UdelaR Facultad de Ciencias Curso de Física II p/Lic. Física y Matemática Curso 2010

Inductancia – Circuitos RLC-Corriente alterna

1.- Inductancia (L) – La inductancia L de un elemento de un

circuito (como una bobina o solenoide) se define mediante la relación (considerando todas las variables como

magnitudes):

Si la corriente que circula en una bobina cambia, se modifica el flujo magnético (B) que atraviesa la bobina, por tanto aparece una fem inducida en la propia bobina (autoinducción).

Si no hay materiales ferromagnéticos, se cumple que L- depende sólo de la geometría del sistema

(inductancia)

Para calcular la inductancia de un elemento usamos

Unidad de inductancia en SI henry (H):

2. Valores de inductanciaSolenoide largo: longitud l, sección A y n número de

espiras/longitud:

Toroide: N espiras, altura h y radios a y b

3. Circuitos LRAl pasar el interruptor S a posición a, la ecuación

del circuito es

Cuya solución vale

la corriente no alcanza su valor máximo instantáneamente, sino

que tarda determinado tiempo. es la constante de

tiempo inductiva. Para el inductor se opone al paso de corriente; Para el inductor se comporta como un conductor (cable).

Si luego que un tiempo largo, paso el interruptor S a posición b:

4. Almacenamiento de energía en un campo magnéticoAl igual que el campo eléctrico, el campo magnético puede almacenar energía. Así un inductor almacena energía magnética (UB) como un capacitor almacena energía eléctrica.

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Densidad de energía magnética:

5. Oscilaciones electromagnéticas - circuito LCCuando un condensador C cargado (con QMAX) conectado en serie con un inductor L, y se cierra el interruptor, se producen oscilaciones en la corriente y en la carga del condensador.El sistema conserva la energía, en forma análoga a un sistema masa-resorte. Inicialmente la energía en el circuito está almacenada en el capacitor y se va transfiriendo al inductor.

Soluciones:

Con la frecuencia angular dada por

6. Circuito RLC- Oscilaciones amortiguadas y forzadas En cualquier circuito LC real siempre hay presente una cierta resistencia R. Por tal razón, la energía U no es constante sino que disminuye debido a que se va disipando en la resistencia:

resultando:

ecuación del circuito RLC sin fuente de tensión, que describe las oscilaciones

LC amortiguadas. La solución general de la ecuación diferencial anterior (cuando R es razonablemente pequeña) puede escribirse como

con

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Esta ecuación diferencial y su solución general es análoga a la del oscilador armónico amortiguado.

Cuando la frecuencia ’ del oscilador amortiguado será aproximadamente igual al del

oscilador no amortiguado

Cuanto mayor sea R, más rápidamente se amortigua la oscilación, existiendo un valor crítico de R,

por arriba del cual no ocurren oscilaciones. Si R=Rc, se dice que el

sistema está críticamente amortiguado, y si es superior, sobreamortiguado.

7. Corrientes alternas- Las corrientes alternas (CA), corrientes que varían con el tiempo en forma sinusoidal, se generan mediante inducción magnética en generadores de CA, que producen una fem del tipo (fuente de CA)

m amplitud de la fem variable, (en rad/s) frecuencia angular que se relaciona con la frecuencia (en Hertz) de la forma = 2(en rad/s).

Consideraremos el estudio de un circuito RLC conectado a una fuente de CA. Durante un el periodo transitorio, la corriente varía en forma errática con t, estas variaciones transitorias desaparecen rápidamente después de lo cual la corriente varía sinusoidalmente con la misma frecuencia que la fuente: im amplitud de la corriente (magnitud máxima de la corriente) y es la constante de fase.

7.1- Elemento resistivo- Definiendo VR= Va-Vb tenemos

VR e i están en fase

La potencia P varía con el tiempo.

La misma varía desde 0 a un valor máximo . La potencia

media Pm liberada durante el tiempo de un periodo

La mayoría de los instrumentos en CA miden el valor eficaz o valor medio cuadrático (o r.m.s.) el cual se obtiene elevando al cuadrado el valor y luego considerar el valor medio en un ciclo. El valor eficaz

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de una magnitud cualquiera que varía sinusoidalmente es igual al valor máximo del a misma divida

por :

La potencia media puede expresarse como:

7.2- Representación fasorialUn fasor es un vector bidimensional que tiene las siguientes propiedades: 1) su longitud es proporcional al valor máximo de la cantidad alternante que interviene; 2) su proyección sobre el eje vertical (en caso de ser la fem de la forma sint) da el valor instantáneo de la magnitud considerada. En caso de ser de la forma cost se debe considerar la proyección horizontal).

7.3- Elemento inductivo- Definiendo VL= Va-Vb tenemos

VL e i no están en fase, están un cuarto de ciclo

fuera de fase, con VL delante de i, se dice que comúnmente que en un inductor, la corriente se atrasa con respecto a la diferencia de potencial en 90º.Se define la reactancia inductiva XL como

7.4- Elemento capacitivo- Definiendo VC= Va-Vb

tenemos

VC e i están a 90º fuera de fase, con i adelante de VL, se dice que comúnmente que en un capacitor, la corriente se adelanta con respecto a la diferencia de potencial en 90º. Se define la reactancia capacitiva XC

como

7.5- Circuito RLC de una sola malla- La fem está dada por , mientras que la corriente por

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Se denomina impedancia del circuito (Z) a:

Y por tanto:

Resonancia: Ocurre cuando la impedancia Z es mínima (y por tanto im es máxima) cuando las reactancias son iguales: XL=XC, esto ocurre cuando la frecuencia vale

(frecuencia de resonancia)

La potencia media vale:

se denomina factor de potencia

La potencia también puede expresarse como

La figura de la izquierda es una gráfica de curvas de resonancia. La potencia media es máxima cuando la frecuencia

del generador es igual a la frecuencia

Las curvas de resonancia se pueden caracterizar por el ancho de resonancia f, que es la diferencia de frecuencias entre los dos puntos de la curva en que la potencia es la mitad de su valor máximo.

También por el factor de calidad Q:

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7.6- Circuito RLC en paralelo- La tensión instantánea en cada elemento es la misma, y la corriente total I es la suma fasorial de la que pasa por cada elemento:

8- Transformadores Dispositivo que funciona en base a la ley de inducción de Faraday y permite transformar tensiones en las dos bobinas (primaria y secundaria) manteniendo constante el producto Bobina primaria de NP vueltas se conecta a la fuente de CA. Suponiendo un comportamiento ideal, la fem por vuelta es la misma en cada devanado:

Como en la condición ideal no hay pérdida apreciable de energía, el producto de la corriente por la tensión en los devanados es igual

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