Ecuaciones del gravitoelectromagnetismo - Inicio - Al … · 2013-04-20 · que ocurre con sus...

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4

Ecuaciones del

gravitoelectromagnetismo

1.4 Introducción

La mecánica relacional entiende las fuerzas de inercia como originadas en la in-ducción gravitatoria. La teoría de Newton no contempla fenómenos inductivos, perouna teoría relativista de la gravitación los debe incluir. En efecto, en virtud de la equiva-lencia relativista entre masa y energía, no solo la masa es fuente de campo gravitatoriosino que lo es cualquier tipo de energía. Por tanto, un cuerpo crea campo gravitatoriono solo por su masa, sino también por su energía cinética, es decir por su movimiento.Y esto, en definitiva, es lo que significa la inducción: la producción de fuerzas porcuerpos en movimiento.

Como se vio en el capítulo 3, es posible obtener una teoría relativista de la gravita-ción en el marco de la relatividad especial, es decir una teoría invariante frente a trans-formaciones de Lorentz. Pero esta teoría no es satisfactoria. Por ejemplo, el cálculo de laprecesión del perihelio de un planeta solo da la sexta parte del valor correcto. La teoríagravitatoria invariante Lorentz produce fenómenos inductivos, que son capaces deexplicar la aparición de la fuerza de Coriolis sobre cuerpos en movimiento o bien otrosfenómenos gravitomagnéticos; no obstante, no puede deducir la fuerza centrífuga comouna fuerza inductiva. *

2.4 Ecuaciones de campo linealizadas

Podemos descomponer el tensor métrico según

ij ij ijg h��

donde ij� es el tensor métrico del espacio-tiempo de Minkowski con signatura -2. En la

* La fuerza gravitomagnética es exigida por el principio de la relatividad especial. Sean doscargas eléctricas de igual signo, en reposo respecto a un sistema K de referencia inercial y quese mantienen en equilibrio al igualarse las fuerzas eléctrica y gravitatoria que existen entreellas. Sea otro sistema K’ respecto al cual K se encuentra en movimiento. Para este nuevosistema, además de la fuerza de Coulomb entre las cargas, aparecen fuerzas magnéticas.Como por el principio de la relatividad especial también para el nuevo sistema las cargas debenmantenerse en reposo relativo entre ellas, deben de aparecer fuerzas de inducción gravitacionalque permitan igualar a las fuerzas magnéticas.

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Texto escrito a máquina

Wenceslao Segura González: Gravitoelectromagnetismo y principio de Mach, ISBN: 978-84-616-3522-1

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Texto escrito a máquina

GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH

mayoría de las situaciones reales las cantidades h son pequeñas h , al igualque ocurre con sus derivadas primeras; lo que equivale a suponer que, en presencia decampo gravitatorio débil, el espacio-tiempo es el de Minkowski sobre el que se superpo-ne una perturbación dada por las cantidades .ijh Si, además, adaptamos las ecuacionesde campo para que sean lineales en h obtenemos la teoría linealizada. *

Los símbolos de Christoffel en la teoría lineal son

, , ,

1 1

2 2

i is is

jk j ks k js s jk ks j js k jk sg g g g h h h� � � � � � � � � � .

En esta aproximación los dos últimos sumandos del tensor de Riccikkij r k k rik

ij ik jr ij krj kR

x x

� � � � � � � �

se desprecian, ya que son, como mínimo, de segundo orden respecto a la perturbaciónh, es decir son no lineales. En resumen, en la ecuación de campo que derivemos, soloaparecerá la parte lineal de las componentes del tensor métrico.

La componente 0,0 del tensor métrico aparece en la ecuación de movimiento multi-plicada por 2

c (ver más adelante). Esto quiere decir, que si queremos obtener la ecua-ción de movimiento de una partícula hasta el segundo orden respecto a la inversa de c,será necesario calcular hasta términos de orden cuatro de 00 .g Pero como veremos másadelante, esta componente del tensor métrico a orden cuatro tiene una parte lineal yotra no lineal; la primera se obtiene a partir de la teoría linealizada pero no así lasegunda parte, que se tiene que obtener con la teoría de campo débil (ver el epígrafe 12.4y siguientes). Esto nos viene a decir que con la teoría linealizada no podemos obtenertodos los términos de segundo orden respecto a la inversa de c en la ecuación demovimiento. No obstante, con la teoría linealizada sí podemos obtener todos los térmi-nos gravitomagnéticos a segundo orden en la ecuación de movimiento, pero no todoslos gravitoeléctricos a igual orden, pues para ello, como hemos dicho, se exige el con-curso de términos de cuarto orden no lineales del tensor métrico.

Conservando solo los términos de primer orden respecto a h, el tensor de Ricci tomala forma

, ,

, , , ,

1.

2

k k k k

ij k ij i jk kj i ij kR h h h h� � � �

Imponiendo la condición gauge armónica y teniendo en cuenta que subimos y bajamoslos índices con ij

� , con lo que se pierden términos pero ninguno de ellos lineales, seobtiene

1 10 0,

2 2

k k

i i ki kik

k

h h h hxx

� ��

� � ! � � � ��

el tensor de Ricci se reduce a

,

,

1

2

k

ij ij kR h�

y la curvatura escalar se deduce de la contracción del anterior tensor

* Que la ecuación de campo sea lineal significa que el campo producido por dos cuerpos es lasuma de los campos producidos por los cuerpos individualmente.

42

Ecuaciones del gravitoelectromagnetismo

,

,

1

2

i k

i kR h� .

En el supuesto lineal la ecuación de campo será

1

2ij ij ijR R T� ��

donde hemos sustituido ijg por ij� para evitar la aparición de términos no lineales. Alcontraer los índices queda

ik

ikR T T��

nótese que la traza T la hemos calculado a partir del tensor ij� , igual que hemos hechocon R. La ecuación de campo tomará la forma

*1

2ij ij ij ij

R T T T� � ��

� � � � � ��

.

Finalmente, la ecuación de campo linealizada en la gauge armónica queda en funciónde las cantidades h

2

*2ij

ijk

k

hT

x x

��

� �

donde la constante tiene el valor 48 .G c� ��Debemos advertir que cuando se calculen las componentes del tensor energía-mo-

mento se deben subir y bajar los índices con el tensor métrico de Minkowski, porque siusamos el tensor ijg la ecuación de campo que se obtendría sería no lineal ya que

aparecerían términos del tipo .hT

3.4 El tensor energía-momento

Por la dependencia del tensor energía-momento de la tetravelocidad y por la rela-ción (7.1)

21d dt O c� �

� �

se encuentra que los términos del desarrollo en serie del tensor energía-momento sediferenciarán entre ellos en dos órdenes respecto a la inversa de c, o sea

2 000 00 00

1 10 0 0

0 2

(0) (2)

...

...

... ( )

....

T T T

T T T

T T T

T T T

� � �

��

��

�

�

�

� � �

� � �

� � � "

� � �

Para calcular la traza bajamos y subimos los índices con �ij

, entonces queda

2 00 0 00 00 00

0 0

0

k

k

k

k

T T T T T

T T T T T� � ��

� � ��

�

� �

�

� � �

� � � � � �

donde en la última ecuación no hay suma sobre �. Entonces la traza es

(1.4)

43

(2.4)


* Se exige que la velocidad de la partícula fuente sea no relativista. Esta condición no es reque-rida para la partícula que se mueve en el campo gravitatorio.

2 0 00 00 00

0T T T T T T� ��

�

� �

�

� � � � �� .

Las componentes del tensor energía-momento necesarias para resolver la ecuaciónde campo son

2 000 00 00

00 0 0

1 10 0 0

0 0

0 2

0

( )

.

ik

i k

ik

i k

ik

i k

ik

i k

T T T T T

T T T T T

T T T T T

T T T T

� � �

� �

��

��

��

��

� �

� �

� � �

� �

�

�

� � � �

� � � � � �

� � � � "

� � �

De donde se deduce

2 0 0* 00 00 00

00 00 00

1* 0 0

0 0 0

0*

0 2 0 0* 00 00 00

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1

2

1( )

2

1 1 1.

2 2 2

T T T T T T T T

T T T T T

T T T T T

T T T T T T T T T T

��

� �

� �

� � �

��

��

��

��

� �

�

�

� �

�

�

�

�

� � � �

� � � � � �

� � � � �

� ��

� �

� �

� �

4.4 Solución de las ecuaciones de campo linealizadas

La ecuación de campo linealizada (1.4) se resuelve haciendo uso de la técnica de lospotenciales retardados

*

4

4'

ik

ik

TGh dV

rc

� ��

donde el paréntesis significa valores retrasados.Vamos a aplicar la ecuación anterior al caso de materia en forma de polvo, es decir

que despreciamos las tensiones en el tensor energía-momento, que con esta simplifica-ción queda

.

ij i jT u u��

�� representa la densidad de materia en el sistema comóvil y iu es la tetravelocidad de

un punto de la fuente que crea el campo. * Vamos a desarrollar el tensor energía-momento hasta el segundo orden en la inversa de c, entonces la relación que debemostomar entre el tiempo propio y el coordenado es

22 20

2 2

21

ud dt

c c

��

� � � � ��

44


donde 0� es el potencial kepleriano en el punto de la fuente que lleva velocidad u, portanto la componente 0,0 y la �� son

22 0

00 00 00 0 0 2 2 2

0

20

2dt

T T T u u c c ud

dxT T u u

dt

��

� � � ��

� �

�

� � � � � � � � �

�

� � � � �

� la traza queda

00 2

02 .T T T c��

�

� ��

Con estos valores se encuentra

* 2 2

00 0

*

0

* 2 2

0

*

1

2

1 1

2 2

.

T c u

T cu

T u u c c

T u u

�

�

� �

��

� �

��

� ��

�

� � ��

� �

� � �

� �

� � � �

� "

Las ecuaciones (1.4) quedan2

2 2 20000 02 2

22 0

0 2 2

22 2

2 2

2

2

2 2

12 2

12 2

1

12 2 .

hh c u

c t

hh u c u c

c t

hh c

c t

hh u u u u

c t

��

� �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

�

��

�

�� "

�La solución de las ecuaciones (3.4) se obtiene mediante la técnica de los potencialesretardados

2

000 2 4

0 3 3

2 2

4 4

2 22 2

4 4

2 2

4 4

uG Gh dV dV

r rc c

uG G uh dV dV

r rc c

G Gh dV dV

r rc c

u uG G u uh dV dV

r rc c

� �

�

��

� � � �

��

� � ��

� �

� �

� ��

��

� ��

� � � �

� �� "

� �

� �

� �

� �el corchete significa que tomamos los valores retardados, que en la aproximación desegundo orden respecto a la inversa de c solo tienen aplicación en la primera de lasecuaciones (4.4). En efecto, al hacer uso de los potenciales retardados en la primera delas ecuaciones (4.4) se obtiene, como añadido a términos de orden dos respecto a lainversa de c, términos de orden cuatro, que son necesarios en la ecuación de movimien-

45

(3.4)

(4.4)


(5.4)

* Esto quiere decir que la constante asociada al gravitomagnetismo es 2G c , mientras que G es

la constante correspondiente a la gravitoelectricidad. También en electromagnetismo la cons-tante magnética es la constante eléctrica dividida entre 2

.c

** Las definiciones la hacemos para que las ecuaciones de campo sean formalmente idénticas alas del electromagnetismo.† El potencial gravitomagnético se puede calcular mediante el siguiente simple procedimiento.Se parte de la métrica de un campo gravitatorio estático débil y se le aplica una transformaciónde Lorentz.

(6.4)

to (ver más adelante).De las ecuaciones (4.4) se desprende que 00h se obtiene a segundo y a cuarto orden

respecto a la inversa de c; 0

h�

a tercer orden, h�� a segundo orden y h�� (con � �� ) es

de cuarto orden.

5.4 Los potenciales escalar y vector

Las ecuaciones linealizadas de campo (3.4) se pueden reducir de forma tensorial avectorial. Para ello se definen los dos potenciales escalares y el potencial vector por

2 2

00

4 4

00

3

0

2

2

4 4

ch

ch

c cA h�

�

�

�

�

�

� � ! � �A h

como antes, el número entre paréntesis significa el orden con respecto a la inversa de c.Nótese que frente a transformaciones espaciales de coordenadas las componentes 0,�del «tensor» h se comportan como un vector y la componente 0,0 como un escalar. Losdos potenciales escalares lo definimos para que sean de orden cero respecto a c, mien-tras que el potencial vector es de segundo orden en la inversa de c, de aquí se explica ladebilidad de los fenómenos gravitomagnéticos. *

En forma similar al electromagnetismo, se definen los vectores intensidad de campogravitoeléctrico y gravitomagnético **

.

t�

��

�

� � �

AE

B A

Démonos cuenta que el campo gravitomagnético es de segundo orden respecto a lainversa de c y el campo gravitoelétrico es de orden cero, en completa equivalencia conlos campos eléctricos y magnéticos.

El elemento de línea espacio-temporal para el caso considerado de la teoríalinealizada y puesto en función de los potenciales gravitoelectromagnéticos es

2 2 2

2 4 2

2 2 21 8 1ds c dt cdtd dx dx

cc c c

� �

��

� � ��

� � � ��

Ar

��es formalmente el potencial kepleriano, pero hay que observar que está en función delos valores retrasados y no actuales, como ocurre con el potencial en la teoría gravitatoriade Newton. †

46


6.4 Ecuaciones de campo linealizadas en función

de los potenciales escalar y vector

Si solo consideramos hasta los términos de segundo orden del tensor métrico, lateoría linealizada se nos asemeja a la teoría electromagnética. En este caso la traza de laperturbación h es

0

0 00 00 00 00 003 3 2h h h h h h h h h h� ��

� �� .

Entonces la condición gauge armónica toma la forma

0 0 0000

1 1 1 20 0

2 2kj kj

k

h h hh h h h

x c t c tx x

� �

� ��

� � �� ! � � � � � � � � �

� � ��

donde hemos puesto 0j � . Introduciendo ahora los potenciales, la condición armóni-ca queda

2

10,

tc

��

�A

en completa analogía con el electromagnetismo. Reiteramos que la anterior ecuación esválida si se toman hasta términos de segundo orden en la inversa de c.

De la definición del campo gravitoeléctrico se deduce

2 ,t

��

� � ��

E A

haciendo uso de la condición gauge nos queda2 2

2 2

2 2

1

2

cc

c t

��

��

�E

y la primera ecuación de campo resulta

4 G �� E .

La segunda ecuación de campo también está relacionada con la intensidad de campogravitoeléctrico

t�

��

�E A

por tanto

.t

��

�

BE

La tercera ecuación de campo

0� �� B A ,

en cuanto a la cuarta ecuación tenemos2

,� � � � � �B A A A

haciendo uso de la condición gauge obtenemos

2

2

1,

tc�

��

�B A

teniendo en cuenta la definición de campo gravitoelétrico2

2

2 2 2

1 1

tc c t

� ��

� �

EB A A

47


(7.4)

introduciendo el vector 0

h�

�h

22

2 2 2

1 1

4

c

tc c t

� � ��

� ��

E hB h

por último hacemos uso de las ecuaciones de campo linealizadas y resulta

2 2

1 4 G

tc c

��

�

EB j

donde j es la densidad de corriente, definida por

j cu� �

�� .

7.4 Ecuaciones de movimiento de una partícula libre

en un campo gravitatorio débil

Se trata de determinar la ecuación de movimiento de una partícula libre en uncampo gravitatorio débil. La ecuación buscada es la de una geodésica

2

20.

k i jk

ij

d x dx dx

d dd � ��

La velocidad respecto al tiempo coordenado es

1 12

2

2 32 2

2 2,

d x d dx d d d dx dt d dt dx

dt dt dt d dt d d d d ddt

dt d x dt d t dx

d d dd d

� � � �

� �

� �

� � � � � �

� � ��

� �

� �

� ��

� � � ��

� � � � � ��

podemos descomponer la ecuación de la geodésica en dos partes2 2

0

2 2

1; ,

j k j k

jk jk

d x dx dx d t dx dx

d d c d dd d

��

� � � ��

llevando estas dos ecuaciones a la (7.4) se encuentra2

0

2

1j k j k

jk jk

d x dx dx dx dx dx

dt dt c dt dt dtdt

� ��

y al desarrollar

22

00 02

0 0 0

00 0

2

12 .

d x dx dx dxc c

dt dt dtdt

dx dx dx dxc

dt c dt dt dt

� � � ��

� ��

� � � �

� ��

� � � � �

� � � � ��

Como el desarrollo de las componentes del tensor energía-momento va de dos endos órdenes respecto a la inversa de c [ver (2.4)], lo mismo debe ocurrir con el desarrollode las componetes del tensor métrico, por lo tanto se tendrá

2 4 3

00 000 00 0

2

1 ;

; 1 .

g g g g g

g g g

� �

��

� �

� � � � �

Las componentes contravariantes las descomponemos según

48

(8.4)


2 4 3

00 00 00 0 0

2

1 ;

0 ; 1

g g g g g

g g g

� �

��

� � � �

� " � � �

y la relación con las componentes covariantes es

2 4 3 22 2 2 4 3 2

00 00 0

00 00 00 00 0; ; ;g g g g g g g g g g

� ��

��

como se puede comprobar por sustitución directa en las ecuaciones1ik i

ij jg g G G I� �

� � �

G es la matriz del tensor métrico e I la matriz unidad.Los símbolos de Christoffel necesarios para obtener una ecuación de movimiento

(8.4) que contenga hasta los términos de segundo orden respecto a la inversa de lavelocidad de la luz son

2 4 3 2 3 2

0 0

00 00 0 00 0; ; ; ; ; .� � � �

� ��

Cuando la velocidad de la partícula es cercana a c las componentes 4 40

0 , �

� �� dan

lugar a términos de segundo orden. Pero en este caso hay perturbaciones de orden cero,

por lo que estos términos de segundo orden no serían significativos. Con las (10.4)obtendremos una ecuación de movimiento válida para cualquier velocidad de la partí-cula. Haciendo uso de la definición de los símbolos de Christoffel y de (9.4) se encuen-tra

2 2

00 00

4 3 4 2 2

00 0 00 00

3 2 3 3

0 0 0

2 2 2 2

2 20

0 00

3 20

00 00

1

2

1 1 1

2 2

1 1

2

1

2

1

2

1

2

t

t

t

g

g g g gc

g g gc

g g g

g

gc

�

�

�

� ��

�

� � ��

�

��

� �

� �

� � � � � � �

� � � � � � � � �

�

� � � � � � � � �

�

� �

� �

La ecuación de movimiento (8.4) a segundo orden respecto a la inversa de c es

2 4 3 222 2

00 00 02

3 2 1

0 0 0

00 0

2

12

d x dx dx dxc c c

dt dt dtdt

dx dx dx dxc

dt c dt dt dt

� � � ��

� ��

� � � �

� ��

� � � � � �

� � � � � ��

poniendo los símbolos de Christoffel en función del tensor métrico

49

(9.4)

(10.4)

(11.4)


2 2 3 4 2 2

2 2 2

00 0 00 002

2 3 3 2 2 2

0 0

2 2

00 00

1 1 1

2 2 2

1 1

2

1

2

t

t

t

d xc g c g c g c g g

dt

dx dx dxc g g g g g g

c dt dt dt

dx dx dxg g

dt dt dt

�

� � ��

� � �

� � � � ��

� � �

�

� � � � � � � � � �

� � � ��

� � � �

ahora introducimos los potenciales escalar y vectorial, definidos por22 2 3 4

00 0 002 2 4 4

2 4 2 2; 2 ; ;g g g A g

cc c c c

�

��

� � � ��

y ya solo nos queda expresar el resultado en notación vectorial

2 2

2 2 2 2 2

24 4 3 4

d v

dt t tc c c c c

� � ��

� ��

� ��

v A v vv A v

el primer sumando corresponde a la aproximación de orden cero o newtoniana. * Lossiguientes sumandos son todos de orden segundo respecto a la inversa de c. * *

Esta ecuación de movimiento es la equivalente a la fórmula de Lorentz de la electro-dinámica. Nótese que los términos de segundo orden tienen (o pueden tener) valoresparecidos, por lo que ninguno de ellos se puede despreciar. La ecuación (12.4) es válidapara coordenadas armónicas.

El elemento de línea tiene en coordenadas esféricas la forma

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 4 4 2

2 2 2 8 21 1 sinds c dt d cdt dr r d r d

cc c c c

� � � ��

� � � ��

A r

donde aparecen todos los términos necesarios para calcular la ecuación de movimien-to de una partícula a segundo orden en la inversa de c. **

La ecuación (12.4) y el anterior elemento de línea, son válidos cuando usamoscoordenadas armónicas; las expresiones cambian en otros sistemas de coordenadas.Por ejemplo, para pasar a coordenadas esféricas standard hacemos el cambio

21r r

c

��

mientras quedan inalteradas las coordenadas angulares, entonces2 2 2 2 2

2 4 2 4 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1

GM G M GM GM G M GM

c c c r c r c r c r c r c r

� � � ��

� � � � finalmente el elemento de línea en la aproximación requerida para obtener todos lostérminos de segundo orden en la ecuación de movimiento es

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 4 2

2 2 8 21 1 sinds c dt d cdt dr r d r d

cc c c

� � ��

� � � ��

A r

50

* En el término �� de (12.4) también se tienen en cuenta los efectos originados por los valoresretrasados.** Esta ecuación permite calcular las primeras perturbaciones al movimiento newtoniano conindependencia de la velocidad de la partícula. No obstante, se exige que la velocidad del cuerpoque crea el campo sea no relativista.

(12.4)


donde no hemos tenido en cuenta los términos de cuarto orden en las componen-tes espaciales. Con la anterior métrica ya no sería válida la ecuación de movimien-to (12.4).

8.4 Ecuación de conservación del tensor energía-momento

De la ecuación de campo gravitatorio se deduce la ley conservación de la energía yel momento

0ik

kD T �

expresión que se simplifica en el caso de la teoría linealizada. Si hacemos la definición

1

2ik ik ik

h h h��

entonces la ecuación de campo (1.4) queda

2

2 .ik

ikr

r

hT

x x�

��

� �

La condición gauge armónica se puede poner como

0,ik

k

h

x

��

�

utilizando la ecuación de campo linealizada podemos poner la ecuación de conserva-ción de la forma

00 0; 0ik k k

k k k

T T T

x x x

��

� � � ��

la primera igualdad expresa la conservación de la masa-energía y la segunda fórmulanos da la conservación del momento.

Desarrollando la primera de las ecuaciones

2 1

00 0

00 0

0 00 0

T T T T

x x x x

�

�

� �

� �

� � � ��

� � � �que es la ecuación de continuidad de la energía expresada al más alto orden en eldesarrollo del tensor energía-momento.

La segunda ecuación queda1 0

0

0

0 00 0

TT T T

x x x x

� ��

� �

�

��

� � � �que es la ecuación de conservación diferencial del momento, igualmente puesta almáximo orden en el desarrollo del tensor energía-momento.

Démenos cuenta que las dos ecuaciones de conservación que hemos encontrado yque son aproximaciones válidas en la teoría linealizada y en la teoría de campo débil,nos permiten derivar ecuaciones globales de conservación por los métodos usuales deintegración.

9.4 Lagrangiana de una partícula en un campo

gravitatorio débil

En general el elemento de línea es

51


22 0 0

00 02ds g dx g dx dx g dx dx� � �

� ��

y en la aproximación que estamos tomando

2 4 3 22 2 22 0 0 0 0

00 00 02 ,ds dx g dx g dx g dx dx g dx dx

� � �

��

sustituyendo los potenciales escalares y vector

1 22 2

2

2 2 4 4 2 4

2 2 2 8 21 .

d vv

dt c c c c c c

� � � � ��

A v

Haciendo uso de la aproximación

21 1

1 12 8

x x x� � � �

se obtiene

22 2 2

2

2 2 4 4 2 4 2 2

4 1 21

82

d v vv

dt c c c c c c c c

� � � � � ��

� �A v

donde solo consideramos términos hasta el orden 4 respecto a la inversa de la veloci-dad de la luz. Agrupando términos y teniendo en cuenta que la lagrangiana de unapartícula es

2 dmc

dt

�� L

nos queda4 2 2

2 2

2 2 2 2

1 1 3 14 .

2 8 2 2

v vmc m m mv m m m m

c c c c

� �� A vL

Podemos dividir los términos que aparecen en cuatro categorías. Los sumandos 2, 4 y5 son términos relacionados con la relatividad especial. En efecto, los sumandos 4 y 5son los términos cinéticos. El segundo sumando es el potencial kepleriano.

El sexto sumando es un término genuino de la relatividad general y representa laacción gravitomagnética. También los dos últimos sumandos corresponden en exclu-siva a la relatividad general y son de carácter gravitoeléctricos.

El término gravitomagnético 4m �A v es de segundo orden respecto a la inversa de c,lo mismo ocurre para los restantes términos no clásicos. No nos referimos al primertérmino porque al ser constante no interviene en las ecuaciones de movimiento deriva-das de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Citar también que los términos de la lagrangiana que producen la conocida prece-sión planetaria de Einstein son el 5, 7 y 8. Mientras que el sumando sexto es el respon-sable del efecto Lense-Thirring (ver más adelante). El término que contiene el potencialvector o gravitomagnético es el responsable de las fuerzas de Coriolis inducidas. Final-mente el tercer término, que contiene el potencial escalar �� es quien produce la fuerzacentrífuga inducida.

10.4 Obtención de la ecuación de movimiento

a partir de la lagrangiana

La ecuación de movimiento (12.4) de una partícula en un campo gravitatorio débilfue obtenida a partir de la ecuación geodésica. Pero se puede llegar al mismo resultado

52

(13.4)


aplicando la ecuación de Euler-Lagrange a la lagrangiana (13.4), tal como haremos acontinuación. Partimos de

2 2

2 2 4 4 2 4

1 4 3

22i i i i

v

mc x x c c c c x c x

� � � ��

� � � ��

Av

L

y2

c c c

L

por lo que la ecuación de Euler-Lagrange en forma vectorial toma la forma2

2 2 4 4 4

2

4 4 2 4 4

1 4 1 1 3

2

3 3

2

2

d v d d

dt t dt dtc c c c c

tc c c c c

�

� � � ��

��

�

� ��

� �

v A v vv v a

v v v

si ahora tenemos en cuenta que

i

� � v A

tomando como primera aproximación

d

dt��

v

se obtiene la ecuación de movimiento (12.4).

11.4 Densidad lagrangiana del campo gravitoelectromagnético

Las ecuaciones de campo pueden derivarse de una densidad lagragiana L y laposterior aplicación de las ecuaciones de Euler-Lagrange

,

0k

r k rx � �

� ��

L L

donde k� es el tetrapotencial gravitoelectromagnético definido por ,k

c� �� A , entodo igual que en la teoría electromagnética.

Para obtener las ecuaciones de campo gravitatorio deducidas en el epígrafe 6.4 esnecesario definir la densidad lagrangiana del campo gravitoelectromagético por

2

16

ik k

ik k

cF F j

G�

�� L

definiéndose el tensor antisimétrico de campo gravitaelectromagnético por

.

k i

ik

i k

Fx x

� ��

� �

Con estas definiciones, se obtienen las dos ecuaciones de campo gravitoelec-

53


tromagnético

2

4

0.

iki

k

kj jiik

j i k

F Gj

x c

F FF

x x x

��

�

� ��

� � �

12.4 Velocidad límite

Mientras que en la gravitación newtoniana la fuerza de la gravedad es siempreatractiva, no ocurre lo mismo en la teoría de la relatividad, donde a partir de ciertolímite, la fuerza gravitatoria se hace repulsiva.

Consideremos la ecuación (12.4), que es aplicable cuando la gravedad es débil ypequeña la velocidad de la fuente. Si suponemos que la velocidad de la partícula deprueba es cercana a la de la luz, encontramos que los términos dominantes son

2

2 24

d v

dt c c� � ��

v vv

todos ellos de orden cero. Si para concretar suponemos que el movimiento de la partí-cula es radial, se encuentra

2

2

31

d v

dt c�

� � � � � �

�

v

esto viene a significar que existe una velocidad límite de la partícula

3l

cv �

velocidad que al ser superada hace que la fuerza gravitatoria se convierta de atractivaen repulsiva. Hay que tener presente que este efecto es puramente cinemático y nogravitatorio, ya que se produce con independencia de la intensidad del campogravitatorio, exigiéndose únicamente que este campo sea débil.

En las anteriores ecuaciones v es la velocidad coordenada de la partícula, o sea

dxv

dt

��

y antes hemos hecho la identificación2

v � �v v

que no coincide con el módulo al cuadrado de la velocidad, que por definición es2

2

2

21

d dx dxv v v

dt dt dt c

� ��

��

� �

� � � � � � � ��

donde �� es el tensor métrico tridimensional. En la aproximación considerada ambas

expresiones de 2v se pueden identificar..

Se puede obtener el límite para la velocidad entendida como el cociente de la distan-cia propia entre el tiempo propio de la partícula

2 2 3 1 1 3 21

l

l

vd d dt c cv

d dt d v c�

� ��

��

donde se ha despreciado la componente gravitatoria en el tiempo propio.

54


13.4 El tensor de Ricci en función del tensor métrico

en la gauge armónica

Como hemos expuesto anteriormente, debemos de distinguir entre la teoríalinealizada y la teoría de campo débil donde, no solo tomamos los términos lineales,sino todas las componentes del tensor métrico (sean o no lineales) necesarias paraobtener la ecuación de movimiento hasta el segundo orden de la inversa de c. Estateoría es la que desarrollaremos a continuación.

El tensor de Ricci tiene de componentesr r

s r s rir ik

ik ir ks ik srk rR

x x

��

.

la componente 0,0 es

0 00 00 0 00

00 0 0 00 0 0 00 0 00 0 000 0.

r r

s r s rr

r s srrR

x x x x

� �

� � � � � ��

� � � � ��

��

� � � �

Los símbolos de Christoffel que nos interesan son los que fueron calculados en (10.4),por tanto

2

200

00.R

x

�

�

��

�En cuanto a las restantes componentes del tensor de Ricci se obtiene

3 4

2 2 2 2400 00

00 0 00 000

33 2 30 03

000 0 0

0 0

2 22020

.

Rx x

Rx x x x

Rx x x

� �

� � ��

� ��

� ��

� � � �

� �

��

��

��

� �

��

� � � �

��

� � �Ahora vamos a poner las componentes anteriores en función del tensor métrico

haciendo uso de (11.4)2 2

2 2200 00

00 00

1 1.

2 2

gR g

x x x

�

� � �

� ��

En cuanto a la componente 0,0 a orden 4 es *

22 322 24 4 2

20 00

00 002 2

2 22 2 2 2

00 00 00 00

1 1 1 1

2 22

1 1 1

2 4 4

gg gR g g

cc t x t x x

g gg g g g

x x x x x x

��

��

��

� � � � � �

��

� � � � �

� ��

� � � � � �

y las otras dos componentes son

55

* Cuando en las fórmulas siguientes aparezcan índices repetidos entendemos que se aplica elcriterio de sumación de Einstein, aunque los índices sean los dos covariantes o contravariantes.


2 3 22 2 2

3 30 2

0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

g g gR g

c ct x x x t x

��

� ��

� � ��

� � � � � �

2 2 222 2 222 2

2001 1 1 1 1

.2 2 2 2 2

g g ggR g

x x x x x x x x

��

� � ��

� � � � � � � �Estas ecuaciones que acabamos de encontrar se pueden simplificar considerable-

mente al elegir la gauge armónica, lo que nos permitirá resolver las ecuaciones diferen-ciales. La gauge armónica puede ponerse de la forma

0,ki r

kig � �

en efecto, en la aproximación considerada

,

, , , , ,

1

2

1 1

2 2

1 1 1

2 2 2

ki r ki rs

ki k is i sk s ki

rs k k k rs k

k s k s s k k s s

kr rs kr r kr rk

k s k k k

g h h h

h h h h h

h h h h h h

� �

� �

� �

� � � � � ��

� � � � � � � � � � � � �

�

� � � � � �

de donde encontramos

10

2

kr kr

rh h

x�

� � � � �

� �que es la definición gauge armónica.

En el caso en que 0r �0 00 0 0 0 0

00 00 2 0

ki

kig g g g

� ��

� ��

al mínimo orden se encuentra

3 3 3 30 0 0 0

00 000 0,

��

donde los índices griegos se suman aunque estén en la mismo posición. Como

3 33 3 2 3 20 0

0 , 0 , , 0 , ,

1 1 1 1

2 2 2 2t t

g g g g gc c

��

por tanto la condición gauge en función de los potenciales es

2 3 2

00 01 10.

2 2

g g g

c t c tx

� ��

�

� � ��

� ��Obtengamos ahora la condición gauge para el caso r ��

00 0

00 00 2 0

ki

kig g g g

� � � � ��

� ��

al mínimo orden se encuentra

2 2

000

� �

��

y en función del tensor métrico2 22

001 1

0.2 2

g gg

x x x

��

� � �

� ��

� � �

56

(14.4)

(15.4)


De (14.4) y (15.4) se derivan otras expresiones que nos permiten simplificar el tensorde Ricci. Hallando la derivada de (14.4) respecto a la coordenada espacial, derivando(15.4) respecto al tiempo y luego restando ambos resultados se obtiene

2 3 22 2 2

01 1 10

2 2 2

g g g

c cx t x x t x

��

� � � �

� � ��

� � � � � �,

con lo que se reducen las componentes del tensor de Ricci a la forma

3 32

0 0

1.

2R g� �

� � �

Para la siguiente simplificación se deriva (14.4) respecto a x� y después se deriva(14.4) pero respecto a x� , habiendo cambiado previamente el índice � por el �. Alsumar las dos expresiones resultantes se encuentra

2 2 222 2 22

000

g g gg

x x x x x x x x

��

� � � � � � � �

� � ��

� � � � � � � �reduciéndose la ecuación correspondiente a

2 221

.2

R g��

Derivando la ecuación (14.4) respecto al tiempo se obtiene

2 3 22 2 2

00 0

2 2 2 2

1 1 10

2 2

g g g

cc t x t c t

� ��

�

� � ��

� � � �

al aplicar este resultado a la componente 0,0 del tensor de Ricci nos queda

2 22 24 4 2

200 00

00 002 2

2 22 2 2 2

00 00 00 00

1 1 1

2 22

1 1 1.

2 4 4

g gR g g

c t x x

g gg g g g

x x x x x x

��

��

� � � � � �

� ��

� � �

� ��

� � � � � �A partir de (15.4) se llega a

2 22 2

00 001 1

02 2

g gg g

x x x x

��

� � � �

� � ��

� � � �� de donde se deriva

2 22 2 2 2

00 00 00 001 1 1

2 4 4

g gg g g g

x x x x x x

��

� � � � � �

� ��

� � � � � �entonces el tensor de Ricci queda

2 2 2 22 24 4 2

200 00 00 00

00 002 2

1 1 1 1

2 2 22

g g g gR g g

c t x x x x��

� � � ��

� � � � �que conjuntamente con

2 22

00 00

1

2R g� � �

57


completan las componentes que necesitamos del tensor de Ricci.

14.4 Tensor energía-momento

Haciendo uso de (2.4) obtenemos los primeros términos del desarrollo de las com-ponentes del tensor energía-momento

2 020 0 00 0 00 00

0 0 00 0 00

1 1 2 0 23 20 0 00 00 00

000

1k

kT g T g T g T g T T

g T T T T g T

�

�

� �

�

�

� � �

� � � � � � �

� � � � �

y

0 0

.... ...T T T� � ��

� ��

por tanto el desarrollo de la traza es

2 0 2 0 2 0 2 02 2 2 000 00 00 00 00 00

00 00... ... ...T T T g T T T T g T T T T� ��

�

� � � ��

� � � � � � � � � � � � �

o sea

2 0 2 02 0 200 00 00

00; .T T T T g T T ��

� ��

� � � �

donde suponemos que existe suma respecto a los índice �. Por último hallamos lascomponentes covariantes

2 0 2200 0 00 00 00

00 0 0 00 00 00 0 0 0 002 2ki

k iT g g T g g T g g T g g T T T g T� ��

� � �

� �

� � � � � � �

la componente 0,� es00 0

0 0 00 0 0

1

0 0 0

00 0 0

kr

k rT g g T g g T g g T

g g T g g T T

�

� � � � ��

� � �

��

�

� � � �

� � � �

y por último la componente ��

000 0 0

0 0 0 0.

ki

k iT g g T g g T g g T g g T g g T T� � ��

��

Como las ecuaciones de campo son

( 2) (0)2 4* *

00 00 00 00

13*

0 0

22*

R R T T

R T

R T

� �

��

�

�

�

�

�

�

� ��

� �

� �

podemos saber qué componentes del tensor energía-momento tenemos que calcular.Empezamos por la 0,0 a orden -2

2 2 2 2 2 22 2* 00 00 00 00

00 00 00

1 1 1 1.

2 2 2 2T T g T T T T T T� � � � ��

� � � � � � � ��

La componente 0,0 a orden 0 es

0 0 0 2 0 20 0 2 2 2 2* 00 00 00 00

00 00 00 00 00

1 1

2 2T T T g T T T g T T g T

��

� � � � � � � � �

58


0 2 0200 00

00

12

2T g T T

��

� � �

hallemos ahora la componente 0,�

1 2 11 1* 0

0 0 0 0

1

2T T g T T T

�

� � � �

� ��

� � � � ��

y por último2 2 22 2* 001 1 1

2 2 2T T g T T T��

� ��

� � � ��

con lo que ya estamos en condiciones para hallar las ecuaciones de campo.

15.4 Ecuaciones de campo débil

Con los resultados anteriores las ecuaciones de campo son2 2

2 222 4 22 2 00 00 00

00 00 2 2

22

0 2 0200 0000

00

132 0

0

222 00

1

2

2

.

g gg g T g

c t x x

gT g T T

x

g T

g T

��

��

�

�

�

��

�

�

�

��

�

�

�

�

� ��

� � �

� � ��

� � �

� �

Se observa que solo la primera ecuación es diferente de las obtenidas por el métodode las ecuaciones linealizadas. Y es en esta ecuación donde se encuentran términos nolineales. La solución que obtengamos de (16.4) se diferenciará de la teoría linealizadaen que no solo contendrá los términos lineales, sino también las componentes deltensor métrico necesarias para obtener todos los términos (lineales o no) de segundoorden de la ecuación de movimiento.

Para resolver las ecuaciones de campo hacemos las definiciones22 4

0000 2 4 4

2 2 2; ,g g

c c c

� � ��

entonces la primera de las ecuaciones (16.4) queda

2 2 2 2

2 4 4

2 0 2 0 2222 00 00 00

004 2 4 4 4

2 2 2

2 4 4 82

c c c

GT g T T T

c t c c c

��

� � �

� ��

� �

� � � � � �

��

�teniendo en cuenta que

22 2 2 22 2 2� � � � � � ��

queda2 0 2 0 22

2 2 2 00 00 00

002 2 2 2 2

4 1 1 42

GT g T T T

c c c t c

��

� ��

�o bien

59

(16.4)


2 0 0 22 2 00 00

2 2 2 2 2 2 2

4 1 1 4 4 41 1

G GT T T

c c c t c c c

��

��

�� dividiendo toda la igualdad por 2

1 4 c�� y tomando hasta los términos de segundoorden

2 0 0 22 2 00 00

2 2 2 2 2

22 00

2 2 2 2

1 1 4 4

1 4

G GT T T

c c t c c

GT T

c t c c

��

��

� � ��

� ��

��

�

� ��

�� reencontrando una ecuación de ondas cuya solución se obtiene por la técnica de lospotenciales retardados

00

2 2

G T TdV

rc c

��

��

��donde el paréntesis significa valores retrasados y r’ es la distancia de la fuente (en laposición retrasada) al punto del campo. La anterior ecuación se puede descomponer,separando los términos de orden cero y los de orden dos

200

2

0 000

G TdV

rc

T TG dV

r

��

�

�

�

� ��

��

�

�

�donde no hemos considerado los valores retrasados en la última ecuación porquegenerarían términos mayores que el segundo y por tanto no serán necesarios.

De la tercera de las ecuaciones de campo se observa que

2

2

2g

c��

��

donde no es necesario tomar más que los términos de orden cero del potencial escalar,es decir el término kepleriano.

Haciendo la definición3

0

4g A

c

�

��

tendremos la ecuación1

01

2 0

3 3

4 G G TA T A dV

rc c

��

�

�

� � � � ��

donde la integral se refiere a valores actuales y no retardados, los cuales son de ordenmayor y no necesarios para desarrollar la ecuación de movimiento al orden deseado.

16.4 Los potenciales retardados

Supongamos que la distribución de masas que crea el campo cambie poco en com-paración con el tiempo que tarda la señal en ir de la fuente al punto del campo, o sea, espequeño el cambio de las derivadas temporales de las componentes del tensor energía-momento, o bien

60

(17.4)

(18.4)


.ik ik

T t r c T t��

Esta situación ocurrirá cuando las velocidades de las partículas fuentes sean peque-ñas comparadas con la velocidad de la luz y por tanto sus desplazamientos seanpequeños en el intervalo de tiempo que tarda la señal en llegar al punto del campo.

Las componentes del tensor energía-momento en el tiempo atrasado (momento deemisión de la señal) tienen la siguiente dependencia funcional

, , ,f f x t f x t r c� ��

donde x �� son las coordenadas del punto fuente en el momento de emisión de la señal,

x� son las coordenadas del punto del campo (que suponemos fijo), t� es el tiempo atra-

sado (o sea, el momento de la emisión) y t es el tiempo actual (momento en que llega laseñal). La doble dependencia funcional de las componentes del tensor energía-mo-mento viene a decirnos que para un momento determinado, la distribución de la ener-gía y el momento depende de la posición x �

� y que para una posición dada, esta mismadistribución varía con el tiempo.

Para poder expresar los potenciales en función de los valores actuales del tensorenergía-momento es necesario desarrollar en serie de potencias la función f

2

2

2

, ,1, , ...

2t t

x cte x ctet t t t

f x t f x tf x t f x t t t t t

t t� �

� �

� �

��

� ��

� ��

� � � ��

� ��

y como r� es la distancia del campo a la fuente en el momento atrasado r c t t� ��

2

2

2 2

, ,1 1, , ...

2x cte x cte

f x t f x tf x t f x t r r

c t c t� �

� �

� �

� ��

� � � ��

� �� entonces la expresión del potencial retardado queda

2

2 2

, ,1 1,

2x cte

f x t f x tf ddV dV f x t dV r dV

r r c dt c t�

� �

�

� �

� ��

� � ��

donde dV � indica que la integración espacial es realizada sobre las coordenadas x �� .

Démonos cuenta que al hacer las integraciones desaparecen las coordenadas x �� , de

aquí que hayamos puesto en el segundo término del desarrollo una derivada total envez de una parcial. También hay que señalar que las coordenadas x �

� son las variablesde la integración y pueden ser entendidas como variables mudas, o sea, en la integralse refieren a un punto del espacio y no al punto ocupado por la fuente. Por esta circuns-tancia se puede sacar la derivada parcial del signo integral en el último de los sumandosde la expresión anterior

2 2

2 2 2 2

,1 1,

2 2x cte

f x t dr dV r f x t dV

c t c dt�

�

�

� �

� ��

��

donde de nuevo hemos sustituido la derivación parcial por la total puesto que la inte-gral solo depende del tiempo t.

Ahora podemos aplicar el resultado (19.4) para calcular el potencial escalar de unadistribución de masas en movimiento

61

(19.4)


2

2 2

,, , ,

2

x t d G dG dV G x t dV r x t dV

r dt c dt

�

� ��

� � ��

� � � � � ��

la integral del segundo sumando es la masa constante total y su derivada temporal esnula. Por tanto, el potencial escalar de una distribución de masas en movimiento hastala aproximación de segundo orden respecto a la inversa de c es

2

2 2

,, ... ,

2

x t G dG dV r x t dV

r c dt

�

��

� ��

� � � ��

donde el primer sumando corresponde al potencial kepleriano. Démonos cuenta quehemos logrado nuestro objetivo de expresar el potencial en función del valor actual dela densidad. Nótese que el potencial kepleriano se calcula suponiendo que en la posi-ción retrasada la densidad de energía que produce el potencial no es la que realmentehabía en el momento de la emisión, sino la que existe en el momento de la recepción.

Sea dM la masa que existe en la posición retrasada x �� en el momento actual t, o sea

dM no es la masa que crea el campo sino la que hay en el momento t en la mismaposición en la que se encontraba la masa que crea el campo; entonces si dM ocupa unvolumen dV � tenemos

,dM x t dV��

utilizando (20.4) se encuentra para su segundo sumando2 2

2 2 2 2

2

2 2

, ,2 2

, ,2

dM

dM

G d G dr x t dV r x x dM x x dV

c dt c dt

G ddM r x x

c dt

� � � � �

� �

� ��

� ��

� �

dMx �� representa la posición atrasada de la masa que produjo la señal que ahora llega al

observador, posición que está en el momento presente ocupada por la masa dM. Nóteseque r � es la distancia desde la posición donde se encontraba la masa en el momento dela emisión de la señal, al punto fijo del campo. La masa que estando en la posiciónatrasada emitió la señal en el instante t� se mueve, es decir existe la función

dM dMx x t

� �� .

El vector �r se define por

* t� �� r r r

donde r es el vector de posición del punto del campo, que es fijo y por tanto no dependedel tiempo. * t�r es la posición ocupada por la fuente en el momento atrasado, es unvector dependiente del tiempo porque la fuente se encuentra en movimiento, por tanto�r es el vector que va de la posición retardada de la fuente al punto del campo. De la

igualdad 2 2r� ��r se obtiene

2,

2

x xdr r dxu

dt dt r rx

� ��

�

��

� � � ��

r u

donde hemos tenido en cuenta que la velocidad de la masa fuente en el momentoatrasado es

*.

d d

dt dt

��

� �

r r

u

De r c t t� �� se encuentra

62

(21.4)

(20.4)


1dr dt

cdt dt

� � ��

y de (21.4) resulta que

1

1

dt

dt r c

��

� �� r u

lo que significa que en la aproximación de segundo orden que estamos considerandopodemos identificar las derivadas respecto a t y respecto a t� . Entonces

22 2

2 3

d r u

r rdt r

� ��

� ��

r u r a

por tanto, el potencial creado por la masa fuente que llevaba una velocidad u y unaaceleración a en el momento atrasado es la expresión

2 2

2 3 2 2....

2 2 2

dM G G u Gd G dM dM dM

r r rc r c c�

� � � ��

� � ��

r u r a

Si ahora queremos calcular el potencial escalar de todas las masas del sistema debe-mos integrar. Para ello téngase en cuenta que dM es la masa que en el momento t seencuentra en la posición retrasada, lo que significa que en la integración hay que usarla densidad en el momento t o densidad actual

22

2 3 2 22 2 2

G G u GG dV dV dV dV

r r rc r c c

��

� � � ��

� � ��

r u r a

Igual procedimiento habría que seguir para expresar el potencial vector A en fun-ción de la densidad actual y no de la densidad atrasada. Por aplicación de los poten-ciales atrasados al caso particular de materia en forma de polvo se encuentra

2 2

G GdV dV

r rc c

� ��

� �� u u

A

y al desarrollar en serie la densidad atrasada y considerando hasta el segundo ordense encuentra

2.

GdV

rc

��

��u

A

En el caso simplificado, pero que se da en numerosas situaciones, de un medioformado por partículas en forma de polvo donde podemos despreciar la presión, lascomponentes del tensor energía-momento que interesan son

2

00 0 0 2

2 2 2

2

0

dtT u u c

d

dx dx dtT

d dt d

dx dt dx dtT c c

d d dt d

� ��

� �

� ��

� ��

� ��

� ��

� � � �

�

� � � � � � � �

� � �

� � � �

�

� �

en el orden requerido

2 2 2 2 2 2 2 2

00 01 2d g u c dt c u c dt� ��

63

(22.4)

(23.4)

GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH64

0� es el potencial escalar en el punto donde se encuentra la partícula fuente. Lascomponentes del tensor energía-momento quedan

2 0

00 00 00 2 2

0

0

2

1

0 0

2

(suma respecto a )

.

T T T c u

T T u

T T cu

��

� � �

� ��

� �

�

�

�

� � � � �

� �

� �

De la segunda ecuación (17.4) queda que el segundo potencial escalar es

2

02 2u

G dVr

� ��

��

��el integrando no lleva corchetes, lo que significa que los valores son los actuales.

Debemos notar en (17.4) y (18.4) que los tres potenciales generan efectos inductivos,ya que las tres dependen de la velocidad de la fuente. Nótese que en la ecuación (23.4)aparecen, además del término kepleriano, términos de orden superior respecto a lainversa de c. Estos términos deben usarse cuando también se consideren los derivadosde las componentes 0,0 de orden 4 del tensor métrico.

17.4 Ecuaciones de campo con término cosmológico

Cuando consideramos el termino cosmológico, las ecuaciones de campo gravitatoriotoman la forma

1.

2ik ik ik ikR g R g T��

Queremos desarrollar la teoría linealizada pero teniendo en cuenta el término �, o seala ecuación (24.4). Consideramos que el campo es débil, como pequeñas son las varia-ciones del tensor métrico y eliminamos todos los términos no lineales, por lo que habráque partir de la ecuación de campo

1

2ik ik ik ik

R R T� � ��

donde los índices se suben y bajan por medio del tensor métrico de Minkowski. Contra-yendo índices se obtiene

4R T��

donde debemos de tener presente que la traza del tensor energía-momento se calculamediante el tensor

ik� .

Volviendo a la ecuación de campo (25.4) queda

1.

2ik ik ik ikR T T� � �

�

� ��

� Al objeto de simplificar las ecuaciones, aplicamos la condición gauge armónica, gra-cias a la cual el tensor de Ricci se simplifica para quedar

21

2 .2

ik

ik ik ikr

r

hT T

x x� � �

�

� � ��

� � � Al considerar la componente 0,0 de la perturbación, la ecuación de campo queda

(24.4)

(25.4)


2 2

200 00

00 002 2

1 12

2r

r

h hh T T

x x c t�

�

� � � ��

� � � � cuya solución es

00

00 4

1 24'

T TGh dV

rc

��

��que es la primera de las ecuaciones (4.4) más el término correspondiente a��, queresulta ser

'.

2

dV

r�

�

��La componente

0h � permanece inalterada cuando existe término cosmológico, al

igual que ocurre con h�� (� distinta de � ). Sin embargo, las componentes �� sí sonafectadas por el término cosmológico, puesto que

21

22

r

r

hT T

x x

��

��

� � ��

� � � es decir, la parte correspondiente al término cosmológico en h

�� es

.2

dV

r�

��

��En resumen, cuando existe término cosmológico las componentes de la perturbaciónen la teoría linealizada toman la forma

2

0

00 2 4

0 3

2

4

2 22 2

2

4

2

2

4

uG G dVh dV dV

r r rc c

G uh dV

rc

G dVh dV

r rc

G u uh dV

rc

�

�

��

� �

��

� � ��

�

�

�

�

��

��

� � �

��

��

� �

��

� � �

�

� �

�donde el corchete significa valores retrasado.

Suponemos que la r �que aparece en las fórmulas es la distancia propia desde laposición retrasada de la fuente al punto del campo, mientras que dV � es el volumenpropio de donde se encuentra contenida la fuente. También hay que advertir que laparte correspondiente al término cosmológico solo tiene sentido cuando se consideratodo el Universo. Es más, estos términos no generan fuerzas cuando el Universo esestático, ya que en este caso la perturbación correspondiente es constante.

En un Universo en expansión la distancia propia es función del factor de escalacósmico (que varía con el tiempo) y entonces las componentes del tensor métrico quesurgen del término cosmológico dependen del tiempo y sí pueden producir fuerzas.

El elemento de línea que se obtiene de (26.4) no coinciden con la de métrica deSchwarchild con término cosmológico, que en coordenadas standard es

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 21 2 3 sin

1 2 3

drds c r c dt r d r d

c r� � � �

��

� ��

65

(26.4)


la razón es que en este caso se toma una métrica con simetría esférica, pero si se toma eltérmino � (cuya fuente se encuentra esparcida por todo el Universo), la métrica ya notiene simetría esférica.

18.4 Campos gravitoelectromagnéticos cuando

existe término cosmológico

Cuando se considera el término cosmológico es posible separar el campo gravitatorioen dos partes: gravitoléctrico y gravitomagnético. Se sigue con las mismas definicionesde (5.4). Si hacemos la definición

2

dV

r�

�

��

��el elemento de línea queda en nuestro caso

2 2 2

2 4 2

2 2 8 21 1 .ds c dt d cdt dx dx

cc c c

� �

��

� � �

� � � ��

A r

Debemos advertir que el «potencial» � se debe de calcular para todo el Universoligado causalmente con el punto del campo en el momento de la observación. La ecua-ción anterior es un tanto extraña, por una parte nos permite «olvidarnos» del resto dela materia del Universo y solo considerar los cuerpos más cercanos, pero por otra partenos fuerza a hacer una valoración global de la acción producida por el términocosmológico.

A partir de (27.4) se obtiene la lagrangiana de una partícula de masa m

2 dmc

dt

�� L

donde � es el tiempo propio de la particula

1 22 2

2 2

2 2 4 2 4 2

2 2 8 21 .

v vmc v

c c c c c c

� � �

� ��

� �A vL

La condición gauge armónica en notación vectorial coinciden con la obtenida en elapartado 6.4, siempre y cuando tomemos hasta el segundo orden en la inversa de lavelocidad de la luz. Con las mismas definiciones de los campos gravitoelectromagnéticosse formulan las ecuaciones de campo en notación vectorial, que coinciden con las delepígrafe 6.4 excepto la primera de las ecuaciones

2

2 2

4

0

4 1.

G c

t

G

tc c

� �

�

� � � � �

��

�

� �

��

�

E

BE

B

EB j

19.4 Ecuaciones de campo con términos no lineales

dependientes del término cosmológico

Lo que hemos hecho anteriormente es obtener ecuaciones lineales cuando existetérmino cosmológico. Por esta razón los términos del tipo h� no los hemos considera-

66

(27.4)


do. Nótese que estos términos son no lineales, en el sentido de que el es «fuente» decampo gravitatorio.

Cuando se hacen cálculos a nivel cósmico se encuentra que el potencial keplerianoes del orden de 2

c , entonces los términos del tipo h� (que antes hemos despreciado)son del mismo orden que el término 2c� que sí consideramos en la ecuación de campodel apartado 17.4.

Con la idea de que términos del tipo h� intervengan en la deducción de los poten-ciales, es necesario tomar la ecuación de campo de la forma

1 1

2 2ik ik ik ik ik ik ik ik ikR R g T R R h T� � � � ��

contrayendo índices2

4 4 4R h T R c T� � ��

y la ecuación de campo queda

21

2 12

ik ik ik ik ikR T T g c� � � ��

� ��

� �al tener en cuenta la gauge armónica se deduce

2

21

2 2 12

ik

ik ik ik ikr

r

hT T g c

x x� � � �

� �

� � ��

que se resuelve mediante los potenciales retardados. Para el caso de la componente 0,02

00

00 2

1 42 .

2r

r

hT T

x x c

��

� �

� � ��

Ahora la componente 0

h�

sí se ve alterada por la presencia del término cosmológico, su

ecuación de ondas es2

0

0 0 0

42 2

r

r

hT h T A

cx x

��

� � ��

� � � � ��

por tanto las ecuaciones vectoriales de campo son2

2 2

4 4

0

4 12 .

G c

t

G

tc c

� � �

�

� � � � � � �

��

�

� �

��

�

E

BE

B

EB j A

20.4 Referencias1.- WEINBERG, Steven: Gravitation and Cosmology: principles and applications of the generaltheory of relativity, John Wiley and Son, 1972, pp. 211-249.2.- JACINTO DE MATOS, Clovis: «Approximation to the Second Order. Approximation of EinsteinField Equations with a Cosmological Constant in a Flat Background», arXiv:gr-qc/0609116v3,2007.3.- JACINTO DE MATOS, Clovis: «Gravitomagnetims in (Anti) de Sitter Spacetime», arXiv:gr-qc0908.1326v1, 2009.

67


4.- DAVIDSON, W.: «General Relativity and Mach’s Principle», Monthly Notices of the RoyalAstronomical Society 117 (1957) 112-117.5.- PASCUAL-SÁNCHEZ, J. F.: «The harmonic gauge condition in the gravitomagnetic equations», Il

Nuovo Cimento B 115 (2000) 725.

68

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