EXAMEN Septiembre 2010 Tiempo 1 hora – Problema de Saneamiento - ENUNCIADO

El colector principal de una urbanización de Zaragoza fue sobredimensionado en su

momento teniendo en cuenta posibles crecimientos futuros, y se construyó utilizando

una tubería de hormigón circular de diámetro D = 2000 mm, y una pendiente en su

trazado de 0.002. En la actualidad los promotores de la urbanización van a realizar una

ampliación (cuenca B en el croquis de la Figura 1), de unas 30 has, y te consultan para

que determines si el colector principal existente admite esta ampliación, admitiendo un

grado máximo de llenado del 85%. Para la comprobación decides utilizar el método

racional. En esta comprobación, y debido a su escasa contribución a los caudales punta,

decides despreciar los caudales de aguas negras.

Figura 1. Croquis de la urbanización y diseño de la red principal de alcantarillado.

Datos –

- La lluvia de cálculo tiene un 15 % de probabilidad de que no sea excedida durante la

vida útil del proyecto N (= 50 años).

- El valor promedio de los máximos anuales de intensidad media diaria (I24h) de los

últimos 30 años, x, y su desviación estándar sx son x = 35.6 mm/día, y sx = 15.4 mm/día

respectivamente. Asume que los valores extremos siguen una distribución de Valores

Extremos tipo I (o distribución de Gumbel).

- Para el cálculo del caudal de aguas pluviales utiliza el método de la Dirección General

de Carreteras DGC. El parámetro I1h / I24h, que necesitas para utilizar el método de la

DGC, en la zona de estudio es igual a 10.

- El coeficiente n de rugosidad de Manning para una tubería de hormigón es igual a

0.014.

- La superficie A, tiempos de entrada te y coeficientes de escorrentía C de cada una de

las sub-cuencas aparecen en la Tabla 1.

Cuenca A (has) te (minutos) C A 48 22 0.700

B 30 15 0.500

Algunas fórmulas que necesitarás

1) Método de la Dirección General de Carreteras – 1.0)(679.1529.3

) min;1440(

) min;60(

) min;1440(

) ;(t

M

M

M

M

i

i

Ti

Tti∆−

−

−=

∆con ∆t en minutos

2) Función de distribución de Gumbel

α

πα

α

5772.0

6

expexp)()(

−=

=

−−−=≤=

xu

s

uxxXPxF

x

donde sx = desviación estándar y x = media muestral.

3) Ecuación de Manning

3/82/1311.0DS

nQ

≈

donde Q es el caudal, n es el factor de rugosidad de Manning, S es la pendiente y D el

diámetro de la tubería.

4) Tablas de Thormann y Franke.

– Problema de Saneamiento - SOLUCIÓN Conocida la pendiente S0 = 0.002, y el diámetro D = 2 m, podemos calcular el caudal

que circula por la tubería cuando va completamente llena, Qll, como (Ecuación 3),

s

m 3.62)002.0(

014.0

311.03

3/82/1=

=llQ

Comprobaremos si efectivamente, cuando llueve sobre la cuenca A, para el caudal de

proyecto que circula por el colector, Qp, se satisface la condición y/D < 0.85.

Calcularemos entonces el tiempo de recorrido desde 1 a 2, tR, y este valor lo

utilizaremos para estimar el tiempo de concentración para el tramo que se inicia en el

punto 2, y en dirección aguas abajo.

1.- Comprobación del tramo 1-2 (Caudal de proyecto de la cuenca A)

a. Tiempo de retorno

La probabilidad de excedencia p, está relacionada con el tiempo de retorno T, como p =

1/T. La probabilidad de que la magnitud de un evento no supere una determinada

magnitud x, es P(X≤x), y está a su vez relacionada con el tiempo de retorno, como

TpxXP

Tp

111)(

1−=−=≤⇒=

La condición que en los N = 50 años de vida útil del proyecto, la probabilidad de que no

se produzca un evento mayor que x, es igual a 0.15, lo expresamos de la siguiente forma

15.01

1)(

50

años 50=

−=≤

= TxXP

N

Despejamos T, el tiempo de retorno como

años 85.2615.01

115.01

115.0

11

50/1

50/150/1=

−=⇒−=⇒=

− T

TT

b. Construimos la curva de intensidad duración (I-D) para un tiempo de retorno T =

26.85 años, utilizando para ello el método de la DGC. El valor de la intensidad media

máxima en 24 h y tiempo de retorno T, I(∆t = 24h; T = 26.85 años), que aparece en la

DGC, a su vez, lo calculamos suponiendo que las precipitaciones máximas diarias

siguen una distribución de Gumbel. Los parámetros α, y u, los calculamos, como

mm/día 67.28125772.06.355772.0

mm/día 124.1566

=×−=−=

=×

==

α

ππα

xu

sx

Utilizamos el método de la variable reducida, para calcular el valor de intensidad media

máxima en 24h para el tiempo de retorno T = 26.85 años, I(∆t = 24h; T = 26.85 años), a

la que llamamos xT. La variable reducida, y, viene dada por,

( )[ ]TT

T

T

yT

pxXP

uxy

−−=−=−=≤

−=

expexp1

11)(

α

Despejamos y como (recordad que y no tiene dimensiones)

( )

( )[ ][ ] 271.39627.0lnln

85.26

185.26lnln

1lnlnexp

1ln

1

111

=−=

−−=

−−=⇒−=

−

−

−−−

T

Tyy

T

TTT

Conocido yT, calculamos xT = I(∆t = 24h; T = 26.85 años),

mm/día 922.6767.28271.312 =+×=+= uyx TT α

La curva de intensidad duración buscada es

( )1.0)(679.1529.3

10922.67)85.26 ;(t

M Tti∆−

×==∆

con ∆t en minutos, y la intensidad de lluvia en mm/día. Los mm/día los podemos

transformar en L/s.ha, mediante un simple cambio de unidades (mm = L / m2)

( )1.0)(679.1529.3

1086.7)(t

has

li

∆−×=

⋅

c. Calculamos ahora el caudal de proyecto en el tramo 1-2, procedente de la cuenca A,

utilizando el método racional.

Una única ruta de entrada, a través del punto 1, con un tiempo de concentración igual al

tiempo de entrada de la cuenca A, te(A) = 22 min,

( )[ ]s

m 61.41048

´1086.77.0

333)22(679.1529.3 1.0

=××××

==

−−

l

mha

has

l

AiCQ AAA

La razón de caudal de proyecto y el caudal de la tubería completamente llena es

85.0646.073.03.6

61.4

FRANKE-THORMAN DE <=⇒==

D

y

Q

Q

TABLASll

A

Efectivamente, la alcantarilla había sido bien dimensionada! Ahora calculamos la

velocidad del agua y el tiempo de recorrido,

min 45.5 ó, s, 327

14.231.6

07.14

07.1

07.173.0

21

21

2

FRANKE-THORMAN DE

==

=×=×=

=⇒=

−

−v

Lt

s

m

D

Qv

v

v

Q

Q

R

ll

llTABLAS

ll

A

ππ

1.- Caudal de proyecto de las cuencas A y B – (comprobación de las dimensiones del

tramo 2-en adelante),

A.- Rutas de entrada en la tubería en el punto 2, y tiempos de concentración,

Ruta I – Cuenca A, a través del tramo 1-2:

tc(I) = te(A)+tr(1-2) = 22 + 5.45 = 27.45 min

Ruta II – Directamente de la cuenca B

tc(II) = te(B) = 15 min

Tiempo de concentración en el punto 2,

tc = max[tc(I), tc(II)] = 27.45 min

B.- Intensidad de precipitación,

( )[ ]has

li

´92.1211086.7

1.0)45.27(679.1529.3=×=

−

C.- Caudal de proyecto (método racional),

( )s

m92.510305.0487.0

´121

333

=××+×

==

−

l

mhaha

has

l

AiCQ AAA

85.0834.094.03.6

92.5

FRANKE-THORMAN DE <≈=⇒==

D

y

Q

Q

TABLASll

A

El colector podría acoger la escorrentía adicional generada por la cuenca

B!!