Econometría Financiera Enero Mayo de 2007 - mty.itesm.mx · © 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA...
-
Upload
truongnguyet -
Category
Documents
-
view
227 -
download
3
Transcript of Econometría Financiera Enero Mayo de 2007 - mty.itesm.mx · © 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA...
1
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Econometría FinancieraEnero Mayo de 2007
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Introducción
• ¿Qué es la econometría?• ¿Por qué es importante?• ¿Cómo impacta en la toma de decisiones
financieras?
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Algunas aplicaciones
• Costo de Capital (CAPM, APT)• Tipo de cambio, tasas de interés, inflación• Relación entre el IPC e índices de mercados
financieros internacionales • Modelación del Spread en función volumen,
tamaño de la empresa, sector industrial• Estimar la probabilidad de que un empresa se
vuelva pública (en función de sus variables financieras)
2
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Algunas aplicaciones
• Interrelación entre variables económicas y financieras de México con las de otras economías (Inflación en México vs. Inflación en Estados Unidos, Tipos de Cambio, etc.)
• Estimar la probabilidad de que una empresa mexicana emita un ADR (en función de sus características financieras)
• Teoría de administración de portafolios (Rendimiento esperado de un portafolio como función de la desviación estándar de su rendimiento – riesgo -)
• Valor de una acción en función de variables del mercado real (participación de mercado, inversión en IyD, nivel de ventas, utilidades, anuncio de dividendos, etc.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Elementos Estadísticos Básicos
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Panorama General
3
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Panorama general
ANALISIS DE REGRESION
Diagrama de Dispersión
Satisfacción
Regresión:- Lineal Simple- Lineal Múltiple
Y= βo + β1 X1 + ...+ βk Xk+ ε
-Modelos Transversales o “Cross-Seccionales”-Modelos de Series de Tiempo
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis TransversalVentas Publicidad15.64 524.67 1022.19 7.815.65 411.8 2.212.53 314.47 3.318.48 6.221.88 6.817.35 5.921.55 7.110.54 1.824.17 9.212.45 2.6513.68 3.7615.7 4.422.74 8.319.76 615.65 4.321.33 6.2
Los siguientes datos representan las ventas anuales de 20 centros de distribución de una compañía embotelladora de refrescos de cola.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis Transversal
10.0
15.0
20.0
25.0
0.0 3.3 6.7 10.0
Ventas vs. Publicidad
Publicidad
Ven
tas
4
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de Series de TiempoP.Cierre Tiempo
20.5 115.4 216.9 313.4 48.8 5
22.1 614.3 719.6 812.7 97.8 10
23.3 1119.2 1220.8 1315.6 145.4 15
24.1 1612.6 17
17 1811.8 199.2 20
28.6 2116.8 2218.4 2315.9 249.9 25
Los siguientes datos representan el precio de cierre de una acción. El registro se hizo al final de cada una de las 25 semanas de análisis.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Diagramas de series de tiempo
5.0
11.3
17.5
23.8
30.0
0.9 2.4 3.9 5.4 6.9Time
Prec
iode
Cie
rre
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Distribuciones de frecuencias
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
5.0 11.3 17.5 23.8 30.0Precio de Cierre
Frec
uenc
ia
5
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Estimadores (Estadísticos)
• Medidas de Tendencia CentralMedia, Mediana y Moda
• Medidas de DispersiónVarianza y Desviación Estándar
• Medidas de PosiciónCuartiles y Percentiles
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Estimadores (Estadísticos)
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Estimadores (Estadísticos)
6
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
• Una variable aleatoria es una función de números reales que resulta de hacer transformaciones sobre algún espacio muestral, esto es, cuando posibles eventos del espacio muestral se transforman en números reales, se construye una variable aleatoria.
• Una distribución de probabilidad resulta cuando a cada valor de la variable se le asigna su probabilidad de ocurrencia correspondiente.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• El SAT reembolsa de manera automática los excedentes retenidos a sus contribuyentes que son personas físicas. Se sabe que la devolución automática se hace efectiva sólo en el 60% de los casos. Si tres personas físicas (con saldo a favor) harán su declaración, encuentra la distribución de probabilidad del número de personas (de las tres) que recibirán el reembolso de manera automática. Encuentra la probabilidad de que al menos dos de ellas lo reciban.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Media y Varianza de una variable aleatoria
• La media de una v.a. está dada por:
• La varianza de una v.a. está dada por:
E X( ) = µ = x P X = x( )∀x∑ E X( ) = µ = x f x( )dx
∀x∫
E X − µ( )2 = σ2 = E X2( )− µ 2 = x2 P X = x( )∀x∑
E X2( )1 2 4 4 3 4 4
− µ2
E X − µ( )2 = σ2 = E X2( )− µ 2 = x2 f x( )dx∀x∫
E X 2( )1 2 4 3 4
− µ 2
7
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Propiedades de E(X) y Var(X)
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )2
0
E a a
E aX aE X
E aX bY cZ aE X bE Y cE Z
Var a
Var aX a Var X
=
=
+ + = + +
=
=
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2Var aX bY cZ a Var X b Var Y c Var Z+ + = + + +
( ) ( ) ( )2 , 2 , 2 ,abCov X Y acCov X Z bcCov Y Z+ +
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Propiedades de E(X) y Var(X)
( ) ( )( ) ( )
,,
Cov X YCorr X Y
Var X Var Y=
( ) ( )( ) ( ), Y Y X YCov X Y E X Y E XYµ µ µ µ= − − = −
Donde:
y en términos muestrales:
( )( ) ( )( )
( ) ( )
1ˆ ,1
ˆ ,ˆ ,
n
i ii
x y
x y n x yCov X Y
nCov X Y
Corr X Ys s
=
−=
−
=
∑
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• Resolver el ejercicio 2.4 del libro de texto. Encontrar además la media, varianza, desviación estándar y mediana de la variable aleatoria.
• Resolver el ejercicio 2.19 del libro de texto.• Comprobar además que
(donde a y b son constantes)
2( ) ( )Var a bX b Var X+ =
8
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2Var aX bY cZ a Var X b Var Y c Var Z+ + = + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 ,Var aX bY a Var X b Var Y abCov X Y+ = + +
Comprueba que:
( ) ( ) ( )2 , 2 , 2 ,abCov X Y acCov X Z bcCov Y Z+ +
Agrega este ejercicio a la Tarea 1:
Comprobar que:
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Distribución Normal
La distribución normal es muy importante en la estadística debido a que muchos eventos están regidos, probabilísticamente, por esta distribución. Por otro lado, gran parte de la teoría para hacer inferencias estadísticas se ha desarrollado bajo supuestos de normalidad sobre la población bajo estudio.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Distribución Normal
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria normal, con media µ y desviación σestá dada por:
( )2
21
−
= σµ
σπ
x
exf12
9
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Distribución Normal
La forma de la gráfica es la siguiente:
µx
f ( x )
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Distribución Normal
µ x
Uso de la tabla para el cálculo de probabilidades asociadas a una variable aleatoria normal
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Distribución Normal
Si X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad normal con media µ y desviación estándar σ y Z es una variable aleatoria con distribución normal con media 0 y varianza 1 (distribución normal estándar) entonces:
( )P P Pa X b a ba X b Zµ µ µ µ µσ σ σ σ σ− − − − − ≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤
10
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• Si Z es una variable aleatoria con distribución de probabilidad normal estándar, determina:
Pr (Z > 1)Pr (-1.5<Z<1.8)Pr (Z > -0.95)Encuentra el valor de Z* tal que Pr (Z>Z*)=0.1
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• Una sociedad de inversión tiene un portafolio de acciones cuyos rendimientos anuales siguieron una distribución normal con una media de 15.7% y una desviación estándar de 9.6%.
Encuentra la proporción de acciones que tuvieron rendimientos mayores al 15%.Encuentra la proporción de acciones que tuvieron rendimientos mayores al 20%.Calcula la proporción de acciones que tuvieron rendimientos negativos.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• Un inversionista está considerando tres portafolios de acciones con diferentes rendimientos y riesgos. Se estima que los rendimientos anuales de cada opción se pueden modelar mediante tres distribuciones normales con rendimientos promedio y desviaciones estándar tal y como se muestran a continuación:
• Media Desviación estándar• Portafolio A 15% 9%• Portafolio B 13% 7%• Portafolio C 10% 5%• El inversionista desea invertir su capital en el portafolio que
tenga mayores probabilidades de obtener rendimientos por encima de la tasa de inflación esperada, la cual se estima en 4%. Con base en lo anterior, determina en qué portafolio debe invertir.
11
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
¿Cómo saber si los datos de una muestra siguen una distribución de probabilidad normal?
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Distribución de probabilidad normal
Un criterio muy sencillo para determinar si una variable aleatoria tiene una distribución de probabilidad normal es el siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )sxsxxsxsx 3 3 ++−−
( )sx 2− ( )sx 2+
68%95%99%
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Prueba Jarque-Bera para verificar Normalidad
( )22 ˆ 3ˆ
6 24k
KSJB n − = +
( )
( )
( )( )
23
32
4
22
k
E XS
E X
E XK
E X
µ
µ
µ
µ
− = −
−=
−
donde:
12
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Prueba Jarque-Bera para verificar Normalidad
( )( )
3
4 4
0
3
E X
E X
µ
µ σ
− =
− =
Para una variable aleatoria distribuida normalmente:
Por lo que, bajo el principio de normalidad:
03
kSK
=
=
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Prueba Jarque-Bera para verificar Normalidad
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
23
32
4
22
1ˆ
1
1ˆ
1
i
k
i
i
i
X Xn
SX X
n
X Xn
KX X
n
− − = − −
−−
= − −
∑
∑
∑
∑
En función de la muestra:
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Prueba Jarque-Bera para verificar Normalidad
( )22
22
ˆ 3ˆ sigue una distribución
6 24k
KSJB n χ − = +
Para muestras grandes:
¿Bajo que condiciones se debe rechazar que:
Ho: La variable bajo estudio sigue una distribución Normal?
13
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio P.Cierre Tiempo20.5 115.4 216.9 313.4 48.8 5
22.1 614.3 719.6 812.7 97.8 10
23.3 1119.2 1220.8 1315.6 145.4 15
24.1 1612.6 17
17 1811.8 199.2 20
28.6 2116.8 2218.4 2315.9 249.9 25
Los datos que se analizaron anteriormente, y que se presentan a continuación, ¿siguen una distribución de probabilidad normal?
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Prueba Jarque-Bera para verificar Normalidad
0
2
4
6
8
5 10 15 20 25 30
Series: PCIERRESample 1 25Observations 25
Mean 16.00400Median 15.90000Maximum 28.60000Minimum 5.400000Std. Dev. 5.607768Skewness 0.146333Kurtosis 2.587121
Jarque-Bera 0.266795Probability 0.875117
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de Regresión Lineal Simple
14
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de Regresión
• En Estadística existen muchos problemas en los que deseamos modelar y entender el efecto que una o más variables tienen sobre alguna variable de interés
• Áreas como negocios, educación, economía, finanzas y calidad, entre otras, requieren respuesta a preguntas sobre relaciones entre variables.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de Regresión
• El objetivo del análisis de regresión es modelar, estadísticamente, la contribución o impacto que una o más variables explicatorias pudieran tener sobre alguna variable de interés.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Proceso de construcción de modelos de regresión
Observación de la realidadObservación de la realidad
Clasificación de las observacionesClasificación de las observaciones
Construcción del modelo más eficienteConstrucción del modelo más eficiente
Inferencia sobre la realidadInferencia sobre la realidad
15
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Modelos de regresión
• Con un modelo de regresión buscamos inferir sobre el proceso que generó los datos y, por consecuencia, el modelo a seleccionar será una representación ideal del proceso.
• Los modelos de regresión nos permitirán cuantificar la relación que existe entre dos o más variables
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
La realidad bajo estudio(Modelos transversales)
Realidad
Ventas
CompetidorPrecio
PromocionesEstrategias paramejorar el servicio
Informaciónmuestral
Representaciónde la
realidad
∈+++++= KK XXXY ββββ K22110 KK XXXY ββββ ˆˆˆˆˆ22110 ++++= K
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
La realidad bajo estudio(Modelos de Series de Tiempo)
Realidad
Rendimiento
CETESDeuda
Valor de Mercado.
Utilidades
Informaciónmuestral
Representaciónde la
realidad
0 1 1 2 2t t K Kt tY X X Xβ β β β= + + + + +∈K0 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆt t K KtY X X Xβ β β β= + + + +K
16
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Algunas aplicaciones
• Costo de Capital (CAPM, APT)• Tipo de cambio, tasas de interés, inflación• Relación entre el IPC e índices de mercados
internacionales • Modelación del Spread en función volumen,
tamaño de la empresa, sector industrial• Estimar la probabilidad de que un empresa se
vuelva pública (en función de sus variables financieras)
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Algunas aplicaciones
• Interrelación entre variables económicas y financieras de México con las de otras economías (Inflación en México vs. Inflación en Estados Unidos, Tipos de Cambio, etc.)
• Estimar la probabilidad de que una empresa mexicana emita un ADR (en función de sus características financieras)
• Teoría de administración de portafolios (Rendimiento esperado de un portafolio como función de la desviación estándar de su rendimiento – riesgo -)
• Valor de una acción en función de variables del mercado real (participación de mercado, inversión en IyD, nivel de ventas, utilidades, anuncio de dividendos, etc.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
representa la aleatoriedad del mundo de los negocios. Porsimplicidad llamaremos a error aleatorio
Representaciones sencillas de la realidad
Ventas
Inversión en publicidad
Demanda
Precio
∈∈
17
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Representaciones sencillas de la realidad
En los dos casos anteriores, en los que estamos relacionando a las ventas con una variable, hablamos de un modelo de regresión lineal simple:
∈++= XY 10 ββ
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Características estadísticas del error aleatorio
Los errores aleatorios:a) Son no correlacionados entre sí(independientes bajo el supuesto de normalidad)b) Tienen media ceroc) Tienen varianza constanted) Están distribuidos normalmente• Es importante resaltar que (variables independientes) son controladas por el investigador.
KXXX K,, 21
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Características del modelo
Debe ser claro entonces que el modelo está compuesto de:
lo cual tiene el siguiente significado:
∈+++++= KK XXXY ββββ K22110
Parte fija Parte aleatoria
18
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Consideraciones estadísticas del modelo de regresión
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Objetivo del análisis
La finalidad de esta metodología de análisis es construir el modelo, en función de información muestral, que mejor represente a la realidad bajo estudio.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Metodología de análisis
a) Identificar las variables que pudieran estar relacionadas con nuestra variable de interés
b) Proponer un modelo que capte la relación entre las variables
c) Estimar los parámetros del modelo propuesto en función de la información muestral disponible
d) Verificar la validez estadística del modelo construido y el cumplimiento de las propiedades de los errores
e) Verificar que no existan variables redundantes o no significativas en el modelo
19
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Técnica de estimación
Se usará la técnica de estimación de mínimos cuadrados ordinarios, que consiste en estimar a los parámetros del modelo, bajo el criterio de minimizar la suma de los cuadrados de los residuales.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
1 1
11 2
2 1
1
0 1
ˆ
ˆ
n n
i ini i
i ii
n
ini
ii
x yx y
n
xx
n
Y X
β
β β
= =
=
=
=
−
=
−
= −
∑ ∑∑
∑∑
Estimadores de mínimos cuadrados
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Técnica de estimación
∈+++++= KK XXXY ββββ K22110
verdaderoModelo
Información muestralInformación muestral
kK XXXY ββββ ˆˆˆˆˆestimado Modelo
22110 ++++= K
20
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• Para los datos que se muestran a continuación determina:
El modelo de MCOInterpreta el significado de los resultados obtenidos¿existe una aparente relación entre el comportamiento de las ventas de la industria a nivel mundial con las ventas de la empresa?
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
Año Trimestre Ventas de HYLSA (en millones) Ventas de la industria (mdm)1998 1 83.8 31.8
2 85.6 32.53 87.8 33.24 86.1 32.4
1999 1 89.6 33.82 91 34.33 93.9 35.34 91.8 34.5
2000 1 96.4 36.42 96 36.33 98.2 37.14 97.2 36.6
2001 1 100.1 37.62 102.6 38.33 105.4 39.34 102.9 38.5
2002 1 110.1 41.12 111.1 41.43 113.4 43.14 111.9 42.2
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
Dependent Variable: HYLSAMethod: Least SquaresDate: 08/17/05 Time: 21:58Sample: 1998:1 2002:4Included observations: 20
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -2.407886 1.460328 -1.648866 0.1165INDUSTRIA 2.722656 0.039539 68.86021 0
R-squared 0.996218 Mean dependent var 97.745Adjusted R-squared 0.996008 S.D. dependent var 9.275121S.E. of regression 0.58601 Akaike info criterion 1.863681Sum squared resid 6.181346 Schwarz criterion 1.963254Log likelihood -16.63681 F-statistic 4741.729Durbin-Watson stat 1.262794 Prob(F-statistic) 0
21
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de los residuales
Recordemos que el error aleatorio, , forma parte del modelo verdadero y constituye la aleatoriedad e incertidumbre que rodea a los fenómenos que estudiamos.Vamos a tratar de aproximarnos a los errores aleatorios a través de los residuales
∈
( )∈( )yye ˆ−=
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de los residuales
Para verificar el cumplimiento de las características estadísticas de los errores vamos a analizar el comportamiento de los residuales.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de los residuales
Para verificar la normalidad tenemos que construir la distribución de frecuencias de los residuales y realizar una prueba formal (JB)
Frecuencias
Residuales0
22
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de los residualese
0y
Comportamientoadecuado
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de los residuales
y
e
0Varianza no
constante
¿Qué pruebas formales podemos hacer para verificar que la media de los residuales es cero y que la varianza es constante?
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de los residuales
y
e
0
No hay independencia
entre losresiduales
(modelo nolineal)
23
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de los residuales
• Prueba Durbin Watson para verificar correlación de orden uno.
• Una prueba más general es la construcción de un correlograma ya que permite determinar correlaciones de órdenes mayores.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Diagnóstico del modelo
( ) ( ) ( )2 22
1 1 1
ˆ ˆn n n
i i i ii i i
Y y Y y Y Y= = =
− = − + −∑ ∑ ∑
SST SSR SSE
Mide la variabilidad total de las
observaciones
Mide la variabilidad contenida o
captada por el modelo de regresión
Mide la variabilidad que
no es captada por el modelo de
regresión
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Diagnóstico del modelo
2
1
(coeficiente de determinación)
eT r
T T T
er
T T
r
T
SSSS SSSS SS SS
SSSSSS SSSSRSS
= +
= +
=
24
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Diagnóstico del modelo
10 2 ≤≤ R El coeficiente de determinación es un indicador de la calidad del modelo construido, ya que mide el porcentaje de la variabilidad que es captada por el modelo de regresión.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Diagnóstico del modelo construido
Tenemos que determinar si el modelo construido es estadísticamente significativo. Lo anterior significa que debemos determinar si al menos una de las variables explicatorias (en el caso de un modelo de regresión múltiple) está relacionada con la variable principal. Para lograr lo anterior vamos a realizar una comparación estadística entre SSr y SSe a través del análisis de varianza.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Importancia de las variables dentro del modelo
Diremos que alguna de las variables independientes no es importante para explicar el comportamiento de Y, cuando su coeficiente en el modelo, ,sea estadísticamente cero.
( )β
25
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Importancia de las variables dentro del modelo
Una vez que se ha determinado que una o más variables independientes no son estadísticamente importantes para explicar el comportamiento de Y, tenemos que construir un nuevo modelo, pero esta vez sólo con las variables, estadísticamente, importantes.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Inferencias sobre el modelo de regresión
• Antes que nada debemos determinar la distribución de probabilidad de los parámetros estimados:
( ) ( )2
1 1 1 1ˆ ˆ ˆ,
XX
N E VarSσβ β β β
= =
( ) ( )2
20 0 0 0
1ˆ ˆ ˆ,XX
XN E Varn S
β β β β σ
= = +
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Inferencias sobre el modelo de regresión
1 2, 2 1 1 2, 2ˆ ˆe e
n nXX XX
MS MSt tS Sα αβ β β− −
− < < +
1β
0β
Intervalo de confianza para
Intervalo de confianza para
2 2
0 2, 2 0 0 2, 21 1ˆ ˆ
n e n eXX XX
X Xt MS t MSn S n Sα αβ β β− −
− + < < + +
26
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Inferencias sobre el modelo de regresión
( ) ( ) ( )2 20 0
2, 2 2, 21 1ˆ ˆ
n e n eXX XX
X X X XY t MS E Y X Y t MS
n S n Sα α− −
− − − + < < + +
Intervalo de confianza para E(Y|X) es:
Intervalo de confianza para Y|X es:
( ) ( )2 20 0
2, 2 2, 21 1ˆ ˆ1 1n e n e
XX XX
X X X XY t MS Y Y t MS
n S n Sα α− −
− − − + + < < + + +
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• Realiza un diagnóstico detallado del modelo estimado anteriormente. ¿Se cumplen todos los supuestos estadísticos hechos sobre los errores aleatorios del modelo?
• Determina, con una confianza del 90%, el incremento en el nivel de ventas de la compañía si las ventas a nivel mundial de acero se incrementan en 1000 millones de USD.
• Si se ha pronosticado que las ventas de la industria para el primer trimestre de 2003 serán de 44 mil millones de dólares estima, con una confianza del 90%, el pronóstico de ventas para Hylsa y su nivel promedio de ventas.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Transformaciones a modelos lineales de regresión
¿Qué pasa si la relación entre Y y X no es lineal?
Y
X
••
••
•••
•
( ) ∈++= xnY l10 ββ
27
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Transformaciones a modelos lineales de regresión
Y
X
∈++=
∈++=
xeYó
XY
10
210
ββ
ββ
••
••
•
•
••
••
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Transformaciones a modelos lineales de regresión
Y
X
•
•
•
•
••
••
∈+
+=
xY 1
10 ββ•
•
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Cálculo de Elasticidades
• La elasticidad es una medida que permite saber la variación de la variable de respuesta, en términos porcentuales, a medida que la variable explicatoria varía en una unidad porcentual.
• En otras palabras:
YYE XX
∂=
∂
28
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de Regresión Lineal Múltiple
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Modelo General
• El modelo general se escribe de la siguiente manera:
• Cada observación es entonces modelada de la siguiente manera:
Y = β0 + β1X 1 + β2X 2 +...+ βk X k +ε
Y1 = β0 + β1X 11 + β2X 12 +K+β k X 1k + ε1Y2 = β0 + β1X 21 + β2X 22+K+βk X 2k + ε2M
Yn = β0 + β1X n1 + β2X n 2+K+βk X nk + εn
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Modelo Ajustado
• El modelo general se escribe de la siguiente manera:
• Cada observación es entonces modelada de la siguiente manera:
0 1 1 2 2 k ˆ ˆ ˆ ˆ + + +...+ +kY X X X eβ β β β=
1 0 1 11 2 12 k 1 1
2 0 1 21 2 22 k 2 2
n 0 1 1 2 2 k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
k
k
n n nk n
Y X X X e
Y X X X e
Y X X X e
β β β β
β β β β
β β β β
= + + + + +
= + + + + +
= + + + + +
K
K
M
K
29
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Estimación
• Estimaremos los parámetros mediante la técnica de Mínimos Cuadrados Ordinarios (Minimizar la suma de los cuadrados de los residuales)
( )2
2i 0 1 1 2 2 k
1 1
n n
i i i i ki i
e Y X X Xβ β β β= =
= − − − − −∑ ∑ K
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Forma Matricial
• El modelo general y ajustado, en forma matricial, se escriben como sigue:
Y1Y2M
Yn
=
1 X 11 X 12 K X 1k1 X 21 X 22 K X 2kM M M M M
1 X n1 X n 2 K X nk
β 0β1β2M
βk
+
ε1ε2M
εn
0
11 12 1 111
21 22 2 22
2
1 2n
k
ˆ1 ˆ1
ˆ
1 ˆ
k
k
n n nk n
X X X eYX X X eY
X X X eY
β
β
β
β
= +
K
K
M M M M M MMM
K
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Estimación en Forma Matricial
• El modelo matricial reducido: ˆ eβ= +Y X% %%
( )
1
2 2 2 21 2 1 2
Tn n
n
ee
e e e e e e e e
e
= = + + +
K KM% %
ˆe β= −Y X%% %
( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ ˆTT T T Te e β β β β= − − = − −Y X Y X Y X Y X
% % % %% % % % % %ˆ ˆ ˆ ˆT T T T T T Te e β β β β= − − +Y Y Y X X Y X X
% % % %% % % % % %
30
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Estimación en Forma Matricial
• Finalmente
• ya que
• Debe entonces ser claro que deseamos Min Q.
ˆ ˆ ˆ2T T T T TQ e e β β β= = − +Y Y Y X X X% % %% % % % %
ˆ ˆT T Tβ β=Y X X Y% %% %
( ) ( )ˆ ˆ ˆ2 2 2 0ˆ ˆTT T T T T TQ∂ ∂ β β β β
∂β ∂β= − + = − + =Y Y Y X X X Y X X X
% % %% %
( ) ˆ ˆ2 2 2 2 0TT T T Tβ β− + = − + =Y X X X X Y X X
% %
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Estimación en Forma Matricial
• Que al simplificar:• Debe ser claro entonces que nuestros
estimadores están dados por:
ˆT Tβ =X X X Y%%
( ) 1ˆ T Tβ−
= X X X Y%%
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Representación Gráfica
X2
X1
Y
22110 XˆXˆˆ Y βββ ++=
31
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Características estadísticas del error aleatorio
Los errores aleatorios:a) Son independientes entre síb) Tienen media ceroc) Tienen varianza constanted) Están distribuidos normalmente• Es importante resaltar que (variables independientes) son controladas por el investigador.
KXXX K,, 21
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Diagnóstico del modelo
( ) ( ) ( )2 22
1 1 1
ˆ ˆn n n
i i i ii i i
Y y Y y Y Y= = =
− = − + −∑ ∑ ∑
SST SSR SSE
Mide la variabilidad total de las
observaciones
Mide la variabilidad contenida o
captada por el modelo de regresión
Mide la variabilidad que
no es captada por el modelo de
regresión
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
De forma matricial
2 2
1
n
T ii
SS Y nY=
= −∑
2ˆ TRSS nYβ= −TX Y
( )2 2 2 2
1 1
ˆ ˆ ˆn n
T T Te T R i i
i iSSR
SST
SS SS SS Y nY nY Yβ β β= =
= − = − − − = − = −∑ ∑T T T TX Y X Y Y Y X Y144244314243
32
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Análisis de varianza
Fuente devariación
Modelo de regresión
Residual
Total
Suma decuadrados
SSR
SSe
SST
GL
K
n-K-1
n-1
Media de cuadrados
−−−−−−−−−−−
=
=
1knSS
MS
KSS
MS
ee
RR
F
−−−−−−
−−−−−−
=e
R
MSMSF0
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• Los siguientes datos representan el nivel de ventas de la cadena de tiendas departamentales SEARS en Estados Unidos, de 1982 al 2002.
• a) Estima el modelo de MCO• b) Con una confianza del 90%, ¿podemos
afirmar que el modelo es significativo?• c) Con una confianza del 90% ¿Podemos decir
que todas las variables son significativas?
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
EjercicioVentas Ingreso Porc.Desempleo330.7 7.8114286 4.4355.6 8.3228571 4.1360.1 8.7685714 4.3372.1 9.06 6.8403.6 9.6028571 5.5413.4 9.9828571 5.5426.8 10.368571 6.7457.8 10.968571 5.5509.3 11.508571 5.7571.6 12.485714 5.2635.7 13.491429 4.5676.9 14.582857 3.8729.6 15.557143 3.8817.8 16.802857 3.6884.4 18.011429 3.5925.1 19.597143 4.9
1000.6 21.222857 5.91120 22.894286 5.61250 25.802857 4.9
1310.1 28.102857 5.61364 30.762857 8.5
33
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Pruebas de hipótesis
• Para probar hipótesis que involucran uno o dos parámetros, una forma sencilla de proceder es a través de la construcción del estadístico T.
• Para el caso de hipótesis que involucran más de dos parámetros, una forma de proceder es a través de la construcción del estadístico:
( )
( )
Re Re
0Re
Re
No. de Restriccionese stringido eSin stricción
eSin stricción
Sin stricción
SS SSF SS
n p
−
=
−
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• Para el ejercicio anterior, con una confianza del 90%, ¿podemos afirmar que un decremento de 2% en la tasa de desempleo, tiene el mismo impacto en las ventas de la compañía que el incremento en 1000 dólares del ingreso promedio anual?
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Inferencias sobre la variable de respuesta
• Para hacer inferencias sobre ( ) y sobre Y x E Y x% %
( ) ( )1 1
/2, /2, ˆ ˆ1 1T T T T
n p n pY t MSe x x Y x Y t MSe x xα α
− −
− − − + < < + +
X X X X% % % % %
( ) ( ) ( )1 1
/ 2, / 2, ˆ ˆT T T T
n p n pY t MSe x x E Y x Y t MSe x xα α
− −
− − − < < +
X X X X% % % % %
34
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• Con una confianza del 90%, estima el nivel de ventas de la compañía y el nivel promedio, si el nivel de ingreso promedio es de 32,000 dólares y la tasa de desempleo es del 6.7%.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Medición de la contribución marginal de nuevas variables explicatorias en el modelo
• Bajo la hipótesis nula de que las nuevas variables no son significativas y partiendo de que todas las condiciones estadísticas establecidas para los errores se cumplen para los residuales, entonces la siguiente expresión tiene una distribución de probabilidad F:
( )
( )0
No. Regresores NuevosRNuevo ROriginal
eNuevo
Nuevo
SS SS
F SSn p
−
=
−
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• Para el ejercicio anterior, considera que inicialmente sólo se considero en el modelo el nivel de ingreso. Desde este punto de partida, determina, con una confianza del 90%, si agregar la variable desempleo genera un incremento significativo en la suma de cuadrados de la regresión.
35
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Variables Categóricas/Cualitativas
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Variables cualitativas
Sí es necesario incluir en el modelo de regresión variables cualitativas lo tenemos que hacer bajo la siguiente metodología:Si una variable cualitativa cualquiera tiene Q niveles, entonces debemos agregar en el modelo Q-1 variables de regresión.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Variables cualitativas
VariableTrimestreVariableTrimestre
Niveles•T1•T2•T3•T4
Niveles•T1•T2•T3•T4
Forma de representarla en el modelo de regresión
D1 D2 D31 0 00 1 00 0 10 0 0
Forma de representarla en el modelo de regresión
D1 D2 D31 0 00 1 00 0 10 0 0
Por ejemplo si una variable explicatoria de las ventas es la estación del año:
36
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Variables cualitativas
• Suponiendo que Y representa el rendimiento de acumulado de una acción, trimestralmente, X1 representa el nivel acumulado de ventas de la compañía durante el trimestre y que X2 corresponde al desempeño promedio del mercado financiero de manera trimestral y que además se desea determinar si existe o no una variación significativa en el comportamiento de la variable dependiente en función del trimestre. En función de lo anterior determina la forma funcional del modelo que representa cada trimestre:
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Variables cualitativas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0 1 1 2 2 3 1 4 2 5 3
6 1 1 7 2 1 8 3 1
9 1 2 10 2 2 11 3 2
Y X X D D DD X D X D X
D X D X D X
β β β β β ββ β β
β β β ε
= + + + + + +
+ + +
+ + +
La representación completa del modelo es:
A partir de la cual se puede determinar la estructura para cada trimestre.
Indica la forma en que determinarías si todas las estructuras son estadísticamente iguales.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
• Para el siguiente caso, encuentra los estimadores de MCO del modelo que tome en cuenta, además del comportamiento de las ventas de la industria del acero a nivel mundial, la variación que pudiera ocasionarse de un trimestre a otro.
• Con una confianza del 90%, ¿podemos afirmar que la estructura para cada trimestre es la misma?
37
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Ejercicio
Año Trimestre Ventas de HYLSA (en millones) Ventas de la industria (mdm)1998 1 83.8 31.8
2 85.6 32.53 87.8 33.24 86.1 32.4
1999 1 89.6 33.82 91 34.33 93.9 35.34 91.8 34.5
2000 1 96.4 36.42 96 36.33 98.2 37.14 97.2 36.6
2001 1 100.1 37.62 102.6 38.33 105.4 39.34 102.9 38.5
2002 1 110.1 41.12 111.1 41.43 113.4 43.14 111.9 42.2
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Violación de los supuestos estadísticos del modelo de Regresión Lineal
MulticolinealidadHeteroscedasticidad
Autocorrelación
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Multicolinealidad
38
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Multicolinealidad
• El problema de la Multicolinealidad se presenta cuando las variables independientes, en un modelo de regresión múltiple, están relacionadas. El problema evidente se da en el proceso de estimación. ¿Por qué?
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Algunos problemas inducidos por la multicolinealidad
• Los estimadores de MCO tienen varianzas y covarianzas que generalmente son muy grandes; ¿por qué?
• Como consecuencia de lo anterior los intervalos de confianza tienden a ser muy amplios. ¿Qué implicaciones tendría esto?
• Los estimadores y sus errores estándar tienen a ser muy sensibles ante cambios en los datos
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Multicolinealidad
• Alto valor en el coeficiente de determinación pero sólo algunos estadísticos t son significativos
• Correlaciones altas (mayores a 0.8) en parejas de variables explicatorias
• Coeficiente parcial de determinación (obtenido de una regresión auxiliar) mayor que el coeficiente de determinación total (indicando que esa variable explicatoria es colineal a otras variables explicatorias)
• Factor de inflación de la varianza (VIF) mayor que 10 (esto pasaría si el coeficiente de determinación parcial es mayor que 0.9)
39
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Multicolinealidad
• Es importante tener en cuenta que:
2 iRCorresponde al coeficiente parcial de determinación al correr la regresión en la que
es la variable dependiente y el resto de las variables las independientes
iX
• Por otro lado, el Factor de Inflación de la Varianza (VIF) está dado por:
2
11i
i
VIFR
=−
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Algunas formas de remediar el problema de la Multicolinealidad
• Combinación de datos cross seccionales con series de tiempo
• Combinación de variables • Transformación de variables. Trabajar con la
primera diferencia podría ayudar a eliminar el problema de la multicolinealidad. Un problema que podría inducirse es la violación de los supuestos estadísticos en la parte aleatoria del modelo (para series de tiempo).
• ¿El caso de sears, presenta un problema serio de multicolinealidad?
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Algunas formas de remediar el problema de la Multicolinealidad
• Algunas veces, por error, se tiende a eliminar alguna o algunas de las variables relacionadas con otras. En estos casos se puede inducir, con una alta probabilidad, el problema de omisión de variables, lo que resultaría en realizar estimaciones sesgadas de los parámetros ¿Por qué?
• El problema de la omisión de variables puede ser detectado a través de la prueba de Ramsey: RESET (REgression Specification Error Test) Es importante mencionar que esta prueba también nos permite detectar formas funcionales incorrectas en el modelo propuesto.
40
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Prueba RESET de Ramsey
• La idea central es:
• Realizar el ejercicio seleccionado.
0 1 1 2 2t t t tY X Xβ β β ε= + + +
0 1 1 2 2
2 30 1 1 2 2 1 2
ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆt t t
t t t t t t
Y X X
Y X X Y Y
β β β
β β β α α ε
= + +
= + + + + +
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Heteroscedasticidad
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Heteroscedasticidad
• Sabemos que el problema de la heteroscedasticidad se presenta por no tener una variabilidad constante en la parte aleatoria del modelo de regresión y, como consecuencia, en la variable de respuesta. Algunas fuentes de la heteroscedasticidad pueden ser:
La presencia de características específicas que deben ser controladas; la ocurrencia de eventos; la presencia de puntos atípicos; modelos mal especificados (por omisión de variables o por error en la especificación de la forma funcional)
41
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Heteroscedasticidad
• Las estimaciones de los parámetros de un modelo de regresión en el que las varianzas de los errores no son constantes son insesgadas pero no son de mínima varianza, lo que conduce a construir intervalos de confianza innecesariamente amplios.
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Heteroscedasticidad
( )ˆ ó y X
e
0
¿Qué pruebas formales podemos hacer para verificar que la varianza es constante?
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Heteroscedasticidad
Métodos FormalesPrueba de Park: Es una formalización del método gráfico y sugiere que la varianza es función de la variable explicatoria X, esto es:
Después de linealizar el modelo y estimar los parámetros, si α es estadísticamente significativa representaría evidencia a favor de que la heteroscedasticidad está presente en los datos. Parkpropone usar como proxi de la varianza.
20i i iX ασ α ν=
( )2ln ie
42
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Heteroscedasticidad
• Otras pruebas sugieren diferentes formas funcionales:
0
0
0
0
1
1
i i i
i i i
i ii
i ii
e X
e X
eX
eX
α α ν
α α ν
α α ν
α α ν
= + +
= + +
= + +
= + +
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Heteroscedasticidad
• La prueba de Goldfeld-Quandt equivale a comparar las varianzas de dos grupos de observaciones.
• Una de las pruebas más utilizadas es la prueba de White. Consideremos el modelo:
0 1 1 2 2i i i iY X Xβ β β ε= + + +
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Heteroscedasticidad
• White propone estimar los parámetros de la siguiente regresión auxiliar:
• Bajo la hipótesis nula de que no existe heteroscedasticidad se puede comprobar que
• Donde los GL equivalen al número de parámetros estimados en la regresión auxiliar (excluyendo el intercepto)
2 2 20 1 1 2 2 3 1 4 2 5 1 2i i i i i i i ie X X X X X Xα α α α α α ν= + + + + + +
2 2 tiene una distribución GLnR χ
43
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Corrección de la heteroscedasticidad
• Cuando es conocida el método de Mínimos Cuadrados Ponderados es una solución adecuada. Este procedimiento conduce a estimaciones insesgadas de mínima varianza.
• Cuando es desconocida una forma de resolver el problema es asumir algunos patrones o estructuras entre la varianza y las variables explicatorias.
2iσ
2iσ
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Corrección de la heteroscedasticidad
• Algunas estructuras:
( )
2 2 2
2 2
22 2
i i
i i
i i
X
X
E Y X
σ σ
σ σ
σ σ
=
=
=
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Corrección de la heteroscedasticidad
• Con frecuencia algunas transformaciones logarítmicas reducen la heteroscedasticidad:
1
1
0
0
XY e
Y X
β
β
β ε
β ε
=
=
44
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Autocorrelación
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Autocorrelación
• El problema de la autocorrelación surge en modelos de series de tiempo en los que la estructura aleatoria muestra correlación en diferentes instantes del tiempo. Lo anterior implica que:
( ), 0 1, 2,t t kCorr kε ε − ≠ ∀ = K
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Autocorrelación
• Algunas causas de la autocorrelación:Muchas variables económicas y financieras están sujetas a ciclos económicos, que explican tendencias hacia arriba o hacia abajo que, muchas veces, inducen autocorrelación (Series de Tiempo)Exclusión de variables. Forma funcional incorrectaEstimación de parámetros a partir de las primeras diferenciasInclusión, como variable (s) independiente (s), de observaciones rezagadas de la variable dependiente
45
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Autocorrelación
• Las estimaciones de los parámetros a partir de del método de MCO siguen siendo insesgadas, al igual que en el caso de la heteroscedasticidad, pero no son de mínima varianza. Sin pérdida de generalidad, consideremos una estructura autorregresiva de orden 1 para tratar de representar la forma de la asociación o dependencia. En esta estructura cumple con todas las condiciones estadísticas impuestas en el modelo clásico de regresión.
1t t tε ρε ν−= +
tν
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Autocorrelación
• Métodos Gráficos:Residuales (Residuales Estandarizados) vs. TiempoResiduales vs. Variables ExplicatoriasResiduales vs. Rezagos de los Residuales
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Autocorrelación
(ó )X t
e
0
No hay aleatoriedad
entre losresiduales
(modelo nolineal)
46
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Autocorrelación
• Métodos Formales:Prueba de las Corridas: n es el número total de residuales; n1 es el número de residuales positivos; n2 es el número de residuales negativos; k corresponde al número de corridas. Es posible demostrar que:
( )
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
1 2 1 2 1 22
1 2 1 2
2 1
2 21
n nE kn n
n n n n n nVar k
n n n n
= ++
− −=
+ + −
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Autocorrelación
• Si la hipótesis de la aleatoriedad se cumple entonces k, el número de corridas observadas en un problema, debe estar contenida en el siguiente intervalo:
• Lo anterior significa que la hipótesis sobre la aleatoriedad no se rechaza con una confianza del 95% si el valor observado de k estácontenido en el intervalo anterior.
( ) 1.96 kE k σ±
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Autocorrelación
• Prueba de Durbin-Watson: 122 1 t t
t
e ed
e−
≈ −
∑∑
Hipótesis Nula Decisión CondiciónNo autocorrelación positiva Rechazar 0<d<dLNo autocorrelación positiva Indecisión dL<=d<=dUNo autocorrelación negativa Rechazar 4-dL<d<4No autocorrelación negativa Indecisión 4-dU<=d<=4-dL
No autocorrelación (+ ó -) No rechazar dU<d<4-dU
47
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Autocorrelación
• Prueba de Breusch-Godfrey: Esta prueba es más general que la de DW ya que permite determinar si hay correlaciones de orden mayor.
• Empíricamente: 1) Estimar el modelo de regresión usando MCO. 2) Estimar el modelo de contra todas las variables explicatorias y todos los residuales rezagados, dependiendo del orden de la estructura autorregresiva (p)
1 1 2 2 3 3t t t t p t p tε ρ ε ρ ε ρ ε ρ ε ν− − − −= + + + + +K
te
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Detección de la Autocorrelación
• BG demostraron que bajo el cumplimiento de la hipótesis nula:
2 2 tiene una distribución de probabilidad pnR χ
0 1 2 3: 0pH ρ ρ ρ ρ= = = = =L
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Corrección de la Autocorrelación
• Cuando la estructura de la autocorrelación se conoce y se asume de orden 1, se debe transformar el modelo original de modo que se tome en cuenta la estructura asumida. Hecho lo anterior, se debe emplear el método de MCG para hacer la estimación de los parámetros.
• Cuando se desconoce: Uno de los métodos que con más frecuencia se utiliza para estimar es el método iterativo de Cochrane-Orcutt.
ρρ
48
© 2006 Osmar Zavaleta ECONOMETRIA FINANCIERA
Corrección de la Autocorrelación
• Una prueba alternativa, para estructuras autorregresivas de orden 1, es la de Cochrane-Orcutt, que consiste en estimar el modelousando MCO. Si asumimos una estructura AR(1):
la intención es estimar al coeficiente de correlación a través de y usar esta primera aproximación para estimar al modelo transformado en función de la estructura AR(1). Este proceso se lleva a cabo de manera iterativa hasta cumplir con algún criterio de terminación.
0 1t t tY Xβ β ε= + +
1t t tε ρε ν−= +1t t te eρ η−= +