ECUACIONES DIFERENCIALES:

ACTIVIDAD 1

Ejercicios propuestos:

1. Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

A.dydx

+sen ( y )=0. Es una ecuación diferencial no lineal porque la función seno es función de y, y es de primer orden

B. y ' '+ y '+ y=0 .: Ecuación diferencial lineal de tercer orden

C. d2 yd x2 + dy

dx−5 y=ex: Ecuación diferencial lineal de segundo orden

D.(2 y+1 )dx+( y2 x− y−x )dy: Ecuación diferencial lineal de primer orden

E.x y'− y=x2 : Ecuación diferencial lineal de segundo orden

F. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial

( dydx

)+ y2+ yx− 1

x2=0

Rta: (dy / dx) = y’

( dy/dx) = - y2 – y/x + 1/x2

Derivamos y = 1/x por lo tanto queda y’ = - 1/x2

Reemplazamos en la ecuación principal: - 1/x2= - y2 – y/x + 1/x2

Sustituir el valor de y en la ecuación: - 1/x2 = - (1/x)2 – (1/x)/x + 1/x2

Solucionamos: - 1/x2 = - 1/x2 - 1/x2 + 1/x2 y eliminamos términos así : - 1/x2 = - 1/x2

Así se cumple de lado y lado la igualdad decimos que si es una solución de la ecuación

2. Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:

dydx

=−2xy

Rta: ydy = -2xdx

Integramos ambos lados = ∫ ydy = -2 ∫ xdx quedando así:

y2

2 = - 2

x2

2 + c

y2 = - 2x2 + c

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

2 xydydx

+ y2−2 x=0

Rta: (2xy)dy + (y2 – 2x)dx = 0

(y2 – 2x)dx + (2xy)dy = 0

Para saber si es exacta derivamos en sentido contrario, es decir donde está el dx derivamos

para y: y donde está dy derivamos para x y si nos da lo mismo es exacta.

d/dy = (y2-2x) = 2y

d/dx = 2xy = 2y por lo tanto es exacta.

(y2 – 2x)dx + (2xy)dy = 0

Tomamos cualquier miembro y lo integramos con su respectivo diferencial.

∫2 xy dy = 2x ∫ ydy = 2x y2

2 + c(x) = xy2 + c(x)

derivamos xy2 + c(x) con respect a x

d/dx ( xy2 + c(x) ) = y2 + c(x)

Esto se iguala con el miembro de la ecuación que tomamos al principio para encontrar c`(x)

y2 + c(x) = (y2 – 2x) dx

∫ c (x) = - ∫2 x dx

c(x) = - x2 + k la solución es : xy2 – x2 + k

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

(3 xy+ y2 )dx+(x2+ yx )dy=0M= (3xy + y2) dxN= (x2 + yx)dy

dM/dy = 3x + 2ydN/dx = 2x + y No son exactas(3x + 2y) – (2x + y )3x + 2y – 2x –yx +y / x2 + yxx + y / x(x+y)1/x

μ = e∫ 1xdx

μ = e¿ x

μ= x Factor integrante

D. Resuelva la ecuación diferencial

dydx

= yx+ xy

Rta en hojas

E. Resuelva la ecuación diferencial4√ yx+ y '=0

Rta: En la hoja

Determine el valor de y (1) siendo y(x) la solución que satisface y (0)=0

3. Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden:

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 2 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 8000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

Los datos que podemos extraer del enunciado son los siguientes

Volumen del lago 6000 millones de m3

Caudal entrante al lago 10000 m3/sCaudal saliente del lago 8000 m3/sSustancia contaminante: 2 m3/s

Se procede a hallar una ecuación diferencial para calcular la concentración de contaminantes en el transcurso del tiempo entonces esta estará en función del (t) ,Taza de entrada al lago  A: A= 10000  m3/sTaza de salida del lago B : B=8000 m3/sConcentración entrada C1 = 2  m3/sConcentración saliente depende del tiempo C(t) ???

V(t): volumen en el tanque en cualquier instante de tiempoQ(t): cantidad de contaminante en cualquier instanteC(t), concentración que hay en cualquier tiempo.

C(t)= Q(t) / v(t)Se analizan cada una de las variables anteriormente mencionadas Variación del volumen depende del tiempo dv/dt = A−BLa variación del volumen es lo que entra menos lo que sale dv =( A−B)dt

Integrando ambos lados de la ecuación

∫ dv=∫ ( A−B )dt

Solucionando las integrales v=( A−B ) (t )+C

Para hallar C partimos de una condición inicial del volumen en t=0

v (0 )=( A−B ) (0 )+Cv (0 )=C

Como A y B son diferentes el volumen en todo tiempo es diferente

Ahora para Q

dQdt

=R1−R2

R1=razón de entrada=A*C1R2=razón de salida=B*C(t)=B*Q(t)/V(t) Entonces

dQdt

=A∗C1−B∗Q( t)V (t)

4. Plantear con el grupo colaborativo otra situación problema que pueda ser desarrollado a través de los métodos vistos, realizando la caracterización de la ecuación diferencial, método de solución y solución de la situación.

Los estudiantes deben proponer un problema que permita la participación y el ejercicio de solución a una situación planteada por ellos mismos, teniendo en cuenta los siguientes elementos:

Definir el problema: el grupo debe identificar el problema que desean resolver o la demostración que pueden realizar posteriormente continúan con el análisis del problema, realizar una lista de conocimientos previos y de lo que no se conoce, preparación y discusión en grupo, solución del problema

Una taza de café cuya temperatura es de 88 ºC se deja en un cuarto cuya temperatura constante es de 18 ºC. Dos minutos más tarde la temperatura del café es de 79 ºC. La ecuación que generaliza este problema es:

Para ello tomamos como:

Tm=18°C; T(0)=88°C; T(2)=79°C

Vamos a hallar la (c), teniendo en cuenta la ecuación de enfriamiento:

T=Tm + Cekt

T(0)=18+cekt

88=18+c

c=88-18

c=70

Ahora vamos a hallar la (k), teniendo en cuenta la temperatura a los 2 minutos:

79=18+70 ekt

Hemos reemplazado t=2:

79=18+70 e2k

70e2k=79-18

70 e2k=61

e2k=61/70

k= ln e (61/70) / 2= ln e 0.87/2=-0.13/2=-0.06Entonces ya encontramos (c) y (k), ahora podemos escribir la ecuación del problema, la cual queda como: T=18+70e(-0.06)t

ACTIVIDAD 2

Ejercicios propuestos

Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior

1. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

A. xdydx

+x3 y=0

B. y2 x '+2 yx=0

C. y ' '− y '−6 y=0

D. y[ 3 ]−3 y [ 2 ]−3 y '− y=ℓx−x+16

E. y ' '−9 y=54

F. y ' '+25 y=6 senxG. y '− yx=5xH. xy '+ y=5 x2

I. x2 y '+3 xy= sen xx

2.Demostrar que

X3

y |x|

3

; son soluciones linealmente independientes de la

siguiente ecuación diferencial:

x2 y ' '−4 xdydx

+6 y=0

en el intervalo

−∞∠ x∠∞

3. a. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:

x2 y ' '−xy+ y=04 x ln (x)

b. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes indeterminados:

y ' '2 y '+5 y=24e3x

4. Encontrar un operador diferencial que anule a:

a. x+3 xye6 x

b. (x3−2 x)(x2−1)c. xe

x

d. 1−5 x2+8x3

5. Resolver la siguiente ecuación diferencial:

x2 y ' '+x y '+ y=0

6. Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de orden superior:

Considere una masa de 30 kg que está unidad a una pared por medio de un resorte de constante k=30N/m. Si se alarga el resorte una distancia de 0.18 m y se suelta a partir del reposo, determine la posición y la velocidad de la masa en el tiempo, la frecuencia de oscilación, la amplitud, el ángulo de fase y las energías potencial y cinética en el tiempo t.

7. Plantear con el grupo colaborativo otra situación problema que pueda ser desarrollado a través de los métodos vistos, realizando la caracterización de la ecuación diferencial, método de solución y solución de la situación.

Los estudiantes deben proponer un problema que permita la participación y el ejercicio de solución a una situación planteada por ellos mismos, teniendo en cuenta los siguientes elementos:

Definir el problema: el grupo debe identificar el problema que desean resolver o la demostración que pueden realizar posteriormente continúan con el análisis del problema, realizar una lista de

conocimientos previos y de lo que no se conoce, preparación y discusión en grupo, solución del problema

ACTIVIDAD 3

Ejercicios propuestos:.

Temática: ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias

1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor:

dydx

=e−x2

, y (0 )=1

2. Revisar la convergencia de las siguientes series

∑n=1

∞enn!nn

∑n=1

∞n

(n+1)(n+2)(n+3)

∑n=1

∞ 1

2n+1

∑n=1

∞ 1n !

3. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0

y '+2 y x=0

4. Resolver por series la ecuación diferencial

5. Solución en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario

6. Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y

buscar la solución más apropiada según las ecuaciones diferenciales por el método de series de potencias.

Se lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con velocidad inicial v0. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando en cuenta la variación del campo gravitacional con la altura, encontrar la menor velocidad inicial v0 que necesita el cuerpo para que no regrese a la tierra. Esta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de escape. (Ver figura 1.)

figura 1.

7. Plantear con el grupo colaborativo otra situación problema que pueda ser desarrollado a través de los métodos vistos, realizando la caracterización de la ecuación diferencial, método de solución y solución de la situación

Los estudiantes deben proponer un problema que permita la participación y el ejercicio de solución a una situación planteada por ellos mismos, teniendo en cuenta los siguientes elementos:

Definir el problema: el grupo debe identificar el problema que desean resolver o la demostración que pueden realizar posteriormente continúan con el análisis del problema, realizar una lista de conocimientos previos y de lo que no se conoce, preparación y discusión en grupo, solución del problema.