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Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Por lo tanto, si las primeras derivadas parciales
son continuas y satisfacen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann en todos los puntos de la
vecindad (entorno), entonces f(z) es analítica
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Ecuaciones de Cauchy-RiemannTeorema
Sea definida en un
entorno de
Si ● las derivadas parciales con respecto a r y
existen● Las derivadas parciales son continuas en● Se satisfacen las Ecs. de C-R (versión polar).
Entonces f(z) es diferenciable en y
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Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Teorema
Si f(z) es analítica en un dominio D y f '(z) es nula en ese dominio, entonces f(z) es constante en D.
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Funciones armónicas
● Una función real se dice que es armónica en un dominio D, si sus derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en D y si en cada punto del dominio se satisface la ecuación de Laplace
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Funciones armónicas
Teorema
Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analítica en un dominio D, entonces cada una de las funciones u(x,y) y v(x,y) es una función armónica.
● Comentario: si conocemos u(x,y) podemos construir su función “armónica conjugada” v(x,y) utilizando las Ecs. de Cauchy-Riemann. De esta forma podemos encontrar la función analítica f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)
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Funciones armónicas
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Algunas funciones elementales
Veamos algunas funciones analíticas que se reducen al caso de funciones elementales del Cálculo cuando z=x+i0
● Función exponencial● Función logaritmo● Exponentes complejos● Funciones trigonométricas● Funciones hiperbólicas● Funciones trigonométricas e hiperbólicas
inversas● Polinomios
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Algunas funciones elementales
● Función exponencial
Esta función es muy importante, pues, entre otras cosas, de ella se definen otras funciones.
Con tenemos:
● De aquí que:●
es decir, la función es multivaluada
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Por ejemplo:
a) si y sólo si k:entero
b) si y sólo si
Es decir que es una función periódica con período
Algunas funciones elementales
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De modo que dividimos el plano complejo en diferentes bandas o regiones
Algunas funciones elementales
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● Comentario: notemos que la función puede tomar el valor negativo -1:
Entonces e
● Finalmente, hemos obtenido anteriormente que
Algunas funciones elementales
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● Funciones trigonométricas
Hemos visto que
por lo que
● De aquí se define o generaliza las funciones seno y coseno a “ángulos complejos” como
Algunas funciones elementales
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con derivadas
Algunas funciones elementales
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Algunas propiedades●
●
●
●
●
●
● si y sólo si● si y sólo si
Algunas funciones elementales
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Similarmente se definen las funciones
con derivadas
Algunas funciones elementales
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Función logaritmo
Una motivación para introducir la función la función logaritmo proviene de la solución de la ecuación:
Se define la función log z con como
O bien
donde Arg(z) es el arg(z) en el intervalo
Algunas funciones elementales
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El argumento principal “salta” en cuando z cruza el corte ramal (branch cut/corte ramal) en el eje real negativo
De esta forma tenemos ramas univaluadas de la función log z
Algunas funciones elementales
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Se dice que la rama de una función multivaluada f es una función univaluada y analítica F en cierto dominio, tal que en ese dominio F(z) es uno de los valores de f(z).
Por ejemplo:
con y
se le conoce como la rama principal.
El corte ramal es una curva o recta que delimita una rama
Algunas funciones elementales
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Se define el valor principal de la función log z como
Fuera del eje real negativo, la función Log z es analítica y se tiene que
Algunas funciones elementales
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Comentario:
Notemos que
Pero
Algunas funciones elementales
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En ocasiones es conveniente definir otras ramas de la función log z como
Algunas funciones elementales
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Superficie de Riemann
Re(log z)
Im(log z)
Hojas de Riemann
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Comentario:● La función Arg z es armónica, excepto en el
corte ramal● La función ln |z| es armónica, excepto en el
origen
Entonces tenemos dos funciones armónicas que satisfacen la ec. de Laplace
Algunas funciones elementales
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Ejemplos en problemas físicos:● Capacitor coaxial infinito● Dos planos infinitos formando cierto ángulo en
un extremo (cuña)
Es conveniente utilizar coordenadas polares
Algunas funciones elementales
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O bien,
Algunas funciones elementales
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● Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas
Estas funciones también se pueden escribir en términos de la función logaritmo.
Algunas funciones elementales
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● Seno inverso
Sea w el inverso de la función seno, i.e,
con
De aquí se puede encontrar que
Recuerde que la raíz es una función bivaluada. Además, como log(z) es multivaluada también lo es.
Algunas funciones elementales
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Similarmente tenemos:● Coseno inverso
● Tangente inversa
Algunas funciones elementales
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Además, tienen como derivadas
●
●
●
Algunas funciones elementales
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Las funciones hiperbólicas se definen como:
●
●
●
Algunas funciones elementales
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Funciones hiperbólicas inversas:
●
●
●
Algunas funciones elementales
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● Potencias complejas o exponentes complejos
Haciendo uso de la función logaritmo podemos definir potencias complejas.
Si y un número complejo, se define la función por medio de la relación:
● Para ( ) y ( ) sabemos que la relación anterior es cierta
Algunas funciones elementales
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● Se puede definir el valor principal (V.P.) de la función como
V.P.
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Superficie de Riemann
● Raíz cuadrada
Raíz cuadrada
Belt
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Aplicación: Circuito RLC
(a) (b)
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Para el circuito (a):
De la ley de Ohm con
Aplicación: Circuito RLC
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Aplicación: Circuito RLC
Es más conveniente/fácil utilizar un voltaje complejo
● Esto se puede hacer gracias a las ecuaciones lineales que relacionan al voltaje y corriente:
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Aplicación: Circuito RLC
● En resumen, si la respuesta “matemática” a un voltaje complejo V(t) es I(t), entonces la respuesta “real/física” al voltaje Re[V(t)] será Re[I(t)]
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● Para el circuito (b) en estado estacionario:
con con
tenemos que tenemos que
De aquí se definen las impedancias (resistencias puramente imaginarias)
Aplicación: Circuito RLC
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Aplicación: Circuito RLC
Utilizando el resultado anterior [obtenido para (a)]:
Tomando la parte real
tenemos finalmente
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Aplicación: Circuito RLC
Se podría hacer uso nuevamente de las ventajas del “voltaje complejo” para una interpretación del resultado:
Definiendo y
Entonces
es decir
● De modo que el voltaje y la corriente difieren en amplitud ( ) y están desfasados por una fase
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Aplicación: circuito RLC
● Equivalentemente, un circuito está descrito por una ecuación diferencial (leyes de Kirchhoff).
Por ejemplo, para un circuito RLC
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Aplicación: circuito RLC
tenemos la ec. diferencial
: carga● Notemos que tenemos una ec. diferencial lineal
La ec. diferencial se resuelve suponiendo que
y
● Sustituyendo Q y V encontramos:
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Aplicación: circuito RLC
Por lo tanto,
De aquí que la corriente I, dada por
con
viene dada por
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Aplicación: circuito RLC
Por lo tanto,
o bien, introduciendo la impedancia Z:
● Finalmente, considerando la parte real
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Integración Compleja● Hemos visto que la noción de derivada vista en
cálculo diferencial (variables reales) se ve modificada debido al caracter bidimensional del plano complejo, e.g., una función puede aproximarse a un límite desde un número infinito de direcciones.
● Este caracter bidimensional afecta también a la teoría de integración.
● Ahora necesitamos considerar integrales a lo largo de curvas en el plano (no únicamente sobre segmentos del eje x)
● Uno de los resultados principales que veremos es el teorema de Cauchy
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Integración compleja
● Primero veamos el caso más simple: Integrales de funciones de una variable real.
Supongamos que una función compleja w depende únicamente de una variable real t:
● Para este caso, las reglas del Cálculo Integral se extienden a este tipo de funciones. En particular, el teorema fundamental del cálculo.