La ecuación de calor describe como se distribuye la temperatura en un cuerpo solido en función del tiempo y del espacio.El interés en su estudio radica en las múltiples aplicaciones que tiene en diversas ramas de la ciencia.En las matemáticas generales, representa la típica ecuación en derivadas parciales parabólica y concretamente en la estadística esta relacionada con los procesos aleatorios.A continuación deduciremos como llegar a la expresión final de la citada ecuación en una dimensión:

Imaginémonos una vara de longitud L, sección transversal S, fina, homogénea y completamente aislada del exterior.Estas consideraciones permitirán que las leyes físicas que emplearemos dependan únicamente de la posición x y del tiempo t.

DEDUCCION DE LA ECUACION DE CALOR EN UNA DIMENCION

En el proceso de derivación de la ecuación se emplearan las siguientes magnitudes.

U(x,t)=temperatura de la vara para la posición x y la posición t.Q(x,t)= flujo(o cantidad) de calor en la dirección positiva de x para la posición x y el instante de tiempo t por unidad de superficie.

Si aplicamos el principio de conservación de la energía sobre la vara de cobre en el segmento x + Δx, obtendremos que:

Variación de la energía interna (calor) = flujo de calor entrante – flujo de calor saliente

La expresión matemática correspondiente será la siguiente:

Por otro lado, existe una ley física que relaciona el calor Q(x,t) con la masa m y la temperatura u(x,t), llamada Ecuación de la Termología, de la siguiente forma:

Q(x,t) = λmu(x,t)

Esta ecuación describe el proceso de calentamiento de una fase de un cuerpo, en la que λ es una constante característica del material.

Consideremos nuevamente, el segmento infinitesimal (x,x+Δx).

Como la sección transversal de la vara que tiene una superficie S, el volumen resultante será S Δx, ahora introducimos un nuevo parámetro p que represente la densidad del material, tendremos:

Δm=pSΔx

Sustituyendo en la ecuación del calor específico llegaremos al resultado siguiente:

Derivando respecto al tiempo:

De esta manera, hemos obtenido otra expresión para Q(x,t). El siguiente paso consiste en cambiarla con el principio de conservación del calor:

Diviendo ambos miembros entre S △x:

Ahora extraemos un signo menos como factor común del miembro de la derecha y nos queda lo siguiente:

Hemos suprimido los subíndices porque se trata, al fin y al cabo, de la misma función evaluada en puntos diferentes.

Si a continuación hacemos tender △x a 0.

Finalmente, aplicaremos la ley de Fourier de conducción de calor, que nos indica que el flujo de calor se traslada en dirección opuesta al gradiente de la temperatura y proporciona a el:

La constante k hace referencia a la conductividad térmica del material. Si aplicamos esta ley a única dimensión (la de x), obtendremos que:

Agrupando todas las constantes en un miembro:

Representa la difusividad de la vara.

Para esta ecuación se resolverán algunos tipos importantes de condiciones de frontera e iniciales. Se empieza en el caso en que los extremos x=0 y x=L de la barra se mantienen en la temperatura cero, de tal modo que se tienen las condiciones en la frontera.

Para toda t,

Y la temperatura inicial de la barra es f(x), por lo que se tiene condición inicial.

1. Dos ecuaciones diferenciales ordinariasAl sustituir esta ecuación en la ya antes deducida.

_

Se obtiene la siguiente ecuación:

El primer miembro depende solo de t, y el segundo lo hace solo de x, por lo que ambos miembros deben ser igualados a una constante k. Para se tiene:

De esta ecuación se pueden obtener 2 ecuaciones diferenciales ordinarias

Satisfacción en las condiciones de frontera

Resolviendo una de las ecuaciones diferenciales ordinarias escritas anteriormente tenemos una solución general:

Por las condiciones de frontera tenemos:

=0 y puesto que G=0 daría como resultado u=0, se requiere que f(0)=0, f(L)=0 y reemplazando en la ecuación anterior f(x), se obtiene f(0)=a=0 y entonces , B nunca puede ser igual a cero.

, por tanto

Así cuando B=1 se obtiene las siguientes soluciones de la ecuación F(x), que satisfacen a las ecuaciones de frontera:

Ahora resolvemos la ecuación diferencial que para se tiene:

• donde

Tiene la solución general siguiente:

; n=1,2,..Donde es una constante, por tanto las funciones:

Solución de problema completo

Hasta este punto tenemos una ecuación que satisface las condiciones de frontera iniciales. Ahora para obtener una solución que satisfaga la condición inicial

; A partir de esta expresión y de la condición inicial se tiene:

)

Entonces para que la ecuación que se acaba de encontrar satisfaga la condición inicial, debe ser el coeficiente de la serie senoidal de Fourier

Así queda menBn= 1/pi ([-3((1-(-1)^n)/n)] +2 [(((-1)^n)-1)/n)])Resolviendo eso

Te queda asi

Bn=*()

N=1B1=*( ; b1=

N=2B2=0

N=3B3=*( ; b3=

N=4B4=0

N=5B5=*( ; b5= 

Y ASI QUEDA LA SERIE DE FOURIEWo=1 fI(t)=a0/2 +*sen (n .wo. t)

fI(t)=1/2 -*sent

f2(t)=1/2 -*sent -*sen3t

f3(t)=1/2 -*sent -*sen3t - *sen5t

f3(t)=1/2 -*sent -*sen3t - *sen5t --*sen7t