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Acciones de ungrupo en unconjunto yTeoremas de

Sylow

Ejercicio deacciones

Teoremas deSylow

Acciones de un grupo en un conjunto y

Teoremas de Sylow

Jaime A. Flrez S.

Maestra en Matemticas6 de mayo de 2015

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Acciones de ungrupo en unconjunto yTeoremas de

Sylow

Ejercicio deacciones

Teoremas deSylow

Ejercicio 4 (Acciones)

Ejercicio

Sea H un subgrupo de G. El centralizador de H es elconjunto CG(H) = {g G : hg = gh para todo h H}.Muestre que CG(H) es subgrupo de NG(H).

Solucin Antes de hacer el ejercicio, retomamos algunasdeniciones:

i. CG(x) = {g G : gx = xg} Centralizador del elemento x.

ii. CG(H) = {g G : gh = hg para todo h H}Centralizador del conjunto H.

iii. NG(H) = {g G : gHg1 = H} Normalizador de H.

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Sylow

Ejercicio deacciones

Teoremas deSylow

Ejercicio 4 (Acciones)

Ejercicio

Sea H un subgrupo de G. El centralizador de H es elconjunto CG(H) = {g G : hg = gh para todo h H}.Muestre que CG(H) es subgrupo de NG(H).

Solucin Antes de hacer el ejercicio, retomamos algunasdeniciones:

i. CG(x) = {g G : gx = xg} Centralizador del elemento x.

ii. CG(H) = {g G : gh = hg para todo h H}Centralizador del conjunto H.

iii. NG(H) = {g G : gHg1 = H} Normalizador de H.

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Ejercicio deacciones

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Ejercicio 4 (Acciones)

Ejercicio

Sea H un subgrupo de G. El centralizador de H es elconjunto CG(H) = {g G : hg = gh para todo h H}.Muestre que CG(H) es subgrupo de NG(H).

Solucin Antes de hacer el ejercicio, retomamos algunasdeniciones:

i. CG(x) = {g G : gx = xg} Centralizador del elemento x.

ii. CG(H) = {g G : gh = hg para todo h H}Centralizador del conjunto H.

iii. NG(H) = {g G : gHg1 = H} Normalizador de H.

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Ejercicio 4 (Acciones)

Ejercicio

Sea H un subgrupo de G. El centralizador de H es elconjunto CG(H) = {g G : hg = gh para todo h H}.Muestre que CG(H) es subgrupo de NG(H).

Solucin Antes de hacer el ejercicio, retomamos algunasdeniciones:

i. CG(x) = {g G : gx = xg} Centralizador del elemento x.

ii. CG(H) = {g G : gh = hg para todo h H}Centralizador del conjunto H.

iii. NG(H) = {g G : gHg1 = H} Normalizador de H.

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Ejercicio 4 (Acciones)

Ejercicio

Sea H un subgrupo de G. El centralizador de H es elconjunto CG(H) = {g G : hg = gh para todo h H}.Muestre que CG(H) es subgrupo de NG(H).

Solucin Antes de hacer el ejercicio, retomamos algunasdeniciones:

i. CG(x) = {g G : gx = xg} Centralizador del elemento x.

ii. CG(H) = {g G : gh = hg para todo h H}Centralizador del conjunto H.

iii. NG(H) = {g G : gHg1 = H} Normalizador de H.

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Ejercicio deacciones

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Ejercicio 4 (Acciones)

Probemos que CG(H) es subgrupo:

Claramente CG(H) NG(H), pues si g CG(H),gh = hg para todo h H , de donde como G es grupo,ghg1 = h para todo h H as, g NG(H).

Cerrado: Sea g1, g2 CG(H), y h H , entonces(g1g2)h = g1(g2h) = g1(hg2) = (g1h)g2 = h(g1g2) y dadoque h se tom arbitrariamente, tenemos que(g1g2)h = h(g1g2) para todo h H, as CG(H) es cerrado.

Inverso: Sea g CG(H):

gh = hg Para todo h Hg1(gh)g1 = g1(hg)g1 Para todo h Hhg1 = g1h Para todo h H

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Ejercicio 4 (Acciones)

Probemos que CG(H) es subgrupo:

Claramente CG(H) NG(H), pues si g CG(H),gh = hg para todo h H , de donde como G es grupo,ghg1 = h para todo h H as, g NG(H).

Cerrado: Sea g1, g2 CG(H), y h H , entonces(g1g2)h = g1(g2h) = g1(hg2) = (g1h)g2 = h(g1g2) y dadoque h se tom arbitrariamente, tenemos que(g1g2)h = h(g1g2) para todo h H, as CG(H) es cerrado.

Inverso: Sea g CG(H):

gh = hg Para todo h Hg1(gh)g1 = g1(hg)g1 Para todo h Hhg1 = g1h Para todo h H

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Ejercicio 4 (Acciones)

Probemos que CG(H) es subgrupo:

Claramente CG(H) NG(H), pues si g CG(H),gh = hg para todo h H , de donde como G es grupo,ghg1 = h para todo h H as, g NG(H).

Cerrado: Sea g1, g2 CG(H), y h H , entonces(g1g2)h = g1(g2h) = g1(hg2) = (g1h)g2 = h(g1g2) y dadoque h se tom arbitrariamente, tenemos que(g1g2)h = h(g1g2) para todo h H, as CG(H) es cerrado.

Inverso: Sea g CG(H):

gh = hg Para todo h Hg1(gh)g1 = g1(hg)g1 Para todo h Hhg1 = g1h Para todo h H

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Ejercicio 4 (Acciones)

Probemos que CG(H) es subgrupo:

Claramente CG(H) NG(H), pues si g CG(H),gh = hg para todo h H , de donde como G es grupo,ghg1 = h para todo h H as, g NG(H).

Cerrado: Sea g1, g2 CG(H), y h H , entonces(g1g2)h = g1(g2h) = g1(hg2) = (g1h)g2 = h(g1g2) y dadoque h se tom arbitrariamente, tenemos que(g1g2)h = h(g1g2) para todo h H, as CG(H) es cerrado.

Inverso: Sea g CG(H):

gh = hg Para todo h Hg1(gh)g1 = g1(hg)g1 Para todo h Hhg1 = g1h Para todo h H

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Ejercicio 4 (Teoremas de Sylow)

Ejercicio

Si G es un p-grupo (p primo) innito, entonces G tiene unsubgrupo de orden pn para cada n 1 o existe m N talque todo subgrupo nito de G tiene orden pm.

Solucin: Para hacer este ejercicio resaltamos que:

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Ejercicio 4 (Teoremas de Sylow)

Ejercicio

Si G es un p-grupo (p primo) innito, entonces G tiene unsubgrupo de orden pn para cada n 1 o existe m N talque todo subgrupo nito de G tiene orden pm.

Solucin: Para hacer este ejercicio resaltamos que:

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Ejercicio 4 (Teoremas de Sylow)

i. El Primer teorema de Sylow tambin se puede enunciarcomo `Sea G un grupo de orden n, si pm|n y p es primo, Gposee un subgrupo de orden pm'.

ii. Basados en la lgica propocicional, probar p (q r) estautolgicamente equivalente a demostrar (p r) q, as,demostraremos que `Si G es un p-grupo (p primo) innito ypara todo m N existe un subgrupo nito de G con orden pm, entonces G tiene un subgrupo de orden pn para cadan 1.'

As,

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Ejercicio 4 (Teoremas de Sylow)

i. El Primer teorema de Sylow tambin se puede enunciarcomo `Sea G un grupo de orden n, si pm|n y p es primo, Gposee un subgrupo de orden pm'.

ii. Basados en la lgica propocicional, probar p (q r) estautolgicamente equivalente a demostrar (p r) q, as,demostraremos que `Si G es un p-grupo (p primo) innito ypara todo m N existe un subgrupo nito de G con orden pm, entonces G tiene un subgrupo de orden pn para cadan 1.'

As,

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Ejercicio 4 (Teoremas de Sylow)

i. El Primer teorema de Sylow tambin se puede enunciarcomo `Sea G un grupo de orden n, si pm|n y p es primo, Gposee un subgrupo de orden pm'.

ii. Basados en la lgica propocicional, probar p (q r) estautolgicamente equivalente a demostrar (p r) q, as,demostraremos que `Si G es un p-grupo (p primo) innito ypara todo m N existe un subgrupo nito de G con orden pm, entonces G tiene un subgrupo de orden pn para cadan 1.'

As,

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Ejercicio 4 (Teoremas de Sylow)

Por hiptesis para cada entero m 1, existe un subgrupoH de orden t con t pm.

Como G es p-grupo, si H es un subgrupo de G, H estambin un p-grupo, as que t = pN para algn enteroN m, es decir |H| = pN .

Ya que pm|pN , gracias al Primer teorema de Sylow, H tieneun subgrupo N de orden pm.

Para cada entero m 1, G tiene un subgrupo N de ordenpm.

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Ejercicio 4 (Teoremas de Sylow)

Por hiptesis para cada entero m 1, existe un subgrupoH de orden t con t pm.

Como G es p-grupo, si H es un subgrupo de G, H estambin un p-grupo, as que t = pN para algn enteroN m, es decir |H| = pN .

Ya que pm|pN , gracias al Primer teorema de Sylow, H tieneun subgrupo N de orden pm.

Para cada entero m 1, G tiene un subgrupo N de ordenpm.

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Ejercicio 4 (Teoremas de Sylow)

Por hiptesis para cada entero m 1, existe un subgrupoH de orden t con t pm.

Como G es p-grupo, si H es un subgrupo de G, H estambin un p-grupo, as que t = pN para algn enteroN m, es decir |H| = pN .

Ya que pm|pN , gracias al Primer teorema de Sylow, H tieneun subgrupo N de orden pm.

Para cada entero m 1, G tiene un subgrupo N de ordenpm.

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Sylow

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Ejercicio 4 (Teoremas de Sylow)

Por hiptesis para cada entero m 1, existe un subgrupoH de orden t con t pm.

Como G es p-grupo, si H es un subgrupo de G, H estambin un p-grupo, as que t = pN para algn enteroN m, es decir |H| = pN .

Ya que pm|pN , gracias al Primer teorema de Sylow, H tieneun subgrupo N de orden pm.

Para cada entero m 1, G tiene un subgrupo N de ordenpm.

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Teoremas deSylow MUCHAS GRACIAS

Ejercicio de accionesTeoremas de Sylow