Edicions UPC - Tratamiento Digital de la Senal, Una Introduccion Experimental - Libro de señales y...

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UPC GRUPO DE PROCESADO DE SEÑALDepartamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones

TRATAMIENTO DIGITALDE LA SEÑAL

Una introducción experimental

José B. Mariño Acebal(coordinador de la obra)

Francesc Vallverdú i BayésJosé A. Rodríguez Fonollosa

Asunción Moreno Bilbao

Presentación 7

Presentación

El tratamiento digital de la señal1 tiene su origen en los años sesenta con la utilización comercial delos primeros computadores digitales. En aquel entonces los sistemas de comunicaciones habíanalcanzado una complejidad tal que su diseño y desarrollo, basándose en prototipos, implicaban costesprohibitivos. Como alternativa en las primeras fases de diseño, donde se estudian la viabilidad y lasprestaciones básicas de las diferentes posibilidades, se acudió a la simulación mediante computador.Las señales, que se modelaban como funciones de variable real (el tiempo analógico), se representaronpor secuencias de muestras, de modo que pasaron a ser funciones de variable entera (el ordinal o eltiempo discreto). De acuerdo con ello, los sistemas (analógicos), que actuaban sobre funciones devariable real, fueron sustituidos por sistemas (discretos) que manejaban secuencias de números. Deesas fechas (1967) data el algoritmo Fast Fourier Transform (FFT) que permite el cálculo de latransformada de Fourier con un reducido coste computacional. Dada la relativamente escasa capacidadoperacional de los computadores de la época, el cálculo de la transformada de Fourier, imprescindiblepara la descripción de las prestaciones de los sistemas de comunicaciones, era inabordable antes de laaparición de este algoritmo; por ello, se considera que la FFT proporcionó al tratamiento digital de laseñal una excelente plataforma de lanzamiento.

Durante la década de los setenta se asiste a un desarrollo continuado de la tecnología digital. En 1972aparece el primer microprocesador de propósito general y en 1980 el primer microprocesadorespecializado en el tratamiento de señal (µDSP), diseñado para realizar eficientemente el cálculoreiterado de la combinación producto-acumulación (operación básica de la convolución). Al mismotiempo, comienza un desarrollo vertiginoso de la teoría fundamental del tratamiento digital de la señaly la exploración de su aplicación práctica en un sinfín de campos. Al convertir la manipulación de lasseñales en una cuestión de cálculo numérico realizada en un computador, el DSP pudo incorporar a supatrimonio todos los conocimientos matemáticos o de cualquier otra índole susceptibles de serprogramados en un computador. Así, la simulación de sistemas analógicos pronto se convirtió en unamás de las muchas tareas que se podían abordar, y tomaron nuevo impulso actividades como eldesarrollo de diversos tipos de radar inteligente (guerra electrónica), el reconocimiento y la síntesis devoz, nuevos sistemas de control, etc. No obstante, la tecnología digital era cara y sus prestaciones

1 En inglés: Digital Signal Processing, que suele abreviarse con las siglas DSP. Por gozar de muy amplia

utilización, acudiremos a ellas para referenciar sucintamente al tratamiento digital de la señal.

8 Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

modestas, por lo que su aplicación industrial se limitaba a la manipulación de señales con reducidoancho de banda y a productos con una repercusión económica importante: telefonía y aplicacionesmilitares, sustancialmente.

A partir de 1980 se produce un espectacular avance en las prestaciones de los µDSP y en elabaratamiento de sus costes. Hoy en día se encuentran disponibles microprocesadores que realizan enaritmética real más de 10 millones de operaciones producto-acumulación por segundo (10 Mflops), y aun precio equivalente a un dólar por Mflop. Ello ha permitido la proliferación de aplicacionesindustriales del tratamiento digital de la señal, que ha impuesto su presencia en campos tan disparescomo las comunicaciones, el control, la robótica, la electromedicina, la geofísica e incluso laelectrónica de consumo. El DSP ha facilitado, por ejemplo, que hoy pueda disponerse de serviciostales como la telefonía celular, las comunicaciones de datos vía red telefónica o la televisión digital, desistemas de conversión de texto a voz, o que en nuestros hogares disfrutemos de efectos musicalesespeciales que pueden convertir nuestro salón en una catedral gótica o en el Palau de la música.

La importancia que ha adquirido el tratamiento digital de la señal, en la manipulación de las señales deinformación, ha sido reconocida con su presencia en los planes de estudio de las E. T. S. I. deTelecomunicación. Sin embargo, tal como están diseñados estos planes, el estudiante aborda el estudiode las señales y los sistemas en tiempo discreto tras haber recibido solamente una descripciónanalógica del mundo. Creemos que ello introduce una dificultad importante para que el estudiantepenetre en la esencia del dominio discreto, ya que por tendencia natural tratará de interpretar los nuevosconceptos a la luz de la intuición que tiene de la descripción continua; y si bien esa referencia puedeserle útil en ocasiones, otras veces le genera confusión y le conduce al error. Ejemplos concretos quepueden citarse de acuerdo con nuestra experiencia son la representación frecuencial en el dominiodiscreto, la manipulación de la variable entera, la relación entre los dominios analógico y discretoestablecida por la conversión A/D y D/A, y la transformada discreta de Fourier, entre otros. Estamosconvencidos, por tanto, de que para que el estudiante desarrolle su propia intuición de lo que ocurrecuando se hace uso de una representación discreta del tiempo, es muy importante que posea unaherramienta de experimentación. Además, para que los conceptos aprendidos no permanezcanmatemáticamente abstractos, es imprescindible acceder a una confirmación experimental de su alcancey significado. La satisfacción de ambos propósitos movió a desarrollar el programa 622 para PC.

Como instrumento de estudio que pretendía ser, el programa se diseñó para que la interfaz con elusuario fuese lo más amable posible. El estudiante no tiene que aprender ningún lenguaje deprogramación por sencillo que sea, sino seleccionar opciones de menús o proporcionar datosnuméricos mediante ventanas de diálogo. El programa 62 le permitirá generar secuencias, editar losvalores de sus muestras, realizar un tratamiento numérico de las mismas, diseñar y analizar sistemasdiscretos, representar gráficamente los resultados y, si el usuario dispone de la placa EVM con elmicroprocesador de procesado digital TMS320C30, podrá generar y filtrar señales analógicas, yexperimentar en un entorno analógico con sistemas relativamente complejos, tales como sistemas decodificación de voz, encriptado, modulación, multiplexión, generación de ecos y un largo etcétera. La

2 El programa recibió el nombre de 62 como acrónimo de SEñales Y Sistemas DiscretOS.

Presentación 9

capacidad de 62 es notable, ya que tiene incorporadas gran cantidad de operaciones sencillas cuyacombinación ofrece un sinfín de posibilidades.

Durante los años académicos 92/93 y 93/94, el programa fue utilizado como instrumento básico de lasprácticas de laboratorio de las asignaturas Redes (Análisis y Síntesis), plan 64, y Señales ysistemas II, plan 92, de la E. T. S. I. de Telecomunicación de la Universidad Politécnica de Cataluña yse distribuyó libremente a los estudiantes de dichas asignaturas, que lo reconocieron como unaexcelente herramienta de estudio que potenciaba la capacidad de autoaprendizaje. Así surgió la idea deredactar un texto que orientase en la labor de estudio con el programa, que resolviese la dificultadinicial de imaginar ejercicios ilustrativos y que ofreciese a otros docentes la posibilidad de participar denuestra experiencia. El proyecto era atractivo por cuanto que ninguno de los textos disponibles en elmercado sobre la materia ofrece una presentación integradora de teoría y práctica, apoyando elaprendizaje conceptual con experiencias motivadoras e ilustrativas. El presente texto pretende respondera las motivaciones expuestas.

El contenido del libro se circunscribe al programa de la asignatura Señales y sistemas II antesmencionada. El texto se ha estructurado en dos partes: un manual de estudio y un manual delaboratorio. La primera parte desarrolla los aspectos teóricos al tiempo que ofrece EJEMPLOSilustrativos y propone EJERCICIOS para trabajar los conceptos introducidos; estos ejercicios, muchosde los cuales requieren el uso de 62, han sido enunciados como parte integrante del estudio teórico.Cada capítulo concluye con el enunciado de PROBLEMAS, cuya resolución permite controlar el gradode asimilación de los conceptos estudiados y considerar aplicaciones prácticas de los mismos. Lasegunda parte del texto plantea un conjunto de experimentos para ser realizados en el laboratorio. Cadapráctica indica claramente sus objetivos, proporciona un estudio previo preparatorio para lasactividades en el laboratorio y enuncia las experiencias a realizar. En resumen, se pretende que el textoproporcione al estudiante el material de estudio necesario para seguir la asignatura (texto de teoría,prácticas de laboratorio y colección de problemas) con una visión integrada y con un marcado carácterexperimental.

La temática considerada es clásica en los textos introductorios al tratamiento digital de la señal. Elprimer capítulo introduce los conceptos de secuencia y sistema, dedicando mayor atención a lossistemas lineales e invariantes; se estudia la convolución y la caracterización de los sistemas medianteecuaciones en diferencias finitas. El capítulo segundo se dedica a la representación frecuencial: latransformada de Fourier, su versión discreta (DFT), la correlación y la densidad espectral de energía opotencia y a las operaciones de diezmado e interpolación. Este capítulo, en contra de lo que eshabitual, aborda simultáneamente la transformada de Fourier y la DFT, lo que facilita laexperimentación numérica con la transformada de Fourier desde el comienzo de su estudio; esteplanteamiento proporciona adicionalmente una visión clara de las similitudes y diferencias decomportamiento de ambas transformadas. El tercer capítulo analiza las conversiones de señal entre losdominios analógico y digital (A/D y D/A), refiriéndose a la cuantificación, el teorema de muestreo y eluso de diezmado e interpolación para cambiar la frecuencia de muestreo. El capítulo cuarto comienzacon la transformada z, para proseguir con su utilización en el análisis de los sistemas lineales einvariantes: función de transferencia, respuesta frecuencial y respuesta temporal; se dedica especial

1 0 Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

atención a los sistemas de fase mínima y de fase lineal. El quinto capítulo presenta las técnicas de usopráctico para el diseño de filtros especificados en el dominio de la frecuencia: los filtros óptimos FIRde fase lineal y los filtros IIR obtenidos mediante transformación bilineal a partir de prototiposanalógicos de Butterworth, Chebychew o Cauer (elípticos); el capítulo concluye con el estudio de larealización de los filtros y ofrece la programación simbólica de las estructuras habituales. Finalmente,en el capítulo sexto se introducen los conceptos fundamentales sobre procesos aleatorios discretos.

Las actividades prácticas a realizar en el laboratorio, contenidas en la segunda parte del texto, son uncomplemento de la exposición teórica de la primera parte. Y lo son en dos sentidos: en primer lugar,porque ofrecen la oportunidad de obtener una versión experimental de los conceptos estudiados; y ensegundo lugar, porque en ocasiones desarrollan cuestiones tratadas de pasada en el manual de estudio.Se ha supuesto que cada práctica se desarrolla en una sesión de laboratorio con dos horas de duración.La primera práctica se dedica al estudio de las propiedades más relevantes de las conversiones A/D yD/A, para que el estudiante disponga desde el comienzo del curso de una visión conveniente delentorno analógico del tratamiento digital de la señal; como esta práctica se aborda sin el estudio previodel teorema de muestreo, su planteamiento es más intuitivo que formal. En la segunda práctica seexperimenta con sistemas, algunos de interés en estudios teóricos posteriores, haciendo hincapié en laconvolución; se incluye el filtrado de una señal analógica. La tercera práctica se dedica a latransformada de Fourier y la correlación e incluye el estudio de las secuencias periódicas; como objetode experimentación se hace uso de la señal de voz. El enventanado de secuencias motiva la cuartapráctica, que se dedica al análisis espectral de combinación de sinusoides y al diseño, mediante laventana de Kaiser, de filtros FIR de fase lineal. La quinta práctica, mediante la experimentación con unsistema multiplexor/demultiplexor de dos canales, aborda de nuevo el entorno analógico deltratamiento digital de la señal y las operaciones de diezmado e interpolación como instrumentos para elcambio de la frecuencia de muestreo. Por último, la sexta práctica se interesa por el diseño de filtros yofrece un criterio objetivo para evaluar el efecto de la distorsión de fase sobre la señal filtrada, lo quepermite destacar el beneficio de la fase lineal en la respuesta frecuencial del filtro.

El puesto de trabajo del laboratorio, además de un PC con la placa EVM, ha de disponer de ungenerador de funciones y un osciloscopio de baja frecuencia. También es de utilidad incluir la caja deconexionado que se describe en el Apéndice B, que evita la sobrecarga de los convertidores A/D yfacilita la adquisición de señales procedentes de un micrófono o un walkman y permite llevar la salidade los convertidores D/A a auriculares.

Aunque el manual de estudio ha sido redactado de forma que pueda realizarse una lectura del mismoindependiente del manual de prácticas, éstas han sido elaboradas de forma que proporcionen un adecuadoasentamiento de los conceptos estudiados y preparen para abordar otros nuevos. En realidad, ambaspartes han sido confeccionadas de acuerdo con el desarrollo natural del curso académico y sontributarias de ello. A efectos de orientar en la utilización de este texto como material para un cursointroductorio sobre el tratamiento digital de señal, es interesante consignar la secuencialidad teórica delas actividades de estudio en que se basa este texto:

Apartados 1 y 2 del capítulo 1

Presentación 1 1

Práctica IResto del capítulo 1Práctica IIApartados 1 a 4 del capítulo 2Práctica IIIResto del capítulo 2 / Práctica IVCapítulo 3Práctica VCapítulos 4 y 5Práctica VI / Capítulo 6

Con esto no quiere decirse que las actividades deban ser necesariamente secuenciales, sino que se deseaproporcionar una indicación del progreso que consideramos natural en el estudio y una definición de losrequisitos conceptuales previos de cada práctica de laboratorio.

Dado que este libro ha sido escrito pensando fundamentalmente en los estudiantes de Señales ysistemas II del plan 92 de la E. T. S. I. de Telecomunicación de Barcelona, los conocimientos que sesuponen en el lector son los que corresponden a la situación de esta asignatura en el plan de estudios.Concretamente, aunque no imprescindible, es conveniente disponer de nociones básicas sobre teoría decircuitos, análisis de Fourier, funciones de variable compleja, filtros analógicos y probabilidad.

Con el libro se proporciona un disquete con el programa 62 y las secuencias y los sistemas empleadosen ejemplos, ejercicios y algunos problemas. Aunque los temas cubiertos en el libro no agotan lasposibilidades de 62, ofrecen una buena referencia para que cada equipo docente desarrolle su propioplanteamiento. En el Apéndice A se incluye el manual de usuario de 62. Este programa requiere parasu ejecución un PC 386 o superior con 640 Kbytes de memoria RAM y de la placa EVM de TexasInstruments, si se desea trabajar con señal analógica.

Los autores desean hacer mención especial de su agradecimiento a Luis Ubeda y Sonia Comajuan,estudiantes de la E. T. S. I. de Telecomunicación de Barcelona, que programaron 62 becados por laUniversidad Politécnica de Cataluña haciendo un excelente trabajo; adicionalmente, desean destacar laposterior dedicación de Luis Ubeda a la depuración de 62. Agradecen también a sus colegas delDepartamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones Javier Hernando, Climent Nadeu, Jaume Ribay Miguel Serra Aguilera sus comentarios y sugerencias, que han contribuido a mejorar la versiónpreliminar del programa 62, y a Philippe Salembier sus aportaciones a las actividades de laboratorio.No deben quedar sin referencia los estudiantes que han sido usuarios de 62 y colaboraron en superfeccionamiento.

Por último, constituye un grato deber reconocer a la Universidad Politécnica de Cataluña la ayudaconcedida para la redacción de este libro.

Los autoresBarcelona, febrero de 1995

Contenido 1 3

CONTENIDO

LIBRO PRIMERO: MANUAL DE ESTUDIO ............................................................. 15

1. Secuencias y sistemas.............................................................................. 171.0 Introducción.......................................................................................... 171.1 Caracterización de señales: rango y dominio ................................................ 171.2 Secuencias............................................................................................ 191.3 Sistemas .............................................................................................. 311.4 La ecuación de convolución...................................................................... 371.5 Ecuaciones en diferencias finitas................................................................ 491.6 Problemas ............................................................................................ 67

2. La representación frecuencial .................................................................. 732.0 Introducción.......................................................................................... 732.1 La transformada de Fourier....................................................................... 742.2 La transformada discreta de Fourier (DFT) ................................................... 812.3 Teoremas de la transformada de Fourier y de la DFT...................................... 872.4 La correlación y la densidad espectral de energía............................................ 992.5 Las secuencias con potencia media finita................................................... 1052.6 Diezmado e interpolación de secuencias .................................................... 1112.7 Problemas .......................................................................................... 119

3. Entorno analógico del tratamiento digital de la señal ......................... 1413.0 Introducción........................................................................................ 1413.1 Conversión A/D .................................................................................. 1413.2 Conversión D/A .................................................................................. 1473.3 Cambio de la frecuencia de muestreo ........................................................ 1513.4 Ejemplos de aplicación.......................................................................... 1543.5 Problemas .......................................................................................... 158

4. Sistemas lineales e invariantes ............................................................. 1654.0 Introducción ........................................................................................ 1654.1 La transformada z ................................................................................. 165


4.2 Función de transferencia......................................................................... 1754.3 Respuesta frecuencial ............................................................................ 1844.4 Sistemas pasa todo y de fase mínima........................................................ 1924.5 Sistemas de fase lineal........................................................................... 1964.6 Problemas........................................................................................... 202

5. Diseño de filtros .................................................................................... 2135.0 Introducción ........................................................................................ 2135.1 Filtrado en el dominio de la frecuencia ...................................................... 2135.2 Diseño de filtros FIR............................................................................ 2185.3 Diseño de filtros IIR............................................................................. 2355.4 Realización de los filtros........................................................................ 2445.5 Análisis comparativo entre filtros FIR e IIR.............................................. 2515.6 Problemas .......................................................................................... 252

6. Señales aleatorias................................................................................... 2616.0 Introducción ........................................................................................ 2616.1 Procesos aleatorios discretos................................................................... 2616.2 Procesos y sistemas lineales e invariantes ................................................. 2666.3 Representación espectral ........................................................................ 2706.4 Ergodicidad.......................................................................................... 2766.5 Estimación espectral ............................................................................. 2776.6 Problemas .......................................................................................... 282

LIBRO SEGUNDO: MANUAL DE PRÁCTICAS...................................................... 291Práctica I: Las secuencias................................................................................ 293Práctica II: Los sistemas ................................................................................ 303Práctica III: Transformada de Fourier, correlación y espectro.................................. 307Práctica IV: Enventanado de secuencias ............................................................. 319Práctica V: Diezmado e interpolación................................................................ 331Práctica VI: Diseño de filtros .......................................................................... 337

APÊNDICES ............................................................................................................. iApéndice A: Manual de usuario de 62................................................................. iiiApéndice B: En el laboratorio....................................................................... xxxixApéndice C: Solución de los problemas ........................................................... xliiiApéndice D: Bibliografía ................................................................................. liiiApéndice E: Índice alfabético............................................................................. lv

Manual de estudio 1 5

LIBRO PRIMERO:

MANUAL DE ESTUDIO

1 Secuencias y sistemas 1 7

1. Secuencias y sistemas

1.0 Introducción

La caracterización, el análisis y la síntesis de las señales y los sistemas que las manipulan juegan unpapel fundamental en la ingeniería de las tecnologías de la información. Ejemplos de sistemaseléctricos o electrónicos son el teléfono, la radio, la televisión, el radar, el sonar, equipos de controlpara navegación, instrumentación para laboratorio, biomédica, o para el análisis de seísmos, sistemasde simulación y muchos otros. Ejemplos de sistemas electromecánicos son los micrófonos, altavoces,hidrófonos, etc. Las señales son la representación de las entradas y salidas que estos sistemas procesano generan: corrientes o tensiones eléctricas, presión, desplazamiento, índices económicos, etc. Lasseñales se expresan habitualmente como funciones de la variable tiempo, aunque también puedendepender de la posición, el ángulo, etc.

El tratamiento de señales por medio de sistemas basados en procesadores digitales tiene un gran interésdebido a su versatilidad y a la capacidad de manejar simultáneamente señales de muy diversos orígenes.Por ello, muchos de los sistemas anteriormente mencionados se realizan mediante sistemas discretos,esto es, sistemas basados en el tratamiento numérico de las señales. En este capítulo se establecen lasbases para caracterizar las señales discretas mediante una notación y con una simbología común a todasellas e independiente de la fuente que las haya generado. También se fija la notación para caracterizarlos sistemas, se enuncian sus propiedades fundamentales y se relaciona la entrada y la salida de ungrupo muy importante de ellos, los sistemas lineales e invariantes, por medio de la ecuación deconvolución. Finalmente, se estudia la representación de sistemas por medio de ecuaciones endiferencias finitas y se muestran las ventajas que éstas aportan para la realización de sistemas lineales einvariantes.

1.1 Caracterización de señales: rango y dominio

Una señal es una función de una o varias variables. Atendiendo a los valores que pueden tomar estasvariables (dominio), las señales se clasifican en dos grupos: señales analógicas y señales discretas.Las señales analógicas son función de una o varias variables reales, y las señales discretas o secuenciasson función de una o varias variables que únicamente puede tomar valores enteros. Ejemplos deseñales de dominio real son la señal de voz (presión en función del tiempo), imagen (brillo en función


de la posición x,y), o la temperatura en función de la altura; ejemplos de señales de dominio discretoson el stock de un almacén (cantidad en función del elemento), el índice de la bolsa (valor en funcióndel día) y todas las señales que son resultado de tomar muestras o valores de señales de dominiocontinuo en instantes determinados.

El rango de una señal es el conjunto de valores que puede tomar la señal en su dominio. El rango escontinuo si está formado por uno o varios intervalos reales, o discreto cuando la señal toma un valorde entre los de un conjunto previamente establecido. Ejemplos de señales de rango continuo son latemperatura, la tensión o el brillo de una imagen; ejemplos de señales de rango discreto son lapoblación, el número de coches (sólo pueden tomar valores enteros) y las que se obtienen comoresultado de un proceso de cuantificación (representación de una señal por medio de N valoresdistintos): imagen en un periódico donde sólo se permite una escala de grises determinada para surepresentación, señal almacenada en una memoria de ordenador con un número de bits determinado, etc.En la figura 1.1 se ofrece una muestra de cada uno de los cuatro tipos de señales que se distinguen enel conjunto de señales de acuerdo con su rango y su dominio.

a) b)

c) c)

Fig. 1.1 Rango y dominio de señales. a) rango y dominio continuos, b) rango continuo y dominio discreto,

c) rango discreto y dominio continuo, d) rango y dominio discretos.

Otra clasificación del conjunto de señales las divide en deterministas y aleatorias. Una señaldeterminista está definida exactamente para cada valor de su dominio, tanto si el dominio es real (porejemplo, el tiempo) como si es entero (por ejemplo, el ordinal n). Una señal aleatoria se caracterizaporque a priori no se conoce el valor que va a tomar en un instante determinado, sino la probabilidadde que tome un cierto valor. Dentro del primer grupo se encuentran las señales que responden a unaexpresión analítica. Al segundo grupo pertenecen el ruido, la voz, las señales de comunicaciones, etc.Aunque también pueden responder a una expresión analítica, ésta depende de una o más variablesaleatorias. El estudio de las señales aleatorias se pospone al capítulo 6.


1.2 Secuencias

Una secuencia es una señal que depende de una variable discreta. También puede definirse como unconjunto ordenado de números o valores. Una secuencia x[n] se representa en función de una variable n(ordinal) que únicamente toma valores enteros. Para n no entero, es incorrecto suponer que la secuenciax[n] vale cero; simplemente no está definida. Una forma habitual de definir una secuencia es laenumeración de los valores de sus elementos como sigue

x[n] =…0, 1, 1, 1, 1, 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1, 0, … (1.1.a)

Esta forma es utilizada para secuencias con un número pequeño de elementos distintos de cero; elnúmero subrayado indica el valor correspondiente a n=0, el sentido de n creciente es hacia la derecha(x[1] = 0,2) y los puntos suspensivos indican que el resto de la secuencia vale cero. También puededefinirse una secuencia mediante una formulación del tipo:

x[n] = 1 - 4 ≤ n ≤ - 1

0 ,2 n 0 ≤ n ≤ 5 0 para otro n

(1.1.b)

La representación gráfica generalmente utilizada es la que se muestra en la figura 1.2, donde se pone demanifiesto la dependencia de la variable n. Una forma habitual de generar una secuencia es tomarmuestras equiespaciadas de una señal analógica dependiente del tiempo; de ahí que en ocasiones losvalores de la secuencia se denominen muestras, independientemente de si la secuencia ha sido generadapor medio de un muestreo o no, de que el eje de abscisas se indique como "eje temporal" y de quevalores concretos de la variable n reciban el nombre de "instantes".

... ...

n

x[n]

0 4 8-4-8

Fig. 1.2. Representación de la secuencia x[n] definida por (1.1)

Se define la duración de una secuencia como el número de muestras contenidas en el intervalo querecoge todas las muestras distintas de cero. Por ejemplo, la secuencia de la figura 1.2 tiene unaduración de 10 muestras. Cuando el número de muestras no nulas de la secuencia es finito, se dice quela secuencia es de duración finita; en caso contrario, diremos que la duración de la secuencia es infinita.En el programa 62 se entiende por longitud de una secuencia el número total de muestras a las que seda valor, aunque éste sea cero. No obstante, cuando no haya lugar a confusión, a lo largo del texto seutilizarán longitud y duración de una secuencia como sinónimos.


1.2.1 Transformación de la variable independiente

Muchas son las transformaciones que se pueden realizar sobre la variable independiente n. Acontinuación se exponen tres ejemplos de uso continuado en el texto y que, aplicados sobre lasecuencia de la figura 1.2, producen los efectos mostrados en la figura 1.3:

a) Desplazamiento de m muestras. Se consigue sustituyendo la variable n por n-m para formar x[n-m].Se dice que la señal desplazada x[n-m] está retrasada respecto a x[n] si m es positivo, y adelantada si mes negativo.

b) Reflexión de la señal sobre n=0. Consiste en reemplazar la variable n por -n para formarx[-n].

c) Escalado "temporal". Se obtiene sustituyendo n por kn para formar x[kn]. Si k es un entero mayorque la unidad, la señal resultante conserva una muestra de cada k muestras de la entrada. Estatransformación recibe el nombre de diezmado de la señal. Como se ve en la figura 1.3.c la secuenciax[2n] está "comprimida en tiempo" por un factor 2 y contiene las muestras pares de la secuencia x[n].Si se deseara mantener las muestras impares, debería utilizarse la transformación x[2n+1]. Si k esmenor que la unidad, la señal resultante debe ser expandida y los valores intermedios se debendeterminar con algún criterio (véase el ejemplo 1.1); este proceso se denomina interpolación.

... ...

n

x[n-2]

0 4 8-4-8

a)

... ...

n

x[-n]

0 4 8-4-8

b)

... ...

n

x[2n]

0 4 8-4-8

c)

Fig. 1.3. Transformaciones de la variable independiente: a) desplazamiento, b) reflexión, c) escalado.


EJEMPLO 1.1: Otra transformación útil es la expansión del eje temporal; por ejemplo z[n] = x[n/2].En este caso, la secuencia z[n] no está definida para n impar. Si se desea una señal "parecida" a x[n]con valores intermedios interpolados, se puede definir:

z[n] = x[n/2] n par

12 x[(n-1)/2] + x[(n+1)/2] n impar

... ...

n

z[n]

0

Fig. 1.4 Señal interpolada

La secuencia z[n] está representada en la figura 1.4. Éste es un ejemplo muy simple para interpolar

valores; en el capítulo 2 se estudia esta operación con más detalle.♦

EJERCICIO 1.1: Es importante familiarizarse con las transformaciones básicas que se acaban deexponer y, en particular, con la combinación del retardo de una secuencia y la reflexión respecto a n=0.Compruebe que el resultado cambia en función del orden en que se aplican dichas transformaciones.Para ello, ayudándose del programa 62:a) Genere la secuencia de la figura 1.2 con una longitud de 20 muestras (haga uso de la opción "Editar

secuencia" del menú "Generación").b) Represente la señal resultante al aplicar sobre la señal:

1. Un retardo de 2 muestras y a continuación una reflexión sobre n=0.2. Una reflexión sobre n=0 y a continuación un retardo de 2 muestras.

c) Identifique las expresiones x[-n-2] y x[-(n-2)] con cada una de las secuencias obtenidas en el

apartado anterior.♦

1.2.2 Parte par y parte impar de una secuencia

Una secuencia es par si x[n] = x[-n] . Una secuencia es impar si x[n] = -x[-n]. Definiendo la parte parde una secuencia

Parx[n] = 12 ( )x[n] + x[-n] (1.2)

y la parte impar


Imparx[n] = 12( )x[n] - x[-n] (1.3)

cualquier señal discreta puede expresarse mediante la combinación:

x[n] = Parx[n] + Imparx[n] (1.4)

... ...

n

Parx[n]

0

... ...

n

Imparx[n]

0

Fig. 1.5 Parte par y parte impar de la secuencia x[n] de la figura 1.2

EJEMPLO 1.2: La figura 1.5 proporciona las partes par e impar de la secuencia de la figura 1.2.♦

EJERCICIO 1.2: Demuestre que la parte par de una secuencia es una secuencia par y que la parte

impar de una secuencia es una secuencia impar.♦

1.2.3. Secuencias periódicas

Una secuencia x[n] es periódica cuando satisface la igualdad:

x[n] = x[n+P] ∀ n (1.5)

Si una secuencia verifica (1.5) para P=M, también lo hace para cualquier múltiplo entero de M. Sedenomina periodo al menor entero positivo P para el que se cumple (1.5). No obstante, por extensiónsuele decirse también que x[n] es periódica con periodo cualquier múltiplo de P entero y positivo.

1.2.4. Secuencias deterministas básicas

A continuación se definen unas secuencias deterministas básicas. Estas secuencias son utilizadas a lolargo de este texto para ilustrar los conceptos y procedimientos que se van introduciendo.


... ...

n0

δ[n]

... ...

n

u[n]

0

Fig. 1.6 Secuencia δ[n] Fig. 1.7 Secuencia escalón u[n]

Secuencia delta o impulso unidad: δ[n]

La secuencia delta se denota por δ[n] y se define como:

δ[n] = 1 n = 0 0 para otro n (1.6)

También se denomina impulso unidad y está representada en la figura 1.6. Una propiedad importantede esta secuencia es que cualquier señal discreta se puede representar como combinación lineal de deltasde una forma simple y directa. Por ejemplo, la secuencia de la figura 1.2 admite la siguienteformulación:

x[n] = δ[n+4]+δ[n+3]+δ[n+2]+δ[n+1]+0,2 δ[n-1]+0,4 δ[n-2]+0,6 δ[n-3]+0,8 δ[n-4]+δ[n-5]

En general, cualquier secuencia puede representarse como una suma de deltas

x[n] = … x[-3] δ[n+3] + x[-2] δ[n+2] + x[-1] δ[n+1] + x[0] δ[n] + x[1] δ[n-1] + x[2] δ[n-2] +…

que, en forma compacta, se expresa

x[n] = ∑k=-∞

∞ x[k] δ[n-k] (1.7)

Secuencia escalón: u[n]

La secuencia escalón se denota por u[n], se define como

u[n] = 1 n ≥ 0 0 n < 0 (1.8)

y se representa en la figura 1.7. La relación con la secuencia delta se halla sustituyendo x[n] por u[n]en (1.7) y aplicando la definición (1.8):

u[n] = ∑k=0

∞ δ[n-k] = ∑

k=-∞

n δ[k] (1.9)


El tercer término en (1.9) se ha obtenido con un sencillo cambio de variable. A partir de cualquiera delas relaciones (1.9) se comprueba fácilmente que la secuencia delta puede expresarse en función delescalón por medio de una diferencia:

δ[n] = u[n] - u[n-1] (1.10)

Secuencia signo: signo[n]

Por definición, la secuencia signo [n] es

signo[n] = 1 n > 0

0 n = 0 -1 n < 0

(1.11)

Esta secuencia es impar y puede relacionarse con la secuencia escalón mediante la expresión:

signo[n] = u[n] - u[-n] (1.12)

Secuencia pulso: pL[n]

La secuencia pulso se denota por pL[n] y es una secuencia de duración L muestras definida por

pL[n] = 1 0 ≤ n ≤ L-1 0 para otro n (1.13)

Esta secuencia y la secuencia escalón guardan la siguiente relación

pL[n] = u[n] - u[n-L] (1.14)

Secuencia exponencial:

Una secuencia exponencial responde a la expresión:

x[n] = C zn (1.15)

donde C y z son, en general, números complejos.

En el caso particular de que C y z sean números reales, x[n] representa la familia de exponenciales quese muestra en la figura 1.8, donde se ha tomado C>0. Dado que z es real, al hacer explícito el signo seobtiene:


x[n] = C |z|n s i z > 0 C |z|n (-1)n s i z < 0

(1.16)

De esta forma se pone de manifiesto el factor |z|n. Si |z|>1 la exponencial es creciente, como muestranlas figuras 1.8.a y 1.8.c; si |z|<1 la exponencial decrece, como se ilustra en las figuras 1.8.b y 1.8.d.El factor (-1)n provoca la alternancia de signo en las dos secuencias inferiores de la figura 1.8.

... ...

n

(z>1)

... ...

n

(0<z<1)

a) b)

... ...

n

(z<-1)

... ...

n

(-1<z<0)

c) d)

Fig. 1.8 Secuencias exponenciales x[n] = C zn con C y z reales

Cuando C y z sean números complejos, se pueden representar en forma polar, z = |z| ejω y C = |C| ejθ;

al sustituir estas expresiones en (1.15) y aplicando la fórmula de Euler, la secuencia exponencial

x[n] = |C| |z|n ej(ωn+θ) =

= |C| |z|n cos (ωn +θ) + j |C| |z|n sen (ωn +θ) (1.17)

se relaciona con la sinusoide. La pulsación ω se expresa en radianes por muestra y la fase θ enradianes. La pulsación ω se relaciona con la frecuencia f mediante:

ω = 2π f (1.18)

f se indica mediante ciclos por muestra.

Para representar la exponencial compleja, es preferible acudir a su expresión binómica y calcular suspartes real e imaginaria y dibujarlas por separado. Tanto la parte real como la parte imaginaria de x[n]constan de un factor exponencial |z|n que multiplica a un término sinusoidal. En la figura 1.9 serepresenta x[n] habiéndose elegido ω = π/8 y distintos valores de |z|. El término |z|n se aprecia en lasfiguras como una "envolvente visual"; si |z| <1, forma una exponencial decreciente y, si |z| > 1,evoluciona como una exponencial creciente.


... ...

n

... ...

n

a) Rex[n], |z|<1 b) Imx[n], |z|<1

... ...

n

... ...

n

c) Rex[n], |z|>1 d) Imx[n], |z|>1

Fig. 1.9 Secuencia x[n] = C zn con C=1, z= |z| ejω, ω = π/8 (a) y b) |z|<1, c) y d) |z|>1).

La representación de z en un plano complejo, como el que se muestra en la figura 1.10 y del que sehace frecuente uso en el capítulo 4 donde se introduce el dominio transformado z, facilita la expresiónmnemotécnica de las propiedades de las secuencias exponenciales. Cualquier número z se representa eneste plano complejo por un punto; de su posición se deduce inmediatamente si la secuencia escreciente o no, si oscila o no y, en caso de hacerlo, con qué velocidad. En el estudio anterior sobre lassecuencias exponenciales complejas se ha establecido que la secuencia es decreciente o creciente segúnsea |z|<1 o |z| >1, respectivamente. Por tanto, |z| =1 indica una zona en este plano donde la secuenciacorrespondiente tiene amplitud constante. El valor de ω está relacionado con la oscilación de lasecuencia. Si ω = 0 no hay oscilación (z es real y positivo); para ω ≠ 0 se producen oscilaciones,como se deduce de la expresión (1.17), debido a los términos cos ωn y sen ωn. Conforme ω aumenta,evoluciona más rápidamente la oscilación, y alcanza para ω = π la máxima velocidad posible, esto es,

la alternancia de signo muestra a muestra. Debe observarse también que los valores z1= |z1| ejω y

z2= |z1| ej(ω+2π) quedan representados en el plano z por el mismo punto, lo que significa que z1 y z2generan la misma secuencia exponencial. Esta propiedad se analiza a continuación para las sinusoidescomplejas.

En el caso particular |z| = 1, x[n] es la sinusoide compleja:

x[n] = C ejωn = C ej2πfn (1.19)

Aparentemente ésta es una señal periódica, pero no siempre es así. Es importante mencionar algunasdiferencias importantes respecto a las sinusoides complejas de variable real.


Im

Re

z = re jω

Circunferenciade radio unidad

1

Plano z

ω

r

Fig. 1.10 Representación del plano z

A1- Supongamos una frecuencia f=fo; una sinusoide compleja de variable real t, x(t) = C ej2πfot,representa una mayor velocidad de oscilación cuanto mayor es fo. Sin embargo, éste no es

necesariamente el caso cuando se trata de una sinusoide compleja de variable entera n. Puesto que parak entero

C ej2π(fo+k)n = C ej2πfon

las frecuencias fo y fo+k representan la misma oscilación, definen la misma secuencia.

A2- Una sinusoide compleja de variable real x(t) = Cej2πfot es periódica para cualquier fo. En cambio

la secuencia x[n] = Cej2πfon es periódica únicamente si fo es un número racional. En efecto, la

secuencia x[n] presenta periodo P si, de acuerdo con (1.5), se cumple:

x[n+P] = C ej2πfo(n+P)= C ej2πfon ej2πfoP = x[n] = C ej2πfon

Para que así sea, ej2πfoP debe valer la unidad o, lo que es lo mismo, el producto foP debe ser unnúmero entero. Por ser P entero, esta condición sólo se satisface si fo es un número racional. El

periodo P es el menor entero positivo que verifica

fo P = k ∈ N (1.20)

Equivalentemente

fo = kP

(1.21)

indica de forma explícita que fo debe ser racional y que existe más de una sinusoide compleja de

periodo P, como se comprueba en el ejemplo siguiente.


EJEMPLO 1.3: Se desea encontrar todas las sinusoides complejas de periodo P. Como se hademostrado en el apartado A2, su frecuencia debe cumplir (1.21); por tanto, las secuencias buscadashan de responder a la forma:

Φk[n] = ej2π n(k/P) k= 0, ±1, ±2, …

Pero, según A1

Φk+P[n] = ej2π n(k+P)/P = ej2π nk/P = Φk[n]

lo que quiere decir que únicamente hay P sinusoides distintas en el conjunto Φk[n]. En concreto, y a

título de ejemplo, obsérvese que Φo[n] = ΦP[n] y Φ-1[n] = ΦP-1[n].♦

EJERCICIO 1.3: Compruebe que la secuencia x[n] = ej2π7,56t t=nT es periódica con periodo:

a) P = 25 si T = 1, 1/3, 1/7 seg; b) P = 125 si T = 1/5 seg; c) P = 50 si T = 1/2 seg; d) P = 5 si

T = 5 seg; e) P=4 si T = 18,75 seg.♦

Sinusoide: cos (2πfon + θ)

De acuerdo con la fórmula de Euler, la sinusoide puede expresarse en función de sinusoides complejas:

cos (2πfon +θ) = 12( )ej(2πfon+θ) + e-j(2πfon+θ) (1.22)

Así, muchas de las propiedades estudiadas para las sinusoides complejas se extienden a las sinusoidesreales:

B1- Como consecuencia de A1, se concluye que una sinusoide de frecuencia fo y otra de frecuenciafo+k son idénticas, siendo k cualquier número entero. Por tanto, puede decirse que las frecuencias fo yfo+k son equivalentes. Además, un aumento de la frecuencia fo no se traduce necesariamente en que laseñal oscile más rápidamente. En la figura 1.11 se muestra la secuencia cos(2πfon) con fo=j/16 y

valores crecientes de j, desde j=0 hasta j=17/16. Mientras la frecuencia se encuentra en el margen0≤fo≤0,5, la velocidad de la oscilación va aumentando hasta alcanzar el cambio de signo de unamuestra a la siguiente. A partir de esta frecuencia, fo = 8/16 = 0,5, la señal oscila cada vez máslentamente hasta llegar a ser una constante, como se aprecia en la figura 1.11.i. Para 1≤fo≤2, las

secuencias se repiten exactamente, como se puede comprobar comparando las figuras 1.11.a y 1.11.bcon las figuras 1.11.i y 1.11.j, respectivamente, ya que sus frecuencias difieren en un número entero.

EJERCICIO 1.4: Identifique en la figura 1.11 las secuencias idénticas y relacione sus frecuencias yfases. Compruebe que dos secuencias senoidales con frecuencias fo y 1-fo representan la misma

oscilación; es decir, sus frecuencias son equivalentes. Trate de justificar este resultado.♦


... ...

n

... ...

n

a) cos(2πn0/16) = 1 b) cos(2πn/16) = cos(πn/8)

... ...

n

... ...

n

c) cos(2πn2/16) = cos(πn/4) d) cos(2πn4/16) = cos(πn/2)

... ...

n

... ...

n

e) cos(2πn8/16) = cos(πn) f) cos(2πn12/16) = cos(3πn/2)

... ...

n

... ...

n

g) cos(2πn14/16) = cos(7πn/4) h) cos(2πn15/16) = cos(15πn/8)

... ...

n

... ...

n

i) cos(2πn16/16) = cos(2πn) j) cos(2πn17/16) = cos(17πn/8)

Fig. 1.11 Secuencias cos 2πfon para distintos valores de fo

EJEMPLO 1.4: Sea la señal analógica xa(t) periódica de periodo To. La secuencia

x[n] = xa(nT)


¿es periódica?, ¿cuál es su periodo? Para responder a estos interrogantes, obsérvese que, por serperiódica, la señal analógica verifica:

xa(t) = xa(t+To) ∀ t∈ ℜ (1.23)

Para que la secuencia x[n] sea periódica con periodo P (entero) se debe cumplir (1.5), que puedeexpresarse en función de las muestras de la señal analógica como sigue

xa(nT) = xa((n+P)T) (1.24)

Por tanto, se debe cumplir:

xa(t) t=nT = xa(t+PT) t=nT (1.25)

Comparando (1.23) y (1.24), se deduce que la secuencia x[n] es periódica con periodo P si el productoPT es un múltiplo entero de To; es decir, PT = kTo. El periodo es el entero menor que cumple estaigualdad: P = k To/T. Por tanto, la secuencia es periódica si To/T es un número racional, y su periodo

es el menor entero múltiplo de este cociente.♦

B2- Como consecuencia de A2 (o del ejemplo anterior) se puede concluir que la secuenciax[n] = cos(2πfon) es periódica sólo si fo es racional. El periodo P es el primer múltiplo entero

positivo de 1/fo. En la figura 1.12 se muestra una sinusoide no periódica con fo= √ 10.

... ...

n

Fig. 1.12 Secuencia x[n] = cos (2π√ 10 n). En línea punteada se muestra x(t) = cos (2π√ 10 t).

EJERCICIO 1.5: Genere con el programa 62 las secuencias indicadas a continuación y verifique que :

a) x[n] = cos(2π30

n) es periódica con periodo 30. d) x[n] = cos(2π3730

n) tiene periodo 30.

b) x[n] =cos(2π1630

n) es periódica de periodo 15. e) x[n] = cos(2π√ 730

n) no es periódica.

c) x[n] = cos(2π1530

n) es periódica de periodo 2. f) x[n] = cos(130

n) no es periódica

Para cada una de las secuencias periódicas, determine el número k de ciclos presentes en un periodo P.

Si fo es la frecuencia equivalente tal que 0≤ fo≤ 0,5, compruebe que fo = k/P.♦


1.3 Sistemas

En el apartado anterior se ha establecido una representación común a todas las secuencias eindependiente de la fuente que las ha generado. Así, se puede hablar de una secuencia x[n] que tanto sies un indicador económico, como el consumo de agua de una ciudad en función del año, la temperaturamedia en función del mes, o valores de cualquier señal analógica tomados cada cierto intervalo.También es posible establecer una notación común para describir los dispositivos que actúan sobre lasseñales y que genéricamente denominamos sistemas. Desde el punto de vista exterior (sin preocuparsede su realización), un sistema se caracteriza por la transformación que opera sobre una secuencia x[n],que se denomina entrada o excitación, para generar otra secuencia y[n], que recibe el nombre de salida orespuesta. Esta transformación se expresa mediante la siguiente relación entre entrada y salida:

y[n] = Tx[n] (1.26)

En la figura 1.13 se muestra la representación del sistema.

Tx[n]x[n] y[n]

Fig. 1.13 Representación de un sistema

EJEMPLO 1.5: Las transformaciones de la variable n mostradas en el apartado 1.2.1 pueden expresarsecomo la relación entre la entrada y la salida de un sistema:a) retardador de m muestras: y[n] = Tx[n] = x[n-m]b) reflexión: y[n] = Tx[n] = x[-n]c) diezmador por 2: y[n] = Tx[n] =x[2n]

d) intercalador de ceros: y[n] = Tx[n] = x[n/2] para n par 0 para n impar ♦

EJERCICIO 1.6: Demuestre que el sistema definido por

y[n] = Tx[n] = ∑k=-∞

∞ x[n+kP] (1.27)

genera, a partir de una señal no periódica x[n], una secuencia y[n] periódica con periodo Pindependiente de la duración de x[n]. Genere con el programa 62 una secuencia x[n] = cos2πn/12 deduración 12 muestras y aplique la transformación indicada en (1.27) para obtener y[n] entre n=0 y n=59con los siguientes valores para P: 3, 6, 12, 15 (utilice la opción "Generar periodicidad" del menú

"Tratamiento"). Compruebe que todas las señales generadas tienen periodo P.♦


1.3.1 Propiedades fundamentales de los sistemas

Linealidad

Un sistema es lineal cuando para cualquier a1, a2, x1[n], x2[n] y n se verifica:

Ta1 x1[n] + a2 x2[n] = a1 Tx1[n] + a2 Tx2[n] (1.28)

Es decir, cumple la propiedad de homogeneidad o escalado ya que, al multiplicar la entrada por unaconstante, la salida queda multiplicada por la misma constante; y la propiedad de superposición, ya quela respuesta del sistema a la suma de señales es la suma de sus respuestas individuales. Un sistemalineal se denomina real si la transformación sobre una entrada compleja es una secuencia complejacuya parte real es la respuesta a la parte real de la entrada y la parte imaginaria es la respuesta a la parteimaginaria de la entrada:

Ta[n] +j b[n] = Ta[n] + j Tb[n] (1.29)

EJEMPLO 1.6: El sistema Tx[n] = x2[n] no es lineal. En efecto:

Ta1 x1[n] + a2 x2[n] = (a1 x1[n] + a2 x2[n])2 == a12 x12[n] + a22 x22[n] + 2 a1 x1[n] a2 x2[n] ≠≠ a1 x12[n] + a2 x22[n]

Este sistema no cumple ni homogeneidad ni superposición.♦

EJEMPLO 1.7: El sistema Tx[n] = k1 x[n] + k2 no es lineal, ya que

Ta1 x1[n] + a2 x2[n] = k1 (a1 x1[n] + a2 x2[n] )+ k2 ≠≠ a1k1 x1[n] + k2 + a2 k1 x2[n] + k2

Este sistema puede interpretarse como un sistema lineal, el multiplicador por k1, seguido de unsistema que suma una señal (en este caso la constante k2), que es precisamente la salida cuando la

entrada es cero. En general, un sistema cuya respuesta no es nula sin excitación no es lineal, ya que lacondición de linealidad exige que a una entrada nula le corresponda una salida nula, como se compruebafácilmente particularizando a1=a2=0 en la expresión (1.28). No obstante, los sistemas cuya respuesta

puede componerse como la salida de un sistema lineal a la que se añade una constante se denominanincrementalmente lineales, porque verifican la propiedad de linealidad (homogeneidad y superposición)sobre incrementos o cambios en la señal de entrada. Queda como ejercicio comprobar que elincremento de la respuesta del sistema de este ejemplo cumple la propiedad de homogeneidad sobre unincremento ∆x[n] de la señal de entrada:

T x[n] + a ∆x[n] - Tx[n] = a (T x[n] + ∆x[n] - Tx[n])

♦


Invarianza

Un sistema es invariante si su comportamiento no depende del origen de tiempos. Sea y[n] larespuesta de un sistema a una entrada x[n]:

y[n] = Tx[n]

El sistema se llama invariante si, al desplazar la entrada x[n] m muestras, el sistema responde con lasecuencia y[n] desplazada también m muestras; es decir:

Tx[n-m] = y[n-m] (1.30)

EJEMPLO 1.8: Supóngase un sistema que realiza la multiplicación de la secuencia de entrada por unasecuencia z[n] = n

y[n] = Tx[n] = z[n] x[n] = n x[n]

Se puede obtener un desplazamiento de m muestras en la secuencia de salida con un cambio devariable:

y[n-m] = (n-m) x[n-m]

Sin embargo, si la entrada se desplaza m muestras, la respuesta del sistema es

Tx[n-m] = n x[n-m]

La respuesta del sistema depende del origen de tiempos; por lo tanto, el sistema es variante. El sistemade este ejemplo es un caso particular del multiplicador de dos secuencias:

y[n] = z[n] x[n]

que es uno de los sistemas lineales y variantes más utilizados en comunicaciones.♦

Causalidad

Un sistema es causal si la salida en cualquier instante depende únicamente de los valores pasados ypresente de la entrada:

y[n] = f… x[n-2], x[n-1], x[n] (1.31)

Si la variable independiente está relacionada con el tiempo, los sistemas realizables deben ser causales:un sistema causal no puede responder antes de que conozca la señal de entrada. No obstante, si lavariable independiente es espacial, la causalidad del sistema no es importante, ya que los conceptostemporales "antes" y "después" se traducen en posición. En este supuesto, la respuesta del sistemapuede depender perfectamente de lo que está "delante" y "detrás" sin violar ningún principio físico.


Desplazar una figura hacia atrás es posible, y el sistema que realiza esta transformación no es causal.Por otro lado, si la secuencia está almacenada en algún dispositivo como, por ejemplo, la memoria deun ordenador, una cinta magnética, etc., es posible utilizar sistemas no causales que precisen muestrasposteriores a la que se esté procesando incluso cuando la variable n esté relacionada con tiempo. Estoes así porque se ha realizado un almacenamiento previo de la secuencia y los supuestos valores futurosson conocidos.

EJEMPLO 1.9: El sistema Tx[n] = x[n-1] realiza un retardo de una muestra sobre la señal de entrada.La salida depende únicamente del valor anterior. El sistema es causal.

El sistema Tx[n] = x[n+1] realiza un adelanto de una muestra sobre la señal de entrada. La salida

depende de un valor futuro. El sistema no es causal.♦

Estabilidad

Un sistema es estable cuando para cualquier entrada acotada la salida está acotada:

Si |x[n]| < ∞ ∀ n ⇒ |y[n]| < ∞ ∀ n (1.32)

EJEMPLO 1.10: El acumulador es un sistema descrito por:

Tx[n] = y[n] = ∑k=-∞

n x[k]

Este sistema es inestable. Para comprobarlo, basta aplicar una señal acotada y verificar que la salida noestá acotada. Elegimos como señal de entrada el escalón u[n]:

x[n] = u[n]

y buscamos una muestra de la secuencia de salida que no está acotada:

y[∞] = ∑k=-∞

∞ u[k] = ∑

k=0

∞ (1) = ∞

♦

EJEMPLO 1.11: El promediador de L muestras es un sistema que calcula cada muestra de la salidacomo el valor promedio de L valores consecutivos de la entrada:

y[n] = 1L

∑k=0

L-1 x[n-k] (1.33)

En este ejemplo se estudian sus propiedades. En primer lugar se comprueba que el sistema es lineal,puesto que:


Ta1 x1[n] + a2 x2[n] = 1L

∑k=0

L-1 ( a1 x1[n-k] +a2 x2[n-k] ) =

= a1 1L

∑k=0

L-1 x1[n-k] + a2

1L

∑k=0

L-1 x2[n-k]

Es invariante, ya que la respuesta a una entrada desplazada m muestras coincide con la respuesta delsistema desplazada también m muestras:

Tx[n-m] = 1L

∑k=0

L-1 x[n-m-k] = y[n-m]

Es estable. Sea una entrada acotada:

|x[n]| ≤ C

El valor absoluto de la salida se obtiene a partir de (1.33), con lo que resulta:

|y[n]| = | 1L

∑k=0

L-1 x[n-k] | ≤

1L

∑k=0

L-1 |x[n-k]| ≤

1L

∑k=0

L-1 C

Para acotar la suma se ha aplicado, sucesivamente, que el valor absoluto de una suma de números esmenor o igual que la suma de los valores absolutos de dichos números, y que si la señal x[n] estáacotada también verifica que |x[n-k]| ≤ C. En definitiva, al realizar la suma:

|y[n]| ≤ C

lo que significa que la salida también está acotada.

El sistema es causal, ya que la salida en el instante n depende de los L-1 valores anteriores y el valor

presente.♦

EJERCICIO 1.7: Estudie las propiedades de linealidad, invarianza, causalidad y estabilidad de lossistemas siguientes:a) retardador de dos muestras: T1x[n] = x[n-2]b) reflexión: T2x[n] = x[-n]c) filtro de mediana de orden N (impar): T3x[n] = medianax[n], x[n-1], …, x[n-(N-1)], donde la

mediana de N valores es el valor que ocupa la posición central cuando se ordenan de menor amayor.

Estos sistemas se hallan programados en el menú "Tratamientos" del programa 62, por lo que se

puede apoyar en él para realizar el estudio que se pide.♦


x[n] y[n] y[n]x[n]z[n] ⊕

T1

T2T1

T2

a) b)

Fig. 1.14. Sistemas conectados a) en cascada, b) en paralelo.

1.3.2 Interconexión de sistemas

Habitualmente, los sistemas complejos se construyen interconectando sistemas más sencillos. Lascombinaciones básicas son en cascada y en paralelo. En la figura 1.14 se muestra la interconexión delos sistemas T1 y T2 en cascada (o serie): la salida z[n] del primer sistema constituye la entrada del

segundo. La señal de respuesta del conjunto se puede expresar como:

y[n] = T2z[n]

y, si se sustituye z[n] en función de la entrada al primer sistema T1, se obtiene:

y[n]= T2T1x[n] = Tx[n]

En consecuencia, la conexión en cascada de dos sistemas es equivalente a un único sistema que realizala transformación:

T = T2 T1

Es importante el orden en que se interconectan los sistemas en cascada ya que, en general:

T1 T2 ≠ T2 T1

salvo que, como se prueba en el próximo apartado, los sistemas sean lineales e invariantes. Porejemplo, si se combinan en cascada los sistemas T1 (retardador de 2 muestras) y T2 (reflexión) del

ejercicio 1.7, sus posiciones no son intercambiables; en efecto, de acuerdo con el ejercicio 1.1:

T1T2x[n] = x[-n+2] ≠ T2T1x[n] = x[-n-2]

En la figura 1.14.b se muestra la interconexión de dos sistemas T1 y T2 en paralelo. La señal de salida

se puede expresar como:


y[n] = T1x[n] + T2x[n] = (T1+T2)x[n]

La conexión en paralelo de dos sistemas es equivalente a un único sistema que realiza latransformación:

T = T1 + T2

EJERCICIO 1.8: En este ejercicio se propone el estudio, con ayuda del programa 62, del sistemadiezmador por una razón N: y[n] = Tx[n] = x[Nn].a) Genere la secuencia x1[n] = cos2πfon con fo=1/16, duración y longitud 160 muestras.

b) Aplique la secuencia a un sistema diezmador con los siguientes valores: N = 2, 7, 8, 12, 15.c) Justifique las formas de onda; identifíquelas, si es posible, con las de la figura 1.11 y determine su

periodo.d) Desplace la señal x1[n] 5 muestras para formar x2[n] = x1[n-5] y aplíquela al diezmador con N=2.

Compare x1[2n] y x2[2n]; ¿es el diezmador un sistema invariante?, ¿son intercambiables los

sistemas diezmador y retardador cuando se conectan en cascada?

e) Analice si el diezmador es un sistema causal.♦

1.4 La ecuación de convolución

En la sección anterior se han presentado propiedades generales de los sistemas, tales como linealidad,invarianza, causalidad y estabilidad. Esta sección se centra en los sistemas lineales e invariantes (L.I.),para los que se demuestra que pueden ser caracterizados completamente por su respuesta al impulsounidad. Esta caracterización permite establecer la relación entrada-salida de estos sistemas por medio dela ecuación de convolución y es útil para analizar las propiedades de estabilidad y causalidad.

Al definir la secuencia impulso unidad δ[n] se mostró que cualquier secuencia puede expresarse comocombinación lineal de deltas:

x[n] = ∑k=-∞

∞ x[k] δ[n-k] (1.34)

Cada uno de los términos de esta suma es una secuencia nula excepto la muestra para el ordinal n=k,donde está situado el impulso, cuya amplitud es x[k]. Si esta señal se aplica a un sistema lineal, lasalida y[n] viene dada por la siguiente combinación lineal:

y[n] = Tx[n] = T ∑k=-∞

∞ x[k] δ[n-k] = ∑

k=-∞

∞ x[k] Tδ[n-k] (1.35)

donde los valores x[k] actúan como constantes que pesan las distintas respuestas del sistema a deltassituadas en los ordinales k entre -∞ e ∞. Definiendo


h[n,k] = Tδ[n-k] (1.36)

la salida y[n] se puede expresar como:

y[n] = Tx[n] = ∑k=-∞

∞ x[k] h[n,k] (1.37)

La función en dos dimensiones h[n,k] proporciona toda la información necesaria para hallar la salida deun sistema lineal a una determinada entrada. Si además el sistema es invariante, basta conocer larespuesta del sistema a una delta en el origen para caracterizar totalmente el sistema. En efecto,definiendo la respuesta impulsional h[n] del sistema como:

h[n] = Tδ[n] (1.38)

la respuesta a una delta desplazada k muestras viene dada por:

Tδ[n-k] = h[n-k] (1.39)

es decir, la respuesta del sistema se desplaza k muestras pero la forma de onda es la misma. Trassustituir (1.39) en (1.35), se obtiene finalmente:

y[n] = Tx[n] = ∑k=-∞

∞ x[k] h[n-k] (1.40)

Esta relación es la ecuación de convolución, que permite calcular la respuesta y[n] de un sistema lineale invariante a una excitación x[n], únicamente a partir del conocimiento de cómo se comporta elsistema cuando a su entrada se aplica un impulso unidad. En otras palabras, la respuesta impulsionales una caracterización completa del funcionamiento del sistema en cuanto a la relación entre la entraday la salida se refiere. Siempre que en este texto un sistema sea representado por h[n], se ha desobreentender que el sistema es L.I. La convolución descrita por (1.40) se simboliza abreviadamentepor:

y[n] = x[n] * h[n] (1.41)

No es difícil comprobar que la respuesta impulsional de un sistema real ha de ser una secuencial real.

EJEMPLO 1.12: En este ejemplo se calcula la respuesta impulsional de algunos de los sistemas L.I.que aparecen en el texto:

Multiplicador y[n] = a x[n] h[n] = a δ[n] (1.42)

Retardador y[n] = x[n-m] h[n] = δ[n-m] (1.43)


Acumulador y[n] = ∑k=-∞

n x[k] h[n] = ∑

k=-∞

n δ[k] = u[n] (1.44)

Promediador y[n] = 1L

∑k=0

L-1 x[n-k] h[n] =

1L

∑k=0

L-1 δ[n-k] =

1L

pL[n] (1.45)

♦

La ecuación (1.40) se puede interpretar en el sentido de que, en un instante no, la muestra x[k] de laentrada contribuye a la respuesta del sistema con el valor x[k] h[no-k]. La salida

y[no] = ∑k=-∞

∞ x[k] h[no-k]

es la superposición de las contribuciones de cada una de las muestras de la excitación. Por tanto, parahallar la salida en el instante no se debe realizar la suma de todos los elementos de la secuenciax[k] h[no-k] de ordinal k, constituida por la aportación a la muestra y[no] de cada una de las muestras

de la entrada. Esta interpretación permite realizar la convolución (1.40) de una forma eficiente. Enparticular, con la ayuda de las gráficas necesarias, se calcula la convolución de dos secuencias mediantelos siguientes pasos:a) Referir las secuencias a la variable k.b) Realizar la reflexión de la respuesta impulsional h[k] para formar h[-k].c) Retardar n posiciones h[-k] para formar h[n-k] (el estudio de esta combinación de operaciones es

motivo del ejercicio 1.1).d) Hallar el producto x[k] h[n-k] y sumar sobre todo k.e) Repetir el proceso variando n. Puesto que se quiere evaluar la salida para todo n, este parámetro

debe variar entre -∞ e ∞.

EJEMPLO 1.13: Considérese la convolución de un pulso de N muestras con otro de M muestras:

x[n] = pN[n] = 1 0 ≤ n ≤ N-1 0 para otro n

h[n] = pM[n] = 1 0 ≤ n ≤ M-1 0 para otro n

Para realizar esta convolución resulta conveniente ayudarse de la gráfica de la figura 1.15, donde se hasupuesto M<N. Ya que la operación se realiza sobre el índice k, se representan x[k] y h[n-k] comofunciones de dicha variable. De acuerdo con la posición relativa de las secuencias x[k] y h[n-k], esaconsejable distinguir varios intervalos para n:

a) Intervalo 1: n<0. No hay solape temporal entre las dos señales, su producto muestra a muestra escero y la suma de convolución es cero; por tanto, y[n] = 0 para n<0.


... ...

n

x[n]

0

... ...

k

h[-k]

0-M

... ...

k

h[n-k]

0n-M n a) n < 0

... ...

k

h[n-k]

0n-M n b) 0 ≤ n < M-1

... ...

k

h[n-k]

0n-M

n

c) M-1 ≤ n < N

... ...

k

h[n-k]

0 n-M n d) N ≤ n < N+M-1

Fig. 1.15 Gráfica auxiliar para el cálculo de la convolución de dos pulsos

b) Intervalo 2: 0 ≤ n < M-1. El pulso h[n-k] coincide parcialmente con x[k]. Esta zona comprende losvalores de n desde que los pulsos x[k] y h[n-k] empiezan a solaparse hasta que se superponencompletamente. La sustitución del producto

x[k] h[n-k] = 1 0 ≤ k ≤ n 0 para otro k

en (1.40) proporciona la salida en este intervalo:


y[n] = ∑k=0

n (1) = n+1 0 ≤ n < M-1

c) Intervalo 3 : M-1 ≤ n < N. Aquí se consideran los valores de n para los que el pulso de duración Mestá incluido totalmente en el pulso de duración N, de modo que

x[k] h[n-k] = 1 n-M+1 ≤ k ≤ n 0 para otro k

y la salida en este intervalo es:

y[n] = ∑k=n-M+1

n (1) = M M-1 ≤ n < N

d) Intervalo 4: N ≤ n < N+M-1. Abarca los valores de n desde que h[n-k] y x[k] deja de solaparsetotalmente hasta que ya no tienen ninguna muestra distinta de cero enfrentadas. En este caso

x[k] h[n-k] = 1 n-M+1 ≤ k ≤ N-1 0 para otro k

y la salida en este intervalo resulta:

y[n] = ∑k=n-M+1

N-1 (1) = N+M-1-n N ≤ n < N+M-1

e) Intervalo 5: n≥N+M-1. Finalmente en este intervalo no hay solape, el producto x[k] h[n-k] es ceropara todo k y, por tanto, la salida es cero.

La convolución de dos pulsos rectangulares de N y M muestras se expone en la figura 1.16 y tiene

forma trapezoidal. La duración de la secuencia de salida y[n] es N+M-1 muestras.♦

EJEMPLO 1.14: Aunque la representación gráfica de la convolución en ocasiones es muy útil comoinstrumento de cálculo o para interpretar el comportamiento de un sistema, otras veces no es preciso

... ...

n

y[n]

0 N+M-1

M

Fig. 1.16 Resultado de la convolución de los dos pulsos del ejemplo 1.13


acudir a ella. Este es el caso del presente ejemplo, en el que no se requiere distinguir un gran númerode intervalos de validez para las expresiones analíticas que resultan de la ecuación de convolución.Considérese la convolución de una exponencial decreciente h[n] = anu[n], con |a|<1 y real, y el escalónunidad u[n]. La ecuación de convolución (1.40) proporciona:

y[n] = ∑k=-∞

∞ u[k] an-k u[n-k] = an ∑

k=-∞

∞ u[k] a-k u[n-k]

Debido al primer escalón el producto es cero para k<0, por lo que la expresión se puede simplificar a:

y[n] = an ∑k=0

∞ a-k u[n-k]

donde el escalón u[n-k] anula el producto para n-k<0 (k>n); así, basta que la suma se extienda almargen 0≤k≤n:

y[n] = 0 n < 0

a n ∑k=0

n a- k n ≥ 0

Sumando la progresión geométrica1, se obtiene finalmente:

y[n] = an 1-a-(n+1)

1-a-1 u[n] = -a1-a

an u[n] + 1

1-a u[n]

... ...

n

y[n]

0

... ...

n

y[n]

0

a) a > 0 b) a < 0

Fig. 1.17 Resultado de realizar la convolución del ejemplo 1.14

1 Si s[n] es el término general de la serie y r la razón entre dos términos consecutivos, la suma de los términos i-ésimo

al k-ésimo de la progresión geométrica viene dada por:

S = ∑n=i

k s[n] =

s[i] - s[k] r1 - r

Conviene retener esta expresión ya que es de uso habitual en este texto.


Esta expresión incluye un término an que se atenúa según aumenta n, y un término constante que es el

valor al que tiende la salida cuando n es grande. En la figura 1.17 se representa la señal de salida.♦

EJERCICIO 1.9: En este ejercicio se pone en evidencia que el resultado de la convolución entreexponenciales es una secuencia que tiene contribución explícita de ambas. Se pide:a) Dado el sistema caracterizado por h[n]=anu[n], y la secuencia de entrada x[n]=bnu[n], justifique que

y[n] = b

b-a bn u[n] +

aa-b

an u[n] (1.46)

b) Con ayuda del programa 62 realice la convolución y dibuje la secuencia y[n] para los siguientesvalores: a=0,7, b=0,9, b=0,1, b=-0,9 y b=-0,1.

c) Comente el efecto de la relación entre a y b y la influencia del signo de b sobre la forma de onda de

la señal.♦

1.4.1 Propiedades de la convolución

Conmutativa

x[n] * h[n] = h[n] * x[n]

Asociativa

x[n] * (h1[n] * h2[n]) = (x[n] * h1[n]) * h2[n]

Distributiva respecto a la suma

x[n] * (h1[n] + h2[n]) = x[n] * h1[n] + x[n] * h2[n]

Elemento neutro

x[n] * δ[n] = x[n]

Estas propiedades se establecen con sencillas manipulaciones sobre la ecuación de convolución, por loque su demostración se deja como ejercicio.

EJERCICIO 1.10: Demuestre las siguientes propiedades de la convolución (supongay[n] = x[n] * h[n]):

a) Si x[n] es una secuencia par y h[n] es una secuencia impar (o viceversa), y[n] es una secuenciaimpar.

b) Si x[n] y h[n] son ambas secuencias pares o ambas son secuencias impares, y[n] es una secuenciapar.

c) x[n] * h[n-m] = y[n-m].


d) x[n-m] * h[n-m] = y[n-2m].e) y[-n] = x[-n] * h[-n].

f) Si x[n] y h[n] son secuencias de duración N y M muestras respectivamente, y[n] es una secuenciade duración N+M-1 muestras.

g) Si se define el centro de gravedad de una secuencia x[n] como:

τx =

∑n=-∞

∞ n x[n]

∑n=-∞

∞ x[n]

se verifica que τy= τx+ τh.♦

1.4.2 Aplicación de las propiedades de la convolución a la interconexión desistemas

Las propiedades enunciadas en la sección anterior tienen especial interés en la interconexión desistemas L.I. De acuerdo con la propiedad asociativa, dos sistemas L.I. con respuestas impulsionalesh1[n] y h2[n] que se hallen conectados en cascada son equivalentes a un único sistema L.I. conrespuesta impulsional h[n] = h1[n] * h2[n]; este resultado se representa en la figura 1.18. Por otro

lado, la aplicación de la propiedad conmutativa de la convolución a h[n], respuesta impulsional de lacombinación de sistemas anterior, permite enunciar que el orden en que dos sistemas L.I. sonconectados en cascada es intercambiable, tal como se muestra en la figura 1.19. Finalmente, dossistemas L.I. con respuestas impulsionales h1[n] y h2[n] conectados en paralelo son equivalentes, por

ser la convolución distributiva respecto a la suma, a un único sistema L.I. con respuesta impulsionalh[n] = h1[n] + h2[n]. Esta propiedad se ilustra en la figura 1.20.

Estas tres equivalencias pueden generalizarse sin dificultad a la combinación de un número cualquierade sistemas lineales e invariantes.

h2[n]h1[n] h1[n]∗h2[n]

Fig. 1.18 Sistemas equivalentes de acuerdo con la propiedad asociativa de la convolución

h1[n]h1[n] h2[n]h2[n]

Fig. 1.19 Sistemas equivalentes de acuerdo con la propiedad conmutativa de la convolución


⊕

h1[n]

h2[n]

h1[n] + h2[n]

Fig. 1.20 Sistemas equivalentes de acuerdo con la propiedad distributiva de la convolución

1.4.3. Expresión de las propiedades de los sistemas lineales e invariantesmediante la respuesta impulsional

La respuesta impulsional caracteriza totalmente un sistema desde el punto de vista de las señales deentrada y salida, como establece la ecuación de convolución. Por tanto, las propiedades de causalidad yestabilidad, que se refieren únicamente a la relación entre excitación y respuesta, son expresables paraun sistema L.I. en términos de su respuesta impulsional.

Estabilidad

Un sistema lineal e invariante es estable si y sólo si su respuesta impulsional es módulo sumable:

∑-∞

∞ |h[n]| < ∞ (1.47)

En efecto, sea una entrada x[n] acotada que se aplica a un sistema L.I. con respuesta impulsional h[n]:

|x[n]| ≤ C < ∞ (1.48)

En la ecuación de convolución, al tomar el valor absoluto de la salida, se obtiene:

|y[n]| = |∑-∞

∞ h[k] x[n-k]| ≤ ∑

-∞

∞ | h[k] | | x[n-k] | (1.49)

donde se ha tenido en cuenta que el módulo de la suma es menor que la suma de los módulos de lossumandos y que el módulo del producto es igual al producto de módulos. Si se cumple (1.48), tambiénes cierto que |x[n-k]| ≤ C < ∞; en consecuencia, (1.49) proporciona:

|y[n]| ≤ C ∑-∞

∞ | h[k] |


que demuestra que efectivamente la salida estará acotada si se cumple (1.47) (condición suficiente).

Si la condición (1.47) no se verifica, entradas acotadas pueden dar lugar a salidas no acotadas. Enefecto, considérese un sistema con respuesta impulsional h[n] excitado por una secuencia definidamediante:

x[n] =

h[-n]|h[-n]| h[n] ≠ 0

0 h[n] = 0(1.50)

Esta secuencia está acotada, ya que |x[n]| ≤ 1. La respuesta del sistema en n = 0 es

y[0] = ∑-∞

∞

h[-k]|h[-k]| h[-k] = ∑

-∞

∞ h2[-k]|h[-k]| = ∑

-∞

∞ |h[-k]| (1.51)

que está acotada únicamente si se cumple (1.47) (condición necesaria).

EJEMPLO 1.15: En este ejemplo se estudia la estabilidad del acumulador. De acuerdo con el ejemplo1.12, la respuesta impulsional del acumulador es h[n] = u[n]. La suma del valor absoluto de susmuestras

∑k=-∞

∞ |h[k]| = ∑

k=0

∞ 1 = ∞

no está acotada. Se trata, por tanto, de un sistema inestable, lo que corrobora el resultado obtenido en

el ejemplo 1.10.♦

Causalidad

Un sistema lineal e invariante es causal si y sólo si su respuesta impulsional verifica:

h[n] = 0 ∀ n < 0 (1.52)

Esta condición se demuestra fácilmente descomponiendo la suma de convolución en dos términos. Elprimero incluye la contribución de las muestras futuras de la entrada y el segundo la contribución desus muestras presente y pasadas:

y[n] = ∑k=-∞

-1 x[n-k] h[k] + ∑

k=0

∞ x[n-k] h[k] (1.53)

Si y sólo si la condición (1.53) se cumple, el primer sumando se anula y la salida y[n] no depende delas muestras futuras de la entrada.


Por extensión, se define una secuencia x[n] causal cuando x[n] = 0 para n<0. Se dice que x[n] es unasecuencia anticausal cuando x[n] = 0 para n≥0.

EJERCICIO 1.11: a) Compruebe que, si la entrada a un sistema L.I. causal es nula para n<m,entonces y[n]=0 para n<m.

b) Demuestre que un sistema lineal y variante es causal si Tδ[n-k] = h[n,k] = 0 para n<k.♦

1.4.4 Autofunciones en la ecuación de convolución

En el estudio de los sistemas L.I., la representación de secuencias como combinación lineal desecuencias básicas tiene muchas ventajas; por ejemplo, la representación de secuencias comocombinación lineal de deltas da lugar a la ecuación de convolución. La secuencia exponencial, como sehace evidente a lo largo del texto, es otra secuencia cuya combinación lineal facilita el estudio demuchas señales de interés; además, la respuesta a la misma de un sistema L.I. es muy sencilla ypermite una caracterización completa del mismo. En este apartado se comprueba que la respuesta de unsistema L.I. a una exponencial es la misma función multiplicada por una constante; este resultado seprofundiza en el capítulo 2, donde se muestra la utilidad de la elección de las sinusoides complejas parala representación de secuencias y su relación con la transformada de Fourier; y finalmente en elcapítulo 4, en el que se hace uso de las exponenciales complejas en general y se aplican al análisis delos sistemas discretos mediante la transformada z.

Considérese un sistema L.I. con respuesta impulsional h[n] a cuya entrada se aplica la secuenciaexponencial compleja x[n] = zn, donde z es un número complejo cualquiera. La ecuación deconvolución proporciona la salida:

y[n] = ∑k=-∞

∞ zn-k h[k] = zn ∑

k=-∞

∞ z-k h[k] (1.54)

Si la serie converge (el análisis de esta cuestión se pospone al capítulo 4), dado que el sumatorio nodepende de n, y[n] puede expresarse

y[n] = H(z) zn (1.55)

Esto es, si a la entrada de un sistema lineal e invariante se aplica una secuencia exponencial zn, a lasalida se obtiene la misma secuencia exponencial multiplicada por una constante. Por tanto, lasexponenciales complejas zn son autofunciones de un sistema L.I. y la constante

H(z) = ∑k=-∞

∞ h[k] z-k (1.56)

es el autovalor asociado con un valor concreto de z. Si z se considera una variable, H(z) es una funcióncompleja de variable compleja que se denomina función de transferencia y proporciona informaciónútil sobre el sistema.


EJEMPLO 1.16: Se desea hallar la respuesta del retardador de m muestras y del multiplicador por unaconstante a una exponencial compleja zn. Dado que la respuesta impulsional del retardador esh[n] = δ[n-m], si a la entrada se aplica zn, a la salida se tiene:

y[n] = zn * δ[n-m] = zn-m = z-m zn

En consecuencia, para un retardador la función de transferencia es:

H(z) = z-m (1.57)

La respuesta impulsional del multiplicador es h[n] = aδ[n]. A una entrada zn, responde con lasecuencia

y[n] = zn * a δ[n] = a zn

Por lo tanto, la función de transferencia de un multiplicador es:

H(z) = a (1.58)

♦

El resultado (1.55) es de gran importancia en el estudio de los sistemas discretos. Si una secuenciapuede expresarse como combinación lineal de exponenciales complejas

x[n] = ∑

ai zin (1.59)

la respuesta a la misma de un sistema L.I. es la misma combinación lineal de las respuestas a cada unade las exponenciales por separado

y[n] = ∑

ai H(zi) zin (1.60)

En el caso particular z = ejω, se obtiene:

H(ejω) = ∑k=-∞

∞ h[k] e-jωk (1.61)

que se denomina respuesta frecuencial del sistema. Si el sistema es estable, la serie que define H(ejω)

converge, ya que

|H(ejω)| ≤ ∑k=-∞

∞ |h[k] e-jωk| = ∑

k=-∞

∞ |h[k]| < ∞


En los capítulos siguientes se aborda en detalle la interpretación de H(z) y H(ejω) y su utilización en el

análisis y diseño de los sistemas discretos.

EJERCICIO 1.12: Con este ejercicio se desea mostrar mediante un ejemplo que la respuesta de unsistema real L.I. a una sinusoide es una sinusoide de la misma frecuencia. Para ello, se le pide quecalcule la respuesta de un promediador de L muestras causal a una sinusoide de pulsación ωo. Al

realizar este ejercicio puede optar por realizar la convolución de las secuencias x[n] y h[n]:

x[n] = A cos (ωon+θ) h[n] = 1L

pL[n]

o bien, teniendo en cuenta que x[n] = Re A ejθ ejωοn , acogerse a la propiedad (1.29) que define los

sistemas reales y aplicar los conceptos de autofunción y función de transferencia que se acaban deexplicar. Utilizando esta segunda vía:a) Demuestre que la función de transferencia y la respuesta frecuencial del sistema son

H(z) = 1 - z- L

L (1-z-1)H(ejω) =

sen(ωL/2)L sen(ω/2)

e-jω(L-1)/2

b) Compruebe que, si la respuesta frecuencial se expresa en la forma polar

H (ejωο) = |H (ejωο)| ejϕ

la respuesta y[n] a la sinusoide viene dada por:

y[n] = Re A ejθ H (ejωο) ejωοn = A |H (ejωο)| cos (ωon+θ+ϕ)

c) Para L=8 y ωo = π/8, exprese y[n] en la forma y[n] = C cos (ωo n +ψ).

d) Con ayuda del programa 62 dibuje el módulo de H(ejω).

e) Indique los valores de ωo para los que la salida es cero; es decir, los valores que anulan C.♦

1.5 Ecuaciones en diferencias finitas

Un grupo importante de sistemas discretos es el que se puede caracterizar por ecuaciones en diferenciasfinitas (E.D.F.) lineales con coeficientes constantes. Este tipo de ecuaciones son utilizadas ensituaciones tan diversas como la descripción de una señal de voz muestreada, el cálculo de laamortización de un préstamo bancario o la realización del modelo acústico de una sala de audición. Alo largo de este capítulo ya han aparecido sistemas representados por estas ecuaciones; el promediadores un ejemplo. En este apartado se estudia la resolución de E.D.F. lineales con coeficientes constantesy se analiza bajo qué condiciones pueden caracterizar un sistema discreto L.I. En capítulos posterioresse desarrollan herramientas que profundizan en el análisis y la síntesis de sistemas descritos por E.D.F.


Una ecuación en diferencias finitas lineal con coeficientes constantes responde a la expresión:

∑k=0

P ak y[n-k] = ∑

k=0

Q bk x[n-k] (1.62)

donde la secuencia x[n] es dato, y[n] es incógnita y ak, bk son coeficientes independientes de n. Se

denomina orden M de esta ecuación al mayor entre P y Q. Estas ecuaciones admiten como solucióngeneral la suma de una solución particular yp[n] y una solución yh[n] a la ecuación homogénea

∑k=0

P ak yh[n-k] = 0 (1.63)

Así, la solución y[n] puede expresarse mediante

y[n] = yp[n] + yh[n] (1.64)

En el ejemplo que sigue, se muestra cómo hallar la solución en una ecuación de orden 1, y se pone demanifiesto que la solución no es única.

EJEMPLO 1.17: Se desea determinar la secuencia y[n] que satisface la ecuación en diferencias deprimer orden

y[n] - a y[n-1] = x[n] (1.65)

cuando x[n] es la secuencia:a) x[n] = bn b ≠ a (1.66)b) x[n] = bn u[n] b ≠ a (1.67)

a) Solución a la ecuación homogénea : Para resolver la ecuación homogénea

yh[n] - a yh[n-1] = 0 (1.68)

se ensaya una solución del tipo exponencial

yh[n] = A λn

Al sustituir en la ecuación (1.68), se obtiene:

A λn - a A λn-1 = 0 ⇒ (1 - a λ-1) λn = 0

que, descartando la solución trivial λ = 0, proporciona λ=a. Por tanto, la solución a la homogénea es:

yh[n] = A an (1.69)

Solución particular: Ensayando una solución del mismo tipo que x[n]:


yp [n] = B bn

y sustituyendo yp[n] en la ecuación en diferencias (1.65), se alcanza la condición:

B bn - a B bn-1 = bn

Para determinar B, se simplifica la ecuación anterior, obteniendo:

B - a B b-1 = 1 ⇒ B = b

b-a

De este modo, la solución particular viene dada por:

yp[n] = b

b-a bn (1.70)

Solución total: Al combinar (1.69) y (1.70) se llega a la solución:

y[n] = b

b-a bn + A an (1.71)

b) En este segundo caso no hace falta hallar la solución a la ecuación homogénea, ya que ésta nodepende de la secuencia de entrada y ya ha sido determinada previamente en (1.69). Para la soluciónparticular podría ensayarse una secuencia del mismo tipo de la entrada:

yp [n] = B bn u[n]

No obstante, al sustituir yp[n] en la ecuación (1.65) se obtiene

B bn u[n] - a B bn-1 u[n-1] = bn u[n]

donde se advierte fácilmente que el valor B= b

b-a no verifica la ecuación para n=0 y que ningún valor

para B satisface la ecuación para todo n; debe buscarse otra solución particular. Si se ensaya

yp [n] = B bn u[n] + C an u[n] (1.72)

en (1.65) se llega a la ecuación:

B bn u[n] - a B bn-1 u[n-1] + (C an u[n] - a C an-1 u[n-1]) = bn u[n]

La igualdad se cumple para cualquier valor n<0 debido a los términos u[n]. Para n>0 el término entreparéntesis es idénticamente nulo puesto que coincide con la solución a la homogénea. Porconsiguiente, la solución de esta ecuación para n>0 determina el valor de B

B= b

b-a


La ecuación en n=0 se reduce a

B + C = 1 ⇒ C = 1 - B = a

a-b

La solución completa es la suma de la particular y la homogénea:

y[n] = b

b-a bn u[n] +

aa-b

an u[n] + A an (1.73)

♦

Las soluciones obtenidas en el ejemplo anterior ponen de manifiesto que, dada una secuencia x[n], laecuación (1.65) no tiene una única solución, ya que tanto la solución especificada por (1.71) para elcaso a) como la (1.73) para el caso b) verifican la ecuación cualquiera que sea el valor de la constanteA. En el ejemplo 1.17 también se evidencia la dificultad existente para encontrar una soluciónparticular; dado que en el capítulo IV se expone un método general para resolver estas ecuaciones, aquíno se insiste más en el tema.

La solución a la ecuación homogénea determinada en el ejemplo anterior es generalizable a un orden P.La secuencia

yh[n] = A λn (1.74)

verifica la ecuación (1.63), si

A ∑k=0

P ak λn-k = 0

o también:

λn-P ( ao λP + a1 λP -1 + a2 λP-2 + … + aP-1 λ + aP ) = 0

Descartando la solución λ=0, las P raíces λ1, …, λp de la ecuación característica:

ao λP + a1 λP -1 + a2 λP-2 + … + aP-1 λ + aP = 0 (1.75)

generan exponenciales que verifican la ecuación homogénea. Así, suponiendo todas las raíces distintas,la solución a la homogénea se puede expresar como la siguiente combinación lineal de exponenciales:

yh[n] = A1 λ1n + A2 λ2n + … + AP λPn (1.76)

EJERCICIO 1.13: Demuestre que la solución a la ecuación

y[n] - 2 (cos ωo ) y[n-1] + y[n-2] = 0


es una sinusoide con frecuencia ωo. Utilice la opción "Ecuación en diferencias finitas" del menú

"Generación" del programa 62 para comprobarlo.♦

1.5.1 Sistemas definidos por ecuaciones en diferencias finitas

En este apartado se ofrecen ejemplos de sistemas cuya relación entre la entrada y la salida puedeexpresarse por medio de una E.D.F. lineal con coeficientes constantes. Sin embargo, esta ecuación esen general una caracterización parcial del sistema, ya que para una excitación x[n] no determina unarespuesta y[n] única, contrariamente a lo esperado de un sistema: a una entrada, una salida. Por ello,debe reconocerse la necesidad de añadir ciertas condiciones adicionales a la E.D.F. que garanticen launicidad de la solución y que completen la definición del sistema.

EJEMPLO 1.18: En el ejemplo 1.14 y el ejercicio 1.9 se estudia el sistema L.I. con respuestaimpulsional h[n] = anu[n]. Su respuesta a una entrada x[n] viene determinada por la ecuación deconvolución:

y[n] = ∑k=-∞

∞ x[k] an-k u[n-k] = ∑

k=-∞

n x[k] an-k

Si se separa el sumando n-ésimo del resto del sumatorio, se obtiene:

y[n] = x[n] + ∑k=-∞

n-1 x[k] an-k = x[n] + a ∑

k=-∞

n-1 x[k] a(n-1)-k

y, en definitiva, la ecuación en diferencias de primer orden:

y[n] = x[n] + a y[n-1] (1.77)

Esta ecuación permite calcular y[n] de una forma eficiente, puesto que por cada valor de la salida no esnecesario realizar la suma de infinitos términos que implica la ecuación de convolución, sinoúnicamente acumular la última muestra disponible de la entrada x[n] a la salida previa y[n-1]multiplicada por una constante. Obsérvese que si a=1, se trata del acumulador, sistema estudiado en los

ejemplos 1.10, 1.12 y 1.15.♦

La ecuación (1.77) es la misma ecuación E.D.F. cuya resolución se estudió en el ejemplo 1.17,aunque en la forma en que está escrita sugiere ahora que el sistema que caracteriza es causal. Sinembargo, esta información adicional tampoco es suficiente para determinar únicamente la respuesta delsistema. Como se ilustra en el siguiente ejemplo, es preciso conocer el estado del sistema cuando seaplica la excitación.

EJEMPLO 1.19: La secuencia x[n] = bnu[n] del ejemplo 1.17 puede interpretarse como una excitacióndel sistema que comienza en n=0 y responde a la forma


x[n] = bn n ≥ 0 (1.78)

Si el sistema estuvo en reposo antes de comenzar la entrada, es decir, y[n]=0 para n<0, la respuesta delsistema queda totalmente determinada en (1.73), ya que la condición de reposo fuerza que A=0.

No obstante, la ecuación (1.77) también sugiere que, para conocer la respuesta y[n] del sistema en uninstante determinado, no es preciso conocer toda la evolución previa de la misma, sino únicamente quésalida produjo en el instante anterior. Toda la información se condensa en un único valor que, para estesistema de orden 1, es y[n-1]. Por tanto, para determinar la respuesta del sistema

y[n] = x[n] + a y[n-1] (1.79)

a la excitación que comienza en n=0 basta con conocer y[-1] o cualquier información equivalente(condición inicial). En este ejemplo se consideran tres situaciones: a) y[-1] = K, b) sistema en reposoo y[-1] = 0, c) y[0] = 0. El primer caso podría describir al estado en que ha quedado el sistema trasaplicar una entrada previa no conocida; el segundo indica que, si no se aplica entrada, la salida semantiene nula, y en el tercer supuesto se desea prefijar un valor concreto de la salida. De acuerdo conla expresión (1.73), la respuesta a la secuencia (1.78) para n≥0 viene dada por

y[n] = b

b-a bn +

aa-b

an + A an n ≥ 0 (1.80)

a) Para determinar la constante A se tiene en cuenta que y[-1] = K. Particularizando en n=0 la ecuaciónen diferencias (1.79) y sustituyendo los valores de las muestras, se obtiene:

y[0] = x[0] + ay[-1] ⇒ y[0] = 1 + aK

Por otro lado, la evaluación de y[0] en la ecuación (1.80) proporciona

y[0] = b

b-a +

aa-b

+ A = 1 + A

Así, asignando a y[0] el valor alcanzado a partir de la condición inicial, se encuentra:

A = a K

En definitiva, la respuesta del sistema es

y[n] = b

b-a bn +

aa-b

an + a K an n ≥ 0 (1.81)

b) Si el sistema está en reposo cuando la entrada se aplica en n=0, significa que y[-1] = 0. Esta es lacondición auxiliar en este supuesto. Siguiendo el mismo razonamiento anterior y haciendo K=0 seobtiene


y[n] = b

b-a bn +

aa-b

an n ≥ 0 (1.82)

Esta secuencia se denomina respuesta en reposo.

c) En este último caso se desea prefijar un valor concreto de la salida, y[0] = 0. Al igualar este valor dey[0] con (1.80) obtiene:

y[0] = 1 + A = 0 ⇒ A = -1

que proporciona la solución

y[n] = b

b-a bn +

aa-b

an - an n ≥ 0

♦

A la luz del ejemplo anterior, pueden interpretarse las dos contribuciones a la salida (1.80): los dosprimeros términos, debidos a la solución particular, constituyen la respuesta con condiciones inicialesnulas o respuesta en reposo. El último término, Aan, solución de la ecuación homogénea, correspondea la respuesta con entrada nula y sólo depende del estado del sistema antes de aplicar la entrada. Engeneral, para determinar las constantes de la solución a la homogénea (1.76), se necesitan condicionesauxiliares que describan el estado del sistema al establecer la entrada (en este ejemplo sólo hay unaconstante ya que el orden de la ecuación homogénea es P=1).

1.5.2 Sistemas recurrentes y no recurrentes

En la descripción de un sistema por una ecuación en diferencias puede ser de utilidad expresar laecuación en la siguiente forma:

y[n] = 1ao

( ∑k=0

Q bk x[n-k] - ∑

k=1

P ak y[n-k] ) (1.83)

que proporciona los valores de y[n] en función de los valores previos de la entrada y de la salida. Lacondición de causalidad del sistema está implícita en esta expresión. La forma general de la ecuación(1.83) se denomina recurrente, ya que para calcular una muestra de la salida se precisan valores de lapropia salida calculados previamente. Cuando P=0, la ecuación se reduce a

y[n] = ∑k=0

Q bkao

x[n-k] (1.84)

La salida es función de los valores pasados y presente de la entrada, y no son necesarios los valoresanteriores de la salida. El sistema representado por esta ecuación se denomina no recurrente. Es


inmediato advertir que el acumulador (ejemplo 1.18) es recurrente, mientras que el promediador(ejemplo 1.20) es no recurrente.

EJEMPLO 1.20: El carácter recurrente o no recurrente de la ecuación que describe un sistema no esuna característica determinante de las propiedades del sistema. Un mismo sistema puede admitirdiversas representaciones mediante ecuaciones en diferencias finitas. Tal es el caso, por ejemplo, delsistema promediador cuya relación entrada-salida

y[n] = 1L

∑k=0

L-1 x[n-k] (1.85)

responde a una E.D.F. no recurrente de orden L-1 y coeficientes bk = 1/L (k=0, …, L-1). Aplicando el

cambio de variable n-k=m en (1.85) y operando de forma similar que en el ejemplo 1.18, se obtiene:

y[n] = 1L

∑m=n-(L-1)

n x[m] =

1L

∑m=n-L

n-1 x[m] + x[n] - x[n-L] (1.86)

El primer sumando del último término de las igualdades se identifica como y[n-1], de modo quefinalmente puede escribirse:

y[n] = y[n-1] + 1L

x[n] - 1L

x[n-L] (1.87)

Por comparación con la ecuación (1.83), puede afirmarse que el promediador es realizable por unaE.D.F. recurrente de orden L con P = 1, Q = L, y coeficientes ao = 1, a1 = -1, bo= - bL = 1/L y

b1 = …= bL-1 = 0.♦

La ecuación (1.83) puede interpretarse como una realización del sistema, ya que permite calcularmuestra a muestra la respuesta y[n] a una excitación introducida en un instante determinado, porejemplo n=no. Si el sistema está en reposo en el momento de comenzar la excitación (x[n]=0 e y[n]=0para n<no), la ecuación (1.83) es todo lo que se precisa para obtener la respuesta del sistema. Si, por

el contrario, el sistema había respondido a una excitación previa no conocida, la ecuación (1.83) esinsuficiente para proporcionar y[n]. Es preciso disponer de información adicional (condicionesiniciales) que permitan determinar y[no], y[no+1], y[no+2], …, y[no+M-1], siendo M el orden delsistema. Por ejemplo, para P=2 y Q=3 sería suficiente conocer y[no-1], y[no-2], x[no-1], x[no-2] yx[no-3], o información equivalente.

EJEMPLO 1.21: Con el sistema causal

y[n] = x[n] + b1 x[n-1] - a1 y[n-1] (1.88)

se procesa a partir del instante n = 0 una señal x[n] constante

x[n] = 1


La primera muestra de la respuesta

y[0] = x[0] + b1 x[-1] - a1 y[-1]

únicamente puede determinarse si se conocen x[-1] e y[-1]. Si el sistema parte del reposo,x[-1] = y[-1] = 0, su respuesta en el instante n = 0 es

y[0] = x[0] = 1

y, de acuerdo con la relación entrada-salida del sistema, dada la muestra de entrada en el instante n sedetermina la correspondiente muestra de la salida:

y[1] = x[1] + b1 x[0] - a1 y[0] = 1 + b1 - a1y[2] = x[2] + b1 x[1] - a1 a y[1] = 1 + b1 - a1 (1 + b1 - a1) = (1 + b1)(1 - a1) + a12

y[3] = x[3] + b1 x[2] - a1 a y[2] = (1 + b1) (1 - a1 + a12) - a13

…

Se deja como ejercicio comprobar por inducción que la secuencia y[n] responde a la forma general

y[n] = 1 + b1

1 + a1 +

-b1 + a11 + a1

(-a1)n n ≥ 0

Obsérvese que el caso particular a1 = -a y b1 = 0 corresponde al sistema de los ejemplos 1.17 y 1.19;

la respuesta y[n] anterior coincide con (1.82) cuando b = 1.♦

EJERCICIO 1.14: Compruebe que las realizaciones (1.85) y (1.87) para el promediador solamente son

equivalentes si se encuentran en reposo cuando se aplica la excitación.♦

1.5.3 Linealidad e invarianza

Si y1[n] e y2[n] son las correspondientes respuestas de un sistema descrito por la ecuación endiferencias finitas (1.62) a las secuencias de entrada x1[n] y x2[n], no es difícil comprobar quey[n] = a1 y1[n] + a2 y2[n] cumple la ecuación cuando x[n] = a1 x1[n] + a2 x2[n]; análogamente,y1[n-m] la satisface cuando se toma como entrada x1[n-m]. Sin embargo, de esta circunstancia no cabe

deducir que los sistemas descritos por ecuaciones en diferencias finitas lineales con coeficientesconstantes sean necesariamente sistemas lineales e invariantes, ya que la respuesta a x[n] puede serdistinta de y[n] por incluir una contribución que no dependa de la entrada. En efecto, en el ejemplo1.19 se establece que la salida de los sistemas descritos por E.D.F. contiene dos términos: la respuestacon entrada nula (solución a la ecuación homogénea) y la respuesta en reposo. La respuesta con entradanula no se altera si la entrada se multiplica por una constante; por tanto, el sistema incumple lacondición de linealidad (1.28). Tampoco se altera si la entrada se desplaza m muestras; porconsiguiente, el sistema no verifica la condición de invarianza (1.30). En cambio, el sistema esincrementalmente lineal de acuerdo con la definición del ejemplo 1.7.


Cuando el sistema en ausencia de excitación produce salida nula (sistema en reposo), su respuesta acualquier entrada carece de la contribución de la homogénea y el sistema es lineal e invariante.

EJERCICIO 1.15: Pruebe que el sistema causal descrito por la ecuación

y[n] - a y[n-1] = x[n]

en condiciones iniciales y[-1] = K es variante. Para ello, calcule las primeras muestras de su respuestaa la secuencia x[n] = bn-2u[n-2] y compárelas con las del mismo ordinal de y[n-2], donde y[n], que se

proporciona en (1.81), es la respuesta del mismo sistema a x[n] = bnu[n].♦

1.5.4 Respuesta impulsional

La respuesta impulsional de un sistema puede definirse a partir de la ecuación en diferencias finitas sinmás que aplicar una delta a su entrada. La respuesta impulsional de un sistema no recurrente se hallasustituyendo x[n] por δ[n] en la ecuación (1.84):

h[n] = ∑k=0

Q bkao

δ[n-k] =

1ao

bn 0 ≤ n ≤ Q

0 para otro n(1.89)

La ecuación (1.84) es, por tanto, una ecuación de convolución. El sistema tiene una respuestaimpulsional de longitud finita Q muestras. Esta situación se ilustra en la figura 1.21 con ao=1. Un

sistema con respuesta impulsional de duración finita se denomina sistema FIR (Finite ImpulseResponse).

Un sistema con respuesta impulsional de duración infinita se denomina sistema IIR (Infinite ImpulseResponse). En general, la respuesta impulsional de un sistema definido por una ecuación en diferenciasviene dada por la recurrencia:

h[n] = 1ao

( ∑k=0

Q bk δ[n-k] - ∑

k=1

P ak h[n-k] ) =

... ...... ...

n

h[n]

0

b

b

b

b

b

bb

bb

8

0

1

2

34

56

78

Fig 1.21 Respuesta impulsional de un filtro FIR de longitud L=9 (orden M=8)


=

1ao

bn - ∑k=1

P ak h[n-k] 0 ≤ n ≤ Q

- 1ao

∑k=1

P ak h[n-k] n < 0 , n > Q

(1.90)

Nótese que la recurrencia correspondiente a los ordinales n<0 y n>Q coincide con la ecuaciónhomogénea. Como la respuesta impulsional es la caracterización de un sistema lineal e invariante,para calcular la respuesta impulsional el sistema debe estar en reposo.

Resulta sencillo comprobar que, si los coeficientes de la E.D.F. son reales, h[n] es real y, pordefinición, el sistema es real.

EJEMPLO 1.22: A fin de obtener la respuesta impulsional del sistema causal de primer orden

y[n] = x[n] +a y[n-1] (1.91)

del ejemplo 1.19, se supone el sistema inicialmente en reposo, para garantizar que la ecuación describeun sistema lineal e invariante. Al aplicar la entrada x[n] = δ[n] en (1.91) y ser el sistema causal, larespuesta impulsional satisface

h[n] = 0 n < 0h[n] = δ[n] +a h[n-1]

Evaluando la relación anterior para los ordinales n≥0, se obtiene:

h[0] = a h[-1] + 1 = 1h[1] = a h[0] = ah[2] = a h[1] = a2…

h[n] = a h[n-1] = an

que, por inducción, sugiere la siguiente expresión general para la solución

h[n] = an u[n] (1.92)

Este mismo resultado se alcanza recordando que para n>Q (=0 en este ejemplo) h[n] coincide con lasolución a la homogénea. Así, puede escribirse

h[n] = A an n > 0

Sabiendo que h[0] = 1, en la ecuación anterior se obtiene A=1 y, al incorporar la condición de

causalidad, se llega de nuevo a (1.92).♦


EJERCICIO 1.16: Justifique que la respuesta impulsional del sistema (1.88) del ejemplo 1.21 es

h[n] = (1 - b1/a1) (-a1)n u[n] + b1/a1 δ[n] ♦

EJERCICIO 1.17: Como ya se ha expuesto, la causalidad es una propiedad a especificar cuando secaracteriza un sistema por medio de una ecuación en diferencias; la misma ecuación que describe unsistema causal puede representar un sistema no causal. Suponiendo, como en el ejemplo 1.22, elsistema en reposo cuando se aplica la entrada, compruebe que la respuesta impulsional del sistema nocausal descrito por la ecuación

y[n-1] = 1a (y[n] - x[n])

o equivalentemente

y[n] = 1a (y[n+1] - x[n+1])

es la secuencia h[n] = -an u[-n-1]. Nótese que, en este caso, la condición de que el sistema se encuentre

inicialmente en reposo significa y[n] = 0 para n>0.♦

Es importante observar que la respuesta en reposo puede obtenerse mediante la convolución de laexcitación x[n] y la respuesta impulsional h[n]. Como ejemplo sirva la respuesta en reposo (1.82) a laexcitación x[n] = bnu[n] del sistema del ejemplo 1.19, cuya respuesta impulsional es h[n] = an u[n]; laexpresión (1.46) del ejercicio 1.9 ofrece la convolución de ambas secuencias.

EJEMPLO 1.23: Se estudia la respuesta de un sistema descrito por una ecuación en diferencias finitasa la exponencial. Considérese de nuevo la ecuación (1.62) que rige la relación entre la entrada y lasalida de un sistema y que se reproduce para facilitar la referencia

∑k=0

P ak y[n-k] = ∑

k=0

Q bk x[n-k] (1.62)

Si se aplica a la entrada del sistema en reposo una secuencia exponencial x[n] = zn, autofunción de lossistemas lineales e invariantes, la salida es proporcional a la misma exponencial

y[n] = H(z) zn (1.93)

siempre que H(z) exista o, lo que es lo mismo, la serie (1.56) que define H(z) converja. Al sustituirx[n] e y[n] en la ecuación (1.62)

∑k=0

P ak H(z) zn-k = ∑

k=0

Q bk zn-k


simplificando zn en ambos términos de la igualdad y despejando H(z), se obtiene:

H(z) =

∑k=0

Q bk z- k

∑k=0

P ak z -k

(1.94)

En consecuencia, la función de transferencia de un sistema caracterizado por una ecuación en diferenciasfinitas es un cociente de polinomios en z-1, cuyos coeficientes son directamente los coeficientes de laecuación. Por ejemplo, la función de transferencia de los sistemas L.I. caracterizados por la ecuación

y[n] - a y[n-1] = x[n]

viene dada por

H(z) = 1

1-a z-1

Por tanto, la solución particular (respuesta en reposo) a x[n] = bn, calculada en el ejemplo 1.17 yproporcionada en (1.70), puede expresarse

yp[n] = H(b) bn = b

b-a bn ♦

EJEMPLO 1.24: Se desea diseñar un sistema de orden dos no recurrente que cancele un tono a lafrecuencia ωo=π/4. La ecuación en diferencias que debe cumplir el filtro es

y[n] = ∑k=0

Q bk x[n-k] (1.95)

con Q=2, y se debe diseñar (hallar bk) de manera que la salida se anule si la entrada es:

x[n] = cos (πn/4) = 12 (ej(π/4)n + e-j(π/4)n)

Como x[n] es una combinación de exponenciales, la respuesta del sistema a x[n] se puede expresarcomo combinación lineal de las respuestas del sistema a cada una de ellas:

y[n] = 12 ej(π/4)n H( ejπ/4) +

12 e-j(π/4)n H(e-jπ/4)

Para que la salida se anule debe cumplirse que:

H( ejπ/4) = H( e-jπ/4) = 0 (1.96)


La función de transferencia se determina en (1.94) con P=0, ao=1 y Q=2. Resulta

H(z) = bo + b1 z-1 + b2 z-2 (1.97.a)

Si se llama zi a las raíces del polinomio que define H(z), se puede expresar como:

H(z) = bo ∏i=0

2 (1-zi z-1) (1.97.b)

Para satisfacer la condición (1.96), basta con forzar que los ceros del polinomio que define H(z)coincidan con las bases de exponenciales de la entrada, es decir:

z1 = ejπ/4 z2 = z1* = e-jπ/4

Puesto que bo es un factor que afecta únicamente a la ganancia del filtro, y no se especifica nada alrespecto, puede tomarse bo=1. Al sustituir z1, z2 y bo en (1.97.b), se obtiene la función de

transferencia:

H(z) = (1 - ejπ/4 z-1) (1 - e-jπ/4 z-1) = 1 - 2 cos(π/4) z-1 + z-2 =

= 1 - √ 2 z-1 + z-2

Identificando esta expresión con (1.97.a), se determinan los coeficientes del sistema: bo=1, b1 = -√ 2,b2 = 1. Así, de acuerdo con (1.95), la relación entrada-salida del sistema es

y[n] = x[n] -√ 2 x[n-1] + x[n-2]

La respuesta impulsional del filtro que cancela la frecuencia ωo=π/4 se muestra en la figura 1.22.♦

... ...

n

h[n]

0 2

1

− 2

Fig. 1.22 Respuesta impulsional de un filtro cancelador de un tono a la frecuencia ωο= π/4

1.5.5 Representación por diagramas de bloques de sistemas descritos porecuaciones en diferencias finitas

La caracterización de un sistema L.I. por medio de una ecuación en diferencias finitas lineal concoeficientes constantes es una herramienta muy útil en el estudio de sistemas discretos, tanto para suanálisis como para su diseño.


La ecuación

y[n] = 1ao

( ∑k=0

Q bk x[n-k] - ∑

k=1

P ak y[n-k] )

repetida en este apartado por comodidad, proporciona un algoritmo programable en un computador paracalcular la respuesta de un sistema a una excitación dada. Sin embargo, las operaciones requeridas paraeste cálculo son susceptibles de ser organizadas en combinaciones diferentes. En este apartado semuestran dos organizaciones (estructuras o realizaciones) cuya relación entrada-salida está descrita porla misma ecuación; en los capítulos 4 y 5 se amplia este estudio con otras estructuras alternativas, seproporcionan herramientas para su análisis, se ofrece la versión algorítmica de las más utilizadas y sediscuten algunos criterios para la elección de una realización concreta. Como ejemplos de estoscriterios puede citarse la robustez o la inmunidad frente a errores de precisión en la representación delas parámetros de la estructura o en las operaciones aritméticas, aprovechamiento de las característicasde la máquina para realizar los cálculos, estabilidad del sistema diseñado, etc.

z-1x[n] y[n] = x[n-1]Retardador

x[n] y[n] = a x[n]aMultiplicador

Sumador ⊕x1[n]

x2[n]

y[n] = x1[n] + x2[n]

Fig. 1.23 Diagrama de bloques de los elementos básicos que componen un sistema descrito por una ecuación

lineal en diferencias finitas con coeficientes constantes.

Las distintas estructuras son descritas mediante diagramas de bloques cuyos componentes básicosrealizan cada una de las tres operaciones que intervienen en una ecuación en diferencias finitas: retardo,multiplicación de una secuencia por una constante y suma elemento a elemento de dos secuencias. Lostres componentes básicos están representados en la figura 1.23. El elemento retardador de una muestraviene representado por un bloque rotulado con z-1, que es exactamente su función de transferencia(1.57); es un elemento con memoria, ya que en el instante n recuerda el valor de la muestra a suentrada en n-1. Los dos últimos componentes realizan operaciones algebraicas y son dispositivos sinmemoria. Para ilustrar la interpretación de estos elementos y sus combinaciones para formarrealizaciones complejas, es conveniente comenzar el estudio por sistemas sencillos.

Considérese en primer lugar el sistema L.I. causal definido por la ecuación:


y[n] = bo x[n] + b1 x[n-1] (1.98)

Esta ecuación sugiere un algoritmo para su realización que se ilustra en la figura 1.24. La realizaciónconsta de un sumador, dos multiplicadores y un retardador. La salida y[n] se calcula mediante lacombinación lineal de la muestra actual de la secuencia de entrada x[n] y la salida del retardador v[n],que recuerda el valor previo de la entrada x[n-1]; a continuación, se actualiza el valor de la salida delretardador, para ser empleada en el instante siguiente; este ciclo de trabajo se repite indefinidamentepara n sucesivos. Se diferencian claramente dos tipos de operaciones en cada ciclo: la operaciónalgebraica realizada por multiplicadores y sumador, y la operación de memoria que implica alretardador. Es interesante observar que, al comienzo de la excitación, por ejemplo n=0, la condicióninicial del sistema es proporcionada por la salida del retardo en ese instante (v[0]).

⊕z-1

x[n] y[n]bo

b1v[n]

y[n] = bo x[n] + b1 v[n]

v[n+1] = x[n]

Fig. 1.24 Diagrama de bloques del sistema no recurrente definido por (1.98)

x[n] y[n]bo ⊕z-1

-a1v[n]

y[n] = bo x[n] - a1 v[n]

v[n+1] = y[n]

Fig. 1.25. Diagrama de bloques del sistema recurrente definido por (1.99)

La representación del sistema causal

y[n] = - a1 y[n-1] + bo x[n] (1.99)

se indica en la figura 1.25. El elemento retardador recuerda el valor de la salida en un instante n para elcálculo de la muestra de la misma salida en el instante siguiente. En esta realización se pone demanifiesto la realimentación inherente a los sistemas descritos por una ecuación recurrente.

EJERCICIO 1.18: Haciendo uso del ciclo de trabajo indicado en la figura 1.25, calcule la respuesta delsistema (1.99) a la señal x[n] = bn a partir de n=0 y con la condición inicial v[0] = K. Suponga lossiguientes valores para las constantes del sistemas: a1=-a, bo=1. Compruebe que la respuesta coincide

con la expresión (1.81), obtenida en el problema 1.19 a partir de la solución general de la ecuación en

diferencias finitas que caracteriza el sistema.♦


⊕z-1

x[n] y[n]bo

b1

⊕z-1

-a1

w[n] ⊕z-1

x[n]

v[n]

-a1

z[n] ⊕z-1

y[n]

v[n]

bo

b1

Fig. 1.26 Diagrama de bloques del sistema

recurrente definido por (1.100)

Fig. 1.27 Diagrama de bloques alternativo del sistema

recurrente definido por (1.100)

Como último ejemplo considérese el sistema caracterizado por la ecuación

y[n] = bo x[n] + b1 x[n-1] - a1 y[n-1] (1.100)

que sugiere inmediatamente la realización la mostrada en la figura 1.26 compuesta por la cascada dedos subsistemas. El primero está caracterizado por la ecuación (1.101) y contiene la parte no recurrentedel sistema; el segundo subsistema, caracterizado por la ecuación (1.102), contiene la parte recurrente:

w[n] = bo x[n] + b1 x[n-1] (1.101)y[n] = w[n] - a1 y[n-1] (1.102)

El primer subsistema tiene como entrada x[n] y como salida w[n]. El segundo responde con y[n] a laentrada w[n]. Por ser dos sistemas lineales e invariantes, de acuerdo con la propiedad conmutativa de laconvolución, sus posiciones son intercambiables y, por tanto, se pueden disponer como muestra lafigura 1.27. A partir de este diagrama de bloques, pueden deducirse las relaciones siguientes:

z[n] = - a1 z[n-1] + x[n] (1.103)y[n] = bo z[n] + b1 z[n-1] (1.104)

Las secuencias x[n] e y[n] que verifican (1.103) y (1.104), también cumplen (1.100), aunque estaúltima ecuación no sugiere directamente la realización de la figura 1.27. Nótese que la señal intermediaz[n] es almacenada por partida doble para realizar tanto la parte recurrente como la no recurrente. Estaredundancia se elimina mediante la estructura de la figura 1.28, donde se ha utilizado un únicoelemento retardador. En la misma figura se ofrecen las ecuaciones que definen un ciclo de operación dela estructura; cada ciclo permite calcular la salida en el instante n una vez conocida la muestra x[n] dela entrada y guardar la información necesaria para el ciclo correspondiente al instante siguiente.

⊕ ⊕z-1

x[n] y[n]

v[n]

bo

b1-a1

z[n]z[n] = x[n] - a1 v[n]

y[n] = bo z[n] + b1 v[n]

v[n+1] = z[n]

Fig. 1.28 Diagrama de bloques del sistema definido por (1.100) utilizando el menor número de retardos.


EJERCICIO 1.19: Calcule la respuesta impulsional de los sistemas que representan los diagramas de

bloques que se muestran en las figuras 1.26 y 1.27.♦

Los resultados que se acaban de exponer pueden ser generalizados para una ecuación en diferencias decualquier orden. Supóngase, sin pérdida de generalidad, que todos los coeficientes han sido escalados detal forma que ao = 1, y que P = Q, ya que los coeficientes ak o bk no contenidos en la ecuación pueden

ponerse a cero. La ecuación toma la forma

y[n] = ∑k=0

P bk x[n-k] - ∑

k=1

P ak y[n-k] (1.105)

El diagrama de bloques correspondiente se muestra en la figura 1.29. Esta realización se denominaforma directa I porque se corresponde directamente con la ecuación (1.105). Nótese que loscoeficientes asociados a los multiplicadores de la parte recurrente son -ak. Si se reiteran los pasos

seguidos anteriormente con el sistema de orden 1 definido por la ecuación (1.100) e ilustrados en lasfiguras 1.27 y 1.28, se alcanza la realización mostrada en la figura 1.30, que requiere únicamente Pretardos. Esta estructura se denomina forma directa II y, por precisar el menor número de retardos,también es conocida por canónica I . Las ecuaciones que rigen esta nueva realización son:

z[n] = x[n] - ∑k=1

P ak z[n-k] (1.106)

y[n] = ∑k=0

P bk z[n-k] (1.107)

EJERCICIO 1.20: Proponga una realización para el sistema acumulador, el promediador de L muestras

causal y el sistema diseñado en el ejemplo 1.24.♦

⊕z-1

z-1⊕

x[n] y[n]bo

b1

b2

⊕z-1

z-1⊕

-a2

-a1

z-1⊕

bP-1

bPz-1

⊕-aP

-aP-1

⊕ ⊕

w[n] ⊕ ⊕z-1

z-1⊕⊕

x[n] y[n]z[n] bo

b1

b2-a2

-a1

z-1⊕⊕

bP-1

bP-aP

-aP-1

⊕⊕

Fig. 1.29 Estructura de la forma directa I Fig. 1.30 Realización de la forma directa II


... ...

n

x[n]

Fig. P1.1

1.6 Problemas

PROBLEMA 1.1: Calcule la frecuencia de la secuencia senoidal mostrada en la figura P1.1.

PROBLEMA 1.2: Determine si cada una de las siguientes secuencias es periódica o no. Si lo es,calcule su periodo:a) x[n] = cos(8πn/7 + 2)b) x[n] = cos(πn2/8)

c) x[n] = ∑m=-∞

∞ δ[n-3m] - δ[n-1-3m]

d) x[n] = cos(n/4) cos(πn/4)e) x[n] = 2 cos(πn/4) + sen(πn/8) - 2 cos(πn/2 + π/6)

PROBLEMA 1.3: Siendo x[n] la entrada e y[n] la salida del sistema, ¿cuál de las relaciones siguientesdefine un sistema lineal, invariante, causal y estable?:

a) y[n] = ∑k=n-N

n+N x[k]

b) y[n] = a x[n] + b

c) y[n] = ∑k=0

n x[k]

d) y[n] = x[n] cos ωo + x[n-1]

e) y[n] = ∑k=0

N x[k]

PROBLEMA 1.4: Identifique el sistema lineal, invariante, causal y estable entre los sistemassiguientes:a) h[n] = u[n]

b) h[n] = ( )1n+1

2 u[n]

c) h[n] = e-|n|

d) y[n] = x[n] - 2 y[n-1]e) y[n] = x[n] - n y[n-1]


PROBLEMA 1.5: Sea a[n] una secuencia causal y acotada. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones escorrecta?a) El sistema h[n] = a[n] * a[-n] es variante.

b) El sistema h[n] = a[n].a[-n] es no causal.c) El sistema h[n] = a[n] + a[-n] es lineal y no causal.d) El sistema h[n] = a[n] + a[-n] es causal e inestable.e) El sistema h[n] = a[n] es estable.

PROBLEMA 1.6: Sea un sistema discreto definido por la relación:

y[n] =

1n+1

y[n-1] + x[n] n ≥ 0

0 n < 0

Si h[n,k] es la respuesta del sistema a un impulso aplicado en el instante n = k. Elija una respuesta:a) el sistema es invariante y, por tanto, la respuesta impulsional no depende de k.b) h[0,0] = 0, h[0,1] = 1c) h[1,0] = 1, h[1,1] = 1/3d) h[2,0] = 1/6, h[2,1] = 1/3e) h[3,0] = 1/12, h[3,1] = 1/24

PROBLEMA 1.7: a) Realice analíticamente la convolución entre las secuencias:

h[n] = an u[n]x[n] = (bn + b*n) u[n]

b) Con ayuda del programa 62 realice la convolución y dibuje la secuencia resultante para lossiguientes valores: a = 0,7, b = 0,9 ejπ/4, b = 0,1 ejπ/4, b = 0,9 ej3π/4, b = 0,1 ej3π/4.

c) Comente el efecto de la relación entre a y |b| en cuanto al decrecimiento de la señal y la influenciade la fase de b.

PROBLEMA 1.8: Si la entrada x[n] = (-1)n = cos πn se aplica al sistema definido por:

h[n] = 6(1/2)n u[n] - 5(1/4)n u[n]

La salida es:a) y[n] = 0 c) y[n] = 2(1/2)n u[n] - (1/4)n u[n] + cosπn

b) y[n] = 2(1/2)n u[n] - (1/4)n u[n] d) y[n] = 2(1/2)n u[n] + (1/4)n u[n] + cosπn

PROBLEMA 1.9: Calcule la convolución y[n] = x[n] * h[n] de los siguientes pares de señales

a) x[n] = an u[n];

h[n] = bnu[n] a ≠ b

f) x[n] = …0, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 0,…h[n] = …0, 0, 1, -1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, …


b) x[n] = h[n] = an u[n] g) x[n] = …0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, …h[n] = …0, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 0, …

c) x[n] = 2n u[-n]h[n] = u[n]

h) x[n] = 1 para todo n

h[n] = ( )12

n u[n] + 4n u[-n-1]

d) x[n] = (-1)n u[-n] - u[-n-8]

h[n] = u[n] - u[n-8]

i) x[n] = u[n] - u[-n]

h[n] =( )12

n u[n] + 4n u[-n-1]

e) x[n] = p5[n]h[n] = p6[n-2] + p6[n-11] j) x[n] = ( )-1

2

n u[n-4]

h[n] = 4n u[2-n]

PROBLEMA 1.10: a) Considere la conexión de sistemas descrita en la figura P1.10. Exprese larespuesta impulsional h[n] del sistema total en función de h1[n], h2[n], h3[n], h4[n] y h5[n].

b) Determine h[n] cuando:

h1[n] = 4 ( )12

n

u[n] - u[n-3]h2[n] = h3[n] = (n + 1) u[n]

h4[n] = δ[n - 1] h5[n] = δ[n] - 4 δ[n - 3]

c) Dibuje la respuesta del sistema del apartado anterior a la entradax[n] = …0, 0, -1, 0, -1, 1, 2, 0, -1, 0, 0,…

PROBLEMA 1.11: Determine si cada una de las siguientes afirmaciones o ecuaciones es cierta engeneral. Demuestre las que crea que son ciertas y ponga contraejemplos a las que crea que son falsas.a) x[n] * h[n] g[n] = x[n] * h[n] g[n]

b) an x[n] * an h[n] = an x[n] * h[n]

c) Si y[n] = x[n] * h[n], entonces y[2n] = 2 x[2n] * h[2n]d) Si y[n] = x[n] * h[n], entonces y[2n] = x[2n] * h[2n]

+

-

y[n]

h4[n]

⊕ ⊕

h3[n]

h2[n]

h1[n]

h5[n]

x[n]

Fig. P1.10


PROBLEMA 1.12: Un banco concede un préstamo de 10 millones de pesetas que se debe devolver en30 años. Cada mes se debe devolver al banco una cuota constante de p pesetas. El banco aplica uninterés mensual del 1,25% (15% anual) sobre el capital que falta por devolver. Calcule la cuotamensual p. Para ello:a) Si y[n] representa el capital pendiente después de que se haya efectuado el n-ésimo pago mensual,

escriba la ecuación en diferencias que relaciona el capital pendiente y[n], el interés mensual r, lacuota constante mensual p, y el capital pendiente en el mes n-1. Suponga que el préstamo se harealizado en el mes 0 y que los pagos mensuales empiezan en el mes 1.

b) Identifique la anterior ecuación con la ecuación general

∑k=0

P ak y[n-k] = ∑

k=0

Q bk x[n-k]

dando el valor de P, Q, ak, bk y x[n].

c) Compruebe que para n ≥ 0

y[n] = (1+r)n y[0] - (1+r)n-1

r p

d) A partir de la expresión anterior calcule la cuota mensual constante p necesaria para devolver elpréstamo en 30 años.

e) Calcule la cantidad total que se le abona al banco en los 30 años.

PROBLEMA 1.13: La secuencia x[n] = …, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … se conoce bajo el nombre

de Serie de Fibonacci. Cada muestra es la suma de las dos anteriores a excepción de x[0] = 1. Se pide:a) Justifique que la ecuación en diferencias que satisfacen los elementos de la serie es:

x[n] = x[n-1] + x[n-2] + δ[n]

b) Determine las constantes de la expresión de x[n] obtenida como solución de la ecuación anterior:

x[n] = (A1 λn1 + A2 λ

n2) u[n]

c) Calcule el cociente x[n]/x[n-1] cuando n es muy grande.

PROBLEMA 1.14: Considere un sistema definido por una ecuación en diferencias finitas lineal concoeficientes constantes. Partiendo de la solución completa de la ecuación, demuestre que, si el sistemaes estable, su respuesta a la secuencia

x[n] = ejωn

responde a la expresión

y[n] = H(ejω) ejωn


PROBLEMA 1.15: En este problema se muestra un método para hallar la respuesta impulsional de unsistema descrito por una ecuación en diferencias finitas.a) Considere el sistema L.I. en reposo y causal definido por la ecuación en diferencias:

y[n] - 12 y[n-1] = x[n] (P1.15-1)

Si x[n] = δ[n] calcule y[0] ¿Qué ecuación satisface h[n] para n≥0, y con qué condición auxiliar?Resuelva dicha ecuación y obtenga h[n].

b) Considere el sistema L.I. en reposo y causal definido por la ecuación en diferencias:

y[n] - 12 y[n-1] = x[n] + 2 x[n-1] (P1.15-2)

Este sistema está representado en la figura P1.15-1 como la interconexión en cascada de dossistemas L.I. inicialmente en reposo y causales. De acuerdo con las propiedades de los sistemasL.I. podemos intercambiar el orden en que están conectados como se muestra en la figura 1.15-2.A partir de esta nueva combinación y el resultado obtenido en a), calcule la respuesta impulsionaldel sistema descrito por la ecuación (P1.15-2).

c) Considere el sistema en reposo y causal definido por la ecuación en diferencias finitas

∑k=0

P ak y[n-k] = x[n] (P1.15-3)

Si ao ≠ 0, exprese h[n] en función de las raíces de la ecuación característica y determine sus

condiciones iniciales. Considere a continuación el sistema L.I. en reposo y causal definido por laecuación en diferencias finitas

∑k=0

P ak y[n-k] = ∑

k=0

Q bk x[n-k] (P1.15-4)

z[n] = x[n] + 2x[n - 1] y[n] -1

2y[n −1] = z[n]

x[n] z[n] y[n]

Fig P1.15-1

x[n] y[n]w[n] -

1

2w[n −1] = x[n] y[n] = w[n] + 2w[n - 1]

w[n]

Fig P1.15-2


Exprese la respuesta impulsional de este sistema en términos de la respuesta del sistema L.I.descrito por (P1.15-3).

d) Encuentre, aplicando el método del apartado c, las respuestas impulsionales de los sistemas L.I. ycausales descritos por las ecuaciones:1) y[n] - y[n-2] = x[n]2) y[n] - y[n-2] = x[n] + 2 x[n-1]3) y[n] - y[n-2] = 2 x[n] - 3 x[n-4]

PROBLEMA 1.16: Averigüe si alguna de las estructuras de las figuras P1.16-1, P1.16-2 o P1.16-3presenta la respuesta impulsional h[n] = p5[n].

⊕z-1z-4

⊕-1

-1 1

x[n] y[n]

Fig. P1.16-1

z-1

z-4

⊕ ⊕

-11

x[n] y[n]

Fig. P1.16-2

⊕z-1

z-1⊕

x[n] y[n]-1

-1

-1

z-1

⊕-1

-1

⊕z-1

Fig. P1.16-3

z-1

⊕ ⊕

ba

x[n] y[n]

Fig. P1.17

PROBLEMA 1.17: a) Obtenga las ecuaciones que rigen el funcionamiento del sistema de la figuraP1.17 y escriba, en cualquier lenguaje de programación que conozca, un programa que las realice.b) Determine la relación entrada-salida y calcule la respuesta y[n] a la secuencia x[n] = signo[n].

2 La representación frecuencial 7 3

2. La representación frecuencial

2.0 Introducción

Se ha visto en el capítulo anterior que la respuesta de un sistema lineal e invariante a una componentefrecuencial:

x[n] = C ejωn

conserva la misma dependencia temporal:

y[n] = C H(ejω) ejωn

La influencia del sistema se manifiesta en H(ejω), respuesta frecuencial del mismo, que afecta al

módulo y al argumento del fasor C de la respuesta y que se relaciona con la respuesta impulsional h[n]del sistema mediante la expresión:

H(ejω) = ∑n=-∞

∞ h[n] e-jωn

Si se considera que ω representa cualquier pulsación real, la respuesta frecuencial es una funcióncompleja de variable real cuya relación con la respuesta impulsional define la transformada de Fourierde una secuencia.

La importancia de esta transformación puede ser comprendida si se piensa que la aplicación de lossistemas discretos en el ámbito de las comunicaciones tiene lugar en un entorno analógico; es decir,los sistemas discretos sustituyen a sistemas analógicos. En el dominio analógico la caracterizaciónfrecuencial tiene especial relevancia fundamentalmente debido a las dos razones siguientes:a) La respuesta frecuencial de un sistema es medible en el laboratorio, no así la respuesta impulsional

(lo que la relega a un carácter meramente teórico); además, las componentes frecuenciales de unaseñal pueden ser determinadas experimentalmente.

b) Señales con distintas componentes frecuenciales pueden compartir el mismo soporte detransmisión sin interferirse entre sí.


El primer argumento es la base experimental del estudio de los sistemas de transmisión; el segundoproporciona la clave del desarrollo de las comunicaciones, de modo que muchos canales de informaciónpueden establecerse por el mismo medio físico (ya sea la atmósfera, un cable o una fibra óptica).

Este capítulo comienza con el estudio de la transformada de Fourier (TF) de una secuencia. Prosiguecon la transformada discreta de Fourier (DFT) que, contrariamente a la anterior, transforma unasecuencia en otra secuencia. Dedica especial atención a los teoremas de la transformada de Fourier y desu versión discreta, y considera la transformación de secuencias con potencia media finita. Introducelos conceptos de correlación y espectro, que sirven de puente con el estudio frecuencial de las señalesaleatorias estacionarias. El capítulo concluye con el estudio del diezmado y la interpolación, dosoperaciones sobre secuencias fundamentales en los sistemas de comunicaciones, ya que estánrelacionadas con los procesos de modulación y multiplexión. El contenido de este capítulo se completacon las prácticas III y IV, donde se estudian las secuencias periódicas y la aplicación del enventanado desecuencias a la detección de sinusoides y el diseño de filtros.

2.1 La transformada de Fourier

Sea x[n] una secuencia absolutamente sumable:

∑n=-∞

∞ |x[n]| < ∞ (2.1)

La serie de potencias

X(ejω) = ∑n=-∞

∞ x[n] e-jωn (2.2.a)

define una función compleja de variable real ω que recibe el nombre de transformada de Fourier de lasecuencia x[n]. La condición (2.1) garantiza que la serie de potencias converge uniformemente a la

función X(ejω); es decir, que para todo ω se verifica:

l im N → ∞

| X(ejω) - ∑n=-N

N x[n] e-jωn | = 0

La transformada X(ejω) es periódica con periodo 2π, por serlo cada uno de los términos e-jωn. En

consecuencia, la expresión (2.2.a) puede interpretarse como el desarrollo de X(ejω) en serie de Fourier

cuyos coeficientes son las muestras x[n] de la secuencia; ello permite invertir la transformaciónmediante la relación:


x[n] = 1

2π ∫-π

π X(ejω) ejωn dω =

12π ∫

0

2π X(ejω) ejωn dω (2.2.b)

que corresponde al cálculo del coeficiente n-ésimo del desarrollo de X(ejω) en serie de Fourier.

Obsérvese que la integral se extiende a un periodo cualquiera; en (2.2.b) se han hecho explícitos losdos considerados más habitualmente. En definitiva, las expresiones (2.2.a) y (2.2.b) definen,respectivamente, las transformadas directa e inversa de Fourier de una secuencia.

EJEMPLO 2.1: Considérese la secuencia

pL[n] = 1 0 ≤ n ≤ L-1 0 para otro n (2.3.a)

que corresponde a un pulso de L muestras con origen en n=0. Su transformada de Fourier se obtienecomo sigue; por definición

P(ejω) = ∑n = -∞

∞ pL[n] e-jωn = ∑

n = 0

L-1 e-jωn

Ahora bien, sumando la progresión geométrica

P(ejω) = 1 - e-jωL

1 - e-jω

sacando factor común e-jωL/2 en el numerador y e-jω/2 en el denominador, y tras aplicar la igualdad de

Euler, la transformada resulta

P(ejω) = e-jωL/2

e-jω/2

ejωL/2 - e-jωL/2

ejω/2 - e-jω/2 = e-jω(L-1)/2

senL2ω

sen12ω

(2.3.b)

En la figura 2.1 se representa el módulo y la fase de PL(ejω) cuando L=30, en el intervalo 0 ≤ ω ≤ π(el eje de abscisas se ha escalado en frecuencia de 0 a 0,5). En general, la transformada se anula para

L2

ω = π k para k entero, excepto 0, ±L, ±2L, ...

es decir

ω = 2πL

k para k entero, excepto 0, ±L, ±2L, ...


Fig. 2.1 Módulo y fase de la transformada de Fourier de un pulso de 30 muestras


y para ω = 2πk (k entero) la transformada toma el valor máximo L. En la figura 2.1 se puede observarque la fase presenta discontinuidades; en efecto, la fase de la transformada es la suma de la fase (lineal)

de la exponencial e-jω(L-1)/2 y de la función real senL2ω / sen

12ω, que tiene fase cero cuando es

positiva e introduce fase π cuando es negativa, lo que justifica los saltos de π radianes en la fase en losceros simples de la transformada. Debe señalarse que, en general, para mantener la representación de lafase entre -π y π, cuando ésta alcanza uno de estos extremos, se le añade 2π o -2π, respectivamente;

esta práctica, que no ha sido necesaria en la figura 2.1, introduce discontinuidades de 2π radianes.♦

EJEMPLO 2.2: Para la secuencia exponencial

x[n] = an u[n] (2.4.a)

la definición de la transformada de Fourier permite escribir

X(ejω) = ∑n=-∞

∞ x[n] e-jωn = ∑

n=0

∞ an e-jωn = ∑

n=0

∞ (a e-jω)n =

1

1 - a e-jω (2.4.b)

La convergencia tiene lugar cuando cuando la serie geométrica es sumable; es decir, cuando la base a dela exponencial satisface la condición:

| a e-jω | < 1

Por tanto, la secuencia exponencial x[n] ha de cumplir

|a| < 1

para poseer transformada de Fourier.♦

La relajación de la condición de convergencia uniforme a convergencia cuadrática

l im N → ∞

∫-π

π | X(ejω) - ∑

n=-N

N x[n] e-jωn |2 = 0

permite extender la existencia de la transformada de Fourier a las secuencias cuya energía Ex es finita:

Ex = ∑n=-∞

∞ |x[n]|2 < ∞ (2.5)

La convergencia cuadrática permite a X(ejω) presentar en el intervalo [-π, π] un número finito de

discontinuidades de primera especie, donde la serie que define la transformada converge al valor medio


en la discontinuidad. Este resultado constituye el teorema de Dirichlet sobre la convergencia puntual delas series de Fourier.

EJEMPLO 2.3: El sistema cuya respuesta frecuencial se muestra en la figura 2.2

H(ejω) = 1 |ω| ≤ ωc 0 ωc < |ω| ≤ π

recibe el nombre de filtro paso bajo ideal, ya que permite el paso de las componentes de baja frecuenciasin afectar ni a su amplitud ni a su fase, y elimina las componentes con frecuencia superior a lafrecuencia de corte ωc. Esta función presenta discontinuidades de primera especie para ω = ± ωc; su

transformada inversa, respuesta impulsional del filtro, resulta ser de acuerdo con (2.2.b):

h[n] = 1

2π ∫-ωc

ωc ejωn dω =

ωcπ

sen(ωcn)ωcn

Esta secuencia no es absolutamente sumable, por lo que el sistema es inestable. Además, h[n] no se

anula para n<0, por lo que tampoco es causal.♦

Si la secuencia x[n] y la función X(ejω) constituyen una pareja de transformadas

x[n] ←→F X(ejω) (2.6.a)

la definición (2.2) de la transformada de Fourier permite enunciar también como parejas transformadas

x[-n] ←→F X(e-jω) (2.6.b)

x*[n] ←→F X*(e-jω) (2.6.c)

cuya demostración se deja como ejercicio. Estas relaciones de transformación permiten establecerfácilmente las propiedades de simetría que presentan la transformada de Fourier de secuencias reales,pares, etc. Considérese, por ejemplo, el caso de una secuencia x[n] real; por definición, satisface

x[n] = x*[n]

H

ωc−ωc-π π ω

1

Fig 2.2 Respuesta frecuencial de un filtro paso bajo ideal


Dado que la igualdad de las secuencias obliga la igualdad de sus transformadas, se puede asegurar parauna secuencia real que

X(ejω) = X*(e-jω)

resultado que enuncia el carácter hermítico de la transformada. Análogamente, una secuencia parpermite establecer que

x[n] = x[-n] ⇒ X(ejω) = X(e-jω)

es decir, la transformada es una función par. Naturalmente, en el supuesto de que la secuencia sea realy par, su transformada resulta hermítica y par; sin embargo, la simultaneidad de ambas simetríasimpone una transformada real ya que, al aplicar la condición hermítica sobre el carácter par, se obtiene

X(ejω) = X(e-jω) = X*(ejω)

En la tabla 2.1 se proporcionan las propiedades de simetría de la transformada de Fourier, cuyademostración se alcanza mediante la reiteración de la argumentación expuesta anteriormente.

A las propiedades de simetría anteriores debe añadirse con carácter general la periodicidad de latransformada. El periodo 2π implica nuevas simetrías. Considérese a título de ejemplo una secuenciareal; el carácter hermítico de la transformada, sumado a la periodicidad, permite escribir:

X(ejω) = X*(e-jω) = X*(ej(2π-ω))

Tabla 2.1 Propiedades de simetría de la transformada de Fourier

Propiedad de la

secuencia

ninguna x[n] = x[-n]

(par)

x[n] = -x[-n]

(impar)

ningunaX(ejω) = X(e-jω)

(par)

X(ejω) = -X(e-jω)

(impar)

x[n] = x*[n]

(real)

X(ejω) = X*(e-jω)

(hermítica)

X(ejω) = X(e-jω) =

X*(ejω)

(par, real)

X(ejω) = -X(e-jω) =

-X*(ejω)

(impar, imaginaria)

x[n] = -x*[n]

(imaginaria)

X(ejω) = -X*(e-jω) X(ejω) = X(e-jω) =

-X*(ejω)

(par, imaginaria)

X(ejω) = -X(e-jω) =

X*(ejω)

(impar, real)


o, haciendo el cambio de variable ω por π-ω':

X(ej(π-ω')) = X*(ej(π+ω'))

que propaga el carácter hermítico alrededor de π. Estas circunstancias se ilustran en la figura 2.3. Ha deentenderse, por tanto, que la representación gráfica de la transformada de Fourier de una secuencia realse limite habitualmente al intervalo (0, π), ya que la periodicidad únicamente exige el conocimiento deun periodo (por ejemplo, de 0 a 2π) y la simetría hermítica proporciona el conocimiento delsemiperiodo no representado. Por ello, en el ejemplo 2.1 la gráfica se limitó a ofrecer módulo y faseen el semiperiodo (0, π).

Es interesante relacionar la periodicidad con periodo 2π de la respuesta frecuencial H(ejω) de un sistema

lineal e invariante, transformada de Fourier de su respuesta impulsional, y la equivalencia entrecomponentes frecuenciales cuya pulsaciones difieren en múltiplos enteros de 2π. Si las sinusoides

complejas ejωn y ej(ω+2πk)n representan la misma secuencia, las respectivas respuestas a las mismas

de un sistema lineal e invariante H(ejω)ejωn y H(ej(ω+2πk))ej(ω+2πk)n deben ser iguales; ello fuerza la

periodicidad de la respuesta frecuencial: H(ejω) = H(ej(ω+2πk)).

EJERCICIO 2.1: Basándose en el carácter hermítico de la transformada de Fourier X(ejω) de una

secuencia x[n] real, demuestre:

a) que el módulo de la transformada X(ejω) es una función par y que su fase (función multiforme que

admite múltiples versiones diferenciadas 2π radianes) puede representarse como una función impar.b) las siguientes parejas transformadas

Parx[n] ←→F ReX(ejω) Imparx[n] ←→F j ImX(ejω)

♦

EJERCICIO 2.2: Obtenga la respuesta frecuencial de un filtro promediador causal de 4 muestras y

represente su módulo y su fase. Mediante el programa 62 compruebe el resultado alcanzado.♦

- π π 2π

E

**

ω− ω

ω ' ω '

2π −ω

Fig. 2.3 El asterisco (*) indica las pulsaciones donde la transformada toma el valorcomplejo conjugado respecto el valor en ω.


2.2 La transformada discreta de Fourier (DFT)

La transformada de Fourier convierte una secuencia en una función compleja de variable real. En elmundo discreto no se reproduce la dualidad del dominio analógico donde señal y transformadacomparten las mismas propiedades matemáticas (ambas son funciones de variable real). Así, losindudables beneficios teóricos que aporta la transformada se ven contrapesados por la pérdida de lafacilidad de manipulación numérica de las secuencias, que es la razón primordial de nuestro interés enlas señales discretas. De forma natural surge la necesidad de establecer una transformación que,conservando la relevancia conceptual de la transformada de Fourier, genere una secuencia en el dominiotransformado; estos intereses los satisface la transformada discreta de Fourier, que abreviadamente sesuele denominar DFT de acuerdo con las siglas de su denominación inglesa Discrete FourierTransform.

Sea x[n] una secuencia tal que

x[n] = 0 para n < 0 y n > N-1 (2.7)

La secuencia

X[k] = ∑n=0

N-1 x[n] e-j

2πN kn k = 0, ..., N-1 (2.8.a)

es la versión muestreada de su transformada de Fourier en el periodo [0, 2π) a intervalos 2π/N, ya que

X[k] = X(ejω)|ω=2πN k

Además X[k] puede entenderse como una nueva transformada: la transformada discreta de Fourier. Estaoperación puede invertirse mediante la relación:

x[n] = 1N

∑k=0

N-1 X[k] ej

2πN kn n = 0, ..., N-1 (2.8.b)

que constituye la transformada discreta de Fourier inversa (DFT-1). En efecto, la secuencia

x~[n] = 1N

∑k=0

N-1 X[k] ej

2πN kn (2.9.a)

puede expresarse, de acuerdo con (2.8.a)

x~[n] = 1N

∑k=0

N-1 ( ∑

i=0

N-1 x[i] e-j

2πN ki ) ej

2πN kn = ∑

i=0

N-1 x[i]

1N

∑k=0

N-1 ej

2 πN k(n-i) = x[n] * t[n] (2.9.b)


... ...

n

t[n]

0-N N

Fig. 2.4 La secuencia t[n] tren de impulsos con periodo N

donde la secuencia t[n]

t[n] = 1N

∑k=0

N-1 ej

2 πN kn =

1N

1 - ej2πn

1 - ej2 πN n

= 1 n = r N0 para otro n = ∑

r=-∞

∞ δ[n + rN]

es un tren de impulsos unidad con periodo N, tal como se ilustra en la figura 2.4. En consecuencia, la

secuencia x~[n] resulta ser:

x~[n] = ∑r=-∞

∞ x[n + rN] (2.9.c)

que, como se deseaba demostrar, para n = 0, ..., N-1 proporciona x[n] por satisfacer esta secuencia lacondición (2.7).

Es importante señalar que, aunque los sumatorios de las relaciones (2.8) que proporcionan la DFT y

DFT-1 generan secuencias con periodo N (por ejemplo, x~[n]), ambas transformaciones definensecuencias limitadas a los ordinales 0 a N-1. Este es el sentido de la indicación "para k (o n) = 0, …,N-1" en dichas expresiones.

... ...

n0

... ...

n0

N=4 N=6

Fig. 2.5 Secuencia del ejemplo 2.4

EJEMPLO 2.4: Considérese la secuencia del ejemplo 2.1 con una longitud de 5 muestras:


p5[n] = 1 0 ≤ n ≤ 4 0 para otro n

que se representa en la figura 2.5. La DFT P[k] de p5[n] con N=6 coincide con el muestreo de la

transformada de Fourier, ya que N ha sido elegido de forma que el sumatorio que define la DFT, recogetodas las muestras distintas de cero de la secuencia. Êste no es el caso cuando se elige N =4, por lo queP[k] no tomará los valores de la transformada de Fourier, sino

P[k] = 4 k = 0 0 k = 1 , 2 , 3

cuya comprobación se deja como ejercicio.♦

Del ejemplo anterior podemos extraer dos enseñanzas importantes. En primer lugar, ha quedadoevidenciado que la DFT es una transformación que depende de un parámetro: N, el número de muestrastomadas de la secuencia x[n] a transformar o el número de muestras o puntos de la transformada X[k].En segundo lugar, se ha revelado que si las muestras no nulas de la secuencia x[n] sobrepasan elintervalo [0, N-1], es decir, no se cumple la premisa (2.7), en la definición (2.8) de la DFT sedescartan las muestras de x[n] fuera de dicho intervalo; en otras palabras, la DFT no coincide con elmuestreo de la transformada de Fourier de x[n], sino que proporciona las muestras de la transformada deFourier de la secuencia

xN[n] = x[n] 0 ≤ n ≤ N-10 para otro n = x[n] pN[n] (2.10)

El producto de la secuencia x[n] por una secuencia v[n] (habitualmente con un número finito demuestras no nulas) se denomina enventanado, y v[n] recibe el nombre de ventana. Así pues, puededecirse que la DFT realiza un enventanado implícito de la secuencia x[n] que transforma, siendo laventana el pulso rectangular pN[n].

EJERCICIO 2.3: Muestree la transformada de Fourier de la secuencia p4[n] en los puntosωk = 2πk/4 y compruebe que los valores obtenidos coinciden con la DFT con N = 4 de la secuencia

del ejemplo anterior.♦

EJERCICIO 2.4: Sea x[n] una secuencia a la que entre cada par de muestras se intercala una muestracon valor cero para formar la nueva secuencia

y[n] = x[n/2] para n par 0 para n impar

Se pide:

a) Demuestre que Y(ejω) = X(e2jω).


b) Genere un pulso rectangular de longitud 32 muestras, duración 16 muestras y posición en elorigen; mediante la opción "Intercalado de ceros" obtenga la secuencia y[n] y, posteriormente, suDFT con 64 puntos. A la vista de esta transformada interprete el resultado del apartado anterior.

c) Si la DFT de la secuencia y[n] anterior se calcula con N = 32, establezca la relación de la nueva

transformada con la obtenida en b. Compruébela con el programa 62.♦

0 N - 1k

0 π 2πω

Fig. 2.6 Relación entre el periodo [0, 2π) del eje ω y los ordinales de la DFT para N=10

En la figura 2.6 se ilustra la relación entre el periodo [0, 2π) del eje frecuencial ω y los ordinales de latransformada discreta de Fourier. Es sencillo establecer que los ordinales k y N-k de la DFT se refierena muestras de la transformada de Fourier en las pulsaciones ωk=2πk/N y ωN-k=2π-ωk. Así el carácter

hermítico de la transformada X(ejω) de una secuencia real se traduce en la siguiente simetría para la

DFT:

X[0] real (2.11.a)X[k] = X*[N-k] k = 1, 2, …, N-1 (2.11.b)

EJERCICIO 2.5: Mediante la opción de 62 "Editar secuencias" compruebe la simetría (2.11) en la

DFT del pulso rectangular del ejercicio 2.4.♦

EJERCICIO 2.6: En el ejercicio 2.4 se ha utilizado la DFT con pocas muestras. Así la representacióngráfica que ésta ha proporcionado de la transformada de Fourier es poco satisfactoria, fruto del númeroreducido de puntos en que ha sido muestreada. Sin embargo, ya sea para obtener una representacióngráfica adecuada de la transformada de Fourier, para determinar con precisión la frecuencia a la que tomaun valor concreto o por otras razones, son habituales las situaciones en que se necesita conocer la DFTen un número elevado de puntos. En tales casos es recomendable acudir al algoritmo FFT (FastFourier Transform) que, con la restricción de que N sea una potencia de 2, calcula la DFT con un granahorro de cómputo y, por tanto, de tiempo (en el problema 2.19 se ofrece el fundamento de esteprocedimiento). Obtenga mediante el algoritmo FFT disponible en 62 la transformada discreta deFourier con 32 y 256 muestras de las secuencias x[n] e y[n] del ejercicio anterior. Represente el

módulo y compare la apariencia de la transformada de Fourier recibida en ambos casos.♦

Hasta aquí se ha estudiado la transformación (directa) de una señal y se ha contemplado la relaciónentre la DFT y la transformada de Fourier. Sin embargo, en numerosas situaciones el interés se centra


en invertir la transformada para recuperar la señal. Considérese la transformada X(ejω) de una secuencia

x[n] cualquiera; si, mediante el muestreo en frecuencia, se define la secuencia

X[k] = X(ejω)|ω=2πN k para k = 0, …, N-1

su DFT-1 proporciona la secuencia temporal

x'[n] = DFT-1 X(ejω)|ω=2πN k = ∑

r=-∞

∞ x[n + rN] para n = 0, …, N-1 (2.12.a)

lo que puede demostrarse reiterando la argumentación que permitió establecer las relaciones (2.9). En elsupuesto de que la secuencia x[n] tenga sus muestras distintas de cero confinadas al intervalo [0, N-1],condición (2.7), la DFT recupera la secuencia x[n], como ya ha sido dicho. En caso contrario, seproduce un solapamiento temporal, con lo que resulta x'[n] distinta de x[n].

La limitación temporal "para n = 0, …, N-1" de (2.12.a) puede ser expresada más cómodamentemediante el enventanado con el pulso rectangular escribiendo

x'[n] = DFT-1 X(ejω)|ω=2πN k = x~[n] pN[n] (2.12.b)

forma de la que se hará uso en lo sucesivo.

EJERCICIO 2.7: En el programa 62 la opción "Generar periodicidad" del menú "Tratamiento" permite

obtener las muestras de la secuencia x~[n] correspondientes al intervalo temporal que se especifique.Ahora interesan las muestras correspondientes al periodo [0, N-1], que definen la secuencia x'[n] y quese obtienen indicando 0 como ordinal de la muestra inicial y longitud y periodo iguales a N. Se pide:a) x'[n] correspondiente al pulso rectangular del ejercicio 2.4 con N = 32 (no se produce solapamiento

temporal).

b) La generación de x'[n] con N = 10. Justifique el solapamiento temporal que se produce.♦

EJERCICIO 2.8: Genere un pulso en rampa de longitud 32 muestras, duración 16 muestras y posiciónen el origen. Calcule su DFT Ra[k] con N = 32 y diézmela por 4 para obtener Ra1[k] = Ra[4k]. Se

pide:a) Obtenga la DFT inversa de Ra1[k] con N =8 y justifique, usando la relación (2.12), el resultado

alcanzado.b) Compare Ra1[k] y la DFT del pulso en rampa con N = 8.

c) ¿Cuál es la DFT-1 de la secuencia Ra[k] diezmada por 2?♦

EJERCICIO 2.9: Basándose en las relaciones (2.12), justifique el siguiente procedimiento para

calcular N muestras de la transformada de Fourier X(ejω) de una secuencia x[n] en las pulsacionesωk = 2πk/N, para k = 0, …, N-1:


1.- Obtención (mediante la operación "Generar periodicidad") de la secuencia x'[n], constituida por lasmuestras n = 0, …, N-1 de la versión periódica de x[n] con periodo N.

2.- Cálculo de la DFT con N puntos de la secuencia x'[n].Aplique este procedimiento para calcular 16 muestras de la transformada de Fourier de un pulso

triangular de longitud 32 muestras, duración 15 muestras y posición en -7.♦

EJERCICIO 2.10: Se desea ilustrar el uso de la DFT inversa para obtener una aproximación h[n] a larespuesta impulsional hH[n] del sistema lineal e invariante cuya respuesta frecuencial es

HH(ejω) = - j signo(ω) para |ω| ≤ π

Este sistema se conoce bajo el nombre de transformador de Hilbert. Se pide:a) Mediante la transformada inversa de Fourier demuestre que la respuesta impulsional del

transformador de Hilbert responde a la expresión:

hH[n] = 2

πn (sen

π2

n)2

b) Si H[k] es la secuencia resultante del muestreo de HH(ejω) en el intervalo [0, 2π) en un número

impar N de puntos y h'[n] su DFT-1, justifique que la secuencia

h[n] = h'[n+N] -(N-1)/2 ≤ n < 0 h'[n] 0 ≤ n ≤ (N-1)/2

es una aproximación a hH[n] para |n| ≤ (N-1)/2. ¿Cuál es el error cometido?c) Estime un valor de N adecuado para que la secuencia h[n] aproxime a hH[n] con un error inferior al

2,5% en cada muestra.d) Mediante la opción "Editar secuencia" genere la secuencia H[k] y obtenga h[n]. Compare esta

secuencia con hH[n] y compruebe el error cometido.

e) Calcule mediante la DFT la respuesta frecuencial del sistema FIR cuya respuesta impulsional con

longitud N es h[n], y compárela con la respuesta frecuencial teórica del transformador de Hilbert.♦

EJERCICIO 2.11: Se trata de profundizar algo más en las propiedades de simetría de la DFT. Se pide:a) A la vista de las propiedades de simetría de la transformada de Fourier y la relación (2.12), averigüe

qué simetría debe presentar una secuencia real x[n] para que su DFT también sea real (quizá sirva deayuda la DFT calculada en el ejercicio 2.9).

b) Demuestre que, si una secuencia real verifica

x[0] = 0x[n] = - x[N-n] n = 1, 2, …, N-1

su transformada discreta de Fourier es imaginaria.♦

EJERCICIO 2.12: Mediante la opción "Editar secuencia" de 62 genere la secuencia


x[n] = …, 0, 1, 0, -1, 2_, 3, -2, 0, 0, -1, 0, …

Haciendo uso de la DFT obtenga la secuencia y[n] cuya transformada de Fourier tiene como partes reale imaginaria, respectivamente, las partes imaginaria y real de la transformada de x[n]:

Y(ejω) = ImX(ejω) + j ReX(ejω)

Justifique teóricamente el resultado alcanzado.♦

2.3 Teoremas de la transformada de Fourier y de la transformada discreta deFourier

Del gran acervo de conocimientos que sobre la transformada de Fourier se ha acumulado, acontinuación se recogen aquellos resultados de especial relevancia que son motivo de uso frecuente a lolargo del texto. Se contemplan simultáneamente los teoremas referentes a la transformada de Fourier ya su versión discreta, lo que permite apreciar cómodamente las similitudes y las diferencias. Si se tieneen cuenta que la transformada de Fourier representa el aparato teórico en el estudio frecuencial deseñales y sistemas, y que la transformada discreta de Fourier es el instrumento numérico, ha dereconocerse que es obligado adquirir un adecuado dominio de sus comportamientos comunes y de losmatices diferenciales.

En lo que sigue se toman como parejas transformadas las siguientes

xi[n] ←→F Xi(ejω)

xi[n] ←→DFT Xi[k]

Adicionalmente, en el estudio de la DFT se supone que las secuencias xi[n] satisfacen la condición:

xi[n] = 0 para n < 0 y n > N-1

de modo que:

Xi[k] = Xi(ejω)|ω=2πN k

En caso de que no fuese así, la DFT produce el enventanado implícito de xi[n] y se ha de entender que

las propiedades se refieren a la secuencia enventanada con el pulso rectangular de N muestras:

xiN[n] = xi[n] pN[n]

y a su correspondiente transformada de Fourier:


Xi[k] = XiN(ejω)|ω=2πN k

En numerosas ocasiones se hace uso de la notación x~[n] para representar la secuencia periódicagenerada a partir de x[n] (o xN[n] cuando se produzca el enventanado implícito) mediante la operación

x~[n] = x[n] * t[n] = ∑r=-∞

∞ x[n + rN]

ya que permite simplificar la expresión de los teoremas de la DFT.

Linealidad

Para cualquier par de secuencias x1[n] y x2[n], y de coeficientes a1 y a2, se verifica:

a1 x1[n] + a2 x2[n] ←→F a1 X1(ejω) + a2 X2(ejω) (2.13.a)

a1 x1[n] + a2 x2[n] ←→DFT a1 X1[k] + a2 X2[k] (2.13.b)

Esta propiedad es consecuencia inmediata de la definición y puede ser demostrada con facilidad. Segeneraliza inmediatamente a cualquier combinación lineal de secuencias.

EJERCICIO 2.13: Calcule la transformada de Fourier de la secuencia

x[n] = a|n|

con |a| < 1. Para ello descompóngase x[n] en la suma

x[n] = x[n] u[n] + x[n] u[-n-1]

cuyos sumandos representan, respectivamente, las partes causal y anticausal de la secuencia x[n].

Compruebe que, si a es real, la transformada es real y par.♦

Dualidad

X[n] ←→DFT N x~[N-k] pN[k] (2.14)

Es consecuencia de la similitud formal de las expresiones (2.8) que definen las transformacionesdiscretas de Fourier directa e inversa; se diferencian únicamente en el signo de las exponenciales y elfactor 1/N. Intercambiando entre sí los ordinales n y k, y haciendo uso de (2.9.a), se puede escribir


N x~[N-k] pN[k] = ( ∑n=0

N-1 X[n] ej

2πN (N-k)n ) pN[k] = ( ∑

n=0

N-1 X[n] e-j

2πN kn ) pN[k] = DFTX[n]

lo que demuestra la propiedad.

Ya se ha mencionado que la transformada de Fourier de secuencias no verifica la dualidad.

EJERCICIO 2.14: Dado el formal parecido entre DFT y DFT-1 es frecuente que se tome una de ellaspor la otra, sin que el error sea advertido; con este ejercicio se pretende ilustrar algunos matices quesean de utilidad para detectar la posible confusión. Se pide:a) Genere un pulso en rampa ra[n] de longitud 32 muestras, duración 16 muestras y posición en el

origen. Calcule con N = 32 su DFT Ra[k] y la DFT x[n] de ésta última; compruebe que severifica:

x[0] = N ra[0]x[n] = N ra[N - n] para n = 0, …, N-1

Justifique teóricamente este resultado mediante la aplicación de la dualidad.b) Genere un pulso rectangular de longitud 64 muestras, duración 32 muestras y posición en el

origen. Calcule con N = 64 su DFT P[k] y su DFT-1 PI[k] y observe sus respectivos módulos yfases. Compruebe que,

P[0] = N PI[0]P[k] = N PI[N - k] = N PI*[k] para k = 0, …, N-1

de acuerdo con el resultado del apartado anterior y la propiedad de simetría (2.11) de la DFT.♦

Desplazamiento temporal

x[n-m] ←→F e-jωm X(ejω) (2.15.a)

x~[n-m] pN[n] ←→DFT e-j2πN km X[k] (2.15.b)

La pareja de transformadas de Fourier se demuestra invocando a la definición de la transformada:

Fx[n-m] = ∑n=-∞

∞ x[n-m] e-jωn = e-jωm ∑

n=-∞

∞ x[n-m] e-jω(n-m) = e-jωm Fx[n]

En cuanto a la DFT, la pareja de transformadas queda establecida mediante el siguiente razonamiento.Como se verifica que


e-j2πN km X[k] = e-jωm X(ejω)|ω=

2πN k

la aplicación de la propiedad (2.12.b) del muestreo en frecuencia demuestra el teorema.

EJEMPLO 2.5: Considérese de nuevo el par transformado establecido en el ejemplo 2.1:

pL[n] ←→F e-jω(L-1)/2 sen

L2ω

sen12ω

De acuerdo con el resultado (2.15.a), en el caso de que L sea impar puede escribirse

pL[n + L-12 ] ←→F

senL2ω

sen12ω

que proporciona la transformada de Fourier de un pulso rectangular de L muestras centrado en elorigen. Obsérvese que, como corresponde a una secuencia real y par, la transformada es real y par. Para

L par no puede establecerse una conclusión equivalente.♦

EJEMPLO 2.6: En la figura 2.7 se presenta una secuencia x[n] de 4 muestras de la que se calcula latransformada discreta de Fourier X[k] con N = 6. El interés se centra ahora en averiguar lasecuencia cuya DFT es

Y[k] = X[k] e-j2πN km

con m =2 y m = 4. Para resolver la cuestión se genera la secuencia x~[n], versión periódica de x[n] con

periodo 6. De acuerdo con el teorema (2.15.b), las muestras para n = 0, …, N-1 de las versiones de

x~[n] retardadas 2 y 4 muestras nos proporcionan, respectivamente, las secuencias solicitadas. En la

misma figura 2.7 se ilustra el proceso de obtención de las secuencias deseadas.♦

La relación entre las secuencias y[n] y x[n] se denomina desplazamiento circular, nombre justificadopor la siguiente observación. Considérese la secuencia formada por las muestras de x[n] paran = 0, …, N-1 dispuesta sobre la superficie de un cilindro, de modo que las muestras x[N-1] y x[0]sean contiguas. Examinando las secuencias alcanzadas en el ejemplo anterior, éstas pueden describirsecomo el resultado de girar el cilindro m = 2 y m = 4 posiciones. En este contexto el desplazamientotemporal descrito por x[n-m] se suele referenciar como retardo o adelanto lineales. Debe destacarse quelos desplazamientos lineal y circular coinciden siempre que el primero no traslade muestras no nulas dela secuencia fuera del intervalo [0, N-1].


... ...

n

x[n]

0

N=6

... ...

n

y[n]

0

m=2

... ...

n

y[n]

0

m=4

... ...

n0

x [n]

Fig 2.7 Desplazamiento circular con N = 6 de la secuencia x[n] m =2 muestras y m=4 muestras

EJERCICIO 2.15: Sea x[n] una secuencia de longitud 32 muestras, constituida por un pulso triangularde duración 9 muestras y posición en el origen. Se pide:a) Determine la secuencia resultante al aplicar a x[n] un adelanto circular de 5 muestras con N =12.b) ¿Cuál sería el resultado si se hubiese aplicado un retardo circular de 7 muestras?c) Mediante el programa 62, compruebe la veracidad de las secuencias obtenidas. Para ello genere

x[n] y calcule su DFT de 12 puntos; genere una sinusoide compleja con la pulsación adecuada yrealice el producto con la DFT anterior; la DFT-1 de la secuencia resultante nos proporciona la

secuencia deseada.♦

Modulación

x[n] ejωon ←→F X(ej(ω-ωo)) (2.16.a)

x[n] ej2πN ln ←→DFT X

~[k-l] pN[k] (2.16.b)


La demostración de este teorema es paralela a la expuesta para el desplazamiento temporal:

Fx[n] ejωon = ∑n=-∞

∞ x[n] ejωon e-jωn = ∑

n=-∞

∞ x[n] e-j(ω-ωo)n = X(ej(ω-ωo))

Para la transformada discreta de Fourier esta propiedad puede establecerse a partir de (2.15.b) poraplicación de la dualidad.

EJEMPLO 2.7: La transformada de Fourier de secuencias reales es redundante, ya que el carácterhermítico permite determinar su valor para pulsaciones negativas a partir del conocimiento parapulsaciones positivas. Esta redundancia puede ser eliminada al definir la señal analítica ax[n] de una

señal x[n] mediante la siguiente relación de las transformadas de ambas secuencias:

Ax(ejω) = 2 X(ejω) ω ≥ 0 0 ω < 0

= X(ejω) 1 + j [-j signo(ω)] = X(ejω) + j HH(ejω) X(ejω)

donde HH(ejω) es la respuesta frecuencial del sistema "transformador de Hilbert" que se introdujo en el

ejercicio 2.10. La señal analítica puede expresarse en función de la secuencia x[n] como

ax[n] = x[n] + j H x[n]

donde Hx[n] es la "transformada de Hilbert" de x[n], esto es, la respuesta a x[n] del sistematransformador de Hilbert. A partir de la señal analítica puede definirse el equivalente paso bajo bx[n] de

una señal paso banda x[n]:

bx[n] = ax[n] e-jωon = i[n] + j q[n] (2.17)

cuyas partes real e imaginaria reciben el nombre, respectivamente, de componentes en fase i[n] ycuadratura q[n]. El equivalente paso bajo permite una manipulación más sencilla ycomputacionalmente más económica de las señales paso banda que su tratamiento directo. En la figura2.8 se ilustra la relación entre las transformadas de Fourier de una secuencia paso banda x[n], de laseñal analítica correspondiente ax[n] y de su equivalente paso bajo bx[n]. Queda como ejercicio probar

que

x[n] = i[n] cos(ωon) - q[n] sen(ωon)

proporciona la señal paso banda en función de sus componentes en fase y cuadratura.♦

EJERCICIO 2.16: Considérese una secuencia paso banda que responde a la expresión

x[n] = s[n] cos(ωon + θ[n])


-π π ω

-π π ω

-π π ω

X

A x

Bx

ωo

ωo

−ωo

Fig 2.8 Transformada de Fourier de la señal analítica y el equivalente paso bajo de una secuencia paso banda

donde las muestras de s[n] son todas no negativas. Se pide:a) Demuestre que

|bx[n]| = √i2[n] + q2[n] = s[n]argbx[n] = θ[n]

es decir, que módulo y fase del equivalente paso bajo son, respectivamente, la envolvente y la faseinstantánea de la señal x[n].

b) Realice una crítica del siguiente procedimiento para determinar el equivalente paso bajo de unasecuencia x[n]:1.- Calcular la DFT con N puntos de x[n];2.- multiplicar por 2 las muestras con ordinal k entre 0 y N/2; anular las muestras para

k > N / 2;3.- invertir la DFT resultante (se ha obtenido la señal analítica);

4.- multiplicar por e-jωon la secuencia compleja obtenida.c) Genere con el programa 62 una secuencia x[n] con una duración de 256 muestras tal que

fo = 0,25

s[n] = 1 + 0,5 cos(2π 0,05 n)θ[n] = cos(2π 0,015n) - 0.6 cos(2π 0,02n)


Determine su equivalente paso bajo por el procedimiento anterior con N =512 y compare su

módulo y fase con s[n] y θ[n], respectivamente.♦

Convolución

c[n] = x1[n] * x2[n] ←→F X1(ejω) X2(ejω) (2.18.a)

z[n] = c~[n] pN[n] ←→DFT X1[k] X2[k] (2.18.b)

El teorema de convolución reviste especial importancia y, sin duda, es el causante de la importanciateórica de la transformada de Fourier en el estudio de las señales y los sistemas lineales e invariantes.

Para la transformada de Fourier la demostración puede establecerse de forma elaborada con el apoyo dela figura 2.9. En ella se muestra el análisis de la combinación cascada de dos sistemas con respuestasimpulsionales h1[n] y h2[n]. Si la excitación es el impulso unidad, el primer sistema responde con surespuesta impulsional h1[n], que constituye la entrada del segundo sistema; éste responde con la

convolución de la entrada y la respuesta impulsional propia; en definitiva, para el sistema constituidopor la combinación cascada se puede escribir

Tδ[n] = h[n] = h1[n] * h2[n]

H ( ) 1

*[n]δ =

=

h[n]

H( )

h[n]

h [n]1h [n]2

H ( ) 2

h [n]1h [n]1 h [n]2

ωje nωjeH ( ) 1nωjeωjenωje nωjeωje ωje

Fig. 2.9 Análisis temporal y frecuencial de la combinación cascada de dos sistemas lineales e invariantes

ilustrativo de la demostración del teorema de la convolución

Por otro lado, si la excitación es una exponencial, la respuesta del sistema completo, en función de lasrespuestas frecuenciales de cada uno de los sistemas en cascada y de su propia respuesta frecuencial, es

Tejωn = H1(ejω) H2(ejω) ejωn = H(ejω) ejωn

Ahora bien, puesto que respuesta impulsional y respuesta frecuencial son pares transformados, sepuede establecer que

Fh[n] = Fh1[n] * h2[n] = H(ejω) = H1(ejω) H2(ejω)

lo que demuestra el teorema.


x[n] y[n]h[n]

Fig. 2.10 Sistema lineal e invariante

La relación entrada-salida de un sistema lineal invariante como el de la figura 2.10, que ha sidoexpresada hasta el momento mediante la convolución:

y[n] = h[n] * x[n]

ahora puede expresarse de forma algebraica gracias a la transformada de Fourier:

Y(ejω) = H(ejω) X(ejω) (2.19)

Este resultado tiene importantes consecuencias, que se irán revelando a lo largo del texto.

Para la transformada discreta de Fourier, el teorema de convolución es una consecuencia inmediata delteorema de convolución de la transformada de Fourier y el resultado (2.12.b) sobre el muestreo enfrecuencia, ya que el producto X1[k]X2[k] puede entenderse como el resultado del muestreo de la

transformada de Fourier de la convolución c[n].

La secuencia z[n] recibe el nombre de convolución circular de las secuencias x1[n] y x2[n], lo que

suele expresarse con la siguiente notación:

z[n] = x1[n] oN x2[n] ←→DFT X1[k] X2[k] (2.20)

que hace referencia expresa al valor para N utilizado en el cómputo de las transformadas discretas deFourier. La convolución circular puede ser expresada fácilmente en función de las secuenciasconvolucionadas. La relación correspondiente se establece como sigue; en primer lugar

c~[n] = ∑r=-∞

∞ ∑

m=0

N-1 x1[m] x2[n + rN - m]

y, al intercambiar los sumatorios, se obtiene

c~[n] = ∑m=0

N-1 x1[m] ∑

r=-∞

∞ x2[n + rN - m] = ∑

m=0

N-1 x1[m] x~2[n - m] = ∑

m=0

N-1 x~1[n - m] x2[m]

donde se ha supuesto que las secuencias xi[n] son cero fuera del intervalo [0, N-1]. En consecuencia


x1[n] oN x2[n] = ∑m=0

N-1 x1[m] x~2[n - m] = ∑

m=0

N-1 x~1[n - m] x2[m] para n = 0, …, N-1 (2.21)

La expresión alcanzada justifica el nombre de convolución circular, ya que su forma es la de laconvolución y el desplazamiento de las secuencias es circular. En este contexto, y para evitarconfusión, la convolución habitual suele denominarse convolución lineal. Obsérvese que laconvolución circular coincide con las muestras n = 0, …, N-1 de la convolución lineal de una de lassecuencias con la versión periódica de la otra.

El teorema de convolución ofrece un procedimiento para el cálculo de la salida de un sistema lineal einvariante alternativo a la convolución lineal y que puede describirse en los siguientes pasos:

1.- cálculo de las transformadas de Fourier de la secuencia de entrada x[n] y la respuestaimpulsional h[n] del sistema;

2.- obtención del producto de ambas transformadas;3.- determinación de la salida y[n] como la transformada inversa del producto anterior.

Este algoritmo estrictamente correcto con la transformada de Fourier, cualesquiera que sean lassecuencias implicadas, tiene sus limitaciones cuando la transformación utilizada es la DFT, ya que laconvolución circular no coincide necesariamente con la convolución lineal. Sin embargo, debe hacersenotar que, desde un punto de vista computacional, solamente tiene sentido la aplicación de la DFT,puesto que se trata de una transformación numérica, no siendo éste el caso de la transformada deFourier. Los aspectos más relevantes del uso de la DFT en el cómputo de la convolución lineal sonmotivo de estudio en los dos ejercicios siguientes. Sus conclusiones son aplicadas en el problema2.20, donde se enuncian dos procedimientos sistemáticos para el uso práctico de la DFT en el cálculode la respuesta de un sistema FIR a una secuencia de duración indefinida.

EJERCICIO 2.17: Se trata de realizar una primera experiencia con el uso de la DFT para el cálculo dela convolución. Para ello considérese el cálculo de la respuesta de un sistema promediador de 4muestras a una excitación constituida por un pulso triangular de 7 muestras. Se pide:a) Determine la salida del sistema haciendo uso del teorema de convolución y la DFT con N = 8.b) Repita el apartado anterior con N = 12.c) Obtenga la convolución lineal de la entrada y la respuesta impulsional, y compárela con los

resultados anteriores.d) Atendiendo a la relación entre las convoluciones lineal y circular, justifique los resultados de la

comparación.♦

EJERCICIO 2.18: En base al estudio teórico precedente y a la experiencia alcanzada con el ejercicioanterior, se pide, bajo el supuesto que las secuencias que se convolucionan son nulas fuera delintervalo [0, N-1]:a) Si el número N de muestras de la DFT es igual o mayor que la longitud L de la secuencia

resultante de la convolución lineal, razone que la convolución circular coincide con la convoluciónlineal.

b) En caso contrario, justifique que las L - N primeras muestras de la convolución circular sondistintas de las correspondientes muestras de la convolución lineal, y


c) demuestre que coinciden las restantes muestras hasta la N-1, última muestra de la convolución

circular.♦

Producto (enventanado) de secuencias

x1[n] x2[n] ←→F 1

2π ∫-π

π X1(ejλ) X2(ej(ω-λ)) dλ (2.22.a)

x1[n] x2[n] ←→DFT 1N

X1[k] oN X2[k] (2.22.b)

Para la transformada de Fourier, la demostración de esta propiedad se puede alcanzar a partir de lasecuencia

y[n] = ∑m=-∞

∞ x1[m] x2[m - n] ejω(n-m) = x1[n] * x2[-n] ejωn

cuya transformada, en virtud de los teoremas de modulación y convolución, es

Y(ejλ) = X1(ejλ) X2(ej(ω-λ))

Ahora bien, la definición de las transformadas directa e inversa de Fourier permite escribir

y[0] = ∑m=-∞

∞ x1[m] x2[m] e-jωm = Fx1[m] x2[m] =

12π ∫

-π

π Y(ejλ) dλ

que demuestra el teorema.

En el caso de la transformada discreta de Fourier, el teorema es fruto del teorema de convolución y ladualidad.

Debe señalarse que, aunque en el enunciado del teorema el intervalo de integración elegido es(-π, π), la convolución de las transformadas se puede realizar en cualquier periodo de las mismas.

Habitualmente la convolución en un periodo de las transformadas X1(ejω) y X2(ejω) se expresa

abreviadamente como sigue:

12π ∫

-π

π X1(ejλ) X2(ej(ω-λ)) dλ = X1(ejω) o2π X2(ejω)


La operación de enventanado es de singular interés práctico en el tratamiento digital de la señal. Porello se le ha dedicado la práctica IV, donde puede dirigirse el lector interesado.

Derivación en el dominio ω

n x[n] ←→F j dX(ejω)

dω (2.23)

Si se deriva respecto a ω la definición (2.2.a) de la transformada de Fourier, se obtiene

dX(ejω)dω = ∑

n=-∞

∞ -j n x[n] e-jωn

lo que conduce a (2.23) inmediatamente.

Igualdad de Parseval

Ex = ∑n=-∞

∞ |x[n]|2 =

12π ∫

-π

π |X(ejω)|2 dω (2.24.a)

Ex = ∑n=0

N-1 |x[n]|2 =

1N

∑k=0

N-1 |X[k]|2 (2.24.b)

Para la transformada de Fourier la igualdad (2.24.a) se establece teniendo en cuenta que

∑n=-∞

∞ |x[n]|2 = x[n] * x*[-n]|n = 0

Fx*[-n] = X*(ejω)

y haciendo uso del teorema de la convolución (2.18.a) y de la definición de la transformada inversa(2.2.b) que permiten escribir

∑n=-∞

∞ |x[n]|2 = F-1 X(ejω) X*(ejω) |n = 0 =

12π ∫

-π

π X(ejω) X*(ejω) dω

La demostración de la igualdad de Parseval (2.24.b) para la DFT se puede alcanzar con el mismorazonamiento, sustituyendo la convolución lineal por la convolución circular y la transformada deFourier por la DFT.


2.4 La correlación y la densidad espectral de energía

Los conceptos de correlación y densidad espectral son especialmente importantes, ya que permitenunificar el estudio frecuencial de las señales deterministas y las señales aleatorias. Además, estáníntimamente relacionados con el concepto de distancia entre señales (o distintos segmentos de unamisma señal) y ofrecen una interpretación intuitiva de la transformada de Fourier.

Sean x[n] e y[n] dos secuencias con energía finita:

Ex = ∑n=-∞

∞ |x[n]|2 < ∞ Ey = ∑

n=-∞

∞ |y[n]|2 < ∞

Un definición sencilla, pero que ha revelado ser muy fértil, de distancia entre y[n] y una versióndesplazada de la otra señal x[n+m] es la energía de su diferencia:

D[m] = ∑n=-∞

∞ |x[n+m] - y[n]|2 = ∑

n=-∞

∞ |x[n] - y[n-m]|2 = Ex + Ey - (rxy[m] + ryx[-m])

donde

rxy[m] = ∑n=-∞

∞ x[n+m] y*[n] = ∑

n=-∞

∞ x[n] y*[n-m] = x[m] * y*[-m] (2.25)

se denomina correlación cruzada de las dos secuencias. Fijada la energía de las mismas, su parecido serámayor cuanto mayor sea la suma rxy[m] + ryx[-m]. En la definición (2.25) se comprueba sin

dificultad que

rxy[m] = ryx*[-m] (2.26)

Así, para secuencias reales, cuya correlación cruzada también es real, se puede escribir:

D[m] = Ex + Ey - 2 rxy[m] (2.27)

lo que indica una menor distancia entre secuencias cuanto mayor sea su correlación cruzada.

Cuando una secuencia se compara consigo misma, la correlación se denomina autocorrelación. En estecaso se suele simplificar la notación:

rxx[m] = x[m] * x*[-m] = rx[m] = r[m]

La alternativa r[m] solamente es utilizada cuando no hay ambigüedad sobre la secuencia de que se trata.

1 0 0 Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

... ...

n

x[n]

0

... ...

n

y[n]

0

... ...

m

r[m]

0-3

Fig. 2.11 Secuencias y correlación cruzada del ejemplo 2.8

EJEMPLO 2.8: Considérense las secuencias x[n] e y[n] de la figura 2.11, cuya correlación cruzada seproporciona en la misma figura. El valor máximo de ésta ocurre para la muestra con el ordinalm = - 3, lo que sugiere que, si x[n] se retrasa 3 muestras, se obtendrá la máxima coincidencia entreambas secuencias. Este resultado es acorde con la intuición, como se comprueba examinando las

señales x[n] e y[n].♦

EJEMPLO 2.9: La correlación de la suma de dos secuencias viene dada por:

rx+y[m] = (x[m] + y[m]) * (x*[-m] + y*[-m]) = rx[m] + ry[m] + rxy[m] + ryx[m]

Cuando se verifica que

rxy[m] = ryx[m] = 0

se dice que las secuencias x[n] e y[n] son incorreladas. Bajo este supuesto, la correlación de su suma es

la suma de sus autocorrelaciones.♦

EJEMPLO 2.10: Sean x[n] e y[n] respectivamente la entrada y la salida de un sistema lineal einvariante con respuesta impulsional h[n]. La correlación cruzada entre excitación y respuesta seestablece como sigue:

rxy[m] = x[m] * y*[-m] = x[m] * x*[-m] * h*[-m] = rx[m] * h*[-m] (2.28.a)

Análogamente, se obtiene que

ryx[m] = rx[m] * h[m] (2.28.b)

2 La representación frecuencial 1 0 1

ry[m] = rx[m] * h[m] * h*[-m] = rx[m] * rh[m] (2.28.c)

Conviene destacar estas relaciones, ya que son de utilidad en muchas situaciones de interés.♦

En la tabla 2.2 se resumen las propiedades más importantes de la autocorrelación, cuya demostraciónse deja como ejercicio. Para demostrar que r[0] es el máximo de la correlación ha de acudirse a ladesigualdad de Schwarz1; sin embargo, cuando la secuencia es real, se puede hacer uso del siguienteargumento cualitativo: de acuerdo con (2.27) la autocorrelación será máxima cuando la distancia entrela secuencia y una versión desplazada de la misma sea mínima; es claro que tal mínimo se producecuando el desplazamiento es nulo (m = 0).

EJEMPLO 2.11: La distancia de una secuencia x[n] real a una versión desplazada de sí misma

D[m] = ∑n=-∞

∞ |x[n] - x[n-m]|2 = 2 (Ex - rx[m])

puede interpretarse como la energía de la diferencia entre las muestras que se encuentran alejadas en lasecuencia m posiciones. Cuanto más pequeña sea esta diferencia, mayor es el parecido global entredichas muestras. En consecuencia, la correlación rx[m] nos proporciona una información cuantitativa

de la similitud entre muestras de la secuencia distantes m posiciones: a mayor correlación, mayorparecido.

Considérese una situación en la que de una secuencia x[n] se conoce únicamente su correlación y lasmuestras hasta el momento presente. Se desea aproximar el valor de la muestra futura a partir de la

Tabla 2.2 Propiedades de la autocorrelación

Energía r[0] = Ex

Simetría r[m] = r*[-m]

x[n] real r[m] real

r[m] = r[-m] (par)

x[n] ejωon r[m] ejωom

Máximo |r[m]| ≤ r[0]

1 |∑k

ak bk |2 ≤ (∑k

|ak|2) (∑k

|bk|2). La igualdad se satisface cuando ak=λbk*.


muestra presente y el conocimiento de la correlación de la secuencia; en otras palabras, se pretendepredecir x[n+1] a partir de x[n]. Para ello se plantea el estimador lineal

x[n+1] = a1 x[n]

El error cometido en la aproximación es

e[n+1] = x[n+1] - x[n+1] = x[n+1] - a1 x[n] (2.29.a)

Si la predicción se reitera para todo n, la secuencia de error tiene la energía (error cuadrático) siguiente:

Ee = ∑n=-∞

∞ |e[n]|2 = ∑

n=-∞

∞ |x[n] - a1 x[n-1]|2 = Ex + a12 Ex - 2 a1 rx[1]

Es razonable elegir el valor para el parámetro a1 del estimador de forma que se minimice el error

cuadrático; se debe cumplir que

dEeda1

= 2 a1 Ex - 2 rx[1] = 0

lo que proporciona

a1 = rx[1] / Ex = rx[1] / rx[0]

Ee = (1 - a12) Ex

La predicción lineal tiene interesantes aplicaciones, de las que se ofrecen ejemplos en este texto(véanse los problemas 3.1 y 6.15, y la práctica III). La relación (2.29.a) puede escribirse

x[n] = a1 x[n-1] + e[n] (2.29.b)

que sugiere el siguiente modelo para la señal x[n]: la secuencia es generada por un sistema recurrentede orden 1 que proporciona una muestra prediciéndola a partir de la anterior y añadiendo la innovacióne[n] (la componente impredecible, nueva, de la señal). Se deja como ejercicio comprobar que

rex[1] = 0.♦

Resulta del mayor interés el estudio de la transformada de Fourier de la autocorrelación de unasecuencia x[n]. De acuerdo con las propiedades de la transformada:

Sx(ejω) = Frx[m] = Fx[m] * x*[-m] = X(ejω) X*(ejω) = |X(ejω)|2 (2.30)

es decir, la transformada de Fourier Sx(ejω) de la autocorrelación es el cuadrado del módulo de la

transformada de la secuencia. En consecuencia, como todo módulo de una magnitud compleja, verifica


Sx(ejω) ≥ 0 para todo ω

La transformada Sx(ejω) recibe el nombre de densidad espectral de energía, ya que su integración en

frecuencia proporciona la energía de la secuencia. En efecto, la definición de la transformada inversa deFourier autoriza a escribir:

Ex = rx[0] = 1

2π ∫-π

π Sx(ejω) dω (2.31)

Además Sx(ejω) indica la distribución de la energía de la secuencia entre las distintas frecuencias. A fin

de esclarecer esta idea, considérese el sistema paso banda cuya respuesta frecuencial se muestra en lafigura 2.12. Para un ancho de banda Bω suficientemente pequeño, se puede decir cualitativamente queeste sistema sólo responde a la frecuencia ωo y sin modificar su amplitud; en otras palabras, la energíaEy de su respuesta y[n] a una excitación x[n] será la energía presente en x[n] a la frecuencia ωo. Ahora

bien, si se hace uso del teorema del valor medio, esta energía es

Ey = 1

2π ∫-π

π Sy(ejω) dω =

12π ∫

-π

π |X(ejω) H(ejω)|2 dω =

12π |X(ejωo)|2 Bω

de modo que, efectivamente,

Sx(ejωo) = |X(ejωo)|2 = 1Bf

Ey

proporciona la densidad de energía a la frecuencia ωo. Este resultado avala la interpretación intuitiva de

la transformada de Fourier como expresión de la composición frecuencial de una señal: magnitudes

pequeñas de X(ejω) implican escasa energía en el margen de frecuencias correspondiente; por otro lado,

amplitudes mayores de X(ejω) indican la presencia de más energía en el intervalo de frecuencia en el

que tienen lugar.

1B

ωπ

H

ω

ωo-π

Fig 2.12 Respuesta frecuencial del filtro paso banda que facilita la interpretación

de la transformada de Fourier.


Es oportuno señalar en este punto que la interpretación del módulo de la transformada de Fourier comoindicativo de la composición frecuencial de una señal es el fundamento de la práctica habitual querepresenta la transformada en la forma módulo-argumental o polar. Es interesante decir, también, que,si el módulo de la transformada está asociado a la distribución de energía en frecuencia, la informacióncontenida en la fase está relacionada con la forma de onda. Por ejemplo, señales con idénticacomposición frecuencial de energía diferirán en la forma de onda según la fase con que se compongansus integrantes.

EJEMPLO 2.12: Considérese que una señal x[n] contiene una señal s[n] con información útilacompañada por otra señal r[n] a descartar. Si s[n] es una señal paso bajo, con todas sus componentesfrecuenciales por debajo de ωc, y r[n] ocupa una banda de frecuencias por encima de dicha pulsación,

ambas señales pueden ser separadas mediante un filtro paso bajo. Si, tal como se ilustra en la figura2.13, el módulo de la respuesta frecuencial del filtro en la banda de la señal útil (banda de paso)aproxima muy bien el comportamiento ideal y en la banda correspondiente a la señal sin interés (bandaatenuada) es prácticamente nulo, y la fase de la respuesta frecuencial es lineal en la banda de paso, latransformada de Fourier de la señal a la salida del filtro puede aproximarse por

Y(ejω) = S(ejω) e-jMω

de modo que la secuencia resulta

y[n] = s[n- M]

esto es, una versión retardada, pero sin alteración en la forma de onda, de la señal de interés. Queda asíestablecido que, cuando es importante conservar la forma de la señal, es preciso utilizar un sistemacuya respuesta frecuencial presente módulo constante y fase lineal en la banda de frecuencias de la

|H|

π ω

1ϕ ( ) = - M

X

π ω0

RS

ω c

ωc

ω ω

Fig. 2.13 Filtrado paso bajo de una señal compuesta


señal. Como se expone en el capítulo 5, este comportamiento de la respuesta frecuencial puede ser

alcanzado exactamente para la fase y aproximado con la precisión necesaria para el módulo.♦

EJERCICIO 2.19: De acuerdo con la relación (2.30) y la propiedad (2.12.b) del muestreo de latransformada de Fourier, se verifica que

( ∑r=-∞

∞ rx[m + rN]) pN[m] ←→DFT |X[k]|2

Si x[n] es una secuencia real, con muestras no nulas únicamente en el intervalo[0, L-1], se pide:a) Indique los pasos a seguir para calcular su correlación r[m] mediante el uso de la DFT.b) Determine el valor mínimo para N en la DFT que permita obtener las M primeras muestras de r[m]

r[m] m = 0, …, M-1

sin que se produzca solapamiento temporal.♦

2.5 Las secuencias con potencia media finita

Hasta el momento sólo han sido consideradas secuencias con energía finita, lo que ha excluido delestudio realizado secuencias tan importantes como las senoidales o el propio escalón unidad. Latransformada de Fourier puede ser extendida a aquellas secuencias de interés cuya potencia media,definida mediante

Px = l im N → ∞

1

2N+1 ∑

n=-N

N | x[n] |2 (2.32)

es finita. Para ello es preciso incorporar como posible transformada de Fourier la función delta deDirac δ(ω), definida a partir de la propiedad siguiente: para toda función f(ω) continua en el origen, severifica que

∫-∞

∞ f(ω) δ(ω) dω = f(0) (2.33)

EJEMPLO 2.13: La secuencia

x[n] = 1

tiene como potencia media


Px = 1

y su transformada de Fourier es

X(ejω) = 2π ∑i=-∞

∞ δ(ω - 2πi)

que constituye un tren con periodo 2π de deltas de Dirac con área 2π situadas en los múltiplos de 2π.La pareja de transformadas

1 ←→F 2π ∑i=-∞

∞ δ(ω - 2πi)

se establece acudiendo a la definición de la transformada inversa de Fourier y a la propiedad (2.33) quedefine la función δ(ω):

x[n] = 1

2π ∫-π

π X(ejω) ejωn dω =

12π ∫

-π

π 2π δ(ω) ejωn dω = 1 ♦

EJEMPLO 2.14: La secuencia escalón unidad u[n] presenta una potencia media

Pu = l im N → ∞

1

2N+1 ∑

n=-N

N | x[n] |2 = l im

N → ∞

12N+1

∑n=0

N 1 = 1/2

Para obtener su transformada de Fourier, es conveniente expresar u[n] como la siguiente combinaciónlineal de secuencias:

u[n] = 12 +

12 δ[n] +

12 signo[n]

La transformada de las dos primeras secuencias ya es conocida. En cuanto a la secuencia

signo[n] = 1 n > 0

0 n = 0 -1 n < 0

real e impar, puede decirse que su transformada S(ejω) es imaginaria e impar. Además, la secuencia

verifica2

signo[n] - signo[n-1] = δ[n] + δ[n-1]

2 Debe advertirse que u[n] satisface una relación similar; sin embargo, este procedimiento no le es aplicable por ser

su media distinta de cero.


por lo que, al transformar la relación anterior, se obtiene

S(ejω) (1 - e-jω) = 1 + e-jω

de donde

S(ejω) = 1 + e-jω

1 - e-jω =

1

j tgω2

Así, la transformada U(ejω) del escalón unidad es

U(ejω) = π ∑i=-∞

∞ δ(ω - 2πi) +

12 +

12 1 + e-jω

1 - e-jω = π ∑

i=-∞

∞ δ(ω - 2πi) +

1

1 - e-jω

♦

Haciendo uso de los resultados de los dos ejemplos anteriores y el teorema de la modulación de latransformada de Fourier, se establecen los dos pares de transformadas siguientes relativas a lassecuencias senoidales complejas:

ejωon ←→F 2π ∑i=-∞

∞ δ(ω - ωo - 2πi) (2.34)

u[n] ejωon ←→F π ∑i=-∞

∞ δ(ω - ωo - 2πi) +

1

1 - e-j(ω-ωo) (2.35)

de indudable interés en el estudio de las señales y los sistemas de comunicaciones. Queda comoejercicio determinar la transformada de Fourier de una sinusoide real, causal o no.

Las secuencias periódicas son un caso especial de secuencias con potencia media finita. Por definición,una secuencia con periodo P verifica

x[n] = x[n + P] para todo n

Así, su potencia media puede calcularse promediando en el tiempo la energía acumulada por losdistintos periodos:

Px = l im Q → ∞

1

(2Q+1)P ∑

r=-Q

Q ∑

m=0

P-1 | x[m+rP] |2 =

1P

∑m=0

P-1 | x[m] |2 (2.36)

EJEMPLO 2.15: La secuencia tren de impulsos introducida en el apartado 2.2 y representada en lafigura 2.4


t[n] = ∑r=-∞

∞ δ[n + rN] =

1N

∑k=0

N-1 ej

2 πN kn (2.37.a)

tiene periodo N. Su transformada de Fourier:

T(ejω) = 1N

∑k=0

N-1 2π ∑

i=-∞

∞ δ(ω -

2 πN

k - 2πi) = 2πN

∑i=-∞

∞ δ(ω -

2 πN

i) (2.37.b)

se alcanza a partir de la expresión de t[n] como combinación lineal de exponenciales, aplicando el

teorema de la linealidad y los pares transformados (2.34).♦

La práctica III se dedica parcialmente al estudio de las secuencias periódicas. Allí se aborda sudesarrollo en serie discreta de Fourier (DFS), la determinación de su transformada de Fourier y larespuesta a las mismas de sistemas lineales e invariantes. Este estudio se complementa en losproblemas 2.11 (propiedades de la DFS), 2.12 (respuesta de sistemas lineales e invariantes), 2.13(autocorrelación) y 2.24 (interpolación).

Las secuencias pertenecientes a la clase de las secuencias con potencia media finita poseen energíainfinita, de modo que la definición de distancia y correlación que se estableció para las secuencias deenergía finita no es extrapolable sin modificación. Sea x[n] una secuencia con potencia media finita,que se enventana con la secuencia

vN[n] = 1 |n | ≤ N 0 otro n

La secuencia resultante

xN[n] = x[n] vN[n]

es de energía finita; por tanto, se puede obtener su correlación

rN[m] = xN[m] * xN*[-m] (2.38.a)

y su densidad espectral de energía

SN(ejω) = FrN[m]

El paso al límite para N tendiendo a infinito permite definir la autocorrelación de la secuencia x[n]mediante la relación

rx[m] = l im N → ∞

1

2N+1 rN[m] (2.38.b)

y la densidad espectral de potencia como


Sx(ejω) = l im N → ∞

1

2N+1 SN(ejω)

Si en esta última relación se intercambia el paso al límite con la integral de Fourier (sólo posiblecuando el límite existe), se llega a establecer

Sx(ejω) = F l im N → ∞

1

2N+1 rN[m] = F rx[m]

es decir, que las nuevas definiciones de correlación y densidad espectral de potencia son parestransformados (teorema de Helly). Equivalentemente a lo que ocurre para las secuencias con energíafinita, puede escribirse

Px = rx[0] = 1

2π ∫-π

π Sx(ejω) dω

EJEMPLO 2.16: Para obtener la autocorrelación de la secuencia escalón unidad, enventánese con lasecuencia vN[n]. De este modo

rN[m] = uN[m] * uN[-m] = N + 1 - |m| |m| ≤ N

y se alcanza con el paso al límite

ru[m] = l im N → ∞

1

2N+1 rN[m] =

12

A esta correlación le corresponde una densidad espectral de potencia

Su(ejω) = π ∑i=-∞

∞ δ(ω - 2πi)

lo que significa que la única componente frecuencial de la secuencia u[n] que tiene potencia media

finita es la correspondiente a frecuencia cero.♦

EJEMPLO 2.17: Sean las secuencias senoidales complejas

x[n] = a ejω1n

y[n] = b ejω2n

La correlación cruzada de sus versiones enventanadas con vN[n] vale para m ≥ 0

rxyN[m] = ∑n=-N

N-m a ejω1(n+m) b* e-jω2n = a b* ejω1m ∑

n=-N

N-m ej(ω1-ω2)n 0 ≤ m ≤ N


y para m ≤ 0

rxyN[m] = ∑n=-N-m

N a ejω1(n+m) b* e-jω2n = a b* ejω1m ∑

n=-N-m

N ej(ω1-ω2)n -N ≤ m ≤ 0

En ambos casos, con el paso al límite se alcanza

rxy[m] = l im N → ∞

1

2N+1 rxyN[m] =

a b* ejω1m ω2 = ω1 + 2πi 0 ω2 ≠ ω1 + 2 πi

con i entero. En conclusión, dos componentes frecuenciales de distinta frecuencia son incorreladas.♦

EJEMPLO 2.18: Dado que las dos componentes de la señal

x[n] = A cos(ωon + θ) = 12 A ejθ ejωon +

12 A e-jθ e-jωon

son incorreladas, la correlación de la secuencia en virtud del ejemplo 2.9 viene dada por

rx[m] = rωo[m] + r-ωo

[m] = 14 A2 ejωοm +

14

A2 e-jωom = 12 A2 cos(ωom)

Se observa que la correlación no depende de la fase de la sinusoide.♦

EJERCICIO 2.20: Calcule la densidad espectral de potencia del tren periódico de impulsos t[n] a partir

de su expresión (2.37a) como combinación de exponenciales.♦

EJERCICIO 2.21: Demuestre que la secuencia x[n] = A cos(ωon + θ)u[n] tiene la siguiente densidad

espectral de potencia:

S(ejω) = 14 A2 π ∑

i=-∞

∞ δ(ω - ωo - 2πi) + δ(ω + ωo - 2πi)

♦

EJERCICIO 2.22: Se trata de extender el resultado (2.28) del ejemplo 2.10 para las secuencias conenergía finita a las secuencias con potencia media finita. Sea x[n] una secuencia con potencia mediafinita que, aplicada a un sistema con respuesta impulsional h[n], produce como respuesta la secuenciay[n]; demuestre que

rxy[m] = rx[m] * h*[-m] (2.39.a)ry[m] = rx[m] * h[m] * h*[-m] = rx[m] * rh[m] (2.39.b)

Esta última relación permite escribir


Sy(ejω) = Sx(ejω) |H(ejω)|2 (2.39.c)

para las densidades espectrales de potencia, donde H(ejω) es la respuesta frecuencial del sistema. A

partir de este resultado, por analogía al análisis realizado para la densidad espectral de energía, ladensidad espectral de potencia puede interpretarse como expresión de la distribución de la potencia

media entre las distintas componentes frecuenciales de la señal.♦

2.6 Diezmado e interpolación de secuencias

El diezmado y la interpolación son dos manipulaciones de secuencias de frecuente aplicación en eltratamiento digital de señales de comunicaciones. En el capítulo siguiente se verán diversos ejemplosde ello. Ahora interesa definir formalmente estas operaciones y analizar sus consecuencias sobre latransformada de Fourier de las secuencias.

x[n] y[n] = x[nN]N

... ...

n

x[n]... ...

n

y[n]

Fig. 2.14 Sistema diezmador y ejemplo de actuación con N=3

El diezmado supone la eliminación regular de muestras de una secuencia, de modo que a partir de x[n]proporciona como resultado

y[n] = x[nN] (2.40)

donde N es la relación de diezmado. El sistema que ejecuta esta acción se denomina diezmador; en lafigura 2.14 se incluye el símbolo que lo representa, así como un ejemplo de actuación para N = 3.Este sistema, que ya fue introducido como ejemplo en el capítulo 1, conserva una muestra de lasecuencia de cada N (en el caso de N = 10, retiene una muestra de cada diez, lo que da nombre a laoperación).

Para analizar este proceso, es conveniente introducir la secuencia intermedia

v[n] = x[n] n = 0, ±N, ±2N, … 0 otro n = x[n] t[n]


donde t[n] es un tren de impulsos con periodo N. En la figura 2.15 se muestran las secuencias t[n] paraN = 3 y la v[n] correspondiente a la secuencia x[n] de la figura 2.14. En cuanto a la transformada

V(ejω) de v[n], se determina como sigue, aplicando el teorema del enventanado:

V(ejω) = X(ejω) o2π T(ejω) = X(ejω) o2π 2πN

∑i=-∞

∞ δ(ω -

2 πN

i) = 1N

∑i=0

N-1 X(ej(ω -

2 πN i)) (2.41.a)

donde se ha hecho uso del resultado (2.37.b) del ejemplo 2.15.

... ...

n

x[n]

... ...

n

t[n]

... ...

n

v[n]

Fig. 2.15 Secuencias x[n], t[n] y v[n] correspondientes al ejemplo de la figura 2.14.

En la secuencia v[n] se mantienen a su valor las muestras de x[n] que se conservarán en y[n], y seanulan las muestras a descartar. Es claro que la secuencia y[n] resultante del diezmado de x[n] puedeexpresarse

y[n] = x[nN] = v[nN]

y que su transformada de Fourier

Y(ejω) = ∑n=-∞

∞ y[n] e-jωn = ∑

n=-∞

∞ v[nN] e-jωn

mediante el cambio de ordinal m = n N, llega a ser en función de la transformada V(ejω) de v[n]:

Y(ejω) = ∑m=-∞

∞ v[m] e-jω

mN = V(ej

ωN ) (2.41.b)


Debe hacerse notar que el cambio de ordinal es posible porque las muestras de la secuencia v[n] sonnulas para m ≠ nN; este ha sido el motivo para la introducción de la secuencia v[n]. En definitiva, latransformada de Fourier de la secuencia y[n] viene dada por

Y(ejω) = 1N

∑i=0

N-1 X(ej(

ωN -

2 πN i)) (2.41.c)

cuya interpretación se ofrece en la figura 2.16, para el caso particular N = 3. En esta figura se harepresentado el periodo (0, 2π) de las transformadas, en vez del utilizado en otras ocasiones (-π, π). Seha supuesto una secuencia x[n] a diezmar limitada en banda por debajo de la pulsación π/N; latransformada de v[n], de acuerdo con (2.41.a), resulta de la superposición de la transformada de x[n] conversiones de ella misma desplazadas a los múltiplos enteros de 2π/N (en la figura estas versiones seindican con el índice i); finalmente, la transformada de la secuencia y[n] resultante del diezmado se

obtiene a partir de V(ejω) mediante (2.41.b), que implica una expansión del eje de frecuencias (el valor

de Y(ejω) para ω es el que toma V(ejω) para ω/N).

X

V

Y

1

1/N

1/N

π /N 2π

2π /N 4π /N

2π

2π

π ω

ω

ωπ

i = 1 i = 2

Fig. 2.16 Transformada de Fourier Y de la secuencia resultante de un diezmado por N = 3

a partir de la transformada X de la secuencia diezmada

Cuando la secuencia que se diezma presenta componentes frecuenciales por encima de π/N, las

distintas versiones ("alias") desplazadas de X(ejω) se solapan, con lo que provocan distorsión en la


composición frecuencial de y[n]. Para evitar este efecto, se aplica un filtrado paso bajo (que limita labanda de la señal por debajo de π/N) antes de proceder al diezmado. Así, el proceso completo quedacomo se ilustra en la figura 2.17.

x[n] y[n] N

= π / Ncω

Fig. 2.17 El proceso completo de diezmado incorpora un filtro paso bajo para evitar el solapamiento

EJEMPLO 2.19: La conveniencia de filtrar paso bajo antes de proceder al diezmado se correspondebastante bien con la intuición. Si se desease representar la evolución semanal de la temperatura enBarcelona a partir del conocimiento de la temperatura media diaria, la solución adoptada seguramentesería proporcionar el promedio semanal (filtrado paso bajo) de la temperatura media diaria, y no la

temperatura media de un día concreto de la semana (los jueves, por ejemplo).♦

EJEMPLO 2.20: Considérese el diezmado de una sinusoide con pulsación ω1. De acuerdo con (2.40)

la secuencia resultante de la operación es

y[n] = sen (ω1 n N) = sen (ω2 n)

2ππ ω

2π /N 4π /N 2π ω

π /N

2π ωπ

0

0

0

X

V

Y

≈~ ~

~

≈

a)


2ππ ω

2π /N 4π /N 2π ω

π /N

2π ωπ

0

0

0

≈~ ~

~

≈

X

V

Y

b)

Fig. 2.18 Transformadas de Fourier de las secuencias implicadas en el diezmado por N =3 de

una sinusoide de pulsación: a) menor que π/N; b) mayor que π/N (los símbolos ~ y ≈representan, respectivamente, los índices i = 1 y 2 del desplazamiento de la transformada X).

Se trata de una nueva sinusoide con pulsación

ω2 = ω1 N

Cuando ω1 sea mayor que π/N, ω2 resulta fuera del intervalo (0, π). La pulsación equivalente en este

intervalo se obtiene tomando

ω2 = |ω1 N - 2π k|

donde k es el entero adecuado para que ω2 ≤ π. Este resultado se ilustra en la figura 2.18 mediante la

representación de las transformadas de Fourier de las secuencias obtenidas en el proceso de diezmado.Cuando no se produce aliasing (Fig. 2.18.a), la expansión del eje frecuencial propia del diezmadoprovoca que la pulsación queda multiplicada por N; en caso contrario (Fig. 2.18.b), es un alias el que

se sitúa en el intervalo (0, π/N) de V(ejω), por lo que la pulsación de la sinusoide resultante del

diezmado queda alterada en múltiplos de 2π.♦

EJERCICIO 2.23: Una secuencia con periodo P es diezmada por una relación N. Determine el periodode la secuencia resultante en el caso de que N y P sean primos entre sí, y en el caso de que amboscompartan el mínimo común múltiplo M. Realice un experimento con el programa 62 para

corroborar el resultado alcanzado.♦


x[n] y[n] N

v[n]

intercala N-1 ceros entre dos muestras H(1) = N

= π / Ncω

... ...

n

x[n]

... ...

n

y[n]I

D

Fig. 2.19 Diagrama de bloques de la interpolación y ejemplo de actuación sobre una secuencia x[n] con

N = 3 ; las muestras interpoladas se muestran en blanco en la secuencia resultante y[n].

La interpolación es la operación inversa al diezmado. Tal como se ilustra en la figura 2.19 para unarelación de interpolación N = 3, entre cada dos muestras de la secuencia original x[n], intercala N-1muestras nuevas. La interpolación, por ejemplo, debe recuperar una secuencia que haya sido objeto dediezmado. El nombre de la operación proviene de la acción de interpolar valores en una tabla. En lamisma figura 2.19 se muestra el esquema conceptual que permite obtener a partir de una secuencia x[n]una versión y[n] interpolada. La secuencia v[n] se genera a partir de x[n] intercalando N-1 muestrasnulas entre cada dos de sus muestras y responde a la expresión:

v[n] = x[n/N] n = 0, ±N, ±2N, … 0 otro n

Esta secuencia, cuya forma es la misma de la figura 2.15, crea el sitio que ocuparán las muestrasinterpoladas. Su transformada de Fourier

V(ejω) = ∑n=-∞

∞ x[n/N] e-jωn

con el cambio de ordinal m = n/N resulta

V(ejω) = ∑m=-∞

∞ x[m] e-jωNm = X(ejωN)

que supone una contracción del eje de frecuencias (V(ejω) toma para ω el valor de X(ejω) en ωN), tal

como se ilustra en la figura 2.20. La secuencia interpolada y[n] se alcanza mediante un filtrado pasobajo, que elimina las réplicas de la transformada de x[n] centradas en los múltiplos de π/N; así

Y(ejω) = V(ejω) H(ejω)


2ππ ω

2π /N 4π /N 2π ω

1

π /N 2π ωπ

1

N

X

V

Y

D

Fig. 2.20 Transformadas de Fourier de las secuencias implicadas en un proceso de interpolación (N=3)

donde el filtro ha de presentar una pulsación de corte ωc = π/N y una ganancia N en la banda de paso.

Esta ganancia es necesaria para mantener adecuadamente la energía de las secuencias: si y[n] esdiezmada, el resultado debe reproducir x[n] y, como se ha visto, en el diezmado la transformada deFourier es reducida en un factor N; por ello, la secuencia y[n] ha de tener una transformada N vecesmayor que x[n]. Obsérvese que la lectura de la figura 2.20 en el sentido de la flecha señalada con unaD reproduce las transformadas de Fourier implicadas en una operación de diezmado.

EJEMPLO 2.21: Se trata de ilustrar la interpolación lineal de una muestra (N = 2) entre dos adyacentesde la secuencia x[k] de la figura 2.21. La muestra interpolada entre las muestras x[k] y x[k+1] ha deresponder a la expresión

y = 12 ( x[k] + x[k+1] )

En la figura 2.21 se muestra la secuencia v[k] y la respuesta impulsional del filtro interpolador

h[k] = …, 0, 1/2_ , 1, 1/2, 0, …

La secuencia h[1-k] ya está en disposición para calcular la muestra correspondiente al ordinal n=1 de lasecuencia y[n] mediante la convolución (esta es la razón de indicar con la letra k los ordinales en dichafigura). Es sencillo determinar que


... ...

k

x[k]

0

... ...

k

v[k]

0

... ...

k

h[k]

0

... ...

k

h[1-k]

0

... ...

n

y[n]

0

Fig. 2.21 Ejemplo de interpolación lineal con una relación N=2

y[1] = v[0] = x[0]

y[2] = 12 ( v[0] + v[2] ) =

12 ( x[0] + x[1] )

y[3] = v[2] = x[1]

y[4] = 12 ( v[2] + v[4] ) =

12 ( x[1] + x[2] )

es decir, la secuencia y[n] reproduce las muestras de la secuencia x[n] con una muestra intercalada entrecada dos originales cuyo valor corresponde a la media de las mismas.

La respuesta frecuencial del interpolador es


H(ejω) = 12 + e-jω +

12 e-2jω = e-jω ( 1 + cos ω )

que corresponde a un filtro paso bajo cuya respuesta frecuencial toma valor 2 en el origen y presentauna fase lineal que provoca el retardo de una muestra. Este efecto es observable en la figura 2.22, yaque y[n] reproduce las muestras no nulas de v[n], provenientes de x[n], un ordinal más tarde. Queda

como ejercicio la representación mediante 62 de la respuesta frecuencial del interpolador.♦

EJERCICIO 2.24 : Demuestre que las operaciones de diezmado e interpolación son lineales y variantes

con el tiempo.♦

EJERCICIO 2.25: Se dispone de una tabla de la función sen(x) en el intervalo (0, π/2) con L valoresy se desea obtener, a partir de ella, otra tabla que en el mismo intervalo represente a la función con unadensidad doble de puntos. Se pide el diseño del filtro interpolador FIR, de orden 2, que permite realizarla operación con error teóricamente cero. Para ello:a) Obtenga la pulsación ωo de la secuencia x[n] = sen(ωon) que representa para n = 0, …, L-1 la

tabla disponible.b) Especifique el proceso que permite interpolar por 2 esta secuencia, indicando las componentes

frecuenciales de v[n] y los requerimientos que ha de satisfacer el filtro interpolador.c) Calcule el filtro interpolador.d) Para comprobar el diseño obtenido, genere con el programa 62 la secuencia sen(ωon) e

interpolarla; compare la secuencia obtenida con el resultado teórico.♦

2.7 Problemas

PROBLEMA 2.1: Determine la transformada de Fourier de las secuencias siguientes:

a) x[n] = 1 0 ≤ n ≤ M-1

-1 M ≤ n ≤ 2M-1 0 para otro n

b) x[n] = A cos2(ωon + θ)

c) x[n] = ∑r=-∞

∞ xo[n+rP] , en función de la transformada de xo[n]

d) x[n] = n 0 ≤ n ≤ L-1 0 para otro n

e) x[n] =

12(1 - cos

π(n+1)(L+1) ) 0 ≤ n ≤ L-1

0 para otro n

PROBLEMA 2.2: Obtenga las secuencias cuya transformada de Fourier es:

a) X(ejω) = e-jω(L-1)/2 ( sen

L2ω

sen12ω

o2π sen

L2ω

sen12ω

)


ω-π π

X

ωc

1

Fig. P2.2

b) La que se muestra en la figura P2.2

c) X(ejω) = j ω para |ω| ≤ π

d) X(ejω) = 0,9 1 + e-2jω

1 - 0,9 e-jω + 0,81 e-2jω

PROBLEMA 2.3: Sea la secuencia

x[n] = p4[n]

a) Encuentre la expresión de su transformada de Fourier X(ejω). Dibuje (de forma aproximada) el

módulo de X(ejω), indicando la posición de sus ceros. Dibuje exactamente su fase con valores

comprendidos entre -π y π.Haciendo uso únicamente de la definición y las propiedades de la DFT (sin realizar cálculos numéricoscon la fórmula que la define), se pide:b) Obtenga la expresión de X[k], DFT de x[n], con N=12 y dibuje su módulo y fase, proporcionando

la misma información que la solicitada en el apartado anterior.c) Si X1[k] es la secuencia frecuencial resultante al tomar equiespaciadamente una de cada 4 muestras

de X[k] (incluyendo la correspondiente a k=0), halle la secuencia x1[n] cuya DFT es X1[k].d) Determine la secuencia temporal x2[n] DFT inversa de

X2[k] = X[k] e-j4πk/3 k = 0, 1, …, 11

PROBLEMA 2.4: Considérese el sistema recurrente de orden 2

y[n] = -a1 y[n-1] - a2 y[n-2] + b0 x[n] + b1 x[n-1] + b2 x[n-2]

Obsérvese que, como se desprende de la expresión de la respuesta frecuencial en función de loscoeficientes ai y bi, ésta puede interpretarse como el cociente de la transformada de Fourier de lassecuencias b0_ , b1, b2 y 1_, a1, a2. Para el sistema

b0 = -b2 = 0,245237 a1 = -0,932938


b1 = 0 a2 = 0,509525

calcule mediante 62 el módulo de la respuesta frecuencial en un número N de puntos suficiente paradeterminar la frecuencia a la que tiene lugar el máximo de su módulo con un error inferior a 10 Hz, siel sistema trabaja en un entorno analógico con una frecuencia de muestreo de 8 kHz. Estime lasfrecuencias discreta y analógica correspondientes a dicho máximo, así como el valor del mismo.

PROBLEMA 2.5: Las muestras de la DFT de una secuencia x[n] con N=8 vienen dados por laexpresión X[k] = cos(πk/4)+sen(3πk/4) ¿Cuál de las siguientes secuencias se corresponde con x[n] enel intervalo 0 ≤ n ≤ 7?:

a) x[n] = 1/2 (δ[n-1] + δ[n-7] + δ[n-3] + δ[n-4])b) x[n] = 1/2 (δ[n-1] + δ[n-5] + jδ[n-1] + jδ[n-5])c) x[n] = 1/2 (δ[n-1] + jδ[n-7])d) x[n] = 1/2 (δ[n-1] + δ[n-7] + jδ[n-3] - jδ[n-5])e) x[n] = 1/2 (δ[n-1] - δ[n-7] + jδ[n-3] + jδ[n-7])

PROBLEMA 2.6: La DFT X[k] de una secuencia x[n] real de N muestras es una secuencia complejaque, como ya se ha visto, presenta simetría hermítica:

X[0] realX[k] = X*[N-k] k = 1, 2, …, N-1

Esta redundancia puede ser aprovechada para obtener con una sola DFT de N muestras la DFT de Nmuestras de dos secuencias x[n] e y[n] reales de longitud N. Para ello se forma la secuencia

z[n] = x[n] + jy[n]

cuya DFT de N muestras Z[k] se calcula. Demuéstrese que la DFT de la secuencia x[n] puede obtenersea partir de Z[k] mediante las relaciones:

X[0] = ReZ[0]

X[k] = 12 (Z[k] + Z*[N-k]) k = 1, 2, …, N-1

mientras que la DFT de y[n] viene dada por:

Y[0] = ImZ[0]

Y[k] = 12j

(Z[k] - Z*[N-k]) k = 1, 2, …, N-1

PROBLEMA 2.7: Considérese la secuencia

x[n] = …, 0, 1_, 2, 2, 2, 0, …


A continuación se indican distintas operaciones sobre su DFT, el número de muestras de la misma, yla secuencia y[n] resultante de aplicar la DFT inversa.

1) Y[k] = X[k] e-j(2π/N)k N=4 y[n] = …, 0, 0_, 1, 2, 2, 0, …

2) Y[k] = X[k] e-j(4π/N)k N=5 y[n] = …, 0, 0_, 1, 2, 2, 2, 0, …

3) Y[k] = X[k] ej(4π/N)k N=6 y[n] = …, 0, 2_, 2, 0, 0, 1, 2, 0, …

4) Y[k] = X[k] ej(4π/N)k N=4 y[n] = …, 0, 2_, 2, 1, 2, 0, …

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?:a) Todas las relaciones anteriores son correctas.b) Solamente tres relaciones son correctas.c) Solamente dos relaciones son correctas.d) Solamente una relación es correcta.e) Ninguna de las relaciones es correcta.

PROBLEMA 2.8: Sean las secuencias

x1[n] = …, 0, 1_, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, …x2[n] = …, 0, 0_, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, …

e y[n] = DFT-1X1[k].X2[k] donde X1[k] y X2[k] son las DFT de 9 puntos correspondientes a x1[n]y x2[n], respectivamente. ¿Cuál de las siguientes secuencias es realmente la secuencia y[n]?:

a) y[n] = …, 0, 5_, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 0, …b) y[n] = …, 0, 3_, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 3, 0, …c) y[n] = …, 0, 3_, 3, 4, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 0, …d) y[n] = …, 0, 1_, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, …e) y[n] = …, 0, 2_, 3, 4, 5, 5, 5, 4, 3, 2, 0, …

e[n] s[n] e[n]1S 2S

S

Fig. P2.9-1

PROBLEMA 2.9: Un problema que se plantea frecuentemente en la práctica es la compensación de ladistorsión introducida en una señal x[n] por un sistema (filtro, canal, etc.) lineal e invariante. Para


llevar a efecto la recuperación de la señal se suele acudir a la utilización de un sistema, denominadoigualador (o ecualizador), cuya función de transferencia sea tal que cancele la distorsión cuando seconecta en cascada tras el sistema distorsionador. La situación se esquematiza en la figura P2.9-1,donde el sistema S1 es el sistema distorsionador y el sistema S2 es el igualador.

+

r[n]

trayecto directo

eco

Fig. P2.9-2

En el presente problema se trata de compensar la distorsión generada por un canal de transmisión queincorpora a la señal transmitida una réplica retardada de la misma (eco), de modo que su respuestaimpulsional puede ser modelada por:

h1[n] = δ[n] + α δ[n - d]

donde α es el factor de reflexión y d el retardo del eco. Adicionalmente, la señal sufre contaminaciónpor ruido. El modelo del sistema de transmisión se muestra en la figura P2.9-2. Se pide:a) ¿Cuál ha de ser la respuesta impulsional de sistema S, combinación en cascada de los sistemas

distorsionador e igualador, para que la distorsión sea eliminada? ¿Y su respuesta frecuencial?Obtenga la respuesta frecuencial del igualador en función de la respuesta frecuencial del sistema queintroduce la distorsión.

b) Particularice el resultado anterior para compensar el eco producido por el canal de transmisióndescrito. Determine la ecuación en diferencias finitas que describa la relación entrada-salida delsistema igualador. ¿Cuál es su respuesta impulsional?

c) Un procedimiento general para diseñar un filtro igualador FIR es tomar su respuesta impulsionalh2[n] a partir de

h2[n] = DFT-1 1 / DFT h1[n]

Realice una crítica de esta propuesta.d) Para llevar a cabo con el programa 62 un experimento ilustrativo de todo cuanto se lleva dicho,

genere una señal x[n] con un periodo de diez muestras constituido por un pulso en rampa de sietemuestras de duración, y un ruido r[n] gaussiano con potencia 0,1. Mediante "Editar secuencia" creela respuesta impulsional correspondiente a un canal que produce un eco con α = -0,3 y d = 4.Obtenga la señal y[n] en recepción de acuerdo con el modelo de la figura P2.9-2.

e) Siguiendo el método propuesto en el apartado c), diseñe un filtro igualador. Aplíquelo a la señalrecibida.


f) Repita los dos apartados anteriores con α = -0,85. Compare las señales recuperadas en amboscasos y justifique las diferencias.

PROBLEMA 2.10: Considérese la detección de la presencia de una determinada señal s[n] de Lmuestras en una señal x[n] de duración indefinida. Una solución natural es calcular la distancia D[m]entre las secuencias x[n] y s[n-m] y aceptar la presencia de s[n] cuando la distancia sea nula. Esteplanteamiento es equivalente a calcular la correlación rxs[m] entre ambas señales y suponer laaparición de s[n] cuando rxs[m] iguale (o exceda) un cierto umbral. Se pide:

a) Determine la respuesta impulsional h[n] de un sistema discreto (filtro adaptado) que a la secuenciax[n] responde con la secuencia rxs[n].

b) Si

s[n] = ..., 0, 0, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 0, 0, ...

obtenga la respuesta impulsional h[n] del filtro adaptado causal correspondiente. ¿Cuál es el umbralque permite aceptar la presencia de s[n]?

c) Compruebe que la respuesta impulsional h[n] y el umbral propuestos detectan correctamente lapresencia de s[n] en la secuencia

x[n] = ..., 0, 0, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, 1, 0, 0, ...

Debe señalarse que el concepto de filtro adaptado es de gran utilidad en multitud de aplicacionesprácticas. Son ejemplos sobresalientes las comunicaciones digitales y el radar.

PROBLEMA 2.11: Una secuencia x[n] con periodo P puede expresarse mediante la secuenciacorrespondiente a su periodo fundamental

xo[n] = x[n] 0 ≤ n ≤ P -1 0 para otro n

como

x[n] = ∑r=-∞

∞ xo[n+rP]

Ahora bien, si Xo[k] es la DFT con P muestras de xo[n], de acuerdo con (2.9) x[n] puede expresarse

x[n] = 1P

∑k=0

P-1 Xo[k] ej

2πP kn

Esta relación, que suele escribirse como


x[n] = ∑k=0

P-1

~X[k] ej

2πP kn (P2.11-1)

proporciona la composición de una secuencia periódica mediante la combinación lineal de las Psinusoides complejas distintas con periodo P (véase el ejemplo 1.3). La secuencia periódica cuyoperiodo fundamental está formado por los coeficientes de la combinación lineal recibe el nombre deserie discreta de Fourier (DFS), y se define como

~X[k] =

1P

∑n=0

P-1 xo[n] e-j

2πP kn =

1P

∑n=0

P-1 x[n] e-j

2πP kn (P2.11-2)

Las relaciones (P2.11-2) y (P2.11-1) definen, respectivamente, la DFS directa y la DFS inversa. Sepide:a) Las DFS de la secuencia t[n] (tren de impulsos) y de una sinusoide con frecuencia i/P.

b) Si xi[n] y ~Xi[k] son parejas relacionadas por la DFS, establezca las siguientes propiedades para la

DFS a partir de las propiedades relacionadas de la DFT:

linealidad: a1 x1[n] + a2 x2[n] ←→DFS a1 ~X1[k] + a2

~X2[k]

dualidad:~X[n] ←→DFS N x[-k]

desplazamiento temporal: x[n-m] ←→DFS e-j2πN km ~X[k]

modulación: x[n] ej2πN ln ←→DFS X

~[k-l]

convolución: x1[n] oP x2[n] ←→DFS ~X1[k]

~X2[k]

donde x1[n] oP x2[n] = ∑m=0

P-1 x1[m] x2[n - m] =

= ∑m=0

P-1 x1[n - m] x2[m]

enventanado: x1[n] x2[n] ←→DFS 1P

~X1[k] oP

~X2[k]

c) Razone que la DFS posee las mismas propiedades de simetría que la DFT.

PROBLEMA 2.12: Una secuencia x[n] con periodo P y periodo fundamental


constituye la entrada a un sistema caracterizado por su respuesta impulsional h[n]. Basándose en laexpresión (P2.11-1) de x[n] mediante la DFS, demuestre que la respuesta y[n] presenta periodo P y quesu periodo fundamental yo[n] viene dado por


yo[n] = xo[n] oP ho[n]

donde

ho[n] = ∑

r=-∞

∞ h[n+rP] 0 ≤ n ≤ P -1

0 para otro n

= ( ∑r=-∞

∞ h[n+rP] ) pP[n]

Genere con el programa 62 una secuencia triangular tr[n] con 10 muestras de duración y, a partir deella, una señal con periodo 10 muestras, longitud 30 muestras y comienzo en n=0. Filtre esta señalcon un filtro promediador de 3 muestras. Compruebe que, pasado el transitorio producido por el filtro,la respuesta de éste es periódica y reproduce la convolución circular de tr[n] y la respuesta impulsionaldel promediador.

PROBLEMA 2.13: Sean x[n] una secuencia real periódica, con periodo de P muestras, y xo[n] la

secuencia:


Se pide:a) Basándose en la expresión de x[n] mediante la DFS, demuestre que rx[m] puede expresarse

rx[m] = ∑k=0

P-1 A[k] ej

2πP km

donde A[k] = | ~X[k] |2 ¿Qué significado puede darse a A[k]?b) A partir de este resultado, obtenga la densidad espectral de x[n].c) Pruebe que la autocorrelación de x[n] verifica

rx[m] = 1P

∑r=-∞

∞ rxo[m+rP] =

1P

x[m] * xo[-m]

d) Si x[n] tiene por autocorrelación la secuencia

rx[m] =

1 -

1P

m = 0, ±P, ±2P, …

- 1P

para otro m

calcule y dibuje el módulo de la DFT de xo[n], |Xo[k]|, para P = 8.


PROBLEMA 2.14: En este problema se analiza de forma muy simplificada la realización de unanalizador de espectros digital comercial basado en la DFT. Considérese el esquema de la figuraP2.14-1; la señal x[n], cuyo espectro desea representarse, es enventanada en el instante n con unaventana rectangular que toma las muestras x[n] a x[n-L+1], para calcular posteriormente la DFT con Npuntos (N≥L), con lo que se obtiene:

yk[n] = ∑i=0

L-1 x[n-L+1+i] e-j

2πN i k k = 0, ..., N-1

Si esta operación se realiza para todo n, tendremos que la muestra k de la DFT evoluciona con n; esdecir, yk[n] constituye una secuencia de ordinal n que representa la evolución de la componenteespectral k de x[n]. Finalmente, se calcula el módulo al cuadrado de yk[n], y se consigue ek[n]. Así la

densidad espectral de la señal en el instante n queda representada por la secuencia:

X[k] = eo[n], e1[n], …. ek[n], …, eN/2[n]

que es presentada en la pantalla del analizador. Cada muestra proporciona la densidad espectral de laseñal a la frecuencia 2πk/N. Se pide:a) Obténgase la respuesta impulsional del sistema de la figura P2.14-2, que a x[n] responde con

yk[n].

b) Obténgase la respuesta frecuencial de dicho sistema y exprésese en términos de la transformada deFourier de la ventana rectangular. ¿Qué tipo de filtro es? Indicar su pulsación central y ancho debanda entre ceros.

DFTdeN

puntos

Ventanarectangular

2

2

2

e [n]1

e [n]k

y [n]k

x[n]

e [n]0

Fig. P2.14-1

x[n] y [n]kh [n]k

Fig. P2.14-2


B

ωπ

ω1

Q

-π

Fig. P2.14-3

c) Indíquese cómo quedaría afectada hk[n] si la ventana rectangular se substituye por otra ventana v[n]

de la misma longitud.d) Considérese una secuencia compleja q[n], cuya transformada de Fourier sea la de la figura P2.14-3:

demuéstrese que |q[n]|2 presenta un espectro paso bajo con ancho de banda Bω.

ventana i-1ventana i

ventana i+1

M

L

señal

n

Fig. P2.14-4

Aunque la secuencia X[k] se puede actualizar cada instante de muestreo (para cada n), la evolución decada muestra ek[n] es lenta ya que, como se comprueba en el apartado d) de este problema, es un señal

paso bajo con un ancho de banda muy pequeño. Por ello, la presentación en pantalla se actualiza cadaM instantes de muestreo (lo que es equivalente a realizar un diezmado por M de las secuencias ek[n]);

en realidad, la ventana se desplaza por la señal a saltos de M muestras, definiendo tramos de señal cuyaDFT se calcula y se presenta en pantalla. Esta idea se ilustra en la figura P2.14-4. Se pide:e) Si el analizador de espectros trabaja con una frecuencia de muestreo de 8 kHz, una ventana de

Hamming con longitud L = 256 y una DFT de 1024 muestras, ¿cada cuánto tiempo, comomínimo, debe actualizarse la presentación en pantalla?

PROBLEMA 2.15: Se desea analizar una señal analógica compuesta por tres tonos, uno de los cualeses de menor duración que los demás. Para ello se ha muestreado la señal a 8 kHz y se ha tomado unsegmento de la secuencia resultante que incluye la transición de tres a dos tonos. La duración delsegmento de análisis es de 128 muestras y la transición tiene lugar en la mitad del segmento,aproximadamente.


Fig. P2.15

En la figura P2.15 se muestra para k = 0, 1, …, 256 el módulo de la DFT (N=512) del segmentoenventanado con la ventana de Hamming que toma las 64 primeras muestras del segmento de señal, ydel mismo segmento enventanado con la ventana de Hamming de 128 muestras de longitud. Ambasventanas han sido normalizadas de forma que

∑n=0

L-1 vh[n] = 1 (P2.15)

La posición y el valor de los máximos del módulo de la DFT son:

gráfica superior: k = 103 |X[k]| = 0,1516k = 128 |X[k]| = 0,5133

gráfica inferior k = 102 |X[k]| = 0,0770k = 127 |X[k]| = 0,4983k = 141 |X[k]| = 0,3483

Justifique su respuesta a las siguientes cuestiones:


a) ¿Cuál de las dos gráficas (superior o inferior) corresponde a la ventana de Hamming de 64muestras de longitud?

b) ¿Cuál es la amplitud del lóbulo principal de la transformada de Fourier de una ventana normalizadade acuerdo con (P2.15)?

c) El tono que acaba en la mitad del segmento puede considerarse un tono de la misma duración quelos demás enventanado mediante una ventana rectangular de 64 muestras; ¿cuál es la ventanaequivalente para este tono cuando el segmento de señal se enventana con la ventana de Hammingde 64 muestras de duración?, ¿y con la de 128 muestras? ¿Cuál es aproximadamente la anchura dellóbulo principal de la transformada de Fourier de cada una de estas ventanas equivalentes? ¿Cuál essu amplitud?

d) ¿Cuál es la frecuencia del tono de menor duración? ¿Y su potencia?e) ¿Cuáles son la frecuencia y la potencia de los demás tonos?

x[n] y[n]

x[n] y[n]

x[n] y[n]DFT DFT -1

z-5 z -1

S 1

S 2

e[n] e[-n]

h[n]

e[k] |e[k]| 2

2 2

Fig. P2.16

PROBLEMA 2.16: En la figura P2.16 se muestran 3 sistemas, constituido cada uno de ellos a su vezpor tres bloques funcionales. Se pide para cada uno de los sistemas:a) la relación entrada-salida (y[n] en función de x[n]);b) justifique si es causal, estable, lineal o invariante;c) la respuesta impulsional cuando sea lineal e invariante;d) para x[n] = ..., 0, 0, 1, 1, -1, -1, 0, 0, ... encuentre y[n], si el número de muestras de la DFT es

10 en el primer sistema y h[n] = … 0, 1/2, 1, 1/2, 0, … en el tercero.

PROBLEMA 2.17: Una interpolación por 4 puede realizarse mediante un solo paso (Fig. P2.17-1) omediante dos interpolaciones por 2 sucesivas (Fig. P2.17-2). En este problema se analizan los dosesquemas y las condiciones en las que resultan totalmente equivalentes.Se pide:

a) La expresión de Y(ejω), transformada de Fourier de la secuencia y[n] obtenida en el primer

esquema, en función de X(ejω) y la respuesta frecuencial del filtro H(ejω).


x[n] y[n] 4 H

Fig P2.17-1

22 H 1 2H x[n] y'[n]

Fig. P2.17-2

b) La expresión de Y'(ejω), transformada de Fourier de la secuencia y'[n] obtenida en el segundo

esquema, en función de X(ejω) y la respuesta frecuencial de los filtros H1(ejω) y H1(ejω).

c) A partir de las expresiones anteriores obtenga la relación que debe haber entre H(ejω), H1(ejω) y

H2(ejω) para que ambos esquemas sean equivalentes.d) Si las respuestas impulsionales de los filtros H1 y H2 son h1[n] = h2[n] = 1,2,1, calcule la

respuesta impulsional de H para que el primer esquema sea equivalente al segundo.

PROBLEMA 2.18: Determínese la respuesta impulsional de un filtro causal interpolador que realiza lainterpolación lineal por 3 tal como se ilustra en la figura P2.18, donde xi son las muestras de lasecuencia original e yi son las muestras resultantes de la interpolación. Calcúlese la respuesta

frecuencial del filtro interpolador obtenido, representando aproximadamente su módulo e indicando elretardo que introduce.

x1

x2

y1

y2

y1 = 2/3 x1 + 1/3 x2, y2 = 1/3 x1 + 2/3 x2

Fig. P2.18

PROBLEMA 2.19: La importancia de la transformada discreta de Fourier (DFT) en el tratamientodigital de la señal proviene, en gran parte, de la existencia de métodos eficientes para su cómputo. Eneste problema se estudia la propiedad de la DFT que permite el establecimiento de los algoritmosrápidos denominados FFT (fast Fourier transform). Para ello, considérese el esquema de la figuraP2.19-1 donde, a partir de una secuencia x[n], se obtienen dos secuencias g[n] y h[n] mediante undiezmado por 2 y un adelanto de una muestra.


2

2

z

x[n]

g[n]

h[n]

Fig. P2.19-1

Se pide:a) Obtenga las señales g[n] y h[n], en función de la entrada x[n]. Para ello, puede ser ilustrativo

contemplar primero el caso particular de que la secuencia x[n] fuese ra8[n], definida por

raN[n] = n 0 ≤ n < N 0 n < 0 , n ≥ N

b) Proponga un esquema que permita recuperar x[n] a partir de g[n] y h[n].c) Establezca la relación entre la transformada de Fourier de x[n] y las transformadas de Fourier de g[n]

y h[n].d) Si x[n] es una señal de longitud N, justifique el esquema mostrado en la figura P2.19-2 (que recibe

el nombre de mariposa) para obtener la DFT de N puntos de x[n] a partir de las DFT de N/2 puntosde g[n] y h[n].

+

x +

+

+

+

-

G[k]

H[k]

X[k]

X[N/2+k]

- j2πk/Ne

k = 0, …, N/2-1

Fig. P2.19-2

e) Utilizando la relación anterior, calcule la DFT de 8 puntos de x[n] = 1,1,1,0,1,0,1,0 a partir delas DFT de 4 puntos de las señales g[n] y h[n] correspondientes.

Si N es una potencia de 2 (N = 2m), la descomposición en dos de la secuencia a transformar puede seraplicada reiteradamente m veces, hasta que las secuencias g[n] y h[n] se reduzcan a una muestra, cuyatransformada son ellas mismas. A partir de ahí, la aplicación del esquema de la figura P2.19-2permitiría calcular la transformada de las subsecuencias generadas y, finalmente, la transformada dex[n].


ALGORITMO FFT. Diezmado temporal

Los argumentos de llamada a la función son:x Vector complejo de dimensión N (definido de 0 a N-1) que contiene la señal a transformar.m valor entero positivo que determina el número de puntos de la transformada N=2m.ind entero con valores posibles 1 o -1 según se desee realizar la transformada directa o inversa.

La función tiene como argumento de salida:x Vector complejo de dimensión N (definido de 0 a N-1) que contiene la señal transformada

Las variables x,T,U,W son complejasLas variables ii, ij, ind, k, L, Lv2 , Lv2m1, m, N, Nv2, Nm2, Nm1 son enteras

Inicialización de valoresN := 2^m; Nv2 := N/2; Nm1 := N-1; Nm2 := N-2

Algoritmo bit-reversedij := 0;para ii=0 hasta Nm2 repetir

si ij < ii entoncesT := x(ij)x(ij) := x(ii)x(ii) := T

fink := Nv2mientras k < ij+1 repetir

ij := ij - kk := k/2

finij := ij + k

fin

Cálculo de las mariposaspara k=1 hasta m repetir

L := 2^kLv2 := L/2Lv2m1 := Lv2 - 1U := 1W := exp(-j*ind*pi/Lv2);para ij=0 hasta Lv2m1 repetir

para ii=ij (con incremento L) hasta Nm1 repetirip := ii + Lv2T := x(ip) * Ux(ip) := x(ii) - Tx(ii) := x(ii) + T

finU := U * W

finU := U * W

finsi ind = -1 entonces para ii=0 hasta N-1 repetir

x(ii) := x(ii)/Nfin

Fig. P2.19-3


En la figura P2.19-3 se proporciona el algoritmo FFT basado en esta sistemática. El algoritmo constade dos partes; en la primera (algoritmo bit-reversed) se reordenan las muestras de la secuencia originalpara que las muestras de las subsecuencias que participan en la misma mariposa queden en posicióncontigua; en la segunda parte se realiza reiteradamente el algoritmo de la mariposa, comenzando por elcálculo de la DFT de las subsecuencias con dos muestras (k=1), para terminar con la DFT de lasecuencia original.El número total de multiplicaciones complejas necesarias para calcular la DFT a partir de su definiciónes N2, como fácilmente se comprueba. Sin embargo, mediante el algoritmo FFT descrito dichonúmero es (N/2) log2N. Este resultado puede establecerse con los dos pasos siguientes:

f) Si y[i] es el número de multiplicaciones necesarias para calcular la DFT de 2i muestras, demuestreque el algoritmo de la figura P2.19-2 que proporciona esta transformada a partir de dostransformadas de 2i-1 muestras, permite escribir la recurrencia:

y[i] = 2 y[i-1] + 2i-1

con y[1] = 1.g) Resuelva por inducción esta ecuación en diferencias para demostrar que y[m] = (N/2) log2 N.

Finalmente, para tener una impresión cualitativa del ahorro computacional que puede suponer el uso dela FFT, compare los valores de N2 y (N/2) log2N para N = 512 y 1024.

PROBLEMA 2.20: El algoritmo de la FFT facilita el cómputo de la respuesta y[n] de un sistema FIRcuya respuesta impulsional h[n] es de muy larga duración L, a una secuencia x[n] de duraciónindefinida. La forma inmediata para calcular y[n] es recurrir a la convolución

y[n] = ∑k=0

L-1 x[k] h[n-k]

lo que supone un total de L multiplicaciones y acumulaciones por muestra calculada. Una alternativaes acudir al teorema de convolución de la transformada de Fourier y utilizar el dominio transformadopara obtener la convolución. El proceso (método de solapamiento y suma) puede resumirse en lossiguientes pasos:

1.- Calcular la DFT de h[n] con N puntos.2.- Descomponer x[n] en tramos de señal de M muestras, sin solapamiento entre ellos; es decir

x[n] = ∑i

xi[n - iM]

donde

xi[n] = x[n + iM] n = 0, …, M-1 0 otro n


3.- Calcular la DFT Xi[k] de cada uno de estos tramos.4.- Multiplicar las DFT H[k] y Xi[k], y calcular la DFT-1 yi[n] del resultado para todo i.

5.- Tomar como respuesta y[n]:

y[n] = ∑i

yi[n - iM]

Se pide:a) Determine en función de L y M el valor de N para el que el procedimiento descrito sea correcto.b) Calcule el número de multiplicaciones que precisa este método por muestra calculada de y[n], si se

hace uso del algoritmo de la FFT. Compare con el cálculo directo de la convolución, cuandoL = 256 y N = 1024.

El método propuesto puede hacerse aún más eficiente, si se definen tramos de N muestras

xi[n] = x[n + iM - (L-1)] n = 0, …, N-1 0 otro n

con M = N - (L-1) y se toma

y[n] = ∑i

yi[n - iM + (L-1)] pM[n - iM]

lo que equivale a descartar las L-1 primeras muestras de yi[n] antes de componer y[n]. Esta variante

recibe el nombre de método de solapamiento y descarte.c) Para comprender el modo de funcionamiento del nuevo método, genere con el programa 62 un

pulso rectangular de 5 muestras de duración y conviértalo en periódico, con un periodo P =10,primera muestra en el origen y longitud 75 muestras. Encuentre las 3 subsecuencias xi[n] y aplique

el procedimiento descrito para calcular con N = 32 la respuesta a esta secuencia de un promediadorcuya respuesta impulsional tiene una longitud L = 6.

d) Justifique esta nueva alternativa y compare su coste computacional con la anterior.

PROBLEMA 2.21: Un sistema, cuya respuesta impulsional h[n] tiene longitud L=63, responde a lasecuencia x[n] de longitud L =28 con la secuencia y[n]. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones escorrecta?

a) Para obtener y[n] mediante convolución circular debe hacerse uso de la DFT con al menosN=100 muestras.

b) Puede obtenerse y[n] mediante el uso de dos convoluciones circulares con N=63.c) Para obtener y[n] puede hacerse uso de una sola convolución circular mediante la DFT con al

menos N=53 muestras.d) Para obtener y[n] puede hacerse uso de una sola convolución circular mediante la DFT con

N=63.e) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.


PROBLEMA 2.22: Un concepto útil en la representación de una señal paso banda x[n] es la señalequivalente paso bajo bx[n], que se introdujo en el ejemplo 2.7. En la figura P2.22 se proporciona eldiagrama de bloques de un procedimiento que permite obtener la secuencia bx[n], de una señal pasobanda centrada en la frecuencia fo = 0,25. Como el equivalente paso bajo ocupa un margen frecuencial

mitad que la señal paso banda, resulta conveniente proceder finalmente a su diezmado para reducir lasnecesidades computacionales del resto del sistema que procesa la señal. Se pide:

x[n] z[n] y[n]H (e jω)⊗ bx[n]

(-j)n

2

Fig. P2.22

a) Si x[n] es una señal paso banda con frecuencial central fo = 0,25 y ancho de banda Bf, dibuje elespectro de la secuencia x[n] y del equivalente paso bajo bx[n].

b) Teniendo en cuenta que a partir de x[n] debe obtenerse bx[n], elija razonadamente el tipo de filtro

H(ejω) (paso bajo, paso alto, etc.) necesario en la aplicación propuesta y determine, en función de

Bf, las frecuencias de corte que definen su o sus bandas de transición. Indique la ganancia que seprecisa en la banda de paso.

c) Genere con el programa 62 una secuencia x[n] con una duración de 256 muestras tal que

x[n] = s[n] cos(ωon + θ[n])

siendo

fo = 0,25

s[n] = 1 + 0,5 cos(2π 0,05 n)θ[n] = cos(2π 0,015n) - 0,6 cos(2π 0,02n)

Analice el espectro de esta secuencia y determine su ancho de banda Bf, entendiendo por tal elmargen de frecuencias en el que las componentes de la señal presentan un nivel de potencia noinferior a 30 dB del nivel de la portadora fo.

d) Diseñe el filtro para obtener el equivalente paso bajo de la señal anterior, mediante el uso de laventana de Kaiser, de tal modo que en la banda atenuada presente una atenuación mínima de 50 dB.

e) Obtenga la envolvente y la fase instantánea de la señal y compare el resultado con estas mismassecuencias determinadas por el método expuesto en el ejercicio 2.16. ¿Cómo pueden justificarse lasdiferencias observadas?

f) Dibuje el espectro de y[n].g) Razone qué influencia tiene en esta aplicación la atenuación que presenta el filtro en su banda

atenuada.


PROBLEMA 2.23: En el procesado de voz resulta útil en ocasiones dividir la señal en distintas bandasde frecuencia y tratarlas independientemente. La posterior composición de las bandas proporciona laseñal de voz procesada. Aprovechando que el ancho de banda de cada una de las bandas en las que sedescompone la señal es menor que el de ésta, es habitual realizar un diezmado de las mismas previo asu manipulación; así, la reconstrucción de la señal procesada requiere una interpolación de las bandas, afin de recuperar la frecuencia de muestreo original.Para ilustrar este proceso de división de la señal en varias bandas y su posterior reconstrucción,consideremos el caso simplificado en el que se divide la señal x[n] en dos bandas solamente, y no serealiza ningún tipo de tratamiento a la señal, tal y como se esquematiza en la figura P2.23-1, donde elfiltro ho[n] es paso bajo y el filtro h1[n] = (-1)n ho[n]. Se pide:

a) Suponiendo que la transformada de Fourier de x[n] es la proporcionada en la figura P2.23-2 y queho[n] es un filtro paso bajo ideal con frecuencia de corte ωc=π/2, represente esquemáticamente lastransformadas de vo[n], xo[n], zo[n], yo[n],v1[n], x1[n], z1[n], y1[n] e y[n].

b) Exprese y[n] en función de x[n].

h1[n] h1[n]v1[n] x1[n]

y1[n]

vo[n] xo[n] zo[n] yo[n]ho[n]ho[n]

z1[n]

x[n] y[n]⊕

2

2

2

2

Fig. P2.23-1

ω2ππ

X

Fig. P2.23-2

Para que el esquema anterior funcione correctamente, el filtro ho[n] debe ser ideal. En la práctica, al

utilizar un filtro real, se produce cierta distorsión que impide recuperar x[n] exactamente. Para evitar ladistorsión mencionada, se modifica el esquema anterior como se muestra en la figura P2.23-3, cuya


x[n] y'[n]+

-

h1[n]

⊕h1[n]

v1[n] x1[n]

y1[n]

vo[n] xo[n] zo[n] yo[n]ho[n]ho[n]

z1[n]2

22

2

Fig. P2.23-3

única diferencia está en el signo de las señales que intervienen en la suma que nos permite obtener laseñal resultante y'[n] ( y'[n] = yo[n] - y1[n]). Se pide:

c) Encuentre la expresión analítica de Y´(ejω) en función de X(ejω) y de la respuesta frecuencial de losfiltros, y demuestre que, para obtener una salida y'[n] = A x[n-no], debe cumplirse:

Ho2(ejω) - H12(ejω) = 2 A e-jωno

siendo A y no constantes.

d) Obtenga la salida y'[n] en función de la entrada x[n], si se utiliza el filtroho[n] = δ[n] + δ[n-1].

x[n] y[n] N

v[n]


= π / Ncω

Fig. P2.24

PROBLEMA 2.24: Considere una secuencia x[n] con periodo P y periodo fundamental


que es interpolada por N, de acuerdo con el esquema de la figura P2.24, para proporcionar la secuenciay[n]. Como es natural, las secuencias v[n] e y[n] tienen periodo NP. Se pide:

a) Si ~X[k],

~V[k] e

~Y[k] son, respectivamente, las DFS de las secuencias x[n], v[n] e y[n], demuestre

que


~V[k] =

1N

~X[k]

~Y[k] =

N

~V[k] =

~X[k] 0 ≤ k≤ P/2, NP-P/2 ≤ k ≤ NP-1

0 para otro k

b) Si Xo[k] e Yo[k] son, respectivamente, las DFT de los periodos fundamentales de x[n] e y[n],

demuestre que

Yo[k] = N Xo[k] 0 ≤ k≤ P/2

0 P/2 < k < NP-P/2 N Xo[k-(N-1)P] NP-P/2 ≤ k ≤ NP-1

c) Utilice el resultado del apartado anterior y el programa 62, para interpolar por 2 una secuenciacuyo periodo fundamental es la secuencia de duración 10 muestras

xo[n] = sen(2π/10) 0 ≤ n ≤ 4 0 5 ≤ n ≤ 9

r [m] r [m] N

z[m]r[m]x y

Fig. P2.25

PROBLEMA 2.25: En el esquema de interpolación de la figura P2.24 del problema anterior considereque se hace uso de un filtro interpolador con respuesta impulsional h[n]. Si x[n] es una secuencia deenergía finita, se pide:a) Obtenga, en función de la transformada de Fourier de x[n], la densidad espectral de energía de la

secuencia y[n] resultante de la interpolación.b) Basándose en el resultado anterior, justifique que la autocorrelación ry[m] de y[n] puede obtenerse,

a partir de la autocorrelación rx[m] de x[n], mediante el procedimiento representado en la figuraP2.25, donde r[m] es la autocorrelación rh[m] de h[n]. Observe que z[m] es la autocorrelación de

v[n].c) Pruebe que el procedimiento de la figura P2.25 también es válido cuando x[n] es una secuencia de

potencia media finita, si r[m] = 1N rh[m].

d) Si N=2 y h[n] corresponde al interpolador lineal

h[n] = …, 0, 1/2, 1, 1/2, 0, …

determine ry[m], si:1. x[n] = …, 0, 1, 1, 1, 0, …

2. x[n] = cos(π2

n + θ) u[n]


PROBLEMA 2.26: Sea y[n] la secuencia resultante de diezmar por una relación N la secuencia x[n]:

y[n] = x[nN]

Demuestre que, si el diezmado no provoca aliasing, la correlación de y[n] en función de la correlaciónde x[n] viene dada por:a) Si x[n] es de energía finita

ry[m] = 1N

rx[m]

b) Si x[n] es de potencia media finita

ry[m] = rx[m]

3 Entorno analógico del tratamiento digital de la señal 1 4 1

3. Entorno analógico del tratamiento digital de la señal

3.0 Introducción

El tratamiento digital de la señal habitualmente es aplicado en un entorno analógico; es decir, tanto laseñal a procesar como el resultado pertenecen al dominio analógico. Así ocurre en comunicaciones,que es la aplicación donde se centra fundamentalmente nuestro interés; pero lo mismo puede decirse decasi todas las aplicaciones en ingeniería: control de dispositivos, plantas y procesos, tratamiento devoz, audio e imagen, bioingeniería, etc. Si bien el tratamiento digital de la señal aporta nuevasposibilidades de aplicación práctica de la teoría de la señal, en muchas ocasiones ofrece una alternativatecnológica mejor para realizar una operación que anteriormente tenía una solución analógica. Elinterfaz entre los dominios analógico y discreto es proporcionado por las conversiones A/D y D/A,cuyas propiedades pueden resumirse en los efectos de la cuantificación y en el teorema de muestreo,que relaciona el ancho de banda de la señal analógica con el ritmo (frecuencia de muestreo) al que debeser adquirida para evitar la distorsión. Es típico que las manipulaciones de las señales, para adecuarlasal medio de transmisión, alteren su ancho de banda (por ejemplo, la modulación, la multiplexión); porello, para mantener en todo momento una representación eficiente de la señal, debe alterarse lafrecuencia de muestreo convenientemente; para realizar esta operación se acude al diezmado y lainterpolación de secuencias, que fueron tratados en el capítulo anterior.

El presente capítulo, una vez disponible el instrumental matemático necesario desarrollado en elcapítulo anterior, se dedica en primer lugar al estudio formal de los procesos de conversión A/D y D/A(la primera aproximación a los cuales es motivo de la práctica I), prosigue con la consideración delcambio de la frecuencia de muestreo y concluye con la presentación de algunos ejemplos de aplicación.

3.1 Conversión A/D

El convertidor analógico-digital (A/D) es un dispositivo electrónico que genera una secuencia denúmeros xq[n] a partir de una señal analógica x(t). Para ello toma muestras de ésta a un ritmo regularmarcado por la frecuencia de muestreo Fm o, lo que es lo mismo, la muestrea con un intervalo fijo detiempo T = 1/Fm, denominado periodo de muestreo. Adicionalmente, representa el valor de la muestra

con un número finito N de bits; esto es, cuantifica la muestra asignándole un valor entre 2N posibles.


Fm

A/D(N bits)

x[n]x(t)

n

t

T

Fig. 3.1 Ilustración de la conversión A/D de una señal x(t) con N=3

Este proceso se simboliza en la figura 3.1: en trazo discontinuo se indican los valores posibles paralas muestras de la señal analógica con N = 3; así, al adquirir la señal, los valores x(nT) tomados aintervalos de T segundos son sustituidos por el valor más próximo entre los 8 posibles. En resumen,la operación del convertidor A/D puede representarse mediante la relación

xq[n] = Q x(nT) (3.1)

donde Q. indica la función no lineal de cuantificación. Así pues, los parámetros fundamentales de unconvertidor A/D son la frecuencia de muestreo Fm y el número N de bits con los que representa las

muestras adquiridas.

Cuantificación

En la figura 3.2 se muestra una función típica de cuantificación lineal para N = 3. El margen dinámicodel convertidor ±V es dividido en 2N intervalos iguales (de amplitud ∆); todas las muestras cuyo valorx cae en un determinado intervalo son sustituidas por el valor medio del mismo xq. De este modo, el

error e[n] cometido por la cuantificación

e[n] = x(nT) - xq[n]

está acotado por

x

x q

V-V

∆

Fig. 3.2 Relación entrada (x) salida (xq) de un cuantificador lineal simétrico de 3 bits


|e[n]| ≤ 12 ∆ =

12 2V 2N =

V2N (3.2)

Cuando se cuantifican señales reales (no sintéticas) y N es suficientemente grande, se puede suponerque e[n] toma con igual probabilidad todos los valores que satisfacen (3.2), por lo que su media es nulay su varianza viene dada por

σe2 = 112

∆2 = 13

V2

22N (3.3)

La relación SNR entre la potencia media Px de la señal convertida x(t) y la potencia media del error

(relación señal a ruido) resulta

SNR = Pxσe2 = 3 . 22N Px / V2 (3.4.a)

Si se define el factor de carga fc como el cociente entre el valor V de pico máximo aceptado por el

convertidor y el valor eficaz de la señal

fc = V

√ Px

la relación señal a ruido puede escribirse en forma logarítmica

SNR dB = 10 log(SNR) = 4,77 + 6,02 N - 20 log fc (3.4.b)

A título de ejemplo puede señalarse que para la señal de voz, y aprovechando al máximo el margendinámico del convertidor sin causar saturación, un valor aceptado para fc es 4. Así, con N =12 se

alcanza, como máximo, para esta señal una relación señal a ruido de 65 dB. Es interesante mencionarque, como se deduce de (3.4.b), cada bit que se añade al convertidor proporciona una ganancia de 6 dBen la relación señal a ruido.

EJERCICIO 3.1: El objetivo de este ejercicio es aumentar la familiaridad con las propiedades básicasde la cuantificación lineal. En el programa 62 se dispone de segmentos de voz como ejemplo de señalreal, que pueden proporcionar materia prima adecuada para la experimentación con un cuantificador. Sepide:a) Tome el segmento de voz número 5, genere una secuencia de longitud L = 512 con las primeras

muestras y represéntela.En esta señal se observan dos zonas con propiedades marcadamente distintas. Al principio la señal esde poca energía y apariencia errática; se trata de un sonido sordo (véase la práctica III). El segundotramo presenta mayor energía y más correlación como corresponde a un sonido sonoro. Acontinuación:b) Cree una secuencia con las 325 primeras muestras del segmento 5 de voz (sonido sordo) y otra con

las 325 siguientes (sonido sonoro). Con la opción "Polímetro" determine la potencia de ambassecuencias.


c) Cuantifique las dos secuencias con 8 bits y un margen dinámico de ±1 (tomando la opción"Secuencia real"), determine las correspondientes secuencias de error de cuantificación y calcule, en"Polímetro", su media y potencia.

e) Compare la potencia de los errores de cuantificación con el valor teórico proporcionado por laecuación (3.3).

f) Calcule la relación señal a ruido de la cuantificación para ambos sonidos. ¿Qué consecuencias

prácticas sugiere el resultado?♦

Muestreo

La operación de captura de valores de la señal analógica x(t) para generar la secuencia

x[n] = x(t)|t=nT = x(nT) (3.5)

se denomina muestreo. Se entiende que, cuanto mayor sea la frecuencia Fm con la que se adquieran

valores de la señal analógica, mejor quedará representada ésta por la secuencia; por otro lado, cuantomayor sea esta frecuencia, más muestras por segundo se adquieren, lo que exige mayor capacidad dememoria, y más muestras por segundo han de manipularse, lo que aumenta la exigencia de potencia decálculo al sistema de tratamiento digital, y lo encarece. Por tanto, es importante utilizar la menorfrecuencia de muestreo compatible con una adecuada representación de la señal. En la práctica I seestableció mediante un razonamiento cualitativo con sinusoides que esta frecuencia es el doble delancho de banda de la señal (criterio de Nyquist). Ahora se aborda la formulación de la transformada deFourier de la secuencia x[n] a partir de la transformada de Fourier de la señal analógica, lo que va apermitir una interpretación sencilla de este criterio y proporcionar una visión más precisa de lasconversiones A/D y D/A.

Por definición, la transformada de Fourier de la secuencia x[n] es

X(ejω) = ∑n = -∞

∞ x[n] e-jωn

Ahora bien, si tenemos en cuenta (3.5) y hacemos uso de la relación entre las pulsaciones de losdominios discreto ω y analógico Ω

ω = Ω T (3.6.a)

equivalente a la establecida en la práctica I para las frecuencias

f = F / Fm (3.6.b)

las propiedades de la transformada de Fourier autorizan a establecer


2π ωπ0

BΩ Ω

ΩΩ mΩ m /2… …

X

X

1

1/T

Fig. 3.3.a Transformada de Fourier de la secuencia resultante del muestreo sin "aliasing"

X(ejΩT) = ∑n=-∞

∞ x(nT) e-jΩTn = F x(t) ∑

n=-∞

∞ δ(t - nT) =

= 1

2π X(jΩ) * 2πT

∑i=-∞

∞ δ(Ω -

2 πT

i) = 1T

∑i=-∞

∞ X(jΩ - j

2πT

i) =

= 1T

∑i=-∞

∞ X(jΩ - jΩmi) (3.7)

donde Ωm es la pulsación de muestreo. La relación (3.7), que se ilustra en la figura 3.3.a, expresa la

transformada de x[n] como la superposición de la transformada X(jΩ) de la señal analógica trasladada a

todos los múltiplos de la pulsación de muestreo. Así, X(ejΩT) resulta una función con periodo Ωm, lo

que se corresponde con el periodo 2π de la misma transformada cuando se expresa en función de ω(X(ejω)).

Cuando la señal analógica x(t) es de banda limitada

X(jΩ) = 0 para |Ω| ≥ BΩ

y se elige

Ωm / 2 ≥ BΩ

o, lo que es lo mismo (criterio de Nyquist)

Ωm ≥ 2 BΩ (3.8.a)Fm ≥ 2 BF (3.8.b)


la transformada X(ejΩT) reproduce sin distorsión y de forma periódica, centrada en los múltiplos de

Ωm, la transformada de Fourier X(jΩ) de la señal analógica. Esta es la situación representada en la

figura 3.3.a, donde la secuencia x[n] conserva intacta la información contenida en la señal x(t). Por elcontrario, cuando el criterio de Nyquist no es satisfecho (porque la señal no está limitada en banda o la

frecuencia de muestreo no ha sido seleccionada correctamente), los distintos alias de X(jΩ) se solapan,como muestra la figura 3.3.b, lo que da lugar a la distorsión conocida bajo la denominación inglesa dealiasing; esta distorsión no es cancelable. Sin embargo, puede ser evitada mediante un filtroantialiasing que, previamente a la conversión A/D, limite la banda de la señal por debajo de Fm/2.

2π ωπ0

BΩ Ω

ΩΩ m

X

X

Fig. 3.3.b Transformada de Fourier de la secuencia resultante del muestreo con "aliasing"

En las figuras 3.3, el eje frecuencial correspondiente a la transformada de Fourier de la secuencia x[n]se rotula simultáneamente en términos de las pulsaciones analógica Ω y discreta ω. Aunque ello sehace para facilitar la interpretación de la relación (3.7), debe advertirse que el escalado frecuencial de latransformada de Fourier de x[n] en función de Ω sólo tiene sentido en relación a un entorno analógicoconcreto, ya que la composición frecuencial de la secuencia queda dependiente del periodo de muestreoT utilizado. Por eso, cuando no se hace referencia explícita a un entorno analógico determinado, larepresentación frecuencial se realiza siempre en términos de ω.

EJEMPLO 3.1: En la figura 3.4 se muestra la transformada de un tono analógico con frecuencia 3 kHzy la transformada correspondiente a la secuencia senoidal obtenida haciendo uso de una frecuencia demuestreo de 8 kHz. Las componentes frecuenciales ±3 kHz de la señal analógica se reproducen en lasecuencia alrededor de los múltiplos de la frecuencia de muestreo; así aparecen las componentes a±5 kHz, ± 11 kHz, etc. Obsérvese que se trata de un muestreo sin aliasing. Si la frecuencia del tonoanalógico muestreado fuese 5 kHz (sin hacer uso de filtro antialiasing), la secuencia resultante sería lamisma; sin embargo, aunque en este caso no se produce solapamiento de componentes, aparece otro

problema: cuando se realice la conversión D/A de la secuencia no se recuperará el tono de 5 kHz.♦


2π ω0

0

π

kHz

kHz3 8

8

Fig. 3.4 Componentes frecuenciales de una señal senoidal analógica a 3 kHz y de la secuencia resultante de

su muestreo a 8 kHz

A modo de resumen, cabe recordar que la conversión A/D implica las operaciones de muestreo ycuantificación. En la tabla 3.1 se indican la frecuencia de muestreo y el número de bits utilizados paralas señales más comunes. En lo que sigue, se supone que el número de bits utilizados en la conversiónA/D es suficiente para considerar que el error de cuantificación es irrelevante. Así, el interfaz entre losdominios analógico y discreto queda representado únicamente por el muestreo.

Tabla 3.1 Parámetros para la conversión A/D de las señales más comunes

señal Fm N

voz (telefonía) 8 kHz 8

audio 44,1 kHz 16

imagen 13,5 MHz 8

3.2 Conversión D/A

El convertidor digital-analógico es un dispositivo electrónico que, a partir de una secuencia y[n],genera una señal analógica y(t). Conceptualmente la conversión D/A puede ser representada tal comose indica en la figura 3.5. Al utilizar una señal analógica c(t) de conversión, por cada muestra de lasecuencia y[n] se produce a la salida, a intervalos de T segundos, una réplica de la señal c(t) conamplitud proporcional al valor de la muestra. Es decir, se genera una señal y(t) que responde a laexpresión


... ...

t

y(t)

0-T T

... ...

n

y[n]

0-1 1

Fm

D/Ay[n] y(t)

t

c(t)

0

Fig. 3.5 Ilustración de la conversión D/A de la secuencia y[n]

y(t) = ∑n=-∞

∞ y[n] c(t - nT)

cuya transformada de Fourier es

Y(jΩ) = ∑n=-∞

∞ y[n] C(jΩ) e-jΩTn = C(jΩ) Y(ejΩT)

Este resultado permite enunciar que la señal analógica reproduce la composición frecuencial de lasecuencia, escalada de acuerdo con el cambio de variable ω = ΩT y afectada por la transformada deFourier de la señal de conversión c(t).

Si la secuencia y[n] se toma

y[n] = x[n]

donde x[n] es la secuencia resultante del muestreo sin aliasing de una señal x(t), la señal y(t) productode la conversión D/A puede reproducir sin distorsión a x(t). Para ello, basta con usar en la conversiónD/A el mismo periodo T con el que se muestreó la señal x(t), y tomar la señal c(t) de conversión talque su transformada de Fourier sea

C(jΩ) = T |Ω | ≤ Ω m / 2 0 para otro Ω

En efecto, de acuerdo con (3.7), y al no producirse solapamiento entre los alias de X(jΩ), se cumpleque


Y(jΩ) = X(jΩ)

lo que se ilustra en la figura 3.6. Este resultado constituye el teorema de muestreo debido a Nyquist.Desafortunadamente la señal de conversión correspondiente

c(t) = F-1 C(jΩ) = sen

Ωm2 t

Ωm2 t

no es causal, por lo que no puede ser motivo de uso en la práctica.

La conversión D/A utilizada habitualmente (este es el caso, por ejemplo, del convertidor incluido en laplaca EVM usada en las prácticas) puede ser modelada por una señal de conversión constituida por unpulso rectangular de duración T segundos:

BΩ Ω

Ω m

2π ωπ

ΩΩ m /2… …

X

Y=X

ΩΩ m /2

0 ΩΩ m /2

C

Y

1

1/T

T

1

Fig. 3.6 Conversión D/A ideal


c(t) = 1 0 ≤ t ≤ T 0 para otro t


C(jΩ) = e-jΩT/2 T sen

ΩT2

ΩT2

Ω m ΩΩ m /2

Ω m ΩΩ m /2

|C|^

|Y|^

0

T

1

Fig. 3.7 Conversión D/A en la práctica

Sus efectos sobre la transformada de la señal generada y(t) se representan en la figura 3.7 y seenumeran a continuación junto al modo de compensarlos:a) distorsión del espectro de la señal, que puede ser paliada, antes de la conversión D/A,

predistorsionando la secuencia y[n] mediante un sistema cuya respuesta frecuencial aproxime

H(ejω) = ( sen

ω2

ω2

) -1

b) eliminación parcial (no total) de los alias del espectro, que puede ser completada definitivamentecon un filtro reconstructor analógico tras la conversión D/A. Este filtro ha de eliminar lascomponentes a la salida del convertidor D/A con frecuencia superior a la mitad de la frecuencia demuestreo.

Como resumen, en la figura 3.8 se proporciona el esquema completo de la conversión D/A utilizadaen las prácticas.


Fm

D/Ay[n] y(t) −1senω/ 2

ω/2

F = F /2c m

Fig. 3.8 Proceso completo de conversión D/A

EJERCICIO 3.2: Esta es una buena ocasión para reconsiderar, a la luz de los nuevos conocimientos

teóricos, los ejercicios de la práctica I relativos a la conversión A/D y la conversión D/A.♦

3.3 Cambio de la frecuencia de muestreo

En el apartado anterior se ha considerado que la frecuencia que controla los convertidores A/D y D/A esla misma. Sin embargo, ya se ha mencionado en la introducción de este capítulo que ciertasoperaciones con las señales suponen un cambio de ancho de banda. Un procedimiento para afrontar estasituación, cuando el ancho de banda aumenta, es adquirir la señal desde un principio con una frecuenciade muestreo suficiente para representar la señal resultante de la operación; esta solución no es adecuada,ya que obliga a manipular en los procesos previos un número innecesario de muestras de la señaloriginal; una alternativa más conveniente incorpora el uso de la interpolación que, como ahora se verá,permite el paso de una frecuencia de muestreo a otra N (entero) veces superior. En términosequivalentes puede hablarse cuando el tratamiento de la señal reduce su ancho de banda; a partir delmomento en que eso ocurre, el diezmado facilita una disminución de muestras a procesar y el uso deuna frecuencia de muestreo para la conversión D/A N (entero) veces inferior.

... ... t

n

y[n]

x[n]

T1

T2

N

F = F /Nm1m2

x[n] y[n]

Fm1

T1 T = T N12

Fig. 3.9 El diezmado y la reducción de la frecuencia de muestreo

Considérese una secuencia x[n] obtenida mediante muestreo de una señal analógica con un periodo demuestreo T1; tal como se observa en la figura 3.9, la secuencia y[n] resultante de diezmar por una


relación N puede interpretarse como la secuencia que se obtendría si se muestrease la señal analógicacon un periodo de muestreo T2 = N T1. Por tanto, y en caso de no producirse aliasing por aplicación

del diezmado, la frecuencia de muestreo a emplear en la conversión D/A para reconstruir la señalanalógica a partir de y[n] es Fm2 = Fm1/N. La relación entre las transformadas de x[n] e y[n] puede

expresarse en términos de la pulsación analógica Ω con el cambio de variable

ω = Ω T2

y haciendo uso de la relación (2.41.c) como sigue

Y(ejΩT2) = 1N

∑i=0

N-1 X(ej(

ΩT2

N - 2 π

N i)) = 1N

∑i=0

N-1 X(ej(Ω -

2πNT1

i)T1) =

= 1N

∑i=0

N-1 X(ej(Ω - Ωm2 i)T1)

Esta relación describe la transformada de la secuencia y[n] como la superposición de la transformada dela secuencia diezmada x[n] y de sus alias trasladados a los N-1 primeros múltiplos de la nuevapulsación de muestreo Ωm2. Se obtiene una transformada con periodo Ωm2. La situación se muestra

en la figura 3.10. Obsérvese que, en la expresión anterior que relaciona las transformadas de Fourier dex[n] e y[n] en términos de la pulsación analógica Ω, cada una de ellas es función, respectivamente, deΩT1 y ΩT2, de acuerdo con los correspondientes periodos de muestreo.

Considérese ahora la situación opuesta. Una secuencia x[n] representa a una señal analógica con unafrecuencia de muestreo Fm1 y se desea obtener la secuencia y[n] que representa a la misma señal conuna frecuencia de muestreo N veces mayor Fm2 = Fm1 N, como se simboliza en la figura 3.11. La

operación que proporciona y[n] a partir de x[n] es la interpolación por una relación N. En la figura

X

Y

1

1/N

i = 1 i = 2

Ω

ΩΩ m1Ω m1 /N

Ω m2 Ω m22 Ω m2N

Fig. 3.10 Ilustración de la relación de las transformadas de Fourier de la secuencia original y su versión

diezmada con el eje de frecuencias escalado en términos de la pulsación analógica


... ... t

n

y[n]

x[n]

T1

T2

x[n] y[n] v[n]N

H(1) = N

= π / NcωFm1

T1 T = T /N12T = T /N12F = N Fm1m2

Fig. 3.11 La interpolación y el aumento de la frecuencia de muestreo

2π /N 4π /N 2π ω

1

N

X=V

H

Y

Ω m2

Ω

Ω

Ω m1 Ω m1N

Fig. 3.12 Ilustración de la relación de las transformadas de Fourier de la secuencia original y su versión

interpolada con el eje de frecuencias escalado en términos de la pulsación analógica

3.12 se ilustra la relación entre las transformadas de Fourier de las secuencias implicadas en el proceso,cuya expresión analítica es la siguiente

V(ejΩT2) = X(ejΩT2N) = X(ejΩT1)

Y(ejΩT2) = V(ejΩT2) H(ejΩT2)


NF = NFm m1Fm1

T1 T=T /N1 MF = F N/Mm1m2

T = T M/N12

Fig. 3.13 Esquema para el cambio de frecuencia de muestreo por un factor racional

Cuando la relación entre las frecuencias de muestreo inicial y final sea un número racional

Fm2 = NM

Fm1

la operación de cambio de frecuencia de muestreo requiere una interpolación por N y un diezmado porM, de acuerdo con el esquema de la figura 3.13. Se realiza la interpolación previamente al diezmadopara evitar la aparición de aliasing en el proceso; si las frecuencias inicial y final satisfacen lacondición de Nyquist, es seguro que la frecuencia NFm1 así lo hará también. Por el contrario, si elprimer paso fuese el diezmado, la frecuencia intermedia Fm1/M no garantizaría la ausencia de aliasing.

3.4 Ejemplos de aplicación

Son muchas las situaciones prácticas en las que es necesario acudir al diezmado o la interpolación paraadecuar la representación discreta de las señales al tratamiento numérico que se desea realizar. En losproblemas al final de este capítulo y del capítulo anterior, así como en la práctica V, se ofrecenejemplos. Como ilustración de lo expuesto anteriormente, se ofrecen en este apartado dos casos típicosen los que se saca provecho del cambio de frecuencia de muestreo.

Conversión A/D y D/A

La aplicación del diezmado tras la conversión A/D de una señal analógica como parte integrante delproceso de adquisición de la misma permite relajar los requerimientos al filtro antialiasing analógico.Considérese, por ejemplo, el muestreo de una señal que está acompañada por otra indeseada (ruido,señal de información irrelevante en la aplicación, etc.), como se representa en la figura 3.14. Si lapulsación de muestreo utilizada es Ωm1, que es ligeramente superior al doble del ancho de banda de la

señal útil, el filtro antialiasing requerido H1 debe disponer de una banda de transición estrecha que

elimine la señal a descartar. Como alternativa, contémplese ahora el uso del filtro H2 que presenta una

banda de transición mucho más amplia y que por ello es más sencillo de construir. Aunque elmuestreo con la pulsación Ωm2, doble de Ωm1, adquirirá parte de la señal no deseada, sobre la que se

producirá aliasing, éste no se extiende a la señal útil ya que la banda atenuada del filtro H2 ha sido

elegida convenientemente. De este modo, el filtrado mediante el filtro H de la secuencia x'[n] obtenidaen la conversión A/D permite retener la señal útil y eliminar el residuo de la señal indeseada.Finalmente, mediante un diezmado por 2, se obtiene la versión de la señal analógica útil muestreada a


X

X'

H1

H 2

X'^

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω m1

m2Ω

Ω m1

m2Ω

m2Ω

ω

ω

ω

H

X

2π

2π

2π

π

señal útil señal

a descartar

aliasing

Fig. 3.14 Ejemplo de utilización del diezmado en la conversión A/D


Hx(t)

Fm2

H 2^ 2

x[n]A/D

Fig. 3.15 Conversión A/D con diezmado

Ωm1. Este esquema alternativo se muestra en lafigura 3.15. Obsérvese que la frecuencia de corte de la

banda atenuada del filtro H2 ha sido elegida en el ejemplo de la figura 3.14 de modo que el aliasing

respete la banda de separación de la señales útil y a descartar. Así se logra que los requerimientos sobre

la banda de transición de H no sean más estrictos que lo que eran para H1. En resumen, el

procedimiento expuesto traslada requerimientos exigentes sobre el filtro antialiasing analógico al filtrodiscreto H, cuyo diseño y realización ofrecen muchas menos dificultades.

Se deja como ejercicio razonar el beneficio equivalente que la interpolación puede proporcionar en laconversión D/A, respecto al filtro reconstructor analógico.

Traslación en frecuencia

Una operación habitual en comunicaciones es trasladar las señales en frecuencia; ello permite ubicarlasen un margen de frecuencias más apropiado para la transmisión o disponer diversas señales en zonasdistintas del espectro para que puedan ser superpuestas (sumadas) sin que se interfieran entre sí, demodo que puedan ser transmitidas conjuntamente por el mismo medio de transmisión y seansusceptibles de ser separadas de nuevo en el receptor. En la práctica V se diseña y experimenta con unsistema multiplexor por división en frecuencia basado en este principio.

Considérese, a título de ejemplo, una secuencia x[n] obtenida muestreando a 8 kHz un canal telefónico(banda entre 0,3 y 3,4 kHz), a partir de la cual se desea obtener una versión muestreada a 48 kHz y[n]del canal telefónico trasladado a una frecuencia de 16 kHz. En la figura 3.16 se representaesquemáticamente la transformada de Fourier del canal telefónico, de la secuencia x[n] y de la señal agenerar y[n]. La secuencia y[n] puede obtenerse a partir de x[n] mediante un proceso de interpolacióncon la relación N = 6 en el que el filtro interpolador sea paso banda, tal como puede comprenderse apartir de la misma figura 3.16, donde también se proporciona la transformada de la secuencia v[n],generada intercalando 5 ceros entre cada dos muestras de x[n], y la configuración de las bandas para elfiltro interpolador H. Los límites para las bandas de paso y atenuada de este filtro son

banda atenuada inferior: fa1 = (8 + 3,4) / 48 = 0,2375banda de paso: fp1 = (16 - 3,4) / 48 = 0,2625

fp2 = (16 + 3,4) / 48 = 0,4042banda atenuada superior: fa2 = (24 - 3,4) / 48 = 0,4292


de modo que, tras la interpolación, se dispone de una secuencia y[n] paso banda con ancho de bandaBf = 0,1417 y centrada en f0 = 1/3. Cuando esta secuencia sea convertida D/A con una frecuencia de

muestreo de 48 kHz, generará una señal paso banda con ancho de banda 6,8 kHz y centrada en 16 kHz.

Para recuperar el canal telefónico a partir de la secuencia y[n], basta con diezmar esta secuencia porN = 6, como se puede razonar sin dificultad. Aunque en este proceso se solapan versiones desplazadasde los alias centrados en 16 y 32 kHz, no se produce distorsión ya que se suman componentes iguales.Si el canal telefónico estuviese acompañado de otras señales, se debería realizar un filtrado previo quelas eliminase, para evitar que el diezmado solapase las componentes frecuenciales de estas señales conlas componentes de la señal del canal telefónico a recuperar.

EJERCICIO 3.3: Compruebe que la interpolación paso banda del ejemplo de la figura 3.16 puede sersustituida por la combinación de una interpolación por 2 paso bajo seguida de una interpolación por 3paso alto. Determine las frecuencias límites de las bandas de paso y atenuada de los filtros

interpoladores correspondientes.♦

X

X=V

Y

H

kHz

kHz

kHz

8 16 24 32 40 48

24

ω

ω2π

2π

π

π

Fig. 3.16 Ejemplo de utilización de la interpolación para la traslación en frecuencia de una señal paso bajo


Cuantificador

Predictor

x e

xxq Predictor

codificador decodificador

+-

x

⊕

⊕

⊕xqeqeq

Fig. P3.1

3.5 Problemas

PROBLEMA 3.1: En la expresión (3.3) se puede observar que la potencia del ruido de cuantificación,para un número N de bits dado, disminuye si el margen dinámico V del cuantificador se reduce o, loque es lo mismo, si el margen dinámico de la señal a cuantificar es menor. Por otro lado, la expresión(2.29.b) del ejemplo 2.11 indica que una señal x[n] puede generarse como respuesta de un sistemapredictor a la secuencia error de predicción e[n], cuya potencia nunca es superior a la de la señal.Ambas ideas se explotan en los sistemas de codificación diferencial (DPCM) para reducir el número debits con los que se representan las muestras de una señal; este beneficio es importante a la hora detransmitir o almacenar las señales de información. En la figura P3.1 se muestra los esquemas básicosdel codificador y del decodificador de tales sistemas; en el codificador se calcula el error de prediccióne[n], que es cuantificado, transmitido (los bits que lo representan) y usado para generar la versióndecodificada xq[n] de la señal, a partir de la cual se realiza la predicción; en el decodificador, sereproduce la parte del codificador que, a partir de eq[n], permite recuperar xq[n]. Se pide:

a) Demuestre que el ruido final en el proceso de codificación-decodificación de la señal x[n] es igual alruido de cuantificación del error de predicción e[n]:

r[n] = x[n] - xq[n] = e[n] - eq[n]

b) Establezca que la SNR final viene dada por

SNR = rx[0]

σr2[0] = GP SNRq

donde GP es la ganancia de predicción (cociente entre las potencias de la señal y del error depredicción) y SNRq es la relación señal a ruido del cuantificador.

c) A fin de evaluar el beneficio que la predicción puede proporcionar, calcule mediante el programa62 la ganancia de predicción de órdenes 1 y 2 para un tramo de señal de voz de acuerdo con elsiguiente procedimiento:


1. Generar un tramo de voz de 240 muestras (30 ms) correspondiente a un sonido sonoro (porejemplo, a partir de la muestra 510 del segmento 1 de voz del menú "Señales" de"Generación").

2. Calcular la correlación del tramo de señal.3. Mediante la opción "Predicción lineal" de "Tratamientos" determinar el filtro del error de

predicción y, por medio de "Convolución lineal", obtener el error de predicción.4. Calcular la ganancia de predicción como el cociente de las energías de la señal y el error de

predicción obtenidas en la opción "Polímetro".d) Manteniendo una misma relación SNR, ¿cuántos bits pueden ahorrarse en el cuantificador si se

hace uso de la codificación diferencial?

PROBLEMA 3.2: Un volante gira a 100 Hz. Un estroboscopio ilumina dicho volante con unafrecuencia luminosa de 99 veces por segundo. ¿Cuál es el movimiento aparente del volante? ¿Cuál esel movimiento aparente si la frecuencia del estroboscopio es 101 veces por segundo?

π/2 π 3π/2 2π ωFig. P3.3

PROBLEMA 3.3: En la figura P3.3 se indica el espectro de una secuencia resultante del muestreo deuna señal analógica de banda limitada entre 400 y 500 Hz.¿Cuál es la frecuencia de muestreo?a) 200 Hz b) 200 rad/s c) 400 Hz d) 800 Hz e) 1000 Hz

PROBLEMA 3.4: Si la señal x1(t) es de banda limitada a F1 Hz y x2(t) es de banda limitada a F2 Hz,

determine el máximo periodo de muestreo T para muestrear x(t) = x1(t) . x2(t) sin aliasing:a) T = 1/(2F1) siendo F1>F2 b) T = 1/(2(F1+F2))c) T = 1/(2F2) siendo F1>F2 d) T = 1/(2F1F2)

e) No se puede muestrea x(t) sin aliasing ya que no es de banda limitada.

PROBLEMA 3.5: Justifique que, para evitar en el muestreo de una señal paso banda real elsolapamiento entre componentes frecuenciales, la frecuencia de muestreo Fm ha de tomarse tal que

k 12 Fm ∉ (F1, F2)

donde k es cualquier entero y F1 y F2 son, respectivamente, los límites inferior y superior de la banda

de la señal. Es decir, se evita el aliasing si ningún múltiplo entero de la mitad de la frecuencia demuestreo se encuentra en la banda de la señal.


T T T T

⊕ ⊕ ⊕ ⊕

h2ho h1 h3 hL-1y(t)

x(t-(L-1)T)x(t-3T)x(t)

Fig. P3.6

PROBLEMA 3.6: Se pretende ilustrar la aplicación de la teoría de filtros discretos al diseño de ciertastecnologías analógicas que incorporan lineas de retardo T (filtros CCD, filtros por onda de superficie,etc.). En la figura P3.6 se muestra el circuito equivalente de un filtro analógico realizado con dichastecnologías.Se pide:a) Obtenga la expresión general de la respuesta frecuencial del filtro en función del retardo T y las

constantes multiplicativas hi.b) Haciendo uso de la técnica de ventanas, encuentre los coeficientes hi que permiten realizar un filtro

paso banda de frecuencia central Fo y ancho de banda BF, suponiendo que T=1/(2Fo) y que la señala filtrar no presenta componentes de frecuencia superior a 2Fo.

PROBLEMA 3.7: Considérese la generación de una señal senoidal analógica mediante la conversiónD/A con una frecuencia de muestreo Fm = 10 kHz de una sinusoide discreta periódica. Se pide:

a) El menor periodo P que permite obtener una sinusoide analógica de frecuencia F = 2 kHz.b) La frecuencia de la sinusoide analógica si la secuencia del apartado anterior se diezma por 2 antes de

la conversión D/A.c) La frecuencia de la sinusoide analógica si el diezmado realizado hubiese sido por 3.

PROBLEMA 3.8: Considérese el entorno analógico de la figura P3.8 para un filtro discreto cuyarespuesta impulsional es:

h[n] = δ[n] - √ 2 δ[n-1] + δ[n-2]

A/D D/AFiltro

discreto

F = 4 kHz

F = 8 kHz F = 8 kHz

F = 6 kHz

x(t) y(t)

m m

c c

Fig. P3.8


Si la señal analógica x(t) contiene tres tonos de frecuencias 1 kHz, 3 kHz y 7 kHz, determine loscomponentes de la señal de salida y(t).

PROBLEMA 3.9: Si en el muestreo de una señal analógica x(t) no se produce aliasing, la correlaciónde la secuencia x[n] resultante puede obtenerse inmediatamente a partir de la correlación rx(τ) de la

señal analógica. En efecto, demuestre que:a) Si la señal x(t) es de energía finita

rx[m] = 1T

rx(mT)

b) Si la señal x(t) es de potencia media finita

rx[m] = rx(mT)

PROBLEMA 3.10: En este problema se estudia la potencia de cálculo requerida en la realización de unfiltro discreto que ha de procesar una secuencia x[n]. La potencia de cálculo va a ser medida en númerode operaciones (producto y suma) por segundo (Nops). La relación entrada-salida del filtro es lasiguiente:

y[n] = ∑k=1

P ak y[n-k] + ∑

k=0

Q bk x[n-k]

Se pide:a) Demuestre que Nops = (P+Q+1) Fm, donde Fm es la frecuencia de muestreo con la que x[n]

representa a la señal en el entorno analógico en el que trabaja el sistema discreto.b) Si el filtro actúa como interpolador en una interpolación por una relación M, la secuencia v[n] de

entrada al filtro presenta M-1 muestras nulas por cada M. Razone que, en este caso, se puedeorganizar la programación del filtro como la cascada de sistemas

z[n] = ∑k=0

Q bk v[n-k]

y[n] = ∑k=1

P ak y[n-k] + z[n]

de modo que la potencia de cálculo requerida sea

Nops = P M Fm + (Q+1) Fm

donde Fm es la frecuencia de muestreo antes de la interpolación.

c) Si el filtro actuase previamente a un proceso de diezmado, deben evitarse los cálculos cuyoresultado vaya a descartarse en el diezmado. Justifique que la realización del filtro mediante lasiguiente cascada de sistemas


z[n] = ∑k=1

P ak z[n-k] + x[n]

y[n] = ∑k=0

Q bk z[n-k]

reduce la potencia de cálculo necesaria a Nops = P Fm + (Q+1) Fm / M, donde Fm es la frecuencia

de muestreo antes del diezmado. Obsérvese que en el caso de un filtro no recurrente (P=0) actuandocomo interpolador o como diezmador, Nops es equivalente a que el filtro trabajase a la frecuenciade muestreo más baja de las implicadas en el proceso de cambio de frecuencia de muestreo.

d) Si en el ejemplo de traslación en frecuencia del apartado 3.4 se exige atenuar 40 dB los alias nodeseados, diseñe los filtros necesarios cuando se hace uso de la interpolación paso banda y cuandose sigue la alternativa del ejercicio 3.3. Compare la potencia de cálculo requerida en ambos casos.

PROBLEMA 3.11: Un conjunto de señales de voz, previamente adquirido con una frecuencia demuestreo de 20 kHz y un filtro antialiasing que eliminó las componentes frecuenciales superiores a8,5 kHz, ha de ser convertido a una frecuencia de muestreo de 16 kHz para poder utilizarse comomaterial de entrenamiento de un sistema de reconocimiento del habla. En la grabación se captó unaseñal indeseada producida por vibraciones mecánicas subsónicas cuyas componentes frecuenciales soninferiores a los 30 Hz. El ancho de banda útil de la señal de voz para el sistema de reconocimiento seextiende de 200 Hz a 7 kHz. Se pide:a) El diagrama de bloques del sistema que permite realizar la conversión de señal de voz muestreada a

20 kHz a voz muestreada a 16 kHz, con indicación de las relaciones de interpolación y diezmado autilizar.

b) Los espectros de todas las secuencias que intervienen en el diagrama de bloques anterior.c) Las frecuencias límites de las bandas atenuadas y la banda de paso del filtro discreto paso banda que,

utilizado en el sistema anterior, permite realizar al mismo tiempo la conversión necesitada yeliminar la señal indeseada captada al realizar la grabación.

PROBLEMA 3.12: Tal como se indica en el esquema de la figura P3.12, un módem genera unasecuencia x[n] (paso bajo con componentes frecuenciales hasta fc = 0,4) que es interpolada por tresantes de ser convertida a señal analógica con una frecuencia de muestreo Fm=24 kHz. Se pide:

a) Las respuestas frecuencial e impulsional ideales para el filtro interpolador.b) Las frecuencias de corte de la banda de paso fp y de la banda atenuada fa para el filtro interpolador

real a utilizar.c) La longitud L de la ventana de Kaiser que, a partir de la respuesta impulsional ideal, permite

obtener un interpolador FIR de fase lineal causal con αa=40 dB.

d) La respuesta impulsional del filtro FIR anterior en función de la respuesta impulsional ideal y de laventana.

e) Las frecuencias de corte de la banda de paso Fp y de la banda atenuada Fa del filtro paso bajo

reconstructor.


MODEMx[n] y[n] y(t) z(t)Interpola-

ción por 3 D/A

F = 24 kHzm

Filtropaso bajo

Fig. P3.12

f) Si no se hiciese uso de la interpolación antes de la conversión D/A, la frecuencia de muestreo autilizar y las frecuencias de corte Fp y Fa para el filtro reconstructor; compare la selectividad

exigida al filtro analógico en este caso con la requerida en el caso anterior.

PROBLEMA 3.13: El uso de esquemas diferenciales (véase el problema 3.1) para la cuantificación deseñales analógicas permite disminuir el número de bits necesarios para representar cada muestra deseñal a costa de aumentar la frecuencia de muestreo. El fundamento de esta opción se basa en la mayorcorrelación de los valores de la señal si se toman en instantes más próximos en el tiempo. Paraevaluar cuantitativamente el beneficio que puede suponer el aumento de la frecuencia de muestreo en laganancia de predicción (y, por tanto, en la reducción del número de bits precisos en la cuantificación),se le propone el siguiente experimento:a) Diseñe, haciendo uso de la ventana de Kaiser, un filtro FIR paso bajo que satisfaga las siguientes

especificaciones: fp = 0,2, fa = 0,3, αa = 50 dB.

b) Tome una señal de voz de 240 muestras (30 ms) correspondiente a un sonido sonoro (por ejemplo,a partir de la muestra 495 del segmento 1 de voz del menú "Señales" de "Generación").

c) Con el filtro diseñado en el primer apartado interpole por 2 esta secuencia, adelántela 30 muestras(para eliminar el transitorio del filtrado de interpolación) y enventánela con una ventana rectangularde 240 muestras. Calcule la correlación de este tramo de señal, su filtro de predicción de orden 2 yla ganancia de predicción. Compare el resultado obtenido con la ganancia de predicción sininterpolación (véase el problema 3.1).

d) Interpole el tramo del apartado anterior por 2 y calcule nuevamente la ganancia de predicción.e) ¿Cuántos bits pueden ahorrarse por muestra en cada caso?

PROBLEMA 3.14: Como se ha ilustrado en el problema anterior, el aumento de la frecuencia demuestreo en la conversión analógico-digital de una señal analógica mediante esquemas diferencialespermite reducir el número de bits por muestra; en la práctica, se puede llegar a la utilización decuantificadores de 1 bit si se hace uso de una frecuencia de muestreo suficientemente alta (moduladores∆). En este problema se ofrece el principio de funcionamiento de los sistemas de conversión A/Dcomerciales denominados de "1 bit", que hacen uso de la modulación ∆-sigma. La modulación ∆-sigmade una señal analógica x(t) genera una señal z(t) que toma únicamente valores 1 y -1, en función de laevolución cada T = 1/Fm segundos de la diferencia entre x(t) y una versión reconstruida de la misma.

El filtrado paso bajo de z(t), con un ancho de banda igual al de la señal x(t), permite recuperar unaréplica de ésta. Cuanto mayor sea la frecuencia Fm mayor será la relación señal a ruido en la señal


F m

A/D∆-sigmax(t) z[n] x[n]

M

Fig. P3.14

recuperada. Si el modulador ∆-sigma es seguido de un convertidor A/D de un bit que trabaje a unafrecuencia de muestreo Fm, a partir de x(t) se obtiene una secuencia z[n] con muestras de valor 1 y -1.

Esta observación ha permitido formular el esquema de la figura P3.14 para realizar el muestreo de x(t).Se pide:a) Razone que el esquema sirve a tal propósito.b) Indique las frecuencias límites de la banda de transición del filtro paso bajo en función de Fm, M y

el ancho de banda BF de la señal x(t).c) Analice la influencia de la atenuación mínima αa en la banda atenuada del filtro y M en la relación

señal a ruido con la que x[n] representa a x(t).En audio los valores típicos para M se sitúan alrededor de 75. Esto permite, con un diseño adecuadopara el filtro paso bajo, alcanzar relaciones señal a ruido en la conversión A/D equivalente a laproporcionada por cuantificadores de 20 o más bits.

A B C D

0,7 1 1,7 2 2,7 3 3,7 4 F (kHz)

Fig. P3.15

PROBLEMA 3.15: Por un canal digital se transmite, muestreada a 8 kHz, una señal compuesta por lamultiplexión FDM de cuatro señales paso bajo, tal como se indica en la figura P3.15. A la salida delcanal se quiere recuperar la señal C en banda base con la frecuencia de muestreo mínima posible; paraello se hace uso de un filtrado paso banda y un diezmado. Se pide:a) ¿Cuál es el máximo factor entero de reducción de la velocidad de muestreo que se puede aplicar?

Dibuje, justificadamente, el espectro obtenido tras el filtrado y el diezmado.b) Diseñe, haciendo uso de la ventana de Kaiser, un filtro FIR para la aplicación presentada, tal que

deje pasar la banda donde se encuentra la señal C con una atenuación no superior a 1,5 dB y rechacelas restantes con una atenuación no inferior a 30 dB.

c) Si se tratase de recuperar la señal del canal B, ¿que operación habría que añadir al diezmado?

4 Sistemas lineales e invariantes 1 6 5

4. Sistemas lineales e invariantes

4.0 Introducción

El capítulo 2 muestra el papel fundamental de la transformada de Fourier en el análisis de señales ysistemas discretos. En el presente capítulo se estudia la transformada z, generalización de latransformada de Fourier. Aunque las propiedades de ambas transformadas son semejantes, latransformada z permite trabajar con un conjunto más amplio de secuencias y da lugar a expresionesmás fáciles de manipular y de interpretar. En la práctica la transformada z se emplea, básicamente,como forma compacta de describir y resolver sistemas discretos definidos por una ecuación endiferencias finitas. En este sentido, su función es equivalente a la que cumple la transformada deLaplace en los sistemas analógicos caracterizados por ecuaciones diferenciales.

El capítulo se complementa con el estudio de la función de transferencia y la respuesta frecuencial delos sistemas cuya relación entrada-salida responde a una ecuación en diferencias finitas. Finalmente, separticulariza este estudio para los sistemas pasa todo, de fase mínima y de fase lineal.

4.1 La transformada z

4.1.1 Definición y convergencia

La transformada z de una secuencia x[n] es la función de variable compleja X(z) definida como:

X(z) = Zx[n] = ∑n=-∞

∞ x[n] z-n (4.1)

Aunque más adelante se estudia la relación entre esta definición y la de la transformada de Fourier, esútil empezar destacando una diferencia importante entre ambas transformadas. Al contrario de lo quesucede con la transformada de Fourier, la convergencia de la serie de potencias que define latransformada no depende sólo de la secuencia x[n], sino también del valor de la variable compleja z.Dada una secuencia, al conjunto de valores de z para los cuales la serie de potencias convergeuniformemente se le denomina región de convergencia (ROC) de la transformada z:


z ∈ ROC ⇔ ∑n=-∞

∞ |x[n] z-n| = ∑

n=-∞

∞ |x[n]| |z|-n < ∞ (4.2)

Obsérvese que la convergencia es función del módulo de z. En particular, si r1 y r2 son los valores

reales mínimo y máximo, respectivamente, que acotan exponencialmente la secuencia x[n] de talforma que

|x[n]| ≤ A1 r1n n ≥ 0|x[n]| ≤ A2 r2n n < 0

para un determinado valor de A1 y A2, el sumatorio correspondiente a la parte causal de x[n]

∑n=0

∞ |x[n]| |z|-n ≤ A1 ∑

n=0

∞ ( )|z|

r1

-n = A1 ∑

n=0

∞ ( )r1

|z|n

converge si el módulo de z es mayor que r1, mientras que el sumatorio correspondiente a la parte

anticausal de x[n]

∑n=-∞

-1 |x[n]| |z|-n ≤ A2 ∑

n=-∞

-1 ( )|z|

r2

-n = A2 ∑

n=1

∞ ( )|z|

r2

n

converge si el módulo de z es inferior a r2. Por lo tanto, si r1 < r2 la región de convergencia esr1 < |z| < r2; en caso contrario la secuencia no tiene transformada z.

Dado que la variable z de la transformada z es compleja, resulta útil pensar en ella como un puntosobre el plano complejo representado en la figura 4.1. A dicho plano lo denominamos plano z.

Im

Re

z = re jω

Circunferenciade radio unidad

1

Plano z

ω

r

Fig. 4.1 El plano z


Con esta representación puede afirmarse que la ROC es, en general, un anillo con radio inferior r1 yradio superior r2, tal como se muestra en la figura 4.2. Tanto el origen (z=0) como el infinito pueden

pertenecer a la ROC. En el primer caso, correspondiente a las secuencias anticausales, el anillodegenera en un círculo de radio r2; en cambio, en el segundo caso, correspondiente a las secuencialescausales, la ROC es el exterior de un circunferencia de radio r1.

Im

Re

Plano z

r1

r2

Fig. 4.2 La región de convergencia (ROC) es en el caso general un anillo

EJEMPLO 4.1: La transformada z de x[n] = δ[n-m] es

X(z) = ∑n=-∞

∞ δ[n-m] z-n = z-m

y su ROC es todo el plano z excepto z=0 si m es positivo o z=∞ si m es negativo.

Dado que cualquier señal de duración finita x[n] es la suma de un número finito de deltas desplazadas,la ROC asociada a su transformada z también es todo el plano z, excepto z=0 si tiene alguna muestra

no nula para algún n positivo, o z=∞ si tiene alguna muestra no nula para algún n negativo.♦

EJEMPLO 4.2: La transformada z de la secuencia exponencial causal x[n] = anu[n] es

X(z) = ∑n=-∞

∞ anu[n] z-n = ∑

n=0

∞ (az-1)n =

11 - az-1 |az-1| < 1

La región de convergencia comprende todos los valores de z para los cuales |az-1|<1, esto es |z|>|a|(Fig. 4.3). Para este tipo de secuencias la transformada z existe para cualquier valor finito de |a|,mientras que la transformada de Fourier no converge si |a|>1. El caso particular a=1 ofrece latransformada z del escalón unidad. Obsérvese que X(z) es una función racional que vale ∞ en z=a (polo

de X(z)) y 0 en z=0 (cero de X(z)).♦


Im

Re

Plano z

a

Fig. 4.3 Región de convergencia de la secuencia x[n] = anu[n]

EJEMPLO 4.3: La transformada z de la secuencia x[n] = -anu[-n-1] es

X(z) = ∑n=-∞

∞ -anu[-n-1] z-n = - ∑

n=-∞

-1 anz-n

= - ∑n=1

∞ (a−1z)n = -

a-1z

1 - a−1z =

11 - az-1 |a−1z| < 1

y su ROC |z|<|a| (Fig. 4.4). Aunque esta nueva secuencia no coincide con la del ejemplo anterior, seobtiene la misma expresión para la transformada z. Sin embargo su ROC es la complementaria.Podemos concluir que en general una secuencia queda completamente definida mediante su

transformada z sólo cuando también se especifica la región de convergencia.♦

Im

Re

Plano z

a

Fig. 4.4 Región de convergencia de la secuencia x[n] = -anu[-n-1]


4.1.2 Relación con la transformada de Fourier

Al comparar la ecuación (4.1) que define la transformada z con la definición de la transformada deFourier resulta evidente la relación existente entre ambas transformaciones. Si la variable z se toma

con módulo unidad y fase ω, z=ejω, la ecuación (4.1) se convierte en la definición de la transformada

de Fourier. Por lo tanto, si la circunferencia de radio unidad representada en la figura 4.1 está dentro dela ROC, la transformada de Fourier converge uniformemente y se obtiene a partir de la transformada zmediante el cambio de variable

X(ejω) = X(z) z=ejω (4.3)

Este cambio de variable es el origen de la notación X(ejω) utilizada para la transformada de Fourier de

señales discretas. Con esta interpretación, la periodicidad de la transformada de Fourier resulta evidente,ya que el valor de esta transformada en la pulsación ω corresponde a la transformada z evaluada en el

punto z=ejω de la circunferencia de radio unidad.

Esta relación entre transformadas puede extenderse a cualquier valor de z. En general, si en la definición(4.1) la variable z se expresa en forma polar como

z = rejω

se obtiene

X(rejω) = ∑n=-∞

∞ x[n] (rejω)-n = ∑

n=-∞

∞ (x[n]r-n) e-jωn (4.4)

que es la transformada de Fourier de la secuencia x[n]r-n.

4.1.3 Propiedades de la transformada z

Ya se ha visto la estrecha relación entre la transformada z y la transformada de Fourier. Muchas de laspropiedades de la transformada z también son semejantes a las de la transformada de Fourier y, porello, sólo serán enunciadas. Debe señalarse, sin embargo, que en el caso de la transformada z laspropiedades deben incluir, además, la regla asociada a la transformación de la ROC.

Al enunciar las propiedades de la transformada z se hace uso de los siguientes pares transformados:

x[n] ←z

→ X(z) ROC : Rx (r1 < |z| < r2)

y[n] ←z

→ Y(z) ROC : Ry


1. Linealidad

a1x[n] + a2y[n] ←z

→ a1X(z) + a2Y(z) ROC contiene Rx ∩ Ry

2. Desplazamiento en el tiempo

x[n - m] ←z

→ z-m X(z) ROC : Rx(excepto la posible inclusión o exclusión de z=0 o z=∞)

3. Convolución

x[n]*y[n] ←z

→ X(z)Y(z) ROC contiene Rx ∩ Ry

4. Multiplicación por una secuencia exponencial

anx[n] ←z

→ X(z/a) ROC : |a| Rx

5. Reflexión en el tiempo

x[-n] ←z

→ X(1/z) ROC : 1/Rx (1r2

< |z| < 1r1

)

6. Derivación en el dominio z

nx[n] ←z

→ -z dX(z)

dzROC : Rx

(excepto la posible inclusión o exclusión de z=0 o z=∞)

7. Teorema del valor inicial

Si x[n] es causal

x[0] = limz → ∞

X(z)

EJEMPLO 4.4: Aplicando la linealidad de la transformada z y el resultado de los ejemplos 4.2 y 4.3,se obtiene de forma inmediata que la transformada z de la secuencia x[n] = anu[n] - bnu[-n-1] es

X(z) = 1

1 - az-1 + 1

1 - bz- 1

y su ROC la intersección de las ROC de cada una de la secuencias; esto es la región |a|<|z|<|b|, talcomo se muestra en la figura 4.5.


Si |a|>1 o |b|<1 la secuencia no tiene transformada de Fourier. Obsérvese, además, que si |b|≤|a| la serie

no converge para ningún valor de z; es decir, x[n] no tiene transformada z.♦

Im

Re

Plano z

a b

Fig. 4.5 Región de convergencia de la secuencia x[n] = anu[n] - bnu[-n-1]

EJERCICIO 4.1: Compruebe la expresión de la transformada z de una sinusoide amortiguada causal

x[n] = A rn cos(ωon + θ) u[n]

que se proporciona en la tabla de transformadas incluida al final del texto. Sugerencia: exprese x[n]

como suma de dos exponenciales complejas.♦

EJERCICIO 4.2: A partir de una secuencia xo[n] de L muestras de longitud, (xo[n]=0 para n<0 y

n≥L), se forma la secuencia causal x[n] mediante el sumatorio

x[n] = ∑r=0

∞ xo[n - rL]

Calcule la expresión de la transformada z de x[n] en función de la transformada z de xo[n] y aplique el

resultado obtenido a la secuencia de la figura 4.6. Use el resultado del ejercicio anterior para comprobarsi esta secuencia corresponde a una sinusoide causal. En caso afirmativo halle el valor de su amplitud,

frecuencia y fase.♦

... ...

n

x[n]

0

Fig. 4.6 Secuencia del ejercicio 4.2


4.1.4 La transformada z inversa

La expresión general de la transformada z inversa viene dada por la integral de contorno

x[n] = 1

2πj ∫oC

X(z) zn-1 dz (4.5)

donde C es cualquier contorno cerrado en la ROC de X(z) recorrido en sentido contrario al de las agujasdel reloj. Aunque aquí no es tan inmediata la relación entre la transformada z y la de Fourier como enla definición de la transformada directa, está claro que un caso particular de la integral (4.5) debecorresponder a la transformada inversa de Fourier. En general, si la circunferencia de radio r está dentrode la ROC puede tomarse esta circunferencia como contorno de integración mediante el cambio devariable

z = rejω -π < ω ≤ π

De esta forma se llega a

x[n] = 1

2πj ∫-π

π X(rejω) rn-1 ejω(n-1) j rejω dω

= rn 12π ∫

-π

π X(rejω) ejωn dω (4.6)

que no es más que el producto de rn por la transformada inversa de Fourier de X(rejω). Nótese que este

resultado está en total concordancia con la interpretación aportada por la ecuación (4.4). En particular,con r=1 reproduce la relación correspondiente a la transformada inversa de Fourier.

Afortunadamente, no suele ser necesario recurrir a la integral (4.5) para invertir una transformada z.Para las transformadas de mayor interés en el tratamiento digital de la señal es posible utilizarprocedimientos más sencillos como la descomposición en fracciones simples o el desarrollo en serie depotencias.

En la práctica, las transformadas z más habituales son funciones racionales de la forma

X(z) = N(z)D(z)

=

∑i=0

Q biz - i

∑i=0

P aiz - i

=

bo ∏i=1

Q (1 - ciz-1)

ao ∏i=1

P (1 - diz-1)

(4.7)

donde ci y di son los ceros y polos no nulos de X(z), respectivamente, y se ha supuesto que lostérminos independientes ao y bo son ambos distintos de cero. Si todos los polos di son diferentes y aono es nulo, X(z) se puede expresar como la suma de fracciones simples de la forma:


X(z) = ∑i=0

Q-P Biz-r + ∑

i=1

P

Ai1 - diz-1 (4.8)

Los coeficientes Bi aparecen cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del

denominador. En este caso, estos coeficientes se obtienen mediante la división del numerador N(z) porel denominador D(z) hasta que el resto R(z) sea de grado inferior al del denominador (véase el ejemplo4.5):

X(z) = N(z)D(z)

= Q(z)D(z) + R(z)

D(z) = Q(z) +

R(z)D(z)

= ∑i=0

Q-P Biz-r + Xo(z)

Por otro lado, los coeficientes Ai se determinan tanto a partir de X(z) como de Xo(z) mediante la

ecuación

Ai = (1 - diz-1)X(z) z = di = (1 - diz-1)Xo(z) z = di

(4.9)

Una vez hallada la descomposición (4.8) la secuencia x[n], transformada inversa de X(z), resulta de lacombinación lineal de las transformadas inversas de cada uno de los sumandos en (4.8), las cuales seobtienen utilizando los pares transformados de los ejemplos 4.1, 4.2 y 4.3. Conviene recordar, talcomo estos mismos ejemplos indican, que para determinar de forma única x[n] es necesario conocer laROC de X(z).

En el caso general de tener polos múltiples la descomposición de X(z) es

X(z) = ∑i=0

Q-P Biz-r + ∑

i=1

P 1

∑m=1

si

Ai,m

(1 - diz-1)m (4.10)

donde P1 es el número de polos distintos y si es la multiplicidad del polo di. En este caso loscoeficientes Bi se calculan como antes mientras que los coeficientes Ai,m se obtienen de la ecuación:

Ai,m = 1

(si - m)! (-di)si-m

dsi-m

dwsi-m [(1 - diw)si X(w-1)]

w = di-1

(4.11)

Las transformadas z inversa de los términos que aparecen en (4.10) pueden obtenerse por aplicación della propiedad 6 (derivación en el dominio transformado), a partir de las fracciones de orden 1 de losejemplos 4.2 y 4.3.

EJEMPLO 4.5: Considere la siguiente transformada z

X(z) = 3 + z-1 + z- 2

1 - 52 z-1 + z- 2


Dividiendo el numerador por el denominador

z-2 - 2,5z-1 + 1

1-z-2 + 2,5z-1 - 1

z-2 + z-1 + 3

3,5z-1 + 2

se obtiene el término Bo y una función racional cuyo numerador es de orden inferior al del

denominador

X(z) = 1 + 2 +

72 z- 1

1 - 52 z-1 + z- 2

= 1 + A1

1 - 2 z- 1 + A2

1 - 12 z- 1

Finalmente, el cálculo de los coeficientes A1 y A2

A1 = 2 +

72 z- 1

1 - 12 z- 1

z=2 = 5 A2 = 2 +

72 z- 1

1 - 2 z- 1 z=1/2 = - 3

nos proporciona la descomposición en fracciones simples

X(z) = 5

1 - 2 z- 1 - 3

1 - 12 z- 1

+ 1

En las funciones racionales, los polos nos marcan los límites de la ROC. En este ejemplo lasposibles ROC únicamente son tres. Cada una de ellas da lugar a una transformada inversa distinta:

1) ROC1 : 2 < |z| x1[n] = 5.2n u[n] - 3 12n u[n] + δ[n]

2) ROC2 : 12 < |z| < 2 x2[n] = -5.2n u[-n-1] - 3

12n u[n] + δ[n]

3) ROC3 : |z| < 12

x3[n] = -5.2n u[-n-1] + 3 12n u[-n-1] + δ[n]

Observe que únicamente la segunda secuencia de estas tres tiene transformada de Fourier.♦

EJEMPLO 4.6: La aplicación de la transformada z a las ecuaciones en diferencias finitas permitemanipularlas y resolverlas de forma simple. Como ejemplo, considere la serie de Fibonacci definidamediante la ecuación en diferencias finitas

y[n] = y[n-1] + y[n-2] + δ[n]

con la condiciones iniciales y[-2] = y[-1] = 0. Los primeros términos de esta serie causal sonfácilmente calculables de forma recurrente


y[n] = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

pero no sugieren a simple vista la expresión general del término n-ésimo de la serie. Sin embargo, poraplicación de la transformada z a la ecuación lineal en diferencias finitas utilizando las propiedadesadecuadas

Y(z) = Y(z) z-1 + Y(z) z-2 + 1

se llega a la expresión de la transformada z de y[n]:

Y(z) = 1

(1 - z-1 - z-2) =

A11 - p1 z- 1 +

A21 - p2 z- 1

p1 = 1+√ 5

2 p2 =

1-√ 52

A1 = p1

√ 5 A2 = -

p2

√ 5

La ROC de Y(z) es |z|>p1, por ser y[n] causal. Su transformada inversa

y[n] = 1

√ 5

12n+1 [(1+√ 5)n+1 - (1-√ 5)n+1]u[n]

nos proporciona el término n-ésimo de la serie de Fibonacci.♦

EJERCICIO 4.3: Calcule la secuencia causal x1[n] que tiene como transformada z

X1(z) = 1

(1 + az-1)(1 + bz-1)(4.12)

para a≠b.♦

EJERCICIO 4.4: Calcule la secuencia causal x2[n] que tiene como transformada z

X2(z) = 1

(1 + az-1)2 (4.13)

Si x1[n] es la secuencia obtenida en el ejercicio anterior, compruebe que

x2[n] = limb → a

x1[n] ♦

4.2 Función de transferencia

El capítulo 1 realiza una primera introducción a los sistemas lineales e invariantes. Una propiedadbásica de estos sistemas es que quedan completamente caracterizados mediante su respuestaimpulsional. A continuación se estudia la función de transferencia del sistema o transformada z de la


respuesta impulsional, que también describe al sistema y al mismo tiempo permite una manipulaciónmás ágil.

4.2.1 Definición e interpretación

La función de transferencia de un sistema lineal e invariante es la transformada z de su respuestaimpulsional h[n]:

H(z) = Zh[n] = ∑n=-∞

∞ h[n] z-n (4.14)

La función de transferencia H(z) también puede interpretarse como el autovalor asociado a lasautofunciones zn. En efecto, cuando la entrada x[n] a un sistema lineal e invariante es la secuenciaexponencial

x[n] = zn

su salida es esta misma señal afectada de un factor constante o autovalor H(z).

y[n] = ∑k=0

∞ h[k] zn-k = ( ∑

k=-∞

∞ h[k] z-k) zn = H(z) zn (4.15)

Tal como indica (4.15), el autovalor asociado a la autofunción zn es la transformada z de h[n] ofunción de transferencia del sistema. Esta interpretación sólo es posible si z∈ ROC de H(z).

Por otro lado, ya se ha visto que la transformada z de la convolución de dos secuencias es el productode las transformadas z de cada secuencia. Por tanto, la salida y[n] de un sistema con respuestaimpulsional h[n] y entrada x[n]

y[n] = h[n] * x[n]

puede expresarse como el producto en el dominio transformado

Y(z) = H(z) X(z) (4.16)

donde X(z), Y(z) y H(z) son las transformadas z de x[n], y[n] y h[n], respectivamente. Esto permiteinterpretar y obtener H(z) como el cociente entre la transformada z de la salida y la transformada z de laentrada

H(z) = Y(z)X(z)

(4.17)


4.2.2 Causalidad y estabilidad

En el capítulo 1 se comprueba que la respuesta impulsional caracteriza completamente a un sistemalineal e invariante y se establecen las condiciones que debía cumplir dicha respuesta impulsional paraque el sistema fuera causal o estable.

La transformada z de la respuesta impulsional o función de transferencia también caracteriza a lossistemas lineales e invariantes y es utilizada como descripción de los mismos. Por ello, resultainteresante establecer también las condiciones que debe cumplir H(z) para que el sistemacorrespondiente sea estable o causal.

1. Estabilidad

Un sistema lineal e invariante es estable si y sólo si la ROC de su función de transferenciaincluye la circunferencia de radio unidad.

2. Causalidad

Un sistema lineal e invariante es causal si y sólo si la ROC de su función de transferencia es elexterior de una circunferencia.

La demostración correspondiente a la estabilidad es inmediata a partir de la condición que ya habíamosestablecido sobre h[n] y la ecuación (4.2). En efecto:

Estabilidad ⇔ ∑n=-∞

∞ |h[n]| = < ∞ ⇔

∑n=-∞

∞ |h[n]| |z|- n

|z|=1 < ∞

Por otro lado, la condición de causalidad se corresponde con lo establecido para la región deconvergencia de secuencias causales.

4.2.3 Función de transferencia de sistemas definidos mediante ecuaciones linealesen diferencias finitas

Los sistemas lineales e invariantes de mayor interés práctico son aquellos cuya relación entrada-salidaqueda descrita por una ecuación lineal en diferencias finitas (EDF) con coeficientes constantes

∑k=0

P ak y[n-k] = ∑

k=0

Q bk x[n-k] (4.18)

donde x[n] es la señal de entrada e y[n] la señal de salida del sistema. Aplicando la transformada z acada lado de la ecuación y utilizando las propiedades de la transformada z


∑k=0

P ak z-k Y(z) = ∑

k=0

Q bk z-k X(z)

resulta inmediato determinar H(z)

H(z) = Y(z)X(z)

=

∑k=0

Q bkz- k

∑k=0

P akz- k

=

bo ∏k=1

Q (1 - ckz-1)

ao ∏k=1

P (1 - dkz-1)

(4.19)

Por comparación entre (4.19) y (4.7) se comprueba que hablar de sistemas con función de transferenciaracional es equivalente a hablar de sistemas lineales e invariantes descritos por una ecuación endiferencias lineal con coeficientes constantes. La relación entre los coeficientes de ambas expresioneses inmediata. Nótese que el denominador de H(z) es el polinomio de la ecuación característica de laEDF.

Como se observa en la expresión (4.19), la función de transferencia puede ser especificada en términosde las raíces de los polinomios numerador y denominador (es decir, los ceros ck y los polos dk de lafunción) y una constante multiplicativa (bo/ao). Es habitual representar dichos puntos en el plano z

mediante lo que se denomina un diagrama de ceros y polos; los primeros se representan con unpequeño círculo y los segundos con una cruz. En la figura 4.7 se muestra un ejemplo para un sistemade tercer orden. Incluyendo en la cuenta los posibles ceros o polos en el origen o el infinito, el númerode ceros y el número de polos son iguales, e iguales al orden del sistema (cada cero o polo contribuyeal total de acuerdo con su multiplicidad). Si el sistema es real (h[n] es real), los coeficientes ak y bkson reales, y los ceros y los polos complejos deben estar acompañados de sus complejos conjugados.

Es conveniente recordar aquí que una ecuación lineal en diferencias finitas no define completamente alsistema si no se especifica alguna condición adicional, como la causalidad o la estabilidad del sistema.

Im

Re

Plano z

Fig. 4.7 Ejemplo de diagrama de ceros y polos


Esto concuerda con la necesidad de especificar la ROC de H(z) para poder calcular h[n] (es decir, paracaracterizar el sistema) a partir de la función de transferencia, ya que dichas propiedades y la ROC deH(z) están biunívocamente relacionadas (véase el apartado 4.2.2).

Para los sistemas con función de transferencia racional, la ROC siempre está limitada por los polos.Sin pérdida de generalidad, considérese que los polos dk están indexados de tal forma que

|d1| ≤ |d2| ≤ … ≤ |dP|

y que, respecto a la circunferencia de radio unidad, se tienen i polos en su interior, s polos sobre ella ye polos en el exterior del círculo de radio unidad; esto es:

|d1| ≤ |d2| ≤ … ≤ |di| < 1|di+1| = |di+2| = … = |di+s| = 1

1 < |di+s+1| ≤ |di+s+2| ≤ … ≤ |dP|

Con esta notación puede decirse, por ejemplo, que la región de convergencia de un sistema causal es|z| > |dP|, mientras que la región de convergencia asociada a un sistema estable es el anillo que incluye

la circunferencia unidad y está limitado por los polos más cercanos a ésta. La tabla 4.1 recoge los trescasos posibles según la disposición de los polos sobre el plano z. Obsérvese que si se tiene algún polosobre la circunferencia unidad, (s>0), la función de transferencia no puede corresponder a un sistemaestable. De esta tabla también se deduce que un sistema puede ser causal y estable únicamente sis=e=0, esto es, si todos los polos están dentro del círculo unidad.

Tabla 4.1 Región de convergencia correspondiente a sistemas estables, causales y anticausales.

s=0, e=0 i=0, s=0 i>0, s=0, e>0 s>0

Estable |z| > |dP| |z| < |d1| |di| < |z| < |di+1| -

Causal |z| > |dP|

Anticausal |z| < |d1|

i = número de polos en el interior de la circunferencia unidad

s = número de polos sobre la circunferencia unidad

e = número de polos en el exterior de la circunferencia unidad

EJEMPLO 4.7: Se desea determinar la respuesta impulsional y al escalón del sistema causalcaracterizado por la siguiente ecuación lineal en diferencias finitas:

y[n] = 2 x[n] - 34 x[n-1] +

34 y[n-1] -

18 y[n-2]


Tras aplicar la transformada z a la ecuación anterior

Y(z) = 2 X(z) - 34

X(z) z-1 + 34 Y(z) z-1 -

18 Y(z) z-2

se despeja la función de transferencia H(z)

H(z) = Y(z)X(z)

= 2 -

34 z- 1

1 - 34 z-1 +

18 z- 2

= 1

1 - 12 z- 1

+ 1

1 - 14 z- 1

Se obtiene la respuesta impulsional como su transformada z inversa

h[n] = ( )12

n u[n] + ( )14

n u[n]

Por otro lado, cuando la entrada al sistema sea un escalón, la transformada z de la salida resulta

S(z) = H(z)U(z) = 2 -

34 z- 1

1 - 34 z-1 +

18 z- 2

1

1 - z- 1 =

103

1 - z- 1 - 1

1 - 12 z- 1

-

13

1 - 14 z- 1

que corresponde a la secuencia

s[n] = 103

u[n] - ( )12

n u[n] - 13 ( )1

4n u[n]

Al comparar la respuesta impulsional con la respuesta al escalón, se observa como esta últimaincorpora un término que no decrece en amplitud con el tiempo y que sigue a la excitación en suevolución temporal. A los términos que evolucionan de acuerdo con la excitación se les denominarespuesta forzada

sf[n] = 103

u[n]

mientras que el resto de términos, que evolucionan según los polos de la función de transferencia,constituyen la respuesta libre

sl[n] = - ( )12

n u[n] - 13 ( )1

4n u[n]

Los polos de la función de transferencia reciben el nombre de modos propios del sistema.♦

EJERCICIO 4.5: Compruebe el resultado del ejemplo 4.7 mediante el programa 62. Para ellointroduzca los coeficientes del sistema, genere las señales de entrada correspondientes y fíltrelas. Dadoque el impulso unidad es la primera diferencia del escalón


δ[n] = ∆u[n] = u[n]-u[n-1]

y que el sistema es lineal, la respuesta impulsional se puede obtener como la primera diferencia de la

respuesta al escalón. Verifique esta propiedad de forma analítica y mediante el programa 62.♦

EJERCICIO 4.6: Obtenga la función de transferencia de un sistema sabiendo que, cuando es excitadocon la señal x[n], responde con la secuencia y[n]:

x[n] = cos(π6

n) u[n] y[n] = sen(π6

n) u[n]

Compruebe el resultado mediante el programa 62.♦

4.2.4 Análisis de estructuras

En el capítulo 1 se muestra la representación de un sistema discreto mediante un diagrama de bloques oestructura. En los ejemplos estudiados hasta el momento la relación entre la estructura y la ecuaciónlineal en diferencias finitas es casi directa, pero en la práctica pueden aparecer estructuras o algoritmosrecurrentes de difícil análisis en el dominio del tiempo.

La transformada z, sin embargo, permite reducir el análisis de cualquier estructura o algoritmocorrespondiente a un sistema lineal e invariante a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales,tal como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 4.8: Se desea obtener la función de transferencia de la estructura mostrada en la figura 4.8.

z-1⊕

z-1

⊕⊕x[n] y[n]

v2[n]

v1[n]

a a

b

-b

Fig. 4.8 Diagrama de bloques analizado en el ejemplo 4.8

Este diagrama de bloques es equivalente a definir el sistema a partir de un conjunto de ecuaciones endiferencias finitas. En general, para poder expresar estas ecuaciones, además de la señal de entrada ysalida, es necesario definir otras señales auxiliares a la salida de cada uno de los retardadores o registros.En este ejemplo existen dos retardadores, cuyas señales de salida se han denominado v1[n] y v2[n]

según se muestra en la figura 4.8. En función de estas variables el sistema de ecuaciones en diferenciasfinitas que representa esta estructura es:

y[n] = b v1[n] + a v2[n]v1[n+1] = a v1[n] + (x[n] - b v2[n])

v2[n+1] = y[n]


La sustitución de la primera ecuación en la tercera y la transformación al dominio z proporciona elsiguiente sistema lineal de ecuaciones

V1(z) z = a V1(z) + (X(z) - b V2(z))V2(z) z = b V1(z) + a V2(z)

Resolviendo este sistema en V1(z) y V2(z), y teniendo en cuenta que Y(z)=V2(z)z, se llega finalmente

a la relación entre Y(z) y X(z):

H(z) = Y(z)X(z)

= b z-1

1 - 2az-1 + (a2+b2)z-2 ♦

4.2.5 La transformada z unilateral

Para analizar la respuesta de un sistema, dadas la excitación a partir de la muestra n=0 y lascondiciones iniciales, resulta conveniente redefinir la transformada z para incluir en el sumatorio sólola parte causal de la señal. Se obtiene así la denominada transformada z unilateral

X+(z) = Z+x[n] = Zx[n]u[n] = ∑n=0

∞ x[n] z-n (4.20)

Dado que la transformada z unilateral es la transformada z de la señal causal x[n]u[n], la ROC siemprees el exterior de un círculo y no es necesario especificarla. Las propiedades de la transformada zunilateral son similares a las de la transformada z (bilateral) excepto en el caso del desplazamiento. Larelación entrada-salida del retardo

y[n] = x[n-1]

en términos de la transformada z unilateral queda como sigue:

Y+(z) = ∑n=0

∞ y[n] z-n = y[0] + ∑

n=1

∞ y[n] z-n = y[0] + ∑

n=1

∞ x[n-1] z-n = y[0] + ∑

m=0

∞ x[m] z-(m+1)

es decir:

Y+(z) = Z+x[n-1] = y[0] + z-1 X+(z) (4.21)

El siguiente ejemplo muestra la utilidad de esta relación en el análisis de sistemas.

EJEMPLO 4.9: Se desea calcular la transformada z de la señal de salida y[n] cuando el sistemamostrado en la figura 4.9.a es excitado en n=0 con la secuencia x[n] y presenta la condición inicialv[0] = vo. Si las relaciones entrada-salida de los distintos componentes del sistema se expresan en

términos de la transformada z unilateral, la estructura de la figura 4.9.a puede representarse mediante el


⊕ ⊕z-1

x[n] y[n]

v[n]

ba

⊕ ⊕z-1

V+(z)

ba⊕vo

Y+(z)X+(z)

a) b)

Fig. 4.9 a) Sistema del ejemplo 4.9 con condiciones iniciales no nulas ; b) diagrama de bloques equivalenteen el domino transformado.

diagrama de bloques de la figura 4.9.b, donde los sumadores, multiplicadores y retardador operan sobretransformadas. Obsérvese que, de acuerdo con (4.21), el retardador con la condición inicial vo es

equivalente en el dominio transformado a un multiplicador por z-1 y a la adición de una excitacióncuya transformada es vo. Las ecuaciones que describen el diagrama de la figura 4.9.b son

Y+(z) = X+(z) + (a+b) V+(z)V+(z) = z-1 X+(z) + a z-1 V+(z) + vo

Despejando V+(z) de la segunda ecuación

V+(z) = z-1

1 - a z- 1 X+(z) +

11 - a z- 1 vo

se llega finalmente a

Y+(z) = 1 + b z-1

1 - a z- 1 X+(z) +

a + b1 - a z- 1 vo

Obsérvese que, tal como se establece en el capítulo 1 al estudiar los sistemas caracterizados porecuaciones en diferencias finitas, Y+(z) es el resultado de dos contribuciones: la respuesta encondiciones iniciales nulas (o respuesta en reposo) y la respuesta con entrada nula.

La transformada z inversa de Y+(z), esto es, la señal de salida, se calcula igual que en el caso bilateral.Por ejemplo, para x[n] = δ[n], (X+(z) = X(z) = 1), resulta

Y+(z) = - ba

+ 1 +

ba

1 - a z- 1 + a + b

1 - a z- 1 vo

y[n] = - ba δ[n] + [1 +

ba + (a + b) vo] an u[n] ♦


4.3 Respuesta frecuencial

La respuesta frecuencial de un sistema lineal, invariante y estable es el factor de proporcionalidad entre

la entrada y la salida, cuando la excitación es la exponencial ejωn, y también la transformada de

Fourier de su respuesta impulsional. En el caso de sistemas con función de transferencia racional

H(z) =

∑k=0

Q bkz- k

∑k=0

P akz- k

(4.22)

la respuesta frecuencial tiene la forma

H(ejω) = H(z) z=ejω =

∑k=0

Q bke-jkω

∑k=0

P ake-jkω

(4.23)

Habitualmente suele ser conveniente disponer por separado del módulo y la fase de la respuestafrecuencial. Recuérdese que, para entradas sinusoidales, el módulo de la respuesta frecuencialproporciona el factor sobre la amplitud de la sinusoide, mientras que la respuesta de fase proporciona ladiferencia de fase entre la entrada y la salida (véase el ejercicio 1.12).

Para obtener las expresiones correspondientes al módulo y la fase resulta conveniente considerar la

expresión de H(ejω) en función de los ceros y polos de H(z)

H(ejω) = boao

∏k=1

Q (1 - cke-jω)

∏k=1

P (1 - dke-jω)

(4.24)

De esta forma puede expresarse el módulo y la fase de la respuesta frecuencial como

|H(ejω)| =

bo

ao

∏k=1

Q |1 - cke-jω|

∏k=1

P |1 - dke-jω|

(4.25)

ψ(ω) = argH(ejω) = arg

bo

ao + ∑

k=1

Q arg1 - cke-jω - ∑

k=1

P arg1 - dke-jω (4.26)


En el caso del módulo también resulta habitual utilizar una escala logarítmica, definiendo la gananciaen dB de la respuesta frecuencial

G(ω) = 20 log|H(ejω)| (4.27)o la atenuación

α(ω) = 20 log Href

|H(ejω)|(4.28)

donde Href es un valor de referencia (por defecto, se considera en lo sucesivo que Href = 1).

De esta forma, cada polo y cero contribuye de forma aditiva a la ganancia total del filtro

G(ω) = 20 log

bo

ao + ∑

k=1

Q 20 log|1 - cke-jω| - ∑

k=1

P 20 log|1 - dke-jω| (4.29)

En el estudio de un filtro, más que su respuesta de fase, suele interesar la linealidad de esta respuesta.Por ello se suele representar su derivada o retardo de grupo definido como

τ(ω) = - d

dω argH(ejω) (4.30)

que en función de los ceros y polos se puede calcular mediante la siguiente expresión

τ(ω) = ∑k=1

P

ddω arg1 - dke-jω - ∑

k=1

Q

ddω arg1 - cke-jω

= ∑k=1

P

|dk|2 - Redke-jω

1 + |dk|2 - 2Redke-jω - ∑

k=1

Q

|ck|2 - Recke-jω

1 + |ck|2 - 2Recke-jω(4.31)

EJEMPLO 4.10: En este ejemplo se estudia la respuesta frecuencial de un sistema con un solo cero.Las ecuaciones (4.26), (4.29) y (4.31) expresan la fase, la ganancia y el retardo de grupo de un sistemaracional como la suma de la contribución de cada uno de sus ceros y polos. Por ello resulta interesantecomenzar analizando la respuesta frecuencial de un sistema con un sólo cero

H(z) = (1 - rejθz-1) (4.32)

donde r es el módulo o radio del cero y θ su fase o ángulo sobre el plano z.

El módulo al cuadrado de su respuesta frecuencial es

|H(ejω)|2 = |1 - rejθe-jω|2 = 1 + r2 - 2r cos(ω-θ) (4.33)


y, por tanto, su ganancia puede expresarse como

G(ω) = 20 log|1 - rejθe-jω| = 10 log(1 + r2 + 2r cos(ω-θ)) (4.34)

Por otro lado, tras utilizar las ecuaciones generales de la fase y retardo de grupo expuestasanteriormente, se obtienen para el caso de un sólo cero las siguientes expresiones

ψ(ω) = arg1 - rejθe-jω = arctan(r sen(ω-θ)

1 - r cos(ω-θ)) (4.35)

τ(ω) = r2 - r cos(ω-θ)

1 + r2 - 2r cos(ω-θ)(4.36)

Obsérvese que, tanto en la ecuación (4.33) como en las siguientes, un cambio en el valor del ángulo θrepresenta únicamente un desplazamiento en frecuencia de la gráfica. Por ello, para estudiar lasexpresiones anteriores basta con fijar un valor de θ, por ejemplo θ=0, y representar las gráficas paradistintos valores del radio r. Utilizando el programa 62 y escogiendo r=0,9 y r=0,5 se obtienen losresultados mostrados en las figuras 4.10 y 4.11. Se puede observar cómo las curvas son bastante mássuaves en su evolución para el caso r=0,5 que para el caso r=0,9. En general, cuanto más cerca esténlos ceros (o los polos) de la circunferencia de radio unidad más abrupta será la evolución de la respuestafrecuencial en el entorno de θ.

Paralelamente, es importante observar que la contribución de los polos a la respuesta frecuencial,(ganancia, fase y retardo de grupo), es equivalente a la contribución de los ceros con un cambio designo. Por lo tanto, esta mismas gráficas invertidas proporcionan la respuesta frecuencial de un

sistema con un solo polo.♦

EJERCICIO 4.7: Calcule la contribución al módulo y fase de la respuesta frecuencial de un cero en el

exterior de la circunferencia de radio unidad c’=(1/r)ejθ (r<1) y relacione el resultado obtenido con la

contribución de un cero con el radio inverso y la misma fase c = rejθ. Sugerencia: para obtener la

relación entre las fases utilice la expresión:

(1 - rejθe-jω)(1 - 1r ejθe-jω) = (1 - (r +

1r ) ejθe-jω + ej2θe-j2ω) = e-j(ω−θ) (2cos(ω-θ) - (r +

1r ))

♦

EJEMPLO 4.11: Considere la respuesta frecuencial de un sistema con función de transferencia

H(z) = 1 - z-1

Aunque este sistema corresponde a un caso particular del ejemplo anterior, resulta más sencilloanalizarlo directamente mediante la descomposición

H(ejω) = 1 - e-jω = e-j

12ω

(ej12ω

- e-j

12ω

) = j e-j

12ω

2 senω2


Fig. 4.10 Respuesta frecuencial (atenuación, fase y retardo de grupo) de un sistema con un cero en z=0,9.


Fig. 4.11 Respuesta frecuencial (atenuación, fase y retardo de grupo) de un sistema con un cero en z=0,5.


Se obtiene, entonces, de forma inmediata que el módulo de la respuesta frecuencial es

|H(ejω)| = | 2 senω2

|

mientras que la fase resulta de la suma de la contribución de cada término

ψ(ω) = argj + arge-j

12ω

+ arg2 senω2

= π2

- 12ω + π k(ω)

donde k(ω) es una función que toma el valor 0 ó -1 según sea el signo de senω2

:

k(ω) =

0 sen

ω2

≥ 0

-1 senω2

< 0

Obsérvese que la formulación elegida para k(ω) garantiza que ψ(ω) sea impar, tal como corresponde ala fase de la transformada de Fourier de una secuencia real (véase el ejercicio 2.1). En general, siempreque la función de transferencia contiene un cero simple o con multiplicidad impar sobre lacircunferencia de radio unidad, la respuesta de fase presenta un salto de π radianes a la frecuenciacorrespondiente.

Se comprueba sin dificultad que, en el intervalo de pulsaciones (-π, π), esta respuesta de fase admite laexpresión simplificada siguiente:

ψ(ω) = - 12 ω +

π2

signo(ω)

Excepto en las discontinuidades, la derivada de ψ(ω) respecto a ω es constante

τ(ω) = 12

Los sistemas con esta propiedad son denominados filtros de fase lineal y son estudiados con detalle

más adelante en este capítulo.♦

4.3.1 Interpretación geométrica

Aparte de las expresiones analíticas, resulta interesante desarrollar la intuición sobre la relación entrerespuesta frecuencial y posición de los ceros y polos sobre el plano z. Para ello es útil considerar lainterpretación geométrica de las ecuaciones (4.25) y (4.26). La ecuación (4.24) puede reformularsecomo


H(ejω) = boao

∏k=1

Q (1 - cke-jω)

∏k=1

P (1 - dke-jω)

= ej(P-Q)ω boao

∏k=1

Q (ejω - ck)

∏k=1

P (ejω - dk)

(4.37)

para obtener la siguientes expresiones del módulo y la fase de la respuesta frecuencial:

|H(ejω)| =

bo

ao

∏k=1

Q |e jω - ck |

∏k=1

P |ejω - dk |

(4.38)

ψ(ω) = (P-Q)ω + arg

bo

ao + ∑

k=1

Q argejω - dk - ∑

k=1

P argejω - dk (4.39)

En (4.38) y (4.39) se advierte que la dependencia del módulo y de la fase de H(ejω) respecto de los

ceros y los polos de H(z) tiene lugar mediante (ejω - ak), que en el plano z puede interpretarse como el

vector diferencia entre los vectores que representan a los números complejos ejω y el cero o polo ak.

Así, la contribución al módulo de la respuesta frecuencial se corresponde con la distancia entre el cero

o polo ak y el punto ejω según se desplaza por la circunferencia unidad. Igualmente, la fase de la

respuesta frecuencial se obtiene acumulando con el signo adecuado los ángulos de los vectoresdiferencia relativos a los distintos ceros y polos.

EJEMPLO 4.12: Se desea analizar el módulo de la respuesta frecuencial de un sistema con dos poloscomplejos conjugados de radio r=0,8 y fase θ, y dos ceros en z=-1:

H(z) = (1 + z-1)2

1 - 2r cosθ z-1 + r2 z- 2

En la figura 4.12 se muestran los vectores diferencia v1, v2, y v3 definidos de acuerdo con la

interpretación geométrica que se acaba de exponer. Esto permite expresar el módulo como

|H(ejω)| = |v1| |v1|

|v2 | |v3 |

Por medio de la figura 4.12 puede observarse que, cuando el ángulo del vector ejω se mueve en el

entorno de θ, las fluctuaciones en el valor del módulo son debidas básicamente a las variaciones en lalongitud de v2, ya que los otros vectores apenas varían en este entorno. Concretamente, dado que lalongitud del vector v2 es mínima para ω=θ, es de esperar que la respuesta frecuencial presente unmáximo cerca este valor de ω. Por el contrario, al acercarnos a ω=π, el vector v1 tiende a anularse y

el módulo de la respuesta frecuencial disminuye rápidamente.


Im

Re

v1

v2

v3

Plano z

ωθ

−θ

r

r

Fig. 4.12 Interpretación geométrica y módulo de la respuesta frecuencial del ejemplo 4.12

En efecto, para θ = π/4 y mediante el programa 62, se alcanza el módulo de la respuesta frecuencialrepresentado en la figura 4.12, donde se observa el comportamiento descrito. Se deja como ejercicio elanálisis gráfico de la respuesta de fase; para ello, proporcione la función de transferencia H(z) a 62mediante la opción "Editar ceros y polos" de "Datos" y represente la fase de la respuesta frecuencial.♦


4.4 Sistemas pasa todo y de fase mínima

4.4.1 Sistemas pasa todo

Los sistemas cuya respuesta frecuencial presenta un módulo igual a la unidad para toda frecuenciareciben el nombre de sistemas o células pasa todo.

Para obtener este tipo de respuesta, es necesario que cada polo de la función de transferencia vayaacompañado de un cero cuyo valor sea el inverso conjugado. La expresión general de la función detransferencia de un sistema pasa todo de orden M es, por tanto:

Hpt(z) = ∏i=1

M z-1 - di*

1 - diz-1 (4.40)

En efecto, al calcular su respuesta frecuencial

Hpt(ejω) = ∏i=1

M e-jω - di*

1 - die-jω = e-jMω ∏

i=1

M 1 - di*ejω

1 - die-jω(4.41)

se observa claramente que en cada célula o factor de primer orden el denominador es el complejo

conjugado del numerador. En consecuencia, dado que el término e-jMω también tiene módulo unidad,

el módulo de la respuesta frecuencial toma el valor unidad.

Además del módulo, la fase de la respuesta frecuencial de una célula pasa todo causal también presentaciertas propiedades importantes. Es fácil comprobar que para sistemas pasa todo causales y estables, elretardo de grupo

τpt(ω) = ∑i=1

M

1 - ri2

1 + ri2 - 2ri cos(ω - θi) = ∑

i=1

M

1 - ri2

|1 - riejθie-jω|2(4.42)

es positivo para todo ω, ya que el denominador es un módulo al cuadrado y ri, el módulo de los polos,

es menor que la unidad para sistemas estables y causales. Como consecuencia, la fase es decrecientepara todo ω. En el siguiente apartado se hace uso de estas propiedades para estudiar las característicasde los denominados sistemas de fase mínima.

EJEMPLO 4.13: El diagrama de ceros y polos correspondiente a la célula pasa todo

H(z) = (z-1 +

34 ) (z-1 -

45 e

-jπ4 ) (z-1 -

45 e

jπ4 )

(1 + 34 z-1) (1 -

45 e

-jπ4 z-1) (1 -

45 e

jπ4 z-1)


Im

Re

Plano z

Fig. 4.13 Diagrama de polos y ceros de un sistema pasa todo

es el representado en la figura 4.13. La interpretación gráfica de la ecuación (4.40) aparece claramenteen esta figura: por cada polo presente en H(z) debemos tener un cero de módulo inverso y fase

opuesta.♦

EJERCICIO 4.8: Utilice el programa 62 para obtener la respuesta frecuencial del sistema anterior(módulo, fase y retardo de grupo) y compruebe que estas tres funciones cumplen las propiedades

correspondientes a un sistema pasa todo.♦

EJERCICIO 4.9: ¿Cuál es la autocorrelación de la respuesta impulsional de una célula pasa todo?

Compruebe su respuesta utilizando el programa 62.♦

4.4.2 Sistemas de fase mínima

Un sistema estable y causal con función de transferencia H(z) recibe la denominación de sistema defase mínima si el sistema con función de transferencia HIn(z) = 1/H(z), sistema inverso, también es

causal y estable. En consecuencia, dado que un sistema causal y estable debe tener sus polos dentro dela circunferencia unidad, tanto los polos de H(z) como sus ceros, polos del sistema inverso HIn(z),

deben estar dentro de dicha circunferencia. La denominación fase mínima tiene su origen en razonescuya explicación escapa de la intención de este texto.

EJEMPLO 4.14: Se desea expresar la siguiente función de transferencia de un sistema causal y estable

H(z) = (1 +

12 z-1) (1 -

43 z-1)

1 - 49 z- 2


como el producto de las funciones de transferencia de un sistema de fase mínima y un sistema pasatodo, causales y estables ambos. Para ello se asigna el cero fuera de la circunferencia unidad a la célulapasa todo, cuya función de transferencia se completa con un polo inverso a este cero. La función detransferencia del sistema de fase mínima conserva los polos del sistema original y ha de presentarcomo cero el polo de la célula pasa todo. Este proceso proporciona la descomposición siguiente

H(z) = - 43

(1 + 12 z-1) (1 -

34 z-1)

(1 - 49 z-2)

(z-1 -

34)

(1 - 34 z-1)

donde

Hmin(z) = - 43

(1 + 12 z-1) (1 -

34 z-1)

1 - 49 z- 2

es el (único) sistema de fase mínima que tiene igual respuesta frecuencial en módulo que H(z).♦

A partir del ejemplo anterior, se razona sin dificultad que cualquier sistema estable y causal puedeexpresarse como la combinación en cascada de un sistema de fase mínima Hmin(z), una célula pasatodo Hpt(z) y un sistema FIR cuya función de transferencia Hcu(z) recoge los posibles ceros sobre la

circunferencia unidad; esto es, para cualquier H(z) existe una descomposición de la forma

H(z) = Hmin(z) Hcu(z) Hpt(z) = Hm(z) Hpt(z) (4.43)

Fijando Hm(z) = Hmin(z)Hcu(z) y tomando diferentes sistema pasa todo, la expresión anterior permite

obtener diferentes H(z) con un mismo módulo para la respuesta frecuencial. Ello indica que el módulode la respuesta frecuencial no determina de forma única la función de transferencia a no ser que seimponga alguna restricción adicional.

Entre todos los sistemas que presentan el mismo módulo de la respuesta frecuencial, el sistema de fasemínima (incluyendo los ceros sobre la circunferencia unidad, si los hubiera), además de ser único,presenta las siguientes propiedades que lo distinguen de los demás:

1. Retardo de grupo mínimo

De acuerdo con (4.43) el retardo de grupo de H(z) es la suma de los retardos de grupo de Hm(z) yHpt(z). Por consiguiente, dado que el retardo de grupo de una célula pasa todo es siempre positivo,el retardo de grupo de Hm(z) es, para todo ω, menor que el de H(z).

2. Dispersión mínima de energía

El retardo de grupo mínimo se traduce en un retardo mínimo de la energía. Para comprobarlo,considérese un sistema H(z), descompuesto en un sistema de fase mínima Hm(z) y una célula pasa


todo causal Hpt(z). Tal como se ilustra en la figura 4.14, denominemos x[n] a la señal de entradaal sistema, ym[n] a la señal a la salida del sistema de fase mínima e y[n] a la respuesta del sistemacompleto. Además, consideremos la señal ym,k[n] formada con las muestras de ym[n] hasta el

instante k

ym,k[n] = ym[n] n ≤ k

0 n > k

y la señal yk[n], respuesta de la célula pasa todo a ym,k[n].

Hm(z) Hpt(z)x[n] ym[n] y[n]

ym,k[n] yk[n]

Fig. 4.14 Representación de un sistema mediante la combinación en cascada de Hm(z) y Hpt(z)

Con esta notación la energía a la salida del sistema de fase mínima hasta el instante k puedeexpresarse como

Em[k] = ∑n=-∞

k |ym[n]|2 = ∑

n=-∞

∞ |ym,k[n]|2 =

12π ∫

-π

π |Ym,k(ejω)|2 dω

donde se ha aplicado la igualdad de Parseval. Ahora bien, teniendo en cuenta que las transformadas

de la entrada y la salida a la célula pasa todo cumplen |Ym,k(ejω)| = |Yk(ejω)|, se obtiene

Em[k] = 1

2π ∫-π

π |Yk(ejω)|2 dω = ∑

n=-∞

∞ |yk[n]|2 = ∑

n=-∞

k |yk[n]|2 + ∑

n=k+1

∞ |yk[n]|2

Por último, la causalidad de la célula pasa todo permite reemplazar yk[n] por y[n] en el primer

sumatorio para establecer

Em[k] = ∑n=-∞

k |y[n]|2 + ∑

n=k+1

∞ |yk[n]|2 ≥ ∑

n=-∞

k |y[n]|2= E[k]

donde E[k] es la energía aparecida a la salida del sistema completo hasta el instante k. Para ksuficientemente grande, la relación se satisface con igualdad, ya que entonces yk[n] = y[n].

En conclusión, aunque las energías de las respuestas a una misma entrada serán idénticas al final,la energía aparecida a la salida del sistema de fase mínima hasta un determinado instante siemprees mayor o igual que la de cualquier otro sistema con el mismo módulo de la respuestafrecuencial.


EJERCICIO 4.10: Mediante el programa 62 calcule la respuesta frecuencial de los sistemas

H1(z) = (1 +

12 z-1) (1 -

43 z-1)

1 - 49 z- 2

H2(z) = - 43

(1 + 12 z-1) (1 -

34 z-1)

1 - 49 z- 2

Compruebe que los dos sistemas tienen el mismo módulo de la respuesta frecuencial y que H2(z)

verifica las dos propiedades anteriores de los sistemas de fase mínima.♦

4.5 Sistemas de fase lineal

4.5.1 Introducción

Al diseñar un filtro normalmente se busca que elimine unas determinadas componentes o bandasfrecuenciales y deje pasar el resto sin distorsión. La ausencia de distorsión exige una respuestafrecuencial cuyo módulo sea constante y su fase lineal en la banda de paso. En efecto, como recuerdo

simplicado de lo expuesto en el ejemplo 2.12, considérese un filtro cuya respuesta frecuencial H(ejω)

sigue en la banda de paso el comportamiento frecuencial ideal

H(ejω) = e-jωm (4.44)

Si la transformada de Fourier de la señal de entrada es nula fuera de esa banda, la transformada deFourier de la señal a la salida del filtro se puede expresar como

Y(ejω) = H(ejω) X(ejω) = X(ejω) e-jωm (4.45)

lo que indica que la salida no es más que la señal de entrada retardada m muestras

y[n] = x[n-m] (4.46)

Cuando la respuesta frecuencial de un filtro en la banda de paso no es la ideal, la señal sufre unatransformación denominada distorsión lineal. En particular, si esta distorsión es debida a que el módulode la respuesta frecuencial no es constante en la banda de paso, esta transformación es denominadadistorsión de amplitud, mientras que si es debida a que la respuesta de fase no es lineal se habla dedistorsión de fase.

Aunque es posible acercarse tanto como se desee, al diseñar un filtro es inviable obtener una respuestafrecuencial sin distorsión de amplitud. Únicamente los filtros pasa todo tienen una respuestafrecuencial constante en módulo, pero precisamente por ello no son útiles como filtros ya que dejanpasar todas las componentes frecuenciales.


Afortunadamente, en lo que se refiere a la fase, sí es posible obtener filtros sin distorsión, es decir, confase lineal.

4.5.2 Propiedades de los sistemas de fase lineal

En este apartado se establecen las condiciones necesarias y suficientes para que un sistema causal conrespuesta impulsional real y función de transferencia racional tenga fase lineal.

Dado que la respuesta frecuencial de un sistema con respuesta impulsional real presenta simetríahermítica

H(e-jω) = H*(ejω) = |H(ejω)| e-jψ(ω) (4.47)

su respuesta de fase se relaciona con H(z) mediante la expresión

H(ejω)

H*(ejω) =

H(ejω)

H(e-jω) =

H(z)H(z-1)

|z=ejω= ej2ψ(ω) (4.48)

Se concluye entonces que, si la respuesta de fase del sistema ψ(ω) es lineal, la repuesta frecuencial delcociente de H(z) por H(z-1) corresponde a la de un retardo. Si la fase responde a la expresión linealgeneralizada

ψ(ω) = - αω + β + πk(ω) (4.49)

donde β es una constante de valor 0 o π/2, 2α es un número entero, y k(ω) es un entero dependiente

de ω que introduce los saltos de π debidos a los ceros simples de H(ejω), el doble de la fase ψ(ω) es la

función lineal

2ψ(ω) = 2β - 2αω + 2πk(ω) = 2β - 2αω

De este modo

H(z)H(z-1)

|z=ejω= e-j2β e-j2αω = ± e-j2αω

constituye la respuesta frecuencial de un retardo sin o con cambio de signo según β sea 0 o π/2,respectivamente. Por consiguiente, se puede escribir

H(z)H(z-1)

= ± z-2α (4.50.a)

H(z) = ± z-2α H(z-1) (4.50.b)


Esta condición exige cierta simetría a la respuesta impulsional de los sistemas de fase lineal. Enefecto, si se pasa al domino del tiempo la igualdad anterior se obtiene que

h[n] = ± h[2α - n] (4.51)

En particular, si la respuesta impulsional h[n] es causal, (h[n] = 0 para n<0), la relación (4.51) indicaque h[n] también debe valer cero para n>2α. Se deduce, por tanto, que los filtros causales únicamentepueden tener fase lineal si su respuesta impulsional es de duración finita (FIR). Por consiguiente, sufunción de transferencia toma la forma

H(z) = ∑k=0

M h[k] z-k (4.52)

donde

M = 2α = L - 1 (4.53)h[n] = ± h[M - n] = ± h[L -1 - n] (4.54)

y L es la longitud de la respuesta impulsional. Cuando la igualdad (4.54) es satisfecha con signopositivo se dice que la respuesta impulsional presenta simetría par, mientras que si el signo esnegativo se dice que muestra simetría impar.

La respuesta frecuencial de un filtro de fase lineal puede ser expresada como el producto de una función

real Hr(ejω) y un término que aporta la fase a excepción de los cambios de signo (saltos de π radianes),

los cuales están incorporados en Hr(ejω). En el caso de un sistema con simetría par en h[n] la

expresión es la siguiente:

H(ejω) = e-jαω Hr(ejω) (4.55.a)

donde Hr(ejω) es par en ω. En efecto, la simetría par de la respuesta impulsional permite escribir

H(ejω) = Fh[n] = Fh[2α - n] = e-j2αω H(e-jω)

Así, despejando Hr(ejω) en (4.55.a) y aplicando el resultado anterior, se obtiene

Hr(ejω) = ejαω H(ejω) = e-jαω H(e-jω) = Hr(e-jω)

lo que demuestra que Hr(ejω) es par. Ahora bien, dado el carácter hermítico de H(ejω), estas mismas

relaciones también pueden expresarse

Hr(ejω) = ejαω H(ejω) = e-jαω H(e-jω) = Hr*(ejω)

lo que establece el carácter real de Hr(ejω).


EJERCICIO 4.11: Demuestre que la respuesta frecuencial de lo filtros FIR de fase lineal con simetríaimpar en h[n] se puede expresar como

H(ejω) = je-jαω Hr(ejω) (4.55.b)

donde Hr(ejω) es una función real e impar en ω.♦

No deja de ser interesante observar que la paridad de la simetría de la respuesta impulsional es

trasladada a la función real Hr(ejω): si la simetría de h[n] es par, Hr(ejω) es par; por el contrario, si

h[n] presenta simetría impar, Hr(ejω) es impar.

4.5.3 Tipos de filtros FIR de fase lineal

Acaba de establecerse que la respuesta impulsional de los filtros causales con fase lineal ha de tenerlongitud finita y debe presentar simetría. De acuerdo con las paridades de esta simetría y de la longitudde su respuesta impulsional, los filtros FIR de fase lineal se clasifican en los siguientes 4 tipos, paralos que en la figura 4.15 se muestra un ejemplo de la apariencia de la correspondiente h[n]:

Tipo I: Simetría par y longitud imparTipo II: Simetría par y longitud parTipo III: Simetría impar y longitud imparTipo IV: Simetría impar y longitud par

... ...

n0

hI [n]......

n0

hII [n]

... ...

n

hIV [n]

... ...

n0

hIII [n]

Fig. 4.15 Ejemplos de h[n] para los cuatro tipos de filtros FIR de fase lineal

EJEMPLO 4.15: La función de transferencia de los ejemplos sencillos para cada uno de los cuatrotipos de filtros FIR cuya respuesta impulsional se presenta en la figura 4.15, son los siguientes:

Tipo I: H(z) = 1 + 1,5z-1 + z-2

Tipo II: H(z) = (1 + z-1) (1 + 1,5z-1 + z-2) = 1 + 2,5z-1 + 2,5z-2 + z-3

Tipo III: H(z) = (1 - z-2) (1 + 1,5z-1 + z-2) = 1 + 1,5z-1 - 1,5z-3 - z-4

Tipo IV: H(z) = (1 - z-1) (1 + 1,5z-1 + z-2) = 1 + 0,5z-1 - 0,5z-2 - z-3

♦


Como se ilustra en el siguiente apartado, la elección del tipo de filtro FIR de fase lineal tieneimplicaciones directas en el tipo de respuesta frecuencial. A la hora de diseñar un determinado filtro nopuede elegirse indiscriminadamente la longitud y la simetría de su respuesta impulsional.

4.5.4 Posición de los ceros en los filtros FIR de fase lineal

La condición (4.50.b) sobre H(z) para que la respuesta frecuencial presente fase lineal, aquí se repiteexpresada en función del orden del filtro M=2α:

H(z) = ± z-M H(z-1) (4.56)

Esta condición exige que, si c=rejθ es un cero no nulo de H(z), c-1=r-1e-jθ también ha ser un cero ya

que

H(z) z=c-1 = ± cM H(c) = 0

Los ceros reales de módulo unidad, esto es, los ceros en z=1 o en z=-1, son los únicos que no han depresentarse necesariamente emparejados, dado que son los inversos de sí mismos. Además, estos cerostienen un interés especial ya que su presencia viene forzada por el tipo de filtro FIR considerado. Enefecto, teniendo en cuenta (4.56), se establece para cada caso lo siguiente:

Tipo I: Es el único tipo de filtro que no fuerza la presencia de ningún cero determinado.

Tipo II: Debe tener un cero en z=-1 (ω=π), ya que M es impar y la simetría de h[n] par:

H(z) = z-M H(z-1) ⇒ H(-1) = (-1)-M H(-1) = - H(-1) ⇒ H(-1) = 0

Tipo III: H(z) se anula en z=1 (ω=0) y z=-1 (ω=π), ya que M es par y la simetría impar:

H(z) = - z-M H(z-1) ⇒ H( 1) = - ( 1)-M H( 1) = - H( 1) ⇒ H( 1) = 0H(z) = - z-M H(z-1) ⇒ H(-1) = -(-1)-M H(-1) = - H(-1) ⇒ H(-1) = 0

Tipo IV: Debe de tener un cero en z=1 (ω=0), ya que M es impar y la simetría de h[n] impar:

H(z) = - z-M H(z-1) ⇒ H( 1) = - ( 1)-M H( 1) = - H( 1) ⇒ H( 1) = 0

El carácter real de h[n], que obliga a que los ceros de H(z) estén acompañados por sus conjugados,juntamente con la condición de fase lineal, que exige la presencia de sus inversos, fuerza a que eldiagrama de ceros y polos de cualquier filtro FIR de fase lineal haya de presentar exclusivamente unacombinación de las disposiciones mostradas en la figura 4.16. Los ceros complejos no situados sobrela circunferencia unidad deben agruparse de cuatro en cuatro (simetría cuadrantal), para incluir losconjugados y los inversos. Los ceros reales con módulo distinto a la unidad han de formar parejas deinversos. En cuanto a los ceros sobre la circunferencia de radio unidad, si son complejos se emparejan


Plano z Im

Re

Plano z Im

Re

Plano z Im

Re

Plano z Im

Re

a) b)

c) d)

Fig. 4.16 Posición de los ceros en los filtros FIR de fase lineal. a) Ceros complejos, b) Ceros complejos

con módulo unidad, c) Ceros reales, d) Cero real con módulo unidad (1 en la figura, o -1)

con su conjugado que, simultáneamente, es su inverso; y si son reales pueden aparecer aislados, ya quetanto 1 como -1 son sus propios inversos y conjugados.

EJERCICIO 4.12: Mediante la opción "Respuestas impulsionales" del menú "Generación" de 62obtenga la h[n] con longitudes L=16 y 17 para los siguientes filtros:a) Paso bajo con frecuencia de corte 0,25.b) Paso alto con frecuencia de corte 0,2.c) Transformador de Hilbert con frecuencia central 0,25 y ancho de banda 0,15.Observe las respuestas impulsionales obtenidas e indique el tipo de filtro al que corresponde cadadiseño. Mediante la opción "Filtros FIR: Respuesta impulsional" del menú de "Datos" determine elsistema en cada caso y represente su respuesta frecuencial (módulo y fase) y su diagrama de ceros y

polos.♦


Las propiedades de los cuatro tipos de filtros FIR de fase lineal quedan resumidas en la tabla 4.2.Adviértase que los filtros FIR cuya respuesta impulsional muestra simetría impar siempre tienen uncero en z=1 (ω=0) y el término de fase β = π/2. Este tipo de simetría es la adecuada para obtenerderivadores y transformadores de Hilbert. Es interesante mencionar también que no puede diseñarse unfiltro elimina banda con orden impar, ya que dicho orden implica siempre la presencia de un cero enω=0 (centro de la banda de paso inferior) o en ω=π (centro de la banda de paso superior).

Tabla 4.2 Propiedades de los diferentes tipos de filtros FIR de fase lineal

Tipo defiltro FIR

Ceros forzados M(Nº de ceros)

longitudL=M+1

retardoα=M/2

fase β simetría deh[n]

I - par impar entero 0 par

II z=-1 (ω=π) impar par entero + 1/2 0 par

III z=1,-1 (ω=0,π) par impar entero π/2 impar

IV z=1 (ω=0) impar par entero + 1/2 π/2 impar

4.6 Problemas

PROBLEMA 4.1: Calcule la transformada z de cada una de las siguientes secuencias, indicando laregión de convergencia.

a) δ[n] b) δ[n-1]

c) δ[n+1] d) ( )12

n u[n]

e) - ( )12

n u [-n-1] f) ( )1

2

n u[-n]

g)

( )1

2

n + ( )1

4

n u[n] h) ( )1

2

n-1 u[n-1]

i) x[n] =

0 n ≤ 0

1 n = 1

2 n ≥ 2

j) ne-an (n≥0, a>0)

PROBLEMA 4.2: Sea x[n] una señal discreta con transformada X(z). Determine la transformada z decada una de las siguientes señales en función de X(z):a) ∆x[n], donde ∆ es el operador diferencia definido como ∆x[n] = x[n] - x[n-1]

b) x1[n] =

x [ ]n

2n par

0 n impar

c) x2[n] = x[2n]


1/3 1/2

Fig. P4.3

PROBLEMA 4.3: ¿ Cuáles de las siguientes h[n] pueden corresponder a una H(z) con el diagrama depolos de la figura P4.3?

a) h[n] = (1/3)n u[n] + (1/2)n u[n] b) h[n] = (1/3)n u[n] - (1/2)n u[-n-1]

c) h[n] = -(1/3)n u[-n-1] - (1/2)n u[-n-1] d) h[n] = -(1/3)n u[-n-1] + (1/2)n u[n]Indique la ROC en cada caso.

PROBLEMA 4.4: Considere el sistema causal cuya función de transferencia es

H(z) = 1 + b z-1

1 - a z- 1

Se pide:

a) Determine su respuesta a la excitación x[n] = ejωn u[n].

b) A partir del resultado anterior, razone que, si el sistema es estable (|a|<1), la respuesta a

x[n] = ejωn es y[n] = H(ejω)ejωn.

c) Compruebe que, si el sistema es inestable, la respuesta a x[n] = ejωn no conserva la forma de la

entrada.

PROBLEMA 4.5: Sea H(z) la función de transferencia de un sistema causal y estable del que se conoceque, si se excita con la secuencia de entrada

x[n] = cos(ω1n) + cos(ω2n)u[n], ω1 = π2

ω2 = π

la salida es:

y[n] = cos(ω2n)u[n] + A(-0,5)nu[n] + Bδ[n]

Se pide:a) Dibuje el diagrama de ceros y polos de H(z), indicando los valores numéricos.b) Obtenga la expresión de H(z), incluida la constante multiplicativa.c) Calcule el valor de les constantes A y B de y[n].d) Determine la respuesta completa al escalón u[n] con la condición inicial y[-1]=1/2.


- j 0,5

Im

Re

Plano z

- 0,5 0,5

j 0,5

2

Fig. P4.6

PROBLEMA 4.6: En algunas aplicaciones se necesita obtener la respuesta impulsional de un sistemareal a partir de su autocorrelación r[m] definida por la relación

r[m] = ∑k=-∞

∞ h[k] h[m+k] = h[m] * h[-m]

Para estudiar este problema y su solución se pide, supuesto que el sistema es causal y estable:a) Exprese la transformada z de r[m], R(z), en función de H(z), la transformada z de h[n].b) Dibuje el diagrama de ceros y polos de R(z), si H(z) tiene el diagrama de ceros y polos mostrado en

la figura P4.6 (todos los ceros y los polos son simples). Determine el ROC de R(z).c) Obtenga todas las H(z) cuya transformada inversa h[n] presente una autocorrelación r[m] con

transformada R(z) = 0.1z + 0.29 + 0.1z-1.

d) Calcule la función de transferencia H(z) y la respuesta impulsional h(n) de un sistema tal que

r[n] = 43

12

nu[n] + 4

32n u[−n −1]

⊕ z-1 z-1 ⊕

⊕

⊕

y[n]x[n]

bob1

-a1

-a2

b2

Fig. P4.7


PROBLEMA 4.7: Determine la función de transferencia del sistema cuya realización se muestra en lafigura P4.7. Si el sistema no se encuentra en reposo cuando se introduce la excitación, exprese latransformada de la secuencia de salida en función de la transformada de la secuencia de entrada y lascondiciones iniciales.

PROBLEMA 4.8: Considérese un filtro IIR cuya función de transferencia es

H(z) =

∑k=0

P bk z- k

1 + ∑k=1

P ak z- k

La relación que dicha H(z) supone entre las transformadas de las secuencias de salida Y(z) y de entradaX(z) puede expresarse como:

Y(z) = bo X(z) + z-1 b1 X(z) - a1 Y(z) + z-1 ( b2 X(z) - a2 Y(z) + … + z-1 (bP X(z) - aP Y(z)))

Obtenga la realización para el filtro digital que corresponde a la ordenación de operaciones establecidapor dicha expresión. Esta estructura se denomina forma canónica II.

PROBLEMA 4.9: Una de las muchas aplicaciones del filtrado digital es la reducción del nivel de ruidoque contamina una señal el filtro más sencillo para este propósito es el filtro promediador simple,definido por la ecuación

y[n] = 1L

∑k=0

L-1 x[n-k]

donde x[n] es la entrada al filtro e y[n] su salida. Partiendo de este filtro también se puede definir eldenominado filtro promediador por L1 y por L2, que consiste en disponer en cascada dos filtrospromediadores simples, el primero de los cuales promedia L1 muestras y el segundo L2 muestras.

Se pide:a) La respuesta impulsional del sistema.b) La expresión general de la H(z) del filtro promediador simple en forma compacta como cociente de

dos polinomios en z-1.c) Para L=5, represente el diagrama de ceros y polos del filtro promediador simple en el plano z y

dibuje de forma aproximada el módulo y la fase de su respuesta frecuencial, justificando cadaafirmación.

d) Repita el apartado anterior con L=8 y compare los resultados.e) Compruebe los resultados de los dos apartados anteriores mediante el programa 62.f) Obtenga la respuesta impulsional del filtro promediador por 5 y por 8 indicando el valor de cada

muestra y represente su respuesta frecuencial mediante 62.


PROBLEMA 4.10: En este problema se estudia una expresión sencilla para obtener analíticamente elmódulo de la respuesta frecuencial de un sistema real. Además de su sencillez, debe destacarse que norequiere el uso de álgebra compleja. Se pide:a) Obtenga el módulo de la respuesta frecuencial del sistema del ejemplo 4.14.b) Demuestre que para un sistema real se verifica

|H(ejω)|2 = H(z) H(1/z) z=ejω

y, aplicando ahora esta expresión, obtenga otra vez el módulo de la respuesta frecuencial delejemplo 4.14.

c) Compare desde el punto de vista operativo los procedimientos seguidos en los apartados a y b.

d) Demuestre que |H(ejω)|2 es una función del cosω si la función de transferencia del sistema es

racional.e) Justifique que es pasa todo el sistema con función de transferencia

H(z) = z-P D(z)D(1/z)

donde D(z) es un polinomio de grado P y tiene todas las raíces dentro del círculo de radio unidad.Bajo el supuesto de que el sistema sea causal, exprese su relación entrada-salida en función de loscoeficientes del polinomio D(z).

PROBLEMA 4.11: Dados los siguientes sistemas discretos

H1(z) = 1

1-bz-1H2(z) =

1-az-1

1-bz-1H3(z) =

a-z-1

1-bz-1

con a y b mayores que cero y menores que uno:a) Calcule las respuestas impulsionales hi[n].

b) Calcule la fase y el retardo de grupo del sistema 1.c) ¿Cuál es la diferencia en términos frecuenciales de los sistemas 2 y 3?d) Definiendo Ei[m] como

Ei[m] = ∑n=0

m hi2[n]

compruebe que E2[m] > E3[m] para m > 0.e) Mediante 62 observe h2[n] y h3[n] para a=1/3 y b=8/9.

PROBLEMA 4.12: De las funciones de transferencia representadas por sus diagramas de ceros y polosen la figura P4.12, ¿cuáles presentan el mismo módulo de la respuesta frecuencial?


1 2

4 5

3

Fig. P4.12

PROBLEMA 4.13: En la figura P4.13 se muestra el diagrama de ceros y polos de la función de

transferencia H(z) de un sistema cuya ROC es |z|>1/2. Sabiendo que la respuesta frecuencial H(ejω) a

ω=0 vale la unidad, se pide:a) Obtenga la salida y[n] cuando la entrada es x[n]=cos(πn).b) Obtenga la salida y[n] cuando la entrada es x[n]=cos(πn)u[n] y las condiciones iniciales son nulas.

Indique cuáles son los términos correspondientes a las respuestas libre y forzada del sistema.

- j 0,5

Im

Re

Plano z

- 0,5 0,5

j 0,5

Fig. P4.13


c) ¿Es H(z) de fase mínima? Determine la función de transferencia HInv(z) de su sistema inverso y

obtenga las respuestas impulsionales h[n] y hInv[n]. Compruebe, representando gráficamente la

convolución, que h[n] * hInv[n] = δ[n].

d) Indique el diagrama de ceros y polos de dos sistemas causales y estables diferentes que presenten elmismo módulo de la respuesta frecuencial que H(z).

e) Dibuje de forma aproximada las curvas de módulo y fase de H(ejω) en el intervalo 0≤ω≤2π,

destacando las características que se consideren más importantes. Compruebe la respuesta con elprograma 62.

PROBLEMA 4.14: Un igualador (ecualizador) es un sistema causal y estable que compensa ladistorsión introducida por otro sistema. Por ejemplo, si una señal ha sido distorsionada por un sistemacon función de transferencia H(z), el ecualizador ideal es aquél que, situado en cascada con el sistemadistorsionador, recupera salvo un retardo la señal original. Su función de transferencia He(z) verifica:

H(z) He(z) = z-m

La respuesta frecuencial de la combinación en cascada presenta módulo constante y fase lineal(ecualización en módulo y fase). En particular, si H(z) es de fase mímima, He(z) = HIn(z) con retardo

nulo. A partir de la expresión general (4.43) para la función de transferencia de un sistema cualquiera

H(z) = Hmin(z) Hcu(z) Hpt(z)

se pide:a) Si el sistema no tiene ceros en la circunferencia de radio unidad (Hcu(z) = 1), el ecualizador que

compensa perfectamente la distorsión producida por el módulo de su respuesta frecuencial

(|H(ejω) He(ejω)| = 1).

b) Demuestre que la distorsión producida por la presencia de ceros de transmisión en la circunferenciade radio unidad no puede compensarse. Interprete cualitativamente este resultado.

PROBLEMA 4.15: Se desea ecualizar acústicamente un punto de una sala mediante tratamiento digitalde la señal. Para ello, la señal de la fuente es filtrada por un ecualizador digital H(z) realizable (es decir,causal y estable) antes de alimentar el altavoz, tal como se ilustra en la figura P4.15-1.

AD/AFuente

Ecualizador

H(z)B

Sala

Fig. P4.15-1


El efecto de la sala se modela mediante G(z), función de transferencia equivalente entre el punto A y B;se considera la sala acústicamente ecualizada en módulo y fase en el punto B, si la función detransferencia entre la fuente y dicho punto es la unidad. Se pide:a) Calcule la expresión y la ROC de la función de transferencia H(z) del ecualizador que permite

ecualizar completamente (tanto en fase como en amplitud) la respuesta en el punto B, si la función

G(z) = 1+z-1 + 0.5z-2. Razone si dicho ecualizador es realizable.b) Repita el apartado anterior cuando G(z) = 1 + 2z-1 + 2z-2.c) Si sólo se desea ecualizar en amplitud la respuesta en B, proponga una H(z) que sea realizable para

el caso considerado en el apartado anterior (haga uso del resultado del problema 4.14). Obtengamediante el programa 62 el retardo de grupo de la función de transferencia entre la fuente y elpunto B.

En los casos en que la sala presenta respuestas acústicas G(z) de fase no mínima, es posible obteneruna ecualización completa, tanto en fase como en amplitud, haciendo uso de dos ecualizadores FIR ydos altavoces, tal y como se indica en la figura P4.15-2. Para ilustrar esta posibilidad considere elsiguiente ejemplo:

- Función de transferencia entre A1 y B: G1(z) = 1 + 2z-1 + 2z-2

- Función de transferencia entre A2 y B: G2(z) = 1 + z-1 + 2z-2

d) Obtenga la expresión de los ecualizadores FIR H1(z) y H2(z), cuyas respuestas impulsionales son

de longitud 2, que permiten ecualizar completamente la respuesta entre la fuente y el punto B.

AD/A

Fuente

Ecualizador

H (z)

B

Ecualizador

H (z)

1

2

AD/A

1

2

Sala

Fig. P4.15-2

PROBLEMA 4.16: En este problema se estudia el criterio de Schur-Cohn sobre la estabilidad desistemas discretos. Considérese el polinomio de grado P

D(z) = 1 + ∑i=1

P ai z-i


que es el denominador de la función de transferencia de un sistema causal. Como se sabe, el sistema esestable si todas las raíces di de D(z) se encuentran dentro del círculo de radio unidad; es decir, siverifican |di| < 1. Se pide:

a) Demuestre que es necesario, para que D(z) tenga todos sus ceros dentro del círculo unidad, que|aP| < 1.

b) Justifique que todo polinomio D(z) de grado P en z-1 tal que |aP| < 1 puede expresarse como

D(z) = d(z) + K z-P d(1/z)

donde la constante K viene dada por

K = aP

d(z) es un polinomio en z-1 de grado P-1

d(z) = 1 + ∑i=1

P-1 di z-i

cuyos coeficientes responden a la expresión

di = ai - K aP-i

1 - K2 i = 1, …, P-1

c) Demuestre que, para todo polinomio p(z) de grado n con todas las raíces dentro del círculo de radiounidad, la célula pasa todo

H(z) = z-n p(1/z)

p(z)

cumple que |H(z)| < 1 para |z| > 1; es decir, fuera de la circunferencia de radio unidad el polinomiop(z) satisface |p(z)| > |z-n p(1/z)|.

d) Pruebe que, para que D(z) tenga todas sus raíces dentro del círculo de radio unidad, es necesario que|K| < 1 y d(z) también tenga todas sus raíces dentro del círculo de radio unidad. (Sugerencia: paraprobar la segunda condición, suponga que d(z) tenga una raíz fuera de la circunferencia de radiounidad y evalúe la célula pasa todo construida con D(z) en dicha raíz).

e) Demuestre que, para que D(z) tenga todas sus raíces dentro del círculo de radio unidad, es suficienteque |K| < 1 y d(z) también tenga todas sus raíces dentro del círculo de radio unidad. (Sugerencia:haga uso del resultado del apartado c con el polinomio d(z)).

f) Justifique el siguiente procedimiento para examinar la estabilidad de un sistema causal cuyafunción de transferencia tiene como denominador el polinomio D(z). El sistema es estable si y sólosi en el siguiente proceso iterativo

DP(z) = D(z)


Di(z) = Di-1(z) + Ki z-i Di-1(1/z) i = P, …, 1

se verifica que |Ki| < 1 para todo i.

PROBLEMA 4.17: Dados los diagramas de ceros y polos de diferentes sistemas discretos mostrados enla figura P4.17, indique cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:

a) 1: fase lineal, 2: paso bajo b) 3: estable, 4: fase mínimac) 1: pasa todo, 3: fase lineal d) 2: paso alto, 4: fase lineale) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta

Fig. P4.17

en ∞1 2 3

4 5 6

Fig. P4.18

PROBLEMA 4.18: De los diagramas de ceros y polos de H(z) mostrados en la figura P4.18, ¿cuálespueden pertenecer a sistemas paso alto, de fase lineal, causales y estables?


PROBLEMA 4.19: En la figura P4.19 se proporciona el diagrama de ceros y polos de un sistemaestable, cuya respuesta al escalón unidad u[n] verifica

l im n → ∞

Tu[n] = 1

Se pide:a) La región de convergencia (ROC) de la función de transferencia del sistema. ¿El sistema es causal?b) La función de transferencia H(z) del sistema.

a 1/a

Fig. P4.19

c) La respuesta impulsional del sistema.d) Razone si la fase de la respuesta frecuencial del sistema es lineal o no.

5 Diseño de filtros 2 1 3

5. Diseño de filtros

5.0 Introducción

En este capítulo se estudian las técnicas más habituales para el diseño de filtros discretos en eldominio de la frecuencia. En el apartado 5.1 se establecen los parámetros que facilitan la especificaciónfrecuencial de un filtro digital; se define la función atenuación y se introducen los conceptos deselectividad y discriminación. En el apartado 5.2 se presentan las técnicas que proporcionan filtros conrespuesta impulsional finita (filtros FIR) de fase lineal; empieza con el enventanado de la respuestaimpulsional y el muestreo en frecuencia, métodos sencillos de extensa utilización, y finaliza con elmétodo de diseño óptimo que, para unas especificaciones dadas, requiere el menor orden. En el apartado5.3 se estudia el diseño de filtros con respuesta impulsional infinita (filtros IIR) mediante latransformación bilineal. El apartado 5.4 trata distintas alternativas para la realización de los filtros FIRe IIR, y presenta los correspondientes algoritmos. Finalmente, en el apartado 5.5 se realiza un análisiscomparativo entre los filtros FIR e IIR.

5.1 Filtrado en el dominio de la frecuencia

En general, cualquier algoritmo o sistema de tratamiento puede interpretarse como un filtro. Aquí seentiende por filtro aquel sistema lineal e invariante que permite el paso de las componentes de la señalexistentes en un determinado intervalo frecuencial, y elimina las demás. Idealmente, en el margen defrecuencias que se conservan, denominado banda de paso, el módulo de la respuesta frecuencial delfiltro toma un valor constante (habitualmente la unidad); en el intervalo frecuencial complementario,denominado banda atenuada, el módulo de la respuesta frecuencial es nulo; cuando el margenfrecuencial está fragmentado en varios intervalos, cada uno de éstos recibe el nombre de banda de pasoo atenuada según sea el comportamiento deseado. Los cuatro filtros básicos, desde el punto de vistaideal del comportamiento del módulo de la respuesta frecuencial, se ilustran en la figura 5.1. Según seala posición relativa de bandas de paso y bandas atenuadas, el filtro recibe el nombre de paso bajo, pasoalto, paso banda y elimina banda. El primero es transparente para las bajas frecuencias y elimina lasaltas; el filtro paso alto presenta el comportamiento complementario; el filtro paso banda cancela lasbajas y las altas frecuencias (bandas atenuadas inferior y superior), y conserva una banda determinada defrecuencias; el último, presenta bandas de paso en baja y alta frecuencia, y una banda atenuada en unmargen de frecuencias intermedio.


0 0,25 0,5f

1|H|

f0

c

5.1.a Respuesta ideal de un filtro paso bajo confrecuencia de corte fc

0 0,25 0,5f

1|H|

0

Bf

5.1.c Respuesta ideal de un filtro paso banda con

anchura Bf centrada en 0,25

0 0,25 0,5f

1|H|

f0

c

5.1.b Respuesta ideal de un filtro paso alto confrecuencia de corte fc

0 0,25 0,5f

1|H|

0

Bf

5.1.d Respuesta ideal de un filtro elimina banda

con ancho de banda eliminada Bf

Fig. 5.1 Módulo de la respuesta ideal en frecuencia de un filtro digital: a) paso bajo, b) paso alto, c) paso

banda y d) elimina banda.

La respuesta en frecuencia de un filtro se expresa generalmente en función de su módulo y de su fase.

H(ejω) = |H(ejω)| ejψ(ω) (5.1)

Se considera filtro ideal aquel que, a lo sumo, altera con un retardo constante e independiente de lafrecuencia una señal cuyo contenido espectral está en la banda de paso. Además, el filtro ideal eliminacompletamente una señal cuyo espectro está en la banda atenuada. En resumen, para que un filtro seaideal se precisa que su respuesta frecuencial tenga módulo constante y fase lineal en la banda de paso,al mismo tiempo que presenta módulo cero en la banda atenuada:

HI(ejω) = |HI(ejω)| ejψ(ω) (5.2.a)

|HI(ejω)| = 1 en las bandas de paso 0 en las bandas atenuadas (5.2.b)

ψ(ω) = - α ω + β + πk(ω) (5.2.c)

La función k(ω) toma valores enteros que indican los saltos de π radianes producidos en la fase por losceros de la respuesta en frecuencia. El retardo de grupo τg(ω) del filtro ideal es la constante real αexpresada en número de muestras:

τg(ω) = - ∂ψ(ω)

∂ω = α (5.3)


En este capítulo se tratan las técnicas de diseño que permiten obtener la función de transferencia H(z) ola respuesta impulsional h[n] correspondiente a uno de los cuatro filtros básicos mencionados. Elestudio se limita al diseño de filtros lineales, invariantes, causales, estables y que puedan describirsepor una ecuación en diferencias finitas de coeficientes reales y constantes. La señal de salida y[n] delfiltro, correspondiente a una señal de entrada x[n], se expresa en la ecuación

y[n] = ∑k=0

Q bk x[n - k] - ∑

k=1

P ak y[n - k] (5.4)

La muestra de la salida en el instante presente se obtiene por sustracción de dos términos. El primeroes una combinación lineal de la muestra actual en la entrada del filtro y las Q muestras de entradaanteriores. El segundo es una combinación lineal de las P muestras anteriores de la salida. Los Pcoeficientes ak y los Q+1 coeficientes bk, que forman un conjunto finito, son las incógnitas del

problema de diseño. La función de transferencia H(z) del filtro

H(z) = Y(z)X(z)

=

∑k=0

Q bk z- k

1 + ∑k=1

P ak z- k

(5.5)

está constituida por el cociente de dos polinomios en z-1. El polinomio numerador es de grado Q y eldenominador de grado P. El máximo entre ambos grados es el orden del filtro M = max(P, Q).

En el apartado 5.2 se consideran filtros no recurrentes. En este caso particular los coeficientes ak son

nulos en las ecuaciones (5.4) y (5.5). La respuesta impulsional del filtro tiene un número finito L demuestras distintas de cero, lo que da lugar a la denominación abreviada de filtros FIR (Finite ImpulseResponse). La función de transferencia de un filtro FIR es polinómica en z-1, y su orden es M=Q=L-1.Esto implica que el filtro tiene M ceros distribuidos en el plano complejo z y todos los polos en elorigen. Por ello suele hablarse de los filtros FIR como filtros solo ceros.

En el apartado 5.3 se tratan los filtros recurrentes cuya respuesta impulsional tiene longitud infinita ofiltros IIR (Infinite Impulse Response). Un filtro IIR tiene Q ceros y P polos distribuidos en el planocomplejo. La técnica de diseño que se presenta en este capítulo (la transformación bilineal)proporciona filtros con igual número de ceros y polos, con un orden M=P=Q.

Para que un sistema sea realizable debe ser causal y estable. En ningún caso el filtro diseñado puedetener una respuesta frecuencial ideal, como las ilustradas en la figura 5.1, ya que a todas ellascorresponde una respuesta impulsional no causal e inestable (véase el ejemplo 2.3). El filtro se diseñade modo que su función de transferencia responda a la expresión (5.5) y presente una respuestafrecuencial cuyo módulo se aproxime al ideal. En esta aproximación se permite una toleranciaalrededor del valor teórico unidad del módulo de la respuesta frecuencial en la banda de paso y sobre elvalor nulo en la banda atenuada. Además, se acepta una banda de transición entre la banda de paso y la


atenuada. El diseñador debe especificar una plantilla que plasme claramente las tolerancias máximasque debe tener el comportamiento frecuencial del filtro. Para ilustrar esta especificación se representaen la figura 5.2.a la plantilla correspondiente al caso particular de un filtro paso bajo. La banda de pasocomprende el margen frecuencial (0, fp), siendo fp la frecuencia correspondiente al límite superior de labanda de paso. La banda atenuada comprende el intervalo (fa, 0,5), siendo fa el límite inferior de labanda atenuada (mayor que fp en este caso). La banda de transición queda establecida por las frecuenciascomprendidas entre fp y fa, es decir, por el margen frecuencial situado entre la banda de paso y la bandaatenuada. Se indica una tolerancia ±δp en el comportamiento del módulo en la banda de paso y unatolerancia δa en la banda atenuada. En la misma figura 5.2.a también se representa el módulo de la

respuesta frecuencial de un eventual diseño que satisface las especificaciones. En trazo discontinuo serepresenta el módulo ideal a aproximar.

Generalmente, cuando se trabaja con filtros en el dominio de la frecuencia, se utiliza la función deatenuación α(ω) para representar el módulo de la respuesta frecuencial. La atenuación se mide endecibelios (dB) y se relaciona logarítmicamente con el inverso del módulo de la respuesta frecuencialsegún la ecuación


|H(ejω)|(5.6)

La función atenuación facilita el tratamiento de los sistemas conectados en cascada, ya que sustituye elproducto de respuestas frecuenciales por suma de atenuaciones. Al mismo tiempo expande el margendinámico de representación, lo que permite apreciar detalles que de otro modo pasarían desapercibidos.Por ejemplo, si el módulo de la respuesta frecuencial en la banda atenuada es muy pequeño, susvariaciones no serían observadas en una representación gráfica; la atenuación resuelve este problema.Obsérvese que en la definición de la función atenuación se hace uso de un factor Href de normalización

o referencia; se debe entender, por tanto, que la atenuación es una medida relativa a dicha referencia.

En la figura 5.2.b se representa la plantilla de especificación para la atenuación correspondiente a laplantilla del módulo de la figura 5.2.a. Se ha tomado como valor de referencia Href el valor máximo

0,5 f

1

|H|

1 + δ

1 - δ

δf f

a

p

p

p a 0,5 f

α

α

α

f f

a

p

ap

5.2.a Especificación para el módulo 5.2.b Especificación para la atenuación

Fig. 5.2 Plantillas de especificación para el módulo y la atenuación de un filtro paso bajo


1+δp del módulo de la respuesta frecuencial, por lo que la atenuación siempre es positiva. Latolerancia ±δp en la banda de paso se traduce en una atenuación αp máxima. La tolerancia δa en labanda atenuada se corresponde con una atenuación αa mínima. Los valores de αp y αa en función delas tolerancias permitidas se obtienen por aplicación de la fórmula (5.6) con la referencia Href = 1+δp.

En la figura también se muestra la atenuación correspondiente al diseño cuyo módulo se presenta en lafigura 5.2.a; en las frecuencias donde el módulo es máximo la atenuación se anula (ceros deatenuación), y donde el módulo es cero la atenuación se hace infinita (ceros de transmisión).

Se dice que un filtro es tanto más discriminante cuanto menores sean las tolerancias permitidas en cadabanda. Por otro lado, un filtro es tanto más selectivo cuanto más estrecha sea su banda de transición.Para un orden dado, los requerimientos de discriminación y selectividad son contrapuestos; fijado elorden del filtro, una mejora de discriminación implica un empeoramiento de selectividad, y viceversa.

EJEMPLO 5.1: En la figura 5.3 se presenta la atenuación de dos diseños FIR paso bajo de ordenM=30 con fc=0,25 y especificaciones distintas para la discriminación. En trazo continuo se representala atenuación para una especificación αa1=30 dB. En trazo discontinuo se representa la atenuación parauna especificación de discriminación más exigente α a2=50 dB. La banda de transición es,aproximadamente, ∆f1=0,05 en el primer caso y ∆f2=0,1 en el segundo. Obsérvese que al exigir mejordiscriminación (αa mayor) disminuye la selectividad (la banda de transición se ensancha); es decir que,

si se mantiene el orden del sistema, al mejorar la discriminación se empeora la selectividad.♦

Fig. 5.3 Atenuación de los filtros paso bajo (fc = 0,25) con el mismo orden del ejemplo 5.1


Al especificar la selectividad y la discriminación deseadas interesa no exceder los valoresimprescindibles para la aplicación en la que el filtro se utilice, a fin de que el orden (implicado en elcoste computacional de la realización del filtro) no sea mayor de lo necesario.

5.2 Diseño de filtros FIR

Un filtro FIR se caracteriza por tener una respuesta impulsional con longitud L finita. En lo quesigue se considera que el filtro es causal y su orden es M=L-1. Por tanto, las muestras de la respuestaimpulsional valen cero para valores del índice n negativos o superiores a M (h[n]=0 para n<0 y paran>M=L-1).

La señal de salida y[n] se obtiene mediante la ecuación de convolución o la ecuación en diferenciasfinitas (5.4), donde basta con limitar el número de coeficientes bk a L=M+1 y anular todos loscoeficientes ak:

y[n] = ∑k=0

M h[k] x[n - k] = ∑

k=0

M bk x[n - k] (5.7)

En la expresión (5.7) se identifican las muestras de la respuesta impulsional h[n] del filtro FIR con loscoeficientes bk de la ecuación en diferencias finitas que describen su funcionamiento:

h[n] = ..., 0, bo, b1, ..., bM, 0... (5.8)

Por consiguiente, el diseño de un filtro FIR de longitud L consiste en determinar su respuestaimpulsional h[n], de modo que se obtenga un comportamiento frecuencial acotado por lasespecificaciones de diseño. Las técnicas que se describen a continuación consideran solamente el diseñode filtros FIR de fase lineal (tipo I, II, III o IV, definidos en el capítulo 4 y cuyas propiedades seresumen en la tabla 4.2), por lo que la respuesta impulsional obtenida presenta simetría par o impar(véase la figura 4.15).

De acuerdo con las expresiones (4.55), la respuesta en frecuencia H(ejω) puede expresarse:

H(ejω) = |H(ejω)| ejΨ(ω) = Hr(ejω) ejφ(ω) (5.9.a)

como el producto de una función real Hr(ejω) por un término que incluye la fase lineal generalizada

φ(ω). De acuerdo con la simetría de la respuesta impulsional del filtro FIR, estas funciones satisfacen

simetría par: h[n] = h[L-1-n] Hr(ejω) = Hr(e-jω) φ(ω) = - αω (5.9.b)

simetría impar: h[n] = - h[L-1-n] Hr(ejω) = - Hr(e-jω) φ(ω) = - αω + π2 (5.9.c)


siendo α=M/2 el retardo de grupo del filtro.

La función real Hr(ejω) toma valores negativos en la banda atenuada del filtro debido a su oscilación

alrededor del valor ideal cero. Ello implica que el término de fase φ(ω) no incluye los saltos de πradianes debidos al cambio de signo que se produce en los ceros de transmisión. Estos saltos seincluyen en la fase Ψ(ω).

La plantilla de especificación de la función real Hr(ejω), para un filtro paso bajo, se muestra en lafigura 5.4.a. En la banda de paso se permite una tolerancia ±δp alrededor del valor nominal unidad. Enla banda atenuada, la tolerancia permitida es ±δa alrededor del comportamiento ideal nulo (en generalδa es muy inferior a δp; sin embargo, en la representación gráfica se han considerado valores similares

para poder apreciar el detalle). Se incluye en la misma gráfica un posible diseño que cumple laplantilla.

f

1

H

1 + δ

1 - δ

f f 0,5

δ

- δ

a

p

p

pa

r

0,5 f

α

α

α

α

α 1

2

a

pfp faa

5.4.a Especificación para Hr 5.4.b Especificación para la atenuación

Fig. 5.4 Plantillas de especificación para la función real Hr y para la atenuación de un filtro paso bajo

El módulo de la respuesta frecuencial |H(ejω)| es el valor absoluto de Hr(ejω), por lo que la relación

existente entre esta última y la función de atenuación es


|Hr(ejω)|(5.10)

Como valor de referencia Href, cuando se trabaja con filtros FIR, suele utilizarse la unidad. En estecaso, se especifica αp como la diferencia entre los valores máximo α2 y mínimo α1 de la atenuaciónen la banda de paso, y αa como la atenuación mínima en la banda atenuada, tal como se ilustra en lafigura 5.4.b. La relación entre estas especificaciones de la atenuación y las tolerancias δp y δa viene

dada por las expresiones:

Href = 1 (5.11.a)


αp = α2 - α1 = 20 log 1 + δp1 - δp

(5.11.b)

αa = - 20 log δa (5.11.c)

δp = 10

αp20 - 1

10

αp20 + 1

(5.11.d)

δa = 10

-αa20 (5.11.e)

En la figura 5.4.b se representa la atenuación del diseño de la figura 5.4.a. Los ceros de atenuación sonlas frecuencias donde el módulo de la respuesta frecuencial toma el valor de referencia unidad. Losvalores de la atenuación negativos en la banda de paso se corresponden con los del módulo de larespuesta frecuencial superiores a la unidad.

5.2.1 Enventanado de la respuesta impulsional

Uno de los métodos más simples para calcular los coeficientes de un filtro FIR es el enventanado de larespuesta impulsional ideal. La práctica IV trata esta técnica de diseño de filtros en su apartado IV.2.2.En él se definen las ventanas más usuales (rectangular, Hamming, Blackman y Kaiser) y susparámetros de diseño; además, se presentan las propiedades más significativas de los diseños que seobtienen. Ahora se ofrece la integración de lo allí aprendido con los nuevos conceptos sobre filtros defase lineal desarrollados en el capítulo 4.

La transformada inversa de Fourier de la respuesta frecuencial ideal que se desea obtener proporciona larespuesta impulsional ideal a enventanar. Cuando se trata del diseño de un filtro en el dominio de lafrecuencia mediante un sistema FIR de fase lineal, con una longitud L de la respuesta impulsionalh[n], la respuesta frecuencial ideal puede formularse como sigue con α = M/2 = (L-1)/2:

HI(ejω) = HIr(ejω) ejφ(ω) (5.12.a)

|HIr(ejω)| = 1 en las bandas de paso 0 en las bandas atenuadas (5.12.b)

φ(ω) = - α ω (+ π2

, si h[n] debe tener simetría impar) (5.12.c)

La respuesta impulsional hI[n] del filtro ideal

hI[n] = 12π ∫

-π

π

HI(ejω) ejωn dω (5.13.a)


tiene infinitas muestras no nulas (de valor absoluto decreciente con la inversa de la distancia entre elordinal n y la posición α de la muestra central) y no es causal ni estable. La respuesta impulsionalh[n] del diseño se forma con las muestras de hI[n] para los ordinales 0 ≤ n ≤ L-1. El filtro resultante

es de orden M=L-1. Para truncar la respuesta ideal se utiliza una ventana temporal v[n] cuyas muestrasson nulas para n<0 y n>L-1, de forma que

h[n] = hI[n] v[n] (5.13.b)

Como se establece en la práctica IV (apartado IV.2.2), para que el filtro obtenido mediante (5.13)conserve la fase lineal, la ventana v[n] debe presentar simetría central par, es decir:

v[n] = v[L-1 -n] (5.14)

La respuesta frecuencial H(ejω) del diseño alcanzado es una aproximación a la ideal, cuyo error depende

de la ventana utilizada y del orden M. Tal como se analiza en la práctica IV, el valor del error máximoen la aproximación es función exclusivamente de la forma de la ventana que se utiliza, ya que el errorproducido está directamente relacionado con la amplitud de los lóbulos secundarios de su transformada,amplitud que es independiente de la longitud de la ventana. Por otro lado, la anchura de la banda detransición del filtro, que se corresponde con la anchura del lóbulo principal de la transformada de laventana, es tanto menor cuanto mayor sea la longitud de la misma. Así puede decirse que cada formade ventana tiene una discriminación asociada, mientras que la selectividad del filtro se controlaeligiendo la longitud de su respuesta impulsional.

La ventana de Kaiser es una de las más utilizadas en el diseño de filtros, ya que es función de dosparámetros: β, que determina su forma, y su longitud L. El parámetro β permite controlar ladiscriminación del filtro, y la longitud L su selectividad. Las expresiones (IV.3) y (IV.4) de la prácticaIV proporcionan, respectivamente, β y L para satisfacer una atenuación mínima αa en la banda

atenuada y una anchura ∆f para la banda de transición:

β = 0,1102 (αa-8,7) αa > 500,5842 (αa-21)0.4 + 0,07886 (αa-21) 21 < αa ≤ 50 (5.15.a)0 αa ≤ 21

L = α a - 8

14,357 ∆f(5.15.b)

EJEMPLO 5.2: Se desea diseñar un filtro FIR paso alto de fase lineal, que además proporcione latransformación de Hilbert de la señal en su banda de paso (véase el ejercicio 2.10). Las especificacionesde atenuación del filtro son:

Banda de paso entre fp=0,2 y 0,5 con atenuación máxima αp=1 dB.Banda atenuada entre 0 y fa=0,1 con atenuación mínima αa=40 dB.

La respuesta frecuencial ideal del filtro es:


HI(ejω) = HIr(ejω) ejφ(ω)

HIr(ejω) = 1 para -0,5 ≤ f ≤ -(fa+fp)/2

0 para |f| < (fa+fp)/2 = 0,15 -1 (fa+fp)/2 ≤ f ≤ 0,5

φ(ω) = - M2 ω +

π2 en la banda de paso

La respuesta impulsional hI[n] de este filtro ideal es

hI[n] = cos( )π(fa+fp) ( )n -

M2 - (-1)ncos( )π

M2

π ( )n - M2

= cos( )0,3 π ( )n - 12,5

π ( )n - 12,5

Para generar h[n], el programa 62 requiere la frecuencia central fc y la anchura Bf de la banda de pasodel transformador ideal de Hilbert, las cuales, en función de los límites inferior fp1=0,15 y superiorfp2=0,5 de la misma, son

fc = fp1 + fp2 - fp1

2 = 0,325

Bf = fp2 - fp1 = 0,35

El filtro h[n] se obtiene enventanando la respuesta del filtro ideal hI[n] con una ventana v[n] que

proporcione la atenuación adecuada en las bandas de paso y atenuada. La atenuaciones mínimas en labanda atenuada αa que proporcionan las ventanas más usuales, rectangular, Hamming, Blackman y

Kaiser (β=3,3953), son 21, 53, 74 y 40 dB, respectivamente. Por tanto, pueden satisfacer laespecificación de 40 dB las ventanas de Hamming, de Blackman y de Kaiser. La longitud de la ventanase determina igualando la anchura del lóbulo principal con la banda de transición del filtro, que en estecaso es ∆f=fp-fa=0,1. En este ejemplo, se presenta el diseño proporcionado por la ventana de Kaiser, y

se dejan los demás como ejercicio; así, en (5.15.b) resulta una longitud L>22,28 muestras. Recuérdeseque la presencia de un término de fase de π/2 en la respuesta frecuencial del filtro implica simetríaimpar para h[n] y exige que H(z) incluya un cero en z=1. Por tanto, el orden del filtro debe ser impar:L=24 o M=23 ; un orden par forzaría la presencia de un cero adicional en z=-1 (véase la tabla 4.2) yharía imposible mantener la especificación paso alto.

En la figura 5.5 se ilustra la atenuación conseguida por el filtro FIR diseñado con esta ventana. Nóteseque la atenuación en la banda atenuada se ajusta, aproximadamente, al nivel especificado; sin embargo,en la banda de paso el nivel de atenuación está muy por debajo de 1 dB. Ello es debido a que losmáximos del error en la banda de paso y la banda atenuada son del mismo orden de magnitud, ya queambos provienen de la amplitud de los lóbulos secundarios de la transformada de la ventana; la cota delerror en la banda atenuada para alcanzar los 40 dB de atenuación δa = 0,00843 lleva asociado un errormáximo en la banda de paso δp = 0,00896. Se comprende que, cuando se hace uso de la técnica de


Fig. 5.5 Atenuación del filtro paso alto (transformador de Hilbert) del ejemplo 5.2

ventanas, generalmente ha de aceptarse un notable sobrecumplimiento de los requerimientos para labanda de paso. El retardo de grupo del filtro es igual a 12,5 muestras, constante en todo el margen

frecuencial.♦

El enventanado de la respuesta impulsional es una técnica sencilla para el diseño de sistemas FIR cuyarespuesta frecuencial aproxime cualquier respuesta frecuencial deseada. La única dificultad a considerares la obtención de la respuesta impulsional ideal del filtro, ya que la transformación inversa de larespuesta frecuencial especificada puede no resultar simple.

5.2.2 Muestreo de la respuesta frecuencial

Otra metodología simple para el diseño de filtros la ofrece el muestreo en frecuencia de la respuestaideal. El procedimiento asegura un error nulo para la aproximación en un conjunto finito defrecuencias equiespaciadas, aquéllas en las que se muestrea la respuesta frecuencial ideal.

La respuesta impulsional h[n] de longitud L muestras se obtiene por DFT inversa, con N=L, de unasecuencia frecuencial H[k] constituida por muestras de la respuesta frecuencial ideal. El muestreo serealiza en L frecuencias equiespaciadas en el intervalo [0, 1). Así, se define:


H[k] = HI(ejω)|ω=ωk=

2πL k

k = 0, ..., M=L-1 (5.16)

y la respuesta impulsional del filtro h[n] resulta:

h[n] = DFT-1 H[k] = 1L

∑k=0

M H[k] e

j2πL kn

n = 0, ..., M=L-1 (5.17)

La respuesta frecuencial H(ejω) del diseño toma, efectivamente, los valores especificados por el

muestreo. Sin embargo, el inconveniente del método reside en que carece de control del error que seproduce en el resto de frecuencias.

Si la longitud del filtro a diseñar es una potencia de dos (L=2l), la DFT inversa de la expresión (5.17)puede realizarse utilizando el algoritmo FFT. Debe advertirse, no obstante, que el beneficio que reportael recurso a la eficiencia de la FFT no puede aprovecharse en cualquier diseño. Recuérdese que un filtroFIR de fase de lineal de longitud par tiene una respuesta frecuencial con un cero forzado en el origen(sistema de fase lineal tipo IV) o en la frecuencia 0,5 (sistema de fase lineal tipo II), que lo haceinadecuado para determinadas características frecuenciales.

EJEMPLO 5.3: Se desea diseñar un filtro paso bajo, de longitud L=31 muestras (orden 30), medianteel método de muestreo en frecuencia, que cumpla las siguientes especificaciones para la selectividad:

Banda de paso de 0 a fp = 0,2.Banda atenuada de fa = 0,3 a 0,5.

El muestreo de la respuesta frecuencial ideal en frecuencias equiespaciadas fk=k/L proporciona la

secuencia H[k], que puede expresarse

H[k] = Hr[k] e- j L-1

2 2 πL k

donde Hr[k] toma valor unidad en la banda de paso y valor nulo en la banda atenuada. Para la banda detransición las muestras Hr[k] se eligen sobre la recta dada por

HIr(ej2πf) = 1 - f - fpfa - fp

fp ≤ f ≤ fa

De este modo resulta


Hr[k] =

1 para 0 ≤ k ≤ 6 y 25 ≤ k ≤ 30

3 - 1 0 k

31para k = 7, 8, 9

10k31

- 7 para k = 22, 23, 24

0 para 10 ≤ k ≤ 21

Si se realiza la DFT inversa de H[k] con 31 puntos, se obtiene la respuesta impulsional h[n] del filtro.Para juzgar el diseño alcanzado, se compara con un filtro del mismo orden y selectividad, obtenidomediante la ventana de Kaiser (β = 4,5335). En la figura 5.6 se muestran las atenuaciones de los dosfiltros; en trazo continuo se representa la atenuación del filtro diseñado por muestreo en frecuencia.Puede apreciarse que la discriminación del filtro de Kaiser es mucho mayor, ya que la atenuaciónsupera los 50 dB en la banda atenuada, mientras que el filtro diseñado por muestreo en frecuenciasolamente consigue unos 29 dB en el límite de la banda atenuada, donde ofrece mínimos relativos de la

atenuación que apenas superan los 42 dB.♦

EJERCICIO 5.1: En el ejemplo 5.3 se ha considerado la transición entre la banda de paso y la bandaatenuada mediante una recta. Existen múltiples alternativas posibles para realizar la transición, queproporcionan comportamientos diferentes en las bandas de paso y atenuada. En este ejercicio sepropone el uso de la transición con coseno realzado, comportamiento usado en transmisión de datos

Fig. 5.6 Atenuación de los filtros con mismo orden y selectividad del ejemplo 5.3


para evitar la interferencia intersimbólica. Diseñe, por el método de muestreo en frecuencia, un filtropaso bajo de orden 30 que satisfaga las siguientes especificaciones para su respuesta frecuencial:

Banda de paso de 0 a fp = 0,2.Banda atenuada de fa = 0,3 a 0,5.

Banda de transición entre 0,2 ≤ f ≤ 0,3 con HIr(ej2πf) = 12

(1 + cos π f - fpfa - fp

)

Compare la atenuación del nuevo diseño con la correspondiente al filtro diseñado en el ejemplo 5.3. Eldiseño se realiza con el programa 62 por el procedimiento siguiente:a) Se genera una secuencia de 31 muestras con los valores correspondientes a Hr[k], mediante la

opción "Editar secuencia" del menú "Generación" (véase la facilidad "rellenar").b) Se obtiene una segunda secuencia con los valores correspondientes al término de fase, acudiendo a

la opción "Exponencial compleja" del submenú "Señales".c) La secuencia H[k], producto de las dos anteriores, se alcanza por medio del "Tratamiento"

"Producto".d) La respuesta impulsional h[n] se determina haciendo uso de la "DFT inversa" con 31 puntos.e) Finalmente, en el entorno "Diseño de sistemas discretos" se obtiene la función de transferencia del

filtro diseñado mediante la opción "FIR: Respuesta impulsional" del menú "Datos".f) Las opciones de representación gráfica permiten analizar diferentes características del

comportamiento del filtro diseñado.♦

El diseño por muestreo en frecuencia es muy popular dada su sencillez. Presenta, sin embargo,importantes deficiencias. No es posible controlar directamente la amplitud del error. Tampoco seconoce un criterio estimativo del orden del filtro. Para conseguir un comportamiento ajustado a unaplantilla debe acudirse a una estrategia de ensayo y error tediosa, que en la mayoría de los casosproporciona un filtro de orden excesivo y que, incluso, no garantiza la existencia de solución.

5.2.3 Filtros óptimos: comportamiento con rizado de amplitud constante

La respuesta frecuencial que ofrecen los filtros diseñados mediante la manipulación directa delcomportamiento ideal (el enventanado de la respuesta impulsional o el muestreo de la respuestafrecuencial) presenta un error en las bandas de paso y atenuadas cuya amplitud crece en lasproximidades de las bandas de transición, tal como puede comprobarse en la atenuación de los diseñosde los ejemplos 5.2 y 5.3. Ello implica que el error producido no está repartido uniformemente a lolargo del eje frecuencial.

Del estudio del diseño de filtros analógicos es conocido que, especificadas selectividad ydiscriminación, la aproximación que requiere el menor orden posible para satisfacerlas (diseño óptimo),es aquella en la que los máximos del valor absoluto del error en la banda de paso son todos iguales, ylo mismo sucede en la banda atenuada: la aproximación de Cauer o elíptica; en otras palabras, la queexhibe un comportamiento con rizado de amplitud constante en ambas bandas, de modo que el errorpresenta alternativamente máximos y mínimos con el mismo valor absoluto δ. Este tipo de


comportamiento también resulta óptimo para los filtros FIR de fase lineal: para satisfacer unaselectividad y una discriminación dadas no existe un diseño de menor orden que el que presentacomportamiento con rizado de amplitud constante. Equivalentemente puede decirse que, fijados el ordeny la selectividad (o discriminación) del filtro, no puede obtenerse un diseño con mejor discriminación(o selectividad).

Para simplificar el estudio de las principales propiedades de los filtros óptimos y facilitar unaexplicación más clara, la exposición que sigue se refiere al caso de los filtros paso bajo tipo I, que nopresentan ceros con multiplicidad impar en las frecuencias 0 y 0,5. Los resultados alcanzados seextienden a otras situaciones posteriormente.

Considérese un filtro FIR de fase lineal paso bajo, con comportamiento de rizado de amplitudconstante, que presenta una discriminación y selectividad determinadas, es decir, una banda de paso de 0a fp y una banda atenuada de fa a 0,5, con tolerancias para el módulo ±δp y ±δa, respectivamente.

Supóngase también que la respuesta impulsional tiene longitud L impar (orden M=L-1) y presentasimetría par respecto a la muestra central (filtro de fase lineal tipo I):

h[M-n] = h[n] M = L-1 par (5.18)

Recordando que cada cero ha de venir acompañado de su inverso, y α = M/2, la función de transferenciaH(z) puede expresarse como

H(z) = bo ∏k=1

α (1 - ckz-1)(1 - c

-1k z-1) = (5.19)

= bo ∏k=1

α z-1(1 - ckz-1)(z - c

-1k ) = bo z-α ∏

k=1

α (z + z-1 - (ck + c

-1k ))

donde, si h[n] es real, el complejo conjugado de ck y su inverso también son ceros del sistema

(simetría cuadrantal). Así, al particularizar para la circunferencia de radio unidad, se obtiene la respuestafrecuencial

H(ejω) = Hr(ejω) e-jαω = bo e-jαω ∏k=1

α (ejω + e-jω - (ck + c

-1k )) =

= bo e-jαω ∏k=1

α (2cosω - (ck + c

-1k )) (5.20)

de donde

Hr(ejω)= bo ∏k=1

α (2cosω - (ck + c

-1k )) (5.21)


La función real Hr(ejω) resulta ser, en este caso, una función polinómica en cos(ω) de grado α, concoeficientes ki reales.

Hr(ejω) = Pα(cosω) = ∑i=0

α ki (cosω)i (5.22)

La relación entre los coeficientes ki y las muestras h[n] de la respuesta impulsional del filtro puede

establecerse tras tediosas manipulaciones, pero no es necesaria en el estudio que aquí se realiza.

De este modo, la respuesta frecuencial del filtro queda representada por el polinomio Pα(cosω), y el

problema de diseño ahora se refiere a la determinación de los coeficientes ki. El comportamiento idealdel filtro (que ha de aproximar Pα(cosω)) se representa por la función PI(ω), de valor unidad en la

banda de paso y valor nulo en la banda atenuada:

PI(ω) = 1 en la banda de paso 0 en la banda atenuada (5.23)

donde la banda de paso queda limitada al intervalo (0, ωp) y la banda atenuada al intervalo (ωa, π),siendo las tolerancias máximas permitidas al error δp y δa respectivamente. Se define el error

ponderado cometido por la aproximación como la función E(ω), diferencia ponderada entre elcomportamiento ideal y el obtenido por el filtro diseñado:

E(ω) = T(ω)(PI(ω) - Pα(cosω)) (5.24)

donde T(ω) es una función de ponderación que facilita la especificación de un error máximo distintopara la banda de paso y la banda atenuada:

T(ω) = K=δa/δp en la banda de paso 1 en la banda atenuada

(5.25)

Las funciones que describen el comportamiento ideal PI(ω), error ponderado E(ω) y la ponderación

T(ω), se definen solamente en las bandas de interés (banda de paso y atenuada), lo que deja uncomportamiento libre de restricciones en la banda de transición.

El diseño de un filtro óptimo puede plantearse de acuerdo con el siguiente procedimiento:preestablecidos el orden y la selectividad del filtro (M, ωp y ωa), se determina el polinomio Pα(cosω)

que proporcione la menor amplitud para la función de error ponderado E(ω) en las bandas de paso yatenuada (mayor discriminación posible). Esta optimización es equivalente a minimizar el máximo δdel error absoluto |E(ω)|; este criterio se denomina de error minimax o de Chebychev. Como demostróeste matemático ruso, la solución al problema presenta comportamiento con rizado de amplitudconstante.


Teorema de la alternancia. Considérese un filtro FIR de fase lineal tipo I (orden M=L-1 par) cuyarespuesta frecuencial H(ejω) puede descomponerse en el término de fase lineal y una funciónpolinómica de grado α=M/2, Pα(cosω). El filtro es óptimo si en las bandas de paso y atenuada la

función polinómica Pα(cosω) presenta comportamiento con rizado de amplitud constante y al menos

α+2 máximos del valor absoluto del error ponderado E(ω). En otras palabras, deben existir al menosα +2 valores ωi en las bandas de interés tales que si ω1<ω2< ...<ωα +2 se cumpla que

E(ωi)=-E(ωi+1) =±δ para i=1, 2, ..., (α+1), donde δ=max(|E(ω)|).

El número α+2 de frecuencias en las que se produce error máximo suele expresarse en función de lalongitud del filtro L. Para un filtro óptimo tipo I este número es (L+3)/2.

Una consecuencia del teorema de la alternancia es que en las pulsaciones ωp y ωa el error cometidoalcanza su valor absoluto máximo. En la gráfica de la figura 5.7 se muestra la función P7(cosω),

correspondiente a un filtro óptimo paso bajo de longitud L=15 (α=7). Se representa, en trazo grueso,la función PI(ω) en las bandas de interés. En la misma figura se incluye la función de error ponderadoE(ω). Los máximos del error absoluto δ (9 en total) se señalan en la curva correspondiente a P7(cosω)

con un punto superpuesto, y se contabiliza 4 en la banda de paso y 5 en la banda atenuada. δ es el

máximo del error en la banda atenuada y δ/K=δpδa

δ el máximo del error en la banda de paso. Si δ<δa,

entonces δ/K<δp; es decir, si se satisfacen por exceso las especificaciones en la banda atenuada, así

ocurre también en la banda de paso.

El teorema de la alternancia puede demostrarse con la siguiente argumentación. Considérese la funciónpolinómica de grado α Pα(cosω) con comportamiento de rizado de amplitud constante δp en la banda

de paso (0, ωp) y δa en la banda atenuada (ωa, π). Supóngase la existencia de otra función polinómicaQN(cosω) del mismo o menor orden (N≤α ) que tenga igual selectividad que Pα pero mejor

δ

−δ πω

E(ω)

ωωp a

1+δ/k

1- δ/k

δ−δ

P7

2δp

2δa ωπωp ωa

Fig. 5.7 Polinomio de orden 7 P7(cosω) con comportamiento de rizado de amplitud constante y error

ponderado E(ω) producido en las bandas de interés


ωωp

P7

Q7

ωa π

Fig. 5.8 Polinomios de grado 7 P7(cosω) y Q7(cosω), con comportamiento de rizado de amplitud constante,

igual selectividad y diferente discriminación.

discriminación (amplitud del rizado menor). A título de ejemplo, en la figura 5.8 se representan dospolinomios Pα y QN de grados iguales α=N=7. El polinomio diferencia

Dα(cosω) = Pα(cosω) - QN(cosω)

es, a lo sumo, de grado α, por lo que no puede tener más de α ceros. Sin embargo, si se cuentan lospuntos de corte entre ambos polinomios, se obtienen α+1 cruces en los que Dα es cero; se llega así al

absurdo de que un polinomio de grado α ha de presentar α+1 ceros. En el ejemplo de la figura 5.8 sehan marcado los 8 puntos de cruce. La única posibilidad es que Pα(cosω) y QN(cosω) sean el mismo

polinomio, en cuyo caso el polinomio diferencia es idénticamente nulo. Así, queda establecido quePα(cosω) es óptimo y único.

Los filtros FIR de fase lineal tipos II, III y IV ofrecen una respuesta frecuencial cuya función Hr(ejω)

no es polinómica. Por ejemplo, los sistemas tipo II presentan un cero en ω=π que fuerza la inclusión

de un factor multiplicativo F(ω)=cos(ω/2) en la respuesta Hr(ejω). En efecto, si HI(z) es la función detransferencia de un filtro tipo I y HII(z) de uno tipo II, se puede escribir

HII(z) = (1 + z-1) HI(z) (5.26.a)

con lo que se obtiene, para el sistema tipo II, que

Hr(ejω) = cos ω2

Pα(cosω) = cos ω2

∑i=0

α ki (cosω)i (5.26.b)

donde el grado del polinomio es α=L/2 - 1.

Para que el diseño de Hr siga siendo determinar Pα con el criterio minimax, basta con reformular la

función ideal a aproximar PI(ω) y la función de ponderación del error T(ω) de modo que se mantenga


para el error ponderado la exigencia de comportamiento con rizado de amplitud constante en las bandasde interés. En este caso, tomando:

PI(ω) =

1cos(ω/2)

en la banda de paso

0 en la banda atenuada(5.27.a)

T(ω) = Kcos(ω/2) en la banda de paso cos(ω/2) en la banda atenuada (5.27.b)

se obtiene, tal como se desea, que el error E(ω) ponderado en la aproximación de Pα(cosω) coincide

con el error en la aproximación de la respuesta frecuencial del filtro:

E(ω) = T(ω)(PI(ω) - Pα(cosω)) = K(1 - Hr(ejω)) en la banda de paso

- Hr(ejω) en la banda atenuada(5.28)

donde K=δa/δp. El teorema de la alternancia exige un mínimo de α+2 máximos del error absoluto para

obtener un diseño óptimo; este número, expresado en términos de la longitud de la respuestaimpulsional del filtro, ahora es L/2+1.

Tabla 5.1 Propiedades de los filtros FIR óptimos

Filtro tipo Longitud deh[n]L

Orden delpolinomio Pα

α

Hr(ejω) =F(ω)Pα(cosω)

φ(ω) Nº mínimo depuntos con error

abs. máximo

I Impar L-12

F(ω)=1 - α ω L+32

II Par L2

- 1 F(ω)=cos(ω2

) - α ω L2

+ 1

III Impar L-12

- 1 F(ω)=sen(ω) - α ω + π2

L+12

IV Par L2

- 1 F(ω)=sen(ω2

) - α ω + π2

L2

+ 1

En la tabla 5.1 se resumen las propiedades más significativas de la respuesta frecuencial de los cuatro

tipos de filtros con fase lineal. Se presenta la función Hr(ejω) en función del factor F(ω) y delpolinomio Pα(cosω), y la fase correspondiente. Se indica, además, en función de la longitud de la

respuesta impulsional h[n] del filtro, el número mínimo de puntos donde el error absoluto ha de tomarel valor máximo para que el diseño sea óptimo.

El diseño de los filtros FIR óptimos no admite una solución analítica. Para resolver el problema se hade recurrir a procedimientos numéricos iterativos. Se han propuesto diversos algoritmos para lograr el


diseño; de todos ellos, el método más utilizado es el debido a Parks y McClellan, ya que es el máseficiente computacionalmente. Se basa en el algoritmo de Remez y en el teorema de la alternancia paraencontrar las frecuencias donde se producen los máximos del error absoluto en las bandas de interés. Larespuesta frecuencial se obtiene por interpolación polinómica, y la respuesta impulsional por DFTinversa de la misma.

El método toma como parámetros fijos el orden del filtro M y las frecuencias límite de las bandas depaso y atenuadas (fp y fa si el filtro es paso bajo), calcula K=δa/δp y reformula δp=δ/Κ y δa=δ.

Seguidamente, el algoritmo entra en un proceso iterativo para minimizar el valor de δ. Debeverificarse a posteriori si los rizados en las bandas de paso y atenuadas del diseño alcanzado cumplenespecificaciones. En caso negativo deben replantearse las condiciones de diseño, ya sea incrementandoel orden del filtro o relajando la plantilla de especificaciones. Habitualmente la longitud L de la h[n| delfiltro se estima a partir de un reajuste de la fórmula de Kaiser obtenido por métodos empíricos:

L = -10 log(δp δa) - 13

14,602 ∆f(5.29)

donde δp y δa son las tolerancias aceptadas y ∆f es la anchura de la banda de transición. En el caso de

múltiples bandas de transición, ∆f ha de corresponder a la más estrecha de las existentes en la plantillade especificaciones.

El programa 62 realiza el diseño de filtros FIR de fase lineal mediante la aproximación con rizado deamplitud constante en la sección dedicada al "Diseño de sistemas discretos", mediante la opción"Filtro FIR: Respuesta frecuencial" del menú de "Datos".

EJEMPLO 5.4: Se desea diseñar un filtro FIR, de fase lineal, paso bajo, óptimo, que satisfaga lassiguientes especificaciones para la atenuación:

banda de paso de 0 a fp = 0,2 con atenuación máxima αp = 1 dBbanda atenuada de fa = 0,3 a 0,5 con atenuación mínima αa = 50 dB

Las amplitudes máximas para el rizado correspondientes a las atenuaciones especificadas se obtienenmediante las expresiones (5.11.d y e), con lo que resulta:

δp = 57,501128 10-3 δa = 3,1622777 10-3

Al aplicar la fórmula (5.29), la longitud estimada para la respuesta impulsional del filtro es 17muestras. Mediante la opción "Filtro FIR: Respuesta frecuencial" del programa 62 se diseña el filtroFIR óptimo con longitud L=17. Se comprueba que la atenuación del filtro no cumple la plantilla deespecificaciones. La longitud debe aumentarse y volver a diseñar el filtro. Con L=20 se obtiene unresultado perfectamente ajustado a las especificaciones de diseño; en este caso el filtro es tipo II. Laatenuación de este filtro se representa en la figura 5.9, donde se contabilizan 11 puntos de errorabsoluto máximo: 5 en la banda de paso (que corresponden a los máximos y mínimos de la


Fig. 5.9 Atenuación del filtro FIR óptimo del ejemplo 5.4

atenuación) y 6 en la atenuada (que son los mínimos absolutos de la atenuación). El retardo de grupo

es de 9,5 muestras.♦

EJEMPLO 5.5: Si el filtro del ejemplo anterior se diseñase haciendo uso de la ventana de Kaiser serequeriría β=4,5335 y M=30. Este orden es sensiblemente mayor que el precisado por el diseñoóptimo, por lo que éste aporta el beneficio de un retardo de grupo y un coste computacional menores.Debe señalarse, no obstante, que el diseño de Kaiser ofrece una atenuación menor en la banda de paso,aproximadamente αp=0,05 dB. El orden requerido por el diseño óptimo para satisfacer la mismaselectividad y discriminación que el diseño de Kaiser (fp=0,2, αp=0,05 dB; fa=0,3, αa=50 dB) es

M=28. Así queda evidenciado que la superioridad del método óptimo respecto a los demás es fruto enmayor medida del control que ofrece de las prestaciones del filtro diseñado, que de su carácter

matemáticamente óptimo.♦

EJERCICIO 5.2: Utilice el programa 62 para, por medio del método óptimo, realizar el diseño delfiltro paso alto, transformador de Hilbert, cuyas especificaciones sean las del ejemplo 5.2. Para elloseleccione en el menú "Tipo" la opción "Transformador de Hilbert"; las especificaciones de diseñodeben indicarse en la opción "FIR: Respuesta frecuencial" del menú "Datos". Repita el diseño,imponiendo una atenuación máxima en la banda de paso aproximadamente igual a la que proporciona

el filtro obtenido en el ejemplo 5.2. Haga un análisis crítico de los resultados.♦


Figura 5.10 Atenuación y diagrama ceros-polos del filtro paso banda del ejercicio 5.3


EJERCICIO 5.3: Diseñe un filtro paso banda, con el método óptimo, que satisfaga las siguientesespecificaciones:

fa1 = 0,15 αa1 = 40 dBfp1 = 0,20 fp2 = 0,35 αp = 1 dBfa2 = 0,40 αa2 = 25 dB

En la figura 5.10 se representa la atenuación del filtro resultante. Observe que la atenuación que seconsigue en cada una de las bandas se ajusta a la especificación de diseño sin que se produzca unsobrecumplimiento importante. En la misma figura se representa el diagrama ceros-poloscorrespondiente. En las bandas atenuadas los ceros se distribuyen sobre la circunferencia de radiounidad. En la banda de paso los ceros presentan una distribución alejada de la circunferencia de radiounidad, dada por agrupaciones formadas por ceros en el interior de la misma y sus inversos en elexterior que, al tiempo que proporcionan fase lineal, permiten conseguir el rizado de amplitud

constante deseado.♦

Un aspecto destacable del método de diseño descrito es que, formulando adecuadamente la respuestaideal y la función de ponderación, permite aproximar cualquier respuesta frecuencial con fase lineal,por lo que alcanza un error que presenta comportamiento con rizado de amplitud constante.

En las aplicaciones donde se requiere un filtro con comportamiento de fase lineal, la mejor solución esdiseñar un filtro FIR óptimo. Es la solución que requiere menor orden y que mejor se ajusta a lasespecificaciones de selectividad y discriminación.

5.3 Diseño de filtros IIR

En aquellas aplicaciones donde no es imprescindible disponer de una respuesta frecuencial con faselineal, suelen utilizarse filtros cuya respuesta impulsional tiene longitud infinita (filtros IIR). Suprincipal ventaja radica en que, para cumplir unas especificaciones determinadas, precisan de un ordensensiblemente inferior al requerido por un filtro FIR.

No es necesario desarrollar una teoría de la aproximación para los filtros IIR, ya que puedeaprovecharse en su diseño todo el conocimiento acumulado en el diseño de filtros analógicos. El filtroIIR óptimo, es decir, aquel que satisface una plantilla de especificaciones (una selectividad y unadiscriminación prefijadas) con el menor orden posible, se obtiene a partir de la aproximación de Cauero elíptica, que ofrece una atenuación con rizado de amplitud constante en las bandas de paso yatenuada.

Cuando se calcula la atenuación α(ω) de un filtro IIR, en la expresión (5.6) suele considerarse comovalor de referencia Href el valor máximo del módulo en la banda de paso. En este caso, la función deatenuación es no negativa. La plantilla de especificación del filtro fija una atenuación máxima αp en


la banda de paso y una atenuación mínima αa en la banda atenuada. La relación entre los límites parala atenuación αp y αa y las tolerancias permitidas al módulo δp y δa se expresa como sigue:

Href = 1 + δp (5.30.a)

αp = 20 log 1 + δp1 - δp

(5.30.b)

αa = 20 log 1 + δp

δa (5.30.c)

δp = 10

αp20 - 1

10

αp20 + 1

(5.30.d)

δa = (1 + δp) 10

-αa20 (5.30.e)

La relación entrada-salida de un filtro causal con respuesta impulsional infinita puede expresarsemediante la ecuación de convolución o la ecuación en diferencias finitas (5.4) que describe el sistema:

y[n] = ∑m=0

∞ h[m] x[n - m] = ∑

k=0

Q bk x[n - k] - ∑

k=1

P ak y[n - k] (5.31)

Su función de transferencia H(z) es

H(z) = ∑n=0

∞ h[n] z-n =

∑k=0

Q bk z- k

1 + ∑k=1

P ak z- k

= bo

∏k=1

Q ( )1 - ck z- 1

∏k=1

P ( )1 - dk z- 1

(5.32)

donde las constantes ak y bk son los coeficientes de filtro, y ck y dk sus ceros y sus polos,

respectivamente. Las expresiones (5.31) y (5.32) indican que el filtro queda igualmente determinadopor las infinitas muestras de la respuesta impulsional h[n], o por los Q+1 coeficientes bk y los Pcoeficientes ak (o Q ceros, P polos y bo). El orden M del filtro es el máximo entre P y Q(M = max(P,Q)). En el diseño de un filtro IIR se determina un conjunto de coeficientes ak y bk, de

modo que el módulo de la respuesta frecuencial o la atenuación verifiquen una plantilla deespecificación. De los diferentes procedimientos para el diseño de filtros IIR, en este texto se presentasolamente el que se basa en la transformación bilineal de un sistema analógico, por ser el másampliamente utilizado. Esta técnica ofrece una solución analítica al problema de diseño, aunque eldesarrollo de la misma excede la intención de este libro. En el programa 62 se dispone del diseño defiltros IIR mediante la transformación bilineal de las aproximaciones más difundidas: Butterworth,Chebychev, inversa de Chebychev y Cauer (filtros elípticos); el diseño se obtiene invocando la opción"Filtro IIR: Respuesta frecuencial" del menú de "Datos".


La función de transferencia H(z) del filtro discreto se obtiene a partir de la función de transferenciaHa(s) de un filtro analógico, mediante una transformación s=f(z) que proporciona una imagen

biunívoca adecuada del plano complejo s en el plano complejo z:

H(z) = Ha(s) | s = f(z) (5.33)

Así, H(z) toma los mismos valores que la función de transferencia del sistema analógico, que recibe elnombre de prototipo; la transformación debe ser elegida de modo que la región del plano s donde Ha(s)

presenta una determinada propiedad, se transforme en la región del plano z a la que se desea transferirdicha propiedad; por ejemplo, el intervalo del eje imaginario de s correspondiente a la banda de paso deHa(s) ha de transformarse en la banda de paso deseada en H(z). Concretamente, la función f(s) de

transformación debe cumplir las siguientes condiciones generales:1.- Relación biunívoca punto a punto entre el plano z y el plano s, es decir, la función de

transformación debe ser de orden 1.2.- La circunferencia de radio unidad en el plano z debe transformarse en el eje imaginario del

plano s; esto permite asociar entre sí el lugar geométrico de la frecuencia de ambos planos.3.- Todo punto situado en el interior de la circunferencia de radio unidad en z debe relacionarse con

un punto del semiplano izquierdo en s; de este modo se asegura que la transformación de undiseño analógico estable proporciona un sistema discreto estable.

La transformación que cumple todas las condiciones anteriores es la denominada transformaciónbilineal:

s = 1 - z- 1

1 + z- 1 (5.34)

Efectivamente, un punto en z se relaciona con un único punto en s, tal como exige la primeracondición. Además, un punto de z situado sobre la circunferencia de radio unidad tiene como imagen ens un punto con parte real nula:

z1 = ejω1 → s1 = 1 - e-jω1

1 + e-jω1 = j tan

ω12

= jΩ1 (5.35)

En consecuencia, la pulsación Ω del dominio analógico s queda relacionada con la pulsación ω deldominio discreto z mediante la expresión:

Ω = tan ω2

(5.36)

Así, el intervalo de ω comprendido entre -π y π radianes se transforma en la recta real Ω entre -∞ y ∞,como se ilustra en la figura 5.11.a para los intervalos positivos. Se satisface la condición 2.


0

π ω = 2 arctan(Ω)

0 ΩΩ

ω

5.11.a Transformación del eje frecuencial

Plano z jΩ Plano s

σ

5.11.b Transformación de z a s

1ω

ωr

1

1

z1

z2

s1

s2

2

1

Fig. 5.11 Relación entre el plano z y el plano s establecida por la transformación bilineal

Por último, un punto en el plano z de módulo r y fase ω2, z2 = r ejω2, tiene como única imagen en

el plano s:

s2 = r - e-jω2

r + e-jω2 =

r2 - 11 + r2 +2r cosω2

+ j 2r senω2

1 + r2 +2r cosω2 = σ2 + jΩ2 (5.37)

de modo que, siempre que el punto en el plano z tenga módulo r menor a la unidad, la parte real σ2 del

punto imagen en el plano s es negativa, como se ilustra en la figura 5.11.b. Se cumple la terceracondición.

El proceso de diseño de un filtro IIR mediante la transformación bilineal se resume en los siguientespasos:

1.- Transformación de las especificaciones para obtener las especificaciones del prototipoanalógico Ha(s): como H(z) toma los valores de Ha(s), se mantienen los límites αp y αa parala atenuación; sin embargo, los límites frecuenciales fp y fa se transforman en Ωp y Ωamediante

Ω = tan ω2

= tan(πf)

Esta transformación se ilustra en la figura 5.12 para un filtro paso banda.2.- Obtención del prototipo Ha(s) mediante las técnicas de diseño de filtros analógicos. Suele

utilizarse la aproximación elíptica o de Cauer, ya que requiere el menor orden por tenercomportamiento con rizado de amplitud constante en las bandas de paso y atenuada.

3.- Obtención de H(z) mediante la transformación bilineal:


H(z) = Ha(s) | s = 1 - z- 1

1 + z- 1

Nótese que el orden del filtro discreto obtenido es el mismo que el del filtro analógico de partida, yaque el número de ceros y polos se conserva en la transformación. La función de transferencia H(z)resultante es una función racional formada por el cociente de dos polinomios, numerador ydenominador, del mismo orden (M = P = Q).

π ω

Ω

Ω

ω1

Ω1Ω 2

ω2

Ω3

ω3

Ω 4

ω4

α

α

a

p

α α

a p

Fig. 5.12 Transformación de la plantilla de atenuación de un filtro paso banda digital a una analógica

mediante la transformación bilineal

EJEMPLO 5.6: Se desea diseñar un filtro paso bajo de primer orden con frecuencia de corte a 3 dBfc=0,2. Se parte del filtro analógico paso bajo de primer orden con función de transferencia dada por

Ha(s)=H Ωc

s+Ωc

cuya pulsación de corte a 3 dB es Ωc. Tras aplicar la transformación bilineal se obtiene la función de

transferencia del filtro discreto deseado

H(z) = Ha(s) | s = 1 - z- 1

1 + z- 1 = H1

1 + z- 1

1 - d z- 1

donde


Ωc=tan(πfc)=0,7265 H1=H Ωc

1+Ωc = 0,42 H d =

1-Ωc

1+Ωc = 0,1584

Se propone como ejercicio la comprobación de que |H(ej0)|2=2|H(ej0,4π)|2. Realice mediante elprograma 62 la representación gráfica del módulo de la respuesta frecuencial del filtro, y compruebe

que a la frecuencia fc se alcanza una atenuación de 3 dB.♦

El paso 2 del proceso de diseño exige el conocimiento de la teoría de la aproximación para filtrosanalógicos. En 62 se hallan programadas las aproximaciones paso bajo más habituales: Butterworth,Chebychev, inversa de Chebychev y elíptica o de Cauer; la segunda y la cuarta presentan rizado conamplitud constante en la banda de paso, las dos últimas lo hacen en la banda atenuada. Lasconfiguraciones paso alto, paso banda y elimina banda se obtienen mediante transformación defrecuencias. Como ya ha sido mencionado, la aproximación elíptica es, entre todas, la que requieremenor orden, por lo que es comúnmente utilizada cuando el principal interés se centra en minimizar elorden del filtro; sin embargo, su fase es la que más se aleja del comportamiento lineal entre lasdiversas aproximaciones. La aproximación inversa de Chebychev proporciona filtros con menordistorsión de fase que la aproximación elíptica a costa de aumentar ligeramente el orden. Laaproximación de Chebychev precisa igual orden que la inversa de Chebychev, pero su fase se comportaconsiderablemente peor. Finalmente, la aproximación de Butterworth es la que presenta una fase máspróxima al ideal para un orden dado, pero el orden que necesita para cumplir las especificaciones sueleser notablemente mayor al que requieren las demás.

Al respecto de la discusión anterior, debe tenerse en cuenta que la transformación bilineal produce unafuerte compresión no lineal sobre el eje frecuencial analógico. Este efecto produce, al realizar latransformación, una distorsión importante de la fase del filtro analógico (de por sí no lineal), lo queimplica que el filtro digital tiene en cualquier caso un comportamiento de fase peor que el prototipoanalógico. La relación entre el retardo de grupo del filtro digital τg(ω) y el del filtro analógico τag(Ω)

es:

τg(ω) = - dφ(ω)

dω = - dφa(Ω)

dΩ dΩdω = τag(Ω)

12

1

1+tan2(ω2

)(5.38)

EJEMPLO 5.7: Se desea obtener un filtro paso bajo IIR, cuyas especificaciones son las mismas queen el ejemplo 5.4:

banda de paso de 0 a fp = 0,2 con atenuación máxima αp = 1 dBbanda atenuada de fa = 0,3 a 0,5 con atenuación mínima αa = 50 dB

Para realizar el diseño del filtro se transforman, en primer lugar, las especificaciones frecuenciales fp yfa, con lo que se obtiene:

Ωp=tan(πfp)=0,7265425 Ωa=tan(πfa)=1,3763819


Fig. 5.13.a Atenuación de los filtros IIR paso bajo del ejemplo 5.7

A continuación se determina un prototipo analógico Ha(s) que cumpla la plantilla de especificacionesdefinida por αp, αa, Ωp, Ωa. Con la aproximación elíptica o de Cauer el filtro resultante es de orden

5. Si se utiliza la aproximación inversa de Chebychev se obtiene un filtro de orden 6. Por último, serealiza el cambio de variable de s a z mediante la transformación bilineal y se determina la función detransferencia H(z) (de orden 5 ó 6 según sea el prototipo elegido) del filtro discreto. La atenuación delfiltro elíptico de orden 5 se representa en la figura 5.13.a en trazo continuo; en la banda de paso estáajustada a la especificación de 1 dB; en la banda atenuada se alcanza una atenuación mínima de 67 dB,muy superior a los 50 dB especificados. En trazo discontinuo se representa la atenuación del filtroinverso de Chebychev de orden 6 que, a pesar de requerir un orden superior, satisface lasespecificaciones en la banda atenuada con mucha menos holgura (la atenuación mínima apenas superalos 53 dB).

La fase de ambos sistemas es no lineal. El retardo de grupo del filtro elíptico se representa en la figura5.13.b en trazo continuo; tiene un valor aproximado de 3 muestras en la parte baja de la banda de paso,y presenta fuertes variaciones cerca de la banda de transición. En trazo discontinuo se representa elretardo de grupo del filtro de orden 6 diseñado con la aproximación inversa de Chebychev; mucho mássuave, aún manteniendo un pico importante en la proximidad de la banda de transición. A efectoscomparativos, recuérdese que las mismas especificaciones se cumplen con el filtro FIR de fase lineal

óptimo del ejemplo 5.4, cuyo orden es 19 y tiene un retardo de grupo constante de 9,5 muestras.♦


Fig. 5.13.b Retardo de grupo de los filtros IIR paso bajo del ejemplo 5.7

EJERCICIO 5.4: Repita el diseño del ejemplo anterior utilizando otras aproximaciones. Compare las

atenuaciones obtenidas, así como el retardo de grupo producido y el orden del filtro requerido.♦

EJERCICIO 5.5: Diseñe un filtro paso banda IIR que cumpla las especificaciones exigidas en elejercicio 5.3:

fa1 = 0,15 αa1 = 40 dBfp1 = 0,20 fp2 = 0,35 αp = 1 dBfa2 = 0,40 αa2 = 25 dB

En la figura 5.14 se representa la atenuación del filtro resultante. Obsérvese que ahora las dos bandasatenuadas presentan la misma atenuación mínima, y existe entre ellas una relación de simetría forzadapor la transformación de frecuencias empleada en el diseño del prototipo analógico. Debe señalarse quelos requerimientos de la banda atenuada superior son cumplidos con un exceso notable. En la mismafigura se representa el diagrama ceros-polos del sistema. Los ceros se distribuyen en puntos de lacircunferencia de radio unidad correspondientes a frecuencias de las bandas atenuadas. Los polos sedistribuyen en el interior de la circunferencia de radio unidad, en las proximidades de las frecuenciascorrespondientes a la banda de paso.

Obtenga el retardo de grupo del sistema y su respuesta impulsional y compárelos con los

correspondientes del filtro FIR del ejercicio 5.3.♦


Figura 5.14 Atenuación y diagrama ceros-polos del filtro IIR óptimo paso banda del ejercicio 5.5


5.4 Realización de los filtros

Un aspecto fundamental a considerar en el diseño de un filtro digital es el coste computacional queexige. Este aspecto es determinante para aplicaciones en entornos analógicos. Se dice que el filtrotrabaja en tiempo real si es capaz de procesar los datos de entrada en un tiempo inferior a la cadencia demuestreo. A principios de los 80 aparecieron los primeros microprocesadores especializados enprocesado digital de señal, conocidos por µDSP (Digital Signal Processor). Los µDSP realizan unaoperación suma (a:=b+c)1 o una operación producto (a:=b*c) en un ciclo de instrucción, al igual queuna operación multiplicación-y-acumulación (MAC) (A:=A+b*c). La operación MAC acumula (suma)a la variable A el producto de las variables b y c, y asigna el resultado a la propia variable A. Es unaoperación fundamental en cualquier algoritmo de tratamiento digital de la señal. Los µDSP actualesson capaces de superar los 30 millones de operaciones MAC por segundo. Otro aspecto importante,aunque de menor relevancia, es la cantidad de memoria requerida para la realización del filtro.

En la figura 5.15 se recuerda la estructura directa para realizar un filtro FIR. En la misma figura, bajola denominación de algoritmo 1, se proporciona el programa que realiza la secuencia de operacionessimbolizada por el diagrama de bloques; se consideran operaciones básicas la suma, el producto y laoperación MAC, y se dispone de un elemento acumulador A sobre cuyo registro se efectúan todas lasoperaciones MAC. Se utiliza notación vectorial para simbolizar el almacenamiento en memoria de lasdiferentes variables. Así, la respuesta impulsional del filtro se conserva en el vector de dimensión Lh(i); i = 0, 1, ..., M=L-1. Si el filtro es causal, el vector h(i) es equivalente a la secuencia h[i]. Elvector x(i), de dimensión L, contiene la muestra de la señal de entrada y las correspondientes a la salidade cada retardador, que en este caso coinciden con muestras anteriores de la propia entrada. La relaciónque liga x(i) y x[n] es x(i):=x[n-i]; es decir, el primer elemento x(0) del vector contiene la muestraactual de entrada x[n], la segunda componente x(1) del vector contiene la muestra de entrada anteriorx[n-1], y así sucesivamente. Para evitar confusión en la nomenclatura, se utiliza el corchete [ ] para lassecuencias y el paréntesis ( ) para los vectores asociados.

Este algoritmo requiere 2L posiciones de memoria y un acumulador. Para cada nueva muestra de laentrada, realiza un producto y L-1 operaciones MAC; por tanto, el número total de operaciones es L.Si se utiliza un µDSP con un ciclo de instrucción de 100 ns, y un sistema de conversión A/D a8 kHz, podría utilizarse este algoritmo para realizar un filtro con L = 1250 muestras. Esta longitud esuna cota máxima teórica, ya que el procesador debe realizar operaciones adicionales de control debucles, copia de variables, etc. Nótese que, si la frecuencia de muestreo se duplica (16 kHz), lalongitud teórica máxima se reduce a la mitad.

El almacenamiento en memoria de los coeficientes del filtro se realiza con una precisión finita; esdecir, se produce inevitablemente cierto error de cuantificación. Esta circunstancia afectapotencialmente en mayor medida a los filtros IIR que a los FIR. Cuando un filtro IIR se diseña con

1 En la descripción de los algoritmos incluidos en el presente apartado se utiliza el símbolo := para indicar la

asignación de un valor a una variable.


z-1 z-1 z-1 z-1

⊕ ⊕ ⊕ ⊕

h[2]h[0] h[1] h[3] h[M]

y[n]

x[n-M]x[n-3]x[n]

ALGORITMO 1: Filtro FIR realización directa

M := L-1 ; orden del filtro

para i=0 hasta M repetir

h(i) := h[i] ; Inicialización del vector respuesta impulsional del filtro

x(i) := 0 ; Inicialización del filtro con condiciones iniciales nulas

fin

repetir para cada muestra de entrada

x(0) := x[n] ; lectura de la nueva muestra de señal de entrada

A := x(M)*h(M) ; inicialización del acumulador:

para i=0 hasta M-1 repetir

A := A + x(M-1-i)*h(M-1-i) ; cálculo de M operaciones MAC

x(M-i) := x(M-1-i) ; actualización del vector asociado a la entrada

fin

y[n] := A ; muestra de salida

fin

Fig. 5.15 Estructura y algoritmo para la realización de un filtro FIR

grandes exigencias de selectividad o discriminación, los polos de su función de transferencia se sitúanmuy cerca de la circunferencia de radio unidad. Pequeños errores en la cuantificación de los coeficientesak del denominador pueden tener como consecuencia que un polo pase al exterior de la misma, lo que

convierte un diseño estable en inestable. Por ejemplo, si se aumentan los requerimientos deselectividad y discriminación sobre los exigidos en el ejemplo 5.7 de modo que

fp = 0,25 αp = 1 dBfa = 0,30 αa = 80 dB

se precisa una aproximación elíptica de orden 8; si los coeficientes de este filtro se representan con 16bits en aritmética entera, el diseño se hace inestable, ya que un par de ceros del polinomio deldenominador de la función de transferencia se desplazan al exterior de la circunferencia de radio unidad.La realización del filtro mediante células elementales de orden 2 (o de orden 1) Hi(z) conectadas en

cascada facilita el control de la estabilidad. Una célula de orden 2 cuya función de transferencia sea

H(z) = bo + b1 z-1 + b2 z- 2

1 + a1 z-1 + a2 z- 2 (5.39)


es estable si satisface la condición

|a2| < 1|a1| < 1 + a2 (5.40)

EJERCICIO 5.6: Como se ha visto en el capítulo 4, un sistema causal es estable si sus polos estánen el interior de la circunferencia de radio unidad. Mediante la inversa de la transformación bilineal,transforme el denominador de H(z) de la expresión (5.39) de orden 2 en un polinomio en s, cuyos ceroshan de estar en el semiplano izquierdo o, lo que es lo mismo, todos sus coeficientes han de tener el

mismo signo. Utilice esta última propiedad para establecer la condición de estabilidad (5.40).♦

Considere la expresión de H(z) como combinación en cascada de sistemas Hi(z) de orden dos:

H(z) = ∏i=1

J Hi(z) = ∏

i=1

J b io + bi1 z-1 + bi2 z- 2

1 + ai1 z-1 + ai2 z- 2 (5.41)

El número de filtros de orden dos necesarios para realizar el filtro de orden M es J=M/2, si M es par; oJ=(M+1)/2, si M es impar. En este último caso suele considerarse en una de las células de orden 2 quelos coeficientes ai2 y bi2 son nulos (ai2=bi2=0). El diagrama de bloques de esta composición en

cascada se muestra en la figura 5.16. Cada una de las células de orden 2 realiza un par de polos y unpar de ceros. Si los polos o ceros son reales, pueden agruparse de dos en dos de forma más o menosarbitraria; si se trata de polos o ceros complejos, estos deben agruparse por pares complejosconjugados para que los coeficientes de cada función de transferencia sean reales. En cuanto a loscriterios para la agrupación entre ceros y polos para formar una célula de orden 2, debe decirse que sonfunción de la precisión y arquitectura del microprocesador, y quedan fuera del alcance de este texto.

x[n]=x [n]=y[n](z)H 2

[n]y1

[n]x2

[n]1 [n]xJ yJ(z)HJ(z)H1 [n]y2

Fig. 5.16 Estructura en cascada de un sistema de orden M en J sistemas de orden 2

Para obtener la respuesta de un filtro de orden M realizado por conexión en cascada de células de ordendos, se encadena la salida de cada uno de los filtros elementales con la entrada del siguiente; es decir, larespuesta de un filtro constituye la excitación del siguiente. La excitación del sistema forma la entradade la primera célula, mientras que la salida de la última es la respuesta del sistema.

EJEMPLO 5.8: El control independiente de cada cero y cada polo que ofrece la realización en cascadatiene una consecuencia importante al representar los coeficientes con precisión finita. En la figura 5.17se muestra en trazo continuo la atenuación del filtro elíptico del ejemplo 5.7 cuando los coeficientes de


Fig. 5.17 Atenuación de las realizaciones con aritmética entera (12 bits) del ejemplo 5.7

su función de transferencia ak y bk se representan en aritmética entera con 12 bits. En trazo

discontinuo se ofrece la atenuación cuando el filtro se realiza mediante la composición en cascada desistemas de orden 2 cuyos coeficientes aij y bij también se representan con aritmética entera de 12

bits. Se observa que en el primer caso la atenuación se desvía apreciablemente del valor teóricomostrado en la figura 5.13, por lo que se pierde el comportamiento con rizado de amplitud constante

en las bandas de paso y atenuada; no es así cuando se acude a la combinación en cascada.♦

A continuación se estudian las estructuras para la realización de un filtro IIR de orden dos cuya funciónde transferencia responda a la expresión (5.39). Los distintos algoritmos se describen en función delorden M, por lo que la generalización a órdenes superiores a 2 es inmediata.

La realización directa de la célula de orden 2 responde a la expresión

y[n] = ∑i=0

M=2 bi x[n-i] - ∑

i=1

M=2 ai y[n-i] (5.42)

cuyo diagrama de bloques descriptivo y algoritmo correspondiente se representan en la figura 5.18.

El algoritmo 2 utiliza 4M+2=11 posiciones de memoria y 1 acumulador. Realiza un producto y 2M=4operaciones MAC; en total 2M+1=5 operaciones por muestra de entrada.


⊕z-1

z-1⊕

x[n] y[n]bo

b1

b2

⊕z-1

z-1⊕

-a2

-a1

ALGORITMO 2: Filtro IIR realización directa

M := 2 ; orden del filtro

para i=1 hasta M repetira(i) := ai ; inicialización del denominador

fin

para i=0 hasta M repetirb(i) := bi ; inicialización del numerador

x(i) := 0 ; inicialización del vector asociado a la entrada

y(i) := 0 ; inicialización del vector asociado a la salida

fin


x(0) := x[n] ; lectura de la nueva muestra de señal de entrada

A := b(M)*x(M) ; inicialización del acumulador


A := A + b(M-1-i)*x(M-1-i) ; cálculo de operación MAC

A := A - a(M-i)*y(M-i) ; cálculo de operación MAC

fin

y(0) := A


x(M-i) := x(M-1-i) ; actualización del vector asociado a la entrada

y(M-i) := y(M-1-i) ; actualización del vector asociado a la salida

fin


fin

Fig 5.18 Estructura directa y algoritmo correspondiente para la realización de un filtro IIR de orden 2

Una estructura alternativa para la realización de la célula de orden 2 es la denominada estructuracanónica I, ilustrada en la figura 5.19, y que fue introducida en el capítulo 1. Responde a lasecuaciones:

v[n] = x[n] - ∑i=1

M=2ai v[n- i] (5.43.a)


y[n] = ∑i=0

M=2 bi v[n- i] (5.43.b)

El algoritmo 3 describe el cálculo de cada una de las muestras de la señal de salida. Este algoritmoutiliza 2M+3=9 posiciones de memoria y 1 acumulador. Realiza un producto y 2M=4 operacionesMAC; en total 2M+1=5 operaciones por muestra de entrada. En una célula de orden 2 consigue ahorrardos posiciones de memoria respecto a la estructura directa.

⊕ ⊕z-1

z-1⊕⊕

x[n] y[n]v[n] bo

b1

b2-a2

-a1

ALGORITMO 3: Filtro IIR realización canónica I



fin


v(i) := 0 ; inicialización del vector auxiliar

fin


x := x[n] ; lectura de la nueva muestra de señal de entrada

A := x ; inicialización del acumulador

para i=1 hasta M repetir

A := A - a(i)*v(i) ; cálculo de M operaciones MAC

fin

v(0) := A ; actualización del vector auxiliar

A:=b(M)*v(M) ; inicialización del acumulador


A := A + b(M-1-i)*v(M-1-i) ; cálculo de M operaciones MAC

v(M-i) := v(M-1-i) ; actualización del vector auxiliar a la entrada

fin


fin

Fig 5.19 Estructura canónica I y algoritmo correspondiente para la realización de un filtro IIR de orden 2


x[n] y[n]bo

v1[n]

v2[n]

b1

b2 -a2

-a1

z-1

z-1

⊕

⊕

⊕

⊕

ALGORITMO 4: Filtro IIR realización canónica II



v(i) := 0 ; inicialización del vector auxiliar v

fin


fin


x := x[n] ; lectura de la nueva muestra de señal de entrada

A := v(1) ; inicialización del acumulador

A := A + b(0)*x ; cálculo de operación MAC

y := A ; actualización de la variable asociada a la salida


A := v(i+1) ; inicialización del acumulador

A := A + b(i)*x ; cálculo de operación MAC

A := A - a(i)*y ; cálculo de operación MAC

v(i) := A ; actualización de la variable auxiliar v(1)

fin

A := b(M)*x ; inicialización del acumulador

A := A - a(M)*y ; cálculo de operación MAC

v(M) := A ; actualización de la variable auxiliar v(2)

y[n] := y ; la muestra de salida queda almacenada en la variable y

fin

Fig. 5.20 Estructura canónica II y algoritmo correspondiente para la realización de un filtro IIR de orden 2

En la figura 5.20 se muestra la estructura canónica II para la realización de la célula de orden 2 conmínimo número de retardos (véase el problema 4.8). Su funcionamiento responde a las ecuaciones


y[n] = bo x[n] + v1[n] (5.44.a)v1[n+1] = v2[n] + b1 x[n] - a1 y[n] (5.44.b)v2[n+1] = b2 x[n] - a2 y[n] (5.44.c)

El algoritmo 4 describe la secuencia de operaciones que determina las muestras de la señal de salida. Seutilizan 3M+2=8 posiciones de memoria y 1 acumulador. Se realiza un producto y 2M=4 operacionesMAC; en total 2M+1=5 operaciones por muestra de entrada. La estructura canónica II utiliza unaposición de memoria menos que la estructura canónica I. Nótese que la forma canónica II no realizaningún bucle (sin contar la inicialización del sistema) si el orden del filtro es 2, lo que significa unamayor eficiencia ya que no ejecuta funciones de control y gestión de bucle.

5.5 Análisis comparativo entre filtros FIR e IIR

La cuestión sobre qué diseño es mejor, un filtro FIR o un filtro IIR, no tiene fácil respuesta. Estadepende, en todo caso, de la aplicación para la que se diseña el filtro. A continuación se relacionanalgunas de las ventajas e inconvenientes de ambos tipos.

Los filtros FIR presentan dos ventajas fundamentales respecto a los filtros IIR. La primera es que unfiltro FIR puede ser diseñado con fase lineal, por lo que no presenta distorsión de retardo de grupo. Lasegunda es que un filtro FIR es inherentemente estable. Su función de transferencia es sólo ceros, locual asegura estabilidad, aunque se produzcan errores de precisión numérica en la representación de suscoeficientes. La principal desventaja de un filtro FIR frente a un filtro IIR proviene del elevado ordenque puede requerirse para cumplir las especificaciones, ya que crece linealmente con la selectividad. Losórdenes para los filtros FIR, utilizados en múltiples aplicaciones del tratamiento de señal, alcanzanfácilmente cientos de muestras, mientras que la misma plantilla de especificaciones difícilmenterequiere al orden de un diseño IIR que sobrepase la decena. En consecuencia la realización de unsistema FIR se hace más costosa, ya que implica una mayor carga computacional y una mayornecesidad de memoria disponible.

Lógicamente este inconveniente de los sistemas FIR se convierte en la principal ventaja de los filtrosIIR. Además, el orden requerido por un filtro IIR obtenido por transformación bilineal se calculapreviamente al diseño del filtro, lo que evita la reiteración de cálculos. Por contra, el orden de un filtroFIR debe reajustarse mediante diseños sucesivos, en un proceso de prueba y error que puede llegar a serlaborioso. Entre las desventajas principales de los filtros IIR se destaca la posible inestabilidadproducida por errores de cuantificación de los coeficientes del denominador de la función detransferencia, que pueden situar un polo fuera del círculo de radio unidad. La otra desventaja importantees la imposibilidad de conseguir una respuesta frecuencial con fase lineal.

En aplicaciones donde se precise fase lineal se intenta utilizar un filtro FIR, siempre que el ordenrequerido no sea excesivo.


En aplicaciones donde se precisan selectividades y discriminaciones muy elevadas suelen utilizarsefiltros IIR, ya que los filtros FIR exigen órdenes excesivos. Se consigue fácilmente una banda detransición abrupta (selectividad elevada) situando polos y ceros cercanos a la circunferencia de radiounidad, lo que implica el uso de un sistema IIR.

Debe considerarse, finalmente, como cuestiones fundamentales en la utilización de un filtro discretopara filtrar señal analógica en tiempo real, el tiempo de ejecución requerido y la cantidad de memoriadisponible por la arquitectura y tecnología que se utilice. En ambos factores radica la principal causa delimitación del margen de frecuencias en que los filtros discretos son de utilidad.

5.6 Problemas

PROBLEMA 5.1: En la figura P5.1 se muestra la respuesta frecuencial ideal HI(ejω) de un filtro paso

bajo, la transformada V(ejω) de la ventana v[n] que se ha utilizado en el diseño del filtro, y la respuesta

frecuencial del filtro resultante H(ejω), siendo H el valor de ésta en ω = 0 y ∆ω la anchura de la banda

de transición.

H

ω∆ωω

1

π/8-π/8ω ω= π/2p−ωp

1V(e )jω

∆ω

H(e )jωH (e )jωI

Fig. P5.1

¿Cuál de los siguientes resultados es correcto?:

a) H = 1, ∆ω = ωp + π4 b) H =

18 , ∆ω =

π8 c) H =

14 , ∆ω = 0

d) H = 116 , ∆ω =

π4 e) H = 1, ∆ω = ωp +

π8

PROBLEMA 5.2: Mediante 62 diseñe un filtro FIR de fase lineal, causal, que aproxime la respuestafrecuencial ideal cuyo módulo es

HI(ejω) = 1 |ω| ≤

π6

0π6 < |ω | ≤ π


Para ello use una ventana rectangular de longitud L=25 muestras. Repita el diseño con ventanastriangular y de Hamming de la misma longitud. Compare la respuesta frecuencial de los tres filtrosdiseñados.

PROBLEMA 5.3: Repita el problema 5.2 para un filtro elimina banda cuyo comportamiento ideal sea

HIr(ejω) =

1 |ω| ≤

π6

0π6 < |ω| <

π3

1π3 ≤ |ω | ≤ π

PROBLEMA 5.4: La señal analógica xa(t)=a(t)cos(2000πt) está limitada en banda en el margen

900 Hz≤ F ≤1100 Hz. Para recuperar la señal real a(t) se utiliza el sistema mostrado en la figura P5.4.a) Determine y esboce el espectro de las señales x[n] y w[n].b) Diseñe un filtro FIR paso bajo mediante una ventana de Kaiser de longitud 31 muestras, que

permita el paso de la señal a[n] con una atenuación inferior a 1 dB. Indique la atenuación mínimaconseguida en la banda atenuada y la anchura de la banda de transición.

c) Determine la frecuencia de muestreo del conversor A/D que permitiría eliminar la modulación de laseñal xa(t) sin necesidad del sistema de figura P5.4.

⊗x (t)

A/D D/AH(e ) jωx[n] w[n] v[n] a(t)^

cos(0,8πn)

Filtropaso bajo

Filtropaso bajo

F = 2500 Hzm

a

F = 2500 Hzm

Fig. P5.4

PROBLEMA 5.5: En este problema se va a contemplar la simulación digital de una línea de retardo.Considérese una señal x(t) que es muestreada a una frecuencia Fm = 2,5 kHz, con lo que se obtiene la

secuencia xa[n] =x(nT); si dicha señal x(t), tras pasar por una línea de retardo τ = 10-4 seg, es

muestreada a la misma frecuencia, se consigue la secuencia xb[n] = x(nT - τ). El filtro discreto Hτ(z)

que a la secuencia xa[n] responde con la secuencia xb[n - M], constituye una realización discreta de la

línea de retardo, donde M es el retardo adicional que introduce el filtro Hτ(z) por ser causal.Conceptualmente la obtención de xb[n - M] a partir de xa[n] puede expresarse según el esquema de la

figura P5.5. La secuencia xa[n] es interpolada por la relación N = 1/(τ.Fm) y la secuencia resultante

y[n] retardada una muestra y diezmada por la misma relación N. Se pide:


N H(z) z -1 Nx [n]a x [n - M]by[n]

Fig P5.5

a) Justifique el esquema propuesto y, supuesto ideal el interpolador, represente esquemáticamente laseñal interpolada y[n], indicando la posición relativa en la misma de las secuencias xa[n] y xb[n].

b) Haciendo uso de la técnica de ventanas (con ventana rectangular) para el diseño de filtros FIR,encuentre la respuesta impulsional h[n] del filtro interpolador del apartado anterior con longitud Limpar.

c) Compruebe que dicha respuesta impulsional verifica:

h [ ]L-12 ± i N = 0 para todo i ≠ 0

d) Represente gráficamente la convolución de la respuesta impulsional h[n] con la secuencia v[n]obtenida tras intercalar N-1 ceros entre dos muestras de la secuencia entrada xa[n] y

d.1 compruebe que, en la interpolación, la señal original xa[n] no es distorsionada;

d.2 averigüe cuáles son los elementos de h[n] que intervienen en la obtención de las muestras dela secuencia xb[n];

d.3 razone que dichos elementos de h[n] constituyen la respuesta impulsional hτ[n] de larealización digital Hτ(z) de la red de retardo;

d.4 determine el retardo M en función de L;d.5 exprese hτ[n] en función de h[n].

e) Exprese la respuesta frecuencial del sistema Hτ(z) en función de la respuesta frecuencial del filtro

interpolador H(z).f) Genere con el programa 62, haciendo uso de la ventana de Kaiser, la respuesta impulsional con

duración L=83 para el filtro interpolador, de modo que la atenuación en su banda atenuada sea comomínimo 50 dB. Obtenga el sistema Hτ(z) y represente el módulo y el retardo de grupo de su

respuesta frecuencial; justifique el resultado obtenido.g) Indique cuál sería la respuesta impulsional de la realización de una red que simula un retardo

τ = 3 10-4 seg.

PROBLEMA 5.6: Se desea filtrar la señal x(t) mediante un filtro digital elimina banda según elesquema de la figura P5.6:

a) Indique la misión de los filtros analógicos paso bajo H1 y H2 teniendo en cuenta que su frecuencia

de corte es 500 Hz.b) Si se desea eliminar la banda centrada en 50 Hz con un ancho de banda de 50 Hz, calcule la

respuesta impulsional ideal del filtro y compruebe su resultado con 62.


x(t)H(e )jω y(t)

H (jΩ)1^ H (jΩ)2

^D/A

= 1 kHzmF

A/D

= 1 kHzmF

Fig. P5.6

c) Con el programa 62 diseñe el sistema elimina banda anterior como filtro FIR de orden 30, pormuestreo en frecuencia. Compare la respuesta frecuencial de este diseño con la que se obtendría conel diseño óptimo del mismo orden.

PROBLEMA 5.7: Como se expone en el apartado 5.2.2 del texto, en el diseño mediante la técnica delmuestreo en frecuencia de un filtro paso bajo con fase lineal y respuesta frecuencial

HI(ejω) = e-jω(N-1)/2 |ω| ≤ ωc 0 ωc < |ω| ≤ π

la respuesta impulsional del filtro diseñado es obtenida mediante la DFT-1 de la secuencia

H[k] = HI(ejω)|ω=2πN k k = 0, …, N/2

H[N-k] = H*[k] k = 1, …, N/2

Se pide:a) Demuestre que si N es impar

H[k] =

e-j N-1

2 2 πN k 0 ≤ k ≤ Nfc, N(1-fc) ≤ k ≤ N-1

0 otro k

b) En el caso de que N sea par, justifique que la secuencia H[k] ha de tomarse como sigue:

H[k] =

e-j

N-12

2 πN k 0 ≤ k ≤ Nfc

- e-j N-1

2 2 πN k N(1-fc) ≤ k ≤ N-1

0 otro k

c) Repita el diseño del ejemplo 5.3 para un orden 29.

PROBLEMA 5.8: Si, de acuerdo con las expresiones 5.9, la respuesta frecuencial del filtro se escribeen la forma


Tabla P5.8 Propiedades de simetría de Hr(ejω) para los filtros FIR de fase lineal

Filtro tipo Hr(ejω) =F(ω)Pα(cosω)

ceros periodo simetrías

I F(ω)=1 - 2π Hr(ejω) = Hr(ej(2π-ω))

Hr(ej(π-ω)) = Hr(ej(π+ω))

II F(ω)=cos(ω2

) ω = π 4π Hr(ejω) = - Hr(ej(2π-ω))

Hr(ej(π-ω)) = - Hr(ej(π+ω))

III F(ω)=sen(ω) ω = 0, π 2π Hr(ejω) = - Hr(ej(2π-ω))

Hr(ej(π-ω)) = - Hr(ej(π+ω))

IV F(ω)=sen(ω2

) ω = 0 4π Hr(ejω) = Hr(ej(2π-ω))

Hr(ej(π-ω)) = Hr(ej(π+ω))

H(ejω) = Hr(ejω) ejφ(ω)

no es difícil advertir que en el problema anterior para N par la función ideal HIr(ejω) especificada es

HIr(ejω) = 1 0 ≤ ω ≤ ωc

0 ωc < ω < 2π- ωc -1 2π- ωc ≤ ω ≤ 2 π

Esta función no satisface simultáneamente su carácter par (por pertenecer a un filtro tipo II) y la

periodicidad con periodo 2π de H(ejω). En este problema se estudian las propiedades de simetría y

periodicidad de la función Hr(ejω) para los cuatro tipos de filtros FIR de fase lineal. Como se sabe,

esta función puede expresarse mediante

Hr(ejω) = F(ω) Pα(cosω)

donde Pα(cosω) es un polinomio real en cosω y F(ω) se proporciona en la tabla 5.1 (y se recuerda en

la tabla P5.8). Se pide:a) Justifique la información contenida en la tabla P5.8.

b) Obtenga un periodo de la función ideal HIr(ejω) del problema anterior para N par.

c) Determine la función ideal HIr(ejω) para el transformador de Hilbert del ejemplo 5.2.

d) Relacione los ceros en 0 ó π de Hr(ejω), según el tipo de filtro, con los cambios de signo

presentes en las funciones HIr(ejω) de los dos apartados anteriores.

PROBLEMA 5.9: Se le propone considerar la potencia de cálculo, medida en número de operacionesproducto-y-acumulación (MAC) por segundo (Nops), que se precisa para realizar el filtrado paso bajode una señal analógica trabajando con una frecuencia de muestreo Fm mediante un filtro FIR de fase


lineal. Haciendo uso del resultado del apartado a) del problema 3.10 y de la fórmula 5.29, pruebe queNops es proporcional a (Fm)2.

PROBLEMA 5.10: Se desea diseñar un derivador, cuya respuesta frecuencial idealmente es:

HDI(ejω) = jω e-jαω

Para ello, se obtiene su respuesta impulsional hD[n] a partir de la respuesta impulsional hPb[n] de un

filtro paso bajo mediante la expresión:

hD[n] = (-1)n ( hPb[n] )2 (P5.10)

En este problema se le pide que justifique la corrección del método de diseño propuesto y que observeel comportamiento de los derivadores obtenidos por su mediación. A tal fin:

a) Obtenga la respuesta frecuencial HD(ejω) del derivador en función de la respuesta frecuencial del

filtro paso bajo.

b) Determine la respuesta frecuencial HD(ejω) del derivador cuando la respuesta frecuencial del filtro

paso bajo responde a la expresión

HPb(ejω) = Hr(ejω) e-jL-12 ω

donde Hr(ejω) es una función real.

c) Justifique que, para obtener en la respuesta frecuencial del derivador el factor j (que implica untérmino de fase constante π/2), es necesario que L sea par.

d) Demuestre que, si Hr(ejω) corresponde a un filtro paso bajo ideal con pulsación de corte π/2, el

método de diseño propuesto proporciona un derivador ideal.e) Diseñe con 62 mediante la relación (P5.10) un derivador con respuesta impulsional de duración

L=10. Analice la influencia sobre la respuesta impulsional del derivador de la ventana utilizada enel diseño del filtro paso bajo de partida.

PROBLEMA 5.11: Un integrador analógico ideal se caracteriza por la función de transferenciaHa(s)=1/s. Un integrador digital con función de transferencia H(z) puede obtenerse mediante la

transformación bilineal, es decir

H(z) = K Ha(s) | s = 1 - z- 1

1 + z- 1 = K

1 + z-1

1 - z-1

a) Relacione la entrada x[n] del integrador digital con la salida y[n] mediante una ecuación endiferencias finitas. Determine K para integrar un función muestreada a intervalos ∆ de la variableindependiente.

b) Represente gráficamente el módulo y la fase de la respuesta frecuencial del integrador digital ycompárelos con los correspondientes a la respuesta frecuencial del integrador analógico.


c) Represente el diagrama de ceros y polos del integrador digital. Justifique que el sistema esinestable. ¿Que restricción impondría a la secuencia de entrada para evitar la inestabilidad de lasalida?

PROBLEMA 5.12: Se desea diseñar el filtro paso banda que se precisa en la conversión de frecuenciade muestreo descrita en el problema 3.11. Si la atenuación máxima permitida en la banda de paso es1 dB y se exige una atenuación mínima de 45 dB en la banda atenuada, diseñe con 62 el filtromediante la aproximación elíptica.Como opción alternativa al uso de un filtro paso banda en el proceso de conversión, pueden eliminarselas componentes subsónicas mediante un filtro paso alto con posterioridad a la conversión de lafrecuencia de muestreo, en la que ahora se precisa un filtro paso bajo. Analice esta opción y obtengalos filtros necesarios con el programa 62.En el problema 3.10 se estudia la potencia de cálculo requerida para la realización de un filtro discreto.Partiendo de los resultados allí establecidos, evalúe el coste computacional de las dos opcionescontempladas para llevar a cabo la conversión de la frecuencia de muestreo.

A B C D

0,7 1 1,7 2 2,7 3 3,7 4 F (kHz)

Fig. P5.13

PROBLEMA 5.13: Por un canal digital se transmite, muestreada a 8 kHz, una señal compuesta por lamultiplexión FDM de cuatro señales paso bajo, tal como se indica en la figura P5.13. A la salida delcanal se quiere recuperar la señal C en banda base con la frecuencia de muestreo mínima posible; paraello se hace uso de un filtrado paso banda y un diezmado. Se pide:a) ¿Cuál es el máximo factor entero de reducción de la velocidad de muestreo que se puede aplicar?

Dibuje, justificadamente, el espectro obtenido tras el filtrado y el diezmado.b) Con el programa 62, diseñe el filtro paso banda diezmador mediante la aproximación elíptica de

forma que deje pasar la banda donde se encuentra la señal C con una atenuación no superior a1,5 dB y rechace las restantes con una atenuación no inferior a 30 dB.

c) Repita el diseño anterior considerando la aproximación FIR óptimo. Compare los diseñosalcanzados en ambos apartados.

d) Compare los dos diseños anteriores con el filtro obtenido en el problema 3.15.

PROBLEMA 5.14: Una señal analógica x(t) está formada por la suma de dos componentes x1(t) yx2(t). La composición espectral de x(t) se muestra, de forma aproximada, en la figura P5.14. La señal

x(t) es de banda limitada a 40 kHz y se muestrea a 100 kHz para obtener la secuencia x[n]. Se deseasuprimir la señal x2(t) filtrando la señal x[n] con un filtro paso bajo. La distorsión permitida para el


F(kHz)0 20 40

|X|^|X |^

1

|X |^2

Fig. P5.14

módulo de X1(ejω) es de ±2% (δp=0,02) en el margen frecuencial comprendido entre 0 y 15 kHz. Porencima de 20 kHz el filtro debe tener una atenuación superior a los 40 dB (δa=0,01). Se pide:

a) Con ayuda del programa 62 diseñe el filtro FIR de fase lineal de menor orden posible, que cumplalas especificaciones deseadas. Compare la longitud del filtro diseñado con la que proporciona lafórmula 5.29.

b) Represente el módulo de la respuesta frecuencial y mida las tolerancias realmente conseguidas porel filtro en banda de paso y atenuada.

c) Diseñe otro filtro FIR, de la misma longitud que el anterior, mediante el método de ventanas conuna ventana de Hamming. Compare la respuesta frecuencial de los dos filtros.

d) Diseñe un filtro IIR, del menor orden posible, que cumpla las especificaciones frecuenciales dadasanteriormente. Compare la respuesta del filtro con la del filtro del apartado a).

e) Compare la complejidad de realización de los filtros FIR e IIR de los apartados a) y d). Para elloconsidere que el filtro IIR se realiza por conexión en cascada de células de orden 2. Tenga en cuentalos requerimientos de memoria y de cálculo para cada realización.

PROBLEMA 5.15: En el capítulo 3 se ofrece la traslación en frecuencia como aplicación de lainterpolación en el cambio de frecuencia de muestreo. Como ejemplo se considera una secuencia x[n]obtenida muestreando a 8 kHz un canal telefónico (banda entre 0,3 y 3,4 kHz), a partir de la cual sedesea obtener una versión muestreada a 48 kHz y[n] del canal telefónico trasladado a una frecuencia de16 kHz. Se pide:a) El diseño mediante 62 de un filtro elíptico paso banda para esta aplicación, si la variación máxima

de la atenuación permitida en la banda de la señal a conservar es 1 dB y la atenuación mínima delos alias a eliminar en la interpolación es 50.dB.

b) Las especificaciones y el diseño de los filtros necesarios en la versión alternativa del ejemplo 3.3.c) Aplicando los resultados establecidos en el problema 3.10, determine la potencia de cálculo

necesaria para realizar los filtros anteriores.

PROBLEMA 5.16: Una estructura utilizada en muchas aplicaciones de tratamiento de señal es ladenominada estructura en celosía (lattice), que se muestra en la figura P5.16-1 para un filtro FIR deorden 2. Se pide:


z-1

⊕

⊕

k1

k1z-1

⊕

⊕

k2

k2

x[n]

g2[n]

f1[n] f2[n] = y[n]

g1[n]

Fig P5.16-1

a) Analice la estructura de la figura P5.16-1 y determine la función de transferencia entre la entradax[n] y las salidas f2[n] y g2[n]; es decir, A2(z)=F2(z)/X(z) y B2(z)=G2(z)/X(z). Exprese B2(z) enfunción de A2(z).

b) Escriba un algoritmo que le proporcione las muestras de salida y[n] de un filtro FIR de orden 2realizado con la estructura en celosía. Compare el coste computacional de su algoritmo con el querequiere la realización directa del filtro FIR.

c) Determine las condiciones que deben cumplir las constantes ki (i = 1, 2) para que A2(z) sea de fase

mínima.d) El sistema inverso C2(z)=1/A2(z) tiene todos los ceros en el origen (coloquialmente se dice que es

un sistema sólo polos); demuestre que C2(z) puede realizarse con la estructura en celosía de la

figura P5.16-2. ¿Qué ventaja representa, desde el punto de vista de la estabilidad del filtro, laestructura en celosía respecto a la realización directa?

e) Escriba un algoritmo correspondiente a la realización con la estructura en celosía de un filtro sólopolos de orden 2. Compare su coste computacional con el correspondiente a la realización directadel mismo filtro.

f) Generalice la estructura de la figura P5.16-1 para obtener funciones de transferencia Ai(z) y Bi(z) deorden i. Exprese Ai(z) y Bi(z) en función de Ai-1(z), Bi-1(z) y ki. Pruebe por inducción la relaciónque liga Ai(z) con Bi(z).

g) Haciendo uso del resultado del problema 4.16, establezca las condiciones que han de cumplir loscoeficientes ki, (i = 1, …, P) para que AP(z) sea de fase mínima.

h) Escriba un algoritmo para calcular los coeficientes ki a partir de la respuesta impulsional del filtro

FIR de fase mínima a realizar.

z-1

k1

-k1z-1

k2

-k2

y[n]

g2[n]

f1[n]x[n] = f2[n]

g1[n]⊕

⊕

⊕

⊕

Fig P5.16-2

6 Señales aleatorias 2 6 1

6. Señales aleatorias

6.0 Introducción

En los capítulos precedentes se considera que las señales son perfectamente conocidas a priori, es decir,que se dispone del valor de cada una de las muestras de la secuencia; en una palabra, se trabajaexclusivamente con señales deterministas. No obstante, las señales de información y, por tanto, lamayor parte de las señales de interés en comunicaciones no están determinadas en los valores de susmuestras cuando se procede al diseño de los equipos y de los sistemas de transmisión; si lo estuvieran,¿cuál sería la información que aportarían? Por consiguiente, aunque las señales deterministas facilitanel estudio de los conceptos fundamentales del tratamiento de la señal, no constituyen un modeloadecuado para las señales involucradas en el intercambio de información. El modelo propuesto paraestas señales son los procesos aleatorios, motivo del presente capítulo.

Se comienza con la definición de procesos aleatorios discretos y se resume brevemente sucaracterización con especial énfasis en los procesos estacionarios, para pasar a considerar los procesoscomo entradas y salidas de sistemas lineales e invariantes. Se estudia a continuación la representaciónespectral de los procesos estacionarios, que facilita la unificación del estudio de las señalesdeterministas y aleatorias. El capítulo concluye con el problema de la estimación de los parámetrosque caracterizan un proceso a partir de una realización (ergodicidad); en concreto, se aborda laestimación de media, correlación y espectro.

6.1 Procesos aleatorios discretos

Un proceso aleatorio discreto es una secuencia de variables aleatorias y se representa mediante x[n,ζ]; nconstituye el ordinal de la secuencia y es un número entero, y ζ es un suceso aleatorio. Un procesoaleatorio x[n,ζ] también puede definirse como una regla que asigna una secuencia (realización) a todosuceso ζ : para n=n1 dado, la muestra x[n1,ζ ] es una variable aleatoria; para un suceso ζ=ζ1determinado, x[n,ζ1] es una secuencia concreta; para n=n1 y ζ=ζ1 fijos, x[n1,ζ1] es un número x1.

EJEMPLO 6.1: Consideremos un conjunto de jugadores (a, b, c, etc.) cada uno de los cuales disponede dos dados. Cada jugador agita los dados, los arroja sobre el tapete y anota la suma de los puntos


obtenidos en cada tirada. Se generan así las secuencias siguientes, cada una de las cuales proviene de unjugador:

a[n] = …, 11, 6, 7, 2, 8, 10, 4, 6, 5, 7, 8, …b[n] = …, 5, 8, 9, 4, 7, 8, 6, 12, 8, 9, 7, …c[n] = …, 7, 9, 10, 7, 9, 6, 8, 5, 7, 3, 7, …

etc.

El conjunto de secuencias constituye el proceso aleatorio. La secuencia correspondiente a un jugadorforma una realización del proceso. El valor de la suma de los dados en un determinado instante es unavariable aleatoria. La suma alcanzada por el jugador b en el instante n=3 es un número (4 en este

ejemplo).♦

En beneficio de la simplicidad, en lo sucesivo una señal aleatoria se indica mediante x[n], comocualquier señal discreta; del contexto debe deducirse si se trata de una señal determinista o aleatoria.

Un proceso queda totalmente caracterizado si se conocen las funciones de distribución conjunta

F(x1, x2, …xk; n1, n2, …nk) = Prx[n1] ≤ x1 , x[n2] ≤ x2 , …x[nk] ≤ xk

para todo k, o las correspondientes funciones de densidad de probabilidad. Sin embargo, en muchassituaciones es suficiente con conocer las funciones de orden 1 ó 2; o, incluso, basta con disponersolamente de sus momentos: la media

mx[n] = Ex[n] = ∫-∞

∞ x f(x; n) dx (6.1)

y la autocorrelación

rx[n1,n2] = Ex[n1] x*[n2] = ∫-∞

∞ x1 x2* f(x1, x2; n1, n2) dx1 dx2 (6.2)

donde E representa la esperanza matemática. La autocorrelación de un proceso proporciona lapotencia del mismo; en efecto:

rx[n,n] = Ex[n] x*[n] = E|x[n]|2 = Px[n] (6.3)

Relacionada con ambos momentos se define la autocovarianza

cx[n1,n2] = E(x[n1] - mx[n1]) (x*[n2] - mx*[n2]) = rx[n1,n2] - mx[n1] mx*[n2] (6.4)


Se dice que las muestras x[n1] y x[n2] están incorreladas si la autocovarianza del proceso es nula. Esta

condición es equivalente a que la autocorrelación venga dada por el producto de las medias

rx[n1,n2] = mx[n1] mx*[n2]

Se deja como ejercicio comprobar que, si las muestras de un proceso son independientes, también sonincorreladas.

EJEMPLO 6.2: Cuando la distribución conjunta de las variables aleatorias que constituyen lasmuestras del proceso es gaussiana, se dice que el proceso es gaussiano. La media y la autocovarianzacaracterizan completamente estos procesos, ya que determinan la densidad de probabilidad conjunta paracualquier orden. Concretamente, para los órdenes 1 y 2 puede escribirse

f(x; n) = 1

√2π cx[n,n] e-(x-mx[n])2 / 2cx[n,n] (6.5.a)

f(x1, x2; n1, n2) = 1

√(2π)2 |C| e-

12 x t C-1 x (6.5.b)

donde el vector x y la matriz (de covarianza) C son los siguientes:

x = ( )x1 - mx[n1]x2 - mx[n2] C = ( )cx[n1,n1] cx[n1,n2]

cx[n2,n1] cx[n2,n2]

Con esta notación matricial la expresión de la función de densidad de probabilidad puede generalizarsepara un orden k cualquiera. Aunque para los procesos en general la incorrelación de las muestras nosupone independencia entre ellas, puede comprobarse que, si las muestras de un proceso gaussiano

están incorreladas, son independientes.♦

EJEMPLO 6.3: Considérese el proceso

x[n,ζ] = A(ζ) ej(ω(ζ)n + θ(ζ))

donde A(ζ ), ω(ζ) y θ(ζ) son variables aleatorias independientes y θ(ζ) es equiprobable entre-π y π. Para un suceso ζ dado, la realización correspondiente es una componente frecuencial depulsación ω, amplitud A y fase θ determinadas; cada realización toma un valor distinto para estosparámetros, de acuerdo con sus correspondientes densidades de probabilidad. Prescindiendo porsimplicidad de la referencia explícita al suceso ζ y si f(ω) es la densidad de probabilidad de ω(ζ), lamedia de este proceso es

mx[n] = EA ej(ωn + θ) = EA Eej(ωn + θ) = EA ∫-∞

∞ f(ω) ejωn dω ∫

-π

π

12π ejθ dθ = 0


y su autocorrelación

rx[n1,n2] = EA ej(ωn1+θ) A* e-j(ωn2+θ) = E|A|2 Eejω(n1-n2)

En cuanto a su potencia, de acuerdo con (6.3) se obtiene

Px[n] = rx[n,n] = E|A|2

Como la media de este proceso es nula, la autocovarianza coincide con la autocorrelación.♦

Los conceptos de autocorrelación y autocovarianza pueden extenderse a muestras de procesos distintos.Así se definen la correlación cruzada

rxy[n1,n2] = Ex[n1] y*[n2]

y la covarianza cruzada

cxy[n1,n2] = E(x[n1] - mx[n1]) (y*[n2] - my*[n2]) = rxy[n1,n2] - mx[n1] my*[n2]

Se dice que están incorrelados aquellos procesos cuya covarianza cruzada es nula. Debe advertirse queesta denominación no coincide con la establecida para señales deterministas, que se indican incorreladascuando la correlación cruzada es cero.

EJERCICIO 6.1: Pruebe que dos procesos tales que las muestras de uno son independientes de las delotro (procesos independientes) son incorrelados. Demuestre que la autocorrelación de la suma de dos

procesos con media nula incorrelados es la suma de sus autocorrelaciones.♦

Cuando las propiedades de un proceso son independientes del origen de tiempos, se dice que el procesoes estacionario en sentido estricto. El proceso del ejemplo 6.1 es un proceso estacionario, ya que es desuponer que el resultado de las tiradas de dados no depende de cuál sea el ordinal que corresponde a cadatirada concreta. La estacionariedad implica que la función de densidad de probabilidad de orden 1 esindependiente de n, es decir, todas las muestras están equidistribuidas; en efecto, de acuerdo con lacondición de estacionariedad

f(x ; n) = f(x; n+no)

para todo no y, en particular, para no=-n

f(x ; n) = f(x; 0)

que es independiente de n. Del mismo modo se justifica que la densidad de probabilidad de segundoorden es función de la diferencia entre los ordinales de las muestras y no de sus valores concretos;puesto que para todo no puede escribirse


f(x1, x2; n1, n2) = f(x1, x2; n1+no, n2+no)

para no=-n2 se obtiene

f(x1, x2; n1, n2) = f(x1, x2; n1-n2, 0)

Como consecuencia de los resultados anteriores, se reconoce en (6.1) que la media del proceso esconstante y en (6.2) que la autocorrelación sólo depende de la diferencia entre ordinales:

mx[n] = mx (6.6.a)rx[n1,n2] = rx[n1-n2] (6.6.b)

Habitualmente la autocorrelación de procesos estacionarios se denota como rx[m], de forma que la

notación es común con la utilizada para las señales deterministas. En muchas situaciones de interéspráctico el cumplimiento de (6.6.a) y (6.6.b) es suficiente para obtener resultados útiles; un procesoque satisfaga (6.6) recibe el nombre de estacionario en sentido amplio. El proceso del ejemplo 6.3 esestacionario en sentido amplio, ya que media y autocorrelación verifican las condiciones (6.6). En losprocesos gaussianos la estacionariedad en sentido amplio implica la estacionariedad en sentido estricto.

EJEMPLO 6.4: En este ejemplo se propone un modelo para el error de operación producido en losmultiplicadores que intervienen en la realización de los sistemas caracterizados por ecuaciones endiferencias finitas. Considérese el producto de dos números reales a y b con valor absoluto menor quela unidad y que se representan con tres cifras significativas; su producto a.b también es un número realcon magnitud menor que uno, pero que precisa 6 cifras significativas para su representación; si esteproducto se redondea a tres cifras significativas, se obtiene el resultado c con un error ∆ = c-a.b. Heaquí algunos ejemplos:

a = 0,314 b = 0,862 a.b = 0,270668 c = 0,271 ∆ = 0,000332a = -0,487 b = 0,323 a.b = -0,157301 c = -0,157 ∆ = 0,000301a = 0,584 b = 0,732 a.b = 0,427488 c = 0,427 ∆ = -0,000488

Se razona fácilmente que el error está acotado por

- 12 10-3 ≤ ∆ ≤

12 10-3

Este resultado se extiende sin problemas al caso de que los números estén representados en binario con1 bit para el signo y N bits para la magnitud; en esta situación:

- 12 2-N ≤ ∆ ≤

12 2-N

En un multiplicador de un sistema discreto se realiza un producto para cada ordinal n, de modo que sepuede definir una secuencia de error de redondeo e[n]. Esta secuencia puede describirse


simplificadamente como un proceso aleatorio en el que las muestras son independientes entre sí (elerror de redondeo en una operación no está relacionado con los errores que se producen en las demás) yestán distribuidas uniformemente (todos los valores posibles para el error son equiprobables):

f(e) = 2N |e | ≤

12 2-N

0 para otro valor

Este proceso es estacionario en sentido estricto, pues la función de densidad de probabilidad de orden k

f(e1, e2, … ek; n1, n2, … nk) = ∏i=1

k f(ei)

es independiente del ordinal de las muestras. Se deja como ejercicio establecer que

me = 0 (6.7.a)

re[m] = 112

2-2N δ[m] (6.7.b)

Un proceso estacionario cuya autocorrelación es cero salvo para m=0, recibe el calificativo de

blanco.♦

EJERCICIO 6.2: Determine la densidad de probabilidad de orden 1 del proceso del ejemplo 6.1, sitodas las caras de los dados son igual de probables. Bajo el supuesto de que tiradas sucesivas sonindependientes entre sí, obtenga la densidad de probabilidad para un orden k cualquiera. Calcule media,

autocorrelación y autocovarianza.♦

6.2 Procesos y sistemas lineales e invariantes

Tomemos un proceso aleatorio x[n,ζ] como entrada a un sistema lineal e invariante con respuestaimpulsional h[n]. A una realización x[n,ζi] del proceso el sistema responde con

y[n,ζi] = x[n,ζi] * h[n] (6.8)

que es una realización del proceso de salida del sistema y[n,ζ]. Esta idea se ilustra en la figura 6.1.

y[n, ] = x[n, ] h[n]*ζζh[n]

x[n, ]ζ

Fig. 6.1 Procesos como entrada y salida de un sistema lineal e invariante


Si el proceso de entrada es estacionario en sentido estricto, el proceso de salida también es estacionarioen sentido estricto. En efecto, por ser invariante el sistema verifica que

T x[n+m] = y[n+m]

es decir, que el proceso y[n+m] está relacionado con x[n+m] de la misma manera que y[n] estárelacionado con x[n]. En consecuencia, si los procesos x[n+m] y x[n] tienen las mismas funciones dedistribución de probabilidad, y[n+m] e y[n] también.

La media de y[n] se calcula fácilmente. De acuerdo con la definición de media y del proceso a la salidadel sistema (6.8), puede escribirse

my = E x[n] * h[n] = E ∑k=-∞

∞ x[n-k] h[k]

que, intercambiando la esperanza matemática con el sumatorio, proporciona

my = ∑k=-∞

∞ h[k] E x[n-k] = ∑

k=-∞

∞ h[k] mx = mx ∑

k=-∞

∞ h[k] = mx H(z)|z=1 (6.9)

Análogamente, para la correlación cruzada entre los procesos a la entrada y a la salida se obtiene

rxy[m] = E x[n+m] y*[n] = E x[n+m] ∑k=-∞

∞ x*[n-k] h*[k] =

= ∑k=-∞

∞ h*[k] E x[n+m] x*[n-k] = ∑

k=-∞

∞ h*[k] rx[m+k]

y, finalmente, con el cambio de ordinal k por -k:

rxy[m] = ∑k=-∞

∞ h*[-k] rx[m-k] = rx[m] * h*[-m] (6.10.a)

En cuanto a la autocorrelación de la salida, la reiteración del proceso anterior proporciona

ry[m] = rxy[m] * h[m] = rx[m] * h*[-m] * h[m] = rx[m] * rh[m] (6.10.b)

donde rh[m] es la correlación de la secuencia determinista h[n]. Debe destacarse que la relación (6.10.a)

es formalmente idéntica a la expresión (2.39.a) que suministra la correlación cruzada entre entrada ysalida deterministas a un sistema lineal e invariante; la misma identidad formal se presenta entre lasexpresiones (6.10.b) y (2.39.b) que proporcionan la autocorrelación de la salida.


Las relaciones (6.9) y (6.10.b) justifican que, si el proceso a la entrada del sistema lineal e invariantees estacionario en sentido amplio (media constante y autocorrelación función de la diferencia m deordinales), la salida también presenta estacionariedad en sentido amplio.

EJEMPLO 6.5: Si un proceso estacionario z[n] se introduce como excitación del sistema lineal einvariante en el instante n=0, no se puede mantener que el proceso a la salida y[n] sea estacionario.Intuitivamente se razona que la excitación x[n] = z[n] u[n] no es un proceso estacionario, por lo quetampoco lo es la respuesta. Sin embargo, como se analiza a continuación, el proceso de salida adquiereel carácter estacionario asintóticamente.

La media del proceso y[n] se calcula sin dificultad

my[n] = E ∑k=-∞

∞ x[n-k] h[k] = E ∑

k=-∞

n z[n-k] h[k] = mz ∑

k=-∞

n h[k] (6.11.a)

al igual que su autocorrelación

ry[n+m,n] = E y[n+m] y*[n] = E ∑k=-∞

∞ x[n+m-k] h[k] ∑

i=-∞

∞ x*[n-i] h*[i] =

= E ∑k=-∞

n+m z[n+m-k] h[k] ∑

i=-∞

n z*[n-i] h*[i] =

= ∑k=-∞

n+m h[k] ∑

i=-∞

n h*[i] E z[n+m-k] z*[n-i]

que, en definitiva, resulta

ry[n+m,n] = ∑k=-∞

n+m h[k] ∑

i=-∞

n h*[i] rz[m-k+i] (6.11.b)

Se observa en las expresiones (6.11) que la dependencia con n de la media y la correlación apareceúnicamente en el límite superior de los sumatorios. Cuando n sea suficientemente grande para que enlos sumatorios de (6.11) intervengan todas las muestras de la respuesta impulsional del sistema, estadependencia desaparece y la salida se torna estacionaria. Este es el caso, por ejemplo, para sistemas

causales cuando n y n+m exceden la longitud de h[n].♦

EJERCICIO 6.3: A la entrada de un sistema cuya respuesta impulsional es

h[n] = an u[n]

con a real, se aplica en n=0 un proceso estacionario en sentido amplio, blanco, con media nula y

potencia σ2. Demuestre que la potencia del proceso de salida evoluciona de acuerdo con la expresión

siguiente


Py[n] = σ2 1 - a2(n+1)

1 - a2 u[n]

que, si el sistema es estable (|a|<1), alcanza un valor constante para n suficientemente grande.♦

z-1

z-1

⊕

⊕

x[n] ⊕

⊕

y[n]bo

b1

b2-a2

-a1⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

e1[n]

e2[n]

e3[n]

e4[n]

e5[n]

Fig. 6.2 Modelado del error de operación de los multiplicadores en la estructura canónica I

EJEMPLO 6.6: En este ejemplo se analiza el efecto de los errores de operación de los multiplicadoresen la respuesta de un sistema de orden 2 realizado mediante la estructura canónica I. Tal como seilustra en la figura 6.2, los errores se modelan como fuentes que se añaden tras el multiplicador. Si elmultiplicador opera números con N bits significativos y redondea el resultado al mismo número debits, cada fuente de error ei[n] puede considerarse como un proceso estacionario, de media nula y

correlación

ri[m] = 112

2-2N δ[m]

de acuerdo con (6.7.b). La contribución de la entrada x[n] y las fuentes de error a la salida del sistemapuede expresarse

y[n] = T x[n] + e4[n] + e5[n] + e1[n] + e2[n] + e3[n] == T x[n] + T e4[n] + e5[n] + e1[n] + e2[n] + e3[n] (6.12)

de modo que el ruido de operación a la salida resulta

s[n] = T e4[n] + e5[n] + e1[n] + e2[n] + e3[n]

Se observa que los errores de operación debidos a la parte no recurrente del sistema se añadendirectamente a la salida, mientras que los errores en la parte recurrente son previamente filtrados por elpropio sistema. Aunque difícilmente puede justificarse que las fuentes de error sean independientesentre sí, los resultados teóricos obtenidos bajo la hipótesis de que estén incorreladas concuerdan bien


con las observaciones empíricas; así, teniendo en cuenta (6.10.b), con fuentes incorreladas puedeescribirse

rs[m] = (r4[m] + r5[m]) * rh[m] + ∑i=1

3 ri[m] (6.13)

para lo que se ha hecho uso de que la autocorrelación de la suma de procesos independientes con medianula es la suma de sus autocorrelaciones (ejercicio 6.1). La potencia del error a la salida es

Ps = rs[0] = (2 rh[0] + 3) 112

2-2N

cuya comprobación se deja como ejercicio.♦

6.3 Representación espectral

La transformada de Fourier de la autocorrelación de un proceso x[n] estacionario

Sx(ejω) = F rx[m] (6.14)

recibe el nombre de densidad espectral de potencia del proceso. Para justificar esta denominación, debeconsiderarse en primer lugar que la transformada de Fourier inversa permite escribir

Px = E |x[n]|2 = rx[0] = 1

2π ∫-π

π Sx(ejω) dω (6.15)

es decir, la integración de Sx(ejω) proporciona la potencia del proceso. Pero, por otro lado, si

transformamos la relación (6.10.b) se obtiene la densidad espectral de potencia del proceso y[n] a la

salida de un sistema lineal e invariante con respuesta frecuencial H(ejω) a partir de la densidad espectral

del proceso a la entrada x[n]:

Sy(ejω) = Sx(ejω) |H(ejω)|2 (6.16)

De acuerdo con esta dependencia, si la respuesta frecuencial del sistema es la mostrada en la figura 6.3,la potencia del proceso a la salida es

Py = 1

2π ∫-π

π Sy(ejω) dω =

12π Sx(ejωo) Bω (6.17)


1B

ωπ

H

ω

ωo-π

Fig. 6.3 Respuesta frecuencial del filtro paso banda que facilita la interpretación de

la densidad espectral de potencia.

que, para Bω suficientemente pequeña, puede considerarse la potencia del componente frecuencial ωopresente en el proceso de entrada, ya que el filtro sólo responde a esta componente. De este modo,

Sx(ejω) puede interpretarse como indicación de la distribución de potencia en función de la frecuencia.

De la expresión (6.17) se deduce también que

Sx(ejω) ≥ 0

ya que la potencia Py, por definición, es no negativa.

Es muy importante llamar la atención sobre el hecho de que los conceptos de correlación y densidadespectral unifican el estudio del filtrado de las señales deterministas y los procesos aleatoriosestacionarios. A este respecto, debe notarse la identidad formal de la relación (6.16) con la expresión(2.39.c), que proporciona la densidad espectral de potencia de la salida de un sistema lineal e invariantea partir de la densidad espectral de la entrada y la respuesta frecuencial del filtro.

EJERCICIO 6.4: Las propiedades de la correlación y la densidad espectral de procesos estacionariosson totalmente paralelas a las ya establecidas para las señales deterministas. Demuestre que lacorrelación cruzada de procesos conjuntamente estacionarios verifica

rxy[m] = ryx*[-m]

de modo que la distancia entre los mismos puede expresarse como

Dxy = E |x[n+m] - y[n]|2 = rx[0] + ry[0] - 2 Re rxy[m]

Obsérvese que dos procesos conjuntamente estacionarios reales son iguales con probabilidad 1 si

rx[0] = ry[0] = rxy[0]

Pruebe que la autocorrelación de un proceso estacionario cumple que


rx[m] = rx*[-m]

En consecuencia, la densidad espectral de potencia es real; además, si el proceso es real, su

autocorrelación y la densidad espectral son pares.♦

EJEMPLO 6.7: La autocorrelación del proceso

x[n,ζ] = A(ζ) ej(ω(ζ)n + θ(ζ))

donde A(ζ ), ω(ζ) y θ(ζ) son variables aleatorias independientes y θ(ζ) es equiprobable entre-π y π, se determina en el ejemplo 6.3:

rx[m] = E|A|2 Eejωm = E|A|2 ∫-∞

∞ f(ω) ejωm dω

donde f(ω) es la densidad de probabilidad de la variable aleatoria ω(ζ). La definición de densidadespectral de potencia permite escribir

Sx(ejω) = 2π E|A|2 f(ω)

que relaciona la densidad espectral de potencia con la probabilidad de un determinado componente

frecuencial.♦

EJEMPLO 6.8: La densidad espectral de potencia permite describir con sencillez el efecto del muestreode un proceso aleatorio analógico estacionario x(t) para obtener una señal discreta

x[n] = x(nT)

La autocorrelación de x[n]

r[m] = Ex[n+m] x*[n] = Ex(nT+mT) x*(nT) = rx(mT)

resulta del muestreo de la autocorrelación de la señal analógica. En consecuencia, si Sx(jΩ) es la

densidad espectral de x(t), el espectro de potencia del proceso discreto es

Sx(ejω) = Sx(ejΩΤ) = 1T

∑i=-∞

∞ S x(jΩ + j

2πT i)

de acuerdo con la relación (3.7). Por tanto, para evitar el aliasing en el muestreo de procesos ymantener sin distorsión la composición frecuencial en el dominio discreto, la frecuencia de muestreo


ha de elegirse superior al doble del ancho de banda del espectro de la señal (criterio de Nyquist para las

señales deterministas).♦

EJEMPLO 6.9: La densidad espectral de potencia del error de redondeo en los multiplicadores es latransformada de Fourier de su autocorrelación (6.7.b):

Si(ejω) = 112

2-2N (6.18)

El comportamiento constante con la frecuencia de la densidad espectral justifica la denominación deblanco para el proceso. De acuerdo con (6.13) y (6.18), la densidad espectral del ruido a la salida de laestructura de la figura 6.2 es

Ss(ejω) = 2 112

2-2N |H(ejω)|2 + 3 112

2-2N (6.19)

Este resultado puede generalizarse a la realización en cascada de un filtro. Considérese el filtro elípticode orden 5 del ejemplo 5.7. Este filtro se realiza mediante la combinación en cascada de tres células,dos de orden 2 (H1 y H2) y una de orden 1 (H3), cada una de las cuales se realiza mediante la forma

canónica de la figura 6.2. En la figura 6.4 se muestran dos posibles disposiciones para las células, quedenominaremos cascada A y cascada B. En ambas, las funciones de transferencia de las célulascontienen los mismos ceros y los mismos polos (en particular, H1 considera el polo más cercano a la

circunferencia unidad), aunque la constante es diferente; su valor se indica en la propia figura. Estaconstante ha sido dimensionada de forma que el máximo de la respuesta frecuencial según se avanza enla cascada desde la entrada a la salida sea siempre la unidad; por ejemplo, para la cascada A se cumple:

max |H1(ejω)| = 1 max |H1(ejω)| |H2(ejω)| = 1 max |H1(ejω)| |H2(ejω)| |H3(ejω)| = 1

x[n] y[n](z)H2 (z)H3(z)H1

K = 0,09671 K = 0,293 2 K = 0,598 3

a)

x[n] y[n](z)H2 (z)H3 (z)H1

K = 0,4761K = 0,191 2K = 0,187 3

b)

Fig. 6.4 Dos realizaciones en cascada para el filtro elíptico de orden 5 del ejemplo 5.7


Esta condición permite un control del margen dinámico de las señales en la cascada de células, con loque evita que la amplitud de algún componente frecuencial desborde la representación aritmética de losnúmeros utilizada en la realización.

De acuerdo con (6.19) y la descripción (6.12) de la contribución de los errores de operación a la salidade una célula, no es difícil establecer las siguientes relaciones entre las densidades espectrales del ruidoa la salida de las distintas células:

S1(ejω) = 2 112

2-2N |H1(ejω)|2 + 3 112

2-2N

S2(ejω) = S1(ejω) + 2 112

2-2N |H2(ejω)|2 + 3 112

2-2N

S3(ejω) = S2(ejω) + 112

2-2N |H3(ejω)|2 + 2 112

2-2N

suponiendo que todas las fuentes están incorreladas entre sí, son blancas y tiene la misma potencia. Endefinitiva:

SA(ejω) = S3(ejω) = 2 112

2-2N |H1(ejω)|2 |H2(ejω)|2 |H3(ejω)|2 +

+ 5 112

2-2N |H2(ejω)|2 |H3(ejω)|2 + 4 112

2-2N |H3(ejω)|2 + 2 112

2-2N

Esta densidad espectral se muestra en la figura 6.5.a normalizada respecto la potencia del ruido de unafuente de error (2-2N/12). La potencia total de ruido a la salida de la cascada A es

PA = 37,72 112

2-2N

Análogamente, para la cascada B se determina que la densidad espectral de potencia a su salida es

SB(ejω) = S1(ejω) = 112

2-2N |H3(ejω)|2 |H2(ejω)|2 |H1(ejω)|2 +

+ 4 112

2-2N |H2(ejω)|2 |H1(ejω)|2 + 5 112

2-2N |H1(ejω)|2 + 3 112

2-2N

que se proporciona también normalizada en la figura 6.5.b y que supone una potencia total

PB = 19,49 112

2-2N

Al comparar los resultados obtenidos, se observa que la combinación A genera más ruido (unos 3 dBmás) que la B; esta diferencia puede justificarse por la pequeña ganancia de la célula H1 en la cascada

A, que obliga a las demás células a amplificar el ruido que produce. La necesidad de que la constantemultiplicativa de H1 sea pequeña, deriva de la condición de normalización del máximo de la respuesta

frecuencial a la unidad, ya que esta célula contiene el polo más próximo a la circunferencia de radio


unidad que genera una resonancia pronunciada. Debe señalarse también que al encontrarse H1 al final de

la cascada B, su resonancia marca la densidad espectral del ruido a la salida de esta composición.♦

a)

b)

Fig 6.5 Densidad espectral normalizada del ruido de operación a la salida de las cascadas A y B (eje

frecuencial rotulado en muestras de la DFT, k=256 corresponde a f=0,5).


6.4 Ergodicidad

En muchas situaciones prácticas la descripción en probabilidad de un proceso aleatorio no es conociday sus parámetros deben ser estimados a partir de realizaciones del proceso. Por ejemplo, la media y lacorrelación pueden ser estimadas mediante los promedios

m- x[n] = 1N

∑i=0

N-1 x[n,ζ i] (6.20.a)

r-x[n1,n2] = 1N

∑i=0

N-1 x[n1,ζ i] x*[n2,ζ i] (6.20.b)

Para procesos estacionarios, sin embargo, la independencia con n de la distribución de orden 1 de x[n]sugiere, en la estimación de la media, la sustitución del promediado en el espacio de probabilidad porel promediado temporal . Así, se define el estimador:

mx = l im N → ∞

1

2N+1 ∑

n=-N

N x[n,ζ i] (6.21)

Cuando la variable aleatoria mx verifica con probabilidad 1 que

mx = mx

se dice que el proceso es ergódico en media. Para ello, ha de cumplirse que el estimador sea insesgado,es decir

E mx = mx

lo cual es inmediato de comprobar, y que su varianza sea nula

var mx = E |mx - mx|2 = 0

Para que un proceso sea ergódico en media es necesario al menos el carácter estacionario en sentidoamplio de orden 2. Si se satisface esta exigencia, es suficiente que la autocovarianza del proceso seauna secuencia sumable en magnitud

∑m=-∞

∞ |cx[m]| < ∞ (6.22)

En el problema 6.12 se marcan las pautas para la demostración de esta propiedad.


Si en la estimación de la autocorrelación de un proceso estacionario se considera que la función dedistribución de orden 2 del proceso sólo depende de la diferencia n1-n2 entre instantes de tiempo, puede

intentarse sustituir el estimador (6.20.b) por el promediado temporal siguiente:

r x[m] = l im N → ∞

1

2N+1 ∑

n=-N

N x[n+m,ζ i] x*[n,ζ i] (6.23)

que constituye un proceso aleatorio discreto. Si con probabilidad 1

r x[m] = rx[m]

se dice que el proceso es ergódico en correlación. Para ello, el proceso

z[n] = x[n+m] x*[n]

ha de ser ergódico en media, lo que exige a x[n] ser estacionario de orden 4. Si el proceso es gaussiano,la condición (6.22) también es condición suficiente para que sea ergódico en correlación.

En general, la ergodicidad es la propiedad que permite sustituir la estimación a partir de múltiplesrealizaciones de un proceso por el cálculo sobre una sola realización. En el caso de la correlación, laergodicidad hace formalmente equivalente su cálculo para las señales deterministas de potencia mediafinita y para las señales aleatorias; obsérvese que el estimador (6.23) es equivalente a la definición decorrelación (2.38) para las primeras.

EJERCICIO 6.4: Razone que el proceso del ejemplo 6.1 es estacionario si se supone que laprobabilidad que tienen las caras de los dados de surgir en una tirada no evoluciona con el tiempo.Justifique que, para que además sea ergódico, es preciso que los dados de los distintos jugadores tengan

el mismo comportamiento probabilístico.♦

6.5 Estimación espectral

La representación frecuencial de las señales ha sido reiteradamente empleada para describir el efectosobre las mismas de los sistemas lineales e invariantes. Es natural, por tanto, que la estimación de ladensidad espectral de potencia sea un problema de indudable interés en el estudio de los procesos; y enparticular su estimación a partir de una realización. Si la señal fuese determinista, el procedimiento quese seguiría para determinar la densidad espectral puede resumirse en los siguientes pasos:a) Enventanado de la señal x[n] con la secuencia v[n] tal que v[n] ≠ 0 en L puntos, de modo que se

obtiene una secuencia con energía finita:

y[n] = x[n] v[n] (6.24)

b) Cálculo de la transformada de Fourier de la secuencia enventanada:


Y(ejω) = ∑n

y[n] e-jωn

c) Determinación de la densidad espectral mediante el promediado de la densidad espectral de energía dey[n] por su longitud:

Sx(ejω) = 1L

Sy(ejω) = 1L

|Y(ejω)|2 = F 1L

ry[m] (6.25)

Si x[n] es un proceso aleatorio, Sx(ejω) es una estimación de su densidad espectral de potencia que

constituye a su vez un proceso aleatorio en ω. Para que esta estimación proporcione la densidad

espectral Sx(ejω) del proceso con probabilidad 1 debe cumplirse que

E Sx(ejω) = Sx(ejω) (6.26.a)

var Sx(ejω) = 0 (6.26.b)

en cuyo caso se satisface la condición de ergodicidad. La relación (6.25) también define el siguienteestimador para la autocorrelación de x[n]:

r x[m] = 1L

ry[m] (6.27)

que también es un proceso. Su media

E r x[m] = E 1L

∑n

x[n+m]v[n+m] x*[n]v*[n]

se determina fácilmente intercambiando el orden de la esperanza y el sumatorio:

E r x[m] = 1L

∑n

v[n+m]v*[n] E x[n+m]x*[n] = 1L

rv[m] rx[m] (6.28)

De este modo, haciendo uso de la transformada de Fourier, se obtiene

E Sx(ejω) = E F r x[m] = F E r x[m] = F 1L

rv[m] rx[m] (6.29.a)

donde el intercambio entre la esperanza y la transformada es posible por ser r x[m] una secuencia de

duración finita. Aplicando la propiedad de la transformada de Fourier que se refiere a la transformada delproducto de secuencias, se alcanza finalmente:

E Sx(ejω) = 1

2πL ∫-π

π |V(ej(ω−θ))|2 Sx(ejθ) dθ (6.29.b)


donde V(ejω) es la transformada de la secuencia v[n]. Se observa inmediatamente que esta esperanza no

coincide con Sx(ejθ), por lo que se dice que el estimador está sesgado. Para que así no fuese, debería

cumplirse que

12πL

|V(ejω)|2 = ∑i=-∞

∞ δ(ω - 2πi)

condición que no satisface ninguna ventana de duración finita. Resulta aquí de interés el estudio que serealiza en la práctica IV del efecto del enventanado sobre la transformada de Fourier de la secuenciaenventanada, cuyas conclusiones pueden expresarse ahora en los términos del problema de estimación

espectral: para reducir el sesgo de Sx(ejwo), es decir, para que

E Sx(ejwo) ≈ Sx(ejwo)

el lóbulo principal de la transformada V(ejω) de la ventana debe elegirse lo más estrecho posible y los

lóbulos secundarios han de ser lo más reducidos que se pueda; de este modo, se minimiza la

contribución a E Sx(ejwo) de la densidad espectral Sx(ejwo) a otras frecuencias distintas de ωo.

Además, debe normalizarse la ventana v[n] de modo que

12πL

∫-π

π |V(ejω)|2 dω = 1

o, equivalentemente:

1L

∑n

|v[n]|2 = 1

de acuerdo con la igualdad de Parseval. Todas estas consideraciones han de presidir la elección de laventana de análisis.

Cuando la ventana v[n] utilizada es la ventana rectangular pL[n], la estimación de la densidad espectral

de potencia (6.25) recibe el nombre de periodograma. Se puede demostrar que la varianza de este

estimador es proporcional a Sx2(ejω), lo que supone que la varianza de la estimación es del orden del

cuadrado del valor que se desea estimar. El mal comportamiento del periodograma en sesgo y varianzase puede explicar fácilmente. La correlación de la ventana rectangular es

rv[m] = L - |m | -L+1≤ m ≤ L-1 0 para otro m

y la media de la estimación de la autocorrelación de x[n], de acuerdo con (6.28), es

E r x[m] = L - |m|

L rx[m]


Por lo tanto, r x[m] es un estimador sesgado de rx[m], lo que explica el sesgo en la estimación de la

densidad espectral de potencia. Este sesgo es nulo para m=0 y crece con |m|. Por otro lado, como se

ilustra en la figura 6.6, en el cómputo de r x[m] mediante (6.27) se utilizan L-m muestras del proceso,

de modo que conforme aumenta m el cálculo de la autocorrelación de y[n] incluye menos muestras y,en consecuencia, la varianza de la estimación crece con m.

... ...

n

y[n]

0 L-1

... ...

n

y[n+m]

-m L-1-m

Fig. 6.6 Posición relativa de y[n] e y[n+m] en el cálculo de ry[m]

Dos posibles opciones para reducir la varianza de la estimación espectral que proporciona elperiodograma, son las siguientes:a) Promediado de distintos periodogramas obtenidos a partir de sucesivos segmentos de señal (método

de Barlett).

b) Enventanado de la estimación r x[m] de la correlación del proceso, tomando sólo muestras de la

misma para |m| pequeño en comparación con L; es decir, estimar Sx(ejω) mediante

Sx(ejω) = F r x[m] v[m]

donde v[m] es una ventana centrada en el origen y con simetría par a su alrededor. Esteprocedimiento se debe a Blackman y Tuckey.

EJEMPLO 6.10: Un proceso blanco gaussiano con media nula y potencia unidad (proceso normal) esfiltrado con un sistema recurrente para generar un proceso cuya densidad espectral de potencia semuestra en la figura 6.7.a. En la parte b de la misma figura se proporciona el resultado de promediar elperiodograma de 10 segmentos obtenidos con una ventana rectangular de longitud L=128. La figura6.7.c suministra la estimación de la densidad espectral de potencia resultante del promediado de 10estimaciones de Blackman-Tuckey a partir de segmentos de señal con longitud L=128 y enventanandosu correlación con una ventana rectangular de 65 muestras centrada en m=0. Esta estimación resultamenos sesgada (obsérvese el menor error cometido respecto a la anterior en el máximo de la densidad

espectral) y más suave.♦


a)

b)

c)

Fig. 6.7 a) Densidad espectral de potencia del proceso del ejemplo 6.10; b) estimación de Barlett; c)

estimación de Blackman-Tuckey (el eje de abscisas se indica en muestras de la DFT con N=512).


EJERCICIO 6.5: Repita la estimación de Blackman-Tuckey para el proceso del ejemplo 6.10 haciendouso de la ventana de Hamming. Para ello, mediante el programa 62:a) Calcule la autocorrelación de cada uno de los 10 segmentos del proceso con longitud L=128,

divídala por L y enventánela con la ventana de Hamming de longitud 65 muestras centrada en m=0.b) Determine la transformada de Fourier dichas correlaciones haciendo uso de la DFT. Para que en la

transformación no se pierdan las muestras correspondientes a ordinales negativos, genere a partir decada secuencia de autocorrelación una secuencia con periodo 512 muestras y obtenga su DFT conN=512 (véase el ejercicio 2.9).

c) Promedie las transformadas resultantes para estimar la densidad espectral.

Compare el resultado con el mostrado en la figura 6.7.c.♦

6.6 Problemas

PROBLEMA 6.1: Sean x[n] e y[n] dos procesos estacionarios independientes y con media nula. Si

w[n] = x[n] + y[n]z[n] = x[n] y[n]

demuestre que:a) La media de w[n] es la suma de las medias de x[n] e y[n], y que su potencia es la suma de sus

potencias.b) Si x[n] es blanco, z[n] también lo es.

PROBLEMA 6.2: La entrada x[n] a un filtro paso bajo ideal con frecuencia de corte fc=1/4 es una

secuencia de variables aleatorias de media nula e incorreladas, con varianza σ2. Se pide:a) La autocorrelación y densidad espectral de potencia de la entrada.b) La autocorrelación y la densidad espectral de potencia de la salida.c) La potencia de la señal de salida.

PROBLEMA 6.3: Sea x[n] un proceso real de media nula y autocorrelación rx[m] = σx2 δ[m]. Comose ilustra en la figura P6.3, a partir de x[n] se generan dos señales y1[n] e y2[n] mediante el

x[n]

y [n]1

y [n]2

H 1

H 2

Fig. P6.3


filtrado por sendos filtros H1 y H2 con respuesta impulsional real h1[n] y h2[n], respectivamente. En

este problema se estudia la relación entre las correlaciones de las señales de salida y las respuestasimpulsionales de los filtros. Se pide:a) la expresión de la autocorrelación r11[m] y r22[m] de y1[n] e y2[n], respectivamente, en función de

las respuestas impulsionales de los filtros y la potencia σx2 de la señal de entrada;b) las relaciones anteriores expresadas en el dominio transformado, esto es: S11(z) y S22(z) en

términos de las funciones de transferencia de los filtros y σx2;c) la expresión de la correlación cruzada r12[m] = Ey1[n+m]y2[n] y su transformada S12(z);

d) la condición que han de cumplir las respuestas frecuenciales de los filtros para que las secuenciasy1[n] e y2[n] estén incorreladas; ponga un ejemplo sencillo que cumpla dicha condición;

e) para los sistemas

H1(z) = 1

1+az-1 H2(z) = b+z-1

1+bz-1

determine la relación entre a y b para que Ey1[n]y2[n]=0;f) para los sistemas anteriores, obtenga r11[m], r22[m] y r12[m].

PROBLEMA 6.4: En el tratamiento de señales aleatorias no sólo son de interés los sistemas lineales;en ciertas situaciones filtros no lineales pueden ser de utilidad. Un ejemplo es el filtro de mediana,particularmente adecuado para eliminar ruido impulsivo. Dada una secuencia x[n], la salida y[n] de unfiltro de mediana de orden M (impar) se obtiene ordenando los M valores x[n], x[n-1], …, x[n-(M-1)]de menor a mayor y asignando el valor central a la salida. Por ejemplo, y[n] es el resultado de aplicarun filtro de mediana de orden tres a la secuencia x[n]:

x[n] = …,0, 0, 1, 3, 2, 2, 5, 2, 0, 0, … y[n] = …,0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 0, …

Se pide:a) Genere con el programa 62 la secuencia x[n] de longitud 100 muestras

x[n] = p20[n-15] + p20[n-65] + ri[n] + rg[n]

donde ri[n] es una secuencia de ruido impulsivo y rg[n] es un ruido blanco gaussiano. El ruido

impulsivo contamina la primera mitad de x[n] y se simula mediante

ri[n] =

18 (z[n] + |z[n]|) 0≤ n≤ 49

0 para otro n

con z[n] = signo(y[n]-1), siendo y[n] una secuencia de "Ruido blanco gaussiano" con 0 dB depotencia. El ruido blanco gaussiano se localiza únicamente en la segunda mitad de x[n] y tiene-20 dB de potencia.

b) Diseñe un filtro promediador de L=5 muestras.c) Aplique la secuencia x[n] al promediador y a un filtro de "Mediana" con orden M=5.


d) Compare los resultados obtenidos. En particular, compruebe que los flancos del pulso p20[n-15]

sometido al ruido impulsivo son respetados por el filtro de mediana y son muy deteriorados por elpromediador, que el filtro de mediana prácticamente elimina el ruido impulsivo y que el filtropromediador atenúa bien el ruido blanco.

e) Analice la influencia de L y M en el resultado del filtrado.

⊕

⊕

x[n] y[n]

a⊕e[n]

z-1

Fig. P6.5

PROBLEMA 6.5: La realización de un sistema se muestra en la figura P6.5, donde el error deredondeo (e[n]) producido en el multiplicador se ha modelado como un proceso blanco aditivo de medianula y potencia σe2. Se pide:

a) En primer lugar calcule el valor de a que proporciona una respuesta frecuencial paso bajo confrecuencia de corte a 3 dB fc = 0,1 y esboce el módulo de la respuesta frecuencial obtenida.

b) Justifique que la salida y[n] se puede expresar en función de la entrada x[n] y el error e[n] mediante

y[n] = h[n] * x[n] + h2[n] * e[n]

y calcule h2[n], así como su transformada z.e) Obtenga la autocorrelación del ruido a la salida del filtro. Calcule la potencia Pr de este ruido en

función de a y represente, mediante el programa 62, la densidad espectral de este ruido para elfiltro paso bajo diseñado en el primer apartado.

PROBLEMA 6.6: El error de operación de los multiplicadores en la realización de la figura P6.6(forma canónica II) se modela como una fuente aditiva que añade, tras cada multiplicador, un procesoestacionario, blanco, de media nula y potencia σe2. Supuestas independientes las fuentes de error, se

pide:a) La correlación del ruido de operación a la salida de la realización.b) Si esta estructura es utilizada para realizar las células Hi(z) del ejemplo 6.9, exprese en función de

la respuesta frecuencial de cada célula la densidad espectral de potencia a la salida del filtro para lasdos combinaciones en cascada estudiadas.

c) Represente mediante 62 la densidad espectral del ruido en ambos casos. Analice el resultadoobtenido.


x[n] y[n]bo

v1[n]

v2[n]

b1

b2 -a2

-a1

z-1

z-1

⊕

⊕

⊕

⊕

Fig. P6.6

A/D

F = 3 kHz

F = 8 kHz

x(t)

m

c

x[n]

Fig. P6.7

PROBLEMA 6.7: Un proceso estacionario blanco analógico con densidad espectral de potencia unidades muestreado con una frecuencia Fm = 8 kHz tras haber sido filtrado por un filtro paso bajo ideal confrecuencia de corte Fc = 3 kHz. Se pide:

a) La densidad espectral del proceso x[n].b) La potencia de x[n].c) La autocorrelación de x[n].d) Si x[n] es procesado por un sistema con respuesta impulsional h[n] = δ[n] - δ[n-1], la potencia del

proceso y[n] resultante.

PROBLEMA 6.8: Sea y[n] el proceso respuesta de un sistema lineal e invariante a un proceso noestacionario x[n]. Si h[n] es la respuesta impulsional del sistema, demuestre que

rxy[n1,n2] = rx[n1,n2] * h*[n2]ryx[n1,n2] = rx[n1,n2] * h[n1]

ry[n1,n2] = rx[n1,n2] * h[n1] * h*[n2]


Utilice este resultado para obtener la correlación de la respuesta y[n] de un sistema lineal e invariante aun proceso z[n] estacionario aplicado a su entrada a partir de n=0; considere que la excitación delsistema es x[n] = z[n] u[n], cuya correlación es

rx[n+m,n] = rz[m] n ≥ 0 y n+m ≥ 0 0 en otro caso

PROBLEMA 6.9: Demuestre que a partir de la respuesta h[n,k] a un impulso desplazado al ordinal k

h[n,k] = T δ[n-k]

la correlación cruzada entre la excitación x[n] a un sistema lineal y su respuesta y[n] puede expresarse

rxy[n1,n2] = ∑k=-∞

∞ rx[n1,k] h*[n2,k]

ry[n1,n2] = ∑k=-∞

∞ rxy[k,n2] h[n1,k]

x[n] y[n] N

v[n]


= π / Ncω

Fig P6.10

PROBLEMA 6.10: En la figura P6.10 se recuerda el proceso para interpolar una secuencia x[n] poruna relación N entera para obtener otra secuencia y[n]. Si x[n] es un proceso estacionario, se pide:a) La autocorrelación de v[n] en función de la autocorrelación de x[n]. ¿Es v[n] estacionario?b) La autocorrelación de y[n].c) Demuestre que, si el filtro interpolador es ideal, el proceso y[n] es estacionario.

PROBLEMA 6.11: Sea z[n] un proceso aleatorio resultante de la suma de una señal determinista conpotencia media finita x[n] y una señal aleatoria estacionaria y[n] de media nula:

z[n] = x[n] + y[n]

Se pide:a) Razone que z[n] no es un proceso estacionario.b) Justifique la siguiente definición para la autocorrelación de z[n]:


rz[m]= l im N → ∞

1

2N+1 ∑n=-N

N E z[n+m] z*[n]

c) Demuestre que rz[m] = rx[m] + ry[m].

PROBLEMA 6.12: Se desea demostrar que la varianza de la estimación de la media de un procesoestacionario de orden 2

mx = l im N → ∞

1

2N+1 ∑n=-N

N x[n,ζ i]

viene dada por la expresión:

E |mx - mx|2 = l im N → ∞

1

2N+1 ∑m=-N

N (1 -

|m|2N+1

) cx[-m] (P6.12)

Para ello, considere la variable aleatoria

m~ x = 1

2N+1 ∑n=-N

N x[n,ζ i]

cuyo límite para N tendiendo a infinito proporciona mx. Esta variable puede considerarse la muestra

y[0] de la respuesta al proceso x[n] del sistema con respuesta impulsional

h[n] =

12N+1

|n | ≤ N

0 para otro n

Se pide:

a) El momento de segundo orden de m~ x: E |m~ x|2 = E |y[0]|2 = ry[0].

b) La varianza de m~ x.

c) La demostración de (P6.12).

PROBLEMA 6.13: En el submenú "Señales" de "Generación" de 62, la opción "Tren aleatorio depulsos" proporciona una realización de un proceso constituido por pulsos cuya polaridad es positiva onegativa con igual probabilidad. Si L es la duración especificada para los pulsos, el proceso puededescribirse en función del resultado del lanzamiento k-ésimo de una moneda:

x[n] = 1 si sale cara -1 si sale cruz (k-1)L ≤ n ≤ kL-1

Se pide:a) Determine la media y la autocorrelación de este proceso.


b) Trate de estimar estas funciones a partir de realizaciones del proceso.

PROBLEMA 6.14: Considere que la ventana utilizada en la estimación de la densidad espectral depotencia de un proceso x[n] es la secuencia

v[n] = vN[n] = 1 |n | ≤ N 0 para otro n

Demuestre que

E r x[m] = (1 -

2 |m |2N+1

) rx[m] |m | ≤ N

0 para otro m

Con este resultado, pruebe que la estimación espectral es asintóticamente insesgada

l im N → ∞

E Sx(ejω) = Sx(ejω)

si la secuencia z[m] = m rx[m] es sumable en módulo.

PROBLEMA 6.15: Sean x[n] e y[n] dos procesos reales y estacionarios. Mediante una combinaciónlineal de muestras del primer proceso se pretende estimar las muestras del segundo, como se indica enla siguiente relación

y[n] = - ∑i=1

P ai x[n-i]

Los coeficientes de la estimación se determinan de forma que la potencia del error

e[n] = y[n] - y[n]

sea mínima. Se pide:a) Demuestre que, para minimizar la potencia del error, debe verificarse que

E e[n] x[n-k] = 0 k = 1, …, P

es decir, el error ha de ser ortogonal a los datos (principio de ortogonalidad ).b) Si se desea realizar la predicción de las muestras de x[n] en base a las P muestras anteriores

(y[n] = x[n], predicción lineal ), obtenga en función de la autocorrelación de x[n] el sistema deecuaciones que proporciona los coeficientes ai. Calcule la potencia del error.

c) Si el error de la predicción es un proceso blanco, se dice que el proceso es autorregresivo. Muestreque, bajo este supuesto, x[n] se puede modelar como la respuesta a un proceso blanco de unsistema cuya función de transferencia es


H(z) = 1

1 + ∑i=1

P ai z- i

En consecuencia, el producto de la potencia del proceso blanco de entrada por el módulo al cuadradode la respuesta frecuencial de este sistema constituye la densidad espectral de potencia del proceso.

d) Con el programa 62, genere una realización de un proceso autorregresivo, que responda a laecuación

x[n] = 0,55623 x[n-1] - 0,81 x[n-2] + e[n]

donde e[n] es un proceso gaussiano blanco con potencia unidad. Estime la autocorrelación de x[n]y, mediante las opciones "Predicción lineal", "Filtro FIR: Respuesta impulsional" y "Sistemainverso", determine el sistema H(z) y la densidad espectral de potencia del proceso. Varíe el orden Pde la predicción lineal, de la longitud del segmento de la realización utilizado para estimar lacorrelación y la ventana usada para definir el segmento; observe los efectos producidos.

Manual de prácticas 2 9 1

LIBRO SEGUNDO:

MANUAL DE PRÁCTICAS

I Las secuencias 2 9 3

Práctica I: Las secuencias

I.1 Objetivos

Con esta práctica se pretende estudiar las particularidades de la representación discreta de la frecuenciaque la diferencian de la representación analógica, comprender mejor la relación entre los conceptos defrecuencia en los dominios analógico y discreto, y realizar una primera aproximación a lasconversiones A/D y D/A, analizando la misión de los filtros antialiasing y reconstructor utilizados.

I.2 Estudio previo

I.2.1 Secuencias exponenciales complejas

Las secuencias exponenciales complejas responden a la expresión

x[n] = C zn (I.1.a)

donde C y z son dos números complejos. Estas secuencias juegan un papel muy importante en elestudio de las señales y los sistemas discretos. Si el número complejo z se expresa en la forma polar

z = r ejω (I.1.b)

donde r es su módulo y ω su argumento, y lo mismo se hace con la constante C

C = A ejθ (I.1.c)

la secuencia puede expresarse como

x[n] = A rn cos(ωn + θ) + j A rn sin(ωn + θ) (I.1.d)

El caso particular r=1 es especialmente importante, ya que la secuencia senoidal compleja

x[n] = C ejωn (I.2)


constituye la base del análisis frecuencial en el dominio del tiempo discreto, representando lacomponente de pulsación ω. Esta secuencia es el equivalente a la señal analógica

x(t) = C ejΩt

donde C es el fasor y Ω es la pulsación de la componente frecuencial. La pulsación del dominiodiscreto ω se relaciona con la frecuencia f mediante la expresión:

ω = 2 π f

El primer objetivo de este estudio es analizar las siguientes propiedades:

a) Las componentes frecuenciales son periódicas si, y sólo si, su frecuencia f es un número racional.

1.- En efecto, si la secuencia (I.2) tiene periodo P, es decir:

x[n] = x[n+P] para todo n

demuestre que ha de verificarse:

2πfP = 2π k

donde el entero k indica el número de ciclos completos de la componente en las P muestrasdel periodo.

Así, la frecuencia de una componente periódica ha de responder a la expresión

f = k/P

número racional que indica que en el periodo de P muestras la componente recorre k cicloscompletos. De ello se deduce, en principio, que cuanto mayor sea la frecuencia más rápidamenteevoluciona la secuencia (para un número dado de muestras más ciclos recorre).

2.- Indique periodo y ciclos recorridos por periodo para las frecuencias f1=3/32, f2=4/32,f3=0,109375.

b) Las sinusoides complejas cuyas pulsaciones difieren en un múltiplo entero de 2π representan lamisma evolución temporal, puesto que para k entero

x[n] = C ejωn = C ej(ω+2πk)n (I.3)


Este hecho admite dos interpretaciones importantes. Por un lado, se puede enunciar que en eldominio discreto una componente frecuencial de pulsación ω en realidad representa todas lascomponentes frecuenciales siguientes:

ω ± 2πk k = 0, 1, 2, 3, ...

o, expresado en términos de la frecuencia en lugar de la pulsación, se puede decir que la secuencia(I.3) con frecuencia f representa a todas las componentes frecuenciales cuya frecuencia sea:

f ± k k = 0, 1, 2, 3, …

Una segunda interpretación de (I.3) permite enunciar que, en lo que se refiere a la representación deformas de onda distintas, disponemos en el mundo discreto de un intervalo limitado de pulsaciones(de amplitud 2π, frente a un intervalo infinito en el dominio analógico), intervalo que por razonesprácticas tomaremos entre -π y π. Esto nos permite restringir el margen de representación de laspulsaciones en el dominio discreto entre -π y π. Se puede concluir, por tanto, que la pulsación ωde la componente que representa la evolución temporal más rápida es ω=π (f=1/2).

Cuando en (I.1) r es distinto de 1, la exponencial representa formas de onda crecientes con n (r>1) odecreciente (r<1). La velocidad de la evolución es función del valor de r. Valores próximos a 1 suponenuna evolución lenta; valores alejados de la unidad implican evoluciones progresivamente más rápidas,ya sean crecientes (r>1) o decrecientes (r<1). La constante de tiempo M de la evolución puededefinirse, por ejemplo, mediante la relación:

|x[n+M]/x[n]| = rM ≤ e-1 = 0,368

lo que proporciona para M el valor1

M = −1 / ln(r)

Un valor de M positivo indica una secuencia decreciente; un valor negativo, implica una secuenciacreciente. Aunque desde un punto de vista teórico una secuencia exponencial tiene una duracióninfinita, a efectos prácticos se acepta que una exponencial decreciente que comienza en n=0

x[n] = C zn u[n]

desaparece al cabo de 5 constantes de tiempo; es decir, que su longitud L viene dada por

L = - 5 / ln(r) (I.4)

1 x expresa el entero más próximo a x cuyo valor absoluto sea mayor o igual que el de x.


I.2.2 Secuencias senoidales

En la mayor parte de las situaciones las señales no son complejas, sino reales; así, por ejemplo, unaoscilación mantenida correspondiente a un fenómeno físico viene representada por una señal senoidal.La expresión general de las señales senoidales discretas es:

x[n] = A cos(ωn + θ) = A cos(2πfn + θ) (I.5)

donde A es la amplitud de la sinusoide, ω es la pulsación en radianes por muestra, f es la frecuenciaen ciclos por muestra y θ la fase en radianes.

Puesto que la secuencia senoidal (I.5) puede expresarse en función de las componentes frecuenciales(I.2) mediante la relación

x[n] = A cos(ωn + θ) = Re[ C ejωn] = 12 (C ejωn + C* e-jωn)

basándose en las propiedades de las mismas, se puede enunciar que:

a) La señales senoidales son periódicas si, y sólo si, su frecuencia f es un número racional.

b) Dado que una sinusoide está constituida por las componentes frecuenciales ω y -ω , en el dominiodiscreto una sinusoide de pulsación ω en realidad contiene todas las componentes frecuencialessiguientes:

ω ± 2πk y - ω ± 2πk k = 0, 1, 2, 3,...

c) Además, en cuanto a la representación de formas de onda distintas, el conjunto de las pulsacionesde las señales senoidales del dominio discreto se puede limitar entre 0 y π (en frecuencia, entre 0 y1/2).

3.- Realice el producto de la sinusoide (I.5) con la secuencia x[n]=(-1)n=cosπn. Determine lapulsación en el intervalo (0,π) de la secuencia senoidal resultante.

4.- Aplique el resultado obtenido al caso de que f1=3/32.

I.2.3 Conversión A/D y D/A de señales senoidales

La conversión A/D es la operación que permite la adquisición de una señal analógica para surepresentación y manipulación en el mundo discreto, ya sea con un microprocesador o un computadorde propósito general. La operación básica que realiza es la toma de muestras de una señal analógicax(t) a intervalos regulares de tiempo T (periodo de muestreo), generando una secuencia x[n] tal que:

x[n] = x(t)|t=Tn = x(nT)


Si en la conversión A/D se hace uso de una frecuencia de muestreo Fm la relación entre la frecuenciadel dominio discreto f y la frecuencia analógica F es f=F/Fm, puesto que al muestrear una sinusoide

analógica

x(t) = A cos (Ωt + θ) = A cos(2πFt + θ)

obtenemos

x[n] = A cos(2πFt + θ)|t=Tn = A cos(2πFTn + θ) = A cos(2πF/Fmn + θ) = A cos(2πfn + θ)

donde T=1/Fm es el periodo de muestreo.

Debido a la limitación de la representación frecuencial en el dominio discreto, dos sinusoidesanalógicas de frecuencias distintas pueden dar origen, al ser muestreadas, a la misma secuencia. Unejemplo de esta situación se muestra en la figura I.1, donde se proporciona la secuencia resultante delmuestreo de dos sinusoides cuyas frecuencias son F1=Fm/4 y F2=3Fm/4. De acuerdo con lo estudiado

anteriormente, las componentes frecuenciales de la primera sinusoide son

f1 = ± 14 ± k k = 0, 1, 2, 3, …

y las de la segunda

f2 = ± 34 ± k k = 0, 1, 2, 3, …

Es inmediato comprobar que f1 = f2. Obsérvese que si la señal analógica muestreada contuviese ambas

sinusoides, esta circunstancia no sería detectable en la secuencia obtenida por muestreo, ya que ambascomponentes analógicas son representadas por la misma forma de onda en el dominio discreto. Estefenómeno se denomina aliasing. Es importante destacar que el aliasing se produce porque las

... ...

n

t

mF = 3F / 4

F = Fm / 4

Fig. I.1 Secuencia resultante del muestreo de dos sinusoides de frecuencias Fm/4 y 3Fm/4


frecuencias de las sinusoides analógicas se relacionan mediante

F2 = Fm - F1

de modo que la frecuencia discreta F1/Fm correspondiente a F1 está en el intervalo (0, 1/2) y lacorrespondiente a F2 se encuentra fuera del mismo, pero ambas son representadas por la misma

secuencia.

Si las componentes frecuenciales de la señal analógica a muestrear cubren el intervalo (-Bf, Bf) y sedesea que cada una de ellas tenga su propia representación en el dominio discreto (-1/2, 1/2) sin que seproduzca aliasing, ha de tomarse Fm de modo que

Bf / Fm ≤ 1/2

ο lo que es lo mismo:

Fm ≥ 2 Bf (I.6)

relación que constituye el criterio de Nyquist. En la práctica queda garantizado el cumplimiento de estacondición disponiendo, previo al convertidor A/D, un filtro paso bajo (filtro antialiasing) con unafrecuencia de corte inferior a Fm/2.

5.- Si se muestrea una señal senoidal analógica de frecuencia 750 Hz con una frecuencia demuestreo Fm=8 kHz, determine la frecuencia en el intervalo (0, 1/2) de la secuencia obtenida.

6.- Si la sinusoide analógica es de frecuencia 5 kHz y no se dispone de filtro antialiasing, indique,para la misma frecuencia de muestreo, la frecuencia en el intervalo (0, 1/2) de la secuenciaobtenida. Determine la frecuencia F<Fm/2 de la sinusoide analógica cuyo muestreo

proporcionaría la misma secuencia.

... ...

n

y[n]

0-1 1

... ...

t

y(t)

-T T0

Fm

D/A

y[n] y(t)

Fig. I.2 Ilustración de la conversión D/A de una secuencia


... ...

t

y(t)

-T T0

x(t)

Fig I.3 Señal muestreada x(t) y su reconstrucción y(t)

La conversión D/A de una secuencia y[n] se ilustra en la figura I.2. A intervalos fijos de tiempo T(que se corresponde con el periodo de la frecuencia de reloj Fm que gobierna al convertidor D/A)

segenera a la salida una tensión proporcional al valor de las sucesivas muestras de y[n] y que semantiene durante el tiempo T. Este proceso puede describirse matemáticamente mediante la expresión:

y(t) = ∑n=-∞

∞ y[n] p(t-nT)

donde la señal analógica p(t) es un pulso rectangular de duración T segundos. En la figura I.3 semuestra una señal analógica x(t), la secuencia resultante al muestrearla con un periodo de muestreo T ysu reconstrucción y(t) por un convertidor D/A. Se comprende que, para recuperar la señal analógicamediante la conversión D/A de la secuencia, deba tomarse la misma frecuencia de muestreo que laempleada en la conversión A/D. La señal y(t) es una aproximación a x(t) que puede ser mejoradamediante un filtro paso bajo que suavice la forma de onda o, dicho de otra forma, elimine lascomponentes de alta frecuencia presentes en la señal reconstruida. En realidad, como se demuestra en elcapítulo 3, y(t) contiene todas las componentes frecuenciales presentes en y[n] (con la frecuenciamultiplicada por Fm). Así, bajo el supuesto de que x(t) fue adquirida sin aliasing, puede decirse que las

componentes de las distintas señales son las siguientes:

x(t) (-Fm/2, Fm/2)

x[n] = y[n] (-1/2, 1/2) ± ky(t) (-Fm/2, Fm/2) ± kFm

donde k = 0, 1, 2, 3, etc. En consecuencia, para recuperar x(t) se ha de disponer tras el convertidor D/Aun filtro paso bajo (filtro reconstructor) que elimine las componentes frecuenciales de y(t) fuera delintervalo (-Fm/2, Fm/2), correspondientes a las componentes frecuenciales de la secuencia ajenas a

(-1/2, 1/2).

7.- Si se realiza la conversión D/A de la secuencia obtenida en 5 con un convertidor trabajando auna frecuencia de muestreo de 8 kHz y un filtro reconstructor con frecuencia de corte 3,6 kHz,indique las componentes frecuenciales de la señal analógica generada.


Procesadordiscretode señal

A/DFiltro

antialiasingD/A

FmFm

Filtro reconstructor

F < F /2mc F < F /2mc

Fig. I.4 Conversión A/D y D/A en el entorno analógico de un procesador discreto de señal

8.- Si se realiza la conversión D/A de la secuencia obtenida en 6 con un convertidor trabajando auna frecuencia de muestreo de 8 kHz y un filtro reconstructor con frecuencia de corte 3,6 kHz,indique las componentes frecuenciales de la señal analógica generada.

9.- Si en el caso anterior la frecuencia de corte del filtro reconstructor es de 5,2 kHz, indique cuálesserían las componentes frecuenciales de la señal analógica generada.

En la figura I.4 se muestra el entorno analógico del tratamiento discreto de señal. Tal como se acabade ver, para que la composición frecuencial de las señales no sufra alteración en los procesos deconversión A/D y D/A, es imprescindible la presencia de los filtros antialiasing y reconstructor, confrecuencia de corte inferior a Fm/2. La ausencia del filtro antialiasing (o un filtro antialiasing con unafrecuencia de corte mayor que Fm/2) provoca que componentes frecuenciales de la señal analógica aconvertir superiores a Fm/2 queden representadas como frecuencias inferiores, con lo que se produce lacontaminación (aliasing) de las componentes de baja frecuencia (|F|<Fm/2) de la señal analógica porlas componentes de alta frecuencia (|F|>Fm/2). Cuando no se hace uso del filtro reconstructor (o éstepresenta una frecuencia de corte mayor que Fm/2), la señal contendrá, además de las componentesfrecuenciales en el intervalo (-Fm/2, Fm/2), sus réplicas con |F|>Fm/2.

10.- Una señal analógica compuesta por dos tonos de frecuencia 750 Hz y 5 kHz es muestreada sinfiltro antialiasing con una frecuencia de muestreo de 8 kHz. Si la secuencia resultante esconvertida a señal analógica con la misma frecuencia de muestreo, haciendo uso de un filtroreconstructor con frecuencia de corte 3,6 kHz, indique las componentes frecuenciales de la señalanalógica generada.

11.- Repita 7 con Fm=10 kHz.

Como final de este estudio previo lea las experiencias a realizar en el laboratorio y organice su trabajoantes de acudir al mismo.

I.3 En el laboratorio

A.- Genere, mediante la opción "Sinusoide amortiguada" del submenú "Señales" de Generación,una señal senoidal con ω=1 y compruebe gráficamente su falta de periodicidad.


B.- Genere sendas sinusoides con longitud L=256 muestras y frecuencias f1=3/32 y f2=4/32.

Compruebe gráficamente que el periodo y el número de ciclos por periodo coinciden con loscalculados en el apartado 1 del estudio previo. Indique cómo cuenta los ciclos.

C.- Realice el producto de la sinusoide f1 con la secuencia x[n]=(-1)n. Compruebe gráficamente que

el periodo y el número de ciclos por periodo de la secuencia resultante se corresponden con lafrecuencia determinada en el apartado 4 del estudio previo.

D.- A fin de familiarizarse con las secuencias exponenciales, genere varias sinusoides amortiguadascon distintos valores para sus parámetros A, θ, r y ω. Compruebe aproximadamente laconstante de tiempo del amortiguamiento, asocie los parámetros a las principales característicasde la forma de onda y describa su influencia en ella.

E.- Mediante la opción "Conversión D/A" de "Archivo", genere una señal senoidal analógicaconvirtiendo la sinusoide discreta f1 con una frecuencia de muestreo Fm=8 kHz y una frecuenciade corte para el filtro reconstructor Fc=3,6 kHz (a=13, b=36). Determine el periodo y la

frecuencia de la señal generada.

F.- Genere otra secuencia senoidal con frecuencia f1, pero fase distinta a la utilizada en el apartado

B (por ejemplo, con una diferencia de π/5). Aunque las muestras y la apariencia de ambasseñales son distintas, ambas representan la misma forma de onda analógica, como se puedecomprobar repitiendo la experiencia E con la nueva secuencia. ¿Cómo interpreta este resultado?

G.- Repita la experiencia E con Fm=10 kHz y Fc=4,26 kHz (a=11, b=34).

H.- La opción "Test de filtrado", ubicada en el menú "Archivo" de Sistemas, realiza la conversiónA/D de una señal analógica y la conversión D/A de la secuencia resultante, haciendo uso de lamisma frecuencia de muestreo y de filtros antialiasing y reconstructor con la misma frecuenciade corte. Seleccione Fm=8 kHz y Fc=3,6 kHz, tome como entrada del convertidor A/D una

señal senoidal y varíe su frecuencia; observe en el osciloscopio esta señal y la salida delconvertidor D/A. Anote los resultados más sobresalientes de la experiencia; en particular,observe los límites de las bandas de paso y atenuada de los filtros antialiasing y reconstructor,y represente la frecuencia de la señal a la salida en función de la frecuencia de la entrada.

I.- Repita la experiencia H con Fm=8 kHz y Fc=5,2 kHz (a=9, b=52). Anote las diferencias con la

experiencia anterior y trate de explicarlas a la luz del estudio previo realizado. En particular,observe que se produce distorsión: ¿por qué?, ¿a partir de qué frecuencia de la sinusoide deentrada?, ¿por qué a partir de esa frecuencia?

II Los sistemas 3 0 3

Práctica II: Los sistemas

II.1 Objetivos

Esta práctica aborda el estudio de los sistemas discretos y sus propiedades más importantes; para ellose hace uso de varios sistemas de interés teórico y práctico en el tratamiento de señales discretas. Sededica especial atención a los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. La práctica se completacon el estudio de la respuesta a señales senoidales de dos sistemas discretos: un diezmador y un filtroFIR.

II.2 Estudio previo

II.2.1. Sistemas discretos

Un sistema discreto es un operador T que transforma una secuencia x[n] (entrada) en otra secuenciay[n] (salida), tal como se representa en la figura II.1.

x[n] y[n]T

Fig. II.1 Representación simbólica de un sistema con entrada x[n] y salida y[n]

En el presente estudio de los sistemas discretos se van a considerar los tres sistemas definidos por lasrelaciones entrada-salida siguientes:

Sistema 1 : y[n] = x[-n]Sistema 2: y[n] = x[Nn] (diezmador)

Sistema 3: y[n] = ∑r=-∞

∞ x[n + rP] (generador de periodicidad)


donde N y P son números enteros y positivos.

1.- Defina una secuencia sencilla con origen en n=0 y L muestras; por ejemplo:

x[n] =

nL-1

0 ≤ n≤ L-1

0 para otro n

Determine la respuesta a la misma de los tres sistemas, tomando N<<L y dos valores imparespara P, uno menor y otro mayor que L (trabaje con valores concretos para N, L y P).

Las propiedades básicas que permiten caracterizar el comportamiento de los sistemas discretos son:linealidad, invarianza temporal, causalidad y estabilidad.

2.- Analice el cumplimiento de estas propiedades por los tres sistemas definidos.

3.- a) A partir de x[n] obtenga las muestras correspondientes a un periodo de la secuencia

y[n] = ∑r=-∞

∞ x[-2n + 1 + rP] (II.1)

con uno de los valores para P tomados en el apartado 1.b) Además de los tres sistemas estudiados anteriormente, considere el sistema que produce el

retardo de una muestra. Justifique el orden en que han de situarse en cascada dichos sistemaspara que su combinación responda a x[n] con la secuencia y[n].

II.2.2 Convolución lineal

Cuando un sistema es lineal e invariante con el tiempo, su relación entrada-salida puede ser establecidaen términos de su respuesta h[n] al impulso unidad mediante la convolución lineal:

y[n] = x[n] * y[n] = ∑k=-∞

∞ x[k] h[n-k] = ∑

k=-∞

∞ x[n-k] h[k]

4.- Considere el sistema definido por la relación entrada-salida:

Sistema 4: y[n] = 1M

∑k=0

M-1 x[n - k] (promediador)

Este sistema realiza el promedio de M muestras de la secuencia de entrada. Determine surespuesta impulsional.

II Los sistemas 3 0 5

5.- Haciendo uso de la convolución lineal, calcule gráficamente la respuesta del sistema 4 conM=8 al pulso rectangular de longitud L:

pL[n] = 1 0 ≤ n≤ L-1 0 para otro n

en los supuestos M≤L y M>L.

6.- Si el sistema promediador con M=8 es alimentado por una onda cuadrada de periodo 2L:

c[n] = ∑r=-∞

∞ pL[n + r(2L)]

obtenga la respuesta en los supuestos M≤L y M>L (trabaje con valores concretos para L).

II.2.3 Respuesta a una sinusoide

Como ya se ha dicho en la práctica I, las señales senoidales son particularmente importantes en elestudio de las señales y los sistemas.

7.- Determine la respuesta del sistema 2 (diezmador) a una sinusoide de pulsación ω cualquiera.Exprese en el intervalo (0, π) la pulsación de la respuesta .

8.- Considere el sistema lineal e invariante FIR definido por la siguiente ecuación en diferenciasfinitas

Sistema 5: y[n] = x[n] + a x[n-1] + x[n-2]

Determine su respuesta impulsional y exprese su respuesta frecuencial en la forma

H(ejω) = e -jω HR(ω) HR(ω) real

Calcule a para que se anule la respuesta del sistema a una sinusoide de frecuencia fo.


II.3 En el laboratorio

A.- Mediante la opción "Editar secuencia" genere la secuencia que haya definido en el apartado 1 delestudio previo, con P<L aplíquele la combinación de sistemas determinada en el apartado 3 y


compruebe que la secuencia resultante responde a la expresión (II.1). Si el resultado no lecoincide, averigüe y corrija la causa.

B.- Mediante la opción "Editar secuencia" genere la respuesta impulsional del sistema 4(Promediador) con M=8 y compruebe sus soluciones a las cuestiones 5 y 6 del estudio previopara M≤L.

C.- Se desea hacer uso del sistema promediador para filtrar una onda cuadrada analógica. Para ello, apartir de la respuesta impulsional editada en el apartado anterior, construya el correspondientesistema mediante la opción "Filtro FIR: Respuesta impulsional" del menú "Datos" de"Sistemas"; y, por medio de la opción "Filtrado analógico" con Fm=8 kHz y Fc=3,6 kHz, filtre

una señal cuadrada. Varíe la frecuencia de esta onda cuadrada y observe la respuesta del sistemaen el osciloscopio. Con la experiencia de haber realizado el apartado 6 del estudio previo,justifique la forma de onda (y los tiempos) de la respuesta que se obtiene cuando la frecuenciade la onda cuadrada es 250 Hz o 500 Hz. Represente el módulo de la respuesta frecuencial delsistema y justifique la respuesta del mismo cuando la frecuencia de la onda cuadrada es1 kHz.

D.- Elija el parámetro a del sistema 5 de forma que su respuesta frecuencial se anule a la frecuenciafo=5/32. Genere mediante la opción "Editar secuencia" la respuesta impulsional de este sistema

FIR. Obtenga el correspondiente sistema mediante la opción "Filtro FIR: Respuestaimpulsional" del menú "Datos" de "Sistemas"; haciendo uso de la opción "Filtrado analógico"con Fm=8 kHz y Fc=3,6 kHz filtre una señal senoidal y variando su frecuencia compruebe que

presenta el cero de transmisión deseado.

E.- Se desea filtrar una onda cuadrada de frecuencia 700 Hz de forma que se eliminen todos susarmónicos, a excepción del tercero. Determine la respuesta impulsional de un filtro discretoque, trabajando a la frecuencia de muestreo Fm=8 kHz, presente un cero de transmisión a las

frecuencias correspondientes al fundamental y armónicos impares de la onda cuadrada2, aexcepción del tercero. Filtre con el sistema diseñado la onda cuadrada y obsérvela en elosciloscopio junto a la respuesta obtenida. Compruebe la forma y la frecuencia de ésta.

Experiencia opcional:

F.- Compruebe el resultado del apartado 7 de su estudio previo sobre la respuesta del sistema 2(diezmador) a una sinusoide; para ello, obtenga con N=3 la respuesta a una sinusoide defrecuencia f1=3/32. Repita la experiencia para f2=9/32.

2 Como es lógico, deben considerarse únicamente los armónicos dentro de la banda de paso del filtro antialiasing.

Recuérdese que la onda cuadrada carece de los armónicos pares.

III Transformada de Fourier, correlación y espectro 3 0 7

Práctica III: Transformada de Fourier, correlación y espectro

III.1 Objetivos

En esta práctica se ilustra el análisis de las propiedades de las señales mediante la transformada deFourier y la secuencia de autocorrelación. Además, se ejercita la utilización de la DFT en el trabajocon la transformada de Fourier.

III.2 Estudio previo

III.2.1 La transformada discreta de Fourier

La transformada de Fourier de una secuencia x[n] se define mediante la expresión

X(ejω) = ∑n=-∞

∞ x[n] e-jnω (III.1)

Esta función de ω es periódica con periodo 2π y es de fundamental importancia en el estudio de lasseñales y los sistemas.

1.- La convolución de un pulso rectangular de M muestras

pM[n] = 1 0 ≤ n ≤ M-1 0 para otro n

consigo mismo proporciona un pulso triangular. Haciendo uso de esta propiedad, obtenga latransformada de Fourier de un pulso triangular de amplitud máxima la unidad, con origen enn=0 y longitud L un número impar de muestras (L=2M-1)3:

3 ¿Cómo es un pulso triangular con longitud L par?¿Cuál es su transformada de Fourier?


tr[n] = tr[L-1-n] = 1 -

|n-M+1 |M

0 ≤ n ≤ L-1 = 2M

0 para otro n

2.- Calcule la transformada de Fourier de la secuencia

y[n] = (-1)n x[n]

en función de la transformada de Fourier de x[n]. Interprete gráficamente el resultado alcanzado.Si x[n] es una sinusoide con frecuencia fo, ¿cuál es la frecuencia f1 de y[n]? Represente f1 enfunción de fo expresando ambas frecuencias en el intervalo (0,1/2).

Para representar gráficamente la transformada de Fourier o manipularla numéricamente, es precisodiscretizar el intervalo de ω en el que se pretende trabajar. Por ejemplo, tomar la secuencia

X[k] = X(ejω) | ω=2πk/N

siendo N el número de puntos con los que se discretiza el intervalo (0,2π), correspondiente al primerperiodo de la transformada. De todos modos, si la secuencia x[n] no tiene una longitud finita, elcálculo de la suma (III.1) resulta inviable. En la práctica se define la transformada discreta de Fourier(DFT) como la secuencia con N muestras distintas de cero:

X[k] = ∑n=0

N-1 x[n] e-j2πkn/N k = 0, ..., N-1 (III.2.a)

cuya transformada inversa es:

x[n] = 1N

∑k=0

N-1 X[k] ej2πkn/N n = 0, ..., N-1 (III.2.b)

De la transformada discreta de Fourier puede decirse que:a) Coincide con la discretización de la transformada de Fourier, si la secuencia x[n] es distinta de cero

solamente en el intervalo [0,N-1];b) En caso contrario, supone un enventanado de la secuencia x[n] a transformar, de modo que la DFT

en realidad proporciona la discretización de la transformada de Fourier de la secuencia

xN[n] = x[n] vr[n]

donde vr[n] es la ventana rectangular:

vr[n] = pN[n]= 1 0 ≤ n ≤ N-1 0 para otro n


En este caso, la DFT inversa recupera las muestras de xN[n], es decir, las muestras de x[n]

correspondientes a los ordinales de n=0 a N-1.c) Cuando N es una potencia de 2, se puede calcular de forma muy eficiente mediante un algoritmo

denominado transformada rápida de Fourier (FFT), cuyo principio básico se analiza en el problema2.19.

d) Cuando la DFT corresponde a una secuencia real, verifica:

X[0] real (III.3.a)X[k] = X*[N-k] k = 1, ..., N-1 (III.3.b)

ya que la transformada de Fourier satisface la siguiente propiedad de simetría:

X(ejω) = X*(e-jω) = X*(ej(2π-ω))

Así, en el caso de secuencias reales, es suficiente representar el intervalo (0,π) de ω de latransformada de Fourier o las muestras entre 0 y N/2, ambas incluidas, de la DFT.

e) Si la secuencia X[k] se obtiene mediante el muestreo en frecuencia de la transformada deFourier

X[k] = X(ejω) | ω=2πk/N k = 0, ..., N-1 (III.4.a)

tiene como transformada inversa la secuencia de N muestras:

x'[n] = ∑r=-∞

∞ x[n + rN] n = 0, ..., N-1 (III.4.b)

que también puede expresarse:

x'[n] = pN[n] . ∑r=-∞

∞ x[n + rN]

La secuencia x'[n] coincide con x[n] solamente si las muestras de ésta fuera del intervalo [0, N-1]son todas nulas.

Se le plantea la siguiente cuestión:

3.- Si PM[k] (k=0,..., N-1) es la DFT de un pulso rectangular de M muestras y X[k] = (PM[k])2,

¿cuál es la secuencia x[n], DFT inversa de X[k]? Responda para los casos:a) M = 6, N = 5b) M = N = 6c) M = 6, N = 10d) M = 6, N = 14


III.2.2 Secuencias periódicas

Considérese una secuencia x[n] con periodo P. Esta secuencia puede expresarse en función de superiodo fundamental


mediante la relación

x[n] = ∑r=-∞

∞ xo[n + rP] (III.5.a)

Por otro lado, si Xo[k] es la DFT con P muestras de xo[n], cuando se elimina en la expresión (III.2.b)

de la DFT inversa la limitación temporal al intervalo [0, P-1], se obtiene una secuencia con periodo P

x~o[n] = 1P

∑k=0

P-1 Xo[k] ej2πkn/P

Ahora bien, al ser las muestras de xo[n] nulas fuera del intervalo [0, P-1], se verifica (III.4.a):

Xo[k] = Xo(ejω) | ω=2πk/P k = 0, ..., P-1

En consecuencia, de acuerdo con (III.4.b) y (III.5.a), x~o[n] coincide con x[n]. De este modo, x[n] puede

expresarse mediante la combinación lineal

x[n] = ∑k=0

P-1

~X[k] ej

2πP kn (II.5.b)

de las componentes frecuenciales ωk = 2πk/P para k = 0, ..., P-1, cuyos coeficientes son~X[k] = Xo[k]/P.

Este resultado es el equivalente al desarrollo en serie de Fourier de una señal analógica periódica. De

hecho los factores ~X[k] se denominan coeficientes del desarrollo en serie de Fourier discreta (DFS). Sin

embargo, no debe quedar sin alusión una notable diferencia entre ambos casos. En el dominioanalógico el número de armónicos (componentes con frecuencias múltiplos del fundamental) que secombinan para formar la señal es infinito. Sin embargo, coherentemente con la limitación de larepresentación frecuencial en el dominio discreto, el número de armónicos del fundamental ω1 = 2π/Pque se suman en (III.5.b), es únicamente P (k = 0, …, P-1), ya que el armónico P-ésimo ωP es enrealidad ωo, el armónico (P+1)-ésimo es ω1, la componente correspondiente a k = -1 es ωP-1, etc. En

el problema 2.11 se profundiza en el estudio de las propiedades de la DFS.


4.- Haga uso del resultado anterior para obtener la transformada de Fourier de una secuencia x[n]con periodo P. Obtenga también la transformada de un segmento de L muestras

xL[n] = x[n] pL[n]

De acuerdo con la expresión (III.5.a) una secuencia periódica x[n] puede verse como la respuesta a superiodo fundamental xo[n] del sistema 3 de la práctica II:

Sistema 3: y[n] = ∑r=-∞

∞ x[n + rP] (generador de periodicidad)

5.- Esta interpretación permite extraer consecuencias interesantes, cuya demostración se le pide:a) Una secuencia con periodo P puede modelarse como la respuesta al tren de pulsos

t[n] = ∑r=-∞

∞ δ[n + rP]

de un sistema con respuesta impulsional xo[n], tal como se simboliza en la figura III.1

b) La respuesta y[n] de un sistema lineal e invariante con respuesta impulsional h[n] a unasecuencia periódica x[n] es una secuencia con el mismo periodo. Esta secuencia puedeobtenerse como la respuesta del sistema 3 a la convolución de xo[n] y h[n] (respuesta axo[n] del sistema con respuesta impulsional h[n])

t[n] x[n]x [n]o

Fig. III.1 Representación de la secuencia periódica x[n] como respuesta de un sistema lineal e

invariante a un tren de deltas equiespaciadas t[n].

III.2.3 Identificación de un sistema recurrente

La respuesta impulsional h[n] caracteriza a un sistema lineal e invariante. Sin embargo, cuando sulongitud L es grande, una realización no recurrente para el sistema no proporciona una realizacióneconómica, ya que la relación entrada-salida del sistema:

y[n] = ∑k=0

L-1 h[n] x[n-k]

que es la propia convolución lineal, implica una gran carga computacional (L multiplicaciones ysumas por cada muestra de salida).


Para aliviar dicha carga, se determina (identifica) un sistema recurrente de orden P bajo, cuya respuestaimpulsional aproxime la respuesta impulsional dada, y se sustituye el sistema recurrente por elsistema recurrente diseñado. Sea

y[n] = - ∑k=1

P ak y[n-k] + G x[n] (III.6)

la relación entrada salida del sistema recurrente a diseñar. Como se comprueba sin dificultad, larespuesta impulsional ha[n] de este sistema satisface

ha[n] = - ∑k=1

P ak ha[n-k] para n> 0

En general, la respuesta impulsional a aproximar h[n] no cumplirá esta relación. No obstante, sepueden determinar los coeficientes ak de modo que la energía del error

Ee = ∑n

(h[n] + ∑k=1

P ak h[n-k])2 (III.7)

sea mínima. Obsérvese que el problema planteado es formalmente idéntico a la predicción linealintroducida en el ejemplo 2.11: se desea determinar los coeficientes de la combinación lineal queexpresa la muestra de la respuesta impulsional en un instante h[n] en función de las muestras eninstantes anteriores h[n-k].

6.- Demuestre que los coeficientes ak que minimizan el error cuadrático proporcionado por (III.7)

han de satisfacer el sistema de ecuaciones:

r[j] + ∑k=1

P ak r[k-j] = 0 j = 1, ..., P (III.8)

donde r[j] es la autocorrelación de la respuesta impulsional h[n].

III.2.4 La señal de voz

En la figura III.2 se proporciona una señal de voz muestreada a 8 kHz; el eje de abscisas está expresadoen muestras de señal. Resalta la presencia de segmentos de alta energía y con aspecto repetitivo, yotros segmentos de baja energía. Los primeros reciben el nombre de sonoros y los segundos sedenominan sordos. En la figura III.3 se presenta el detalle de un segmento sonoro y el logaritmo delmódulo de su transformada de Fourier; se puede apreciar que la señal es prácticamente periódica con unperiodo de 80 muestras (10 milisegundos).


Fig. III.2 Ejemplo de señal de voz muestreada a 8 kHz (eje de abscisas en muestras)

0 2 4 kHz

Fig. III.3 Ejemplo de segmento sonoro y el logaritmo del módulo de su transformada de Fourier


´

Impulsos

Ruido

A(z)VOZ

G

sonidos sordos

sonidos sonoros

exci tac iónmodelotracto vocal

Fig. III.4 Tracto vocal y modelo de producción de la voz

La señal de voz se produce al expulsar el aire de los pulmones y pasar éste por el tracto vocal antes deser emitido al exterior. Los sonidos sonoros (por ejemplo, las vocales) se producen con vibración delas cuerdas vocales; la onda periódica producida por las mismas se propaga por el tracto vocal, queproduce resonancias a unas frecuencias (las enfatiza) y atenúa otras, en modo similar a como el cuerpode una guitarra trata las vibraciones de cualquiera de sus cuerdas. Estas resonancias (que reciben elnombre de formantes) distinguen unos sonidos de otros y son gobernadas por el locutor al dar diversasformas al tracto vocal con los labios y la lengua fundamentalmente; en la voz normal, se sitúan entre200 Hz y 3,5 kHz. El periodo de la señal se corresponde con el periodo de vibración de las cuerdasvocales y define el tono; éste puede ser cambiado a voluntad por el locutor. El tono constituye la basede la melodía del canto. El intervalo frecuencial que un locutor puede abarcar con el tono de su voz esuna característica individual; el tono medio en los hombres es 130 Hz, mientras que las mujeres tienenun promedio de 220 Hz; en el habla normal se producen excursiones del tono dentro de una octava; enel canto la variación del tono puede llegar a dos octavas. Los sonidos sordos (por ejemplo, la efe o laese) se producen sin vibración de las cuerdas vocales, y se deben a una turbulencia generada en algúnpunto del tracto vocal en la que se produce una obstrucción voluntaria del mismo; esa turbulencia esmodificada espectralmente por el resto del tracto vocal que ha de recorrer antes de ser emitida por loslabios. En conjunto, la composición frecuencial de la voz se extiende desde los 50 Hz hasta los 7 kHz.

Esta descripción sugiere el modelo de producción de la voz que se muestra en la figura III.4: unaexcitación que modela la fuente sonora y un sistema que caracteriza al tracto vocal. Para los sonidossonoros la excitación es un tren de deltas periódico, cuyo periodo es el periodo del sonido y gobiernael tono de la voz; para los sonidos sordos, la excitación es ruido blanco (es decir, un proceso blanco).

Obsérvese que, por lo que a los sonidos sonoros se refiere, el modelo sigue la interpretación que de lasseñales periódicas se hizo en la cuestión 5.a de este estudio previo. Por lo tanto, en este modelo deproducción de la voz se puede identificar la respuesta impulsional del sistema que modela el tracto


vocal con un periodo del sonido sonoro. En la práctica este sistema se realiza de forma recurrentecomo describe la ecuación (III.6), siendo su función de transferencia:

H(z) = G

1 + ∑k=1

P ak z-k

(III.9)

En la figura III.5 se presenta la respuesta frecuencial correspondiente al sistema que modela un sonidosonoro; se observan las resonancias (formantes) a determinadas frecuencias.

Este modelo de producción de la voz tiene múltiples aplicaciones. Deben mencionarse la síntesis devoz (de la que se hará una experiencia en el laboratorio) y la reducción de la información que es precisotransmitir en una comunicación telefónica. Para entender esto último, piénsese que unos cuantosperiodos de señal pueden quedar representados por el periodo de la excitación y los coeficientes delsistema (típicamente entre 8 y 12); análogamente puede procederse con segmentos sordos. Así sepueden alcanzar reducciones que suponen la utilización de 0,3 bits por muestra, frente a los 8 bits pormuestra de la codificación PCM (habitual hoy en día en telefonía).

7.- Como ejercicio de integración de todo lo estudiado, se pide:a) Exprese un sonido sonoro x[n] en función de la respuesta impulsional del sistema que

modela el tracto vocal.b) Obtenga la transformada de Fourier de un segmento sonoro xL[n] de longitud L

(xL[n] = x[n] pL[n]) en función de la respuesta frecuencial del modelo del tracto vocal.

0 2 4 kHz

Fig. III.5 Sonido sonoro y logaritmo del módulo de la respuesta frecuencial del sistema que

modela el tracto vocal


c) A partir de la respuesta frecuencial del modelo de tracto vocal de la figura III.5, explique latransformada de Fourier del segmento sonoro que se presenta en la figura III.3. Enparticular, señale cómo se reflejan en dicha transformada el tono y los formantes de la voz.

d) Justifique el procedimiento que se expone en la experimento F de laboratorio para la síntesisde un sonido sonoro.

Como final de este estudio previo lea las experiencias a realizar en el laboratorio y organice su trabajoantes de acudir al mismo. Observe que para el primer experimento necesita un receptor de radio o unwalkman con auriculares (conector japonés) que deberá aportar para realizarlo.

III.3 En el laboratorio

A.- Para ilustrar el efecto de multiplicar una secuencia por (-1)n se le pide que haga dosexperiencias. En el menú "Archivo" de Sistemas elija el submenú "Demostraciones" yseleccione la opción "Demo 1"; en la placa EVM se cargará un programa que, trabajando conFm = 8 kHz y Fc = 3,6 kHz (a=13, b=36), tomará muestras del convertidor A/D, las

multiplicará por (-1)n y las llevará al convertidor D/A. Ahora:a) Lleve a la entrada del convertidor A/D una señal senoidal y contemple la salida del D/A en

la pantalla del osciloscopio. Modifique paulatinamente la frecuencia de la sinusoide ycompruebe la relación entre frecuencia de entrada y salida obtenida en el estudio previo.

b) Introduzca la señal de un receptor de radio o walkman en la entrada del convertidor A/D yescuche la señal a la salida del convertidor D/A. Explique el efecto de distorsión observado.En realidad se trata de un proceso muy simple de encriptado, ya que la señal original puedeser recuperada fácilmente. ¿Cómo? Busque colaboración para ponerlo en práctica.

B.- Compruebe sus resultados a la cuestión 3 del estudio previo. Para ello genere el pulso cuadradode longitud 20 muestras, posición en el origen y duración M=6 muestras; calcule su DFT,genere la nueva secuencia X[k] e invierta la DFT con los valores de N especificados. Si observaalguna discrepancia con su respuesta al estudio previo, trate de explicarla.

C.- Proceda al análisis de un segmento de voz. Elija en el submenú de "Señales" de Generación laopción "Segmento de voz"; tome, por ejemplo, el segmento 3 desde la muestra 1 con unalongitud de 512 muestras. Represente la señal; observará que una parte de la señal corresponde aun sonido sordo y otra a un sonido sonoro. Trate de determinar el periodo del sonido sonoro;para ello seleccione en "Límites" el margen de ordinales que le resulte más cómodo.

D.- De nuevo en el submenú "Señales", genere una señal que contenga un solo periodo del sonidosonoro; por ejemplo, de la muestra 376 en adelante. Calcule su DFT y represente su módulo.¿A qué frecuencias presenta el sonido los dos formantes más marcados? Elija el número depuntos N para la DFT que le proporcione la mayor precisión posible en la determinación de losformantes.

E.- Proceda ahora a obtener el modelo del tracto vocal correspondiente al segmento de voz que estáanalizando. Calcule la autocorrelación del periodo seleccionado en el apartado anterior. La


opción "Predicción lineal" del menú "Tratamiento" le proporciona una secuencia con loscoeficientes del denominador del sistema recurrente (III.9) que modela el tracto vocal. Elijaorden 8, por ejemplo. Pase a "Sistemas" y en el menú "Datos" tome la opción "Filtro FIR:Respuesta impulsional": así genera un sistema A(z) cuya respuesta impulsional está constituidapor los coeficientes calculados anteriormente:

A(z) = 1 + ∑k=1

P ak z-k

La acción anterior le deja en el menú "Función de transferencia"; seleccione la opción "Sistemainverso": así alcanza el modelo que buscaba. Represente el módulo de su respuesta frecuencial ycompárela con la transformada de Fourier del periodo sonoro calculada en el apartado D.¿Coinciden las posiciones de los formantes más significativos?

F.- Ahora sintetice voz:a) Obtenga la respuesta impulsional del modelo del tracto vocal; para ello use la opción

"Filtrado" del menú de "Tratamiento" para filtrar una secuencia impulso unidad.b) Genere un periodo correspondiente al sonido sonoro que está sintetizando; para ello, trate la

respuesta impulsional obtenida con la opción "Generar periodicidad" del menú"Tratamiento" y los siguientes parámetros: periodo de 80 muestras, muestra inicial 0 ylongitud igual al periodo.

c) Sintetice y escuche mediante los auriculares el sonido sonoro generado por dicho periodo.Para ello haga uso de la opción "Conversión D/A" del menú "Archivo" con una frecuenciade muestreo de 8 kHz (a=13, b=36).

Si repite los pasos anteriores con distintos periodos, podrá sintetizar el mismo sonido (una i,en el caso de que esté trabajando con el segmento 3 de voz) pero con notas fundamentales(tonos) distintos. Hágalo, por ejemplo, para tonos de 60 Hz y 200 Hz aproximadamente.


G.- En el procesado de señal la forma más común de determinar el periodo de una señal es hacer usode la autocorrelación de la misma. Seleccione un segmento periódico del segmento de vozanterior; por ejemplo, a partir de la muestra 250 con una longitud de 250 muestras. Calcule laautocorrelación de la secuencia como

r[n] = x[n] * x[-n]

y represéntela. ¿Cuál es el periodo de la señal? Justifique su respuesta.

IV Enventanado de secuencias 3 1 9

Práctica IV: Enventanado de secuencias

IV.1 Objetivos

En esta práctica se ilustra la influencia del enventanado en el tiempo de señales mediante dosaplicaciones de la transformada de Fourier en el procesado de señal: el análisis espectral y el diseño defiltros. Se utilizan como ejemplos la detección de sinusoides y el diseño de filtros FIR con fase linealen su respuesta frecuencial.

IV.2 Estudio previo

IV.2.1 La transformada de Fourier y el análisis espectral

En general, en el tratamiento digital de señales de larga duración (como es el caso en la inmensamayoría de las aplicaciones prácticas: voz, imagen, comunicaciones, etc.) es necesario descomponer laseñal en porciones sucesivas, para procesar por separado cada uno de los segmentos obtenidos. Cadauno de estos segmentos recibe el nombre de tramo. La necesidad de segmentar la señal puede surgir pordiversos motivos, de los que son los dos principales: que las características de la señal evolucionen conel tiempo e interese analizar esa evolución, o que el procesado deba hacerse en tiempo real evitando unretardo excesivo en el procesado (por ejemplo, carece de sentido esperar que la señal concluya, paraestablecer una comunicación) o adaptándose a la capacidad limitada de memoria y de cálculo de unprocesador.

La operación básica que permite definir un segmento, o tramo de señal, es el producto de la señal x[n]por una secuencia v[n] de duración finita, que recibe el nombre de ventana. La operación se denominaenventanado. Si este enventanado forma parte del proceso previo a un análisis espectral de la señal(determinación de sus componentes espectrales o cálculo de su transformada de Fourier), a la hora deinterpretar el resultado obtenido debe tenerse en cuenta que la transformada que realmente se evalúacorresponde a la señal enventanada. De este modo, en el análisis espectral de una secuencia x[n], siv[n] es la secuencia utilizada en el enventanado, la secuencia que en realidad es motivo del análisis es

x'[n] = x[n] v[n]


cuya transformada de Fourier es la convolución en un periodo de las transformadas de x[n] y v[n]:

X'(ejω) = X(ejω) o2π V(ejω) = 1

2π ∫-π

π X(ejλ) V(ej(ω-λ)) dλ

Se comprende que, en principio, se postule como ventana ideal aquella que no altere la transformada,es decir, aquella secuencia vI[n] cuya transformada de Fourier sea

VI(ejω) = 2π ∑i=-∞

∞ δ(ω - 2π i)

ya que la convolución con la función delta de Dirac δ(ω) no genera distorsión. Esta ventana esvI[n] = 1, esto es, ausencia de enventanado. En consecuencia, la necesidad de utilizar una ventana

obliga a aceptar distorsión en la transformada de la señal.

1.- Considere una sinusoide de pulsación ωο

x[n] = A cos(ωοn + θ)

que se enventana con v[n] de longitud L, y de la que se calcula la DFT con N muestras.Demuestre que, si L≤N, la DFT proporcionará la secuencia resultado de muestrear a intervalos2π/N la transformada

X'(ejω) = 12 A ejθ V(ej(ω-ωο)) +

12

A e-jθ V(ej(ω+ωο))

donde V(ejω) es la transformada de Fourier de la ventana v[n].

La ventana más sencilla es la ventana rectangular

vr[n] = pL[n]= 1 0 ≤ n ≤ L-1 0 para otro n


VR(ejω) = e- jL-12 ω

sen12Lω

sen12ω

2.- En la figura IV.1 se muestra el módulo de la transformada de Fourier de una ventana rectangularde longitud L=31 muestras. Bosqueje el módulo de la transformada de Fourier de una sinusoidede frecuencia fo=1/4 observada mediante una ventana rectangular de 31 muestras.


Fig. IV.1 Módulo de la transformada de Fourier de una ventana rectangular de 31 muestras

En el caso de una secuencia x[n] que presente varias componentes frecuenciales (como ya es el caso dela señal senoidal), se razona, como consecuencia del resultado anterior, que la transformada de lasdiversas componentes se interferirán entre sí. Como se ilustra más adelante, son parámetros decisivosen la naturaleza de esta interferencia la anchura del lóbulo principal (el lóbulo centrado en ω = 0) y laamplitud de los lóbulos secundarios de la transformada de la ventana. En cuanto al lóbulo principal sepuede escribir que su máximo es

Ap = VR(ejω) | ω=0 = VR(1) = ∑n=-∞

∞ vr[n] = L

y la anchura ∆ω (medida entre ceros de la transformada) viene dada por

∆ω = 2π/L - (-2π/L) = 4π/L

De este modo, cuando la longitud de la ventana aumenta, el lóbulo principal se hace más estrecho ycrece su máximo; en otras palabras, tiende a parecerse al comportamiento ideal δ(ω). El máximo Asdel primer lóbulo secundario ocurre aproximadamente para

ωs = 3π/L

cuando, tras el cero que marca el límite del lóbulo principal, el valor absoluto del numerador de

VR(ejω) se hace máximo, es decir


sen 12 Lωs = -1

Así, para L>>1 como es usual,

As = | sen

12Lωs |

| sen12ωs |

≈ 1

12

3 πL

= 2L3π

que revela un comportamiento inconveniente, ya que la amplitud del lóbulo secundario crece con lalongitud de la ventana. Concretamente, la razón entre los máximos del lóbulo principal y el mayorlóbulo secundario permanece constante independiente de L; este cociente, expresivo del nivel relativode los lóbulos secundarios respecto el principal, suele expresarse en forma logarítmica mediante

αps = 20 log Ap / As ≈ 20 log (3π/2)

A título de ejemplo, en la figura IV.2 se proporciona el módulo de la transformada de Fourier de dosseñales compuestas por tres tonos enventanadas con una ventana rectangular de 31 muestras. Ambasseñales tienen en común dos tonos con frecuencias f1=0,15 y f2=0,35 y amplitudes A1=1 y A2=0,2

respectivamente; se diferencian en la frecuencia de la tercera componente (con amplitud A=0,8 enambas): f3=0,16 en una y f3=0,05 en la otra. La señal de la parte a) de la figura presenta dos tonos con

frecuencias muy próximas (su separación es mucho menor que la anchura del lóbulo principal de latransformada de la ventana) y no se aprecian distintamente en la transformada. Por otro lado, lapresencia del tono con frecuencia f2=0,35 no destaca claramente entre los lóbulos secundariosproducidos por los tonos de mayor amplitud, ya que el módulo de la transformada en f2=0,35 no

sobrepasa su valor en f=0,11 o f=0,2. En la señal de la parte b) de la figura IV.2 los tonos mayorestienen frecuencias muy diferentes (f1=0,15 y f3=0,05) y la transformada de Fourier los distingue

a)


b)

Figura IV.2 Módulo de la transformada de Fourier de dos señales compuestas por tres tonos enventanadas

mediante una ventana rectangular con longitud L=31. Las frecuencias y amplitudes de los tres tonos sonf1=0,15, A1 = 1, f2=0,35, A2=0,2 y: a) f3=0,16, A3=0,8; b) f3=0,05, A3=0,8.

nítidamente, ya que su separación excede la anchura del lóbulo principal; el tono con frecuenciaf2=0,35 sigue enmascarado por los lóbulos secundarios.

Las observaciones del ejemplo anterior pueden generalizarse de modo sencillo. En primer lugar, laanchura del lóbulo principal de la transformada de la ventana determina la capacidad para resolver lapresencia de componentes frecuenciales con amplitud similar y frecuencias próximas entre sí. Además,el nivel del lóbulo secundario condiciona la sensibilidad para detectar tonos en presencia de otros conmayor potencia.

La amplitud del lóbulo secundario de la ventana rectangular es excesivo en gran número deaplicaciones. Por ello se han propuesto otras ventanas que, aunque a costa de una mayor anchura dellóbulo principal, presentan lóbulos secundarios de mucha menor amplitud.

3.- Considere la ventana triangular de longitud impar L = 2α + 1

vt[n] = vt[L-1-n] = 1 -

|n-α |α+1 0 ≤ n ≤ L-1

0 para otro n

cuya transformada de Fourier (en función de L) ya calculó en el ejercicio 1 del estudio previo dela práctica anterior. Determine la anchura de su lóbulo principal y el nivel relativo de lóbulosecundario.


Figura IV.3 Módulo de la transformada de Fourier de una señal compuesta por tres tonos enventanada

mediante una ventana triangular con longitud L=31. Las frecuencias y amplitudes de los tres tonos sonf1=0,15, A1 = 1, f2=0,35, A2=0,2 y f3=0,05, A3=0,8.

En la figura IV.3 se representa el módulo de la transformada de Fourier de la secuencia de la figuraIV.2.b enventanada por la ventana triangular con 31 muestras de longitud. La reducción de la amplitudde los lóbulos secundarios (que esta ventana proporciona con relación a la ventana rectangular) permiteque la presencia del tono de menor amplitud se detecte claramente. El precio a pagar es el notableincremento de la anchura del lóbulo principal que, para una longitud de ventana fija, reduce laresolución de la nueva ventana.

Tabla IV.1 Las ventanas más usuales y sus parámetros

Ventana v[n] 0 ≤ n ≤ L-1 ∆ω αps dB

Rectangular 1 4π/L 13

Hamming 0,54 - 0,46 cos (2πn/(L-1)) 8π/L 41

Blackman 0,42 - 0,5 cos (2πn/(L-1)) +0,08 cos (4πn/(L-1))

12π/L 57


En el programa 62 se dispone de las ventanas de Hamming, Blackman y Kaiser. Todas ellas son delongitud finita L, de forma que verifican:

v[n] = 0 para n < 0 y n > L-1

En la tabla IV.1 se proporcionan forma, anchura del lóbulo principal y nivel relativo de lóbulosecundario para las ventanas rectangular, de Hamming y de Blackman.

IV.2.2 Diseño de filtros FIR de fase lineal

Sea HI(ejω) la respuesta frecuencial de un filtro ideal. Su transformada de Fourier inversa nosproporciona la respuesta impulsional hI[n] del mismo, que se extiende desde n = -∞ hasta ∞.

4.- Calcule la respuesta impulsional de un filtro paso banda ideal cuya respuesta frecuencial es

HI(ejω) = 1 para ωc - Bω/2 ≤ |ω| ≤ ωc + Bω/2HI(ejω) = 0 para cualquier otro valor de ω entre -π y π

donde ωc es la pulsación central de la banda de paso y Bω su ancho de banda.

Si la respuesta impulsional del filtro ideal se retarda α muestras y se enventana con una ventana real ysimétrica

v[n] = v[L-1-n] (IV.1)

de longitud L=2α+1, se obtiene la respuesta impulsional

h[n] = hI[n-α] v[n]

de un filtro FIR causal con L coeficientes (obsérvese que α = (L-1)/2). La respuesta frecuencial de estefiltro presenta fase lineal y aproxima el comportamiento paso banda ideal. En efecto:

5.- Compruebe que la transformada de Fourier V(ejω) de la ventana que verifica la condición desimetría (IV.1), puede expresarse

V(ejω) = e-jL-12 ω Vr(e

jω)

donde Vr(ejω) es una función real y par de ω.

6.- Demuestre que la respuesta frecuencial del filtro FIR diseñado por el procedimiento descritoresponde a la forma


H(ejω) =( e-jL-12 ω HI(e

jω) ) o2π V(ejω) = e -jL-12 ω Hr(e

jω)

donde L es la longitud de su respuesta impulsional, o2π denota la convolución en un periodo y

Hr(ejω) es una función real y par.

7.- A partir de la relación anterior, razone los siguientes efectos de la transformada de Fourier de laventana sobre la respuesta frecuencial (ilustrada en la figura IV.4) de un filtro FIR obtenido apartir de un paso bajo ideal:a) la anchura del lóbulo principal determina la anchura ∆ω de la banda de transición entre las

bandas de paso y atenuada del filtro, ya que aproximadamente

ωp = ωc - ∆ω/2 ωa = ωc + ∆ω/2

b) la amplitud de los lóbulos secundarios determina la magnitud δ del rizado de la respuestafrecuencial en las bandas de paso y atenuada (el rizado depende de la diferencia entre el áreade los distintos lóbulos secundarios de la transformada de la ventana).

8.- Extienda dichos efectos a la respuesta frecuencial de un filtro paso banda diseñado mediante elenventanado de la respuesta impulsional ideal.

El módulo de la respuesta frecuencial de los filtros suele expresarse en forma logarítmica por medio dela función de atenuación α(ω) definida mediante

α(ω) = - 20 log( | H(ejω) / Href | )

donde Href es un valor de referencia, que habitualmente se toma como el valor nominal del módulo dela respuesta frecuencial en la banda de paso (en el caso de la figura IV.4 Href = 1). Así, con una

amplitud máxima δ para el rizado de la respuesta frecuencial en las bandas de paso y atenuadas, se tieneuna variación máxima para la atenuación en las bandas de paso

αp = - 20 log(1 - δ) - - 20 log(1 + δ) = 20 log 1 + δ1 - δ

y una atenuación mínima en las bandas atenuadas

αa = - 20 log δ

Las diversas ventanas (rectangular, de Hamming, de Blackman) son distintos ejemplos delcompromiso entre anchura del lóbulo principal y nivel de lóbulos secundarios; o, dicho en términos dela respuesta frecuencial de los filtros obtenidos por su mediación, representan diversas alternativasentre la anchura de las bandas de transición y la magnitud δ del rizado en bandas de paso y bandas


///////////////////////

///////////////////////////

//////////////////////////////

/////////////////////

1 + δ

1 − δ

δ

− δ ω

H R

ω p ωc ω a

∆ω = p ω a− ω

Fig. IV.4 Representación, sin el término de fase lineal, de la respuesta frecuencial de un filtro paso bajo

obtenido enventanando la respuesta impulsional ideal (en trazo discontinuo se incluye la respuesta

frecuencial ideal).

atenuadas. Sin embargo, dado que la amplitud del rizado proporcionado por cada una de dichas ventanases fijo (αa = 21 dB, 53dB y 74 dB, respectivamente), su utilización en el diseño de filtros adolece de

rigidez. Con la intención de ganar flexibilidad, Kaiser propuso una familia de ventanas dependientes deun parámetro β:

v[n] =

Io[β√(1-[(n-α)/α]2)]Io(β)

0 ≤ n ≤ L-1

0 para otro n

(IV.2)

donde α = (L-1)/2 y L es la longitud de la ventana. El parámetro β permite elegir a voluntad el nivelde lóbulos secundarios de la ventana, de modo que una vez elegido éste la longitud L determina laanchura del lóbulo principal. Kaiser estableció empíricamente que, para obtener un rizado δ en bandade paso y banda atenuada de un filtro, debía tomarse en función de αa el siguiente valor para β:

β = 0,1102 (αa-8,7) αa > 500,5842 (αa-21)0.4 + 0,07886 (αa-21) 21 < αa ≤ 50 (IV.3)0 αa ≤ 21

(β=0 genera la ventana rectangular). La longitud L de la ventana se elige en función de la anchuradeseada ∆ω para la banda de transición:

L = α a - 8

2,285 ∆ ω (IV.4)


Dado el carácter empírico de las expresiones (IV.3 y 4), en general los valores de β y L deben serestablecidos tras algún ejercicio de prueba y error, comprobando que el diseño alcanzado satisface lasespecificaciones de partida y corrigiendo β y L si fuese preciso.

9.- Determinea) las especificaciones del filtro ideal ωc (pulsación central de la banda de paso) y Bω (ancho

de banda de la banda de paso),b) y de la ventana β (parámetro de forma) y L (duración),para obtener un filtro paso banda que, trabajando con una frecuencia de muestreo de 8 kHz,proporcione una banda de paso entre las frecuencias 1,5 kHz y 2,5kHz y presente unaatenuación superior a 30 dB por debajo de 1 kHz y por encima de 3,25 kHz.

Para obtener la respuesta impulsional del filtro FIR de fase lineal deben seguirse los siguientes pasosen el programa 62:a) En el submenú "Respuestas impulsionales" del menú "Generación" se ha de elegir la opción

correspondiente a la configuración de las bandas que se desea, indicando las frecuencias centrales delas bandas, sus anchos de banda y la longitud de la respuesta impulsional deseada L. Se obtiene asíla respuesta impulsional correspondiente al filtro ideal especificado enventanada con la ventanarectangular y desplazada para que el filtro sea causal.

b) En el submenú "Ventanas" se genera la ventana de Kaiser con el parámetro β requerido y lalongitud L.

c) Por último, mediante la opción "Producto" del menú "Tratamiento" se enventana con la ventana deKaiser obtenida la respuesta impulsional determinada previamente en el menú de "Generación".Esto proporciona la respuesta impulsional del filtro deseado.


IV.3 En el laboratorio

A.- Genere sendas ventanas rectangular y de Hamming con L=31 muestras a partir del origen(longitud=duración=31, posición=0), calcule su DFT con N=512 puntos (mediante la FFT) y elmódulo de ésta (utilice la opción "Módulo" del submenú "Muestra a muestra" de"Tratamiento"). Determine la anchura y la amplitud del lóbulo principal y la amplitud delmayor lóbulo secundario de la transformada de cada ventana4. Obtenga el logaritmo αps de la

relación de amplitudes de los lóbulos principal y secundario.

B.- Genere una sinusoide de 31 muestras con una frecuencia f=1/18, y obtenga y represente elmódulo de su transformada de Fourier. Observe la apariencia de esta transformada y determine yjustifique el valor y la posición de su máximo. Repita la experiencia con una sinusoide de

4 Para averiguar el valor del máximo, haga uso de la opción "Editar secuencia" del menú de "Generación" de señales.


frecuencia mitad. Anote y justifique las diferencias observadas en la apariencia de latransformada y en el valor y posición de su máximo.

C.- Repita la experiencia anterior enventanando5 las sinusoides con una ventana de Hamming de 31muestras de longitud. Compare con los resultados del caso anterior y justifique las diferenciasanotadas.

D.- Mediante la opción "Leer secuencia" de "Archivo" tome, por ejemplo, la secuenciaMULTONO1, cuya descripción general se proporciona en el comentario que la acompaña.Determine la frecuencia y la potencia de los tonos que contiene; para ello, analice el módulo dela transformada de Fourier de la secuencia enventanada adecuadamente. Anote las ventanasutilizadas y los resultados obtenidos con cada una de ellas. Comente la precisión que le otorga alas estimaciones realizadas.

E.- Obtenga la respuesta impulsional del diseño propuesto en la cuestión 9 del estudio previo,genere el sistema correspondiente con la opción "Filtro FIR: respuesta impulsional" ycompruebe que su atenuación cumple las especificaciones. Haga uso de la opción "Filtradoanalógico" con una frecuencia de muestreo de 8 kHz (a=13, b=36) para filtrar una señalsenoidal; cambie paulatinamente la frecuencia de la señal y verifique que la respuesta frecuencialdel sistema se comporta según lo previsto.

5 El enventanado se produce con la opción "Producto" del menú "Tratamiento" de secuencias, realizando el producto

entre la ventana y la secuencia a enventanar.

V Diezmado e interpolación 3 3 1

Práctica V: Diezmado e interpolación

V.1 Objetivos

En esta práctica se ilustra la aplicación del diezmado y la interpolación en comunicaciones mediante eldiseño de un sistema multiplexor/demultiplexor de dos canales telefónicos: uno de voz y otro de datos.Se presta especial atención al diseño de los filtros interpoladores y diezmadores, estudiando larepercusión de las propiedades de sus respuestas frecuenciales en las prestaciones del sistemamultiplexor/demultiplexor.

V.2 Estudio previo

V.2.1 Interpolación y diezmado

Antes de pasar al estudio de la aplicación práctica del diezmado y la interpolación que se le proponepara esta sesión de trabajo en el laboratorio, resuelva los siguientes ejercicios que le servirán de repasode los conceptos básicos de ambas operaciones.

1.- Sean y0, y1, y2 e y3 cuatro valores de una función correspondientes a valores equiespaciadosx0, x1, x2 y x3 de la variable. La fórmula de interpolación cúbica de Lagrange proporciona elsiguiente valor y para la función en el punto medio entre x1 y x2:

y = - 116

y0 + 916

y1 + 916

y2 - 116

y3

A partir de esta información, proponga la respuesta impulsional para un filtro causalinterpolador por 2 que conserve inalteradas en la secuencia interpolada y[n] las muestras de lasecuencia a interpolar x[n].

2.- Como se comprobará en el laboratorio, el interpolador anterior, aunque mejor que elinterpolador lineal, sólo interpola correctamente señales de baja frecuencia. Se le pide ahora eldiseño de un filtro FIR paso bajo para interpolar por 2 una señal telefónica, que supondremoscon componentes entre 300 Hz y 3,4 kHz y muestreada a 8 kHz. Determine el parámetro β para


conseguir una atenuación de 40 dB en la banda atenuada haciendo uso de la ventana de Kaiser, ylos límites de la banda de transición para que en la banda de paso del interpolador quepa la señaltelefónica y la banda atenuada elimine el alias indeseado. Finalmente, obtenga la longitud L dela respuesta impulsional del filtro.

3.- Justifique que el filtro diseñado en el apartado anterior es un filtro adecuado para evitar elaliasing en la banda de frecuencias de la señal telefónica al diezmar por 2 una señal de voz, cuyoancho de banda alcanza los 7 kHz aproximadamente, adquirida con una frecuencia de muestreode 16 kHz.

V.2.2 Sistema multiplexor / demultiplexor de dos canales

Es práctica habitual en comunicaciones que varias señales compartan el mismo medio de transmisión;ejemplos típicos son la radiodifusión (múltiples estaciones emisoras se difunden a través de laatmósfera) y la telefonía (el mismo cable porta cientos de conversaciones simultáneamente). Estapráctica recibe el nombre de multiplexión y la operación de separar las señales se denominademultiplexión. Para que las distintas señales no se interfieran entre sí (o puedan ser recuperadas sincontaminación de las demás) es preciso prepararlas antes de juntarlas en el medio de transmisióncomún. Una alternativa es situar cada señal en una banda distinta del espectro; esta técnica recibe elnombre de multiplexión por división en frecuencia (FDM).

El diezmado y la interpolación son imprescindibles cuando la multiplexión o la demultiplexión enfrecuencia se realiza mediante procesado de señal a tiempo discreto. En la figura V.1 se muestra elesquema de un multiplexor de dos señales paso bajo, que suponemos que han sido muestreadas sinaliasing. La primera señal es interpolada por un filtro H1 paso bajo; la segunda es interpolada pasoalto con el filtro H2; finalmente, ambas señales son sumadas para generar la secuencia s[n], compuesta

por ambos canales.

4.- Suponga que los interpoladores del multiplexor de la figura V.1 son ideales y que las señales deambos canales son paso bajo y han sido obtenidas muestreando sin aliasing. Represente el

1

2

A

B

s[n]

H2

H1

⊕

2

2

Fig. V.1 Multiplexor de dos canales


espectro de las secuencias en los puntos A y B y de la secuencia s[n]. Compruebe que lasseñales multiplexadas no comparten componentes frecuenciales.

5.- Si las señales a multiplexar se han muestreado a una frecuencia de 8 kHz, determine lafrecuencia de muestreo para convertir D/A la secuencia s[n] y obtener así la señal analógica conlos canales multiplexados. Escale en términos de la frecuencia analógica los ejes de abscisas dela representación de espectros realizada en el apartado anterior.

Si en el extremo de recepción la señal multiplexada es convertida A/D, la demultiplexión puederealizarse mediante diezmado, tal como se representa en la figura V.2. La señal compuesta es filtrada ydiezmada; la señal del canal 1 se recupera mediante un filtrado paso bajo, mientras que la señal delcanal 2 se demultiplexa por un filtro paso alto.

C1

2

s[n]

D

H2

H1

2

2

Fig. V.2 Demultiplexor de dos canales

6.- Suponga que el espectro de la secuencia s[n] es el obtenido en el apartado 4 y los filtros H1 yH2 los mismos de la figura V.1. Represente los espectros de las secuencias en los puntos C y

D y compruebe que, tras el diezmado, recupera las señales correspondientes a cada canal.

7.- Si se toma la respuesta impulsional h2[n] del filtro H2 como:

h2[n] = (-1)n h1[n] (V.1)

donde h1[n] es la respuesta impulsional del filtro paso bajo H1, demuestre que el filtro obtenido

es paso alto. Si las señales a multiplexar corresponden a sendos canales telefónicos, el filtrointerpolador diseñado en el apartado 2 puede utilizarse para el canal 1 en los esquemasmultiplexor y demultiplexor; compruebe que el filtro obtenido haciendo uso de (V.1) esadecuado para el canal 2.


Para poder experimentar en el laboratorio con los sistemas multiplexor y demultiplexor estudiados,éstos han sido programados6 en la demostración 3 del programa 62 (disponible en el submenú"Demostraciones" del menú "Archivo" de Sistemas). Cuando se invoca esta "Demo 3", se carga en laplaca EVM un programa que ofrece diversas opciones de operación; el modo de trabajo se seleccionamediante un menú que se muestra en la pantalla del PC. Las opciones posibles y la acción que realizanson las siguientes:

1.- Seleccionar filtro: solicita el nombre del fichero que contiene el filtro H1; cuando seresponde <RETURN>, se toma como respuesta impulsional del filtro h1[n]=δ[n].

Esta opción permite especificar el filtro a utilizar en cualquiera de los modos detrabajo siguientes.

2.- Interpolador por 2: adquiere la señal presente en el convertidor A/D con unafrecuencia de muestreo de 8 kHz (a=13, b=36), la interpola mediante H1 por 2 y la

convierte D/A con una frecuencia de 16 kHz (a=6, b=39). Esta es la opción que seselecciona por defecto al llamar a la demostración; en dicho momento el fitro H1 esh1[n]=δ[n].

3.- Multiplexor: adquiere la señal presente en el convertidor A/D con una frecuencia demuestreo de 8 kHz y la multiplexa (canal 1), de acuerdo con el esquema de la figuraV.1, con una señal de datos (canal 2), constituida por un tono cuya frecuencia alternaaleatoriamente entre 1 y 3 kHz; finalmente, la señal compuesta es llevada alconvertidor D/A, que trabaja con un frecuencia de 16 kHz.

4.- Demultiplexor (canal 1): adquiere la señal presente en el convertidor A/D con unafrecuencia de muestreo de 16 kHz, recupera la señal del canal 1 y la pasa alconvertidor D/A que trabaja con una frecuencia de 8 kHz. Esta opción realiza unfiltrado paso bajo mediante H1 y un diezmado por 2.

5.- Demultiplexor (canal 2): adquiere la señal presente en el convertidor A/D con unafrecuencia de muestreo de 16 kHz, recupera la señal del canal 2 y la pasa alconvertidor D/A que trabaja con una frecuencia de 8 kHz. Esta opción realiza unfiltrado paso alto mediante H2 y un diezmado por 2.

6.- Multiplexor + Demultiplexor (canal 1): combina los modos 3 y 4; sin embargo, eneste caso la señal compuesta s[n] es llevada al demultiplexor sin ser convertida aseñal analógica. Los convertidores A/D y D/A trabajan a 8 kHz.

7.- Multiplexor + Demultiplexor (canal 2): combina los modos 3 y 5; sin embargo, eneste caso la señal compuesta s[n] es llevada al demultiplexor sin ser convertida aseñal analógica. Los convertidores A/D y D/A trabajan a 8 kHz.

8.- Salir: permite dejar la demostración y retornar a 62.En todo momento la opción activa es indicada mediante un asterisco a la izquierda del número deorden.

En la descripción anterior del funcionamiento del sistema se ha supuesto que H1 es un filtro paso

bajo, de acuerdo con los esquemas conceptuales de las figuras V.1 y V.2. En realidad este filtro puedeelegirse libremente, de modo que las prestaciones del sistema dependerán de las características de este

6 Se desea dejar constancia del agradecimiento a Luis Ubeda, estudiante de PFC, que programó la demostración.


filtro; por ejemplo, si H1 se diseña paso alto, el canal 1 se multiplexará en la parte alta del espectro yel canal 2 en la baja; o, si H1 es paso banda, el diezmado realizado por la opción 4 incluirá un filtrado

previo paso banda (no paso bajo).

Como final de este estudio previo lea las experiencias a realizar en el laboratorio y organice su trabajoantes de acudir al mismo. Observe que para varios experimentos necesita un receptor de radio o unwalkman con auriculares (conector japonés) que deberá aportar para realizarlo.

V.3 En el laboratorio

A.- Mediante la opción "Editar secuencia" del menú "Generación" escriba la respuesta impulsionaldel interpolador (Lagrange) diseñado en el apartado 1 del estudio previo. Construya el sistemaFIR correspondiente con la opción "Filtro FIR: respuesta impulsional"7. Examine su respuestafrecuencial; si se considera una buena interpolación aquélla en la que los alias de la señal ainterpolar quedan por debajo de ésta al menos en 40 dB, estime la banda de frecuencias que elfiltro de Lagrange interpola adecuadamente. Modifique la constante multiplicativa de su funciónde transferencia para obtener una ganancia unidad en la banda de paso (ello evitará más adelantesaturaciones en el µDSP) y guarde el sistema en un fichero.

B.- Invoque la "Demo 3", que comenzará actuando como interpolador, y seleccione el interpoladorLagrange como filtro. Introduzca en el convertidor A/D un tono y varíe su frecuencia,comprobando la banda de frecuencias en el que se obtiene una interpolación correcta. Describa ladistorsión observada en la señal cuando la interpolación no es adecuada.

C.- Diseñe el interpolador (Kaiser) especificado en el apartado 2 del estudio previo, dándole unaganancia unidad en la banda de paso. Compruebe que satisface las especificaciones y guárdelo enun fichero. Observe su funcionamiento como interpolador, comparándolo con el anterior.

D.- Seleccione la opción 4, que realiza un diezmado por 2, invoque la opción "Seleccionar filtro" yconteste con <RETURN> (ahora la demostración trabaja con el filtro h1[n]=δ[n]). Alimente el

convertidor A/D con una sinusoide, haciendo una excursión en frecuencia (por ejemplo, de 1 a7 kHz), y observe la frecuencia de la salida obtenida en el convertidor D/A. Establezca larelación entre las frecuencias de las sinusoides a la entrada del convertidor A/D y a la salida delconvertidor D/A, y explíquela ayudándose de un diagrama de bloques descriptivo de laexperiencia.

7 Como procedimiento alternativo, puede generar directamente el sistema mediante la opción "Editar coeficientes"

del submenú "Función de transferencia" del menú "Datos" de Sistemas.


E.- Póngase de acuerdo con sus compañeros de un puesto de trabajo vecino; en un puesto elijan laopción "Multiplexor" y en el otro el modo "Demultiplexor (canal 1)"8. Alimente el convertidorA/D con la señal de voz obtenida del walkman; usando el filtro interpolador Kaiser, escuche yobserve en el osciloscopio la señal recibida por el canal 1. Cambie al filtro Lagrange; anote yjustifique el cambio de comportamiento advertido.

F.- Demultiplexe el canal 2; escuche y observe la señal de dicho canal, cambiando el nivel de laseñal de entrada al canal 1. Vuelva a usar el filtro Kaiser; tome nota del cambio decomportamiento advertido y explíquelo. En concreto, analice la amplitud de los dos tonos queconstituyen la señal del canal 2.

Experiencias opcionales:

G.- En la misma situación del apartado D, alimente ahora el sistema diezmador con la señal de vozobtenida del walkman; escuche la señal disponible después del diezmado en el convertidor D/A:lo que escucha es una señal distorsionada por el aliasing. La situación es equivalente almuestreo con una frecuencia de 8 kHz cuando se utiliza un filtro antialiasing con un ancho debanda de 7,8 kHz. Seleccione el filtro Kaiser y vuelva a escuchar la señal disponible tras eldiezmado; aunque ahora no se produce aliasing, no se aprecia fácilmente la diferencia con elcaso anterior; ¿podría sugerir una explicación?

H.- En el caso de la voz el beneficio del filtro reconstructor es mucho más apreciable que el efectodel filtro antialiasing (que es pequeño, como puede observarse con la experiencia G). Paraadvertir el efecto del filtro reconstructor se le propone el siguiente experimento: seleccione elmodo de trabajo 2 ("Interpolación") de la demostración y tome como filtro h1[n]=δ[n]; alimente

el sistema con el walkman y escuche la señal disponible en el convertidor D/A. La situación esequivalente a la conversión D/A con un filtro reconstructor cuyo ancho de banda es igual a lafrecuencia de muestreo. Seleccione el filtro Kaiser y vuelva a escuchar la señal a la salida delconvertidor D/A: la distorsión ha desaparecido. Justifique este resultado mediante el bosquejodel espectro de la señal analógica obtenida a la salida del convertidor D/A con y sin el filtro deKaiser.

8 Como opción alternativa puede escoger la opción Multiplexor + Demultiplexor (canal 1) y trabajar con un solo

puesto de laboratorio.

VI Diseño de filtros 3 3 7

Práctica VI: Diseño de filtros

VI.1 Objetivos

Esta práctica se dedica al estudio de los sistemas lineales e invariantes definidos por ecuaciones endiferencias finitas y el diseño de filtros. Se inicia con el estudio del diagrama de ceros y polos y surelación con las respuestas impulsional y frecuencial de estos sistemas, tanto si son FIR de fase linealcomo IIR. Se prosigue con la utilización de la transformación bilineal para el diseño de un filtro IIRpaso banda y se concluye con el rediseño del filtro paso bajo utilizado en el esquema de multiplexiónde la práctica anterior.

VI.2 Estudio previo

VI.2.1 Diagrama de ceros y polos, respuesta impulsional y respuesta frecuencial

El diagrama de ceros y polos de la función de transferencia de un sistema constituye una representacióneficiente de su comportamiento, ya que a partir del mismo pueden inferirse a grandes rasgos laspropiedades de su respuesta temporal y frecuencial.

1.- En la figura VI.1 se proporciona el diagrama de ceros y polos de un filtro FIR. Bosqueje lasrespuestas frecuencial e impulsional del mismo, si todos los ceros son simples.

Fig. VI.1 Diagrama de ceros y polos de un filtro FIR


La relación entre la entrada e[n] y la salida s[n] de un sistema IIR de orden 2 responde a la expresión:

s[n] = - a1 s[n-1] - a2 s[n-2] + H ( e[n] + b1 e[n-1] + b2 e[n-2] )

siendo su función de transferencia:

H(z) = H 1 + b1 z-1 + b2 z-2

1 + a1 z-1 + a2 z- 2

La respuesta frecuencial puede escribirse:

H(ejω) = H (z) | z = ejω = H (z - c1)(z - c2)

(z - d1)(z - d2) | z = ejω

en función de los ceros de los polinomios numerador o denominador de la función de transferencia. Siel sistema es real y d1 es complejo, se cumple que d2 = d1*.

2.- La respuesta impulsional del sistema anterior responde a la expresión

h[n] = A δ[n] + B rn cos(ωon + θ) u[n] (VI.1)

Calcule la transformada z de esta secuencia y, mediante identificación de coeficientes, determinelos parámetros A, r y ωo de h[n] en función de los coeficientes de la función de transferenciadel sistema. Establezca las condiciones que han de cumplir a1 y a2 para que h[n] sea una

sinusoide amortiguada.

En la figura VI.2 se muestra el vector

(z - d) | z = ejω

que representa la contribución a la respuesta frecuencial del sistema de un polo situado en d=rejωo (conr<1 por tratarse de un sistema causal y estable). Esta contribución presenta un mínimo de su módulode valor 1-r en ω=ωo, que implica una resonancia (pico) en la respuesta frecuencial.

3.- Si el polo está suficientemente próximo a la circunferencia de radio unidad (r ≈ 1), la respuestafrecuencial en el entorno de ωo está dominada por la contribución del polo y presenta unaresonancia (pico). Aceptando que en el entorno de ωo se puede aproximar la circunferencia por

la tangente, establezca la siguiente aproximación para Bω, el ancho de banda a 3 dB de laresonancia:

Bω ≈ 2 ( 1 - r ) (VI.2)

Es ilustrativo observar el efecto de la proximidad del polo a la circunferencia de radio unidad sobre lasrespuestas impulsional y frecuencial del sistema. En términos generales, puede afirmarse que, cuanto


r

d

ω

a) b)

d

ωω

a) b)

1-r

1

ωo

ο

ωB /2

ωB /2

(e - p) j ω (e - d) ω j

Fig. VI.2 Vector que representa la contribución de un polo a la respuesta frecuencial:a) situación en el plano complejo z; b) ampliación en el entorno de ω=ωo.

más cercano se halle el polo a dicha circunferencia (es decir, mayor sea r), menor es elamortiguamiento y mayor duración efectiva tiene la sinusoide amortiguada con la que contribuye a larespuesta impulsional; esta conclusión es avalada por la expresión (VI.1). Al mismo tiempo, máspronunciada es la resonancia en la respuesta frecuencial, ya que presenta mayor amplitud (1-r)-1 y, deacuerdo con (VI.2), menor ancho de banda. De este modo, queda asociada una larga duración de larespuesta impulsional con una marcada resonancia en la respuesta frecuencial.

VI.2.2 La transformación bilineal

A partir de la función de transferencia Ha(s) de un sistema analógico, la transformación bilineal

proporciona la función de transferencia H(z) de un sistema discreto

H(z) = Ha(s) | s = 1-z-1

1+z-1(VI.3)

cuya respuesta frecuencial se relaciona con la respuesta frecuencial del sistema analógico Ha(jΩ)

mediante la expresión

H(ejω) = Ha(j tgω2

)


La relación entre las pulsaciones del dominio analógico Ω y discreto ω que establece latransformación bilineal

Ω = tg ω2

(VI.4)

expande el intervalo (0, π) de ω al intervalo (0, ∞) de Ω.

La transformación bilineal permite extender técnicas de análisis y diseño del dominio analógico aldiscreto. Por ejemplo, para obtener la función de transferencia H(z) de un sistema cuya respuestafrecuencial satisfaga ciertas especificaciones, los pasos a seguir son los siguientes:

a) mediante (VI.4), transformar las especificaciones en ω a especificaciones en Ω;b) determinar Ha(s) que cumple las especificaciones en Ω;

c) obtener H(z) mediante (VI.3).

4.- La función de transferencia de un filtro paso banda analógico de orden 2 con ceros detransmisión en origen e infinito

Ha(s) = H s

s2 + BΩ s + Ω o 2

presenta el máximo de su respuesta frecuencial

Hmax = H / BΩ

para la pulsación Ωo; además, las pulsaciones de corte a 3 dB Ω p1 y Ω p2 verifican:

Ω p2 - Ω p1 = BΩ Ω p2 Ω p1 = Ωo2

Mediante la aplicación de la transformación bilineal a Ha(s), determine la función de

transferencia H(z) de un filtro paso banda discreto con ceros de transmisión para ω=0 y ω=π, ybanda de paso a 3 dB entre fp1=0,1 y fp2=0,2 con valor máximo para el módulo de la respuestafrecuencial igual a la unidad (¿a qué frecuencia fo tiene lugar este máximo?). Bosqueje el

módulo y la fase de la respuesta frecuencial del sistema diseñado a partir de la contribución delos ceros y los polos.

VI.2.3 Filtros para el sistema multiplexor y demultiplexor

En la práctica anterior el filtro H1, que actuaba sobre el canal 1 del sistema multiplexor y

demultiplexor, fue diseñado como filtro FIR con fase lineal usando la ventana de Kaiser. Ello permitíacontrolar la atenuación mínima en la banda atenuada del filtro, pero la atenuación máxima en la bandade paso venía impuesta por la ventana utilizada. Una vez conocidas técnicas de diseño de filtros másperfectas, también podemos especificar el límite de la atenuación en la banda de paso.


5.- Si la máxima diferencia entre la respuesta del fitro H1 a dos componentes frecuenciales en la

banda de paso no ha de ser superior al 5% del valor nominal unidad, y se mantienen los demásrequisitos para el mismo, indique las especificaciones de banda de paso y banda atenuada delfiltro H1.

Estas especificaciones pueden ser satisfechas por filtros diseñados por distintas técnicas: filtro FIR defase lineal óptimo, filtro elíptico, etc. Para comparar la distorsión que introduce cada diseño en la señala conservar con el filtrado, podemos acudir a la correlación cruzada entre dicha señal x[n] y la respuestay[n] del filtro a la misma. En efecto, para medir el parecido entre dos secuencias x[n] e y[n],prescindiendo de un eventual factor K de escala (ganancia del filtro) o de un desplazamiento temporal m(retardo producido por el filtro), puede definirse

E = mínimo en K y m de ∑n

(x[n-m] - Ky[n])2 = rx[0] (1 - ρ2 ) (VI.5)

donde

ρ = ryx[max]

√rx[0] ry[0]

es el coeficiente de correlación entre las secuencias x[n] e y[n], siendo ryx[max] la muestra de mayor

valor de su correlación cruzada.

6.- Demuestre la relación (VI.5) y justifique ρ como un índice adecuado para la calidad del filtro, ymax como el retardo equivalente que el filtro provoca en la señal. Establezca un procedimientopara calcular max y ρ con el programa 62.


VI.3 En el laboratorio

A.- Edite (mediante la opción "Editar ceros y polos" del menú "Datos" de "Sistemas") un sistemaIIR con un polo en r=0,95 y fo=0,15 y ceros para ω = 0 y ω = π. Represente el módulo de su

respuesta frecuencial; compruebe (mediante el uso del cursor) que presenta una resonancia muypróxima a la frecuencia fo con un ancho de banda a 3 dB aproximado de Bf=(1-r)/π, conforme a

la expresión (VI.2). Repita la experiencia con r=0,7; observe en este caso que la resonancia sedesplaza respecto fo y que el ancho de banda se amplía sobre lo previsto (esto es debido a que el

polo deja de ser dominante al estar más alejado de la circunferencia de radio unidad y laaproximación dada por (VI.2) pierde validez).


B.- Edite (mediante la opción "Editar coeficientes" del menú "Datos") el sistema paso bandaobtenido en el apartado 4 del estudio previo. Represente el módulo de su respuesta frecuencialy, mediante el uso del cursor, compruebe que cumple las especificaciones; represente también lafase y verifique su respuesta al mismo apartado del estudio previo. ¿A qué frecuencia se anula lafase? ¿Podría justificarlo?

C.- Utilice el sistema discreto diseñado para realizar "Filtrado analógico", haciendo uso de lafrecuencia de muestreo Fm=8 kHz. Filtre una señal senoidal y varíe su frecuencia de modo quepueda determinar la frecuencia Fo a la que ocurre la resonancia y su ancho de banda BF a 3 dB .

D.- Diseñe el filtro H1 del sistema multiplexor y demultiplexor de acuerdo con las especificaciones

del apartado 5 del estudio previo, haciendo uso de un filtro FIR de fase lineal óptimo con elmenor orden par posible. Observe su diagrama de ceros y polos, y la atenuación y el retardo degrupo de su respuesta frecuencial; compruebe que se trata de un diseño óptimo. Conserve eldiseño en un fichero (Parks).

E.- Repita el diseño anterior haciendo uso de un filtro IIR con la aproximación elíptica. Observe sudiagrama de ceros y polos y la atenuación y retardo de grupo de su respuesta frecuencial.Conserve el diseño en un fichero (Cauer).

F.- Se desea comparar la distorsión introducida por los diseños anteriores sobre una señalcompuesta por dos pulsos sinusoidales de frecuencias f1=1/16 y f2=3/16; ambos pulsos duran

16 muestras y son contiguos en el tiempo:

x[n] = cos(2 π f1 n) 0 ≤ n ≤ 15

cos(2 π f2 n) 16 ≤ n ≤ 31 0 para otro n

Esta secuencia simula una transición entre la sinusoide de 1 kHz y la sinusoide de 3 kHz delcanal de datos del multiplexor de la práctica V. Genere la señal x[n] con una longitud de 64muestras, obtenga la respuesta a la misma de los diseños realizados en los apartados anterioresy determine los parámetros ρ y max para cada uno de ellos. Comente y justifique los resultadosalcanzados.


G.- Sustituya en el apartado F el interpolador FIR por un nuevo diseño con orden impar ydetermine ρ y max. Compare el resultado con el obtenido anteriormente y trate de explicarlo.

Apéndices i

APÉNDICES

Apéndice A: Manual de usuario de 62 i i i

Apéndice A: Manual de usuario del programa 62

La presente guía para el usuario realiza una descripción sucinta de las capacidades del programa 62, queesperamos que sea suficiente para trabajar con él sin dificultades. Cuando en el texto se marca unapalabra con cursiva y negrita, se quiere indicar que bajo dicha denominación se puede encontrar eneste manual información adicional relevante para la consulta que se está realizando.

El programa está organizado en dos conjuntos de menús o secciones. El primer conjunto, denominadoGENERACION Y TRATAMIENTO DE SECUENCIAS, permite la definición y manipulación desecuencias; la segunda sección, DISEÑO DE SISTEMAS DISCRETOS, facilita el diseño y análisisde sistemas discretos definidos por ecuaciones en diferencias finitas lineales y de coeficientesconstantes.

En la tabla de contenido se menciona cada una de las opciones de los menús lo que, además desuministrar una indicación de la página donde se describe su finalidad y su uso, la ubica en elprograma. Localizada una opción en la tabla de contenido, la denominación del epígrafe corresponde alnombre del menú en el que se encuentra la opción en el programa; finalmente, el nombre del capítuloproporciona la sección del programa donde está situado el menú. Así, por ejemplo, la opción "Generarperiodicidad" se halla en el menú "Tratamiento" de la sección "Generación y tratamiento desecuencias", o el procedimiento "Test de filtrado" está incluido en el menú "Archivo" de "Diseño desistemas discretos". Algunas opciones dan paso a un submenú; esta circunstancia se indica en la tablade contenido con el símbolo *; las posibles elecciones deben consultarse en la parte del documentodedicada a describir la opción.

Es importante que el lector dedique especial atención a la información contenida en esta guía, ya queun aprovechamiento eficaz de 62 sólo se consigue tras un conocimiento detallado de todas suscapacidades. Para facilitar la introducción al trabajo con 62, se incluye en el capítulo IV una guíasobre las operaciones más habituales.

El hardware necesario para que el programa actúe correctamente es un PC 386 SX o superior, condisco duro y al menos 512 kbytes de memoria RAM. Un coprocesador matemático haría que ciertoscálculos costosos y las representaciones gráficas fuesen prácticamente instantáneas. Aunque no esimprescindible que la pantalla sea en color, resulta muy conveniente para algunas presentaciones; tales el caso cuando se procede a la comparación de secuencias o de sistemas.

Apéndice A: Manual de usuario de 62 v

CONTENIDO

I.- ESTRUCTURA Y PROCEDIMIENTOS GENERALES ..................................................... ixI.1 Invocación del programa .................................................................................... ixI.2 Acceso a los menús y submenús ......................................................................... ixI.3 Introducción de datos.......................................................................................... xI.4 Placa con µDSP................................................................................................ x

II.- GENERACIÓN Y TRATAMIENTO DE SECUENCIAS.................................................. xiiiII.1.- Generación................................................................................................. xiii

Señales*................................................................................................ xivRespuestas impulsionales*........................................................................ xivVentanas*............................................................................................... xvEcuación en diferencias finitas..................................................................... xvEditar secuencia........................................................................................ xv

II.2 - Tratamiento................................................................................................ xviCombinación lineal ................................................................................. xviProducto................................................................................................ xviConvolución lineal .................................................................................. xviFiltrado ................................................................................................. xviMediana................................................................................................. xviMuestra a muestra*.................................................................................. xvix[-n] .................................................................................................... xviiRetardo................................................................................................. xviiDesplazamiento circular ........................................................................... xviiGenerar periodicidad ................................................................................ xviiFFT..................................................................................................... xviiDFT .................................................................................................... xviiPredicción lineal.................................................................................... xviiiDiezmado............................................................................................. xviiiIntercalado de ceros ................................................................................ xviiiPolímetro ............................................................................................ xviii

II.3.- Representar*............................................................................................. xviiiComparar secuencias* .............................................................................. xixLímites ................................................................................................. xix

v i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

Tarjeta gráfica......................................................................................... xixImpresora............................................................................................... xix

II.4.- Archivo...................................................................................................... xxLeer secuencia.......................................................................................... xxDirectorio ............................................................................................... xxBorrar secuencia ....................................................................................... xxGuardar secuencia ..................................................................................... xxEditar comentario ..................................................................................... xxActualizar directorio................................................................................. xxiImprimir secuencia .................................................................................. xxiTest D/A ............................................................................................... xxiConversión D/A...................................................................................... xxiSalir ..................................................................................................... xxi

II.5.- Sistemas.................................................................................................... xxiIII.- DISEÑO DE SISTEMAS DISCRETOS..................................................................... xxiii

III.1.- Tipo*..................................................................................................... xxivIII.2.- IIR: aproximación*................................................................................... xxivIII.3.- Datos..................................................................................................... xxiv

Especificaciones ..................................................................................... xxvMostrar especificaciones .............................................................. xxvFiltro IIR: Respuesta frecuencial ................................................... xxvFiltro FIR: Respuesta frecuencial ................................................. xxviFiltro FIR: Respuesta impulsional ............................................... xxviFunción de transferencia.............................................................. xxviMostrar datos del filtro .............................................................. xxvii

Función de transferencia......................................................................... xvxiiVolver a especificaciones ........................................................... xxviiEditar ceros y polos .................................................................. xxviiEditar coeficientes.................................................................... xxviiiSistema inverso ...................................................................... xxviiiConexión cascada .................................................................... xxviiiConexión paralelo ................................................................... xxviii

III.4.- Gráficas.................................................................................................. xxixAtenuación........................................................................................... xxixMódulo de la respuesta frecuencial ............................................................ xxixFase de la respuesta frecuencial................................................................. xxixRetardo de grupo .................................................................................... xxxRespuesta impulsional ............................................................................ xxxDiagrama de ceros y polos........................................................................ xxxComparar sistemas*................................................................................ xxxLímites ................................................................................................ xxxTarjeta gráfica....................................................................................... xxxiImpresora............................................................................................. xxxi

Apéndice A: Manual de usuario de 62 v i i

III.5.- Archivo.................................................................................................. xxxiLeer sistema......................................................................................... xxxiDirectorio ............................................................................................ xxxiBorrar sistema...................................................................................... xxxiiGuardar sistema.................................................................................... xxxiiActualizar directorio.............................................................................. xxxiiImprimir sistema.................................................................................. xxxiiTest de filtrado..................................................................................... xxxiiFiltrado analógico................................................................................. xxxiiDemostraciones*................................................................................. xxxiiiSalir ................................................................................................. xxxiii

III.4.- Secuencias ............................................................................................ xxxiiiIV.- GUIA PARA LAS OPERACIONES MAS HABITUALES............................................ xxxv

IV.1 Generación de señales.................................................................................. xxxvIV.2 Observación de señales................................................................................ xxxvIV.3 Enventanado de señales............................................................................... xxxviIV.4 Representación de la transformada de Fourier .................................................. xxxviIV.5 Realización de sistemas sencillos ................................................................ xxxviiIV.6 Generación de filtros FIR e IIR sencillos ...................................................... xxxviiIV.7 Filtrado de una señal ................................................................................ xxxviii

Apéndice A: Manual de usuario de 62 i x

I. Estructura y procedimientos generales

I.1 Invocación del programa

El programa se invoca escribiendo 62 en la línea de comandos del sistema operativo. Normalmenteseleccionará los colores que mejor se adapten al sistema en el que funcione, pero en caso de que no seaasí, se deberá invocar al programa con el parámetro MONO (62 MONO), que lo forzará a utilizarcolores más distinguibles. Este será el caso típico de un ordenador con tarjeta color y monitormonocromo.

I.2 Acceso a los menús y submenús

El programa está organizado en dos conjuntos de menús. Cuando se invoca el programa se accededirectamente a la sección GENERACION Y TRATAMIENTO DE SECUENCIAS, que permite lamanipulación de secuencias. El acceso a la sección DISEÑO DE SISTEMAS DISCRETOS, quepermite el diseño y análisis de sistemas discretos, se explica más adelante.

La comunicación entre el usuario y el programa se realiza siempre mediante ventanas, ya sean menúso submenús o ventanas de diálogo. Las ventanas se abren mediante <RETURN> y se cierran con<ESC>.

La línea superior de la pantalla presenta la paleta de menús. Se selecciona un menú situando sobre elmismo mediante los cursores horizontales la barra de selección (cuya posición se indica con vídeoinverso). Los cursores verticales permiten el desplazamiento entre las opciones de un menú, mientrasque la tecla <RETURN> activa la opción señalada por la barra de selección. Alternativamente, unmenú puede activarse pulsando <ALT> y su inicial (por ejemplo, <ALT>+<G> para la opciónGeneración).

Cuando se selecciona la opción "Sistemas", se cambia la configuración de la pantalla y se entra en elconjunto de menús DISEÑO DE SISTEMAS DISCRETOS. Se retorna al menú de trabajo consecuencias seleccionando el menú "Secuencias".

x Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

I.3 Introducción de datos

Para introducir o editar el valor de un parámetro debe situarse previamente la barra de selección sobre elmismo en la ventana de diálogo. Si se desea introducir un valor nuevo, se teclea ignorando el quehubiese. Sin embargo, si sólo se quiere modificar o editar el valor ya existente, al pulsar la tecla<RETURN> se entra en modo edición y se activan los cursores horizontales que permiten desplazarsehasta las cifras que se desee alterar; en este caso la tecla <INS> faculta la inserción de caracteres y latecla <DEL> los suprime; además, pulsando <TAB> se borra el valor numérico que está editándose,mientras que un segundo <TAB> recupera el valor existente antes de comenzar la edición. Un<RETURN> culmina la introducción o edición de un dato y un <ESC> la anula, con lo que serecupera el valor previo caso de que lo hubiese. Cuando se concluye la edición tras borrar el valornumérico con un <TAB>, el valor del parámetro queda indefinido.

Se acepta la notación científica exponencial. Es decir, para entrar el valor cuatro mil tanto podemosteclear 4000 como, simplemente, 4E3. Los exponentes pueden ser tanto positivos como negativos yla "e" mayúscula o minúscula. En el modo edición los datos pueden indicarse también medianteexpresiones matemáticas tales como 2^3*cos(2*pi/3) o log(tan(pi/3)); el programa acepta las funciones

habituales en una calculadora de bolsillo. Las unidades de los parámetros son seleccionadasautomáticamente por el programa, y se indican en la ventana de diálogo. Cuando el valor de unparámetro está limitado, el margen correspondiente se indica también en la ventana. Dado que lafrecuencia y la pulsación son dos formas alternativas de especificar el mismo parámetro, aparecensiempre juntas en las ventanas de diálogo de tal manera que, si se proporciona valor a una de ellas, laotra queda determinada automáticamente; de este modo se queda en libertad de especificar frecuencia opulsación a conveniencia.

La información numérica suministrada al programa mediante una ventana de diálogo es operativa,según los casos, cuando se da la orden de ejecución de una operación o se pulsa <SPACE>. En esteúltimo caso, si una ventana de diálogo se cierra con <ESC>, la operación de entrada de datos quedaanulada.

Si el valor introducido no está dentro de los márgenes adecuados para ese parámetro, el programa nosproporcionará un mensaje de error.

I.4 Placa con µDSP

El programa dispone de opciones que permiten invocar diversos procedimientos que se ejecutan en laplaca EVM, incorporada en los PC del laboratorio. Esta placa incluye un µDSP TMS320C30, unchip de conversión A/D y D/A TLC32044 y un amplificador analógico LM386. Las especificacionesentrada/salida de la placa son las siguientes:

a) Márgenes para la tensión de entrada: ± 1,5 V.b) Márgenes para la tensión de salida: ± 6,5 V.

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x i

c) Frecuencia de corte de la banda de paso del filtro antialiasing/reconstructor:Fc = 7,5 MHz / (2 a 80).

d) Frecuencia de muestreo Fm = 7,5 MHz/(2 a b) < 19,2 kHz.

e) Convertidores A/D y D/A de 14 bits.f) Filtro paso alto cancelador de continua incorporado.g) Filtro corrector de salida sen(x)/x incorporado.

Los parámetros a (1≤a≤31) y b (1≤b≤63) son dos enteros que permiten especificar a la placa lafrecuencia de muestreo y la frecuencia de corte del filtro antialiasing. Por ejemplo, para trabajar conuna frecuencia de muestreo de 8 kHz constituyen una elección típica a = 13 y b = 36, lo que suponeuna frecuencia de muestreo real de 8,013 kHz y una frecuencia de corte para el filtro de 3,606 kHz

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x i i i

II. Generación y tratamiento de secuencias

Una secuencia es un conjunto ordenado de números. En este programa, de números complejos.

El programa tiene presente en memoria hasta un máximo de cuatro secuencias, cuya descripción estádispuesta en pantalla permanentemente (salvo cuando se realizan representaciones gráficas) y que sehan numerado del 1 al 4. La secuencia activa se selecciona con las teclas F1, F2, F3 o F4, con lo quequeda la información correspondiente destacada mediante video inverso en la pantalla. Esta secuenciaserá la entrada a las operaciones que realiza el programa sobre una sola secuencia (edición, tratamiento,representación gráfica, edición de comentario, guardar secuencia, etc.); cuando el tratamiento afecta avarias secuencias, éstas son solicitadas por una ventana de diálogo. La generación, los tratamientos yla lectura de una secuencia se llevan a cabo cuando se selecciona la secuencia destino mediante una delas teclas F1 a F4.

Toda secuencia lleva asociada un comentario descriptivo. Este comentario es proporcionado por defectopor el programa, pero también es susceptible de ser introducido por el usuario a través de la opciónEditar comentario del menú Fichero. Este comentario permanece en pantalla como parte de lainformación correspondiente a una secuencia.

La longitud máxima permitida para una secuencia es de 1024 muestras, estando el ordinal limitadoentre -512 y 511.

Una secuencia puede ser guardada en un fichero en disco. El nombre del fichero debe ajustarse a lasconvenciones del sistema operativo, recibe la extensión SEC y forma parte de la información sobre lasecuencia que se presenta en pantalla cuando ésta se encuentra en memoria del programa. El programaconserva un Directorio de las secuencias almacenadas en el fichero SECUENS.DIR.

II.1 Generación

Este menú es el dedicado a la generación de secuencias, tanto tengan el carácter de señales, seanrespuestas impulsionales de filtros sencillos o ventanas. En este menú se utilizan tres denominacionesque conviene definir:

x i v Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

Longitud de una secuencia: número de muestras de la misma cuyo valor se conserva enmemoria. Cuando se genera una secuencia de longitud L, el ordinal se toma siempre no negativo,comenzando en el origen y finalizando en L-1.

Posición (de un pulso, de una ventana): ordinal de la secuencia en la que comienza.Duración (de un pulso, de una ventana): número de muestras del pulso o la ventana; el resto

de muestras hasta completar la longitud total de la secuencia toman el valor cero.Por ejemplo, la secuencia

x[n] = 1 m ≤ n ≤ m+d-1 0 0 ≤ n ≤ m-1, m+d ≤ n ≤L-1

es un pulso rectangular con longitud L, en la posición m y duración d.

SeñalesPermite la generación de múltiples secuencias. Secuencias básicas en el análisis de sistemas discretoscomo

Impulso unidadEscalón unidad

Secuencias con formas de onda elementales:Pulso rectangularPulso triangularPulso en rampa

susceptibles de generar ondas periódicas mediante la opción correspondiente del menú Tratamientos.Secuencias relacionadas con el análisis frecuencial:

Sinusoide amortiguadaExponencial compleja

cuya forma de onda se encuentra descrita en la ventana de diálogo correspondiente. Una secuenciaconstituida por pulsos rectangulares con polaridades positiva o negativa equiprobables:

Tren aleatorio de pulsosSecuencias obtenidas a partir de 5 posibles elecciones de

Segmento de VozY, por último, secuencias en las que la amplitud de las muestras sigue una distribución gaussiana conuna potencia seleccionable

Ruido blanco gaussiano

Respuestas impulsionalesMediante este menú se pueden generar la respuesta impulsional h[n] de filtros con fase lineal y cuyarespuesta frecuencial corresponde a los siguientes tipos:

Paso bajoPaso altoElimina bandaPaso bandaTransformador de Hilbert

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x v

La respuesta impulsional se genera mediante el enventanado (rectangular) del desarrollo en serie deFourier de la respuesta frecuencial ideal. Mediante ventana de diálogo se solicita la longitud de lasecuencia y la frecuencia de corte en el caso de filtros paso bajo o paso alto, o la frecuencia central yancho de banda de la banda de paso de un filtro paso banda o Transformador de Hilbert, o de la bandaatenuada en el supuesto de un filtro elimina banda.

VentanasEstas secuencias juegan un papel importante en el procesado de señales en tiempo discreto y, enconsecuencia, el programa nos proporciona el juego de las ventanas más habituales en los libros detexto. Supuesto que la duración de las mismas es de L muestras situadas entre el ordinal 0 y L-1, lasdistintas formas responden a las expresiones:

Rectangular: w[n] = 1Hamming: w[n] = 0,54 - 0,46 cos (2πn/(L-1))Blackman: w[n] = 0,42 - 0,5 cos (2πn/(L-1)) + 0,08 cos (4πn/(L-1))

Kaiser: w[n] = Io[β√(1-[(n-α)/α]2)]

Io(β)

donde α=(L-1)/2 y β es un parámetro que determina el compromiso de la ventana de Kaiser entre laanchura del lóbulo principal y la amplitud del lóbulo secundario de su transformada de Fourier; losvalores usuales para β se mueven entre 0,3 y 6.

Ecuación en diferencias finitasCrea una secuencia de la longitud especificada que, a partir de la posición m dada, responde a laecuación en diferencias:

y[n-m] = a y[n-m-1] + b y[n-m-2] + c para n ≥ m

con la duración que se indique. Las condiciones iniciales de la ecuación son los valores de la secuenciay[m] e y[m+1]

Editar secuenciaLa opción permite la creación de una secuencia dando valor a sus muestras, y la edición de unasecuencia preexistente. Esta opción actúa sobre la secuencia seleccionada. Al entrar en la mismaaparece una ventana que muestra los elementos de la secuencia (si ya ha sido definida) y los comandosbásicos de esta opción:

<INS> : que permite insertar una muestra ante la muestra seleccionada.<DEL>: que permite borrar la muestra seleccionada.<L> Longitud: que permite definir y/o modificar la muestra inicial y la longitud de la

secuencia.<R> Rellenar: que proporciona un mismo valor a un conjunto de muestras sucesivas.<M> Muestra: que accede al valor de una muestra concreta.

Los datos proporcionados con estos comandos se aplican mediante la barra <SPACE>. Para crear unsecuencia se define su longitud; se genera así una secuencia cuyas muestras son todas nulas, y cuyaedición permite proporcionarles los valores deseados. Los cursores verticales y las teclas <PgUp> y

x v i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

<PgDown> facilitan el desplazamiento por la ventana de edición. La posición del cursor que indica lamuestra seleccionada se indica mediante video inverso. La creación o edición de la secuencia quedavalidada cuando se selecciona la secuencia destino.

II.2 Tratamiento

Este menú está destinado a proporcionar al programa la capacidad de manipulación de secuencias. Cadauna de las opciones realiza una operación elemental más o menos compleja, cuya combinación facultala realización de una gran variedad de tratamientos.

Combinación linealRealiza la combinación lineal de dos secuencias que se especifican mediante la ventana de diálogo, enla que también se tienen que indicar las constantes de proporcionalidad que afectan en la combinación acada secuencia. Estas constantes son complejas y se indican en la forma binómica.

ProductoEfectúa el producto de las dos secuencias indicadas en la ventana de diálogo. Es la opcióncorrespondiente a la operación de enventanado de una secuencia.

Convolución linealConvoluciona linealmente las dos secuencias indicadas en la ventana de diálogo.

FiltradoFiltra la secuencia activa con el sistema presente en la sección "Diseño de sistemas discretos". Lalongitud de la secuencia resultante es la misma que la correspondiente a la secuencia de entrada.

MedianaRealiza el filtrado de mediana de orden M (impar), parámetro que solicita. En el caso de tratar unasecuencia real, para cada ordinal n esta opción toma las muestras n a n-M+1 de la secuencia, las ordenade menor a mayor y proporciona como resultado el valor de la muestra central. Cuando la secuencia escompleja, se procesan por separado las partes real e imaginaria.

Muestra a muestraSe realiza sobre cada muestra de la secuencia activa la operación seleccionada. Las posibilidades que seofrecen son las siguientes:

ExponencialLogaritmo neperianoParte realParte imaginariaMóduloFaseComplejo conjugado

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x v i i

1/x[n]Signo

√x[n]x2[n]CosenoCuantificación

Si la muestra es nula se asigna, por convenio, a la inversa y al signo el valor cero. En lacuantificación se discretizan por separado las partes real e imaginaria de la muestra; cuando una de ellases nula, se cuantifica a la mitad del escalón cuántico y se aleatoriza el signo; si la secuencia esdeclarada real, la parte imaginaria no es tratada; el máximo número de bits aceptado para lacuantificación es 16.

x[-n]Realiza la reflexión de la secuencia activa.

RetardoRetrasa la secuencia activa tantas muestras como especifica el retardo. Si el retardo que se indica esnegativo, se realiza un adelanto de un número de muestras igual al valor absoluto del retardoespecificado.

Desplazamiento circularConsidera que la última muestra de la secuencia activa es contigua en el tiempo con la primera (comosi la secuencia estuviese desarrollada sobre un cilindro). En estas condiciones realiza un retraso(desplazamiento positivo) o un adelanto (desplazamiento negativo) de tantas muestras como se indique.

Generar periodicidadA partir de la secuencia activa x[n] genera una secuencia y[n] de longitud, ordinal correspondiente a lamuestra inicial y período P que se elijan, haciendo uso de la expresión:

y[n] = ∑r=-∞

∞ x[n+rP]

FFTRealiza la transformada discreta de Fourier (DFT) de la secuencia activa mediante el algoritmo de laFast Fourier Transform, cuando el número de puntos de la DFT es una potencia de 2. Se recomiendasu uso cuando se desee el cálculo de la DFT de una secuencia, salvo que existan razones para hacer usodel cálculo directo que utiliza la siguiente opción.

DFTCalcula la transformada discreta de Fourier de la secuencia activa por aplicación directa de la expresiónque la define. Se debe reservar su uso para aquellos casos en que el número de puntos de la DFT quedesean calcularse es muy reducido, o cuando dicho número no puede ser una potencia de 2.

x v i i i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

Predicción linealMediante el algoritmo de Levinson, determina los coeficientes de la predicción lineal

x[n] = - ∑i=1

P ai x[n-i]

que predice la muestra x[n] con el menor error cuadrático. Toma como muestras de la correlación de laseñal x[n] las muestras de la secuencia activa entre los ordinales 0 y el orden P especificado para elanálisis. Proporciona como salida la secuencia ...,0, 1, a1, a2, ..., aP, 0, ..., que se corresponde con

la respuesta impulsional del filtro del error de predicción; es decir, el sistema FIR que a la secuenciax[n] responde con la secuencia error de la predicción:

e[n] = x[n] + ∑i=1

P ai x[n-i]

DiezmadoGenera una nueva secuencia y[n] conservando 1 muestra de cada N (relación de diezmado) muestras dela secuencia activa x[n]. Se puede seleccionar la muestra M origen del diezmado. La operaciónimplicada es:

y[n] = x[ n N + M ] 0 ≤ M ≤ N-1

Intercalado de cerosGenera una nueva secuencia intercalando N-1 (valor solicitado por la ventana de diálogo) ceros entrecada dos muestras de la secuencia activa. Esta operación está involucrada en el proceso de interpolaciónpor una relación entera N.

PolímetroInvoca una ventana que proporciona media, energía y potencia de la secuencia activa la cual,excepcionalmente, puede ser cambiada desde esta opción.

II.3 Representar

Este menú facilita la visualización de las secuencias. Las distintas opciones permiten seleccionar lacaracterística de las muestras de la secuencia que se desea representar:

Parte real e imaginariaParte realParte imaginariaMódulo y faseMóduloFase

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x i x

Cuando se invoca una de sus opciones, la pantalla nos presenta una o dos gráficas según se solicite larepresentación de un aspecto de la secuencia (por ejemplo, el módulo de sus muestras) o de dos de ellos(por ejemplo, parte real e imaginaria de sus muestras). En caso de que se presenten dos gráficas, lasuperior corresponderá a la primera característica de las muestras mencionada en la opción seleccionaday la inferior a la segunda.

Comparar secuenciasLa opción permite entrar en un submenú cuyas opciones son las mismas que las de "Representar", conla excepción de la opción "Salir de comparar": la ventana se sobreilumina y la opción "Comparardiseños" es sustituida por "Salir de comparar", que permitirá salir de la ventana (modo alternativo parasalir de la ventana es pulsar la tecla <ESC>), lo que se advierte con un zumbido. Las secuencias seseleccionan con las teclas F1 a F4, y se indica esta selección en la línea inferior de la pantalla. Unaselección indeseada se elimina con la tecla <DEL>.

LímitesCuando se elige esta opción, se abre una ventana de diálogo preparada para proporcionar los límites alos ejes de representación:

Eje de abscisas o de ordinales: primera muestra y última muestra.Eje de ordenadas: máximo y mínimo de la parte real,

máximo y mínimo de la parte imaginaria,máximo del módulo.

El mínimo del módulo siempre es cero por defecto y la fase se representa siempre entre -π y π. Losvalores proporcionados mediante esta ventana, tal como se indica en la misma, se validan al pulsar<SPACE>.La ventana de diálogo ofrece también la opción

Muestras como líneas / como puntosque define el modo en que se representan las secuencias. En el primero la representación es la habitual,y se indica cada muestra con un trazo vertical. En el segundo cada muestra se representa mediante unpunto, interpolándose entre ellos; esta posibilidad es de utilidad en la representación logarítmica de laDFT. Se pasa de un modo a otro con la tecla <RETURN>.

Tarjeta gráficaEsta opción permite indicar al programa la tarjeta gráfica de la que dispone el computador. En la mayorparte de las configuraciones el propio programa detecta correctamente la tarjeta en uso. Cuando no seaasí o, por la razón que sea, interese especificar un modo gráfico determinado, debe utilizarse estaopción.

ImpresoraEsta opción permite seleccionar entre una impresora de 8 agujas y una de 24 para la impresión decualquiera de las gráficas que realiza el programa. La impresión se provoca pulsando la tecla <ImpPt>(imprimir pantalla). La impresión se adapta a las características de la configuración del computador,independientemente de la versión del sistema operativo.

x x Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

II.4 Archivo

Este menú está dedicado a intercambiar las secuencias con el entorno de trabajo del usuario. Tantopermite la lectura o escritura de un fichero que contiene una secuencia, como la conversión D/A de lasecuencia activa o la impresión de la misma.

Leer secuenciaSu misión es realizar la lectura de un fichero conteniendo una secuencia. Cuando se invoca esta opciónse abre una ventana de diálogo que solicita el directorio y el nombre del fichero. A esta demanda sepuede responder con un nombre concreto (no es preciso incluir la extensión), en cuyo caso el programaprocede a la lectura del fichero en cuando se pulsa <RETURN>, ocupando el lugar de la secuenciaactiva. Si el nombre indicado contiene comodines (*), el programa suministra un Directorio detodos los ficheros que se adaptan al nombre escrito; en este caso los cursores verticales y las teclas<PgUp> y <PgDown> que ejecutan el salto de página del directorio, permiten situar la barra deselección sobre el fichero cuya lectura interesa; la selección de la secuencia destino mediante una de lasteclas F1 a F4 provoca la lectura del fichero.

DirectorioA través de la correspondiente ventana de diálogo, se puede suministrar al programa el nombre deldirectorio en cuya relación de ficheros de secuencias estamos interesados. Se puede especificar, ademásdel directorio, una clave de búsqueda de ficheros. El programa proporciona, junto con la lista deficheros solicitada, el comentario con la descripción de su contenido. Cuando la longitud deldirectorio lo requiere, éste se organiza en páginas; las teclas <PgUp> y <PgDown> permiten eldesplazamiento a través de ellas. En la esquina inferior izquierda de la ventana se muestra en todomomento el número de la página en que estamos, sobre el número total de páginas del directorio,mientras que en la cabecera de la ventana se indica la clave de búsqueda.

Borrar secuenciaActúa en formar similar a Leer secuencia, salvo que como resultado la secuencia elegida es borradatras pulsar <RETURN>.

Guardar secuenciaEsta opción faculta para conservar en un fichero la secuencia activa. Al ser invocada, se abren dosventanas de diálogo: la primera demanda directorio y nombre para el fichero (la extensión SEC esincluida por defecto) y la segunda permite la edición del comentario descriptivo de la secuencia, quela acompañará en el fichero.

Editar comentarioEsta opción permite proporcionar una descripción de la secuencia activa. El programa facilita pordefecto tal descripción, cuando crea la secuencia mediante el menú "Generación". Conviene editar elcomentario de una secuencia resultado de un tratamiento o una edición, ya que la descripción que ofreceel programa en el primer caso es "Secuencia que ha pasado por tratamiento (comentario provisional)",

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x x i

y deja inalterado el comentario en el segundo. Este comentario se presenta en pantalla cuando lasecuencia está en memoria y se guarda con la secuencia cuando ésta es grabada en un fichero.

Actualizar directorioLa necesidad y utilidad de esta opción se debe al modo en que el programa trata el directorio deficheros. En realidad este directorio es un fichero especial generado por el propio programa; de modoque toda operación que implique al directorio requiere la manipulación de este fichero especial. Si porcualquier motivo este fichero se estropeara o se perdiera, a pesar de que nosotros siguiéramos teniendointactas nuestras secuencias en el disco, éstas no aparecerían en el directorio del programa. Por ello,necesitamos para estos casos una opción que nos permita actualizar el fichero directorio.Al seleccionar la opción, se abre una ventana de diálogo para especificar el directorio que se deseaactualizar.Es interesante mencionar que es posible la lectura de un fichero que no figure en el directorio delprograma, si en la opción "Leer secuencia" se especifica el nombre del fichero completo.

Imprimir secuenciaEsta opción promueve la impresión de los valores de las muestras de una secuencia.

Test D/APermite comprobar el correcto funcionamiento de la placa EVM; inicializa los parámetros a y b (siestuvieran indefinidos) a los valores correspondientes a una frecuencia de muestreo de 8 kHz y realizala opción Conversión D/A para producir la generación de una sinusoide cuya frecuencia es Fm/4.

Conversión D/ASuministra la secuencia activa a la placa EVM, que realizará la conversión de la misma mediante unbucle infinito, de modo que tras la última muestra de la secuencia seguirá la primera y asísucesivamente. En otras palabras, se genera una señal periódica cuyo período se corresponde con lasecuencia elegida. Debe suministrarse al programa los valores para los parámetros a y b, que seencargan de especificar la frecuencia de muestreo y la frecuencia de corte del filtroantialiasing/reconstructor.

SalirSu selección concluye la sesión de trabajo y produce la vuelta al sistema operativo al punto desdedonde se invocó el programa.

II.5.- Sistemas

La selección de este menú da paso al conjunto de menús correspondiente al DISEÑO DE SISTEMASDISCRETOS.

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x x i i i

III.- Diseño de sistemas discretos

La sección dedicada al manejo de sistemas se encuentra organizada del siguiente modo: las operacionesde entrada y salida se encuentran en el menú "Archivo", el análisis de la respuesta frecuencial, de larespuesta impulsional y del diagrama de ceros y polos en el menú "Gráficas" y la especificación de unsistema en "Datos", juntamente con "Tipo" y "IIR: aproximación". El programa trabaja con un solosistema (a excepción de la opciones "Comparar sistemas" del menú "Gráficas", y "Combinación encascada" y "Combinación en paralelo" del menú "Datos").

La respuesta del sistema a una secuencia se obtiene invocando la opción Filtrado del menú"Tratamiento" en la sección dedicada a las secuencias.

La sección DISEÑO DE SISTEMAS DISCRETOS dispone de dos modos de funcionamiento("Especificaciones" y "Función de transferencia"), que se distinguen por la forma en que se define elsistema en el menú Datos. Debe señalarse que esta información se guarda con los demás parámetrosdel sistema si éste se conserva en un fichero; por consiguiente, si el sistema disponible ha sido leídode disco, el modo de trabajo del programa corresponderá a la forma en que el sistema fue definido en sumomento.

El orden máximo permitido para un sistema es 32, lo que supone un número máximo de 33coeficientes para numerador y denominador de su función de transferencia.

Un sistema puede ser conservado en un fichero en disco. El nombre del fichero debe ajustarse a lasconvenciones del sistema operativo y recibe la extensión SIS. El programa conserva un directorio delos sistemas almacenados en el fichero SISTEMAS.DIR.

En esta sección la pantalla ofrece en su línea inferior una Línea de estado, que nos indica en todomomento el nombre y el directorio del fichero correspondiente al sistema en memoria (llamadoNINGUNO por defecto, como ya se verá), así como el Tipo de filtro y la IIR: aproximaciónempleada en el modo "Especificaciones". La línea de estado se actualiza cada vez que ocurre algunamodificación en los datos que presenta.

x x i v Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

III.1 Tipo

Este menú está asociado al submenú Especificaciones del menú de "Datos", de tal manera quesolamente se puede acceder a su ventana de opciones si el programa está funcionando en dicho modo.Con este menú se puede especificar el tipo de filtro (según la configuración de sus bandas) que se deseadiseñar. Las opciones posibles son:

Paso bajoPaso bandaPaso altoElimina bandaMultibandaTransformador de HilbertDerivador

Las tres últimas opciones están reservadas únicamente al diseño de filtros FIR, y se genera un mensajede error cuando se eligen para el diseño de un filtro IIR.

III.2 IIR: aproximación

Al igual que el anterior, este menú está asociado al submenú Especificaciones del menú de"Datos", de tal manera que solamente se puede acceder a su ventana de opciones si el programa estáfuncionando en dicho modo. Con este menú se puede determinar la aproximación a utilizar en eldiseño de un sistema IIR a partir de un prototipo analógico mediante la transformación bilineal. Lasopciones disponibles son:

ButterworthChebychevInversa ChebychevElíptica

III.3 Datos

Este menú es el que permite definir las propiedades del sistema que se diseña. Presenta dos opcionesalternativas de trabajo, asociadas cada una de ellas a un submenú. El modo que el programa toma pordefecto está asociado al submenú que se denomina Especificaciones y donde el sistema se definepor las características frecuenciales. La alternativa la ofrece el submenú Función de transferencia,en el que el sistema de describe en términos de los coeficientes o ceros y polos de su función detransferencia. Mención especial merece la opción Filtro FIR: respuesta impulsional que,aunque se encuentra en el submenú de "Especificaciones", su modo de trabajo comparte las propiedadesde los sistemas definidos mediante el submenú "Función de transferencia".

Un sistema diseñado en el modo "Especificaciones" es pasado automáticamente al modo "Función detransferencia", con lo que se pierde el sistema que se encontrase previamente en dicho modo. Cuando

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x x v

las especificaciones sean erróneas y el sistema no se diseñe, en el modo "Función de transferencia" seconservará la información del sistema preexistente, pero no estará activo: no podrá analizarse niutilizarse para filtrar señales, etc. Para activar de nuevo el sistema, deberá entrarse en la opción "Editarceros y polos" y salir con <SPACE>.

EspecificacionesEn este modo el programa espera que el usuario introduzca como especificaciones del filtro a calcularel Tipo de filtro, la IIR: aproximación deseada y las frecuencias que delimitarán las bandas y/o lasatenuaciones requeridas en esas bandas, así como el orden. Frecuencias de corte, límites para laatenuación y el orden se proporcionan al programa mediante la ventana de diálogo de la opción deFiltro IIR o FIR que se seleccione.A fin de entender el funcionamiento del programa, es importante saber que el cálculo del filtro serealiza siempre que salimos de cualquiera de las ventanas ligadas a especificación (tipo de filtro,aproximación o ventanas de diálogo). En ese momento el programa comprueba que lasespecificaciones son correctas, generando un mensaje de error si no es así. La eventual incorrecciónpuede ser tal, o ser simplemente fruto de que se están modificando las especificaciones del filtro. Porejemplo, tras diseñar un filtro paso bajo y cambiar el tipo de filtro a un paso alto, el programa generaun mensaje de error porque las especificaciones de las frecuencias de corte de que dispone no pueden seradecuadas para un filtro paso alto; el problema se resuelve corrigiendo dichas frecuencias.Si las especificaciones para el sistema son correctas, el programa realiza los cálculos de diseño y,como fondo del menú de ventanas, dibuja la plantilla de la atenuación correspondiente a lasespecificaciones frecuenciales introducidas. Esta plantilla nos orientará en el diseño de nuestro filtro.En negro aparecerá la zona permitida para la gráfica de la atenuación, mientras que para las zonas nopermitidas se utilizan los colores verde y rojo (no hay distinción para monitores monocromo),indicando los márgenes frecuenciales que son banda de paso y banda atenuada, respectivamente.Las posibles opciones de este submenú son:

Mostrar especificacionesNos muestra el orden (calculado, si no fue especificado) o la longitud de la respuesta

impulsional, según el caso, y el resto de las especificaciones frecuenciales

Filtro IIR: Respuesta frecuencialAl elegir esta opción, se abre otra ventana que ofrece la posibilidad de especificar el filtro de

diversos modos. El programa admite las bandas de paso y las atenuadas pero no el orden (1ª opción), elorden y las bandas de paso (2ª opción), o el orden y las bandas atenuadas (3ª opción). La ventana dediálogo que aparece al elegir cualquiera de estas tres opciones es prácticamente idéntica para todas ellas,siendo la única diferencia que la barra de selección sólo permite el desplazamiento a través de los datosque el usuario puede introducir en cada caso, y que se hayan señalados en modo más brillante. Se ayudaasí a que no se den especificaciones incompatibles. En el lugar de los datos que no se pueden introduciraparece la palabra indefinido en un color más oscuro que el resto. Puede que esta palabra aparezcatambién en el lugar de los datos permitidos, en color más brillante, si es que éstos no han sido aúnintroducidos (por ejemplo, al arrancar el programa). Hay datos que aparecen dos veces, numerados 1 y2 respectivamente. Es el caso de las frecuencias límite de las bandas de los filtros elimina banda y paso

x x v i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

banda, o bien el caso de que queramos introducir diferentes atenuaciones en cada banda cuando hay dosdel mismo tipo (esto sólo será posible si en dichas bandas no hay comportamiento con rizado deamplitud constante). Siempre se entenderá que el parámetro numerado con 1 corresponde a la bandainferior, y el numerado con 2 a la superior.

Debe señalarse que los datos a introducir varían según el tipo de filtro que hayamos escogido.La aproximación de Chebychev necesita siempre como datos las frecuencias de corte de la banda depaso, la inversa de Chebychev necesita siempre las de la banda atenuada, y la aproximación elíptica (ode Cauer) requiere siempre las frecuencias de ambas. Estos requerimientos son independientes de laopción que se haya escogido para introducir las especificaciones, así que aunque en dicha subopción noesté previsto en principio introducir esas frecuencias, el programa las pedirá de todos modos. En laplantilla quedarán indicadas con flechas, en lugar de marcarse las zonas permitida y no permitida para lagráfica, puesto que las atenuaciones límite no se conocen en esa zona.

Filtro FIR: Respuesta frecuencialMediante esta opción se diseñan filtros FIR de fase lineal cuyo módulo de la respuesta

frecuencial presenta rizado de amplitud constante en las bandas de paso y atenuadas. Se hace uso delalgoritmo de Parks y McClellan.

Los filtros paso bajo, paso alto, paso banda y elimina banda se especifican mediante susbandas de paso y atenuada(s) y la longitud para la respuesta impulsional del filtro. El valor adecuadopara la longitud de la respuesta impulsional se obtiene mediante un proceso de prueba y error: un valorreducido no permite satisfacer las especificaciones, un valor elevado proporcionará unas prestacionesexcesivas; en función de los requerimientos para la atenuación, se han propuesto diversas estimacionespara la longitud de la respuesta impulsional que pueden usarse como punto de partida; en el capítulo 5se ofrece la estimación (5.32) basada en la fórmula de Kaiser.

Para los transformadores de Hilbert, derivadores y filtros multibanda se especifican la longitudde la respuesta impulsional y los requerimientos para cada banda: si es banda de paso o atenuada, susfrecuencias de corte y el rizado en dB (si es una banda de paso) o la atenuación mínima (si es una bandaatenuada). Cada banda se especifica mediante una ventana de diálogo; se recorren las diversas bandasmediante las teclas <PgUp> y <PgDown>, se añade una banda con <INS> y se elimina con <DEL>;las especificaciones se validan en su totalidad cuando se pulsa <SPACE>. El número de bandasespecificado para el filtro coincide con el número de ventanas activas. El programa gestiona los filtrosmultibanda, transformadores de Hilbert y derivadores del mismo modo y, cuando genera un mensaje, serefiere a cualquiera de ellos como multibanda.

Filtro FIR: Respuesta impulsionalPermite especificar una de las secuencias en memoria del programa como respuesta

impulsional de un filtro FIR. El sistema diseñado tiene las características de un sistema definido en elmodo de funcionamiento "Función de transferencia". Por ello, una vez realizado el diseño, el programase sitúa en el submenú "Función de Transferencia".

Función de transferenciaPermite acceder al modo de funcionamiento homónimo.

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x x v i i

Mostrar datos del filtroEsta opción suministra una lista completa y detallada de los parámetros del filtro: se muestra

el tipo de filtro, la aproximación, sus especificaciones, los ceros y polos de la función de transferenciadel filtro, y los coeficientes de sus polinomios numerador y denominador. Todos estos datos sevisualizan sucesivamente por páginas, aunque el tipo de filtro, sus especificaciones y la aproximaciónempleada permanecen constantemente en pantalla. Para pasar de página basta con apretar una teclacualquiera. Como siempre, pulsando <ESC> en cualquier momento se sale de la opción.

Función de transferenciaEn este modo de funcionamiento el sistema se especifica mediante los ceros y polos de su función detransferencia o los coeficientes de sus polinomios numerador y denominador. En consecuencia losmenús "Tipo" de filtro y "IIR: aproximación" no están disponibles. A continuación se describen lasopciones contempladas en este submenú.

Volver a especificacionesPermite regresar al modo de funcionamiento alternativo. Se recupera el filtro que hubiese

diseñado en dicho modo.

Editar ceros y polosAl entrar en esta opción aparecen en pantalla tres ventanas, que muestran los valores de los

ceros, de los polos, y de la constante de la función de transferencia respectivamente. En todo momentola ventana que esté activa (ventana cuyos valores se quieren editar), aparece sobreiluminada. Paracambiar la ventana activa, basta con desplazarse con las flechas horizontales, tal como se indica en laesquina inferior derecha de cada ventana.

Para editar ceros y polos se indica módulo y fase para cada uno de ellos. Es importante saberque al introducir un cero o polo se especifica el factor (z-zk) para la función de transferencia:

H(z) = K z-(Q-P)

∏k=1

Q (z - ck )

∏k=1

P (z - dk)

Como las funciones de transferencia son función de z-1, la diferencia de grado entre el numerador y eldenominador implica la presencia de ceros o polos en el origen (z=0), que deben ser indicados. Si Q>P,habrá Q-P polos en el origen; si P>Q, son P-Q los ceros en el origen.

Al desplazar con los cursores verticales hacia abajo la barra seleccionadora, ésta sólo avanzahasta una posición después del último cero (o polo); ahí se puede introducir una nueva raíz.Alternativamente, puede situarse la barra seleccionadora en una posición intermedia y pulsar <INS>para insertar ahí el nuevo cero (o polo). Con la tecla <DEL> se suprime la raíz seleccionada.

La edición de un cero (o polo) comienza con la especificación de su módulo y culmina con laindicación de la fase. Si la fase es distinta de 0 o π el programa supone que se define un par de raícescomplejas conjugadas. Una raíz real negativa puede indicarse con módulo negativo y fase cero.

x x v i i i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

Una vez acabada la edición, el programa simplifica ceros con polos, si es que los hay iguales,y comprueba que no haya ningún polo con módulo mayor que la unidad. Si así fuese, dará elcorrespondiente mensaje de error.

Editar coeficientesEl funcionamiento de esta opción es equivalente al de la anterior. Aquí aparecen de nuevo tres

ventanas: una para los coeficientes del numerador de la función de transferencia, otra para eldenominador y otra para la constante, que es la misma que aparecía en "Editar ceros y polos".Coeficientes y constante multiplicativa han de ser reales. Al editar los coeficientes debe saberse que elcoeficiente k-ésimo se corresponde con la potencia -k de z:

H(z) = K

∑k=0

Q bkz- k

∑k=0

P akz- k

Cuando se concluye la edición de los coeficientes de la función de transferencia y se pulsa<SPACE>, primero aparece el mensaje "Calculando polos del sistema" y después "Calculando cerosdel sistema". En esos momentos el programa normaliza a la unidad los términos independientes denumerador y denominador, y calcula por métodos numéricos las raíces de ambos polinomios, lo cualllevará más o menos tiempo dependiendo del grado de los mismos. Por ello, para modificarúnicamente la constante multiplicativa, es recomendable utilizar la opción de edición de ceros y polos.

El programa realiza las mismas comprobaciones que en la opción anterior.

Sistema inversoDetermina el sistema inverso del sistema actualmente existente. Para ello, intercambia entre

sí los ceros y los polos e invierte la constante.

Conexión cascadaEsta opción permite crear un nuevo sistema a partir de la conexión en cascada de dos, tres o

cuatro sistemas. Al accionar la opción se pregunta el número de sistemas a combinar, para acontinuación solicitar uno a uno el nombre de los ficheros donde se encuentre cada uno de lossistemas. Dichos nombres pueden indicarse en la forma habitual para las opciones que manejanficheros (véase Archivo). Tras recibir el nombre correspondiente al último sistema, el programaprocede a calcular el sistema resultante, que somete a las comprobaciones de las opciones anteriores.

Conexión paraleloPermite crear un nuevo sistema como la conexión en paralelo de dos, tres o cuatro sistemas

que ya tengamos grabados en disco. El procedimiento es exactamente igual al anterior. La únicadiferencia es que al salir de la opción deben recalcularse los ceros y polos a partir de los coeficientes dela nueva función de transferencia.

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x x i x

III.4 Gráficas

La representación gráfica permite visualizar las características frecuenciales y temporales de unsistema, así como su diagrama de ceros y polos.

Tras finalizar el trazado de la gráfica correspondiente a la atenuación, el módulo, la fase y el retardo degrupo, en la esquina superior derecha de la pantalla aparece el mensaje "Pulsar <C> para cursor". Alpulsar la letra C, aparece en pantalla un cursor en forma de línea vertical que atraviesa la gráfica dearriba a abajo y que puede desplazarse a lo largo de ella usando los cursores horizontales. A medida queel cursor avanza, en la esquina superior izquierda se nos muestra el valor de las coordenadas del puntode la gráfica sobre el cual está. Las teclas <←> y <→> provocan que el cursor avance relativamentedeprisa; sin embargo, si se desea mayor precisión, puede conseguirse un avance más lento mediante lascombinaciones de teclas <Ctrl>+<flechas>. El cursor puede ser ocultado, sin abandonar el modocursor, pulsando la tecla <O>, tal como se advierte en la esquina superior derecha; el cursor se recuperaal pulsar cualquier tecla; esta opción es interesante cuando se desea hacer un volcado de la gráfica enimpresora pulsando <ImpPt>. Las gráficas correspondientes a la opción comparar no disponen de lafacilidad de un cursor.

Pulsando cualquier tecla, excepto <C> naturalmente, volvemos al menú una vez finalizada la gráfica.Pulsando <ESC> se retorna antes de finalizar, con lo que se interrumpe la ejecución de la gráfica.

AtenuaciónEsta opción proporciona la atenuación correspondiente a la respuesta frecuencial del filtro, definidacomo:

α(ω) = - 20 log (|H(ejω)|)

Nótese que el escalado vertical es doble, uno a la derecha y otro a la izquierda, correspondientes enprincipio a la banda de paso y a la banda atenuada, respectivamente. Mientras la atenuación es inferioral límite marcado para la banda de paso, la gráfica se atiene a la escala de la izquierda; cuando excededicho límite, la representación se ajusta a la escala de la derecha. En el caso de que el sistemacorresponda al modo "Especificaciones", también se dibuja la plantilla.

Módulo de la respuesta frecuencialProporciona el módulo de la respuesta frecuencial del sistema. Hace uso de doble escala al igual que laatenuación y, cuando es el caso, presenta la plantilla de la especificación frecuencial.

Fase de la respuesta frecuencialLa fase de la respuesta frecuencial se puede observar con esta tercera opción. Ésta se representa en elmargen de ±180°, a la izquierda de la pantalla, y ±π rad, a la derecha; ello da lugar a una gráficacircular, caracterizada por los saltos que aparecen en pantalla. Así, por ejemplo, si la fase llega a -181°,se representará en pantalla como +179°, lo que provoca una discontinuidad aparente en la gráfica.

x x x Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

Retardo de grupoEsta opción presenta en pantalla el retardo de grupo del sistema.

Respuesta impulsionalEsta opción presenta en pantalla la respuesta impulsional del sistema. Este mismo resultado puedeobtenerse mediante el Filtrado de una secuencia impulso unidad en la sección "Generación ytratamiento de secuencias".

Diagrama de ceros y polosEsta opción ofrece en pantalla el diagrama de ceros y polos del sistema. Esta opción ofrece la facilidadde un cursor circular. Con las teclas <←> y <→> se aumenta y reduce, respectivamente, la dimensióndel radio del cursor. Las teclas <↑> y <↓> permiten desplazarlo angularmente; cada golpe de teclacorresponde a un grado sexagesimal.

Comparar sistemasCon esta opción se puede visualizar la misma característica de hasta cuatro sistemas que se hayangrabado previamente en disco. Al accionar la opción se pregunta el número de sistemas a comparar,para a continuación solicitar uno a uno el nombre de los ficheros donde se encuentre cada uno de lossistemas. Dichos nombres pueden indicarse en la forma habitual para las opciones que manejanficheros (véase Archivo). Tras recibir el nombre correspondiente al último sistema, la ventana sesobreilumina y la opción "Comparar sistemas" es sustituida por "Salir de comparar", que permitirásalir de la ventana (modo alternativo para salir de la ventana es pulsar la tecla <ESC>).En la representación cada sistema aparece identificado con un color diferente, si el monitor es color, ocon un trazo diferente para monitores monocromo. Al imprimir las comparaciones cada sistemaaparecerá siempre con un trazado distinto, como en los monitores monocromo, aunque nuestromonitor sea en color. Para mayor claridad, no aparecerá ninguna de las plantillas, aunque dichossistemas las tuvieran. Hay que destacar que los sistemas a comparar no tienen por qué haber sidodiseñados necesariamente en el mismo modo de funcionamiento de "Diseño de sistemas discretos". Elprograma sigue tomando por defecto unos límites de representación que permitan ver incluso la gráficacon márgenes más amplios. Estos límites se representan constantemente en los ejes que aparecen en elfondo del menú y pueden ser modificados con la opción Limites.Dado que se visualizan varias gráficas a la vez, ya no se dispone de la posibilidad de atravesar lapantalla con un cursor, y en la línea de estado de la parte inferior del menú se toma como ninguno eltipo de filtro y la aproximación.Como ya se ha mencionado, cuando se desee terminar la comparación, se pulsará <ESC> y, tras unligero zumbido que nos recuerda que hemos salido del modo de comparación, el programa recupera elsistema que tenía antes de entrar en la opción.

LímitesEsta opción invoca una ventana de diálogo que permite facilitar al programa los márgenes para larepresentación gráfica:

Eje de abscisas: márgenes de frecuencia;muestra inicial y final para la respuesta impulsional.

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x x x i

Eje de ordenadas: valor mínimo para la atenuación (≤ 0) y valoresmáximos para la banda de paso y la bandaatenuada;

valores máximos para el módulo en la banda de paso y la banda atenuada.

Valor máximo para el semieje imaginario del diagrama de ceros y polos.El mínimo del módulo siempre es cero por defecto y la fase se representa siempre entre -π y π. Losvalores proporcionados mediante esta ventana, tal como se indica en la misma, se validan al pulsar<SPACE>.

Tarjeta gráficaEsta opción permite indicar al programa la tarjeta gráfica de la que dispone el computador. En la mayorparte de las configuraciones el propio programa detecta correctamente la tarjeta en uso. Cuando no seaasí o, por la razón que sea, interese especificar un modo gráfico determinado, debe utilizarse estaopción.

ImpresoraEsta opción permite seleccionar entre una impresora de 8 agujas y una de 24 para la impresión decualquiera de las gráficas que realiza el programa. La impresión se provoca pulsando la tecla <ImpPt>(imprimir pantalla). La impresión se adapta a las características de la configuración del computador,independientemente de la versión del sistema operativo.

III.5 Archivo

Este menú está dedicado a intercambiar las sistemas con el entorno de trabajo del usuario. Tantopermite la lectura o escritura de un fichero conteniendo un sistema, como la utilización de un sistemapara el filtrado de una señal analógica o la impresión del mismo.

Leer sistemaSu misión es realizar la lectura de un fichero conteniendo un sistema. Cuando se invoca esta opción seabre una ventana de diálogo que solicita el directorio y el nombre del fichero. A esta demanda se puederesponder con un nombre concreto (no es preciso incluir la extensión), en cuyo caso el programaprocede a la lectura del fichero en cuanto se pulsa <RETURN>. Si el nombre indicado contienecomodines (*), el programa suministra un Directorio de todos los ficheros que se adaptan al nombreescrito; en este caso los cursores verticales y las teclas <PgUp> y <PgDown>, que ejecutan el salto depágina del directorio, permiten situar la barra de selección sobre el fichero cuya lectura interesa; lapulsación de la tecla <RETURN> provoca la lectura del fichero.

DirectorioA través de la correspondiente ventana de diálogo, se puede suministrar al programa el nombre deldirectorio en cuya relación de ficheros de sistemas estamos interesados. Se puede especificar, ademásdel directorio, una clave de búsqueda de ficheros. El programa proporciona, junto con la lista de

x x x i i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

ficheros solicitada, el comentario con la descripción de su contenido. Cuando la longitud del directoriolo requiere, éste se organiza en páginas; las teclas <PgUp> y <PgDown> permiten el desplazamientoa través de ellas. En la esquina inferior izquierda de la ventana se muestra en todo momento el númerode la página en que estamos, sobre el número total de páginas del directorio, mientras que en lacabecera de la ventana se indica la clave de búsqueda.

Borrar sistemaActúa en formar similar a Leer sistema, salvo que como resultado el sistema elegido es borrado.

Guardar sistemaEsta opción faculta para conservar en un fichero el sistema en memoria del programa. Al ser invocada,se abren dos ventanas de diálogo: la primera demanda directorio y nombre para el fichero (la extensiónSIS es incluida por defecto) y la segunda permite la edición del comentario descriptivo del sistema, quelo acompañará en el fichero.

Actualizar directorioLa necesidad y utilidad de esta opción se debe al modo en que el programa trata el directorio deficheros. En realidad este directorio es un fichero especial generado por el propio programa, de modoque toda operación que implique al directorio requiere la manipulación de este fichero especial. Si porcualquier motivo este fichero se estropeara o se perdiera, a pesar de que nosotros siguiéramos teniendointactos nuestros sistemas en el disco, éstos no aparecerían en el directorio del programa. Por ello,necesitamos para estos casos una opción que nos permita actualizar el fichero directorio.Al seleccionar la opción, se abre una ventana de diálogo para especificar el directorio que se deseaactualizar.Es interesante mencionar que es posible la lectura de un fichero que no figure en el directorio delprograma, si en la opción "Leer sistema" se especifica el nombre del fichero completo.

Imprimir sistemaAl invocar esta opción el programa vuelca en la impresora una lista completa y detallada de losparámetros del sistema: se muestra el tipo de filtro, la aproximación, sus especificaciones, los ceros ypolos de la función de transferencia del sistema, y los coeficientes de sus polinomios numerador ydenominador.

Test de filtradoPermite comprobar el correcto funcionamiento de la placa; inicializa los parámetros a y b (siestuvieran indefinidos) a los valores correspondientes a una frecuencia de muestreo de 8 kHz y realizala opción Filtrado analógico con el sistema s[n]=e[n].

Filtrado analógicoEsta opción proporciona el sistema discreto en memoria del programa a la placa EVM, de modo queésta realice en tiempo real el filtrado de una señal analógica previamente muestreada y produzca laconversión D/A del resultado; es decir, la placa emula el filtrado analógico. Debido al escalado de lasseñales realizado en el µDSP, si la señal de entrada cubre el margen dinámico completo del convertidor

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x x x i i i

A/D, para evitar saturación en el convertidor D/A, la ganancia máxima de los sistemas discretos nodebe superar la unidad. Deben suministrarse al programa los valores para los parámetros a y b, que seencargan de especificar la frecuencia de muestreo y la frecuencia de corte del filtroantialiasing/reconstructor.

DemostracionesCuando se activa esta opción, se abre una ventana que permite elegir la ejecución en la placa EVM deun programa de demostración entre seis posibles. La selección se realiza desplazando la barra deselección con los cursores verticales hasta la demo deseada y pulsando <RETURN>.

SalirSu selección concluye la sesión de trabajo y produce la vuelta al sistema operativo al punto desdedonde se invocó el programa.

III.6 Secuencias

La selección de este menú da paso al conjunto de menús correspondiente a la GENERACION YTRATAMIENTO DE SECUENCIAS.

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x x x v

IV. Guía para las operaciones más habituales

Aunque los capítulos anteriores de esta guía de usuario contienen la información necesaria para trabajarcon 62, en este último capítulo se ofrece una ayuda al usuario que todavía no ha adquirido unafamiliaridad suficiente con el programa. Aquí se indica cómo realizar las operaciones más sencillas yse sugiere el modo de resolver las situaciones más habituales. Sin embargo, esta referencia no suple lainformación proporcionada en los capítulos II y III, ya que a ella deberá acudir el lector en busca de losdetalles sobre los procedimientos aquí descritos.

IV.1 Generación de señales

Para la generación de señales sencillas se dispone del submenú "Señales" de "Generación"; con susopciones se pueden obtener las secuencias habitualmente utilizadas en el estudio y la caracterización delas señales y los sistemas discretos: impulso unidad, escalón unidad, sinusoides, exponenciales ypulsos de formas sencillas (rectangular, triangular, etc.). A partir de éstas y mediante la opción"Combinación lineal" y las operaciones sobre las muestras que ofrece el submenú "Muestra a muestra"de "Tratamiento", es posible elaborar secuencias más complejas. Entre las opciones de este submenúmerece mención especial la denominada "Coseno", incluida para la simulación de modulacionesanalógicas.

También debe señalarse la interesante posibilidad de crear secuencias proporcionando directamente alprograma los valores de sus muestras mediante la opción "Editar secuencia" del menú de "Generación",aunque esta alternativa puede ser tediosa para secuencias de larga duración.

Las secuencias periódicas se generan mediante la opción "Generar periodicidad" de "Tratamiento" apartir de su periodo fundamental.

IV.2 Observación de señales

La opción usual para observar las señales la ofrece el menú "Representar". Sin embargo, cuando sedesee conocer el valor concreto de una muestra ha de acudirse a "Editar secuencia".

x x x v i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

Aunque se dispone de una opción en "Representar" para la comparación de secuencias, cuando se tratade dos secuencias reales puede ser útil acudir al siguiente artificio: mediante la "Combinación lineal"generar una nueva secuencia que contenga en sus partes real e imaginaria cada una de las dos secuenciasa comparar (para ello el coeficiente en la combinación lineal de una secuencia ha de ser real y el de laotra imaginario) y representarla con la opción "Partes real e imaginaria".

IV.3 Enventanado de señales

El programa 62 tiene programadas las ventanas más usuales (rectangular, Hamming, Blackman yKaiser), que pueden obtenerse en el submenú "Ventanas" de "Generación". Dando a la posición de laventana el valor adecuado, se puede elegir fácilmente el segmento de señal que es conservado por laventana. La operación de enventanado se lleva a cabo mediante la opción "Producto" de "Tratamiento".

IV.4 Representación de la transformada de Fourier

El instrumento del que se dispone para el cálculo de la transformada de Fourier es la DFT o su versiónrápida FFT; para que los elementos de la DFT se correspondan con muestras de la transformada deFourier, es preciso que la secuencia a transformar esté contenida en el intervalo [0, 511]. Para obtenerlas muestras de la transformada se aconseja hacer uso de la opción "FFT" de "Tratamiento" con unalongitud de 512 muestras.

La FFT genera muestras X[k] de la transformada equiespaciadas en el intervalo [0, 2π), queproporcionan el valor de la transformada a las frecuencias k/512. Si la secuencia que se transforma esreal, basta con representar las muestras para los ordinales 0 ≤ k≤ 256 correspondientes al intervalofrecuencial [0, π], selección que se efectúa en "Límites". En esta misma ventana de diálogo puedeoptarse por representar la DFT con "Muestras como líneas" o "Muestras como puntos"; esta segundaopción propicia una representación interpolada de la DFT con la apariencia de una función de variablereal como corresponde a la transformada de Fourier. Para representar la transformada en el intervalo(-π, π] debe acudirse al siguiente artificio:

1. A partir de la FFT calculada y mediante la opción "Generar periodicidad" de "Tratamiento",generar una secuencia con periodo 512, muestra inicial -255 y longitud 512.

2. Representar la secuencia obtenida.

La representación del módulo de la transformada en escala logarítmica se alcanza tras los siguientespasos:

1. Obtener el módulo de la transformada mediante la opción "Módulo" del submenú "Muestra amuestra" de "Tratamiento".

2. Tomar su "Logaritmo neperiano" en el mismo submenú.3. Si se desea que la representación quede expresada en dB debe multiplicarse el resultado

anterior por 8.6859; para ello, acuda a "Combinación lineal", indique el factor anterior parala secuencia con el logaritmo y deje la otra secuencia indefinida.

Apéndice A: Manual de usuario de 62 x x x v i i

4. Representar la secuencia resultante.

Cuando la secuencia cuya transformada de Fourier quiere representarse está contenida en el intervalo[0, 32], puede tomarse esta secuencia como la respuesta impulsional de un sistema FIR y acudir a lasfacilidades que ofrece 62 para el análisis frecuencial de los sistemas. Para ello utilícese la opción"Filtro FIR: respuesta impulsional" del menú "Datos" de la sección de "Diseño de Sistemas Discretos"e indíquese como respuesta impulsional la secuencia bajo análisis. En el menú "Gráficos" puedeseleccionarse la opción adecuada a la representación deseada:

1. Módulo de la transformada en escala lineal: "Módulo"2. Módulo de la transformada en dB: "Atenuación"3. Fase de la transformada: "Fase"

IV.5 Realización de sistemas sencillos

En el menú "Tratamiento" se dispone de varias opciones que constituyen en sí mismas la realizaciónde sistemas sencillos, que son utilizados frecuentemente en los ejemplos, ejercicios y problemas deeste texto. Estas opciones son:

"Convolución lineal": para la realización de un sistema lineal e invariante cuyah[n] es conocida.

"Mediana": que realiza un filtro de mediana."Muestra a muestra": que lleva a cabo operaciones no lineales sin memoria."x[-n]": y[n] = x[-n]"Retardo": y[n] = x[n-m]

"Generar periodicidad": y[n] = ∑r=-∞

∞ x[n+rP]

"Diezmado": y[n] = x[nN+M]

"Intercalado de ceros": y[n] = x[n/N] n = 0, ±N, ±2N, … 0 para otro n

IV.6 Generación de filtros FIR e IIR sencillos

La forma más simple de generar un filtro FIR es a partir de su respuesta impulsional. Para ello bastacon crear dicha secuencia por medio de alguna de las facilidades que ofrece 62, para posteriormenteobtener el sistema mediante la opción "Filtro FIR: Respuesta impulsional" del menú "Datos" de lasección del programa dedicada al "Diseño de sistemas discretos".

La opción "Función de transferencia" de este mismo menú da paso a otro menú que permite "Editarcoeficientes". Esta opción ofrece la posibilidad de generar un sistema a partir de los coeficientes de sufunción de transferencia o de la ecuación en diferencias finitas que describe su relación entrada/salida:

x x x v i i i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

H(z) = Κ

∑k=0

Q bkz- k

∑k=0

P akz- k

∑k=0

P ak y[n-k] = K ∑

k=0

Q bk x[n-k]

Un modo sencillo de obtener filtros en el dominio de la frecuencia (paso bajo, paso alto, paso banda,elimina banda o transformador de Hilbert) es proporcionado por el submenú "Respuestasimpulsionales" del menú "Generación" de la sección "Generación y tratamiento de secuencias". Por sumediación se puede obtener la respuesta impulsional correspondiente al filtro ideal deseado enventanadapor la ventana rectangular y desplazada para hacerla causal.

IV.7 Filtrado de una señal

Dos son las posibilidades que ofrece 62 para filtrar una señal. Mediante la opción "Convoluciónlineal" de "Tratamiento" se obtiene la respuesta de un filtro especificado por su respuesta impulsional.La opción "Filtrado" produce la salida correspondiente al sistema que se halle disponible en la seccióndel programa "Diseño de sistemas discretos"; si la secuencia que se filtra con esta opción es el impulsounidad, se obtiene la respuesta impulsional del sistema.

Apéndice B: En el laboratorio x x x i x

Apéndice B: En el laboratorio

B.1 Diagrama de conexionado

En la figura B.1 se representa el diagrama del conexionado necesario para utilizar señal analógica comoseñal de entrada o salida, en combinación con el programa 62.

TARJETA EVM

in (A/D)

out (D/A)

GENERADOR DE SEÑAL

CH1 CH2OSCILOSCOPIO

ORDENADOR PERSONAL

TMS320C30

AURICULARESMICROFONO

ON/OFF

ENTRADA OSCILOSCOPIOSALIDA

MICRO

(RCA-BNC)

BNC-BNC

OUTIN

BNC-BNC

OUT IN

Fig. B.1 Diagrama de conexionado en el puesto de laboratorio

x l Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

En trazo grueso se esquematiza el módulo amplificador analógico. Sirve de interfaz entre la señalanalógica de entrada y el conversor A/D, así como entre el conversor D/A y la salida analógica. En elfrontal se dispone de conectores BNC para la señal de entrada (ENTRADA), así como para visualizaren el osciloscopio la señal de salida hacia el conversor A/D (IN-OSCILOSCOPIO) y la señalproveniente del conversor D/A (OUT-OSCILOSCOPIO). También se ha provisto un conector paraauriculares con volumen controlable. La señal de entrada pasa por un amplificador-atenuador que debeajustarse para evitar saturación del conversor A/D. La tensión máxima de entrada al conversor A/D nodebe superar los 3 voltios pico-pico. En el panel posterior se encuentra el interruptor (ON-OFF), y losconectores BNC de salida (OUT) de señal hacia el conversor A/D, y de entrada (IN) de señal delconversor D/A.

Los conversores A/D y D/A están ubicados en la tarjeta EVM de Texas Instruments. Esta, a su vez,está conectada al ordenador personal (PC) a través de uno de los conectores de expansión del bus delPC. El conversor A/D es de 14 bits. La tensión de entrada del conversor A/D no debe superar los 3voltios pico-pico. En caso contrario se producirá saturación en la conversión, por lo que la señal deentrada quedará seriamente distorsionada. Debe tenerse también en cuenta que, si la tensión de entradaes demasiado pequeña, se producirá un error de cuantificación importante, por lo que se aconseja ajustarel nivel de la señal analógica de entrada mediante el amplificador anteriormente indicado. El conversorD/A es también de 14 bits y puede proporcionar una señal analógica de ±12 voltios. Para evitarefectos de saturación en el proceso de conversión D/A, el usuario debe asegurarse de que los sistemasdiseñados con el programa 62 tengan como ganancia máxima la unidad.

En aquellos experimentos propuestos que implican señales analógicas, se utilizará el osciloscopio paravisualizarlas. Como fuente de señal analógica se hará uso de un generador de señales de baja frecuencia.Sin embargo, en aquellos experimentos en que se considere oportuno, puede utilizarse un aparatoreproductor de cintas magnéticas o un receptor de radio convencional tipo walkman como fuentegeneradora de señal, y los auriculares del mismo para percibir auditivamente la señal de salida.

B.2 Inicio y fin de las sesiones de prácticas

La sesión de trabajo se inicia poniendo en marcha todo el equipamiento e invocando la aplicaciónsobre la que se realizan las prácticas; para esto último, deben teclearse las órdenes:

F:\ LOGIN > login SiS2F:\ USUARIS \ SIS2> 62

Es imprescindible disponer de un disquete de 3 1/2 " para conservar secuencias y sistemas durante lassesiones de trabajo o para sesiones posteriores. La sesión se concluye saliendo del programa yliberando el terminal mediante el comando:

F:\ USUARIS \ SIS2> logout

Apéndice B: En el laboratorio x l i

Se ruega que, cuando se abandone el puesto de trabajo, se deje todo el equipamiento apagado.

B.3 Cuaderno de prácticas

Cada pareja de estudiantes que formen un grupo de prácticas hará uso de un cuaderno de prácticas(formato libre) en el que anotará los resultados del estudio previo y de las experiencias realizadas en ellaboratorio, tratando de incluir toda aquella información que pueda ser relevante para el estudio de losconceptos contemplados en la práctica. El cuaderno se entregará al profesor al final de cada sesión delaboratorio, quien lo devolverá tras haberlo corregido.

Apéndice C: Solución a los problemas x l i i i

Apéndice C: Solución a los problemas

En este apéndice se proporciona la solución de algunos de los problemas propuestos al final de losdistintos capítulos del manual de estudio.

C.1 Problemas del capítulo 1

P1.1 1/6 ciclos/muestra

P1.2 a) 7 b) no c) 3 d) no e) 16

P1.3 d

P1.4 b

P1.5 c

P1.6 d

P1.8 a

P1.9 a) [ ]bn+1 - an+1

b - a u[n]

b) (n+1) an u[n]

c) y[n] = 2 n ≥ 0 2n+1 n ≤ 0

d) ..., 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, ...e) ..., 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, ...f) ..., 1, 1, -1, 0, 0, 3, 3, 2, 1, 0, ... g) ..., 0, 1, 3, 5, 6, 6, 6, 5, 3, 1, 0, ...

h) 7/3 ∀ n

i) y[n] = -7/3 + 5/3 (4)n n ≤ 0

7/3 - 3( )12

n n ≥ 0

x l i v Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

j) y[n] = 8/9 (-1/8)4 4n n ≤ 6 8/9 (-1/2)n-6 n ≥ 6

P1.10 a) h5[n]+h1[n]*(h2[n]-h3[n]*h4[n])

b) 5 δ[n]+6 δ[n-1]+7 u[n-2]-4 δ[n-3]c) ..., 0, -5, -6, -12, -4, 2, 9, -2, -7, 0, 4, 0, ...

P1.11 a) Falsa b) Cierta c) Falsa d) Falsa

P1.12 a) y[n] = (1+r) y[n-1]-p d) 126.444 .103 pts/mes e) Q = 45.519840 .106 pts.

P1.13 b) λ1 = (1+√ 5)/2 λ2 = (1-√ 5)/2 A1 = λ1/√ 5 A2 = - λ2/√ 5

c) x[n]/x[n-1] = (1+√ 5)/2

P1.15 a) y[0] = 1, h[n] =( )12

n u[n]

b) h[n] = ( )12

n u[n] + 2 ( )12

n-1 u[n-1]

d-1) h[n] = ( )12

u[n] + ( )12

(-1)n u[n]

d-2) h[n] = ( )12

u[n] + ( )12

(-1)n u[n] + u[n-1] + (-1)n -1 u[n-1]

d-3) h[n] = u[n] + (-1)n u[n] - ( )32

u[n-4] - ( )32

(-1)n-4 u[n-4]

P1.16 figura P1.16-2

P1.17 b) y[n] = a y[n-1] + x[n] + b x[n-1]

y[n] =

-

1 + b1 - a

n < 0

- a + b1 - a

n = 0

- (1+1/a) a + b1 - a

an + 1 + b1 - a

n > 0


P2.1 a) X(ejω) = e-jω(2M-1)/2 ejπ/2 2 sen2(

M2 ω)

sen12ω

b) X(ejω) = 12 A π ∑

i=-∞

∞ ∑

k=-1

1 αk δ(ω - 2k ωo - 2πi) con αo = 2, α1 = α -1* = ej2θ

Apéndice C: Solución a los problemas x l v

c) X(ejω) = 2πP

∑i=-∞

∞ Xo(ej2πi/P) δ(ω -

2πP

i)

e) X(ejω) = 12 ∑i=-1

1 α i e-j(ω-

πL+1

i)(L-1)/2 sen

L2(ω-

πL+1i)

sen12(ω-

πL+1i)

con αo = 1, α1 = α -1* = - 12 ej

πL+1

P2.2 a) x[n] = pL[n]

b) x[n] = (1π

senωc2 n

n )2

c) x[n] = πn cosπn - sen πn

πn2 = 0 n = 0

cos πn

nn ≠ 0

d) x[n] = 1,111 δ[n] + 1,180 0,9n cos(π3 n - 1,751) u[n]

P2.3 c) x1[n] = …, 0, 2_, 1, 1, 0, …d) x2[n] = …, 0, 0_, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, …

P2.5 d

P2.7 c

P2.8 c

P2.10 a) h[n] = s[-n]b) h[n] = ..., 0, -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 0, ...

P2.15 a) la superiorb) Ap = 1c) L = 64 veq[n] = vh[n] ∆ω = π/8 Ap = 1

L = 128 veq[n] = vh[n] p64[n] ∆ω = π/8 Ap = 1/2

d) F = 1.609 Hz P = 0,046e) F = 1.984 Hz P = 0,5

F = 2.203 Hz P = 0,24

P2.16 a) primer sistema: si x[n] = 0 fuera del intervalo (0, N-1), y[n] = ( ∑r=-∞

∞ rx[n+rN] ) pN[n]

segundo sistema: y[n] = x[- n - 4]

tercer sistema: y[n] = ∑k=-∞

∞ x[k] h[2(n-k)]

x l v i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

b) primer sistema: no causal, estable, no lineal y variante.segundo sistema: no causal, estable, lineal y variante.tercer sistema: lineal e invariante, causal y estable si h[n] lo es.

c) h3[n] = h[2n]d) primer sistema: y[n] = ..., 0, 4, 1, -2, -1, 0, 0, 0, -1, -2, 1, 0, ...

segundo sistema: y[n] = ..., 0, -1, -1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, ...tercer sistema: y[n] = ..., 0, 1/2, 1, 0, -1, -1/2, 0, ...

P2.17 d) h[n] = ..., 0, 1_, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, ...

P2.18 h[n] = ..., 0, 1/3_ , 2/3, 1, 2/3, 1/3, 0, ... = 13 p3[n] * p3[n]

H(ejω) = e-2jω 13 (1 + 2 cosω)2

P2.21 b

P2.22 b) paso bajo: fp = Bf/2 fa = 1/2 - Bf/2

P2.23 c) y[n] = 12 x[n]

e) y´[n] = 2 x[n-1]

P2.25 d1) ry[m] = …, 0, 0.25, 1, 2, 3, 4, 5, 5.5, 5, 4, 3, 2, 1, 0.25, 0, …

d2) ry[m] = 164

(2+√ 2)2 cosπ4

m + (2-√ 2)2 cos3π4

m


P3.1 c) G1 = 4,5 dB G2 = 6,5 dBd) N1 = 0,75 N2 = 1

P3.2 a) 1 Hz en el sentido de girob) 1 Hz en sentido contrario

P3.3 c

P3.4 b

P3.6 b) hi = v[i] sen [ ]π

BF2Fo

( )L-12 - i

π ( )L-12 - i

(-1)(L-12 - i)

i = 0, 1, …, L-1 (L impar)

P3.7 a) P = 5

Apéndice C: Solución a los problemas x l v i i

b) y c) 4 kHz

P3.8 3 kHz y 5 kHz

P3.11 a) relación de interpolación: N = 4; relación de diezmado: M = 5c) fa1 = 0,000375

fp1 = 0,0025 fp2 = 0,0875fa2 = 0,1

P3.12 a) filtro paso bajo: H(1) = 3 fc = 1/6 hI[n] = sen

π3n

π3n

b) fp = 0,4/3 fa = 0,6/3

c) L = 34e) Fp = 3,2 kHz Fa = 20,8 kHzf) Fm = 8 kHz Fp = 3,2 kHz Fa = 4,8 kHz

P3.13 c) GP = 15 dBd) GP = 24 dB

e) 2,5 y 4 bits, respectivamente.

P3.15 a) N = 4


P4.1 Región de convergencia:a) todo zb) z ≠ 0c) |z| < ∞d) g) h) |z| > 1/2e) f) |z| < 1/2

i) X(z) = z-1 + z-2

1 - z- 1 |z| > 1

j) X(z) = c z-1

(1 - c z-1)2 |z| > c = e-a

P4.2 a) (1 - z-1) X(z)b) X(z2)

c)12 [ ]X(z1/2) + X(-z1/2)

P4.3 todas excepto la da) |z| > 1/2 b) 1/3 < |z| < 1/2 c) |z| < 1/3

x l v i i i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

P4.4 a) y[n] = a + b

a - ejω an u[n] + H(ejω) ejωn u[n]

P4.5 a) ceros: en ω1 = ±π/2 o equivalentemente en z=±j

polos: en el origen y z = -0,5

b) H(z) = 14

1 + z- 2

1 + 12 z- 1

c) A = - 5/4 B = 1/2

d) y[n] = 13

u[n] + 16 (-

12)n u[n] -

12

δ[n]

P4.6 a) R(z) = H(z) H(z-1)

b) ROC: 1/√_2 < |z| < √

_2

c) H1(z) = 0,5 + 0,2 z-1

H2(z) = 0,2 + 0,5 z-1

d) h[n] = ± (12)n u[n]

P4.7 H(z) = bo + b1 z-1 + b2 z- 2

1 + a1 z-1 + a2 z- 2

P4.8 Véase la figura 5.20

P4.9 b) H(z) = 1L

1 - z- L

1 - z- 1

c) d) ceros: ej 2πL

k k = 1, ..., L-1 polos: origen

H(ejω) = 1L

sen

L2 ω

sen 12ω

e-jω L-1

2

f) h[n] = h[11-n] = n+1 n = 0, ..., 4h[n] = 5 n = 5, 6, 7

P4.10 a) b) |H(ejω)|2 = (1 + cosω +

14 ) (1 -

83 cosω +

1 69

)

1 - 89 cos2ω +

1 681

cos2ω = 2 (cosω)2 - 1

P4.11 a) h1[n] = bn u[n]

h2[n] = ab

δ[n] + ( )1-ab

bn u[n]

Apéndice C: Solución a los problemas x l i x

h3[n] = 1b δ[n] + ( )a-

1b

bn u[n]

b) τ[ω] = (b cos ω-b2)/(1-2b cos ω+b2)

c) |H2(ejω)| = |H3(ejω)|d) E2[m] - E3[m] = (1 - a2) b2m > 0

P4.12 El 1, 2, 3 y 4

P4.13 a) y[n] = cos πnb) y[n] = yf[n] + yl[n]

yf[n] = cos πn u[n]

yl[n] = 15 ( )1

2

n u[n] -

35

( )-12

n u[n]

c) H(z) es de fase mínima

HInv(z) = 53

1-14 z - 2

1+14 z- 2

h[n] = 35 [ ]-δ[n] + (

12)n

u[n] + (-12)n u[n]

hInv[n] = 53 [ ]-δ[n] + (

12 j)n u[n] + (-

12 j)n u[n]

e) Por simetría respecto el eje imaginario: H[ ]ej(π-ω) = H*(ejω)

Por simetría respecto al eje bisectriz de los cuadrantes 1 y 3:

H

ej

π

2 -ω | |H(ejω) =

H

ej

π4

2

∆

ej

π

2 -ω = ∆ (ejω)

P4.14 a) He(z) = 1/Hmin(z)

P4.15 a) Ha(z) = 1

1 + z-1 + 0,5 z- 2 ROC: |z| > 1/√_2

b) Hb(z) = 1

1 + 2 z-1 + 2 z- 2 ROC: |z| > √_2 (inestable)

c) Hc(z) = 1 / z-2 G(1/z) = 1/2

1 + z-1 + 0,5 z- 2 ROC: |z| > 1/√_2

d) H1(z) = -1 - 2 z-1

H2(z) = 2 + 2 z-1

P4.17 e)

l Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

P4.18 El 1

P4.19 a) ROC: a < |z| <1/a El sistema no es causal.

b) H(z) = - 12 (1-a)2

a

1 + z- 2

1 - (a+a-1) z-1 + z- 2

c) h[n] = 1-a1+a

a δ[n] + 12 1-a1+a

(a+a-1) an u[n-1] + a-n u[-n-1]

d) El sistema presenta fase lineal: fase cero.


P5.1 d)

P5.4 b) αa = 24,8 dB β = 1,297c) Fm = 200 Hz

P5.5 a) N = 4

b) h[n] = sen

πN (n -

L - 12 )

πN (n -

L - 12 )

pL[n]

d.2) h[L-12 - 1 ± iN]

d.4) M = parte entera (L-1)/2 - 1

N = parte entera

L-32N

d.5) hτ[n] = h[L-12

- 1 - N M + n N] n = 0, …, Lτ - 1

Lτ = L+12N

+ M + 1

Si L = 2 N M + 3, Lτ = 2 M + 1 y hτ[n] = h[n N]

e) Si L = 2 N M + 3, Hτ(ejω) = 1N

∑i=0

N-1 H(ej(

ωN -

2 πN i))

g) h[L-12 - 3 ± iN]

P5.6 b) h[n] = δ[n] - cos(π10

n) sen

π20

n

π20

n

P5.8 b) HIr(ejω) = 1 0 ≤ |ω| ≤ ωc

0 ωc < |ω| < 2π- ωc -1 2π- ωc ≤ |ω| ≤ 2π

Apéndice C: Solución a los problemas l i

c) HIr(ejω) =

0 -2π ≤ ω < -2π+(ωa+ωp)/2 1 -2π+(ωa+ωp)/2 ≤ ω ≤ -(ωa+ωp)/2 0 0 < |ω| < (ωa+ωp) /2 -1 (ωa+ωp)/2 ≤ ω ≤ 2π- (ωa+ωp)/2 0 2π- (ωa+ωp)/2 < ω ≤ 2π

P5.10 b) HPb(ejω) = ejπL2 e-j

π2 e-j

L-12 ω Hr(ejλ) o2π Hr(ejλ)|λ=ω-π

P5.11 a) K = ∆/2

P5.12 Filtro paso banda: P=Q=12 Nops = 1,22 106

Filtro paso bajo: P=Q=7 Nops = 0,688 106

Filtro paso alto: P=Q=3 Nops = 0,112 106

P5.13 a) N = 4

P5.15 a) filtro paso banda: P=Q=12b) filtro paso bajo: fp = 0,2125 αp = 0,5 dB

fa = 0,2875 αa = 50 dB

P=Q=5filtro paso alto: fp = 0,2583 αp = 0,5 dB

fa = 0,07083 αa = 50 dB

P=Q=3c) filtro paso banda: Nops = 0,680 106

filtro paso bajo: Nops = 0,128 106

filtro paso alto: Nops = 0,208 106

P5.16 a) A2(z) = 1 + k1(1+k2) z-1 + k2 z-2 B2(z) = k2 + k1(1+k2) z-1 + z-2 = z-2 A2(z-1)c) y g) |ki| <1


P6.2 c) Py = 12

σ2

P6.3 a) b) c) rij[m] = σx2 hi[m] * hj[-m]

Sij(z) = σx2 Hi(z) Hj(z-1)

d) H1(ejω) H2*(ejω) = 0

e) a = b

f) r11[m] = σx2

1 - a2 (-a)|m|

l i i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

r22[m] = σx2 δ[m]

r12[m] = σx2 b - a1 - ab

(-a)m u[m] + σx2 b - 1/b1 - ab

(-b)-m u[-m-1]

P6.5 a) a = 0,50953b) h2[n] = an-1 u[n-1]

c) rr[m] = σe2 1

1- a2 an u[n] + 1

1- a2 a-n u[-n-1]

Pr = σe2 1

1- a2

P6.7 a) Sx(ejω) = 8.103 |f| ≤ 3/8 0 3/8 < |f | ≤ 1/2

(en el primer periodo)

b) Px = 6.10 3

c) rx[m] = 6.103 sen

3π4 m

3π4 m

d) Sy(ejω) = Sx(ejω) (2 sen ω2 )2 Py = 8,4.103

P6.8 ry[n+m,n] = ∑k=-∞

n+m h[k] ∑

i=-∞

n h*[i] rz[m-k+i]

P6.10 a) rv[n1,n2] = rx[(n1-n2)/N] n1, n2 = 0, ±N, ±2N, … 0 en otro caso

v[n] no es estacionaria

b) ry[n1,n2] = ∑n=-∞

∞ rx[n] ( h[n1-nN] * h*[n2+nN] )

c) Si la respuesta frecuencial del filtro interpolador cumple

H(ej(ω - 2πN i)) H(ej(ω -

2πN k)) = 0 para 0 ≤ k ≠ i ≤ N-1

como es el caso del interpolador ideal, se verifica que

ry[n1,n2] = ∑n=-∞

∞ rx[n]

1N

rh[n1-n2-nN)

al igual que para las secuencias deterministas de potencia media finita (problema 2.25).

P6.13 a) r[n1,n2] = 1 (k-1)L ≤ n1, n2 ≤ kL-1 0 en otro caso

P6.15 b) rx[j] + ∑i=1

P ai rx[i-j] = 0 j = 1, ..., P

E |e|2 = rx[0] + ∑i=1

P ai rx[i]

Apéndice D: Bibliografía l i i i

Apéndice D: Bibliografía

En este apéndice se proporciona la referencia de varios textos que complementan los temas tratados enel presente manual. La bibliografía es intencionadamente reducida para no confundir al lector con lanecesidad de optar entre alternativas similares. Se acompaña cada cita con un breve comentario queorienta sobre el contenido del libro y la razón de haber sido seleccionado.

A. V. Oppenheim, A. S. Willsky"Signals and Systems"Prentice Hall, 1983

Para comenzar el estudio de las señales y los sistemas tanto analógicos como discretos. Un texto queelabora con detalle los conceptos básicos.

A. V. Oppenheim, R.W. Schafer"Discrete-Time Signal Processing"Prentice Hall, 1989.

Manual clásico sobre el tratamiento digital de la señal. Se trata de una versión actualizada de un textoanterior. Aborda con cierto detalle muchas cuestiones que solamente han sido insinuadas en el presentelibro, o que han sido propuestas en los problemas. Es una excelente referencia por la cuidada selecciónde temas, por su tratamiento riguroso y su atractiva exposición.

J. G. Proakis, D. G. Manolakis"Introduction to Digital Signal Processing"Macmillan, 1988.

Ofrece un complemento interesante al anterior en lo que se refiere a los sistemas discretos, a los quededica la mayor parte de su contenido. Incluye la formulación del análisis mediante variables de estadoy una introducción a los sistemas adaptativos.

l i v Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

C. S. Burrus, J. H. McClellan, A. V. Oppenheim, T. W. Parks, R. W. Schafer,H. W. Schessler"Computer-Based Exercises for Signal Processing using MATLAB®"Prentice Hall, 1994.

Una excelente propuesta para profundizar en el detalle del tratamiento digital de la señal, y adquirirexperiencia en los aspectos prácticos de su aplicación.

R. Chassaing"Digital Signal Processing with C and the TMS320C30"John Wiley & Sons, 1992.

Un guía adecuado para adentrarse en la puesta en práctica del tratamiento digital de la señal en unentorno analógico. Son muy interesantes los proyectos que propone, ya que proporcionan una visiónajustada a la realidad de los campos donde hoy se aplica el tratamiento digital de la señal. Incluye unadescripción del µDSP de Texas TMS320C30 y su entorno de programación.

J. B. Mariño, E. Masgrau, C. Nadeu, M. Serra, A. Carol"Filtros en el dominio de la frecuencia" Tomo ICPET S.C.C.L., 1985.

Incluye un completo estudio de las aproximaciones más habituales en la práctica para el diseño defiltros analógicos especificados en el dominio de la frecuencia: Butterworth, Chebychev, inversa deChebychev y Cauer. Describe con detalle el eficiente algoritmo de Darlington para el diseño de laaproximación de Cauer (filtros elípticos).

Apéndice E: Indice alfabético l v

Apéndice E: Índice alfabético

AAlgoritmos

de la FFT, 133

para la realización de filtros, 245, 248-250

Aliasing

filtro anti- (véase)

frecuencial, 146, 295

temporal (véase Solapamiento)

Análisis de realizaciones

en el dominio del tiempo, 63-66

en el dominio transformado, 181-183

Aproximación

de Butterworth, 240

de Chebychev, 240

de Cauer, 240-243

Atenuación, 185, 216

Aumento de la frecuencia de muestreo, 152-153

Autocorrelación

propiedades, 101

secuencias aleatorias, 262

secuencias con energía finita, 99-101

secuencias con potencia

media finita, 108-110

Autofunciones, 47

Autovalores, 47

CCausalidad, 33

de sistemas L.I., 46

Componente frecuencial (véase Sinusoide

compleja)

Comportamiento con rizado de amplitud

constante, 226-232

Condiciones iniciales

análisis de sistemas con, 182-183

ecuación en diferencias, 54, 56

de una realización, 64

Conexión de sistemas, 36, 44

cascada, 36

paralelo, 37

Convergencia

transformada de Fourier

cuadrática, 77

uniforme, 74

transformada z, 165-166

Conversión A/D, 141-147, 296-298

Conversión D/A, 147-151, 298-299

Convolución

cálculo por solapamiento y descarte, 135

cálculo por solapamiento y suma, 134

circular, 95-96

lineal, 37-44

Correlación cruzada

entre entrada y salida de

un sistema L.I., 100, 267

señales deterministas, 99

señales aleatorias, 264

Cuantificación

de señales, 142-143

de coeficientes, 244-247

DDelta, 23

l v i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

Delta de Dirac, 105

Densidad espectral

de energía, 102-104

de potencia

de secuencias aleatorias, 270-272

de secuencias deterministas, 109-111

Desplazamiento de secuencias

lineal, 20, 89

circular, 90

DFS, 124-125, 310

DFT (véase Transformada discreta de Fourier)

Diagrama de ceros y polos, 178

Diezmado, 111-115

Discriminación, 217

Diseño óptimo de filtros FIR, 232

Dualidad, 88

EEcuación característica, 52, 178

Ecuación homogénea, 50

Ecuaciones en diferencis finitas, 49-53

como representación de un sistema, 53-62

representación en diagramas

de bloques, 62-66

Ecualización, 123, 208-209

Elíptica (véase Aproximación de Cauer)

Energía, 77

Enventanado, 319-325

teorema, 97

diseño de filtros, 220-223, 325-328

Equivalente paso bajo, 92, 136

Ergodicidad, 276-278

Escalón unidad, 23

autocorrelación, 109

transformada de Fourier, 107

transformada z, 167

Especificación de un filtro, 216-217

Estabilidad, 34

de sistemas definidos por ecuaciones en

diferencias finitas, 178-179

de sistemas de orden 2, 245

de sistemas L.I., 45

test de Schur-Cohn, 209-211

Estacionariedad

en sentido amplio, 265

en sentido estricto, 264

Estructuras

lattice, 259-260

para la realización de sistemas definidos por

ecuaciones en diferencias finitas, 62-66

FFase lineal (véase Sistemas de fase lineal)

FFT, 131-134

Filtro antialiasing, 146, 154, 298-299

Filtro elíptico (véase Aproximación de Cauer)

Filtro elimina banda, 213-214

Filtro de mediana, 35, 283

Filtro paso alto, 213-214

Filtro paso bajo, 213-214

ideal, 78

Filtro paso banda, 213-214

Filtro reconstructor, 150, 299

Filtros FIR

diseño, 218-235

realización, 245

Filtros IIR

diseño, 235-243

realización, 246-251

Formas canónicas

forma I, 66, 249

forma II, 205, 250

Frecuencia de muestreo, 141, 297

cambio de, 151-154

Frecuencia discreta, 25

periodicidad de la representación

frecuencial, 27, 296

relación con la frecuencia analógica (véase

Conversión A/D)

Función de transferencia

sistemas definidos por ecuaciones en

diferencias finitas, 60, 175-179

sistemas lineales e invariantes, 47

HHomogeneidad, 32

Apéndice E: Indice alfabético l v i i

Hermítica (función), 79

IIdentificación de sistemas, 311

Igualación (véase Ecualización)

Igualdad de Parseval, 98

Impulso unidad, 23

Interpolación, 116-117

lineal, 117

de Lagrange, 237

Invarianza, 33


diferencias finitas, 57

LLinealidad



sistemas, 32


transformada z, 170

MModos del sistema, 180

Muestreo en frecuencia

de la transformada de Fourier, 85

diseño de filtros, 223-226

Multiplexión en frecuencia, 332-333

PPeriodo

de muestreo, 141, 296

de una secuencia, 22

Periodograma, 279

Plano z, 27, 166

Potencia media, 105

de secuencias periódicas, 107

de señales aleatorias, 262

Predicción lineal, 102, 288

Proceso blanco, 266

Procesos incorrelados, 264

Procesos independientes, 264

Producto de secuencias (véase Enventanado)

RRealización de filtros

forma directa, 248

formas canónicas (véase)

Reducción de la frecuencia de muestreo, 151-152

Región de convergencia, 165

Respuesta con entrada nula, 55

Respuesta en reposo, 55

Respuesta forzada, 180

Respuesta frecuencial, 48, 184-191

fase, 184

interpretación geométrica, 189-191

módulo, 185

Respuesta impulsional, 38



Respuesta libre, 180

Retardo de grupo, 185

ROC (véase Región de Convergencia)

SSecuencia, 19-30

anticausal, 47

causal, 47

con energía finita, 77

con potencia media finita, 105

impar, 21

par, 21

periódica, 22, 310-311

sumable en módulo, 74

Secuencia exponencial, 14-26

autofunción de sistemas L.I., 47


transformada z, 167

Secuencias incorreladas

aleatorias, 264

deterministas, 100

Secuencia senoidal, 28-30

autocorrelación, 110

periodo, 30

transformada z, 171

Selectividad, 217

l v i i i Tratamiento digital de la señal: una introducción experimental

Señal analítica, 92

Señal de voz, 312-315

6 2

guía para las operaciones

más habituales, xxxv

introducción de datos, x

relación de opciones, v-vii

Simetrías de la transformada de Fourier, 79

Sinusoide compleja, 26-28

correlación, 109

periodo, 27


Sistema en reposo, 54, 56

Sistema de fase lineal, 196-202

condición de fase lineal, 198

diagrama de ceros y polos, 200-201

interés de la fase lineal, 104

propiedades, 197-198

tipos de sistemas, 199

Sistema de fase mínima, 193-195

Sistema inverso, 193

Sistema lineal e invariant (L.I.)

convolución, 37-44

correlación cruzada entre

entrada y salida, 100, 267

función de transferencia, 47

realización, 62-66

respuesta frecuencial, 48

respuesta impulsional, 38

Sistema pasa todo, 192

Sistema real, 32, 38, 59, 178

Sistema realizable, 215

Sistemas discretos, 31-37

acumulador, 34, 39

diezmador, 31

filtro de mediana, 35

FIR, 58

IIR, 58

multiplicador, 38

no recurrentes, 55

promediador, 34, 39

recurrentes, 55

retardador, 31, 38

sumador, 63

Solapamiento temporal, 85

Superposición, 32

TTeorema de la alternancia, 229

Teorema de la convolución


transformada z, 170

Teorema de muestreo, 149

Transformación bilineal, 237-239

Transformada de Fourier, 74-80

de secuencias con potencia

media finita, 105-108

de secuencias periódicas, 311

propiedades de simetría, 79

relación con la transformada z, 169

teoremas, 87-98

Transformada discreta de Fourier, 81-87

muestreo de la transformada de Fourier, 81, 85

propiedades de simetría, 84

teoremas de la, 87-98

Transformada z, 165-175

convergencia, 166

propiedades de la, 169-170

Transformada z unilateral, 182

Transformadas inversas


transformada z, 172

Transformador de Hilbert, 86, 221-223

Tren de impulsos, 82


VVentanas

de Blackman, 324

de Hamming, 324

de Kaiser, 327

rectangular, 320-323

Teoremas de la transformada de Fourier y de la transformada z

Propiedad Secuencia Transformada de Fourier Transformada z ROC

x[n] X(ejω) X(z) Rx ( rx1 < |z| < rx2 )

y[n] Y(ejω) Y(z) Ry ( ry1 < |z| < ry2 )

Linealidad a1 x[n] + a2 y[n] a1 X(ejω) + a2 Y(ejω) a1 X(z) + a2 Y(z) contiene Rx ∩ Ry

Desplazamiento temporal x[n-m] e-jωm X(ejω) z-m X(z)Rx (excepto la posible inclusión

o exclusión de z=0 o z=∞)

Modulación x[n] e jωon X(ej(ω-ωo)) X(ze-jωo) Rx

Reflexión en el tiempo x[-n] X(e-jω) X(1/z) 1/Rx ( 1/rx2 < |z| < 1/rx1 )

Producto por una exponencial an x[n] - - - X(z/a) |a|Rx ( |a|rx1 < |z| < |a|rx2 )

Convolución x[n] * y[n] X(ejω) Y(ejω) X(z) Y(z) contiene Rx ∩ Ry

Producto de secuencias x[n] y[n] 12π ∫

-π

π X(ejλ) Y(ej(ω-λ)) dλ

12πj

∫oC X(v) Y(z/v) v-1 dv contiene Rx Ry

( rx1 ry1 < |z| < rx2 ry2 )

Derivación en el dominio ω /z n x[n] j dX(ejω)

dω- z

dX(z)dz

Rx (excepto la posible inclusióno exclusión de z=0 o z=∞)

Transformadas de Fourier y transformadas z elementales

Secuencia Notación Transformada de Fourier Transformada z ROC

Impulso unidad en n=m δ[n-m] e-jωm z-m Todo z excepto 0 (si m>0)o ∞ (si m<0)

Escalón unidad u[n] π ∑i=-∞

∞ δ(ω - 2πi) +

1

1 - e-jω

11 - z-1 |z| > 1

Exponencial causal an u[n] 1

1 - ae-jω|a| < 1

11 - az-1 |z| > |a|

nan u[n] ae-jω

(1 - ae-jω)2|a| < 1

- az-1

(1 - az-1)2|z| > |a|

Exponencial anticausal - an u[-n-1] 1

1 - ae-jω|a| > 1

11 - az-1 |z| < |a|

- nan u[-n-1] ae-jω

(1 - ae-jω)2|a| > 1

- az-1

(1 - az-1)2|z| < |a|

Sinusoide compleja ejωon2π ∑

i=-∞

∞ δ(ω - ωo + 2πi) - - - - - -

Sinusoide amortiguada causal rn cos(ωon + θ) u[n] cosθ - r cos(ωo-θ) e-jω

1 - 2r cos ωo e-jω + r2 e-j2ω

cosθ - r cos(ωo-θ) z-1

1 - 2r cos ωo z-1 + r2 z-2 |z| > r

Pulso rectangular pL[n] = 1 0 ≤ n ≤ L-10 para otro n

sen(ωL/2)

sen(ω/2) e-jω(L-1)/2 1 - z -L

1 - z-1 |z| > 0

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