• BLOQUE 7._UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.

Función exponencialLa función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el numero de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o expo(x), donde es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma: E(X)=K

7.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Son las funciones inversas de las funciones exponenciales.

Se llama logaritmo de un número al exponente a que se debe elevar la base para obtener dicho número.

Por ejemplo:1.-¿A que exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25?R=al exponente 2, ya que 52 =25.

2.-Tambien podemos decir que 23=8 es equivalente a log2 8=3.

7.3 Gráfica de la funciónexponencial y logarítmica

Las matemáticas son una gimnasia del espírituy una preparación para la filosofía.Isócrates (orador ateniense)

Características

Función exponencial Función logarítmica

F(x)=ax . A puede ser cualquier numero real positivo

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial

La base que es a debe ser mayor que 0 y diferente de 1

Para encontrar el logaritmo se debe elevar la base al exponente y así lo obtendrás

Función exponencial natural (el número e)

• El número e. Caracterización e importancia

El número e se obtiene en cálculo como el límite de(1+1/x)x cuando x->infinito. A medida que x aumenta sin límite el valor de(1+1/x)x tiende a un valor finito que es el número irracional e.

e =2.7182818

Función exponencial natural

La función exponencial que tiene como base al número e se llamafunción exponencial natural, definida por:

f(x)=ex

Su dominio es el conjunto de los números reales y su rango es elconjunto de los números reales positivos.Su gráfica es semejante a la de las funciones exponenciales de basea>1.

X Y-1 -2.71828180 01 2.7182818

7.4 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

1. ejemplo

2. ejemplo

3. (am)n =am⋅n ejemplo (c4)2 = c4.2= c8

4. =am-n = amn ejemplo =m6-4 = m2

5. a0 =1 a≠0 ejemplo 20 =1 , c0 =1

6. a-n = ejemplo n4 = , x-3 =

7. -n = n ejemplo -6 = 6

8. a^m/b^m = (a/b)m ejemplo m^6/n^6 = (m/n)6

7.5 Propiedades de loslogaritmos

La ciencia sin religión está coja y la religión sin ciencia está ciega.Einstein

Funciones exponencial y logarítmica: aplicaciones

Consideremos un capital C y un interés simple de i por ciento. Si elcapital es de un millón de unidades de dinero y el interés es de 5%anual; entonces después de un año el capital produce un interés de:Ci = 1(0.05) 5 0.05.Por lo que el nuevo capital es de: C 1 C i = C (1 1 i) (1)= 1 (110.05)= 1 (1.05)= 1.05Si esta cantidad se reinvierte al mismo interés por un año más, entoncesdespués de dos años el capital es:1.0511.05 (0.05) =1.05 (1 1 0.05)=1.05 (1.05)=(1.05)2

Que se puede expresar así:C(1 1 i) 1 C(l 1 i) i = C(1 1 i) (l 1 i)=C(l 1 i)2 (2)

A los tres años y en las mismas condiciones el capital es:(1.05)2 1 (1.05)2 (0.05) = (1.05)2 (1 1 0.05)= (1.05)2 (1.05)= (1.05)3

C(l 1 i)2 1 C(l 1 i)2 i 5 C(l 1 i)2 (1 1 i)= C(l 1 i)3 (3)Observando el comportamiento de (1), (2) y (3) después de naños, el capital Cn se expresa por: Cn 5 C(l 1 i)n

Cuando el interés se acumula de esta manera se le llama interés compuesto.La expresión nal del capital corresponde a una función exponencialde base 1 1 i con exponente n, donde n es el periodo medidoen años, meses, semanas, días u otra unidad de tiempo. El interés i espor periodo, por lo que si el interés es de 6% anual compuesto mensualmenteentonces el interés por meses será de612o sea12o bien0.50% 5 0.005 y n expresará el número de meses.

7.6 Cambio de una expresión exponencial a una logarítmica y viceversa.

El producto 2 x 2 x 2 es 8. De forma simplificada lo expresamos asi:=8

Por definición, logaritmo de un numero es el exponente a que se debeElevar la base para obtener dicho numero En consecuencia, si = 8 entonces :

Es decir

Inversamente

SiEntonces

O sea que:

log 28=3

23=8→ log 28=3

log 28=3→23=8103=1000

log ¿1000=3

103=1000→ log 1000=3

log 1000=3→10

√ 49=(49) 12 7→ log 497=12

inversamente

Si

Y

SiSi

Y

Si

y

log 497=12→

(49 ) 12=¿7

5− 2¿125→ log 5

125=−2

log 5 125=−2→5− 2=

125

92=81→ log 981=2

log 981=2→92=81

Recordemos que si la base del logaritmo es 10,no se pone.Por lo tanto:

ECUACIONES EXPONENCIALES

Se denomina ecuación exponencial aquella en la cual la incógnita aparece únicamente en los exponentes de potencias para ciertas bases constantes.  La incógnita se halla en un exponente de un o unos de los términos. Es decir, un número (u otra variable) está elevada a la incógnita a despejar, normalmente representada por x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, radicación, de logaritmos y cambio de la incógnita por otra.

Ecuaciones exponenciales más complejasCuando la incógnita se encuentra en el índice de una raíz, también se la considera exponencial, ya que sólo basta escribirla como exponente fraccionario. Sea la ecuación:

               Vemos que la variable se encuentra también en el exponente de una raíz. Por las propiedades de la radicaci0n, vamos a escribirla así:

           Aplicamos el método de igualación de bases:

             O sea:

Operando, obtenemos:

         

7.8 ECUACIONES LOGARITMICAS