Universidad Nacional De ColombiaFacultad De IngenierıaDepartamento De Ingeniera Electrica Y Electronica

Senales y Sistemas I2013-I

Ing. Jenny A.Cifuentes

17 de junio de 2013

Senales y Sistemas IEjercicios Serie de FourierTiempo continuo

Senal triangular

1. Sea x(t) una senal triangular periodica como se muestra en la figura 1

Figura 1: Senal Triangular

Obtenga la serie de Fourier correspondiente.Solucion

Usamos la expresion para hallar la serie de Fourier en tiempo continuo

X [k] =1T

!

(T )x(t)e!jk!0t

De esta manera aplicandola al caso particular tenemos

X [k] =12

"! 1

0te!jk!0t +

! 0

!1!te!jkw0t

#

X [k] =12

"! 1

0te!jk!0t !

! 0

!1te!jkw0t

#

Integramos por partes !udv = uv !

!vdu

1

Universidad Nacional De ColombiaFacultad De IngenierıaDepartamento De Ingeniera Electrica Y Electronica

Senales y Sistemas I2013-I

Donde u = t, du = dt, v = ! e!jkw0t

jkw0, y dv = e!jkw0tdt

De esta manera ! 1

0te!jk!0t = ! te!jkw0t

jkw0

$$$1

0+

! 1

0

e!jkw0t

jkw0dt

! 1

0te!jk!0t = ! te!jkw0t

jkw0

$$$1

0+

e!jkw0t

k2w20

$$$1

0

! 1

0te!jk!0t = !e!jkw0

jkw0+

e!jkw0

k2w20

! 1k2w2

0

Ası mismo ! 0

!1te!jk!0t = ! te!jkw0t

jkw0

$$$0

!1+

! 0

!1

e!jkw0t

jkw0dt

! 0

!1te!jk!0t = ! te!jkw0t

jkw0

$$$0

!1+

e!jkw0t

k2w20

$$$0

!1

! 0

!1te!jk!0t = !ejkw0

jkw0+

1k2w2

0

! ejkw0

k2w20

Aplicando la expresion para la serie de Fourier tenemos

X [k] =12

"!e!jkw0

jkw0+

e!jkw0

k2w20

! 1k2w2

0

#! 1

2

"!ejkw0

jkw0+

1k2w2

0

! ejkw0

k2w20

#

X [k] =12

"!e!jkw0

jkw0+

e!jkw0

k2w20

! 1k2w2

0

+ejkw0

jkw0! 1

k2w20

+ejkw0

k2w20

#

X [k] =12

"ejkw0 ! e!jkw0

jkw0+

ejkw0 + e!jkw0

k2w20

! 2k2w2

0

#

X [k] ="sin(kw0)

kw0+

cos(kw0)k2w2

0

! 1k2w2

0

#

Senal Diente de Sierra

1. Sea x(t) una senal diente de sierra periodica como se muestra en la figura 2

Obtenga la serie de Fourier correspondiente.

Solucion

Usamos la expresion para hallar la serie de Fourier en tiempo continuo

X [k] =1T

!

(T )x(t)e!jk!0t

2

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Senales y Sistemas I2013-I

Figura 2: Senal Diente de Sierra

De esta manera aplicandola al caso particular tenemos

X [k] =12

"! 1

!1te!jk!0t

#

Integramos por partes !udv = uv !

!vdu

Donde u = t, du = dt, v = ! e!jkw0t

jkw0, y dv = e!jkw0tdt

De esta manera ! 1

!1te!jk!0t = ! te!jkw0t

jkw0

$$$1

!1+

! 1

!1

e!jkw0t

jkw0dt

! 1

!1te!jk!0t = ! te!jkw0t

jkw0

$$$1

!1+

e!jkw0t

k2w20

$$$1

!1

! 1

!1te!jk!0t = !e!jkw0

jkw0+

e!jkw0

k2w20

! ejkw0

jkw0! ejkw0

k2w20

Aplicandolo en la expresion para la serie de Fourier tenemos

X [k] =12

"! (e!jkw0 + ejkw0 )

jkw0! (ejkw0 ! e!jkw0 )

k2w20

#

X [k] ="!cos(kw0)

jkw0! j sin(kw0)

k2w20

#

3