ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL FLUJO

Línea de corriente

Envolvente de los vectores velocidad de las partículas fluidas. La orientación de las líneas de corriente será variable con el paso del tiempo cuando el flujo es no permanente y permanecerá fija cuando el flujo es permanente.

Línea de trayectoria

La trayectoria es el lugar geométrico definido por una partícula cuando recorre la región de flujo.   Para el flujo permanente la trayectoria coincide con la línea de corriente.

Línea de traza

La línea de traza o de humo es el lugar geométrico definido por las partículas que han pasado por un punto fijo en el espacio. La línea de traza coincide con la trayectoria si el flujo es permanente, en otro caso no.

Tubo de corriente

Conjunto de las líneas de corriente que pasan por el contorno de un área infinitesimal

Vena fluida

Número infinito de tubos de corriente adyacentes que forman un tubo de sección recta finita.   Este es un elemento físico que puede medirse, como en el caso del chorro que sale desde un recipiente por un orificio, o la vena fluida rodeada de fluido de su misma naturaleza que se forma cuando el flujo confinado pasa por el orificio practicado en una placa, como se ilustra a continuación:

CAMPO DE ACELERACIÓN

La velocidad de un flujo podrá cambiar en magnitud (rapidez) y en dirección (orientación).  En cualquiera de los dos casos habrá ocurrido una aceleración del flujo.  Esa aceleración se puede entender como el cambio de la velocidad de la partícula fluida con el paso del tiempo, sin ésta cambiar de posición en el espacio (aceleración local), más el cambio de la velocidad por efecto del viaje de la partícula en la región de flujo (aceleración de transporte o convectiva).  Para obtener el valor de la aceleración se requiere derivar el campo de velocidad, y debe recordarse que a su vez cada coordenada es función del tiempo (método de Lagrange):

que se puede escribir así:

Cuando se deriva en cadena se obtiene:

Que a su vez se puede expresar así:

Las componentes de la aceleración son:

 

Si el sistema coordenado adoptado es de línea se puede escribir:

Cuando se deriva en cadena se obtiene:

Que se reduce a:

En los dos casos mostrados la aceleración tiene una componente que depende del cambio de posición en el espacio (aceleración de transporte) y otra componente que depende del paso del tiempo solamente (aceleración local):

aceleración total = aceleración convectiva + aceleración local

La aceleración convectiva, a su vez, está formada por las aceleraciones vortical y cinética:

CAMPO DE ROTACIÓN

Imagine un campo de flujo donde se examina una partícula cualquiera.

Ahora, de manera instantánea y simultánea:

se solidifica esa partícula, se retiran todas las demás partículas del flujo y

se observa el comportamiento rotacional de la partícula.

Si al menos una de las partículas así ensayadas gira respecto a cualquier eje se dice que el flujo es rotacional.  Si ninguna de las partículas examinadas gira respecto a ningún eje se dice que el flujo es irrotacional.

Analíticamente se encuentra que esto queda expresado por el vector vorticidad que no es más que la aplicación del operador rotacional al campo de velocidades:

Flujo rotacional, si la vorticidad es diferente de cero. Flujo irrotacional, si la vorticidad es nula

Se considera una partícula fluida que se somete al ensayo de rotación descrito:

Ahora se observará la partícula fluida proyectada sobre el plano yz, de manera que el eje x sale de la figura hacia el observador:

Los puntos del segmento AB se mueven con diferentes velocidades, y en sus extremos esas velocidades son:

Bajo la acción de esas velocidades el segmento AB se desplaza y además puede rotar.  Para el estudio de los giros de la partícula se puede ignorar el desplazamiento lineal en el espacio.

Esa rotación del segmento AB ocurrirá con una velocidad angular positiva respecto al eje x, y se puede expresar así:

Los puntos del segmento AC también se mueven con diferentes velocidades, y en sus extremos esas velocidades son:

Bajo la acción de esas velocidades el segmento AB se desplaza y además puede rotar.

Esa rotación del segmento AC ocurrirá con una velocidad angular negativa respecto al eje x, y se puede expresar así:

Además, se puede demostrar que la velocidad angular de la partícula alrededor del eje x es igual al promedio de las velocidades angulares de dos segmentos ortogonales entre si (como AB y AC en este caso) y perpendiculares al eje de interés (x en este caso), de manera que:

Se obtiene la velocidad angular de la partícula alrededor del eje x como:

De manera similar se obtiene, para las velocidades angulares sobre los tres ejes coordenados:

La velocidada angular de la partícula fluida se puede escribir como:

Se reemplazan los valores encontrados para cada componente y se obtiene:

Si la vorticidad es nula el flujo es irrotacional, en caso contrario el flujo es rotacional.

En términos operativos el rotacional del vector velocidad, en coordenadas cartesianas, se puede obtener así:

PROPIEDADES INTENSIVAS Y PROPIEDADES EXTENSIVAS

Propiedad intensiva, h (eta)

Las propiedades intensivas son aquellas que no dependen de la cantidad de sustancia presente, por este motivo no son propiedades aditivas.  Ejemplos de propiedades intensivas son la temperatura, la velocidad, el volumen específico (volumen ocupado por la unidad de masa).  Observe que una propiedad intensiva puede ser una magnitud escalar o una magnitud vectorial.

Propiedad extensiva, H (eta)

Cuando la propiedad intensiva se multiplica por la cantidad de sustancia (masa) se tiene una propiedad que sí depende de la cantidad de sustancia presente y se llama propiedad extensiva, como ocurre con la masa, con la cantidad de movimiento y con el momento de la cantidad de movimiento.

Relación entre propiedades intensivas y extensivas

Si se denota por H la propiedad extensiva y por h la propiedad intensiva asociada se puede establecer la relación que define cualquier propiedad intensiva como la cantidad de propiedad extensiva por unidad de masa, así:

h=dH/dm

dH=hdm = hrdVol

La propiedad intensiva podrá ser una función continua en el espacio y dar así origen a la cantidad extensiva H en una determinada región.  La propiedad extensiva si es acumulable con la acumulación de sustancia..  La naturaleza escalar/vectorial la comparten los dos tipos de propiedades.

PREGUNTAS

¿Si un flujo es permanente tendrá aceleración?

Como se vio el flujo permanente es aquel en el que las propiedades fluidas permanecen constantes en el tiempo, aunque pueden no ser constantes en el espacio. Es decir la velocidad permanecerá constante lo cual hace que no exista aceleración de el flujo.

V = fv(x)

¿Se conserva la orientación del vector velocidad a lo largo de una línea de corriente?

No se conserva ya que la orientación de las líneas de corriente será variable con el paso del tiempo cuando el flujo es no permanente y permanecerá fija cuando el flujo es permanente, es decir el vector velocidad varia conforme varia la orientación y dirección de la línea de corriente por lo que no se conserva su orientación como vemos en la figura.

Explique si podrá una partícula conservar la rapidez de su movimiento y sin embargo estar acelerada

No puede porque cuando ocurre una aceleración del flujo o de una partícula de flujo hace que varié la velocidad o la rapidez de su movimiento en magnitud y en dirección, es decir hay un cambio de la velocidad y no una conservación de la rapidez de la partícula fluida con el paso del tiempo.