ejemplos superposicion

5/16/2018 ejemplos superposicion - slidepdf.com

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1.- Fundamento teórico

Tratamos en este punto el efecto combinado de dos o más ondas que viajan en el mismomedio. En un medio lineal, esto es, en un medio en que la fuerza de recuperación es

proporcional al desplazamiento del mismo, se puede aplicar el principio de superposición

para obtener la perturbación resultante. Este principio es aplicable a muchos tipos de ondas,incluyendo las ondas en cuerdas, ondas sonoras, ondas superficiales en el agua y ondas

electromagnéticas. el término interferencia se empleó para describir el efecto producido al

combinar dos ondas que se desplazan simultáneamente a través de un medio.

- Principio de superposición.

El principio de superposición establece que, cuando dos o más ondas se mueven en elmismo medio lineal, la onda resultante en cualquier punto es igual a la suma algebraica de

los desplazamientos de todas las ondas componentes.

-Interferencias de dos ondas que viajan en la misma dirección

Se aplicará el principio de superposición a dos ondas armónicas que viajan en la misma

dirección en cierto medio.

* Ondas con la misma frecuencia.

Si el sentido de avance es el del semieje positivo de las x, y tienen la misma frecuencia,

longitud de onda y amplitud, pero difieren en fase se pueden expresar sus funciones de

onda individuales como

y

La función de onda resultante y se obtiene haciendo

Para simplificar esta expresión, es conveniente emplear la identidad trigonométricasiguiente:

Si se sustituyen a = kx - t y b = kx - t - , se encuentra que la onda resultante y, se

reduce a



Características:

1. La función de onda resultante y es también armónica y tiene la misma frecuencia y

longitud de onda que las ondas individuales.

2. La amplitud de la onda resultante es 2Ao cos( /2), y su fase es igual a /2.

En función del valor de la constante de fase se obtienen dos clases de interferencias:

Si = 0, 2, 4..., entonces cos( /2) = 1 y la amplitud de la onda resultante es

2Ao. En otras palabras, la onda resultante es el doble de amplia que las ondasindividuales. En este caso se dice que las ondas están en fase en todos los puntos, es

decir, las crestas y los valles de las ondas individuales ocurren en las mismasposiciones. Este tipo de superposición se denomina interferencia constructiva.

Si = (o cualquier múltiplo impar de veces, entonces cos( /2)=0, y la ondaresultante tiene amplitud cero en cualquier parte. En este caso la cresta de una onda

coincide con el valle de la otra y sus desplazamientos se cancelan en cada punto.Este tipo de superposición se denomina interferencia destructiva.

Si 0 < < la onda resultante tiene una amplitud cuyo valor está entre 0 y 2Ao.



* Ondas con diferente frecuencia.

Se considera ahora otro tipo de interferencia, el que resulta de la superposición de dos

ondas que viajan en la misma dirección pero de frecuencias ligeramente diferentes. Si desde

un punto determinado se observan las dos ondas se encuentra que están periódicamente en

fase y fuera de fase, es decir, hay una alternancia en el tiempo entre interferenciaconstructiva y la destructiva.

Las pulsaciones pueden definirse como la variación periódica en intensidad en un punto

dado, debido a la superposición de dos ondas que tienen frecuencias ligeramente diferentes.

El número de pulsaciones que se dan por segundo, o frecuencia de pulsación, es igual a ladiferencia de frecuencia entre las dos ondas que se superponen.

Consideremos dos ondas de igual amplitud que viajan por un medio en la misma

dirección y sentido, pero de frecuencias ligeramente diferentes, 1 y 2. El desplazamientoque cada onda produciría en un punto se puede representar así

y

Aplicamos el principio de superposición y obtenemos

ayudándonos de la identidad trigonométrica

y sustituyendo a = 1-k 1x y b = 2-k 2x, y se encuentra

con

y

En la gráfica superior podemos observar dos

ondas de igual amplitud que viajan por un

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mismo medio en la misma dirección y sentido pero con frecuencias diferentes.

En la gráfica inferior se representa la suma de las ondas. En los puntos donde las ondas

están en fase, se observa que la amplitud de la onda resultante (suma de las dos) es el doble

que la amplitud de cada onda. En cambio en los puntos en contrafase, la amplitud de la

resultante se hace cero.

Naturalmente, este resultado es válido cualquiera que sean los valores de 1, 2, k 1, k 2,

pero su descripción como una pulsación sólo tiene significado si

<< y k << k

pues entonces el fenómeno puede describirse de una forma más conveniente reescribiendo

la expresión anterior en la forma

con

en la que se aprecia una onda armónica "simple" cuya frecuencia y número de onda son los

valores medios de los de las ondas que se combinan, pero cuya amplitud está modulada con

una frecuencia y número de onda mucho menores, de modo que en cada longitud de ondade la onda moduladora están contenidas muchas longitudes de onda de la onda moduladaen amplitud.

La velocidad de fase de la onda modulada es

en tanto que la onda moduladora viaja con una velocidad dada por

que recibe el nombre de velocidad de grupo.

La oscilación que se produce en un punto cualquiera del medio (p.e. x = cte) recorrido

por las ondas vendrá descrita por



donde hemos prescindido de las constantes de fase kx y (k/2)x por ser irrelevantes. Así, la

oscilación resultante en cada punto consiste en una oscilación armónica, de frecuencia =

(1 + 2)/2, cuya amplitud pulsa o fluctúa con una frecuencia

El fenómeno recibe el nombre de pulsaciones o batidos y la frecuencia p es lafrecuencia de las pulsaciones.

- Interferencia de dos ondas que viajan en distintas direcciones

Una causa corriente que origina una diferencia de fase entre dos ondas sonoras, es ladiferencia de longitudes de los trayectos que deben recorrer las ondas desde su fuente o

foco hasta el punto donde se produce la interferencia. Supóngase que tenemos dos focos

que están emitiendo ondas armónicas de la misma frecuencia y longitud de onda.

En el caso general, podemos escribir las funciones de onda como:

Si las ondas están oscilando en fase, en t = 0 y r = 0, entonces = 0.

Realizando la composición de movimientos obtenemos para la onda resultante:

siendo el término de interferencia: 2Ao1Ao2cos

La diferencia de fase para estas dos funciones de onda está dada por:

Este término se debe a:

la diferencia de fase inicial entre y1 e y2; la diferencia de caminos recorridos por las dos ondas.



Utilizando k = 2 / , se escribe la diferencia de fase como:

Estudiamos ahora los máximos y mínimos a partir del término de interferencia:

1. Si la diferencia entre los caminos recorridos por ambas ondas hasta un cierto

punto es una longitud de onda, la interferencia es constructiva (siendo = 0).

En conclusión, para que ocurra la diferencia de caminos debe ser:

Si las dos ondas tienen la misma amplitud, la amplitud de la onda resultante será el

doble de la de una de ellas:

La intensidad será cuatro veces mayor que la debida a una cualquiera de las

fuentes.

Por tanto se puede afirmar que una diferencia en los trayectos de una longitud deonda o de un número entero cualquiera de longitudes de onda es equivalente a que no haya

ninguna diferencia en absoluto entre los trayectos.



2. Si la diferencia de trayectos es una semilongitud de onda o un número impar desemilongitudes de onda, el máximo de una onda coincidirá con el mínimo de la otra

y la interferencia será destructiva (siendo = 0).

Si las dos ondas tienen la misma amplitud, la amplitud de la onda resultante será

cero y en consecuencia la intensidad también.

Resumiendo, si = 0:



Condición de máximo: r1-r2 = n

Condición de mínimo: r1-r2 = (2n+1) /2

Se utiliza el siguiente applet para observar el fenómeno de interferencia producido por dosondas que se desplazan en diferentes direcciones procedentes de dos focos.

El applet representa dos focos de luz (S1 y S2) de longitud de onda variable, separados poruna distancia a, que proyectan su luz sobre una pantalla situada a una distancia D. Lasdistancias estarían en metros (m). La gráfica en azul representa la intensidad que se produceal interferir las dos ondas. El máximo de intensidad se localiza en los puntos donde la amplitudde la onda es máxima, y el mínimo de intensidad se localiza en los puntos donde la onda sehace cero, tomando como referencia al eje x. Este eje está graduado para localizar en lapantalla los distancias a los máximos y a los mínimos.

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2.- Ejemplos

La luz visible está formada por ondas electromagnéticas que pueden interferir entre sí. La

interferencia de ondas de luz causa, por ejemplo, las irisaciones que se ven a veces en lasburbujas de jabón. La luz blanca está compuesta por ondas de luz de distintas longitudes de

onda. Las ondas de luz reflejadas en la superficie interior de la burbuja interfieren con las

ondas de esa misma longitud reflejadas en la superficie exterior. En algunas de las

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longitudes de onda, la interferencia es constructiva, y en otras destructiva. Como las

distintas longitudes de onda de la luz corresponden a diferentes colores, la luz reflejada por

la burbuja de jabón aparece coloreada.

La interferencia puede producirse con toda clase de ondas, no sólo ondas del espectro

luminoso. Las ondas de radio interfieren entre sí cuando se reflejan en los edificios de lasciudades, con lo que la señal se distorsiona. Cuando se construye una sala de conciertos hay

que tener en cuenta la interferencia entre ondas de sonido, para que una interferenciadestructiva no haga que en algunas zonas de la sala no puedan oírse los sonidos emitidos

desde el escenario. Arrojando objetos al agua estancada se puede observar la interferencia

de ondas de agua, que es constructiva en algunos puntos y destructiva en otros.

Guías de onda

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3.- Ejercicios

1.- Dos ondas transversales polarizadas con el mismo plano de polarización, se propagan en una cuerda en lamisma dirección, tienen la misma frecuencia (100 Hz), longitud de onda (82 m) y amplitud (0.02 m), pero estándesfasadas en 60º. Calcular:

a) La velocidad de propagación de las ondas en esa cuerda.

b) La amplitud de la onda resultante y su ecuación de onda.

c) La velocidad máxima de un punto cualquiera de la cuerda.

1.- a) La velocidad de propagación de ambas ondas es:

b) Ecuación de una de las ondas:

la ecuación de la otra onda será:

Apliquemos el principio de superposición para hallar la onda resultante

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Sustituyendo valores:

o sea

que es la ecuación de la onda resultante de amplitud A = 0.0345 m.

c) La velocidad de un instante cualquiera es:

el valor máximo del coseno es 1, luego la velocidad máxima es:

2.- Dos focos sonoros emiten simultáneamente ondas de la misma frecuencia f = 425 Hz, siendo la velocidad delsonido en el aire v = 340 m/s. Si colocamos un aparato registrador de sonidos a x1 = 100 m del primer foco y a x2 =

101.2 del segundo ¿Se registrará sonido en el aparato?

2.- La longitud de onda del sonido emitido por ambos focos es

Para que el aparato no registrara sonido sería preciso que en el punto donde está situado se produzca un



mínimo de interferencia. De otra manera, R deberá estar situado en un punto cuya diferencia de distancias

a S1 y S2 sea igual a un múltiplo impar de semilongitudes de onda:

Según los valores dados:

y

luego

y, por tanto, el aparato no registrará el sonido.

3.- Dos altavoces se excitan mediante el mismo oscilador a una frecuencia de 2000 Hz. La separación entre losaltavoces es de 3 m, como se muestra en la figura. Un escucha está originalmente en el punto O, situado a 8 m medidos sobre el eje axial central. ¿Cuánto debe caminar el oyente perpendicularmente a ese eje, antes de

alcanzar el primer mínimo en la intensidad sonora?

3.- Puesto que la velocidad del sonido en el aire es 330 m/s y ya que f = 2000 Hz, la

longitud de onda es



El primer mínimo ocurre cuando las ondas que alcanzan el punto P están 180º fuera de

fase, o cuando la diferencia de trayectos, r2 - r1, sea igual a Por lo tanto, la diferencia de

fase se obtiene de

Del pequeño triángulo rectángulo de la figura del enunciado se observa que para una

buena aproximación, sen = r/3 para pequeños valores de o sea

= 1.58º

Del triángulo rectángulo grande de la misma figura se encuentra que tan = y/8, o sea

Es decir, el oyente escuchará mínimos en la intensidad sonora resultante a 22 cm desdecualquier lado de la línea central. Si el escucha permanece en estas posiciones, ¿en qué

otras frecuencias se escucharán mínimos?

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