El billarno es de vagos

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C A R L O S

B O S C H

MATEMTICAS

L AC I E N C I A

P A R AT O D O S

Ciencia, juego y diversin

EL BILLAR NO ES DE VAGOS

Comit de seleccin de obras

Dr. Antonio AlonsoDr. Francisco Bolvar ZapataDr. Javier BrachoDr. Juan Luis CifuentesDra. Rosalinda ContrerasDra. Julieta FierroDr. Jorge Flores ValdsDr. Juan Ramn de la FuenteDr. Leopoldo Garca-Coln SchererDr. Adolfo Guzmn ArenasDr. Gonzalo Halfft erDr. Jaime MartuscelliDra. Isaura MezaDr. Jos Luis MornDr. Hctor Nava JaimesDr. Manuel PeimbertDr. Jos Antonio de la PeaDr. Ruy Prez TamayoDr. Julio Rubio OcaDr. Jos SarukhnDr. Guillermo SobernDr. Elas Trabulse

La Cienciapara Todos

Desde el nacimiento de la coleccin de divulgacin cientfica del Fondo de Cultura Econmica en 1986, sta ha mantenido un ritmo siempre ascendente que ha superado las aspiracio nes de las perso-nas e instituciones que la hicieron posible. Los cientficos siempre han aportado material, con lo que han sumado a su trabajo la incur-sin en un campo nuevo: escribir de modo que los temas ms com-plejos y casi siempre inaccesibles pue dan ser entendidos por los es-tudiantes y los lectores sin formacin cientfica.

A los diez aos de este fructfero trabajo se dio un paso adelante, que consisti en abrir la coleccin a los creadores de la ciencia que se piensa y crea en todos los mbitos de la lengua espaola y ahora tambin del portugus, razn por la cual tom el nombre de La Cien-cia para Todos.

Del Ro Bravo al Cabo de Hornos y, a travs de la mar ocano, a la Pennsula Ibrica, est en marcha un ejrcito integrado por un vasto nmero de investigadores, cientficos y tcnicos, que extienden sus ac-tividades por todos los campos de la ciencia moderna, la cual se en-cuentra en plena revolucin y continuamente va cambiando nuestra forma de pensar y observar cuanto nos rodea.

La internacionalizacin de La Ciencia para Todos no es slo en extensin sino en profundidad. Es necesario pensar una cien cia en nues-tros idiomas que, de acuerdo con nuestra tra dicin humanista, crez-ca sin olvidar al hombre, que es, en ltima ins tan cia, su fin. Y, en con-secuencia, su propsito principal es poner el pensamiento cientfico en manos de nuestros jvenes, quienes, al llegar su turno, crearn una ciencia que, sin des de ar a ninguna otra, lleve la impronta de nuestros pueblos.

Carlos Bosch

EL BILLAR NO ES DE VAGOS

Ciencia, juego y diversin

laciencia/223

para todos

Primera edicin, 2009Primera edicin electrnica, 2010

Bosch, CarlosEl billar no es de vagos. Ciencia, juego y diversin / Carlos Bosch.

Mxico : FCE, SEP, CONACyT, 2009158 p. : ilus. ; 21 14 cm (Colec. La Ciencia para Todos ; 223)Texto para nivel medio superiorISBN 978-607-16-0149-0

1. Matemticas. 2. Geometra 3. Divulgacin cientfica I. Ser. II. t.

LC QA40.5 Dewey 508.2 C569 V.223

Distribucin mundial

D. R. 2009, Fondo de Cultura EconmicaCarretera Picacho-Ajusco, 227; 14738 Mxico, D. F.www.fondodeculturaeconomica.comEmpresa certifi cada ISO 9001:2008

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Se prohbe la reproduccin total o parcial de esta obra, sea cual fuere el medio. Todos los conte-nidos que se incluyen tales como caractersticas tipogrfi cas y de diagramacin, textos, grfi cos, logotipos, iconos, imgenes, etc. son propiedad exclusiva del Fondo de Cultura Econmica y estn protegidos por las leyes mexicana e internacionales del copyright o derecho de autor.

ISBN 978-607-16-0330-2 (electrnica)978-607-16-0149-0 (impresa)

Hecho en Mxico - Made in Mexico

NDICE

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I. El regalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II. Nunca falta alguien as . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III. Primer sueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Una banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Dos bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tres bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Cuatro bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

IV. De Luis XI a Paul Newman . . . . . . . . . . . . . 46

V. Segundo sueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 El mximo comn divisor . . . . . . . . . . . . . . 58 La mquina de Zavrotsky . . . . . . . . . . . . . . 59 Las pruebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Cul esquina? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 La mquina de Zavrotsky y el mximo comn divisor 64

VI. Ruedan y chocan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

VII. Tercer sueo (caminos mnimos) . . . . . . . . . . . 83 Propiedades de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . 85 Construccin de la elipse por puntos . . . . . . . . 89 La tangente en un punto . . . . . . . . . . . . . . . 91 Propiedades de tipo billar de la tangente de la elipse 95 Problemas de Minimax . . . . . . . . . . . . . . . 96

VIII. Los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Las bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Las bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Las mesas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

IX. Cuarto sueo (otros billares) . . . . . . . . . . . . . 113 El crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Billares convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Polgonos regulares y billares . . . . . . . . . . . . 126

X. Las tablitas y otros problemas . . . . . . . . . . . . 132 Las tablitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 El agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Problemas y carambolas . . . . . . . . . . . . . . . 146

Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9INTRODUCCIN

sta no es una obra clsica sobre el billar. Ms bien es un libro en el que se emplean conceptos cientfi cos y matemticos para entender mejor el billar, y se usa el billar para entender mejor algunos conceptos cientfi cos y matemticos.

El billar est vinculado con la geometra, pero sus relacio-nes con las matemticas van ms all. En este libro, el regalo de un amigo nos permite entender a fondo qu es el billar, cmo se juega, cmo ha evolucionado y cmo se usa para resolver algunos problemas matemticos.

En tiempos del cardenal Richelieu (1585-1642) no se poda ser mosquetero sin saber matemticas, historia, tcticas milita-res y billar. Este entretenimiento pas por una poca oscura en la que se volvi un juego de apuestas y de vagos, a tal punto que las mujeres dejaron de jugarlo. Pero poco a poco lo ante-rior fue cambiando y empezaron a aparecer libros en los que se explicaban la fsica y las matemticas del billar; el primero so-bre el tema es Th orie mathmatique des eff ets du jeu de billard, de Gaspard-Gustave Coriolis, publicado en 1835.

En el siglo pasado las pelculas El audaz [Th e Hustler] y El color del dinero [Th e Colour of Money] le dieron un gran im-pulso al billar. Las mujeres lo han vuelto a jugar, los campeona-tos se transmiten por televisin, en casi todos los clubes hay

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mesas de billar, en los concursos de ma temticas hay problemas asociados con esta prctica e incluso se usa para calcular el m-nimo comn divisor de dos nmeros, o bien para caracterizar polgonos regulares y resolver problemas de mnimos, como lo veremos en este relato.

Aqu se habla de matemticas, de fsica, de qumica, de his-toria, del arte del juego y de algunas carambolas especiales. Quien slo quiera leer la parte relacionada con las matemticas debe-r abo carse a los cuatro sueos que aparecen en el libro ms el captulo x. El que est interesado solamente en la fsica, tendr que enfocarse en el captulo vi. Si su inters se centra en la par-te de la qumica relacionada con el billar, entonces habr de ir al captulo viii. Para iniciarse en el billar conviene leer el cap-tulo i, y para aprender algo sobre los efectos hay que abordar los captulos vi y x, pero recordemos que no hay nada que pue-da sustituir la prctica del juego. La parte histrica se encuen-tra en el captulo iv. Sin embargo, para ser sincero, lo mejor es leer todo el libro.

Quiero aprovechar este espacio para indicar que algunos temas que aparecen en este libro se publicaron anteriormente, en for-ma distinta, en el Boletn de Ficom publicado por la Academia Mexicana de Ciencias. Agradezco a sus editores que me hayan permitido usar ese material. En este libro tambin aparece par-te del material de dos cuentos cortos: Bandas y nmeros y El billar no es de vagos, con los que gan uno de los premios otor-gados por la Sociedad Matemtica Mexicana en el concurso Matemticas Aplicadas y su Enseanza para el Bachillerato y la Licenciatura, en 2001. Agradezco a su presidente, el doctor Alejandro Daz Barriga, la posibilidad que me otorg para uti-lizar aqu ese material. Tambin quiero agradecer al doctor Enri-que de Alba por haberme proporcionado la cita que aparece en el captulo iv sobre el billar en Antonio y Cleopatra, de William Shakespeare. A Mara Luisa Carren le agradezco la paciencia

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que tuvo para descifrar mis jeroglfi cos y transformarlos en un texto legible. A Bernardo Mendoza Dib le debo el haberme ayu-dado con las fi guras y con la computadora, que a veces en lugar de instrumento de trabajo yo la converta en mi enemiga.

Pedro Bosch ley todo el manuscrito y sus observaciones, correcciones y crticas me ayudaron a mejorar el escrito inicial. Claudia, Sofa y Pablo me apoyaron a lo largo de este divertido trabajo leyendo, dibujando, fotografi ando o yendo al billar con-migo.

Un agradecimiento carioso para los amigos que hicieron que me gustara el billar, en especial a Freddy y a Andrs (q.e.p.d.). Finalmente, el reconocimiento a mi abuela, quien le puso el t-tulo a este libro cuando insista en que el billar era para vagos y que no deba ir a esos lugares de mala muerte.

Mil gracias a todos.

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I. El regalo

Cuando Andrs y Freddy regresaron de Estados Unidos me tra-jeron un taco para jugar billar a cambio del dinero que les haba prestado (o ms bien regalado) para su visita a Los ngeles. De ese viaje recuerdo que trajeron cerillos que se encendan con un dedo o frotndolos en la suela del zapato, como en las pelculas de vaqueros, varios discos de rock, pantalones vaqueros Levys en fi n, cosas que en Mxico era imposible encontrar o que costa-ban un dineral. Mi nuevo y nico taco! Nunca volv a tener otro en toda mi vida; era igual al que se haba comprado Andrs. A los dos nos gustaba el billar, sobre todo la carambola de tres bandas y a veces la carambola sencilla o el pool.

Para entonces ya sabamos cmo agarrar correctamente el taco (fi gura i.1) y la posicin adecuada para tirar. Hablbamos mucho de la teora de cmo jugar. Supongamos que el jugador desea que una bola le pegue en el centro a otra bola. Para eso, el taco, casi horizontal, debe colocarse de manera natural en una lnea imaginaria que cruce por el centro de las bolas. El jugador tiene que colocarse un poco hacia la izquierda, si es derecho, con las piernas ligeramente fl exionadas y los pies formando un n-gulo recto.

De esta forma el cuerpo se encuentra obligatoriamente orien-tado a 45 del eje del taco (fi gura i.2).

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Hay un dicho en el billar: El jugador tiene que colocarse siempre frente a su bola. Pero un jugador no puede encontrar-se al mismo tiempo a la izquierda del taco (que est en el eje formado por el centro de las bolas) y frente a su bola. As que, para lograr su objetivo, debe inclinar ligeramente el trax hacia adelante y rotar la cabeza hacia la izquierda.

Figura i.1

Figura i.2

45

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El brazo izquierdo debe estar cmodamente colocado, apo-yado sobre la mesa, por ejemplo; a su vez, el brazo derecho debe formar un arco. La mano izquierda sostiene la parte delgada del taco, con la cual se le pega a la bola. La mano derecha detie-ne el taco por la parte ms gruesa, aproximadamente a una dis-tancia de un cuarto del fi nal del taco, pero suavemente, sin apretarlo (fi gura i.3).

Desde luego que la posicin de la mano izquierda es funda-mental, pues permite pegarle a la bola en el centro, o bien ms arriba o ms abajo, ms a la derecha o ms a la izquierda, lo que har que la bola adquiera diversos efectos y se desplace de ma-neras diferentes.

Estaba yo tan emocionado con mi taco nuevo que inmedia-tamente lo desenvolv y lo arm. Vena en dos partes que se atornillaban en el centro. Acord con Andrs que al da siguien te,

Figura i.3

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temprano por la tarde, nos veramos en el billar; despus de hacer tres o cuatro carambolas imaginarias, des arm el taco y lo envolv en papel peridico. No quera que nadie me viera con un taco o supiera que iba a los billares; en aquel entonces a los jugadores de billar se les vea como vagos o personas intiles. Los nombres de los billares La Cueva, El Infi erno, La Gruta daban la impresin de antros semipro hibidos. En al-gunos de ellos, a los mejores clientes les servan bebidas alcoh-licas combinadas con refrescos o cervezas que parecan sidral. As, si llegaba algn inspector, a primera vista no poda detectar los vasos ilegales ni, evidentemente, las apuestas, a menudo cuantiosas, que corran en esos lugares con toda libertad.

Llegu a casa con mi paquete de papel peridico y nadie se dio cuenta de que all traa un taco de billar. Lo guard en el clset debajo de los suteres. Un da mi abuela se enter de que me gustaba el billar y de inmediato me dijo: El billar es de va-gos, mejor aprovecha el tiempo para estudiar. No obstante sus consejos, muchas veces, en cuanto terminaba el co legio, Andrs y yo nos comprbamos una torta en cualquier sitio y nos ba-mos al billar. Para eso, desde temprano tena que sacar el taco de entre los suteres y ponerlo envuelto en su peridico dentro de la mochila, para que en el colegio nadie lo descubriera. Con tantas idas y venidas, naturalmente el peridico se rompa.

Cada vez tena que hacer un envoltorio diferente hasta que un da la punta del taco se sali del peridico y de la mochi-la! Sin que me diera cuenta, el profesor de fsica lo descubri.

As que tiene usted un taco de billar propio.Pues s.No es usual, esas cosas son caras en Mxico.S, pero me lo trajo un amigo de Estados Unidos.Qu sabe usted de billar?Pues la verdad es que juego lo ms que puedo; hoy voy a

ir y por eso traigo el taco.Qu juega?

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Lo que ms juego es carambola.Antes de que le explique a la clase qu es eso, vamos a

preguntarles a sus compaeros: cmo creen que es el ambien-te del billar? Cmo se imaginan que es un saln de billar?

Varios alumnos levantaron la mano y las contestaciones que dieron ya las haba odo en boca de mi abuela: un saln con un ambiente un poco lgubre; una mesa con bandas y cubier-ta con tapiz verde; poca luz, excepto sobre las mesas; bolas blancas y rojas o de muchos colores y con nmeros; tacos de billar y tiza azul; en general slo hay hombres En eso estba-mos cuando del grupo se alz una voz femenina:

En mi casa dicen que el billar es de vagos.Al instante repliqu:No es cierto; hay de todo, como en todos lados.Pues ms o menos intervino el profesor. Yo cre que

con eso se haba terminado la discusin y el asunto del billar, pero se volvi hacia m y me dijo: Ahora explqueme qu es la carambola.

Se juega con tres bolas, una totalmente blanca, otra tam-bin blanca, pero con un punto o marca, y una roja. En general juegan dos personas (a veces dos parejas); a cada jugador le corres-ponde una bola, la blanca a uno, la del punto al otro. El juego consiste en hacer que la bola propia, al ser golpeada con el taco, entre en contacto con las otras dos. A esto se le llama carambola. Cada vez que alguien hace una carambola se anota un punto, y gana quien haya logrado el mayor nmero de puntos. A este tipo de carambolas se les llama sencillas.

A ver, pase al pizarrn y dnos un ejemplo. Un sudor fro recorri mi brazo. Afortunadamente llevaba

un suter y nadie se dio cuenta de la penosa situacin. En tonces dibuj en el pizarrn un rectngulo y tres pequeos crculos.

Imaginen que el rectngulo es la mesa de billar y las dos bolas negras son las bolas a las que les tengo que pegar con mi bola blanca (fi gura i.4).

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Yo me imaginaba ya en el billar con mi taco, rodeado de ese color verde de los paos que tanto me agradaba.

Entonces, se supone que con el taco impulsamos nuestra bola para que le pegue a las otras dos. En este ejemplo, yo tira-ra hacia ac dije, indicando la direccin hacia la bola ms cer-cana; as mi bola, al pegarle a esta primera, se desviara un poco e ira a chocar con la otra, es decir, hara una carambola. Los expertos juegan algo un poco ms complicado, que se llama carambola de tres bandas.

Despus de esta explicacin, me sent muy bien; lo haba explicado todo ordenadamente sin tartamudear, bien dicho y sin ninguna muletilla, y al fi nal hasta me haba adornado con eso de que la bola se pona en movimiento con un golpe de taco y la mencin de los expertos y la carambola de tres bandas.

Qu bien, pero usted acaba de hablar de la carambola de tres bandas. Dganos qu es eso.

Grave error. Esto debi ensearme a contestar lo que se pide y no andar adornndome. En fi n, slo tena que explicar qu era una carambola de tres bandas.

Las bandas son los bordes internos de la mesa. Para que una carambola sea de tres bandas, la bola de quien tira debe

Figura i.4

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tocar al menos tres bandas antes de completar la carambola. Las bandas pueden ser una sola o tres distintas; es decir, la bola que debe hacer la carambola puede rebotar varias veces en una misma banda para completar las tres bandas.

A ver, eso no est claro. Cmo?Bueno, los golpes pueden ser banda, bola, banda, banda,

bola, o bien banda, banda, banda, bola, bola, o cualquier combi-nacin, siempre que el ltimo golpe sea a una bola.

Veamos dijo el profesor, ya que est en el pizarrn, dibuje cmo se hara una de esas carambolas tocando varias veces la misma banda, o bien tres bandas distintas.

Con gran seguridad volv a tomar el gis. Por el rabillo del ojo alcanc a ver mi taco nuevo asomndose de la mochila y me imagin llegando con l al billar. Y as, sin hablar, como los grandes del billar, propuse los dos esquemas de las fi guras i.5a y i.5b.

Los dos dibujos que hice me parecan mesas de billar reales, aunque eran unos simples trazos blancos sobre el pizarrn ne-

Figura i.5a Figura i.5b

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gro. Eran carambolas usuales que ya sin pensar las visualizba-mos tanto Andrs como yo, aunque muchas veces, en la prctica, nos fallaban.

Explique sus dibujos, por favor pidi el profesor.A m me gustaba que la bola del punto fuera la ma, as que

en ambos casos, imaginndome que yo era el que tiraba, empe-c con la del punto.

Observen las trayectorias que se obtienen en ambos ca-sos. Yo tiro con la bola del punto. En el primer caso le pego a la bola blanca, luego mi bola toca una banda larga, despus una banda corta y la tercera banda larga, y fi nalmente choca con la bola roja. En el segundo caso mi bola toca una banda larga, enseguida la bola roja, otra vez la banda larga, luego una banda corta y fi nalmente la bola blanca.

Mire usted dijo el profesor, se ve que sabe algo de bi llar, pero aqu no me habl ni de efectos ni de posibles choques no deseados entre las bolas; as que, como su examen no fue muy bueno, para subir su califi cacin le voy a pedir un trabajo breve sobre la fsica y el billar: rozamientos, rodamientos, efectos, re-botes, tipos de energa involucrados, en fi n, algo no muy com-plicado que mues tre que el billar no es de vagos, como dijo al-guno de ustedes hace un momento, y que est muy relacionado con la fsica. Al resto de la clase le voy a pedir que me indique con precisin qu es el billar, y desde cundo y cmo se juega, es decir, algo de la historia del billar.

En ese momento odi mi taco, pero cuando acabaron las clases de ese da y me encamin al billar, volv a adorarlo como si fuera lo nico importante en mi vida. Al llegar al local, ator-nill el taco, le puse tiza y me dispuse a hacer carambolas entre mordida y mordida a la rica torta de milanesa que acompaaba con un refresco con piquete.

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II. Nunca falta alguien as

Profesor, yo s busqu la defi nicin de billar; cundo vamos a entregar ese trabajo? exclam una de mis compaeras.

Yo palidec. Todas las tardes, desde aquella clase, haba ido al billar y no investigu nada. Lo peor es que otra de las compa-eras, una de las que se sientan en la primera fi la, dijo que ella tena una defi nicin matemtica del billar!

Bueno, creo que lo mejor es que lean sus defi niciones.Ya empiezo, profesor? pregunt otra vez la primera.S, s, claro; por favor, pongan atencin.Pues el billar es un juego de destreza que se ejecuta im-

pulsando con el taco las bolas de marfi l al or esto, murmur para m mismo: Yo nunca he jugado con bolas de marfi l; segu-ramente el diccionario era de su tatarabuelo. La muchacha continu: en una mesa rectangular forrada de pao, ro-deada de barandas elsticas con troneras o sin ellas.

Las troneras deben ser las buchacas, que se utilizan para el juego de pool; el de carambola no tiene buchacas y las barandas aqu se llaman bandas.

La mesa se halla rodeada por rebordes (bandas) de unos 5 cm de altura prosigui mi compaera, de caucho o con re-sortes metlicos, recubiertos por el mismo pao verde que cu-bre el tablero y bien tirante. Hay dos clases de mesas: las peque-

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as, sin troneras (francesas o de carambola), y las grandes, con seis troneras, cuatro en los ngulos y una en la mitad de cada banda larga. Los tacos deben tener una longitud de 1.30 a 1.45 m. Suelen construirse de fresno, aliso, carpe o de otra madera dura; en su extremo grueso o maza llevan un taln de marfi l, y en el extremo delgado una virola del mismo material y una arandela de cuero, plana por el lado que va pegado a la virola y convexa por el que se han de empujar las bolas.

Muchas de esas cosas no las saba, pero de lo que estoy se-guro es que ni mi taco, ni ningn otro del billar que frecuento, tiene marfi l. La verdad es que mi taco, aun sin marfi l, prctica-mente juega solo, como se dice por all.

Las bolas de marfi l, o de bonjolina continu mi com-paera, han de ser completamente esfricas e iguales, y de las tres que se emplean en el juego de carambola una se pinta de rojo (mingo) y otra (blanca) se marca con un punto negro. La ter-cera (blanca) no requiere ninguna marca. Entre los juegos ms importantes fi guran el de carambola, el de palos y el de treinta y uno. En el de carambola, el objetivo que persigue el jugador es tocar con su bola las otras dos, procurando situarlas siempre de manera que al volver a ti rar pueda tocarlas de nuevo fcil-mente, pues mientras toca con la suya las otras dos, sigue tiran-do; si falla entra en juego el adversario. Los partidos de caram-bola pueden ser entre dos o ms personas agrupadas en dos o tres bandos. En el juego de palos, los cuales se colocan en el centro de la mesa, el objeto que persigue el jugador es hacer el mayor n-mero de tantos posible, dejando tapado al adversario; es decir que entre su bola y las otras se interpongan los palos para que no pueda tirar ms que por tabla.

Yo estaba seguro de que la mayora de la clase no saba lo que es una tabla o tablita, como le decimos los que s sabemos

En el juego de treinta y uno segua hablando nuestra compaera, los jugadores (que pueden ser hasta 16) se nume-ran para tirar, echando las bolas al azar. Estas bolas llevan un

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nmero del cual cada poseedor no da cuenta a sus contrarios para que ignoren los tantos que debe hacer hasta completar 31, pues el nmero de su bola equivale a tantos que se suman a los que haga en su tirada.

La verdad es que nunca haba odo hablar de este juego ni lo he visto jugar. Se poda haber ahorrado la descripcin, pens.

Termin?S, profesor.Bueno, levanten la mano los que entendieron.Esto fue, durante el curso, una de las pocas ocasiones en

que me sent realmente satisfecho de m, pues no slo iba a le-vantar la mano, sino que, adems de haber entendido, estaba seguro de que poda repetir la defi nicin y saba ms de lo que se haba dicho.

Pens entonces que debe ser muy satisfactorio entender siempre y ser buen estudiante.

Cmo? Slo tres entendieron. Bueno, ahora escuche-mos la otra defi nicin, la matemtica.

Profesor, yo saqu la defi nicin de un libro de matemti-cas de un ruso llamado Serge Tabachnikov donde dice Bue-no, a ver si est bien porque est escrito en ingls y tal vez haya palabras que no traduje bien: una mesa de billar es una varie-dad riemanniana M con frontera suave a pedazos. El sistema dinmico del billar en M est generado por el movimiento libre de un punto (llamado bola) donde se acumula la masa sujeto a la refl exin en la frontera. Esto quiere decir

En ese momento me dieron ganas de chifl ar como cuando en el futbol piden que se acabe un partido.

que un punto se mueve segn una geodsica en M con velocidad constante (digamos 1) hasta que golpea la frontera. En un punto suave de la frontera la bola de billar se refl eja de manera que la componente tangencial de su velocidad siga siendo la misma mientras que la componente normal cambia de signo

Otra vez no entend! Como cuando no estudio la leccin!

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en dimensin 2 esta colisin se describe con la bien conocida ley de la ptica geomtrica: el ngulo de incidencia es igual al ngulo de refl exin

Por fi n entend una frase completa y no palabras sueltas, aunque aqu slo se habla de una bola.

Listo, profesor.Bueno, bueno, muy interesanteYo estaba seguro de que ni siquiera el profesor haba enten-

dido. De repente, cuando se iba a hacer un silencio incmodo, un alumno interrumpi y con gran honradez dijo:

Yo sigo sin saber qu es el billar; no entend nada pero cuando era ms chico vi una pelcula: un pato daba una defi ni-cin ms clara; es decir, es una defi nicin patito pero ms fcil de entender.

La clase estall en carcajadas, rompiendo la tensin de lo incomprensible.

Silencio, por favor, ms seriedad.No, de verdad, profesor, djeme explicarlo en el pizarrn.De acuerdo.En la pelcula Donald en el pas de las matemticas [Do-

nald in Mathmagic Land ] una mesa de billar tambin se defi ne como la unin de dos cuadrados donde el rebote de la bola es tal que el ngulo de entrada (mientras hablaba, el compaero iba di-bujando la fi gura en el pizarrn) y el ngulo de salida son iguales, como lo indico aqu (fi gura ii.1).

Se pueden jugar distintos juegos como la carambola o el juego de palos, entre otros. Cuando hay hoyos en las esquinas y a la mitad de cada banda larga, el juego se llama pool o snooker.

El profesor sonri y pregunt:Est claro, entienden?S contest la clase al unsono.Bueno, y el dueo del taco que nos visit la semana pasa-

da no nos va a decir hoy algo sobre el billar?La cabeza me empez a dar vueltas y me vino a la mente

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una carambola que me acababan de ensear, as que, aunque por la nuca me cayeran goterones de sudor por no haber prepa-rado nada, me levant y me acerqu al pizarrn.

Estoy tratando de hacer una carambola de tres bandas con esta confi guracin (fi gura ii.2). Para eso tengo que usar efectos y pegarle a cierta altura a una de las bolas, adems de vislum-brar la geometra de la carambola no saba qu ms decir, as que se me ocurri ensearles los efectos.

Empecemos por los efectos pontifi qu. Una bola se puede representar como un disco donde el punto O es el punto ms cercano a nosotros usualmente lo mal llamamos centro, AB es el meridiano principal y CD es el ecuador. Adems, la l-nea puntea da representa una bola dentro de la bola de billar, que se puede ver tambin como una bola con el mismo centro que la bola original y cuyo radio es de dos tercios de la bola original (fi gura ii.3).

Un punto importante es el punto N que se encuentra so-bre el meridiano principal AB del radio de la bola por encima del centro. Al golpear la bola en la zona del anillo, resulta que la bola no se impulsa adecuadamente. El taco se barre, pues no gol-pea a la bola slidamente.

Figura ii.1

Entrada Salida

Figura ii.2

Figura ii.3

Figura ii.41/3

r

C D

A

B

O

N

27

Hagamos otro dibujo que represente la bola para indicar los efectos ms sencillos. Con el taco vamos a escoger, por aho-ra, golpear la bola siempre sobre el ecuador. Tenemos que ha-cerlo entre los puntos E y F (fi gura ii.5) que estn cerca del borde de la bola. Al golpear la bola en el centro O no hay nin-gn efecto. La bola rebotar sobre cualquier banda, como lo indica el pato Donald en su defi nicin sobre el billar, de mane-ra que el ngulo entrante sea igual al ngulo saliente (fi gura ii.6a). Fijmonos ahora en los puntos M y M' que estn al bor-de de la bola. Para obtener buenos efectos, el taco debe golpear esos puntos (fi gura ii.6b). Por ejemplo, si la bola est coloca-da como se indica en la fi gura y el taco la golpea en el punto M, es decir, con efecto del lado izquierdo, sta adquiere una rotacin (fi guras ii.7a y ii.7b). Si el efecto se aplica al lado dere-cho, es decir, en el punto M', sucede lo que muestran las fi gu-ras ii.8a y ii.8b.

Bueno, bueno, joven, por hoy basta de clases de billar. La prxima vez quiero discutir un poco ms la fsica involucrada. En cuanto a las dos primeras defi niciones, si de antemano uno no sabe lo que es el billar, se queda sin saberlo. Me gustara sa-ber si pueden averiguar qu tan viejo es este juego.

Uff !, a pesar de no haber preparado nada, la haba librado.

Figura ii.5

E O F

Figura ii.6a

Figura ii.6b

Figura ii.7a. Al chocar contra la banda ya no lo hace de la misma manera que cuando se le pega en el centro, como se indica en la fi gura II.7b.

E

M

O

M'

F

Figura ii.7b. Esta vez el ngulo entrante resulta ser menor que el ngulo saliente.

Efecto izquierda

Sin efecto

Figura ii.8b. Todos estos efectos se pueden combinar si se golpea la bola, no en el ecuador, sino ms arriba o ms abajo.

Figura ii.8a. Al darle a la bola un efecto derecho, sta realiza un giro que hace que el ngulo entrante sea mayor que el saliente, como se indica en la fi gura II.8b.

Figura ii.9

Efecto derecha

Sin efecto

Saliente

Entrante

30

III. Primer sueo

Me pas varias semanas en las que, aun dormido, pensaba en el billar. Empec con sueos sobre propiedades geomtricas sen-cillas del billar y poco a poco se fue complicando la cosa. Inclu-so lo que lea sobre el billar durante el da me daba vueltas en la cabeza por las noches.

Comenc pensando en no usar ningn efecto sobre las bo-las, y entonces me pregunt: cul es la trayectoria que sigue una bola para pegarle a otra? La respuesta es clara y fcil: una rec ta, o ms precisamente un segmento de recta (fi gura iii.1).

Figura iii.1

31

Una banda

La pregunta se vuelve ms interesante si pedimos que se indique, en una situacin como la que muestra la fi gura iii.2, hacia dn-de debe enviarse la bola del punto A para que pegue en la banda indicada () y luego choque con la bola roja, C. Obsrvese que en este caso ambas bolas estn a la misma distancia de la banda.

Recordemos que es indispensable que el rebote sobre la banda sea tipo billar, es decir que el ngulo de entrada y de sa-lida al rebotar deben ser iguales. En realidad se debe determi-nar hacia qu punto de la banda hay que lanzar la bola A, pues si el rebote es de tipo billar, la trayectoria de entrada determina la trayectoria que seguir la bola a partir de la banda, como se indica en la fi gura iii.3.

Al estar los puntos A y C a la misma distancia de la banda, es fcil descubrir que el punto B hacia donde debe lanzarse A deber ser el punto medio de A1 y C1, donde A1 y C1 son las proyecciones de A y B sobre , pues as los ngulos ABA1 y CBC1 sern iguales. Hay argumentos muy distintos que lleva-rn a esa conclusin. Tal vez el ms convincente sea el que usa tringulos rectngulos congruentes (fi gura iii.4).

Figura iii.2

A C

32

Como la trayectoria tiene que ser de tipo billar, tenemos que ABA1 = CBC1; adems, AA1B = CC1B = 90, y por hiptesis AA1 = CC1. Los tringulos ABA1 y CBC1 son congruen-tes y, en consecuencia, A1B = BC1, de donde B tiene que ser el punto medio de A1C1.

Pero el problema entra de lleno en el mbito matemtico si las bolas no estn a la misma distancia de la banda (fi gura iii.5). Este problema no es sencillo, ya que requiere una construccin geomtrica para poder resolverlo.

Recordemos las propiedades bsicas de la simetra. En rea-lidad, basta recordar las propiedades bsicas de la mediatriz de un segmento: si ST es un segmento y MR es la mediatriz, en-

Figura iii.3

A A A

Figura iii.4

A C

A1 C1B

A C

A1 C1

Figura iii.5

CA

33

tonces para cualquier punto M sobre la mediatriz se tiene MS = MT (fi gura iii.6).

Para encontrar una solucin al problema, a qu punto de la banda hay que lanzar la bola A para que, cuando rebote, cho-que con la bola C? Empezaremos suponiendo que existe una solucin y trataremos de caracterizar esa solucin para despus elaborar una construccin directa.

Es importante recordar que el rebote ser de tipo billar, es decir que el ngulo de entrada ser igual al ngulo de salida. Supongamos primero que hemos logrado resolver el problema. La bola A sigue la trayectoria que se indica en la fi gura iii.7 hasta llegar al punto C, pasando por el punto B, con un ngulo

Figura iii.6

S TR

M

Figura iii.7

A

C

X YB

34

de salida igual al de entrada, es decir que ABX = CBY. Es ms, si prolongamos AB ms all del punto B, obtendremos una recta o semirrecta simtrica a la semirrecta BC, respecto de XY. De-notemos con BZ a esa semirrecta.

El ngulo YBZ es igual al ngulo YBC, pues ambos son igua-les al ngulo ABX. Sobre la recta BZ hay un punto C' simtrico de C respecto de la recta XY. Es claro que los puntos A, B y C' es-tn alineados, ya que todos pertenecen a la recta AZ (fi gura iii.8).

Todo esto se cumple si la trayectoria es de tipo billar y va de A a la banda (recta XY) y rebota para llegar a C. Es decir que para reconstruir la trayectoria tipo billar lo que tenemos que ha-cer es encontrar el punto B donde rebota la bola. Y esto, despu s del anlisis que acabamos de hacer, se efecta a partir de C' si-mtrico de C respecto de XY, y luego trazando la recta AC'. La interseccin de AC' con XY es el punto B que estamos buscan-do y donde debe rebotar la bola. As, la trayectoria debe ir de A a B y a C. Como observamos que ABC' estn alineados, la tra-yectoria ms corta de A a C' es el segmento que une a A con C' (fi gura iii.9).

Es interesante observar que la longitud AC' es igual a la longitud AB + BC, ya que BC es igual a BC' y AB es comn en

Figura iii.8

AC

X YB

Z

C'

35

ambas trayectorias. Cualquier otra trayectoria ser ms larga que AC', ya que si tenemos una trayectoria AD + DC y si toma-mos C' simtrico de C respecto de XY, la trayectoria AD + DC' es igual a la trayectoria AD + DC, pero AD + DC' ser mnimo cuando A, D y C estn alineados, es decir, cuando D sea el pun-to B (fi gura iii.10). Es importante observar que en este caso el ngulo de salida no es igual al ngulo de entrada. La trayectoria no es una trayectoria de tipo billar!

En conclusin, construir la trayectoria de tipo billar de A a la banda y a C es equivalente a construir la trayectoria ms cor-ta de A a la banda y a C. Se puede hacer con C' simtrico de C respecto de XY, luego uniendo AC' y tomando la interseccin

Figura iii.9

C

B

C'

A

Figura iii.10

A C

X YD

C '

36

B entre XY y AC'. As se obtiene una trayectoria de tipo billar AB + BC que adems es la ms corta.

Observemos que en el caso anterior la banda hacia donde hay que lanzar la bola A est fi ja, pero cmo saber a qu ban-da hay que tirar? Podramos tirar a cualquiera de las bandas, pero en tres casos la trayectoria no sera la mnima, como se puede ver en la fi gura iii.11 donde la trayectoria no punteada es la mnima.

Denotemos por A1, A2 , A3 , A4, C1, C2 , C3 y C4 las proyeccio-nes de A y C, respectivamente, sobre XY, YZ, ZW y WX.

Usando el teorema de Pitgoras podemos encontrar la lon-gitud de cada trayectoria. Los clculos son aburridos y repetiti-vos, as que dejaremos que el lector se entretenga haciendo las cuentas correctamente y as deduzca que la trayectoria ms cor-ta de las cuatro posibles es la que corresponda al mnimo de los siguientes nmeros:

AiCi2 + (AAi + CCi)2 con 1 i 4

Este ltimo trmino slo depende de A, de C y de sus proyecciones, es decir, de la posicin de las dos bolas.

Figura iii.11

A

C

37

Dos bandas

Ahora analicemos el problema con dos bandas perpendiculares; esto es, desde el punto A donde se encuentra una bola la tra-yectoria debe ir a una banda, luego a la otra banda, que es per-pendicular a la primera, y de all al punto D, donde se encuen-tra la otra bola, como se indica en la fi gura iii.13.

No consideraremos el caso de dos bandas paralelas. Nueva-mente los rebotes en las bandas sern de tipo billar. Procedere-mos como en el caso anterior, usando simetras, primero res-pecto de la recta XY, y luego respecto de la recta YZ. D se transforma en D1 y luego en D2. As, la trayectoria que busca-mos es la trayectoria AD2. Ntese que AD2 corta a XY en el punto B, y a ZY en el punto C1 (fi gura iii.14).

Al deshacer las simetras, el punto C1 tiene por simtrico a un punto C sobre el segmento ZY. As obtenemos los puntos B y C que determinan la trayectoria buscada y que, por las si-metras, es una trayectoria de billar. Adems, por argumentos similares a los del caso anterior, se trata de la trayectoria ms corta de A a D, tocando las bandas XY y YZ (fi gura iii.15). En

Figura iii.12

Z

C2B2

Y

A2

C4B4A4

A1

A3

B1

B3

C

C1

C3

X

W

A

38

efecto, la trayectoria ms corta de A a D2 est dada por el seg-mento de recta AD2. Observemos adems que, al determinar B, queda perfectamente defi nido C.

Si seguimos el razonamiento anterior en la fi gura iii.16, hay que iniciar con la simetra respecto del lado XY y luego con otra respecto del lado ZY, con la que se obtiene esta fi gura. Nte-

Figura iii.13

D

A

Y

W Z

X

Figura iii.14

D1 D2

C1

DA

BX Y

Z

Y

Figura iii.15

Figura iii.16

AD

D

D1 D2

A

D

A

Y

W Z

X

C

B

40

se que una parte del trayecto de A a D2 est fuera de los rectn-gulos que aparecen al hacer las simetras.

Sin embargo, si se empieza con una simetra respecto de YZ, el problema queda arreglado, y con un razonamiento anlogo al del caso anterior se obtiene la trayectoria. A decir verdad, la simetra respecto de XY no se usa directamente, pero si se em-pieza con la simetra respecto de XY obtenemos el mismo punto (fi gura iii.17).

Figura iii.17

D1

D2

DA

Y

Z

Figura iii.18

A

W

D

Y

Z

X

41

Es ms, se puede elegir la banda a la que uno quiere tirar primero, con lo que el punto de la otra banda queda determi-nado y as se logran distintas trayectorias que dependen de las bandas. En la fi gura iii.18 primero se tira a XY y en la fi gura iii.19 primero se tira a YZ. En la fi gura iii.20 primero se usa la banda XY y luego la banda XW. Si escogemos ZY, la trayectoria debe seguir hacia XY, como se indica en la fi gura iii.21.

En ciertos casos, dependiendo de la colocacin de las bolas, es imposible empezar tirando a cierta banda, como se muestra en la fi gura iii.22.

Figura iii.19

Z

A

Y

D

Figura iii.20. Banda WZ y luego WX.

A

D

X

W Z

Y

42

Si tiramos a la banda WX, la trayectoria sigue hacia la ban-da XY o bien hacia WZ. En ambos casos tocamos primero una de las bandas largas. Esto quiere decir que es imposible empezar tirando a la banda XW y llegar a la bola D despus de tocar una de las bandas perpendiculares a XW, es decir, las bandas largas, XY o WZ.

Figura iii.21. Banda XW y luego XY.

Y

Z

AD

W

X

Figura iii.22

Z

Y

D

X

A

W

43

Tres bandas

Ahora abordemos el caso de las tres bandas. Entre este tipo de carambolas existe una jugada muy comn, a la que, en el argot de los billaristas, se le llama tablita, la cual es un reto para el jugador, ya que requiere mucha precisin. Para realizar esa ju-gada es necesario que dos bolas se encuentren en tal posicin que sea posible atacar a ambas despus de tocar tres bandas. Este caso es muy similar al anterior y se resuelve usando nueva-mente simetras. Ms adelante lo analizaremos con detalle, pues Donald, en su pelcula sobre matemticas, da una solucin que resulta equivalente a la que emplea simetras. La fi gura iii.23 explica por s sola la forma de proceder en este caso.

Cuatro bandas

Denotemos la mesa rectangular como XYZW e imaginemos el siguiente problema: tomemos dos bolas, A y B; hacia dnde

Figura iii.23

44

tie ne que ser lanzada la bola A para que despus de cuatro re-botes sucesivos en los lados XY, YZ, ZW y WX llegue al punto en el que est la bola B? Siempre habr una solucin? La tra-yectoria que buscamos siempre ser el camino ms corto, que empie za en A, golpea los bordes en el orden indicado y termi-na en B?

Consideremos el punto dentro del rectngulo XYZW y to-memos simetras sucesivas respecto de XY, YZ, ZW y WX, como se indica en la fi gura iii.22. La primera simetra es respecto a XY, la segunda respecto al simtrico de YZ, la tercera respecto al simtrico del simtrico de ZW, y as sucesivamente. Al reali-zar estas cuatro simetras o refl exiones se obtienen sucesiva-mente los puntos B1, B2, B3 y B4. Tracemos la recta AB4 y reto-memos las simetras. Obtenemos los puntos P1, P2, P3 y P4 sobre

Figura iii.25Figura iii.24

A

A

B

N K

B

A

M

P4P3

P2 B3B2

B1P1

B4

L

45

las bandas que determinan la trayectoria AP1, P2, P3, P4, B que es claramente el camino ms corto que lleva de A a B tocando las cuatro bandas o lados de la mesa (fi gura iii.24).

Cuidado, el problema no siempre tiene solucin para toda posicin del punto A. Por ejemplo, para el punto A que se indi-ca en la fi gura iii.25, el punto B debe encontrarse en la zona sombreada o zona de tiro. Adems, se tiene una zona muerta para B en la que, sin importar en qu posicin est B, nunca po-dremos alcanzarlo con una trayectoria del tipo que se pide. La zona muerta de B est sombreada. Lo mismo sucede con la zona muerta de A.

En nuestros razonamientos, las medidas de la mesa de billar no han sido esenciales y todos los problemas que hemos ima gi-nado tienen como fundamento las operaciones de simetra.

Figura iii.26

46

IV. De Luis XI a Paul Newman

Varios compaeros se acercaron a m para preguntarme qu sa-ba yo de la historia del billar. La respuesta fue: nada. Yo slo saba jugar carambola y me haban regalado un taco al que, aunque me encantaba, a veces vea como un regalo peligroso. Pero cada vez que buscaba algo sobre la fsica del billar, me topa ba con tex-tos sobre su historia, as que les di toda la bibliografa que en-contr y con la cual hicieron el siguiente trabajo.

El billar es uno de los juegos ms antiguos de la humanidad. Segn Anacarsis,* en el siglo iv antes de nuestra era, los griegos jugaban con bolas sobre el suelo ensayando pegarles a unas con otras. Algunos historiadores consideran esta prctica como un precedente del billar. Hay indicios de que Cleopatra era una gran afi cionada a lo que fue un primitivo juego de billar, tam-bin practicado sobre el suelo y en el que se empleaban unos palos similares a los del golf para golpear las bolas.

Sin embargo, se cree que el ancestro del billar es una especie de croquet que se juega sobre pasto con un palo curvo que sirve para empujar bolas de unos 10 centmetros de dimetro. Ese palo tiene una gran importancia histrica. No es sino hasta fi nales del

* Prncipe escita (un antiguo pueblo del sureste de la actual Rusia). Viaj mucho por Grecia, donde adquiri la reputacin de sabio.

47

siglo xv cuando aparecen los primeros vestigios del juego de bi-llar, tal como lo conocemos actualmente.

Si bien franceses e ingleses se disputan la invencin del bi-llar moderno, paradjicamente la escuela francesa asegura que su inventor fue el ingls Bill Yar; mientras que la tradicin in-glesa sostiene que fue Henri Devigne, un ilustre artesano de la corte de Luis XI. Sea quien fuera el que haya inventado el billar, la primera mesa la dise y construy el maestro ebanista-car-pintero Devigne hacia 1429 por orden del rey Luis XI, para que fuera instalada en su residencia preferida, el castillo de La Bas-tilla. Meda ocho pies de largo por cuatro de ancho (las mismas proporciones de las que habla el pato Donald en su defi nicin del billar) y pesaba 618 libras. Cuatro capas de tela de Elbeuf recubran la losa de piedra que reposaba sobre la estructura de madera. En esa poca la bola era impulsada con un bastn cur-vo y el objetivo era hacer la pasar a travs de un arco. En Francia el xito del billar fue inmediato, lo mismo que en Inglaterra. En efecto, en 1576 la rei na Mara de Escocia se lamentaba por no poder jugar billar en prisin.

En Amrica, la primera mesa de billar apareci en Florida, llevada ah por los espaoles en 1565.

En 1674 Charles Cotton escribi el primer reglamento sobre el billar, varias de cuyas reglas an son vigentes hoy en da; por ejemplo, la de que al menos un pie del jugador debe estar tocan-do el suelo cuando tira (fi gura iv.1).

Luis XIII, apodado el Justo, proclam en 1617 el fi nal de la Regencia de su madre, Mara de Mdicis, en el Palacio del Louvre, subido en una mesa de billar. Pero fue Luis XIV quien lo puso de moda, pues uno de sus mdicos le pres cribi, como remedio para facilitar la digestin, jugar una partida de billar despus de la comida.

Entre 1550 y 1630 el juego de billar se conviirti en una cos-tumbre. Para entonces en Pars existan entre 120 y 150 mesas de distintos tamaos: 12 por 6, 10 por 5, 8 por 4 y, las ms pe-

48

queas, de 6 por 3 pies. Ntese que todas las mesas de esa poca tienen las mismas proporciones propuestas por el pato Donald. Son los nobles, los burgueses, los estudiantes y los valets quie-nes practican el juego.

El 16 de mayo de 1634 por primera vez se utiliza la palabra academia para designar una sala de billar. El cardenal Richelieu, gran amante del juego, funda en 1636 la Acadmie Royale para que ah practique y socialice la nobleza. En ese establecimien to son educados 20 hijos de gente pobre, a quienes se mantiene gra-tuitamente junto con otras 50 personas que pagan pen sin. El programa educativo contemplaba educacin militar, matemti-cas, historia, esgrima y billar. Para graduarse y ser aceptado en el cuerpo de los mosqueteros del rey era indispensable que el aspirante fuera un billarista excelente.

Cuando me enter de lo anterior, no pude menos que pensar que ponan a las matemticas y a la historia al mismo nivel del

Figura iv.1

49

billar, o ms bien al revs, por lo cual cada vez estoy ms con-vencido de que este juego no es de vagos.

En la literatura, una de las primeras referencias al billar es la que hace William Shakespeare en su obra Antonio y Cleopa-tra, es crita en 1607. En el acto ii, escena v, aparece el siguiente dilogo:

Cleopatra: Toquen msica para m, msica alimento espiritual de los que vivimos el amor.Acompaante: Msica, pronto!Cleopatra: No, que no se le llame; vamos a jugar billar. Ven Carmiana.Carmiana: Me duele el brazo; sera mejor que jugaras con Mardin.Cleopatra: Para una mujer tanto vale jugar con un eunuco que con una mujer. Vamos, quieres jugar conmigo?Mardin: Har lo que pueda, seora.

En el siglo xviii se desarrollaron numerosas variantes de juegos en mesas de billar; en particular desaparecieron los ar-cos o anillos por donde deban pasar las bolas. Las mesas de ma-dera fueron recubiertas por un pao verde, como una manera de emular el pasto. Las bandas, inicialmente de madera, se recu-brieron con varias telas para que la bola rebotara mejor. En ese mismo siglo apareci la bola roja, a la cual denominaron caram-bola, que sirve precisamente para jugar este juego.

El primer estudio cientfi co sobre el billar fue una obra de Jean-Jacques Dortus de Mairan, conocido como Monsieur de Mai-ran, escrita en 1728, aunque ya en 1588 fue impreso en Pars el primer tratado sobre el tema, y en 1696 el segundo en La Haya.

En Estados Unidos, el billar se extendi rpidamente en to-das las colonias; de hecho, se tienen noticias de que George Wash-ington gan un pequeo torneo en 1748.

50

El equipamiento del billar mejor rpidamente a partir de 1800, en gran medida gracias a la Revolucin industrial. La tiza empez a usarse en esa poca para incrementar la friccin en-tre el taco (que entonces tena la punta de madera) y la bola. Sin embargo, el mayor innovador en lo que al taco se refi ere fue Franois Mingaud.

Mingaud fue encarcelado en Pars por opinar con demasia-da libertad sobre el gobierno en turno. Este pre so poltico in-gres a una prisin que contaba con una mesa billar para espar-cimiento de los reclusos. Todos los das Mingaud iba a jugar, de manera que se volvi bastante hbil. Fue entonces cuando se le ocurri colocar un pedazo de cuero sobre la punta del taco para que ste no se patinara y fuera posible darle mejor efecto a la bola (fi gura iv.2).

Cuentan que cuando cumpli su sentencia, solicit perma-necer un ao ms en la prisin para seguir practicando con su taco modifi cado (actualmente, a ese pedazo de cuero que re-mata la parte delgada del taco se le llama bo tana). Durante ese

Figura iv.2

51

ao se volvi un verdadero experto, pues empleaba una tcnica que era desconocida por los dems. Al salir de prisin, se gan la vida apostando y dando exhibiciones de billar. Bastaron pocos aos para que Franois Mingaud fuese conocido como el gran maestro del juego.

La ancdota ms conocida de Mingaud ocurri durante su visita a una ciudad del norte de Francia, donde entr a un caf en el que un jugador relataba sus aventuras en el billar cuando estuvo de paso por Pars. El grupo escuchaba con atencin al fanfarrn que contaba que haba conocido al tal Mingaud y que no era tan bueno y, sobre todo, que no era el experto que crea ser. Presumi que aunque le diera a Mingaud una ventaja de tres carambolas para hacer 21, le ganara. Entonces lleg el me-sero con tres bolas, el brabucn tom el taco y trat de hacer algu-nas ca rambolas de fantasa, explicando lo que quera hacer, pero result un fracaso.

Mingaud, que escuchaba sin decir palabra, se acerc, tom el taco, retir una de las bolas y con un golpe seco puso en mo-vimiento la bola blanca, que choc en el centro de la roja. Ante la sorpresa del grupo la bola blanca sali hacia atrs despus del choque. El mesero recogi las bolas pensando que esta ban en-demoniadas y trajo unas nuevas. Mientras tanto, Mingaud arregl una partida con el recin llegado de Pars, que gustoso acept jugar e incluso le dio una ventaja de cinco carambolas. El maes-tro se dej ganar. Entonces, Mingaud lo ret sin ventaja alguna, pero con una apuesta de por medio. Por supuesto, le gan. Des-pus dobl la apuesta y le dio a su oponente 15 carambolas de ven taja sobre 21. Mingaud volvi a ganar. Los espectadores esta-ban con la boca abierta, pues en el ltimo juego slo le permi ti una carambola a su contrincante.

Al terminar, el maestro exclam:Y ahora, seor, se siente usted igual de seguro para en-

frentarse con los mejores jugadores de Pars?Derrot a muchos expertos all. Usted debe ser el mism-

52

simo diablo, pues nadie tiene tal dominio sobre las bolas. Ya no jugar con usted.

No, no es necesaria otra exhibicin de su parte. Pero an-tes de irme quisiera aclarar que usted no dice la verdad dijo Mingaud.

Seor, no entiendo, yoCalle, no quiero intervenciones de su parte. Ser breve.

Yo soy Franois Mingaud y debe usted admitir, despus de esta paliza, que mis habilidades son muy superiores a las suyas. Si us-ted no fuera tan presumido y mentiroso, yo me hubiese conte-nido y no habra pasado de ser un espectador.

Esta ancdota, cierta o no, nos permite apreciar la enorme diferencia que signifi c para el billar esa innovacin en apa-riencia minscula que fue la adicin de la botana al taco. La bo-tana pierde su efectividad despus de mucho uso, pues se alisa y entonces provoca lo que en billar se llama un taco, un golpe en falso en el que el taco se patina y no golpea con fi rmeza la bola.

A otro billarista, el ingls Jack Carr, se le ocurri que en lu-gar de cambiar a menudo la parte de cuero, sera mejor poner tiza a la punta (fi gura iv.3), lo cual evita los tacos y le da durabi-lidad al cuero. Hacia 1820, Carr, quien era un verdadero estafa-dor, viaj por toda Europa demostrando y vendiendo su tiza mgica a un precio exorbitante. In cluso daba lecciones, que por supuesto cobraba, de cmo usarla correctamente.

En Estados Unidos, debido al alto costo de las mesas de bi-llar, el juego se convirti en un deporte de ricos. La carambola se empez a jugar en ese pas gracias al entusiasmo de los ofi -ciales franceses de aquella poca, en particular del marqus de La Fayette. Hacia 1840, en ese pas al billar se le asoci con el juego de pool, que toma su nombre por la forma en que se ha-cen las apuestas. El pool se juega en una mesa con seis buchacas o troneras. Los ingleses fueron quienes ensearon a los estadu-nidenses cmo usar el efecto; por eso desde entonces en Esta-dos Unidos se le qued el nombre de english.

53

Durante el siglo xix continuaron los cambios y las innova-ciones tcnicas en las mesas de billar. Se prescindi de las me-sas de madera, que fueron sustituidas por otras de mrmol o de pizarra. Hacia 1845 Goodyear patent el proceso de vulcaniza-cin, lo cual permiti agregar hule a las bandas en lugar de cri-nes de caballo u otros materiales elsticos para que las bolas rebotaran mejor. Tambin a mediados del siglo xix, en 1868, aparece el celuloide, y luego la baquelita, materiales que poco a poco sustituyeron el marfi l de las bolas.

Exactamente a la mitad del siglo, en 1850, el jugador Michael Phelan coloc los diamantes, que son los puntos que se encuen-tran sobre las bandas (fi gura iv.4) y que ayudan a calcular mejor los tiros. Pos teriormente, en Nueva York, Phelan logr que el bi-llar recobrara algo de la respetabilidad que haba perdido, pues la costum bre de jugarlo con apuestas lo haba convertido en un deporte de vagos.

Los cambios radicales que experiment el billar propicia-

Figura iv.3

54

ron que las mujeres se retiraran de este deporte. A fi nales del si-glo xviii la ropa masculina era ms holgada y permita que el cuerpo se doblara y moviera con facilidad. Sin embargo, la ropa femenina, con corss y varillas, haca difcil que una mujer in-clinara el cuerpo o se moviera cmodamente. Por eso ellas de-jaron de jugar.

A lo anterior hay que sumar que muchos cafs con mesas de billar prohibieron la entrada a las mujeres y se convirtieron en refugio de hombres. As, la asistencia a estos sitios se limit a un pblico exclusivamente masculino. El humo de las pipas pro vocaba que la visibilidad slo fuese buena en la parte que las lmparas, dispuestas sobre las mesas de billar, lograban ilu-minar.

En 1865, el mismo Michael Phelan organiz en Nueva York la Asociacin Norteamericana de Jugadores de Billar, y en 1873 cre la Federacin de Billar de Es tados Unidos, encargada de establecer reglas y disposiciones nuevas sobre el juego y en

Figura iv.4

55

particular de dictar los lineamientos para el uso de los nuevos materiales en mesas, bolas y tacos. Ese mismo ao se llev a cabo el primer torneo internacional de profesionales en Nue-va York. La justa de afi cio nados no se realizara sino 30 aos despus.

El juego tambin llam la atencin de los cientfi cos. Du-rante el mismo siglo, el matemtico francs Gaspard-Gustave Coriolis escribi el libro Th orie mathmatique des eff ets du jeu de billard. El original de esta obra forma parte de la coleccin del museo del billar.

En 1865, Pierre Caume, en sus viajes alrededor del mundo, llev el billar de carambola a Japn y a Sudamrica. En el siglo xx aparecen las reglas del billar en sus distintas modalidades.

De 1878 a 1956 se realizan campeonatos de pool y caram-bola casi todos los aos y en el intervalo entre dos campeona tos se llevan a cabo retos entre dos jugadores.

Entre los mejores exponentes de esa poca destacan Jacob Shaefer y su hijo Jake, Frank Tabaski, Alfredo de Oro, Johnny Layton y Maurice Vigneaux, un billarista francs que fue derro-tado por Willie Hoppe, un joven de 18 aos. Hoppe es una de las leyendas del billar, pues domin el mundo de la carambola de 1930 a 1952.

En cuanto al pool, en 1941 empez la era de uno de los grandes jugadores de este deporte: Willie Mosconi.

A principios del siglo xx, en la dcada de los treinta, en La-tinoamrica se organizaron las primeras competencias de donde surgieron grandes fi guras que incluso se convirtieron en leyen-das en sus pases de origen, como es el caso de Juanito Ca macho en Bolivia; los hermanos Navarra y Marcelo Lpez, en Argentina; Jos Enciso alias Joe Chamaco y Froyln Barroso, en Mxico; Temilo Morn, en Venezuela, y Nelson Garn, en Uruguay, en-tre muchos otros.

Durante la segunda Guerra Mundial, los jugadores profe-sionales realizaron grandes demostraciones para distraer a las

56

tropas. Sin embargo, despus de la guerra los soldados tenan que rehacer su vida y les quedaba poco tiempo como para pa-sar las tardes enteras jugando billar. Poco a poco las salas de billar fueron desapareciendo y hacia los aos cincuen ta pareca que incluso el juego mismo pasara al olvido.

No obstante, dos eventos rescataron el billar; uno ocurrido en 1961 y el otro en 1986. El primero fue el estreno de la pelcu-la Th e Hustler, basada en la novela de Walter Tevis. El fi lme, en blanco y negro, acerca de un jugador de pool que es interpreta-do por Paul Newman, hizo que el sonido de las bolas de billar al chocar lanzara a los estadunidenses nuevamente a las salas de billar. Nuevas salas abrieron en los aos sesenta y el pool fl ore-ci durante casi tres lustros.

El deseo de realizar actividades al aire libre gener el desin-ters por el juego. Para 1985, en todo Manhattan slo quedaban dos salones pblicos para jugar este deporte.

En 1986 Th e Color of Money, una secuela de Th e Hustler, tam-bin protagonizada por Paul Newman y con el apoyo de Tom Cruise, volvi a atraer a los jvenes al billar.

Desde entonces el nmero de salones ha ido cre cien do de manera sostenida. Sin embargo, los billares actuales no se pare-cen en nada a los de principios del siglo xx, en los que cotidiana-mente se escenifi caban grandes broncas y jugosas apuestas. Hoy en da, esos lugares ofrecen equipo de primera calidad, leccio-nes a cargo de expertos y la posibilidad de socia lizar. El billar ya no es de vagos. Las mujeres han vuelto a practicar el jue go y frecuentan los mejores salones. Hay tantas mujeres profesiona-les que incluso podra formarse una asociacin independiente de la de los hombres que organizara sus propios torneos.

Hoy es posible ver en la televisin los torneos ms impor-tantes, ya sean de hombres o de mujeres. El primer juego de este tipo televisado en Inglaterra, entre Joe Davis y Tom Newman, se transmiti en 1937.

En 1977 se cre la Confederacin Latinoamericana de Billar,

57

la cual organiz en Mxico su primera competencia continen-tal en la modalidad de tres bandas. Es importante sealar que durante la entrega de los trofeos los jugadores solan describir y repetir algunas de las proezas que realizaron durante la compe-tencia y aprovechaban para mostrar al pblico y a sus colegas difciles y espectaculares tiros que requeran gran inventiva y fantasa.

Sin embargo, esa prctica se volvi comn entre los jugado-res, que sin reglas ni rbitros empezaron a realizar carambolas de fantasa; el ganador de estos torneos era el que reciba ms aplausos del pblico. Los jugadores, en su afn de lograr la origi-nalidad, introdujeron elementos extraos en el juego, como bo-tellas, pauelos y fi chas de domin, entre otros. Algunos alcanza-ron gran fama por dedicarse a realizar exhibiciones pro fesionales en las que acostumbraban comentar cada jugada. A la larga, fue necesario reglamentar dichas competencias, con lo cual surgi el billar artstico o de fantasa.

Mxico se ha convertido en el segundo pas en orden de im-portancia en practicar el billar. En 2006 se llev a cabo en San Luis Potos el Octavo Torneo Nacional de Tres Ban das, con la par-ticipacin de 120 jugadores, de los cuales 16 eran maestros de este deporte.

En Guatemala, cuya poblacin total apenas rebasa los 13 millones de habitantes, hay 90 000 mesas de billar.

El Congreso Americano de Billar ha insistido en que este jue-go se convierta en un juego olmpico, lo cual no parece que ocu-rrir pronto, pues no hay un organismo internacional que agru-pe a las distintas organizaciones nacionales. No obstante, algn da, sin lugar a dudas, el billar ser uno ms de los deportes olmpicos!

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V. Segundo sueo

Este sueo me llev a una de las partes que ms me gustan sobre las matemticas y el billar.

El mximo comn divisor

El mximo comn divisor de dos nmeros tiene muchas aplica-ciones. Para reducir fracciones es indispensable usar el mxi-mo comn divisor. Por ejemplo, para reducir la fraccin 28/70 dividimos el numerador y el denominador entre el mximo co-mn divisor, 14, y as obtenemos

28 1470 14

25

=

Para calcular el mximo comn divisor de dos nmeros, stos se descomponen en factores primos y se toman los facto-res comunes con la menor potencia.

Por ejemplo, 28 = 22 7 y 70 = 2 5 7, de donde se con-cluye que el mximo comn divisor de 28 y 70 es 2 7, es decir, 14.

El mximo comn divisor de dos nmeros se denota como mcd. Por ejemplo, mcd (28, 70) = 14.

59

La mquina de Zavrotsky

Andrs Zavrotsky, investigador de la Universidad de los Andes, en Venezuela, invent un aparato ptico que calcula el mximo comn divisor, cuya patente registr en abril de 1961 (U. S. Pa-tent 2978818). Para explicar cmo funciona este invento, tra-bajaremos con mesas de billar de forma rectangular, donde los la dos tienen por longitud los nmeros de los cuales queremos calcular el mximo comn divisor. Siempre colocaremos las me-sas de manera que, al representarlas en el papel, el lado ms lar-go sea horizontal y el lado ms corto, vertical. Hay que sealar que la longitud de cada lado debe ser un nmero entero, as siem-pre podremos pensar que la mesa est situada en el primer cua-dran te de un sistema de ejes con un vrtice en el origen.

En estos ejemplos siempre vamos a lanzar la bola empezan-do en el origen, de manera que sta salga con un ngulo de 45 respecto de los ejes. Para dar un ejemplo de cmo funciona la mquina de Zavrotsky, tomemos los nmeros 6 y 4. As, coloca-mos 6 unidades en el eje X y 4 unidades en el eje Y.

Por comodidad, marquemos los puntos con coordenadas en-teras (fi gura v.1) y tracemos la trayectoria de la bola que sale de 0

Figura v.1

4

60

60

formando un ngulo de 45 con los ejes. Al cabo de un nmero fi nito de rebotes de tipo billar, la bola llega a un vrtice del rec-tngulo, donde detendremos la trayectoria. En el eje X hay un punto que es el ms cercano al origen. En este ejemplo, tal pun-to corresponde a (4, 0). La mitad de la distancia de ese punto al origen resulta ser el mximo comn divisor de 4 y 6, es decir, 2; dicho de otro modo, la distancia del origen a (4, 0) es el doble del mxi mo comn divisor.

Figura v.2a

Figura v.2b80

5

80

4

61

Es conveniente ver ms ejemplos para convencernos de que, efectivamente, la distancia del origen al punto ms cercano marcado por la trayectoria de la bola sobre el eje x es el doble del mximo comn divisor (fi guras v.2a y v.2b):

mcd (4, 8) = 4Distancia = 8mcd (5, 8) = 1Distancia = 2

Las pruebas

En matemticas, la observacin no es sufi ciente y se requieren demostraciones o pruebas para determinar si una propiedad se cumple o no.

Primero comprobemos que si la bola empieza en el origen y sale a 45, al cabo de un nmero fi nito de rebotes llega a una esquina distinta de la que sali, sin importar las dimensiones del rectngulo que consideremos, siempre y cuando ste no sea un cuadrado. Para probar este hecho curioso, hay que demos-trar algunas propiedades intermedias.

Si el rectngulo tiene medidas m por n con m > n, tomemos la fraccin m/n y sea p/q la fraccin reducida igual a m/n, es decir, p/q = m/n, de donde pn = qm. Sea un cuadrado de lados mq y np. Desde luego que ste es el ms pequeo que se puede formar con rectngulos de lados m y n. Por lo tanto, hay q rec-tngulos de lado m en el eje X y p rectngulos de lado n en el eje Y (fi gura v.3).

Si la bola empieza en el origen, a 45, su trayectoria ser la diagonal del cuadrado. Si desdoblamos la trayectoria de la bola, sta llegar al vrtice superior derecho del cuadrado que acaba-mos de construir. Al reconstruir la trayectoria tendremos que ter-minar en un vrtice del rectngulo. Como vimos en el aparta-do anterior, es necesario localizar la mnima distancia entre el origen y la trayectoria sobre el eje X, as que es importante ha-

62

Figura v.4

cer notar que la trayectoria no va a regresar al origen. Para esto haremos el razonamiento siguiente: si suponemos que algo se cumple y por medio de esta suposicin llegamos a alguna propie-dad que es imposible, la suposicin que nos llev a algo errneo es falsa y, por lo tanto, la opuesta es verdadera.

Si suponemos que la trayectoria vuelve al origen, para re-gresar debe seguir la trayectoria de salida, pues al haber salido a 45 no hay otra posibilidad, lo cual quiere decir que la bola va y regresa por el mismo camino sin pasar antes por un vrtice del rectngulo. Esto es imposible, ya que el punto de regreso debe es tar sobre una banda o dentro del rectngulo y no ser un vrti-ce. Si la bola est dentro, seguir su trayectoria en lnea recta y no va a regresar al origen (fi gura v.4).

q rectngulosO m A

BC

n

p re

ctn

gulo

s

Figura v.3

45 45 45

63

Cul esquina?

Una inquietud que surge en este punto es saber en qu vrtice terminar la trayectoria. Una forma de encontrar la respuesta es trazar el camino de la bola y verifi car en qu vrtice termina. Pero qu pasa si tenemos un cuadrado de 2 831 por 52 329 unidades? En este caso, el mtodo de trazar no es tan bueno, ya que nos llevara mucho tiempo hacerlo y en ciertos casos sera casi imposible.

Utilicemos un argumento de paridad. Para esto, debemos asignar un color al punto (0, 0) y a todos los puntos, de manera alternada: un punto s y otro no, es decir (0, 2), (0, 4), etc., (2, 0), (4, 0) (1, 1), (1, 3) como se ve en la fi gura v.5.

En realidad, los puntos no marcados son aquellos por los que no puede pasar la trayectoria. Es decir, sta puede cru zar nicamente por los puntos marcados, ya que se empieza en el (0, 0) con una trayectoria que forma un ngulo de 45 con los ejes.

Empecemos por analizar el caso en el que ambos lados son impares. De los tres vrtices adonde puede llegar la bola slo el vrtice superior derecho est coloreado, as que all termina la trayectoria. No es sorprendente, ya que al colorear el (0, 0) no

Figura v.5

64

se colorea el (0, 2n + 1), pero s se colorea el vrtice superior derecho correspondiente a (2m + 1, 2n + 1) (fi gura v.6).

Tomemos ahora como ejemplo una mesa de 5 por 3 uni-dades. Incluso en sta se puede seguir la trayectoria de una bola (fi guras v.7 y v.8). Con razonamientos anlogos comprobamos que slo en el vrtice inferior derecho est el marcado en el caso par-impar.

En el caso impar-par, ser en el vrtice superior izquierdo donde termine la trayectoria.

Nos queda el caso par-par, el cual no permite llegar a una conclusin, ya que, como vemos en los siguientes ejemplos, la trayectoria puede terminar en cualquier vrtice.

El lector podr obtener resultados parciales al analizar los casos que son mltiplos de 2 pero no de 4; de 4 pero no de 8, etctera (fi guras v.9 a v.11).

La mquina de Zavrotsky y el mximo comn divisor

Estamos listos para dar una idea de la demostracin matem-tica de que, en efecto, la mquina de Zavrotsky procura el mxi-

Figura v.6

2m + 1

2n + 1

2n

2m

Figura v.8

Figura v.9

Aqu termina la trayectoria

Figura v.7

Par

Impar

Aqu terminala trayectoria

Figura v.10

Aqu termina la trayectoria

Figura v.11

2

0 6

4

0 6

4

0 8

67

mo comn divisor entre m y n. La teora de los nmeros nos dice que:

2mcd(m, n) = mnimo nmero positivode {2am + 2bm, donde a y b son enteros}

La prueba de esta propiedad se encuentra en cualquier li-bro de teora de nmeros, de manera que aqu no nos ocupa-remos de ella. Tampoco haremos el caso general. En este texto slo razonaremos en un caso particular, para que se entienda ms claramente la prueba, ya que de all se vislumbran los ar-gumentos generales.

En una mesa de 8 m por 5 m marquemos la trayectoria de la bola que sale del origen a 45. Ahora hay que construir un cua-drado cuyo lado horizontal tenga 8 rectngulos y cuyo lado ver-tical tenga 5. Desdoblemos la trayectoria anterior, que, como sa-bemos, ser la diagonal del cuadrado de lado 40, en un caso 5 por 8, y en el otro 8 por 5, como se muestra en la fi gura v.12.

Todos los segmentos sombreados corresponden al segmento OA. Alternadamente van en el sentido OA, y luego al revs, es decir, A1O1 , luego O2A2 , despus al revs, A3O3 , y fi nalmente O4A4 . Denotemos por B1B2B3 las intersecciones de la diagonal con A1O1, O2A2 y A3O3 , respectivamente.

Calculemos las distancias O1B1, O2B2, O3B3 y O4A4. Como B1 est sobre la diagonal del cuadrado, B1 est sobre la recta de la ecuacin y = x; por lo tanto, tiene la misma abscisa y la mis-ma ordenada, esto es, B1 = (2 5, 2 5).

El punto O1 tiene coordenadas (2 8, 2 5). As, la distan-cia O1B1 = (2 8) (2 5) = 6. Con argumentos similares, ob-tenemos B2 = (4 5, 4 5) y O2 = (2 8, 4 5), de donde O2B2 = (4 5) (2 8) = 4.

Ahora B3 = (6 5, 6 5) y O3 = (4 8, 6 5), por lo que O3B3 = (6 5) + (4 8) = 2. Finalmente, A4 = (8 5, 8 5) y O4 = (4 8, 8 5); as, O4B4 = (8 5) (4 8) = 8.

68

Todos los nmeros que hemos calculado son del tipo 2am + 2bn, donde m = 8, n = 5 y a y b son enteros. Por ejemplo, 2 = (2 2 8) + (2 (3) 5).

5

0 8B3 B2 B1

Figura v.12

8 5

7 5

5

2 5

3 5

5 5

4 5

6 5

8 2 8 5 84 83 8

8 re

ctn

gulo

s

O4 A4

A3 B3 O3

A2B2O2

A1 B1 O1

A

5 rectngulos

0

Figura v.13. Vincent van Gogh, Le caf de nuit ( Yale University Gallery).

70

En este caso, los puntos B1, B2, B3, A4 corresponden a los rebotes en el lado OA y las distancias son las de cada uno de estos puntos al origen. Ahora bien, debemos tomar la ms pe-quea de esas distancias, es decir:

mn {O1B1,O2B2,O3B3, O4A4} = mn {6,4,2,8} = 2 = 2mcd (8,5)

Este ejemplo nos ensea exactamente cmo proceder en el caso general.

Gracias a la geometra, la teora de nmeros y el lgebra, he-mos encontrado varias aplicaciones de las trayectorias de tipo billar. Pero esto no es ms que un principio; en realidad, ofrece las bases para encontrar muchas otras aplicaciones de las trayec-torias de tipo billar. Este tipo de trayectorias tambin se pre sen-tan en problemas que involucran la acstica, la ptica y muchas otras disciplinas. Las trayec torias de tipo billar nos abren un gran panorama ya que gracias a ellas, con una herramienta ma-temtica slo un poquito ms elaborada, se pueden caracterizar polgonos regulares, o bien es tudiar la dinmica de cierto tipo de billares donde todava hay problemas para los que no se tiene una respuesta completa. Pero todo eso deber formar parte de otros sueos.

71

VI. Ruedan y chocan

Cuanto ms jugaba, ms atencin pona en lo que haca. Saba que el profesor pronto me preguntara algo ms sobre cmo ruedan y cmo chocan las bolas de billar.

Por experiencia saba que la bola se comporta de manera di-ferente si se le pega arriba, en medio o abajo, pero no saba qu pasaba con la fsica del asunto, hasta que le pregunt a uno de los picudos del billar.

Mira, a veces en la carambola hace uno las cosas por in-tuicin. Por cierto, tu taco se ve bien, y por aqu slo he visto otro igual en efecto, yo saba que hablaba del taco de Andrs. Me lo prestas un rato para calarlo?

Odiaba prestar mi taco, pero como me iba a explicar cmo funcionaban ciertos tiros, no me qued ms remedio que pres-trselo.

Tu taco est bien derechito, as que te voy a explicar algu-nas de las fantasas que puedes hacer con l. Vamos a pedir una bola de pool con raya en medio para que veas lo que pasa. Ya sabes algo, verdad, gero?; porque si no, no tendras un taco propio.

Mira, si le pego a la bola en el centro, primero se desliza un poco y luego empieza a rodar. Observa que mientras ms fuerte le pego a la bola, avanza ms antes de empezar a rodar.

72

Ahora, si le doy el efecto abajo, mira la bola y dime qu pasa. Luego te explico para qu sirve cada uno de estos efectos.

Primero gira hacia nosotros y luego empieza a deslizarse y a rodar sobre la mesa aad.

As es.Fjate bien ahora. Voy a poner una bola blanca aqu, no

muy lejos de la bola con la raya, y voy a golpear abajo a la blan-ca para hacerla chocar. Mira bien lo que pasa. Te fi jaste?

S, se regresa.Entonces record que alguna vez le que ese truco lo haba

hecho el inventor de la botana en el norte de Francia y, creyen-do que las bolas estaban endemoniadas, los espectadores las haban recogido.

Ahora mira qu pasa si le pego arriba.La bola no se patin, empez a rodar casi inmediatamente.Bien. Ahora le voy a pegar arriba a esta bola para que

choque con aquella otra.Esta vez la bola se detuvo una fraccin de segundo cuando

le peg a la otra bola y luego sigui su camino.La verdad es que tu taco est chidsimo; es ligero y est

muy bien equilibrado. No te cansas, est bien hecho.Cmo lo notas?

Figura vi.1

Figura vi.2

73

Mira, gero, donde agarro el taco para tirar es la parte donde se equilibra solo y as no tienes que hacer nada para car-garlo. Dime de dnde lo sacaste.

Me lo trajo el otro gero que viene seguido conmigo.Ah, s, lo he visto, l tiene uno igual! Se ve que al mayo-

reo los dan ms baratos. Prstamelo para jugar con el Ojazos, a ver si con este taco s le gano.

Contra mi voluntad, tuve que observar cmo aquel compa-ero aprovechaba mi taco para barrer con su contrincante. Pero vali la pena: esos tipos de verdad que saban jugar.

Gracias, gero. Te compro tu taco, es de buena suerte.No, mano, me lo regalaron.Bueno, pero promete que me lo volvers a prestar.Ya vas dije, pero para mis adentros pens que sera me-

jor no volver a encontrarme a ese cuate para as no tener que prestarle mi taco.

Ahora tena que completar esta informacin con la parte de los choques para hacer una presentacin completa, pues ya ha-ba hablado de los golpes a la derecha, al centro y a la izquier da, que ahora se pueden combinar con los de arriba, al centro y abajo (fi gura vi.3), es decir, que en total existen nueve posibili-dades de darle un efecto a la bola.

Figura vi.3

Arriba

Centro

Abajo

Izquierda Centro Derecha

74

Cuando empec a buscar algo sobre los choques, lo primero que encontr fue la cantidad de bola a la que se le debe pegar (fi gura vi.4). Veamos a qu se refi ere esto. A la bola a la que le pego con el taco la llamar primera bola, y a la que recibe el golpe la llamar segunda bola. Sobre todo en carambola, el jugador intenta que su bola, es decir, la primera, alcance a la se gunda, no exactamente en el centro, sino un poco hacia un lado, de modo que golpee una cuarta parte de la segunda bola, o la mitad, o tres cuartas partes. A esto se le llama golpear a un cuarto, a media o a tres cuartos de bola. Tambin existe un golpe que consiste en rozar apenas la segunda bola; a sta se le llama fi na.

La cantidad de bola como se dice de la forma en que la primera bola le pega a la segunda determina en gran medida el trayecto de la primera bola.

Veamos primero qu pasa con la segunda bola. Al chocar una bola en movimiento con otra que est en reposo, la segun-da describe una trayectoria muy fcil de dibujar, pues al produ-cirse el choque entre las dos bolas podemos pensar que sus tra-yectorias resultan ser tangentes y la segunda bola sigue entonces el trayecto determinado por la lnea de los centros de las bolas, como se muestra en la fi gura vi.5.

El lugar donde se le pega a la segunda bola determinar la direccin hacia donde sta saldr despedida. Esto es importan-te en el pool, donde el objetivo es usar la bola blanca como pro-yectil para dirigir el resto de las bolas hacia las buchacas, pero en

Figura vi.4

Fina 1/4 1/2 3/4

2 12 2 21 11

75

el caso de la carambola es ms importante saber hacia dnde saldr la primera bola para poder pegarle a la tercera con esa misma, ya sea usando las bandas o bien de manera directa.

Debido al choque, la primera bola, a la que golpeamos sin efecto, toma el trayecto descrito por la tangente hacia la segunda bola en el punto de choque, como se explica en la fi gura vi.6.

Me sent contento, pues con este diagrama expliqu la des-composicin de la trayectoria de la primera bola en dos trayec-torias: la que sigue la lnea de los centros (segunda bola) y la que es tangente a sta (primera bola) usando vectores, que era algo que habamos visto en clase. Estaba seguro de que al maestro le iba a encantar mi exposicin.

1 1 1 1 1 1

22

2

Figura vi.6

1 1

2

Figura vi.5

76

Sin embargo, si a la primera bola se le pega arriba o abajo y no en el centro, la trayectoria cambia un poco, como se indica en la fi gura vi.7.

Creo que con esto queda clara la fsica del billar, aunque tal vez deba aadir un dibujo que explique otro ajuste que se hace en el billar, que es la fuerza del tiro. La potencia del golpe no cambia la tangente en el punto de choque de las bolas, pero s alarga, ms o menos, la trayectoria a lo largo de la tangente, como puede observarse en la fi gura iv.8.

A ver, ya habl de efectos a la derecha y a la izquierda, del ajuste arriba y abajo, de la cantidad de bola y de la potencia del golpe. Creo que es sufi ciente. Aunque hay otros ajustes, son mucho ms elaborados, como la inclinacin del taco para efec-tuar lo que se conoce como mass, piqu y salto de bola. Pero debido a su difi cultad es preferible no hablar de ellos por el mo-mento (fi gura vi.9).

Espero que los compaeros no crean que con esta explica-cin terica ya podrn jugar billar. Hay que aplicar todas estas nociones y hacer los tiros casi por intuicin, pero no hay como la prctica.

Figura vi.7

Efectoarriba

Efectoabajo Sin

efecto

2

1 1

Figura vi.8

Figura vi.9

DbilFuerte

2

1 1

78

Por si acaso el profesor me preguntara ms sobre billar, de-cid preparar un discurso ms elaborado sobre el movimiento, para que no creyera que no le haba echado ganas; pero lo dej de reserva en mi mochila.

As, abord el impacto del taco en el centro de la bola. La fuerza de la colisin con el taco determina la velocidad inicial de traslacin de la bola. Por otro lado, el taco genera un mo-mento que produce una velocidad inicial de rotacin alrededor del cen tro de la bola. En la fi gura vi.10 se ilustran todas las fuer-zas que actan sobre la bola de billar cuando la golpea el taco a una altura igual al radio de la bola por encima del tapete.

Cuando se hace contacto con la bola en el punto B, la fuer-za F acta horizontalmente sobre la bola. Supondremos que la fuerza de friccin RA es despreciable.

El momento de dicha fuerza F respecto al centro de la masa es cero, por lo tanto no tiene velocidad angular inicial. De la ecua cin del impulso lineal obtendramos la velocidad V0 del centro de masa de la bola si conociramos la fuerza y el tiempo t:

0

tFdt mV= 0 ,

Figura vi.10

BF V0

r

mg

RA

r

79

donde m es la masa de la bola. Para entender esta ecuacin es necesario conocer el momento lineal, p, que se defi ne como el producto de la masa por la velocidad, por lo que p = mv, y el vector fuerza que se defi ne como la derivada del momento lineal respecto al tiempo, es decir, F = dp/dt, de donde se obtie-ne la ecuacin anterior. La bola se mueve a una velocidad ini-cial de traslacin V0, la fuerza de friccin en el punto de con-tacto entre la bola y el tapete hace que sta gire y por lo tanto disminuya la velocidad en el punto de contacto A de la bola con el tapete.

Como hay dos movimientos, uno de traslacin del centro de masa y otro de rotacin de la bola alrededor de un eje que pasa por el centro de masa, hay que plantear las dos ecuaciones correspondientes. Si A es el coefi ciente de friccin bola-tapete,

Figura vi.11

Traslacin Rotacin

Razonamiento

VC

W

VC

A VA

80

se tiene que la velocidad del centro de masa Vc est dada por Vc = V0 Agt, donde g es la constante 9.81 m/s 2.

La velocidad angular de rotacin, W, aumenta, y se tiene

W mgrIc

tA= ,

donde Ic es el momento de inercia del centro de masa, que en el caso de una esfera con radio r y masa m es igual a Ic = 2mr 2 /5.

Al cabo de un tiempo, la velocidad del punto A tiende a cero y la bola rueda sin deslizarse con velocidad constante, es decir, se traslada a la vez que gira.

VA = Vc Wr.

VA resulta ser cero si Vc = Wr, es decir:

( )V gt mgrmr t r0 A 2 = 5 A 2V gt gtA A= + 02 2 5

de donde VA es cero si t = 2V0 / 7A g.En ese instante la velocidad constante del centro de masa es

Vc = 5V0 /7.No hay que olvidar lo que se abord al principio de esta

seccin, donde se mencion que la bola patina antes de empe-zar a rodar.

Adems, se puede hacer un anlisis parecido si a la bola se le pega arriba o abajo, con lo que la fuerza F se descompone en otras dos, una componente en la direccin radial y otra en la di reccin tangencial, como se muestra en la fi gura vi.12.

Cre que con el razonamiento anterior el profesor quedara

81

satisfecho, e incluso imagin que podra explicar cmo hacer la carambola que dibuje el primer da.

Esta carambola la haba practicado mucho desde el da que la dibuj en el pizarrn y entenda lo que pasaba a ojos cerra-dos: hay que pegarle a media bola blanca para que la primera bola evite a la roja y tenga la fuerza sufi ciente para tocar las tres bandas y luego chocar con la bola roja (fi gura vi.13). Como dice Andrs, es una chulada de carambola, en la cual, adems de pe-garle a media bola, hay que darle con el taco a la primera bola

Figura vi.12

F

F

Figura vi.13

82

en la parte de arriba para que corra ms, y con algo de efecto del lado derecho para evitar la bola roja.

Ahora vamos a hacer una carambola sencilla. Con el taco hay que pegarle a la primera bola donde indica el punto, en la fi gura vi.14, y a media bola blanca. Pero ms que la teora, lo que cuenta es la prctica, pues tambin hay que pegarle con cierta potencia para que la bola no se muera.

Al profesor le gust mucho lo que expuse y prome ti aumen-tarme la califi cacin; pero cmo trabaj y cmo jugu para que me concediera esa pequea ayuda!

Figura vi.14

83

VII. Tercer sueo(caminos mnimos)

Empezaba a adormilarme cuando pens en las matemticas. Uno de sus atributos ms maravillosos es que son abstractas y traba-jan con ideas, una pura creacin del hombre.

En general, tratan de solucionar problemas reales, que se trans forman en problemas abstractos que hay que resolver usan-do las teoras matemticas existentes, o bien investigando e in-crementando el acervo para tener ms herramientas que per-mitan encontrar una respuesta abstracta, con la cual se puede dar solucin al problema real inicial. Sin embargo, en ocasiones se han desarrollado teoras matem ticas que no tienen como fi n ltimo resolver un problema real.

Entre sueos record que algn adulto me haba dicho que el billar era un juego que slo serva para divertirse, pues no tena ninguna aplicacin, como no fuera perder el tiempo.

El billar es de vagos. Entonces me vino a la cabeza una par-te del libro Las matemticas: perejil de todas las salsas, que con-tiene un problema llamado La granja, el ro, el granero en lla-mas y el granjero, cuyo objetivo consiste en hallar el camino ms corto para salvarse, el cual, a fi n de cuentas, no es ms que una tra yectoria de tipo billar, como veremos ms adelante.

El problema abstracto consiste en ir de un punto P1 a una recta y luego a otro punto P2, de manera que la trayectoria sea

84

la ms corta posible (fi gura vii.1). La solucin de este problema tiene muchas aplicaciones en redes de suministro de agua, elec-tricidad o servicios telefnicos.

ste es un problema que se puede plantear de manera ms general, tomando una curva en lugar de una recta.

Tenemos dos puntos P1 y P2 y una curva , como se indica en la fi gura vii.2. Queremos encontrar una trayectoria lo ms

Figura vii.1 Figura vii.2

Figura vii.4Figura vii.3

P2

P1

P2

P1

P1

P2P0

Y

X

P1

P2

R

S

T

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corta posible que empiece en P1, toque un punto de la curva y llegue a P2. En la fi gura vii.3 hay tres trayectorias posibles: P1R + RP2, P1S + SP2 y P1T + TP2 que tienen distinta longitud, depen-diendo del punto donde tocan la curva .

Resulta que la trayectoria ms corta o la ms larga es la que tiene la propiedad de ser una trayectoria de tipo billar (fi gura vii.4). Es decir, una trayectoria que tenga la propiedad de que el ngulo P1P0 X sea igual al ngulo YP0P2 donde XP0Y es la tan-gente a la curva en el punto P0 o, dicho de otro modo, un rebote tipo billar en P0.

En mi sueo pens que esto no era sufi ciente para conven-cerme y que necesitaba algo ms, una demostracin.

Propiedades de la elipse

Para llevar a cabo la demostracin se requieren ciertas teo-ras matemticas desarrolladas con anterioridad, las cuales re-cord del curso de geometra analtica. Imagin mesas de billar en forma de elipse, y record algunas propiedades, como el he-cho de que si lanzamos una bola que parta de uno de los focos y re bote en la elipse, la bola pasar por el otro foco. En este caso, el rebote se caracteriza por que el ngulo de entrada es igual al ngulo de salida. Adems, el crculo presenta la mis-ma propiedad, slo que en este caso los dos focos coinciden con el centro (fi gura vii.5).

Si se tratara de una parbola, una bola que sale del foco se refl eja a lo largo de una recta paralela al eje de la parbola o, a la inversa, cualquier trayectoria paralela al eje de la parbola pasa por el foco. Esta peculiaridad de la