Equivalencias y Circuitos Logicos
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SEMESTRE ACADMICO 2015-I
Agosto 2010
Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra visin de ser competitivos e innovadores para tener
acreditacin internacional y contribuir al desarrollo
sostenido.
MATEMTICA
BSICA
EQUIVALENCIAS
LGICAS
CIRCUITOS LGICOS
1
-
INTRODUCCIN
2
Lee atentamente las siguientes proposiciones
Los refranes y
los mitos no
son
proposiciones
lgicas
Ambas proposiciones son
iguales?
No es cierto
que, los
refranes y los
mitos sean
proposiciones
lgicas.
-
3LOGRO DE LA SESIN
Al finalizar la sesin el estudiante halla
con eficacia proposiciones equivalentes,
as como elabora y simplifica circuitos
lgicos relacionadas con las ciencias de su
carrera aplicando las leyes lgicas, de
manera clara y ordenada.
-
CONTENIDOS
Equivalencias
Mtodos de solucin
Leyes de equivalencia
Simplificacin
4
Circuitos lgicos
-
5EQUIVALENCIAS LGICAS Dos frmulas o esquemas moleculares A y B son
equivalentes si:
Los valores de verdad de susmatrices principales son iguales
Al unirlos con una bicondicionalel resultado es una tautologa.
-
6MTODOS DE SOLUCIN
Tablas de verdad
Leyes de equivalencia
-
7TABLAS DE VERDAD
Ejemplo 1
Sea A: ( p q ) p B: p q
Verificar si A es equivalente a B
P q (p q) v ~p ~p v q
V V
V F
F V
F F
V V V V F
V F F F F
F V V V V
F V F V V
F V V
F F F
V V V
V V F
IGUALES
Solucin
FORMA 1
Por lo tanto, A es equivalente a B
-
8FORMA 2
P q [(p q) v ~p] (~p v q)
V V
V F
F V
F F
V V V V F
V F F F F
F V V V V
F V F V V
V
V
V
V
F V V
F F F
V V V
V V F
Tautologa
Por lo tanto, A es equivalente a B
-
9Ejemplo 2
Determinar mediante tabla si las siguientes frmulas son
equivalentes.
A: ( p q ) B: p q
A: ( p q ) p B: p ( q p )
1.
2.
-
10
LEYES DE EQUIVALENCIAS1. LEYES CONMUTATIVAS
a) A B B A
b) A B B A
c) A B B A
7. LEYES IMPLICATIVAS
a) A B A B
b) A B ( A B )
2. LEYES ASOCIATIVAS
a) ( A B ) C A ( B C )
b) ( A B ) C A ( B C )
c) ( A B ) C A ( B C )
8. LEYES DE LA BIIMPLICACIN
a) AB (A B ) (B A )
b) A B (A B ) ( A B )
3. LEYES DE IDEMPOTENCIA
a) ( A A ) A
b) ( A A ) A
9. LEYES DE DISYUNCION FUERTE
a) A B ( A B ) ( B A )
b) A B ( A B ) ( A B )
4. LEYES DISTRIBUTIVAS
a) A (B C ) (A B) (A C )
b) A (B C) (A B) (A C )
c) A(B C) (A B) (A C )
d) A (B C) (A B) (A C)
10. LEYES DE TRANSPOSICION
a) A B B A
b) A B B A
5. LEYES DE ABSORCION
a) A ( A B ) A
b) A ( A B ) A
c) A ( A B ) A B
d) A ( A B ) A B
11. LEYES ADICIONALES
a) A F A
b) A V V
c) A F F
d) A V A
e) A A F
f) A A V
6. LEYES DE MORGAN
a) ( A B ) A B
b) ( A B ) A B
c) A B ( A B )
d) A B ( A B )
12. LEYES DE DOBLE NEGACIN
a) ( A ) A
-
11
Ejemplo
1. Es imposible que Juan no estudie equivale a decir que:
Juan estudia
2. Si hoy llueve, estamos en invierno es equivalente a decir:
Jams llueve o estamos en invierno
~ ~p p (Doble negacin)
p q ~p v q (Ley implicativa)
-
12
3. Mi rendimiento acadmico es excelente demodo que obtengo una beca para estudiar.Es equivalente a decir:
Si no obtengo la beca, jams tuve un rendimientoexcelente
4. No es cierto que Julio canta y toca guitarra. Equivale a decir:
Julio no canta o incluso no toca guitarra
p q ~q ~ p (Ley de transposicin)
~ (p q) ~ p v ~ q (Ley De Morgan)
-
13
5. Determine cules de las alternativas son
equivalente a la proposicin dada.
Los refranes y los mitos no son proposiciones lgicas.
No es cierto que, los refranes y los mitos sean
proposiciones lgicas.
No es cierto que, los refranes o los mitos sean
proposiciones lgicas.
No es cierto que, los refranes son proposiciones lgicas
ya que los mitos no son proposiciones lgicas.
a)
b)
c)
-
14
Obtienes buenas calificaciones y estudias puesto que
apruebas el curso.
6. Determine cules de las alternativas son
equivalente a la proposicin dada.
Si estudias y obtienes buenas calificaciones, apruebasel curso
Si apruebas el curso, entonces estudias y obtienes buenas
calificaciones
Apruebas el curso o no es cierto que, estudias y obtienes
buenas calificaciones
No obtienes buenas calificaciones o incluso no estudias, salvo
que apruebas el curso.
a)
b)
c)
d)
-
15
SIMPLIFICACIN DE PROPOSICCIONES
Las leyes del lgebra de proposiciones nos permiten
reemplazar una proposicin con otra ms simple que
lgicamente es equivalente
Ejemplo 1Simplificar P (q p)
P (q p) P ( q p)
P ( p q)
(P p) q
F q
F
Ley de Morgan
Ley Conmutativa
Ley Asociativa
Ley de Complemento
Ley de Identidad
-
16
Ejemplo 2
Simplificar {[P (q p)] p} q
{[P (q p)] p} q {[P (p q)] p} q
(p p) q
V q
q
Ley Conmutativa
Ley de Absorcin
Ley de complemento
Ley de identidad
-
17
Ejemplo 3
Simplificar las siguientes frmulas
(p q) q
( p q) p
p ( p q)
1.
2.
3.
-
18
CIRCUITOS LGICOSCuando comparamos interruptores abiertos o cerrados
con proposiciones estamos estableciendo un circuito
lgico.
A un interruptor se le puede representar por medio
de una proposicin p y viceversa
De modo que:
El valor de verdad V de la proposicin seidentifique con el paso de corriente,
El valor es F cuando el interruptor estabierto.
-
19
Grficamente representaremos:
Circuito cerrado pasa corriente (1)
p p
Circuito abierto no pasa corriente (0)
Circuitos en serieLa tabla de conduccin de los interruptores conectados en
serie coincide con la tabla de verdad de la conjuncin.
p q Circula corriente
p q No Circula corriente
p q No Circula corriente
p q No Circula corriente
-
20
Circuitos en paraleloLa tabla de conduccin delos interruptores conectados
en paralelo coincide con la tabla de verdad de la
disyuncin.
Circula corriente
p
q
p
q
p
q
p
q
Circula corriente
Circula corriente
No circula corriente
-
21
La negacin lgica
La negacin lgica tiene como equivalente el
cambio de estado de un circuito del estado
conductor a no conductor o viceversa.
p p
Conduce a no conduce
p ~p
1 0
0 1
p p
No conduce a conduce
-
22
Construir el circuito que est expresado mediante
Solucin:
Utilizando las leyes del lgebra proposicional hallamos la
expresin equivalente a la implicacin
p
q
p q
p q p q
-
23
Construir el circuito que est expresado mediante
Solucin:
Utilizando las leyes del lgebra proposicional hallamos la
expresin equivalente a la implicacin
( )q p q
-
24
Construir el circuito que est expresado mediante
( ) ( )p q q p q
-
25
Simplificacin de circuitos
Considerando la identificacin de los circuitos
en serie y en paralelo con las proposiciones
bsicas de conjuncin y disyuncin, as como
las leyes del lgebra de proposiciones podemos
efectuar la simplificacin de circuitos; para
ello, en primer lugar, se representa el circuito
en su forma proposicional, en segundo lugar, se
simplifica y por ltimo se dibuja el nuevo
circuito utilizando la proposicin simplificada.
-
26
Ejemplos:
Simbolizar y simplificar los circuitos siguientes:
p
q
p q
a)
b)
q
q
q
p
p
-
27
q
qp
p
p
s
s
r
c)
-
28
TRABAJO EN EQUIPO
TALLER
-
Bibliografa Consultada
Acua, E., Castillo, M., DOnofrio, S., Galarza,B.,Guzman, A., Lastres, P., Rosales, D., & Villanueva, E.
(2014). Lgica y Epistemologa. Lima: PUCP.
Acua, C., Briceo,R. (2011). Lgica y matemtica,departamento de formacin general. Trujillo: UCV.
29