Espacio Tiempo

7/21/2019 Espacio Tiempo

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Espacio-tiempo

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Analogía bidimensional de la distorsión del espacio-tiempo debido a un objetode gran masa.

El espacio-tiempo es el modelo matemático que combina el espacio eltiempo en un único continuo como dos conceptos inseparablementerelacionados. En !l se desarrollan todos los eventos "ísicos del #niverso, deacuerdo con la teoría de la relatividad otras teorías "ísicas. Esta concepcióndel espacio el tiempo es uno de los avances más importantes del siglo $$en el campo de la "ísica de la %loso"ía.

El nombre alude a la necesidad de considerar uni%cadamente la locali&acióngeom!trica en el tiempo el espacio, a que la di"erencia entre componentesespaciales temporales es relativa según el estado de movimiento delobservador. 'e este modo, se (abla de continuo espacio-temporal. 'ebido aque el universo tiene tres dimensiones espaciales "ísicas observables, esusual re"erirse al tiempo como la )cuarta dimensión) al espacio-tiempocomo )espacio de cuatro dimensiones) para en"ati&ar la inevitabilidad deconsiderar el tiempo como una dimensión geom!trica más. *a e+presiónespacio-tiempo (a devenido de uso corriente a partir de la eoría de laelatividad especial "ormulada por Einstein en /01.

2ndice

3ntroducción

4 5ropiedades geom!tricas del espacio-tiempo

4. 6!trica

4.4 7ontenido material del espacio-tiempo

4.8 6ovimiento de las partículas

4.9 omogeneidad, isotropía grupos de simetrías

4.1 opología

8 Ejemplos de di"erentes clases de espacio-tiempo



8. El espacio-tiempo relativista de 6in;o<s;i

9 El universo de Einstein: gravitación geometría

9. =7uáles son estas intuiciones sugerencias>

9.4 El espacio-tiempo curvo de la relatividad general

9.8 El espacio-tiempo de la "ísica prerrelativista

1 ?enerali&aciones

1. iperespacio

@ !ase tambi!n

B e"erencias

C Enlaces e+ternos

3ntroducción

En general, un evento especí%co puede ser descrito por una o máscoordenadas espaciales una temporal. 5or ejemplo, para identi%car demanera única un accidente automovilístico, se pueden dar el punto;ilom!trico donde ocurrió Duna coordenada espacial, cuándo ocurrió Duna

coordenada temporal. En el espacio tridimensional, se requieren trescoordenadas espaciales. Sin embargo, la visión tradicional en la cual se basala mecánica clásica, cuos principios "undamentales "ueron establecidos porFe<ton, es que el tiempo es una coordenada independiente de lascoordenadas espaciales es una magnitud id!ntica para cualquierobservador. Esta visión concuerda apro+imadamente con la e+periencia: si unevento ocurre a 0 metros, es natural preguntar a 0 metros de qu!, pero sinos in"orman que ocurrió un accidente a las 0 de la maGana en nuestro país,ese tiempo parece tener carácter absoluto.

Sin embargo, resultados como el e+perimento de 6ic(elson 6orle, lasecuaciones de 6a+<ell para la electrodinámica, sugerían, a principios delsiglo $$, que la velocidad de la lu& es constante, independiente de lavelocidad del emisor u observador, en contradicción con lo postulado por lamecánica clásica. *a constancia de la velocidad de la lu& es unaconsecuencia del carácter relativo de la distancia el tiempo, de tal maneraque dos observadores medirán tiempos di"erentes entre dos eventos si uno



está movimiento respecto al otro Dusualmente esa di"erencia es mupequeGa, imperceptible con medios convencionales, pero detectablemediante relojes atómicos de alta precisión.

Einstein propuso como solución a !ste otros problemas de la mecánicaclásica considerar como postulado la constancia de la velocidad de la lu&, prescindir de la noción del tiempo como una coordenada independiente delobservador. En la eoría de la elatividad, espacio tiempo tienen carácterrelativo o convencional, dependiendo del estado de movimiento delobservador. Eso se reHeja por ejemplo en que las trans"ormaciones decoordenadas entre observadores inerciales Dlas rans"ormaciones de *orent&,involucran una combinación de las coordenadas espaciales temporal. Elmismo (ec(o se reHeja en la medición de un campo electromagn!tico, queestá "ormado por una parte el!ctrica otra parte magn!tica, pues

dependiendo del estado de movimiento del observador el campoelectromagn!tico es visto de di"erente manera entre su parte magn!tica el!ctrica por di"erentes observadores en movimiento relativo.

*a e+presión espacio-tiempo recoge entonces la noción de que el espacio eltiempo a no pueden ser consideradas entidades independientes o absolutas.

*as consecuencias de esta relatividad del tiempo (an tenido diversas

comprobaciones e+perimentales. #na de ellas se reali&ó utili&ando dos relojesatómicos de elevada precisión, inicialmente sincroni&ados, uno de los cualesse mantuvo %jo mientras que el otro "ue transportado en un avión. Al regresardel viaje se constató que mostraban una leve di"erencia de C9nanosegundos, (abiendo transcurrido )el tiempo) más lentamente para elreloj en movimiento.

5ropiedades geom!tricas del espacio-tiempo

6!trica

En la teoría de la relatividad general el espacio-tiempo se modeli&a como unpar D6, g donde 6 es una variedad di"erenciable semiriemanniana tambi!nconocida banda lorent&iana g es un tensor m!trico de signatura D8,. Iijadoun sistema de coordenadas D+0, +, +J, +K, para una región del espacio-tiempo el tensor m!trico se puede e+presar como:



g L MsumNOi,jLPQn gNOijP M d+Qi Motimes d+Qj M,

R para todo punto del espacio-tiempo e+iste un observador galileano tal queen ese punto el tensor m!trico tiene las siguientes componentes:

DgNOijPNOi,jL0PQ8 L MbeginOpmatri+P gNO00P gNO0P gNO04P gNO08P MM gNO0P gNOP gNO4P gNO8P MM gNO40P gNO4P gNO44P gNO48P MM gNO80P gNO8P gNO84P gNO88P MendOpmatri+P LMbeginOpmatri+P - MM T MM T MM T MendOpmatri+P

En ausencia de campo de gravitatorio e+iste un sistema de coordenadas talque el tensor tiene la "orma anterior para todos los puntos del espacio tiemposimultáneamente. 5ero si e+iste un campo gravitatorio eso no es posible %jado cualquier sistema de coordenadas natural el tensor inevitablementedi"erirá de un punto a otro, el tensor de curvatura asociado a la m!tricaserá no nulo, lo cual es percibido como un campo gravitatorio por elobservador.

7ontenido material del espacio-tiempo

El contenido material de dic(o universo viene dado por el tensor energía-impulso que puede ser calculado directamente a partir de magnitudesgeom!tricas derivadas del tensor m!trico. *as ecuaciones escritascomponente a componente relacionan el tensor energía impulso con el tensorde curvatura de icci las componentes del propio tensor m!trico:

NOi;P L M"racOcQ9POCMpi ?P Mle"t UNOi;P - Mle"tDM"racOgNOi;P PO4PMrig(tT M*ambda gNOi;P Mrig(t V

*a ecuación anterior e+presa que el contenido material determina lacurvatura del espacio-tiempo.

6ovimiento de las partículas



#na partícula puntual que se mueve a trav!s del espacio-tiempo seguirá unalínea geod!sica que son la generali&ación de las curvas de mínima longituden un espacio curvado. Estas líneas vienen dadas por la ecuación:

M"racOdQ4 +QMmuPOdtQ4P T MsumNOMsigma,MnuP M?ammaNOMsigmaMnuPQOMmuP M"racOd+QMsigmaPOdtPM"racOd+QMnuPOdtP L 0

'onde los símbolos de 7(ristoWel X se calculan a partir de las derivadas deltensor m!trico g el tensor inverso del tensor m!trico:

M?ammaNO;,ijP :L Mle"t DM"racOMpartial gNO;jPPOMpartial +QiP T

M"racOMpartial gNOi;PPOMpartial +QjP -M"racOMpartial gNOijPPOMpartial +Q;PMrig(t Mqquad Mqquad M?ammaNOijPQ; :L MsumNOpLPQngQO;pPM?ammaNOp,ijP

gQOi;PgNO;jP L gNOj;PgQO;iP L MdeltaNjQi

Si además e+istiese alguna "uer&a debida a la acción del campoelectromagn!tico, la traectoria de la partícula vendría dada por:

M"racOdQ4 +QMmuPOdMtauQ4P T MsumNOMsigma,MnuP M?ammaNOMsigmaMnuPQOMmuP M"racOd+QMsigmaPOdMtauPM"racOd+QMnuPOdMtauP LeINOMr(oPQOMmuPM"racOd+QOMr(oPPOdMtauP

'onde:

e Mqquad : MqquadM, carga el!ctrica de la partícula.

INOMr(oPQOMmuP Mqquad : Mqquad el tensor de campo electromagn!tico:

Mtau L tMsqrtO-vQ4YcQ4P Mqquad : M,el tiempo propio de la partícula.

3ntervalo, principio de invarian&a del intervalo



omogeneidad, isotropía grupos de simetrías

7iertos espacios-tiempo admiten grupos isometría no triviales. 5or ejemplo elespacio-tiempo de 6in;o<s;i, usado en la relatividad especial, tiene un grupode isometría llamado grupo de 5oincar! que es un grupo de *ie de dimensióndie&. Formalmente los espacios-tiempo tienen grupos de isometría muc(omenores, es decir, de dimensionalidad menor.

#na propiedad interesante es que si un espacio-tiempo admite un grupo deisometrías continuo, "ormado por un grupo de *ie de dimensión n entoncese+isten n campos vectoriales, llamados campo vectorial de Zilling $QODaP

que satis"acen las siguientes propiedades:

MnablaNMalp(a $QODaPNMbeta TMnablaNMbeta $QODaPNMalp(a L0 MqquadMqquad Mmat(calO*PNO$QODaPPgNOMalp(aMbetaP

'onde MnablaNMalp(a representa la derivada covariante Mmat(calO*PNO$QODaPP la derivada de *ie según uno de esos vectores deZilling.

elacionado con lo anterior están las relaciones de isotropía (omogeneidad.#n espacio tiempo presenta isotropía general en alguno de sus puntos sie+iste un subgrupo de su grupo de isometría, que es (omeomor"o a S[D8 deja invariante dic(o punto. [tra propiedad interesante es cuando el grupode simetría inclue un subgrupo (omeomor"o a MQ8 que a"ecta a lascoordenadas espaciales, en ese caso el espacio-tiempo resulta ser(omog!neo.

opología

!anse tambi!n: opología, Singularidad espaciotemporal, 5rincipio decausalidad, Agujero de gusano, iaje a trav!s del tiempo, Estructura causal ?lobalmente (iperbólico.

*a topología del espacio tiempo tiene que ver con la estructura causal del



mismo. 5or ejemplo es interesante conocer S3 en un espacio-tiempo:

E+iste la curva temporal cerrada\ ese tipo de ocurrencia permitiría a unapartícula inHuir en su propio pasado. Algunas soluciones e+actas de las

ecuaciones de Einstein como el #niverso de ?]del, que describe un universolleno de un Huido per"ecto en rotación, permiten dic(as curvas temporalescerradas Dv!ase curva cerrada de tipo tiempo.

E+isten (ipersuper%cies de 7auc(, lo cual permite, en principio, conocidoel estado del sistema sobre una de estas super%cies, conocer el estado en uninstante "uturo. Siempre cuando los e"ectos cuánticos tengan e"ectoslimitados, la e+istencia de (ipersuper%cies comporta la evolucióndeterminista.

E+isten geod!sicas incompletas, lo cual está relacionado con la ocurrencia

de singularidades espaciotemporales.

Ejemplos de di"erentes clases de espacio-tiempo

El espacio-tiempo relativista de 6in;o<s;i

!ase tambi!n: Espacio-tiempo de 6in;o<s;i.

El espacio-tiempo de 6in;o<s;i es el caso más sencillo de espacio-tiemporelativista. Iísicamente es un espacio de cuatro dimensiones plano, en quelas líneas de curvatura mínima o geod!sicas son líneas rectas. 5or lo que unapartícula sobre la que no actúe ninguna "uer&a se moverá a lo largo de unade estas líneas rectas geod!sicas. El espacio de 6in;o<s;i sirve de base paradescripción de todos los "enómenos "ísicos según la descripción que de ellosda la teoría especial de la relatividad. Además cuando se consideranpequeGas regiones de un espacio-tiempo general, donde las variaciones decurvatura son pequeGas, se (ace servir el modelo de espacio-tiempo de6in;o<s;i para (acer algunos de los cálculos, sin que se cometan erroresgrandes.

6atemáticamente está "ormado por una variedad de cuatro dimensiones quees (omeomor"a, es decir, identi%cable topológicamente con MQ9. Sobre estavariedad se de%ne una m!trica pseudoriemanniana de signatura D,8 que laconvierte en un espacio pseudoeuclídeo de curvatura id!nticamente nula. Enesta variedad el de isometrias ma+imal coincide con el grupo de 5oincar!.



El universo de Einstein: gravitación geometría

*a apro+imación de Einstein al tema de la gravitación se apoa en variasintuiciones en diversas sugerencias que se desprenden no sólo de su propia

construcción de la teoría de la relatividad especial sino de la "orma en que lainterpretaron otros "ísicos mu en particular 6in;o<s;i.

=7uáles son estas intuiciones sugerencias>

En primer lugar la constatación de que resulta imposible distinguir entre unsistema de re"erencia acelerado un sistema de re"erencia sometida a una"uer&a gravitacional. En segundo lugar que de esta indistinguibilidad, de lasconsecuencias de todo tipo que ello comporta, se in%ere la igualdad entre

inercia gravitación. En tercer lugar que, de acuerdo con su interpretación delas trans"ormaciones de *orent&, espacio tiempo dejan de ser entidadesseparadas para aparecer interconectados. En cuarto lugar que estaintercone+ión obligará a abandonar, como escenario en el que los "enómenos"ísicos se despliegan, el espacio el tiempo como entidades separadas parasustituirlos por una entidad única a la que se denominará espacio-tiempo.7obran, así, toda su valide& las palabras de 6in;o<s;i: *as visiones delespacio el tiempo que quiero presentarles (an emergido del sustrato de la"ísica e+perimental, en ello reside su "uer&a. Son radicales. A partir de a(orael espacio por sí mismo, el tiempo por sí mismo están condenados adesaparecer como meras sombras sólo una cierta unión de ambospreservará una realidad independiente. En quinto lugar que la gravitacióna"ecta al espacio-tiempo de cada ^lugar_ le dicta como curvarse. 5or últimoque, al ser el movimiento bajo la acción de un campo gravitacionalindependiente de la masa del objeto móvil, es lícito pensar que esemovimiento viene ligado al ^lugar_ que las traectorias líneas geod!sicasvienen marcadas por la estructura del tejido espacio-temporal en el quedesli&an.UV

*a "uer&a gravitacional acabaría, así, convirti!ndose en una mani"estación dela curvatura del espacio-tiempo del que (abla 6in;o<s;i. 'e a(í se deduceque en este esquema no (a acción a distancia ni misteriosas tendencias amoverse (acia e+traGos centros, tampoco espacios absolutos que contienena, o tiempos absolutos que discurran al margen de, la materia.U4V

*a masa le dice al espacio-tiempo como curvarse !ste le dicta a la masa



cómo moverse. Es el contenido material quien crea el espacio el tiempo.

El espacio-tiempo curvo de la relatividad general

#n espacio-tiempo curvo es una variedad lorent&iana cuo tensor decurvatura de icci es relacionable es una solución de las ecuaciones decampo de Einstein para un tensor de energía-impulso "ísicamente ra&onable.Se conocen centenares de soluciones de ese tipo. Algunos de los ejemplosmás conocidos, son los más interesantes "ísicamente tambi!n son lasprimeras soluciones obtenidas, representan espacios-tiempo con un altogrado de simetría como:

Espacio tiempo de Sc(<ars&c(ild, que viene dado por la llamada m!trica

de Sc(<ar&sc(ild representa la "orma del espacio tiempo alrededor de uncuerpo es"!rico, puede ser una buena apro+imación al campo solar de unaestrella que gira mu lentamente alrededor de sí misma.

6odelos de ig-`ang, que vienen dados en general por m!tricas de tipoIriedman-*ematre-obertson-al;er que describen un universo ene+pansión, que según su densidad inicial puede llegar a recolapsar.

El espacio-tiempo de la "ísica prerrelativista

El matemático oger 5enrose basándose en las propiedades básicas supuestos teóricos de diversas teorías "ísicas prerrelativistas (a propuestoque para cada una de ellas puede de%nirse un marco geom!trico adecuadoque da cuenta de como se produce el movimiento de partículas según estasteorías.4 Así tanto los supuestos (abituales de la "ísica aristot!lica, como elprincipio de relatividad de ?alileo implicarían implícitamente en sí mismosuna determinada estructura geom!trica para el conjunto de sucesos. *asestructuras que 5enrose propone para estas diversas teorías prerrelativistasson:

Espacio-tiempo de la "ísica aristot!lica, donde el supuesto de que tanto eltiempo como la velocidad son absolutos conduce a que los sucesos tienenestructura intuitiva de espacio producto Mmat(bbOEPQMtimesMmat(bbOEPQ8.



Espacio-tiempo galileano, aunque el tiempo sigue siendo absoluto en la"ísica galileana se impone el principio de relatividad según el cual dosobservadores que se mueven alejan uno de otro a velocidad uni"orme nopodrían determinar sin verse si se están alejando uno de otro. 5enrosee+plica que esta característica puede representarse geom!tricamente de

nuevo por un espacio-tiempo %brado, aunque el principio de relatividadimplica que la velocidad no es absoluta , por tanto, no pueden identi%carsesimplemente los puntos de di"erentes %bras. Es decir, el espacio-tiempogalileano, designado como Mmat(calO?P sería un %brado no trivialMmat(calO?PLMmat(bbOEPQMtimes Mmat(bbOEPQ8, donde el espacio basesería el espacio euclídeo Mmat(bbOEPQ que representa el tiempo cada%bra es un espacio tridimensional convencional Mmat(bbOEPQ8.

Espacio-tiempo ne<toniano, en esta construcción propuesta originalmentepor lie 7artan a principios del siglo $$, el espacio-tiempo adecuado paradescribir la mecánica ne<toniana incluendo la descripción del campo

gravitatorio, sigue siendo un %brado no trivial con espacio baseMmat(bbOEPQ para representar el tiempo %bra dada por un espacioeuclídeo tridimensional. *a di"erencia está en que a(ora algunas traectoriascurvas representan movimientos inerciales de acuerdo con el principio deequivalencia, por tanto se requiere algún tipo de estructura di"erenciablepara decidir qu! líneas curvas corresponden a esos movimientos inerciales.*a cone+ión que de%ne esta estructura di"erenciable debe escogerse de talmanera que la tra&a del tensor de icci coincida con la constante 9Mpi ? Mr(o.7uando el campo gravitatorio es constante entonces el espacio-tiempoFe<toniano es (omeomor"o al espacio-tiempo galileano.

?enerali&aciones

iperespacio

!anse tambi!n: iperespacio, uinta 'imensión, eoría Zalu&a-Zlein Supercuerdas.

*a teoría general de la relatividad introdujo una interpretación geom!trica del"enómeno "ísico de la gravedad, introduciendo una nueva dimensión "ísicatemporal considerando curvaturas que a"ectaban a !sta las demásdimensiones temporales.

Esta idea interesante (a sido utili&ada en diversas teorías "ísicasprometedoras que (an recurrido "ormalmente a la introducción de nuevas



dimensiones "ormales para dar cuenta de "enómenos "ísicos. Así Zalu&a Zlein trataron de crear una teoría uni%cada Dclásica de la gravedad delelectromagnetismo, introduciendo una dimensión adicional. En esta teoría lacarga podía relacionarse con la quinta componente de la )pentavelocidad) dela partícula, otra serie de cuestiones interesantes. El en"oque de varias

teorías de supercuerdas es aún más ambicioso se (an empleado esquemasinspirados remotamente en la ideas de Einstein, Zalu&a Zlein que llegan aemplear (asta die& once dimensiones, de las cuales seis o siete estaríancompacti%cadas no serían detectables más que indirectamente.

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