Eje Tematico: Geometrıa

Guıa MM28: Semejanza

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1. Introduccion

El estudio de la semejanza de figuras nos permite ver cuando, en escencia, una figura resultade haber hecho “zoom” a otra (ya sea acercandola o alejandola), de esta forma dos figurassemejantes pueden ser distintas, pero aun ası estar relacionadas y compartir propiedades.

2. Semejanza de Triangulos

Diremos que dos triangulos son semejantes, cuando los angulos de uno de ellos sean res-pectivamente iguales con los angulos del otro. Ademas, los lados homologos entre los triangulosdeben ser proporcionales (podrıan ser iguales, pero en la mayorıa de los casos no es ası).Denotaremos por la semejanza de dos figuras con el sımbolo “∼”.

Observacion: Si decimos que “4ABC ∼ 4PQR”, estamos indicando el orden en el cuallos angulos son iguales, en cambio si decimos que “el 4ABC es semejante al 4PQR”, soloestamos indicando la semejanza sin enfatizar el orden de ella.

Dos polıgonos de un mismo numero de lados, se diran semejantes cuando los angulos deuno de ellos sean respectivamente iguales con los angulos del otro y cuando ademas, los ladoshomologos sean proporcionales.

Los rectangulos adjuntos muestran un ejemplo de semejanza, ya que ambos mantienen unaproporcion en sus dimensiones, donde podemos observar una razon de 1 : 2 (vista de derechaa izquierda) entre los lados de los rectangulos.

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3. Teoremas de Semejanza de Triangulos

En el apartado anterior hemos definido seis condiciones que deben cumplirse para quese de la semejanza entre triangulos. Veremos a continuacion bajo que condiciones mınimaspodemos establecer dicha semejanza.

3.1. Teorema Fundamental

Dos triangulos seran semejantes cuando dos angulos de uno de ellos sea, respectiva-mente, congruentes a dos angulos del otro

En base a este teorema, podemos desglosar los siguientes corolarios:

Corolario 1: Toda paralela a un lado de un triangulo, determina un triangulo semejanteal primero.

Corolario 2: Al trazar en el interior de un 4ABC un segmento DE no paralelo al ladoAB, de tal forma que ^EDC = ^BAC, entonces 4EDC es semejante con el 4ABC.

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Colorario 3: Si se prolongan dos lados de un triangulo y se traza una paralela al otrolado, se determina un nuevo triangulo semejante al primero.

3.2. Ejercicios

1. Suponga que DA ‖ CB y DC ‖ EF ‖ AB. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) 4EPD es semejante con 4CDB

II) 4EPD es semejante con 4FPB

III) 4ABD es semejante con 4CDB

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

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2. En la figura siguiente, CA⊥AB y ED ‖ CA. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 4ABC ∼ 4DBE

II)AC

DE= 4

III) BE = 5

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

3.3. Criterios de Semejanza de Triangulos

En el apartado anterior vimos como obtener triangulos semejantes solo con igualdades deangulos, pero ahora observaremos que ocurre cuando algunos angulos son iguales y algunoslados son proporcionales:

Lado - Angulo - Lado: Para que dos triangulos sean semejantes, basta que tengan unangulo congruente comprendido entre dos lados proporcionales.

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Lado - Lado - Lado: Para que dos triangulos sean semejantes, basta que tengan todossus lados correspondientemente proporcionales.

Lado - Lado - Angulo mayor: Para que dos triangulos sean semejantes, basta quetengan dos de sus lados respectivos proporcionales y los angulos respectivos, que apuntanal lado mayor de los dos lados proporcional, iguales.

3.4. Ejercicios

1. Si 4ABC ∼ 4QRP , ¿cuanto mide el segmento PQ en la figura siguiente?

A) 12

B) 18

C) 24

D) 27

E) 54

6

2. En la figura siguiente, 4ABC ∼ 4DEF . ¿Cual es el valor de x + y?

A) 5,25

B) 6,75

C) 7,5

D) 12,75

E) 15,25

3. ¿Cual de los siguientes teoremas permite concluir que los triangulos de la figura adjuntason semejantes?

A) Teorema fundamental

B) Criterio Lado - Lado - Lado

C) Criterio Lado - Angulo - Lado

D) Criterio Lado - Lado - Angulo mayor

E) Los triangulos de la figura no son semejantes

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4. Teoremas de Proporcionalidad Avanzados

En triangulos semejantes, debido a la proporcionalidad entre los lados, es posible deducirlas siguientes proporcionalidades entre los trazos internos, los perımetros y las areas:

Proporcionalidad de Trazos Internos y Perımetros: En triangulos semejantes,dos lados homologos estan en la misma razon que dos trazos internos homologosy tambien en la misma razon de sus perımetros.

Proporcionalidad de Areas: En triangulos semejantes, las areas estan en una razonequivalente al cuadrado de la razon de dos lados homologos.

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4.1. Ejercicios

1. En la figura, el trazo DE es paralelo al lado AB del 4ABC, AC = 8 y BC = 16:

¿Cual es el perımetro del 4CDE?

A) 36

B) 32

C) 27

D) 21

E) 18

2. En la figura, 4ABC ∼ 4DEF donde ^CPB = ^EQF = 90°:

Si DE : AB = 1 : 3 y QF = 3, entonces CP mide:

A) 3

B) 5

C) 6

D) 8

E) 9

9

3. En la figura siguiente, el area del 4ABC es 80. Si DE ‖ BC , entonces ¿cual es el areadel trapecio DBCE?

A) 20

B) 35

C) 40

D) 45

E) 60

5. Semejanza en Figuras Planas

Tal como describimos para los casos de los triangulos, dos figuras planas seran semejantessi sus angulos correspondientes son iguales y sus lados son proporcionales. Los teoremas delperımetro y del area, se cumplen en otras figuras, como cuadrilateros, pentagonos, etc...

Ejemplo: Notemos que los siguientes cuadrados cumplen las hipotesis de semejanza y alobservar los valores de sus lados, perımetros y areas, podemos comprobar que las razones desemejanza se cumplen de la misma forma que en el triangulos.

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Respecto de la semejanza de figuras planas, podemos determinar que:

Dos cuadrilateros, pentagonos, etc. seran semejantes solo si sus angulos correspondientesson iguales y sus lados son proporcionales.

Las unicas figuras plana que siempre guardan semejanza entre un par cualquiera defiguras del mismo tipo son los polıgonos regulares (triangulo equilatero, cuadrado,pentagono, etc.).

¿Que ocurre con otros paralelogramos y polıgonos? Al tener dos o mas lados de diferen-te medida y tener dos o mas angulos distintos, se debe comprobar la congruencia y/oproporcionalidad entre estos. Por lo tanto, tal como ocurre con los triangulos, no to-dos los rectangulos, rombos, romboides, trapecios, trapezoides, pentagonos,hexagonos etc. son semejantes.

5.1. Ejercicios

1. Las areas de dos cuadrados de lados 1 cm y 2 cm pueden estar en la razon:

A) 1 : 1

B) 1 : 2

C) 1 : 3

D) 1 : 4

E) 2 : 3

2. Los trapecios ABCD y A′B′C ′D′ son semejantes en la razon 1 : 4. Si D′E ′ = 16 yAB = 5, entonces el area del 4A′B′D′ es:

A) 20

B) 40

C) 80

D) 160

E) 320

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6. Homotecia

Definiremos la homotecia como una transformacion, tal que a partir de un punto fijo,multiplica las distancias por un mismo factor, llamado razon de homotecia. Al aplicar unahomotecia sobre un centro O y una razon de multiplicacion k a un punto cualquiera C, seobtendra una imagen C ′, tal que C, O y C ′ son colineales.

La razon de la homotecia cumple que:

OA′

OA=

OB′

OB=

OC ′

OC= k

Es decir, la razon entre la distancia entre el punto homotetico y el centro de homotecia, conla distancia entre el punto original y el centro de homotecia, es igual a la razon de la homotecia.

Para que se cumpla una homotecia, deben verificarse las siguientes tres propiedades, talcomo se nombraron en la imagen anterior:

Los angulos de las figuras homoteticas tienen igual medida.

Los lados homologos de las figuras homoteticas son paralelos.

Los lados homologos de las figuras homoteticas son proporcionales.

Observacion: La figura homotetica es semejante a la figura original y la razon de seme-janza es igual al valor absoluto de la razon de la homotecia.

Dependiendo del valor de k, podemos distinguir distintos tipos de homotecia: La homoteciadirecta y la homotecia inversa.

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6.1. Homotecia Directa

La homotecia directa ocurre cuando la razon de la homotecia es positiva e indica que ambasfiguras se encuentran al mismo lado del centro de homotecia y con la misma orientacion. Enparticular, tenemos los siguientes casos:

Si k > 1, entonces la figura homotetica es la figura de mayor dimension, es decir, alrealizar la homotecia se agranda la figura:

Si 0 < k < 1, entonces la figura homotetica es la figura de menor dimension, es decir, alrealizar la homotecia se achica la figura:

Si k = 1, entonces la figura homotetica es identica a la original (es decir, son congruen-tes) y estan superpuestas:

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6.2. Homotecia Inversa

La homotecia inversa ocurre cuando la razon de la homotecia es negativa e indica que lasfiguras se encuentran a distintos lados del centro de homotecia y con diferente orientacion. Enparticular, tenemos los siguientes casos:

Si k < −1, entonces la figura homotetica es la figura de mayor dimension, es decir, alrealizar la homotecia se agranda la figura:

Si −1 < k < 0, entonces la figura homotetica es la figura de menor dimension, es decir,al realizar la homotecia se achica la figura:

Si k = −1, entonces la figura homotetica es identica a la original (es decir, son con-gruentes) y la homotecia es equivalente a realizar una rotacion en 180° respecto alcentro de homotecia:

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6.3. Coordenadas de un Punto Homotetico

Dado un punto, la razon y el centro de la homotecia, es posible calcular las nuevas coor-denadas del punto luego de realizar la homotecia.

Ejemplo: Si al 4ABC de vertices A = (5, 1), B = (−2, 1) y C = (0, 2), se le aplica unahomotecia de razon k = 2 con centro O = (2,−2), entonces ¿cuales son las coordenadas delpunto homotetico de B?

Notemos que solo debemos preocuparnos del vertice B, ya que nos piden el homoteticode este punto. La forma mas simple de encontrar las coordenadas homoteticas, es usandotriangulos rectangulos y semejanza. Primero ubicamos el centro de homotecia O, el verticeB, dibujamos un triangulo rectangulo de modo que el segmento OB sea su hipotenusa ycalculamos sus catetos:

Luego, como la razon de la homotecia es 2, entonces dibujamos otro triangulo rectangulosemejante con el anterior, con la misma orientacion, pero que sus catetos midan el doble delos catetos del triangulo original (si la homotecia fuera de razon 3, entonces dichos catetosdeberıan medir el triple):

Finalmente, el vertice superior del segundo triangulo dibujado, que llamamos B′, sera elvertice homotetico de B, cuyas coordenadas son B′ = (−6, 4).

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Alternativamente, podemos calcular las coordenadas pedidas con la siguiente formula:Dados los puntos P = (x, y) y O = (u, v), al realizar una homotecia a P con centro O y razonk, las coordenadas del punto P ′, homotetico de P , son:

P ′ = (kx + u · (1− k), ky + v · (1− k))

Usando esta formula, podemos encontrar las coordenadas del punto homotetico de B delejemplo anterior de forma directa:

B′ = (2 · (−2) + 2 · (1− 2), 2 · 1 + (−2) · (1− 2)) = (−6, 4)

6.4. Ejercicios

1. Si a una figura del plano se le aplica una homotecia cualquiera y de razon k < 0,entonces, ¿cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La figura homotetica esta ubicada al mismo lado con respecto al centro de homo-tecia y diferente orientacion.

II) Si k = −4 y la figura original tiene perımetro 36, entonces la figura homoteticatiene perımetro 144.

III) Si k = −1, entonces la figura homotetica es equivalente a la original.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

2. Si a un cuadrado ABCD se le aplica una homotecia de razon k = −1

2y centro (1, 1),

entonces las coordenadas del punto homotetico del vertice C = (4, 6) son:

A)

(−1

2,−3

2

)B)

(5

2,7

2

)C) (7, 11)

D) (−5,−9)

E) Ninguno de los anteriores

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7. Problemas Propuestos

1. En el 4ABC de la figura adjunta CE = BE:

¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 4AFD ∼ 4CFE

II) 4ADC ∼ 4BDC

III) 4AEB ∼ 4CDB

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

2. Las areas de dos cuadrados estan en razon 9 : 1 y la diferencia de las medidas de suslados es 4. Entonces el lado del cuadrado menor mide:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 5

E) 6

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3. En el 4ABC de la figura siguiente, DE ‖ AC:

Si AB = 14, AC = 21 y AE = 8, entonces DE =

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 12

4. En la figura adjunta, 4ABC ∼ 4A′B′C ′. Si AB = 2 y A′B′ = 6, ¿cual(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si CD = 4, entonces C ′D′ = 12

II) Si el perımetro de 4ABC = 7, entonces el perımetro de 4A′B′C ′ = 21

III) Si el area de 4ABC = 6, entonces el perımetro de 4A′B′C ′ = 36

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

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5. En el 4ABC de la figura, PQ es tal que ^QPC = ^CBA. Si AB = 15, AC = 18, yPQ = 5, entonces CQ =

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

6. Los triangulos 4PQR y 4RTS son rectangulos en Q y en T , respectivamente, y com-parten el vertice R como se muestra en la figura:

Si PR = 40, RS = 30 y PQ = 28, entonces ST =

A) 10,5

B) 14

C) 21

D) 22,5

E)28

3

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7. En el 4ABC de la figura se ha trazado el segmento CD tal que ^DCB = ^BAC. SiAB = 5 y BC = 4, entonces AD =

A) 1,25

B) 1,8

C) 2,5

D) 3,2

E) 4

8. En el 4PQR, ST⊥PQ, QS⊥PR y RQ⊥PQ:

¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 4PQR ∼ 4QSR

II) 4PTS ∼ 4STQ

III) 4QRS ∼ 4PST

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

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9. En la siguiente figura se tiene un rectangulo MNPQ inscrito en el 4ABC, rectanguloen C:

Si AB = 20, AM = 4 y NB = 9, entonces el perımetro del rectangulo MNPQ es:

A) 18

B) 20

C) 24

D) 26

E) 30

10. En la figura, se tiene que ABCD es paralelogramo:

Si DE = 15, EF = 4, FB = 5, entonces el segmento CF mide:

A)44

3

B)12

11

C)20

11D) 20

E) 25

21

11. Los lados de un polıgono miden 6, 9, 12 y 15 cm. ¿Cual es el perımetro del polıgonosemejante al anterior si su lado mayor mide 20 cm?

A) 42 cm

B) 47 cm

C) 56 cm

D) 62 cm

E) 70 cm

12. En el trapecio ABCD de la figura, de bases AB y CD, se tiene que EF ‖ AB:

Si ED : AE = 1 : 4 y BC = 30 cm, entonces BF =

A) 5 cm

B) 6 cm

C) 10 cm

D) 20 cm

E) 24 cm

13. Los rectangulos de la figura son semejantes:

Si FG = 20, GH = 30 y el perımetro del rectangulo ABCD es de 360, entonces su ladomenor mide:

A) 72

B) 108

C) 144

D) 216

E) 300

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14. El segmento CD se obtiene al realizar una homotecia al segmento AB de medida 6 cm,

con centro en O y razon k =3

2:

¿Cual es la medida de CD?

A) 4 cm

B) 8 cm

C) 9 cm

D) 15 cm

E) 18 cm

15. Si las los cuadrilateros de la figura son homoteticos, ¿cual es el punto que mejor repre-senta el centro de la homotecia?

A) A

B) B

C) C

D) D

E) E

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16. Al 4PQR de la figura, se le aplica una homotecia de razon 1 : 2, con centro O, entoncesla figura homotetica del 4PQR esta mejor representada por el triangulo:

A) A

B) B

C) C

D) D

E) 4PQR

17. Si a una figura se le aplica una homotecia de razon 0,5, entonces es FALSO que:

I) La figura homotetica es mas grande que la original.

II) El centro de homotecia esta entre las figuras.

III) El area de la figura original es menor que el area de la figura homotetica.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

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18. Si al segmento AB de extremos A = (3, 5) y B = (−1, 0) se le aplica una homotecia de

razon k = −1

2con centro en

(3

2,−2

), entonces las nuevas coordenadas de A son:

A)

(3

4,−11

2

)B)

(−3

2,−5

2

)C)

(0,−11

2

)D)

(1,

11

2

)E) Ninguna de las anteriores

19. Se puede determinar en que razon se encuentran las areas de dos triangulos semejantessi:

(1) Sus perımetros estan en razon 2 : 3

(2) El perımetro del triangulo mas pequeno es 40 cm.

A) (1) por sı sola

B) (2) por sı sola

C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sı sola (1) o (2)

E) Se requiere informacion adicional

20. Un rectangulo tiene largo 24 cm y area 480 cm2. Si a dicha figura se le aplica unahomotecia de razon k, entonces se puede determinar el perımetro del nuevo rectangulosi:

(1) |k| = 1

(2) La homotecia es inversa

A) (1) por sı sola

B) (2) por sı sola

C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sı sola (1) o (2)

E) Se requiere informacion adicional

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8. Claves

Pregunta Clave Pregunta Clave Pregunta Clave Pregunta Clave1 C 6 C 11 C 16 A2 B 7 B 12 E 17 C3 D 8 B 13 A 18 A4 D 9 D 14 C 19 A5 A 10 C 15 E 20 A

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