FACTORIZACION-GONZALO REVELO PABON-GORETTI

Luis Gonzalo Revelo Pabón

Dpto. de Matemáticas - Goretti

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d): El máximo común divisor de dos o mas números es otro numero que divide exactamente a cada uno de ellos. Método Abreviado: Para encontrar el Máximo Común Divisor (m.c.d) de dos o mas números, se aplica el Método Abreviado que consiste en:

Dividir a cada uno de los números que se hayan dado, por un numero primo que sea común a ellos y que los divida exactamente.

A los cocientes obtenidos de la anterior división, de igual manera se los divide entre un numero primo que sea común a ellos y que los divida exactamente. Y así sucesivamente se procede con los nuevos cocien-tes obtenidos.

La división se termina cuando en los cocientes obtenidos NO EXISTE UN NUMERO PRIMO COMÚN a ellos. Por esta razón de que no existe un numero primo para poder dividir a los nuevos cocientes, se da por terminado el proceso para encontrar el Máximo Común Divisor (m.c.d)

El máximo Común Divisor (m.c.d) de los números buscados es igual al producto de todos los números primos comunes encontrados.

NOTA: Para elegir al numero primo siempre se lo elige de izquierda a derecha de la siguiente lista,: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, y 97, que corresponde a los números primos menores que cien. Ejemplo: encontrar el m.c.d, de las siguientes listas de números.

1) 8, 4, 16, y 12, 2) 36, 48, 72, y 60, 3) 10, 15, 20, y 30,

8 4 16 12 2

4 2 8 6 2

2 1 4 3

Entonces el m.c.d(8, 4, 16, 12) = 2x2=4

36 48 72 60 2

18 24 36 30 2

9 12 18 15 3

3 4 6 5 Entonces el m.c.d(36, 48, 72, 60) = 2x2x3=12

10 15 20 30 5

2 3 4 6 Entonces el m.c.d(10, 15, 20, 30) = 5 TALLER Hallar el m.c.d de las siguientes listas de datos, aplicando el Método Abreviado.

1) 32, 48, 64, y 80 Respuesta 16 2) 28, 42, 56, y 70 Respuesta 14 3) 15, 20, 30 y 60 Respuesta 5 4) 20, 28, 36, y 40 Respuesta 4 5) 22, 33, y 44 Respuesta 11 6) 16, 24, y 40 Respuesta 8 7) 30, 42, y 54 Respuesta 6 8) 24, 36, y 72 Respuesta 12 9) 18, 27 y 36 Respuesta 9 10) 7, 14 y 21 Respuesta 7

FACTORIZACIÓN: “Consiste en transformar un polinomio P(x) como el producto de dos o mas factores”. Por ejemplo:

Polinomio Polinomio Factorizado



25

Para factorizar un polinomio P(x), se presentan los siguientes casos: I CASO: FACTOR COMÚN.

1) Factor Común Monomio. 2) Factor Común Binomio

II CASO: Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto. III CASO: Factorización de la Diferencia de Cuadrados Perfectos.

IV CASO: Factorización de un Polinomio de la forma V CASO: Factorización de un Polinomio de grado superior a dos. (Teorema del Factor) I CASO: FACTOR COMÚN.

1) Factor Común Monomio.

Procedimiento: Para factorizar una expresión algebraica que tenga un Factor Común Monomio, se efectuá los siguientes pasos: Paso 1: Se encuentra el Máximo Común Divisor (m.c.d) de todos los coeficientes de los términos de la expresión algebrai-

ca. Paso2: Se elige la letra(s) o variable(s) que se encuentre(n) en TODOS los términos de la expresión algebraica, y se to-ma(n) la(s) letra(s) que tenga el MENOR exponente. Paso 3: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el Factor Común Monomio encontrado. Paso 4: Se escribe el Factor Común Monomio y a continuación dentro de un par de paréntesis se escribe los cocientes encontrados en el paso anterior, conservando sus propios signos. Paso 5: Para comprobar si el proceso de factorización esta bien elaborado se aplica la ley distributiva de la multiplicación con relación a la suma algebraica. Que dice que:

Ejemplo: Factorizar o descomponer en dos factores, las siguientes expresiones algebraicas.

1)

2)

3)

4) Solución

1) Paso 1: El Máximo Común Divisor de todos los coeficientes de los términos dela expresión algebraica es: m.c.d(8, 4, 16, 12) = 4 Paso2: Se elige la letra o variable que se encuentre en TODOS los términos de la expresión algebraica y se toma la letra que tenga el MENOR exponente. En este caso la letra común que se encuentra en todos los términos de la expresión alge-

braica y de menor exponente es: .

De esta manera encontramos, el Factor Común Monomio de esta expresión algebraica que es: 4

Paso 3: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el factor común monomio encontrado que es 4 . Para

obtener los siguientes cocientes:

Paso 4: Se escribe el Factor Común Monomio y a continuación dentro de un par de paréntesis se escribe los cocientes

encontrados en el paso anterior, conservando sus propios signos.

2) Paso 1: El Máximo Común Divisor de todos los coeficientes de los términos de la expresión algebraica es: m.c.d(36, 48, 72, 60) = 12. Paso2: Se elige la letra o variable que se encuentren en TODOS los términos de la expresión algebraica, y se toma la letra

que tenga MENOR exponente. En este caso la letra común que se encuentra en todos los términos y de menor exponente

es: .



26


Paso 3: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el factor común monomio encontrado que es 12 . Para obtener los siguientes cocientes:

Paso 4: Se escribe el Factor Común Monomio y a continuación dentro de un par de paréntesis se escribe los cocientes encontrados en el paso anterior, conservando sus propios signos.

3)

Paso 1: El Máximo Común Divisor de todos los coeficientes de los términos de la expresión algebraica es: m.c.d(10, 15, 20, 30) = 5. Paso2: Se elige las letras o variables que se encuentren en TODOS los términos de la expresión algebraica y se toma las letras que tengan el MENOR exponente. En este caso las letras comunes que se encuentra en todos los términos de la expresión algebraica y que tienen menor

exponente es: .



Paso 4: Se escribe el Factor Común Monomio y a continuación dentro de un par de paréntesis se escribe los cocientes encontrados en el paso anterior, conservando sus propios signos.

4) Paso 1: El Máximo Común Divisor de todos los coeficientes de los términos de la expresión algebraica es: m.c.d(18, 81, 27, 45) = 9. Paso2: Se elige las letras o variables que se encuentren en TODOS los términos de la expresión algebraica y se toma las letras que tengan el MENOR exponente. En este caso las letras comunes que se encuentra en todos los términos de la expresión algebraica y que tienen menor

exponente es: .



Paso 4: Se escribe el Factor Común Monomio y a continuación dentro de los paréntesis se escribe los cocientes encon-trados en el paso anterior, conservando sus propios signos.



27

TALLER Factorizar o descomponer en dos factores, las siguientes expresiones algebraicas.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15) FACTORIZAR UN FACTOR COMÚN MONOMIO NEGATIVO. Para factorizar un Factor Común Monomio negativo que se encuentra en una expresión algebraica, se efectuá los mismos pasos que en el caso anterior, y si se desea simplificar este proceso operativo se debe tener en cuenta únicamente que todos los términos que se encuentran en la parte interna de los paréntesis se los escribe con el signo contrario al que tie-nen en la expresión algebraica original. Ejemplo: factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

−18

2) FACTOR COMÚN BINOMIO

Procedimiento: Para factorizar una expresión algebraica que tenga un Factor Común Binomio, se efectuá los siguientes pasos: Paso 1: Se identifica el Factor Común Binomio Paso 2: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el Factor Común Binomio encontrado. Paso 3: Se escribe el Factor Común Binomio y a continuación dentro de los paréntesis, se escribe los cocientes encon-trados en el paso anterior, conservando sus respectivos signos. Paso 4: Para comprobar si el proceso de factorización esta bien elaborado se aplica la ley distributiva de la multiplicación con relación a la suma algebraica. Que dice que:

Ejemplo: Factorizar o descomponer en dos factores, las siguientes expresiones algebraicas.

1) 2) 3) 4)

Solución

1) Paso 1: Se identifica el Factor Común Binomio, en esta expresión algebraica el factor común binomio es Paso 2: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el Factor Común Binomio encontrado que es . Para obtener los siguientes cocientes:

Paso 3: Se escribe el Factor Común Binomio y a continuación dentro de un par de paréntesis, se escribe los cocientes encontrados en el paso anterior, conservando sus respectivos signos.

2) Paso 1: Se identifica el Factor Común Binomio, en esta expresión algebraica el factor común binomio es



28

Paso 2: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el Factor Común Binomio encontrado que es . Para obtener los siguientes cocientes:





Paso 3: Se escribe el Factor Común Binomio y a continuación dentro de un par de paréntesis, se escribe los cocientes

encontrados en el paso anterior, conservando sus respectivos signos. TALLER Factorizar o descomponer en dos factores, las siguientes expresiones algebraicas.

1) a(x+y)+b(x+y) 2) x(a+1)+2(a+1)+y(a+1) 3) y(b+5)+z(b+5) 4) m(a+b+c)-n(a+b+c) 5) 5x(s+t)+4y(s+t)-7z(s+t) 6) 2x(x+y+z)+6r(x+y+z) 7) 3x(2a+7b)+4y(2a+7b) 8) 3a(1+a)+4b(1+a)-5c(1+a) 9) -2xy(1-3x)+4yz(1-3x)+4xz(1-3x) 10) (4+x)(a+b)+3x(a+b)

II CASO: FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Un trinomio es un Cuadrado Perfecto, cuando es igual al cuadrado de la suma de dos términos o es igual al cuadrado de

la diferencia de dos términos. Es decir:



29

Procedimiento. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se efectuá los siguientes pasos: Paso 1: Se ordena el trinomio con relación a una letra o variable. Paso 2: Al primero y tercer termino del trinomio se les extrae la raíz cuadrada. (NOTA: Para extraer la raíz cuadrada a un monomio se extrae la raíz cuadrada al coeficiente y se divide al exponente de cada letra entre dos). Paso 3: El segundo termino del trinomio, debe ser igual al doble producto de las raíces cuadradas obtenidas en el paso

anterior. Si se cumple este paso entonces el trinomio es un cuadrado perfecto y se puede factorizar Paso 4: Se escribe dentro de los paréntesis izquierdo y derecho las raíces cuadradas y se las separa a las dos raíces con el signo que tiene el segundo termino del trinomio, elevando el binomio obtenido al cuadrado. Ejemplo Factorizar las siguientes expresiones algebraicas.

1)

2)

3) Solución:

1) Paso 1: El trinomio esta ordenado con relación a la letra x Paso 2:

: Es la raíz cuadrada del primer termino 4 : Es la raíz cuadrada del tercer termino 9 Paso 3:

2( )(3) (El doble producto de las raíces cuadradas es igual al valor del segundo termino del trinomio.) Paso 4: Por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto y se lo factoriza así:

2) Paso 1: El trinomio esta ordenado con relación a la letra x Paso 2:

: Es la raíz cuadrada del primer termino 25

: Es la raíz cuadrada del tercer termino Paso 3:

2( )( ) (El doble producto de las raíces cuadradas es igual al valor del segundo termino del trinomio.) Paso 4: Por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto y se lo factoriza así:

3)

Paso 1:

El trinomio esta ordenado con relación a la letra x Paso 2:

: Es la raíz cuadrada del primer termino

: Es la raíz cuadrada del tercer termino Paso 3:

2( )( ) (El doble producto de las raíces cuadradas es igual al valor del segundo termino del trinomio.) Paso 4: Por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto y se lo factoriza así:



30

TALLER Factorizar las siguientes expresiones algebraicas.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

III CASO: FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.

Procedimiento: Para factorizar una expresión algebraica que tenga una Diferencia de Cuadrados, se efectuá los siguientes pasos: Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, de la expresión algebraica que contiene la Diferencia de Cuadrados. Paso 2: Se escribe el producto mediante el uso de dos parejas de paréntesis. Paso 3: En la primera pareja de paréntesis se escribe la suma de las raíces cuadradas y en la segunda pareja de parénte-sis se escribe la diferencia de las raíces cuadradas que se han encontrado. Ejemplo Factorizar las siguientes expresiones algebraicas.

1)

2)

3)

Solución:

1) Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, de la expresión algebraica que contiene la Diferencia de Cuadrados. Así:

: Es la raíz cuadrada de

: Es la raíz cuadrada de 9. Paso 2 y 3: Se escribe el producto mediante el uso dos parejas de paréntesis. En la primera pareja de paréntesis se escri-

be la suma de las raíces cuadradas y en la segunda pareja de paréntesis se escribe la diferencia de las raíces cuadradas que se han encontrado. Así:


: Es la raíz cuadrada de

: Es la raiz cuadrada de Paso 2 y 3: Se escribe el producto mediante el uso dos parejas de paréntesis. En la primera pareja de paréntesis se escri-be la suma de las raíces cuadradas y en la segunda pareja de paréntesis se escribe la diferencia de las raíces cuadradas que se han encontrado. Así:


: Es la raiz cuadrada de

: Es la raiz cuadrada de Paso 2 y 3: Se escribe el producto mediante el uso dos parejas de paréntesis. En la primera pareja de paréntesis se escri-be la suma de las raíces cuadradas y en la segunda pareja de paréntesis se escribe la diferencia de las raíces cuadradas que se han encontrado. Así:



31

TALLER Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

IV CASO: FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO DE LA FORMA

Para factorizar un polinomio de segundo grado que tiene la forma , se aplica la siguiente expresión

algebraica:

donde: : Son números enteros.

: Es una variable

: Son raíces o soluciones del polinomio cuadrático. Para encontrar las raíces del polinomio cuadrático o de segundo grado se emplea la siguiente ecuación:

Procedimiento

Para factorizar un trinomio de segundo grado de la forma: se efectuá los siguientes pasos:

Paso 1: Se encuentra las soluciones o raíces del trinomio

Paso 2: se remplaza en la ecuación Paso 3: Se efectúan las operaciones indicadas en los factores y se simplifica si es posible.

Ejemplo Factorizar los siguientes polinomios cuadráticos:

1)

2)

3) Solución:

1) Paso 1: Encontremos las soluciones del trinomio

Para ello en primer lugar igualamos el trinomio dado, con el trinomio cuadrático , de donde se deduce

que:

Al remplazar los valores anteriores en la ecuación cuadrática se obtiene:



32

Cuyas raíces o soluciones son:

Paso 2: Remplazamos en la ecuación:

Para obtener:

Paso 3: Se efectúan las operaciones indicadas en los factores y se simplifica si es posible.

2)

Paso 1: Encontremos las soluciones del trinomio


que:




Para obtener:



33


3)

Paso 1: Encontremos las soluciones del trinomio


que:




Para obtener:


TALLER

Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos.

1) 2) 3)



34

4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)

V CASO: FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO P(x) DE GRADO SUPERIOR A DOS. (Teorema del Factor)

Para factorizar un polinomio P(x) de grado superior a dos, en términos generales utilizaremos el TEOREMA DEL FACTOR, que dice: Dado un polinomio P(x) de la forma:

El Polinomio P(x) es divisible por un binomio de la forma x+a o x -a solamente si se cumple que: P(a)=0 o P(-a)=0.

Al valor numérico se l lama raíz o cero del polinomio de . Por lo tanto se l laman Raíces o Ceros de un Polinomio a los valores que anulan al polinomio, es decir .

Propiedades de las raíces

1) A cada raíz de la forma x = a le corresponde un binomio de la forma (x – a) y a cada raíz del t i-po x= -a, le corresponde un binomio del t ipo (x + a)

2) Se puede expresar a un polinomio P(x) como el producto de todos los factores, de la forma que corresponden a las raíces, .

3) La suma de los exponentes de los binomios debe ser igual al grado del polinomio. 4) Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es lo m is-

mo, decir el polinomio admite como factor a x. 5) Un polinomio se l lama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores .

Procedimiento Para factorizar un polinomio P(x) de grado superior a dos, efectuamos los siguientes paso: Paso 1: “Si el coeficiente del polinomio P(x) es igual a 1, entonces encontramos los divisores del término

independiente ( ) del polinomio

Ahora, s i el coeficiente del polinomio P(x) es diferente de uno (1), entonces encontramos las raíces del polinomio

que serán el resultado de todos los divisores formados por los coeficientes de Paso 2: Encontramos las Raíces o Ceros del Polinomio, y serán aquellos valores que anulan al polino-mio, es decir . Paso 3:Remplazamos los valores de las raíces que se han encontrado en el paso anterior en la ecua-

ción:

Ejemplo:

Factorizar el polinomio . Como el polinomio P(x) es de cuarto grado , entonces tendrá cuatro raíces y al factorizarlo el polinomio tendrá la forma de:

Para encontrar las raíces , , y efectuamos los siguientes pasos:



35

Paso 1: Como el coeficiente del primer termino es uno ( , entonces encontramos los divisores del término inde-

pendiente que es 6, y sus divisores son: ±1, ±2, ±3. Paso 2: Ahora encontremos las Raíces o Ceros del Polinomio, y para hallar las remplazamos en el pol i-nomio P(x), los valores de ±1, ±2, ±3, y las raíces del polinomio P(x) serán aquellos valores numéricos que anulan al polinomio P(x ). Es decir P(x) = 0

.

-15

0

.

0

De esta manera hemos encontrado las raíces que anulan al polinomio P(x) que son: .

Paso 3: Remplazamos los valores de las raíces que se han encontrado en el paso anterior en la ecu a-

ción:

Para obtener:

Ejemplo:

Factorizar el polinomio . Como el polinomio P(x) es de tercer grado, entonces tendrá tres raíces y al factorizarlo el polinomio tendrá la forma de:


Paso 1: Como el coeficiente del primer termino es uno ( , entonces encontramos los divisores del término inde-pendiente 2 que son: ±1, ±2. Paso 2: Ahora encontremos las Raíces o Ceros del Polinomio P(x), y para hallarlas remplazamos en el polinomio P(x), los valores de ±1, ±2, y las raíces del polinomio P(x) serán aquellos valores numéricos que anulan al polinomio P(x ). Es decir P(x) = 0

.

.

.

.

De esta manera hemos encontrado las raíces que anulan al polinomio P(x) que son:

Paso 3:Remplazamos los valores de las raíces que se han encontrado en el paso anterior en la ecu a-ción:

Para obtener:



36

Ejemplo:

Factorizar el polinomio . Como el polinomio P(x) es de tercer grado, entonces tendrá tres raíces y al factorizarlo el polinomio tendrá la forma de:


Paso 1: Como el coeficiente del primer termino es diferente de uno ( , entonces encontramos los divisores del co-

eficiente del primer termino que es 2 y sus divisores son: y del termino independiente que es 12, cuyos divisores son: .

Por lo tanto, los cocientes formados por “el Termino independiente/coeficiente del primer

no”( son:

Paso 2:Ahora encontremos las Raíces o Ceros del Polinomio, y para hallarlas remplazamos en el pol i-

nomio P(x), los valores de

, y las raíces del polinomio P(x) serán los valores

numéricos que anulan al polinomio P(x ). Es decir P(x) = 0

.

.

.

264

750

4752

-9

.

.

6

.

.

-126

.

-10,5

. De esta manera hemos encontrado las raíces que anulan al polinomio P(x) que son:

Paso 3: Remplazamos los valores de las raíces que se han encontrado en el paso anterior en la ecu a-ción:

Para obtener:

Taller Factorizar los siguientes polinomios, aplicando el Teorema del Factor.

1)

2)

3)

4)

5)

6)



37

7)

8)

9)

10)

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