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6 Ondas acsticas 1 0 7

6 Ondas acsticas

6.1 Ondas longitudinales en un medio elstico lineal

Estudiemos, con un cierto detalle, las ondas elsticas que se propagan en un gas debido a variacionesde presin. Consideremos un tubo de seccin recta constante y reaA, que contiene el gas.

dx

dx+ds

Ox

x+s

equilibrio

perturbado

t

t + dt

Fig. 6.1

Sean p0 y 0 la presin y la densidad, en condiciones de equilibrio, y consideremos que todas laspartculas de una seccin recta sufren el mismo desplazamiento con la perturbacin.Al variar la presin el elemento de volumen Adx, figura 6.1, se desplaza de tal forma que la carasituada enx va ax+s y la situada enx+dx va ax+s+dx+ds, variando pues el espesor. Como la masadebe conservarse

M= 0A dx = A (dx + ds)

siendo la densidad del gas perturbado. Simplificando podemos escribir

0 = ( )1 + s

x

en donde se ha escrito derivada parcial ya que s es no slo funcin dex sino tambin una funcin deltiempo. Si escribimos = 0 + , tenemos

= ( 0+ ) ( )1 + sx = 0 + 0sx + + sx

los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en lasleyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplarede ella mediante alquiler o prstamo pblicos, as como la exportacin e importacin de ejemplares para su distribucin y venta fuera del mbito de la Unin Europea.

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1 0 8 Oscilaciones y ondas

despreciando el ltimo trmino frente a los dos anteriores, ya que ambos factores son generalmentepequeos, y simplificando 0

= 0sx

(6.1)

As la variacin de presin provoca una variacin de densidad de la que hemos determinado la ecuacin6.1. Por otra parte, la presin est relacionada con la densidad mediante una ecuacin, p =p(), querecibe el nombre de ecuacin de estado, que no concemos; a pesar de ello, como quiera que lasvariaciones de densidad son pequeas, podemos imaginar la funcin desconocidap =p() desarrolladaen serie de Taylor, en torno a la posicin de equilibrio = 0, y quedarnos con la aproximacin lineal

p = p0 + ( )p 0Veamos una expresin alternativa a la derivada que aparece. Como M= V, diferenciando

0 = dV+ Vd

de donde

-dV

V=

d

El mdulo elstico para un gas es el mdulo de compresibilidad B, que relaciona el esfuerzo(sobrepresin) y la deformacin (variacin unitaria de volumen), y por lo tanto tambin la variacinunitaria de densidad

B = - V0( )p

V 0 = 0( )p

0 (6.2)

de donde podemos escribir

p - p0 =B

0 (6.3)

que relaciona la presin y la densidad en cualquier punto y que con la ecuacin 6.1 nos permite escribir

p - p0 = -Bsx

(6.4)

que relaciona la presin en cualquier punto con la deformacin.Aadiendo la ecuacin de movimiento obtenida aplicando la segunda ley de Newton a la masa, 0Adx ,

mostrada en la figura 6.2

p p+dp

Fig. 6.2

los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.

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tenemos

-A dp = 0A dx2s

t2

que podemos escribir

-px = 0

2st2

(6.5)

que relaciona el campo de presiones y el de desplazamientos.Para obtener la variacin con el espacio y el tiempo de s, p, o basta eliminar las otras variables.As, derivando la ecuacin 6.4 respecto a x:

px = -B

2sx2

y sustituyendo en 6.5B

2sx2

= 02st2

(6.6)

obteniendo una ecuacin de onda. De lo que se concluye que el desplazamiento producido por laperturbacin de la presin se propaga segn el modelo ondulatorio a una velocidad

v = B0 (6.7)Para obtener la propagacin de la perturbacin de la presin, derivemos la ecuacin 6.4 dos vecesrespecto al tiempo

2pt2

= -B 3st2x

y la ecuacin 6.5 una vez respecto ax

2px2

= 03s

xt2

de donde2pt2

=B

02px2

(6.8)

ecuacin de propagacin de la onda de presin que se desplaza, obviamente, a la misma velocidad quela onda de desplazamiento.Como la ecuacin constitutuva 6.3 indica la existencia de una proporcionalidad entre p y encualquier punto, podemos escribir directamente

2t2

=B

02x2

(6.9)


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La ecuacin 6.4 nos permite relacionar la onda de desplazamiento y la de presin. Si suponemos unaonda armnica de desplazamiento:

s = s0cos(kx - t)

o bien

s = s0ej(kx - t)

entonces

sx = jks0e

j(kx - t)

y

p = - B sx= -jBks

es decir, la onda de presin oscila alrededor de su valor de equilibriop0, con una amplitud

pmax = Bks0 = v20ks0 = v0s0 (6.10)

Observemos, tambin, que la presin acstica, p, est retrasada /2 respecto a la onda dedesplazamiento elstico. As, el mximo desplazamiento corresponde a un nodo de presin.

6.2 Impedancia. Intensidad

Para determinar la impedancia caracterstica de una onda plana sonora, calculemos la velocidad dedesplazamiento de las partculas, u:

u =st

= - js = k

pB

=v

Bp

y de la definicin de impedancia

pu

=B

v= 0v = Z (6.11)

Para el aire en condiciones normalesZ = B0 = 427N/m2

m/s.

La potencia transmitida por la onda es

P = F.u = Ap.u = Au2Z

En lugar de la potencia, se acostumbra a definir la intensidad de una onda o energa que, transportadapor la onda, atraviesa la unidad de superficie en la unidad de tiempo Para una onda armnica:


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I =

A

= Z =12

Z2s02 =12

02s02v = v

donde =12

02s02 es la energa media por unidad de volumen.

Ejercicio 6.1 ............................................................................................................La intensidad de una onda sonora, de frecuencia 500 Hz que se propaga por el aire es de 1,0 mW/m 2a) Cul es la amplitud de las vibraciones producidas?.b) Cul es la amplitud de la onda de presin?.Otra onda, de igual intensidad, se propaga en el aguac) Qu amplitud tiene la onda de presin?.

R:

a) 2,2 m, b) 2,9.10-2 Pa, c) 1,7 Pa...........................................................................................................

6.3 Reflexin de una onda de presin

Nos planteamos de nuevo el problema de qu sucede cuando una onda progresiva llega a la superficiede separacin entre dos medios de impedancias distintas y, por lo tanto, en los que las condiciones depropagacin son distintas. Estas condiciones pueden darse, en el caso de las ondas elsticas que sepropagan en un gas, si a partir de una seccin recta del tubo considerado cambia la temperatura del gas,o cambia el tipo de gas, de tal forma que cambian densidad, 0, y velocidad de propagacin, v, de laonda. Aunque el tratamiento del problema es anlogo al estudiado en el caso de la cuerda, lorepetiremos paso a paso.Consideremos una onda de presin armnica que se propaga en el sentido positivo de las x; hacemoscoincidir el origen de coordenadas con la separacin entre los dos medios, como se muestra en la figura

6.3.

1

v1

2

v2

Ox

Fig. 6.3

De la definicin de impedancia, ecuacin 6.11, deber cumplirse

Z1 = 1v1 =

p1

u1

x 0y

Z2 = 2v2 =

p2

u2x 0

adems, la continuidad del gas implica que, enx = 0


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(p1)x =0 = (p2)x =0 (6.12)

y la ausencia de fuentes o sumideros de gas en x = 0 exige que el flujo de gas, Au, tenga el mismovalor a uno y otro lado de la frontera, as deber cumplirse

(Au1)x =0 = (Au2)x =0 (6.13)

estas condiciones nicamente se pueden cumplir si Z1 =Z2 . En caso contrario no resulta admisible laexistencia de una nica onda progresiva; es necesario complicar la solucin admitiendo que no setransmite toda la onda incidente del medio 1 al medio 2, sino que hay tambin una onda reflejada por ladiscontinuidad que separa los medios. Esta onda se propaga en el medio 1, en el sentido negativo de las

x, superponindose a la onda incidente, por lo tanto

p = AIej(t - kx ) + ARej(t + kx )

Utilizando la ecuacin 6.5

-px = 0

2st2

= 0ut

obtenemos

u1t

= -11

px

=jk

1[AIej(t - kx ) - ARej(t + kx ) ]

de donde

u1(x, t) =k

1[AIej(t - kx ) - ARej(t + kx ) ]

y enx = 0 ,se tiene

p1

u1x=0

=A Iejt +A R ejt

k

1[AIejt -ARejt]

= Z1A I+ ARA I- A R

Enx > 0 se propaga nicamente la onda transmitida de la que aceptamos que tiene la misma frecuenciaque la onda incidente (as ser para los medios lineales, nicos que aqu consideramos). Satisfar

p2u2

x

0

= 2v2 = Z2

por lo que las condiciones de frontera quedarn satisfechas siempre que

Z1 A I+ ARA I- A R

= Z2 (6.14)


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o lo que es equivalente, existir una onda reflejada de presin cuya amplitud ser

AR = AIZ

2- Z

1Z2 +Z1 = rAI (6.15)

La amplitud de la onda reflejada es tanto mayor cuanto mayor es el desajuste entre las dos impedancias.Inversamente, si se desea evitar reflexiones hay que adaptar las impedancias de los dos medios. Laonda de presin se refleja sin cambio de signo (fase) al incidir sobre un medio de impedancia infinita,como el extremo cerrado de un tubo; las presiones de las dos ondas, la incidente y la reflejada, sesuman en el extremo cerrado dando el doble de lo que habra si continuara el tubo. Se observa que elcoeficiente de reflexin de amplitud, r, para la onda de presin es opuesto al obtenido para la ondatransversal en la cuerda. En la figura 6.4 se muestra la dependencia de los coeficientes de reflexin, r, ytransmisin t= 1+r, con el cociente de impedancias.

2 4 6 8

-1

1

2

t

r

x

Fig. 6.4 Grfica de los coeficientes de reflexin, r y de transmisin, t de amplitud en funcin

del cociente de impedancias, x =Z2Z1

Como el coeficiente de reflexin de la energa es R = (r)2 , el comportamiento de las ondas acsticases igual que el de las ondas transversales en la cuerda, desde el punto de vista de reflexin ytransmisin de la energa.En la tablas 6.1 se muestran los coeficientes de reflexin y transmisin de amplitudes e intensidadespara ondas transversales en una cuerda y para ondas acsticas en un fluido.

Tabla 6.1.a Coeficientes de reflexin y transmisin de amplitudes e intensidades parael caso Z2

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Tabla 6.1.b Coeficientes de reflexin y transmisin de amplitudes e intensidades parael caso Z2 >>Z1

Onda r t R T

trans.cuerda -1 0 1 0acstica 1 2 1 0

6.4 Ondas sonoras. Velocidad de fase del sonido

Hemos obtenido v = B

0, donde el mdulo de compresibilidad viene dado por la ecuacin 6.2. Ensus investigaciones sobre el sonido, Newton supuso que las fluctuaciones de presin ocurranisotrmicamente (a temperatura constante). Por medio de la ley de Boyle podemos, segn esahiptesis, calcular (dp/dV)0 y de ah la velocidad del sonido. Para condiciones normales este clculonos dara un valor de la velocidad del sonido en el aire de 280 ms -1 , muy alejado del valorexperimental (aproximadamente 330ms-1). Sabemos que el tiempo de cambio entre posiciones decompresin y rarififaciones es demasiado rpido para que pueda haber intercambio de calor entre masasadyacentes de gas. Por lo tanto la temperatura fluctuar. La termodinmica demuestra que en unproceso sin intercambio de calor, o adiabtico, la relacin entre la presin y el volumen es:

pV= constante

donde es igual a la relacin entre calores especficos a presin y volumen constantes. Valor quesupondremos constante para un gas; para el aire en condiciones normales = 7/5. Podemos calcular lavelocidad de la onda acstica en el aire considerndo su propagacin como un proceso adiabtico, como

dp

dV= - p0V

0V--1

y en el equilibrio, con V= V0, tenemos

B = - V0( - p0V0

V0--1) = p0 (6.16)

y tomando 0 = 1,29 kg m-3, en condiciones normales de presin y temperatura

v = B0 = p 00 = 331 m/sms de acuerdo con el valor experimental, por lo que adoptaremos un modelo adiabtico para lasfluctuaciones de presin que acompaan a una onda sonora en el aire.


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6.5 Audicin. Nivel de intensidad

El oido humano medio tiene un umbral de audicin que vara fuertemente con la frecuencia. A lafrecuencia de 1kHz esI0=10-12 W/m2mientras que el umbral doloroso es 100W/m2 . El oido percibe,pues, un rango enorme de intensidades doce rdenes de magnitud!.A la intensidad fsica de la onda sonora armnica le corresponde una sonoridad percibida por la persona,la correlacin entre intensidad y sonoridad es tal que a intervalos iguales de sonoridad percibida lecorresponden, aproximadamente, mltiplos iguales de intensidad.Esta razn y la gran amplitud de valores de la intensidad, hacen adecuado medir la intensidad medianteel nivel de intensidaddel sonido definido as:

= 10 logI

I0(6.17)

dondeI0 corresponde al umbral de audicin a 1kHz. Aunque es adimensional se le asignan unasunidades denominadas decibelio, dB, en honor de A.G.Bell.A los valores extremos deI, a 1kHz les corresponde:

(10-12Wm-2) = 0 , y (100 Wm-2) = 120 dB

mientras que una conversacin estar en torno de los 50 dB. Por otra parte la discriminacin entreintensidades es mayor que 1 dB.

Ejercicio 6.2 ...........................................................................................................a) El odo es sensible a frecuencias sonoras en el margen comprendido entre 20 Hz y 20000 Hzaproximadamente. Cules son las longitudes de onda en el aire correspondientes a dichas frecuencias?,y en el agua? (vprop.agua=1485 ms-1).b) La nota do mayorde la escala musical tiene una frecuencia de 262 Hz, cul es la longitud de ondade esta nota en el aire?.c) El ojo es sensible a ondas electromagnticas cuyas longitudes de onda estn en el margencomprendido entre 4.10-7m y 7.10-7m aproximadamente, cules son las frecuencias correspondientesa estas ondas luminosas?.d) Frecuencias tpicas de ondas electromagnticas de radio son: 100 kHz en el caso de AM y 100 MHzpara FM. Calcular las longitudes de onda correspondientes a estas frecuencias. (Todas las ondaselectromagnticas se mueven a la velocidad de la luz).

Ejercicio 6.3 ...........................................................................................................Una persona de buen oido puede percibir 2,0.10-3 Pa a 100 Hz:a) Cul es la amplitud de desplazamiento que corresponde?.A esta frecuencia la amplitud de la onda de presin del sonido tolerable ms intenso es de unos 20 Pa:

b) Cul es el desplazamiento correspondiente?.c) Calcular las intensidades para ambos umbrales.

R :

a) 7,4.10-9 m, b) 7,4.10-5 m, c) 4,6.10-9 Wm-2, 0,46 Wm-2...........................................................................................................


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Ejercicio 6.4 ...........................................................................................................

a) Cul es el nivel de intensidad, en decibelios, correspondiente a una onda sonora de intensidad1,0.10-10 W.m-2 ?b) Y a una onda de intensidad 1,0.10-2 W.m-2 ?c) Qu fraccin de potencia acstica de un ruido deber eliminarse para disminuir su nivel deintensidad sonora de 90 a 70 dB?

R :a) 20 dB ; b) 100 dB ; c) 99 %

Ejercicio 6.5 ...........................................................................................................

Una cuerda de piano afinada a la frecuencia de 440 Hz (nota la), puede quedar modelizada como un

oscilador de Q = 1600. Al pulsar la tecla de esta nota un espectador percibe una intensidad sonora de65dB; a esta frecuencia el nivel mnimo audible es de 8dB.Estimar el tiempo durante el cual el espectador oir la nota.

R :t 8s

...........................................................................................................


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7 Ondas electromagnticas 117

7 Ondas electromagnticas

7.1 Ondas electromagnticas en el vaco

Las ecuaciones de Maxwell suponen una descripcin completa de los campos elctrico y magntico yvamos a ver que se pueden combinar originando dos ecuaciones diferenciales de onda, una para elcampo elctrico y otra para el magntico. Esta combinacin podemos hacerla partiendo de lasecuaciones de Maxwell escritas en forma integral o en forma diferencial.

Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial

Ley de Gauss para el campo elctrico .E = 0Ley de Gauss para el campo magntico .B = 0

Ley de Faraday-Henry E = - Bt

Ley de Ampre-Maxwell B = ( )j+EtPara el caso particular del vaco, ausencia de cargas y corrientes, = 0, j= 0, = 0 y =0, estasecuaciones quedan de la forma

Ley de Gauss para el campo elctrico .E = 0Ley de Gauss para el campo magntico .B = 0


Ley de Ampre-Maxwell B = 00Et

El operador es un operador en derivadas espaciales primeras y las derivadas temporales queaparecen tambin son primeras derivadas, por lo tanto si las ecuaciones de Maxwell deben dar unaecuacin de onda, necesitamos introducir derivadas segundas respecto a las variables. Para ello

tomemos rotacional en la ecuacin de la ley de Ampre-Maxwell

(B) = ( )00Et (7.1)el doble producto vectorial del primer miembro se puede transformar recordando la igualdad vectorial


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118 Oscilaciones y ondas

a(bc) = (a.c)b - (a.b)c

as

(B) = (. B) - 2B = - 2B (7.2)

en donde se ha tenido en cuenta la ley de Gauss para el campo magntico , .B = 0. En el segundomiembro de la ecuacin 7.1 podemos substituir el rotacional del campo elctrico por la derivadatemporal del campo magntico con el signo cambiado, como dice la ley de Faraday, as

( )00Et = 00 Et = 00 t( )-Bt (7.3)volviendo a igualar los dos miembros tras las transformaciones dadas por las ecuaciones 7.2 y 7.3tenemos

2B = 00 B2

t2

que tiene la forma de la ecuacin diferencial de onda. Podemos seguir un camino anlogo paraencontrar que el campo elctrico tambin da lugar a una ecuacin de onda. Tomando rotacional en laley de Faraday

( E) = - t (B)

el rotacional de B del segundo miembro puede sustituirse por su equivalente dado por la ley deAmpre-Maxwell

( E) = -00 E2

t2

y como ( E) = (. E) -2E = - 2E , ya que por la ley de Gauss del campo elctricoen el vaco . E = 0, tenemos la ecuacin diferencial de onda para E

2E = 00E2

t2

7.2 Ondas electromagnticas planas polarizadas en el vaco

Independientemente de lo anterior, consideremos que las ecuaciones de Maxwell admiten como

solucin particular un campo elctrico y un campo magntico perpendiculares entre s. Veremos queesta solucin corresponde a ondas electromagnticas planas transversales, con E y B perpendicularesa la direccin de propagacin.Tomemos un sistema de refencia en el que E y B sean de la forma

E =E(r,t)j ,, B =B(r,t)k


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y veamos si estos campos satisfacen las ecuaciones de Maxwell en el vaco.Como E slo tiene componente segn el ejey y, por la ley de Gauss, debe cumplir que su divergenciasea nula, debe cumplirse

.E = yj.Ej =Ey = 0

y por lo tantoE(r,t) debe ser independiente dey , o sea de la formaE(x,z,t).Anlogamente de la ley de Gauss para el magnetismo

.B = zk.B k =Bz = 0

y por lo tanto B(r,t), de la formaB(x,y,t).Como E y B deben satisfacer la ley de Faraday

E = j = - Ez i + Exk - Btk

debe, por una parte, cumplirse

Ez

= 0

y por lo tantoE(r,t) debe ser de la formaE(x,t). Y de la igualdad de componentes segn k

Ex

= -Bt

(7.4)

Anlogamente, de la ley de Ampre-Maxwell

B = B k = Byi -Bxj = 00

Etj

de donde

By

= 0

y por lo tantoB(r,t) ser de la formaB(x,t). Y de la igualdad de componentes segn j

-Bx

= 00Et

(7.5)

Derivando la ecuacin 7.4 respecto dex y la ecuacin 7.5 respecto de t y combinando los resultadosse tiene que E(x,t) debe satisfacer

2Ex2

= 002Et2

(7.6)


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Obtendramos una ecuacin diferencial de onda semejante para B , derivando la ecuacin 7.4 respectode ty la ecuacin respecto dex y combinando los resultados de forma adecuada.De la ecuacin de onda 7.6 obtenemos que el campo elctrico se propaga en la direccin del eje x avelocidad c

c =1

00y se puede expresar como

E(x,t) =E(x - ct)

Un tipo particular de estas funciones, solucin de la ecuacin diferencial 7.6, es la de una ondaarmnica que podemos escribir

E =E0 cos(kx - t)j (7.7)El campo magntico queda determinado, salvo una constante, a partir de la ecuacin 7.4 , o de la 7.5,as

Bz =B(x,t) = - Exdt =E0k sen(kx -t)dt =E0k cos(kx - t) = B0cos(kx - t)con

cB0 =E0 (7.8)

siendo c = /k la velocidad de fase de la onda . La constante de integracin no se ha escrito ya querepresenta un campo independiente del tiempo y, por lo tanto, sin carcter ondulatorio. Podemos

escribirB =B0 cos(kx - t) k

Si la onda elctrica se propaga hacia la izquierda vendr representada por E =E0 cos(kx +t)j . Elclculo del campo magntico nos dara B = - B0 cos(kx + t) k Resumiendo, comoE yB difierensolamente en el escalar c y tienen la misma dependencia del tiempo, E y B estn en fase en todos lospuntos del espacio vaco, son perpendiculares entre s y la direccin de propagacin es la del vectorEB.

x

y

z

x

y

z

E

B

c

E

B

c

a) b)

Fig. 7.1 Onda plana elecromagntica propagndose: a) segn +x y b) segn -x


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La onda descrita por la ecuacin 7.7 se dice que es una onda polarizada linealmente; estcaracterizada por el hecho de que el vector E est siempre en un plano, en este caso elxy .

y

z

y

z

E E

y

z

E

a) b) c)

Fig. 7.2 Vector campo elctrico en una onda plana: a) polarizada linealmente,b) polarizada circularmente y c) polarizada elpticamente

En general, una onda plana que se propaga en la direccin x puede considerarse como superposicinde dos ondas polarizadas linealmente en direcciones perpendiculares; si estn en fase y la relacinentre amplitudes permanece constante la onda est polarizada linealmente, si entre ambas hay unadiferencia de fase constante y tienen diferentes amplitudes se dice que la onda plana est polarizadaelpticamente ; si las amplitudes son iguales y la diferencia de fase es /2 se dice que la onda planaest polarizada circularmente. En general

E =E0y cos(kx - t+1)j +E0z cos(kx - t+2) k

con 2 - 1 = constante. Si 2 - 1 = 0 y E0z/E0y = constante, E est siempre sobre la misma rectasoporte, figura 7.2.a. Si E0y =E0z y la diferencia de fase es /2, E gira en el planoyz descibiendo uncrculo, figura 7.2.b; si E0y E0z , E describe una elipse, figura 7.2.c.

Ejemplo 7.1 _______________________________________________________________

Una onda electromagntica plana polarizada linealmente se propaga, en el vaco, en el sentidopositivo del eje de lasz . La amplitud del campo elctrico es Ex= 10 Vm-1 y su longitud de onda 30m.a) Determinar la frecuencia de la ondab) Escribir las expresiones correspondientes a los campos vectoriales elctrico y magntico

Solucina) La longitud de onda y la frecuencia de la onda estn relacionadas, para una onda planapropagndose en el vaco, por

f=

c

as

f=3.108

30= 107 Hz = 10 MHz

b) El nmero de onda k , valdr


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k=2 =

230

= 0,21 m-1

y la expresin del campo elctrico ser

E = 10cos(2.107t - 0,21z + )i

Como la onda se propaga segn +z y el campo elctrico oscila segn x , el campo magntico lo harsegn y. Las amplitudes de los campos electrico y magntico estn relacionadas segn la ecuacin7.8, cB0 =E0 y por lo tanto la expresin del campo magntico ser

B = 3,3.10-8cos(2.107t - 0,21z + )j________________________________________________________________

Ejercicio 7.1 .................................................................................................................................Una onda electromagntica plana polarizada linealmente se propaga, en el vaco, en el sentidopositivo del eje de las z . La frecuencia de la onda es 1,2 GHz y el campo elctrico est orientadosegn x , alcanzando un valor mximo de 100 Vm-1 en t= 0 y z = 0,25 m. Escribir las expresionescorrespondientes a los campos vectoriales elctrico y magntico.

R:

E = 100cos(24.108t - 8 .z + 2)i; B = 3,3.10-7cos(24.108t - 8 .z + 2)j.................................................................................................................................

7.3 Desde las ecuaciones de Maxwell en forma integral

Para aquellos lectores que no estn familiarizados con la forma diferencial de las ecuaciones deMaxwell llegaremos, ahora, a las ecuaciones de onda partiendo de dichas ecuaciones en forma

integral, que recordamos a continuacin

Ecuaciones de Maxwell en forma integral

Ley de Gauss para el campo elctrico EdA =1

0

dv \

Ley de Gauss para el campo magntico BdA = 0

Ley de Faraday-Henry Edl = B

t dA

Ley de Ampre-Maxwell Bdl = 0 jdA

+ 0

E

tdA

Simplificaremos el problema puesto que conocemos el resultado buscado; recordemos: pretendemosestablecer la compatibilidad de la existencia de ondas planas electromagnticas, propagndose en elvaco, con las ecuaciones de Maxwell. Por ello no nos interesa la presencia o no de ningn campo


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constante; aceptando que la direccin de propagacin de las ondas planas es la del eje x los campospueden escribirse en la forma

E = E(x,t) y B = B(x,t)

que deben ser compatibles con las ecuaciones de Maxwell en el vaco

Ley de Gauss E dA = 0 (7.9)

Ley de Gauss para el campo magntico BdA = 0 (7.10)

Ley de Faraday E dl = B

t dA (7.11)

Ley de Ampre-Maxwell Bdl = 0 0 E

t dA (7.12)

Empecemos imponiendo al campo elctrico, E = E(x,t), la obligacin de cumplir con la ley de Gaussdada por la ecuacin 7.9. Tomemos como superficie de integracin, o superficie de Gauss, elparaleleppedo x y z de la figura 7.4

y

z

x

y

x

z

Fig. 7.4

deber cumplirse

readelparaleleppedoE.dA) = 0

Para el clculo de la integral hemos separado las seis caras en tres pares; para el par de la figura 7.5.a,el campo tiene el mismo valor, Ez(x,t) k , al ser independiente de z y los vectores diferenciales desuperficie son:


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y

z

x

y

z

x

y

z

x

Fig. 7.5.a Fig. 7.5.b Fig. 7.5.c

dA1 = - dx dy k para la cara posterior de la figura y dA2 = dx dy k para la anterior. El flujo a travs delas dos caras ser

1 + 2 = readelacaraEz(x,t)kdA1+ readelacaraEz(x,t)kdA2 = 0

ya que 1 y 2 son iguales y de signo contrario.De manera anloga para las dos caras de la figura 7.5.b el campo tiene el mismo valor,Ey(x,t)j, al serindependiente de y ; los vectores diferenciales de superficie son dA3 = dx dz j para la cara superior dela figura y dA4 = - dx dz j para la inferior. El flujo a travs de las dos caras ser

3 + 4 = readelacara

Ey(x,t)j.dA3 + readelacara

Ey(x,t)j.dA4 = 0

Para las dos caras de la figura 7.5.c tenemos: para la de la izquierda un vector diferencial de superficiedA5 = - dy dz i y un campo,Ex(x,t) i; para la cara de la derecha dA6 = dy dzi yEx(x+dx,) i ; el flujo

5 + 6 = reacara

Ex(x,t) i.dA5 + reacara

Ex(x+dx,t) i.dA6 = 0

que debe ser nulo por aplicacin de la ley de Gauss a todo el paraleleppedo. Haciendo el productoescalar y como Ex es independiente dey y dez pueden salir de las integrales

- Ex(x,t) reacara

dydz +Ex(x+dx,t) reacara

dydz = [- Ex(x,t) + Ex(x+dx,t)] reacara

dydz =0

simplificando el rea de la cara tenemos que la aplicacin de la ley de Gauss obliga a que

- Ex(x,t) + Ex(x+dx,t = 0

lo que significa queEx no depende dex por lo que el campo elctrico ondulatorio ser

E(x,t) = Ey(x,t)j + Ez(x,t) k

es decir es transversal, no tiene componente en la direccin de propagacin.


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Igualmente, usando la ley de Gauss para el campo magntico, ecuacin 7.9, obtendramos que elcampo magntico ondulatorio ser

B(x,t) = By(x,t)j +Bz(x,t) k

Para seguir vamos a tomar el eje y en la direccin de E y, como hiptesis simplificadora, supongamosque es as en cualquier instante E (x,t) = Ey(x,t)j; tipo de onda que se denomina onda polarizadalinealmente. Tomada esta opcin debemos determinar cul es ahora la direccin de B ; Para elloaplicaremos la ley de Faraday, ecuacin 7.10, tomando como camino de circulacin de E elrectngulo

y

z

x

E

fig. 7. 6

xz de la figura 7. 6, que tiene indicado el sentido de circulacin con arreglo al avance de un tornillosegn el sentido positivo del eje y ( o segn la regla de la mano derecha si prefiere). Como cualquier

desplazamiento a lo largo de este camino es perpendicular a E tenemos Edl = 0 por lo tanto segnla ley de Faraday

Bt dA= ddt B.dA= ddt Bydxdz ddt[By xz] = [ xz] Byt = 0

dondeBy, de fuera de la integral, es el valor en el centro del rectngulo; la aproximacin ser mejorcuanto ms pequeo sea el rectngulo. As pues la componente y del campo magntico ondulatorio esnula, como tambin lo es la x, segn la ley de Gauss ; el campo magntico ondulatorio es de la forma:B(x,t) =Bz(x,t)k, ortogonal a E.

1

2

34

y

z

x

camino y sentido

de circulacin

E (x) E (x+dx)

B

fig. 7. 7


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Si aplicamos la ley de Faraday, tomando como camino de circulacin de E el rectngulo xy de lafigura 7.7 tendremos, para el primer miembro

OE.dl = 12341

E.dl = 12

E.dl + 23

E.dl + 34

E.dl + 41

E.dl

la contribucin a la circulacin de los tramos 12 y 34 es nula ya que en ambos E y dl sonperpendiculares. En el tramo 23, dl = dyj , y en el 41, dl = - dyj por lo que podemos valorar lacirculacin a lo largo del camino cerrado como

23Ey(x+x,t)dy -

41Ey(x,t)dy = [Ey(x + x,t) - Ey(x,t)]y

donde las Ey se han podido sacar fuera de las integrales porque son funciones independientes dey . Sipodemos considerar x pequeo, entonces

Ey(x + x,t) - Ey(x,t) = Ey(x+x,t)-Ey(x,t)x x Eyx

x

y por lo tanto

OE.dl Eyx

x y

El flujo del campo magntico a travs de la superficie limitada por el anterior camino de circulacines Bzx y donde el campo magntico sera el del centro del rectngulo. Substituyendo en la ley deFaraday, tenemos

Ey

xx y -

Bz

tx y

la aproximacin es mejor cuanto ms pequeo es el rectngulo; en el lmite

Eyx

= -Bzt

(7.4.bis)

Nos falta saber la dependencia entre la variacin temporal de E y la espacial de B , es decir lasimtrica a la ecuacin 7.4. Impongamos a estos campos oscilantes la condicin de satisfacer laltima de las ecuaciones de Maxwell , la ley de Ampre-Maxwell que en el vaco viene dada por laecuacin 7.12. Como el proceso a seguir es anlogo al que acabamos de recorrer, lo haremosesquemticamente. La circulacin de B la calcularemos para el rectngulo de la figura 7.6

todoelrectngulo

B.dl = -Bz(x+x,t)z + Bz(x,t)z = - ( )Bz(x+x,t)-Bz(x,t)x x z - Bzx x z

El flujo del campo elctrico a travs de la superficie limitada por el camino de circulacin esaproximadamenteEyx z donde el campo elctrico sera el del centro del rectngulo. Substituyendo


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en la ley de Ampre-Maxwell

-B

zx x z 00Eyt . xz

y en el lmite

-Bzx

= 00Eyt

(7.5.bis)

Las dos ltimas ecuaciones numeradas son las mismas que las de igual nmero, sin bis, y conducen ala ecuacin de onda 7.6.

7.4 Energa de una onda electromagntica. Vector de Poynting

La energa transportada por una onda electromagntica est repartida entre la energa elctrica y lamagntica. Las respectivas densidades de energa son

E=12

D.E y B =12

B.H

que en el vaco podemos escribir

E =12

0E2 y B =12

0.H2 =1

20B2

Hemos visto que para una onda plana armnica se verificaba que B0 =E0/c, y teniendo en cuentaque

c =1

00o bien 0 =

10c2

obtenemos

E =12

0E2 =12

1

0c2(cB)2 =

120

B2 = B

es decir la densidad de energa asociada a la onda elctrica es igual a la de la onda magntica, as ladensidad de la onda electromagntica puede escribirse

=

E+

B=2

E=

0E2 (7.13)

La intensidad de una onda es la rapidez con que la energa atraviesa una superficie de rea unidadperpendicular a la direccin de propagacin y para todas las ondas armnicas es igual al producto dela densidad de energa por la velocidad de la onda

I = c = 0E2c (7.14)


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Podemos construir un vector intensidad S cuyo mdulo sea la intensidad Ide la onda y dirigido segnla direccin de propagacin de la onda. Como la direccin de propagacin es la del vector EB,siempre para ondas planas en el vaco, tendremos

EB =EjBk =EB i = E2

ci =

S

0c2i = 0S i

y por tanto

S = E B

0= E (7.15)

El vector S recibe el nombre de vector de Poynting. Las expresiones de las ecuaciones 7.14 se handado para una onda propagndose en el vaco y nadie asegura su validez en presencia de mediosmateriales; tampoco la existencia de EB asegura un flujo de energa, basta pensar en una disposicin

de un condensador cargado y un imn dispuesto adecuadamente, ambos campos estticos y por lotanto sin propagacin de energa. En ausencia de corrientes podemos escribir una ecuacin deconservacin de la energa partiendo de la interpretacin de S. Tomando una superficie cerrada, elflujo de S a travs de ella ser la energa que sale (flujo positivo) de la superficie por unidad detiempo, que debe ser igual a la disminucin de energa, por unidad de tiempo, en el volumen limitadopor esa superficie. Escrito en forma integral

todalasuperficie

S.dA= -d

dt

volumendV

o en forma diferencial

.S = -

t

Si se mide la intensidad de una onda electromagntica, la duracin de la medida ser, generalmente,mayor que el periodo de la onda; as, desde un punto de vista prctico, tendr ms inters un valorpromedio de la intensidad que su valor instantneo. Para ondas peridicas, de periodo T, el valorpromedio se calcula as

< S > =1T

0

T

Sdt =1T

0

T

Sdt=

1T

0

T

0cE02cos2(kx -t)dt i =12

0cE02 i

7.5 Cantidad de movimiento de las ondas electromagnticas. Presin de

radiacin

Nuestro objetivo es determinar la cantidad de movimiento que transporta la onda electromagntica.Lo haremos calculando la cantidad de movimiento recibida por un electrn en su interaccin con elcampo electromagntico. Para ello consideremos la interaccin entre una onda electromagntica planay un electrn, en un instante determinado; el campo elctrico E ejerce una fuerza, FE , sobre el


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electrn que, por simplicidad, supondremos con una cierta velocidad, v, paralela a E ; el campomagntico ejerce, entonces, una fuerza FB = q vB. La fuerza FEes siempre antiparalela

y

z

x

E

v

B

FE

BF

B BF

y

z

x

E

v

FE

Fig. 7.8

a E, mientras que FB tiene siempre la direccin y sentido de propagacin de la onda ya que v y Bcambian su sentido simultneamente. En la figura 7.8 se muestran dos instantneas que ilustran estehecho. La fuerza instantnea sobre el electrn es F = FE + FB, mientras que su valor promediotemporal es < F> =< FB > ya que el valor promedio de la fuerza elctrica es cero pues es oscilatoria.As

< F> =< FB > = q = q i =q

c i

La potencia realizada por la onda electromagntica sobre el electrn es

dW

dt= F.v = q (E + vB).v = qvE

y en valores promedio temporal

< >dWdt = q < vE> (7.16)Podemos relacionar la fuerza con la cantidad de movimiento mediante la segunda ley de Newton

< F> = < >dpdt = qc i (7.17)eliminando < vE> entre las ecuaciones 7.16 y 7.17 tenemos

< >dpdt = 1c < >dWdt i


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es decir, en un cierto intervalo de tiempo, si el electrn toma una cierta cantidad de energa de laonda, tambin tomar una cantidad de movimiento igual a la energa dividida por c , en la direccinde propagacin. La conservacin de la cantidad de movimiento nos obliga a aceptar que la ondatransportaba esa cantidad de movimiento que ha sido cedida al electrn. Cuando una onda incidesobre un cuerpo transmite, por lo tanto, cantidad de movimiento al mismo. Se suele dar estatransmisin, como la velocidad de transmisin de cantidad de movimiento por unidad de rea que,como equivale a una fuerza por unidad de rea, se conoce como presin de radiacin ,prad . En elcaso particular de incidencia normal y absorcin total de la onda por el material

prad =1

A < >dpdt i = 1c < >dWAdt = c

Si la onda incide normalmente y se refleja totalmente en la superficie, la cantidad de movimiento dela onda reflejada es un vector opuesto al de la onda incidente. La variacin de la cantidad demovimiento es el doble que en caso de absorcin total y, por lo tanto, la presin de radiacin es eldoble. Cualquier otro caso en el que la onda se refleje parcialmente estar entre estos dos extremos y

la presin de radiacin estar comprendida entre

c

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c) materiales istropos , por lo que las propiedades del material, , y no cambian con ladireccin.

Con todas estas hiptesis las propiedades de un medio de propagacin de ondas electromagnticasquedan descritas mediante las constantes , y .Nos ocuparemos, ahora, de la propagacin de las ondas electromagnticas en materiales dielctricos,es decir materiales con ausencia de electrones libres, con magnetizacin despreciable. Las ecuacionesde Maxwell en forma diferencial, para el caso particular de ausencia de carga neta = 0, y decorriente,j = 0, ya que consideramos un dielctrico ideal, es decir con = 0, quedan de la forma

Ley de Gauss para el campo elctrico .E = 0

Ley de Gauss para el campo magntico .B = 0


Ley de Ampre-Maxwell B = E

t

es decir igual que en el vaco substituyendo 0 por y 0 por . Una onda plana electromagnticaser compatible con la ecuaciones de Maxwell y su velocidad de fase en el medio ser

v =1

El cociente entre las velocidades de una onda electromagntica en el vaco y en el dielctrico sedenomina ndice de refraccin absoluto, n

n =c

v=

00

= rr (7.18)

Como para los materiales no ferromagnticos r no se desva de la unidad en ms de unas pocaspartes en 104 , podemos tomar r 1 y as

n = r (7.19)

La dependencia de r, y por lo tanto de n, con la frecuencia de la onda, puede estudiarse mediante unsencillo modelo que resulta conceptualmente til; un modelo ms realista precisa de la fsica cuntica.Podemos considerar un modelo atmico como el del ejemplo 1.7. Cuando el centro de la cargaelectrnica se desplazax , con respecto al ncleo, aparece una fuerza elstica - m02x que tiende arestaurarlo a la posicin de equilibrio; podemos pues considerar el tomo como un oscilador defrecuencia propia 0. Si el desplazamiento x se produce por un campo esttico, el tomo tiene un

momento dipolar inducido

p =q2

m02E

como p = 0E la polarizabilidad atmica sera


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= q2

0m02

y la susceptibilidad elctrica del material podramos aproximarla por = n , siendo n el nmero detomos por unidad de volumen. La constante dielctrica o permitividad relativa del material seraentonces

r = 1 + = 1 +nq2

0m02

Si el campo elctrico es el de una onda electromagntica armnica, podemos considerar el tomocomo un oscilador forzado por una fuerza F= qE0cost, y en el que no consideramos prdidas deenerga, = . La respuesta ser

x(t) =q/m

02-2E

0cos

t

Si < 0 , el desplazamiento y la fuerza aplicada estn en fase y si > 0 , estn en contrafase.Ahora

=nq2

0m(02-2)

y

r = 1 + = 1 +nq2

0m(02-2)= n2() (7.20)

que nos da la dependencia, con la frecuencia, del ndice de refraccin, segn el modelo empleado. Lavelocidad de fase v = c/n de la onda electromagntica tambin depender, por lo tanto, de lafrecuencia. La respuesta dielctrica con la frecuencia vara enormemente a lo largo del espectroelectromagntico y no queda explicada con el simple modelo anterior y no slo por sus evidenteslimitaciones sino tambin porque la polarizacin atmica inducida por el campo aplicado no es elnico mecanismo de polarizacin.

7.7 Ondas electromagnticas en un medio conductor

Los efectos vistos en los dielctricos tambin estn presentes en los conductores pero suelen serdespreciables frente a los debidos a la interaccin con los electrones libres. Consideremos elconductor como un medio continuo en el que no existe carga neta pero en el que hay cargas libres, esdecir que pueden moverse en el interior del material. Supongamos, tambin, que la densidad de

corrientej guarda una relacin lineal con el campo aplicado,j = E (ley de Ohm). Las tres primerasecuaciones de Maxwell, en forma diferencial, sern las mismas que en un medio dielctrico,cambiando la ltima que ahora ser

Ley de Ampre-Maxwell B = ( )j+Et


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y la ecuacin de onda en forma compleja

Ey = E0ej(

t - k

Rx)

e- k

Ix

tomando la parte real

Ey = E0cos(t -kRx) e - kIx

que tiene una forma similar a la ecuacin de onda en el vaco; la diferencia est en el factor e - kIx , loque supone que la amplitud de la onda decrece cuando sta se propaga segnx. . Para poder valorar elnmero de onda k, comparemos la densidad de corriente de conduccin y la de desplazamiento

J

D/ t =Ey

(Ey)/t=

EyjEy

=

j = -j

En un conductorla corriente de conduccin es dominante respecto a la de desplazamiento J>>D/ t,por lo que >> , y la k2 de la ecuacin 7.22 puede tomarse como imaginaria

k2 - j

de donde k= -j ; recordando que-j=-j+1

2, tenemos k = -j+1

2; como

hemos tomado una onda que progresa en el sentido positivo de las x , el nmero de onda complejoser

k = 2 (1 -j ) (7.24)as, la onda progresar segnx a una velocidad de fase

v =kR

= 2con una amplitud que ir disminuyendo exponencialmente a medida que penetra en el conductorsegn un factor

e - /2 x (7.25)

Recorrida una distancia =

2

, la amplitud se habr reducido en e -1 ; es concida como

profundidad de penetracin de la onda electromagntica en un conductor. En el caso extremo de queel conductor fuera perfecto y de aqu = 0, lo que significa que las ondas planas no puedenpenetrar en un medio superconductor.En la tabla 7.1 se muestran valores de para el cobre a diversas frecuencias; figura tambin lalongitud de onda en el vaco, para que sirva de referencia, y la velocidad de fase v = /kR =


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Tabla 7.1

f/ Hz / m / m v/ ms -1

50 9,3.10-3 6.106 2,9106 6,6.10-5 3.102 4,1.102

109 2,1.10-6 3.10-1 1,3.104

1013 2,1.10-8 3.10-5 1,3.106

1015 2,1.10-9 3.10-7 1,3.107

Observamos que a altas frecuencias el campo elctrico queda confinado prcticamente en lasuperficie, la corriente slo podr fluir por ella y por lo tanto la resistencia del conductor aumenta conla frecuencia; comprobamos el efecto de apantallamiento que un conductor ejerce para las ondaselectromagnticas. Desde un punto de vista energtico podemos interpretar que al incidir una ondasobre un conductor muy pocos electrones ven la onda transmitida, la absorcin de energa puede serintensa individualmente pero, en conjunto, disipan poca energa; la mayor parte de la onda esreflejada.Este modelo, considera el metal como un medio continuo, funciona bien hasta el infrarrojo, pero amedida que aumenta la frecuencia hay que considerar la estructura de la materia. An sin abandonarel modelo hay que tener en cuenta que al aumentar la frecuencia, llegar un momento en que lacorriente de conduccin y la de desplazamiento sern del mismo orden o sea , con lo que laaproximacin hecha para el clculo del nmero de onda kno podr utilizarse. Cuando J1


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es decir, la corriente de conduccin predomina sobre la de desplazamiento por lo que el agua de marse comporta, a 40 kHz, como un medio conductor. Podemos as tomar el valor de kR de la ecuacin

7.24

kR = 2 = f = 0,79 m -1y de aqu

longitud de la antena =2

=

kR= 3,9 m

b) Al tratarse de un medio conductor la amplitud del campo elctrico disminuye con la distanciasegn la ecuacin 7.25

E(x) =E(0) e - /2 x= E(0) e - 0,79 xas, por ejemplo, la amplitud queda reducida a un 1% en una distancia recorrida x* , que vale

x* =ln0,01-0,79

= 5,8 m

evidentemente la atenuacin es excesiva y ste no sera un buen sistema de comunicacinsubacutica.

________________________________________________________________


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8 Ondas estacionarias 1 3 7

8 Ondas estacionarias

8.1 Ondas estacionarias unidimensionales

Estudiaremos la propagacin de ondas propagndose en un medio finito, que dar lugar a reflexiones

en sus lmites. Recordemos que la ecuacin diferencial de onda unidimensional vista es de la forma

2t2

= v22x2

que tiene como solucin general cualquier funcin del tipo

= Af1(x - vt) + Bf2(x + vt)

Veamos que sta no es una forma conveniente para el caso que queremos estudiar. Empezaremosviendo dos casos de superposicin de dos ondas armnicas que viajan en sentidos diferentes en elmismo medio. Por simplicidad supondremos que ambas tienen la misma amplitud,A:a)

A ej( t - kx) +A ej( t+ kx)=A ejt( e-jkx+ ejkx ) = 2A coskx ejt

la funcin de la onda resultante ser

= [2A coskx ejt] = 2A coskx cost

b) consideremos ahora que la onda que viaja en el sentido negativo, lo hace con inversin de fase

A ej(t-kx) +A ej(t +kx)ej =A ejt( e-jkx - ejkx ) = -j 2A senkx ejt

la onda resultante ser

= [ -j 2A senkx ejt

] = 2A senkx senten ambos casos vemos que la solucin general queda escrita como producto de una funcin de x poruna funcin de t:

= f(x) g(t)


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estudiemos qu funciones de este tipo son solucin de la ecuacin diferencial de onda. Sustituyendo enella

f d2g

dt2 = v2gd2f

dx2

dividiendo ambos miembros porfg

1g

d2g

dt2= v2

1f

d2f

dx2

los dos miembros de esta ecuacin son funciones respectivamente de ty x solamente. Para que laigualdad pueda ser satisfecha para todos los valores de tyx es necesario que cada miembro seaconstante, llamando a sta - 2 tenemos las dos ecuaciones siguientes

d2g

dt2

= - 2g ,d2f

dx2

= -2

v2

f

cada una de las cuales tiene soluciones armnicas. En particular, podemos tomar

f = C1 cosv

x y g = C2 cost

con C1 y C2 constantes. De aqu, haciendo C1C2 = 2A , podemos escribir

= f(x)g(t) = 2A cos v

x cost = 2A coskx cost (8.1)

Esta solucin corresponde, como hemos visto previamente, a la superposicin de dos ondas idnticas

excepto en su sentido de propagacin. Observemos que esta funcin se anula para x = /4 encualquier valor de t; estos nulos se repiten espacialmente a intervalos de /2. Estos puntos deperturbacin nula reciben el nombre de nodos. Cada uno de los otros puntos oscila a la mismafrecuencia pero su amplitud depende de la posicin segn 2A coskx. Este modo de vibracin estotalmente distinto al de una onda progresiva ya que los puntos tienen amplitudes distintas, peroconstantes con el tiempo, y vibran en fase. Al no haber propagacin de la perturbacin estas ondas sedenominan ondas estacionarias.

8.2 Ondas en medios limitados

El hecho de que en las ondas estacionarias existan nodos puede usarse para construir solucionesadecuadas a ondas en medios limitados, que es nuestro objetivo. Si consideramos una cuerda delongitud a, fijada por sus extremos

(0,t) = 0 y (a,t) = 0

La onda estacionaria que hemos considerado no se anula enx = 0 pero si lo hace

= A senkx sent


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como debe anularse enx = a debe cumplirse senka = 0 por lo que el nmero de onda k, que hastaahora poda tener cualquier valor, queda restringido al conjunto discreto de valores, k= n/a, donde nes un nmero entero. Segn sto

= 2an

Esta condicin es la misma en el caso de un tubo de gas cerrado por sus dos extremos en los que debehaber un nodo de desplazamiento (al que corresponde un antinodo o vientre de presin).En el caso de una cuerda con un extremo fijo y el otro libre, o de un tubo cerrado en un extremo yabierto por el otro, es preciso que exista un nodo en un extremo y un vientre en el otro. Las nuevascondiciones geomtricas imponen

= 4a(2n +1)

La frecuencia menor corresponde a n =1, que para el caso de extremos fijos sera 1 = v/a y recibe

el nombre de frecuencia fundamental. Los otros modos forman una sucesin de ondas de frecuenciascrecientes, mltiplos de la fundamental, y se denominan armnicos n = n1. Para este caso , y parael modo n, la ecuacin de onda sera

n = A sennvx

asen

nvta

Todos los sistemas acotados, no necesariamente unidimensionales, que satisfagan la ecuacindiferencial de ondas tendrn modos normales. Sin embargo, no es generalizable la caracterstica , n =n1, vista para nuestro caso particular.

8.3 Energa en la ondas estacionarias

Para los modos normales en la cuerda es fcil ver que las energas cintica y potencial, por longitud deonda, valen

Ek =14

v2(nA)2

acos2

nvta

U =14

v2 (nA)2

asen2

nvta

La suma deEk y U es constante y la energa total oscila entre ambas dos veces por ciclo.

Ejemplo 8.1 _______________________________________________________________

Sobre una cuerda de densidad = 0,25 kg/m se excitan ondas armnicas de amplitudA = 3,0 mm, a lafrecuencia de 10 Hz. Las ondas viajan a la velocidad de 5,0 m.s-1.a) Calcular la longitud de onda y el nmero de onda k.b) Demostrar que la energa media que hay en cada metro de la cuerda viene dada por la expresin

=12

2A 2


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c) Calcular la potencia media suministrada por el excitador a la cuerdaLa cuerda se fija a una distancia L = 0,75 m del excitador y se origina una onda estacionaria deamplitud 10 mm, con un nodo en el punto de excitacin,d) Cuntos nodos tiene la onda estacionaria as formada?e) Calcular la energa total almacenada en la cuerda por la onda estacionaria.

Solucina) Para un instante determinado, la forma de la onda peridica se repite en el espacio cada longitud ,de tal forma que

(x) = (x + ); donde = v / f = 0,50 m.

El nmero de onda kes el nmero de oscilaciones que hay en cada unidad de longitud, multiplicadopor 2

k = 2 / = 4 = 13 m-1

b) Todo elemento de cuerda realiza un MAS de frecuencia y amplitudA; la energa que tiene ser:

dE =12dm .2A2

como dm = dl

=dE

dl=

12

2A2

c) La potencia media es igual a la energa media que atraviesa una seccin de la cuerda cada segundo,que a su vez es igual a la energa almacenada en una oscilacin de cuerda, dividida por el perodo deoscilacin.

P =ET

=T

=vT

T= v =

12

2A2v =

=12

.(2f)2A2v = 22.102.(3.10-3)2.0,25.5 = 0,022 W

d) La condicin de onda estacionaria para una cuerda fija en ambos extremos es

L = n2

donde n es el nmero de semiondas. Sustituyendo los valores de L y ,se obtiene, n = 3 semiondas.Habr tres semiondas, luego habr cuatro nodos, incluyendo los extremos de la cuerda.e) Como una onda estacionaria podemos considerarla formada por la superposicin de dos ondas deigual amplitud e igual frecuencia propagndose en sentidos opuestos, la amplitud de cada ondacomponente es la mitad de la amplitud de la onda resultante. As cada una de las ondas componentes

tendr una energa almacenada:

E = L =12

2(Ae2

)2L = 12

. 0,25.(2.10)2 (10-2 / 2)2 = 1,25 J

y la energa total ser: ET = 2E = 2,5 J________________________________________________________________


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Ejercicio 8.1 ...........................................................................................................La funcin de onda correspondiente a una onda estacionaria en una cuerda fija en ambos extremos es

y(x,t)=0,50sen0,025xcos500testandoy yx en cm y ten segundos.a) Hallar la velocidad y la amplitud de las ondas progresivas cuya superposicin da como resultado laonda estacionaria. Cul es la distancia entre nodos sucesivos en la cuerda?. Cul es la longitud mscorta posible de la cuerda?b) Si la cuerda tiene 2,510 m de largo, hacer un esquema de la posicin de la cuerda para t= 0, t=T/4,t =T/2, t=3T/4, en donde T es el periodo de la vibracin.c) Hallar Ten segundosd) Cuando la cuerda es horizontal, qu le ha ocurrido a la energa de la onda?

R :

a) 200 ms-1 ; 0,25 cm ; 1,26 m ; 1,26 m ; c) 0,0126 s

Ejercicio 8.2 ...........................................................................................................

En una cuerda, fija en sus extremos, de 120 cm de longitud y de 2,4 gramos de masa se ha producidouna onda estacionaria. Se observa la presencia de tres vientres o antinodos y que cada 10 milisegundosse anula todo desplazamiento; se mide, tambin, el desplazamiento mximo de dichos antinodos yresulta ser de 20mm.a) Indicar los valores de la longitud de onda y del periodo y escribir la funcin de onda de la ondaestacionaria.En una onda estacionaria la energa est almacenada en el medio y no se propaga.b) Escribir la energa cintica de un elemento, dx, de cuerda.c) Calcular, por integracin, la mxima energa cintica para la longitud de cuerda dada.d) Comprobar que la energa promedio por unidad de longitud es el doble de la de una de las ondas quese superponen para formar la estacionaria.

R :a) 80 cm ; 20 ms ; 0,02.sen7,85xcos314t ; c) 0,024 J

Ejercicio 8.3 ...........................................................................................................Se dispone de una cuerda fija por ambos extremos de longitud L=1,0 m, masaM=10 g. y sometida auna tensin T=100 N. Se produce una onda estacionaria de amplitud A0=1,0 mm y de cuatroantinodos aplicando un vibrador mecnico de frecuencia en un nodo (la amplitud de vibracin delnodo es mucho ms pequea queA0).a) Calcular la velocidad v de las ondas viajeras sobre dicha cuerda, as como la frecuencia propia 4 deeste modo.b) Cul es la amplitud A1 de cada una de las ondas viajeras?c) Calcular la energa total E0 de la onda estacionaria. Manteniendo fijo el punto de aplicacin delvibrador sobre la cuerda, qu otras frecuencias se pueden estimular variando la del vibrador?En un instante dado, t=0, se deja de aplicar el vibrador y se encuentra que el movimiento transversal de

un antinodo es una oscilacin amortiguada de frecuencia 4 y amplitudA(t) =A0e-t/4

.d) Calcular el factor de calidad Q4, y dar la expresin de la energa E(t) almacenada en la cuerda enfuncin del tiempo.

R :

a) 100 ms-1 ; 1,3103 s-1 ; b) 0,5 mm ; c) 410-3 J ; d) 2,5103


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Ejercicio 8.4 ...........................................................................................................Un tipo de lser consiste en una regin del espacio limitada por unos espejos A yB separados10cm, entre los cuales se producen unas ondas electromagnticas estacionarias de forma que enlos espejos deben producirse nodos del campo elctrico. Si el campo elctrico de la onda queviaja hacia la derecha es de la formaE=Ey cos(kx - t):a) Cul es la expresin de la onda estacionaria producida por la superposicin de esta onda y laque viaja hacia la izquierda, si tomax =0 en el centro de la separacin de los espejos?b) Cules son los posibles valores de kde la onda estacionaria y cuntos valores de kpermitenque la onda electromagntica sea visible, es decir, que tenga longitud de onda3900

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f) Teniendo en cuenta que la reflexin no es total y considerando este hecho como nica causa dedisipacin de energa, calcular la intensidad total disipada y el factor de calidad de este oscilador.

gas gasslido

d

Fig. 8.1

R :

a) vs=2,6.103 ms-1 ; vg=2,8.102 ms-1 ; b)Zg/Zs=3,1.10-5 ;c)It/Ii=1,2.10-4 ; d)f0=26 kHz ; e) =0,15 Jm-3 ;I=3,8.102 Wm-2 ;

f) P=0,094 Wm-2 ; Q = 2,5.104...........................................................................................................

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