EJERCICIOS DE APLICACIÒN FLUJO DE FLUÌDOS Y LA ECUACIÒN DE BERNOULLI

CAPITULO 7. FLUJO DE FLUIDOS Y ECUACIÒN DE BERNOULLI-(Hidráulica. Ing. A. Ñahui P.)

EJERCICIOS DE APLICACIÒN FLUJO DE FLUÌDOS Y LA ECUACIÒN DE BERNOULLI

A) Factores de Conversión. 1 L/min = 1 Lpm = 16.67x10-6 m3/s; 1.0 m3/s = 60000 L/min; 1 gal/min = gpm = 3.785 L/m; 1gal/min = 6.309 x 10 -5 m3/s; 1.0 pie3/s = 449 gal/min.

1.- Convierta una rapidez de flujo de 20 gal/min a pies3/s:

Q=20 galmin ( 1 pie3

s

449galmin

)=44.54 x10−3 pie3

s.

2.- Convierta una rapidez de flujo de 4500 L/min a m3:

Q=4500 Lmin ( 1m3

s60000 Lmin

)=0.075m3/s.

3.- Convierta una rapidez de flujo de 459 gal/min a L/min :

Q=459galmin (

3.785 Lmin1galmin

)=1,737.3L /min.

4.- Un ventilador produce 640 pies3/min (PCM) de aire. Si la densidad del aire es de 1.20 kg/m3, calcule la rapidez de flujo de masa en slugs/s y la rapidez de flujo de peso en lb/h. Solución.-

Q=640 pie3

min ( 1min60 s )( 0.3048m1 pie )

3

=0.302m3

s; ρ=

1.20kg

m3 ( 1 slug14.59kg )=0.08225 slugm3; la

rapidez de flujo de masa es: M=ρQ=0.08225 slugm3 (0.302m3

s )=0.0248 slugs

; y la

rapidez de peso es: W=γ .Q=

ρgQ=0.08225 slugm3 (32.2 pies

s2 )(0.302m3

s )=0.08225( lb . s2pies )( 1m3 )(32.2 piess2 )(0.302m

3

s ); W=0.8 lb

s→W=0.8 lb

s (3600 s1h )=2880 lbhB) Ecuación de Continuidad. En un sistema cerrado de conducción de flujo, el càlculo de la velocidad del fluìdo depende del principio de continuidad. En la Fig. el fluìdo fluye de la sección 1 a la sección 2 con rapidez constante. La cantidad de fluido que pasa por cualquier sección en un cierto tiempo dado es constante (se le llama “flujo constante”). En términos de la rapidez de masa como: M1 = M2; también M=Av; se tiene: 1 A1 v1 = 2 A2 v2 (Ec. de continuidad) es válido para todo fluido (gases, líquidos).Si el líquido es incompresible, los términos 1 = 2; entonces queda la ecuación de continuidad A1 v1 = A2 v2, aquí como Q = Av luego Q1 = Q2 se concluye la Ec. de continuidad para un flujo estable (líquidos), la rapidez de flujo d volumen es la misma en cualquier sección. También puede utilizarse con error pequeño para gases a bajas velocidades menores a 100 m/s.


1.- El agua fluye a 1.20 m/s en un conducto de 150 mm de diámetro. Calcule la velocidad de flujo en un conducto de 300 mm de diámetro que está conectado con el anterior; calcular la rapidez de de flujo de volumen.- Solución.- Por continuidad del flujo en ambos conductos: A1 v1 = A2 v2; la velocidad v2, será:

v2=v1( A1A2 )=1.20ms ( π (150mm )2/4π (300mm )2/4 )=1.20ms (0.25 )=0.30 m

s; y la rapidez de flujo de

volumen: Q1=A1 v1=π (150mm )2

4 (1.20ms )( 1m1000mm )

2

=0.212m3

s.

2. En una sección de un sistema de distribución de aire, el conducto tiene un área de 10 pulgadas cuadradas, y el aire, a 14.7 lb/pulg2 y 100 ºF tiene una densidad de 2.20 x 10-3 slugs/pie3 y peso específico de 7.09 x 10-2 lb/pie3, tiene una velocidad promedio de 1100 pies/min. En otra sección del mismo sistema, el conducto es redondo y tiene un diámetro de 16 pulg, y la velocidad se mide 800 pies/min. Calcule la densidad del aire en la sección redonda y la rapidez de flujo de peso del aire en libras por hora. Solución.- De acuerdo con la Ec. de continuidad para los gases, se tiene: ρ1 A1 v1=ρ2 A2 v2; asì pues, podemos calcular el área de las dos secciones y resolver

para 2: ρ2= ρ1( A1A2 )(v1v2 ); A1= (10 pulg )2=100 pulg2;

A2=π4

(D )22= π4

(16 pulg )2=201.06 pulg2. Entonces, la densidad del aire en la sección

redonda es:

ρ2=(2.20 x10−3 slugspie3 )( 100 pulg2

201.06 pulg2 )( 1100 pie /min800 pie /min )=1.504 x 10−3 slugspie3

.

La rapidez de flujo de peso es:

W=γ 1 A1 v1=(7.09 x10−2 lbpie3 )(100 pulg2 )( 1100 piesmin )( 1 pie2

144 pulg2 )( 60minh )=3,249.6 lb /h

.

3.- Determine la rapidez de flujo máxima permitida, en L/min, que puede producirse en un tubo de acero estándar que tiene un diámetro externo de 1.50 pulg y 0.075 pulg de grosor en las paredes, si la velocidad máxima debe ser 3.0 m/s.Solución: Utilizando la definición de rapidez de flujo de volumen, se tiene: Q = Av, el

área es: A=[ (1.50−2 x0.075 ) x 0.0254 ]2 x π4=9.2347 x10−4m2; entonces la rapidez de

flujo en volumen: Q=(9.2347 x10−4m2 )(3 ms )=2.77 x10−3m

3

s; convirtiendo a L/min, se

tiene: Q=2.77x 10−3 m3

s ( 60000 L/min1m3/s )=166.22 L/min.

4.- Determine el tamaño requerido de conducto de acero Calibre 40 estándar que lleve 3100 L/min de agua con una velocidad máxima de 5.50 m/s.Solución.- Como Q y v son conocidos, el área requerido se puede hallar de: Q = Av; A=Q/v. Primero debemos convertir la rapidez de flujo de volumen a unidades de m3/s.


Q=3100 Lmin ( 1

m3

s

60000L

min)=0.0516 m3

s; entonces el área:

A=Qv=0.0516m

3/s5.50m/ s

=9.394 x 10−3m2. Esto se debe interpretar como el área mínima

disponible, puesto que cualquier área menor producirìa una velocidad mayor que 5.5 m/s. Por consiguiente, debemos buscar en el apéndice F del libro un conducto estándar con un área de flujo justo mayor que 9.394 x 10 -3 m2 . Se requiere un conducto de acero Calibre 40 estándar de 5 pulg, con área de flujo de 1.291 x 10-2 m2. La velocidad real de flujo cuando este conducto lleva 0.0533 m3/s de agua es: v=Q/A

¿ 0.0533m3 /s1.291x 10−3m2

=4.13m /s; si se utilizara el conducto siguiente màs pequeño (un

conducto calibre 40 de 4 pulg), la velocidad producida sería: v=Q/A;

v= 0.0533m3 /s8.213x 10−3m2=6.50m /s, muy alta.

5.- En la figura, se muestra un intercambiador de calor que se utiliza para transferir calor desde el fluido que fluye dentro del tubo interior al que fluye en el espacio comprendido entre la parte exterior del tubo y la parte interior del casco cuadrado que rodea al tubo. Calcule la rapidez de flujo de volumen en gal/min que produciría una velocidad de 9 pies/s, tanto dentro del tubo como en el casco.Solución.- Utilizamos la fórmula para la rapidez de flujo de volumen, Q = Av para cada parte: a) Dentro del tubo de cobre tipo k de ½ pulg de tamaño nominal: Del apéndice se obtiene: ED=0.625 pulg; Diámetro interior ID = 0.527 pulg; grueso de la pared = 0.049

pulg, el área tubular: At=π4 ( 0.52712 pies)

2

=1.515 x 10−3 pie2. Entonces, la rapidez de

flujo de volumen dentro del tubo es: Qt=At v=(1.515 x10−3 pie2 ) (9 pies /s )=0.013635 pies3/s; convirtiendo a gpm:

Qt=0.013635pie3

s ( 449galmin

1pie3

s)=6.122 gal

min

b) Dentro del casco: el área del flujo neta es la diferencia entre el área dentro del casco cuadrado y la parte externa del tubo. Entonces:

A s=S2− π4ED2=(0.85 pulg )2−π

4(0.625 pulg )2=0.4157 pulg2; convirtiendo a pies2 se

tiene:


A s=0.4157 pulg21 pie2

144 pulg2=2.8868 x10−3 pie2. La rapidez de flujo requerida es

entonces: Qs=A s v=(2.8868 x10−3 pie2 ) (9 pies /s )=0.0259 pies3

s; convirtiendo a gpm:

Qs=0.0259pies3

s ( 449galmin

1pie3

s)=11.665 gal

min ; El cociente del flujo en el casco entre el flujo

en el tubo es: Cociente=Q s

Qt = 11.665

galmin

6.122galmin

=1.905

C. CONSERVACIÒN DE LA ENERGÌA-ECUACIÒN DE BERNOULLISe aprendió que la energía de un sistema, no se puede crear ni destruir, sino que puede ser transformada de un tipo a otro, ésta es la ley de conservación de la energía. Cuando se analiza conductos con fluidos, existen tres formas de energía, como ejemplo en la Fig. Está localizada a una cierta elevación (z), tiene una velocidad (v) y una presión (p). Las fórmulas de energía son:

1. Energía potencial (PE).- Es debida a la elevación y es con respecto a una línea de referencia: PE = W.z; donde W es el peso del elemento.

2. Energía cinética (KE).- Es debida a la velocidad, del elemento: KE = W.v2/2g3. Energía de flujo (FE=Flow Energy).- Es la energía de presión o el trabajo del

flujo, es la cantidad de trabajo necesario para mover al elemento de fluìdo a través de una cierta sección en contra a la presión: FE = W.p/

La ecuación de energía FE, se puede deducir en forma de trabajo = pAL = pV; donde la fuerza es pA, la presión es p y A es el área de la sección, se traslada el elemento un distancia L dentro de un volumen V, en forma de peso del elemento W = V en la que es el peso específico del fluido, entonces el volumen es V = W/ sustituyendo en el trabajo = p W/ = FE es la energía de flujo.

-La cantidad total de energía de estas tres formas que posee el elemento de fluido será

la suma. E=FE+PE+KE=℘γ

+wz+wv2/2g; cada uno de

estos términos se expresa en unidades de energía, newton-metro (N.m) en el sistema internacional o en pies-libra (pie.lb) en el sistema de unidades británicas.- Considerando ahora el elemento de fluido que se muestra en la figura, que se mueve de la sección(1) a la sección (2). Los valores de p, z y v son diferentes en las dos secciones.

En la sección (1) la energía total es: E1=w p1γ

+w z1+wv1

2

2 g.

Elemento delfluido

pA

L


En la sección (2) la energía total es: E2=w p2γ

+w z2+wv2

2

2g. Si no se agrega energía al

fluido o se pierde entre las secciones 1 y 2, entonces el principio de conservación de la energía requiere:

E1=E2→w p1γ

+w z1+w v1

2

2g=

w p2γ

+w z2+wv2

2

2gEl peso del elemento w es común a todo los términos y se le puede cancelar, la

ecuación, entonces, se convierte en: p1γ

+z1+v12

2 g=

p2γ

+z2+v22

2 gA ésta se conoce como ecuación de Bernoulli.C.1 Interpretación de la ecuación de Bernoulli.- A cada término de la Ec. de Bernoulli, resulta la energía poseída por el fluido por unidad de peso de fluido que fluye en el sistema. Las unidades de los términos se dan en newton-metro por newton (N.m/N) en el sistema SI y en el británico (lb.pie/lb). Es de notar que el N, lb se pueden cancelar, dejando solamente a una unidad de longitud, el metro (m) o el pie. Por tanto, a los términos se les conoce como “cabezas”:-El término: p/se le conoce como cabeza de presión.-El término: “z” se le llama cabeza de elevación.- El término: v2/2g se le conoce como cabeza de velocidad.La suma de los tres términos se les conoce como “cabeza total”. Cada termina corresponde una altura con respecto a una línea de referencia, se construye un Diagrama como se observa en la figura, es útil para visualizar la relación entre los tres tipos de energía, la cabeza total permanece constante. Entonces, la altura relativa de cada término de cabeza varía según lo establecido por la ecuación de Bernoulli.En la figura, la cabeza de velocidad en la sección 2 es menor que en el de la sección 1,

esto se demuestra con la Ec. de continuidad: A1 v1=A2 v2→v2=v1A1A2

; puesto que

A1<A2; y v2 debe ser menor que v1. Y como la velocidad está al cuadrado en el

término correspondiente a la cabeza de velocidad, v22

2g es mucho menor que

v12

2g.

También, cuando el tamaño de la sección se expande como se ve en la figura, la cabeza de presión aumenta debido a que disminuye la cabeza de velocidad. En suma, la Ec. de Bernoulli explica el cambio en las cabezas entre dos puntos de un sistema de flujo de fluido. Se supone también, que no hay pérdidas ni ganancias de energía por lo que la cabeza total permanece constante. Las presiones es conveniente expresarlo como manométrica.C.2 Restricciones a la Ecuación de Bernoulli.- La ecuación de Bernoullì se aplica a muchos problemas, pero existen algunas restricciones como: 1. Su validez es solo para fluidos incompresibles ya que su peso específico no varía.2. No debe considerar dispositivos mecánicos en ambas secciones ya que no debe añadirse ni quitarse energía, la Ec. establece energía total constante.3. No puede haber transferencia de calor adentro ni afuera del fluìdo.


4. No puede haber pérdida de energía por fricción.Màs adelante estas restricciones se considerarán en la ecuación general de energía.C.3 Procedimiento de aplicación de la ecuación de Bernoulli.1. Determinar que elementos son conocidos y que se va a encontrar.2. Decidir cuál de las dos secciones del sistema se utilizarán cuando se escriba la Ec. de Bernoulli. Se escoge una sección de la cual se conocen muchos datos. La segunda es, por lo general, la sección en la cual se debe calcular algo.3. Escribir la Ec. de Bernoulli para dos secciones elegidas en el sistema. Es recomendable que la dirección del flujo es de izquierda a derecha.4. Simplificar en lo posible con la cancelación de los términos cuyo valor es cero o de aquellos que son los mismos en ambos lados de la ecuación-5. Resolver la ecuación algebraicamente para el término deseado.6. Sustituir las cantidades conocidas y calcular el resultado, tener cuidado en el uso de unidades consistentes a lo largo del càlculo.

EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO (CONSIDERAR LA FIGURA DE C.1)1.En la figura parte de una tubería el agua a 10 ºC fluye de la sección 1 a la sección 2. En la sección 1 el diámetro es 20 mm y la presión manométrica es 300 kPa y la velocidad de flujo es de 2.8 m/s. La sección 2, tiene 40 mm de diámetro, está a 1.80 m sobre la sección 1. Suponiendo que no hay pérdidas de energía en el sistema, calcule la presión p2. Solución.- Listado de datos: D1=20 mm; D2=40 mm; v1= 2.8 m/s; p1=300 kPa; z1=0; z2=1.80 m luego z2 –z1 = 1.80 m; p2 =? En la figura las secciones son 1 y 2: en 1 se conoce p1; v1 y z1; en la sección 2 se tiene z2, se hallará p2 y

v2; con la Ec. de Bernoulli: p1γ

+z1+v12

2 g=

p2γ

+z2+v22

2 g

p2γ

=p1γ

+z1+v12

2g−z2−

v22

2g

p2=γ ( p1γ +z1+v12

2g−z2−

v22

2g ); agrupando cabezas: p2=p1+γ (z1−z2+v12−v2

2

2 g ). Otros

datos: g = 9.81 m/s2; del agua = 9.81 kN/m3. Se determinará v2 de la Ec. de

continuidad: A1v1=A2v2 v2 = v1(A1/A2); v2=v1(π D1

2

4

π D22

4)=v1( D1

2

D22 )=2.8ms ( 20mm

40mm )2

v2=14(2.8 m

s)=0.7 m

s; Ahora se sustituye los valores obtenidos en la Ec. de Bernoulli:

p2=300kPa+9.81 kNm3 (−1.80m+

(2.8ms )2

−(0.7 ms )

2

2(9.81 ms2

) ) p2=300kPa+9.81 kN

m3(−1.80m+0.3746m )=300kPa+9.81 kN

m3(−1.4254m)


p2=300kPa−13.983 kN

m2=300kPa−13.983kPa→ p2=286 kPa ; Esta presión es

manométrica, se desarrolló en función a p1 que es manométrica también.

C.4 Tanques, recipientes y boquillas expuestas a la atmósfera.

-En la figura se muestra un sifón que saca fluido del recipiente y lo arroja a través de una boquilla colocada al final del conducto. Es de observar, que la superficie libre del tanque (punto A) y la descarga en la boquilla (punto F) no están confinadas a fronteras sólidas sino a la atmósfera, por que las presiones PA y PF serán ceros, por consiguiente sus cabezas de presión serán ceros y se pueden cancelar.

-Otra observación, en la superficie libre del tanque se supone que está tranquilo y es muy grande con respecto a la superficie del conducto cerrado, por lo que la velocidad será muy pequeña vA = 0, y debe eliminarse su cabeza de velocidad.

-Cuando ambos puntos de referencia están en el mismo conducto.- Siguiendo el análisis en la figura los puntos: B, C, D y E se encuentran dentro del conducto y poseen un área de flujo uniforme y el flujo es estable, por lo que la velocidad será la misma a lo largo del conducto: vB=vC=vD=vE. Por lo que, sus cabezas de velocidad en ambos lados de la ecuación serían iguales y se cancelarían.

-Cuando la elevación es la misma en ambos puntos de referencia.- Si la elevación en los dos puntos de referencia usados en la Ec. de Bernoulli es la misma, estos términos se cancelan (zA, zB, zD). Las 4 observaciones analizadas facilitarán las simplificaciones en la solución de ejercicios similares al ejemplo considerado.

1. Ejemplo.- En la figura de arriba el sifón saca agua del estanque, con las mismas dimensiones que se dan. Calcule la rapidez de flujo de volumen a través del sifón y la presión en los puntos B, C, D y E. Solución.- 1.- cálculo de la rapidez de flujo de volumen Q, utilizando la Ec. Bernoulli, en este caso los puntos escogidos son A y F. Como se dijo antes en C.4; se tienen, en A:

pA=0, vA=0; en F: pF=0, zF = 2.5 m debajo de A. p A

γ+ zA+

v A2

2 g=

pF

γ+z F+

vF2

2g ; en esta Ec,

eliminando las cabezas de p y v queda: z A= zF+v F2

2g→vF=√ ( zA−zF )2 g; donde

z A− zF=2.5−0=2.5m→vF=√ (2.5m)2¿¿;a)Como Q = A.v Q = AF.vF; área de la boquilla AF = (/4)(20 mm)2= 314.16 mm2,

convirtiendo AF=314.16mm2( 1m2

106mm2 )=3.1416 x 10−4m2;


Q=3.1416 x 10−4m2(7 ms )=2.2 x10−3m

3

s

b) Cálculo de la presión pB; se escogerá los puntos A y B: p A

γ+ zA+

v A2

2 g=

pB

γ+zB+

vB2

2g en

esta Ec. pA=0, vA=0; z A=pB

γ+zB+

vB2

2 g arreglando: pB=γ [ ( z A−z B )−

v B2

2g ] en esta Ec.

( z A−zB )=0; ya que los puntos A y B están al mismo nivel. Pero antes se calculará la velocidad vB de la Ec.de continuidad: Q=AB.vB vB = Q/AB; se conoce Q pero no AB se calculará del conducto AB = (/4)(30 mm)2= 706.86 mm2, convirtiendo

AB=706.86mm2( 1m2

106mm2 )=7.0686 x10−4m2; la velocidad

vB=2.2x 10−3

m3

s7.0686 x10−4m2=3.1123

ms

; la cabeza es: vB2

2g=

(3.1123 ms )2

2x 9.81ms2

=0.494m. Ahora si

sustituyendo datos hallados en

pB=γ [−vB2

2g ]=9.81 kNm3 (−0.494m)=−4.846 kNm2=−4.846kPa; el signo negativo indica

una presión manométrica por debajo de la presión atmosférica, además en fluidos en movimiento pA≠ pB, el concepto de que puntos en el mismo nivel tienen la misma presión no se aplica como con los fluidos en reposo.

c) Cálculo de la presión en pC; similarmente se escogerá los puntos A y C: p A

γ+ zA+

v A2

2 g=

pC

γ+zC+

vC2

2g; en esta Ec. pA=0, vA=0; z A=

pC

γ+zC+

vC2

2 g; arreglando:

pC=γ [( z A−zC )−vC2

2g ]; ( z A−zC )=−1m; (negativo, porque zC > zA; también vB = vC =

3.1123ms

; (ya que AC = AB) en consecuencia las cabezas son iguales vC2

2g=

v B2

2g=0.494m

la presión en pC=9.81kN

m3(−1m−0.494m )=−14.656 kN

m2=−14.656kPa

d) Cálculo de la presión en pD; similarmente se escogerà los puntos A y D: p A

γ+ zA+

v A2

2 g=

pD

γ+zD+

vD2

2 g ; en esta Ec. pA=0, vA=0. También la elevación de los puntos

A, B y D son las mismas, por lo que zA=zB=zD se cancelarían en la Ec., también las velocidades en vB=vC=vD=vE son iguales ya que se encuentran en el mismo área y

conducto, entonces vD = vB; luego vD2

2g=

v B2

2g = 0.494m. La Ec. queda simplificada:

0=pD

γ+vD2

2 g

pD

γ=

−vD2

2g =

−v B2

2g = −0.494m; se concluye que la presión es

pD=γ (−0.494m)=9.81 kNm3

(−0.494m)=−4.846 kN

m2=−4.846kPa=pB. Las presiones

en B y D son iguales ya que la elevación y la velocidad son iguales.


e) Cálculo de la presión en E; escogiendo los puntos A y E: p A

γ+ zA+

v A2

2 g=

pE

γ+zE+

vE2

2 g;

en esta Ec. pA=0, vA=0; queda: z A=pE

γ+ zE+

v E2

2g; arreglando:pE=γ [ ( z A−zE )−

vE2

2 g ]; de la

figura z A− zE=2.50m. También las velocidades en vB=vC=vD=vE son iguales ya que se

encuentran en el mismo área y conducto, entonces vE = vB; luego vE2

2g=

v B2

2g = 0.494m.

Por último: pE=9.81kN

m3(2.50m−0.494m )=9.81 kN

m32.006m

Resulta: pE=19.678kN

m2=19.678kPa

RESUMEN DE LOS RESULTADOS DEL EJEMPLO RESUELTO.1.La velocidad de flujo en la boquilla y la rapidez de flujo de volumen en el sifón, dependen de la diferencia de elevación entre la superficie libre del fluido y la salida de la boquilla.2. La presión en el punto B está por debajo de la presión atmósfera, pese a que los puntos A y B están al mismo nivel y que A está expuesto a la atmósfera.3. La velocidad de flujo es la misma en todos los puntos en donde el tamaño del conducto es el mismo, cuando existe un flujo estable.4. La presión en el punto C es la mas baja del sistema, debido a que éste se ubica en el sitio más elevado.5. La presión en el punto D es la misma que la del punto B, debido a que ambos están a la misma altura y la cabeza de velocidad en ambos puntos es la misma.6. La presión en el punto E es la mayor del sistema debido a que este punto se encuentra en el sitio más bajo.

C.5 Medidores Venturi y otros sistemas cerrados con velocidades desconocidas.-En la figura se muestra un dispositivo conocido como medidor venturi, que se utiliza para medir velocidad de flujo en un sistema de flujo de fluido. El análisis se hará con la Ec. de Bernoulli. En la sección B con diámetro reducido ocasiona a que la velocidad aumente y disminuya la presión. Se ha de demostrar que la velocidad de flujo depende de la diferencia de presión entre los puntos A y B, por lo que se utiliza un manómetro diferencial entre ambos puntos.Ejemplo Ilustrativo:1.El medidor venturi mostrado en la figura lleva agua a 55 ºC. La gravedad específica del fluido manométrico (glicerina sg=1.26). Calcule la velocidad de flujo en la sección A y la rapidez de flujo de volumen de agua.Solución.- Datos: se conoce la diferencia de elevación entre los puntos A y B. Con el manómetro se obtiene la diferencia de presión entre los puntos A y B; también se conoce los diámetros de las secciones A y B. La velocidad no se conoce en ningún punto del sistema y se pide en vA . Es obvio que los puntos de interés son A y B. La Ec.


de Bernoulli: p A

γ+ zA+

v A2

2 g=

pB

γ+zB+

vB2

2g; el peso específico del agua a 55 ºC es 9.67

kN/m3. El arreglo en cabezas: p A−pB

γ+ ( zA−zB )=

v B2−v A

2

2 g; la diferencia en elevación es

z A− zB=−0.42m; el valor es negativo porque el punto A es màs alto que B. El peso

específico de la glicerina γ g=1.26 (γw a4 ºC )=1.26 (9.81kN /m3 )=12.36 kN

m3 . En la figura

no se tiene la distancia (y) en el manómetro. En la ecuación del manómetro empezando del punto A hasta llegar al punto B: pA+γw ( y )+γw (1m)−γ g (1m )−γw ( y )−γw (0.42m )=pB Es de notar que se cancela la presión en (y), arreglando: pA−pB=γw (0.42m−1m )+γ g (1m )=γw (−0.58m )+γ g (1m ), dividiendo:

p A−pB

γw

=−0.58m+γ g (1m )

γw=−0.58m+

12.36kN

m3(1m )

9.67kNm3

=−0.58m+1.278m→pA−pB

γw=0.698m

. El lado izquierdo de la Ec. de Bernoulli ya se evaluado, ahora se proseguirá con el miembro del lado derecho, con la Ec. de continuidad: AAvA=ABvB vB = vA(AA/AB);

vB=v A(π DA

2

4

π DB2

4)=v A ( DA

2

DB2 )=v A( 250mm

150mm )2

→v B=2.777 v A→vB2=7.711v A

2 ; se necesita

vB2−v A

2=7.711v A2−v A

2=6.711 v A2 →vB

2−v A2=6.711v A

2 . Podemos ahora tomar este resultado, la diferencia de cabezas de elevación y la cabeza de diferencia de presión y

sustituirlos en p A−pB

γ+ ( zA−zB )=

v B2−v A

2

2 g. Asì: 0.698 m −0.42m = 0.278 m =

6.711v A2

2g;

resolviendo para vA se obtiene: vA=√ 2g (0.278m )

6.711=√ 2(9.81ms2 ) (0.278m )

6.711=0.9015m /s

La rapidez de flujo de volumen es:

Q=A A v A=( π (0.25m )2

4 )(0.9015m / s)=0 .04425m3/ s = 44.25 Lps

C.6 TEOREMA DE TORRICELLIEn la figura, el fluido está fluyendo del lado de un tanque por una boquilla lisa y redonda. Para determinar la velocidad de flujo que se obtiene en la boquilla, se escribirá la ecuación de Bernoulli entre un punto de referencia en la superficie del fluido y un punto en el chorro que se obtiene de la boquilla:p1γ

+z1+v12

2 g=

p2γ

+z2+v22

2 g ; Las presiones en 1 y 2 son nulas están

expuestas a la atmósfera p1 = p2; además la velocidad v1

aproximadamente es cero. Entonces resolviendo para v2 se obtiene: v2=√2g ( z1−z2 ) ; Haciendo h = (z1 – z2), se obtiene:


v2=√2ghEsta ecuación se conoce como teorema de Torricelli en honor a Evangelista Torricelli, quien lo desarrolló en el año 1645.Ejemplo ilustrativo.- Para el tanque de la figura, la profundidad del fluido es h = 4 m, el diámetro del chorro en la boquilla es de 40 mm. Hallar la velocidad de salida en la boquilla y el caudal. Comente como variaría la velocidad y el caudal cuando disminuye el nivel del líquido al vaciarse.

a. Velocidad de salida: v2=√2gh=√2(9.81ms2 )(4m)=8.858m /s.

b. Caudal Q: Área del chorro: A=π4

(0.040m)2=1.256 x 10−3m2; el caudal será:

Q=A . v=1.256 x10−3m2(8.858 ms )=0.011m

3

s=11Lps

c. La velocidad y el caudal variarán disminuyendo de valor a medida que se descarga el fluido por la boquilla.Otra aplicación interesante del teorema de Torricelli se muestra en la figura siguiente, en la que el chorro de líquido es lanzado hacia arriba. El chorro alcanza una altura igual a la elevación de la superficie libre del fluido en el tanque. Al final de la altura de

elevación del chorro la velocidad es cero: p1γ

+z1+v12

2 g=

p2γ

+z2+v22

2 g; esta situación es

similar al desarrollo inicial del teorema de Torricelli: v2=√2gh; Ahora escribiendo la

Ec. de Bernoulli entre los puntos 2 y 3: p2γ

+z2+v22

2 g=

p3γ

+z3+v32

2g; aquí p2 = p3 = 0;

resolviendo para v3 se tiene: v3=√v22+2g ( z2−z3 ) ; sustituyendo v2 y z2 – z3 = -h ; resulta para v3: v3=√2gh+2 g(−h)=0; Este resultado verifica que el chorro alacanza la altura de la superficie libre del tanque.

Para hacer que un chorro alcance mayor altura (como se hace con algunas fuentes de ornato, por ejemplo), se puede desarrollar una mayor presión por encima del fluido en el recipiente, o se puede utilizar una bomba para obtener una mayor presión.Ejemplo ilustrativo.- Utilizando un sistema parecido al que se muestra en la figura, calcule la presión del aire requerida por encima de agua para hacer que el chorro suba 45 pies desde la boquilla. La profundidad, h es de 8 pies.Solución.- Primero se utiliza la Ec. de Bernoulli para obtener una expresión para la velocidad de flujo en la boquilla como función

de la presión del aire: p1γ

+z1+v12

2 g=

p2γ

+z2+v22

2 g; Aquí se verá que

v1 = 0 y que p2 = 0. Resolviendo para v2 se obtiene:

v2=√2g[( p1γ )+( z1−z2 )]; como antes, haciendo h = (z1 –z2), tenemos:


v2=√2g[( p1γ )+h]; esta ecuación es parecida al teorema de Torricelli, también

anteriormente se tuvo v=√2gh ; el chorro se elevará a una altura h. por analogía, el

sistema presurizado hará que el chorro se eleve a una altura: ( p1γ )+h , en este

ejercicio, si deseamos una altura de 45 pies y h = 8 pies:

p1γ

=45 pies−8 pies=37 pies;

p1=γ (37 pies )=(62.4 lbpie3 ) (37 pies ) 1 pie2

144 pulg2=16.03 lb

pulg2relat .

Por consiguiente la cabeza total por encima de la boquilla es ( p1γ )+h .

C.7 FLUJO DEBIDO A UNA CABEZA EN DESCENSOAnteriormente se demostró que la velocidad y la rapidez de flujo de volumen, que se obtiene de un orificio en un tanque, disminuye de manera no lineal conforme el fluido fluye del tanque y disminuye la profundidad del fluido. En este caso, se desarrollará el método para calcular el tiempo requerido para vaciar un tanque; en el ejemplo se muestra un tanque que posee una boquilla lisa y redonda en el fondo, a través del cual se descarga el fluido.Para una profundidad de fluido dada (h), el teorema de Torricelli dice que la velocidad de flujo en el chorro es: v j=√2gh . La rapidez de flujo de volumen que pasa por la boquilla es Q=A j v j (m3/s) ò (pies3/s). En una pequeña cantidad de tiempo dt, el volumen del fluido que pasa por la boquilla o sale es V j=Q (dt )=A j v j(dt ) . Mientras tanto, debido a que el fluido esta saliendo del tanque, el nivel de fluido disminuye, durante el pequeño incremento dt una profundidad o distancia dh; entonces el volumen que baja del tanque es Volumen removido V t=−At dh ; estos dos volúmenes deben ser iguales: A j v j (dt )=−At dh ; resolviendo

para el tiempo dt se tiene: dt=

−( A t

A j)

v j

dh; como

v j=√2gh→dt=

−( A t

A j)

√2ghdh=

−( A t

A j)

√2gh−1/2dh

. El tiempo requerido para que el nivel del

fluido descienda de una profundidad h1 a otra h2 se integrará:


∫t 1

t 2

dt=

−( At

A j)

√2 g ∫h1

h2

h−1 /2dh→t 2−t 1=

−( A t

A j)

√2g [ h21 /2−h11/2

1/2 ] invirtiendo los dos términos de (h)

y operando: t 2−t 1=

2( A t

A j)

√2 g (h11 /2−h21/2)

………(1)

Esta ecuación se puede utilizar para calcular el tiempo requerido para vaciar un tanque desde h1 hasta h2.Ejemplo.- Para el tanque que se muestra en la figura de arriba, encuentre el tiempo requerido para vaciarlo desde un nivel 2 m a 0.50 m. los diámetros del tanque 1.40 m y la boquilla 30 mm. Solución.- Para utilizar la ecuación (1) las áreas son:

At=π4

(1.40m )2=1.539m2→A j=π4

(0.03m )2=0.70686 x 10−3m2; el cociente de las

áreas: At

A j

= 1.539m2

0.70686 x10−3m2=2177.24 sustituyendo en la fórmula (1), se tiene:

t 2−t 1=2 (2177.24 )

√2 (9.81m /s2 )((2m )1/2−(0.50m )1/2 )=695.14 s; Esto

equivale a 11.585 min.C.7.1 Vaciado de un tanque presurizado.- Si el tanque de la figura de arriba, está sellado con una presión por encima de un

fluido, se debe agregar la cabeza piezomètrica (pγ) a la

profundidad real del fluido antes de llevar a cabo los cálculos que se deben realizar en La ecuación (1). C.7.2 Efecto del tipo de boquilla.- Si la boquilla tiene una forma más aguda, el diámetro mínimo del chorro es significativamente menor que el diámetro de la abertura. El área adecuada que se debe utilizar Aj en la ecuación (1) es la que tiene el diámetro más pequeño. Este punto conocido como la vena contracta, se presenta ligeramente fuera del orificio- Entonces aproximadamente Aj = 0.62 Ao

EJERCICIOS DE APLICACIÒN FLUJO DE FLUÌDOS Y LA ECUACIÒN DE BERNOULLI

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