UBA – DANIEL A. SARTO

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Maestría en Gestión Económica y Financiera de Riesgos 2013

Administración de Carteras con Riesgo

Ejercicios sobre Carteras Óptimas

1. Se supone que la función de utilidad de un inversor puede caracterizarse por U(W) =

ln W, y que el inversor enfrenta un juego donde puede ganar o perder $ 2.000,

teniendo cada resultado una probabilidad del 50%. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar

el inversor para evitar este juego, si su riqueza inicial fuera $5.000? ¿Cuánto estaría

dispuesto a pagar el inversor para evitar este juego, si su riqueza inicial fuera

$1.000.000? ¿Cómo cambiaría la respuesta si su función de utilidad fuese U(W) = -

W-1

? Rtas: 417,42; 2

2. Para el propietario de un inmueble hay una probabilidad del 0,02 de que un huracán

disminuya el valor de su inmueble a $1 durante el próximo año. También hay una

probabilidad del 0,03 de que el huracán lo reduzca a $ 500.000, y una probabilidad

del 0,95 de que el huracán no se presente, en cuyo caso el inmueble valdría

$1.000.000. Una compañía de seguros podría asegurar el inmueble a su valor actual

de mercado. Es decir, que si el huracán ocurriere, la aseguradora pagaría la

diferencia entre $1.000.000 y el valor del inmueble luego de la tormenta. Si la

función de utilidad del propietario del inmueble pudiera caracterizarse por U(W) = ln

W, ¿cuál sería la cantidad máxima que estaría dispuesto a pagar para adquirir un

seguro sobre el inmueble? Rta: 257.033,73

3. En la economía hay dos activos financieros, x e y. La correlación de las

rentabilidades de x e y es -0,4. Las rentabilidades esperadas y los desvíos estándares

son:

Rentabilidad

esperada

Desvío

Estándar

X 20% 20%

Y 15% 25%

¿El activo financiero x domina al y? Si la respuesta fuera afirmativa, ¿por qué

alguien invertiría en y?

¿Cuál sería la tasa de rentabilidad esperada y el desvío estándar de una cartera

compuesta por 60% en x y 40% en y? Rtas: 0,18; 0,12166;

¿Habría algún inversor dispuesto a integrar su cartera mediante la venta en

descubierto del activo y, invirtiendo lo obtenido en x (por ejemplo, empezar

con $ 100, vender en descubierto $ 100 de y y comprar $ 200 de x?

Suponga que el inversor quisiera la cartera compuesta por estos dos activos,

con el menor desvío estándar:

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¿Cuál seria la participación en la cartera del activo x? Rta: 0,58

¿Cuáles serían la rentabilidad esperada y el desvío estándar de la

cartera? Rtas: 0,179; 0,121

4. Considere dos activos financieros, x e y. Ambos activos presentan idénticos desvíos

estándares de sus rentabilidades. La correlación xy de sus rentabilidades es 0,5:

¿Cómo deberían combinarse x e y para crear la cartera de mínima varianza

global? Rta: 0,5

Explique por qué la cartera de mínima varianza no contendría posiciones

vendidas. ¿La respuesta sería diferente si las correlaciones entre x e y fuesen

0,95 o -0,95

Ahora considere los activos A y B, con A= 0,7; B= 0,04 y AB=0,9.

¿Cómo deberían combinarse A y B para formar la cartera de mínima

varianza? Explique brevemente por qué la respuesta es diferente a la

situación anterior. Rta: -0,0535

5. En la economía hay dos activos financieros, A y B. El parámetro de aversión al

riesgo del inversor, A, es 2 Las rentabilidades esperadas y los desvíos estándares

son:

¿Cuál sería la composición en la cartera de mínima varianza global de los

activos A y B, si la correlación entre las rentabilidades de A y B fueran,

sucesivamente, -1, 0 y +1? Rtas para coef de correl 0: 0,719; 0,281

¿Cuál sería la composición en la cartera óptima de los activos A y B, si la

correlación entre las rentabilidades de A y B fueran, sucesivamente, -1, 0 y

+1? Rtas para coef de correl. 0: 0,382; 0,618

Explique brevemente las diferencias entre las respuestas de los dos puntos

anteriores.

Rentabilidad

esperada

Desvío

Estándar

A 15% 25%

B 30% 40%

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6. Hay 30 activos financieros en la economía. Cada uno presenta un desvío estándar de

30%, una rentabilidad esperada del 20% y una correlación con cualquier otro activo

de 0,20:

¿Cuáles serían la rentabilidad esperada y el desvío estándar de una

cartera con iguales participaciones de estos activos? Rtas: 0,20; 0,143

¿Cuál serían la rentabilidad esperada y el desvío estándar de una

cartera consistente en un número infinito de activos financieros

diferentes con los mismos valores de rentabilidades esperadas, desvíos

estándares y correlaciones como los descriptos? Rtas: 0,20; 0,134

7. Los inversores 1 y 2 asignan sus carteras entre acciones, bonos y efectivo. Ambos

inversores presentan una función de utilidad de la forma U(rp) = E(rp) – ½ Ai Var (rp),

pero difieren en el coeficiente de aversión al riesgo Ai. Ambos inversores eligen sus

carteras en forma óptima para maximizar su utilidad. Las rentabilidades esperadas y

los desvíos estándares son:

También sabemos que el inversor 1 presenta una cartera con la siguiente

composición: 50% acciones, 30% bonos y 20% efectivo. El desvío estándar de las

rentabilidades del inversor 1 de la cartera total es 0,1868. El inversor 2, en cambio,

presenta la siguiente asignación: 30% acciones, 18% bonos y 52% efectivo

¿Cuál sería la rentabilidad esperada, E(rp), de la cartera total del inversor 1?

¿Cuál sería el coeficiente de aversión al riesgo del inversor 1, A1? Rta: A1:

1,63

¿Cuál sería la rentabilidad esperada, E(rp), de la cartera total del inversor 2?

¿Cuál sería el desvío estándar de las rentabilidades, p, de la cartera total del

inversor 2? ¿Cuál el coeficiente de aversión al riesgo del inversor 2, A2? Rta:

A2: 2,72

Dada la información anterior, ¿cuál debería ser la correlación de las

rentabilidades entre acciones y bonos? Rta: 0,70

8. Se busca combinar los activos financieros A y B de manera óptima. Las

características de A y B son las siguientes:

Rentabilidad

esperada

Desvío

Estándar

Acciones 15% 30%

Bonos 10% 16%

Efectivo 6% 0%

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La correlación entre las rentabilidades de

los activos financieros A y B es

AB = 0,25, y el coeficiente de aversión al riesgo es de A = 2,0. También hay un activo

financiero libre de riesgo que rinde el 7%.

¿En qué proporción los activos A y B deberían combinarse con el activo libre de

riesgo en la cartera total óptima? Rta: 0,4658

Suponga, en contraste al punto anterior, que se ignora la presencia del activo libre

de riesgo, ¿cómo deberían combinarse A y B en la cartera óptima? Rta: 0,558

¿Cómo combinaría A y B para alcanzar la cartera de mínima varianza? Rta: 0,951

Explique brevemente por qué difieren las proporciones calculadas en los tres

puntos anteriores.

9. Un administrador de carteras de inversión debe asignar el capital de un cliente entre acciones,

bonos de largo plazo y depósitos a plazo fijo con vencimiento dentro de un año. El coeficiente de aversión al riesgo de su cliente es 5. El administrador de carteras prevé tres

escenarios económicos posibles para el próximo año. En el escenario 1, las condiciones

económicas generales serían débiles y las tasas de interés disminuirían. El administrador asigna una probabilidad del 10 por ciento a eses escenario. En el escenario 2 las condiciones

económicas serían razonablemente buenas, pero las tasas de interés aumentarían. El

administrador otorga una probabilidad del 40 por ciento a este escenario. En el escenario 3

las condiciones económicas serían muy favorables y las tasas de interés se mantendrían sin variantes. El administrador otorga una probabilidad del 50 por ciento a este escenario. El

administrador también prevé que las tasas de rentabilidad para cada escenario y para cada

clase de activos serían las siguientes:

Escenario Bonos Acciones Plazo

Fijo

1 14% -20% 5%

2 -4% 11% 5%

3 12% 23% 5%

Dadas las proyecciones realizadas, ¿cómo debería el administrador de carteras asignar los

fondos de su cliente? Rta: 0,045; 1,114; -0,159

Ahora suponga que el administrador efectúa una revisión de sus estimaciones de

probabilidades, asignando 0,5 al escenario 1; 0,4, al escenario 2 y 0,1 al 3. Las estimaciones sobre rentabilidades esperadas para los distintos activos financieros

permanecen iguales. ¿Cómo debería ahora el administrador de carteras asignar los

fondos de su cliente? Rta: 2,75

Rentabilidad

esperada

Desvío

Estándar

A 10% 15%

B 22% 40%