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Esta es la resolucion del ejercicio 3) del modelo de Parcial.Sea:

f(x) =

x3 + 2x5 + 3

2x+ 3x5 x

( 3x

22x

42x

4x3+3x21 )

Se quiere hallar:limx

f(x)

Para poder realizar este ejercicio se puede aplicar la siguiente propiedad:

limx

1 +

1

x

x=e

Donde x puede ser cualquier funcion.1. En primer lugar se debe convertir la base de la funcion a la forma 1 + 1

x:

a. Agregamos los terminos que sean necesarios para poder formar un 1:

limx

(3x5 +x)+x3x5x+ 3

3x5 +x

( 3x22x42x4x3+3x21

)

limx

3x5 +x

3x5 +x+

x3 x5 x+ 3

3x5 +x

( 3x22x42x4x3+3x21

)

limx

1+

x3 x5 x+ 3

3x5 +x

( 3x22x42x4x3+3x21

)

b. Invertimos el segundo termino de forma que quede de la forma 1x

(si ya seencuentra de esa forma no se hace nada):

limx

1 +

13x5+x

x3x5x+3

( 3x22x42x4x3+3x21

)

2. Luego se necesita que el exponente de la funcion sea el mismo que en eldenominador de la funcion anterior, as que para realizarlo tendremos que usarla propiedad de multiplicacion de exponentes:

xab = (xa)b

Para poder encontrar una funcion h(x) de forma que:

3x2 2x4 2x

4x3 + 3x2 1 =h(x)

3x5 +x

x3 x5 x+ 3

Entonces despejamos h(x) y obtenemos la funcion a utilizar:

h(x) =3x22x42x4x3+3x21

3x5+xx3x5x+3

1

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h(x) =3x2 2x4 2x

4x3 + 3x2 1

x3 x5 x+ 3

3x5 +x

Ahora podremos simplificar la ecuacion anterior:

limx

1 + 13x5+x

x3x5x+3

3x5+xx3x5x+3

h(x)

= limx

eh(x) =elimxh(x)

Por ultimo hay que obtener el lmite para la funcion h(x):

limx

h(x) = limx

3x2 2x4 2x

4x3 + 3x2 1

x3 x5 x+ 3

3x5 +x

= lim

x

3x2 2x4 2x

4x3 + 3x2 1 limx

x3 x5 x+ 3

3x5 +x

limx

h(x) = (1

3

) =

Entonces podemos concluir que:

limx

f(x) = e =

Tambien se puede usar la siguiente propiedad en caso de que el lmite tienda acero:

limx0

(1 +x)1x =e

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