Ejercicios Transformada
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Universidad Nacional De Colombia Facultad De Ingenier´ ıa Departamento De Ingeniera El´ ectrica Y Electr´ onica Se˜ nales y Sistemas I 2013-I Ing. Jenny A. Cifuentes 17 de junio de 2013 Se˜ nales y Sistemas I Ejercicios Serie de Fourier Tiempo continuo Se˜ nal triangular 1. Sea x(t) una se˜ nal triangular peri´ odica como se muestra en la figura 1 Figura 1: Se˜ nal Triangular Obtenga la serie de Fourier correspondiente. Soluci´on Usamos la expresi´ on para hallar la serie de Fourier en tiempo continuo X [k]= 1 T (T ) x(t)e -jkω0 t De esta manera aplicandola al caso particular tenemos X [k]= 1 2 1 0 te -jkω0t + 0 -1 -te -jkw0t X [k]= 1 2 1 0 te -jkω0t - 0 -1 te -jkw0t Integramos por partes udv = uv - vdu 1
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La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:
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Universidad Nacional De ColombiaFacultad De IngenierıaDepartamento De Ingeniera Electrica Y Electronica
Senales y Sistemas I2013-I
Ing. Jenny A.Cifuentes
17 de junio de 2013
Senales y Sistemas IEjercicios Serie de FourierTiempo continuo
Senal triangular
1. Sea x(t) una senal triangular periodica como se muestra en la figura 1
Figura 1: Senal Triangular
Obtenga la serie de Fourier correspondiente.Solucion
Usamos la expresion para hallar la serie de Fourier en tiempo continuo
X [k] =1T
!
(T )x(t)e!jk!0t
De esta manera aplicandola al caso particular tenemos
X [k] =12
"! 1
0te!jk!0t +
! 0
!1!te!jkw0t
#
X [k] =12
"! 1
0te!jk!0t !
! 0
!1te!jkw0t
#
Integramos por partes !udv = uv !
!vdu
1
Universidad Nacional De ColombiaFacultad De IngenierıaDepartamento De Ingeniera Electrica Y Electronica
Senales y Sistemas I2013-I
Donde u = t, du = dt, v = ! e!jkw0t
jkw0, y dv = e!jkw0tdt
De esta manera ! 1
0te!jk!0t = ! te!jkw0t
jkw0
$$$1
0+
! 1
0
e!jkw0t
jkw0dt
! 1
0te!jk!0t = ! te!jkw0t
jkw0
$$$1
0+
e!jkw0t
k2w20
$$$1
0
! 1
0te!jk!0t = !e!jkw0
jkw0+
e!jkw0
k2w20
! 1k2w2
0
Ası mismo ! 0
!1te!jk!0t = ! te!jkw0t
jkw0
$$$0
!1+
! 0
!1
e!jkw0t
jkw0dt
! 0
!1te!jk!0t = ! te!jkw0t
jkw0
$$$0
!1+
e!jkw0t
k2w20
$$$0
!1
! 0
!1te!jk!0t = !ejkw0
jkw0+
1k2w2
0
! ejkw0
k2w20
Aplicando la expresion para la serie de Fourier tenemos
X [k] =12
"!e!jkw0
jkw0+
e!jkw0
k2w20
! 1k2w2
0
#! 1
2
"!ejkw0
jkw0+
1k2w2
0
! ejkw0
k2w20
#
X [k] =12
"!e!jkw0
jkw0+
e!jkw0
k2w20
! 1k2w2
0
+ejkw0
jkw0! 1
k2w20
+ejkw0
k2w20
#
X [k] =12
"ejkw0 ! e!jkw0
jkw0+
ejkw0 + e!jkw0
k2w20
! 2k2w2
0
#
X [k] ="sin(kw0)
kw0+
cos(kw0)k2w2
0
! 1k2w2
0
#
Senal Diente de Sierra
1. Sea x(t) una senal diente de sierra periodica como se muestra en la figura 2
Obtenga la serie de Fourier correspondiente.
Solucion
Usamos la expresion para hallar la serie de Fourier en tiempo continuo
X [k] =1T
!
(T )x(t)e!jk!0t
2
Universidad Nacional De ColombiaFacultad De IngenierıaDepartamento De Ingeniera Electrica Y Electronica
Senales y Sistemas I2013-I
Figura 2: Senal Diente de Sierra
De esta manera aplicandola al caso particular tenemos
X [k] =12
"! 1
!1te!jk!0t
#
Integramos por partes !udv = uv !
!vdu
Donde u = t, du = dt, v = ! e!jkw0t
jkw0, y dv = e!jkw0tdt
De esta manera ! 1
!1te!jk!0t = ! te!jkw0t
jkw0
$$$1
!1+
! 1
!1
e!jkw0t
jkw0dt
! 1
!1te!jk!0t = ! te!jkw0t
jkw0
$$$1
!1+
e!jkw0t
k2w20
$$$1
!1
! 1
!1te!jk!0t = !e!jkw0
jkw0+
e!jkw0
k2w20
! ejkw0
jkw0! ejkw0
k2w20
Aplicandolo en la expresion para la serie de Fourier tenemos
X [k] =12
"! (e!jkw0 + ejkw0 )
jkw0! (ejkw0 ! e!jkw0 )
k2w20
#
X [k] ="!cos(kw0)
jkw0! j sin(kw0)
k2w20
#
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