Estudio del espín mediante la notación de Dirac

Estudio del espín mediante la notación de Dirac.

Javier García Molleja

Redactado con el editor de textos LATEX

Índice1. Notación de Dirac 2

1.1. Vectores ket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Espacio dual. Vectores bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Operadores lineales en notación de Dirac. Proyectores . . . . . . . . . . . . 31.4. Adjunto de un operador. Conjugación hermítica . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Representaciones en la notación de Dirac. Cambio de representación . . . . 5

1.5.1. Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.2. Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.3. Representación de un ket y un bra. Producto escalar . . . . . . . . 61.5.4. Representación de un operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.5. Cambio de representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. El espín 82.1. El experimento de Stern–Gerlach. Momento angular intrínseco . . . . . . . 82.2. Propiedades del espín 1

2. Matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Teoría de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Teoría no relativista del espín. Espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Cálculo de probabilidades mediante espinores . . . . . . . . . . . . . . . . 15

A. Postulados de la Mecánica Cuántica 18

B. Breve biografía de Dirac 19

C. Comparación de imágenes 20

D. 2005: año mundial de la física 20

1

1 NOTACIÓN DE DIRAC Javier García Molleja

1. Notación de Dirac

1.1. Vectores ket

Con este tipo de notación se trabaja de forma abstracta con la función de ondaa en todomomento. La función de onda aparecerá cuando debamos operar en una representaciónconcreta. El espacio de estados representa el conjunto de estados en el que se puedeencontrar la partícula, E . Toda función de onda que pertenezca a E se denota como |ψ〉.Es necesario crear una función biunívoca que relacione los elementos de Fb con los de E .Los elementos de E se denominan vectores ket.[1]

F y E son isomorfos, luego E posee estructura de espacio vectorial y puede definirseel producto escalar. Éste coincide con el producto escalar de F . El espacio de estadosdepende del problema que vamos a estudiar.

ψ(~r) →|ψ〉 ∈ E ,ψ(~r) ∈ F~r →|ψ〉 ∈ E~r,ϕ(x) ∈ Fx →|ϕ〉 ∈ Ex,

ψ(~r), ϕ(~r) ∈ F ⇒(ψ, ϕ) es el producto escalar,|ψ〉, |ϕ〉 ∈ E ⇒(|ψ〉, |ϕ〉) es el producto escalar.

1.2. Espacio dual. Vectores bra

Una funcional lineal que actúa sobre E es una operación lineal que a cada vector delE le hace corresponder un número.

|ψ〉 ∈ E χ→ χ(|ψ〉) ∈ C,

χ(λ1|ψ1〉+ λ2|ψ2〉) = λ1χ(|ψ1〉) + λ2χ(|ψ2〉), es lineal.

El conjunto de todas las funcionales lineales que actúan sobre E configuran un espaciovectorial, llamado espacio dual, E∗. Sus elementos se llamarán vectores bra, 〈x| ∈ E∗.

El número complejo que sale al operar el vector bra con el ket se denota como: χ(|ψ〉) == 〈χ|ψ〉 ∈ C.

Intentemos crear una correspondencia no lineal entre vectores ket y bra para poderrealizar operaciones semejantes al producto escalar:

|ϕ〉 ∈ E → 〈ϕ| ∈ E∗ ⇒ 〈ϕ|ψ〉 = (|ϕ〉, |ψ〉).aEs una ecuación que da una interpretación probabilística a las características de un cuerpo sobre su

posición y velocidad y cuyo cuadrado indica la densidad de probabilidad de que la partícula u onda seencuentre en una posición en un instante de tiempo.

bAlgebraicamente, es un espacio vectorial cuyos elementos dependen de tres coordenadas espaciales ysu normalización es un número finito. Si además son funciones continuas con su primera derivada continuase engloban en el espacio de Hilbert.

2 Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física)

Javier García Molleja 1 NOTACIÓN DE DIRAC

Para conseguir la correspondencia tenemos que obligar a los vectores a que cumplanlas siguientes condiciones:

Sea λ|ϕ〉 ∈ E → λ∗〈ϕ| ∈ E∗,

(λ|ϕ〉, |ψ〉) = λ∗(|ϕ〉, |ψ〉) = λ∗〈ϕ|ψ〉,

λ1|ϕ1〉+ λ2|ϕ2〉 ∈ E →λ∗1〈ϕ1|+ λ∗2〈ϕ2| ∈ E∗,|λϕ〉︸︷︷︸λ|ϕ〉

∈ E →〈λϕ|︸︷︷︸λ∗〈ϕ|

∈ E∗.

Estudiemos ahora las propiedades del producto escalar:

〈ϕ|ψ〉∗ =〈ψ|ϕ〉,〈ϕ|λ1ψ1 + λ2ψ2〉 =λ1〈ϕ|ψ1〉+ λ2〈ϕ|ψ2〉,〈λ1ϕ1 + λ2ϕ2|ψ〉 =λ∗1〈ϕ1|ψ〉+ λ∗2〈ϕ2|ψ〉,√

〈ψ|ψ〉 ∈R+, es la norma.

1.3. Operadores lineales en notación de Dirac. Proyectores

Si definíamos al operador A como ψ(~r)A→ ψ′(~r), tal que ψ′(~r) = Aψ(~r), ahora podemos

hacer que |ψ〉 A→ |ψ′〉, tal que |ψ′〉 = A|ψ〉. En la notación de Dirac se puede utilizar elconmutador : [A,B] = AB −BA.

Los elementos de matriz de los vectores |ϕ〉, |ψ〉 se consiguen utilizando el operador〈ϕ|A|ψ〉 ∈ C.

La expresión |ψ〉〈ϕ| es un operador, no un escalar. Supongamos |ψ〉 ∈ E que verifica lanormalización de la función de onda: 〈ψ|ψ〉 = 1, definimos por este motivo Pψ = |ψ〉〈ψ|.Veamos cómo actúa:

Pψ|ϕ〉 = |ψ〉〈ψ|ϕ〉︸︷︷︸∈C

= 〈ψ|ϕ〉|ψ〉, se llama proyector pues proyecta ϕ sobre ψ.

P 2ψ = |ψ〉〈ψ|ψ〉〈ψ| = |ψ〉〈ψ|, la proyección doble es igual a la única.

Sea {|ψi〉} una base que verifica que 〈ψi|ψj〉 = δij, si |ψi〉 ∈ ES, con ES ⊂ E , sedenomina proyector de ES sobre E a:

PS =∑i

|ψi〉〈ψi|.

Este proyector actúa solamente en el subespacio indicado (S) y cumple las mismaspropiedades que en el caso del proyector sobre todo el espacio, o sea, su resultado será unoperador y su cuadrado dará el mismo valor que él solo.

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1.4. Adjunto de un operador. Conjugación hermítica

〈ϕ|A|ψ〉, el operador, según esta expresión, puede formar parte tanto del vector ket(que conformará así los elementos de matriz), como del vector bra.

El operador A que actúa sobre un vector bra se denota como: 〈ϕ|A. Luego las expre-siones

|ψ′〉 =A|ψ〉 y〈ψ′| =〈ψ|A†

darán el mismo resultado si A† es el operador adjunto de A.

|ψ′〉 = A|ψ〉 → 〈ψ′| = 〈ψ|A†, gracias a esto veremos la relación de A y A† desde el puntode vista de sus elementos de matriz:

〈ϕ|ψ′〉 = 〈ϕ|A|ψ〉,〈ϕ|ψ′〉∗ = 〈ψ′|ϕ〉 = 〈ψ|A†|ϕ〉 = 〈ϕ|A|ψ〉∗.

Propiedades generales:

1. (λA)† = λ∗A†

〈ϕ|λA|ψ〉∗ = 〈ψ|(λA)†|ϕ〉(λ〈ϕ|A|ψ〉)∗ = λ∗〈ϕ|A|ψ〉∗ = λ∗〈ψ|A†|ϕ〉 = 〈ψ|λ∗A†|ϕ〉

2. (AB)† = B†A†

〈ϕ|AB|ψ〉∗ = 〈ψ|(AB)†|ϕ〉〈ϕ|AB|ψ〉∗ = 〈ψ|B†A†|ϕ〉

3. (ABC)† = C†(AB)† = C†B†A†

4. |ψ〉 ∈ E → 〈ψ| ∈ E∗

5. λ→ λ∗

6. λ|ψ〉 → 〈ψ|λ∗

7. A→ A†

A la operación de hacer correspondencia entre elementos de E con los de E∗, o viceversa,se denomina conjugación hermítica.

Si tenemos el vector ket λ〈u|A|v〉|u〉〈ψ|ϕ〉 podemos obtener su bra correspondiente.Para ello, sustituimos los ket por sus bra, los operadores por sus adjuntos, las constantespor sus complejos conjugados y por último lo ponemos todo en orden inverso. Luego queda:〈ϕ|ψ〉〈u|〈v|A†|u〉λ∗. Otro ejemplo se puede hacer con la conjugación:〈ϕ|A|ψ〉∗ = 〈ψ|A†|ϕ〉.



1.5. Representaciones en la notación de Dirac. Cambio de repre-sentación

Una representación en E es equivalente a tener una base en E . Las bases pueden serdiscretas o continuas.

1.5.1. Discretas

{|ui〉} es ortonormal si se verifica la siguiente relación: 〈ui|uj〉 = δij. El conjunto seráuna base de E si un elemento de éste se puede expresar como combinación de {|ui〉}, siendolos coeficientes únicos para éste. Los coeficientes se denominan entonces representación,

|ψ〉 =∑i

ci|ui〉 =∑j

cj|uj〉.

Veamos lo que ocurre si realizamos el producto tensorial de un elemento de la basecon una función de onda:

〈ui| ⊗ |ψ〉 = 〈ui|ψ〉 = 〈ui|∑j

cjuj〉 =∑j

cj〈ui|uj〉 =∑j

cjδij = ci,

es decir, los coeficientes son el producto escalar de la base por el vector. Según estopodemos definir la relación de cierre (o identidad de Parceval) de la siguiente manera:

|ψ〉 =∑i

〈ui|ψ〉︸︷︷︸ci

|ui〉 =∑i

|ui〉〈ui|ψ〉 =

(∑i

|ui〉〈ui|

)|ψ〉 ⇒

∑i

|ui〉〈ui| = 1.

Esta definición da a entender que todo vector se puede expresar en la base {|ui〉} :

|ψ〉 =∑i

|ui〉〈ui|ψ〉 =∑i

〈ui|ψ〉|ui〉 =∑i

ci|ui〉.

1.5.2. Continuas

Un conjunto de vectores {|ωα〉} con α ∈ R es ortonormal en el sentido de Dirac si severifica la condición de ortonormalidad :

〈ωα|ωα′〉 = δ(α− α′).



El conjunto será una base de E si un elemento de éste se puede expresar como combi-nación de {|ωα〉}, siendo los coeficientes únicos para éste. Los coeficientes al verificar estotambién se llaman representación:

|ψ〉 =

∫dα c(α)|ωα〉.

Demostremos a continuación que los coeficientes son el resultado de realizar el productoescalar de la base con el vector:

〈ωα| ⊗ |ψ〉 = 〈ωα|ψ〉 = 〈ωα|∫dα′ c(α′)ωα′〉 =

∫dα′ c(α′)〈ωα|ωα′〉 =

=

∫dα′ c(α′)δ(α− α′) = c(α).

La relación de cierre (o identidad de Parceval) para las bases continuas se puedededucir de una manera análoga al caso de bases discretas:

|ψ〉 =

∫dα 〈ωα|ψ〉︸︷︷︸

c(α)

|ωα〉 =

∫dα |ωα〉〈ωα|ψ〉 =

(∫dα |ωα〉〈ωα|

)|ψ〉 ⇒

⇒∫dα |ωα〉〈ωα| = 1.

1.5.3. Representación de un ket y un bra. Producto escalar

{|ui〉} es la base de E , la cual verifica que 〈ui|uj〉 = δij y posee además una relación decierre de la forma

∑i |ui〉〈ui| = 1. De este modo podemos ver el aspecto de los vectores

de la base en la notación de Dirac.

|ψ〉 =∑i

|ui〉〈ui|ψ〉 =∑i

〈ui|ψ〉|ui〉, matricialmente |ψ〉 ≡

〈u1|ψ〉〈u2|ψ〉〈u3|ψ〉

...

. (1)

〈ϕ| =∑

i〈ϕ|ui〉〈ui|, se tiene que {〈ui|} es una base del espacio dual de vectores bra. Loscoeficientes son la representación del vector en esa base. Matricialmente:

〈ϕ| ≡[〈ϕ|u1〉〈ϕ|u2〉〈ϕ|u3〉 . . .

]. (2)



Para pasar de un vector ket a un bra es necesario trasponer y conjugar su matriz.Podemos realizar el producto escalar de dos vectores atendiendo a la base de cada uno:

〈ϕ|ψ〉 =∑i

〈ϕ|ui〉〈ui|ψ〉 =[〈ϕ|u1〉〈ϕ|u2〉 . . .

] 〈u1|ψ〉〈u2|ψ〉

...

.

1.5.4. Representación de un operador

Sea el operador A en la base {|ui〉}, sus elementos de matriz son:

〈ui|A|uj〉 = Aij, matricialmente A ≡

A11 A12 A13 · · ·A21 A22 A23 · · ·A31 A32 A33 · · ·. . . . . . . . . . . . .

. (3)

También podemos obtener los elementos de matriz de un producto de operadoresAB : (AB)ij = 〈ui|AB|uj〉 =

∑k〈ui|A|uk〉〈uk|B|uj〉 =

∑k AikBkj. Para conseguir este

resultado tuvimos que introducir entre los operadores la relación de cierre. Ahora tenemosque ver qué aspecto presenta el hermítico conjugado de un operador en representaciónmatricial:

A→Aij = 〈ui|A|uj〉,A† →A∗

ij = 〈ui|A|uj〉∗ = 〈uj|A†|ui〉 = A†ji.

A ≡

A11 A12 · · ·A21 A22 · · ·. . . . . . . . . .

, A† ≡

A∗11 A∗

21 · · ·A∗

12 A∗22 · · ·

. . . . . . . . . .

.

1.5.5. Cambio de representación

Sea |ψ〉 en la base {|ui〉} de coeficientes 〈ui|ψ〉. Es posible obtener |ψ〉 en otra base{|vj〉}, de coeficientes 〈vj|ψ〉 =

∑i〈vj|ui〉〈ui|ψ〉, la matriz del cambio de base es : Cji =

= 〈vj|ui〉. Matricialmente, el cambio de representación de un ket queda:〈v1|ψ〉〈v2|ψ〉

...

=

C11 C12 · · ·C21 C22 · · ·. . . . . . . . . .

〈u1|ψ〉〈u2|ψ〉

...

.Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física) 7

2 EL ESPÍN Javier García Molleja

Sea 〈ψ| expresado en la base {|ui〉} de coeficientes 〈ψ|ui〉. Es posible expresarlo enotra base que podemos obtener, {|vi〉}, y poseerá coeficientes 〈ψ|vi〉 =

∑j〈ψ|uj〉〈uj|vi〉 =

=∑

j〈ψ|uj〉C†ji; según todo lo que hemos visto anteriormente, la matriz del cambio de

base es 〈uj|vi〉 = 〈vi|uj〉∗ = C∗ij = C†

ji. Matricialmente, el cambio de representación de unbra queda:

[〈ψ|v1〉〈ψ|v2〉 . . .

]=[〈ψ|u1〉〈ψ|u2〉 . . .

] C†11 C†

12 · · ·C†

21 C†22 · · ·

. . . . . . . . . .

.

Veamos ahora el cambio de representación de un operador: Cij = 〈vi|uj〉 es el cambiode base entre {|ui〉} y {|vj〉}, con lo que A ≡ 〈ui|A|uj〉 = Aij son los elementos de matrizen la base {|ui〉}, veamos su aspecto en la base {|vj〉} introduciendo para ello dos relacionesde cierre:

〈vi|A|vj〉 =∑l

∑m

〈vi|ul〉〈ul|A|um〉〈um|vj〉 =∑l

∑m

CilAlmC†mj ≡

≡

C11 C12 · · ·C21 C22 · · ·. . . . . . . . . .

A11 A12 · · ·A21 A22 · · ·. . . . . . . . . .

C†11 C†

12 · · ·C†

21 C†22 · · ·

. . . . . . . . . .

.

2. El espín

2.1. El experimento de Stern–Gerlach. Momento angular intrínseco

El experimento se basaba en introducir los átomos dentro de un campo magnético nouniforme. En este caso, y atendiendo a una explicación clásica, las órbitas de los electronesse pueden considerar espiras.

Si introducimos una espira en un campo magnético, ~B, aparecerá una energía deinteracción entre el momento dipolar de la espira y el campo magnético. Si ~B no esuniforme aparecerá una fuerza sobre la espira:

La energía valdrá U = − ~M · ~B.

La fuerza valdrá ~F = ~∇( ~M · ~B).


Javier García Molleja 2 EL ESPÍN

Estudiemos el caso particular de que ~B = B~ez y posea una dependencia tal que∂B∂x

= ∂B∂y

= 0, así la fuerza neta a la que se somete la espira queda en la dirección del ejez : ~F = ~∇MzB = Mz

∂B∂z~ez.

Según esto (además de la consideración clásica), ~M = − e2me

~L, por lo que la fuerzaaparece como:

~F = − e

2me

Lz∂B

∂z~ez = − e

2me

~m∂B

∂z~ez ⇒ Fz = − e

2me

Lz∂B

∂z= − e

2me

~m∂B

∂z.

Debido a este razonamiento, tras hacer pasar los átomos por un colimadorc y atravesarel campo llegarán desviados a una pantalla. La desviación dependerá del valor de m(m = −l, . . . , 0, . . . , l, estando entonces bien determinado L2 = ~2l(l + 1), l = 0, 1, . . . )por lo que se esperaba 2l+1 zonas donde impactasen, es decir, un número impar de ellas.Tras realizar la sesión los científicos Stern y Gerlach con átomos de plata sólo se vierondos manchas (no había franja central). Este número tan bajo viene de tomar l demasiadopequeño (estaban los átomos en el estado fundamental) pero no había explicación depor qué era un número par. En el experimento de Phipps–Taylor se utilizaron átomosde hidrógeno en el estado fundamental y se llegó a los mismos resultados, suponiendoentonces erróneamente que m 6= 0.

Los trabajos de Ulenbeck y Goudsmith indicaron que el electrón además de girar alrede-dor del núcleo lo hacen sobre sí mismos, originando así un momento angular llamado espín.De este modo se propuso l = 1

2para hacer que m = ±1

2, aunque en el caso de realizar

el experimento con átomos con l = m = 0 siguen apareciendo dos zonas. Esto indicaclaramente que este momento angular es intrínseco.[2]

El espín contribuye además al momento angular dipolar ~MS = − e2me

~S, así la fuerzaserá:

~F = ~∇( ~MS~B) = MSz

∂B

∂z= − e

2me

Sz∂B

∂z= − e

2me

~ms∂B

∂B= −µBms

∂B

∂z.

Indicamos que µB = e2me

~ d es el magnetón de Bohr. La fuerza calculada era lamitad de la medida, por lo que se introdujo el factor gS = 2,0023, (conocido como factorgiromagnético) que es el doble del número de Dirace, el cual indica efectos relativistas.

cAparato que sirve para escoger haces de partículas con direcciones o velocidades indicadas por elcientífico.

dPara una mejor comprensión indicamos que e = 1,62 · 10−19C, es la carga del electrón, me = 9,31 ·10−31kg, es la masa del electrón y ~ = 1,0544 · 10−34, es la constante de Planck reducida.

eEs un número bastante estudiado teórica y experimentalemte, ya que es de una importante relevancia



2.2. Propiedades del espín 12 . Matrices de Pauli

Pauli y Dirac negaron la posibilidad de que el electrón girase sobre sí mismo, ya queal averiguar la velocidad de rotación de éste utilizando en los cálculos el valor de suradio determinado clásicamente, obtenemos una velocidad superior a la de la luz y segúnlas concepciones relativistas de Einstein no pueden existir partículas cuya velocidad seaigual o mayor que la de la luzf. De ahí que se suponga que el electrón es puntual. Los doscientíficos aceptaron en su lugar el uso del espín como grado de libertad adicional.

A partir de ~L se llegan a conocer L2 y Lz, construyendo |l,m〉 : g

L2|l,m〉 = ~2 l(l + 1)|l,m〉,Lz|l,m〉 = ~m|l,m〉.

Como ~S también es un momento angular se llega a conocer S2 y Sz, construyendo|s,ms〉.

S2|s,ms〉 = ~2 s(s+ 1)|s,ms〉,Sz|s,ms〉 = ~ms|s,ms〉.

Con el uso de los operadores S2 y Sz hemos obtenido los autovalores s y ms, respec-tivamente:

s = 0,1

2, 1,

3

2, 2, . . .

ms = −s,−s+ 1, . . . , 0, . . . , s− 1, s.

Como el espín es un momento angular podemos definir como operadores a sus trescomponentes: Sx, Sy, Sz. De este modo podremos definir reglas operativas:

1. [Si, Sj] = i~εijkSk

en el campo de la Mecánica Cuántica y posee un valor de 1,00115 . . .fDebido a que sólo las patrículas sin masa se pueden desplazar a tal velocidad. Conocemos por los

experimentos que el electrón posee masa, por lo que no puede ir nunca a la velocidad de la luz.gEs necesario indicar que lo que viene a continuación es una ecuación de autovalores, donde el vector

ket se llama autovector y la constante que permite originar la igualdad es el autovalor. L2 y Lz compartenel mismo autovector, ya que se pueden diagonalizar sus matrices a la vez. La constante l = 0, 1, . . . es laencargada de identificar el momento angular y m = −l, . . . , l indica la proyección de aquél en un plano(posee relación también con el momento magnético).



2. ~S × ~S = i~ ~S

El valor de s es intrínseco a la partícula, luego en el caso del electrón se tiene ques = 1

2⇒ ms = −1

2, 1

2, por lo que los autovectores son:∣∣∣∣12 , 12

⟩≡|+〉,∣∣∣∣12 ,−1

2

⟩≡|−〉.

(4)

Así la base formada por los vectores de (4) nos ayudará a encontrar una expresiónmatricial para los operadores de espín del electrón:

S2|±〉 =3

4~2|±〉 ≡ 3

4~2

[1 00 1

],

Sz|±〉 = ±~2|±〉 ≡ ~

2

[1 00 −1

].

A continuación podemos definir nuevos operadores para conocer el valor de Sx y deSy :

S+ =Sx + iSy,

S− =Sx − iSy,

de tal modo que verifican:

S+|s,ms〉 =~√s(s+ 1)−ms(ms + 1) |s,ms + 1〉,

S−|s,ms〉 =~√s(s+ 1)−ms(ms − 1) |s,ms − 1〉.

Veamos ahora cálculos prácticos sobre los operadores definidos, teniendo en cuenta elcarácter de ortonormalidad entre los vectores de la base:

S+ ≡[〈+|S+|+〉〈+|S+|−〉〈−|S+|+〉〈−|S+|−〉

]=

[0 ~0 0

],

S− ≡[〈+|S−|+〉〈+|S−|−〉〈−|S−|+〉〈−|S−|−〉

]=

[0 0~ 0

],

Sx =1

2(S+ + S−) ≡ ~

2

[0 11 0

],

Sy =i

2(S− − S+) ≡ ~

2

[0 −ii 0

].



Los cuatro se obtienen mediante un procedimiento análogo, en el que hemos aplicadoel operador con el vector ket y después hemos aplicado la condición de ortonormalidadentre vectores de la base, como dijimos con anterioridad.

Las matrices que aparecen al final pueden servirnos para hacer cálculos algebraicos,tal y como veremos en la siguiente sección.

2.2.1. Teoría de Pauli

Tras analizar el aspecto de los operadores en su representación matricial podemosdefinir las matrices de Pauli que pueden generar una base:

σx =

[0 11 0

],

σy =

[0 −ii 0

],

σz =

[1 00 −1

],

I =

[1 00 1

].

(5)

Enumeremos ahora las propiedades de estas matrices:

1. σiσj + σjσi = 0, son anticonmutativas.

2. [σi, σj] = 2iσk

3. σiσj = iσk

4. σ2x = σ2

y = σ2z = 1

5. Tr(σx) = Tr(σy) = Tr(σz) = 0, su traza es nula.

6. det(σx) = det(σy) = det(σz) = −1, el determinante indica una inversión (en dosdimensiones son la representación matricial de las rotaciones.)

En el caso de utilizar esta notación para operar con las componentes de un vectorpodemos ver que el producto de dos vectores (expresados con esta notación) contienelas fórmulas del producto escalar y del producto vectorial. Estas nuevas matrices querepresentan vectores se denominan cuaternios.



Dediquémonos ahora a diagonalizar las componentes del espín. Esto puede hacersemediante el método convencional de resolver la ecuación característica de la matriz del ope-rador para conocer sus autovalores y después aplicar éstos en su correspondiente ecuaciónde autovalores y así determinar los autovectores. Sin embargo, también podemos aplicarla base a cada uno de estos operadores matriciales: de este modo el resultado tendría yaexpuestos los autovalores y los autovectores. De cualquier manera, los resultados que sedeben obtener serán los mismos:

Sx =

{~2

→ 1√2(|+〉+ |−〉) ≡ |+x〉

−~2

→ 1√2(|+〉 − |−〉) ≡ |−x〉

,

Sy =

{~2

→ 1√2(|+〉+ i|−〉) ≡ |+y〉

−~2

→ 1√2(|+〉 − i|−〉) ≡ |−y〉

,

Sz =

{~2

→ |+〉−~

2→ |−〉

.

2.3. Teoría no relativista del espín. Espinores

Ahora sería conveniente relacionar el espín con la descripción de la partícula. El gradode libertad del espín es independiente de los grados de libertad espaciales, por lo que nointervendrá en los procesos de traslación. De modo que los tres operadores de espín actúansobre un espacio de estados distinto al ordinario (denotado por E~r). El espacio de estadosde espín se denota por ES, luego el espacio de estados que se forma al considerar los dosa la vez será: E = E~r ⊗ ES. La base de E se consigue mediante {|~r〉 ⊗ |+〉 , |~r〉 ⊗ |−〉} == {|~r,+〉, |~r,−〉}, que es la base de la representación coordenadas.

~r |~r,+〉 =~r |~r,+〉,~r |~r,−〉 =~r |~r,−〉,

Sz|~r,+〉 =~2|~r,+〉,

Sz|~r,−〉 =− ~2|~r,−〉.

Como cada operador actúa sobre su propio espacio de estados veamos si se verifica lasrelaciones de:

1. Ortonormalidad : 〈~r,+|~r ′,+〉 = δ(~r − ~r ′)

〈~r,+|~r ′,−〉 = 0



〈~r,−|~r ′,+〉 = 0

2. Cierre:∫d3~r (|~r,+〉〈~r,+|+ |~r,−〉〈~r,−|) = 1

Estudiemos ahora la representación de |ψ〉 ∈ E :

|ψ〉 =

∫d3~r (|~r,+〉〈~r,+|+ |~r,−〉〈~r,−|) |ψ〉

=

∫d3~r (|~r,+〉〈~r,+|ψ〉+ |~r,−〉〈~r,−|ψ〉)

=

∫d3~r (〈~r,+|ψ〉︸︷︷︸

ψ+(~r)

|~r,+〉+ 〈~r,−|ψ〉︸︷︷︸ψ−(~r)

|~r,−〉)

=

∫d3~r (ψ+(~r)|~r,+〉+ ψ−(~r)|~r,−〉) .

Esto indica que para describir un electrón se necesitan dos funciones de onda, es decir,una para cada valor de ms. Si extrapolamos esta deducción habrá tantas funciones deonda como valores de ms pueda tener la partícula de valor de espín determinado.

〈ψ|ψ〉 = 1

⇒ 〈ψ|∫d3~r (|~r,+〉〈~r,+|+ |~r,−〉〈~r,−|) |ψ〉

=

∫d3~r (〈ψ|~r,+〉〈~r,+|ψ〉+ 〈ψ|~r,−〉〈~r,−|ψ〉)

=

∫d3~r

[ψ∗

+(~r)ψ+(~r) + ψ∗−(~r)ψ−(~r)

]=

∫d3~r[|ψ+(~r)|2 + |ψ−(~r)|2

]= 1.

En representación matricial tenemos que esto se convierte en una matriz columna, ala que denominamos espinor :

|ψ〉 =

[ψ+(~r)ψ−(~r)

]=

[〈~r,+|ψ〉〈~r,−|ψ〉

]. (6)

Por tanto, la normalización de la función de onda queda al definir el espinor de lasiguiente manera:

〈ψ|ψ〉 =

∫d3~r[ψ∗

+(~r) ψ∗−(~r)

] [ψ+(~r)ψ−(~r)

]= 1.



Ahora investiguemos sobre cómo actúan los distintos operadores que hemos visto sobreel espinor:

~r

[ψ+(~r)ψ−(~r)

]=

[~r ψ+(~r)~r ψ−(~r)

],

~p

[ψ+(~r)ψ−(~r)

]=− i~~∇

[ψ+(~r)ψ−(~r)

]=

[−i~~∇ψ+(~r)

−i~~∇ψ−(~r)

],

Sx

[ψ+(~r)ψ−(~r)

]=

~2σx

[ψ+(~r)ψ−(~r)

]=

[~2ψ−(~r)

~2ψ+(~r)

],

Sy

[ψ+(~r)ψ−(~r)

]=

~2σy

[ψ+(~r)ψ−(~r)

]=

[−i~

2ψ−(~r)

i~2ψ+(~r)

],

Sz

[ψ+(~r)ψ−(~r)

]=

~2σz

[ψ+(~r)ψ−(~r)

]=

[ ~2ψ+(~r)

−~2ψ−(~r)

],

(~S · ~p

)[ψ+(~r)ψ−(~r)

]=i

~2

2

[∂ψ+(~r)∂z

∂ψ−(~r)∂x

− i∂ψ−(~r)∂y

∂ψ+(~r)∂x

+ i∂ψ+(~r)∂y

−∂ψ−(~r)∂z

].

Debido a la existencia del espín es necesario recurrir a dos funciones de onda paradescribir totalmente a la partícula, ya que los operadores de espín hacen que se combinenlas funciones al realizar una rotación, puesto que son generadores (al ser también el espínmomento angular).

2.4. Cálculo de probabilidades mediante espinores

Las probabilidades, al igual que en el caso de las fuciones de onda, se calculan median-te productos escalares. Recordemos que si teníamos una magnitud física A que estabaasociada a un operador A que verificaba la ecuación de autovalores A|ϕa〉 = a|ϕa〉, laprobabilidad de que al medir A obtengamos el valor a es:

PA (a) = |〈ϕa|ψ〉|2.

En este momento, debemos intentar crear una correlación entre esto y el espinor, porlo que habrá que hacer un estudio detallado de sus componentes.

|ψ〉 ≡[ψ+(~r)ψ−(~r)

]|ψ+(~r)|2 = |〈~r,+|ψ〉|2 : indica la probabilidad de que la partícula se encuentre en ~r y conespín ~

2al medir los operadores ~r y Sz simultáneamente.



|ψ−(~r)|2 = |〈~r,−|ψ〉|2 : indica la probabilidad de que la partícula se encuentre en ~r y conespín −~

2al medir los operadores ~r y Sz simultáneamente.

Usualmente, para los cálculos matemáticos se trabaja con la diferencial de volumen;de este modo se indica que la partícula podría encontrarse en un volumen alrededor de ~ry con espín el indicado por la componente del espinor:

|ψ+(~r)|2d3~r,

|ψ−(~r)|2d3~r,

y en el caso de que quisiésemos integrar esta expresión la probabilidad resultante ya indicaotra cosa:

PSz

(~2

)=

∫d3~r |ψ+(~r)|2,

PSz

(−~

2

)=

∫d3~r |ψ−(~r)|2.

(7)

La suma de los elementos de (7) nos da como resultado la condición de normalización.Pero en el caso de que sumásemos los integrandos la probabilidad que se indicaría ahorasería la de encontrar a la partícula alrededor de ~r, sin importar el valor de espín que posea:

ρ(~r) d3~r = (|ψ+(~r)|2 + |ψ−(~r)|2) d3~r.

Veamos a continuación otros cálculos de probabilidad:

PSx

(~2

)=

∫d3~r |〈~r,+x|ψ〉|2

=

∫d3~r

∣∣∣∣ 1√2(〈~r,+|+ 〈~r,−|)|ψ〉

∣∣∣∣2=

1

2

∫d3~r |ψ+(~r) + ψ−(~r)|2.

Esto se cumple, puesto que |~r〉 ⊗ |+x〉 = |~r,+x〉 = |~r〉 ⊗ 1√2(|+〉+ |−〉) = 1√

2|~r〉 ⊗ |+〉+

+ 1√2|~r〉 ⊗ |−〉 = 1√

2(|~r,+〉+ |~r,−〉).

PSy

(~2

)=

∫d3~r |〈~r,+y|ψ〉|2

=

∫d3~r

∣∣∣∣ 1√2(〈~r,+| − i〈~r,−|)|ψ〉

∣∣∣∣2=

1

2

∫d3~r |ψ+(~r)− iψ−(~r)|2.



Este resultado también es cierto, ya que |~r,+y〉 = |~r〉 ⊗ |+y〉 = |~r〉 ⊗ 1√2(|+〉+ i|−〉) =

= 1√2(|~r,+〉+ i|~r,−〉).

El proceso para obtener las otras dos probabilidades es análogo al seguido aquí. Siga-mos ahora con el cálculo de probabilidades en la representación momento:

{|~r,+〉, |~r,−〉} → {|~p,+〉, |~p,−〉}

Ahora debemos atender a cómo se combinan los elementos de estas dos bases diferentesmediante el producto escalar entre ellas:

〈~r,+|~p,+〉 =1

(2π~)32

ei~ ~p·~r,

〈~r,+|~p,−〉 = 0,

〈~r,−|~p,+〉 = 0,

〈~r,−|~p,−〉 =1

(2π~)32

e−i~ ~p·~r.

Utilizando la relación de cierre sobre un vector ket podremos hacer que cambie de base(desde la de posición y espín hasta la de momentos y espín): |ψ〉 =

∫d3~p (〈~p,+|ψ〉|~p,+〉+

+〈~p,−|ψ〉|~p,−〉).

ψ+(~p) = 〈~p,+|ψ〉 =〈~p,+|∫d3~r (|~r,+〉〈~r,+|+ |~r,−〉〈~r,−|)|ψ〉

=

∫d3~r (〈~p,+|~r,+〉〈~r,+|ψ〉+ 〈~p,+|~r,−〉〈~r,−|ψ〉)

=1

(2π~)32

∫d3~r e

i~ ~p·~r ψ+(~r).

ψ−(~p) = 〈~p,−|ψ〉 =〈~p,−|∫d3~r (|~r,+〉〈~r,+|+ |~r,−〉〈~r,−|)|ψ〉

=

∫d3~r (〈~p,−|~r,+〉〈~r,+|ψ〉+ 〈~p,−|~r,−〉〈~r,−|ψ〉)

=1

(2π~)32

∫d3~r e−

i~ ~p·~r ψ−(~r).

Con la transformada de Fourier se puede cambiar también de base, por lo que ahoraprobaremos a cambiar de base desde el espinor:[

ψ+(~p)ψ−(~p)

]=

1

(2π~)32

∫d3~r

[ψ+(~r)ψ−(~r)

]e−

i~ ~p·~r. (8)


A POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA Javier García Molleja

|ψ+(~p)|2 d3~p : indica la probabilidad de que al medir ~p y Sz se obtenga que la partículaesté en d3~p alrededor de ~p con espín ~

2.

|ψ−(~p)|2 d3~p : indica la probabilidad de que al medir ~p y Sz se obtenga que la partículaesté en d3~p alrededor de ~p con espín −~

2.

A. Postulados de la Mecánica Cuántica

Conociendo los postulados en los que se basa esta ciencia podremos determinar teóri-camente todas sus aplicaciones si los aplicamos correctamente. Existen siete postulados:

Postulado 1.o El estado de un sistema físico en un instante dado t0 está completamentedeterminado especificando el ket del espacio de estados.

Postulado 2.o Toda magnitud física medible A está representada por un operador Aque actúa sobre E y es un observable.

Postulado 3.o Los únicos posibles resultados que se pueden obtener al realizar unamedida de una magnitud física A vienen dados por los autovalores de A.

Postulado 4.o Si tenemos un sistema en el estado normalizado |ψ〉 y medimos unamagnitud física A, la probabilidad PA (an) de obtener como resultado de la medidael autovalor an del observable A viene dado por la expresión |〈ϕn|ψ〉|2, con |ϕn〉siendo el autovector normalizado correspondiente a an.

Postulado 5.o Si tenemos un sistema en el estado normalizado |ψ〉 y medimos una mag-nitud física A obteniendo como resultado de la medida el autovalor ap del observableA, el estado del sistema inmediatamente después de la medida será la proyeccióndel vector |ψ〉 sobre el subespacio asociado al autovalor ap.

Postulado 6.o Si poseemos un estado normalizado |ψ(0)〉 su evolución temporal vieneindicada por la ecuación de Schrödinger :

i~d|ψ(t)〉dt

= H|ψ(t)〉,

donde H es un operador (observable) que indica la energía del sistema. Para conocerH obtenemos el hamiltoniano H del problema clásico análogo y sustituimos lasvariables por sus operadores correspondientes. Si el resultado no es hermítico ha desimetrizarse.


Javier García Molleja B BREVE BIOGRAFÍA DE DIRAC

Postulado 7.o Cuando un sistema consta de partículas idénticas, sólo unos pocos vec-tores pueden describir el estado del sistema. Dependiendo de la naturaleza de lapartícula, el estado será simétrico o antisimétrico respecto a una permutación dedichas partículas. Denominaremos bosones a las partículas cuyo vector que repre-senta el estado físico sea simétrico, y fermiones a las partículas cuyo vector queva a representar el estado físico sea antisimétrico. Debido a esta definición de losfermiones, estas partículas verifican el Principio de Exclusión de Pauli que indicaque los fermiones de igual estado no pueden formar sistema.

Estos postulados de la Mecánica Cuánticason aplicables siempre a los cuatro casos quese pueden presentar: espectro discreto y nodegenerado; espectro discreto y degenerado;espectro continuo y no degenerado, y espec-tro continuo y degenerado.

Debemos poner de manifiesto que discreto significa que los autovalores están sepa-rados entre sí, es decir, son valores de un observable que entre uno y otro no se puedendar el resto de los valores que pertenecen al conjunto de números reales; es la definiciónopuesta de continuo. Si el espectro es degenerado existen varios autovectores asocia-dos al mismo autovalor y por tanto verifican la ecuación de autovalores; es la definiciónantónima de no degenerado.

B. Breve biografía de DiracPaul Adrien Maurice Dirac, físico

británico (Bristol 1902 - Tallahassee, Flori-da, 1984). Estudió en el Saint John’s col-lege de Cambridge, donde fue profesor dematemáticas a partir de 1932. Formuló unateoría que explicaba la verdadera naturalezade los estados cuánticos, que se identifica-ban en ella como vectores de un espaciode Hilbert. Esta teoría permitió la unifi-cación de las dos formulaciones existentesde la teoría cuántica: la mecánica ondula-toria de Schrödinger y de De Broglie y la

formulación matricial de Heisenberg. Diracfue uno de los fundadores de la teoría cuán-tica relativista: la ecuación de onda llama-da de Dirac representa la primera formu-lación de la teoría cuántica compatible conel principio de la relatividad (1928). Par-tiendo de este resultado Dirac pudo prede-cir la existencia del positrón, hipótesis quefue más tarde confirmada con el descubrim-iento de la antimateria. Contribuyó, asimis-mo, a la elaboración de la teoría estadísticadel comportamiento de las partículas cuán-


D 2005: AÑO MUNDIAL DE LA FÍSICA Javier García Molleja

ticas de espín semientero (física estadísticade Fermi–Dirac).

Recibió, junto con Schrödinger, el pre-

mio Nobel de física de 1933. Su libro Prin-cipios de la mecánica cuántica (1930) es unaobra básica de la teoría cuántica.[3]

C. Comparación de imágenes

Las imágenes son formas alternativas de operar con los estados y con los operadores.Gracias a la aplicación de unos operadores de evolucuón concretos se puede cambiar deimagen de manera rápida y sencilla. El hamiltoniano del sistema y el tiempo juegan unpapel diferente en cada imagen. En estos casos debemos atender estrictamente a la consti-tución del hamiltoniano, ya que puede constar de un término ideal y de una perturbaciónque afecta al sistema: H = H0 + W (t).

Estado OperadorSchrödinger H ConstanteHeisenberg Constante H

Dirac–Tomonaga W (t) H0

Cuadro 1: Evolución de estados y operadores en cada imagen de representación.

Según todo esto la imagen de representación más sencilla de manejar en los cálculoses la de Schrödinger y la que más se parece a la Mecánica Clásica es la de Heisenberg.La imagen de Dirac–Tomonaga se utiliza en sistemas en los que actúe una perturbacióndependiente del tiempo.

D. 2005: año mundial de la física

Con motivo del centenario del año admirable de Einstein (en el que dio origen entreotras a la relatividad y al estudio estadístico del movimiento browniano) se incluye ellogotipo oficial de la conmemoración.

Con cierta paciencia puede adivinarse el motivo: aparentemente puede ser un cono deluz de Minkowski y así se da un cierto homenaje a la teoría de la relatividad. Tambiénpodría ser un simple reloj de arena como recuerdo al esfuerzo científico por intentar


Javier García Molleja REFERENCIAS

comprender a esta dimensión. Los cuatro colores que se utilizan podrían ser un guiño ala óptica o a las cuatro fuerzas fundamentales. El resto de interpretaciones lo dejo librepara la imaginación del lector.

Figura 1: Cono de luz

Referencias

[1] José Ignacio Fernández Palop: Física Cuántica; 2004, Universidad de Córdoba.

[2] José Ignacio Fernández Palop: Mecánica Cuántica; 2005, Universidad de Córdoba.

[3] Varios autores; Gran Enciclopedia Larousse; 1996, Editorial Planeta.


Estudio del espín mediante la notación de Dirac

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