Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

Monografas de Ingeniera Ssmica Editor A. H. Barbat

Evaluacin rpida de la deriva mxima de piso para calcular la vulnerabilidad ssmica de estructuras

Roberto Aguiar

1

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE 2 DERIVA MXIMA DE PISO RESUMEN .. 2.1 ANTECEDENTES ...................................................................................... 2.1.1 Trabajo de Miranda, 1997 ... 2.1.2 Trabajo de Gupta y Krawinkler .... 2.2 PERODO FUNDAMENTAL .... ......... 2.3 ANLISIS DE LOS COEFICIENTES ......................................................... 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 Coeficiente 1 .. Coeficiente Coeficiente 36 36 38 38 39 42 42 42 43 44 44 45 46

Coeficiente Comentarios a la ecuacin propuesta por Miranda ..

2 . 3 4

2.4 APLICACIN ..................................... 2.5 INFLUENCIA DEL PERODO .............................. 2.6 IMPORTANCIA DE INCORPORAR

6

...................................................... 48 49 50

2.7 CONCLUSIONES .................................................... REFERENCIAS ..

3

PARMETRO

1

RESUMEN 52 3.1 ANTECEDENTES ..... 52 3.2 TRABAJOS REALIZADOS . 53 3.3 CLCULO DE

1

54

3.4 RESULTADOS . 55 3.5 CONCLUSIONES . 57 REFERENCIAS . 57

4

PARMETRO

2

RESUMEN 58 4.1 INTRODUCCIN 58 4.2 ESTRUCTURAS Y SISMOS DE ANLISIS 59 4.3 ANLISIS NO LINEAL Y RESULTADOS 62 4.4 VALORES MEDIOS 62 4.5 AJUSTE DE CURVA . 64

3

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE 4.6 OTROS TRABAJOS ..... 64

4.7 CONCLUSIONES .. 66 REFERENCIAS .. 66

5

PARMETRO

3

RESUMEN .. 67 5.1 INTRODUCCIN . 67 5.2 OTRAS RELACIONES DE

3

69

5.3 REGISTROS SSMICOS .. 70 5.4 RESULTADOS .. 72 5.5 VALORES MEDIOS 74 5.6 DESVIACIN ESTNDAR 75 5.7 AJUSTE DE CURVAS 75 5.8 COMENTARIOS .. 80 5.9 CONCLUSIONES . 80 REFERENCIAS . 81

6

PARMETRO

4

RESUMEN .. 83 6.1 INTRODUCCIN 83 6.2 PARMETRO

4

84

6.3 ESTRUCTURAS Y SISMOS DE ANLISIS 84 6.4 RESULTADOS . 86 6.5 VALORES MEDIOS Y AJUSTE 88 6.6 DISCUSIN . 90 6.7 CONCLUSIONES 91 REFERENCIAS 91

4

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE 7 METODOLOGA PROPUESTA PARA LA EVALUACIN RPIDA RPIDA DE LA DERIVA MXIMA DE PISO RESUMEN .. .. 93 7.1 INTRODUCCIN .. 93 7.2 PARMETRO 7.3 PARMETRO 7.4 PARMETRO 7.5 PARMETRO 7.6 PARMETRO

1

. 94 .... 94 . 94 . 95 . 95

2

3

4 5

7.7 PERODO EFECTIVO 97 7.8 ESTRUCTURAS Y SISMOS DE ANLISIS 97 7.9 ANLISIS NO LINEAL Y RESULTADOS 97 7.10 ANLISIS CON INERCIAS AGRIETADAS . 99 7.11 CONCLUSIONES . 99 REFERENCIAS .. 101

8

NUEVA METODOLOGA Y PARMETRO

6

RESUMEN ... 105 8.1 INTRODUCCIN Y NUEVA METODOLOGA ...... 105 8.2 ESTRUCTURAS Y SISMOS DE ANLISIS PARA OBTENER

6

... 106

8.3 RESULTADOS DEL PARMETRO

6

.. 106

8.4 RESULTADOS DE NUEVA METODOLOGA . 108 8.5 CONCLUSIONES . 110 REFERENCIAS . 110

9

CURVAS DE FRAGILIDAD RESUMEN . 109

5

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE 9.1 INTRODUCCIN ... 109

6

9.2 ESTRUCTURAS Y SISMOS DE ANLISIS .. 110 9.3 ANLISIS NO LINEAL Y CLASIFICACIN 111 9.4 ESTUDIO ESTADSTICO ..113 9.5 CURVAS DE FRAGILIDAD DE DERIVAS DE PISO 114 9.6 CURVAS DE FRAGILIDAD DE HAZUS . 117 9.7 CURVAS DE FRAGILIDAD DE DESPLAZAMIENTOS 118 9.8 ANLISIS DE ESTRUCTURAS UBICADAS EN MACAS 122 9.8.1 9.8.2 9.8.3 9.8.4 9.8.5 Estructuras de anlisis .. 123 Sismos de anlisis .. 125 Resultados del anlisis no lineal . 125 Curva de fragilidad de estructura 1 . 126 Curva de fragilidad de estructura 2 . 127

9.9 CONCLUSIONES . 128 REFERENCIAS 129

PRESENTACIN

En la ltima dcada se han desarrollado importantes investigaciones en los Estados Unidos de Norte Amrica, para evaluar en forma rpida la vulnerabilidad ssmica de las estructuras, a partir del clculo de la deriva mxima de piso. Estas investigaciones han sido efectuadas en base a sismos registrados fundamentalmente en el rea de California y teniendo en cuenta los materiales y sistemas constructivos que ah utilizan. Para todos es conocido, que la peligrosidad ssmica del Estado de California es diferente de la peligrosidad ssmica de Amrica del Sur y algo similar se puede indicar con respecto a los materiales y sistemas constructivos. Por este motivo es que la Escuela Superior Politcnica del Ejrcito ESPE, Ecuador, apoy la realizacin del proyecto de investigacin cientfica, denominado: Evaluacin rpida de la deriva mxima de piso para evaluar la vulnerabilidad ssmica de estructuras de Hormign Armado. En esta investigacin se obtienen relaciones entre el desplazamiento mximo inelstico con respecto al desplazamiento mximo elstico, de sistemas de un grado de libertad, pero a partir de sismos registrados en: Colombia, Ecuador, Per, Argentina y Chile. En ninguno de los pases indicados se cuenta con suficientes acelerogramas, de eventos ssmicos cuya aceleracin mxima del suelo sea mayor al 10% de la aceleracin de la gravedad, que permitan tener una muestra bastante confiable a partir del cual se pueda realizan un estudio estadstico pero al trabajar en conjunto se tuvo 63 registros, que es un nmero considerable. De igual manera se encuentran relaciones entre la deriva mxima de piso con respecto a la deriva global del edificio pero trabajando con materiales y sistemas estructurales de Ecuador. Para el efecto se han considerado edificios de hormign armado de uno a seis pisos de alto, conformados por vigas de poco peralte y columnas, sin muros de corte. Este tipo de construccin, que son bastante flexibles, tambin se las encuentra en pases vecinos. Uno de los objetivos de la investigacin era mostrar mediante la elaboracin de curvas de fragilidad que las construcciones bajas, de uno a seis pisos, que se estn realizando en buena parte del Ecuador responden a un nivel de diseo ssmico bajo que no est acorde con la alta peligrosidad ssmica del Pas caracterizada por una aceleracin mxima del suelo en roca del 40% de la aceleracin de la gravedad. Se presentan dos metodologas de clculo para encontrar la deriva mxima de piso, en la que los parmetros que intervienen en su formulacin han sido obtenidos en base a registros de Sur Amrica y a sistemas constructivos de Ecuador. La bondad de estas metodologas se ha comprobado, comparando con los resultados que se obtienen del anlisis no lineal, paso a paso de ms de mil resultados, hallando una muy buena correlacin en los resultados medios. En la segunda metodologa se halla la deriva mxima de piso, a partir del anlisis lineal elstico multiplicando por un parmetro de correccin; esta metodologa puede ser aplicable cuando se tengan pocos edificios a evaluar. En cambio la primera metodologa que contempla cinco parmetros es aplicable a un gran nmero de edificios, si se tienen muy pocas estructuras la incertidumbre es alta. Finalmente, deseo dejar constancia de mi agradecimiento a las autoridades de la Escuela Superior Politcnica del Ejrcito, por haber financiado el proyecto: Evaluacin rpida de la deriva mxima de piso para evaluar la vulnerabilidad ssmica de estructuras de Hormign

Armado. As como tambin a Pal Guerrero, Carlos Bobadilla, Carolina Robalino, Gonzalo Huidobro, Diego Quisanga y Anuar Gonzlez, que participaron en este proyecto.

Roberto Aguiar Falcon Centro de Investigaciones Cientficas. Escuela Superior Politcnica del Ejrcito Quito-Ecuador

CAPTULO 1

MTODO DEL COEFICIENTE DE DESPLAZAMIENTORESUMENSe presenta el Mtodo del Coeficiente de Desplazamiento y se analizan cada uno de los coeficientes que intervienen en su formulacin, en base a las contribuciones cientficas que han realizado varios investigadores. De esta manera, se pretende que el lector utilice el mtodo con mayor conocimiento de causa y se vaya viendo el estado del arte del tema principal que interesa cual es la evaluacin rpida de la deriva mxima de piso. De igual manera se presentan recomendaciones, para el clculo de algunos coeficientes que intervienen en el mtodo, orientadas al anlisis ssmico de estructuras conformadas por vigas y columnas de hormign armado.

1.1 ANTECEDENTESDentro de las nuevas filosofas de diseo ssmico de estructuras se tiene, el Anlisis y Diseo Ssmico por Desempeo, mediante la cual se pretende tener un control del comportamiento que va a tener una edificacin ante varias acciones ssmicas a las que puede estar sujeta la construccin durante la vida til de la misma. Comportamiento en trminos estructurales y econmicos. Para verificar el desempeo de una estructura que ha sido ya diseada, la Agencia Federal para el Manejo de Emergencias, FEMA 273 (1997) y FEMA 356 (2000), presentan dos mtodos de anlisis, el primero de ellos se denomina Mtodo del Coeficiente del Desplazamiento y el segundo Mtodo del Espectro de Capacidad. En este captulo se aborda el primero de ellos cuyo objetivo fundamental es predecir en forma rpida y confiable cual es el desplazamiento lateral mximo que se espera en una estructura ante una determinada accin ssmica. Varias investigaciones sirvieron de base para la propuesta de FEMA 273, en este captulo se presentan dos, con cierto detalle, el realizado por Shimazaki y Sozen (1984) y el estudio de Miranda (1991). De igual manera una vez que se public el Mtodo del Coeficiente de Desplazamientos numerosos investigadores han realizado estudios tendientes a dar mayor precisin y seguridad al mtodo, entre estos trabajos se tienen los desarrollados por Whittaker

et al (1998); Miranda (2000); Miranda y Reyes (2002); Lee et al (1999); Gupta y Krawinkler (2000). Los mismos que tambin son presentados en el presente captulo y que sirvieron de base para la nueva publicacin de FEMA-356 en que se aborda el tema.

1.2 DESCRIPCIN DEL MTODOLa Agencia Federal para el Manejo de Emergencias, de los Estados Unidos de Norte Amrica, en su gua para la Rehabilitacin Ssmica de Edificios, FEMA-356 (2000), propone la siguiente ecuacin para encontrar el Desplazamiento mximo en el tope de un edificio Dt .

Dt = C 0 C1 C 2 C 3 S a

T e2 4 2

( 1.1 )

siendo

S a la aceleracin espectral elstica asociada al perodo fundamental efectivo Te y los C 0 , C1 , C 2 y C 3 son factores de ajuste los mismos que se indican a

coeficientes

continuacin pero antes es importante indicar que la ecuacin ( 1.1 ) es general para cualquier tipo de estructura pero en este captulo se presentan los factores para estructuras de hormign armado sin muros de corte solo con vigas y columnas.

C 0 es un factor de modificacin que relaciona el desplazamiento espectral y eldesplazamiento en el tope del edificio, con valores que van desde 1 para edificaciones de 1 piso hasta 1.5 para edificios de ms de 10 pisos. Es un factor de paso del sistema de un grado de libertad, 1gdl., al sistema de mltiples grados de libertad que corresponde al edificio. En la tabla 1.1 se presentan los valores de este factor en funcin del nmero de pisos de la estructura analizada. El valor de

C 0 no es ms que el factor de participacin modal en el tope del edificio y

se evala analticamente con la siguiente ecuacin.

C0 = N

N

Mi =1

i

im( 1.2 )

(Mi =1

i i

2

)

donde

M i es la masa del nivel i; i es la ordenada de la forma modal fundamental en N es el nmero de pisos; m

el nivel i;

es la amplitud del modo azotea o cubierta del edificio.

fundamental en la

Tabla 1.1 Valores recomendados del factor Nmero de pisos 1 2 3 5 Ms de 10 pisos Valor de

C0 .

C01.0 1.2 1.3 1.4 1.5

C1 es un factor que relaciona el desplazamiento inelstico mximo esperado con eldesplazamiento calculado para la respuesta elstica lineal, en un sistema de 1gdl. FEMA-273 recomienda:

C1 =1 C 1 = 1.5

Te T

*

Te < 0.1

donde

T es el perodo que define el punto de cambio del segmento de aceleracin

constante al segmento de velocidad constante; Para valores de

Te es el perodo fundamental efectivo.*

Te comprendidos entre 0.1 y T , se recomienda interpolar C1 se evaluar con la siguiente ecuacin:

linealmente. En consecuencia

Te 0.1 C1 = 1.5 0.5 * T 0 .1El perodo

( 1.3 )

Te se evala con la siguiente ecuacin: Ki Ke

Te = Tidonde

( 1.4 )

K i es la rigidez inicial de la estructura que se la obtiene de la curva de

capacidad ssmica resistente, que relaciona el cortante basal con el desplazamiento lateral mximo; K e es una rigidez secante a la curva de capacidad que pasa por el punto cuya ordenada es igual a 0.6 del cortante de fluencia V y ; vibracin inicial de la estructura en el rango elstico.

Ti es el perodo de

FEMA-356 establece que tiene:

C1 = 1 para T T . Para el caso de e

Te < T se

que

T 1 + (R 1) Te C1 = R R= Sa C VY / W m

( 1.5 )

( 1.6 )

donde

C m es el valor de la masa modal efectiva, para estructuras de 1 y 2 pisos

C m = 1 .0; para estructuras de ms de 3 pisos C m = 0.9 Por otra parte W es el pesototal de la estructura y

VY es el cortante a nivel de fluencia de la estructura. De tal C1 se necesita

manera que si se desea utilizar la ecuacin ( 1.5 ) para calcular conocer el valor de

VY por este motivo es preferible utilizar la ecuacin ( 1.3 )

C2 es un factor que toma en cuenta los efectos de degradacin de rigidez, prdida deresistencia y el estrangulamiento de los ciclos histerticos, en la respuesta del desplazamiento mximo. Este factor, est en funcin del nivel de desempeo que se espera de la edificacin como se aprecia en la tabla 1.2 Tabla 1.2 Valores de C2 recomendados por FEMA 356

Nivel de desempeo Inmediatamente ocupacional Seguridad de vida Prevencin de colapso

C21.0 1.3 1.5

C 3 representa el incremento de desplazamiento, debido al efecto P . Paraestructuras con rigidez post fluencia positiva el valor de evala con:

C 3 = 1 . Caso contrario se

C3 = 1 +

(R 1)3 /2

( 1.7 )

Te

donde

viene definida por la relacin entre la rigidez post fluencia con relacin a la

rigidez elstica del modelo bilineal de la curva de capacidad ssmica resistente; R fue definido en la ecuacin ( 1.6 ). El valor de

C 3 obtenido con ( 1.7 ) ser menor a:

C3 = 1 +

5 ( 0.1) T

( 1.8 )

siendo T el perodo fundamental elstico;

es el factor de estabilidad de piso que

est en funcin de la deriva de piso, lo que dificulta el clculo ya que lo que se pretende conocer es el desplazamiento lateral mximo en el tope del edificio. La curva de capacidad ssmica resistente se obtiene mediante la Tcnica del Pushover que consiste en aplicar cargas laterales monotnicas crecientes en una direccin hasta llevar al colapso a la estructura, Aguiar (2003). En la figura 1.1 se ilustra su clculo, a la izquierda se aprecia un prtico plano sometido a cargas laterales, se realiza un anlisis no lineal esttico y para cada incremento de carga se obtiene el cortante basal V y el desplazamiento lateral mximo D ; en base a estos puntos se determina la curva de capacidad la misma que set

indica en la parte central de la figura 1.1, de sta grfica se obtiene el modelo bilineal respectivo conformado por una zona elstica y una zona inelstica, como se aprecia a la derecha de la figura 1.1. El punto de cruce de estas dos rectas es el punto de fluencia que tiene un cortante V y y un desplazamiento Dty . .1 40 120 100

v

rva (Tt oBna) s al o )

80 60 40 20 0 0.00 0.1 0 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.8 0

vy

dt (m)

dty

dt

Figura 1.1 Esquema de clculo de la curva de capacidad ssmica y el modelo bilineal.

La pendiente, de la curva central de la figura 1.1, para un desplazamiento lateral de 0, es la rigidez inicial K que consta en la ecuacin ( 1.4 ) y la pendiente de la derecha de la i figura 1.1, para el rango elstico, es el valor de

Ke . S d asociado al perodo al

La ecuacin ( 1.1 ) plantea que el desplazamiento espectral perodo de vibracin

Te , y que es igual a S d = S / a

2

= Te S a / 4 2 , sea modificado debido

2

al comportamiento inelstico mediante el factor C1 , el mismo que ha sido obtenido de estudios estadsticos empleando, por lo regular un modelo bilineal, sin considerar degradacin de resistencia, degradacin de rigidez y efecto de cierre de grietas, que son fundamentales en el anlisis no lineal. La inclusin de estos factores en el mtodo se lo corrige por medio del factor C2 . Por otra parte en el rango inelstico se debe tener en cuenta el efecto P , especialmente cuando la estructura est sometida a grandes deformaciones, este efecto se lo considera por medio del factor C 3 . Finalmente para pasar todos estos valores del sistema de 1 gdl., al sistema con mltiples grados de libertad se lo hace por medio del factor de participacin modal C 0 , evaluado en el ltimo piso.

1.3 ALGUNOS TRABAJOS ANTERIORESLas investigaciones realizadas por Newmark y Rosenblueth, (1971); Newmark y Hall, (1982) y otros cientficos aportaron al desarrollo del Mtodo del Coeficiente de Desplazamiento. nicamente para no alargar la exposicin se indican dos estudios en el presente apartado, el desarrollado por Shimazaki y Sozen (1984) y el efectuado por Miranda (1991) que aportaron a la definicin del coeficiente C1 .

1.3.1

Estudio de Shimazaki y Sozen

Shimazaki y Sozen (1984) estudiaron la respuesta ssmica elstica e inelstica de un conjunto de osciladores de 1gdl., ante la accin de tres eventos ssmicos empleando cinco modelos de histresis y aplicando el Mtodo de Newmark, con un valor de = 0.167 . En este captulo solo se presentan los resultados obtenidos con dos de ellos y son los modelos mostrados en la figura 1.2; el de la izquierda, es el modelo elasto plasto perfecto que no contempla deterioro de rigidez en la descarga, ni deterioro de resistencia, ni efecto de cierre de grietas. El otro, es el modelo simplificado de Takeda que se aprecia a la derecha de la figura 1.2. Se destaca que en todos los modelos de histresis el valor de = 0 , es decir en el rango inelstico la rigidez del sistema es nula. Se presentan los resultados obtenidos ante el registro de la componente N-S del sismo de El Centro de 1940 y se lo hace para tres casos que corresponden a: T = 0.33 T ;0 g

T0 = 1.0 T g ; y, T0 = 2.0 Tg . Donde T0 es el perodo elstico del oscilador de 1gdl; T g esaproximadamente el perodo de transicin entre la regin de aceleracin constante y la regin de velocidad constante del espectro de respuesta.

Figura 1.2 Dos modelos de histresis utilizados por Shimazaki y Sozen En la figura 1.3, se presentan estos resultados en funcin de la relacin de fuerzas y de la relacin de desplazamientos

e

DR definidos de la siguiente manera: CY Vy/ W

Sa/g = Sa/g D DR= n Dsdonde V y es el cortante a nivel de fluencia del oscilador de 1gdl,

e=

( 1.9 )

( 1.10 )

W es el peso del oscilador,

S a es la aceleracin del espectro de respuesta elstica asociada al perodo T , y, g es la oaceleracin de la gravedad. Por otro lado, el mximo desplazamiento elstico.

Dn es el mximo desplazamiento inelstico y Ds es

En el estudio, se encontr que para relaciones de

e > 1 el desplazamiento mximo

elstico es aproximadamente igual al desplazamiento mximo inelstico, razn por la cual en la figura 1.3 s grafica hasta e = 1. Existe amplificacin de los desplazamientos inelsticos para valores de

e menores a la unidad. Tener e > 1 implica que la capacidad ssmica es

mayor que la demanda ssmica . Por otra parte se aprecia que para T T el modelo de g histresis poco influye en la respuesta ssmica, lo que se aprecia en las grficas para

T = 1.0 Tg y T = 2.0 Tg .

Finalmente para T = 0.33 Tg se aprecia que la respuesta inelstica es mucho mayor que la respuesta elstica especialmente para valores de respuesta dinmica depende del modelo de histresis.

e < 0.4 . Adems para este rango la

1.3.2 Estudio de Miranda, 1991Miranda (1991) analiz la respuesta ssmica de 31000 sistemas de 1gdl ante la accin de 124 registros ssmicos que haban sido obtenidos en suelo duro o rocoso, suelo aluvional y suelo suave. La mayor parte de estos sismos fueron registrados en California en el perodo comprendido entre 1985 y 1991. Tambin incluy los sismos de Chile de 1985, de Michoacn de 1985 y de San Salvador de 1986.

To = 0.33 Tg Elasto Plasto Takeda simplificado

To = 1.0 Tg Elasto Plasto Takeda simplificado

Relacin de desplazamiento "Dr"

7 6 5 4 3 2 1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Relacin de fuerzas "e"

Relacin de desplazamiento "Dr"

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

To = 2.0 Tg Elasto Plasto Takeda simplificado 1,6Rel aci n de de spl az am ien to "Dr "

1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Relacin de fuerzas

Figura 1.3 Relaciones para T0 = 0.33 Tg ; T0 = 1.0 T g ; y, T0 = 2.0 T g , respectivamente.

Para el anlisis no lineal consider un modelo bilineal con una rigidez post fluencia igual al 3% de la rigidez elstica y trabaj con un amortiguamiento viscoso. Obtuvo relaciones del Desplazamiento Inelstico con respecto al Desplazamiento Elstico para los tres tipos de suelo indicados en el prrafo anterior. El anlisis contempl ductilidades de desplazamiento igual a 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Los resultados reportados por Miranda (1991) fueron muy similares a los reportados por Shimazaki y Sozen (1984) y sus principales conclusiones se resumen a continuacin: Para suelos rocosos y suelos duros el valor medio de los desplazamientos inelsticos, que los denomina , excede al valor medio de los desplazamientos elsticos eni e

el rango de perodos cortos y para los restantes valores dependen de la relacin de ductilidad. Para suelos aluvionales, hall similares relaciones a las indicadas en el prrafo anterior. Para suelo suave, encontr que para valores similares a To = 1.0 Tg , los valores medios de los desplazamientos inelsticos fueron entre 30 y 40% menores a los valores medios de los desplazamientos elsticos. Pero para T < T los 0 g desplazamientos inelsticos son sustancialmente ms grandes que los

desplazamientos elsticos.

1.4 ALGUNOS TRABAJOS POSTERIORESEn el presente apartado se presentan los trabajos realizados por Whittaker et al (1998); y Miranda (2000). El objetivo principal est centrado en el valor del coeficiente C propuesto1

por FEMA, se presenta este factor con la nomenclatura utilizada por los mencionados investigadores. Posteriormente se describe el trabajo de Lee et al (1999) que permite determinar el coeficiente C 2 , y los estudios de Gupta y Krawinkler, sobre el efecto P que est asociados a

C3 .

1.4.1 Estudio de Whittaker, Constantinou y TsopelasExisten tres aspectos a resaltar en el trabajo desarrollado por Whittaker et al (1998), el primero de ellos tiene que ver con la demanda ssmica considerada, el segundo con la ecuacin diferencial con la cual trabajaron el problema dinmico y el tercero sobre los resultados obtenidos. Con respecto a la demanda ssmica, consideraron 20 registros horizontales, correspondientes a 10 terremotos ocurridos en los Estados Unidos de Norte Amrica y cuya magnitud fue mayor a 6.5. Los acelerogramas de estos sismos fue escalada de tal manera que el espectro de respuesta promedio de todos ellos sea muy similar al que se reporta el cdigo UBC-97 y que consta en FEMA 273/274 (1997). El escalamiento fue realizado de tal forma que se conserv la frecuencia de los sismos y las caractersticas del evento. En la figura 1.4 se indica la forma del Espectro del UBC-97 pero se debe manifestar que trabajaron con un perfil de suelo que est entre C o D, que corresponde a un suelo de dureza intermedia tendiendo a duro. Consideraron C v = 1.5 Av y C a = Av = 0.4

Figura 1.4 Forma del espectro del UBC-97 para 5% de amortiguamiento. En la parte superior de la figura 1.4 aparece el espectro de diseo elstico del UBC-97 para un 5% de amortiguamiento efectivo = 0.05 y en la parte inferior el espectro

(

)

inelstico para valores mayores de amortiguamiento. Los valores de

Bs

y

del factor de amortiguamiento efectivo y se indican en la tabla 1.3. El anlisis ssmico fue realizado con el espectro promedio de los 10 terremotos utilizados con las indicaciones anotadas anteriormente.

B1 estn en funcin del valor

Tabla 1.3 Valores de

Bs

y

B1 B10.8 1.0 1.2 1.5 1.7 1.9 2.9

25 10 20 30 40

Bs0.8 1.0 1.3 1.8 2.3 2.7 3.0

50

El segundo aspecto que llama la atencin, se refiere a la ecuacin diferencial utilizada para definir el sistema de 1gdl. Esta es:.. 4 M . i M u+Cu+ u + F (u) = M u g Ts . .. .. .

( 1.11 )

donde..

u, u, u son el desplazamiento, velocidad y la aceleracin de la masa relativo al suelo;

u g es la aceleracin del suelo, M es la masa del sistema; C es el amortiguamiento que seconsidera de tipo viscoso; F (u) es la fuerza restauradora del sistema, para el rango elstico vale K u , siendo K la rigidez elstica. Para el rango plstico la rigidez va cambiando de acuerdo al punto del modelo de histresis en que se encuentra; asociado al mximo desplazamiento. Finalmente,i

Ts es el perodo secante

es otro coeficiente de amortiguamiento.

De tal manera que el amortiguamiento del sistema est definido por dos valores que son i . Para el rango elstico y para amortiguamiento viscoso se tiene:

C y

=

C 2 MK

=

C T0 4 M

C=

4 M T0

donde tiene:

T0 es el perodo en el rango elstico. Para un amortiguamiento en el rango inelstico se T i = s T0 Con relacin a los resultados, en la figura 1.5 se indica el valor de

DR

que relaciona el desplazamiento medio inelstico con el desplazamiento medio elstico en funcin del perodo. Las curvas de la izquierda, corresponden al caso en que la rigidez post fluencia tiene un valor = 5 % , siendo la relacin entre la rigidez inelstica con relacin a la rigidez elstico del modelo bilineal. A la derecha, se presentan las curvas para el caso en que

= 25 % .

De la figura 1.5 se desprende que para valores de perodo mayores que 0.5 s., el valor medio del desplazamiento inelstico es aproximadamente igual al desplazamiento elstico para valores de e > 0.2 . Se destaca que el perodo de 0.5 s., corresponde aproximadamente a la zona de transicin donde la aceleracin es constante. La correlacin es mejor para el caso de = 0.25 Para valores de e < 0.2 la diferencia entre el desplazamiento inelstico y desplazamiento elstico es significativa especialmente para perodos menores a 0.5 s.

Whittaker et al (1998) concluyen que el valor del factor recomendado por FEMA-273, es mayor para valores de que para T < T y para todos los valores de 0 g recomendados por FEMA-273.Relacin de desplazamientos Relacin de desplazamientos 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0,5 1 e=0.10 e=0.15 e=0.20 e=0.30 e=0.50 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 0,5

mximo de

C1 = 1.5 ,

e < 0.2 De igual forma se aprecia

e los valores de C1 son mayores a los

e=0.10 e=0.15 e=0.20 e=0.30 e=0.50

1

Perodo (s)

Perodo (s)

Figura 1.5 Valores de

DR

en funcin del perodo para

= 0.05 y = 0.25

Por otra parte, con los datos estadsticos obtenidos se presenta en la figura 1.6, a la izquierda, la relacin entre el desplazamiento inelstico medio ms una desviacin estndar, con relacin al desplazamiento elstico y a la derecha la relacin entre el mismo numerador anterior con relacin al desplazamiento inelstico medio. Todo esto para valores de = 0.05 . En la figura de la izquierda, se aprecia que para valores de perodo menores a 0.3 s., la relacin entre los desplazamientos considerando la desviacin estndar es mucho mayor a la relacin en que no se considera la desviacin estndar a tal punto que Whittaker y Constantinou (1998) indican que el valor de 1.5 como cota mxima recomendado por FEMA 273 es bajo. Esto se aprecia mejor en el grfico de la derecha de la figura 1.6, en que los valores entre el desplazamiento medio inelstico ms una desviacin estndar con respecto a los desplazamientos medios inelsticos son mayores a 1.5 para perodos menores a 0.5 segundos.

Desp. Ine. + sigma / Desp. Elas.

7 6 5 4 3 2 1 0 0 0,5 Perodo (s) 1 e=0.10 e=0.15 e=0.20 e=0.30 e=0.50

Desp. Ine. + sigma / Desp. Elas.

2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 0,5 Perodo (s) 1 e=0.10 e=0.15 e=0.20 e=0.30 e=0.50

Figura 1.6 Relacin entre desplazamiento Inelstico ms una desviacin estndar con relacin deldesplazamiento elstico a la izquierda y con relacin al desplazamiento inelstico a la derecha.

1.4.2

Estudio de Miranda, 2000

Miranda (2000) realiza un estudio en base a 264 registros de aceleracin, correspondientes a 12 terremotos registrados en el estado de California, con el propsito de ver la relacin que existe entre los desplazamientos mximos inelsticos con relacin a los desplazamientos mximos elsticos en sistemas de 1gdl. Para la respuesta no lineal consider

demandas de ductilidad igual a 1.5, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0 y 6.0. Varios parmetros fueron tomados en cuenta para el anlisis, entre ellos se destacan: Efecto de Suelo, para lo cual clasific los 264 registros en 78 registros correspondientes a perfiles de suelo tipo A y B, 76 registros a perfil tipo C y 110 registros a perfil tipo D. La definicin de los perfiles de suelo son la estipulada por el UBC-97. Del estudio encontr que el suelo no influye mayormente en la relacin del desplazamiento inelstico mximo con respecto al desplazamiento mximo elstico. Lgicamente que en el suelo tipo D se tendr los mayores valores de esta relacin pero no es significativa. Posteriormente, Akkar y Miranda (2005) reconocen que el suelo si influye en la relacin del desplazamiento mximo inelstico con relacin al desplazamiento mximo elstico. Efecto de Magnitud, se separ los registros en: 68 de magnitudes comprendidas entre 5.7 y 6.2; 92 registros con magnitudes entre 6.3 y 6.9 y 78 registros con magnitudes entre 7.0 y 7.8. Nuevamente el estudio report que la magnitud no influye significativamente en la relacin entre el desplazamiento mximo inelstico con relacin al elstico. Efecto de la distancia de ruptura, para el efecto se trabaj con 78 registros cuya distancia epicentral est entre 1 y 20 Km; 92 registros con distancia epicentral comprendida entre 20.1 y 45.0 Km, y 82 registros con distancia epicentral comprendida entre 45.1 y 160 Km. El estudio demostr que el efecto de la distancia epicentral no influye significativamente en la relacin del desplazamiento mximo inelstico con relacin al desplazamiento elstico.

Miranda (2000) en el estudio encontr la respuesta no lineal de 78600 sistemas de 1gdl correspondientes a los 264 registros de aceleraciones del suelo, trabajando con 50 perodos y 6 niveles de demandas de ductilidad. En base a esta informacin encontr la siguiente relacin:1

C = 1 + 0.8

1 exp( 12 T( 1.12 )

)

1

donde C

es la relacin entre el desplazamiento mximo inelstico con relacin al

desplazamiento mximo elstico, es un valor medio de los valores obtenidos;

es la

demanda de ductilidad y T es el perodo de vibracin del sistema de 1 gdl. La ecuacin de C fue obtenida utilizando un anlisis de regresin no lineal empleando el Mtodo de LevenbergMarquardt. En la figura 1.7, se presenta la variacin de C en funcin del perodo T para diferentes valores de ductilidad. Del estudio se desprende adems: La ecuacin de C propuesta por Miranda ( 1.12) resultados obtenidos del anlisis dinmico. Para perodos mayores a 1.0 s., el valor de C es prcticamente la unidad lo que significa que el desplazamiento mximo inelstico es igual al desplazamiento mximo elstico. se aproxima muy bien a los

Figura 1.7 Valores de C obtenidos con ecuacin propuesta por Miranda (2000). La relacin del valor medio del desplazamiento inelstico ms una desviacin estndar con relacin al valor medio del desplazamiento elstico para valores de perodo mayores a 1.2 s., variaban entre 1.07 para ductilidades de 1.5 a 1.47 para ductilidades de 6. De tal manera que el valor de 1.5 propuesto por FEMA-273 asociado a una desviacin estndar es un valor aceptable. Para perodos menores a 1.2 s., el valor de 1.5 consideran un poco alto.

1.5 MTODOS INDIRECTOSMiranda (2001) denomina Mtodos Indirectos de estimacin del desplazamiento mximo lateral a los que se obtienen en funcin de la ductilidad y del factor de reduccin de las fuerzas ssmicas R , empleando la siguiente ecuacin:

=U

SaS R2

=

S =Cd R d

( 1.13 )

R

las variables todava no definidas son: U que es el desplazamiento mximo inelstico, es la frecuencia natural de vibracin; vibracin T ; y,

que

S d es el desplazamiento espectral asociado al perodo de

C R el coeficiente que relaciona el desplazamiento mximo inelstico con el

desplazamiento mximo elstico y que tambin es igual a la relacin de

/R.

Los mtodos directos son aquellos que se derivan, del estudio dinmico de estructuras de 1 gdl ante varas acciones ssmicas, para encontrar la relacin entre el desplazamiento mximo inelstico y el desplazamiento mximo elstico. Uno de estos mtodos corresponde al

trabajo realizado por Miranda, que se present en el apartado anterior, quien denomin C a esta relacin. Antes de proceder con el estudio conviene demostrar la ecuacin ( 1.13 ), Vidic et al (1994).

o

Si en un sistema de 1gdl, cuando este supera el punto de fluencia Y, indicado en la figura 1.8, y si se contina con el anlisis elstico, llegara en un momento determinado hasta el punto E, que est asociado a la fuerza elstica F y al desplazamiento elstico . En lae e

figura 1.8 las rectas que unen el origen con el punto Y, y con el punto U, definen el modelo elasto perfectamente plstico en el cual ante la misma accin ssmica no se llega al punto E sino hasta el punto U que est asociado a la fuerza de fluencia F y y al desplazamiento .U

En otras palabras dado un sistema de 1 gdl en el cual se realiza un anlisis elstico ante una accin ssmica que se sabe va a producir dao en el sistema si se realiza un anlisis elstico se llega al punto E pero si se hace un anlisis inelstico se llega al punto U. Se define el factor R como la relacin entre la fuerza elstica con relacin a la fuerza de fluencia. La fuerza elstica no es ms que la masa multiplicada por la aceleracin de tal manera que:

R=

mSa FY

FY =a

mS

( 1.14 )

RPor otra parte, la pendiente de la que va del origen de coordenadas hasta el punto Y, es la rigidez K , de tal manera que K = F / pero deY la dinmica de estructuras se sabe Y

Yque

K = m 2 . De tal manera que: FY = K = m 2 Y

( 1.15 )

Figura 1.8 Modelo de Fuerza-Desplazamiento en la regla de Igual Energa.

Se sabe que la ductilidad

= U / donde

Y

, de

Y

= U /

Al sustituir esta

expresin en la ecuacin ( 1.15 ) y luego al igualar con la ecuacin ( 1.14 ) se tiene:

m

2

U

=a

mS

U =a

SR2

= S

Rd

= CR S d

R

Una vez que se ha demostrado la ecuacin ( 1.13 ) se presenta a continuacin los resultados del trabajo realizado por Nassar y Krawinkler (1991) quienes estudiaron la respuesta de sistemas de 1gdl ante 15 terremotos registrados en el estado de California, sobre suelo firme y aluvial. Del estudio realizado obtuvieron la siguiente expresin para el factor de reduccin de la fuerza ssmica, que ellos lo denominan, R .

R = [c ( 1) + 1]1 / c c(T , ) = Ta a

( 1.16 )

1+T

+

b T

( 1.17 )

donde

c es una funcin del perodo T y del cociente entre la rigidez post fluencia y rigidez

elstica que se ha denominado en la tabla 1.4.

. Los valores de a y b en funcin de la variable Tabla 1.4 Valores de a y b

se indican

a

b0.42 0.37 0.29

0.00 0.02 0.10 De tal manera que el factor (1991) resulta:

1.00 1.00 0.80

C R para los estudios realizados por Nassar y Krawinkler

CR =

[c (

1]

/ c1) + 1

( 1.18 )

CR

En la figura 1.9 se comparan las curvas que se obtienen al utilizar las ecuaciones de propuesto por Miranda (2000) y C propuesto por Nassar y Krawinkler (1991). Es valida

sta comparacin ya que en los dos casos trabajaron con sismos del estado de California. La comparacin se la va a realizar para el caso de = 0 , que corresponde al modelo elsto perfectamente plstico que fue con el cual se obtuvo C . A la izquierda de la figura 1.9 se presentan los resultados para

= 2 , y a la derecha para = 4 .

Figura 1.9 Comparacin de coeficientes C y

C R para ductilidades de 2 y 4.

C

En la figura 1.9 se aprecia una muy buena correlacin entre los valores obtenidos de y C R . Se destaca que C corresponde a un mtodo directo y que C R corresponde a un

mtodo indirecto, con los cuales se puede predecir el desplazamiento inelstico mximo que se espera en sistemas de 1gdl en funcin del desplazamiento mximo elstico.

1.6 ANLISIS DEL FACTOR C0En el Mtodo del Coeficiente de Desplazamiento, C 0 , es el factor de paso del sistema de 1 gdl., al sistema de mltiples grados de libertad, tambin conocido como factor de participacin evaluado en el tope del edificio, el mismo que se analiza en el presente apartado. Para el efecto se estudian dos trabajos el uno realizado por Miranda (1999) en que resuelve un sistema continuo conformado por una viga de flexin que est acoplada a una viga de corte, considerando seccin constante y el otro el estudio de Miranda y Reyes (2002) en que resuelven el mismo sistema continuo pero considerando seccin variable. Para el caso de seccin constante, Miranda (1999) encuentra en forma aproximada que el factor de participacin C 0 se evala con la siguiente ecuacin:

C0 =

j =1 N

N

j

( 1.19 )2 j

j =1

j = ( zj ) =donde

u ( zj ) u( H )

( 1.20 )

j

es la forma modal en el piso j, pero que no se calcula de un problema de valores y

vectores propios sino evaluando el desplazamiento lateral u ( zj ) en el piso j, ante un determinado patrn de cargas y normalizndolo con respecto al desplazamiento en el tope del edificio u ( H ) ; N es el nmero total de pisos, la variable z se mide desde la base del edificio y

H es la altura total del edificio.Para el caso de carga lateral actuando en el sistema continuo y para el comportamiento de una estructura que trabaja como una viga de flexin (edificios en base a muros de corte) a partir de las ecuaciones ( 1.19 ) y ( 1.20 ) se obtiene, en forma aproximada.

j C0 =j =1

N

N

N

j

j =1

N 2

N

N

j

j

2

j =1

j =1

N =

N2

Al reemplazar las sumatorias indicadas se tiene:

N (N + 1) 3N N C = N (N +21)(2 N + 1) = 2N + 1 0 2 6NDe tal manera que

( 1.21 )

C0 se puede evaluar nicamente en base al nmero de pisos N,

como se indica en la ecuacin ( 1.21 ) que fue obtenida por Algan (1982).

Miranda y Reyes (2002) resuelven el sistema acoplado de la viga de flexin con la viga de corte en funcin del parmetro adimensional 0 que se indica a continuacin:

0=Hsiendo

(GA0 ) (EI 0 )

( 1.22 )

GA0 la rigidez al corte y EI 0 la rigidez a flexin. Para edificios con muros de corte el

valor de

0

es menor a 2; para edificios con un sistema dual formado por muros de corte y

vigas y columnas el valor de

0 se

encuentra entre 1.5 y 6. Finalmente para edificios en base entre 5 y 20. La evaluacin de

a vigas y columnas, el valor de

0 est

C0 se realiza en forma

similar a la indicada para seccin constante pero con la solucin que presentan Miranda y Reyes (2002). En la figura 1.10 se presentan las curvas que se obtienen a partir de los resultados de Miranda y Reyes (2002), para seccin constante y para =2 que vendra a ser el lmite0

superior de edificios con muros de corte; para 0 = 5 que es el lmite inferior para el caso de edificios con vigas y columnas; para 0 = 10 que es un caso intermedio de edificios con vigas y columnas. En estos tres casos se ha considerado que la carga actuante es triangular. Se indica tambin lo que se obtiene con la propuesta de Algan y tambin se indica lo recomendado por FEMA 356 en el Mtodo del Coeficiente de los Desplazamientos. Se presentan las curvas hasta 10 pisos porque para un edificio de mayor nmero de pisos convendra analizarlo con un mtodo ms exacto como el Mtodo del Espectro de Capacidad. En la figura 1.10 se aprecia que la propuesta de FEMA se correlaciona bastante bien con los coeficientes que se obtienen de la ecuacin deducida por Algan. Para edificios menores a 5 pisos la curva obtenida para 0 = se aproxima bastante bien a

2las curvas halladas con FEMA 356 y Algan pero para edificios de ms de 6 pisos la curva reporta valores altos.

= 02

Al trabajar con los valores obtenidos para

0=5

se tendran valores bajos para

edificios menores a 5 pisos y luego valores similares a los de FEMA 356 y Algan para edificios entre 6 y 8 pisos y valores altos para edificios de ms de 8 pisos. En la tabla 1.5 se indican los valores que se hallan para 0 = 5 en funcin del nmero de pisos.

Piso

C0

Tabla 1.5 Valores de C 0 para edificios en base a vigas y columnas, para 1 2 3 4 5 6 7 8 1.00 1.06 1.15 1.24 1.32 1.38 1.43 1.48

=5 09 1.51

1 1.55

10

Figura 1.10 Comparacin de valores de

C0 .

1.7 ANLISIS DEL FACTOR C1En base a los estudios presentados en este captulo se concluye que el valor de = 1 recomendado por FEMA para Te es adecuado toda vez que para perodos largos

C1 T

el desplazamiento mximo inelstico es aproximadamente igual al desplazamiento mximo elstico. En consecuencia se cumple muy bien la regla de igual desplazamiento para Te T . Para

Te < 0.1 , FEMA-356 recomienda que C1 = 1.5 , ste valor parece adecuado e > 0.4 . Para estructuras con un valor de e 0.4 yse ha visto en los

para estructuras con un valor de

Te 0.1 se recomienda que C1 = . Independiente del valor de e

estudios presentados y en otros, se ha visto los resultados de sistemas de 1 gdl ante sismos de mltiples frecuencias, duracin moderada y sin pulsos largos que C1 = . De tal manera que es una buena opcin considerar

C1 = para el caso de e 0.4 para Te 0.1

Para el rango de valores de perodo efectivo entre 0.1 y

T

es muy adecuado la interpolacin lineal pero teniendo en cuenta el valor de para el caso de que e > 0.4 , caso contrario C1 = .

C1 para T = 0.1 , valdr C = 1.5 e 1

Se destaca que posteriormente en este libro se presentarn los resultados de una investigacin realizada por el autor de este texto con sismos registrados en Colombia, Per, Chile y Argentina en que se determina el parmetro

C1 .

1.8 ANLISIS DEL FACTOR C2Es muy escasa la informacin que proporciona FEMA-356 con relacin al factor

C2 ,

razn por la cual se recurre al trabajo desarrollado por Lee et al (1999), quienes estudiaron el comportamiento no lineal de un conjunto de sistemas de 1 gdl., ante 40 sismos registrados en Estados Unidos de Norte Amrica, Alaska, Mxico y el Salvador. El objetivo del estudio fue ver como influye en la respuesta no lineal cuatro parmetros que definen a los modelos de histresis. Estos parmetros se indican en la figura 1.11 y son:

1 que relaciona la rigidez inelstica con relacin a la rigidez elstica. 2 que sirve para definir el deterioro de resistencia. 3 que determina el deterioro de rigidez en la descarga. 4

que sirve para considerar el efecto de cierre de grietas.

De acuerdo a FEMA,

C2 , es un factor de correccin que considera el deterioro de

resistencia, deterioro de rigidez en la descarga y el efecto de cierre de grietas. Es decir no toma en cuenta el factor 1 . Lee et al (1999) en su estudio lo que hallaron fue en que porcentaje se incrementa o disminuye el factor de reduccin de las fuerzas ssmicas R debido al modelo de histresis pero como se vio en los Mtodos Indirectos al sacar la inversa se encuentra el factor de correccin con el que se obtienen los desplazamientos inelsticos. Por efecto del deterioro de resistencia el valor de R disminuye con relacin a los valores que se obtienen del modelo elasto perfectamente plstico. Los valores para diferentes valores de 2 se indican en la tabla 1.6. En la ltima columna de esta tabla se indica el valor promedio. Se aprecia que conforme se incrementa la ductilidad el valor disminuye. Tabla 1.6 Efecto de la degradacin de resistencia en R Ductilidad 2 3 4 5 6

2 = 3%98 97 96 95 95

2 = 6%96 94 93 91 91

2 = 9%94 92 90 88 87

2 = 12%91 89 87 85 84

Promedio 94.75 93.00 91.50 89.75 89.25

Ductilidad 2 3 4 5 6

3=499 99 99 99 99

Tabla 1.7 Efecto de la degradacin de rigidez en R

3=297 97 97 97 97

3 =194 94 94 94 94

3 = 0.591 91 91 91 91

Promedio 95.25 95.25 95.25 95.25 95.25 9

Figura 1.11 Modelos histerticos: (a) Bilineal; (b) Degradacin de Resistencia; (c) Degradacin derigidez en la descarga y (d) efecto de cierre de grietas.

En la tabla 1.7 se indica la variacin de R en funcin de la demanda de ductilidad y del parmetro

3

. Se observa que este parmetro no cambia con la ductilidad y como era de

esperarse mientras ms pequeo es

3

el factor R disminuye ms.

Tabla 1.8 Efecto del cierre de grietas en R Ductilidad 2 3 4 5 6

4 = 40%99 99 98 98 98

4 = 30%98 98 97 97 97

4 = 20%97 96 96 96 95

4 = 10%94 94 94 93 93

Promedio 97.00 96.75 96.25 96.00 95.75

En la tabla 1.8 se aprecia la variacin de R en funcin del parmetro

4

que

cuantifica el efecto de cierre de grietas que se produce cuando un elemento ingresa al rango no lineal y empieza a deformarse en sentido contrario.

Al obtener la inversa del producto de los valores promedios indicados en la ltima columna de las tablas 5 a 7 se encuentra el valor de C2 y se indican en la tabla 1.9 para diferentes valores de ductilidad.

Ductilidad

C2

2 1.14

Tabla 1.9 Valores propuestos del valor 3 4 1.17 1.19

C2 .5 1.22 6 1.23

1.9 ANLISIS DEL FACTOR C 3Con el propsito de entender mejor el efecto P y la curva de capacidad ssmica, se analiza un sistema de un 1 gdl., como el mostrado en la figura 1.12 en el cual debido a la aplicacin de una fuerza lateral F se genera en la base un corte basal V y la estructura se deforma . En la estructura deformada acta la carga vertical P que tiende a volcar aly

sistema con un momento igual a P h , siendo h la altura del sistema. Para contrarrestar este momento de volteo se necesitan un par de cortantes que en la figura 1.12 se han denominado V , y que tienen por magnitud: V = P y / h .

Figura 12 Efecto P en un sistema de 1 gdl.

En la figura 1.13 se presenta, el modelo bilineal, de la curva de capacidad ssmica resistente de ese sistema de 1 gdl., sin y con efecto P . Modelo propuesto por Gupta y Krawinkler (2000). Se ha denominado a la relacin entre la rigidez inelstica con relacin a la rigidez elstica K pero sin considerar el efecto P . Cuando se considera el efecto'

P el cortante de fluencia V y disminuye en una magnitud V y pasa el punto V y a V y

'

que vale

V y'' = (1 )K . Siendo el coeficiente de estabilidad de piso. y

Se aprecia tambin en la figura 1.13 el modelo bilineal de la curva de capacidad, para el sistema de 1 gdl., considerando el efecto P . La pendiente del rango inelstico vale

(

'

)

K , y la pendiente de la zona elstica

vale inelstico es negativa se presentar el colapso.

(1 )K .

Si la pendiente del rango

Numricamente se tiene:

V = V y V ' = K (1 yy

)

=

P h

y

P = Kh

K

y

La misma relacin se obtiene en base al tringulo rectngulo que aparece en el cuarto cuadrante del modelo indicado en la figura 1.13.

Figura 1.13 Modelo bilineal de curva de capacidad con y sin efecto P .

La rigidez K = V / . Al reemplazar este valor en el factor de estabilidad de piso se y y halla:y

= P y / V h . Lo importante de la deduccin numrica y del modelo presentado era

entender que el efecto P puede ser muy crtico en estructuras cuya rigidez post fluencia tiene un valor bastante bajo ya que al considerar el efecto P esta pendiente decae y se presenta el colapso. FEMA reconoce este problema y recomienda que si el valor de mayor a 0% la estructura no tendr problemas de P y se considera

es

C 3 = 1 . Se destaca

que es la relacin entre la rigidez inelstica con relacin a la rigidez elstica de la curva de capacidad ssmica. En el sistema de 1 gdl., se consider por facilidad el punto de fluencia para la

explicacin del efecto P pero se pudo haber considerado cualquier otro desplazamiento. Para sistemas de mltiples grados de libertad el factor de estabilidad de piso queda:

= i

Pi

i

Vi hi

( 1.23 )

donde el subndice i representa el piso; el tope del edificio; la ecuacin ( 1.8 )

Pi es la carga vertical actuante desde el piso i hasta

i es el desplazamiento relativo del piso i ; Vi es el cortante del piso i ; hi es la altura del entrepiso i . Para cada piso se debe evaluar i . Finalmente C 3 se evala con

1.10 PROPUESTA PARA ESTRUCTURAS CON VIGAS Y COLUMNASLuego del anlisis de los trabajos que se han presentado, sin considerar la investigacin realizada en la ESPE la misma que es presentada en los siguientes captulos, se recomienda para estructuras de hormign armado conformadas por vigas y columnas, proceder de la siguiente manera para encontrar el desplazamiento lateral mximo ante una accin ssmica definida por su espectro al utilizar el Mtodo del Coeficiente de Desplazamiento: i. Encontrar la curva de capacidad ssmica resistente en tres dimensiones de preferencia o en dos dimensiones. Existen programas como IDARC, DRAIN, SAP2000, Ruaumoko, CEINCI3, entre otros con los cuales se puede hallar esta curva aplicando la tcnica del pushover. Definir el modelo bilineal de la curva de capacidad ssmica resistente y determinar las coordenadas del punto de fluencia, la rigidez elstica, la rigidez inelstica, el valor de que relaciona la rigidez inelstica con respecto a la elstica y el perodo fundamental efectivo

ii.

P .

Te . Si el valor de menor a 0 tendr problemas de efecto

iii.

Con el valor de

Te se ingresa al espectro elstico y se determina el valor de S a . C0 se trabaja con los valores

iv.

En funcin del nmero de pisos determinar el coeficiente hallados para

0 = 5 . En el captulo 3 en base al anlisis de 60 estructuras, que

responden a la forma como se construye en el Ecuador, se ve que los valores reportados con la frmula de Algan se aproximan bastante bien a los valores hallados. Sin embargo en este captulo se trabaja con los valores indicados en la tabla 1.5. v. Determinar el factor

e que relaciona las fuerzas de capacidad y demanda ssmica. e= CY Sa/g = Vy/W Sa/gse tiene:

e 0.4 y Te 0.1 se recomienda que C1 = . Si e > 0.4Si

C 1 = 1.5 Te 0.1

Te < 0.1 C1 = 1.5 0 .5 T 0.1 0.1 Te < T C1 = 1Si

Te T *

e 0.4 y Te > 0.1 interpolar linealmente entre C1 = que es el valor para*

Te = 0.1 , y C1 = 1 que corresponde a Te = T . Lgicamente que se debe imponer unvalor de vi.

y calcular en forma iterativa.

Hallar el valor

C2 con la siguiente tabla.

Ductilidad

C2

2 1.14

3 1.17

4 1.19

5 1.22

6 1.23

Tabla 1.9 Valores de

C2

(Tabla ya presentada)

En forma preliminar el desplazamiento lateral mximo es igual al producto

C C S T 2 / 4 2 con lo que se puede establecer la ductilidad toda vez que se0 1 a e

conoce el desplazamiento de fluencia D . ty

vii.

S

> 0.0

el valor de

C3 = 1 . Caso contrario: C3 = 1 +

(R 1)3 / 2 Te

viii.

Se encuentra el Desplazamiento Lateral en el tope con la siguiente ecuacin.

Dt = C 0 C1 C 2 C 3 S a

T e2 4 2

La ecuacin reporta el valor mximo medio. Si a este valor se multiplica por 1.5 se tendr una cota superior del desplazamiento lateral mximo. De tal forma que es conveniente encontrar un rango de valores para Dt . ix. Con el valor medio de

Dt que reporta la ecuacin y con el valor mximo (multiplicado

por 1.5) se ingresa a la curva de capacidad resistente y a los archivos de resultados del programa utilizado en el anlisis con el pushover y se encuentra las secciones que van a ingresar al rango no lineal, la demanda de ductilidad por curvatura de sus elementos, los desplazamientos de cada uno de los pisos y las distorsiones de piso. En fin importante informacin que no ha sido tratada en este captulo pero que est detallada en Aguiar (2003).

1.11 EJEMPLO 1: DESPLAZAMIENTO LATERAL

Encontrar los desplazamientos laterales mximos de la estructura de cuatro pisos indicada, a la izquierda de la figura 1.14. Ante los cuatro eventos ssmicos mostrados a la derecha de la figura 1.14. Si la curva de capacidad ssmica resistente, en tres dimensiones, del modelo bilineal est definida por:

V y = 40 T .

Dty = 0.028 m.

K i = K e = 1409.8 T / m.

K p = 13.852 T / m.

= 0.0098

Figura 1.14 Estructura y sismos de anlisis. De los espectros de la figura 14 se tiene que

T = 0.5 s. que corresponde al punto

*

donde la aceleracin deja de ser constante. El anlisis no lineal esttico se lo realiz con el programa CEINCI3 descrito en Aguiar (2003) y entre otros resultados se obtuvo que el perodo de vibracin inicial es 0.31 s., y de acuerdo a los datos del problema se tiene:

Te = Ti = 0.31 s.Por ser estructura de 4 pisos el valor de

C 0 = 1.24 Para determinar C1 es

conveniente calcular

e , para ello se considera dato del problema que el peso W = 140.8 T . S a , e, C1 , C 2 , R, C 3 ,y producto de coeficientes e R C3 C 0 C1 C 2 C 3 C1 C21.238 1.475 2.425 2.900 1.14 1.14 1.19 1.22 1.469 2.057 3.403 4.431 1.0 1.0 1.0 1.0 1.750 2.085 3.578 4.387

Tabla 1.10 Valores de Sismo

(cm / s )2

Sa

Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

507.2 710.1 1176.0 1528.8

0.549 0.392 0.237 0.182

En la tabla 1.10 se indica: los cuatro sismos de anlisis, la aceleracin espectral que se encuentra para el perodo efectivo, el valor de e , se aprecia que nicamente para el sismo frecuente el valor es mayor a 0.4 y para los otros sismos el valor de tanto, para el sismo frecuente se tiene:

e es menor a 0.4 Por lo

C = 1.5 0 .5 Te 0.1 = 1.5 0 .5 0.31 1

0.1

= 1.238

T

0 .1

0.5 0.1 C1 , para elraro

sismo ocasional se considera

Para los otros sismos se debe imponer un valor de ductilidad para hallar

= 2,

para el sismo

=4Luego para el sismo ocasional se encuentra:

y para el muy raro

= 5.

C = 1.0 + 1 1 e

2 * + (T T ) = 1.0 1 *

(0.31 0.5) = 1.475

0.1 T

0.1 0.5

Al proceder de igual manera con los sismos raro y muy raro se encuentran los restantes valores de C1 que se indican en la tabla 1.10.

Por otra parte para las ductilidades indicadas los valores de

C2 son 1.14; 1.19; y 1.22.

El primer valor es para ductilidad igual a 2 . Se considera el valor 1.14 tambin para el sismo frecuente. Por ser el valor

>0% el valor de

C 3 = 1 de acuerdo a FEMA-356. Finalmente en la

tabla 1.11 se indican en la tercera columna los desplazamientos laterales que se obtienen al aplicar la frmula recomendada por FEMA. En la cuarta columna se hallan las ductilidades las mismas que se encuentran dividiendo el desplazamiento mximo para el desplazamiento a nivel de fluencia, para el rango elstico = 1 . Se considera que los valores iniciales de son bastante adecuados por lo que no se recalcula el valor de

C1 .

Tabla 1.11 Desplazamientos laterales mximos. Sismo

(cm / s )2

Sa

Dt(cm) 2.161 3.604 10.242 16.326

1.00 1.29 3.66 5.83

Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

507.2 710.1 1176.0 1528.8

Mtodo del Espectro de Capacidad (cm) 4.03 5.64 9.73 12.50

En la ltima columna de la tabla 1.11 se indica los desplazamientos que se obtienen con el Mtodo del Espectro de Capacidad, aplicando el programa CEINCI3, se aprecia que existe una buena correlacin con los desplazamientos obtenidos con el Mtodo del Coeficiente de Desplazamiento.

1.12 CONCLUSIONESSe ha presentado y analizado cada uno de los coeficientes que intervienen en el Mtodo del Coeficiente de Desplazamiento recomendado por la Agencia Federal para el Manejo de Emergencias, FEMA para encontrar el desplazamiento lateral mximo en el tope del edificio ante cargas ssmicas. En este estudio se dan recomendaciones, sobre algunos coeficientes del mtodo, para edificios de hormign armado conformados por vigas y columnas y se ha indicado una secuencia de clculo. Del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones:

Para estructuras en las cuales

e < 0.4 , los valores de C1 sugeridos por FEMA son

bajos para perodos Te < T * . Por este motivo se recomienda el clculo en funcin de la demanda de ductilidad para el rango indicado, con las ecuaciones presentadas. Una mejor aproximacin, a la recomendacin de FEMA para el clculo de

C2 , es la

presentada en la tabla 1.9 en que se obtiene este coeficiente en funcin de la demanda de ductilidad.

REFERENCIAS1. Aguiar R., (2003), Anlisis Ssmico por Desempeo, Centro de Investigaciones Cientficas. Escuela Politcnica del Ejrcito, 342 p, Quito. 2. Akkar D., and Miranda E., (2005), Statistical evaluation of approximate methods for estimating maximum deformation demands on existing structures, Journal of Structures Engineering, 131 (1), 160-172. American Society of Civil Engineers, (2000), Pre-standard and commentary for the seismic rehabilitation of buildings, FEMA 356, Federal Emergency Management Agency Washington, D.C.

3.

4. Algan B., (1982), Drift and damage considerations in earthquake resistan design of reinforced concrete buildings, Ph.D thesis, University of Illinois, Urbana. Illinois. 5. FEMA (1997), NEHRP provisions for the seismic rehabilitation of buildings, Federal Emergency Management Agency. Rep. FEMA 273 (Guidelines) and 274 (Comentary), Washington, D.C.

6. Gupta A., and Krawinkler H., (2000), Dynamic P-Delta effects for flexible inelastic steel structures, Journal of Structural Engineering, 126 (1), 145-154. 7. Lee L., Hang S., and Oh Y., ( 1999) , Determination of ductility factor considering different hysteretic models, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 28, 957977. 8. Miranda E., (1991), Seismic upgrading and evaluation of existing buildings, Ph.D.

thesis, Dept. of Civil. Engineering., University of California Berkeley, California. 9. Miranda E., (1999), Approximate seismic lateral deformation demands in multistory buildings, Journal of Structural Engineering, 125 (4), 417-425 10. Miranda E., (2000), Inelastic displacement ratios for structures on firm sites, Journal of Structural Engineering, 126 (10), 1150-1159. 11. Miranda E., (2001), Estimation of inelastic deformation demands of SDOF systems, Journal of Structural Engineering, 127 (9), 1005-1012. 12. Miranda E., Reyes C., (2002), Aproximate lateral drift demands in multistory buildings with nonuniform stiffness, Journal of Structural Engineering, 128 (7), 840-849. 13. Nassar A., and Krawinkler H., (1991), Seismic demands for SDOF and MDOF systems, John Blume Earthquake Engineering. Ctr. Dept. of Civil Engineering, Rep. 95, Stanford University, Stanford, California. 14. Newnark N., and Hall W., (1982), Earthquake Spectra and Design. Earthquake Engineering Research Institute, Berkeley, California. 15. Newmark N., and Rosenblueth E., (1971), Fundamentals of Earthquake Engineering, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J. 16. Shimazaki K., and Sozen M., (1984), Seismic drift of reinforced concrete structures Res. Rep., Hazama-Gumi Ltd., Tokio, Japan (in Japanese); and draft report (in English). 17. UBC (1997), Uniform Building Code, International Conference of Building Officials, ICBO, 3 Vol, Whittier, CA, USA.

18. Vidic T., Fajfar P., and Fischinger M., (1994), Consistent inelastic design spectra: Strength an Displacement, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 23, 507521. 19. Whittaker A., Constantinou M., and Tsopelas P., (1998), Displacement estimates for Performance-Based Seismic Design, Journal of Structural Engineering, 124 (8), 905912.

CAPTULO 2

DERIVA MXIMA DE PISORESUMENSe presenta un modelo para evaluar, en forma rpida, la deriva mxima de piso en edificios de hormign armado conformado por vigas y columnas, se analizan las variables que intervienen y se analiza el probable comportamiento que tendrn edificios de 1 a 10 pisos con demandas de ductilidad entre 1 y 4, situados en la zona de mayor peligrosidad ssmica del Ecuador y en cuatro perfiles de suelo. El modelo est orientado a la evaluacin de zonas urbanas.

2.1 ANTECEDENTESUna variable muy utilizada para correlacionar el dao de una edificacin ante terremotos es la deriva de piso correlacin. Si

. Por ejemplo, el comit VISION 2000 establece la siguiente

0.002

no hay dao en la estructura; si 0.002