TEMA I. EL PROCESO DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR

1. La ecuación de la conducción del calora) El modelo de la difusión de calor.b) Propiedades térmicas de la materia.c) La ecuación de difusión de calor.d) Condiciones frontera

2. Conducción unidimensional en estado estable. a) La pared plana.b) Sistemas radiales.c) Conducción con generación de energía térmica.d) Análisis de aletas.

.

3. Conducción bidimensional.a) El modelo de conducción bidimensional.b) Método analítico.c) Método gráfico.d) Método de diferencias finitas.

4. Conducción transitoria.a) Método de la capacitancia térmica.b) Efectos espaciales.c) La pared plana en convección.d) El sólido semi-infinito.

1. LA ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR

COMPETENCIA ESPECÍFICA A DESARROLLAR

Interpretar la Ley de Fourier como una ecuación vectorial que presenta el fenómeno de conducción en paredes planas y en formas radiales como cilindros y esferas, en su forma general y en sus formas particulares. Reconocer las propiedades térmicas de la materia en la importancia de los factores trascendentes en la conducción.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

1. Atender al contenido conceptual que se presenta en Power-Point sobre este capítulo.

2. Revisar las tablas de las propiedades de los materiales que se presentan en los problemas conducción: conductividad térmica “K” y difusividad térmica “α” Discusión sobre las características de estas magnitudes en el proceso de conducción.

3. Reconocer los elementos que presenta la forma general de la ecuación de calor, como se reduce de acuerdo a las consideraciones según la situación que se presenta en su aplicación en problemas de ingeniería.

4. Utilizar las ecuaciones encontradas para su aplicación para los ejemplos mostrados. Compartir otros ejemplos con sus compañeros.

5. Observar detenidamente la necesidad de considerar ciertas condiciones iniciales y frontera según el caso para la solución de algún problema en particular

a) EL MODELO DE LA DIFUSIÓN DE CALOR

Ley de Fourier:

k→ Conductividad térmica

Considerando un cilindro sólido

aislado con: T1 > T2

A,T1 T2

Δx

x

T(x )

T1

T2

x

isoterma

xQ"

xQ"

xQ"

yQ"

nQ

"

x

TkAQ

x

TAQ xx

";"

Negdx

dT

dx

dTkQ

dx

dTkAQ xx

;";

z

Tk

y

Tj

x

TikTkQ"

isotermaanormalnn

TkQn

;

"""" zyx QkQjQiQ

b) PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA

Conductividad térmica.

gasliqsolx kk

xTQ

k ,;"

cristalinaestructuraladecomponentek

aelectróniccomponentekkkTkkkk

l

e

lele

;)(

eléctricaadresistividk

ee

11

LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA EN FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA

Sólidos de alta conductividad “k” son llamados conductores y de conductividad

baja son loa llamados aislantes. Los valores de “k” reportados en las tablas, son

promedios pero ésta puede aumentar o disminuir con la temperatura “T” y en

algunos casos pueden invertir su velocidad de cambio con “T”.

La variación de “k” con “T” puede representarse usualmente por la ecuación:

k = k0 + β T; donde k0 es la conductividad a 0 0C y β una constante.

Para los líquidos “k” decrece con “T” aunque el agua es una excepción notable.

Para gases y vapores, hay aumento de “k” con el aumento de “T”. Sutherland

dedujo una ecuación a partir de la teoría cinética de los gases.

DIFUSIVIDAD TÉRMICA (α)

ρCp es un producto que comúnmente se encuentra en transferencia de calor y

se le llama “capacidad calorífica” de un material.

α→ Mide la habilidad de un material para conducir energía

térmica relativa a la habilidad de almacenarla.

αgde→ Responde rápido a cambios del ambiente térmico

αchica→ Responde con lentitud tomando mas tiempo para

alcanzar una nueva condición de equilibrio

s

m

almacenadocalor

conducidocalor

C

k

p

2

Tabla I.1.1. Difusividad térmica de materiales a la temperatura ambiente

Material α (m2/s) Material α (m2/s)

Plata 149 x 10-6 Concreto 0.75 x 10-6

Oro 127 x 10-6 Ladrillo 0.52 x 10-6

Cobre 113 x 10-6 Suelo macizo 0.52 x 10-6

Aluminio 97.5 x 10-6 Vidrio 0.34 x 10-6

Hierro 22.8 x 10-6 Lana de vidrio 0.23 x 10-6

Mercurio 4.7 x 10-6 Agua 0.14 x 10-6

Mármol 1.2 x 10-6 Carne de res 0.14 x 10-6

Hielo 1.2 x 10-6 Madera 0.13 x 10-6

Considerando un volumen (de control) diferencial en un medio homogéneo

T(x,y,z) Distribución de temperatura en medio homogéneo sin movimiento de volumen.

dy dz

dx

* Dentro de un medio donde hay generación

de energía asociada con la razón de

energía térmica.

= Razón energía generada por unidad de volumen del medio (w/m3)

* La energía almacenada cuando los efectos

del cambio de fase no son pertinentes.

Razón en el tiempo del cambio

de energía sensible del medio por unidad de volumen

xQ

c) LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR

dxxQ

yQ

dyyQ

zQ

dzzQ

dzz

QQQ

dyy

QQQ

dxx

QQQ

zzdzz

yydyy

xxdxx

dzdydxqE g ...

q

dzdydxt

TCE palm ..

t

TC p

CONTINUA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR

Haciendo un balance de energía en el volumen diferencial (de control).

Substituyendo:

Según la ley de Fourier y también si:

Substituyendo se llega a:

Que es la Ecuación de Difusión de Calor o simplemente ECUACIÓN DE CALOR

almsge EEEE

dzdydxddonde

dt

TCdqQQQQQQ pdzzdyydxxzyx

..

:.;: comoquedaecuaciónlaetcdxx

QQQqueya x

dxxx

dt

TCdqdz

z

Qdy

y

Qdx

x

Qp

zyx

z

TdydxkQ

y

TdzdxkQ

x

TdzdykQ zyx

..;..;..

t

TCq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x p

Ejemplo 1.1. Se tiene un sólido de la forma mostrada, sin generación interna y conducción unidimensional. Encuentre k(x) cuando T(x) = -200 ( -1 + x + 2x2), A(x) = 1 + 2x y

SE CONOCE: Forma simétrica con sección preescrita, distribución de temperatura y calor.

ENCONTRAR: k(x) = ?.

SE ASUME: No generación interna, estado estable, unidimensional.

ESQUEMA:

A(x)

X

ANÁLISIS.

COMENTARIO: Note que si x= 0, k = 10 w/mK

WQ 2000

xQ

se EE

2

2

861

10

)41)(21(

10

])41(200)[21(

)21(200)21(2000

)(

)(

xxxxk

xxk

xxdx

dxk

dx

dTxkAQ

xfCteQ

x

x

FORMAS PARTICULARES DE LA ECUACIÓN DE CALOR

Si k = Cte

Transferencia de calor unidimensional, estable y sin generación de energía.

El flujo de calor es constante en la dirección de la transferencia.

0:

12

2

2

2

2

2

qx

Tk

xx

Tk

xx

Tk

xestableflujo

t

T

k

q

z

T

y

T

x

T

0

dx

dTk

dx

d

0"

dx

Qd x

FORMAS RADIALES DE ECUACIÓN DE CALOR

En coordenadas cilíndricas:

En coordenadas esféricas.

t

TCq

z

Tk

z

Tk

rr

Tkr

rr p

2

11

t

TCq

TkSen

Senr

Tk

Senrr

Tkr

rr p

222

22

111

Ejemplo 1.2. Se tiene un reactor nuclear cilíndrico de 50 mm de diámetro generación interna uniforme de flujo estable con T( r ) = 800 – 4.167x 105 r2. Las propiedades del combustible son:ρ = 1100 kg/m3, k = 30 w/mK, Cp = 800 J/kg.K. ¿Cuál es la razón de TC por unidad de longitud de la barra a r = 0 y a r = 25 mm?.

ESQUEMA: T(r)

r0 k, ρ, Cp

ANÁLISIS:

mwxxQ

rxr

TrrPara

QrPara

rxr

T

rxrT

tempdistrbdeevalúaser

T

r

rr

r

/1098.0)10208.0)(025.0)(30(2'

10334.8]:

0)0(':0

10334.8

10167.4800)(

55

05

0

5

25

0

q

371 /105 mwxq

r

TkrQ

bienor

TrLkQ

r

TkAQ

r

TkQ

r

r

rrr

2'

)2(

"

d) CONDICIONES INICIALES Y FRONTERA

Condición frontera: Se tienen 3 clases para resolver la forma apropiada

de la Ecuación de calor:

1) Temperatura de superficie Ts = cte.

T(0,t) = Ts Ts

A esta condición se le llama de 1ª. Clase

o de Dirichlet T(x,t)

2) Flujo de calor de superficie constante.. x

a) Flujo de calor finito

Condición de Newman (2a clase)

T(x,t)

sx

Qx

Tk "

0

sQ"

0

)0("

x

x x

TkQ

CONTINÚA CONDICIONES INICIALES Y FRONTERA

b) Adiabática o superficie aislada.

T(x,t)

3) Condición de superficie en convección

T(0,t)

T(x,t)

aire

T∞,h

00

xx

T

),0(0

tTThx

Tk

x

Resumen y reflexiones

• La “K” de los materiales realmente varía con la temperatura pero para fines en problemas de ingeniería, por el rango en que se trabaja, se considera constante: observe en las tablas.

• El concepto a que se refiere “α” va dirigido hacia la sensibilidad de los materiales con la temperatura y para la capacidad de almacenar calor.

• Es importante reconocer los diferentes elementos que se incluyen en la ecuación de calor.

• Considere las formas mas comunes de la ecuación de calor que se trabajan en los problemas de la ingeniería térmica con sus restricciones.

EVALUACIÓN DE LA COMPETENCIA

Presentar y explicar tres casos reales donde pueda identificar el proceso de conducción: para una superficie plana, para un cilindro o tubo, y para el caso esférico determine los parámetros y las propiedades que intervienen en él.

40%

Presentar tres ejemplos y su solución para tres problemas específicos: superficie plana, cilindro o tubo y esfera.

60%