EJERCICIOS DE GEOMETRÍA. PENDIENTES. 1º E.S.O.

Ejercicios resueltos y comentados.

I.E.S. La Asunción. © Mario Ortega González

Geometría Plana. E.S.O.

Esta presentación muestra las soluciones de los ejercicios que hay presentar obligatoriamente. Los ejercicios se han de trazar correctamente y atendiendo a las normas; no se borrarán las líneas de construcción y las soluciones se pasarán a tinta en negro o color rojo. Si algún ejercicio os sale mal y hay que repetirlo se hará en hoja aparte indicando su número correspondiente.

NORMAS BÁSICAS

Trazado y rotulación

Los lápices que se han de usar son de tres tipos:

A: Duro (3H o 2H) que con la punta afilada nos hace una línea fina y gris. Se utiliza para hacer toda la construcción del dibujo.

B: Medio (HB) lo usamos para dibujos a mano, croquis, escritura y para destacar elementos.

C: Blando (2B) hace una línea negra y gruesa y se usa para aristas, soluciones, sombras, etc.

Los rotuladores se utilizan para soluciones y se clasifican por sus grosores, los básicos son:A. 0,2mm. para acotaciones, rayados, ejes …B. 0,4mm. para representar aristas ocultas.C. 0,8mm. para aristas visibles y soluciones en general.

La presentación básica será:Líneas de construcción, letras, números y demás en lápiz 2H.Soluciones en rotulador negro o rojo de grosor mínimo 0,5 mm.

SEGMENTOS Y ÁNGULOS

Mediatriz de un segmento.

Es el lugar geométrico equidistante a los extremos de un segmento. Como consecuencia de esto podemos hacer tres cosas:

1. Dividir un segmento en dos partes iguales.

2. Dibujar infinitos arcos que pasen por los extremos.

3. Trazar ángulos de 90º .

1.1. Trazar la mediatriz del segmento.

Mediatriz de un segmento.1.1. Trazar la mediatriz del segmento.

Procedimiento:

1. Haciendo centro en los extremos A y B trazamos dos parejas de arcos que se crucen, la medida del radio es indiferente, lo importante es que sean iguales.

2. Trazamos una recta que pase por los dos cruces y tenemos la mediatriz.

Perpendicularidad entre segmentos.

Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo que forman entre si es de 90º.

La geometría que utilizaremos es la de compás y el fundamento del trazado esta está basado en lo aprendido en el tema mediatriz de un segmento.

1.2. Trazar la perpendicular que pasa por el punto.

Perpendicularidad entre segmentos.

Procedimiento:

1. Haciendo centro en P trazamos un arco cualquiera y localizamos dos puntos equidistantes A y B.

2. Dibujamos dos arcos de radios iguales que se corten, uno con centro en A y el otro en B.

3. Unimos el cruce de arcos y el punto P y tenemos la recta perpendicular.

1.2. Trazar la perpendicular que pasa por el punto.

Perpendicularidad entre segmentos.

Vamos a pensar que C está en la mediatriz de un segmento imaginario, de esta manera con dos puntos equidistantes de C podremos obtener un tercero equidistante que unido a C nos dará la solución.

1.3. Trazar la perpendicular que pasa por C

Perpendicularidad entre segmentos.

Procedimiento:

1. Con un radio cualquiera y con centro en C, trazamos el arco que pasa por A y B, que son dos puntos equidistantes.

2. Ahora se trazan dos arcos iguales que se crucen, con centros en A y B.

3. Unimos C con el cruce de arcos y tenemos la recta.

1.3. Trazar la perpendicular que pasa por C

Perpendicularidad entre segmentos.

La semirecta es una línea infinita pero de origen conocido.

Para trazar la perpendicular vamos a utilizar un procedimiento basado en la división de la circunferencia, en cuyo fundamento se profundizará más adelante.

1.4. Trazar la perpendicular que pasa por el extremo de la semirecta.

Perpendicularidad entre segmentos.

Procedimiento:

1. Con centro en O trazamos un arco cualquiera.

2. Con el mismo radio utilizado trazamos los tres arcos con centros en 1,2 y 3.

3. La recta perpendicular pasa por 4 y O

1.4. Trazar la perpendicular que pasa por el extremo de la semirecta.

Paralelismo entre segmentos.

Un recta paralela es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de otra. Para dibujarla existen varios métodos yo he escogido el del semicírculo.

1.5. Trazar la recta paralela a la dada que pasa por P.

Paralelismo entre segmentos. Procedimiento:

1. Hacemos centro en un punto cualquiera y con radio hasta P trazamos un semicírculo.

2. Con centro en un extremo y radio hasta P trazamos un arco, luego trazamos su contrario y tendremos P’.

3. Unimos los dos puntos P y P’ y ya tenemos la solución.

1.5. Trazar la recta paralela a la dada que pasa por P.

Proporcionalidad. Teorema de Thales.

La proporcionalidad consiste en que los quebrados formados por los segmentos a, b y c con sus respectivas partes de m son iguales entre si, es decir, a:a’=b:b’=c:c’=x.

Si trazamos una línea desde un extremo del m con un ángulo cualquiera y las seccionamos con rectas paralelas, las divisiones que se forman son proporcionales.

1.6. Dividir el segmento m en partes proporcionales a los tres segmentos:

Proporcionalidad. Teorema de Thales.

Procedimiento:

1. Con cualquier ángulo trazamos una línea recta desde el punto 0.

2. Colocamos consecutivamente los segmentos a, b y c.

3. Unimos el final de c con el extremo de m y trazamos paralelas desde a y b y ya tenemos los segmentos proporcionales a’, b’ y c’.

1.6. Dividir el segmento m en partes proporcionales a los tres segmentos:

Proporcionalidad. Teorema de Thales. Para dividir un segmento en x partes iguales aplicaremos el teorema de Thales.

Utilizaremos segmentos iguales entre si que nos darán en el segmento A,B sus proporcionales que también lo serán.

1.7. Dividir el segmento en 7 partes iguales.

Proporcionalidad. Teorema de Thales.

Procedimiento:

1. Trazamos una recta desde A de ángulo indiferente.

2. Dibujamos consecutivamente siete unidades iguales.

3. El final 7 lo unimos con el extremo B y trazamos rectas paralelas desde todas las partes quedando A,B dividido en siete partes.

4. Solo nos queda numerar las partes de 0 a 7.

1.7. Dividir el segmento en 7 partes iguales.

Ángulos. Igualdad.

Un ángulo es la apertura entre dos rectas que cortan, se representa con un arco de circunferencia, se identifica, por norma, con una letra griega, y se mide en grados.

Los ángulos se dividen en tres categorías:

1. Agudos, tienen menos de 90º.

2. Rectos, tienen 90º.

3. Obtusos, con más de 90º.

Para repetir un ángulo basta con repetir el mismo arco y la misma cuerda.

2.1. Dibujar un ángulo igual al dado.

Ángulos. Igualdad.

Procedimiento:

1. Dibujamos la cuerda A,B en el arco dado.

2. Trazamos sobre una línea un arco con el mismo radio (V,B) y tenemos V’,B’.

3. Repetimos la cuerda (B,A) y localizamos el punto A’.

4. Con inicio en V’ y pasando por A’ trazamos la línea que completa el ángulo.

2.1. Dibujar un ángulo igual al dado.

Ángulos. Suma.

Se trata de unir consecutivamente los dos ángulos de tal manera que coincidan los vértices.

La clave de las operaciones con ángulos es operar siempre con el mismo radio.

2.2. Sumar los ángulos.

Ángulos. Suma. Procedimiento:

1. Dibujamos dos arcos de radios iguales con sus cuerdas en los ángulos dados.

2. Trazamos una semirecta y desde su origen V’ dibujamos un arco amplio con el mismo radio que los dos anteriores.

3. Sobre el arco trazamos consecutivamente las cuerdas D’,C’ y B’,A’.

4. Hacemos pasar por A’ una semirecta que sale de V’ y ya tenemos el ángulo resultante.

2.2. Sumar los ángulos.

Ángulos. Resta.

Para restar ángulos dibujamos el ángulo mayor y después colamos el pequeño encima haciendo coincidir los vértices y un lado. Lo que sobresalga del pequeño será la diferencia.

2.3. Restar los ángulos.

Ángulos. Resta. Procedimiento:

1. Con el mismo radio trazamos un arco y sus cuerdas en cada ángulo dado

2. Dibujamos una semirecta y con centro en V’ trazamos un arco con el radio anterior

3. En el arco colocamos la cuerda igual a A,B y tenemos A’,B’, ahora desde B’ y con dirección A’ colocamos la cuerda D,C y tenemos D’,C’.

4. Tenemos como resultado el ángulo C’,V’,A’.

2.3. Restar los ángulos.

Ángulos. Bisectriz.

Bisectriz es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes a los dos lados de un ángulo. Como consecuencia de esto la bisectriz es el lugar medio y con ella podemos dividir un ángulo en dos partes iguales.

2.4. Hallar la bisectriz del ángulo.

Ángulos. Bisectriz.

Procedimiento:

1. Como el vértice del ángulo es parte de la bisectriz, dibujamos un arco con centro en V y localizamos A y B que son dos puntos equidistantes.

2. Ahora con centro en A y B dibujamos dos arcos de radios iguales que se corten en C.

3. Por último, naciendo en V y pasando por C trazamos la bisectriz.

2.4. Hallar la bisectriz del ángulo.

Ángulos. Bisectriz de dos rectas concurrentes.

Si seccionamos las dos rectas concurrentes con una tercera, se originan cuatro ángulos; el cruce de las cuatro bisectrices tomadas de dos en dos, localizarán dos puntos de la bisectriz que buscamos.

2.5. Hallar la bisectriz de las rectas concurrentes.

Ángulos. Bisectriz de dos rectas concurrentes.

Procedimiento:

1. Trazamos una línea que corte a s y t y tenemos dos parejas de ángulos con vértice en A y A’ respectivamente.

2. Las bisectrices de los cuatro ángulos se cortan dan dos puntos B y C.

3. Trazamos una recta que pase por B y por C y ya tenemos la bisectriz.

2.5. Hallar la bisectriz de las rectas concurrentes.

Circunferencia. Hallar su centro.

Sabemos que para que un arco pase por dos puntos su centro tiene que estar en la mediatriz.por lo tanto para que un arco pase por tres puntos su centro estará en el cruce de las mediatrices de las cuerdas que forman los tres puntos.

3.1. Trazar la circunferencia que pasa por los tres puntos.

Circunferencia. Hallar su centro.

Procedimiento:

1. Trazamos dos cuerdas A,B y A,C.

2. Hallamos sus mediatrices.

3. Con el cruce de las mediatrices tenemos el centro.

4. Con centro en O y radio hasta cualquiera de los puntos trazamos la circunferencia.

3.1. Trazar la circunferencia que pasa por los tres puntos.

Circunferencia. Hallar su centro.

Trazamos dos cuerdas y con sus mediatrices obtenemos el centro.

3.2. Hallar el centro de la circunferencia.

Circunferencia. Hallar su centro.

Procedimiento:

1. Trazamos dos cuerdas A,B y A,C.

2. Hallamos sus mediatrices.

3. Con el cruce de las mediatrices tenemos el centro O.

3.2. Hallar el centro de la circunferencia.

Circunferencia. División en partes iguales Para dividir la circunferencia en partes iguales lo vamos a hacer por un método general de geometría proyectiva que relaciona la división del diámetro en x partes iguales con dos focos exteriores que están alejados a su vez un diámetro de los extremos.

3.7. Dividir la circunferencia en 9 partes iguales.

Circunferencia. División en partes igualesProcedimiento:

1. Usando el teorema de Thales dividimos el diámetro en 9 partes.

2. Con centro en los extremos y con radio el mismo diámetro, trazamos dos arcos que nos hallan los dos focos F’ y F’’.

3. Desde los focos trazamos rectas que pasan por las partes del diámetro tomadas de dos en dos y se crean las divisiones 1, 2 y 3…

3.7. Dividir la circunferencia en 9 partes iguales.

POLÍGONOS

Polígonos. Definición y clases.

• 8 Octógono• 9 Eneágono• 10 Decágono• 11 Undecágono• 12 Dodecágono

TRIÁNGULOS

Triángulos. Definición y clasificación.

Un Triángulo es un polígono formado con tres lados.

Definición:

Los tres lados iguales

Dos lados iguales

Tres lados desiguales

Los tres ángulos agudos

Un ángulo recto

Un ángulo obtuso

Triángulos. Puntos notables. Circuncentro.

Procedimiento:

1. Dibujamos las mediatrices de los lados y en el cruce está la solución C

2. Trazamos la circunferencia circunscrita.

4.1. Hallar el circuncentro. El Circuncentro es el lugar geométrico equidistante a los vértices de un triángulo.

Se obtiene con el cruce de las mediatrices.

Triángulos. Puntos notables. Incentro.

Procedimiento:

1. Dibujamos las bisectrices de los ángulos y en el cruce está la solución I.

2. Trazamos la circunferencia inscrita.

4.2. Hallar el incentro.

El Incentro es el lugar geométrico equidistante de los lados de un triángulo.

Se obtiene con las bisectrices de los ángulos.

Triángulos. Puntos notables. Ortocentro.

Procedimiento:

1. Dibujamos las perpendiculares desde los vértices a sus lados opuestos y el cruce es el ortocentro.

2. Unimos los puntos de las alturas situados en los lados y tenemos el triángulo órtico.

4.3. Hallar el ortocentro y trazar el triángulo órtico. El Ortocentro es el cruce de las

alturas del triángulo. El triángulo órtico se obtiene uniendo los puntos de cruce de las alturas con los lados. Las bisectrices del triángulo órtico coinciden con las alturas.

Triángulos. Puntos notables. Baricentro.

Procedimiento:

1. Hallamos las mitades de los lados M, M’ y M’’.

2. Dibujamos las medianas desde los vértices a las mitades de sus lados opuestos y el cruce es el Baricentro.

4.4. Hallar el baricentro. Las medianas son las líneas que van de la mitad de un lado al vértice opuesto y dividen el triángulo en superficies iguales.

El Baricentro es el cruce de las medianas y es el centro de equilibrio del triángulo.

Triángulos. Triángulo escaleno.

Procedimiento:

1. Dibujamos uno de los lados como base. Por ejemplo a.

2. Haciendo centro en los extremos trazamos dos arcos uno con radio b y otro con c , y el cruce tenemos el tercer vértice.

4.5.1. Dibujar un triángulo escaleno conociendo sus tres lados: a= 70; b= 60 y c= 45mm.

Triángulos. Triángulo escaleno.

Procedimiento:

1. El ángulo comprendido es el que está entre a y b.

2. Dibujamos a como base y desde un extremo levantamos el lado del ángulo de 45º.

3. Con centro en el vértice del ángulo trazamos un arco de radio b y ejercicio resuelto.

4.5.2. Dibujar un triángulo escaleno conociendo, dos lados y el ángulo comprendido:a=65; b=75mm. y =45º

Triángulos. Triángulo isósceles.

Procedimiento:

1. El triángulo isósceles tiene un lado que se repite. Yo voy a considerar b como base y a como lado que se repite.

2. Dibujamos la base y haciendo centro en sus extremos trazamos dos arcos de radio a que se cruzan en el vértice que cierra el triángulo.

4.6.1. Dibujar un triángulo isósceles conociendo dos lados: a= 35 y b= 50mm.

Triángulos. Triángulo isósceles.

Procedimiento:

1. El triángulo isósceles es simétrico y su altura coincide con el diámetro de la circunferencia.

2. Dibujamos la circunferencia y su diámetro vertical.

3. Colocamos con un arco la altura desde el extremo superior del diámetro.

4. Trazamos una perpendicular a la altura que corte la circunferencia y tenemos los dos vértices de la base que faltaban.

4.6.2. Dibujar un triángulo isósceles conociendo, la altura y el radio de la circunferencia circunscrita:h= 50 y r= 30mm.

Triángulos. Triángulo rectángulo.

Procedimiento:

1. Dibujamos el cateto c como base y desde un extremo levantamos un ángulo de 90º.

2. Desde el otro extremo de c hacemos centro de un arco de radio la hipotenusa que se cortará con la perpendicular anterior y ya tenemos el vértice que faltaba.

4.7.1. Dibujar un triángulo rectángulo conociendo, la hipotenusa y un cateto: hip= 80 y c=60.

Triángulos. Triángulo rectángulo.

Procedimiento:

1. Dibujamos un ángulo de 30º. En un lado ira un cateto como base y en el otro la hipotenusa.

2. En el vértice del ángulo hacemos centro y con un arco colocamos la hipotenusa.

3. En el otro lado del ángulo trazamos una perpendicular que pase por el extremo de la hipotenusa y a rotular.

4.7.2. Dibujar un triángulo rectángulo conociendo, la hipotenusa y uno de los ángulos:hip= 75 y = 30º.

Triángulos. Triángulo equilátero.

Procedimiento:

1. Como en el triángulo equilátero todos los lados miden igual, hacemos dos arcos con radio el propio lado y centro en los extremos y en el cruce tendremos el vértice que falta.

4.8.1. Dibujar un triángulo equilátero.

CUADRILÁTEROS

Cuadriláteros. Definición y clases.

Cuadriláteros. Paralelogramos. Cuadrado.

Procedimiento:

Como la diagonal del cuadrad es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

1. Dibujamos una circunferencia con radio la semidiagonal.

2. Trazamos dos diámetros perpendiculares.

3. Por último unimos los cuatro extremos de los diámetros.

5.1.1. Dibujar un cuadrado conociendo su diagonal: d= 65mm..

Cuadriláteros. Paralelogramos. Rectángulo. Procedimiento:

1. Dibujamos el ángulo de 30º y trazamos una perpendicular a la base desde su vértice.

2. Colocamos la diagonal y desde su extremo superior trazamos una perpendicular y una paralela al otro lado.

3. En los cruces tenemos los vértices del rectángulo.

5.2.1. Dibujar un rectángulo conociendo la diagonal y uno de los ángulos que determina con un lado: d= 80mm. y =30º.

Cuadriláteros. Paralelogramos. Rombo. Procedimiento:

1. Como las diagonal son mediatrices la una de la otra, dibujamos una de ellas por ejemplo d’ y hallamos su mediatriz.

2. Ahora con un arco de radio la semidiagonal de d’’ localizamos los dos vértices que faltan para dibujar el rombo.

5.3.1. Dibujar un rombo conociendo las dos diagonales: d'= 40 y d"= 55mm..

Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio. Procedimiento:

1. Dibujamos la base b, tramos una perpendicular desde un extremo y medimos la altura h.

2. A esa altura trazamos una paralela a la base.

3. Por último desde el vértice del ángulo recto dibujamos un arco de radio la diagonal que se cortará con la citada paralela para localizar el vértice que falta.

5.4.1. Dibujar un trapecio rectángulo conociendo; la base mayor, una diagonal y la altura: b= 75; d=65 y h=50mm..

Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio.

Procedimiento:

1. Para localizar la altura dibujamos un triángulo formado base, lado y diagonal.

2. Ahora dibujamos otro al revés y ya tenemos los cuatro vértices del trapecio isósceles.

5.5.1. Dibujar un trapecio isósceles conociendo la base mayor, el lado y la diagonal: b= 70; l= 45 y d= 65mm..

POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS Y ESTRELLADOS

Polígonos convexos. Triágono.

Procedimiento:

1. Se traza un diámetro y con centro en un extremo y con el mismo radio trazamos un arco que corta en los vértices 2 y 3.

2. El tercer vértice es el otro extremo del diámetro 1.

6.1.1. Inscribir un triágono en la circunferencia.

Polígonos convexos. Tetrágono.

Procedimiento:

1. Se trazan dos diámetros perpendiculares y ya está dividida la circunferencia en cuatro partes iguales.

6.1.2. Inscribir un tetrágono en la circunferencia.

Polígonos convexos. Pentágono.

Procedimiento:

1. Dibujamos dos diámetros perpendiculares.

2. Se halla el punto medio del radio M.

3. Con radio M,1 trazamos el arco 1,N cuya cuerda es lo que mide cada lado.

4. Tomamos la medida del lado con el compás y vamos obteniendo las cinco divisiones consecutivamente en la circunferencia.

6.1.3. Inscribir un tetrágono en la circunferencia.

Polígonos cóncavos. Pentágono estrellado. Procedimiento:

1. Los polígonos estrellados son polígonos cóncavos en los que su trazado tiene que terminar donde comienza. Cuando la figura está formada por dos o mas polígonos decimos que es una falsa estrella. A la manera de unir las divisiones de la circunferencia de dos en dos, de tres en tres, etc, se denomina número de orden.

2. Para hacer la estrella dividimos la circunferencia en cinco partes y las unimos de dos en dos y tenemos un pentágono estrellado de segundo orden.

6.1.4. Trazar un pentágono regular estrellado inscrito en la circunferencia.

Polígonos convexo. Hexágono.

Procedimiento:

1. El lado del hexágono es igual al radio de la circunferencia.

2. Con el radio hallamos las seis divisiones y las unimos consecutivamente.

6.1.5. Inscribir un hexágono regular en la circunferencia.

Polígonos cóncavos. Estrella hexagonal.

Procedimiento:

1. Dividimos en seis partes la circunferencia.

2. Dibujamos los lados de dos en dos, es decir, de segundo orden.

3. Como hemos necesitado dos triágonos para hacerla, decimos que es una falsa estrella.

6.1.6. Trazar una estrella regular de seis puntas inscrita en la circunferencia.

Polígonos convexos. Heptágono.

Procedimiento:

1. El lado del heptágono es igual a la distancia desde la mitad del radio M hasta la circunferencia.

2. Hacemos las divisiones y las unimos consecutivamente.

6.1.7. Inscribir un heptágono regular en la circunferencia.

Polígonos cóncavos. Heptágono estrellado.

Procedimiento:

1. Dividimos en siete partes la circunferencia igual que en el polígono convexo.

2. Como es de tercer orden unimos las divisiones de tres en tres.

6.1.8. Inscribir en la circunferencia, un heptágono regular estrellado de tercer orden.

Polígonos convexo. Octógono.

Procedimiento:

1. Para dividir en ocho partes la circunferencia trazamos dos diámetros perpendiculares y sus bisectrices.

2. Numeramos los vértices y dibujamos los lados .

6.1.9. Dibujar un octágono regular inscrito en la circunferencia.

Polígonos cóncavo. Octógono estrellado.

Procedimiento:

1. Dividimos en ocho partes la circunferencia y unimos los vértices de tres en tres.

6.1.10. Trazar un octágono regular estrellado de tercer orden, inscrito en la circunferencia.

Polígonos convexo. Decágono.

Procedimiento:

1. Con radio M,1 trazamos el arco 1,N.

2. La distancia desde el centro a N es la medida del lado.

3. Ahora transportamos consecutivamente el lado por la circunferencia.

6.1.13. Inscribir un decágono regular en la circunferencia.

Polígonos cóncavo. Decágono estrellado.

Procedimiento:

1. Dividimos en diez partes la circunferencia y unimos de tres en tres.

6.1.14. Dibujar un decágono regular estrellado, de tercer orden, inscrito en la circunferencia.

SIMETRÍA

Simetría axial.7.2.1. Dibujar la figura simétrica a la dada.

La simetría es la igualdad inversa. En la simetría axial los puntos están relacionados entre si perpendicularmente con un eje.

Simetría axial.

Procedimiento:

1. Desde los vértices de la figura trazamos perpendiculares al eje,

2. Repetimos a la inversa las distancias de los puntos al eje y hallamos los puntos simétricos A’, B’… que después unimos.

7.2.1. Dibujar la figura simétrica a la dada.

Simetría central.7.2.2. Trazar la figura simétrica a la dada.

La simetría central es la igualdad inversa donde los puntos simétricos están relacionados entre si con un punto, centro de simetría.

Simetría central.

Procedimiento:

1. Desde los vértices de la figura trazamos rectas que pasen por el centro de simetría.

2. Repetimos a la inversa las medidas de los puntos al centro y hallamos los puntos simétricos A’, B’… que después unimos.

7.2.2. Trazar la figura simétrica a la dada.

CURVAS PLANASEspiral, Óvalo y Ovoide y Curvas Cónicas

Curvas planas. Espiral.

Procedimiento:

1. Dibujamos una línea recta y situamos los dos centros. El espacio queda dividido en dos, en uno haremos los arcos con un centro y biceversa con el otro.

2. El primer radio que usaremos es de 5mm. y el centro será O2, después iremos al otro centro y dibujaremos el siguiente arco con radio hasta el final del anterior, y así iremos alternando uno y otro sucesivamente.

12.7. Trazar un espiral de dos centros. La distancia entre centros es de 5mm.

La espirales son curvas planas que se van abriendo continuamente. Las que vamos a dibujar nosotros realmente son falsas espirales, por que su crecimiento es por facetas, son arcos hechos con dos o más centros

Curvas planas. Espiral.

Procedimiento:

1. Dibujamos un hexágono de 5mm. de lado y en cada vértice situamos un centro.

2. Prolongando los lados trazamos seis ángulos que delimitan los espacios para cada arco y centro.

3. Con centro en 2 y radio hasta 1 trazamos el primer arco y luego sucesivamente vamos cambiando de centro y aumentando el radio hasta el final del arco anterior.

12.8. Trazar una espiral cuyos 6 centros equidistan 5mm.

Curvas planas. Óvalo.

Procedimiento:

1. Dibujamos la mediatriz del eje menor.

2. En los extremos del eje menor tenemos dos de los cuatro centros que vamos a usar.

3. Trazamos una circunferencia con diámetro el eje menor y su cruce con la mediatriz determina los dos centros que faltaban.

4. Unimos los centros y ponemos los límites de los cuatro arcos.

5. Por último, con centro en O1 radio A,B dibujamos el primer arco, con O2 hacemos lo mismo y con O3 y O4 cerramos la curva.

12.1. Dibujar un óvalo conociendo el eje menor.

El Óvalo es una curva plana cerrada formada por cuatro o más arcos y es simétrica respecto de sus dos ejes.

Curvas planas. Óvalo.

Procedimiento:

1. Dividimos en tres partes el eje mayor y tenemos dos centros, O3 y O4.

2. Trazamos dos circunferencias de radio un tercio del eje mayor y sus cortes nos dan los dos centros que faltaban O1 y O2 .

3. Con rectas que pasan por los centros dibujamos los límites de los cuatro arcos

4. Los arcos de O3 y O4 ya los tenemos, solo nos falta cerrar los otros dos.

12.2. Trazar un óvalo conociendo el eje mayor.

Curvas planas. Ovoide.

Procedimiento:

1. Dibujamos la mediatriz de C,D y tenemos el lugar geométrico del eje simétrico.

2. En los extremos del eje tenemos dos centros, O3 y O2 y en la mitad del eje otro O1.

3. Trazamos la circunferencia de diámetro C,D y tenemos por un parte la semicircunferencia y por otra el centro O4 en su cruce con la mediatriz.

4. Con los centros dibujamos las líneas límites de los arcos y luego los trazamos.

12.4. Trazar un ovoide conociendo el eje asimétrico.

El Ovoide es una curva plana cerrada. Es simétrica respecto de su eje mayor y está dividida en en semicírculo y semióvalo por su eje menor o asimétrico.

Curvas planas. Ovoide.

Procedimiento:

1. Dividimos el eje en 6 partes, en la quinta hay un centro, O4 y en la segunda trazamos el lugar geométrico del eje asimétrico y también tenemos el centro O1 de la semicircunferencia.

2. Con dos unidades como radio localizamos en el exterior del eje asimétrico los centros O2 y O3.

3. Ahora dibujamos los límites de los arcos uniendo los centros y los trazamos.

12.5. Dibujar un ovoide conociendo el eje simétrico.

I.E.S. La Asunción. © Mario Ortega González

Fin