Estructura franklin suarez

Cálculo proposicional y Cálculo proposicional y de predicadosde predicados

FRANKLIN SUAREZ

(Cálculo proposicional) (Cálculo proposicional) Representación del lenguaje usual Representación del lenguaje usual tomando como elemento básico de la tomando como elemento básico de la formulación un representación matemática formulación un representación matemática de las fraces declarativas simples de las fraces declarativas simples (proposiciones).(proposiciones).

Cálculo de predicadosCálculo de predicadosRepresentación del lenguaje usual Representación del lenguaje usual tomando como base los componentes de tomando como base los componentes de algunos tipos de proposiciones: términos y algunos tipos de proposiciones: términos y predicados.predicados.

Cálculo proposicionalCálculo proposicional En este caso el lenguaje esta constituido por: enunciados simples, En este caso el lenguaje esta constituido por: enunciados simples,

(proposiciones atómicas) y conectivos lógicos.(proposiciones atómicas) y conectivos lógicos.

Las clases de conectivos:Las clases de conectivos:• Negación.Negación. ~p~p• Conjunción.Conjunción. p p ∧∧ q q• Disyunción. Disyunción. p p ∨∨ q q• Condicional.Condicional. p p →→ q q(implicación material)(implicación material)

Las frases pueden ser más complejas Las frases pueden ser más complejas (p (p ∧∧ q) q) →→ ((r ((r ∧∧s) s) ∨∨ t) t)

En el lenguaje formalizado es preciso el usos de paréntesis para acotar las En el lenguaje formalizado es preciso el usos de paréntesis para acotar las proposiciones moleculares afectadas por cada conectivo.proposiciones moleculares afectadas por cada conectivo.

A la sintaxis de frases se les denominarán A la sintaxis de frases se les denominarán fórmulasfórmulas

Fórmulas sintácticamente correctasFórmulas sintácticamente correctas

a)a) Las letras proposicionales p,q,r,s,t, son fórmulas correctamente Las letras proposicionales p,q,r,s,t, son fórmulas correctamente formadas.formadas.

b)b) Si A y B son fórmulas correctamente formadas, también son fórmulas Si A y B son fórmulas correctamente formadas, también son fórmulas correctas ( recordar Def. de EXPR).correctas ( recordar Def. de EXPR).

c)c) Sólo son fórmulas correctas las que cumplen a) y b).Sólo son fórmulas correctas las que cumplen a) y b).

d)d) Un conectivo afecta a als letras proposicionales inmediatas o a los Un conectivo afecta a als letras proposicionales inmediatas o a los conjuntos de letras y símbolos inmediatos a ella entre paréntesis.conjuntos de letras y símbolos inmediatos a ella entre paréntesis.

e)e) Jerarquía entre los conectivos.Jerarquía entre los conectivos. Nivel 1 Nivel 1 ~~ Nivel 2Nivel 2 ∧∧ ,, ∨∨ Nivel 3Nivel 3 →→ ,, ↔↔

f)f) El conectivo de primer nivel obedece exclusivamente a la regla d), para El conectivo de primer nivel obedece exclusivamente a la regla d), para los otros niveles puede presuponerse el uso de paréntesis cuando están los otros niveles puede presuponerse el uso de paréntesis cuando están fórmulas afectadas por los conectivos de niveles inferiores.fórmulas afectadas por los conectivos de niveles inferiores.

Formulación de frasesFormulación de frases Si una sustancia orgánica se descompone, sus Si una sustancia orgánica se descompone, sus

componentes se transforman en abono y componentes se transforman en abono y fertilizan el suelo.fertilizan el suelo.

Determinación de las proposiciones atómicas.Determinación de las proposiciones atómicas.

- Una sustancia orgánica se - Una sustancia orgánica se descompone.descompone.- Sus componentes se transforman en abono.- Sus componentes se transforman en abono.- Sus componentes fertilizan el suelo.- Sus componentes fertilizan el suelo.

Fórmula asociada a la frase original.Fórmula asociada a la frase original.p p →→ q q ∧∧ r r

Qué es una deducción: un juego de Qué es una deducción: un juego de lógicalógica

Se ha robado un importante botín. El Se ha robado un importante botín. El criminal (o criminales) se dio a la fuga en un criminal (o criminales) se dio a la fuga en un coche. Scotland Yard decide interrogar a coche. Scotland Yard decide interrogar a tres sospechosos, Andy, Bill y Carl, y tres sospechosos, Andy, Bill y Carl, y consigue determinar los hechos siguientes:consigue determinar los hechos siguientes:

(i) En el robo no está implicada ninguna otra (i) En el robo no está implicada ninguna otra persona salvo A, B o C.persona salvo A, B o C.

(ii) C nunca trabaja sin llevar a A (y es (ii) C nunca trabaja sin llevar a A (y es posible que otros) como cómplice.posible que otros) como cómplice.

(iii) B no sabe conducir.(iii) B no sabe conducir.¿ES ANDY CULPABLE O INOCENTE?¿ES ANDY CULPABLE O INOCENTE?


En juegos como éste se nos pide que En juegos como éste se nos pide que deduzcamosdeduzcamos la información que se la información que se pide a partir de la información dada.pide a partir de la información dada.

En este caso la información que se En este caso la información que se pide es determinar si A es culpable.pide es determinar si A es culpable.

Veamos un par de modos típicos de Veamos un par de modos típicos de razonar para intentar resolver el razonar para intentar resolver el juego:juego:


1)1) ““Supongamos que A es inocente”Supongamos que A es inocente”2)2) Dado que C nunca trabaja sin A, si A es Dado que C nunca trabaja sin A, si A es

inocente, C debe ser también inocenteinocente, C debe ser también inocente3)3) Dado que el criminal huyó en coche y Dado que el criminal huyó en coche y

que B no sabe conducir, B no pudo que B no sabe conducir, B no pudo cometer el robo solo: tuvo que ir con A o cometer el robo solo: tuvo que ir con A o con C. Así que si A y C son inocentes, B con C. Así que si A y C son inocentes, B también es inocente.también es inocente.

4)4) Así que si A es inocente, también lo son Así que si A es inocente, también lo son B y C. Pero sabemos que B y C. Pero sabemos que al menos uno al menos uno es culpable es culpable

5)5) Por tanto, no puede ser que A sea Por tanto, no puede ser que A sea inocenteinocente


1’)1’) Tenemos 3 posibilidades: A, B o C.Tenemos 3 posibilidades: A, B o C.2’) Si A lo hizo, A es culpable.2’) Si A lo hizo, A es culpable.3’) Si C lo hizo, lo hizo con A, así que 3’) Si C lo hizo, lo hizo con A, así que A también sería culpable en este casoA también sería culpable en este caso4’) Si B lo hizo, lo hizo con A o con 4’) Si B lo hizo, lo hizo con A o con C:C:

-si lo hizo con A, A es culpable-si lo hizo con A, A es culpable-si lo hizo con C, entonces (por 3’) -si lo hizo con C, entonces (por 3’)

también lo hizo con A, así que A es también lo hizo con A, así que A es culpableculpable

5’) Por tanto, A es culpable en cualquier 5’) Por tanto, A es culpable en cualquier caso caso

Qué es una deducciónQué es una deducción En una deducción progresamos a partir de En una deducción progresamos a partir de

la información conocida, hasta alcanzar la información conocida, hasta alcanzar cierta información desconocida que nos cierta información desconocida que nos interesa obtenerinteresa obtener

La información conocida actúa como las La información conocida actúa como las premisaspremisas de un argumento, y la de un argumento, y la desconocida como la desconocida como la conclusiónconclusión

Lo que caracteriza que una deducción esté Lo que caracteriza que una deducción esté bien hecha es que cada paso que demos bien hecha es que cada paso que demos sea seguro: cada nueva información debe sea seguro: cada nueva información debe seguirse deseguirse de las anteriores las anteriores

Qué es una deducción: Qué es una deducción: ReglasReglas

Es posible captar por medio de Es posible captar por medio de reglasreglas los los pasos más típicos que efectuamos cuando pasos más típicos que efectuamos cuando llevamos a cabo una deducciónllevamos a cabo una deducción

Si una regla está bien elegida, nos Si una regla está bien elegida, nos conducirá desde cierto enunciado E a otro conducirá desde cierto enunciado E a otro E’ que es consecuencia lógica de EE’ que es consecuencia lógica de E

El proceso por el que pasamos de E a E’ es El proceso por el que pasamos de E a E’ es una una inferencia lógicainferencia lógica y la regla que da y la regla que da cuenta de dicho paso es una cuenta de dicho paso es una regla de regla de inferenciainferencia

Qué es una deducción: Qué es una deducción: ReglasReglas Hay reglas que intentan captar el “modo Hay reglas que intentan captar el “modo

natural” de proceder cuando razonamos. natural” de proceder cuando razonamos. Al sistema que se basa en tales reglas lo Al sistema que se basa en tales reglas lo llamamos llamamos cálculo de deducción naturalcálculo de deducción natural

La idea es recoger y sistematizar las reglas La idea es recoger y sistematizar las reglas informales que aplicamos, v.g., en informales que aplicamos, v.g., en razonamientos como el del juegorazonamientos como el del juego

Una vez formuladas de manera abstracta, Una vez formuladas de manera abstracta, podremos también aplicar las reglas a podremos también aplicar las reglas a nuestras fórmulas de Lnuestras fórmulas de L00, de manera que , de manera que podamos saber cómo obtener unas podamos saber cómo obtener unas fórmulas a partir de otrasfórmulas a partir de otras

Reglas de inferencia primitivasReglas de inferencia primitivas Vamos a ver un conjunto de reglas de Vamos a ver un conjunto de reglas de

inferencia básicas o inferencia básicas o primitivas primitivas para la para la deducción naturaldeducción natural

Dado que tenemos 5 conectivas, Dado que tenemos 5 conectivas, vamos a definir dos reglas vamos a definir dos reglas relacionadas con cada una de ellas, relacionadas con cada una de ellas, una de una de introducciónintroducción de la conectiva, y de la conectiva, y otra para su otra para su eliminacióneliminación

Las presentaremos primero de Las presentaremos primero de manera informal, para caracterizarlas manera informal, para caracterizarlas después de modo más formaldespués de modo más formal

Introducción del Conyuntor: ICIntroducción del Conyuntor: IC PremisasPremisas::1.1. El asesino es zurdoEl asesino es zurdo2.2. El asesino calza un 45El asesino calza un 45

ConclusiónConclusión::

3. El asesino es zurdo Y calza un 45.

Introducción del Conyuntor: ICIntroducción del Conyuntor: ICααββ____________

____αα ∧∧ ββ

p¬(r ∨ q)________p ∧ ¬(r ∨

q)

q → p¬r ∨ q________(q → p) ∧ (¬r

∨ q)

Eliminación del Conyuntor: ECEliminación del Conyuntor: EC PremisaPremisa::1.1. El asesino es bizco y usa bombínEl asesino es bizco y usa bombín


2. El asesino es bizco

o bien:2’. El asesino usa bombín

Eliminación del Conyuntor: ECEliminación del Conyuntor: ECαα ∧∧ ββ αα ∧∧ ββ ________________ ________________αα ββ

r ∧ (p ↔ ¬q) r ∧ (p ↔ ¬q) ________ ________r p ↔ ¬q

Doble Negación: DNDoble Negación: DN PremisaPremisa::1.1. No es el caso que el asesino no fume No es el caso que el asesino no fume

en pipaen pipa ConclusiónConclusión::2. El asesino fuma en pipa• Premisa:1. El asesino tiene bigote• Conclusión:

2. No es el caso que el asesino no tenga bigote

Doble Negación: DNDoble Negación: DN¬¬ ¬¬ αα αα__________ __________αα ¬¬ ¬¬ αα

¬¬ (r → q) r → q_____ _____r → q ¬¬ (r →

q)

¡CUIDADO!

¬(¬r → q) _____r → q

Introducción del Disyuntor: IDIntroducción del Disyuntor: ID PremisaPremisa::1.1. El asesino mide 1,90mEl asesino mide 1,90m


2. El asesino mide 1,90m o veranea en Cancún

2’. El asesino veranea en Cancún o mide 1,90m

Introducción del Disyuntor: IDIntroducción del Disyuntor: IDαα ________

__αα ∨∨ ββ

p _____p ∨ r

p ↔ ¬q_____(r → t) ∨ (p ↔

¬q)

α ____

_β ∨ α

Eliminación del Disyuntor: EDEliminación del Disyuntor: ED(también (también Prueba por CasosPrueba por Casos o o

DilemaDilema))1.1. El asesino huyó en coche o en patineteEl asesino huyó en coche o en patinete2.2. Si huyó en coche, se esconde en CádizSi huyó en coche, se esconde en Cádiz3.3. Si huyó en patinete, se esconde en CádizSi huyó en patinete, se esconde en Cádiz

Conclusión:Conclusión:

4. El asesino se esconde en Cádiz

Eliminación del Disyuntor: EDEliminación del Disyuntor: ED

αα ∨∨ ββαα →→ γγ ββ →→ γγ __________

__γγ

r ∨ ¬qr → (s ∧ t)¬q → (s ∧

t)______s ∧ t

p ∨ (r → q)p → ¬q(r → q) →

¬q______¬q

Eliminación del Condicional o Eliminación del Condicional o Modus Ponens: MPModus Ponens: MP

PremisasPremisas::1.1. Si Gutiérrez es culpable, Fefa le Si Gutiérrez es culpable, Fefa le

encubre encubre 2.2. Gutiérrez es culpableGutiérrez es culpable


3. Fefa encubre a Gutiérrez

Modus Ponens: MPModus Ponens: MP

αα →→ ββαα____________ββ

(p ∧ q) → ¬s

p ∧ q______¬s

¬(p → (¬r → q)) → (s ↔ ¬q)

¬(p → (¬r → q)) ______s ↔ ¬q

Introducción del Bicondicional: Introducción del Bicondicional: IBIB

PremisasPremisas::1.1. Si el asesino es calvo, entonces bebe Si el asesino es calvo, entonces bebe

vodka vodka 2.2. Si el asesino bebe vodka, entonces Si el asesino bebe vodka, entonces

es calvoes calvo

ConclusiónConclusión::3. El asesino es calvo si, y sólo si, bebe vodka

Introducción del Bicondicional: Introducción del Bicondicional: IBIB

αα →→ ββββ →→ αα____________αα ↔↔ ββ

r → ¬¬q

¬¬q → r

______r ↔

¬¬q

(p ∨ r) → ¬(q → p)

¬(q → p) → (p ∨ r)

______(p ∨ r) ↔ ¬(q →

p)

Eliminación del Bicondicional: Eliminación del Bicondicional: EBEB

PremisaPremisa::1.1. Gutiérrez es culpable si, y sólo si, Gutiérrez es culpable si, y sólo si,

ama a Fefaama a Fefa

ConclusiónConclusión::2. Si Gutiérrez es culpable, entonces ama a Fefa

o bien:2’. Si Gutiérrez ama a Fefa, entonces es culpable

Eliminación del Bicondicional: Eliminación del Bicondicional: EBEB

αα ↔↔ ββ αα ↔↔ ββ

________________________

αα →→ ββ ββ →→ αα

(p ∨ ¬p) ↔ q

______ (p ∨ ¬p) →

q

(p ∨ ¬p) ↔ q

______ q → (p ∨ ¬p)

Premisas y supuestosPremisas y supuestos Las premisas corresponden a la Las premisas corresponden a la

información que nos viene información que nos viene dadadada de de antemano (los datos del problema o antemano (los datos del problema o las fórmulas iniciales)las fórmulas iniciales)

A veces tenemos que introducir A veces tenemos que introducir información hipotética para echar a información hipotética para echar a andar un razonamiento: a esto que andar un razonamiento: a esto que introducimos lo llamamos introducimos lo llamamos supuestosupuesto

Equivale a las ocasiones en que Equivale a las ocasiones en que razonamos comenzando razonamos comenzando “Supongamos que...”“Supongamos que...”

Hay 2 reglas de inferencia que se Hay 2 reglas de inferencia que se basan en el empleo de supuestos: basan en el empleo de supuestos:

Reducción al Absurdo: RAReducción al Absurdo: RA SupuestoSupuesto:: (Supongamos que) el asesino no (Supongamos que) el asesino no

huyó a Cádizhuyó a Cádiz ...bla bla bla... (...bla bla bla... (cadena de cadena de

inferencias válidasinferencias válidas)) Gutiérrez es dentista y no es Gutiérrez es dentista y no es

dentistadentista ConclusiónConclusión::

1. El asesino huyó a Cádiz

Reducción al Absurdo: RAReducción al Absurdo: RA En la RA comenzamos por introducir un En la RA comenzamos por introducir un

supuesto, (que corresponde a supuesto, (que corresponde a la negación la negación de aquello que intentamos concluir)de aquello que intentamos concluir)

Para señalar que se trata de un supuesto Para señalar que se trata de un supuesto y no de una premisa, usamos el símbolo y no de una premisa, usamos el símbolo (abrir hipótesis)(abrir hipótesis)

A continuación seguimos la deducción A continuación seguimos la deducción aplicando las reglas de inferencia que sea aplicando las reglas de inferencia que sea convenienteconveniente

SI alcanzamos una contradicción, significa SI alcanzamos una contradicción, significa que nuestro supuesto inicial era erróneo. que nuestro supuesto inicial era erróneo. Al llegar a la contradicción, cerramos la Al llegar a la contradicción, cerramos la cadena de inferencias con el símbolo cadena de inferencias con el símbolo (cancelar hipótesis). (cancelar hipótesis).

La conclusión será La conclusión será la negación del la negación del supuestosupuesto

Reducción al Absurdo: RAReducción al Absurdo: RA αα ...... ββ ∧∧ ¬ ¬ ββ__________________

__¬ ¬ αα

demuéstrese p desde (¬p ↔ q) y ¬q

1. ¬p ↔ q Premisa 2. ¬q Premisa 3. ¬p

(hipótesis) 4. ¬p → q EB 1 5. q MP 3, 4 6. q ∧ ¬q IC 2, 57. ¬¬p RA 3-68. p DN 7

Introducción del Condicional: IcdIntroducción del Condicional: Icd(también (también Teorema de DeducciónTeorema de Deducción))

SupuestoSupuesto:: ((supongamos supongamos que) La víctima fue que) La víctima fue

envenenadaenvenenada

... bla bla bla ... (... bla bla bla ... (cadena de inferencias cadena de inferencias válidasválidas))

El asesino es la condesa LecquiaEl asesino es la condesa Lecquia ConclusiónConclusión::1. Si la víctima fue envenenada, el asesino es la condesa Lecquia

Introducción del Condicional: IcdIntroducción del Condicional: Icd Aquí también introducimos un supuesto. Aquí también introducimos un supuesto.

Seguimos con la deducción aplicando las Seguimos con la deducción aplicando las reglas que sea conveniente y llegamos a reglas que sea conveniente y llegamos a determinado enunciado.determinado enunciado.

Nuestra conclusión NO ES ESTE Nuestra conclusión NO ES ESTE ENUNCIADO.ENUNCIADO.

La conclusión es un condicionalLa conclusión es un condicional, que , que tiene tiene como antecedente el supuestocomo antecedente el supuesto que que hemos introducido y hemos introducido y como consecuente el como consecuente el enunciadoenunciado que hemos obtenido a partir de que hemos obtenido a partir de ese supuesto, aplicando reglas de ese supuesto, aplicando reglas de inferenciainferencia

Estructura franklin suarez

Documents

Transcript of Estructura franklin suarez