ECONOMETRIÍA I/II EJERCICIOS UNIDAD V

I. TEST DE ESTABILIDAD ESTRUCTURAL

1. Se han obtenido datos anuales de 39 observaciones del período 1929-1967, para

Q = Un índice del PNB de EEUU en dólares constantes L = Un índice del input trabajo K = Un índice del input capital

La estimación de una función de producción para la totalidad del período proporciona los

resultados siguientes:

𝐿𝑛𝑄 = −3.8766 + 1.4106𝐿𝑛𝐿 + 0.41621𝐿𝑛𝐾

Con 𝑅2 = 0.9937 y 𝜎� = 0.03755

Las regresiones para los dos sub-periodos nos dan:

1929-1948

𝐿𝑛𝑄 = −4.0576 + 1.6167𝐿𝑛𝐿 + 0.2197𝐿𝑛𝐾

Con 𝑅2 = 0.9759 y 𝜎� = 0.04573

1949-1967

𝐿𝑛𝑄 = −1.9564 + 0.8336𝐿𝑛𝐿 + 0.6631𝐿𝑛𝐾

Con 𝑅2 = 0.9904 y 𝜎� = 0.02185

Verificar la estabilidad de los parámetros de esta función de producción en ambos sub-

periodos.

II. PROBLEMAS DE ESPECIFICACIÓN Y TEST DE ESPECIFICACIÓN

1. Se han realizado tres regresiones por MCO para explicar una variable 𝑌𝑖. Estas son: a) 𝑌𝑖 = �̂�2𝑋2𝑖 + 𝑢�𝑖 b) 𝑌𝑖 = �̂�3𝑋3𝑖 + 𝑣�𝑖 c) 𝑌𝑖 = 𝛾�2𝑋2𝑖 + 𝛾�3𝑋3𝑖 + 𝑤�𝑖

¿Qué características deben cumplir 𝑋2 y 𝑋3 para que �̂�2 = 𝛾�2 y para que �̂�3 = 𝛾�3? Demuestre con rigurosidad.

III. MULTICOLINEALIDAD

1. La tabla que se presenta a continuación muestra el PIB real, el stock de capital y el empleo de la economía española, durante el período 1974-1994

Los datos del PIB y del Stock de Capital están expresados en miles de millones de dólares de 1984. Los datos de empleo se expresan en millones de personas ocupadas. Con dicha información se pide:

a) Estimar una función de producción tipo Cobb-Douglas, utilizando como variables explicativas del producto al capital y al trabajo. La función de producción vendría dada por la siguiente ecuación:

𝑄𝑡 = 𝛽1𝐾𝑡𝛽2𝐿𝑡

𝛽3𝑒𝑢𝑡 (1)

b) Interpretar los principales resultados. Se espera que al menos obtenga e interprete lo siguiente: diagramas de dispersión, parámetros estimados, la varianza estimada de los errores, los errores estándar de los estimadores, el coeficiente de determinación múltiple y el coeficiente de determinación múltiple ajustado; la matriz de correlaciones simples; los intervalos de confianza para los parámetros; la prueba “t” y la prueba “F”; aplique además, una prueba de normalidad a los residuos.

PIB=Q Capital=K Trabajo=L9,7937 20,7870 11,113010,2285 21,2570 11,262011,0429 21,7270 11,424011,3861 22,2294 11,605012,0335 22,7317 11,810011,7738 23,2030 11,679011,8811 23,6742 11,504013,2206 24,2198 11,668014,4959 24,7653 11,891015,8725 25,5707 11,829016,9171 26,1899 11,891018,7007 27,9064 11,994020,7069 29,6230 12,118022,2000 31,9305 12,174024,0850 34,2380 12,280026,3838 36,7110 12,410028,5966 39,1840 12,539030,0748 41,8341 12,609032,6428 44,4842 12,642035,5308 47,8136 12,939037,3065 51,1434 12,9550

c) Utilice el modelo para estimar el producto (ojo, se pide estimar el producto, no su logaritmo) y compare los resultados con las observaciones reales. Obtenga las predicciones, los residuos y sus respectivos gráficos. Comente.

d) Pruebe las siguientes hipótesis adicionales: 1) la elasticidad trabajo producto y la elasticidad capital producto son iguales a 0.5; 2) la varianza de los residuos es igual a 0.001; 3) la elasticidad trabajo producto es igual a la elasticidad capital producto; 4) existen rendimientos constantes a escala.

e) Calcule las tasas de cambio del producto con respecto a cada variable (Efectos Marginales). Interprete los resultados.

f) Agregue ahora una variable de tendencia al modelo, de la siguiente forma

𝑄𝑡 = 𝛽1𝐾𝑡𝛽2𝐿𝑡

𝛽3𝑒𝛽4𝑡+𝑢𝑡 (2)

Repita para este nuevo modelo los literales b) a e). Conteste además: ¿Parece haber sobre el modelo un efecto significativo debido a la inclusión de la variable de tendencia? Realice el test correspondiente.

g) Detección de multicolinealidad. Es probable que en el modelo (2) exista algún grado de multicolinealidad. Para confirmarlo, utilice las pruebas revisadas en clase.

h) Suponga que usted conoce (por información externa) que en esta economía existen rendimientos constantes a escala. Incluya esta información en el modelo (2) y reestímelo. ¿Se redujo la multicolinealidad?

2. Sea el modelo 𝑦𝑖 = 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝛽3𝑥3𝑖 + 𝑢𝑖 expresado en forma de desviaciones. Se cumple además que 𝐸(𝒖) = 0 y 𝐸(𝒖𝒖′) = 𝜎2𝑰. Se hacen dos estimaciones de este modelo por MCO. Una estimación es sin restricciones y la otra incorpora la restricción de que 𝛽2 = 𝑐, donde 𝑐 es una constante. Encuentre una expresión para el valor esperado del estimador de 𝛽3 de la regresión restringida que sea función de los datos de los datos 𝑥2𝑖, 𝑥3𝑖 y de los parámetros 𝛽2, 𝛽3 y 𝑐. Interprete

3. Demuestre que en el modelo de tres variables, 𝑦𝑖 = 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝛽3𝑥3𝑖 + 𝑢𝑖, la varianza de �̂�2 está dada por

𝑉𝑎𝑟��̂�2� =𝜎2

∑ 𝑥2𝑖2 (1 − 𝑟232 )

Donde 𝑟23 es el coeficiente de correlación simple entre 𝑥2𝑖 y 𝑥3𝑖

4. Del texto de Gujarati realice los siguientes ejercicios y problemas: 10.2; 10.3; 10.6; 10.8; 10.12; 10.15; 10.16; 10.26; 10.27;13.2;13.6;13.21;13.24;