REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALPOLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

Emprendedores:Becerra LenínJuan C. Espinoza Arenas Roberto Alvarado Juan Carlos Plaza Carlos Ing. En Sistema. Nº 1 I Semestre

Bruzual – Ceibal, Abril 2006 EJERCICIO Nº 1

1.- 3x + y = 11 2 1

2.- x + y = 7 1 2

Colocamos las ecuaciones en forma lineal.

ECUACIÓN Nº 1 ECUACIÓN Nº 2

3x+ y = 11 2

3x + 2y = 22

2x + 1y = 7 2

2x + y = 14

UTILIZAMOS EL MÉTODO DE REDUCCIÓN

1.- 3x + 2y = 222.- x + y = 14

6x + 4y = 22 -6x – 3y = -42 y = -20

Sustituimos la Y en la Ecuación Nº 1. Para obtener el resultado de x 3x + 2.20 = 22 3x + 40 = 22 3x = - 40 – 8 3x = -48 x = -48 3 x = 16

Sustituimos los valores de x y y para comprobar los resultados obtenidos.

ECUACIÓN Nº 1 ECUACIÓN Nº 2

3x + 2y = 223.6 + 2.2 = 2218 + 4 = 22 22 = 22

2x + y = 14 2.6 + 2 = 1412 + 2 = 14 14 = 14

EJERCICIO 4

1.- x = y 5 4

2.- y = x - 1 3 3

Colocamos la ecuación de forma lineal

1. x = y 5 4

x – y = 05 4

4x – 5y = 0 20

4x – 5y = 0 . 20

4x – 5y = 0

2.- y = x - 1 3 3

-x + y = - 1 3 3

-3x + 3y = -1 9

-3x + 3y = -1 . 9

-3x + 3y = -9

Colocamos los resultados obtenidos para luego aplicar el método de reducción y

de esta manera hallar los resultados de X y Y

1.- 4x – 5y = 0

2.- -3x + 3y = -9

Buscamos el m.c.m de 3 y 4 para eliminar la X.

4 2 3 3

2 2 1

1

4 = 22 3 = 3

m.c.m de 4 y 3 = 22 . 3 = 12

Ya obtenido el m.c.m, ese resultado los dividimos entre el valor del de 4 y 3

3. 4x – 5y = 0

4. -3x + 3y = -9

12x – 15y = 0 -12x + 12y = -36

- 3y = -36 y = -36 -3

y = 12

Ya obtenido el valor de Y sustituimos la ecuación número de Nº 1, con el fin de

obtener el valor de X.

4x – 5y = 0 4x – 5.12 = 0 4x – 60 = 0 4x = 60 x = 60

4 x = 15

Ya obtenido X y Y, comprobamos para observar si los resultados conseguidos

cumplen con la ecuación.

Ecuación Nº 1 4x – 5y = 0 4. 15 – 5.12 = 0 60 - 60 = 0

0 = 0

Ecuación Nº 2 -3x + 3y = -9-3.15 + 3.12 = -9-45 + 36 = -9 -9 = -9

EJERCICIO 5

1.- 30 – (8 - x) = 2y + 302.- 5x – 29 = x – (5 – 4 x)

Colocar la ecuación en forma lineal

30 – (8 - x) = 2y + 3030 – 7x = 2y + 30 -2y – 7x = -30 + 30-2y – 7x = 0

5x – 29 = x – (5 – 4y) 5x – 29 = x – y 4x + y = 29

1.- -2y – 7x = 0 2.- 4x + y = 29

1.- -2y – 7x = 0 2.- y + 4x = 29

Sacamos m.c.m de la ecuación 1 y 2 el cual por experiencia da 2.

-2y – 7x = 0 2y + 8x = 58

x = 58

Sustituimos la x en la ecuación numero 2 para conseguir la Y

y + 4x = 29 y (4. 58) = 29 y = -232 + 29 y = -203

Ya conseguidos X y Y vamos a comprobarlos

Ecuación Nº 1-2y – 7y = 0-2. (-203) – 7. 58 = 0 406 – 406 = 00 = 0

Ecuación Nº 2 y + 4x = 29 -203 + (4.58) = 29 -203 + 232 = 29 29 = 29

EJERCICIO Nº 6

12x – 14y = 20 12y – 14x = -19

Utilizamos método de sustitución ya que la ecuación esta de forma lineal.

1.- 12x – 14y = 20 2.- -14x + 12y = -19

Despejo la X ecuación Nº 1

12x – 14y = 20 12x = 20 + 14y x = 20 + 14y 12

Sustituimos el valor de la X en la ecuación nº 2

-14x – 12y = -19 -14 (20 + 14y) + 12y = -19 12-14 (20 + 14y) + 144y = -228-280 – 196y + 144y = -228-196y + 144y = -228 + 280

-52y = 52

y = - 52 52y = -1

Sustituyo la Y en la ecuación Nº 1

12x – 14y = 20 12x -14 (-1) = 20 12x +14 = 20 x = 6 12

EJERCICIO Nº 11

1.- x + 2 - y + 4 = 1 2 2

2.- x + y = 7 + x – y 2 12 3

x + 2 - y + 4 = 1 2 3

x + y - x – y = 7 2 3 12

3 (x + 2) – 2 (y + 4) = 6 3 (x + y) – 2 (x – y) = 7

3x + 6 - 2y – 8 = 6 3x + 3y – 2x + 2y = 7 2

3x – 2y = 8 x + 5y = = 7 2

3x – 2y = 82x + 10y = 7

Ya la ecuación de forma lineal utilizamos el método de igualación

3x – 2y = 82x + 10y = 7

Despejo “x” de la ecuación Nº 1.

3x – 2y = 8 x = 8 + 2y 2

2x + 10y = 7 x = 7y 2

x = x

8 + 2y = 7 – 10 y 3 2

2 (8 + 2y) = 3 (7-10 y) 16 + 4y = 21 – 30y 30y + 4y = 21 – 16 34y = 5 y = 5 34

Sustituyo la “y” en la ecuación Nº 2.

2x + 10 . 5 = 7 34

2x + 50 = 7 34

68x + 50 = 7 34

68x + 50 = 238 68x = 238-50 x = 188 68 x = 94

34

x = 47 17

EJERCICIO Nº 12

1.- 5x + 3y = 3 + y 2 2

2.- 1x - 1y = 6x + 19 4 2 4

Colocamos la ecuación de forma lineal.

Ecuación Nº 1 Ecuación Nº 2 5x + 3y = 3 + y

2 2

5x + 2y = 3 2 2

5x + 4y = 3 2 2

5x + 4y = 6 2

5x + 4y = 3

1x - 1y = 6x + 194 2 4

6x – 1x + 1y = -19 4 2 4

23x + 1y = -19 4 2 4

46x + 4y = -19 8 4

46x + 4y = -152 4

46x + 4y = -38

Ya colocada la ecuación de forma lineal podemos aplicar cualquier método en este caso utilizaremos el caso de reducción.

46x + 4y = -385x + 4y = 3

46x + 4y = -38

-1. 5x + 4y = 3

46x + 4y = -38

-5x - 4y = -3 41x = -41

x = -41 41

x = -1

Sustituimos la x en la ecuación nº 2 para conseguir el valor de y.

46x + 4y = -3846.(-1) + 4y = -38-46 + 4y = -38 4y = -38 + 46 y = 8 4 y = 2

EJERCICIO Nº 14

1.- ax = 2 – by2.- -ax + 2by - 1 = 0

Utilizamos el método de reducción. ax + by = 2 -ax + 2by = 1 3by = 3 by = 3 3 by = 1

Sustituimos by para conseguir ax.

ax + by = 2 ax + 1 = 2 ax = 2 – 1 ax = 1

EJERCICIO Nº 15

x2 + y2 = 2 -2x + 3y = 5

Despejo la ecuación Nº 2

y = (5 + x) 3

Sustituyo “y” en la ecuación Nº 1

x2 + 5 + 2x 2 = 2 3 x2 + (5 + 2x)2 = 2 9 9x2 + (5 + 2x) 2 = 2 9 9x2 + 52 + 2 (5. 2x) + (2x)2 = 18 9x2 + 25 + 2 (5. 2x) + 4x2 = 189x2 + 2 (5.2X) + 4x2 = -7 13x2 + 20x = -7 13x2 + 20x + 7 = 0

Obtenidos este resultado utilizamos la ecuación de segundo grado para conseguir los valores de x.

x = -b

a = 3 b = 20 c = 7

x = 20 (22)2 - 4 (13) . 7

x = -20 400-364 26

b 2 – 4.a – c 2.a

+-

+

-

+

-

x = -20 36 26

x = -20 6 26

Buscamos los resultados en negativo y positivo

x1 = -20 + 6 6x1 = -14 26x1 = -7 13

x2 = -20 -6

26x2

= -26 26x2

= -1

Obtengamos los valores de Y sustituyendo x1, x2 en el

x1 = -7 ; x2 = -1

13

y = 5 + 2X 3

y1 = 5 + 2 -7 13 3y1 = 5 – 14 13 3 y1 = 63-14 13 3y1 = 51 13 3 1

+

-

+

-

y1 = 51 39

y1 = 17 13

y2 = 5 + 2 (-1) 3 y2 = 5 + (-2) 3 y2 = 3 3y2 = 1

EJERCICIO Nº 18

1.- 2x – 4y = -6

2.- 3 + 5 = -7 x y 2

Colocamos la ecuación de forma lineal

3 + 5 = -7x y 2

3y + 5x = -7 xy 2

2 (3y + 5x) = 0 -7 (xy)

6y + 5x = 0 -7 xy

6y + 5x = 0

Ahora utilizamos el método de reducción para obtener el valor de X y Y

2x – 4y = -65x + 6y = 0 12x – 2y = -620x + 24 = 032x = -36

x = -36 32

x = -18 16

x = -9 8

5 . (-9) + 6y = 0 8

-45 + 6y = 0 8

6y = 45 8

y = 45 48