ASIGNATURA

MECANICA VECTORIAL

SEMANA

Equilibrio de Cuerpo Rígido

Dr. Omar Pablo Flores Ramos

Huancayo, 2011

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3. CUERPO RIGIDO

Cuerpo rígido, se considera a una porción de materia, en la cual se

asume que las partes o partícula no tienen movimientos relativos unas

con respecto a las otras.

3.1 MOMENTO DE UNA FUERZA

El momento de una fuerza, da a conocer en que medida existe

tendencia de una fuerza a causar rotación de un cuerpo con respecto

a un punto a un eje (Fig. 3.1)

Fig. 3.1: Momento de una fuerza

3.1.1 Expresión escalar del momento de una fuerza (escalar)

Se define como el producto de la fuerza por la distancia,

considerando que la distancia y la fuerza son perpendiculares

entre si (Fig 3.2)

Fig 3.2: Expresión escalar del momento de una fuerza

dFM o . (3.1)

El momento es positivo:

si el giro es antihorario

El momento es negativo :

si el giro es horario

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3.1.2 Expresión vectorial del momento de una fuerza respecto a

un punto (vector)

Se define como el producto vectorial de la distancia por la

fuerza (Fig. 3.3)

Fig 3.3: Expresión vectorial del momento de una fuerza

Teorema de los momentos (Varignön, 1654 – 1722)

Este teorema establece que: “El momento de una fuerza

con respecto a un punto, es igual a la suma de los

momentos de las componentes de la fuerza con respecto al

punto” tal como se muestra en la Fig 3.4

321

FxrFxrFxrRxr

ofuerzasoteresul MM

)()( tan ( 3.3)

Fig 3.4: Ejemplo del teorema de Varignön

FxrM o ( 3.2 )

La fuerza y la distancia NO

necesariamente deben ser

perpendiculares

x

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3.1.3 Momento de una fuerza respecto a un eje (escalar)

El momento de una fuerza respecto a un eje, es igual al

producto escalar del momento respecto a un punto por el

vector unitario relativo al eje (ecuación 3.4)

También se define como el triple producto escalar del vector

unitario relativo al eje, la distancia y la fuerza (ecuación 4.5)

Fig 3.5: Momento de una fuerza respecto a un eje

3.1.4 Momento de un par o cupla ( M par )

Un par de fuerzas (Fig 3.6) se define como dos fuerzas

paralela de igual magnitud, pero se sentidos contrarios y

separados por una distancia perpendicular “d”

Fig 3.6: Par de fuerzas

a. Expresión escalar del momento de un par (escalar)

Es igual al producto de la fuerza por la distancia, considerando

que la distancia y la fuerza deben ser perpendiculares entre si.

dFM par . ( 3.6 )

oM

F

r ejeu

x

y

z

ejeoeje uMM

. (3.4)

).(

FxruM ejeeje (3.5)

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b. Expresión vectorial del momento de un par (vector)

Se define como el producto vectorial de la distancia por la

fuerza (Fig 4.7)

Fig 3.7: Momento de un par

Pares equivalentes

Se dice que los pares son equivalentes (Fig 3.8) si producen

el mismo momento del par o cupla “C”

Fig 3.8: Pares equivalentes

FxrM par (3.7)

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c. Resultante del momento de un par

Puesto que los momentos del par son vectores libres, para

determinar la resultante se aplica la suma de vectores

)( FxrMM ores (3.8)

Fig 3.8: Resultante del momento de un par

3.2 MOVIMIENTO DE UNA FUERZA SOBRE UN CUERPO

RIGIDO

Puesto que la fuerza tiende ha hacer trasladar y hacer girar un

cuerpo, es importante que estos dos efectos permanezcan constantes

al desplazar una fuerza de un punto sobre otro sobre dicho cuerpo

3.2.1 Traslación de una fuerza sobre su línea de acción

Si se quiere trasladar la fuerza F (Fig 3.9) del punto A al

punto O, se aplica el principio de transmisiblidad

Principio de transmisibilidad

“En todo cuerpo rígido, una fuerza puede ser trasladada de

un punto a otro sobre la línea de acción de dicha fuerza, sin

alterar sus efectos externos, de equilibrio o movimiento”

Fig 3.9: Traslación de una fuerza sobre su línea de acción

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3.2.2 Traslación de una fuerza a una posición paralela

Si se quiere trasladar la fuerza F (Fig 3.10) del punto A al

punto O, sin alterar los efectos internos del cuerpo, se tiene:

1er Paso: Se aplican fuerzas de igual magnitud pero de sentidos

contrario F y –F sobre el punto O

2do

Paso: Se reemplaza las dos fuerzas rayadas por el

momento de un par en un punto cualquiera P (puesto

que el momento del par es vector libre)

Fig 3.10: Traslación de una fuerza a una posición paralela

3.3 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO

Un cuerpo rígido está en equilibrio, si cumple con la primera y

segunda condición de equilibrio

3.3.1 Primera condición de equilibrio

“Para que un sistema esté en equilibrio, la resultante de

fuerzas debe ser cero.”

Σ Fx = 0

0F Σ Fy = 0 (3.9)

Σ Fz = 0

3.3.2 Segunda condición de equilibrio

“Para que un cuerpo rígido esté en equilibrio, la suma de

momentos debe ser cero.”

Σ M x = 0

0oM Σ M y = 0 (3.10)

Σ M z = 0

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a) MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO

1. Determine el momento de la fuerza F con respecto al punto P.

Rpta: 1105,48 Nm

2. Determine el momento de la fuerza F = 13 kN con respecto al punto

P. Exprese el resultado como vector cartesiano

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3. Determine el momento producido por la fuerza F = 60 N, con

respecto al punto A

4. Determine el momento producido por la fuerza F = 100 N, con

respecto al punto A

5. Usando vectores cartesianos, determine el momento producido por

el semáforo de 10 kg de masa, con respecto al punto A. Para d = 3

m y h = 4 m

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Rpta: 294,3 N.m

6. Si cada semáforo es de 6 kg de masa. Determine el momento

producido respecto al punto A de la base. Siendo a = 0,5 m; b = 2,5

m; c = 3 m; d = 0,75 m y h = 3,5 m.

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7. Determine el momento producido por la fuerza F = (50 i +100 j –

50 k ) N, respecto a los puntos B y C. Siendo a = 1,25 m; b = 0,75

m y c = 0,3 m

8. La fuerza horizontal de 20 N, es aplicado perpendicularmente al

mango de la herramienta. Determinar el momento producido por

esta fuerza respecto al punto O

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9. Determine el momento producido por la fuerza F = (60 i +40 j + 20

k ) N, respecto al punto A

10. Determine el momento de la fuerza F = 500 N respecto al punto A

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b) MOMENTO RESPECTO A UN EJE

11. Determine el momento de la fuerza F con respecto al eje y.

12. Determine el momento de la fuerza F = 13 kN con respecto al eje z

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13. Determine el momento respecto al eje x

14. Determine el momento respecto al eje y`

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15. Si la F = 100N y es paralelo al plano x-z, Determine el momento

respecto al eje x

c) EQUILIBRIO DE CUERPO RÍGIDO EN EL ESPACIO

16. Determinar la tensión en los tres cables que mantienen en equilibrio a

la placa homogénea de 2 m por 3 m y 100 kg de masa

Rpta: TA = 490 N, TB = 0, Tc = 490 N

17. La placa triangular en equilibrio, esta soportada por una bisagra el

punto A y por una cable vertical BC, si el cable puede soportar una

tensión máxima de 300N. calcular la máxima fuerza “F”, además de

las componentes x; y; z de la reacción A”

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Rpta: F = 1000 N; Ax = Ay = 0; Az = 700 N;

18. En el sistema en equilibrio la esfera es de 50 kg de masa. Determine la

fuerza horizontal “P” para mantener el sistema en equilibrio. Además

calcular las componentes en las reacciones A y B. (g = 0 9.81 m/s2)

Rpta: P =245,2 N; Ax = 122,7 N; Ay = 0; Az =245,2 N;

Bx = 1367,9 N; By = 0; Bz =245,2 N

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19. El sistema mostrado esta soportado por un cojinete de empuje en A y

por un cojinete liso en B. Determinar la fuerza vertical P que debe

aplicarse en el mango para mantener el equilibrio de la carga de 100

kg, también calcule la reacción en los cojinetes

Rpta: P = 348 N, Ax = 0, Ay = 0, Az = 417,4 N,

Bx = 0, By = 0, Bz = 911,6 N

20. Calcular la tensión en los cables BC y BD y la reacción en el apoyo A

del sistema en equilibrio mostrado

Rpta: 736,8 N; 1093,6 N; 1501,6 N

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21. Determinar las componentes de las reacciones en las rotulas A y B, si

en el punto medio del eje AB se mantiene en equilibrio un cilindro de

50 kg. El collarín C puede deslizarse libremente en el eje DE

Rpta: Ax = Ay = - 490 N, Ay = 490 N, Az = 417,4 N, Bx= By = 490 N, Bz = 0

22. Determinar las tensiones en los cables AB y AC y las componentes de

la reacción de la rotula en el punto , si la esfera en equilibrio E es de

150 kg de masa

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23. Determinar las tensiones en los cables BDC y CE y las componentes

de la reacción en la articulación esférica, si la carga tiene una masa de

80 kg. A= 2 m y b = 1,5 m

Rpta: 608 N; 1080 N; Ax = 190,8 N; Ay = - 490 N, Ay = 1884 N, Az = 253,3 N 24. El bloque homogéneo de 500 N de peso es soportado rotula esférica en

A, por un apoyo simple en B. Determinar la tensión en los cables CD

y EF que mantienen el sistema en equilibrio y las componentes de la

reacción en A

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25. La placa semicircular soporta una fuerza de F = 300 N, determinar las

tensiones en los cables BD y CD y las componentes de las reacciones

en la rotula esférica A. Para r = 1,5 m; a = 3 m; b = 0,5 m; y c = 1 m.

Despreciar el peso de la placa

Rpta: TBD = TCD =116,7 N; Ax = 66,7 N; Ay = 100 N