E t dí tiEstadísticaCapítulo 4 3Capítulo 4.3

TEOREMA DE BAYESTEOREMA DE BAYES

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Teorema de BayesTeorema de Bayes

La probabilidad condicional se basa en el resultado de un hecho para describir otra probabilidad específica.hecho para describir otra probabilidad específica.

Este concepto de puede extender cada vez que se tiene p p qnueva información con la cual determinar si una

probabilidad se debe a una causa específica.

Este procedimiento recibe el nombre de Teorema y Bayes í

2

y se maneja así:

T d BTeorema de Bayes

Si A es un evento simple y Bi es una sucesión de eventos, la probabilidad de que se cumpla el evento B dado que ya la probabilidad de que se cumpla el evento Bi dado que ya se cumplió el evento A es:

)()/(...)()/(()/()()/()/(

2211

iii BPBAPBPBAPBPBAP

BPBAPABP

)()/(...)()/(()/( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAP

3

El gerente de mercadotecnia de una compañía fabricante de juguetes estudia el lanzamiento de un juguete nuevo. En

el pasado, el 40% de los juguetes introducidos por la compañía han tenido éxito y 60% han fracasado.

4

Antes de lanzar el nuevo juguete se realiza un estudio de mercado y se hace un informe, ya sea favorable o

desfavorable. En el pasado, 80% de los juguetes con éxito t í i f f bl 30% d l j t tenían un informe favorable y 30% de los juguetes que fracasaron tenían un informe favorable. El gerente de

mercadotecnia quiere conocer la probabilidad de que el mercadotecnia quiere conocer la probabilidad de que el juguete tenga éxito si recibe un reporte favorable.

5

Análisis previo

¿Qué se busca? : L b bilid d d l j t t é itLa probabilidad de que el juguete tenga éxito.

¿Qué condiciones tenemos? : ¿Qué condiciones tenemos? : Resultados de un informe favorable

ÉP(Éxito/Favorable)

6

Análisis previoAnálisis previo

Juguetes con éxito : 40% P(éxito) = 0.4Juguetes con fracaso : 60% P(fracaso) = 0.6Juguetes con fracaso : 60% P(fracaso) 0.6

Datos del pasado:é íJuguetes que tuvieron éxito y previamente les habían

reportado un informe favorable 80%

Juguetes que fueron un fracaso y previamente les habían reportado un informe favorable 30%

7

p

Análisis previo

Juguetes que tuvieron éxito y previamente les habían reportado un informe favorable 80%p

P(Éxito/Favorable) = 0.8

Juguetes que fueron un fracaso y previamente les habían reportado un informe favorable 30%reportado un informe favorable 30%

P(Fracaso/Favorable) = 0.3

8

Propósito

La aplicación del teorema de Bayes indica que se busca la probabilidad de que un juguete sea un éxito, siendo que el probabilidad de que un juguete sea un éxito, siendo que el

dictamen que se tiene es favorable; el enunciado es el siguiente:

P(Éxito/Favorable) =

)()/()()/()()/(

FracasoPFracasoFavorablePÉxitoPÉxitoFavorablePÉxitoPÉxitoFavorableP

9

)()()()(

Desarrollo

)()/( ÉxitoPÉxitoFavorableP

)()/()()/( FracasoPFracasoFavorablePÉxitoPÉxitoFavorableP

)40)(80(

)32.0(

)6.0)(3.0()4.0)(8.0()4.0)(8.0(

)18.0()32.0(

64032.0 64%

10

64.05.0

La probabilidad de que una persona tenga una enfermedad es de 0.03. Se dispone de pruebas de diagnóstico médico

para determinar si una persona en realidad padece la enfermedad.

Si la enfermedad de hecho está presente, la probabilidad de que la prueba de diagnóstico médico de un resultado q p gpositivo es de 0.9. Si la enfermedad no está presente, la

probabilidad de un resultado positivo en la prueba de di ó ti édi d 0 02

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diagnóstico médico es de 0.02.

Suponga que la prueba de diagnóstico médico ha dado un resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que la resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que la

enfermedad esté presente en realidad.

é¿Qué se busca? : La probabilidad de que el paciente esté enfermo

¿Qué condiciones tenemos? : Diagnóstico positivo

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g p

S b l l P(E f /P i i ) Se busca calcular : P(Enfermo/Positivo)

Pacientes enfermos : 0 03 P(Enfermo) = 0 03Pacientes enfermos : 0.03 P(Enfermo) = 0.03Pacientes sanos : 0.97 P(Sano) = 0.97

Datos de pacientes en el pasado:Resultado positivo y estaban enfermos 0.90R lt d iti t b 0 02

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Resultado positivo y estaban sanos 0.02

Análisis previoAnálisis previo

Resultado positivo y estaban enfermos 0.90

P(Positivo/Enfermo) = 0.9

Resultado positivo, y estaban sanos 0.02

P(Positivo/Sano) = 0.02

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Propósito

La aplicación del teorema de Bayes indica que se busca la probabilidad de que un paciente dé un resultado positivo y probabilidad de que un paciente dé un resultado positivo y

los datos anteriores indican que está enfermo, el planteamiento es el siguiente:

P(Positivo/Enfermo) =

)()/()()/()()/(

PositivoPPositivoSanoPPositivoPPositivoEnfermoPPositivoPPositivoEnfermoP

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Desarrollo

)()/()()/()()/(

PositivoPPositivoSanoPPositivoPPositivoEnfermoPPositivoPPositivoEnfermoP

)970)(020()030)(90()03.0)(9.0(

)027.0(

)97.0)(02.0()03.0)(9.0(

58%)0194.0(027.0(

5819.0027.0

58%

16

58 9.00464.0

R l d CReglas de Conteo

La probabilidad de ocurrencia se definió como el ú d f l l lt dnúmero de formas en las que el resultado ocurre,

dividido por el número tal de resultados posibles

En muchas casos, hay un gran número de posibles resultados y es difícil determinar elposibles resultados y es difícil determinar el número exacto. Se han desarrollado reglas para contar el número posible de resultados

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contar el número posible de resultados.

R l d lReglas de Conteo = potencial

Si cualquiera de los eventos k mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos puedenexcluyentes y colectivamente exhaustivos pueden ocurrir en cada uno de los ensayos n, el número de posibles resultados es igual ap g

nk nk

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Suponga que lanza al aire una moneda de 5 centavos y otra de 10 centavos. ¿De cuantas maneras pueden caer ambas

monedas?

Los resultados que se pueden tener son:Los resultados que se pueden tener son:* Las dos monedas pueden caer en letra

* Las dos monedas pueden caer en escudo* L d 5 t l t l d 10 t d* La de 5 cents en letra y la de 10 cents en escudo.* La de 5 cents en escudo y la de 10 cents en letra

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Son 4 posibles formas las que pueden caer.

Si se resuelve por medio de la fórmula, se tiene lo siguiente:g

n = 2 eventosk 2 l d ti l dk = 2 lados tiene la moneda

422 nk20

De igual manera, si se lanza una moneda al aire 2 veces. ¿De cuántas maneras puede caer?

n = 2 eventosk 2 d l dk = 2 caras de la moneda

kr n

22r

21

4r

Si se lanza una moneda al aire 3 veces. ¿De cuántas maneras puede caer?

n = 3 eventosk 2 d l dk = 2 caras de la moneda

kr n

22223

xxrr

228

222r

xxr

Si se lanza un dado (6 caras) 2 veces. ¿De cuántas maneras puede caer?

n = 2 eventosk 6 d l dk = 6 caras de la moneda

kr n

6662

xrr

2336

66r

xr

R l d f lReglas de Conteo = factorial

El número de maneras en el que n cosas pueden arreglarse en orden es:g

1*2*3*...*)2(*)1(*! nnnn )()(

Característicasn! Es el “factorial de n”1! Es igual a 1

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0! Es igual a 1

Si un paquete de 6 libros se colocan en una repisa. ¿De cuantas formas es posible ordenar estos 6 libros de texto?

!6!6n

123456!6!6!

xxxxxn

720!6

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6 libros se pueden ordenar de 720 formas diferentes.

R l d bReglas de Conteo = combinaciones

Es el número de maneras de seleccionar X bj t ti d bj t i id lobjetos a partir de n objetos, sin considerar el

orden:

)!(!!

XnXnCXn

)!(! XnX

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Si tenemos 5 profesores de matemáticas y se presenta la oportunidad de abrir 3 nuevas secciones, de cuantas maneras p

se pueden distribuir.

Supongamos que los nombre de los profesores son:Supongamos que los nombre de los profesores son:Raquel , Clara , Venancio , Jorge , Vilma

S l 3 i l b i t d llSolo son 3 secciones las que se van a abrir y todos ellos tienen la misma capacidad para impartir la clase.

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Las posibilidades que se tienen son:

Combinación Sección 1 Sección 2 Sección 31 Raquel Clara Venancio2 Raquel Clara Jorge3 Raquel Clara Vilma4 Raquel Venancio Jorge4 Raquel Venancio Jorge5 Raquel Venancio Vilma6 Raquel Jorge Vilmaq g7 Clara Venancio Jorge8 Clara Venancio Vilma

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9 Clara Jorge Vilma10 Venancio Jorge Vilma

Si se utiliza la regla de conteo, el resultado se calcula de la siguiente manera:

)!35(!3!5

35 C

)1*2(*)1*2*3(1*2*3*4*5

!2!3!5

)(

35 C

12120

)2)(6(120

)12()123(!2!3

35 C

2910

12)2)(6(

35 C

Los representantes de ventas de la empresa ECK cuando colocan un pedido para uno de susECK cuando colocan un pedido para uno de sus clientes, llenan una forma de pedido electrónica

y envían un correo electrónico a la compañía con la información de lo que pidió el cliente. El

sistema verifica estas formas de pedido para detectar errores Las entradas dudosas sedetectar errores. Las entradas dudosas se

marcan y se incluyen en un reporte diario de excepciones.

30

excepciones.

Posibles formar de recibir los pedidosPosibles formar de recibir los pedidos(3 pedidos etiquetados)

1

22

33

31

4

Si se utiliza la regla de conteo, el resultado se calcula de la siguiente manera:

)!34(!3!4

34 C

)1(*)1*2*3(1*2*3*4

!1!3!4

34 C

624

)1)(6(24

)()(

34 C

324

6)1)(6(

34 C

• Resumen de los aspecto ético del capítulo 44

• Ejercicios pares de las páginas 130, 139 del lib d t tlibro de texto

• Los primeros 3 de la página 146 del libro de texto.

33

Fin del capítulo 4 3Fin del capítulo 4.3

Continúa el capítulo 5.1

34