Regional Distrito Capital Sistema de Gestión de la Calidad

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN OPTIMIZACION DE LOS SISTEMAS DE PRODUCCION

Versión 2

Centro de Gestion Industrial Bogota Octubre de 2008

Código: 2TGPID3

CUESTIONARIO

1- DATOS GENERALES

UNIDAD DE APRENDIZAJE: Diseñar un modelo de optimización de la producción que represente la solución del problema. ACTIVIDAD ENSEÑANZA – APRENDIZAJE – EVALUACIÓN: 1. Formular problemas por programacion lineal.

Nombre del estudiante: Identificación: Nombre del formador: LUIS EDUARDO LEGUIZAMON Ciudad y fecha: BOGOTA DC. OCTUBRE 6 DEL 2008

2- INSTRUCCIONES PARA EL DILIGENCIAMIENTO Señor Evaluado:

Este cuestionario ha sido elaborado con el fin de recoger evidencias de su conocimiento, relacionadas con el módulo de formación. Usted debe:

Responder todas las preguntas.

Diligenciar los datos personales de identificación y los relacionados con la Estructura curricular y módulo de formación.

Presentar siempre la evaluación en presencia del evaluador, utilizando letra clara y legible, si requiere ayuda para ello, solicítela.

Firmar la evaluación si esta de acuerdo con el resultado de lo contrario proceda apelar.

En máximo tres días hábiles el evaluador le entregará de manera presencial, el resultado obtenido.

Resultado de aprendizaje 1/1: Diseñar un modelo de optimización de la producción que represente la solución del problema.

1 EXPLIQUE QUE ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia. La parte de investigación de operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.) Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. y, por supuesto, en las técnicas especiales de investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la organización

METODOS Y TECNICAS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

Definición del problema y recolección de datos

La mayor parte de los problemas prácticos con los que se enfrenta el equipo IO están descritos inicialmente de una manera vaga. Por consiguiente, la primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que se va a analizar.

Por su naturaleza, la investigación de operaciones se encarga del bienestar de toda la organización, no sólo de algunos de sus componentes. Un estudio de IO busca soluciones óptimas globales y no soluciones sub-óptimas aunque sean lo mejor para uno de los componente. Entonces, idealmente, los objetivos que se formulan deben coincidir con los de toda la organización. Sin embargo, esto no siempre es conveniente.

Las condiciones fundamentales para que exista un problema es que se establezca una diferencia entre lo que es (situación actual) y lo que debe ser (situación deseada u objetivo) y además exista cuando menos una forma de eliminar o disminuir esa diferencia.

Los componentes de un problema son:

a) el tomador de decisiones o ejecutivo b) los objetivos de la organización c) el sistema o ambiente en el que se sitúa el problema d) Los cursos de acción alternativos que se pueden tomar para resolverlo.

Para formular un problema se requiere:

a) Identificar las componentes y variables controlables y no controlables del sistema b) identificar los posibles cursos de acción, determinados por las componentes

controlables c) definir el marco de referencia dado por las componentes no controlables d) definir los objetivos que se busca alcanzar y clasificarlos por orden de importancia e) identificar las interpelaciones importantes entre las diferentes partes del sistema y

encontrar las restricciones que existen.

Formulación de un modelo matemático

Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Antes de analizar como formular los modelos de este tipo, se explorará la naturaleza general de los modelos y, en particular, la de los modelos matemáticos. El modelo matemático está constituido por relaciones matemáticas (ecuaciones y desigualdades) establecidas en términos de variables, que representa la esencia el problema que se pretende solucionar. Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en función de las cuales será establecido. Luego, se procede a determinar matemáticamente cada una de las dos partes que constituyen un modelo:

a) La medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una función (ecuación) llamada función objetivo

b) las limitantes del problema llamadas restricciones que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la consecución del objetivo.

Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas sobre una descripción verbal del problema. Una ventaja obvia es que el modelo matemático describe un problema en forma mucho más concisa. Esto tiende a hacer que toda la estructura del problema sea más comprensible y ayude a revelar las relaciones importantes entre causa y efecto. De esta manera, indica con más claridad que datos adicionales son importantes para el análisis; También facilita simultáneamente el manejo del problema en su totalidad y el estudio de todas sus interpelaciones. Por último, un modelo matemático forma un puente para poder emplear técnicas matemáticas y computadoras de alto poder, para analizar el problema.

Obtención de una solución a partir del modelo

Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos:

a) Analíticos: que utilizan procesos de deducción matemática

b) numéricos: que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error

c) simulación: que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a

un modelo. Muchos de los procedimientos de solución tienen la característica de ser iterativos, es decir buscan la solución en base a la repetición de la misma regla analítica hasta llegar a ella, si la hay, o cuando menos a una aproximación.

Prueba del modelo

El desarrollo de un modelo matemático grande es análogo en algunos aspectos al desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. Debido a que el equipo de IO puede pasar meses desarrollando todas las piezas detalladas del modelo. Entonces, después de completar los detalles de la versión inicial del modelo, una buena manera de comenzar las pruebas es observarlo en forma global para verificar los errores u omisiones obvias.

También es útil asegurarse de que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Un enfoque más sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de haberse usado. Cuando se determina que el modelo y la solución no son válidos, es necesario iniciar nuevamente el proceso revisando cada una de las fases de la metodología de la investigación de operaciones.

Establecimiento de controles sobre la solución

Una solución establecida como válida para un problema, permanece como tal siempre y cuando las condiciones del problema tales como:

a) Las variables no controlables b) Los parámetros c) Las relaciones, etc.

No cambien significativamente. Esta situación se vuelve más factible cuando algunos de los parámetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo.

Usualmente esto se conoce como análisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema.

Implantación de la solución

El paso final se inicia con el proceso de mostrar los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. Una vez superado éste obstáculo, se debe traducir la solución encontrada a instrucciones y operaciones comprensibles para los individuos que intervienen en la operación y administración del sistema. La etapa de implantación de una solución se simplifica en gran medida cuando se ha propiciado la participación de todos los involucrados en el problema en cada fase de la metodología.

Limitaciones de la investigación de operaciones

1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y detener una solución.

2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples.

3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un

problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales.

4. Casi nunca se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se van superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.

Modelos específicos de la investigación De operaciones

Planeación de la Producción

Asignación de personal

Transporte

Inventarios

Dietas

Mercado

Estrategias de Inversión, Etc.

2 EXPLIQUE QUE ES LA PROGRAMACIÓN LINEAL.

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

La Formulación y Construcción del Modelo Lineal implica:

a) Definir claramente las variables de decisión y expresarlas simbólicamente o convencionalmente.

b) Definir claramente la Función Objetivo y las restricciones y expresarlas matemáticamente como funciones lineales.

Debe cuidarse que los elementos componentes del modelo sean expresados para el mismo período de tiempo.

Se debe estipular que las variables de decisión sean mayores o iguales a cero. Esto acerca el modelo a la realidad. En los programas de computadora para resolver modelos lineales, ya está incluida esta condición y no hace falta incorporarla manualmente.

La Función Objetivo del Modelo Lineal es la formulación matemática de una meta establecida y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda.

Es una función lineal a ser maximizada o minimizada y tiene la siguiente forma general:

Optimizar

C1X1+C2X2+C3X3+C4X4+...........+CnXn

Xj, simboliza matemáticamente a las variables de decisión.

Son los valores numéricos que se determinan con la solución del modelo y representan o están relacionadas con una actividad o acción a tomar. Son los únicos valores desconocidos en el modelo y pueden existir en cualquier cantidad, desde 1 hasta n variables. Es decir, j varía desde 1 hasta n.

Cj, matemáticamente, simboliza el coeficiente de la variable j en la Función Objetivo. Son datos relevantes, insumos incontrolables ya conocidos.

En la Función Objetivo representan la cantidad con la cual contribuye cada unidad de la variable j, al valor total deseado en el objetivo.

Las restricciones, desde el punto de vista matemático, son funciones lineales expresadas como igualdades o desigualdades, que limitan el valor de las variables de decisión a valores permisibles.

Representan recursos, condiciones o requerimientos establecidos. Las restricciones del Modelo Lineal general tienen la forma siguiente:

a11 X1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + a14 X 4 + .................. + a1n Xn ³ £ = b1 a21 X1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + a24 X 4 + .................. + a2n Xn ³ £ = b2 a31 X1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 + a34 X 4 + .................. + a3n Xn ³ £ = b3 . . . . . . . . . . . . am1 X1 + a m2 X 2 + a m3 X 3 + am4 X 4 +...............+ amn Xn ³ £ = bm

aij, matemáticamente simboliza el coeficiente, en la restricción i, de las variable j. El subíndice i indica el recurso, requerimiento o condición cuya limitación se está expresando; j indica la variable correspondiente.

Cuando la limitación es de un recurso i, estos coeficientes representan la cantidad del recurso total limitado i, que es utilizada en cada unidad de la variable j. Cuando la limitación es de un requerimiento o condición i, representan la cantidad del requerimiento o condición ilimitada, que aporta cada unidad de la variable j, al requerimiento o condición total establecida. Son, por ello, valores unitarios, al igual que los coeficientes de las variables en la Función Objetivo.

bi, matemáticamente constituye el lado derecho de la restricción i. Representa la cantidad total disponible del recurso limitado i, o la cantidad total de un requerimiento o condición i establecida. Puede existir cualquier cantidad de restricciones por lo tanto i puede variar desde 1 hasta m.

Xj ³ 0 es una restricción de no negatividad de las j variables, la cual se le considera siempre presente como una condición natural en el Modelo Lineal General.

3 POR MEDIO DE UN EJERCICIO IDENTIFIQUE LAS DIFERENCIAS ENTRE ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

Ecuaciones Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, cada una de las expresiones comparadas por la igualdad se denominan miembros de la ecuación.

Cómo resolver una ecuación de primer grado

Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios.

Para empezar comencemos con una ecuación de primer grado sencilla:

9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396

Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los miembros de la ecuación, el izquierdo o el derecho.

1- Transposición: Lo primero que debemos hacer es colocar los términos con X en un miembro, y los números en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos términos que tendremos que pasar al otro miembro. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que:

Si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)

Si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9)

Si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2)

Si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5)

Una vez que ya hemos pasado todos los términos en la ecuación, esta quedaría así:

9x + 108x − 6x − 16x = 28 + 396 + 9 + 92

Como puede verse, todos los términos que dependen de X han quedado a la izquierda del signo igual (en el primer miembro), y todos los números enteros han quedado a la derecha (en el segundo miembro).

2- Simplificación:

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que se nos plantea.

Es decir: en nuestro caso, por un lado realizamos la simplificación del primer miembro: 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x

Y por otro lado: 28+396+9+92 = 525

De forma la ecuación simplificada sería:

95x = 525

3- Despejar:

Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola; para ello volveremos a recurrir a la transposición.

Es decir, en nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

x = 525 / 95

Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar esto.

Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si nos diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En nuestra ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95=5.5263157894737)

por lo tanto

x=525/95

y simplificamos

x=105/19

Explicación de Transposición:

Arriba observaste que si un número pasa al otro lado de la ecuación cambia su signo por el contrario, eso es debido a que en realidad, para pasar un número a otro lado se haría así:

3x-5=27

Para pasar se aplicaría esto:

3x-5+5= 27+5

Se pone el numero OPUESTO en los dos lados, si se restara, se sumaría, si se sumara, se restaría, si se dividiera se multiplicaría, y si es multiplicación se dividiría.

Resolución de ecuaciones de primer grado (Problema)

Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos 2. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:

x + 3 = 2x − 2

Se podría leer así: X numero de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el numero x de canicas menos 2 canicas.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:

x + 3 = 2x − 2

Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

x − 2x = − 2 − 3

Que, simplificado, resulta:

− x = − 5

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

x = 5

El problema está resuelto.

Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como mucho 2 soluciones válidas. Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de la forma ax²+c=0

Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

x2 − 16 = 0

Pasamos -16 al segundo miembro

x2 = 16

Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada

La ecuación ya está resuelta

Ecuaciones de la forma ax²+bx=0

Tengamos:

3x − 8x − 1 = 0

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

x(3x + 9) = 0

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

3x + 9 = 0 3x = − 9

Por lo tanto, las 2 soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3

Ecuaciones de la forma ax²+bx+c=0

Tengamos por ejemplo la ecuación:

3x − 8x − 1 = 0

Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos directamente la fórmula general:

Por lo tanto, para resolver esta ecuación sustituimos las letras por los números:

a = al coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado. b = al coeficiente de la incognita elevada a la uno. c = al número libre de incógnita.

Es importante recordar que si el resultado dentro de la raíz en la formula general es negativo, no tiene soluciones reales.

A partir de esta fórmula obtenemos que las soluciones válidas para esta ecuación sean -2 y -3

También podemos usar la factorización de la siguiente manera. Se abren dos paréntesis, los dos conteniendo una vez a x así:

= (x +) y (x +) =

Se expresan positivos los dos signos ya que en los dos signos que separan la ecuación son positivos.

Luego se buscan dos números que multiplicados me resulte el entero (6) y sumados me resulte el número que tiene la otra x que no esta elevada al cuadrado (5) entonces decimos:

2 x 3= 6 y 2 + 3= 5

Luego se coloca el mayor en el paréntesis de la izquierda y el menor en el paréntesis de la derecha así: (x + 3)(x + 2)

Si multiplicamos esta expresión nos dará la ecuación factorizada y así tenemos el valor de las dos "x".

Inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.

En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b).

Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad). Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.

La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.

Las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades:

Tricotomía

La propiedad de la tricotomía dicta que:

Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:

o a < b o a = b o a > b

Transitividad

El principio de transitividad de las inecuaciones dicta que:

Para tres números reales cualesquiera, a, b, y c:

o Si a > b y b > c; entonces a > c o Si a < b y b < c; entonces a < c

Simetría Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:

Para dos números reales, a y b:

o Si a > b entonces b < a o Si a < b entonces b > a

Adición y sustración

Las propiedades relacionadas con la adición y la sustracción: Para tres números reales, a, b, y c:

o Si a > b; entonces a + c > b + c y a − c > b − c o Si a < b; entonces a + c < b + c y a − c < b − c

Multiplicación y división

Las propiedades relativas a la multiplicación y la división:

Para tres números reales, a, b, y c:

o Si c es positivo y a > b; entonces a × c > b × c y a / c > b / c o Si c es positivo y a < b; entonces a × c < b × c y a / c < b / c o Si c es negativo y a > b; entonces a × c < b × c y a / c < b / c o Si c es negativo y a < b; entonces a × c > b × c y a / c > b / c

Nota:

Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad se invierte.

Aplicando una función a ambos miembros

Puede aplicarse cualquier función monótona creciente a ambos lados de una inecuación manteniendo el mismo signo de desigualdad.

Notación encadenada

La notación a < b < c establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Debe tenerse cuidado de utilizar en todos los casos el mismo número. Así, a < b + e < c es equivalente a a - e < b < c - e.

Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an establece que ai ≤ ai+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad de la transitividad, esta condición es equivalente a ai ≤ aj para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo, a < b > c ≤ d significa que a < b, b > c, y c ≤ d. Aparte del uso poco frecuente en matemáticas, esta notación existe en unos pocos lenguajes de programación tales como Python

Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incógnita:

Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es la reunión de dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes reales.

Resolver un sistema de inecuaciones lineales es determinar un conjunto de los números Reales que satisfacen TODAS las desigualdades del sistema. Este conjunto se llama conjunto de solución del sistema. Para obtener el conjunto de solución, se resuelve cada inecuación independientemente y luego se interseca todos los conjuntos solución de esas inecuaciones.

Veamos un ejemplo: 3𝑋 − 5 ≥ −10

𝑋+ 8 < 12 Veamos la primera:

3𝑋 ≥ −10 + 5 3𝑋 ≥ −5

𝑋 ≥ −5/3 Veamos la segunda: 𝑋 + 8 < 12

𝑋 < 12− 8 𝑋 < 4 Solución: Intersección:

−5

3≤ 𝑋 < 4

Comparación entre Ecuaciones e Inecuaciones Lineales:

Considere el siguiente esquema:

a) Las Ecuaciones Lineales con una incógnita Poseen UNA Solución. b) Las Inecuaciones Lineales poseen por solución un Intervalo de números Reales.

Los Sistemas de Inecuaciones Lineales con una incógnita poseen como solución un intervalo de números Reales, esta vez obtenido de la INTERSECCION de todos los conjuntos de solución

4 A partir de un problema en la empresa identifique y explique la diferencia entre función objetivo y restricción.

Variables

Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera.

Restricciones

Las restricciones pueden ser de la forma:

Tipo 1:

Tipo 2:

Tipo 3:

Donde:

A = valor conocido a ser respetado estrictamente; B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado; C = valor conocido que no debe ser superado; j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones); a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos; X = Incógnitas, de 1 a N; i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.

Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.

Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.

Función Objetivo

La función objetivo puede ser:

ó

Donde:

f = coeficientes son relativamente iguales a cero.

5 Explique los modelos (general, algebraico y matricial) en la formulación de un

problema por programación lineal.

Modelo general de programación lineal optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +....+ cnxn,

sujeta a las restricciones:

a) a11x1 + a12x2 +....+ a1nxn < b1 b) a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn < b2

. am1x1 + am2x2 +....+ amnxn < bm

donde el valor de las variables es:

X1 0, X2 0, ..., Xn 0

Contrucción de los Modelos de Programación Lineal

De forma obligatoria se deben cumplir los siguientes requerimientos para construir un

modelo de Programación Lineal.

1. Función objetivo. (F.O).

Debe haber un objetivo (o meta o blanco) que la optimización desea alcanzar.

2. Restricciones y decisiones.

Debe haber cursos o alternativas de acción o decisiones, uno de los cuáles permite

alcanzar el objetivo.

3. F.O y las restricciones son lineales.

Deben utilizarse solamente ecuaciones lineales o desigualdades lineales.

Modelo standard de Programación Lineal

Optimizar Z = C1X1+ C1X2 +….+ Cn Xn). Función objetivo.

Sujeta a a11X1+ a11X2 +…..+ a1nXn) b1

a21X1+ a21X2 +…..+ a2nXn) b1

Restricciones

am1X1+ am1X2 +…..+ amnXn) bm

Debiendo ser

X1 0, X2 0, ….. Xn 0

Donde :

Xj : variables de decisión, j = 1,2.., n.

n : número de variables.

m : número de restricciones.

aij , bi , cj constantes, i = 1,2.., m.

Pasos para la construcción del modelo

1. Definir las variables de decisión.

2. Definir el objetivo o meta en términos de las variables de decisión.

3. Definir las restricciones.

4. Restringir todas las variables para que sean no negativas

FORMA ALGEBRAICA DEL PROBLEMA EN PROGRAMACIÓN LINEAL(Es el

resumen de la forma general)

Max

FO: optZ cj xj𝑛𝑗=1

Min ≤

Sa: ∑ aij xj ≥ b1 ≦I = 1…, m =

Xj ≥ 0

FORMA MATRICIAL DEL PROBLEMA EN PROGRAMACIÓN LINEAL

Max

FO: optZ = C * X X,C= son vectores Min = { c1,c2,…,cn}1*n * X1 X2 : Xn Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se procede de la siguiente manera:

o Se forma la matriz ampliada del sistema B = (A|b), donde A es la matriz de los coeficientes y b indica la matriz de los términos libres.

o Al aplicar operaciones elementales entre filas (columnas) la matriz B se lleva a una matriz equivalente C, donde C es una matriz escalonada reducida.

o Como la matriz B es equivalente a la matriz C, entonces el sistema de ecuaciones que representa la matriz B es equivalente al sistema de ecuaciones que representa la matriz C y en esta matriz es fácil encontrar las soluciones.

Nota 1: Las operaciones elementales entre filas (columnas) corresponden a:

- Intercambiar dos filas (columnas).

- Multiplicar una fila (columna) por un número diferente de cero (0).

- Añadir a una fila (columna), c veces una fila (columna) diferente.

Nota 2: Una matriz escalonada reducida es aquella donde el número de ceros que precede al primer elemento diferente de cero de una fila, aumenta fila a fila, hasta tener posiblemente filas de solo ceros. Además, el primer elemento no nulo de cada fila no nula es uno (1) y este es el único elemento diferente de cero (0) que se encuentra en la respectiva columna. Ejemplo:

MAX Z = 2 X1 + 3 X2 + X3 + 4 X4

Sujeta a:

Solucion Matricial

Luego del trabajo matricial se llega a:

Solución Optima Unica:

X*1= 36;X*2 = – 31; X*3= – 2; X*4= 3; Z* = –11.

CONCEPTO: CUMPLE_____ AÚN NO CUMPLE_____ Si el concepto es AÚN NO CUMPLE, el evaluador deberá describir a continuación la competencia faltante, orientar la forma en que puede ser adquirida, concertar la fecha en que será recogerá dicha evidencia y transcribirla al plan de evaluación. FECHA DE ENTREGA DE RESULTADO: FIRMA DEL EVALUADO FIRMA DEL EVALUADO