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El átomo: Fragmentos de una historia en red

González, Sonia Beatriz1; Escudero, Consuelo2

1 Depto de Física y de Química FFHA; 2 Depto de Física FI, Depto de Biología FCEFN

soniabeatriz.gonzalez@gmail.com, cescudero@unsj-cuim.edu.ar

Resumen

En este trabajo se presentan algunos fragmentos histórico-disciplinares relacionados con la construcción del modelo atómico, bajo la percepción de que tras cada uno de ellos hay una diversidad de cuestiones científicas y epistemológicas para indagar, tan interesantes como los modelos mismos. Desde los minuciosos trabajos de Thomson y Rutherford hasta las inteligentes contribuciones de matemáticos y físicos como las de Cauchy y Schrödinger, es posible identificar la consistencia de los modelos con que trabajaron, de manera tal que permitieron seguir ampliando el volumen de conocimientos en torno al modelo atómico. Este es el inicio de una exploración que pretende aportar a una valoración renovada de las contribuciones interdisciplinarias de la ciencia actual. Palabras clave Modelo atómico. Relaciones interdisciplinarias. Hitos históricos. Introducción

Un conocimiento amplio acerca del modelo atómico es una de las herramientas más valiosas para un aprendizaje significativo de la Física en su perfil más contemporáneo. Al decir significativo entendemos que se trata de la posibilidad que tenemos las personas de establecer relaciones entre conceptos que pertenecen a un campo de conocimiento con fronteras permeables a los aportes que provienen esencialmente desde la Matemática y la Química. Sin dejar de tener en cuenta el enorme caudal de información que circula actualmente en medios masivos dirigidos al gran público, como es la televisión, y a través de internet, aún cuando en este último caso haya una mayor especificidad entre el internauta y el medio de comunicación. Podríamos establecer un primer antecedente en los inicios del siglo XIX, cuando Dalton, Gay-Lussac y Avogadro comienzan a construir “…una base lógica para la existencia del átomo…”(Mahan 1977). ¿Cuál es la diferencia entre la Filosofía Atomista de los griegos, cuatrocientos años antes de Cristo, y el planteo del siglo XIX?: Es que aquella fue una postura puramente especulativa, enraizada sobre todo en la fe. Por cierto que con el mérito de reflexionar con una profundidad asombrosa. El hecho de que el hombre haya podido internarse en la intimidad del mundo atómico-nuclear no solo ha permitido proponer respuestas desde otra perspectiva, sino que ha abierto ventanas para el ingreso de nuevas preguntas. Este mecanismo, unido al despliegue, a veces simultáneo y otras veces no, de la Matemática y de la Química, han hecho llegar la Física al momento actual, en el que la conjunción de los fundamentos clásicos con nuevos campos de conocimiento nos hacen ver y proyectar mundos insospechados hasta hace unas pocas décadas. Las investigaciones de Gauss –llamado el “Príncipe de las matemáticas”- en electricidad y magnetismo es uno de los ejemplos más representativos de estas alianzas, no solo por lo que significó en la temática propiamente dicha, sino también por lo que permitió proyectar años más tarde en el pensamiento de los físicos y químicos, Thomson entre ellos, quien realizó prácticamente todos sus estudios durante la etapa tan agitada de la Física de fines del siglo XIX y principios del siglo XX. Otro caso interesante se presenta con Ernest Rutherford, cuya sólida formación teórico-práctica le permitió presentar un modelo atómico revolucionario, basándose en una vasta trayectoria experimental con elementos radiactivos. Por otro lado, no podemos dejar de mencionar la audaz idea de Planck acerca de la discretización de la energía que le dio pie al físico Niels Bohr para poner a consideración un modelo atómico que, si bien tuvo vigencia

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durante una década aproximadamente, fue muy importante para pensar el átomo desde esta nueva perspectiva que ofrecía la Física Cuántica. Es saludable recordar la acertada intervención de Schrödinger con la ecuación en derivadas parciales, empleada en sistemas vibrantes complejos, en la que se presenta la sucesión discontinua de los “valores propios” correspondientes a la sucesión de los niveles de energía que se revelaban en el átomo. (Greca y Herscovitz 2005) Entre ondas y partículas. Cuando se intenta reconstruir a grandes rasgos el desarrollo de la física de partículas es inevitable desplazarse hacia los primeros y extraordinarios trabajos realizados por físicos de la talla de Thomson, Crookes, Helmholtz, Goldstein, Plücker, Millikan, Rutherford, entre otros.

(…)los descubrimientos científicos no surgen al margen de la tecnología y de la cultura. Los científicos viven y trabajan en lugares y épocas determinados. El trabajo y los descubrimientos que realizan resultan afectados de manera profunda por ciertas circunstancias, como son: a) los recursos técnicos disponibles; b) el clima científico (es decir, lo que casi puede llamarse moda sobre los tópicos aceptables y de investigación interesante); c) el punto de vista mundial de la cultura, explícito o implícito; y d) la existencia de una situación económica y social que proporcione tiempo, energía humana y dinero para sostener la investigación científica.(Anderson 1968)

Tomaremos como referencia inicial parte de la obra de Thomson dado que en torno a ella es posible recoger una importante cantidad de aportes de sus antecesores y contemporáneos. Inmediatamente después de haberse graduado en Cambridge en 1876, Thomson comenzó a investigar desde una perspectiva teórico- matemática dentro del campo de las cargas eléctricas en movimiento. Partía de los trabajos acerca del electromagnetismo de Maxwell, publicados inicialmente en el año 1873, en los que aun no se dibujaba claramente la existencia de “cargas” eléctricas. Pocos años después, en 1881, Helmholtz hace una interpretación en profundidad de los escritos de Faraday acerca de sus experiencias con diferentes electrolitos, y señala: “Establecida de esta manera, la ley de Faraday nos dice que a través de cada sección de un conductor tenemos siempre movimientos eléctrico y químico equivalentes. La misma cantidad definida de electricidad positiva o negativa se mueve siempre con cada ion univalente, o con cada unidad de afinidad de un ion multivalente, y la acompaña durante todos sus movimientos por el interior del fluido electrolítico. A esta cantidad la podemos llamar la carga eléctrica del átomo. El resultado más notable de la Ley de Faraday acaso sea éste. Si aceptamos la hipótesis de que las sustancias elementales están compuestas de átomos, no podemos evitar concluir que también la electricidad, positiva al igual que negativa, está dividida en partes elementales definidas, que se comportan como átomos de electricidad”. (Helmholtz, H. 1881) Simultáneamente prosperaban los estudios realizados en tubos de descarga en los que se trataba de llegar a algún acuerdo respecto de la naturaleza de los rayos catódicos. Es pertinente atender al clima que inundaba el ámbito científico: “(…) los físicos tenían dos modelos para escoger; dos modelos contradictorios, aunque ambos se ajustaban a los hechos bastante bien. Crookes y los físicos británicos en general sostenían el modelo de las partículas, aunque reconocían que el modelo específico de Crookes (del flujo de moléculas negativamente cargadas) podría requerir alguna modificación. Goldstein, Hertz y otros físicos alemanes sostenían el modelo de ondas, aunque la desviación magnética de los rayos les causaba problemas. No está por demás decir que cada grupo debería haber tenido su juicio reservado. Sin embargo, por la forma de ser de la naturaleza humana, cada grupo adoptó un punto de vista, al menos como una hipótesis de trabajo bastante firme. Ese punto de vista, una vez adoptado, no es fácil desecharlo. En realidad, la controversia fue fructífera, pues muchos de los experimentos brillantes de las dos décadas siguientes se proyectaron para derrumbar de una u otra manera el argumento contrario. Entre algunos de los participantes se enfriaron las relaciones personales, aunque quizá no fue éste

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un precio elevado a pagar por lo que después podría llamarse el principio de la física moderna.” (Anderson 1968). En este sentido, Williams Crookes describe dos propiedades que le dan pistas a Thomson para pensar que la radiación catódica/ materia radiante era de naturaleza corpuscular: Que las “corrientes de materia” eran desviadas por un imán y Que se producía sombra cuando se interponían objetos opacos. Fiel a su pensamiento riguroso, cuando en 1897 presenta sus trabajos, Thomson despliega dos vías de comprobación de la relación que obtuvo al hacer el cociente entre la carga y la masa. “Relaciones de carga a masa de varios iones habían sido obtenidas a partir de experimentos de electrólisis, y Thomson reconoció que una determinación del cociente de carga a masa de la partícula de los rayos catódicos ayudaría a identificar a ésta, ya sea como un ion o como algún otro fragmento con carga. Por consiguiente, él determinó la relación carga masa (e/m) por dos métodos diferentes”. ( Mahan 1977) Primer método. En la primera determinación, Thomson bombardeó un electrodo con rayos catódicos y midió la corriente entregada al electrodo y la elevación de temperatura producida por el bombardeo Con la elevación de temperatura y la capacidad del electrodo calculó la energía (E) que emitían las partículas de rayos catódicos y consideró a esto como igual a la energía cinética de las partículas:

= .

2

(1)

N: número de partículas m: masa de cada partícula La carga total (Q) recogida en el electrodo durante el experimento depende del número de partículas (N) y de la carga de cada una de ellas (e):

= Si hacemos el cociente Q/E entre ambas ecuaciones, queda:

= 2

(2)

Thomson midió Q y E, para calcular la relación e/m solo le hacía falta medir la velocidad de las partículas. Lo hizo midiendo la desviación de éstas por un campo magnético de fuerza conocida H. Al aplicarlo, las partículas se mueven con velocidad v siguiendo un camino circular de radio r:

=

(3)

Se desprende que:

=

(4)

Y de la ecuación (2), la velocidad es igual a

= 2

Ahora sustituimos la velocidad en (4)

4

=

2

Elevando ambos miembros al cuadrado.

=

2

Simplificando

= 2

(5)

El mérito de esta ecuación es que es posible la medición de las magnitudes del segundo miembro, obteniéndose de manera bastante simple el valor de la relación carga-masa. Segundo método La idea es emplear un dispositivo como el de la figura:

Figura 1: Esquema del aparato de Thomson para la medida de la relación carga/masa. Mahan, 1977:400

Un haz de partículas de rayos catódicos pasa por una región en la que se lo puede someter a campos eléctricos y magnéticos. Cualquiera de estos campos, aplicados aisladamente, puede desviar el rayo de su trayectoria horizontal; pero la dirección de la desviación magnética es opuesta a la producida por el campo eléctrico. Así, si se aplica el campo eléctrico y se mantiene constante, la magnitud del campo magnético puede regularse a fin de regresar el haz a su trayectoria horizontal original. Con estas condiciones, la fuerza que actúa sobre las partículas debida al campo magnético (Fm = Hev) es igual a la fuerza del campo eléctrico (Fe = eE):

Hev = eE (6)

De donde =

Posteriormente se elimina el campo magnético y se mide la desviación del rayo producida por el campo eléctrico. Como las partículas pasan entre las placas, la fuerza eléctrica eE produce una desviación δ que puede ser calculada por el método de los triángulos semejantes por el desplazamiento de la mancha que se observa al extremo del tubo. La fuerza eléctrica se relaciona con la segunda ley de Newton:

eE = Fe = masa x aceleración eE = ma

= e E

(7)

Por otro lado, se puede calcular la desviación δ apelando al movimiento clásico:

= 12

5

(8)

Luego, al tiempo se lo puede calcular relacionando el largo de las placas y la velocidad:

=

(9)

Sustituyendo a y t en la ecuación (8):

= 12

e E

= 2

(10)

Recordando que: =

=2

= 2

E

(11)

De la misma manera que en el primer método, lo importante de la expresión (11) es que las magnitudes del segundo miembro se pueden medir experimentalmente. “La importancia de la relación e/m de los rayos catódicos se hizo evidente cuando se comparó su valor con los cocientes carga/masa de los iones, que habían sido obtenidos con experimentos de electrólisis. La relación carga/masa de los rayos catódicos es más de 1000 veces mayor que la de cualquier ion. Además, mientras los cocientes carga/masa de varios iones eran diferentes; en el caso de los rayos catódicos era una constante independiente del gas que se utilizaba en el tubo de descarga. Estos hechos condujeron a Thomson a deducir que los rayos catódicos no eran átomos electrificados sino fragmentos corpusculares de átomos, o sea, electrones según términos actuales.” (Mahan 1977). La contribución de Thomson al modelo corpuscular y algunas anomalías. En los inicios del siglo XX y en vista de los prometedores resultados de diversas experiencias, sumados a los avances en investigaciones relacionadas con espectroscopía y propiedades magnéticas, eléctricas y ópticas de las sustancias en sus diferentes estados de agregación, se generaron las condiciones propicias para que los científicos pudieran presentar ideas respecto de cómo podrían ser los cuestionados átomos. “El mismo Thomson durante la primera década de este siglo, intentó explicar algunas de las propiedades ópticas y químicas de los átomos por medio de un modelo que concebía al átomo como una nube esférica de cargas positivas con electrones incrustados. Thomson, por medio del análisis matemático, halló que ciertas configuraciones de tales electrones serían mecánicamente estables. Pensó que las diversas configuraciones podrían corresponder a diferentes elementos químicos. Los movimientos de los electrones dentro de la nube implican oscilaciones cuya frecuencia es aproximadamente la adecuada para explicar la emisión y la absorción de la luz. Es de presumir que en algunos casos los electrones exteriores se desprendían fácilmente. Con esto se explicaba la conductividad eléctrica y la emisión de rayos catódicos, fotoelectrones y rayos beta. Este modelo parecía poder explicar, por lo menos cualitativamente, muchas de las propiedades conocidas de los átomos. Infortunadamente se demostró que era muy difícil hacer, sobre la base de este modelo, muchas mediciones precisas y que fueran comprobables experimentalmente.”(Anderson 1968).

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Figura 2: Los electrones se encuentran incrustados en una esfera maciza cargada positivamente.

Con este modelo era posible explicar la neutralidad de los átomos, la enorme diferencia de masas entre el átomo y el electrón y también la “movilidad” de los electrones. Por otro lado se explicaba en forma incipiente, aunque insuficiente, la emisión de radiación electromagnética: Si los átomos se encontraban en un estado de mínima energía, los electrones permanecían estacionados en sus posiciones de equilibrio; en cambio si por alguna razón se excitaban, los electrones vibraban alrededor de dichas posiciones. Al vibrar estas partículas cargadas, de acuerdo con la teoría electromagnética clásica, emitían radiación electromagnética. El problema era que las emisiones electromagnéticas registradas experimentalmente no coincidían con los cálculos realizados a partir de este modelo. ¿A qué tipo de cálculos nos referimos? Tomemos un ejemplo propuesto en Eisberg y Resnick (2000):

I) Supóngase que existe un electrón de carga –e en el interior de una región esférica con densidad de carga positiva uniforme ρ (un átomo de hidrógeno de Thomson). Demostrar que, de tener energía cinética, su movimiento será el de un oscilador armónico simple cuyo punto de equilibrio es el centro de la esfera.

En primer lugar recordemos que si tenemos una esfera con carga positiva uniformemente distribuida, su densidad de carga ( ρ) es:

ρ = qV

El volumen de una esfera de radio r es igual a π r3

Por lo tanto, el cálculo de la carga de la esfera será posible con la expresión:

= V ρ, es decir q = π r3 ρ

Por otro lado, la ley de Coulomb para dos cargas puntuales indica que:

= 1

4

Siendo q la carga de la esfera, q0 (le llamaremos e) la carga del electrón y a la distancia a la que el electrón se desplaza de la posición de equilibrio, donde a es menor que el radio de la esfera:

= − 1

4

43

Luego nos quedará:

= −

3

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Y si nos remitimos a la ecuación general del cálculo de F en un movimiento armónico simple ( F = -k a),

vemos que k =

Si se libera al electrón en el punto a sin velocidad inicial, esta fuerza producirá un movimiento armónico simple a lo largo de un diámetro de la esfera, ya que siempre está dirigida hacia el centro y tiene una intensidad que es proporcional al desplazamiento desde el centro.

II) Considérese que la carga total positiva tiene la magnitud de una carga electrónica (de modo que el átomo no tiene carga neta) y que se encuentra distribuida sobre una esfera de radio r´= 1.0 x 10 -10 m. Determinar la constante k de la fuerza y la frecuencia del movimiento del electrón.

Sabemos que la densidad es la relación entre la carga y el volumen:

= 43 ´

De modo que: k =

sustituyendo

k = ´

; =

´

k = 9.0 x 109 N m2/C2 x (1.6 x 10-19 C)2/ (1.0 x 10-10 m)3

k = 2.3 x 102 N/ m

Entonces, la frecuencia del movimiento armónico simple es:

= 1

2

= 1

2

2.3 10 /9.11 10

= 2.5 10

Dado que la radiación emitida por el átomo (en analogía con la radiación emitida por los electrones que oscilan en una antena) tendrá esta misma frecuencia, que corresponderá a la longitud de onda:

=

= 3.0 10 /

2.5 10 /

= 1.2 10 m = 1200 Å

Esta longitud de onda se encuentra en la región del espectro electromagnético correspondiente al violeta lejano. Un electrón que se mueve en una órbita circular estable cuyo radio es menor que el radio del átomo de

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Thomson, revoluciona a la misma frecuencia y por lo tanto también radiará a la misma frecuencia. Por cierto que la suposición de un radio diferente de la esfera de carga positiva daría una frecuencia diferente. Pero el hecho de que un átomo de hidrógeno tenga solamente una frecuencia de emisión característica, está en contraposición con el gran número de frecuencias diferentes que se observan en el espectro de hidrógeno. ( Eisberg, Resnick 2000) Thomson es un auténtico representante de su tiempo. Tuvo la fortuna de vivir – y lo hizo en forma comprometida – en un periodo crucial para el desarrollo científico, las últimas décadas del siglo XIX y las primeras del siglo XX. Allí fue donde se desestructuró la Física para renacer con una mirada totalmente renovada. Heredero de la sólida mecánica de Newton y de los notables estudios que realizó Gauss acerca del comportamiento del campo eléctrico sobre una superficie cerrada, tuvo el suficiente empuje para combinar sus investigaciones incorporando en forma decidida la figura del “corpúsculo” – hoy electrón – con la cual ya estaba introduciendo la idea revolucionaria de que los átomos eran divisibles. Lo hizo más allá de las fuertes críticas del ala conservadora de los científicos de la época.(Anderson 1968, Holton 1978, Jeanpierre et al 2005, García y Bauer 2006)

Inicios del modelo nuclear: Rutherford

Cuando en 1911 Ernest Rutherford puso a prueba el modelo de Thomson, abrió el camino hacia el átomo nuclear. Observemos la siguiente figura:

Figura 3: Esquema del experimento de Rutherford empleando partículas alfa.Mahan, 1977: 403

El objetivo era estudiar la dispersión de partículas α (núcleos de helio de masa atómica igual a 4) al pasar a través de láminas delgadas de varias sustancias. Las partículas α que emite la fuente radiactiva atraviesan dos diafragmas colimadores que dirigen el haz hacia una delgada lámina metálica. Al atravesarla, cada partícula α es desviada según la trayectoria que le tocó recorrer, haciendo que el haz saliente sea desviado. Si se mide el número de partículas α dispersadas en cada intervalo angular entre Φ y dΦ se puede obtener una medida de la divergencia. Las partículas inciden en una superficie de sulfuro de cinc (ZnS cristal) que tiene la propiedad de emitir un destello en cada impacto. Además hay un microscopio que ayuda a contar el número de impactos por unidad de tiempo en función de la posición angular del detector. Las velocidades de las partículas α se podían medir por el método de la desviación magnética (ver ecuación 3). Rutherford sabía que la energía cinética de las partículas α era muy grande y para que se desvíe el átomo debía ser el asiento de una enorme fuerza eléctrica, además de ser ejercida por un cuerpo masivo. Era de pensar que un electrón sería arrastrado por una partícula α. Y aquí hace una inferencia importante: El átomo no podía ser una esfera de masa y densidad de carga uniformes, tal como se plantea en el modelo de Thomson, por el contrario, el átomo es altamente no uniforme. Aunque los electrones podían ocupar el volumen calculado para el átomo (10-8 cm), la electricidad positiva tenía que estar concentrada en un pequeñísimo pero denso “núcleo”.

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Figura 4: Detalle geométrico de la desviación que puede experimentar una partícula alfa. Mahan, 1977: 404

Haciendo la suposición de que la fuerza actuante entre el núcleo y la partícula α respondía a la ley de Coulomb, Rutherford demostró que la trayectoria de la partícula α, desviada por un átomo, debía ser una hipérbola. En la figura 4 el ángulo de desviación Θ (ángulo externo entre las asíntotas de la hipérbola) depende del parámetro de impacto b. Matemáticamente se puede demostrar que:

tan12

=

z y Z son los números atómicos de las partículas α y del núcleo. e: magnitud de la carga electrónica m: masa de la partícula α v: velocidad de la partícula α Si b = 0, Θ = 180º, que es lo que se espera en un choque frente a frente.

Si hacemos el estudio de un experimento concreto de dispersión:

Figura 5: Esquema que representa la probabilidad de una partícula de pasar entre el anillo formado por b y b+db. Mahan, 1977: 404

Po-demos decir que: z, Z, m y v son constantes y como se utiliza un haz de partículas α relativamente ancho, se dan todos los valores del parámetro b, y la dispersión se ve en todos los ángulos.

Trabajando con el anillo formado entre b y db, vemos que la probabilidad de que el parámetro de impacto b quede en esa área, es proporcional a la superficie del mismo:

á = 2

El área aumenta junto con b, por lo tanto, los valores grandes de b son más probables que los valores pequeños. Es decir, hay pocas partículas que se desvían con ángulos grandes.

Rutherford dedujo que la fracción f(Θ) de las partículas α iniciales dispersadas a través de un ángulo Θ, está dada por:

( ) = 2

2

sin

2

(13)

10

t: espesor de la lámina ρ: densidad en átomo/cm3 Mediante esta expresión también fue posible calcular el número atómico del núcleo dispersante (Z)

Además, como un valor agregado, también es posible calcular en forma aproximada el tamaño del núcleo. Consideremos la siguiente situación:

Cuando una partícula α es desviada 180º ha colisionado frontalmente con un núcleo. En ese choque, la partícula α se acerca al núcleo hasta que la energía potencial coulómbica de repulsión, zZe2/r2 , llega a ser igual a su energía cinética inicial ½ mv2. Simbólicamente:

12

=

(14)

rmin: distancia de mayor acercamiento. Se puede calcular desde esta igualdad.

Por ejemplo, en el caso de partículas α obtenidas de la desintegración del radio y con núcleo dispersante de cobre:

12

. , .

( , . ) ( , . )

r min = 1,6 . 10-12 cm

Las partículas pueden llegar hasta casi 10-12 cm del núcleo y todavía ser dispersadas de acuerdo con la ley de Coulomb. El núcleo debe ser menor que 10-12 cm. Se ha verificado con núcleos más livianos y partículas α más rápidas que no se cumple la ley de Coulomb para aquellas que llegan más cerca del núcleo que 0,8. 10-12 cm. Esto significa que la carga positiva del núcleo ocupa una esfera de un radio aproximado de 10-12 cm.

De estos experimentos tan ingeniosos se infiere que no solo se obtuvo una indicación cualitativa de la existencia del núcleo sino que dio origen a una medida cuantitativa de la carga y del tamaño nucleares.

La radiación del cuerpo negro y una explicación diferente para la época.

Una de las muestras más claras acerca de las interrelaciones que subyacen entre diversos conocimientos aparentemente aislados que tratan los científicos, la ofreció Max Planck cuando se vio obligado a concebir una explicación para la radiación del cuerpo negro. A fines de 1870, Planck se encontraba estudiando en Berlín. Tuvo como profesores (entre otros) a Helmholtz y a Kircchoff. Pero fue su natural curiosidad la que lo llevó a explorar los trabajos de Rudolph Clausius. De este modo inició su trayectoria en los estudios de termodinámica. Ese fue el camino que lo condujo a trabajar en la irreversibilidad de los procesos de radiación. Los resultados de estos trabajos fueron publicados en el año 1900, e inmediatamente se encontró con fuertes críticas por parte de Boltzmann. En este punto cabe recordar que Planck se alineaba con los científicos que no aceptaban la discretización de la energía, actitud enfrentada a las ideas de Boltzmann. Éste último acordaba con Thomson con respecto a la hipótesis corpuscular.

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Debido a su amplia experiencia en termodinámica, Planck respondía con argumentos derivados desde ese campo de conocimientos. “El problema que intentaba dilucidar Planck era demostrar la cantidad de radiación que desprendía un cuerpo caliente. Hasta entonces se había llegado a la conclusión de que la intensidad de la radiación, producida por la vibración de los átomos, se incrementaba hasta un valor máximo con la longitud de onda y que luego disminuía. Lo que Planck pretendía encontrar, entonces, era una ecuación que describiera la cantidad de radiación emitida para todas las longitudes de onda imaginables.” (Planck 2000). Un cuerpo negro puede ser una cámara aislada, sometida a diferentes aumentos de temperatura, pero también puede ser un animal sometido a la irradiación de ondas infrarrojas.

Lo importante en la noción de cuerpo negro es la capacidad de absorber y de emitir en forma casi perfecta alguna radiación electromagnética. La variación de energía irradiada con la temperatura de un objeto era una ley bien establecida a fines del siglo XIX, llamada ley de Stefan-Boltzmann:

RT = , donde:

(15)

RT : Radiancia

: Constante de Boltzmann, cuyo valor es 5,67. 10-8 W/ m2 K4 . esta ley dice que si duplicamos la temperatura del objeto, la tasa de radiación aumentará 16 veces; pero no indica como está distribuida la energía en relación a la frecuencia de la radiación emitida.

A principios del siglo XX, Rayleigh y Jeans calcularon el valor de la energía irradiada en una frecuencia f cuando el cuerpo negro se encuentra a una temperatura fija T, empleando la electrodinámica clásica:

( ) = 8

(16)

( ): energía irradiada en una frecuencia dada

: constante de Boltzmann = 1,381. 10-23 J/K. Por ejemplo, a 10000 K

( ) = 8 10 1,381. 10

27. 10 = 1,28 . 10

Entonces, si la frecuencia es de 1014 Hz, la densidad de energía electromagnética irradiada por unidad de tiempo

será igual a ( ) = 1,28. 10

Así se observa que para una temperatura dada, la energía aumenta con el cuadrado de la frecuencia. Como la energía total es igual a la suma sobre todas las frecuencias desde cero hasta infinito, esta fórmula prevé que la energía total irradiada será infinita. Cuando se compara con los datos experimentales hay una discordancia tan espectacular con la previsión teórica que el hecho se conoce en la Física como <catástrofe del ultravioleta>. Es frente a esta contradicción que Planck se desprende del hábito de la física clásica y postula que la energía se irradia en unidades pequeñas separadas, a las que llamó cuantos, del latín quantum (porción de algo). Planck lo que hizo fue integrar el segundo principio de la termodinámica con la mecánica. En sus estudios acerca del cuerpo negro supuso que la cavidad estaba llena de osciladores con muy débil amortiguación y con

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diferentes periodos propios e imaginó que esos osciladores intercambiaban energía porque emitían radiación de unos a otros, conduciendo el sistema al estado estacionario de distribución normal de la energía.

= ∆ , 2 ∆ , 3 ∆ , …

A fin de poder ajustar a su teoría los datos experimentales, supuso que una cantidad mínima de energía, o quantum de energía ∆ , era proporcional a la frecuencia f de radiación:

∆ = ℎ donde ℎ es la constante de Planck: 6,626 . 10-34J s

A partir de su hipótesis, Planck dedujo la siguiente fórmula para la distribución de energía del cuerpo negro, que reproduce las observaciones experimentales:

( ) = 8 ℎ

− 1

(17)

(Oliveira 2005)

Gráficamente:

Figura 6: La línea de trazos representa la variación teórica de energía, calculada con la ecuación 3, anterior a la corrección de Planck. Halliday y Resnick, 1982: 554

De acuerdo a lo desarrollado anteriormente, cabe preguntarse: ¿se construye ciencia siguiendo una prolija línea metodológica que va articulando relaciones lógicas? Habría, durante los largos procesos científicos, pequeños (o grandes) saltos, más ligados a intuiciones o a decisiones aventuradas que a derivaciones lógicas, y que pueden provocar un giro en las investigaciones hacia destinos no previstos. En algunas ocasiones resultarán caminos sin salida, en otras pueden culminar en programas exitosos y también – en una tercera vía - pueden ser pequeños aportes a modificaciones de mayor importancia. Lo que vale la pena destacar es que pueden ser momentos clave no previstos en el proceso de investigación (De la Torre 2000, Crawford, 2000).

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Es en este contexto laboral y científico que Planck construyó una suposición cuyo alcance pensó solamente para intentar justificar un desarrollo algebraico cuyos resultados empíricos fueran suficientemente coherentes. En ese momento no alcanzó a intuir que su planteo iba a resultar el fundamento de una nueva física. Quien sí pudo vislumbrar la potencialidad de esta hipótesis fue el físico danés Niels Bohr, plasmando la idea en un modelo – hoy llamado de transición - que más allá de las modificaciones propias del avance científico, continúa siendo un eslabón de fuerte presencia en la enseñanza de las ciencias. El electrón en el átomo de hidrógeno. Un ejemplo de aplicación del potencial central.

Una de las cualidades más productivas de la Matemática tiene que ver con la posibilidad de brindar herramientas para explicar, con diferentes grados de aproximación, el funcionamiento de sistemas dinámicos. Este es el caso del movimiento del electrón en el átomo. Un primer acercamiento se puede hacer desde la llamada ecuación Schrödinger para un potencial central. Tomamos como inicio su más general y críptico formato:

H φ = E φ

(18)

E: energía

φ: función de onda

H: hamiltoniano

H = + ( )

m: masa del electrón

p: operador momento lineal

V (r) ): operador de la energía central dependiente del radio r

Mediante la introducción algebraica de los parámetros que representan las condiciones físicas, se llega a la ecuación diferencial:

ℏ2

+ − ( ) − ℏ ( + 1)

2 = 0

(19)

Solo para apreciar, aunque sea en forma introductoria, la importancia de las representaciones, presentamos el análisis que realiza Sánchez del Río (1977) a partir de la ecuación 2, quien parte de una solución de la ecuación radial:

> 0, = − V (r ) < 0

En este caso, el valor del potencial crece con el radio.

Trabajando sobre la ecuación (19), vemos que queda:

14

12

′′ + − ( ) + ( + 1)

2 = 0

(20)

Que también se puede escribir:

12

′′ + = 0

(21)

Si la energía cinética es: = − ( )

La nueva función U ( r ), definida por:

( ) = ( ) + ( + 1)

2

(22)

Es la suma del potencial atractivo y del potencial centrípeto; para radios grandes predomina el primero y para radios pequeños el segundo. Observemos en la figura 7 de qué manera, la misma información es representada en un formato que brinda la posibilidad de sumar una lectura visual, contribuyendo con una interpretación más amplia.

Figura 7: Representación esquemática de la energía potencial en función de la distancia al origen. Abajo: Función de onda correspondiente a un estado confinado de energía negativo. Sánchez del Río, 1977: 6

En la parte superior de la figura se representa esquemáticamente la función U ( r ) en ordenadas, y el radio en abscisas, como origen de energías se toma el valor de U cuando r es infinito, con lo que V ( r ) es negativo.

Si la energía total de la partícula que se mueve en el potencial central es positiva, es decir que E > 0, la situación queda representada por la línea de puntos paralela al eje de abscisas y que pasa por el punto A. A partir de este punto, y hasta el infinito, la energía cinética es siempre positiva, y la solución de la ecuación de Schrödinger se parece a la solución de:

12

′′ + = 0

((21))

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Que es exp ± √2 . Se trata de una solución oscilatoria que se extiende hasta el infinito y que representa,

por lo tanto, una partícula libre. Las soluciones de la ecuación radial 2 con energía positiva, corresponden a partículas libres, y la solución de la ecuación diferencial no impone ninguna condición a los valores posibles de la energía, por lo que el espectro de energías positivas de la ecuación diferencial es continuo. Luego, si la energía es negativa, la situación puede representarse por la línea de trazos paralela al eje de abscisas que pasa por B y C. La energía cinética es positiva en el intervalo BC y negativa fuera de él.

Entre los puntos B y C la solución de la ecuación diferencial es también oscilante, del tipo exp ± √2 ; fuera del intervalo AB, sin embargo, la energía cinética es negativa, T < 0 y las soluciones son crecientes o

decrecientes de la forma exp ± √2 . En los puntos A y B la solución interna al intervalo debe empalmar

suavemente con las externas, por lo que en ambos puntos deben ser iguales tanto la función de onda interna como la externa como sus derivadas. En la parte inferior de la figura 1 se representa cualitativamente una solución de este tipo, que además, satisface las condiciones: P ( 0 ) = P ( ∞ ) = 0. Estas condiciones solo se cumplen para ciertos valores de E que son los valores propios; el espectro de valores propios para energías negativas es discreto. Por otra parte, se observa en la figura que la función radial P(r) solo tiene un valor significativo dentro de un intervalo limitado del radio, lo que indica que la probabilidad de encontrar la partícula solo es importante en esa región. Las soluciones de la ecuación radial (22) con energía negativa, corresponden pues a partículas ligadas. La función de onda radial de un estado ligado, tiene nodos, excluyendo el nodo para r = 0 e incluyendo el de r = ∞, el número de nodos se designa por n - l, siendo n, por definición, el número cuántico principal. Es decir, el número cuántico principal se define como la suma del número cuántico del momento angular orbital y el número de nodos de la función radial excluyendo el del origen pero incluyendo el del infinito. De acuerdo con esta definición, nos queda que n ≥ l + 1. Si bien la interpretación de este tipo de análisis requiere el acompañamiento de herramientas matemáticas que pueden no estar al alcance de estudiantes de nivel secundario, es posible introducir algunos elementos conceptuales que les permita conectar el estudio de los campos (eléctrico y/o magnético), con constructos tan útiles para el desarrollo de la Física (y de la Química) como son los electrones. Se puede acudir a casos límite, como la suposición del electrón contenido en un volumen determinado, o aquel que prácticamente es libre debido a la distancia que lo separa del núcleo. Allí es donde se movilizan diferentes condiciones de contorno, frecuentemente eludidas en las situaciones problemáticas que se plantean a los estudiantes. El estudio de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y la búsqueda de soluciones, desarrollados por el matemático Cauchy es una de las contribuciones que acompañó solidariamente a físicos y químicos para poder entender la dinámica de los sistemas del mundo microscópico, en el que la complejidad aumenta exponencialmente desde el tratamiento de un electrón a varios electrones debido a la multiplicación de las interacciones. La confluencia de métodos analíticos y experimentales condujo al modelo atómico actual, cuyo conocimiento es uno de los pilares de la ciencia contemporánea.

Para continuar pensando…

La construcción de cada uno de los modelos atómicos contiene tras de sí una compleja red de saberes, trayectorias personales, enfrentamientos ideológicos, que son tan valiosos para analizar como los propios modelos. (Da Cruz, 2012) El estudio parcializado o reducido de los mismos no permite apreciar en toda su dimensión la enorme empresa humana que ha significado disponer hoy en día de teorías tan potentes como la Teoría Cuántica (Oliveira 2005, Zion et al 2005). A partir de sus sólidos fundamentos matemáticos ha sido posible proponer explicaciones satisfactorias a cuestiones muy variadas como la superconductividad, etapas complejas de procesos fotosintéticos, mecanismos de orientación de algunas aves, etc. Como así también, proyectar aplicaciones llamativas como la computación cuántica o la optimización de equipos electrónicos destinados a laboratorios y también para uso cotidiano.

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No resulta muy sencillo imaginar en este momento histórico que nos toca transitar, cuales serán los próximos desafíos de la humanidad, pero seguro que los habrá. En este sentido compartimos el pensamiento de De la Torre, quien nos dice: “Considero que pretender justificar la ciencia básica es un falso problema desde que la ciencia no puede no-existir, pues surge de una curiosidad intrínseca al ser humano. Justificar algo significa exponer los motivos por los cuales se han tomado las decisiones para crear o generar lo que se está justificando. No se puede justificar la ciencia, porque ésta no surge de un acto volitivo en el que se decide crearla, sino que aparece como la manifestación social ineludible de una característica individual del ser humano.”(De la Torre 2000). Si bien en este trabajo se presentan solo algunos nodos de una compleja red, queda pendiente continuar el estudio tanto en extensión como en profundización, a fin de contribuir con la difusión de este eje fundamental de la Física y de la Química que es el modelo atómico. Referencias

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