5.9 (Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein). Si |X | ≤ |Y | y |Y | ≤ |X |,entonces |X |= |Y |.

Prueba. A continuación demostraremos el teorema en el caso particular en quelos dos conjuntos son disjuntos, lo que en principio parecería una pérdida de ge-neralidad. Sin embargo si adicionalmente demostramos que a partir del resultadoparticular para conjuntos disjuntos podemos deducir el resultado para cualquier par


de conjuntos (esto es, el teorema), entonces habremos demostrado el teorema: enotras palabras, si demostramos que el caso particular implica el caso general, real-mente no estamos perdiendo generalidad al suponer que X y Y son disjuntos en lademostración del teorema.

Resumiendo lo anterior, para establecer el teorema demostraremos dos afirma-ciones por separado:

(a) El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein es válido para conjuntos disjuntos,y

(b) Si el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein es válido para conjuntos disjun-tos, entonces es válido para cualquier par de conjuntos.

Este tipo de razonamiento es común en matemáticas: para demostrar una afir-mación primero “perdemos generalidad” al demostrarla para ciertos casos particu-lares (en nuestro caso, conjuntos disjuntos), y después “recobramos la generalidad”al demostrar cómo deducir la afirmación en el caso general a partir del caso partic-ular.

Ahora sí procedamos a demostrar las dos afirmaciones anteriores:

(b) Supongamos que el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein es verdadero paraconjuntos disjuntos, y tratemos de demostrarlo para conjuntos arbitrarios:así, sean X , Y , tales que |X | ≤ |Y | ≤ |X |. Entonces existen funciones inyecti-vas

f : X −→ Y , g : Y −→ X .

Para demostrar que |X |= |Y | debemos encontrar una biyección h : X −→ Y .Como estamos suponiendo que el teorema es válido si X y Y son disjuntos,pero éstos no lo son necesariamente, debemos “volverlos disjuntos” de unamanera efectiva: para esto sean

X ′ = X×{0}, Y ′ = Y ×{1}.

Es fácil ver que X ′ y Y ′ son conjuntos disjuntos, y además son equipotentes aX y Y respectivamente: la función α : X −→ X ′ dada por α(x) = (x,0) es unabiyección, así como la función β : Y −→Y ′ dada por β (x) = (x,1). Entoncesla función

f ′ = β ◦ f ◦α−1 : X ′ −→ Y ′

es inyectiva, y también lo es g′ = α ◦ g ◦ β−1 : Y ′ −→ X ′ (ver figura 5.1).Entonces |X ′| ≤ |Y ′| ≤ |X ′|, luego por hipótesis (pues X ′ ∩Y ′ = ∅), |X ′| =|Y ′|. Pero |X | = |X ′| y |Y | = |Y ′|, luego por la transitividad de la relaciónequipotencia (teorema 5.3) concluimos que |X |= |Y |, como queríamos.

5.2. EL TEOREMA DE CANTOR-SCHRÖDER-BERNSTEIN 235

Figura 5.1: Composición de funciones inyectivas es inyectiva.

(a) Sean X y Y conjuntos disjuntos, y sean f : X → Y , g : Y → X funcionesinyectivas. Dados dos elementos a,b, diremos que a es un ancestro de b si

f (a) = b ó g(a) = b.

La primera observación que hacemos es que todo elemento posee como má-ximo un ancestro: pues si a y a′ son ancestros de b, entonces

f (a) = b ó g(a) = b,

y análogamentef (a′) = b ó g(a′) = b.

Si f (a) = b, concluimos que b ∈Y , luego no puede ocurrir que g(a′) = b (delo contrario b∈X pero X y Y son disjuntos), así que f (a′) = b. Pero entoncesf (a) = f (a′), y como f es inyectiva, a = a′. El caso en el cual g(a) = b esanálogo. Ahora, dado a un elemento cualquiera en X ∪Y , una cadena deancestros para a es una tupla de la forma

(c0,c1, · · · ,cn)

en donde cada ci es un ancestro de ci+1, y cn = a. Además diremos quen es la profundidad de la cadena (note que el número de elementos de lacadena es igual a n + 1). La terminología anterior nos sirve para clasificara los elementos de X ∪Y según sus ancestros. Así, para todo elemento a ∈X ∪Y , ocurre exactamente uno de los siguientes casos:

a posee cadenas ancestrales de longitudes arbitrariamente grandes: eneste caso diremos que a posee una profundidad infinita.


a posee una única cadena ancestral finita (c0,c1, · · · ,cn−1,a) cuyo primerelemento c0 no posee ancestros (es claro que la cadena es única, ya quecada elemento posee a lo sumo un ancestro). En este caso diremos quela profundidad de a es igual a n (por ejemplo, los elementos de profun-didad cero son precisamente aquellos que no poseen ancestros).

Definimos los siguientes conjuntos:

X∞ = {a ∈ X : a posee una profundidad infinta },

XPAR = {a ∈ X : a posee una profundidad par },

XIMPAR = {a ∈ X : a posee una profundidad impar }.

Puede verse a partir de las definiciones que estos conjuntos son disjuntos, ysu unión es exactamente X . Definimos la función h : X −→ Y así:

h(a) =

{f (a) si a ∈ XPAR∪X∞

g−1(a) si a ∈ XIMPAR

Es tarea del lector demostrar que esta función resulta ser una biyección entreX y Y (ejercicio 12).

o

5.3. Conjuntos finitos

Dado n ∈ N definimos los conjuntos An recursivamente:

A0 := ∅.

An+1 := An∪{n}.

An es llamado el conjunto canónico de n elementos. Es fácil ver que para n > 0tenemos que

An = {0, . . . ,n−1}1.

Recordemos que por definición un conjunto A posee 0 elementos si A = ∅, yA posee n+1 elementos si X 6= ∅ y para todo x ∈ X se tiene que X r{x} posee nelementos.

1De hecho An = n: ver el ejercicio 23 del capítulo 2.

5.3. CONJUNTOS FINITOS 237

Lema 5.10. Sea X un conjunto. Para cada n ∈ N las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

(i) X posee n elementos,

(ii) |X |= |An|.

Prueba. Hacemos inducción en n:

Caso base n = 0. Si X posee 0 elementos, entonces por definición X = ∅,luego |X | = |A0| (por reflexividad). Para la otra implicación, si |X | = |A0|,entonces existe una biyección f : X → ∅, lo que implica que X debe servacío, luego X posee 0 elementos.

Supongamos que la propiedad es válida para n y demostrémosla para n+1:

(→) Si X posee n+1 elementos, entonces X 6= ∅ y para todo x ∈ A se tieneque X r{x} posee n elementos. Tomemos x0 ∈X cualquiera (que existepues X no es vacío). Entonces X ′ = X r{x0} posee n elementos, luegopor hipótesis de inducción |X ′| = |An|. Sea f ′ : X → An una funciónbiyectiva. Definimos f : X→An+1 por f (x) = f ′(x) si x 6= x0, y f (x0) =n. Es fácil ver que f es biyectiva, luego |X |= |An+1|.

(←) Supongamos que |X | = |An+1|. Entonces existe una función biyectivaf : X→An+1. Queremos ver que X posee n+1 elementos: la existenciade f garantiza que X 6= ∅ (pues An+1 6= ∅). Ahora, sea x0 ∈ X , y sea f ′

la restricción de f a X ′ = X r{x0}. Si f (x0) = n, entonces f ′ : X ′→ An

es una biyección. Si este no es el caso, entonces existe y ∈ X ′ tal quef ′(y) = n; definimos la función g : X ′rAn por g(x) = f (x) para x 6= y, yg(y) = f (x0). Dejamos al lector la tarea de ver que g es una biyección.En cualquier caso hemos demostrado que existe una biyección entre X ′

y An, y por ende |X ′| = |An|. Entonces por hipótesis de inducción, X ′

posee n elementos. Hemos demostrado que X 6= ∅ y para todo x0 ∈ X ,X ′ = X r{x0} posee n elementos. Entonces X posee n+1 elementos.

o

Gracias al lema anterior, podemos reformular la definición 2.22 así:

Definición 5.11 (Conjunto finito, reformulación). Un conjunto X es finito si Conjunto finito

existe un n ∈ N tal que |X |= |An|.

Por la reflexividad de la relación de equipotencia, todo An es finito. Otros con-juntos finitos son {1,2,4}, {a,3,0,10,11} y {N,Z,Q,R}. Además ∅ es finito pueses equipotente (de hecho igual) a A0.


Figura 5.2: Se ilustra el caso en que f (x0) 6= n.

Si A es un conjunto finito no vacío, entonces existe un natural positivo n yuna biyección a : An −→ A, de modo que si definimos ai = a(i) ∈ A para i =0, . . . ,n, podemos decir (ya que a es sobreyectiva) que A = Im(a) = {a0, . . . ,an}.Esto justifica que todo conjunto finito no vacío A pueda escribirse en la formaA = {a0, . . .an}.

Si |A|= |An| con n ∈N, entonces por el lema 5.10, A posee n elementos, y estolo abreviaremos así: |A| = n. Puede verse que si A es un conjunto finito de hechoexiste un único n ∈ N tal que |A| = |An|. Por ejemplo, si A = {3,6,7} entonces esfácil ver que |A|= |A3|, luego A posee 3 elementos. Notemos que el conjunto vacíoposee 0 elementos (ver la parte (c) del “Para antes de seguir leyendo”, que precedea la observación 4.41).

Las siguientes son propiedades esenciales de los conjuntos finitos, que intuiti-vamente las consideramos evidentes, aunque en rigor deben ser demostradas.

Teorema 5.12. Las siguientes propiedades son siempre válidas:

(a) La unión de dos conjuntos finitos es un conjunto finito.

(b) Si A es finito y para cada a ∈ A, a es un conjunto finito, entonces⋃

A es unconjunto finito.

(c) Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.

(d) Si X es finito y Y está propiamente contenido en X, entonces |Y |< |X |.

(e) N no es finito.

5.4. CONJUNTOS ENUMERABLES 239

Prueba. La demostración de las propiedades (a), (b), (c) y (d) se hace por induc-ción matemática, y se deja como ejercicio al lector (ejercicio 23). La parte (e) yaha sido demostrada (corolario 2.24). o

En especial cabe destacar la propiedad (d), que no será válida en general paraconjunto infinitos: ¡los conjuntos infinitos poseen subconjuntos propios de la mis-ma cardinalidad!

5.4. Conjuntos enumerables

Definición 5.13. Diremos que un conjunto A es enumerable si y sólo si |A| = Conjuntoenumerable|N|. Diremos que un conjunto es a lo sumo enumerable si y sólo si A es finito oConjunto a losumoenumerable

enumerable.

Así, un conjunto A es enumerable si existe una biyección a : N−→ A, de modoque A = {a0,a1,a2, . . .} (donde an = a(n)).

�� Ejemplo 5.14. El conjunto 2N = {2n : n ∈ N} es enumerable, ya que lafunción f : N−→ 2N definida por f (n) = 2n es una biyección.

! Para antes de seguir leyendo: Demuestre que Z− es un conjunto enu-merable.

Teorema 5.15. Si A y B son conjuntos enumerables, entonces existe una biyec-ción f : A−→ B (esto es, A y B son equipotentes).

Prueba. Es una consecuencia directa del teorema 5.3. o

Lema 5.16. Sea A⊆ N un conjunto con la siguiente propiedad:

Para cada x ∈ N existe m ∈ A tal que m > x. (∗)

Entonces A es un conjunto enumerable.

Prueba. Definimos la función f : N−→ A recursivamente así:

1. f (0) = min(A) (note que min(A) existe por el P.B.O., principio 2.4, más elhecho de que A no puede ser vacío).


2. f (n+1) = min(B), en donde B = {m ∈ A : m > f (n)} (B es no vacío por lapropiedad (*)).

Es fácil verificar por inducción que f es una función inyectiva (de hecho es unafunción creciente, es decir, n < n′ implica que f (n) < f (n′)). Veamos que Im( f ) =A:

(⊆) por definición de f siempre se tiene que f (n) ∈ A.

(⊇) supongamos que no; sea entonces b = min(A r Im( f )); dado que min(A) ∈Im( f ) tenemos que b 6= 0. Entonces el conjunto {x∈ Im( f ) : x < b} posee unelemento máximo x, que es de la forma f (n). Sea B = {m∈A : m > f (n)}. Esfácil verificar que b = min(B); entonces por definición de f , b = f (n+1), locual es una contradicción (ya que b 6∈ Im( f )). Concluimos que Ar Im( f ) =∅, esto es, que Im( f )⊇ A.

Por ende f : N−→ A es una biyección, luego |A|= |N|. o

Como el lector habrá observado, el argumento en la demostración del lemaanterior ya fue utilizado en la demostración de la observación 3.25.

Teorema 5.17. Dado un conjunto A, A es a lo sumo enumerable si y sólo si|A| ≤ |N|.


(→) Supongamos que A es a lo sumo enumerable. Hay dos casos:

(i) A es finito: En este caso existe n ∈ N tal que |A|= |n|; dado que |n| ≤ |N|,concluimos que |A| ≤ |N|.

(ii) A es enumerable: En este caso |A|= |N|, luego en particular |A| ≤ |N|.

En cualquier caso concluimos que |A| ≤ |N|.

(←) Supongamos que |A| ≤ |N|. Entonces existe una función inyectiva f : A−→N. Hay dos casos:

(i) Existe n ∈ N tal que Im( f )⊆ {0,1, . . . ,n}: En este caso Im( f ) es un con-junto finito (por el teorema 5.12 y el hecho de que {0,1, . . . ,n} = An+1 esfinito); pero claramente |A| = |Im( f )|, y por ende A es un conjunto finito,luego A es a lo sumo enumerable.


(ii) No se da el caso (i), esto es, para cada n ∈ N existe m > n tal que m ∈Im( f ). Entonces por el lema 5.16 se tiene que |Im( f )| = |N|, pero como fes inyectiva se tiene que |A| = |Im( f )|, luego por el teorema 5.3, A es unconjunto enumerable, en particular es a lo sumo enumerable.

En cualquier caso concluimos que A es un conjunto a lo sumo enumerable,como queríamos demostrar.

o

Una aplicación del anterior teorema es la siguiente:

Corolario 5.18. Los subconjuntos de conjuntos a lo sumo enumerables son a losumo enumerables.

Prueba. Sea A ⊆ B, con B un conjunto a lo sumo enumerable. Como A ⊆ B te-nemos que |A| ≤ |B|, y como B es a lo sumo enumerable, por el teorema 5.17,|B| ≤ |N|. Por transitividad concluimos que |A| ≤ |N|, lo que implica (de nuevo porel teorema 5.17) que A es a lo sumo enumerable. o

�� Ejemplo 5.19. Sea A = Nr{n0}, en donde n0 es algún número natural. En-tonces A es un conjunto enumerable. Para ver esto, sea f : N−→ A la siguientefunción:

f (n) =

{n si n < n0

n+1 si n≥ n0

Por el lema 4.53, concluimos que f es una función inyectiva, y además

Im( f ) = {0, . . . ,n0−1}∪{n0 +1,n0 +2, . . .}= A.

Así, |A|= |N|.

Podemos generalizar de manera natural el ejemplo anterior:

Lema 5.20. Si A es enumerable y x ∈ A, entonces A′ = A r{x} es enumerable.

Prueba. Sea A = {an : n∈N} (donde n 6= m implica an 6= am). Como x∈ A, sea n0tal que x = an0 . La función f : Nr{n0} −→ A′ dada por n 7→ an es una biyección,por lo que |A′| = |N r {n0}| = |N|. Por transitividad concluimos que |A′| = |N|,esto es, A′ es enumerable. o


El ejemplo anterior es un caso especial del siguiente hecho: si a un conjuntoenumerable le quitamos un número finito de elementos, el conjunto resultante siguesiendo enumerable.

Teorema 5.21. Sea A un conjunto enumerable, y B = {x1, . . . ,xn} ⊆ A un sub-conjunto de A con n elementos (n ∈ N). Entonces A′ = A r B es enumerable.

Prueba. Probamos el resultado mediante inducción en n.

1. Si n = 0, entonces B = ∅ y el resultado es evidente.

2. Supongamos que el resultado se tiene para n, y sea B = {x1, . . . ,xn,xn+1}.Por hipótesis inductiva, A r {x1, . . . ,xn} es enumerable, así que por el lema5.20, el conjunto

(A r{x1, . . . ,xn})r{xn+1}= A r B

es enumerable.

o

! Para antes de seguir leyendo: ¿Verdadero o falso? (Dar una prueba oun contraejemplo)

(a) Si A es enumerable y B es finito, entonces A∪B es enumerable.

(b) Si A⊆ N y A es enumerable, entonces Ac = Nr A es finito.

Ahora estudiamos el cardinal del conjunto Z de los números enteros. Podríapensarse de forma algo inocente que este conjunto es “el doble” de grande que N,ya que el primer conjunto puede ser imaginado como la unión de dos copias de losnaturales (salvo el cero, que sólo estaría en alguna de las copias), esto es:

Z = {−1,−2,−3, . . .}∪{0,1,2, . . .}.

Sin embargo si examinamos más detenidamente la cuestión, resulta que Z y N sonequipotentes, pues existe una forma de emparejar a todos los elementos de ambosconjuntos, como lo muestra la siguiente tabla:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 · · ·0 −1 1 −2 2 −3 3 −4 4 −5 5 −6 6 −7 . . .


Teorema 5.22. El conjunto Z es enumerable.

Prueba. Sea f : N→ Z la función definida así: dado n ∈ N, por el algoritmo dela división existen únicos q,r ∈ Z tales que n = 2q + r y 0 ≤ r < 2: sea f (n) =(−1)r(q+ r) ∈ Z. Veamos que la función f : N→ Z es biyectiva:

Inyectividad: Sean n,n′ ∈ N tales que f (n) = f (n′). Sean q,r,q′,r′ enterostales que n = 2q + r y n′ = 2q′+ r′ con 0 ≤ r,r′ < 2. Tenemos que q ≥ 0, ode lo contrario se tendría que n < 0. Análogamente q′ ≥ 0. En conclusión,r,r′,q,q′ ≥ 0. Como f (n) = f (n′) entonces

(−1)r(q+ r) = (−1)r′(q′+ r′)

Si se tuviera que r 6= r′, entonces una de las expresiones en la anteriorecuación sería negativa, y la otra sería positiva o cero, lo cual es absurdo.Así, r = r′. Dividiendo la ecuación anterior a ambos lados por (−1)r obten-emos que q+ r = q′+ r′, luego q = q′, y

n = 2q+ r = 2q′+ r′ = n′,


Sobreyectividad: Sea a ∈ Z cualquiera. Hay dos casos:

(i) a ≥ 0: Sea n = 2a + 0 ∈ N. Entonces por definición de f tenemos quef (n) = (−1)0(a+0) = 1(a) = a.

(i) a < 0: en este caso−a−1 ∈N. Sea n = 2(−a−1)+1 ∈N. Por definiciónde f tenemos que f (n) = (−1)1(−a−1+1) = (−1)(−a) = a.

En ambos casos hemos demostrado que existe n ∈ N tal que f (n) = a. En-tonces f es sobreyectiva.

o

Corolario 5.23. La unión de dos conjuntos enumerables es enumerable. Esto es,si |A|= |N| y |B|= |N| entonces |A∪B|= |N|.

Prueba. Como A es enumerable, existe una biyección f : N −→ A. Como B esenumerable y el conjunto Z− también lo es, por el teorema 5.15 existe una biyec-ción g : B −→ Z−. A partir de f y g definimos la función h : A∪B −→ Z, porcasos:


h(x) =

{f (x) si x ∈ A r B,

g(x) si x ∈ B.

Gracias al lema 4.53 es fácil ver que h es una función inyectiva y por ende|A∪B| ≤ |Z|. Como A⊆ A∪B, entonces |A| ≤ |A∪B|. En resumen tenemos:

|N|= |A| ≤ |A∪B| ≤ |Z|= |N|.

Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein (teorema 5.9), |A∪B|= |N|. o

Teorema 5.24. El conjunto N2 = N×N es enumerable.

Prueba. Nuestra meta consiste en encontrar una manera de “enumerar” a todas lasparejas (n,m) ∈N2. Antes de ello, para facilitar las cosas, notemos que el conjuntoN×N puede verse como la unión de sus “diagonales finitas” Dn, como lo indica lafigura 5.3. Para cada n, el conjunto Dn definido por

Dn = {(k, l) : k + l = n}= {(0,n),(1,n−1), . . . ,(n,0)}

posee n+1 elementos, y es claro que⋃

n∈N Dn = N2. La anterior descripción nos dauna idea para enumerar a todas las parejas de naturales: primero enumerar la pareja(0,0) de D0, después las dos parejas de D1 (que son (0,1) y (1,0)), a continuaciónlas tres parejas de D2 (que son (0,2),(1,1) y (2,0)), etcétera.

Más precisamente, si (k, l) ∈ N2 y k + l = n, entonces (k, l) ∈ Dn, así que enla enumeración que proponemos ya habremos enumerado a todos los elementos delas diagonales anteriores D0, . . . ,Dn−1, y además a los k elementos (0,n),(1,n−1),(k− 1, l + 1) que “preceden” a (k, l) en la diagonal Dn. En otras palabras, su-ponemos que ya hemos enumerado |D0|+ |D1|+ · · ·+ |Dn−1|+ k = 1 + 2 + · · ·+n + k = (n + 1)n/2 + k elementos, luego (k, l) será el ((n + 1)n/2 + k + 1)-ésimoelemento en el orden que proponemos. Formalizando el anterior análisis, definimosla función f : N2 −→ N como la función dada por

f ((k, l)) = (k + l +1)(k + l)/2+ k.

Por el razonamiento anterior, f es una biyección entre N2 y N. o

Sea f la función definida en la demostración del teorema anterior. Por ejemplo,f ((0,0)) = (0+0+1)(0+0)/2+0 = 0, f ((0,1)) = (0+1+1)(0+1)/2+0 = 1,y f ((4,4)) = (4+4+1)(4+4)/2+4 = 40. En el ejercicio 26 le pedimos al lectordemostrar rigurosamente que la función f es una biyección.

Corolario 5.25. Si A y B son enumerables, entonces A×B también lo es.


Figura 5.3: Una de muchas maneras de enumerar el conjunto N2.

Prueba. Como |A|= |B|= |N|, entonces por el teorema 5.7 tenemos que

|A×B|= |N×N|= |N|.

o

Corolario 5.26. Q es un conjunto enumerable.

Prueba. Como N⊆Q, entonces |N| ≤ |Q|. Ahora, sea f : Q−→Z×N la siguientefunción: dado r ∈ Q, es fácil ver que r se escribe de manera única como p/q, conq > 0 y p y q primos relativos. sea f (r) = f (p/q) = (p,q). Es fácil ver que estafunción es inyectiva, de modo que

|Q| ≤ |Z×N| ≤ |N|

(la última desigualdad vale por el corolario 5.25); por transitividad concluimosque |Q| ≤ |N|. Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein (teorema 5.9), |Q| =|N|. o

Concluimos esta sección a modo de resumen, listando algunos conjuntos enu-merables importantes:

Teorema 5.27. Sea n ∈ N∗. Los siguientes conjuntos son enumerables:

(a) N.


(b) N≥n = {k ∈ N : k ≥ n}.

(c) Z.

(d) Z≤n = {k ∈ Z : k ≤ n}.

(e) Q.

(f) nN = {kn : k ∈ N}.

(g) El conjunto de los números primos.

(h) Nn,Zn,Qn.

5.5. Conjuntos infinitos no enumerables

Sea A un conjunto cualquiera. Ocurre entonces exactamente alguno de los si-guientes tres casos:

(i) A es finito (existe n ∈ N tal que |A|= |n|).

(ii) A es enumerable (|A|= |N|).

(iii) No se dan los casos (i) ni (ii), es decir, A no es finito y A no es enumerable.

En esta sección estudiaremos los conjuntos que cumplen con la condición (iii),esto es, los conjuntos infinitos no enumerables. Puede verse que estos son pre-cisamente aquellos conjuntos A tales que |N| < |A|. Informalmente, un conjuntoinfinito no enumerable posee un tamaño infinito “más grande” que el infinito delconjunto de los números naturales.

! Para antes de seguir leyendo:Sea A un conjunto cualquiera. Demuestre que las siguientes condiciones

son equivalentes:

(a) A es infinito no enumerable,

(b) Para todo B⊇ A, B es no enumerable,

(c) Existe g : N→ A inyectiva, pero no existe ninguna f : N→ A sobreyec-tiva (en otras palabras, |N|< |A|).

5.5. CONJUNTOS INFINITOS NO ENUMERABLES 247

¿Existen conjuntos infinitos no enumerables? Esto es, ¿existen conjuntos A queno verifiquen que |A| ≤ |N|? La respuesta es afirmativa. Más aún, muchos conjuntosfamiliares son de esta naturaleza, como por ejemplo el conjunto potencia de N:

Teorema 5.28. P(N) es un conjunto infinito no enumerable.

Prueba. Para demostrar que P(N) no es enumerable, basta demostrar que ningu-na función f : N→P(N) es biyectiva. Supongamos por contradicción que f :N→P(N) es una función biyectiva. Ahora, para cada n ∈N, f (n) es un conjuntode números naturales: o bien n ∈ f (n), o bien n 6∈ f (n). Consideremos el conjunto

S = {n ∈ N : n 6∈ f (n)}.

Como S ∈P(N) y f es sobreyectiva, existe n0 ∈ N tal que S = f (n0). Ahora nospreguntamos: ¿pertenece n0 a S? Si este es el caso, entonces por definición de esteconjunto, n0 6∈ f (n0), una contradicción. Entonces n0 6∈ f (n0) = S; pero entoncespor definición de S, n0 ∈ f (n0), una contradicción. En cualquier caso llegamos aalgo absurdo (compárese con la paradoja de Russell, sección 1.6). Concluimos quela función f no puede ser una biyección, y por ende P(N) es un conjunto infinitono enumerable. o

Hemos probado realmente algo un poco más fuerte: no existen funciones so-breyectivas f : N→P(N).

Como el lector notará, en la demostración anterior no hemos utilizado en abso-luto propiedades de los números naturales. Cantor descubrió un fenómeno generalnotable: todo conjunto es estrictamente más pequeño que su conjunto de partes(esto sucede inclusive con el conjunto vacío, pues P(∅) contiene un elemento):

Teorema 5.29 (Teorema de Cantor). Para todo conjunto A tenemos que |A| <|P(A)|.

Prueba. La función g : A→P(A) dada por g(x) = {x} es inyectiva. Esto de-muestra que |A| ≤ |P(A)|. Ahora, imitando la prueba del teorema 5.28, podemosconvencernos de que no existen sobreyecciones f : A→P(A), y así en particularno existen biyecciones f : A→P(A). Lo anterior implica, por definición (ver loscomentarios después de la definición 5.8), que |A|< |P(A)|. o

Corolario 5.30. No existe un conjunto de tamaño máximo (o maximal); en otraspalabras, para cada conjunto A existe un conjunto B tal que |A|< |B|.


El cardinal del conjunto de los números realesUn asunto interesante consiste en estudiar el cardinal de R, el conjunto de los

números reales. Un número real puede verse como un número de la forma z + d,en donde z ∈ Z y 0 ≤ d < 1. Entonces d tendrá una representación decimal de laforma

d = 0,d0d1d2d3 . . . ,

en donde cada di es un número natural entre 0 y 9. Por ejemplo π = 3 + d, donded = 0,141592 . . .. Notemos que d puede verse como una tupla infinita de ciertosnúmeros naturales (en este caso, d puede verse como la tupla infinita (1,4,1,5, . . .)).Esto nos da un indicio de cómo aproximarse al estudio del cardinal de R: estudiarel tamaño de ciertos conjuntos de tuplas infinitas. En el siguiente lema hacemosesto en el caso de tuplas infinitas de ceros y unos:

Lema 5.31. Sea A = { f : f : N→{0,1}}. Entonces |A|= |P(N)|.

Prueba. Podemos ver a A como el conjunto de tuplas infinitas de ceros y unos, endonde para cada f ∈ A, identificamos a f con la tupla intinita

( f (0), f (1), f (2), . . .).

Vamos a definir una funciónφ : A→P(N).

Esto es, φ transforma funciones en conjuntos. La definición es la siguiente:

φ( f ) = f−1[{1}] = {n ∈ N : f (n) = 1} (para f ∈ A).

Sea ahora ψ : P(N)→ A, la función definida así: ψ(S) = fS, en donde:

fS(n) =

{1 si n ∈ S,

0 si x 6∈ S.

Dejamos al lector la tarea de verificar que φ ◦ψ = idP(N) y ψ ◦φ = idA. Por elteorema 4.52, concluimos que |A|= |P(N)|. o

Teorema 5.32. R no es enumerable. En otras palabras, |N|< |R|.

Prueba. Sea A el conjunto considerado en el lema 5.31, y sea τ : A→ [0,1) lafunción definida así:

τ( f ) = 0, f (0) f (1) f (2) · · · ∈ [0,1).

Por ejemplo, si f =(0,1,0,1,0,0,0, . . .), entonces τ( f ) es el número real 0,0101000 . . ..Veamos que τ es inyectiva: sean f , f ′ ∈ A, con f 6= f ′; sea n el mínimo número na-tural tal que f (n) 6= f ′(n). Hay dos casos:


(i) f (n) = 0 y f ′(n) = 1: Si definimos r = 0, f (0) f (1) . . . f (n −1) f (n)5111 . . ., entonces claramente τ( f ) < r < τ( f ′), luego τ( f ) 6= τ( f ′).

(ii) f (n) = 1 y f ′(n) = 0: Razonando análogamente a como se hizo en el caso(i) concluimos que τ( f ) 6= τ( f ′).

Así, en cualquier caso tenemos que τ( f ) 6= τ( f ′). Concluimos que |A| ≤ |[0,1)|.Además [0,1)⊆ R, luego

|N|< |P(N)|= |A| ≤ |[0,1)| ≤ |R|,

y de este modo |N|< |R|. o

El lector se preguntará si el cardinal de R es exactamente el cardinal de P(N).La respuesta es afirmativa, y en los ejercicios (ejercicio 34) sugerimos una manerade demostrar esto. Este es un hecho interesante: el cardinal de R es igual al cardinaldel conjunto P(N). Para resumir y complementar el panorama, en el siguienteteorema listamos varios conjuntos cuyo cardinal es igual al cardinal del conjuntode los numeros reales:

Teorema 5.33. Sean a,b números reales cualesquiera con a < b. Los siguientesconjuntos poseen todos el mismo cardinal (es decir, son equipotentes):

(a) R,

(b) P(N),

(c) (0,1],

(d) [0,1),

(e) (0,1),

(f) (a,b),

(g) [a,b),(a,b], [a,b],(a,∞),(−∞,b), [a,∞),(−∞,b].

Prueba. En el ejercicio 34, el lector demostrará que |R|= |[0,1)|= |P(N)|. De-mostremos otras igualdades de cardinales:

|(0,1]|= |[0,1)|: basta considerar la función f : (0,1]→ [0,1) que fija a todopunto, salvo al 1, que lo envía al 0 (conjuntistamente, f = id(0,1)∪{(1,0)}).Dejamos al lector la tarea de comprobar que f es una biyección.


|[0,1)| = |(0,1)|: Sea f : [0,1)→ (0,1) la función que enviá 0 a 1/2, 1/2a 1/3, 1/3 a 1/4, etcétera, y se comporta como la identidad en el resto delos puntos. Dejamos al lector el trabajo de definir más precisamente a f ycomprobar que es una biyección (le recomendamos hacer un dibujo).

|(0,1)| = |(a,b)|: Sea f : (0,1)→ (a,b) la función f (x) = (b− a)x + a. Ellector debe verificar que f es una biyección.

Con métodos similares a los que acabamos de utilizar podemos ver fácilmenteque cada uno del resto de conjuntos posee el mismo cardinal de alguno que yahemos considerado. Gracias a la transitividad de la relación “poseer el mismo car-dinal”, concluimos que todos los conjuntos listados anteriormente poseen el mismocardinal. o

Corolario 5.34. Sea S⊆R. Si S contiene un intervalo abierto, entonces |S|= |R|.

Prueba. Sean a,b ∈R, con a < b, tales que (a,b)⊆ S. Utilizando el teorema 5.33concuimos que:

|R|= |(a,b)| ≤ |S| ≤ |R|,

y por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein (teorema 5.9), |S|= |R|. o

Un interesante asunto consiste en preguntarse si vale el recíproco del corolarioanterior: ¿si S ⊆ R y |S| = |R|, entonces S contiene un intervalo abierto? No que-remos privar al lector del placer de indagar esta cuestión por sí mismo.




Para más sobre biyecciones y cardinales, consultar [2], sección 1.5; [3], capí-tulo 4(1).

Para más sobre conjuntos finitos y enumerables, consultar: [2], secciones 1.6y 1.6; [3], capítulo 4(2,3).

Para más sobre conjuntos no enumerables, consultar [3], capítulo 4(6).


5.6. / Ejercicios


1. Demuestre que N∗ es un conjunto enumerable.

2. Demuestre que P, el conjunto de los números primos, es enumerable.

3. Demuestre que para cualquier conjunto A se tiene que |A|= |A×{0}|.

4. Demuestre que si A⊆ B y |B| ≤ |C|, entonces |A| ≤ |C|.

5. Demuestre que si A es un conjunto infinito no enumerable y A⊆ B, entoncesB es infinito no enumerable.

6. Sea B = {1/n : n ∈ N}. Demuestre que B es enumerable.

ENTRADAS

7. Sea B = {q ∈Q : 0≤ q≤ 1}. Demuestre que B es enumerable.

8. Demuestre que si A es un conjunto enumerable entonces A∪{x0} es un con-junto enumerable (donde x0 es un elemento cualquiera).

9. Demuestre que A es infinito si y sólo si P(A) es infinito.


10. Demuestre que si A y B son conjuntos finitos, entonces A∪B es finito. [Ayu-da: Utilice inducción en n, en donde |A|= |n|.]

11. Demuestre que para cada n ∈ N∗, si A1,A2, . . . ,An son conjuntos enumera-bles, entonces A = A1∪A2∪·· ·∪An es enumerable.

12. Demuestre que la función h definida en el teorema 5.9 es biyectiva.

13. Sea n ∈ N, con n > 1. Demuestre que para cada P ∈ Zn, P es enumerable.

14. Sean X un conjunto a lo sumo enumerable y Y un conjunto enumerable.Demuestre que |X | ≤ |Y |.

15. Sea A = {3n+1 : n ∈ N}, y B = {5n+5 : n ∈ N}. Demuestre que |A|= |B|,definiendo una biyección explícita entre A y B.

16. Construya una biyección explícita entre el conjunto de los múltiplos enterosde 3 y los múltiplos enteros no negativos de 5.

17. Suponga que X es un conjunto tal que |X | = |X ×{0,1}|. ¿Qué podemosafirmar acerca de la cardinalidad de X ?

18. Sean X un conjunto enumerable y S ⊆ X . Demuestre que S es enumerable oSc = X r S es enumerable.

19. Sean X un conjunto infinito no enumerable y S ⊆ X . Demuestre que S esinfinito no enumerable o Sc es infinito no enumerable.

20. Utilizando el ejercicio anterior demuestre que el conjunto de los númerosirracionales I := RrQ es un conjunto infinito no enumerable.

21. Demuestre que para todo conjunto no vacío X se tiene que X posee n + 1elementos si y sólo si existe x ∈ X tal que el conjunto X r {x} posee n ele-mentos. (Consultar la definición recursiva de “poseer n elementos”.) [Ayuda:Hacer inducción en n].

22. Demuestre que para cada conjunto finito X existe un único n ∈ N tal que|X |= |An|. [Ayuda: Demostrar por inducción en n que si |X |= |An| entoncespara cada m ∈ N, si |X |= |An| entonces n = m].

23. Demuestre las siguientes afirmaciones:

(a) La unión de dos conjuntos finitos es un conjunto finito.

(b) Si A es finito y para cada a ∈ A, a es un conjunto finito, entonces⋃

Aes un conjunto finito.


(c) Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.

(d) Si X es finito y Y está propiamente contenido en X , entonces |Y |< |X |.

PLATOS FUERTES

24. Sean A0,A1,B0,B1 conjuntos tales que |A0|= |A1| y |B0|= |B1|. Demuestreque |BA0

0 |= |BA11 |.

25. Sea X un conjunto cualquiera, y a un elemento tal que a 6∈ X . Demuestre que

|P(X)|= |P(X ∪{a})rP(X)|.

26. Demuestre que la función f definida en el teorema 5.24 es una biyección.

27. Sea NN el conjunto de sucesiones de números naturales:

NN = {(an)n∈N : ∀n ∈ N,an ∈ N}.

Demuestre que NN es un conjunto infinito no enumerable. [Ayuda: Encuentreuna función inyectiva P(N)→ NN.]

28. Sea F el conjunto de las sucesiones eventualmente nulas de números natu-rales:

F = {(an)n∈N : ∀n ∈ N,an ∈ N y existe m ∈ N tal que para n≥ m,an = 0}.

Note que F ⊆ NN. Demuestre que F es un conjunto enumerable.

29. Sea E =⋃

n∈N∗Nn. Demuestre que E es enumerable.

30. Sea X un conjunto. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equiva-lentes:

a) X es infinito,

b) Existe a tal que a /∈ X y |X ∪{a}|= |X |.c) Existe a tal que a ∈ X y |X r{a}|= |X |.d) Existe Y tal que Y ⊂ X (contenencia propia) y |X |= |Y |.

31. Demuestre que todo conjunto enumerable X es de la forma X =⋃

n∈N Xn, endonde Xn es un conjunto enumerable, y Xn ∩Xm = ∅ para n < m. En otraspalabras, todo conjunto enumerable puede partirse en un número enumerablede conjuntos enumerables. [Ayuda: Considere primero el caso en el cual X =N; utilizar el teorema fundamental de la aritmérica.]


32. Demuestre que existen conjuntos An (n ∈ N) tales que cada An es infinito,An ⊆ An+1 y |An|< |An+1|.

33. Construya una biyección explícita entre los conjuntos R e I = RrQ. [Ayuda:Sea f : Q −→ N una biyección. Defina g : R −→ I de modo que g(x) =2 f (x)π para x ∈Q, g(x) = (2k+1)π si x = kπ (con k ∈N∗), y g(x) = x paraotros valores de x. Demuestre que g es una biyección.]

34. El objetivo de este ejercicio es demostrar que R y P(N) son equipotentes.Revisando con detalle el teorema 5.32, obtenemos una desigualdad. Para laotra desigualdad, ofrecemos una serie de pasos:

a) Demuestre que |[0,1)| ≤ |P(N)|.b) Demuestre que |R+| ≤ |P(N)|. [Ayuda: sea φ : [0,1)→P(N) una

inyección, que existe por el sub-ejercicio anterior. Considere la funciónψ : R+→P(N) dada por ψ(n+r) = {2n+1}∪{2k : k∈ φ(r)}, donden ∈ N, r ∈ [0,1). Demuestre que esta función es una inyección.]

c) Demuestre que |R| ≤ |R+|. [Ayuda: utilice una idea similar a la delsub-ejercicio anterior.]

d) Concluya el resultado.

35. Sea C = {(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} el círculo unitario del plano. Demuestreque |C|= |R|.

36. Demuestre que |R2|= |R|. [Ayuda: Primero demuestre que |[0,1)2|= |[0,1]2|.]

37. Demuestre que para todo n ∈ N∗, |Rn| = |R|. [Ayuda: Utilizar los ejercicios36 y 24.]

38. Demuestre que |RN|= |R|.

39. Sea ∼ una relación de equivalencia sobre X .

a) Demuestre que | X/∼ | ≤ |X |.b) Demuestre que para todo conjunto C de representantes para ∼ se tiene

que |X/∼ |= |C|.

40. Sean A y B conjuntos. Demuestre que |P(A×B)|= |P(B)A| (recuerde queP(B)A es el conjunto de todas las funciones f : A−→P(B)).

41. Sea X un conjunto enumerable. Demuestre que si ∼ es una relación de equi-valencia sobre X tal que para todo a ∈ X , [a] es finito, entonces X/ ∼ esenumerable.

CAPÍTULO 6

ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS

Estructura es aquello preservado por isomorfismos.

257

258 CAPÍTULO 6. ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS

A grandes rasgos, una estructura (matemática) consiste en un conjunto A (lla-mado conjunto base) junto con una o varias construcciones matemáticas que in-volucran al conjunto A, y ciertas propiedades que verifican estas construcciones (aestas propiedades les llamamos axiomas). Las construcciones a las que nos refer-imos abarcan relaciones n-arias sobre A (esto es, subconjuntos de An), funcionesf : An −→ A (llamadas operaciones n-arias), funciones f : An −→R, subconjuntosde P(A), etcétera.

En este capítulo daremos ejemplos de varias estructuras matemáticas, incluyen-do órdenes, grupos (que estudiaremos con cierto detalle), álgebras de Boole, es-pacios métricos y espacios topológicos. También hablaremos de isomorfismos dealgunas de estas estructuras, concepto que formaliza la noción intuitiva de que dosconstrucciones matemáticas posean la misma estructura.


Conjuntos parcialmente ordenadosComo hemos visto en los anteriores capítulos de este libro, un conjunto parcial-

mente ordenado (A,R) consiste en un conjunto A junto con una relación R sobre Aque cumple con los siguientes tres axiomas: reflexividad, antisimetría y transitivi-dad.

Por ejemplo la estructura (Z∗, |Z) es un orden parcial. Aquí,

|Z = {(n,m) ∈ Z2 : n|m}.

Una estructura parcialmente ordenada distinta de (Z, |Z) es (N∗, |N∗), en donde |N∗denota la relación “divide a” restringida al conjunto N∗:

|N∗ = {(n,m) ∈ (N∗)2 : n|m}.

Las anteriores estructuras son distintas; sin embargo en algún sentido una de ellas“vive dentro de la otra”, ya que no sólo N∗ ⊆Z, sino además la relación |Z coincidecon la relación |N∗ en los elementos de N∗. Esto lo expresaremos diciendo que(N∗, |N∗) es una subestructura de (Z, |Z); en este caso, un suborden.

Definición 6.1 (Subestructura). Sean (A1,R1) y (A2,R2) dos estructuras en dondeSubestructura

R1 ⊆ A21 y R2 ⊆ A2

2. Diremos que (A1,R1) es una subestructura de (A2,R2) siA1 ⊆ A2 y además R1 y R2 coinciden sobre A1, es decir, si para cada a,b ∈ A1,aR1b si y sólo si aR2b (conjuntistamente, si R1 = A2

1∩R2).


�� Ejemplo 6.2. Consideremos la estructura (A,R), en donde A = {2,5,7} yR = {(2,5),(2,7),(5,7)}. Entonces (A,R) es una subestructura de (N,<), perono es una subestructura de (N,≤), porque (2,2) ∈≤rR.

�� Ejemplo 6.3. Consideremos la estructura (N, |N). Aunque N⊆ Z y |N ⊆≤(es decir, si n|m entonces n≤ m), la estructura (N, |N) no es una subestructurade (Z,≤) ya que en el conjunto N las relaciones |N y ≤ no coinciden (esto es,son distintas). Por ejemplo, 4≤ 5 pero 4 6 | 5.

Álgebras de BooleUna clase particularmente interesante de estructuras es la clase de álgebras

de Boole. Antes de definir este concepto veamos un ejemplo representativo delmismo:

�� Ejemplo 6.4. Sea U un conjunto. A partir de U formamos la estructura

B = (B,1B,0B,+, ·,¬)

de la siguiente manera:

B := P(U ) (el conjunto base de la estructura),

1B = U ∈ B; 0B = ∅ ∈ B,

Dados E,F ∈ B, E +F := E ∪F ∈ B,

Dados E,F ∈ B, E ·F := E ∩F ∈ B.

Dado E ∈ B, ¬E := U r E = Ec ∈ B.

En otras palabras, B es la estructura

B = (P(U ),U ,∅,∪,∩, c).

En el capítulo 1 demostramos que para a,b,c ∈ B se cumplen las siguientespropiedades:


(A1) Conmutatividad: a∪b = b∪a; a∩b = b∩a.

(A2) Asociatividad: a∪ (b∪ c) = (a∪b)∪ c; a∩ (b∩ c) = (a∩b)∩ c.

(A3) Absorción: a∩ (a∪b) = a; a∪ (a∩b) = a.

(A4) Distribución: a∩(b∪c) = (a∩b)∪(a∩c); a∪(b∩c) = (a∪b)∩(a∪c).

(A5) Todo o nada: a∩ac = ∅; a∪ac = U .

Definición 6.5 (Algebra de Boole). Un álgebra de Boole B = (B,0B,1B,+, ·)Álgebra deBoole consiste en un conjunto B, dos elementos 0B,1B ∈ B, y tres funciones + : B2 −→ B,

· : B2 −→ B, ¬ : B −→ B sujetas a las siguientes condiciones o axiomas (dondea,b,c ∈ B):

(A1) Conmutatividad: a+b = b+a; a ·b = b ·a.

(A2) Asociatividad: a+(b+ c) = (a+b)+ c; a · (b · c) = (a ·b) · c.

(A3) Absorción: a · (a+b) = a; a+(a ·b) = a.

(A4) Distribución: a · (b+ c) = (a ·b)+(a · c); a+(b · c) = (a+b) · (a+ c).

(A8) Todo o nada: a ·¬a = 0B; a+¬a = 1B.

Como hemos visto, para todo conjunto U tenemos que la estructura

B = (P(U ),U ,∅,∪,∩, c)

es un álgebra de Boole, llamada el álgebra de subconjuntos de U .

�� Ejemplo 6.6. Sea B = ({0,1},1,0,max,min,¬(x) = 1− x). Entonces B esun álgebra de Boole.

Espacios métricosEn matemáticas, el conjunto de los números reales nos permite medir la dis-

tancia entre dos elementos de diversos conjuntos (R, R2, R3). Por ejemplo en R2

la distancia (euclídea) entre los puntos (1,2) y (2,1) es√

2. Esta idea nos lleva alconcepto más general de espacio métrico:


Definición 6.7 (Espacio métrico). Un espacio métrico (A,d) consiste en un con- Espacio métrico

junto A, y una función (llamada “distancia”) d : A2 −→ R sujeta a los siguientesaxiomas:

(A1) Dados a,b ∈ A, d(a,b)≥ 0.

(A2) Dados a,b ∈ A, d(a,b) = 0 si y sólo si a = b.

(A3) Dados a,b ∈ A, d(a,b) = d(b,a). (simetría)

(A4) Dados a,b,c ∈ A, d(a,c)≤ d(a,b)+d(b,c). (desigualdad triangular)

La expresión d(a,b) se lee: “la distancia entre a y b”.

Muchas veces la definición de una estructura trae consigo nociones de conjun-tos especiales. En el caso de los espacios métricos, es natural definir la vecindadde un punto:

Definición 6.8. Sea (A,d) un espacio métrico. Dado a ∈ A y ε ∈ R+ definimosla vecindad de radio ε centrada en a (y la notamos Nε(a)) así: Vecindad

Nε(a) = {x ∈ A : d(a,x) < ε} ⊆ A.

�� Ejemplo 6.9. Sea A = R, y sea d : A2 −→ R la función dada por d(a,b) =|b− a|. Puede verse que (A,d) es un espacio métrico. Por ejemplo, d(2,7) =d(7,2) = 5, y para cada a ∈ A, d(a,−a) = 2|a|. Además la vecindad de radio2 centrada en 7 es

N2(7) = {x ∈ R : |x−7|< 2}= (5,9).

! Para antes de seguir leyendo: Sea (A,d) un espacio métrico, y seaa ∈ A.

(a) Demuestre que si ε1 ≤ ε2, entonces Nε1(a)⊆ Nε2(a).

(b) Demuestre que⋃

ε>0 Nε(a) = A.

(c) Demuestre que⋂

ε>0 Nε(a) = {a}.

Espacios topológicos


Definición 6.10 (Espacio Topológico). Un espacio topológico (X ,τ) consiste enEspaciotopológico un conjunto X y un conjunto τ ⊆P(X) que cumple con los siguientes axiomas:

(A1) X ∈ τ y ∅ ∈ τ ,

(A2) Si {Ai : i ∈ I} ⊆ τ , entonces⋃

i∈I Ai ∈ τ .

(A3) Si A1,A2 ∈ τ entonces A1∩A2 ∈ τ .

El conjunto τ es llamado una topología sobre X . A los elementos A ∈ τ los lla-maremos abiertos (con respecto a τ).Abiertos

Construir un espacio topológico consiste esencialmente en selecionar un con-junto base X , y ciertos subconjuntos de éste (incluyendo siempre a X y a ∅), demodo que éstos cumplan con ciertas propiedades de clausura (propiedades A2 yA3 en la definición).

�� Ejemplo 6.11. Sea X = {0,1}, y sea τ ⊆P(X) el siguiente conjunto:

τ = {∅,{1},{0,1} }.

Es fácil verficar que τ cumple con los tres axiomas de un espacio topológico,luego (X ,τ) es un espacio topológico, llamado el espacio de Sierpinski.

�� Ejemplo 6.12. Sea X = R2. Dado A ∈P(X), diremos que A es abierto sipara cada a0 ∈ A existe un número real ε > 0 tal que para todo x ∈ X , si ladistancia entre a0 y x es menor que ε , entonces x ∈ A (dicho de otro modo,“todos los puntos cercanos a a0 pertenecen a A”). Sea τ el conjunto de to-dos los conjuntos abiertos A⊆ X . Puede demostrarse que (X ,τ) es un espaciotopológico.

! Para antes de seguir leyendo: Sea X = {1,2,3}. Defina una topologíaτ sobre X tal que τ posea exactamente cinco abiertos.

6.2. GRUPOS 263

Otras estructuras matemáticasListamos a modo de referencia algunas de las estructuras matemáticas funda-

mentales, junto con algunas de las ramas que las estudian o utilizan como her-ramienta. Cabe mencionar que todas ellas pueden definirse en términos conjuntis-tas.

ESTRUCTURA(S) RAMA(S) ASOCIADA(S)Órdenes parciales, órdenes lineales Teoría de conjuntos.Grafos Teoría de grafos, combinatoria.Grupos, anillos, campos Álgebra.Álgebras de Heyting, álgebras de Boole Álgebra, Lógica.Geometrías axiomáticas Geometría.Módulos, Espacios vectoriales Álgebra lineal.Espacios métricos Análisis real.Espacios topológicos Topología, análisis, lógica.Sigma-álgebras, espacios de medida Teoría de la medida, probabilidad.Espacios normados Análisis funcional.Variedades topológicas y diferenciales Topología, análisis.Categorías Álgebra, lógica.Matroides Combinatoria.

6.2. Grupos

En el conjunto de los números enteros, la suma + es una función que transfor-ma un par ordenado de números enteros (a,b) en un número entero c = a+b. Estoes:

+ : Z2 −→ Z.

Por ejemplo, +(2,6) = 8, +(5,−6) =−1 y +(4,0) = 4. En vez de escribir la sumaen la notación funcional prefija +(a,b) (se llama prefija pues la operación precedea los elementos que se operan), por costumbre escribimos la suma en la notacióninfija: a+b. Así, los ejemplos anteriores se transforman en 2+6 = 8, 5+−6 =−1y 4 + 0 = 4. En esta sección utilizaremos la notación infija (es decir, utilizando elsímbolo de la función en el medio de los elementos que se están operando).

Definición 6.13 (Operación binaria). Sea A un conjunto. Diremos que � es unaoperación binaria sobre A si� es una función tal que Dom(�) = A2 e Im(�)⊆ A. Operación

binariaEn otras palabras, una operación binaria sobre A es una función� con dominio

A2 tal que para a,b ∈ A, �(a,b) = a� b ∈ A. Dicho de otra forma, “al operar


elementos de A obtenemos un elemento de A”.

�� Ejemplo 6.14. Sea A = {n ∈ N : n≤ 10}.

Sea H la función dada por H(a,b) = aHb = a + b (para a,b ∈ A). En-tonces H no es una operación binaria sobre A, ya que por ejemplo 5 ∈ Ay 8 ∈ A pero 5H8 = 5+8 = 13 6∈ A.

Sea � la función “máximo”, dada por a�b = max(a,b) (para a,b ∈ A).Entonces� es una operación binaria sobre A, ya que si a,b∈A, entoncesa�b = max(a,b) ∈ {a,b} ⊆ A, luego a�b ∈ A.

Definición 6.15 (Identidad). Sea A un conjunto, y sea � una operación binariasobre A. Dado e ∈ A, diremos que e es una identidad con respecto a � si para todox ∈ A se tiene que x� e = e� x = x. En otras palabras, cuando e se opera concualquier elemento x y en cualquier orden, deja idéntico el valor original de x.

Por ejemplo en el conjunto R el elemento 0 es una identidad con respecto ala operación suma, ya que para todo x ∈ R tenemos que x + 0 = 0 + x = x. En R,el elemento 1 es una identidad con respecto a la operación multiplicación, ya quepara todo x ∈ R tenemos que (x)(1) = (1)(x) = x.


(a) Sea� la operación binaria sobre N definida por a�b := max(a,b). ¿Ex-isten identidades para esta operación?

(b) Sea � la operación binaria sobre N definida por a�b = min(a,b). ¿Ex-isten identidades para esta operación?

Vamos a definir el concepto de grupo, un importante ejemplo de una estructuramatemática:

Definición 6.16 (Grupo). Sea G un conjunto, y sea � : G×G−→ G una opera-Grupo

ción binaria sobre G. Diremos que la estructura (G,�) es un grupo si se cumplenlos siguientes axiomas:

(A1) Asociatividad: dados x,y,z ∈ G, (x� y)� z = x� (y� z).

6.2. GRUPOS 265

(A2) Identidad (existencia de): existe un elemento e∈G tal que e es una identidadde G; es decir, tal que para todo x ∈ G, x� e = x y e� x = x.

(A3) Inversos: para cada x ∈ G existe y ∈ G tal que tanto x� y como y� x sonidentidades con respecto a �. (A tal y lo llamaremos un inverso de x).

�� Ejemplo 6.17.

La estructura (Z,+) es un grupo: la suma de enteros es asociativa, elentero 0 es una identidad para la suma, y dado x∈Z si tomamos a y =−xentonces x + y = y + x = 0, luego todo elemento posee un inverso. Porejemplo un inverso de x = 4 es y = −4, y un inverso de x = −5 esy =−(−5) = 5. Un inverso de x = 0 es y = 0.

La estructura (N,+) no es un grupo ya que no cumple con el axiomaA3: por ejemplo el elemento x = 3 no posee un inverso y ∈ N (note que−3 6∈ N).

La estructura (Z,−) no es un grupo ya que la operación − no es asocia-tiva. Por ejemplo (5−4)−2 =−1 pero 5− (4−2) = 3.

La estructura (Zn,+) (con n ∈ N∗) es un grupo.

La estructura (R∗, ·) es un grupo: la multiplicación de números enteroses asociativa, el número real 1 es una identidad para la operación ·, ydado un elemento x ∈ R∗ (es decir, x 6= 0), si tomamos y = 1/x ∈ R∗entonces tenemos que x · y = y · x = 1, luego todo elemento posee uninverso.

Dado n ∈ N, sea nZ = {nx : x ∈ Z}. Entonces (nZ,+) es un grupo.

El axioma A2 de la definición de un grupo afirma que todo grupo posee porlo menos una identidad. Gracias al siguiente teorema podemos concluir que todogrupo posee una única identidad:

Teorema 6.18 (Unicidad de la identidad en grupos). Sea (G,�) un grupo. Dadose,e′ ∈ G, si e y e′ son identidades (con respecto a �), entonces e = e′.

Prueba. Como e es una identidad, en particular se tiene que e “deja idéntico”a e′, esto es: e� e′ = e′. Análogamente como e′ es una identidad, en particular


se tiene que e′ “deja idéntico” a e, esto es: e� e′ = e. Entonces concluimos quee′ = e� e′ = e, como queríamos. o

Sea (G,�) un grupo. Por el teorema anterior, existe un único elemento e ∈ Gtal que

∀x ∈ G : x� e = e� x = x.

Algunos autores suelen denotar a este elemento por 0G, 1G ó idG. Nosotros simple-mente lo llamaremos e.

Hemos demostrado que un grupo posee una única identidad. Ahora demostra-remos que en un grupo, cada elemento posee un único inverso:

Teorema 6.19 (Unicidad de inversos). Sea x ∈ G y sean y,y′ ∈ G tales que y y y′

son inversos de x, esto es, x� y = y� x = e y x� y′ = y′� x = e. Entonces y = y′.

Prueba. A partir de las hipótesis deducimos que x� y = x� y′. Entonces:

x� y = x� y′

y� (x� y) = y� (x� y′) (operando por y a izquierda )(y� x)� y = (y� x)� y′ (Asociatividad, Axioma A2 )e� y = e� y′ ( Hipótesis )y = y′ ( e es la identidad de G).

o

Sea (G,�) un grupo y sea x ∈ G. Gracias al Axioma A3 y al teorema anteriorexiste un único y ∈G tal que y es una inversa de x. A tal y lo llamaremos x−1. Estoes, x−1 es el único elemento en G que verifica:

x� x−1 = x−1� x = e.

A partir de lo que hemos hecho podemos reformular la definición de un grupo:

Definición 6.20 (Grupo, reformulación). Sea G un conjunto, y sea� : G×G−→G una operación binaria sobre G. Diremos que la estructura (G,�) es un grupo sise cumplen los siguientes axiomas:

(A1) Asociatividad: dados x,y,z ∈ G, (x� y)� z = x� (y� z).

(A2) Existencia de una identidad: existe un único elemento eG ∈ G tal que paratodo x ∈ G, x� eG = x y eG� x = x. A eG lo llamamos la identidad de G.

(A3) Inversos: para cada x∈G existe un único elemento x−1 ∈G tal que x�x−1 =x−1� x = eG. Al elemento x−1 lo llamaremos el inverso de x.

6.3. ISOMORFISMOS DE ESTRUCTURAS 267

Una observación importante que podemos hacer es que no todos los grupos(G,�) verifican que la operación � es conmutativa:

�� Ejemplo 6.21. Sea (G,�) el grupo definido así:

G es el conjunto de todas las biyecciones f : Z−→ Z.

Dados f ,g ∈ G, f �g = f ◦g ∈ G (operación de composición).

Puede verse que (G,�) es un grupo, y que además la operación � no es con-mutativa: por ejemplo, si f (x) = 2x+1 y g(x) = 3x, entonces

(g◦ f )(x) = g( f (x)) = g(2x+1) = 6x+3,

( f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (3x) = 6x+1,

y entonces f �g 6= g� f .

Definición 6.22 (Grupo abeliano). Un grupo (G,�) es abeliano si la operación Grupo Abeliano

� es conmutativa, es decir, si se cumple el siguiente axioma:

(A4) Para x,y ∈ G se tiene que x� y = y� x.

La mayoría de los grupos que hemos considerado en esta sección son abelianos.Sin embargo existen grupos no abelianos, por lo cual el axioma A4 no se deduce delos axiomas A1, A2 y A3. Decimos entonces que el axioma A4 es independientede los axiomas A1, A2 y A3 (ya que existen grupos abelianos y no abelianos).

6.3. Isomorfismos de estructuras

Intuitivamente, dos estructuras matemáticas son isomorfas si al olvidarnos delos nombres de los elementos de sus conjuntos base obtenemos estructuras indistin-guibles. Dicho de otro modo, dos estructuras son isomorfas si podemos renombrarlos objetos de una de las estructuras para obtener exactamente la otra estructura(ver figura 6.1).

Una estructura relacional consiste en un conjunto base A junto con una o variasrelaciones sobre A. Una estructura de la forma (A,R) con R⊆ A2 es llamada grafodirigido. Las estructuras consideradas en la figura 6.1 son estructuras relacionales.Los órdenes parciales son casos especiales de grafos dirigidos.


Figura 6.1: Consideremos las estructuras (A,R) = ({a,b,c,d},{(c,a),(c,b),(b,d)}) y(B,S) = ({1,2,3,4},{(1,2),(1,3),(3,4)}). Estas estructuras son distintas; sin embargo alrenombrar a los elementos de A obtenemos la estructura de la parte inferior izquierda, asaber, ({1,2,3,4},{(1,2),(1,3),(3,4)}), que es exactamente igual a la estructura (B,S).Por ende (A,R) y (B,S) son isomorfas.


Definición 6.23 (Isomorfismo de grafos dirigidos). Sean (A1,R1), (A2,R2) grafosdirigidos (esto es, Ri ⊆ A2

i (i = 1,2)). Diremos que f es un isomorfismo entre(A1,R1) y (A2,R2) si f es una función f : A1 −→ A2 tal que:

(a) f es biyectiva,

(b) f es un homomorfismo; esto es, dados x,y∈ A1, xR1y si y sólo si f (x)R2 f (y).

Si existe un isomorfismo entre (A1,R1) y (A2,R2), diremos que estas estruc-turas son isomorfas, y esto lo abreviaremos así:

(A1,R1)∼= (A2,R2).

�� Ejemplo 6.24. Las estructuras (Z,≤) y (3Z,≤) son isomorfas. Para veresto, sea f la función f : Z−→ 3Z definida por f (a) = 3a ∈ 3Z (para a ∈ Z).Veamos que f es un isomorfismo entre (Z,≤) y (3Z,≤):

(a) f es una biyección:

Inyectividad: si f (a) = f (b), entonces 3a = 3b, luego a = b.

Sobreyectividad: sea y ∈ 3Z. Entonces existe x ∈ Z tal que y = 3x.Entonces y = f (x), luego y posee una preimagen x ∈ Z.

(b) f es un homomorfismo: sean a,b ∈ Z. Si a≤ b, entonces 3a≤ 3b (dadoque multiplicar una desigualdad por un número positivo preserva la de-sigualdad), y por ende f (a)≤ f (b). Análogamente podemos demostrarque si f (a)≤ f (b) entonces a≤ b. Así,

a≤ b si y sólo si f (a)≤ f (b).

Observemos que Z ⊃ 3Z. ¡Curiosamente Z contiene propiamente a un subor-den isomorfo a este primero! Análogamente puede demostrarse que 6Z ∼= 3Z, asíque podemos formar una cadena infinita de órdenes, en donde cada uno contienepropiamente al siguiente:

Z⊃ 3Z⊃ 6Z⊃ 12Z · · · ,

y todos ellos son isomorfos entre sí.


! Para antes de seguir leyendo:Demuestre que si (A1,≤1)∼= (A2,≤2) y A1 posee un elemento mínimo, en-tonces A2 posee un elemento mínimo.

Definición 6.25 (Isomorfismo de grupos). Sean (G1,�1) y (G2,�2) grupos. Di-remos que f es un isomorfismo entre (G1,�1) y (G2,�2) si f es una funciónf : G1 −→ G2 tal que:

(a) f es biyectiva,

(b) f es un homomorfismo. Esto es, dados x,y ∈ G1, f (x�1 y) = f (x)�2 f (y).

Si existe un isomorfismo entre (G1,�1) y (G2,�2), diremos que estos gruposson isomorfos, y esto lo abreviaremos así: (G1,�1)∼= (G2,�2) (cuando las opera-ciones �1 y �2 son claras del contexto, simplemente escribimos: G1 ∼= G2).

�� Ejemplo 6.26. Sea (G,�) la estructura dada por G = {a,b,c} (donde a,by c son elementos distintos), y � la operación dada por la siguiente lista:

a�a = c, a�b = a, a� c = b,

b�a = a, b�b = b, b� c = c,

c�a = b, c�b = c, c� c = a.

Puede verse que la operación � verifica los axiomas A1, A2 y A3, y porende (G,�) es un grupo. De hecho G es isomorfo a Z3, ya que al cambiar enla anterior lista de operaciones los elementos a,b y c por [2], [0] y [1] respecti-vamente, y la operación � por la operación +, obtenemos exactamente la listade la operación de suma en Z3):

[2]+ [2] = [1], [2]+ [0] = [2], [2]+ [1] = [0],

[0]+ [2] = [2], [0]+ [0] = [0], [0]+ [1] = [1],

[1]+ [2] = [0], [1]+ [0] = [1], [1]+ [1] = [2].

En otras palabras, la función f : G−→Z3 dada por f (a) = [2], f (b) = [0] yf (c) = [1] es un isomorfismo de grupos, ya que es una biyección y además paracada x,y ∈ G, f (x� y) = f (x)+ f (y). Por ejemplo, a� c = b y [2]+ [1] = [0],luego f (a�b) = f (b) = [0] = [2]+ [1] = f (a)+ f (b).


�� Ejemplo 6.27. Consideremos los grupos (Z,+) y (3Z,+). Definimos lafunción f : Z −→ 3Z por f (a) = 3a ∈ 3Z (para a ∈ Z). Veamos que f es unisomorfismo entre (Z,+) y (3Z,+):

(a) f es una biyección: esto ya lo demostramos en el ejemplo 6.24.

(b) f es un homomorfismo: sean a,b∈Z. Tenemos que f (a+b) = 3(a+b),que es igual a 3a+3b gracias a la propiedad distributiva de los númerosenteros. Pero 3a+3b = f (a)+ f (b) y así concluimos que

f (a+b) = f (a)+ f (b).

El concepto de isomorfismo entre espacios topológicos es llamado homeomor-fismo:

Definición 6.28 (Homeomorfismo de espacios topológicos). Sean (X1,τ1) y (X2,τ2) Homeomorfismo

espacios topológicos. Diremos que f es un homeomorfismo entre (X1,τ1) y (X2,τ2)si f es una función f : X1 −→ X2 tal que:

(a) f es biyectiva, y

(b) f preserva conjuntos abiertos: Dado A⊆ X1 tenemos que A ∈ τ1 si y sólo sif [A] ∈ τ2.

Si existe un homeomorfismo entre los espacios topológicos (X1,τ1) y (X2,τ2),diremos que estos espacios son homeomorfos, y lo abreviaremos así: (X1,τ1) ∼=(X2,τ2) (cuando las topologías τ1 y τ2 son claras del contexto, simplemente es-cribimos: X1 ∼= X2).

�� Ejemplo 6.29. Consideremos los espacios topológicos (X1,τ1) y (X2,τ2)definidos de la siguiente manera:

X1 = {0,1,2,3}, τ1 = {∅,{1},{1,3},{2,3},{1,2,3},{3},X1}.

X2 = {5,6,7,8}, τ2 = {∅,{6},{6,8},{7,8},{6,7,8},{8},X2}.


Para cada i∈ {1,2} se tiene que (Xi,τi) es un espacio topológico (ejercicio14). Sea f : X1 −→ X2 la función dada por f (n) = n+5. Claramente f es unabiyección, y además para cada A⊆ X1 se tiene que

A ∈ τ1 si y sólo si f [A] = { f (n) : n ∈ A} ∈ τ2.

Concluimos que f es un homeomorfismo de espacios topológicos, y por ende(X1,τ1) y (X2,τ2) son espacios homeomorfos.




1. Para más sobre álgebras de Boole, consultar [2], sección 3.4; [10], sección7.3.

2. Para más sobre espacios métricos, consultar [9], capítulo 2.

3. Para más sobre grupos, consultar [8]; [4], sección 36.


6.4. / Ejercicios


1. Considere la siguiente función d : N2 −→R: d(a,b) = 0 si a = b; d(a,b) = 1si a 6= b. Demuestre que la estructura (N,d) es un espacio métrico.

2. Sea (G,�) un grupo, y sean a,b,c ∈ G. Demuestre las siguientes afirma-ciones:

a) Si a� c = b� c, entonces a = b.

b) a�a = a si y sólo si a = idG.

c) a�a = idG si y sólo si a = a−1.

d) (a�b)−1 = b−1�a−1.

e) Si a = b−1 entonces b = a−1.

f ) La ecuación a� x = b posee una única solución (en otras palabras,|{x ∈ G : a� x = b}|= 1).

3. Demuestre que para todo conjunto A, (A,{∅,A}) es un espacio topológico.

ENTRADAS


4. Sea U un conjunto finito y sea d : P(U )2 −→ R la función definida por

d(E,F) = |E r F |+ |F r E| (E,F ⊆U ).

Demuestre que la estructura (P(U ),d) es un espacio métrico.

5. Sea n ∈ N∗. Demuestre que (Zn,+) es un grupo.

6. Sea n ∈ N. Demuestre que (nZ,+) es un grupo.

7. Dé un ejemplo de dos grupos, cada uno de 4 elementos, que no sean isomor-fos entre sí.

8. Dé un ejemplo de un grupo no abeliano que posea exactamente 24 elementos.

9. Demuestre que (R>0, ·) es un grupo.

10. Demuestre que (R≥1, ·) no es un grupo.

11. Demuestre que (R,+)∼= (R>0, ·). [Ayuda: considere la función f (x) = ex.]

12. Sean (A1,≤1) y (A2,≤2) dos órdenes lineales. Demuestre que si A1 ∼= A2y A1 es denso, entonces A2 es denso. [Un orden parcial (A,≤) es denso sidados a,b ∈ A con a < c, existe b ∈ A tal que a < b < c.]

13. ¿Son (Q,≤) y (Z,≤) órdenes isomorfos? Justifique.

14. Demuestre que las estructuras definidas en el ejemplo 6.29 son espaciostopológicos.

PLATOS FUERTES

15. Sea (A,d) un espacio métrico. Diremos que (A,d) es pleno si cumple con elsiguiente axioma:

(A5) Para cada a ∈ A y ε ∈ R con ε > 0, existe b ∈ A tal que d(a,b) < ε .

Demuestre que a partir de los axiomas de espacios métricos no puede de-ducirse el axioma (A4) ni su negación. Esto demuestra que el axioma (A5)es independiente de los axiomas de espacios métricos. [Ayuda: Demuestreque existen espacios métricos plenos, y que existen espacios métricos queno son plenos.]

16. Sea A = {1,2,3,4}. Determine el número de topologías posibles distintassobre A. ¿Cuáles de ellas son homeomorfas entre sí?


17. Sea (A,≤) una estructura parcialmente ordenada. Dado E ⊆ A, diremos queE es hereditario si dados a,b ∈ A, si a≤ b y a ∈ E, entonces b ∈ E. Sea

τ = {E ∈P(A) : E es hereditario }.

Demuestre que (A,τ) es un espacio topológico.

18. Sea (X ,τ) un espacio topológico. Demuestre que para todo n∈N∗, si A1, . . . ,An ∈τ , entonces A1∩ . . .∩An ∈ τ .

19. Sea (X ,τ) un espacio topológico. Dado C ⊆ X , diremos que C es cerrado siCc ∈ τ . Demuestre que:

a) X es cerrado y ∅ es cerrado,

b) Si {Ai : i ∈ I} es una colección de conjuntos cerrados, entonces⋂

i∈I Ai

es un conjunto cerrado.

c) Si A1 y A2 son cerrados, entonces A1∪A2 es cerrado.

20. Sea A = {2,3,5,7}, y sea D+210 el conjunto de los divisores positivos de 210.

Demuestre que los órdenes (P(A),⊆) y (D+210, |) son isomorfos. [Ayuda:

Utilice el teorema 3.28.]

21. Sea n ∈ N∗, tal que en la factorización por primos de n no aparece ningúnprimo más de una vez. En otras palabras (utilizando la notación del teore-ma 3.27), sea n = ∏

ki=0 pαi

i con k ∈ N y cada αi ∈ {0,1}. Consideremos laestructura

B1 = {D+n ,n,1,⊕,�,¬},

en donde a⊕b := mcm(a,b) (el mínimo común múltiplo de a y b), a�b :=mcd(a,b) (el máximo común divisor de a y b), y ¬(m) = n/m.

Sea U = {i ∈ N : 0≤ i≤ k,αi = 1}. Consideremos la estructura

B2 = (P(U ),U ,∅,∪,∩, c).

Sea f : D+n −→P(U ) la función dada por

f (m) = {i ∈ N : pi|m} ⊆U .

Demuestre las siguientes afirmaciones:

a) La función f es una biyección.

b) f (1) = ∅ y f (n) = U .


c) Para a,b ∈ D+n , f (a�b) = f (a)∩ f (b).

d) Para a,b ∈ D+n , f (a⊕b) = f (a)∪ f (b).

e) Para a ∈ D+n , f (¬(a)) = f (a)c.

f ) La operación � es asociativa [Ayuda: sean a,b,c ∈D+n ; como B2 es un

álgebra de Boole, vale que ( f (a)∩ f (b))∩ f (c) = f (a)∩( f (b)∩ f (c)).Utilizando (c) y la inyectividad de f demuestre que esto implica que(a�b)� c = a� (b� c).]

g) La estructura B1 es un álgebra de Boole.

APÉNDICE A

LÓGICA

En este apéndice nos interesa estudiar en particular dos tipos básicos de lógi-ca: la lógica proposicional y la lógica de predicados (también llamada lógica deprimer orden). El estudio de ellas nos servirá para razonar sobre las matemáticastratadas en este libro.

A.1. Lógica proposicional

Una afirmación o proposición es una expresión del lenguaje que es verdadera ofalsa1. La afirmación “x > 5” es falsa cuando x es menor o igual que 5, y verdaderade lo contrario. La lógica se encarga en gran parte de demostrar las condiciones deverdad o falsedad de las afirmaciones.

La lógica proposicional se encarga de estudiar la construcción de afirmacionesa partir de otras utilizando los conectivos ∧,∨,¬,→ y ↔, los cuales llamaremosconectivos proposicionales. La razón por la cual se llaman conectivos es que unen oconectan dos proposiciones para producir una nueva (con excepción de la negación,que a partir de una sola proposición produce otra).

Si a y b son proposiciones cualesquiera, podemos construir las siguientes proposi-ciones:

1. a∧b, se lee “a y b” (conjunción).

2. a∨b, se lee “a o b” (disyunción).

3. ¬a, se lee “no a” ó “no es el caso que a” (negación).

1Las preguntas y las órdenes, por ejemplo, no son afirmaciones.

279

280 APÉNDICE A. LÓGICA

4. a→ b, se lee “a implica b”, “si a entonces b”, “b es necesario para a”, “a essuficiente para b” o “b, siempre que a” (implicación).

5. a↔ b, se lee “a si y sólo si b”, “a es equivalente a b” (doble implicación oequivalencia).

Desde temprana edad hemos aprendido el uso semántico de los anterioresconectivos, esto es, cómo juzgar la verdad o falsedad de proposiciones donde ellosintervienen. Por ejemplo, sabemos que la proposición “a y b” es verdadera cuandotanto a como b son verdaderas y es falsa de lo contrario, esto es, cuando a es falsay b es verdadera, a es verdadera y b es falsa, o a y b son falsas. En la siguientetabla, llamada tabla proposicional de verdad, resumimos el uso semántico de losdistintos conectivos:

a b a∧b a∨b ¬a a→ b a↔ b0 0 0 0 1 1 10 1 0 1 1 1 01 0 0 1 0 0 01 1 1 1 0 1 1

En la tabla anterior, 0 y 1 corresponden a “falso” y “verdadero” respectivamen-te. Por ejemplo, la segunda fila nos dice lo siguiente: si a es falsa y b es verdadera,entonces a∧b es falsa, a∨b es verdadera, etcétera. Entre tanto, la última columnanos dice que una equivalencia a↔ b será cierta exactamente cuando sus partes (a yb) posean el mismo valor de verdad2 (o bien ambas sean falsas, o bien ambas seanverdaderas). Por ejemplo, la equivalencia “2 > 3 si y sólo si todos los políticos sonhonestos”, es verdadera.

�� Ejemplo A.1. Sea p la afirmación “S es un conjunto finito”, y q la afir-mación “S es un conjunto con un elemento”. A partir de estas afirmacionesatómicas, construimos las siguientes afirmaciones compuestas:

a := p∧q

b := p→ q

2El valor de verdad de una afirmación es verdadero o falso. En otras lógicas se consideran valoresde verdad adicionales.

A.1. LÓGICA PROPOSICIONAL 281

c := (¬q)→ p

d := q→ p

Hagamos algunas observaciones:

1. La afirmación p es verdadera o falsa, según S sea finito o infinito. Porejemplo, si hacemos S = {0,1,2, . . .}, entonces p es falsa.

2. La afirmación b se puede leer: “S es finito y posee un elemento”. Demodo similar, esta afirmación es verdadera o falsa, según sea S.

3. La afirmación c se puede leer: “Si S no es un conjunto con exactamenteun elemento, entonces es finito. Obviamente esta afirmación no es ver-dadera para todo conjunto S, pues existen conjuntos que no poseen ex-actamente un elemento pero que no son finitos.

4. La afirmación d se lee: “Si S es un conjunto con un elemento, entonces esfinito”. Esta afirmación es verdadera para cualquier conjunto S. Notemosque d NO afirma que S posee un elemento: afirma que en caso de que Sposea un elemento, entonces S es finito. La afirmación no se comprometecon nada en caso de que S no posea ningún elemento.

Diremos que dos afirmaciones P y Q son equivalentes si poseen el mismo valorde verdad. En otras palabras, si una de ellas es verdadera, la otra también lo es, y siuna de ellas es falsa, la otra también lo es. En matemáticas es frecuente el estudiode afirmaciones equivalentes. Veamos un ejemplo:

�� Ejemplo A.2. Sea P := ¬(¬a) y sea Q := a. Demuestre que P y Q sonequivalentes.

Solución. Debemos convencernos de que, sin importar si a es falso o ver-dadero, P y Q siempre poseen el mismo valor de verdad. Para esto hacemosuna tabla de verdad:

a ¬a ¬(¬a) P Q0 1 0 0 01 0 1 1 1


Vemos que si a es falsa, tanto P como Q son falsas, y si a es verdadera,tanto P como Q son verdaderas. En otras palabras, P y Q “poseen la mismatabla de verdad”, luego son equivalentes. o

El anterior análisis muestra formalmente que “negar dos veces una afirma-ción es equivalente a no haberla negado en absoluto”.

�� Ejemplo A.3. Sea P := a→ b y sea Q := ¬a∨b. Demuestre que P y Q sonequivalentes.

Solución. Lo primero que notamos es que Q es (¬a)∨b y no debe confundirsecon ¬(a∨b). Hagamos las tablas de verdad de P y Q:

a b ¬a P := a→ b Q := ¬a∨b0 0 1 1 10 1 1 1 11 0 0 0 01 1 0 1 1

Como vemos, P y Q poseen la misma tabla de verdad, luego son equiva-lentes. Por ejemplo, si a es la afirmación “Andrea es alta”, y b es la afirmación“Andrea es flaca”, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a→ b: “si Andrea es alta, entonces es flaca”.

¬a∨b: “Andrea es baja o es flaca”

Resulta que “para cualquier Andrea en que se piense”, sea ella gorda o flaca, ysea alta o baja (hay “cuatro posibles Andreas”, por así decirlo), las dos afirma-ciones anteriores son o ambas ciertas o ambas falsas. Por ejemplo, si Andreaes alta y gorda, entonces la implicación a→ b es falsa, como también lo es ladisyunción ¬a∨b. o

A.2. LA IMPLICACIÓN 283

A.2. La implicación

En general, una afirmación de la forma p→ q es llamada una implicación, yexpresa lo siguiente:

1. Si p es verdadera, entonces q también es verdadera, pero

2. Si p es falsa, entonces no se puede concluir nada sobre q.

De este modo, si p es verdadera y q también, entonces p→ q es verdadera.Si p es verdadera y q es falsa, entonces p→ q es falsa. Pero es crucial observar losiguiente: si p es una afirmación falsa, entonces p→ q será verdadera, sin importarsi q lo sea o no. Esto ocurre ya que p→ q nos está diciendo en esencia lo siguiente:

“Considérame falsa únicamente si p es verdadera y q no lo es”.

En la afirmación p→ q (que llamaremos implicación), p es llamado el an-tecedente y q la consecuencia. Esto nos permite expresar el contenido semánticode la implicación, mediante la llamada ley del antecedente falso:

Observación A.4 (Ley del antecedente falso). Considere la implicación p→ q.Si el antecedente de la implicación (p) es falso, entonces p→ q es verdadera.

�� Ejemplo A.5 (Aplicaciones de la ley del antecedente falso).

La afirmación “Si 2 es impar, entonces 7 es par” es verdadera.

La afirmación “Si x 6= x, entonces x = x” es verdadera.

Supongamos que Carlos es una persona que no tiene hijos. Entonces la afir-mación “todos los hijos de Carlos son orejones” es verdadera. Este ejemplorequiere un poco de análisis. Lo que hay que observar es que la anterior afir-mación es la misma que la siguiente “Para cualquier ser humano h, si h es hijode Carlos, entonces h es orejón”. Esto es,

“Para todo ser humano h, p→ q”

en donde p := “h es hijo de Carlos”, y q := “h es orejón”. Dado cualquier serhumano h, p es falso, entonces p→ q es verdadero (por la ley del antecedentefalso). Para todo h, la afirmación-implicación p→ h es verdadera, así que “todohijo de Carlos es orejón”.


Otra manera de convencerse de la verdad de que todos los hijos de Carlosson orejones es preguntarse qué pasaría si no fuera así. Esto es algo natural:si queremos convencernos de que una afirmación p es verdadera, podemosdecir: supongamos por un instante que la afirmación es falsa. Si a partir deesta suposición llegamos a algo que es contradictorio con la información quetenemos, entonces es porque en realidad la afirmación p es verdadera. Esterazonamiento lo hacemos frecuentemente en la vida cotidiana, y lo llamamosrazonamiento por contradicción.

Así, queremos convencernos de que todos los hijos de Carlos son orejones.Pues razonemos por contradicción, esto es, supongamos que es falso que todoslos hijos de Carlos son orejones. Entonces debe existir por lo menos un ser hu-mano h que es hijo de Carlos y que además no es orejón. Pero esto es absurdo,puesto que Carlos no tiene hijos, luego en particular tampoco tiene hijos queno son orejones. Hemos llegado a una contradicción (con la hipótesis de queCarlos no tiene hijos), así que necesariamente debe ser cierto que todos loshijos de Carlos son orejones. ¡Esto parece irónico pero es verdadero! Tambiéntodos los hijos de Carlos se llaman Luis, y todos los hijos de Carlos hablan 17idiomas, etcétera. ¡Todo esto gracias a la propiedad del antecedente falso!

Le recomendamos al lector hacer una prueba con sus conocidos: pensaren una persona x, que no tenga hijos, y comentarle a sus amigos: “¿sabíanustedes que todos los hijos de x son orejones?” Esto será útil para una mejorasimilación de la anterior discusión.

A.3. Demostraciones

Una prueba o demostración es un razonamiento lógico en el que “demos-tramos” (o comprobamos) que cierta afirmación es verdadera. Un teorema es unaafirmación verdadera que posee una demostración3. Uno de los objetivos funda-mentales de este libro es que el lector aprenda a demostrar afirmaciones. En estasección (que puede servir como referencia) se ofrece una guía básica acerca decómo se puede demostrar una afirmación de acuerdo con su forma lógica proposi-cional, es decir, según si es una negación, disyunción, conjunción, implicación oequivalencia.

3Un lema es una afirmación que se utiliza para demostrar un teorema, y un corolario es una afir-mación que es consecuencia de un teorema. La distinción entre lema, teorema y corolario es subjetivay se utiliza con fines pedagógicos, o de organización de la estructura expositiva. Técnicamente, todosellos son afirmaciones verdaderas que han sido demostradas.

A.3. DEMOSTRACIONES 285

Observación A.6. Sean a y b proposiciones. Entonces:

(M1) Para demostrar que ¬a es verdadera, suponga a y razone para concluiruna contradicción, esto es, una proposición que siempre es falsa. Unacontradicción es una proposición que es equivalente a una proposiciónde la forma p∧¬p.

(M2) Para demostrar a∨b puede utilizarse cualquiera de los siguientes méto-dos:

(M2.1) suponga ¬a y razone para concluir b.

(M2.2) suponga ¬b y razone para concluir a.

(M2.3) suponga ¬a y ¬b, y razone para concluir una contradicción.

(M3) Para demostrar que a∧b es verdadera, demuestre por separado que a esverdadera y que b es verdadera.

(M4) Para demostrar que a→ b es verdadera pueden utilizarse los siguientesmétodos:

(M4.1) Suponga que a es verdadera y razone (utilizando a) para concluirb. (a se llamará la hipótesis, y b se llamará la conclusión).

(M4.2) Suponga que ¬b es verdadero y razone para concluir ¬a. Estemétodo es llamado el método de la contrapositiva o contrarecí-proca .

(M5) Para demostrar que a↔ b es verdadera puede utilizarse cualquiera delos siguientes métodos:

(M5.1) Demuestre por separado a→ b y b→ a (este método es llamado elmétodo de la doble implicación.

(M5.2) Encuentre una afirmación c tal que a y c sean equivalentes, y c y bsean equivalentes.

A partir de estos esquemas (los cuales hemos etiquetado por conveniencia), ellector podrá deducir esquemas similares adicionales. Por ejemplo, para probar quea es verdadera, bastaría probar que ¬(¬a) es verdadera (puesto que a y ¬(¬a) sonequivalentes). Pero para probar que ¬(¬a), basta probar, por M1, que si suponemos


¬a, razonando llegamos a una contradicción. En conclusión, obtenemos el famosométodo de la prueba por contradicción:

Observación A.7 (M6, Método de contradicción). Para probar una afirmación a,suponemos que es falsa (es decir, que ¬a es verdadera), y razonamos para concluiruna contradicción.

La siguiente regla lógica es fundamental para las deducciones y es llamadaModus Ponens:

Principio A.8 (Modus ponens). Si a es verdadera y a→ b es verdadera, entoncesb es verdadera.

El anterior principio motiva el uso de una “flecha” como el símbolo para laimplicación. Una implicación nos permite (de ser verdadera) “movernos desde ahacia b”, como lo haría un detective que deduce nueva información a partir deinformación previa ya conocida. El Modus ponens es probablemente la herramientamás útil y simple utilizada en las deducciones.

Supongamos que queremos demostrar que (a∨b)→ c. Podríamos suponer en-tonces que (a∨ b) es verdadera. ¿Pero qué significa esto? Significa que a es ver-dadera ó b es verdadera. En otras palabras, debemos separar el razonamiento endos casos: uno donde supongamos que a es verdadero, y otro donde supongamosque b es verdadero. Si en ambos casos somos capaces de razonar para concluirque c es verdadera, entonces habremos mostrado lo que queríamos, esto es, quesi alguna de las proposiciones a ó b es verdadera, entonces necesariamente c esverdadera.

El anterior razonamiento se convierte en un método para demostrar un tipoparticular de proposiciones: aquellas de la forma (a∨ b)→ c, esto es, donde lahipótesis es una disyunción. Este método es el siguiente:

Observación A.9 ((M8) Prueba por casos). Para demostrar una afirmación dela forma (a∨b)→ c, demuestre dos proposiciones por separado:

(i) a→ c.

(ii) b→ c.

�� Ejemplo A.10. Demostremos que la afirmación ((¬b)∧((¬a)→ b))→ (a)es verdadera.

A.3. DEMOSTRACIONES 287

Solución. Debemos demostrar una implicación, esto es, que (¬b)∧ ((¬a)→b) implica a. Entonces:

1. Suponemos que (¬b)∧ ((¬a)→ b) es verdadera (a esta afirmación quesuponemos que es verdadera la llamaremos hipótesis).

2. La anterior afirmación es una conjunción (∧), luego en realidad tenemosdos hipótesis:

3. ¬b.

4. (¬a)→ b.

5. Queremos demostrar que a es verdadera. Para esto utilizamos el métodode la contradicción. Es decir, suponemos que ¬a es verdadera.

6. Entonces, por 4 y 5, estamos suponiendo simultáneamente ¬a y (¬a)→b, luego podemos deducir, por Modus ponens, que b es verdadera.

7. Hemos llegado a que b y ¬b son ambas verdaderas (por 6 y 3), lo cuales una contradicción.

8. Como hemos llegado a una contradicción, concluimos que a es ver-dadera, como queríamos.

o

Veamos un ejemplo de un teorema, junto con su demostración.

Teorema A.11. Para todo número real x,

(x es distinto de 0) si y sólo si (x2 > 0).

Demostración. Claramente la proposición “x es distinto de 0” es equivalente a lasiguiente afirmación:

(x > 0∨ x < 0).

Debemos demostrar, entonces, lo siguiente:

(x > 0∨ x < 0)↔ x2 > 0.

La anterior proposición es una equivalencia, de modo que podemos utilizar el méto-do de doble implicación (M5.1) y demostrar dos afirmaciones:


(a) (x > 0∨ x < 0)→ x2 > 0, y

(b) x2 > 0→ (x > 0∨ x < 0).

Para demostrar la afirmación (a), y ya que la hipótesis es una disyunción, utilizamosel método de la prueba por casos (M8), y por ende debemos demostrar dos cosas:

(i) Si x > 0 entonces x2 > 0, y

(ii) Si x < 0 entonces x2 > 0.

Veamos una demostración de la afirmación (i): si x > 0, entonces como el multi-plicar por un número positivo a ambos lados de una desigualdad no cambia el signode ésta, concluimos que xx > x0, pero x0 = 0, luego x2 > 0. La demostración de laafirmación (ii) es similar. Ambas utilizan el método de prueba directa (M4.1).

Ahora demostremos la afirmación (b). Supongamos por hipótesis que x2 > 0.Debemos demostrar que x > 0∨x < 0). Como queremos demostrar una disyunción,utilicemos el método (M2.1): supongamos por ejemplo que es falso que x > 0:Entonces o bien x = 0 o bien x < 0: pero no puede ser que x = 0, o se tendríaque x2 = 02 = 0, contradiciendo nuestra hipótesis (x2 > 0). Entonces x < 0, comoqueríamos. o

A.4. Lógica de predicados

Sea P la siguiente afirmación: “Ana es japonesa mientras que Gabriel no lo es”.Con las herramientas del cálculo proposicional podemos hacer un mejor trabajo desimbolización, y no contentarnos con representar esta proposición mediante unasóla letra. Una razón para ello es que en muchos casos necesitamos sistemas desimbolización más ricos para resolver problemas de manera más eficiente. De mo-do que podemos convenir en que

Q := “Ana es japonesa”,

R := “Gabriel no es japonés”,

y así ”Ana es japonesa mientras que Gabriel no lo es” corresponderá, naturalmente,a la proposición Q∧R.

Sin embargo podemos hacer un mejor trabajo de simbolización: notemos queQ y R son similares estructuralmente: ambas dicen que alguien tiene (o no tiene) lacualidad de ser japonés. La palabra “alguien” corresponde a la noción más generalde individuo u objeto, y la palabra “cualidad” hace referencia a la noción general depropiedad (o predicado). Si antes nuestro sistema sólo admitía simbolizar proposi-ciones con letras y las palabras lógicas “no”, “y”, “o”, “entonces”, etcétera., ahora

A.4. LÓGICA DE PREDICADOS 289

el enfoque es la siguiente: simbolicemos a los individuos y las propiedades conletras, de modo que las proposiciones consistan en combinaciones de ellas, más losconectivos lógicos. Veamos cómo queda la proposición que estábamos analizando:

Si simbolizamos los objetos así: g :=Gabriel, a :=Ana, y la propiedad “tenernacionalidad japonesa” por la letra J, entonces:

“Ana es japonesa” se simboliza así: J(a). “Gabriel es japonés” se simboliza así:J(g).

Como el lector sospechará, “Ana es japonesa mientras que Gabriel no lo es” sesimbolizará así: J(a)∧¬J(g). Note el progreso que hemos hecho hasta aquí. Loclave es lo siguiente: si alguien lee P sin saber qué representa, sólo sabra que estaes una afirmación, pero no se revelará nada sobre su estructura o complejidad.Ahora, si alguien lee Q∧R, sabrá que esta expresión representa una conjunción,obteniendo de esta forma más información: por ejemplo sabrá que quien afirmeQ∧R no puede al mismo tiempo afirmar ¬R (sin contradecirse). Finalmente, quienlea J(a)∧¬J(g) posee ahora más información: por ejemplo sabrá que al menosun individuo posee la propiedad J, pero no todos; también podrá concluir que losindividuos a y g son distintos, etcétera.

Ahora introducimos la cuantificación a nuestro sistema de simbolización. Su-pongamos que un detective está investigando un crimen. La lista de todos los sospe-chosos con sus abreviaciones es la siguiente:

a1 :=Felipe, a2 :=Claudia, a3 :=Hermes, a4 :=Sonya, a5 :=Zeus.

Supongamos ahora que el detective ha descubierto el siguiente hecho:

P := “Al menos un sopechoso abandonó la habitación principal a las 10:30 P.M”.


Nos proponemos simbolizar P de manera más precisa con el lenguaje que hemosdesarrollado. Veamos qué hacer.

Una posibilidad consiste en primero definir la propiedad A como la propiedadhaber abandonado la habitación principal a las 10:30 P.M; esto es, dado cualquierindividuo x, sea A(x) la proposición “x abandonó la habitación principal a las 10:30P.M”. Entonces P podría simbolizarse así:

A(a1)∨A(a2)∨A(a3)∨A(a4)∨A(a5).

Existe una forma más “compacta” de simbolizar la anterior proposición que, sinembargo, requiere introducir un nuevo símbolo. Primero sea S la propiedad sersospechoso: esto es, para todo x, S(x) es equivalente a la siguiente proposición:

x = a1∨ x = a2∨ x = a3∨ x = a4∨ x = a5.

Es claro que P puede expresarse así: “Existe un individuo x tal que x es sospechosoy posee la propiedad A”. Si utilizamos el símbolo ∃ para simbolizar “existe”, en-tonces podemos simbolizar a P así:

∃x : S(x)∧A(x).

Con lo anterior no queremos decir que exista un único x con las propiedades S yA. Es decir, al utilizar el símbolo ∃, lo uilizaremos para expresar que “existe por lomenos un...”.

El detective continúa indagando el caso y descubre el siguiente hecho: Q :=“Todos los sospechosos bebieron vino la noche del crimen”. Note que Q es equi-valente a “Para todo x, si x es sospechoso, entonces x bebió vino en la noche delcrimen". Si simbolizamos con B la propiedad “haber bebido vino la noche delcrimen", y utilizamos el símbolo ∀ para simbolizar “para todo", entonces podemossimbolizar a Q así:

∀x : S(x)→ B(x)

Notemos sin embargo que Q puede también simbolizarse de la siguiente manera,sin utilizar el símbolo ∀:

¬(∃x : S(x)∧¬B(x)).

La anterior proposición se lee así: no es el caso que exista un sospechoso que nohaya bebido vino en la noche del crimen. En general el lector puede convencersede que toda proposición que utilice ∀ es equivalente a una que no lo utilice.

El siguiente ejemplo ilustra el fenómeno opuesto:


�� Ejemplo A.12. simbolice P := ∀x : P(x) sin utilizar ∃.

Solución. P equivale a la afirmación “al menos un individuo posee lapropiedad P”. Nos piden simbolizar a P sin utilizar existe. Notamos que Pequivale a decir:

“No es cierto que para todo x, x no posee la propiedad P”,

pues según P al menos algún individuo posee la propiedad. O lo que es lomismo:

¬(∀x : ¬P(x)).

o

Los símbolos ∃ y ∀ son llamados cuantificador existencial y cuantificador uni-versal respectivamente.

Intuitivamente, las afirmaciones de la lógica de predicados o primer orden sonaquellas que se construyen utilizando las siguientes herramientas:

Los conectivos proposicionales: ∧,∨,¬,→,↔,

El símbolo de igualdad: =,

Predicados: P,Q,R, . . .,

Letras de variables y constantes: x,y,z, . . .; a,b,c, . . ..

los cuantificadores existencial y universal: ∃,∀.

�� Ejemplo A.13. Sea P(x) :=“x es periodista”, R(x) :=“x es ruidoso”,

A(x,y) :=“x es amigo de y”, b =“Berta”, e =“Érika”. Simbolice en lógica deprimer orden las siguientes afirmaciones:

1. “Érika es una periodista que no es ruidosa”.

2. “Érika y Berta no son amigas”.

3. “Todos los amigos de Érika son ruidosos”.


4. “Todo periodista es ruidoso”.

5. “Berta es amiga de un no periodista cuyos amigos son todos ruidosos”.

6. “¡Cuando haya dos amigos distintos, alguno de los dos será ruidoso!”.

7. “Todo amigo de Berta es amigo de Érika”.

8. “¡Érika y Berta tienen exactamente los mismos amigos!”.

9. “¡Érika y Berta tienen exactamente los mismos amigos periodistas!”.

10. “Érika y Berta no tienen exactamente los mismos amigos”.

Solución.

1. P(x)∧¬R(x).

2. ¬A(b,e).

3. ∀x : A(e,x)→ R(x).

4. ∀x : P(x)→ R(x).

5. ∃x : A(b,x)∧¬P(x)∧ (∀y : A(x,y)→ R(x)).

6. ∀x,y((x 6= y∧A(x,y))→ (R(x)∨R(y))).

7. ∀x : A(b,x)→ A(e,x).

8. ∀x : A(b,x)↔ A(e,x).

9. ∀x : P(x)→ (A(b,x)↔ A(e,x)).

10. (∃x : A(b,x)∧¬A(e,x))∨ (∃x : A(b,x)∧¬A(e,x)).

o



Las siguientes son lecturas adicionales sobre algunos de los temas tratados enel apéndice de Lógica:

1. Para más sobre lógica proposicional, consultar [10], capítulo 1.

2. Para más sobre teoremas y demostraciones, consultar [4], secciones 2-4.

3. Para una aproximación más formal y teórica a la lógica y demostraciones,consultar [1].


A.5. / Ejercicios

1. Demuestre que las afirmaciones P := ¬(a∧ b) y Q := ¬a∨¬b son equiva-lentes, construyendo simultaneamente sus tablas de verdad. ¿Qué podemosconcluir sobre la tabla de verdad de la afirmación P↔Q? (intente respondera esto último sin hacer la tabla de verdad).

2. Sea P := a∧ (a→ b), y Q := b. ¿son P y Q equivalentes? Justifique su res-puesta.

3. Simbolice en primer orden la frase: “Ningún perro ha ido a Venus, perotodos los animales que han ido a Marte son perros”. [Ayuda: sea P(x) := “xes perro”, v :=Venus, m :=Marte, V (x,y):=“x ha ido a y”.]

4. Simbolice en primer orden la frase: “Todo ser que haya ido a Marte, ha idoa Venus, y tiene un perro que no ha ido a Venus”.

5. Simbolice en primer orden la frase: “Todo restaurante japonés es costoso,pero existen restaurantes costosos que no son japoneses”.

6. Simbolice en primer orden la frase: “No todos los números enteros sonpares”.

7. Simbolice en primer orden la frase: “No existen números pares mayores que7”.

A.5. / EJERCICIOS 295

8. Los guanacos

a) Simbolice en primer orden la frase: “Un guanaco es un hombre pere-zoso, alegre, y cuyos amigos son todos guanacos”.

b) ¿Existen en el mundo hombres guanacos?

c) ¿Puede un guanaco poseer amigos tristes?

d) ¿Es usted un guanaco?

9. Utilizando los métodos de la sección A.3, demuestre las siguientes afirma-ciones:

a) x > 4→ x 6= 0. (utilice, por ejemplo, el llamado método de la contra-positiva, M4.2)

b) (a→ b)↔ (a∨¬b).

c) (((a→ c)∨ (b→ c))∧¬c)→ (¬a∧¬b).

d) ( ¬(a = 3∨a = 5 ) ) si y sólo si ( a 6= 3 y a 6= 5 ).

e) (x = 4∨ x <−5)→ x2 > 9.

10. Supongamos que en mi mano tengo cierta cantidad de monedas; todas salvodos son de 50 pesos, todas salvo dos son de 100 pesos, y todas salvo dos sonde 500 pesos. ¿Cuántas monedas tengo en mi mano? (Provea dos posiblesrespuestas.)

Índice alfabético

álgebra de Boole, 260álgebra de conjuntos, 60ínfimo, 162

abeliano, grupo, 267afirmación, 279afirmaciones

equivalentes, 281algoritmo

de la división, 102de Euclides, 107

antecedente, 283arista, 224Aritmética, teorema fundamental de la,

110asociatividad, 23axioma, 258Axioma de separación, 59

binariaoperación, 263

biyección, 179Boole, álgebra de, 260buen orden, 65

principio del, 65buena definición, 206

campo, de una relación, 156

Cantorteorema de, 247

característica, función., 191caracterización, 15cardinal

de un conjunto, 231cerrado, 276clase

de congruencia, 121de equivalencia, 194

clausurade una relación, 164en Z, 144reflexiva de una relación, 164simétrica de una relación, 164transitiva de una relación, 164

coeficiente binomial, 217combinación lineal, 99comparabilidad, 64comparables, conjuntos, 17complemento, de un conjunto, 29completa, relación, 170composición

de funciones, 178de relaciones, 177

conectivos proposicionales, 279conexo, grafo, 225

296

ÍNDICE ALFABÉTICO 297

congruenciaclase de, 121

conjunción, 279conjunto, 8

a lo sumo enumerable, 239bien ordenado, 65cerrado, 276de representantes, 201enumerable, 239finito, 237inductivo, 67, 92potencia, 19vacío, 14

conjuntosdisjuntos, 22equipotentes, 231

conmutatividad, 23consecuencia, 283constante, función, 180contradicción, 286contraejemplo, 27contrapositiva, 285contrarecíproco, 285cota

inferior, 162superior, 162

cuantificadorexistencial, 291universal, 291

De Morganteorema generalizado, 40

definiciónbuena, 206

demostración, 284por contradicción, 286por doble implicación, 16

Diagrama de Venn, 20diferencia

de conjuntos, 28

simétrica, 54disjunta, unión, 30disjuntos, conjuntos, 22distribución, ley de, 26disyunción, 279divide, 98división

algoritmo de la, 102divisor, 98doble implicación, 16dominio, de una relación, 155dual, propiedad, 36

enteros, 64, 203enteros, números, 38equipotencia, 230equivalencia, 280

clase de, 194relación de, 193

equivalentesafirmaciones, 281

espaciométrico, 261topológico, 262

estructurarígida, 213

estructura relacional, 267Euclides, algoritmo de, 107Euler, función ϕ , 129extensión, 177extensional, 10extensionalidad

principio de, 12

factorial, 73fibra, 186filtro, 57finito

conjunto, 80fuerte

298 ÍNDICE ALFABÉTICO

principio de inducción, 71función, 174

biyectiva, 179característica, 191constante, 180extensión, 177invertible, 182inyectiva o 1-1, 179restricción, 177sobreyectiva, 179

grafo, 224conexo, 225dirigido, 267

grupo, 264abeliano, 267

homeomorfismo, 271

ideal, 147maximal, 149primo, 148

idempotencia, 23identidad, 264imagen, 156

inversa, 156imagen, de una relación, 155impar, número, 140implicación, 280, 283

doble, 280Inducción

principio de, 68inducción

fuerte, 71inductivo

conjunto, 67, 92inferior, vecino, 53infija, notación, 263infinito

conjunto, 80intensional, 10

intersección, 22inversa

por derecha, 184por izquierda, 184relación, 158

inverso, 265invertible, función, 182isomorfismo, 79

lemade Euclides, 109

Leyde De Morgan, 31, 35de distribución, 26del antecedente falso, 283

linealorden, 64

lineal, combinación, 99

máximo, 162máximo común divisor, 104máximo común divisor entre a y b, 104método directo, 31métrico, espacio, 261múltiplo, 98mínimo, 162maximal, 162

ideal, 149minimal, 162Modus ponens, 286

Númerosenteros, 38racionales, 38reales, 38

númerosenteros, 64, 203naturales, 9

naturales, números, 9negación, 279notación


infija, 263prefija, 263

nulo, 38

operación binaria, 263orden

buen, 65lineal, 18, 64parcial, 63, 161total, 18, 64

pérdida de generalidad, 233par ordenado, 41, 44par, número, 140paradoja de Russell, 41parcial

orden, 63partes

de un conjunto, 19partición, 198pertenencia, 8plano cartesiano, 42polinomio, 125potencias

de un conjunto, 19prefija, notación, 263preimagen, 156primo, 109

ideal, 148primos relativos, 108principio

de inducción, 68de inducción fuerte, 71del buen orden, 65

producto cartesiano, 42propiedad dual, 36proposición, 279prueba, 284

racionalesnúmeros, 214

racionales, números, 38reales, números, 38recíproco, 126recursión, 73relación, 153

asimétrica, 159completa, 170de equivalencia, 193irreflexiva, 159reflexiva, 159simétrica, 159transitiva, 159

relacionesinversas, 158

representante, 197representantes

conjunto de, 201residuo, 102

teorema chino del, 136residuos

sistema canónico reducido de, 128sistema completo de, 128sistema reducido de, 129

restricción, 177Russell, paradoja de, 41

si y sólo si, 280sigma, notación, 75simétrica, diferencia, 54singleton, 9, 42sistema canónico reducido de residuos,

128sistema completo de residuos, 128sistema reducido de residuos, 129subconjunto, 11

propio, 13subestructura, 258sucesión, 114

eventualmente nula, 115sumersión, 232


supremo, 162

tabla proposicional, 280tamaño

de un conjunto, 231teorema

de De Morgan, 31, 35chino del residuo, 136de Cantor, 247de Cantor-Schröder-Bernstein, 233de De Morgan generalizado, 40fundamental de la aritmética, 110

topología, 262total

orden, 64tricotomía, 161tupla, 44

ultrafiltro, 57unión, 21

disjunta, 30universo, 29

vértice, 224vacío, conjunto, 14valor de verdad, 280vecindad, 261vecino inferior, 53Venn

diagrama de, 20

Lista de símbolos

(a,b) El par ordenado (a,b), página 41.

[a]E Clase de equivalencia módulo E, página 194.(nk

)Coeficiente binomial, página 217.

∩ Operación intersección, página 22.

◦ Composición de funciones, página 177.

∪ Conjunción (“y”), página 22.

∪ Operación unión, página 21.⋂Intersección generalizada, página 37.⋃Unión generalizada, página 36.

∈ Símbolo de pertenencia., página 8.

↔ Símbolo de equivalencia (“si y sólo si”), página 13.

7→ Símbolo de aplicación de función , página 175.

N: Naturales El conjunto de los números naturales, página 9.

Q El conjunto de los números racionales, página 38.

R El conjunto de los números reales, página 38.

Z El conjunto de los números enteros, página 38.

301


Zn Conjunto de los enteros módulo n, página 124.

P(A) Conjunto potencia de A, página 19.

P2(B) Subconjuntos de B con 2 elementos, página 81.

U Universo de discurso, página 29.

r Resta de conjuntos, página 28.

⊂ Símbolo de contenencia propia, página 13.

⊆ Símbolo de contenencia, página 11.

( Símbolo de contenencia propia, página 13.

n Natural visto como entero, página 206.

∅ El conjunto vacío, página 14.

∨ Disyunción (“ó”), página 21.

{} El conjunto vacío, página 14.

c Operación de complemento, página 29.

A×B Producto cartesiano, página 42.

A2 El producto cartesiano entre A y A, página 42.

Cmp(R) Campo de una relación, página 156.

Da Conjunto de divisores de a, página 104.

Dom(R) Dominio de una relación, página 155.

IdA La relación identidad sobre A, página 155.

Im(R) Imagen de una relación, página 155.

M/∼ Conjunto cociente, página 193.

Resd(a) Residuo de a módulo d, página 102.

X/E Conjunto cociente, página 194.

∼= Isomorfismo, página 77.


≡n Congruencia módulo n, página 119.

∃ Cuantificador existencial (“existe”), página 14.

∀ Cuantificador universal (“para todo”), página 10.

N∗ El conjunto de los números naturales positivos, página 38.

¬ Negación (“no”), página 29.

∏ Producto generalizado, página 112.

→ Símbolo de implicación (“Si... entonces...”), página 10.

∑ Notación sigma para sumas, página 75.

ϕ(n) Función Phi de Euler, página 129.

Bibliografía

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[2] Peter J. Cameron: Sets, Logic and Categories 1a. ed. Springer (1998).

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[6] J. Donald Monk: Introduction to Set Theory 1a. ed. McGraw Hill (1969).

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305

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