EJERCICIOS BLOQUE II: ÁLGEBRA LINEAL · a) (1.25 puntos) Halla los valores de a para los que los...

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas II

Departamento de Matemáticas Bloque II: Álgebra Lineal Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidades 5, 6 y 7

1

EJERCICIOS BLOQUE II: ÁLGEBRA LINEAL

1. (2001-M1-A-3) (2.5 puntos) De las matrices

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4321

A , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

63

52

41

B , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3311

C y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100210321

D

Determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas inversas.

2. (2001-M1-B-3) Considera ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=

2120321

aaaA ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

101

B y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X .

a) (1 punto) Determina el rango de A en función del parámetro a . b) (0.75 puntos) Discute en función de a el sistema, dado en forma matricial, BAX = . c) (0.75 puntos) Resuelve BAX = en los casos en que sea compatible indeterminado.

3. (2001-M2;Jun-A-3) (2.5 puntos) Sea ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−=

1coscos0cos0cos

xxsenxxsenxsenxxxsen

A

¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A ? Calcula dicha matriz inversa.

4. (2001-M2;Jun-B-4) Considera la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=431541

430A .

a) (1 punto) Siendo I la matriz identidad 33× y O la matriz nula 33× , prueba que OIA =+3 .

b) (1.5 puntos) Calcula 10A .

5. (2001-M3-A-3) Se sabe que la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

bb

aaA

0010

0 verifica que ( ) 1det =A y sus

columnas son vectores perpendiculares dos a dos. a) (1.5 puntos) Calcula los valores de a y b . b) (1 punto) Comprueba que para dichos valores se verifica que tAA =−1 .

6. (2001-M3-B-3) Considera el sistema ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=+−=−+

mmzyxzmyxzymx

41

a) (1.5 puntos) Discútelo según los valores de m . b) (1 punto) ¿Cuál es, según los valores de m , la posición relativa de los planos cuyas

ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?

7. (2001-M4-A-3) Determina la matriz X tal que 03 =− BAX ,siendo

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=210732101

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

102

211

B



2

8. (2001-M4-B-3) Considera la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

011111201

A

a) (1.5 puntos) Calcula el determinante de las matrices: A2 , 31A y ( ) 131 −A . b) (1 punto) Halla la matriz 1−A .

9. (2001-M5-A-3) (2.5 puntos) Resuelve el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial,

BAXAX +−= siendo ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

413111201

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

141

B y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X .


⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

101

11

λλλ

λA .

a) (1 punto) Determina para qué valores del parámetro λ la matriz A no tiene inversa. b) (1.5 puntos) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para 2−=λ .

11. (2001-M6;Sept-A-3) (2.5 puntos) Determina ba, y c sabiendo que la matriz

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

cbaA

121113

verifica: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

492

321

A y ( ) 2=Arango .

12. (2001-M6;Sept-B-3)

a) (1.5 puntos) Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=+=+

13

02

zyxmmzx

myx

b) (1 punto) Resuelve el sistema anterior para 6=m .

13. (2002-M1-A-3) (2.5 puntos) En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas BA, y C , se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones:

- El precio de la empresa A es 6.0 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C .

- El precio dado por B es la media de los precios de A y C . - El precio de la empresa C es igual a 2 euros más 52 del precio dado por A más 31

del precio dado por B .

14. (2002-M1-B-3) Considera las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

001010100

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0001100

yxB .

a) (1 punto) Calcula la matriz inversa de A . b) (1 punto) Calcula 127A y 128A . c) (0.5 puntos) Determina x e y tal que BAAB = .



3

15. (2002-M2-A-4) (2.5 puntos) Sean:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

31223111

α

αA ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=

00211101

α

αB ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=351

b , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

052

c , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X

Determina α , si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados en forma matricial) bAX = y cBX = tengan infinitas soluciones (cada uno de ellos).


⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=11210

01a

aA .

a) (1 punto) Halla los valores de a para los que la matriz A3 tiene inversa. b) (1.5 puntos) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz 2A para 0=a .

17. (2002-M3;Sept-A-3) (2.5 puntos) Considera la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1031202

tt

A .

Calcula los valores de t para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.

18. (2002-M3;Sept-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=++

=++

5532

33

mzyxmzmyx

zyx

a) (1 punto) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución.

b) (1 punto) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones.

c) (1 punto) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga solución.

19. (2002-M4;Jun-A-3) (2.5 puntos) Determina una matriz A simétrica ( A coincide con su

traspuesta) sabiendo que ( ) 7det −=A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅31124

3162

A .

20. (2002-M4;Jun-B-3) (2.5 puntos) Determina la matriz X que verifica la ecuación BXAX −=

siendo ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

001000100

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

110110101

B .

21. (2002-M5-A-3) Considera ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

22312

11m

mA ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

112

C .

a) (1 punto) ¿Para qué valores de m tiene inversa la matriz A ? b) (1.5 puntos) Resuelve, para 2=m , el sistema de ecuaciones CAX = .

22. (2002-M5-B-3) Considera ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

121

A , ( )341=B y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=441692340

C



4

a) (1.5 puntos) Calcula ( )tAB y ( )tBA .

b) (1 punto) Determina una matriz X que verifique la relación ( ) CABX t =+21

.

23. (2002-M6-A-3) Considera el sistema de ecuaciones ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+++=++

=+−

42

1

mzyxmzyx

zmyx

a) (1.5 puntos) Clasifícalo según los valores del parámetro m . b) (1 punto) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.

24. (2002-M6-B-3) (2.5 puntos) Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

azzkayykaxxk

33221

y enuncia las propiedades que hayas usado.

25. (2003-M1;Sept-A-3) Considera las matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

11101001

mA , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000001110

B y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

101010001

C

a) (1.25 puntos) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial CBXA 32 =+⋅ ?

b) (1.25 puntos) Resuelve la ecuación matricial dada para 1=m .

26. (2003-M1;Sept-B-3) Considera las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−−=

221212

122A y

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X .

a) (1.25 puntos) Siendo I la matriz identidad de orden 3 , calcula los valores de λ para los que la matriz IA λ+ no tiene inversa.

b) (1.25 puntos) Resuelve el sistema XXA 3=⋅ e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones.

27. (2003-M2-A-3) (2.5 puntos) Determina razonadamente los valores de m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=++=++

mzzyxmyzyxmxzyx

422

2

28. (2003-M2-B-3)

a) (1 punto) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale 2− . ¿Cuánto vale el determinante de la matriz A4 ?

b) (1.5 puntos) Dada la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

21010021

λB , ¿para qué valores de λ la matriz

23 BB + no tiene inversa?



5

29. (2003-M3-A-3) (2.5 puntos) Dadas las matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

151023011

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

342111305

B

Halla la matriz X que cumple que ( )ttABXA ⋅=⋅ .

30. (2003-M3-B-3) Dada la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1011111

2

mmA , se pide:

a) (1 punto) Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) (1.5 puntos) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para 2=m .

31. (2003-M4;Jun-A-3) Considera los vectores ( )1,1,1=ur , ( )av ,2,2=

r y ( )0,0,2=wr .

a) (1.25 puntos) Halla los valores de a para los que los vectores vu rr, y wr son linealmente independientes.

b) (1.25 puntos) Determina los valores de a para los que los vectores vu rr+ y wu rr

− son ortogonales.

32. (2003-M4;Jun-B-3) Sean 21, CC y 3C las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5 . Calcula, indicando las propiedades que utilices:

a) (0.5 puntos) El determinante de 3A . b) (0.5 puntos) El determinante de 1−A . c) (0.5 puntos) El determinante de A2 . d) (1 punto) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y

tercera son, respectivamente, 313 CC − , 32C y 2C .

33. (2003-M5-A-3) Considera el sistema de ecuaciones: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−−+=+−+−=−+

110625422

zyxzzymxmyzmyx

a) (1.5 puntos) Discute las soluciones del sistema según los valores de m . b) (1 punto) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

34. (2003-M5-B-3) Considera la matriz ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=100

10002xxM

x

, donde x es un número real.

a) (1.5 puntos) ¿Para qué valores de x existe ( )( ) 1−xM ? Para los valores de x obtenidos,

calcula la matriz ( )( ) 1−xM . b) (1 punto) Resuelve, si es posible, la ecuación ( ) ( ) ( )53 MxMM =⋅ .

35. (2003-M6-A-3) Considera las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

mmA14

30101

, ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=31

1B y

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X .

a) (0.75 puntos) ¿Para qué valores de m existe la matriz 1−A ? b) (1 punto) Siendo 2=m , calcula 1−A y resuelve el sistema BXA =⋅ . c) (0.75 puntos) Resuelve el sistema BXA =⋅ para 1=m .



6

36. (2003-M6-B-3) (2.5 puntos) Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, BA, y C . Los precios de entrada a estas salas son de 4,3 y 5 euros, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el número total de espectadores fue de 200 . Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A , se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas.

37. (2004-M1-A-3) Se sabe que el siguiente sistema de ecuaciones tiene una única solución.

a) (1.25 puntos) Prueba que 0≠α . b) (1.25 puntos) Halla la solución del sistema.

38. (2004-M1-B-3) Sabiendo que 6−=cbavutzyx

, calcula, indicando las propiedades que utilices,

los siguientes determinantes:

a) (0.75p)

cbavutzyx

333 −−−

b) (0.75p)

cabvtuzxy

222

−−−

c) (1p)

czbyaxvutzyx

−−− 222

39. (2004-M2;Sept-A-3) Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++−=++−

=++

412

13

zbyxazyxzyx

tiene al menos dos soluciones distintas. 40. (2004-M2;Sept-B-3)

a) (1 punto) Sabiendo que la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−=

aaA

11241

123 tiene rango 2 , ¿cuál es el

valor de a ? b) (1.5 puntos) Resuelve el sistema de ecuaciones

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

−

101

561241

123

zyx

41. (2004-M3-A-3) Considera el sistema de ecuaciones ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=+=−++

=+

λλλλ

λλ

211

yxzyx

yx

a) (1.5 puntos) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ . b) (1 punto) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

42. (2004-M3-B-3) Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos BA, y C .

El mencionado tendero observa que si vende a 1€ las botellas del tipo A , a 3 € las del tipo B y a 4 € las del tipo C , entonces obtiene un total de 20 €. Pero si vende a 1€ las del tipo A , a 3 € las del B y a 6 € las del C , entonces obtiene un total de 25 €.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=+=+

ααα

zyzxyx

11



7

a) (0.75 puntos) Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo que posee el tendero.

b) (1 punto) Resuelve dicho sistema. c) (0.75 puntos) ¿Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el

tendero? (Ten en cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo)

43. (2004-M4-A-3)

a) (1 punto) Sabiendo que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dcba

A y que ( ) 4det =A , calcula los siguientes

determinantes: ( )tA3det − y cd

ab33

22−−

b) (0.75 puntos) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que IB =3 . Calcula ( )Bdet .

c) (0.75 puntos) Sea C una matriz cuadrada tal que tCC =−1 . ¿Puede ser ( ) 3det =C ? Razona la respuesta.

44. (2004-M4-B-3) Considera el sistema de ecuaciones ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=+=++

02

22

mzxmmyx

zymx

a) (0.5 puntos) Determina los valores de m para los que 1,0 == yx y 0=z es solución del sistema.

b) (1 punto) Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible. c) (1 punto) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones.

45. (2004-M5-A-3) (2.5 puntos) Considera el sistema de ecuaciones:

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−+=+−=++

0121220213203

zyxazyxzyx

Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial y resuélvelo para dicho valor de a .

46. (2004-M5-B-3) Se sabe que 2

333231

232221

131211

−=aaaaaaaaa

. Calcula, indicando las propiedades que

utilices, los siguientes determinantes:

a) (0.75p)

333231

232221

131211

55

1533

aaaaaaaaa

b) (0.75p)

333231

131211

232221 333

aaaaaaaaa

c) (1p)

333231

332332223121

131211

aaaaaaaaa

aaa−−−

47. (2004-M6;Jun-A-3) Considera el sistema de ecuaciones ⎭⎬⎫

−=−=−

121

mmyxymx

a) (1.5 puntos) Clasifica el sistema según los valores de m . b) (1 punto) Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que

3=x .

48. (2004-M6;Jun-B-3) Considera las matrices

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

10

01

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

010

001

B y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

020

101

C



8

a) (1.25 puntos) Calcula BA ⋅ , CA ⋅ , tt BA ⋅ y tt AC ⋅ . b) (1.25 puntos) Razona cuáles de las matrices CBA ,, y BA ⋅ tienen matriz inversa y en

los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa.

49. (2005-M1;Jun-A-3) Sean las matrices ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=23

12A , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=20

11

30

B y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=40

12

11

C .

a) (1 punto) ¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala. b) (1.5 puntos) Determina la matriz X que cumple que tt BBBCXA ⋅=⋅+⋅ .

50. (2005-M1;Jun-B-3) Considera el sistema de ecuaciones ( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

−=+++−=++−

−=++

52273

2

zyxzyx

zyx

λλ

a) (1.5 puntos) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ . b) (1 punto) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.


⎪⎬

⎫

=−=+=++

mzmyzmxzyx

0253

a) (1 punto) Determina los valores de m para los que el sistema tiene una única solución. Calcula dicha solución para 1=m .

b) (1 punto) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcula dichas soluciones.

c) (0.5 puntos) ¿Hay algún valor de m para el que el sistema no tiene solución?

52. (2005-M2-B-3) (2.5 puntos) Halla la matriz X que cumple que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⋅⋅

0000

BAXA , siendo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=12

13A y ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

3125

B .

53. (2005-M3-A-3) Considera el sistema de ecuaciones ( )

( )( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

−=+++=+++=+++

412121

zbyxzybxzyxb

a) (1.5 puntos) Clasifica el sistema según los valores del parámetro b . b) (1 punto) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

54. (2005-M3-B-3) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

=b

A01

111100

.

a) (1.25 puntos) Determina el valor de b para el que OIAA =+− 22 . b) (1.25 puntos) Para 2=b halla la matriz X que cumple que OAXA t =−⋅ 2 .

55. (2005-M4-A-3) Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2112

A .

a) (1 punto) Halla los valores de x para los que la matriz xIA− no tiene inversa. b) (1.5 puntos) Halla los valores de a y b para los que ObIAaA =++2 .



9

56. (2005-M4-B-3) Considera el sistema de ecuaciones ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=+++=−+

0324

025

zyxmyzmyx

zyx

a) (1 punto) Determina los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución.

b) (1.5 puntos) Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solución en la que 19=z .

57. (2005-M5-A-3) (2.5 puntos) Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.

58. (2005-M5-B-3) Considera el sistema de ecuaciones ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=++=++

mzymxmzyx

zmyx20

a) (1 punto) ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones? b) (1.5 puntos) ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que 1=x ?

59. (2005-M6;Sept-A-3) (2.5 puntos) En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas,

monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 g. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 g. El peso de un objeto deformado o irreconocible es de 18 g. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo.

60. (2005-M6;Sept-B-3) Sabiendo que 2==ihgfedcba

A , calcula, indicando las propiedades que

utilices, los siguientes determinantes:

a) (1p) A3− y 1−A b) (0.75p)

ghidefabc

222

c) (0.75p)

ighgfdedcaba

−−−

61. (2006-M1-A-3) Sean ( )0,2,xu =

r, ( )1,2, −= xvr y ( )xxw 4,,2 −−=

r tres vectores de 3ℜ .

a) (1 punto) Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes.

b) (1.5 puntos) Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos.

62. (2006-M1-B-3) Considera el sistema de ecuaciones lineales ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++

=++=−+

2

1

λλ

λλλ

zyxzyxzyx

a) (1.5 puntos) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ . b) (1 punto) Resuélvelo para 2=λ .

63. (2006-M2;Sept-A-3) Considera el sistema de ecuaciones lineales ⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=++=++−=−−

24

1

λλ

λ

zyxzyxzyx

a) (1.5 puntos) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ . b) (1 punto) Resuelve el sistema para 2=λ .



10

64. (2006-M2;Sept-B-3) (2.5 puntos) Resuelve CXABt 2−= , siendo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=03

10

21

A , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

220031

B y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=10

41C .

65. (2006-M3;Jun-A-3) Considera ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=a

aA

01

, siendo a un número real.

a) (1 punto) Calcula el valor de a para que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−

2001122 AA .

b) (1 punto) Calcula, en función de a , los determinantes de A2 y tA . c) (0.5 puntos) ¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la

respuesta.

66. (2006-M3;Jun-B-3) (2.5 puntos) Resuelve ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

205

322

111211

502

zyx

67. (2006-M4-A-3) Sea ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

−=

021330111

mmA

a) (1 punto) Determina los valores de ℜ∈m para los que la matriz A tiene inversa. b) (1.5 puntos) Para 0=m y siendo ( )zyxX = , resuelve ( )113=AX .

68. (2006-M4-B-3) Sea ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3124

A y sea ¡Error! No se pueden crear objetos modificando

códigos de campo. la matriz identidad de orden dos. a) (1.25 puntos) Calcula los valores ℜ∈λ tales que 0=− IA λ .

b) (1.25 puntos) Calcula IAA 1072 +− .

69. (2006-M5-A-3) Considera el sistema de ecuaciones lineales ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=++=+−

108

2

zyxzyx

zyx

λλλ

a) (1.5 puntos) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ . b) (1 punto) Resuelve el sistema para 2=λ .

70. (2006-M5-B-3) Considera las matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

mmA

114112011

, ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000

O

a) (1 punto) Halla el valor de ℜ∈m para el que la matriz A no tiene inversa. b) (1.5 puntos) Resuelve OXA = para 3=m .

71. (2006-M6-A-3) Considera las matrices

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

23

A , ( )12=B y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

6621

C

a) (1.25 puntos) Halla, si existe, la matriz inversa de CBA + . b) (1.25 puntos) Calcula, si existen, los números reales x e y que verifican:



11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

C 3 .

72. (2006-M6-B-3) Considera el sistema de ecuaciones lineales ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=+−=++

−=−+

2213

4

yxzyx

zyx

λλλ

a) (1.25 puntos) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ . b) (1.25 puntos) Resuelve el sistema para 1=λ .

73. (2007-M1;Sept-A-3) Sean I la matriz identidad de orden 2 y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

111 m

A .

a) (1.25 puntos) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que ( ) OIA =− 2 , donde O es la matriz nula de orden 2 .

b) (1.25 puntos) Para 2=m , halla la matriz X tal que OAAX T =− 2 .

74. (2007-M1;Sept-B-3) Considera el sistema de ecuaciones ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=++=+−=++

214

azyxzayxzyax

a) (1.5 puntos) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) (1 punto) Resuelve el sistema que se obtiene para 2−=a .

75. (2007-M2;Jun-A-3) Considera la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

λ111

A .

a) (1 punto) Determina la matriz AAB 22 −= . b) (0.75 puntos) Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa. c) (0.75 puntos) Calcula 1−B para 1=λ .

76. (2007-M2;Jun-B-3)

a) (1 punto) Calcula la matriz inversa de ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

101110011

A .

b) (1.5 puntos) Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz 1−A hallada en el apartado anterior:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+

=+

32

1

zxzyyx

77. (2007-M3-A-3) Considera las matrices ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

321α

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1102

B .

a) (0.75 puntos) Determina los valores de α para los que la matriz A tiene inversa. b) (1.75 puntos) Para 1=α , calcula 1−A y resuelve la ecuación matricial BAX =

78. (2007-M3-B-3) Considera el sistema de ecuaciones ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=++

=++

122

0

λλλ

zyxzyx

zyx

a) (1.5 puntos) Determina el valor de λ para que el sistema sea incompatible. b) (1 punto) Resuelve el sistema para 1=λ .



12

79. (2007-M4-A-3) (2.5 puntos) Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a :

( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=++

=++

zzayxyzya

zyx

22221

0

80. (2007-M4-B-3) Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=++

+=+++−

010

21

yxzyx

zyx

λλ

λλλ

tiene más de una solución. a) (1.5 puntos) Calcula, en dicho caso, el valor de la constante λ . b) (1 punto) Halla todas las soluciones del sistema.

81. (2007-M5-A-3)

a) (1.5 puntos) Calcula el valor de m para el que la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

mA

101

verifica la

relación IAA =−22 y determina 1−A para dicho valor de m . b) (1 punto) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación IMM =−22 ,

determina la expresión de 1−M en función de M y de I .

82. (2007-M5-B-3) (2.5 puntos) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lo hacen compatible:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

1mymxmymxmmyx

83. (2007-M6-A-3) Sea A la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=3055

03

λλ

λA e I la matriz identidad de orden 3 .

a) (1.25 puntos) Calcula los valores de λ para los que el determinante de IA 2− es cero. b) (1.25 puntos) Calcula la matriz inversa de IA 2− para 2−=λ .

84. (2007-M6-B-3) Considera el sistema de ecuaciones ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−=++

021

1

ymxzmy

mzyx

a) (1.5 puntos) Clasifica el sistema según los valores de m . b) (1 punto) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

85. (2008-M1-A-3) Dado el sistema de ecuaciones lineales ⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=−+=++=−+

1502

0

λλλ

λ

zyxzyx

zyx

a) (1.5 puntos) Clasifícalo según los valores del parámetro .λ b) (1 punto) Resuélvelo para .1−=λ



13

86. (2008-M1-B-3) (2.5 puntos) Dadas las matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

221010111

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=11

0

201

B y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−=

11

10

12

C

Calcula la matriz P que verifica TCBAP =− ( TC es la matriz traspuesta de C ).

87. (2008-M2;Sept-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=++

−=++

12

1

zayxaazyxazyx

a) (1.5 puntos) Discútelo según los valores del parámetro .a b) (1 punto) Resuélvelo en el caso .2=a

88. (2008-M2;Sept-B-3) Sabemos que el sistema de ecuaciones: ⎭⎬⎫

=−+=+−22132

zyxzyx

tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación 77 =++ zyxa a) (1.25 puntos) Determina el valor de .a b) (1.25 puntos) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la

suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad. 89. (2008-M3;Jun-A-3) Un cajero automático contiene sólo billetes de 10 , 20 y 50 euros. En

total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. a) (1.25 puntos) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de

50 ? b) (1.25 puntos) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de

billetes de 50 , calcula cuantos billetes hay de cada tipo.

90. (2008-M3;Jun-B-3) Considera la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

2

22

111

mmmmmmA .

a) (1 punto) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que .3

b) (1.5 puntos) Estudia si el sistema ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

111

zyx

A tiene solución para cada uno de los

valores de m obtenidos en el apartado anterior.

91. (2008-M4-A-3) Dado el siguiente sistema de ecuaciones ( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

+=+++=+=+

1101

kkzykxzky

yx

a) (1.25 puntos) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. b) (1.25 puntos) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga

.2=z



14

92. (2008-M4-B-3) (2.5 puntos) Halla los valores del parámetro m que hacen compatible el sistema de ecuaciones:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−+

=++=−+−

232

222

mzyxmzyx

zyx

93. (2008-M5-A-3) (2.5 puntos) Sea I la matriz identidad de orden 3 y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−

=311201210

A .

Calcula, si existe, el valor de k para el cual ( )2kIA− es la matriz nula.

94. (2008-M5-B-3) Dadas las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111121211

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

111402201

B

a) (1 punto) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de .B b) (1.5 puntos) Resuelve la ecuación matricial ,IABAX +=+ donde I denota la matriz

identidad de orden .3 95. (2008-M6-A-3)

a) (1 punto) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=++=++

mzzyxmyzyxmxzyx

422

2

b) (1.5 puntos) Resuelve el sistema anterior para el caso 0=m y para el caso .1=m

96. (2008-M6-B-3) Dada la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

kk

kA

7131

31

a) (1.25 puntos) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro .k b) (1.25 puntos) Para ,0=k halla la matriz inversa de .A

97. (2009-M1-A-3) Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos BA, y .C

• Pista 1: Si compramos una unidad de ,A dos de B y una de C gastamos 118 euros. • Pista 2: Si compramos n unidades de ,A 3+n de B y tres de C gastamos 390 euros.

a) (1.5 puntos) ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles? b) (1 punto) Sabiendo que 4=n y que el producto C cuesta el triple que el producto

,A calcula el precio de cada producto.

98. (2009-M1-B-3) Sean CBA ,, y X matrices cualesquiera que verifican .CBXA = a) (1 punto) Si las matrices son cuadradas de orden ,3 y se sabe que el determinante de A

es ,3 el de B es 1− y el de C es ,6 calcula el determinante de las matrices X y .2X

b) (1.5 puntos) Si ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=20

11A , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=3221

B y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2430

C calcula la matriz .X



15

99. (2009-M2;Sept-A-3) a) (1.75 puntos) Discute según los valores del parámetro λ el siguiente sistema

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=+=+

13

03

zyxzx

yxλλ

λ

b) (0.75 puntos) Resuélvelo para .0=λ

100. (2009-M2;Sept-B-3) (2.5 puntos) Sean las matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=101112121

A , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=10

21

13

B y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

321

012

C

Determina la matriz X que verifica CBAX t 2=− ( tB es la matriz traspuesta de B ). 101. (2009-M3:Jun-A-3) Sean 321 ,, FFF las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de

una matriz B de orden ,3 cuyo determinante vale .2− Calcula, indicando las propiedades que utilices:

a) (0.5 puntos) El determinante de .1−B

b) (0.5 puntos) El determinante de ( )4tB ( tB es la matriz traspuesta de B ). c) (0.5 puntos) El determinante de .2B d) (1 punto) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera

son, respectivamente, .,3,5 2331 FFFF −

102. (2009-M3;Jun-B-3) (2.5 puntos) Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 20,30 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el

%30 de las cajas.

103. (2009-M4-A-3) Dadas las matrices ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2173

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

2431

B

a) (1 punto) Calcula, si existe, la matriz inversa de .A b) (1.5 puntos) Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales

BAXA 2+= y .2BAAY +=

104. (2009-M4-B-3) Dado el sistema de ecuaciones lineales

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=++=++

4534

zyxzyxzyx

λ

λ

a) (1.75 puntos) Discútelo según los valores del parámetro .λ b) (0.75 puntos) Resuélvelo en el caso .1=λ

105. (2009-M5-A-3)

a) (1.25 puntos) Resuelve el sistema de ecuaciones

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++−=++−=+

252022

zyxzyxzx



16

b) (1.25 puntos) Calcula λ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del apartado (a)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=++=++−=++

32131

zyxzyxzyx

λ


⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−−=

221212122

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X

a) (1 punto) Calcula, si existe, .1−A b) (1.5 puntos) Resuelve el sistema XAX 3= e interpreta geométricamente el conjunto de

sus soluciones.

107. (2009-M6-A-3) Se consideran las matrices ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

1213

A y ,kIAB −= donde k es una

constante e I es la matriz identidad de orden .2 a) (0.75 puntos) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa. b) (0.5 puntos) Calcula 1−B para .1−=k c) (1.25 puntos) Determina las constantes α y β para las que se cumple .2 IAA βα =+

108. (2009-M6-B-3) Sea el sistema de ecuaciones

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−+=++

+=+

mzymxzmyx

myx1

1

a) (1.5 puntos) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible. b) (1 punto) Resuelve el sistema en el caso .1−=m

109. (2010-M1-A-3) Considera el sistema ⎭⎬⎫

−=+−=+−

432523

zyxzyx

a) (1.5 puntos) Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación 9=++ zyx λ sea compatible indeterminado.

b) (1 punto) ¿Existe algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución?

110. (2010-M1-B-3) Sean las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

αα

2031321

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

432

B .

a) (0.5 puntos) Determina los valores de α para los que A tiene inversa. b) (1.25 puntos) Calcula la inversa de A para 1=α . c) (0.75 puntos) Resuelve, para 1=α , el sistema de ecuaciones BAX = .

111. (2010-M2;Jun-A-3) Sean las matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

mmA14

30101

, ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

120

131

B y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

24

23

35

C

a) (0.5 puntos) Indica los valores de m para los que A es invertible.



17

b) (2 puntos) Resuelve la ecuación matricial CBXA t =− para 0=m . ( tB es la matriz traspuesta de B ).

112. (2010-M2;Jun-B-3) Sea el siguiente sistema de ecuaciones

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=+−

+=++

λλλ

λλ

zyxzyxzyx

222

a) (1.75 puntos) Discútelo según los valores de λ . ¿Tiene siempre solución? b) (0.75 puntos) Resuelve el sistema para 1−=λ .

113. (2010-M3-A-3) Considera las siguientes matrices ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

1021

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

1203

B

a) (0.75 puntos) Calcula 1−A . b) (1.75 puntos) Resuelve la ecuación matricial IBAXAt 2=− , donde I es la matriz

identidad de orden 2 y tA es la matriz traspuesta de A .

114. (2010-M3-B-3) (2.5 puntos) Obtén un vector no nulo ( )cbav ,,= , de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

cba

A110111

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

cba

B131002

115. (2010-M4-A-3) Sea la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=144112245

A

a) (1.25 puntos) Comprueba que se verifica IAA =− 22 . b) (1.25 puntos) Calcula 1−A . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).

116. (2010-M4-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones

( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−+−=+−−

=−−+

mzmyxzyxzyxm

112

a) (1.75 puntos) Discútelo según los valores de m . b) (0.75 puntos) Resuélvelo para el caso .1=m

117. (2010-M5;Sept-A-3)

a) (1.75 puntos) Discute, según los valores del parámetro λ , el siguiente sistema de ecuaciones

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=++=+++=++−

λλλ

λλ

623422

zyxzyxzyx

b) (0.75 puntos) Resuelve el sistema anterior para 0=λ .

118. (2010-M5;Sept-B-3) (2.5 puntos) Sean las matrices

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1101

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=

210110001

B y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=22

11

03

C



18

Calcula la matriz X que cumpla la ecuación CAXB = .


⎪⎬

⎫

−=++=++=++

262242062

λλλ

λ

zyxzyxzyx

a) (1.75 puntos) Discútelo según los valores del parámetro λ . b) (0.75 puntos) Resuélvelo para 2=λ .

120. (2010-M6-B-3) De la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dcba

A se sabe que ( ) 4det =A . Se pide:

a) (1.25 puntos) Halla ( )tA3det − y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− cd

ab3322

det . Indica las propiedades que

utilizas. ( tA es la matriz traspuesta de A ). b) (0.75 puntos) Calcula ( )tAA 1det − . c) (0.5 puntos) Si B es una matriz cuadrada tal que IB =3 , siendo I la matriz identidad,

halla ( )Bdet .


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

λλ10

10001

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

010001100

B

a) (1 punto) ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa? b) (1.5 puntos) Para 1=λ , resuelve la ecuación matricial .1 BXAA =−

122. (2011-M1-B-3) Dadas las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−−+=

3012112

011

ttttA y

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X

a) (1.75 puntos) Calcula el rango de A según los diferentes valores de .t b) (0.75 puntos) Razona para qué valores de t el sistema homogéneo 0=AX tiene más

de una solución.

123. (2011-M2;Sept-A-3) Dadas las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=α

αα

111111

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

110

B

a) (1.75 puntos) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de .α b) (0.75 puntos) Para 2=α , resuelve la ecuación matricial .BAX =

124. (2011-M2;Sept-B-3) Sean las matrices ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=31

αα

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=241131

B

a) (1.25 puntos) Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es .121 A

b) (1.25 puntos) Para 3−=α , determina la matriz X que verifica la ecuación BXAt = , siendo tA la matriz traspuesta de .A



19

125. (2011-M3-A-3) Sean A y B dos matrices que verifican:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

2324

BA y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−2142

BA

a) (1 punto) Halla las matrices ( )( )BABA −+ y .22 BA −

b) (1.5 puntos) Resuelve la ecuación matricial ( ) IBAXBXA t 2=+−− , siendo I la

matriz identidad de orden 2 y ( )tBA+ la matriz traspuesta de .BA+

126. (2011-M3-B-3) Sea la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=3055

03

λλ

λA

a) (1 punto) Determina los valores de λ para los que la matriz IA 2− tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) (1.5 puntos) Para 2−=λ , resuelve la ecuación matricial .2 IXAX +=

127. (2011-M4-A-3) Considera el sistema de ecuaciones

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=+−−=+=+−

33332

4422

zyxazx

zyx

a) (1.75 puntos) Discútelo según los valores del parámetro .a b) (0.75 puntos) Resuélvelo cuando sea posible.

128. (2011-M4-B-3) Dada la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

1211

A

a) (1 punto) Demuestra que IAA =+ 22 y que IAA 21 +=− , siendo I la matriz identidad de orden 2.

b) (1.5 puntos) Calcula la matriz X que verifica la ecuación .452 IAXAA =++ 129. (2011-M5-A-3) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son

21

=A y .2−=B Halla:

a) (0.5 puntos) .3A

b) (0.5 puntos) .1−A

c) (0.5 puntos) .2A−

d) (0.5 puntos) tAB , siendo tB la matriz traspuesta de .B

e) (0.5 puntos) El rango de .B 130. (2011-M5-B-3) Dada la matriz

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=431541

430A

a) (0.5 puntos) Demuestra que se verifica la igualdad IA −=3 , siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) (1.25 puntos) Justifica que A es invertible y halla su inversa. c) (0.75 puntos) Calcula razonadamente .100A



20

131. (2011-M6;Jun-A-3) Dado el sistema de ecuaciones lineales

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=++=++−

12

1

zyxzyx

zyx

λλ

λ

a) (1.75 puntos) Clasifica el sistema según los valores del parámetro .λ b) (0.75 puntos) Resuelve el sistema para .0=λ

132. (2011-M6;Jun-B-3) Dada la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

1101λ

A

a) (1.25 puntos) Determina los valores de λ para los que la matriz AA 32 + no tiene inversa.

b) (1.25 puntos) Para 0=λ , halla la matriz X que verifica la ecuación IAAX 2=+ , siendo I la matriz identidad de orden 2.

133. (2012-M1-A-3) (2.5 puntos) Considera las matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

121210021

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0110

B y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

211021

C

Determina, si existe, la matriz X que verifica ,tCAXB = siendo tC la matriz traspuesta de .C

134. (2012-M1-B-3) Dado el sistema de ecuaciones

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=−−−=+−

=+

17312

32

kzyxkzx

ykx

a) (1.75 puntos) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k . b) (0.75 puntos) Resuélvelo para .1=k

135. (2012-M2-A-3) Considera el sistema de ecuaciones ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=−−=++−=+++

122121

kzyxzykxzykx

a) (1.75 puntos) Clasifícalo según los distintos valores de k . b) (0.75 puntos) Resuélvelo para el caso .2=k

136. (2012-M2-B-3) (2.5 puntos) Encuentra la matriz X que satisface la ecuación

,3 ABAXA =+ siendo

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

001010100

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

201120012

B

137. (2012-M3;Jun-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−=+=+

12

22

yxkkyx

ykx

a) (0.5 puntos) Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k .



21

b) (1 punto) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado.

c) (1 punto) Halla las soluciones en cada caso.

138. (2012-M3;Jun-B-3) Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−−=+=−

02

zyxzy

yx

λλλλλ

a) (1.25 puntos) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro λ . b) (1.25 puntos) Resuélvelo para 0=λ y .1−=λ

139. (2012-M4;Sept-A-3) Sea la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

11212100

kA

a) (1 punto) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A ? Justifica la respuesta.

b) (1.5 puntos) Para ,0=k resuelve la ecuación matricial ( ) ,tAAIX =⋅+ donde I denota la matriz identidad y tA la matriz traspuesta de .A

140. (2012-M4;Sept-B-3) Considera el sistema de ecuaciones

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−++=+

+=++

λλλ

λ

zyxzyzyx

133223

1

a) (1 punto) Resuelve el sistema para .1=λ b) (1 punto) Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución. c) (0.5 puntos)¿Existe algún valor de λ para el que el sistema admite la solución

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21,0,

21

?

141. (2012-M5-A-3) Considera el sistema de ecuaciones

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=+++=++

+=++

2132

12

kzyxkkzyx

kzkyx

a) (1.25 puntos) Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución.

b) (0.5 puntos) ¿Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución? c) (0.75 puntos) Resuelve el sistema para .0=k

142. (2012-M5-B-3) Dada la matriz ,1523⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=A sea B la matriz que verifica que

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

3712

AB

a) (1 punto) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas. b) (1.5 puntos) Resuelve la ecuación matricial .1 BABXA =−−



22

143. (2012-M6-A-3) Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

a) (1.25 puntos) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.

b) (1.25 puntos) Si el precio del libro, la calculadora el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.

144. (2012-M6-B-3) Considera el sistema de ecuaciones

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=+=++

kzykyx

kzyx

2121

a) (1 punto) Clasifica el sistema según los valores del parámetro k . b) (0.75 puntos) Resuélvelo para .1=k c) (0.75 puntos) Resuélvelo para .1−=k

145. (2013-M1-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=++−=+−

=++

232

02

mzymxmmzyx

zyx

a) (1.75 puntos) Discute el sistema según los valores del parámetro m . b) (0.75 puntos) Resuélvelo, si es posible, para 2=m .

146. (2013-M1-B-3) Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es

( ) 2det =M . Calcula: a) (0.5 puntos) El rango de 3M . b) (0.75 puntos) El determinante de tM2 ( tM es la matriz traspuesta de M ).

c) (0.75 puntos) El determinante de ( )21−M . d) (0.5 puntos) El determinante de N , donde N es la matriz resultante de intercambiar la

primera y segunda filas de M .

147. (2013-M2;Sept-A-3) Considera las matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

200011101

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

100111111

B .

a) (1 punto) Halla, si es posible, 1−A y 1−B . b) (0.25 puntos) Halla el determinante de tAAB2013 siendo tA la matriz traspuesta de A . c) (1.25 puntos) Calcula la matriz X que satisface ABBAX =− .

148. (2013-M2;Sept-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−+−+=+

=+−

936312

6642

mzyxmzmy

zyx.

a) (1.75 puntos) Discute el sistema según los valores del parámetro m . b) (0.75 puntos) Resuélvelo para 3=m . Para dicho valor de m , calcula, si es posible, una

solución en la que 0=y .



23

149. (2013-M3-A-3) Sean

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−

=20

21312

mmmA ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

011

B y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X .

a) (1.25 puntos) Determina el rango de A según los valores del parámetro m . b) (0.75 puntos) Discute el sistema BAX = según los valores del parámetro m . c) (0.5 puntos) Resuelve el sistema BAX = para 1=m .

150. (2013-M3-B-3) Sean A y B las matrices

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

5332

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

5941

B .

a) (1.25 puntos) Calcula las matrices X e Y para las que AYX =−2 y BYX =− 3 . b) (1.25 puntos) Halla la matriz Z que verifica IBZAB t 32 =++ ( I denota la matriz

identidad y tB la matriz traspuesta de B ).

151. (2013-M4-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

⎭⎬⎫

=−+=+−

3320

zyxzyx

.

a) (1.5 puntos) Determina el valor de m para el que al añadir la ecuación 34 −=++ zmyx

al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones. b) (1 punto) Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las

incógnitas sea 6.

152. (2013-M4-B-3) Considera las matrices ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

1021

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

0111

B .

a) (1.25 puntos) Calcula X e Y tales que tAYX =− y BYX =−2 ( tA es la matriz traspuesta de A ).

b) (1.25 puntos) Calcula Z tal que ABZAZ += .


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

101002011

A , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

021120

B y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=6121

C .

a) (0.75 puntos) Halla 1−A . b) (1.25 puntos) Calcula la matriz X que satisface CBAX t= ( tB es la matriz traspuesta

de B ).

c) (0.5 puntos) Halla el determinante de ( )201312013 −ABBA t .

154. (2013-M5-B-3) Sabiendo que el determinante de una matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

rqpfedcba

A es 4 , calcula

los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas: a) (1 punto) ( )A2det − y ( )1det −A .

b) (1.5 puntos) rqpfed

cba

−−−

222 y rqp

cbafed

−−−

−−− 333



24

155. (2013-M6;Jun-A-3) Sea ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−=

111010101

mmM .

a) (0.75 puntos) Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente independientes.

b) (1 punto) Estudia el rango de M según los valores de m . c) (0.75 puntos) Para 1=m , calcula la inversa de M .

156. (2013-M6;Jun-B-3) Sea ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=11

11A .

a) (1.5 puntos) Comprueba que IA 22 = y calcula 1−A . b) (1 punto) Calcula 2013A y su inversa.

157. (2014-M1;Jun-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

⎭⎬⎫

=++=−+

532332

zyxzyx

a) (1.5 puntos) Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma 17 =−+ zyxα el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.

b) (1 punto) Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.

158. (2014-M1;Jun-B-3) (2.5 puntos) Considera las matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100001110

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=321011111

B

Determina, si existe, la matriz X que verifica .2ABAX =+

159. (2014-M2-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, ( )

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−−=++−=++

−=+++

121

121

mzyxmmzymx

zymx

a) (1.75 puntos) Discute el sistema según los valores del parámetro m . b) (0.75 puntos) Resuélvelo para 2=m . Para dicho valor de ,m calcula, si es posible, una

solución en la que .2=z

160. (2014-M2-B-3) Considera las matrices, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

mm

A11

11 y ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

0111

B .

a) (0.75 puntos) ¿Para qué valores de m se verifica que IAA += 22 ? ( I denota la matriz identidad)

b) (1.75 puntos) Para ,1=m calcula ,1−A y la matriz X que satisface .ABBAX =−

161. (2014-M3-A-3) Se sabe que el determinante de la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A es -3.

Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) (1 punto) ( )A2det − y ( )1det −A .



25

b) (1.5 puntos)

333231

131211

232221

222777

aaaaaa

aaa y

33332313

32322212

31312111

525252

aaaaaaaaaaaa

+++

.

162. (2014-M3-B-3) Considera las matrices,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

032111201

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=121313302

B .

a) (0.5 puntos) Calcula .1−A b) (2 puntos) Halla la matriz X que verifica que ,IBXAt =+ siendo I la matriz

identidad y tA la matriz traspuesta de A . 163. (2014-M4;Sept-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++−=++=+−

02020

mzyxzymx

mzyx.

a) (0.75 puntos) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución.

b) (1 punto) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula.

c) (0.75 puntos) Resuelve el sistema para .2−=m

164. (2014-M4;Sept-B-3) Sabiendo que el determinante de la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

321101zyx

A es 2, calcula

los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: a) (0.5 puntos) ( )A3det b) (0.5 puntos) ( )1det −A

c) (0.75 puntos) 343

23103zyx

d) (0.75 puntos)

101642

321

−−+++ zyx

165. (2014-M5-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas ,,, zyx

( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=+=++

λλλλλλλ

zxzx

zy 1

a) (1.5 puntos) Discute el sistema según los valores del parámetro .λ b) (0.5 puntos) Resuelve el sistema para .1=λ c) (0.5 puntos) Para ,0=λ si es posible, da tres soluciones distintas.



26

166. (2014-M5-B-3) (2.5 puntos) Considera las matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

350120001

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

001111100

B .

Halla la matriz X que verifica .1 ABXAA −=−

167. (2014-M6-A-3) Se sabe que el determinante de la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

fecedbcba

A es 3, halla los

siguientes determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: a) (1 punto) ( )3det A , ( )1det −A y ( )tAA+det . ( tA indica la traspuesta de A ).

b) (0.75 puntos) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

edbfeccba

222det .

c) (0.75 puntos) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

fcecebdbcaba

444

det .

168. (2014-M6-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−−=+−

=+−

1222

12

mzyxzmyxzymx

a) (1.75 puntos) Discute el sistema según los valores del parámetro .m b) (0.75 puntos) Si es posible, resuelve el sistema para .2−=m

169. (2015-M1-A-3) Considera el sistema dado por BAX =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

α

α

4321012

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=3

21

αB y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X .

a) (0.75 puntos) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene solución única.

b) (0.75 puntos) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema no tiene solución.

c) (1 punto) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

941321111

A ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

111111111

B .

a) (1.75 puntos) Halla la matriz X que verifica IBAX =− ( I denota la matriz identidad de orden 3).

b) (0.75 puntos) Calcula el determinante de la matriz ( )201512 −BA .



27

171. (2015-M2-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones

( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

+−

==

++−

++

−

=++

αα

α

42

32

2

43

zz

yy

xx

zyx

a) (1.25 puntos) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema dado tiene solución única.

b) (1.25 puntos) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema dado tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1121

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1414

B .

a) (1 punto) Halla el determinante de una matriz X que verifique la igualdad BAXX =2 . b) (1.5 puntos) Determina, si existe, la matriz Y que verifica la igualdad AYBA =−12 .

173. (2015-M3;Sept-A-3) Considera las siguientes matrices:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

1221

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

123012001

B y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=051001

C .

a) (1.5 puntos) Determina la matriz X para la que CXBAt =−1 , ( tA es la traspuesta de A ).

b) (1 punto) Calcula el determinante de ( )BCCB t1− , ( tC es la traspuesta de C )

174. (2015-M3;Sept-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=−−

−=−++

22213

112

αα

αα

zyxzyx

zyx

a) (1 punto) Resuelve el sistema para 1=α . b) (1.5puntos) Determina, si existe, el valor de α para el que ( ) ( )α,3,1,, −=zyx es la

única solución del sistema dado.

175. (2015-M4;Jun-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+

−=−+

0

1

zyxzxzyx

λλλλ

λ

a) (1.5 puntos) Discute el sistema según los valores de λ . b) (1 punto) Resuelve el sistema para 0=λ .

176. (2015-M4;Jun-B-3) Considera las matrices

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

mA

221

y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

mmB23

02021

a) (1.5 puntos) Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.

b) (1 punto) Determinan, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.



28

177. (2015-M5-A-3) (2.5 puntos) Halla la matriz X que verifica la igualdad 11 −− =+ CABAXA sabiendo que

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

=141031010

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

101100

211C y

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−=

351111

011BA


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

020220

zyxzyxzyx

λλ

λλλ

a) (1.75 puntos) Discute el sistema según los valores de λ . b) (0.75 puntos) Determina, si existen, los valores de λ para los que el sistema tiene

alguna solución en la que 0≠z .

179. (2015-M6-A-3) Considera la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

010201

10

mm

mA

a) (1.75 puntos) Halla el valor, o valores, de m para los que la matriz A tiene rango 2. b) (0.75 puntos) Para 1=m , determina 2015A .


( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++++=+

=+

74342

2

zyxyxzx

ααα

α

a) (1.75 puntos) Discute el sistema según los valores de α . b) (0.75 puntos) Resuelve el sistema para 2=α .

181. (2016-M1-A-3) Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante

BAX = siendo

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−=

21121

211

mmmA ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

7

1m

mB y

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X .

a) (1.5 puntos) Discute el sistema según los valores de m . b) (1 punto) Resuelve el sistema para 3−=m y determina en dicho caso, si existe, una

solución en la que 2=x .

182. (2016-M1-B-3) De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente: • La empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas. • El beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos. a) (1.5 puntos) Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A

ha obtenido el doble que C. b) (1 punto) Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido

210 millones de euros.



29

183. (2016-M2;Jun-A-3) Considera las matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

112010111

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=368

478233

B

a) (1.75 puntos) Halla la matriz X que verifica ABAX 2=+ . b) (0.75 puntos) Calcula 2B y 2016B .

184. (2016-M2;Jun-B-3) Se considera el sistema de ecuaciones lineales

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+

−=+−

5332

5213

ααα

αα

yxyx

yx

a) (1.5 puntos) Discútelo según los valores del parámetro α . b) (1 punto) Resuélvelo para 1=α y determina en dicho caso, si existe, alguna solución

donde 4=x .

185. (2016-M3-A-3) (2.5 puntos) Considera las matrices ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1101

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1021

B .

Determina, si existe, la matriz X que verifica: 22 ABXBAX +=+ .

186. (2016-M3-B-3) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

11

zyxzyxzyx

λλ

λλ

a) (1.75 puntos) Determina, si existen, los valores de λ para los que el sistema tiene infinitas soluciones.

b) (0.75 puntos) Resuelve el sistema para 2−=λ .

187. (2016-M4-A-3) Sea la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=420110

012A

a) (1.75 puntos) Estudia, según los valores de λ , el rango de la matriz IA λ− , siendo I la matriz identidad de orden tres.

b) (0.75 puntos) Resuelve el sistema dado por ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

000

2zyx

IA

188. (2016-M4-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+++

λλλλλ

zyzy

zyx01)1(

a) (1 punto) Discútelo según los valores de λ . b) (0.75 puntos) Resuélvelo para 0=λ . c) (0.75 puntos) Determina, si existe, el valor de λ para el que hay una solución en la que

2=z . Calcula esa solución.



30

189. (2016-M5;Sept-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−=+−

2539115

1242

zyxzyxzyx

λ

a) (1.75 puntos) Discute el sistema según los valores de λ . b) (0.75 puntos) Resuélvelo, si es posible, para 4=λ .

190. (2016-M5;Sept-B-3) Considera ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=01

1A ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111

B y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−=000111

111C .

a) (1 punto) Calcula el rango de IABT λ+ según los valores deλ ( TB es la matriz traspuesta de B , I es la matriz identidad de orden 3).

b) (1.5 puntos) Calcula la matriz X que verifica IXCX 2=− .

191. (2016-M6-A-3) Considera la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

011

kkk

A . Determina, si existen, los valores de

k en cada uno de los casos siguientes: a) (0.75 puntos) ( ) 1=Arango b) (0.75 puntos) AA =2 c) (0.5 puntos) A tiene inversa d) (0.5 puntos) ( ) 2det −=A

192. (2016-M6-B-3) Considera la matriz: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

=10011101

λλ

A

a) (1.5 puntos) Determina, si existen, los valores de λ para los que AIA −=− 21 (siendo I la matriz identidad de orden 3).

b) (1 punto) Determina, si existen, los valores de λ para los que la matriz TAA + no tiene inversa ( TA es la matriz traspuesta de A ).

193. (2017-M1-A-3) Sean las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=211

422211

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

121

B , ( )211−=M ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X .

a) (0.75 puntos) Calcula BM. b) (1 punto) Razona si el sistema dado por AX=B tiene solución o no y, en caso afirmativo,

cuántas soluciones tiene. c) (0.75 puntos) Resuelve AX=B.

194. (2017-M1-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−=+

1231213

zyxkzyx

kyx del que se

sabe que para un cierto valor de k es compatible indeterminado. a) (1.5 puntos) Determina el valor de k. b) (1 punto) Resuelve el sistema para .1=k



31

195. (2017-M2-A-3) Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por AX=B siendo

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

311

111

mmmA ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X y .11

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

mB

a) (1.5 puntos) Discute el sistema según los valores de m. b) (1 punto) Para 2=m , si es posible, resuelve el sistema dado.


⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

=mmm

mA

210210

101 y .

110011101

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=B

a) (1 punto) Determina los valores de m para los que la matriz A no tiene inversa. b) (1.5 puntos) Para 1=m , calcula, si existe, la matriz X que verifica la igualdad

,1 BIXAA =+− siendo I la matriz identidad.

197. (2017-M3;Jun-A-3) Considera ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=

200012022

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X

a) (1 punto) Determina los valores de λ para los que la matriz IA λ+ no tiene inversa (I es la matriz identidad).

b) (1.5 puntos) Resuelve XAX 3−= . Determina, si existe, alguna solución con .1=x

198. (2017-M3;Jun-B-3) Sabemos que el coste de 3 lápices, 1 rotulador y 2 carpetas es de 15 euros, mientras que el de 2 lápices, 4 rotuladores y 1 carpeta es de 20 euros.

a) (1.5 puntos) Sabiendo que 1 lápiz y 7 rotuladores cuestan 25 euros ¿podemos deducir el precio de cada uno de los artículos? Razona la respuesta.

b) (1 punto) Si por el precio de una carpeta se pueden comprar 10 lápices ¿cuánto cuesta cada uno de los artículos?

199. (2017-M4-A-3) Considera las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

224011002

A y .200510212

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=B

a) (1.25 puntos) Calcula la matriz inversa de ( ).BA+

b) (1.25 puntos) Calcula el determinante de ( )tBAA +−12 , siendo ( )tBA+ la matriz traspuesta de .BA+


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

101221

A , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=112113

B y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

111121011

C .

Determina, si existe, la matriz X que verifica que CXCABX =− 2 .

201. (2017-M5-A-3) Considera la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

0112

A .

a) (0.5 puntos) Comprueba que IAAAt =− 2 ( tA denota la traspuesta de A e I la matriz identidad).

b) (0.75 puntos) Calcula 1−A . c) (1.25 puntos) Determina, si existe, la matriz X que verifica AIXA 3=+ .



32

202. (2017-M5-B-3) Sea A una matriz 33× tal que 8)2det( =A . a) (0.5 puntos) ¿Cuánto vale ( )Adet ? b) (0.75 puntos) Siendo B la matriz que se obtiene de A multiplicando por 3 la primera

fila y por -1 la tercera, ¿cuánto vale ( )Bdet ? c) (1.25 puntos) Determina los valores de x para los que la siguiente matriz A verifica

que ( ) 82det =A .

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−+=

1222111

xxx

xA .

203. (2017-M6;Sept-A-3) Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por BAX = siendo

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

231302111

mA ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+=112

mmm

B .

a) (1.25 puntos) Discute el sistema según los valores de m . b) (1.25 puntos) Para 2=m , calcula, si es posible, una solución del sistema anterior para

la que 17=z .

204. (2017-M6;Sept-B-3) Considera ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++=

11001

0

kkkk

kkA .

a) (1.5 puntos) Discute el rango de A según los valores de k .

b) (1 punto) Para 1=k , calcula el determinante de ( )201712 −AAt , siendo tA la traspuesta de A .

205. (2018-M1;Jun-A-3) Considere el siguiente sistema de ecuaciones ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++=++=+++

813423332

zmyxmzyx

zmyx

a) (1.75 puntos) Discútelo según los valores del parámetro m . b) (0.75 puntos) Resuelve el sistema para .2−=m

206. (2018-M1;Jun-B-3)

a) (1.5 puntos) Justifica que es posible hacer un pago de 34.50 euros cumpliendo las siguientes restricciones:

utilizando únicamente monedas de 50 céntimos de euro, de 1 euro y de 2 euros; se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas; tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimos y 2

euros juntas. ¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago?

b) (1 punto) Si se redondea la cantidad a pagar a 35 euros, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=11212

12

λλ

λA ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

011

B y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X



33

a) (1.25 puntos) Discute el rango de A según los valores del parámetro λ . b) (1.25 puntos) Para 2−=λ , estudia y resuelve el sistema dado por BAX = .


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

010100

001A ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=

221101122

B , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=32

1C y ( )654 −=D .

Determina, si existe, la matriz X que verifica que CDXBAXA =+−2 .


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010111

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

110

B y ( )211=C

a) (1 punto) Calcula 2018A . b) (1.5 puntos) Determina, si existe, la matriz X que verifica ( ) BCIXA =+ 2 donde I

es la matriz identidad.


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

mzyxzmyx

mzyx

4211

a) (1.75 puntos) Discute el sistema en función del parámetro m . b) (0.75 puntos) Si es posible, resuelve el sistema para 1=m .

211. (2018-M4;Sept-A-3) Considera las siguientes matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

001010100

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

001010cba

B

a) (0.75 puntos) Determina, si existen, los valores de ba, y c para los que las matrices A y B conmutan.

b) (1 punto) Calcula 2A , 3A , 2017A y 2018A . c) (0.75 puntos) Calcula, si existe, la matriz inversa de A .

212. (2018-M4;Sept-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−=++

mzmyxmzy

mmzyx 2

a) (1.5 puntos) Discute el sistema según los valores del parámetro m . b) (1 punto) Resuélvelo para 1=m . Para dicho valor de m , calcula, si es posible, una

solución en la que 2=z .


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

301121002

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X



34

a) (1.5 puntos) Discute el sistema dado por mXAX = según los valores del parámetro m .

b) (0.5 puntos) Da la solución del sistema en los casos en que es compatible determinado. c) (0.5 puntos) Para 3=m resuelve el sistema y halla, si es posible, una solución en la

que 3=++ zyx .


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+

=−

5413

mzyxzmymzx

a) (1.5 puntos) Discútelo según los valores del parámetro m . b) (1 punto) Para 1=m resuelve el sistema y encuentra, si es posible, una solución para la

que sea zx = .

215. (2018-M6-A-3) Considera la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyxM 306

321. Sabiendo que el determinante de M es

2, calcula los siguientes determinantes e indica las propiedades que utilices: a) (0.75 puntos) El determinante de la matriz 45M .

b) (0.75 puntos)

zyx321102

c) (1 punto) zzyyxx

332

61

+

+


⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−=

311020210

A

a) (0.75 puntos) Halla, si existe, la inversa de A . b) (1.25 puntos) Determina los valores de m tales que ( )mIA− tiene inversa ( I es la

matriz identidad). c) (0.5 puntos) Calcula el rango de ( )IA 2− .

EJERCICIOS BLOQUE II: ÁLGEBRA LINEAL · a) (1.25 puntos) Halla los valores de a para los que los...

Documents

Transcript of EJERCICIOS BLOQUE II: ÁLGEBRA LINEAL · a) (1.25 puntos) Halla los valores de a para los que los...