El tiempo y espacio de albert

Esta publicacin se edita en el marco del convenio entre la ASOCIACIN GREMIAL DOCENTE DE LA

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES (AGD-UBA) y EDICIONES COOPERATIVAS

En Adhesin a los 100 aos de la Teora de la Relatividad

Comit Editorial

Prof. Carlos Bulcourf Lic. Alejandro Garca Venturini Dr. Axel Kicillof Act. Alberto Landro C.P. Juan Carlos Seltzer

Rafael Ferraro

El espacio-tiempo de Einstein

2da. Edicin

Ediciones Cooperativas es un emprendimientocooperativo de docentes de la Facultad de Ciencias Econmicas de la

Universidad de Buenos Aires para difundir sus trabajos einvestigaciones.

Ferraro, Rafael

El tiempo-espacio de Einstein 2. ed. Buenos Aires : Ediciones Cooperativas, 2007. 440 p.; 21x17 cm.

ISBN 987-1076-90-8

1. Teora de la relatividad. I. Ttulo CDD 530.11

2008 Ediciones Cooperativas Tucumn 3227, (1189) Buenos Aires Argentina (54 011) 4864 5520 / (15) 4198 5667 http://www.edicionescoop.org.ar

info@ edicionescoop.org.ar

2008 Rafael Ferraro Derechos exclusivos

EEddii ttoorr iiaa ll aassoocciiaaddaa aa::

IMPRESO EN ARGENTINA PRINTED IN ARGENTINE

Impreso y encuadernado por: Imprenta Dorrego. Dorrego 1102, Cap. Fed. 2. ed. Tirada: 100 ejemplares. Se termin de imprimir en

Hecho el depsito que establece la ley 11.723

1 edicin, Febrero 2005 2 edicin, Abril 2008

Ninguna parte de esta publicacin, incluido el diseo de cubierta puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera alguna ni por ningn medio, ya sea electrnico, mecnico, ptico de grabacin o de fotocopia sin permiso previo del Editor. Su infraccin est penada por las leyes 11723 y 25446

Abril 2008.

El espacio-tiempo de Einstein

Rafael FerraroDoctor en Fsica

Universidad de Buenos Aires

Consejo Nacional de Investigaciones Cientficas y Tcnicas

iCONTENIDOS

Prlogo vPrlogo a la segunda edicin ix

1 El espacio y el tiempo antes de Einstein 1

1.1 El espacio y el tiempo absolutos 1 1.2 Las propiedades geomtricas del espacio 3 1.3 Galileo y las leyes del movimiento 6 1.4 Cambio de coordenadas entre sistemas en movimiento relativo 8 1.5 El Principio de inercia 11 1.6 El Principio de relatividad 12 1.7 Fenmenos fsicos con un sistema de referencia privilegiado 15 1.8 El electromagnetismo de Maxwell 17

2 En busca del ter 21

2.1 Dos modelos para la luz 21 2.2 Primera determinacin de la velocidad de la luz 26 2.3 La aberracin de la luz 27 2.4 Primer mtodo terrestre para la medicin de c 32 2.5 El ter lumfero 33 2.6 Bsqueda del movimiento absoluto terrestre: el arrastre del ter 35 2.7 Experimento de Fizeau 39 2.8 Experimento de Hoek 41 2.9 Experimento de Airy 43 2.10 Experimento de Michelson-Morley 44 2.11 La contraccin de FitzGerald-Lorentz 52 2.12 El ocaso del ter 53

3 Espacio y tiempo en Relatividad Especial 57

3.1 Postulados de la Relatividad Especial 57 3.2 Contraccin de longitudes y dilatacin de tiempos 60 3.3 El viaje del mun 64 3.4 Longitudes transversales al movimiento 65 3.5 Composicin de movimientos 66 3.6 Interpretacin del experimento de Fizeau 71

3.7 Componentes transversales de la velocidad 72 3.8 La nocin de simultaneidad 74 3.9 Eventos y lneas de universo 77 3.10 Lneas coordenadas de S en el diagrama espacio-temporal de S 81 3.11 Transformaciones de Lorentz 87 3.12 Comparacin de relojes en distintos sistemas de referencia 94 3.13 Transformaciones de velocidades y aceleraciones 98 3.14 Paradojas: vestigios de pensamiento clsico 102 3.15 Efecto Doppler 109 3.16 Transformacin de los rayos de luz 115 3.17 Transformacin de una onda plana 117 3.18 Propagacin de la luz en medios materiales 122

4 Estructura geomtrica del espacio-tiempo 125

4.1 El intervalo 125 4.2 Hiprbola de calibracin 127 4.3 El cono de luz 130 4.4 Eventos separados temporalmente 131 4.5 Paradoja de los gemelos 134 4.6 Eventos separados espacialmente 138 4.7 Parmetro de velocidad. Rapidez 141 4.8 Rotacin de Wigner 144

5 Transformaciones del campo electromagntico 151

5.1 La onda electromagntica plana 151 5.2 Transformaciones de E y B 154 5.3 Transformaciones de las densidades de carga y corriente 159 5.4 Campo de una carga en movimiento 164 5.5 Transformaciones de los potenciales 166 5.6 Campos en medios materiales 168 5.7 Campos de dipolos en movimiento 170 5.8 Transformacin de la fuerza de Lorentz 173 5.9 Invariantes del campo electromagntico 174

6 Energa y cantidad de movimiento 177

6.1 Leyes de conservacin 177 6.2 Energa y cantidad de movimiento de una partcula 181 6.3 Invariante energa-cantidad de movimiento. Fuerza 186

iii

6.4 Movimiento de cargas en campos uniformes 190 6.5 Sistema centro de momento 194 6.6 Fenmenos derivados de la equivalencia masa-energa 197 6.7 Centro de inercia 204 6.8 Colisiones elsticas entre partculas 206 6.9 Interaccin de la radiacin electromagntica con la materia 219

7 Formulacin covariante 229

7.1 Cuadritensores 229 7.2 Mtrica 238 7.3 Norma y argumento de un cuadrivector 243 7.4 Momento angular 246 7.5 Volumen e hipersuperficies 250 7.6 Tensor de energa-momento de un medio continuo 256 7.7 Electromagnetismo 269 7.8 Transporte de Fermi-Walker 276

8 Inercia y gravedad 283

8.1 La crtica al movimiento absoluto 283 8.2 El Principio de equivalencia 287 8.3 El campo gravitatorio-inercial 294 8.4 Geometra riemanniana 300 8.5 Movimiento de partcula libremente gravitante 305 8.6 Derivada covariante. Acoplamiento mnimo 311 8.7 Tensor de Riemann. Ecuaciones de Einstein 319

9 Resultados de la Relatividad General 331

9.1 Solucin de Schwarzschild. Agujero negro 331 9.2 Movimiento inercial en la geometra de Schwarzschild 336 9.3 Deflexin de la luz en la geometra de Schwarzschild 343 9.4 Coordenadas de Kruskal-Szekeres 346 9.5 Modelos cosmolgicos 351 9.6 Evolucin del universo 360 9.7 Soluciones no machianas. Constante cosmolgica 372 9.8 Problemas del modelo estndar de Big-Bang 380 9.9 Confrontacin con los experimentos 386

Apndice 393

1. La ecuacin de Euler-Lagrange 393 2. La funcional accin 395 3. El tensor de energa-momento mtrico 400 4. Transformaciones de gauge y conservacin de las fuentes 402 5. Vectores de Killing y conservacin de la energa-momento 404

Bibliografa

Trabajos citados en el texto

ndice alfabtico

Complementos1A Ondas mecnicas 1B Ecuaciones de Maxwell2A El arrastre parcial del ter2B Franjas localizadas en una cua de aire3A Uso de las transformaciones de Lorentz 4A La precesin de Thomas y los espectros atmicos 6A Uso de las leyes de conservacin8A Vectores y covectores8B Derivada de vectores 8C Coordenadas normales de Riemann 8D Desviacin geodsica

Biografas Galileo Galilei Isaac Newton James Clerk Maxwell Albert Einstein

407

409

413

16203650

9293150203304312316320

7131963

vPRLOGO

Entre 1994 y 1999 tuve el placer de dictar los cursos de Relatividad Espe-cial y General de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires. Esos cursos estuvieron destinados a estudiantes de la carrera de Licenciatura en Ciencias Fsicas, pero es evidente que el inters por la Relatividad se extiende mucho ms all de ese mbito acadmico. Por ello este libro, que cosecha aquella experiencia, aspira a ser til tambin para estudian-tes de disciplinas afines y otros lectores interesados en la obra de Einstein, quienes podrn acceder plenamente a las ideas fundamentales de la Relatividad a partir de los conceptos bsicos de la Fsica.

El aprendizaje de la Teora de la Relatividad exige el abandono de las nociones de espacio y tiempo que utilizamos en nuestra relacin cotidiana con el mundo. Estas nociones clsicas de espacio y tiempo estn en la base de la Mecnica de Newton, que domin la Fsica durante ms de dos siglos hasta que entrara en conflicto con el electromagnetismo de Maxwell. Antes de Einstein se crea en distancias e intervalos de tiempo independientes del estado de movimiento del sistema de referencia, y en un espacio inmutable con propie-dades euclidianas. Estas presunciones se respaldan firmemente en la experien-cia cotidiana, de tal forma que esas nociones clsicas estn incorporadas a nuestro pensamiento como verdaderas. Existe entonces una natural resisten-cia en cada uno de nosotros a abandonar las nociones clsicas de espacio y tiempo para sustituirlas por otras de las que no tenemos evidencia en el rango de fenmenos abarcado en la vida diaria. Este estado de cosas puede llevar al estudiante de Relatividad a un tipo de pensamiento viciado por la coexistencia de las nociones viejas y nuevas, que lo inducira a diversas perplejidades y paradojas. El enfoque histrico de este texto procura que el lector recorra el mismo camino seguido por la Fsica entre los siglos XVII y XX, y reproduzca as el proceso intelectual que condujo a cambiar la manera de concebir el espacio-tiempo. Este recorrido lo pondr en condiciones de aceptar e incor-porar cabalmente las consecuencias del cambio.

Los Captulos 1-7 contienen un curso completo de Relatividad Especial, que puede adaptarse a un curso introductorio mediante una adecuada seleccin de temas. En este sentido, el libro permite una lectura en varios niveles, pues algunos temas que dificultaran la lectura de los estudiantes menos preparados

son presentados como Complementos en cuadros de texto. Los dos primeros Captulos recorren el camino histrico hacia la Relatividad Especial. El Captulo 1 comienza con la disputa entre Leibniz y Newton acerca del carcter relacional o absoluto del espacio una cuestin que ser nuevamente conside-rada al introducir la Relatividad General en el Captulo 8, y el papel que juegan las distancias y tiempos absolutos en la Dinmica newtoniana. Las dos teoras mecnicas de la luz el modelo corpuscular y la teora ondulatoria del ter lumfero son desarrolladas en detalle en el Captulo 2, para abordar las tensiones surgidas en la segunda mitad del siglo XIX entre la teora del ter electromagntico de Maxwell y el Principio de relatividad. El desafo planteado por los resultados experimentales (Arago, Hoek, Airy, Michelson-Morley, etc.) y los esfuerzos tericos para resolverlo (Fresnel, Lorentz, Poincar, etc.) preparan la llegada de la teora de Einstein. El Captulo 3 introduce los postulados de la Relatividad Especial y las nociones de espacio y tiempo que de ellos se derivan. El aprendizaje de contraccin de longitudes, dilatacin de tiempos, transformaciones de Lorentz, composicin relativista de movimientos, etc., no precisa ms que conocimientos de cinemtica elemental. El punto central aqu es la cabal comprensin de la interrelacin entre contrac-cin de longitudes y dilatacin de tiempos que emerge del postulado de invariancia de la velocidad de la luz (necesario para la validez de las leyes de Maxwell en todo sistema inercial). El Captulo 3 trata adems la transfor-macin de una onda plana y su conexin con los fundamentos de la Mecnica Cuntica. El Captulo 4 desarrolla las propiedades geomtricas del espacio-tiempo de Minkowski invariancia del intervalo, estructura causal, cono de luz, etc. , junto con algunos tpicos avanzados como la rotacin de Wigner. El Captulo 5 ensea las transformaciones del campo electromagntico y las distribuciones de carga y corriente en el contexto del lenguaje vectorial ordinario. Contiene tambin los campos de cargas, dipolos y medios continuos en movimiento. El Captulo 6 est dedicado a la Dinmica relativista, y explica los cambios que debi sufrir la Dinmica newtoniana para que sus leyes se ajusten al Principio de relatividad bajo transformaciones de Lorentz. La reformulacin de la Dinmica conduce a la equivalencia masa-energa y la rica fenomenologa de Fsica atmica y nuclear relacionada con este tema. El Captulo 7 presenta el lenguaje cuadritensorial, y prepara los instrumentos bsicos que se utilizan en Relatividad General: tensor mtrico, volumen e hipersuperficies, tensor de energa-momento de un fluido, formulacin cova-riante del electromagnetismo, transporte de Fermi-Walker, etc. El Captulo 8 expone la Relatividad General la teora relativista del campo gravitatorio-

vii

inercial apelando a la crtica de Mach a la Mecnica como elemento disparador de las ideas de Einstein. Una vez ms, la explicacin transita por el camino histrico para enfocarse en el nacimiento de los nuevos conceptos. Se introducen aqu las herramientas matemticas de la geometra diferencial deri-vada covariante, tensor de Riemann, etc. evitando excesos de complejidad matemtica. Se formulan las ecuaciones de Einstein para la geometra del espacio-tiempo, y se estudian sus consecuencias en la aproximacin de campo dbil para encontrar el punto de contacto entre las teoras de Newton y Einstein. Se analiza la cuestin del nmero de grados de libertad y las ecuaciones de vnculo, y se ejemplifica en el contexto de las ondas gravi-tatorias. El Captulo 9 ensea los aspectos principales de la geometra de agujero negro de Schwarzschild, y aplica la Relatividad General a la Cosmo-loga. La exposicin de los modelos cosmolgicos istropos y homogneos es desarrollada en el marco de los ltimos avances de la cosmologa observacio-nal. El Captulo finaliza con una presentacin actualizada de los resultados experimentales que confirman la Relatividad General. El Apndice incluye algunos tpicos especiales, no esenciales en una primera lectura, pero prove-chosos para los estudiantes avanzados. En suma, los ltimos Captulos son adecuados para un curso introductorio de Relatividad General y Cosmologa.

Deseo agradecer la hospitalidad del Instituto de Astronoma y Fsica del Espacio (IAFE), donde estos cursos se realizaron mayormente. En el IAFE nos hemos formado buena parte de los relativistas de Buenos Aires, bajo la gua sabia de Mario Castagnino. Quiero expresar mi gratitud a Gerardo Milesi, Daniel Sforza, Claudio Simeone y Marc Thibeault, quienes contribuyeron en distintas formas a la realizacin de este libro, ya sea aportando bibliografa, corrigiendo pruebas o mediante comentarios que enriquecieron sus contenidos. Un reconocimiento especial para mi esposa Mnica Landau que colabor tambin en la preparacin de esta obra y mis dos hijos, Damin y Sofa, por su apoyo y su paciencia durante el prolongado tiempo de escritura.

R. F.

Buenos Aires, enero de 2005.

ix

PRLOGO A LA SEGUNDA EDICIN

Esta edicin se produce en oportunidad de la publicacin de la obra en lengua inglesa, lo que constituye un doble motivo de satisfaccin. En lneas generales esta segunda edicin no difiere grandemente de la primera, pues sus captulos mantienen la estructura original. Sin embargo diversos pasajes fueron ampliados y mejorados. Adems se enmendaron las erratas halladas durante la revisin.

Esta ocasin es apropiada para agradecer a Rafael Gonzlez por su generosa y desinteresada disposicin para apoyar y difundir esta obra, en consonancia con el impulso que la Asociacin Gremial Docente diera a su publicacin.

R. F.

Buenos Aires, septiembre de 2007.

1El espacio y el tiempo

antes de Einstein

1.1 El espacio y el tiempo absolutos Las nociones de espacio y tiempo que dominaron la Fsica hasta comienzos

del siglo XX estn fuertemente ligadas al pensamiento de Isaac Newton (1642-1727). Sin embargo, durante el siglo XVII dos corrientes filosficas confron-taban acerca de la naturaleza del espacio y el tiempo. Mientras que Newton defenda la idea de espacio y tiempo absolutos, con existencia independiente de los fenmenos fsicos, en cambio los relacionistas pensaban que el espacio y el tiempo no eran algo en s mismo, sino que emergan de las relaciones entre los objetos materiales. El principal exponente de estos ltimos era Gottfried W. Leibniz (1646-1716). En su correspondencia con Samuel Clarke (discpulo de Newton), Leibniz sostena que

...[el espacio] es ese orden que hace que los cuerpos sean situables, y por el cual tienen una situacin entre ellos al existir juntos, como el tiempo es ese orden por referencia a su posicin sucesiva. Pero si no hubiera criaturas, el espacio y el tiempo no estaran sino en las ideas de Dios...

...no hay espacio real fuera del universo material...

relacionismovs. absolutismo

2 EL ESPACIOTIEMPO DE EINSTEIN

...es irrazonable que haya un movimiento distinto al de sus partes [las del universo] cambiando de posicin entre ellas; puesto que un movimiento tal no producira ningn cambio observable, y sera sin objeto... No hay movimiento cuando no hay ningn cambio observa-ble...

La nocin newtoniana de espacio absoluto era inadmisible para Leibniz, debido a que seran indiscernibles dos universos cuyos cuerpos ocupasen dis-tintas posiciones absolutas, pero idnticas posiciones relativas.

Por su parte Newton consideraba que el espacio tiene realidad independien-temente de los objetos que residan en l; de manera que aun el espacio vaco sera concebible. En la Fsica de Newton el espacio y el tiempo son el asiento de los fenmenos fsicos, sin que estos produzcan efecto alguno sobre aquellos, pues el espacio permanece siempre igual a s mismo, y el tiempo discurre uni-formemente. En los Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Newton dice que

El tiempo absoluto, verdadero y matemtico, sin relacin a algo exterior, discurre uniformemente y se llama duracin. El tiempo relativo, aparente y vulgar, es esa medida sensible y externa de una parte de duracin cualquiera (igual o desigual), tomada del movimiento: tales son las medidas de horas, de das, de meses, etc., que se usan ordinariamente en lugar del tiempo verdadero... El espacio absoluto, sin relacin a las cosas externas, permanece por su naturaleza siempre similar e inmvil. El espacio relativo es esa medida o dimensin mvil del espacio absoluto, la cual cae bajo nues-tros sentidos por su relacin a los cuerpos y que el vulgo confunde con el espacio inmvil...

El movimiento absoluto es la traslacin de un cuerpo de un lugar absoluto a otro lugar absoluto y el movimiento relativo es la traslacin desde un lugar relativo a otro lugar relativo.

I. Newton, Principia (London, 1687), Definiciones (Escolio).

La polmica entre relacionistas y absolutistas se acall en los siglos siguientes, debido al xito de la ciencia newtoniana. En realidad permaneci en un estado de latencia, pues resurgira hacia fines del siglo XIX.

eessppaacciiooyy ttiieemmppoo

aabbssoolluuttooss ddeeNNeewwttoonn

1.5 Cap. 8

1. EL ESPACIO Y EL TIEMPO ANTES DE EINSTEIN 3

1.2 Las propiedades geomtricas del espacioLa nica geometra del espacio conocida en la poca de Newton era la

geometra de Euclides. Aunque poco se sabe sobre la vida de Euclides ni siquiera hay certeza de que haya realmente existido, se cree que ense en Alejandra alrededor del ao 300 antes de nuestra era. Si bien la geometra euclidiana la misma geometra que hoy se estudia en la escuela no es ms que un sistema lgico derivado de un conjunto de definiciones, postulados y axiomas, siempre se consider que describa adecuadamente las propiedades mtricas del espacio. Sus axiomas y postulados son completamente intuitivos y naturales. Solamente el comnmente conocido como 5to. postulado cuyo contenido equivale a afirmar que por un punto exterior a una recta pasa una y slo una paralela result poco natural para muchos matemticos, quienes se preguntaron si no sera posible construir una geometra diferente sustituyendo ese postulado por algn otro. Se cuenta que Karl Friedrich Gauss (1777-1855), intrigado por esta cuestin, decidi realizar un experimento para averiguar si el 5to. postulado era o no verdadero. Una de las consecuencias de ese postulado es que los ngulos interiores de un tringulo suman dos rectos. Entonces Gauss decidi medir los ngulos del tringulo formado por las cimas de los montes Brocken, Hohenhagen e Inselberg, distantes entre s varias decenas de kilmetros. La suma de las determinaciones experimentales de los ngulos mostr un buen acuerdo con el resultado de la geometra euclidiana, dentro de los mrgenes de error del experimento. De esta forma Gauss pudo verificar que el espacio es aproximadamente euclidiano, al menos en regiones similares a la involucrada en su experimento.

Si aceptamos que las propiedades geomtricas del espacio son las de la geometra euclidiana, entonces podemos valernos de las mismas para construir sistemas de coordenadas cartesianas que nos permitan describir la ubicacin de un punto respecto de un cuerpo de referencia. Representaremos el cuerpo de referencia mediante tres planos mutuamente ortogonales. Las coordenadas cartesianas de un punto P resultan de medir las distancias desde P a cada uno de los planos, lo que implica trazar por P la perpendicular (nica) a cada plano (Figura 1.1). Las rectas donde los planos se cortan son los ejes cartesianos. Podemos graduar estos ejes y medir las coordenadas cartesianas directamente sobre ellos, tomando como origen de coordenadas el punto O donde los ejes se intersecan (Figura 1.2).

geometraeuclidiana

5to.Postulado de Euclides

coordenadascartesianas


yP

zP

xPP

Figura 1.1. Coordenadas cartesianas (x,y,z) de un punto P.

P

x

x P

z P

y P

z

yO

Figura 1.2. Coordenadas cartesianas de un punto P medidas sobre los ejes cartesianos.


Si conocemos las coordenadas cartesianas de dos puntos P y Q en un mismo sistema de referencia, podemos calcular la distancia dPQ entre ambos puntos usando el teorema de Pitgoras (Figura 1.3):

2222 )()()( QPQPQPPQ zzyyxxd . (1.1)

Si los puntos P y Q son mviles, sus coordenadas respecto del cuerpo de referencia cambian con el tiempo. En ese caso el clculo de la distancia requiere una determinacin simultnea de las coordenadas de P y Q, y el resultado es una funcin del tiempo.

En la Fsica anterior a Einstein la distancia era vista como una cantidad invariante (independiente del sistema de referencia). Se consideraba que la distancia era una propiedad del par de posiciones absolutas que ocupan los puntos P y Q en el instante en que dPQ es evaluada. Este supuesto juega un papel fundamental en la transformacin de coordenadas entre dos sistemas de referencia que veremos en 1.4.

Cap. 8

distancia

Figura 1.3. Distancia dPQ entre dos puntos P y Q.

x

z

y

P

Q

| zP - zQ |

| xP - xQ || yP - yQ |

d PQ

[ (xP xQ )2 + (yP yQ )2 ] 1/2


1.3 Galileo y las leyes del movimiento Durante los siglos de tradicin aristotlica que antecedieron a Galileo

Galilei (1564-1642), el movimiento de un cuerpo se asociaba con la accin de una fuerza sobre el mismo. Para decirlo con las palabras del propio Aristteles: el cuerpo en movimiento se detiene cuando la fuerza que lo empuja deja de actuar. Imaginemos que nos encontramos navegando a bordo de un barco, y que desde lo alto del mstil dejamos caer una piedra. Los aristotlicos dirn que la piedra no caer al pie del mstil debido a que al soltar la piedra dejamos de comunicarle la fuerza necesaria para que mantenga el mismo estado de movi-miento que tiene el barco. Por lo tanto la piedra dejar de acompaar el avance del barco, y caer hacia atrs del mstil.

Galileo desafi el pensamiento aristotlico al sostener que la piedra s mantiene el estado de movimiento que tiene antes de ser soltada, y por lo tanto acompaar al barco y caer al pie del mstil. Aunque Galileo discuti esta cuestin bajo la forma de un experimento pensado (el experimento real fue realizado ms tarde por Pierre Gassendi en 1641), l haba examinado la persistencia del movimiento en su laboratorio, combinando los procedimientos que caracterizan el mtodo cientfico: el control de la teora mediante el expe-rimento, y la extrapolacin del resultado experimental a las condiciones ideales donde los efectos secundarios no intervengan. As Galileo estudi la persis-tencia del movimiento (inercia) mediante el uso de bolitas que arrojaba sobre tablas, notando que, si bien la bolita se detena debido al rozamiento con la superficie de la tabla y el aire, en condiciones ideales es decir, eliminado los rozamientos la bolita persistira en su movimiento.

Toda velocidad, una vez impartida a un cuerpo, se conservar sin alteracin mientras no existan causas externas de aceleracin o retardo, condicin que se cumple solamente sobre planos horizontales; pues el movimiento de un cuerpo que cae por una pendiente se acelera, mientras que el movimiento hacia arriba se retarda; de esto se infiere que el movimiento sobre un plano horizontal es perpetuo; pues, si la velocidad es uniforme, no puede disminuirse o mermarse y menos an destruirse.

Galileo, Consideraciones y demostraciones matemticas sobre dos ciencias nuevas (Leiden, 1638).

Aunque la observacin cruda indicara que los movimientos siempre se detienen (por efecto de los rozamientos), Galileo se dio cuenta de que lo esen-cial es que el movimiento persiste.

GGaalliilleeooiinnvveessttiiggaa llaa

iinneerrcciiaa


En el experimento pensado de la piedra y el barco, Galileo nos revela que la persistencia del movimiento implica que el experimento tiene igual resultado tanto si el barco est amarrado como si se halla navegando: en ambos casos la piedra cae al pie del mstil. Si en un experimento real se observa que la piedra cae hacia la popa cuando el barco navega, como sostendran los aristotlicos, esto no significa que el movimiento no persista sino que el rozamiento con el aire frena el movimiento de la piedra. Igual resultado se obtiene en un barco amarrado cuando sopla viento desde proa (es decir, siempre que el movimiento relativo del aire respecto del barco sea el mismo). En ambos casos este efecto se eliminara realizando el experimento en una cabina cerrada del barco.

Galileo rompe entonces con la idea de que el movimiento necesita de una fuerza. Por otro lado, nos ensea que no es posible detectar el movimiento del barco por medio de un experimento realizado en el interior del mismo: las leyes de la Fsica sobre el barco navegando son las mismas que se cumplen sobre el barco amarrado. Cotidianamente verificamos esta conclusin en los medios de transporte: la velocidad de un tren no es detectable en su interior (slo cuando miramos por la ventanilla reconocemos que estamos en movimiento relativo respecto de tierra). En cambio s son observables las variaciones de la veloci-dad, ya sean de direccin o de magnitud: cuando el tren toma una curva o salta al atravesar la unin de dos tramos de va, cuando frena o cuando acelera.

Galileo Galilei (15641642). Entre 1581 y 1585 curs estudios incom-pletos de medicina, filosofa y matemticas en la Universidad de Pisa,ciudad vecina a su lugar natal. All tena una ctedra de matemticasen 1592, cuando habra realizado en la torre inclinada el experimentoque prueba que el movimiento de cada libre no depende de las pro-piedades de los cuerpos. En 1609 construy un telescopio en la Uni-versidad de Padua, con el que descubri los crteres de la Luna, lossatlites de Jpiter y la conformacin de la Va Lctea. En 1613, sien-do Matemtico y Filsofo Natural del Duque de Toscana, anunci que

la sucesin de las fases de Venus y su relacin con el tamao aparente del planetafavorecan al sistema de Coprnico. Esto le vali que la Inquisicin lo acusara dehereje en 1633, obligndolo a abjurar de la idea de que la Tierra se mueve, y conde-nndolo a arresto domiciliario en su casa de Arcetri (Florencia). Sus ltimos trabajosfueron llevados clandestinamente al exterior y publicados en Leiden (Pases Bajos),desde donde ejercieron gran influencia.

Al antiguo empirismo ingenuo, Galileo opuso el experimento preparado de la cien-cia actual, que se vale de instrumental ad hoc para interrogar a la naturaleza acerca de la veracidad de una teora fsica formulada matemticamente. Sus investigacionessobre la inercia y las leyes del movimiento, por medio de pndulos y planos inclinados,abrieron el camino a la obra de Newton. Aunque Galileo no fue el primero en alcanzaresos conocimientos hacia 575 I. Philoponus haba enjuiciado correctamente la opi-nin de Aristteles sobre la cada de los cuerpos, la ley del movimiento uniformementeacelerado era conocida desde el siglo XIV, y en 1586 J. de Groot y S. Stevin habanpublicado su propia verificacin experimental de la ley de cada, esto en modo alguno es bice en la consideracin de Galileo como padre de la ciencia moderna.

el estado de movimiento no es detectable

1.5 Cap. 8


1.4 Cambio de coordenadas entre sistemas en movimiento relativo La posibilidad de utilizar las leyes de la Fsica en distintos sistemas de

referencia como el sistema de referencia fijo a tierra o el sistema fijo al barco de la Seccin anterior nos conduce a averiguar cmo se transforman las coor-denadas cartesianas de un mvil cuando se cambia el sistema de referencia al que las coordenadas aluden. Consideremos dos sistemas de referencia distintos, que llamaremos S y S , con un movimiento relativo de traslacin (la orienta-cin relativa de los ejes cartesianos no cambia al transcurrir el tiempo) cuya velocidad relativa V es asimismo constante. Por simplicidad, los sistemas S y Ssern escogidos coincidentes en t 0, con sus ejes x - x en la direccin del movimiento relativo (vase la Figura 1.4). En un instante t cualquiera, la distancia entre los orgenes de coordenadas O y O es dOO Vt.

La transformacin de la coordenada cartesiana x de un punto P se obtiene a partir de la Figura 1.5, donde se observa que

POOOOP ddd '' , (1.2)

y de la relacin entre distancias y coordenadas cartesianas: dOP {x, dOP{x.Por lo tanto

'xtVx . (1.3)

V

x

y

z z

y

x

S S

O O

Figura 1.4. Sistemas de referencia S y S en movimiento relativo.


Aunque la transformacin de coordenadas (1.3) nos parezca completamente evidente y natural, es necesario enfatizar que el resultado (1.3) est estrecha-mente ligado al carcter invariante que se atribuye a las distancias en la Fsica Clsica. En principio, la Ec. (1.2) slo tiene significado cuando todas las distan-cias involucradas estn medidas en el mismo sistema, ya sea en S o en S. Pero la coordenada x es la distancia dO P medida en S, mientras que la coordenada xes la distancia dO P medida en S. Por lo tanto, si la Ec. (1.2) es leda desde el sistema S entonces dOP se reemplaza por x, pero dO P no debera sustituirse por x. Sin embargo, gracias al carcter invariante atribuido a las distancias (las distancias tienen el mismo valor en cualquier sistema de referencia) se vuelve correcto el reemplazo del valor de dOP medido en S por la coordenada x del punto P.

La transformacin de coordenadas (1.3) no sera consistente si no fuera por un supuesto adicional: la invariancia de los intervalos de tiempo. Efectiva-mente, si el tiempo requerido para el desplazamiento dOO fuera t medido en S,pero t distinto de t medido en S, entonces la Ec.(1.2) analizada desde Sconducira a x Vt+x, en desacuerdo con la Ec.(1.3). Por lo tanto ambos supuestos acerca de la naturaleza del espacio y el tiempo esto es, que las distancias y los intervalos de tiempo son invariantes estn fuertemente rela-cionados y se necesitan mutuamente.

Si bien las conjeturas clsicas acerca de la naturaleza de distancias y tiempos parecen palmariamente certificadas por nuestra experiencia cotidiana, es necesario remarcar que nuestra experiencia cotidiana se desarrolla en un

la transformacinde Galileo presupone que las distancias son invariantes

distanciasinvariantesrequieren tiempos invariantes

xO

xO

P

d O P

d O O d O P

Figura 1.5. La distancia dOP es la suma de dOOc y dOcP.


rango de velocidades estrecho, por lo que sera ms prudente afirmar que esos supuestos son adecuados para ese rango de velocidades.

Las coordenadas y, z son las distancias entre el punto P y dos planos coordenados mutuamente ortogonales que se cortan sobre el eje x (vanse las Figuras 1.1 y 1.2). Los sistemas S y S de la Figura 1.4 estn igualmente orientados, y sus ejes x - x estn superpuestos. Por lo tanto, S y S comparten los planos coordenados desde donde se miden las coordenadas y, z. Esta carac-terstica, unida a la invariancia de las distancias, implica que las coordenadas y,z de un punto son las mismas en ambos sistemas de referencia. En sntesis, las transformaciones de las coordenadas cartesianas de un punto en el instante t son

(1.4)

que reciben el nombre de transformaciones de Galileo, en homenaje a quien inici el estudio moderno de las leyes del movimiento.1 Estas tres ecuaciones pueden reunirse en una nica ecuacin vectorial para la transformacin del vector posicin del punto P, r (x,y,z):

tVrr ' . (1.5)

Debido a su carcter vectorial, la Ec. (1.5) es vlida aun cuando la direccin de V no coincide con la de los ejes x - x. En efecto, las relaciones vectoriales no son afectadas por rotaciones de los ejes cartesianos. Las transformaciones (1.4) se completan con la invariancia del tiempo:

(1.6)

1 El nombre de transformaciones de Galileo fue dado por P. Frank en 1909.

x x V t

y y

z z

ttrraannssffoorrmmaacciioonneessddee GGaalliilleeoo

t t


Derivando la Ec. (1.5) respecto de t ( t ), y recordando que V no depende de t, obtenemos la transformacin de la velocidad u dr/dt, conocida como teorema de adicin de velocidades de Galileo:

Vuu ' . (1.7)

Claramente, el valor de la distancia (1.1) entre las posiciones simultneas de dos puntos P y Q no es modificado por las transformaciones de Galileo. Esta invariancia no debe asombrarnos, pues ya fue supuesta en la construccin de la transformacin de coordenadas.

1.5 El Principio de inercia Como se mencion en 1.3, Galileo consideraba que el rasgo esencial del

movimiento es su tendencia a perdurar. Este concepto es elevado por Newton a la categora de Primera Ley de la Dinmica, conocida como Principio de inercia:

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento uniforme en lnea recta, a menos que fuerzas ejercidas sobre l lo obliguen a cambiar ese estado.

I. Newton, Principia (London, 1687),Axiomas.

No podra sostenerse que este Principio es un estricto resultado experi-mental. Por un lado no resulta evidente cmo reconocer si un cuerpo est o no libre de fuerzas. Aun imaginando un nico cuerpo en el universo, es indudable que su movimiento no puede ser rectilneo y uniforme respecto de cualquier sistema de referencia. Es claro, por otra parte, que dado un sistema de referen-cia en donde un cuerpo se mueva con movimiento rectilneo y uniforme (es decir, con u constante), entonces el teorema de adicin de velocidades (1.7) garantiza que el movimiento tambin ser rectilneo y uniforme en cualquier otro sistema de referencia que se traslade con velocidad V constante respecto del primero. Por lo tanto si existe un sistema de referencia en donde se cumple el Principio de inercia, habr entonces toda una familia de sistemas en donde este se verifique. Cul es esa familia? Qu confiere a esta familia un privi-legio respecto del resto de los sistemas?

teorema de adicin de velocidades

Cap. 3 4.1


El espacio absoluto es una necesidad en el esquema terico de Newton, pues de otro modo estas preguntas quedaran sin respuesta; segn Newton el Principio de inercia es vlido en un sistema en reposo absoluto, y en cualquier otro sistema de referencia que se traslade con velocidad constante respecto del espacio absoluto. Tales sistemas de referencia se denominan sistemas inercia-les, y su privilegio frente al resto de los sistemas es conferido por la forma en que se mueven respecto del espacio absoluto. Por lo tanto el espacio absoluto de Newton determina las trayectorias inerciales de los cuerpos, sin recibir por esto ningn efecto, ya que l mismo permanece inmutable.

Newton se refiere a los sistemas inerciales y a las determinaciones de posi-cin y velocidad respecto de tales sistemas, cuando habla de espacios relativos y de medidas sensibles (vase la cita al final de 1.1):

...como las partes del espacio no pueden ser vistas o distinguidas unas de otras mediante nuestros sentidos, les aplicamos medidas sensibles...

Por lo cual usamos lugares y movimientos relativos en vez de abso-lutos, sin inconveniente alguno en los asuntos comunes, aunque en disquici-siones filosficas debamos hacer abstraccin de nuestros sentidos y consi-derar las cosas mismas, distinguindolas de sus medidas sensibles.

I. Newton, Principia (London, 1687), Definiciones (Escolio).

En la prctica, un sistema inercial es reconocido no por su estado de movi-miento respecto del espacio absoluto, sino por el grado de verificacin del Principio de inercia. En realidad esta actitud nos conduce a un crculo vicioso, ya que para realizar una tal certificacin deberamos contar con un cuerpo libre de fuerzas. Pero qu significa y cmo se garantiza que el cuerpo est libre de fuerzas? Entonces nos contentamos con adoptar como sistemas inerciales a aquellos en donde el Principio de inercia, y las otras leyes fundamentales de la Fsica se verifican en un grado satisfactorio.

1.6 El Principio de relatividad Ya vimos en 1.3 que la persistencia del movimiento (o inercia) descubierta

por Galileo, lleva a la imposibilidad de discernir el estado de movimiento del barco en el experimento pensado del barco y la piedra. En efecto, el resultado del experimento es el mismo ya sea que el barco se encuentre navegando o est amarrado. Esta conclusin se formaliza en el Principio de relatividad:

eell eessppaacciiooaabbssoolluuttoo

sseelleecccciioonnaa llaaffaammiilliiaa ddee

ssiisstteemmaassiinneerrcciiaalleess

Cap. 8


Isaac Newton (1642-1727). Naci hurfano de padre en Wools-thorpe (Lincolnshire). Su madre contrajo nuevo matrimonio cuandoIsaac tena tres aos de edad, dejando al nio bajo la tutela de laabuela hasta que volvi a enviudar siete aos despus. Por suge-rencia de su to, Isaac complet los estudios que le permitieroningresar al Trinity College de Cambridge en 1661, donde estudifilosofa y matemticas. La peste de 1665 lo oblig a retornar a lagranja de su familia. All comenzaron las investigaciones en mate-mticas, mecnica, astronoma y ptica que revolucionaran el co-nocimiento humano. Graduado en 1668, obtuvo la ctedra Luca-siana de matemticas de la Universidad de Cambridge en 1669.

Newton desarroll el clculo diferencial e integral, al que llam mtodo de las fluxio-nes. En los Principia (1687) reconocida como la ms importante obra cientfica que se haya escrito enunci las leyes de la Mecnica y la gravitacin, con las que dedujolas rbitas de planetas y cometas, y explic las mareas. Mediante la matematizacin yla axiomatizacin de la Mecnica, le otorg a esta un carcter racional y deductivo, yposibilit su control experimental preciso. En Opticks (1704) promovi el modelo corpuscular de la luz, aunque recurri tambin al concepto de onda, mostrndoseperplejo acerca de la naturaleza de la luz. Descubri que la luz blanca se descompone en los colores del arco iris. Construy un telescopio reflector para eludir la aberracincromtica de las lentes. Sensible a la crtica y reticente a publicar sus trabajos, entresus pasiones sobresalen la alquimia y la mstica. Despus de sufrir su segunda crisis nerviosa, abandon la investigacin en 1693. Luego dirigi la Casa de la Moneda eintegr el Parlamento. Desde 1703 hasta su muerte fue presidente de la RoyalSociety, y como tal encarg un informe a un comit de expertos para dirimir su polmica con Leibniz acerca de la paternidad del clculo diferencial e integral; Newtonmismo se encarg de la redaccin apcrifa del informe. No se cas ni tuvo hijos. Apesar de sus diferencias con la Iglesia, fue sepultado en la Abada de Westminster.

En todos los sistemas inerciales se verifican las mismas leyes funda-mentales de la Fsica.

Mientras que el espacio absoluto selecciona un conjunto de sistemas de referencia privilegiados los sistemas inerciales, el Principio de relatividad nos seala que estos son equivalentes. En consecuencia, un experimentador no puede detectar el estado de movimiento (absoluto) de su laboratorio inercial mediante experimentos realizados en su interior, pues las leyes de la Fsica son las mismas en ese laboratorio o en cualquier otro que se traslade rectilnea y uniformemente en el espacio absoluto.

La equivalencia de los sistemas inerciales exige que las leyes de la Fsica se comporten apropiadamente ante transformaciones de coordenadas. As en nuestra primera aproximacin al Principio de relatividad, combinamos el Principio de inercia con el teorema de adicin de velocidades de Galileo, para afirmar que si el Principio de inercia era vlido en un sistema de referencia entonces tambin lo sera en cualquier otro sistema de referencia que se traslade con velocidad constante respecto del primero. Es bueno enfatizar aqu que

Principio de relatividad


habramos llegado a idntica conclusin si la transformacin de coordenadas espaciales y temporales hubiese sido cualquier otra transformacin lineal. En efecto, en un movimiento rectilneo uniforme las coordenadas cartesianas son funciones lineales del tiempo, y este tipo de dependencia es preservado por cualquier transformacin lineal.

En cambio, las otras leyes fundamentales de la Fsica newtoniana estn en una relacin ms estrecha con las transformaciones de Galileo. En la Mecnica newtoniana, la descripcin del comportamiento de un sistema fsico se realiza mediante dos tipos de leyes que se complementan: por un lado la Segunda Ley de la Dinmica dice que si una fuerza F acta sobre una partcula de masa m,entonces la partcula adquiere una aceleracin a tal que

aF m . (1.8)

Dentro del otro tipo de leyes se encuentran las que describen las interacciones entre las partculas, y nos dicen qu valor tiene la fuerza F en la Ec. (1.8). A este otro tipo de leyes pertenece, por ejemplo, la ley de la atraccin gravitatoria. Para constatar que estas leyes satisfacen el Principio de relatividad ante trans-formaciones de Galileo, debemos tener en cuenta que la aceleracin a du/dtes un invariante galileano, como resulta de derivar respecto de t ( t ) en el teorema de adicin de velocidades (1.7) (recordemos que la velocidad V en (1.7) es constante)

aa ' . (1.9)

De aqu se sigue que para que la Segunda Ley de la Dinmica (1.8) sea vlida en cualquier sistema inercial, la fuerza debe ser igualmente invariante (la masa es supuesta invariante). Este ser el caso cuando las leyes de las interacciones afirmen que las fuerzas dependen slo de las distancias entre las partculas interactuantes como sucede con la interaccin gravitatoria. Entonces la invariancia de las distancias implicar la invariancia de las fuerzas, y el Prin-cipio de relatividad galileano ser satisfecho.

22ddaa.. LLeeyy ddeellaa DDiinnmmiiccaa

LLaa rreellaattiivviiddaaddggaalliilleeaannaa rreeqquuiieerree

ffuueerrzzaass qquueeddeeppeennddeenn ddee

ddiissttaanncciiaass


1.7 Fenmenos fsicos con un sistema de referencia privilegiadoLas conclusiones de la Seccin anterior no impiden que en la Fsica

newtoniana existan fuerzas dependientes de velocidades. Consideremos un cuerpo que se desplaza dentro de un fluido viscoso. La fuerza de rozamiento que el fluido ejerce sobre el cuerpo crece o disminuye segn lo haga la velocidad del cuerpo respecto del fluido. En particular, si el cuerpo est en reposo respecto del fluido, entonces la fuerza de rozamiento ser nula. Aunque la velocidad no es un invariante galileano (vase la Ec. (1.7)), la velocidad que entra en juego en este ejemplo no es la velocidad relativa a un sistema inercial cualquiera, sino la velocidad relativa al fluido. El fluido se constituye as en un sistema de referencia privilegiado. Est claro que este privilegio no puede considerarse una violacin del Principio de relatividad pues el tipo de fenmeno considerado confiere al sistema fijo al fluido un privilegio natural.En otras palabras, aunque la velocidad de un punto P no es un invariante galileano, lo que est en juego en este caso es la velocidad relativa entre dos cuerpos, y esta s es independiente del sistema de referencia:

QPQP uuuu '' . (1.10)

Otro ejemplo de fenmeno fsico que cuenta con un sistema de referencia privilegiado es la propagacin de ondas mecnicas. Nuevamente, esto no debe verse como una renuncia al Principio de relatividad, sino que la propagacin de ondas mecnicas es un fenmeno que requiere un medio material: las ondas sonoras, por ejemplo, se propagan en aire, en agua, en un slido, pero no pue-den propagarse en el vaco pues una onda mecnica no es otra cosa que la perturbacin del propio medio de propagacin. Por lo tanto, ese medio privile-gia naturalmente a aquel sistema de referencia fijo al mismo. La forma usual de la ecuacin de onda que describe la propagacin de la perturbacin, slo es vlida en un sistema fijo al medio. En particular la velocidad de propagacin de la onda aparece escrita en la propia ecuacin como una cantidad determinada por las propiedades del medio; esta caracterstica muestra claramente que la ecuacin de onda no puede ser vlida en cualquier sistema inercial, pues la velocidad no es un invariante galileano.2

2 La ecuacin de ondas es una ecuacin en derivadas parciales (vase Complemento 1A). Su cambio de forma ante la transformacin de Galileo puede ser verificado mediante el reemplazo:

',

',

''

'

'

',

'''

'

'

'

zzyyxxx

x

tx

t

xxV

txt

x

tt

t

t w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

fuerzas que dependen de velocidades

ondasmecnicas


Complemento 1A: Ondas en un fluido perfecto

En ausencia de campo externo, la nica fuerza sobre un elemento de fluido perfectoproviene de los gradientes de presin. La Segunda Ley de Newton toma la forma

tdd

pu

U (1A.1)

donde U es la densidad de masa, p es la presin y u es la velocidad en cada punto del fluido y en cada instante. A esta ley deben agregarse la ecuacin de continuidad, que expresa laconservacin de la masa,

0 ww

)( uUUt

(1A.2)

y la ecuacin de estado que da la relacin entre presin y densidad:

)(Upp (1A.3)

Para obtener la ecuacin de onda deben satisfacerse las condiciones siguientes:

1) la densidad y la presin se apartan poco de sus valores de equilibrio U0 y p0 p(U0); esto permite definir una perturbacin \(r,t) tal que

11 ||,( ) \UU \o (1A.4)

\UUUU U ocso

pop

oppo

2#ww

...)( (1A.5)

donde cs2 { (wp/wU)U 0 es una propiedad del medio con unidades de velocidad al cuadrado.

2) las velocidades son pequeas (esto supone la adopcin del sistema de referencia fijo almedio en equilibrio), y los gradientes de velocidad son tambin pequeos. La aceleracin de un elemento de fluido se aproxima por

tttd

d

w

w#

w

w

uuu

uu (1A.6)

Reemplazando estas aproximaciones en (1A.1) y (1A.2), se obtiene

tcs ww

#u

\2 , u#w

w

t

\ (1A.7a-b)

Tomando divergencia en (1A.7a) y derivando respecto de t en (1A.7b), resultan miembros derechos iguales. Se llega as a la ecuacin de onda

0),(),( 22

2

2

1#

w

wtt

tcsrr \\ (1A.8)

donde 2 { w2/wx2+w2/wy2+w2/wz2 es el operador Laplaciano. Resolviendo la ecuacin deonda se obtiene que la perturbacin una onda de compresin y rarefaccin se propaga en el medio con velocidad cs.


La existencia del sistema naturalmente privilegiado no viola el Principio de relatividad porque la ecuacin de onda es aplicable cualquiera fuere el sistema inercial donde el medio material se encuentre en reposo. En verdad la ecuacin para las ondas mecnicas no es ms que el resultado de realizar aproximaciones vlidas en el sistema fijo al medio, a partir de las leyes fundamentales de la Mecnica que claramente satisfacen el Principio de relatividad galileano (vase un ejemplo en el Complemento 1A).

1.8 El electromagnetismo de Maxwell Las leyes que gobiernan el campo electromagntico fueron concebidas por

James Clerk Maxwell (1831-1879), luego de las investigaciones sobre la induc-cin electromagntica realizadas por M. Faraday en 1831. En la teora del electromagnetismo las fuerzas magnticas dependen de las velocidades de las cargas que interactan. Por otro lado, las leyes de Maxwell (1873) pueden ser reescritas, en ausencia de fuentes, como ecuaciones de onda (vase el Comple-mento 1.B). La teora prev que la velocidad de propagacin de estas ondas electromagnticas coincide con el valor medido de la velocidad de la luz, lo que llev a Maxwell a concluir que la luz es un fenmeno electromagntico. La existencia de fuerzas dependientes de la velocidad y de ecuaciones de onda significa, de acuerdo con lo visto en 1.7, que la nica lectura de las leyes de Maxwell consistente con las nociones de espacio y de tiempo vigentes en el siglo XIX, es que el electromagnetismo se trata de un fenmeno mecnico con sede en un medio material. En tal caso las leyes de Maxwell se cumpliran slo en el sistema fijo a ese medio. El medio material del electromagnetismo fue identificado con el ter de la teora ondulatoria de la luz, visto el carcter electromagntico de los fenmenos luminosos. El Captulo 2 estar dedicado a los esfuerzos destinados a detectar el ter o, al menos, el estado de movimiento de un laboratorio respecto del ter. En cambio, en esta Seccin mostraremos los absurdos que resultaran si pretendisemos utilizar las leyes del electromag-netismo en distintos sistemas de referencia, en conjuncin con la invariancia de distancias y tiempos aceptada en la Fsica clsica.

Consideremos los dos hilos paralelos de la Figura 1.6. El hilo superior es elctricamente neutro, pues contiene cargas de ambos tipos en igual cantidad, mientras que el hilo inferior est cargado. En ambos hilos hay corrientes elc-tricas del mismo sentido, debidas al movimiento de uno de los tipos de carga. En esta configuracin estacionaria de cargas no existe interaccin elctrica entre los hilos, pues una interaccin elctrica requerira que ambos hilos estn cargados. En cambio s existe una interaccin magntica atractiva que se


produce como consecuencia de la presencia de corrientes elctricas de igual sentido. As lo ensean las leyes de la electrosttica y la magnetosttica (es decir, las leyes de Maxwell restringidas al caso en que los campos no dependen del tiempo). Ahora ensayaremos un cambio de sistema de referencia, y pretenderemos aplicar las leyes de Maxwell tambin en el nuevo sistema de referencia. Al cambiar de sistema usaremos los supuestos acerca de la invarian-cia de distancias y tiempos que dan sustento a las transformaciones de Galileo. En particular, si las distancias son invariantes podremos asegurar que el hilo superior ser elctricamente neutro en cualquier sistema de referencia.

Fmag

++++++

______

++++++

Figura 1.6. Fuerza magntica entre corrientes de igual sentido.

______

++++++

++++++

Figura 1.7. No hay interaccin elctrica (uno de los hilos carece de carga neta) ni magntica (uno de los hilos carece de corriente).


Si pasamos al sistema que se mueve junto con las cargas positivas, veramos entonces una configuracin como la mostrada en la Figura 1.7. Las mismas leyes de Maxwell nos dicen, en este caso, que no existe entre los hilos interac-cin alguna: no hay interaccin elctrica pues la habra slo si ambos hilos estuvieran cargados, y no hay interaccin magntica pues esta requiere que ambos hilos porten corrientes. Los resultados obtenidos en cada sistema son incompatibles, ya que la existencia o no de la interaccin debe ser un hecho absoluto, independiente del sistema de referencia elegido. El absurdo es consecuencia de haber aplicado las leyes de Maxwell en ambos sistemas, junto con las transformaciones de Galileo. En tanto que las nociones de espacio y tiempo de la Fsica clsica permanezcan vigentes, resultar inaceptable la utilizacin de las leyes de Maxwell en distintos sistemas de referencia. Pero en tal caso es imperioso indicar cul es el sistema de referencia donde las leyes de Maxwell son aplicables. En el Captulo siguiente recorreremos la historia de la bsqueda de ese sistema privilegiado: el sistema fijo al ter. El fracaso de esa empresa llevar a comprender que las nociones clsicas de espacio y tiempo tendrn que ser modificadas.

James Clerk Maxwell (1831-1879) Naci en Edimburgo pero se cri en una zona rural del sudoeste escocs, donde fue educado por sus padres. A los diez aos retorn a su ciudad natal para ingresar a laAcademia de Edimburgo. A los 14 aos present un trabajo sobrevalos en la Royal Society de Edimburgo. En 1854 se gradu enmatemticas en el Trinity College, donde haba ingresado cuatro aos antes. Permaneci en Cambridge hasta 1856, cuando expuso sutrabajo Sobre las lneas de fuerza de Faraday, explicando la interde-pendencia entre los campos elctrico y magntico. Gan el premio

Adams por su demostracin de que la estabilidad de los anillos de Saturno sloresulta posible si los mismos estn formados por pequeas partculas slidas. En1860 obtuvo la ctedra de Filosofa Natural en el Kings College de Londres, y alldedujo la velocidad de propagacin de las ondas electromagnticas; la similitud con el conocido valor de la velocidad de la luz lo llev a proponer que la luz consiste en las ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenmenoselctrico y magntico (1862). La forma definitiva de su teora electromagntica apareci en 1873, y fue elaborada luego de que abandonara Londres para regresar aEscocia. En sus ltimos aos supervis la edicin de los trabajos de Cavendish y laconstruccin del Laboratorio del mismo nombre.Con Maxwell nace en la Fsica la idea de campo como una magnitud con entidad propia. Maxwell se dio cuenta de que la corriente que se induce en un circuito enpresencia de un campo magntico variable (observada por Faraday en 1831), esproducida por un campo elctrico que existe an en ausencia del circuito. Un campomagntico variable es fuente de un campo elctrico, y un campo elctrico variable esfuente de un campo magntico. Tambin importante es su contribucin a la teoracintica de los gases (1866); utilizando la hiptesis de que el comportamiento de ungas es el resultado del movimiento de molculas constituyentes, dedujo a la par que L. Boltzmann la distribucin estadstica de velocidades de las molculas comofuncin de la nocin termodinmica de temperatura.

incompatibilidadde las leyes de Maxwell, el principio de relatividad y la transformacinde Galileo

Cap. 2 3.1-2 5.2-3


Complemento 1B: Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales de primer orden que describen elcomportamiento local de los campos elctrico E(r, t) y magntico B(r, t). Las fuentes decampo son las densidades de carga U(r, t) y de corriente j(r, t). Los valores de las fuentesU y j, junto con condiciones de contorno apropiadas para E y B, determinan la configu-racin de los campos:

00 ww

u tB

EB (1B.1a-b)

jE

BE PHPH

Uooo

o t

ww

u (1B.2a-b)

Tomando la divergencia de la Ec. (1B.2-b) y usando (1B.2-a), se obtiene la ecuacin decontinuidad que expresa la conservacin local de la carga:

0 w

wj

t

U (1B.3)

La fuerza que un campo electromagntico ejerce sobre una carga q que se mueve convelocidad u, se llama fuerza de Lorentz y su valor es

)( BuEF u q (1B.4)

En los puntos donde las fuentes se anulan las componentes cartesianas de los camposcumplen ecuaciones de onda como la (1A.8), que pueden obtenerse de (1B.1-b) y (1B.2-b)derivando respecto de t y usando la identidad uuC{CC:

00 22

22

2

2

w

w

w

wB

BE

E

ttoooo HPHP , (1B.5)

En (1B.5) c { (Po Ho)/ es una constante con unidades de velocidad (es la velocidad depropagacin de la onda) cuyo valor debe ser determinado experimentalmente. Como seaprecia en (1B.2), Po y Ho por separado involucran respectivamente a las unidades decorriente y de carga, que ciertamente son dependientes. Por lo tanto, la eleccin de unaunidad de corriente (o, alternativamente, de carga) resulta equivalente a escoger un valorpara Po (o Ho). En el Sistema Internacional se define la unidad de corriente el Ampre (A)eligiendo Po 4S u 107 NA2. Luego Ho puede determinarse con un experimento de tipoelectrosttico, resultando Ho 8,854187817 u 1012 N1 A2 m2 s2 ; entonces c 2,997924580u 108 m/s. A partir de 1983 se adopt este valor de c por definicin, lo que implica dejar deconsiderar independientes a las unidades de longitud y de tiempo.

Nota: En el Sistema Gaussiano el campo magntico es redefinido mediante la sustitucin BoB/c, queotorga las mismas unidades a ambos campos. La unidad de carga el stat-coulomb (u.e.e.) quedaestablecida con la eleccin Ho (4S)1.

2En busca del ter

2.1 Dos modelos para la luz En 1704 Isaac Newton public Opticks, donde sostena que la luz es algo

que se propaga como partculas eyectadas desde la fuente luminosa. La afirmacin se sustentaba en la aparente propagacin rectilnea de los rayos luminosos. En el marco de este modelo corpuscular de la luz, Newton trataba de explicar la reflexin y la refraccin (el cambio de direccin de un rayo de luz al atravesar la superficie que separa dos medios transparentes), como el resultado de la accin de fuerzas de corto alcance repulsivas y atractivas que actan sobre los corpsculos en la vecindad de la superficie. En el caso de la refraccin, el rayo se desva acercndose a la direccin normal (la direccin perpendicular a la superficie que separa ambos medios) cuando los corpsculos luminosos penetran en un medio pticamente ms denso, como lo son el agua o el vidrio respecto del aire. Newton atribua este fenmeno a la existencia de una fuerza que atrae las partculas de luz hacia el medio ms denso, de modo que la componente normal de la velocidad de los corpsculos se incrementa al ingresar a ese medio. En la refraccin, la luz se descompone en colores con distinto grado de desviacin (dispersin), lo que haca necesario suponer que existen partculas luminosas de varios tipos (colores), y que la atraccin hacia el medio ms denso es diferente para cada tipo de partcula.

Pero no todos los fenmenos pticos conocidos admitan un abordaje tan simple con el modelo corpuscular. Newton no ignoraba que mientras l experi-mentaba con la descomposicin de la luz, F.M. Grimaldi haba descubierto que la luz no produce sombras netas como debera ocurrir si se propagara en lnea

el modelo corpuscular


recta sino que el borde de la sombra se presenta como un conjunto de franjas alternadas claras y oscuras (difraccin, 1665). De la misma poca es tambin el descubrimiento de la birrefringencia en la calcita (E. Bartholin, 1669). Newton mismo observ las franjas de interferencia que se obtienen al apoyar una lente plano-convexa sobre una superficie de vidrio (anillos de Newton), que l llamara inflexin. A menudo Newton altern conceptos del modelo ondulatorio con los del modelo corpuscular en su interpretacin de los fenmenos pticos.

Por su parte, en 1678 el holands Christiaan Huygens (1629-1695) presen-taba su Trait de la lumire en la Academie Royale des Sciences de Pars. All Huygens defenda el modelo ondulatorio para la propagacin de la luz con estas palabras:

...cuando se considera la extrema rapidez con que la luz se expande desde todas partes, y que cuando las hay que vienen de diferentes lugares, aun completamente opuestos, se atraviesan la una y la otra sin estorbarse, se comprende que cuando vemos un objeto luminoso, no podra ser por el transporte de una materia, que desde este objeto viene hasta nosotros, tal como una bala o una flecha atraviesa el aire: pues seguramente esto repugna excesivamente a estas dos cualidades de la luz, y sobre todo a la ltima. Es pues de otra manera como se expande, y lo que nos puede conducir a comprenderla es el conocimiento que tenemos de la expansin del sonido en el aire.

...no hay duda de que la luz no llega desde los cuerpos luminosos hasta nosotros ms que por algn movimiento impreso a la materia que est entre los dos. ...este movimiento impreso a la materia es sucesivo... y se extiende, as como el del sonido, por superficies y ondas esfricas...

Chr. Huygens, Trait de la lumire (Leiden, 1690).

Segn Huygens, estas superficies o frentes de onda se propagan en forma tal que todo punto de un frente de onda se comporta como emisor de un nuevo frente de onda (emisor secundario), y los frentes sucesivos se obtienen como la envolvente de estas ondas secundarias (Principio de Huygens). Lo que comn-mente denominamos rayo es la direccin que va desde el emisor secundario hasta el punto donde la onda secundaria es tangente a la envolvente. En la Figura 2.1 se muestra la construccin de Huygens para la propagacin en un medio istropo y homogneo de una onda emitida por una fuente puntual. La isotropa y homogeneidad del medio implican que la onda se propaga con igual velocidad en todas direcciones y en todos los puntos del medio. De esto resulta que tanto el frente de onda como las ondas secundarias son esfricas. En la

eell mmooddeelloooonndduullaattoorriioo

PPrriinncciippiioo ddeeHHuuyyggeennss

2. EN BUSCA DEL TER 23

Figura 2.2a se muestra cmo un frente de onda plano se deforma en un medio no homogneo (aunque istropo); las ondas secundarias son an esfricas, pero tienen distinto radio debido a que la velocidad de propagacin no es la misma en distintos puntos. Los rayos se dirigen desde el centro de cada onda secun-daria esfrica hasta el punto donde la envolvente es tangente a la misma; resultan entonces perpendiculares al frente de onda (en el sistema fijo al medio de propagacin). Esta propiedad se pierde cuando el medio no es istropo. En la Figura 2.2b se muestra la propagacin de una onda plana en un medio homogneo pero anistropo. En este caso las ondas secundarias no son esfricas, aunque son todas iguales debido a la homogeneidad. El resultado es que el frente de onda se mantiene plano, pero los rayos no son perpendiculares al mismo.

Figura 2.2a. Construccin de Huygens en un medio istropo no homogneo.

Figura 2.2b. Construccin de Huygens en un medio homogneo anistropo.

Figura 2.1. Construccin de Huygens para la propagacin de una ondaemitida por una fuente puntual en un medio istropo y homogneo.


Veamos ahora cmo son descriptas la reflexin y la refraccin en el modelo ondulatorio. En la Figura 2.3 se muestra un frente de onda plano AB incidiendo sobre la superficie AD que separa dos medios transparentes istropos y homogneos. Los rayos incidentes forman un ngulo i con la direccin normal(ortogonal) a la superficie que separa ambos medios. Para aplicar la construc-cin de Huygens a este caso debemos hacer la hiptesis adicional de que los puntos de la superficie AD se convierten en emisores secundarios a medida que son alcanzados por un frente de onda. A menos que la incidencia sea normal, los puntos de un mismo frente incidente no alcanzan simultneamente la superficie de separacin de los dos medios: el primer punto en convertirse en emisor secundario es el punto A. El punto D es alcanzado por el frente inci-dente luego de transcurrido un tiempo t dBD /c1 (c1 es la velocidad de propagacin en el primer medio). Durante ese tiempo la onda secundaria emitida en A se ha propagado hasta un radio c1t en el medio 1, y c2t en el medio 2 (en la Figura 2.3 se ha supuesto c2 < c1); las ondas secundarias emitidas desde los puntos intermedios del segmento AD han desarrollado radios propor-cionales a la distancia entre el emisor secundario y D. Las envolventes de las ondas secundarias son nuevamente frentes planos. De la construccin se obtie-ne que la direccin de los rayos reflejados forma el mismo ngulo de incidencia i con la normal. Con respecto a la onda transmitida al medio 2, vemos que la direccin del rayo se aproxima a la normal cuando c2 < c1; es decir que el modelo ondulatorio requiere que la velocidad de propagacin sea menor en los medios ms densos. La dispersin resulta de las distintas velocidades de propagacin para los diferentes colores. Como el ngulo BAD es igual a i, y el ngulo ADC es igual a r, se obtiene que

A

C

D

B

i

r

Figura 2.3. Descripcin de la reflexin y la refraccin de laluz, segn el modelo ondulatorio.


212

1

2

1 ncc

tctc

dd

ri

AC

BD { sensen , (2.1)

donde n21 es el ndice de refraccin del medio 2 relativo al medio 1. De esta forma el modelo ondulatorio explica la ley de Snell (1618) para la refraccin.

En la refraccin encontramos la primera discrepancia entre ambos modelos de la luz. Como fue dicho, el modelo corpuscular sostena que el acercamiento del rayo a la normal se debe a que una fuerza atrae los corpsculos hacia el medio ms denso; pero en tal caso la velocidad de propagacin debera aumentar cuando los corpsculos ingresan a ese medio, contrariamente a lo que resulta del modelo ondulatorio.

Hasta comienzos del siglo XIX el modelo corpuscular goz de mayor aceptacin que el modelo ondulatorio, en parte debido a la influencia ejercida por el pensamiento de Newton. Aunque Newton era consciente de las dificultades del modelo corpuscular para explicar las franjas de interferencia, el modelo ondulatorio era relegado debido a su aparente incapacidad para explicar las sombras bien definidas que proyectan los objetos (salvo por el dbil efecto de difraccin observado por Grimaldi). Por otra parte la construccin de Huygens por s sola resulta insuficiente para la descripcin de la interferencia, en tanto que no contiene los conceptos de amplitud y fase. Para que estos conceptos aparezcan es necesario contar con la ecuacin de onda y sus soluciones. La ecuacin de onda fue escrita por primera vez en 1746, cuando J. dAlembert estudiaba la propagacin de ondas en una cuerda. En 1802 el ingls Thomas Young (1773-1829) explic correctamente la interferencia de la luz en el contexto del modelo ondulatorio.1 En 1808 E. Malus descubri los efectos de la polarizacin por reflexin mientras observaba el reflejo de una ventana a travs de un cristal de calcita. Young sugiri que la observacin de Malus podra entenderse si la luz fuera una onda transversal.2 El francs Augustin Jean Fresnel (1788-1827) tom en cuenta esta idea, y junto con D.F.J. Arago realiz experimentos que confirmaron la hiptesis de Young. Fresnel dio al modelo ondulatorio un tratamiento matemtico ms acabado, el cual le permiti explicar la sombra definida proyectada por los objetos, luego de calcular los patrones de difraccin producidos por distintos tipos de obstculos. A esa altura 1 En la explicacin de la interferencia se hace uso del Principio de superposicin (la suma de dos soluciones de la ecuacin de onda es tambin solucin), que es consecuencia de que la ecuacin de onda es lineal. En el caso de las ondas mecnicas, la linealidad proviene de una aproximacin (ver Complemento 1.A). En cambio las leyes de Maxwell son de por s lineales. 2 El carcter transversal de las ondas electromagnticas se explica en el Captulo 5.

ley de Snell

El modelo ondulatorio se afianza en el siglo XIX


el modelo ondulatorio era capaz de describir toda la fenomenologa conocida, y no hallara dificultades sino hasta fines del siglo XIX cuando se descubra el efecto fotoelctrico y el comportamiento de la radiacin de cuerpo negro. No obstante, despus de la muerte de Fresnel an quedaban partidarios del modelo corpuscular. En 1850 J.B.L. Foucault midi entonces la velocidad de propa-gacin de la luz en el agua, encontrando que era menor que en el aire, en total acuerdo con el modelo ondulatorio.

2.2 Primera determinacin de la velocidad de la luz Galileo fue el primero en intentar dilucidar si la velocidad de la luz es finita

o infinita. l pens que la cuestin poda ser resuelta por dos personas alejadas que se enviaran seales luminosas tapando y destapando linternas. Si acuerdan en responder a cada seal inmediatamente despus de su recepcin, entonces podran establecer el tiempo que tardan las seales en su camino de ida y vuelta, y calcular luego la velocidad. Galileo relata: he intentado el experi-mento slo a una distancia corta..., por lo cual no he podido determinar con certeza si la aparicin de la otra luz era instantnea o no.

En 1676 el astrnomo dans Olaf Rmer estaba involucrado en un proyecto de la Academie Royale des Sciences de Paris, investigando eventos celestes que permitieran una determinacin precisa de la longitud geogrfica, para mejorar la confeccin de mapas y facilitar la navegacin. La idea, propuesta por Galileo, era elaborar una tabla con la hora de Pars para un evento celeste peridico; la hora solar local del mismo evento observado desde otro lugar, permitira determinar la longitud del lugar (respecto de Pars). El evento celeste en estudio era la sucesin de los eclipses de o, que de las cuatro grandes lunas de Jpiter descubiertas por Galileo en 1610 con su rudimentario telescopio es la ms cercana al planeta. Las caractersticas de su rbita determinan que, visto desde la Tierra, o sea eclipsado por Jpiter cada vez que realiza su recorrido por detrs del planeta. Esto ocurre, en promedio, una vez cada 42,5 horas. Sin embargo era sabido que la sucesin de eclipses se va retrasando cuando la Tierra y Jpiter se alejan, y se va adelantando cuando la Tierra y Jpiter se acercan. Cuando Rmer anunci en Pars que ese comportamiento anmalo poda deberse a que la velocidad de la luz es finita tropez con una fuerte resistencia; muchos cientficos, bajo la influencia de R. Descartes, crean an que la luz se propagaba instantneamente. Rmer pens que el retraso era debido a que la luz que viajaba desde Jpiter deba recorrer una distancia ms larga. El retraso acumulado desde que la Tierra se encuentra en la posicin ms prxima a Jpiter hasta cuando se aleja ms, totalizaba unos 22 minutos. Esto


sucede al cabo de algo ms de medio ao (como Jpiter tarda casi 12 aos en recorrer su rbita, la direccin Sol-Jpiter cambia muy poco en medio ao) (Figuras 2.4a-b). Segn Rmer, los 22 minutos deban corresponder al tiempo que demora la luz en recorrer el dimetro de la rbita terrestre. Con una estimacin del dimetro de la rbita terrestre de 293.000.000 km, Rmer obtuvo 222.000 km/s para la velocidad de la luz. El orden de magnitud del resultado era correcto, pero estaba afectado por grandes errores en las mediciones de tiempos (el retraso real es de 16 minutos y 36 segundos).

2.3 La aberracin de la luz Aunque las conclusiones de Rmer recibieron inmediatamente el apoyo de

Huygens y Newton, la comunidad cientfica acept definitivamente que la luz se propaga con velocidad finita recin despus de que en 1729 el astrnomo ingls J. Bradley comunicara su observacin del fenmeno de aberracin de la luz. Bradley descubri la aberracin mientras intentaba medir la paralaje de la estrella Gamma Draconis, para poner en evidencia el movimiento de la Tierra alrededor del Sol y asestar un golpe definitivo a los anti-copernicanos.

La paralaje estelar es el cambio en la direccin de observacin de una estrella cuando se la mira desde distintas posiciones de la rbita terrestre. Como resultado del cambio de posicin de la Tierra, las sucesivas direcciones de observacin de una estrella barren el contorno de una elipse al cabo de un ao (vase la Figura 2.5). La observacin de esta elipse sera la evidencia del movimiento de la Tierra. El ngulo subtendido por el eje mayor de la elipse es

paralajeestelar

Tierra

Jpiter

oTierra

Jpiter

o

Figura 2.4b. Jpiter y la Tierra seismeses y medio despus.

Figura 2.4a. Jpiter y la Tierra en sumximo acercamiento.

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