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El péndulo de Foucault

Estudio del cinemático y dinámico

Samuel Nuño Esteban

Sergio Ramos Lasala

Juan Simón Muzás

Antonio José Solans de la Vega

Universidad de Zaragoza

Escuela de Ingeniería y Arquitectura

Física I

Enero 2014

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INTRODUCCIÓN

El péndulo de Foucault es una atracción común en los museos de ciencia

de todo el globo. Fue el primer experimento que demostró que la tierra

giraba sobre sí misma, a pesar de la falta de una demostración

concluyente en la época.

Es un péndulo simple cuyo cable es de gran longitud en relación con el

peso. Como todo péndulo, al dejarlo oscilar libremente este oscilara en el

mismo plano, sin cambiarlo en función del tiempo. Sin embargo, el

observador sito en la tierra observa que el plano de oscilación varía. La

explicación de este fenómeno es que el observador se encuentra en un

sistema no inercial y ello provoca tal efecto. Ello nos permite demostrar el

movimiento de rotación terrestre.

Para el estudio del péndulo se hace necesario distinguir en todo

momento si tratamos un sistema de referencia inercial o no inercial. Para

ello se han analizado las fuerzas externas que actúan sobre el mismo y

posteriormente el movimiento que se observa desde la tierra.

El estudio de todo lo anterior nos proporciona un conocimiento en

profundidad del péndulo de Foucault, aplicando y ampliando las

herramientas conocidas de los movimiento cinemáticos, dinámicos y

oscilatorios.

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ÍNDICE

1. Historia del Péndulo de Foucault. .................................................................................... 4

2. ¿Qué demuestra el péndulo de Foucault? .................................................................. 6

3. Análisis del péndulo de Focault. ....................................................................................... 9

3.1. El péndulo simple. Balance de fuerzas. ............................................................. 10

3.3. El efecto Coriolis. ............................................................................................................. 15

4. El péndulo de Foucault. ....................................................................................................... 20

4.1. Simulación del péndulo de Foucault. ................................................................. 21

4.2. Análisis del movimiento del péndulo. ............................................................... 23

5. El efecto Allais. .......................................................................................................................... 25

4

1. Historia del Péndulo de Foucault.

Jean-Bernard-Léon Foucault nació en París en 1819, donde vivió

hasta 1868. La invención del péndulo que lleva su nombre fue la primera

demostración física de la rotación de la Tierra, hecho del que nadie

dudaba en aquella época, pero del que tampoco nadie encontraba un

experimento decisivo. Foucault lo descubrió por casualidad: trabajaba en

su torno con una varilla metálica de aproximadamente 1 metro de largo

cuando por accidente la punta de la varilla comenzó a vibrar en una

dirección. Al hacer girar el mandril que sujetaba la varilla la dirección de

la vibración no cambiaba. Foucault indujo que la oscilación de un

péndulo también sería independiente del movimiento de rotación del

punto de sujeción al techo, y lo comprobó el 8 de enero de 1851 en su

taller con una masa de 5 kg y un hilo de 2 metros de largo. El lento viraje

del plano de oscilación del péndulo no es otra cosa que una ilusión de los

observadores situados sobre la Tierra incapaces de percibir su propia

rotación.1

En febrero fue invitado a reproducir la experiencia en el

Observatorio de París, esta vez con un péndulo de 11 metros de largo y

una masa de 28 kg. En esa ocasión Foucault afirmó que el giro aparente

del plano de oscilación describiría una vuelta completa por día en los

polos mientras que iría disminuyendo según el seno de la latitud hasta

hacerse nulo en el ecuador.

Ese mismo año se decidió hacer una demostración pública, esta vez

bajo la cúpula del Panteón, con una altura de 67 metros y un período de

16 segundos. Un estilo colocado bajo la esfera de 28 kg. Trazaba marcas

1 http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%A9on_Foucault

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sobre arena húmeda ante el asombro de los ciudadanos parisinos que

acudieron en masa. El péndulo necesitaba un nuevo impulso cada 5 o 6

horas, pero durante ese tiempo el plano ya había girado entre 60 y 70

grados en sentido horario, como era de esperar.

Pese a la fama lograda por este descubrimiento, los aportes de

Foucault a la ciencia y la tecnología son tan ignorados como relevantes.

Por ejemplo, preocupado por la demostración de la fórmula del seno

(que no logró derivar), se abocó al diseño de un instrumento capaz de

comprobar la rotación de la Tierra y que fuera independiente de la

latitud. Y lo logró: inventó el giróscopo, que consiste en una rueda

giratoria cuyo eje se mantiene libre e indiferente de cualquier

movimiento exterior. Pocos advierten que el giróscopo es la base de la

navegación aeroespacial sin cuyo auxilio no hubiese podido desarrollarse.

Otros hitos importantes fueron la medición de la distancia al Sol y

la velocidad de la luz en aire y en el agua, con una precisión mayor a la

lograda hasta entonces. Pero el más contundente aporte a la ciencia lo

hizo al desarrollar un método de control de superficies espejadas que

permitió construir telescopios de gran tamaño. Con la asistencia de estos

nuevos telescopios, desde uno de 80 centímetros de diámetro que él

mismo construyó hasta los gigantes de varios metros que empezaron a

aparecer por todo el mundo, la astronomía y el conocimiento del

universo pegaron un salto estremecedor. La tecnología moderna tardó

más de cien años en superar la técnica brillante de cortar sombras con

una cuchilla que ideó Foucault y que los astrónomos aficionados siguen

utilizando.2

2 http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/index.html

6

La fuerza atractiva del péndulo radica posiblemente en su sencillez

y su serena elegancia. Pero lo cierto es que desde su creación se ha

convertido en un ícono de la ciencia, un símbolo del pensamiento

racional, un emblema que nos enlaza con las leyes del universo.3

Jean Bernard León Focault

2. ¿Qué demuestra el péndulo de Foucault?

El péndulo de Foucault demuestra la rotación de la Tierra a través del

llamado efecto Coriolis. La Tierra gira sobre si misma con un periodo de

es de 23 horas, 56 minutos y 4 segundos si atendemos a una estrella fija,

lo que se denomina como año sideral.

Lo que se hace patente con el péndulo, que en este caso es colgado

desde una gran altura, es la independencia de su movimiento del

movimiento de rotación terrestre que posteriormente demostraremos

matemáticamente. No obstante, en los péndulos de Foucault actuales,

para que la fuerza de rozamiento del aire y el cable interfirieran lo menos

posible se colocan unos electroimanes en la base del péndulo para

minimizar estas pérdidas de energía mecánica, así aunque el péndulo no

3 http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/index.html

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es un reloj se mueve de forma muy periódica (su periodo es de 6,2 s),

estos electroimanes fueron inventados por Jones y Griesmer y el péndulo

oscilaba durante unas dos horas.

A lo largo del tiempo se ha ido ralentizando el tiempo de rotación

de la Tierra (efecto de las mareas, producida por la Luna). Sin embargo,

algunos acontecimientos de grandes proporciones, como el terremoto

del Océano Índico de 2004 han acelerado la rotación en 3

microsegundos. El ajuste posglacial, en marcha desde la última edad de

hielo, está cambiando la distribución de la masa de la Tierra y, por

consiguiente, modificando el momento de inercia y, a causa de la ley de

conservación del momento angular, también el período de rotación,

incluso también influyen de forma considerable en el péndulo los

eclipses, lo que se denomina efecto Allais que después trataremos. Todo

ello se puede reflejar en el movimiento del péndulo.

La medición del día terrestre toma en cuenta el valor exacto del

movimiento de rotación, el año sideral. Como ese valor se hace cada vez

más corto, se hace necesario ajustar periódicamente la medida del

tiempo con un reloj atómico que es de gran precisión y no depende de la

velocidad de rotación. Como resulta obvio, no se puede ajustar la

duración del movimiento de rotación terrestre al reloj atómico (que,

como hemos dicho, no depende de la duración de esa rotación) sino al

contrario: cuando la hora marcada por un reloj atómico marca un

segundo más que el movimiento de rotación terrestre, se suprime dicho

segundo en la medición precisa del movimiento de rotación terrestre.

Por lo tanto con este péndulo se demostró que cada vez que el péndulo

se movía (las desviaciones producidas) no sucedía por ningún tipo de

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fuerza, así se demuestra que esas desviaciones son debidas al

movimiento rotacional de la Tierra.

El efecto Coriolis es el efecto que apreciamos es un sistema de referencia

en rotación (no inercial) cuando un cuerpo se encuentra en movimiento

respecto a ese sistema de referencia. Consiste en la existencia de una

aceleración relativa del cuerpo en dicho sistema, siempre perpendicular al

eje de rotación del sistema y a la velocidad del cuerpo.

Es decir, si tenemos un disco girando y encima tenemos una pelota ésta

tenderá a irse hacia fuera debido a la fuerza centrífuga (ausencia de

fuerza centrípeta). La conservación del momento angular cambia la

velocidad angular de la bolita cuando ésta se mueve hacia dentro

(acelera) y hacia afuera (frena). Esa desviación que sufre la pelota

respecto a la dirección de los radios es el efecto Coriolis.

Aunque no es una fuerza real, porque no hay nada que lo produzca, se

trata, por lo tanto, de una fuerza inercial o ficticia, que se introduce solo

para explicar el motivo de la aceleración del cuerpo, en este caso de la

pelota.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Parabolic_dish_ellipse_oscill.gif

Un ejemplo canónico de efecto Coriolis es el experimento

imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en

dirección norte. El cañón está girando con la tierra hacia el este y, por

tanto, imprime al proyectil esa velocidad (además de la velocidad hacia

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adelante al momento de la impulsión). Al viajar el proyectil hacia el norte,

sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad lineal hacia el este va

disminuyendo con la latitud creciente. La inercia del proyectil hacia el

este hace que su velocidad angular aumente y que, por tanto, adelante a

los puntos que sobrevuela. Si el vuelo es suficientemente largo, el

proyectil caerá en un meridiano situado al este de aquél desde el cual se

disparó, a pesar de que la dirección del disparo fue exactamente hacia el

norte. Análogamente, una masa de aire que se desplace hacia el este

sobre el ecuador aumentará su velocidad de giro con respecto al suelo en

caso de que su latitud disminuya. Finalmente, el efecto Coriolis, al actuar

sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias, induce un giro al

desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o

pierdan latitud.4

4 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/relativo/coriolis1/coriolis1.html

http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_de_Foucault

http://tallex.at.fcen.uba.ar/index_archivos/page0014.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Coriolis

http://www.youtube.com/watch?v=lFeq8JNMv_o

http://www.ojocientifico.com/4774/que-es-el-pendulo-de-foucault

http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20071120124937AAftmGm

http://www.un.org/spanish/geninfo/faq/pendulum.htm

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3. Análisis del péndulo de Foucault.

3.1. El péndulo simple. Balance de fuerzas.

El popular péndulo de Foucault, instalado en El Panteón de París,

constaba de un cable de 67 m y de una bala de cañón de 28 kg. La bala

tenía soldada en su parte inferior una fina punta metálica que se

desplazaba al oscilar el péndulo, sobre una capa de arena dispuesta en el

suelo.

Se trata de un péndulo simple en el que una esfera pesada unida hilo

metálico es libre de oscilar en cualquier dirección. Teóricamente, en un

péndulo simple, el plano de oscilación se mantiene fijo en el espacio,

pero en el péndulo de Foucault, es el resultado de la rotación de la Tierra.

Algunas características a tener en cuenta en el péndulo de Foucault

son las siguientes:

El tiempo de giro del péndulo es proporcional al seno de latitud

del lugar en el que nos encontremos.

Un péndulo en el ecuador no gira, su plano de oscilación es fijo.

Por el contrario, un péndulo en el polo norte generaría una

revolución completa en 24 horas.

Con dicho péndulo, hemos visto que se comprueba que la Tierra gira,

y además se puede comprobar como la Tierra es un sistema de referencia

no inercial, ya que al analizar el péndulo desde el interior de la Tierra no

se pueden aplicar las leyes de Newton, y es por ello por lo que vemos el

círculo que forma el péndulo generado por la rotación de la Tierra. Desde

un sistema de referencia inercial (un punto externo de la Tierra), vemos

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como el péndulo realiza oscilaciones rectas, no gira, lo que gira es la

Tierra, por ello vamos a analizarlo desde un sistema de referencia inercial.

El péndulo de Focault es un péndulo simple, en física un péndulo

simple es una partícula de masa m suspendida en un punto del espacio

por un hilo inextensible de longitud l (figura 1.1).

Figura 1.1. Figura 1.2.

∑ �⃗�𝑒𝑥 = �⃗� − �⃗⃗⃗� = 0

Ahora hemos de situar en contexto el péndulo, situamos el péndulo

simple en la Tierra y si elegimos como sistema de referencia el péndulo,

aparecerán una serie de fuerzas sobre el mismo (figura 1.2.) que

corresponderán al peso y la tensión.

Veamos qué pasa si lo desplazamos respecto la vertical o su posición

natural (figura 1.3.) un ángulo θ y luego se suelta. El péndulo empezará a

oscilar y lo haría eternamente si no fuera por la fuerza viscosa del aire

que lo frena hasta inmovilizarlo. En el punto donde alcanza el mayor

ángulo respecto la vertical, la componente del peso py es igual a la

tensión y a medida que la masa se aproxima a la vertical el ángulo se

hace menor y px también hasta y cuando pasa por la vertical se hace 0 y T

es igual a p. Cuando vuelve ha de ascender vuelven a aparecer las

componentes del peso hasta que py es igual a la tensión (figura 1.2).

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Figura 1.3.

Si hacemos el balance de fuerzas:

∑ �⃗�𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑦 = �⃗� · cos 𝜃 − �⃗⃗� = 0

∑ �⃗�𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑥 = �⃗� · sin 𝜃 = −𝑚𝑔 sin 𝜃

Observamos que la fuerza de impulso del péndulo es la fuerza de la

gravedad, más concretamente la componente horizontal de la misma.

También vemos que no existe ninguna fuerza externa que desplace el

péndulo del plano de giro una vez oscile, consideración que Foucault

argumentaba en su teoría y que veremos posteriormente. El signo menos

indica que siempre apunta en sentido contrario al movimiento del

péndulo.

Respecto a esta componente px la podemos considerar como una

fuerza recuperadora ya que actúa en sentido contrario al movimiento del

péndulo y en aumento a medida que más se separa del punto de

equilibrio. En consecuencia la aceleración varía linealmente a lo largo del

tiempo de acuerdo con la 2ª ley de Newton. La aceleración depende del

punto donde esté el péndulo en un instante de tiempo determinado.

∑ �⃗�𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑥 = −𝑚𝑔 sin 𝜃 = −𝑚𝑑2𝑠

𝑑𝑡2

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3.2. Cinemática del péndulo.

Si el arco recorrido s viene determinado por s = θ · R, siendo R la

longitud del hilo R=l. Entonces podemos establecer la siguiente igualdad:

𝑎𝑡 = 𝑅𝜔 ↔𝑑2𝑠

𝑑𝑡2= 𝑙

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2→

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2=

−𝑔

𝑙sin 𝜃

Con esta ecuación establecemos en todo momento la aceleración

instantánea dado un ángulo θ determinado. Llegados a este punto

haremos el paso del balance de fuerzas donde intervienen las leyes de

Newton al movimiento armónico simple que puede describir el

movimiento de la masa del péndulo matizándolo:

Para ángulos θ pequeños podemos aproximar sen θ ~ θ. Esto

ocurrirá si la longitud del hilo del péndulo es muy larga o bien

desplazamos el péndulo del punto de equilibrio con un ángulo muy

pequeño.

Observamos que cuando θ tiende a 0 o l tiende a infinito para un

desplazamiento pequeño, la longitud de arco s recorrida por el péndulo

se iguala al desplazamiento horizontal o proyección horizontal del

desplazamiento del péndulo ∆x (figura 1.4), de allí que podamos aplicar

dicha aproximación:

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2=

−𝑔

𝑙𝜃 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 sin 𝜃 ~ 𝜃

Figura 1.4.

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El porcentaje de error en realizar dicha aproximación se calcula como:

𝐸(%) =𝜃 − sin 𝜃

𝜃· 100

Si continuamos desarrollando las ecuaciones obtenemos magnitudes que

definen el movimiento armónico simple:

- Frecuencia angular máxima. Es la velocidad angular máxima del

péndulo, la velocidad angular cuando pasa por el punto de

equilibrio que es cuando es máxima. Nótese que no depende de la

masa.

𝜔 = √𝑔

𝐿 [𝑟𝑎𝑑

𝑠⁄ ]

- Periodo. Es el tiempo que tarda el péndulo en hacer una oscilación

completa, es decir, en ir y volver.

𝑇 = 2𝜋√𝑙

𝑔 [𝑠]

- Frecuencia. Número de oscilaciones que hace el péndulo en un

segundo.

𝑓 =1

𝑇 [𝑠−1]

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3.3. El efecto Coriolis.

Un cuerpo que se mueve en la Tierra está sometido a dos fuerzas

importantes que son la fuerza centrífuga, debida al movimiento de

rotación de la Tierra y la fuerza de Coriolis.

Por un lado, la llamada fuerza de Coriolis es la responsable del

movimiento de rotación del plano de oscilación del péndulo de Focault

además de otros como el sentido de rotación del agua en el desagüe,

desviación de los proyectiles de largo alcance, por ejemplo.

No obstante realmente no es una fuerza sino un efecto, por eso también

se llama efecto Coriolis, es decir es una fuerza ficticia. Veamos cuál es su

efecto:

1. Pongamos el caso que la Tierra esta quieta, si lanzamos un

proyectil del polo Norte al ecuador, por ejemplo, este seguirá una

trayectoria lineal respecto un observador situado en la Tierra. El

sistema de referencia es inercial.

2. Si la Tierra rota tal y como es en realidad, el mismo observador que

lanza el proyectil verá que se desplaza hacia la derecha, es decir el

proyectil caerá una distancia a la derecha del observador ya que el

mismo se desplaza solidario con el giro de la Tierra. Se considera

en ambos casos que las condiciones atmosféricas y vientos no

alteran el movimiento del proyectil. El sistema de referencia del

observador es ahora no inercial tal como se muestra en la siguiente

figura:

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Son importantes las connotaciones de sistema inercial y no inercial. En el

primero, un observador situado en él ve como los cuerpos en

movimiento cumplen las leyes de Newton, pero en cambio si está en un

sistema de referencia no inercial estas no se cumplen. En lanzar el

proyectil aplicando las leyes de Newton, este debería seguir una

trayectoria recta, pero no obstante el observador ve que se desplaza

hacia la derecha por las razones citadas a pesar que no actúa ninguna

fuerza en el vuelo que lo desvíe. Es decir no respeta las leyes

newtonianas.

Deducimos fácilmente que para cualquier dirección que lancemos el

proyectil aparece este efecto. No obstante el observador situado en la

Tierra querrá explicar dicho efecto como si se tratara de un sistema

inercial, así que supondrá que existe una fuerza que provoca dicha

desviación, a pesar de ser una fuerza ficticia. Esta fuerza, llamada fuerza

de Coriolis, es siempre perpendicular a la dirección del eje de rotación de

la Tierra y perpendicular a la dirección de movimiento del cuerpo vista

desde la Tierra.

�⃗�𝑐𝑜 = −2𝑚(�⃗⃗⃗�𝑥�⃗�)

Donde m es la masa del cuerpo, v la velocidad del cuerpo en el sistema

en rotación, ω la velocidad angular de rotación vista desde un sistema

inercial.

Como tratamos de explicar dicho efecto como si fuera un sistema de

referencia inercial, es decir respetara las leyes de Newton la fuerza de

Coriolis debe cumplir:

�⃗�𝑐𝑜 = 𝑚�⃗�𝑐𝑜

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No obstante esta aceleración es particular, es llamada aceleración de

Coriolis (aco).

�⃗�𝑐𝑜 = −2(�⃗⃗⃗�𝑥�⃗�)

�⃗�𝑐𝑜 = −2𝜔𝑣 sin 𝜃

Donde ω es la velocidad de rotación del planeta, v la velocidad del

cuerpo medido desde un sistema no inercial, θ el ángulo menor entre los

vectores v y ω.

¿Cómo se deduce dicha ecuación? Supongamos dos observadores

situados en la Tierra, cada uno en un hemisferio (figura 1.6.).

Figura 1.6.

La Tierra gira siempre en un sentido y su vector velocidad angular ω es

perpendicular al plano de giro y pasa por el eje, además tiene el sentido

marcado por la regla de la mano derecha. Cada observador verá como el

vector ω apunta direcciones opuestas de acuerdo a su posición en la

Tierra. Ello provoca que el efecto Coriolis varíe según el hemisferio donde

se sitúe el observador (figura 1.7).

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El vector aceleración de Coriolis (aCo) es perpendicular al plano

determinado por los vectores ω y v eso explica la característica

perpendicularidad de la fuerza de Coriolis.

Figura 1.7.

Pero veamos cómo se llega a tal ecuación, para llegar a ella partimos de

un sistema cuya partícula P se mueve a velocidad constante v por el eje

OX y el sistema no inercial (la Tierra) gira con una velocidad angular ω. En

un sistema inercial la ecuación sería:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡, 𝑦 = 0

En un sistema no inercial que gira a velocidad ω, las

ecuaciones son:

𝑥´ = 𝑥 cos(𝜔𝑡), 𝑦´ = 𝑥 cos(𝜔𝑡)

El vector velocidad v de la misma partícula en un

sistema inercial sería derivando los vectores posición. En un sistema

inercial:

𝑣0 = 𝑐𝑡𝑒

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Y en un sistema no inercial:

𝑣𝑥´ = 𝑣 cos(𝜔𝑡) − 𝑥𝜔 sin 𝜔𝑡, 𝑣𝑦´ = 𝑣 sin(𝜔𝑡) −𝑥𝜔 cos 𝜔𝑡

Finalmente el vector aceleración en un sistema inercial sería:

�⃗� = 0

Y en un sistema no inercial lo obtenemos derivando respecto el tiempo

vx' y vy':

𝑎𝑥´ = −2𝑣𝜔 sin(𝜔𝑡) − 𝑥𝜔2 cos(𝜔𝑡), 𝑎𝑦´ = −2𝑣𝜔 cos 𝜔𝑡 − 𝑥𝜔2 sin 𝜔𝑡

La relación de la ecuación de la aceleración de Coriolis con estas últimas

expresiones viene determinada por:

�⃗�𝑐𝑜 = −2(�⃗⃗⃗�𝑥�⃗�) ↔ �⃗�𝑐𝑜 = −2(𝜔�⃗⃗�)(𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗) ↔

↔ �⃗�𝑐𝑜 = (−2𝑣𝜔 sin(𝜔𝑡) − 𝑥𝜔2 cos(𝜔𝑡))𝑖 + (−2𝑣𝜔 cos(𝜔𝑡) − 𝑥𝜔2 sin(𝜔𝑡) 𝑗 ↔

Una vez definidas las ecuaciones de la aceleración y fuerza de Coriolis,

pasaremos a analizar donde es máximo y mínimo dicho efecto en la

Tierra, para facilitar los cálculos haremos uso de la ecuación de la

aceleración de Coriolis en módulo.

�⃗�𝑐𝑜 = −2𝜔𝑣 sin 𝜃

20

El valor del ángulo θ lo podemos relacionar con la latitud λ. La latitud

proporciona la localización de un lugar de la Tierra a lo largo de un

meridiano y se expresa en grados. El valor en grados en cada punto viene

determinado en trazar una recta imaginaria que una el punto del cual

queremos saber la latitud con el centro de la Tierra de manera que el

ángulo que forma la recta con el plano ecuatorial es la latitud de dicho

punto. Veremos cómo se relaciona el efecto Coriolis y todas estas

ecuaciones con el péndulo de Foucault.

4. El péndulo de Foucault.

Foucault demostró haciendo uso del péndulo experimentalmente en

1850 que la Tierra efectúa un movimiento de rotación con una velocidad

angular de 1 vuelta/día. Para demostrarlo en un acto oficial usó un

péndulo la longitud del hilo medía 67 metros y la masa suspendida en el

extremo del hilo era una esfera de cobre de 28 kg. En el suelo y en forma

de circunferencia situó un lecho de arena tal que la aguja situada en un

extremo de la esfera dejaba un surco cada vez que alcanzaba llegaba a

los extremos. Sorprendentemente en minutos la traza inicial de la aguja

se regruesaba y en horas se podía percibir que el plano de oscilación se

había desplazado decenas de grados. ¿Cuál era la explicación?

La teoría que desarrolló Foucault era que sobre el péndulo no existía

ninguna fuerza sobre él que lo desplazase del plano de oscilación, tal

como hemos mostrado en el balance de fuerzas desarrollado en

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apartados anteriores y que era la Tierra y los observadores los que se

movían respecto el plano de oscilación, pero entonces. Para reflejarlo

recurriremos a un experimento que refleje dicho efecto.

4.1. Simulación del péndulo de Foucault.

Sobre una plataforma circular plana dispuesta horizontalmente que

gira en torno a un eje perpendicular al plano de giro y que pasa por el

centro de la misma fijamos un mástil vertical de altura considerable como

se muestra en el dibujo. El péndulo se une al mástil mediante una

escuadra. (figura 1.10).

Si separamos el péndulo de la posición de equilibrio para luego

dejarlo oscilar veremos que gira en un plano de oscilación y lo continuará

haciendo si ahora hacemos girar la plataforma sobre la cual se apoya el

mástil que sujeta el péndulo.

Si ahora suponemos que la plataforma que gira es el globo terráqueo,

simplificando la curvatura de la Tierra por una superficie plana podemos

deducir que si el sistema de referencia no está en el exterior de la Tierra

sino en un punto de ella, es decir, en un punto fijo de la plataforma

giratoria, no verá que gira la plataforma sino verá cambiar continuamente

el plano de giro del péndulo. Este punto de vista lo podemos reflejar en

el experimento colocando una cámara en la escuadra que une el péndulo

con el mástil que enfoque la plataforma, como la cámara gira solidaria a

la plataforma se verá que es el péndulo el que gira, efecto que

observamos como observadores desde la Tierra.

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Figura 1.10. Figura 1.11.

La figura 1.11 refleja por qué vemos este movimiento en la Tierra.

Observar que la causante de tal movimiento es la rotación terrestre, ya

que el plano del péndulo se mantiene inmóvil visto desde un sistema de

referencia inercial, el punto que está situado en el centro de la tierra se

mueve con movimiento M.A.S sobre la recta situada encima de la parte

oscura. En la mitad superior de la misma figura, se ve una parte de la

trayectoria del movimiento que vemos desde la Tierra. Si imaginamos

que la Tierra de la figura 1.11 rota mientras la partícula sigue con un

M.A.S. aparecerían las líneas marcadas que representan la trayectoria del

péndulo.

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4.2. Análisis del movimiento del péndulo.

Para continuar el análisis del comportamiento físico, el movimiento

del péndulo en un plano de oscilación viene definido por la ecuación del

movimiento armónico simple:

𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡)

Donde x es la posición, A es la amplitud y ω la frecuencia de oscilación

del péndulo y t el tiempo transcurrido. En la cámara observamos que el

péndulo sigue una extraña trayectoria respecto el plano horizontal tal

que dibuja una trayectoria parecida a la de la figura 1.11 y que sería la

trayectoria que apreciamos como observadores desde la Tierra.

Figura 1.11.

Entonces la trayectoria ya no es en una dimensión sino en dos, es

decir, teniendo presente que el sistema de referencia está en la Tierra

como decir que el plano de oscilación gira sobre un eje que pasa por la

vertical del péndulo. En este caso interviene el movimiento longitudinal

del péndulo por el plano y el movimiento giratorio del mismo.

𝑥´ = 𝐴 cos(𝜔𝑃é𝑛𝑑𝑢𝑙𝑜𝑡) cos(𝜔𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜𝑡)

𝑦´ = 𝐴 cos(𝜔𝑃é𝑛𝑑𝑢𝑙𝑜𝑡) sin(𝜔𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜𝑡)

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En dicha ecuación hemos trasladado la velocidad angular de giro

de la plataforma en el giro del plano, ahora lo extrapolaremos al caso

real5.

Como hemos dicho anteriormente, el movimiento que realiza el péndulo

que ve un observador desde la Tierra depende de la latitud λ donde esté

situado el mismo. El plano del péndulo girará a una velocidad angular ωf

de acuerdo con la siguiente ecuación, donde ω0 es la velocidad angular

de la Tierra.

𝜔𝑓 = 𝜔 𝑠𝑒𝑛 λ

Esto explica que su trayectoria en diferentes puntos de la Tierra describa

formas tan diferentes estando sendos extremos en el polo norte, donde

el péndulo daría una vuelta en 24 h y en el ecuador donde no se

produciría tal efecto.

A partir de aquí podemos deducir el periodo del péndulo en cuanto es el

giro de su plano de oscilación, es:

𝑇𝑝 = 2𝜋

𝜔𝑓

5 http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc-4/foucault.html

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/relativo/coriolis1/coriolis1.html

http://www.slideshare.net/CATMAN137/el-pndulo-de-foucault-12553335

http://perso.wanadoo.es/e/itxuragabe/pendulodefoucault.htm

http://cosei.azc.uam.mx/pdf/UAMProyecto-2-1.pdf

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5. El efecto Allais.

El economista francés, Maurice Allais, observando el movimiento del

péndulo de Foucault en 1954 notó que la velocidad de giro del plano

aumentó. El eclipse duró en la Tierra 2,5 horas y el péndulo giró 13, 6º

más de lo habitual.

Años más tarde, concretamente el 11 de agosto de 1999, la NASA

organizó un experimento a nivel mundial, participando 11 ciudades y 7

países a lo largo de los cuatro continentes para estudiar las desviaciones

de la trayectoria normal del péndulo. Algunas ciudades tuvieron eclipse

total, otras parcial o incluso no lo tuvieron. Por ejemplo en este

experimento, en el monasterio de Kremsmünster tuvieron eclipse total y

fue un lugar donde se realizó el experimento y el plano de oscilación del

péndulo girará 10º más que lo habitual. Aún ahora se desconoce el

porqué de tal efecto pero se provee que su descubrimiento revolucione

teorías como las de la gravedad o electromagnetismo.

26

CONCLUSIONES

El presente trabajo nos ha brindado la oportunidad de aplicar y afianzar

nuestros conocimientos en los ámbitos de cinemática, dinámica y

oscilatoria; así como refrescar las reglas formales de presentación y, de

citación de fuentes.

Ha sido un reto coordinar a todos los miembros del grupo para llevarlo a

cabo. Igualmente ha sido arduo administrar el tiempo necesario para la

investigación y realización del trabajo.

Destacamos que es nuestro primer trabajo universitario y estamos

expectantes de comprobar el nivel de exigencia que se pide para los

mismos.

27

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