File Download
-
Upload
anthony-llanto -
Category
Documents
-
view
138 -
download
1
Transcript of File Download
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 1/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 1
Capítulo 1
Funciones Vectoriales de Variable real
Nos interesa estudiar funciones
Pues para cada es un vector
En especial cuando es un intervalo
Identificación
Así podemos identificar a
como
donde para cada llamada ésima componente de
Observación
Gráfica de una función vectorial de variable real
Gr Se aprecia que:
Gr
Apreciación
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 2/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 2
Operaciones
Si definimos:
3) Si :
4) Si definimos
Punto de acumulación
Recordemos que y hemos definido lo que significa
1
10
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 3/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 3
ser punto de acumulación. es un punto de
Si:
⟨ ⟩
así si es un p.a de . Ya que ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Pero si no es p.a de
Si ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Límites
1) Sea b p.a de diremos que
| |
b
210
0
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 4/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 4
PC
Tomemos arbitrario
‖ ‖
‖ ‖ | |‖ ‖
| | ⏟
Tomamos
0 | |
-1
√
| |√
Si
| |
si
| | | |√
min √
Apreciación
Si
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 5/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 5
OJO
=
Prop
Si
y existen
; p.a de
entonces:
Si
Prop
Si acotada en y
b p.a de A,entonces
Aplicación
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 6/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 6
√
Continuidad
Se dice que es continua en , si:
1)
2)
3)
Interpretación
Si es continua en significará que la curva gráfica
de ella, no tiene “saltos”
Si
Se dice que es continua en
Si es en cada punto de
Derivación
Sea
definamos la función como
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 7/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 7
Interpretación
Si la gráfica de es una curva plana se aprecia
fácilmente que es un vector tangente a la gráfica
de , en el punto
Si entonces la recta tangente a la
gráfica de en es: Prop
,
En caso afirmativo
Prop
Si entonces es continua en
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 8/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 8
=
Otras propiedades
1)Si
entonces
.Además
asimismo
Recordando(clase 2)
||
||
||
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 9/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 9
Apreciación
En realidad si es de módulo
constante entonces
Visualización
( en el ejemplo
√ )
Derivando con respecto a
. + =0
además vemos que
asimismo en caso existan
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 10/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 10
entonces:
En el caso especial de
entonces:
+
Integración
Dada donde cada
componente de de es integrable
en
definimos:∫ ∫ ∫ ∫
Aclaración
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 11/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 11
∫ ∫ ∫ ∫
Referencia
∫
Generalizando:
Si es una curva gráfica de una
con derivada en todo entonces se dice que es
rectificable (o medible) si
∫
∫
CI:
∫
∫ ‖ ‖
∫
Apreciamos
1) Si ∫ y entonces
∫
∫
Además : ∫ ∫ ∫
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 12/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 12
2) ∫
3) ∫
Complementando
Definición
Una curva en la consideraremos
como la gráfica de una función un intervalo de
PI ¿Puede graficar
?
Parametrizar
no es sencilla
Orientación
Dada
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 13/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 13
Curvas de clase
Si
diremos que
es clase
si:
es de clase es de clase
Es decir
Curva Simple determinada por
, se dice que
es una curva simple, si
es negativa
Interpretación es una curva simple
Si no “se corta”
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 14/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 14
Curvas Cerradas determinada por
se dice que es una curva
cerrada si
:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 15/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 15
no es simple
Velocidad y Aceleración
Si la curva representa la trayectoria
de un móvil podemos llamar a
el vector velocidad , el vector
aceleración.
En general en estos casos
escribimos
Curva Regulares
Si tiene representación
paramétrica
,
Se dice que es una
curva regular si
.
Consecuencia
No
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 16/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 16
Parametrización
Una se puede parametrizar
de varias formas
(equivalencia)
¿Quién es ? ¿Es una rep. paramétrica de ?
¿Es una rep. par?
No, pues :
¿Es una rep. param?
Longitud de arco
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 17/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 17
es la longitud de arco
∫
∫ ‖‖
∫
CL
∫
∫ ‖‖
∫ √
∫ √
Geometría Diferencial
Si una curva con rep.
paramétrica donde .
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 18/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 18
se puede parametrizar en
términos de la longitud de arcos
:
[ ]
En caso esta rep. paramétrica
con parámetro ,
Veamos que son equivalentes
es un vector tangente unitario
a en
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 19/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 19
Definimos el vector normal
asimismo definimos
el vector binormal
es un vector unitario
=1
Recordando (clase 3)
Plano Normal
Plano Osculador
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 20/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 20
Identidades tiene representación paramétrica
un parámetro
aplicando identidades del producto
vectorial se tiene que
Fórmulas de Frenet
Generalmente trabajamos con curvas
en de clase , regular
Estudiemos el comportamiento de
estos vectores de referencia o triedro
de Frenet en P, cuando P se traslada
a lo largo de la curva , originándose
3 campos de vectores a lo largo
de
.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 21/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 21
Afirmación
Curvatura
Sea una curva determinada
por
definamos la función , consideremos
a parametrizada con
respecto al parámetro s
(longitud de arco).
s
que se llama curvatura
Podemos escribir
al tomar módulos, resulta que
la curvatura es la variación
del vector tangente por unidad
de longitud de arco.
Interpretación
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 22/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 22
Torsión
Definamos para con rep.
paramétrica longitud
de arco, la torsión
Como la variación de la
binormal por unidad de longitud.
Apreciaciones
Tomemos las siguientes expresiones
en términos de coordenadas rectangulares
1) Definimos el círculo de curvatura, el
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 23/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 23
radio de curvatura
Centro del círculo de curvatura
2)
⁄
Propiedad
(Demostrar)
Matricialmente
Ejercicios
radio de
curvatura
Círculo de
Curvatura
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 24/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 24
Encontrar las ecuaciones de los
planos osculador y rectificante
para la curva
:
en el punto √
Solución
y √
√
⁄
⁄ ⁄
√
√
√
√ √
Plano Osculador
√ √ √
Plano Rectificante
√
√
√ √
√
√ √
Ejercicio (tarea)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 25/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 25
Encontrar la curvatura para
en
Ejercicios (tarea)
[ ]
Calcule , en el punto √
de
Demostrar la propiedad siguiente
(Demostrar)
Solución
De la definición de curvatura
Se sabe que
Por definición de vector normal unitario
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 26/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 26
Se sabe que y son vectores
unitarios perpendiculares
=0
Derivando con respecto a
Como los tres vectores unitarios
constituyen una base en
entonces se puede expresar cualquier
vector en función de esa base
entonces
Sea
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 27/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 27
Ejercicio
Encontrar la curvatura para
en .
Solución:
Derivando implícitamente las dos curvas
que se dan (con respecto a )
y por otro lado
Reemplazando las componentes en el
punto que nos dan
y
Derivando nuevamente implícitamente
Reemplazando los valores hallados
y
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 28/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 28
Se sabe que la curvatura es
⁄
⁄
⁄
√ √
Ejercicios
1) [ ]
Solución
De las ecuaciones de Frenet
multiplicando escalarmente por el vector binormal
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 29/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 29
[]
2)
Solución
Del problema anterior expresando en componentes
Reemplazando en la demostración
del problema anterior
[]
Calcule , en el punto √
de
Solución
Derivando implícitamente con respecto a
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 30/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 30
√
√
√
√
√ ,
√ √ √
√
⁄
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 31/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 31
√ √ √ √
√
⁄
√ √ √ √ √
‖
‖
√ √
√
√
√ √ √
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 32/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 32
El vector Darboux
Si r = r (s) nos da la posición de un punto de la curva de la cual es
una representación paramétrica, se define el vector Darboux como w (s) tal
que:
T'(s) = w(s) x T(s)
N'(s) = w(s) x N(s)B'(s) = w(s) x B(s)
Como entrenamiento comprobar y/o resolver:
a) w= t T(s) + k N(s)
b) ¿Cuál es el vector de Darboux de una curva plana?c) Determinar el vector de Darboux para una hélice circular recta
d) ¿Cuáles son las curvas para las cuales w es constante?
e) ¿Cuál será la relación entre t y k para que w x w' = 0
f) Ver que T'(s) x T''(s) = k 2
w(s), es decir que el vector de Darboux
determina la rotación instantánea del triedro de Frenet.g) Sea r(t) = (rcos(at) , rsen(at), bt) a, b, r Є R, determine el vector de
Darboux.
h) Determine la curvatura y el vector de Darboux para la curva plana C
dada en coordenadas polares.
i) Determine la torsión de la curva C en R 3 en coordenadas esféricas.
j) Determine la curvatura y el vector de Darboux para las curvas:-La espiral logarítmica: r=ae bθ, a , b Є R
-La espiral de Frenet: r 2 = θ
-La limacón: r =2acos(nθ) + b
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 33/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 33
1.- Sea la ec. de la parábola 2 4y px con 0 p
Parametrizando
2
2
x pt
y pt
2
2
x pt
y p
2
0
x p
y
Ec. de la Evoluta en el plano:
*r r N , donde
32 2 2
32 2 2
x y x y y x k
x y y x x y
Hallando la evoluta para una parábola cualquiera de la forma 2 4y px :
2
2
x pv
y pv
3
2 2 2 32 22 1
x y p v
x y y x
2
,12 ,2
1
v r pv p r T T
v
2
1,
1
v N T
v
Para curvas planas
Ec. de la evoluta:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 34/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 34
3
2 2 2 32
2
1,,2 2 1 3 2 , 2
1
v pv pv p v pv p pv
v
Graficando:
Vemos que tanto P y Q se encuentran
en el primer cuadrante por lo tanto:
1 10 ,0 ,0 ,0 x y x y … (*)
Igualando la ec. de la parábola y la
evoluta:
2 3 23 2 , 2 ,2 pv p pv pt pt
2 2 2 23 2 3 2 pv p pt v t … (1)
3 32 2 pv pt v t … (2)
Por condición (*): 0 , 0t v
Reemplazando (2) en (1):
2 6 6 23 2 3 2 0v v v v hacemos 2v s
3 3 23 2 0 2 2 0 1 2 1 0s s s s s s s s
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 35/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 35
21 1 2 1 0 1 2 0s s s s s s s
2 21 2 0 1 2 1 2 2s s s v v por condición (*)
Punto de intercepción:
, 8 , 4 2 x y p p para 2 2 2v t
Para que deje la parábola:
2
cosC N C N
v F F ma ma m mg
donde
1tan
y
x t
Por conservación de energía:
2
2
1 14 2 2 4 2
i f i f
v E y mg E mg m E E v g y p
3
2 22 1 54 p t p
2
cosv
g
1
2
2 4 2
54 1
g y p t g
p t
para 2 2t
1
t
2
1 t
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 36/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 36
2
1 1 122 2 4 , 242 ,22 2y p y px x y p p
Como sabemos, un espiral equiangular, puede estar dado en forma paramétrica por
Luego, la evoluta está dada paramétricamente por
Y entonces, analíticamente, la evoluta de un espiral equiangular es otra espiral equiangular,
con parametros y .
En algunos casos, la evoluta es idéntica a la espiral original, como puede ser demostrado
haciendo la substitución en la nueva variable:
.
Entonces las ecuaciones anteriores se convierten en :
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 37/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 37
las que son equivalentes a la forma de la ecuación original si se verifica que
.
Problema1 Un móvil de masa m es atraído hacia el origen de coordenadas con la
fuerza f = - R si parte del punto (a, 0) con velocidad. Perpendicular al eje X,
compruébese que la ecuación de la trayectoria es = a (donde es el ángulo
formado por el vector posición y el eje X).
Solución
En primer lugar, se va a demostrar que el movimiento tiene su trayectoria en un plano:
Se sabe que f = - R luego f = m.a entonces a = - R
Como = r
ya que = = 0
Resulta:
=
) = 0
= (vector constante) ya que r y R son paralelos.
Multiplicando escalarmente por r el vector :
. = 0 = .
Es decir permanece constantemente perpendicular a un vector fijo y , por tanto ,el
movimiento se realiza en un plano.
La aceleración del movimiento se puede expresar mediante:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 38/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 38
a = R +
P
La aceleración es puramente radial, ya que no actúan otras fuerzas distintas que la
atracción desde el origen. Por tanto:
- =
De (2) se deduce: = c = constante
Por otra parte, = ; =
c =
=
=
=
La solución de la ecuación diferencial (3) es:
= a
Como vamos a comprobar.
Llamando A =√
=
Y teniendo en cuenta (4)
=
=
= AsenA
= cosA = cosA. =
A
=
=
Por tanto, - = A - = A
Como
= ; - 1 =
-
=
= A =
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 39/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 39
Por tanto, = a Es solución de la ecuación (3).
Solo tendrá valores reales si
Es decir, ;
Problema2 demostrar que para dados los positivos , , ,…, se cumple la siguiente
desigualdad:
1.
Solución Considerando la función:
, siendo
,
,
,…,
positivos, además = C, siendo C una constante.
Nuestro problema consistirá en demostrar que el máximo valor de esta función sea
lo cual lo conseguiremos por el método de los extremos condicionados de
Lagrange siendo la condición = C, siendo C una constante .Siendo= = C
Resolveremos y = = C
.
=
. =
. =
Igualando la primera con la segunda ecuación se obtiene que , análogamente se
obtiene que además = C
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 40/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 40
Entonces , evaluando en la función =
= , que seria un valor extremo (mínimo o máximo) para cualquier valor de
n.
Demostraremos que es el máximo de la siguiente manera:
Se sabe que √ √ siendo positivos
√
Es decir el máximo valor de =√ es =
Por lo tanto como ha cumplido que
es el máximo valor para n=2, también lo será para todo n
entero.
Por lo tanto.
Evoluta de la elipse
Dada la elipse:
Su evoluta viene dada por:
que, eliminando el parámetro, queda:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 41/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 41
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 42/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 42
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 43/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 43
3.- Si la ecuación paramétrica de la podaria de una curva respecto al punto (0; 0) es igual a
Entonces determinar la ecuación paramétrica de la curva.
Solución:
Del grafico se observa:
TORTOGONAL // R* … (a)
(R-R*) // t … (b)
De (a) se obtiene que:
De (b) se obtiene:
Despejando la relación:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 44/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 44
2.- Sea una curva plana en coordenadas polares definida por p=p (t), t
varia de un valor “a” hasta otro valor “b” (a ≤ t ≤ b) ,hallar la longitud de
esta curva .
Solución:
Definimos la ecuación vectorial de la curva en 2D por :
R (t) = (p (t) cos(t), p (t) sen(t))
R'(t) = (p’ (t) cos(t) - p (t) sen(t), p'(t) sen(t) + p (t) cosє(t))
II R’ (t) II = ((p (t))2
+ (p’ (t))2 )1/2
Sea “S” la longitud de arco, estará dada por :
S (t) = ∫ dt
Donde:
S = 0, corresponde el valor de t= a
3.- Probar que si la normal principal a una curva tiene dirección
constante, la curva es una recta.
Solución:
Condición el vector normal es constante:
Derivando respecto del parámetro natural longitud de arco “S”
‘ = -k + t = (de la condición ) ,entonces se desprende :
K = 0, ecuación intrínseca de una recta
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 45/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 45
,K= curvatura.
4.- Demuestre que si todo punto de una curva tiene orden de contacto
de la curva con la tangente, un orden 2, la curva es una recta.
Solución:
De la condición orden 2:
Sea R(s) el vector posición que define ah la curva atreves de su
parametrizacion natural “S” (longitud de arco) entonces al segunda
derivada viene dada por:
R''(s) = k = (donde se desprende k=0) por lo cual la curva es una
recta.
5.- Demostrar que una curva es una curva es una recta si todas sus
tangentes pasan pasan por un punto fijo.
Solución:
Sea “P“el punto donde coinciden las tangentes, entonces:
P(s) = R (s) + C(s) (s) , Donde :
R (s) Define el vector posición de la curva
(s) es el Vector tangente unitario de la curva
C(s) funcion escalar
Derivando respecto del parámetro natural longitud de arco “S”
P'(s) =(1+ C'(s) ) (s) + C(s) k (s)
Como “P” es un punto fijo entonces su derivada será el vector cero
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 46/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 46
Por lo cual dado que (s) y (s) son linealmente independientes
K =0 por lo cual es una recta.
6.-Demostrar que la siguiente curva X = t2 -1 , Y = t2 + 2t+3 , Z = t+1, es
Plana.
Solución:
Sea R (t) el vector que define la posición de la curva para todo parámetro
“t” :
R (t) = ( t2 -1 , t2 + 2t+3 , t+1 )
R' (t) = (2t, 2t +2, 1)
R'' (t) = (2, 2, 0)
R''' (t) = (0, 0, 0)
Torsion = (R’ (t) x R'' (t) .R''' (t) ) / IIR' (t) x R'' (t)II2
Como R''' (t) = (0, 0, 0), tendremos Torsión = 0 lo que define una curva
plana.
7.- sea : I―R3 una curva regular con curvatura no nula, supongamos
que el normal unitario
es proporcional al vector posición
, esto es
(s) = C(s) (s) ,para todo “S” ,donde C(s) es una función
, determinar la curva.
Solución:
(s) = C(s) (s)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 47/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 47
Derivando respecto de “ S “ :
-k + t = C'(s) (s) + C(s) Donde se desprende :
C(s) = - k y de t = C'(s) (s) se desprende torsión = 0 ……..(1) y
C'(s) =0 ……… (2) ,por lo cual C(s)constante que implica curvatura
Constante, de (1) y (2) la curva vendría ah ser una circunferencia.
8.-Probar que si los planos normales de una curva tienen un punto en
común, la curva esta en una esfera de centro en ese punto.
Solución:
Sea el punto común de los planos normales (plano binormal ),entonces
De la ecuación del plano normal:
( ).
= 0 , =vector posición de la curva
Derivamos respecto del parámetro longitud de arco “S” :
- . + ( ). k = 0
( ). = 1 / k …………………………… (1)
Derivamos (1) respecto del parámetro longitud de arco “S” :
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 48/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 48
( ).( -k + t ) = k' / k2
Donde obtenemos:
( ). = k' / tk2
……………………………………(2)
De (1) y (2) desplendemos :
= + (1 / k ) + (k' / tk2 )
Ecuación centro de la esfera cuyo radio: R
R2 = (1 / k )2 + (k' / tk2 )2
9.-Hallar la ecuación de la recta tangente y del plano osculador en el
punto
(2,-2,2) a la curva definida por :
2x2 – z2-3x +2 = 0 …………(1) y x2 - z2 +x+y = 0 ……….(2)
Solución:
Derivamos (1) y (2) respecto de “ x “ en forma implícita:
4x- 2zz'-3 = 0 ………… (3) y 2x-2zz'+1 + y' = 0 ……. (4)
Evaluando el punto (2,-2, 2) para las ecuaciones (3) y (4) obtenemos:
z' = 5/4 , y' = 0
Derivamos (3) y (4) respecto de “ x “ en forma implícita:
4-2z'2-2zz'' = 0 ………. (5) y 2-2z'2-2 zz''+ y'' = 0 ……….. (6)
Evaluando el punto (2,-2, 2) para las ecuaciones (5) y (6) obtenemos:
z''= 7/32 , y'' = 2
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 49/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 49
Sea
(x) el vector posición de la curva oh ecuación vectorial que define
la posición, entonces:
(x) = ( X, Y(x), Z'(x)) (x) = ( 1 , Y'(x),Z'(x) ) (x) = ( 1 , Y''(x),Z''(x) )
En el punto (2,-2,2)
(2) = ( 1 , 0, 5/4 ) (2) = ( 0, 2 , 7/32 )
Como // (x) X (x) , entonces:
La ecuación del plano osculador en el punto (2,-2,2) vendría dada por:
(x-2,y+2,z-2).(-5/2 , -7/2 , 2 ) = 0
Y la recta tangente en el punto (2,-2,2) :
(x,y,z) = (2,-2,2) + t ( 1 , 0, 5/4 )
10.-Considerar un punto P de una curva “C” y un punto P1 próximo ah P
Sobre la curva “C” , en el sentido positivo desde P, sobre el lado positivo
de la tangente ah la curva “C” en P , Colocamos un segmento PM igual ah
la longitud del arco “ds “ de P1 entre P y P1 ,denotamos la longitud del
segmento P1M por σ ,entonces probar que la curvatura “k”
De curva “C” e P esta dada por :
K = limds →0 2 σ / ( ds )2
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 50/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 50
Solución:
Por TAYLOR:
Aproximamos la curva “C” :
Sea (s) el vector posición que define ah la curva “C” 1 = + ds + (ds2k /2) 1 - ( + ds ) =
II
II = σ = ds
2k/2
De donde se desprende
K = limds →0 2 σ / ( ds )2
11.-Se denomina Hélice general aquella curva cuyas tangentes formanUn ángulo constante con una dirección fija .Demostrar que una curva es
una hélice general si solo si sus binormales forman un ángulo constante
Con una dirección fija.
Solución:
Sea el vector que define dicha dirección fija , de :
. = cosθ = constante………. (1) y k/t =constante………… (2)
Características de una hélice general:
Derivamos (1) respecto del parámetro “S” longitud de arco
k = 0…………….. (3)
Derivamos (3) respecto del parámetro “S” longitud de arco
-k . + t = =0
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 51/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 51
= (k/t)cosθ
Entonces para que sea una hélice general debe cumplir si solo si la
condición:
“hélice general si solo si sus binormales forman un ángulo constante”
Lo cual desprende la característica de una hélice:
k/t =constante = tgtθ
12.- Demuestre que la curvatura k* de la proyección de una hélice
general estará dada por k = k* (senθ)2 donde θ diferente de cero, es el
ángulo que forma el eje con los vectores tangentes ah la hélice y k la
curvatura de la hélice.
Solución:
Sea * el vector posición que define ah la proyección de la hélice y
el vector posición que define ah la hélice ,
el vector normal al plano
de la hélice proyectada ,entonces :
* = – ( . )
Derivando respecto del parámetro S1 (longitud de arco de la hélice
proyectada)
* = (
– (
)
)dS /dS1 ……….. (1)
Sacando modulos en (1)
dS/dS1 = 1/ senθ
derivando (1) respecto de S1 y sacando modulos se obtiene la relación :
k = k* (senθ)2
13.-Si “C” es una curva con torsión “t” no nula, demostrar que es una
curva de Bertrand si solo si existen constantes m y n tales que cumple lo
sgte : m k + nt = 1 ; k= curvatura y t = torsión
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 52/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 52
Solución:
Una curva de Bertrand es aquella cuyas normales son paralelas a las
normales de otra curva, entonces partimos de ello:
* y las curvas de Bertrand con lo cual tenemos la sgte relación :
* = + c ……….(1) , c = constante
Derivando (1) respecto del parámetro S1 (longitud de arco para *)
* = ((1-ck))
+ ct
) dS
/dS
1…………….(2)
Sea * = (cosθ ,senθ ) , de (2) desprendemos :
Tgtθ = ct / 1-ck ………………………… (3)
De (3) :
1= (ctgθ)ct +ck -------- m k + nt = 1 (relación pedida)
De esta comparación se desprende lo sgte :(ctgθ)c = n y c =m , donde c = es la distancia entre 2 curvas de Bertrand
14.- Demuestre:
Lim(X,Y)→(1,2) XY = 2
Solución: Por definición: є > 0, existe un d > 0 / Ix-1I < d y Iy-2I < d entonces Ixy-2I < є
De Ixy-2I < є, hacemos el pequeño artificio sgte :
Ixy-2x+2x-2I < є → Ix( y-2)+2(x-1)I < є por desigualdad triangular :
Ix( y-2)+2(x-1)I < Iy-2I.IxI +2 I(x-1)I < є ……….. (1)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 53/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 53
Acotamos x para un d1= ½ entonces
½ < x < 3/2 → Iy-2I.IxI < 3 d /2 , ademas Ix-1I < d ……………….. (2)
De (1) y (2)
Iy-2I.IxI +2 I(x-1)I < 7d / 2 = є
Por lo tanto dminimo = ( 2є / 7 , ½ )
15.- Encuentre en caso exista un plano osculador para la curva “C” :
Sea (t) el vector posición que define ah la curva “C” , (t) =( t2 , t2 , t) que pase por el punto (1,2,3).
Solución:
Hallando el plano osculador en cualquier punto “t”
(t) = ( 2t , 2t, 1 ) (t) = ( 2, 2, 0 )
Como
//
(t) X
(t)
la ecuación del plano osculador en cualquier punto “t”, sea “P” un punto
perteneciente ah ese plano ,será :
(P-( t2 , t2 , t)).(-2,-2,0) =0
Para que el punto (1,2,3) pertenezca ah un plano osculador de la curva
,entonces debe haber un “t” real que satisfaga la ecuación, tomáremos ah
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 54/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 54
(1,2,3)como el punto “P” y reemplazamos en la ecuación del plano
osculador :
(1-t2)(-2) +(2-t2).2 = 0
-2+ 2t2 +4 – 2t2 =0 → 2 = 0 (falso ) ,lo cual implica que no existe
Plano osculador de la curva (t) que pase por el punto (1,2,3) .
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 55/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 55
16.-
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 56/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 56
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ciclo Académico : 201113CULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Fecha: 22/01/11 DEPARTAMENTOS ACADÉMICOS Duración: 2 horas
CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133 M
TIPO DE PRUEBA: PRACTICA No. 1 Ex. PARCIAL EX. FINAL
1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas en caso seafalsa dar un contraejemplo, si es verdadera justificar brevemente.
a. El conjunto 2( , ) / ( , ) (0,0) A x y R x y es un conjunto convexo.
b. La frontera de la región , / x y x I es 2 R .
2. Justificar la verdad o falsedad de:
a. SI , A B B simplemente conexo, entonces A también es simplementeconexo .
b. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva , con parametrización
3: , ,100r I R I a , con aceleración constante en modulo, entonces
( ). ( ) 0
t
a
a u a u du .
3. Analice si se cumple: 0 0 0 0( ) ( ) ( ) , f t f t f t t Dom f
4. Demostrar que 2( , ) / 0 A x y R x es un conjunto abierto.
5. Demostrar que toda curva plana, tiene torsión cero en cada punto de dichacurva.
6. Demostrar que una curva con parametrización ( )r t es una curva plana si
su torsión es cero en todo punto de ella.
7. Demostrar que una curva con parametrización ( )r t tiene como curvatura
( ) ( )( )
3( )
r t xr t k t
r t
8. Parametrizar la curva si una parametrización es
( ) (1 , , 2 ) , 0,1r t t t t t
Usando como parámetro la distancia del origen al punto del segmento.
9. Encontrar el vértice de la parábola descrita por la función vectorial2( ) (1 ,3 1 )r t t t t t .
10. Hallar las ecuaciones de los planos normal, rectificante y osculador a la curva
2 2 2 2 2, / 3, 2C x y x y z x y en el punto (1,1,1).
11. Sea C una curva dada por )23,1,2()( 22 t t t t hallar la ecuación de la recta
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 57/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 57
1. Encontrar una función armónica
U(X,Y,Z) = φ (x2+ y2 +z2 )
En caso exista tal función.
Solución:
Sea T (X,Y,Z) = x2+ y2 +z2
Para que sea armonica φ(t) debe cumplir la ecuación de Laplace de
Donde se desprende la sgte relación:
= -
Tx = 2x → Txx = 2
Ty = 2y → Tyy = 2
Tz = 2z → Tzz = 2
Entonces
= ∫ dt → =
/c
Φ' (t) = (t/c) -3/2 → φ(t) = -2C1 (1-1/
) + C2 , donde C1 =(
)-3/2
FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL.
Teorema de Schwartz
Se trata sobre la permutabilidad de las
derivadas parciales.
Enunciado.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 58/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 58
tal que tenga dadas en , si las funciones , son continuas en , y
aplicación
Encontrar de manera que:
continuas en todo
FP:
En el caso de se tendrá. / en
si
son continuas.
en y en
aplicación:
Encontrar
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 59/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 59
1) continuas en .
Hallamos ∫
cte
luego:
a cte
Relación con EDO
Podemos apreciar que al igual que
en : I I es diferenciable si:
para alguna
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 60/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 60
tal que
Para una
siempre que
es pequeño
PDA Usando dif
√
√
√ √
.
√ √
√ √
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 61/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 61
EDOEPO
Es exacta si
Por Schwartz
es la solución EDO. Aplicación
Resolver
∫
∫
Aplicación
Resolver:
veamos si
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 62/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 62
sq
La solución será.
Recordando MA113
ambos diferenciales,
Sea :
y si cada variable
entonces podemos encontrar
para lo cual usamos
“cadenas”
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 63/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 63
+
Comentario
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 64/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 64
Caso Particular
Ejercicio
Si es una función de
(unidad imaginaria)
Verificar que
Derivada Direccional| |
Interpretación
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 65/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 65
Derivadas Parciales
base canónica de
es la derivada parcial de
con respecto a en .
Notación
Apreciaciones
Si entonces
En caso
Si ¿ es continua en ?
Veamos si se cumple o no que
k-ésima
componente
Plano
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 66/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 66
Consecuencia
es conocida como una derivada de orden?
así podemos definir cualquier otra derivada de
orden superior
Comentario
‖‖
‖‖
encontremos
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 67/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 67
-
Gradiente
Dada
entonces el gradiente de
se define como
(Notación sintética)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 68/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 68
Nos interesa cuando
Ejemplo
En cada punto donde existe
se interpreta de la siguiente
manera. será una
“superficie” (en general), si entonces
Consecuencia
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 69/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 69
Relación con la Derivada Direccional
así podemos ver que es máxima
cuando y
tiene la misma dirección
y sentido.
Laplaciano
Es un operador que está definido ∑
()
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 70/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 70
Nota
Ecuación de Laplace
Definición
se dice que es
una función armónica, si:
PI
¿ ?
(nota )
En General
Sustituyendo en la ecuación
de Laplace.
Separando variables
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 71/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 71
∫ ∫
En caso afirmativo
∫∫ ⌋ Caso analizado
_ ___
∫∫ ⌋
Teorema de Existencia
Si conocemos las derivadas parciales
de una , como encontramos .
Para lo cual hablaremos de la
diferencial de una función.
Continuidad
Si se dice que es continua en si
1) p.a de 2)
3)
Consecuencia
continua en
si
1)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 72/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 72
2)
3)
Equivalentemente:
cont en
Continuidad en ( Sea
cont en
continua en
Limitación
Imaginación (pensemos en n=6)
.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 73/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 73
Derivada Direccional
Dada una función
donde , tomemos
unitario ‖ ‖ definimos
h variable real
Consideremos
.
.
.
Plano
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 74/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 74
en este caso
es una superficie
De la gráfica se concluye que es la pendiente de la
recta tangente a curva
intersección del plano
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 75/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 75
=
Aplicación
Encuentre si
donde √ √
= √ √
= √ √
√ √
√
ahora
√
Derivadas Parciales
La base canónica de es aquel vector
unitario cuyas componentes
son O, salvo la i-ésima
componente que es 1
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 76/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 76
Definición
Si
Aplicación
Si , encontrar
apreciamos
Observación
Si
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 77/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 77
Ejemplo:
V o F
intervaloSea
entonces.
Encontrar la curvatura máxima para dada
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 78/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 78
son curvas de Bertrand asociadas
El vector de Darboux satisface
en el cual
Determine en caso exista un plano
osculador a la curva
de manera que pasepor el punto Encuentre la podaria para la parábola
P.I
V o F es una curva simple
definida por
|| es una curva regular es un conjunto convexoSi , y convexos
entonces
es convexo
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 79/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 79
No tiene derivada en cero
II)
III)
4) Si
,
y
convexos
entonces es convexo
5) Si es los conjuntos
convexo , entonces y son
convexos
Si
es convexo (no vacío)
1 √
V
F
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 80/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 80
entonces y son convexos
De la def
Taylor
Recordemos cuando
∑
Generalizando: diferenciable en , es decir tiene
todas sus derivadas parciales
continuas en .
Podemos aproximar , mediante lospolinomios de Taylor, aproximemos por
un polinomio de grado 1 en
.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 81/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 81
Polinomio de grado 2
+
+
Grado 3 en tres variables
+
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 82/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 82
Ejercicio
Aproximar
por
PROBLEMAS 11. Calcular || || ∑ ||
Sol.
Como: ||||
||||
||||
Luego:
||||∑ ||
|| | | | |
Tomamos la trayectoria
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 83/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 83
|| | | | | ||||
|| | | | | || √ |||| √
Como los limites son diferentes, entonces:
||||∑ ||
2. Calcular:
|| |||| ||
∑
,
Sol.
Como:||||
||| |
|||||| ||
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 84/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 84
|||||| ||∑
Luego:
|||||| ||∑
Tomamos la trayectoria:
||
Si:
Entonces concluimos que:
|||||| ||∑
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 85/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 85
3. Resolver:
Sol.
Sea:
Derivamos respecto a x:
Derivamos respecto a y:
) Luego:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 86/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 86
Entonces tenemos la ecuación:
4. Resolver:
Sol.
Usamos:
Entonces:
Integramos:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 87/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 87
5. Resolver:
Sol.
Usamos:
Entonces:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 88/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 88
PROBLEMAS 2
1. Analizar si existe o no:
∑
∑ En caso afirmativo demostrar que existe por
definición.
Sol.
∑ ∑
Tomamos la trayectoria:
=
Si: ∑ ∑
∑ ∑
Demostramos usando la definición:
Con =
| | | | | |
Como: || , tomamos: . El limite queda demostrado.
Entonces:
∑ ∑ , si
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 89/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 89
∑ ∑ , si
2. Determine la condición para que
exista una función armónica
Sol.
Sea:
Por la ecuación de Laplace:
Integrando:
, constantes.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 90/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 90
3. Determinar la distancia mínima del origen a la curva
Sol.
La distancia del origen a un punto (x,y,z) de la curva esta dada por:
Por multiplicadores de Lagrange:
Derivando:
Resolviendo el sistema:
Evaluando en la ecuación:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 91/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 91
4. Encontrar una solución de la ecuación:
Sol.
Sea:
Derivamos respecto a x:
Derivamos respecto a y:
)
Entonces:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 92/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 92
También:
Entonces tenemos la ecuación:
Integrando:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 93/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 93
5. Se tiene que
Determine la ecuación de Laplace en términos de y
Sol.
Ordenando variables:
Por diferenciación total:
Por la ecuación de Laplace:
6. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva
,
paralela a la recta L=P=t(2,-3,1)/t
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 94/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 94
Sol.
Sea:
.…(1)
.…(2)
Hallamos sus vectores gradiente:
La recta tangente tiene por vector direccional a:
x
x
Por ser paralela a la recta: L=P=t(2,-3,1)/t, entonces:
,
Entonces: x
Buscamos un punto de paso (el punto de tangencia):
en (1) y (2)
7. Encontrar en que dirección la derivada direccional , √
Sol.
Por definición:
(producto escalar)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 95/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 95
| || | | |
El máximo valor se da cuando , es decir: (paralelos)
Como:
es el ángulo formado entre el gradiente y el unitario
√
Por ser paralelos, el gradiente tiene la dirección √
Por lo tanto:
El máximo valor de la derivada direccional se obtiene cuando el gradiente y tienen la misma
dirección.
La dirección pedida será .
8. Demostrar que la media aritmética de tres números es mayor que la media geométrica
usando máximos y mínimos.
Sol.
Sean los números:
Tomémoslo como los puntos de la esfera:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 96/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 96
Hallaremos los puntos de la esfera en los cuales la función: es máxima.
Usando multiplicadores de Lagrange:
Resolviendo:
√
Evaluando en la función:
(valor mínimo)
√ √ √ (valor máximo)
Entonces:
√ √ √
Como:
9. Determine la distancia mínima entre las superficies
Sol.
Sea:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 97/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 97
Hallando los máximos y mínimos de las funciones y
(valor extremo: máximo absoluto)
(valor extremo: mínimo absoluto)
Luego:
La distancia mínima será: dmin=20-10=10unidades
10. Sea f una función definida sobre un conjunto abierto A, supongamos que existen
derivadas parciales para todo punto de este conjunto y que son continuas. Demostrar
que es diferenciable.
Sol.
Dado que , están definidas en un entorno de un punto cualquiera del
conjunto A, además , son continuas en .
Luego podemos hallar un incremento de f en el punto :
x
y
z
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 98/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 98
Donde:
Podemos definir:
Luego:
[ ]
Por continuidad: cuando
Entonces por definición:
es diferenciable.
11. Mostrar que la función es diferenciable en todo
Sol.
F esta definida en todo , veamos si es diferenciable en un punto cualquiera
Analizamos el incremento de la función:
Ordenando términos:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 99/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 99
Como:
Entonces podemos escribir:
Donde:
Entonces:
la diferenciabilidad queda demostrada
12. En el circuito mostrado, halle R la resistencia conectada en ab talque consume la
máxima potencia, I,r1,r2 son conocidas.
Sol.
Reduciendo el circuito
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 100/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 100
Luego la resistencia equivalente entre los puntos a y b es:
Entonces:
La resistencia conectada entre a y b que consume la máxima potencia es:
PROBLEMAS 3
1. / ?
Sol.
Sea:
Luego:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 101/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 101
Reemplazamos en:
como:
Luego.
∫
√
Reemplazando:
2. Expresar el laplaciano en términos de u y v
…(1)
…(2)
Sol.
Derivamos respecto a x:
Derivamos respecto a y:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 102/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 102
PROBLEMAS 16. Calcular || || ∑ ||
Sol.
Como: ||||
||||
||||
Luego:
||||∑ || || | | | |
Tomamos la trayectoria
|| | | | | ||||
|| | | | | || √ |||| √
Como los limites son diferentes, entonces:
||||∑ ||
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 103/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 103
7. Calcular:
|| |||| ||∑ ,
Sol.
Como:
||||
||| |
|||||| ||
|||||| ||∑
Luego:
|||||| ||∑
Tomamos la trayectoria:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 104/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 104
||
Si:
Entonces concluimos que:
|||||| ||
∑
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 105/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 105
8. Resolver:
Sol.
Sea:
Derivamos respecto a x:
Derivamos respecto a y:
)
Luego:
Entonces tenemos la ecuación:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 106/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 106
9. Resolver:
Sol.
Usamos:
Entonces:
Integramos:
10. Resolver:
Sol.
Usamos:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 107/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 107
Entonces:
PROBLEMAS 2
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 108/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 108
13. Analizar si existe o no: ∑ ∑ En caso afirmativo demostrar que existe por
definición.
Sol.
∑ ∑
Tomamos la trayectoria:
=
Si: ∑ ∑
∑ ∑
Demostramos usando la definición:
Con =
| | | | | |
Como: || , tomamos: . El limite queda demostrado.
Entonces:
∑ ∑ , si
∑
∑ , si
14. Determine la condición para que exista una función armónica
Sol.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 109/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 109
Sea:
Por la ecuación de Laplace:
Integrando:
, constantes.
15. Determinar la distancia mínima del origen a la curva
Sol.
La distancia del origen a un punto (x,y,z) de la curva esta dada por:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 110/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 110
Por multiplicadores de Lagrange:
Derivando:
Resolviendo el sistema:
Evaluando en la ecuación:
16. Encontrar una solución de la ecuación:
Sol.
Sea:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 111/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 111
Derivamos respecto a x:
Derivamos respecto a y:
)
Entonces:
También:
Entonces tenemos la ecuación:
Integrando:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 112/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 112
17. Se tiene que
Determine la ecuación de Laplace en términos de y
Sol.
Ordenando variables:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 113/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 113
Por diferenciación total:
Por la ecuación de Laplace:
18. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva ,
paralela a la recta L=P=t(2,-3,1)/t
Sol.
Sea:
.…(1)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 114/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 114
.…(2)
Hallamos sus vectores gradiente:
La recta tangente tiene por vector direccional a:
x x
Por ser paralela a la recta: L=P=t(2,-3,1)/t, entonces:
,
Entonces: x
Buscamos un punto de paso (el punto de tangencia):
en (1) y (2)
19. Encontrar en que dirección la derivada direccional , √
Sol.
Por definición:
(producto escalar)
| || | | |
El máximo valor se da cuando , es decir: (paralelos)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 115/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 115
Como: es el ángulo formado entre el gradiente y el unitario √
Por ser paralelos, el gradiente tiene la dirección √
Por lo tanto:
El máximo valor de la derivada direccional se obtiene cuando el gradiente y tienen la misma
dirección.
La dirección pedida será .
20. Demostrar que la media aritmética de tres números es mayor que la media geométricausando máximos y mínimos.
Sol.
Sean los números:
Tomémoslo como los puntos de la esfera:
Hallaremos los puntos de la esfera en los cuales la función:
es máxima.
Usando multiplicadores de Lagrange:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 116/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 116
Resolviendo:
√
Evaluando en la función:
(valor mínimo)
√ √ √ (valor máximo)
Entonces:
√ √ √
Como:
21. Determine la distancia mínima entre las superficies
Sol.
Sea:
Hallando los máximos y mínimos de las funciones y
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 117/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 117
(valor extremo: máximo absoluto)
(valor extremo: mínimo absoluto)
Luego:
La distancia mínima será: dmin=20-10=10unidades
22. Sea f una función definida sobre un
conjunto abierto A, supongamos que existen derivadas parciales para todo punto de
este conjunto y que son continuas. Demostrar que es diferenciable.
Sol.
Dado que , están definidas en un entorno de un punto cualquiera del
conjunto A, además , son continuas en .
Luego podemos hallar un incremento de f en el punto :
Donde:
x
y
z
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 118/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 118
Podemos definir:
Luego:
[ ]
Por continuidad: cuando
Entonces por definición:
es diferenciable.
23. Mostrar que la función es diferenciable en todo
Sol.
F esta definida en todo , veamos si es diferenciable en un punto cualquiera
Analizamos el incremento de la función:
Ordenando términos:
Como:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 119/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 119
Entonces podemos escribir:
Donde:
Entonces:
la diferenciabilidad queda demostrada
24. En el circuito mostrado, halle R la resistencia conectada en ab talque consume la
máxima potencia, I,r1,r2 son conocidas.
Sol.
Reduciendo el circuito
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 120/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 120
Luego la resistencia equivalente entre los puntos a y b es:
Entonces:
La resistencia conectada entre a y b que consume la máxima potencia es:
SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS III
(18/05/06)
ALUMNO: Edwin Gómez Obregón
CODIGO: 20050211J
Pregunta Nº 01
Halle la ecuación vectorial de una curva tal que la perpendicular trazada desde el centro de
curvatura hacia el vector de posición, divida a la longitud del radio vector en dos segmentos
que están en la relación de:
n(OM)=m(MP)
O: origen de coordenadas.
P: extremo del radio vector.
M: intersección de la perpendicular.
solución :
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 121/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 121
Sabemos que: tg ='r
r →
22 'r r r
Y
|''.'2|
)'(22
2/322
r r r r
r r
r’
Sea: r(t) la ecuación de
Del grafico:
n P
M
m
O
sen MP
22'
).(
r r
r mn
nr
Reemplazando “ ”, obtenemos:
n
mn
r r
r r r r
|'|
|''.'2|22
22
= C
Derivando tg ='r
r , se obtiene:
sec2
22
'
''.''.
r
r r r →
2
2
2
22
'
''.')')(
'
'(
r
r r r
r
r r
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 122/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 122
1
22
22
22
2
)(
:int
1'
1'
''.'2'
'
''.''
C C
egrando
C
r r
r r r r
r r
r r r
Luego: tg '
)1( 1r
r C C
1)1( C C tg r
r
)1/(1
12
2
1
)1(
ln)1(
)1(lnln
:int
C C C senC r
C C
C C senr
egrando
La ecuación vectorial de la curva será:
))1(();)1(.(cos)( 1212 C C sen senC C C senC X
Pregunta Nº 02
En una circunferencia de diámetro OA consideramos dos puntos variables M y N tales que
m<AOM=<MON. La circunferencia de centro M y radio MO interfecta en P a ON. Halle y
grafique la función vectorial que describe el punto P.
solución :
Del grafico:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 123/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 123
R
N
P
M
O
)2/cos(2 ROM
)2/cos(2 OM OP
2)2/cos(4 ROP
))cos(1(2 ROP
r= ))cos(2R(1 ……ecuación polar de una cardiode.
Pregunta Nº 03
Hallar las ecuaciones paramétricas de la PODARIA de una curva plana F(x,y)=0, respecto al
punto ),( 00 y x P .
P
N
M
O
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 124/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 124
Del grafico adjunto:
0
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
y
x
F
F
dx
dy Luego el vector
1)(
),1(
2
y
x
y
x
F
F
F
F
T y el vector
1)(
)1,(
2
y
x
y
x
F
F
F
F
N
M= PN proy P n
=(0;0 y x ) +[(
0,0 y y x x ) .(
1)(
)1,(
2 y
x
y
x
F
F
F
F
)] *
1)(
)1,(
2 y
x
y
x
F
F
F
F
Pregunta Nº 04
Demostrar que las Involutas de la curva
:
)(2,
1
2,
)1(
)1()(
22
2
ubarctg u
au
u
uau x
u0 , son curvas planas.
solución :
Hacemos el siguiente cambio de variable: u= tg (t/2) → bt asent t at x ,,cos)(
Notamos que es una hélice:
22 baa ; 22 ba
b
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 125/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 125
Luego la ecuación de la involuta:
)().()()(* sT sc sr sr
Hacemos la primera, segunda y tercera derivada respectivamente:
i) )()()(*' s N sc sr
ii) )()(')()('*' s N s N sc sr
iii) )('2)('')()(''*' s N s N sc sr .
Luego, sabemos:
2
|'*'*'|
''*''.*'.*
r r
r r r
Entonces: ''')('')('.2''*''*' 2222 N N sc N N c s N N r r
Haciendo el triple producto escalar:
'''.)(''*''*'*'. 33 N N N scr r r ……….( )
)(''
''
'
2
2
N N
N N N
BT N
Reemplazando en ( ):
0''*''*'*'. r r r → =0…. (curva plana)
Pregunta Nº 05
Sea f: A R R 2 , definida por:
),( y x f =)933)(( xy y x y x
xy
Halle los extremos de la función usando la matriz Hesiana.
solución :
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 126/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 126
Factorizando denominador:
)3)(3)((),(
y x y x
xy y x f
Hallando los puntos críticos e igualando a 0:
)3()3()(
)3(),(
22
2
y x y x
x y y y x f x
= 0
22
2
)3())(3(
)3(),(
y y x x
y x x y x f y
=0
Existe en todo su dominio; resolviendo los sistemas de ecuaciones
23 y x 3y=x 2
3 x 3 y Punto critico )3,3( x
432/1)3,3( xx f xx f )3,3( < 0
432/1)3,3( yy f H (3,3) = yy yx
xy xx
f f
f f
)3,3()3,3(
)3,3()3,3(> 0
864/1)3,3( xy f
864/1)3,3( yx f Luego 24/1)3,3( f máximo relativo
Pregunta Nº 06
En el circuito mostrado, halle R para que la resistencia conectada en a-b consuma la máxima
potencia. I, r1 y r2 son conocidos.
solución :
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 127/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 127
Reduciendo el circuito:
)2(
))((
21
121
Rr r
r Rr r R
ab
De acuerdo al teorema de thevenin:
R ab
R …… para maximizar la potencia entre los bornes ¨a¨ y ¨b¨
)2(
))((
21
121
Rr r
r Rr r
=R
R21
2
121 )( r r r r r =2 2
21 R Rr Rr → )()( 2111
2 r r r r R R =0
2
)(4 211
2
11 r r r r r R
2
)45 21
2
11 r r r r R
Pregunta Nº 07
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 128/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 128
Usando la regla de la cadena, halle la ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto
M (3, 5,7)
S: x = 2u - v
y = u² + v²
z = u³ - v³
solución :
Consideremos:
F(x,y,z) = 0 → F(u,v) = 0, para hallar la ecuación del plano tangente necesitamos hallar el vector
gradiente, es decir: F = ( z
F
y
F
x
F
;; )
Luego:
u
F
=
x
F
.
u
x
+ y
F
.u
y
+ z
F
.
u
z
= 0
v
F
= x
F
.v
x
+ y
F
.v
y
+ z
F
.v
z
= 0
F x (2) + F y (2u) + F z (3u²) = 0
F x (-1) + F y (2v) + F z (3v²) = 0 ; para (x,y,z)=(3,5,7) →(u,v)=(3,5)
Reemplazamos:
F x = (2
9) F
z
F y = (4
3) F
z ; F = (
2
9;
4
3; 1) F
z .
La ecuación del plano será:
[(x-3) ;(y-5) ;(z-7)]. (18; 3;-4)=0 → P: 18x + 3y – 4z = 41
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 129/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 129
Pregunta Nº 08
Determinar las coordenadas de un punto de la superficie. S:12
2 x+
18
2 y+
6
2 z = 1, cuya distancia
al plano P: x + y – z = 18, sea mínima.
solución :
Teniendo: S:12
2 x+
18
2 y+
6
2 z = 1
P: x + y – z = 18
La distancia mínima en un punto esta dada por: d =3
|18| 000 z y x
Entonces, aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange:
G F
z y x z y xG
z y xd z y x F
0161812
),,(
)18(3),,(
2
0
2
0
2
0
2
000
2
Desarrollando:
2(x0
+ y0
- z0
- 18) = λ (12
2 0 x)
2(x0
+ y0
- z0
- 18) = λ (18
2 0 y)
-2(x 0 + y 0 - z 0 - 18) = λ ( 6
2 0 z
)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 130/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 130
De donde encontramos:
x0
= 12k, y0
=18k, z0
=-6k, reemplazando en G(x,y,z) =0, tenemos que k= 1/6
El punto donde ocurre la distancia mínima (k = 1/6): (x0
, y0
, z0)= (2,3,-1)
Pregunta Nº 09
Hallar la curvatura de una curva ζ definida por las ecuaciones
S1: x + senhz = seny + y
S2: z + ez = x + Ln(1 + x) + 1, en el punto (0,0,0).
solución :
Derivando implícitamente ambas ecuaciones de las superficies, tenemos:
1 + coshz.z’ = cosy.y’+ y’→ z’+1=2y’
z’+ ez .z’=1 + x1
1+ 0→z’=1
x’=1, y’=1, z’=1→ 'r =(1,1,1)
Derivando por segunda vez implícitamente:
senhz.(z’)² + coshz.(z’’)=-seny.(y’)² +cosy.(y’’) + y’’
z’’ + ez .(z’)² +ez .(z’’) =2
)1(
1
x
z’’=2y’’
Luego z’’ + (z’)² + z’’= -1, de donde obtenemos: z’’=-1→ y’’=-1/2
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 131/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 131
''r = (0,-1/2,-1) κ=|3|'|
|'''|
r
xr r , reemplazando obtenemos finalmente: κ = 2 /2
PROBLEMA:
Dada una curva R*=
)4(2;
4 22
3
22
2
t p
t
t p
pt y un punto P = (0,0) , determine la ecuación
vectorial de una curva R cuya PODARÍA es R*(t) respecto al punto P.
SOLUCION:
Observando el grafico, nos damos cuenta de que la curva R, viene a ser la ENVOLVENTE de la
familia de rectas que son perpendiculares a P-R*(t) y que pasan por el punto R*(t)
Del grafico se deduce que (P-R*) (R-R*)=0
Ahora llamaremos: f(x,y,t) = (P-R*(t)) (R(x,y)-R*(t))=0 …(1)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 132/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 132
Derivando C parcialmente respecto a t ,e igualando a cero
t t)y,f(x,
= (-R*´(t)) (R-R*)+(P-R*) (-R*´(t))=0
t t)y,f(x,
= (R*´(t)) (R- 2R* +P)=0 …(2)
Ahora sabemos que la ecuación de una ENVOLVENTE cumple las siguientes 2 ecuaciones:
f(x,y,t) = 0
t t)y,f(x, =0
Por lo tanto la Ecuación de R tendrá que cumplir las ecuaciones (1) y (2)
f(x,y,t) = (P-R*(t)) (R-R*(t))=0 …(1)
t t)y,f(x,
= (R*´(t)) (R- 2R*(t) +P)=0 …(2)
Y a partir de este sistema de ecuaciones se hallara la ecuación de R. (ANTIPODARIA)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 133/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 133
--------
Ahora, en el problema nos dan:
R* =
)4(2;
4 22
3
22
2
t p
t
t p
pt y P = (0,0)
luego: R*´ =
)4(2
12(;
)4(
822
222
222
3
t p
pt t
t p
t p
Remplazando R* y P en (1):
f(x,y,t ) =
)4(2;
4 22
3
22
2
t p
t
t p
pt
)4(2
;4
),(22
3
22
2
t p
t
t p
pt y x = 0
Luego multiplicando y ordenando, se reduce a:
f(x,y,z) = x(-16p3-4pt 2 ) + y(8p2t+2t 3 ) -4p2t 2- t 4= 0 …(3)
Ahora reemplazamos R*´ , R* y P en (2):
t
t)y,f(x,=
)4(2
12(;
)4(
822
222
222
3
t p
pt t
t p
t p
)4(2
;
4
2),(22
3
22
2
t p
t
t p
pt y x = 0
Multiplicando, desarrollando y ordenando :
t
t)y,f(x,= x(-64p5-16p3t 2 )+ y(t 5+48p4t+16p2t 3 ) – t 6 -12p2t 4-32p4t 2 =0 …(4)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 134/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 134
Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) :
x =4p
t 2
; y = t
Por lo tanto:
R =
t
p
t ;
4
2
y 2=4px
NOTA: el R obtenido es una parábola y2=4px que tiene como podaría a R*que es una cisoide.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 135/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 135
PROBLEMAS 3
1.
/
?
Sol.
Sea:
Luego:
Reemplazamos en:
como:
Luego.
∫ √
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 136/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 136
Reemplazando:
2. Expresar el laplaciano en términos de u y v
…(1)
…(2)
Sol.
Derivamos respecto a x:
Derivamos respecto a y:
Valores Extremos
Sea
definamos
toma un valor máximo absoluto en
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 137/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 137
toma un valor mínimo
absoluto en
alcanza un valor máximo
(mínimo) relativo o local en
Recordemos
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 138/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 138
Visualizando
alcanza un valor mínimo absoluto
(por ende relativo o local) en los ejes
coordenados y en la recta
Punto Crítico
Dada
si
MAX
MIN
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 139/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 139
Conclusión
Si es diferenciable en su
dominio, entonces en caso
tome un valor extremo, lo
alcanzará en un punto
crítico.
Caso n
Si
es un punto crítico para
(que es diferenciable en ) entonces
definimos entonces
1) Si y ,entonces alcanza un valor mínimo en
2) Si
y
, entonces
alcanza un valor máximo en
Aplicación
Gráficamente apreciamos que toma
valores extremos
Punto crítico
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 140/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 140
Dado
si
de donde.
Puntos críticos:
Verificando con el criterio
de las segundas derivadas
parciales.
analizar
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 141/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 141
PC:
y
pero:
ante este caso tedioso, lo que se sugiere es usar
Multiplicadores de Lagrange.
Si tenemos una restricción:
Distancia
mínima
√
√
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 142/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 142
es una restricción
||√
ALT 1
Puntos Críticos
ALT 2
Punto de Silla
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 143/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 143
Matriz Hessiana
Polinomio Característico | | Criterio
PC es
P.C
ALT 1 Cambio de signo de ALT 2 DEF | | | |
| | | |
Comentario
Si hay un valor extremo, y tiene
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 144/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 144
PC (0, 0,0)
⁄ ⁄
1)
así tenemos un punto de sillaen el
2)
Valor mínimo relativo o local en el
Multiplicadores de LagrangeCuando encontremos un valor extremocondicionado para una función
, podemos
usar multiplicadores de Lagrange. Aclaración
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 145/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 145
ALT 1
ALT 2
ALT 3 Encontrar tal que: Cuando hay una restricciónsi donde
ALT 2
ALT 3 PC:
Problema
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 146/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 146
Distancia al
: : ALT 2
Distancia al
| |
√
⁄ ⁄
SOLUCIONARIO DE LA TERCERA PRACTICA CALIFICADA DEMATEMATICA III (2009-I)
1.-Usando integrales dobles, calcule el área de la región acotada por la curvadenominada Bifolium de Descartes.
SOLUCION
Dada la ecuación: 2
2 2 2
4 x y axy
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 147/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 147
Transformando a polares obtenemos:
4 3 2
2
4 cos
4 cos
r ar sen
r a sen
Los límites de integración, según la grafica son:
02
; 20 4 cosa sen
A
24 cos 22
0 04
a sen
ardrd
Pero la gráfica es simétrica respecto al eje polar razón por la cual multiplicamos
ala integral por dos, de donde el área es igual a:
A
2
2
a
2.-Usando la serie de Taylor para dos variables, deducir la ecuación de Euler,
para la integral 2
1
; ; '; "
x
x
I f x y y y dx
SOLUCION
Estableceremos los límites:
1 2 0 x x
Si es un pequeño parámetro, entonces:
y x y x x
' ' ' y x y x x
'' '' '' y x y x x
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 148/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 148
2
1
; ; '; ''
x
x
I f x y y y dx
2
1
; ; ' ' ; '' ''
x
x
I f x y x x y x x y x x dx
Cuando 0, la formula da ' ' y x y x y puesto que y x minimiza la integral,
se sabe que I debe tener un valor mínimo cuando 0.
Por calculo elemental, una de las condiciones necesarias para esto es que se anule laderivada de ' I cuando 0.La deriva de ' I puede calcularse derivando la
forma inicial
2
1
' ; ; '; ''
x
x
I f x y y y dx
Por regla de la cadena para derivar funciones de varias variables, se tiene
' ''; ; '; ''
' ''
f x f y f y f y f x y y y
x y y y
' ''' ''
f y f y f y y y y
' ''' ''
f f f x x x
y y y
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 149/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 149
Reemplazando en la integral:
2
1
' ' ''' ''
x
x
f f f I x x x dx y y y
Ahora bien , ' 0 0 I ,de modo que la hacer 0 ,se obtendrá dicho resultado ,en
esta ecuación la derivada ' x ,se puede eliminar integrando del segundo y tercer
termino por partes ,lo que da :
Como 1 20 x x , la integral nos quedaría:
2 2
1 1
'' '
x x
x x
f f x dx x dx
y x y
Integrando por partes el segundo termino:
2 2
2
1
1 1
'' ' ''' '' ''
x x
x x
x x
f f f x dx x x dx y y x y
2 2
2
1
1 1
'' ' '
x x
x
x
x x
f f f x dx x x dx
y y x y
2 2
1 1
'' ''' ''
x x
x x
f f x dx x dx
y x y
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 150/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 150
Pero integramos nuevamente por partes:
Reemplazando en la funcional, obtenemos:
Pero 0 x , razón por la cual la expresión que debe ser cero es la que se
encuentra dentro del paréntesis.
De allí que la ecuación de Euler quede expresado de la siguiente manera:
2
20
' ''
f f f
y x y x y
2 2
1 1
2
2''
'' '' ''
x x
x x
f f f x dx x dx x dx
y x y x y
2 2
2
1
1 1
2
2''' '' ''
x x
x x
x x
f f f x dx x dx x dx x y x y x y
2 2
1 1
2
2''
'' ''
x x
x x
f f x dx x dx
y x y
2
1
2
2(0) 0
' ''
x
x
f f f I x x x dx
y x y x y
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 151/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 151
3.-Evalué usando una transformación adecuada la siguiente integral doble
2 I x y dxdy
en la región ; /1 2 2;1 2 2 x y x y x y
SOLUCIÓN
Para simplificar los cálculos usamos la siguiente transformación:
2
2
u x y
v x y
De donde, despejando obtenemos: 2
2
u v x
u v y
De la transformación, se deduce:1 2;1 2u v
Hallando el jacobiano de la transformación:
1 1
2 2 141 1
4 4
dx dx
du dv
dy dy
du dv
Reemplazando en La integral, obtenemos :
2 2
2 2
1 1
1 5529616
u v uv u v dudv
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 152/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 152
6.-Utilice las coordenadas polares para combinar la suma siguiente2
2
1 2 2 4
1 1 0 0212
x x x
x
I xydydx xydydx xydydx
dentro de una integral doble
.Grafique la región de integración y después evalué la doble integral doble.
SOLUCION
Los límites de la primera integral son:1
12
x ; 21 x y x
Los límites de la segunda integral son: 1 2 x ; 0 y x
Los límites de la tercera integral son: 2 2 x ; 20 4 y x
Transformando a polares, se obtiene:
243
0 1
15cos16
r sen drd
7.Evaluar :
2 2
2
x y
x
D
e dA
; siendo 2 2 2, / 2 D x y R x y x
; ( , ) / 2 x y x dxdy x y x y
SOLUCION
En la región D : 2 2 2 x y x , hacemos la transformación a coordenadas polares :
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 153/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 153
Reemplazamos en la integral :
Evaluando se obtiene:
2 2
2 2
x y
x
D
e dA
8. Encontrar el valor de lasiguienteintegral doble
:
SOLUCION
Haciendo la transformación :
cos x r
y rsen
2
2 cos
r
r
D
e rdrd / 2 / 2
0 2cosr
; ( , ) / 2 x y x dxdy x y x y
: ,2 2
u v u v
Despejando x y
x+y=u , x-y=v
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 154/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 154
Haciendo las gráficas:
Como usamos transformación, tenemos que hallar el Jacobiano paraevaluar en la ecuación:
Reemplazando en la ecuación :
1 1
12 2
1 1 2
2 2
x x
u u J
y y
u v
y
x
v
u
-2
2
-2
2
2
2-2
-2
2 2 0 2
0 2 2 2
2
1 3
2 2 2 4 4
2 6 8
u vu dudv
u v u vdvdu dvdu
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 155/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 155
9. Determinar el valor mínimo de la funcional1
2
0[ ( )] ( cos ) J y x y x dx
SOLUCION
Desarrollando la funcional1
2
0
( cos ) y x dx
2 2
( , , ) ( ) 2 cos cos F x y y y y x x
Aplicando la ecuación de Euler:
0 y xy yy y y
F F y F y F
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 156/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 156
Como F depende de x,y,y’ , la expresión queda :
0 2( ) 2 0
2 2
cos
senx y
y senx
y x C
Reemplazando en la integral :
1 22
0
C dx C k cte
SOLUCIONARIO 3RA PRACTICA/2007-I
Tres resistencias 1R , 2R y 3R se conectan en paralelo para obtener una resistencia
equivalente R .
a) Demostrar que la diferencia total dR es:
3
2
3
2
2
2
1
2
1 R
R
R
R
R
R dR dRdRdR
b) En el problema anterior estime el posible error que resulta de medir R si los errores en las
mediciones de 1R , 2R y 3R son respectivamente 1% , 2% y 3%.
%
R
3R
R
2R
R
R 100
R
dR
321
Solución :
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 157/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 157
0
.,. hh xha x f h x f
21,., R RdydxdR
dy Rdx RdR 21
321321
321
21
321321
21
321
3
21
21
3
21
21
...
..
...
..
.
..
R R R R R R
R R R
R R
R R R R R R
R R
R R R
R R R
R R
R R R
R R
R R E
a)3
3
2
2
1
1
dR R
f dR
R
f dR
R
RdR
2
321321
2
3
2
2
321321
3232132132132
R R R R R R
R R
R R R R R R
R R R R R R R R R R R R RdReq
32
321321
2
2
2
122
321321
2
3
2
112
321321
2
3
2
2 dR R R R R R R
R RdR
R R R R R R
R RdR
R R R R R R
R RdReq
Para el 1er término :
1
2
1
1
2
2
1
1
2
321321
32 1dR
R
RdR R
RdR
R R R R R R
R R
Para el 2do término:
2
2
2
2
2
321321
31 dR R
RdR
R R R R R R
R R
Para el 3er término:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 158/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 158
3
2
3
3
2
321321
21 dR R
RdR
R R R R R R
R R
3
2
3
2
2
2
1
2
1dR R
R
dR R
R
dR R
R
dR
b) 32
3
22
2
12
1
dR R
RdR
R
RdR
R
R
R
dR
32
3
22
2
12
1
dR R
RdR
R
RdR
R
R
R
dR
%3
2.1.100.
2
3
2
2
2
1 R
R
R
R
R
R
R
dR
Una curva : x = x (t), y = y (t) en el primer cuadrante une (0,0) con (1,0) y acota un área dada
. Halle la ecuación de la curva más corta que une dichos puntos.
: 22
2
2
1 C xC x
Solución:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 159/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 159
dx y L 1
0
2'1
Condiciones limítrofes: 00 y 01 y
En este caso se tiene:
2'1 y y F
0'
y
F
y
F
dx
d
01
1 2'
'
y
y
dx
d ……………………()
1
1
1
1
2'
2'
"2'2'"
y
y
y y y y
Después de diferenciar:
1
1 2
32'
"
y
y……………………( )
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 160/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 160
La ecuación ( ) nos indica que la curvatura es constante y equivale a
1. De ello se deduce
que la curva necesaria es un arco de círculo con el radio .
Integramos () para obtener:
1
2'
'
1
c x
y
y
Al resolver esto para y e integrar nuevamente, se obtiene:
22
2
2
1 c yc x
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 161/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 161
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ciclo Académico : 2011-3FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Fecha: 25/02/12DEPARTAMENTOS ACADÉMICOS Duración: 2 horas
CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133
TIPO DE PRUEBA: PRACTICA No. 4 Ex. PARCIAL EX. FINAL EX. SUST.
1. Determine el valor de las siguientes integrales
a) 2 2 2
V
2y 3z(x ) dxdydz
donde 2 2 2 2V (x,y,z) / y x z , y 2 x z .
b) V
xdxdydz donde x y 1, 2x z 1, 2y z 1V (x,y,z) /
siempre y cuando exista.
c) V
x dxdydz , donde x,y 1, 2y z 1V (x,y,z) / 1
d) V
f(x;y;z)dxdydz donde, 1
( ; ; ), 1
x si x z f x y z
y si x z
y
2 2 2y z 1V (x,y,z) / x .
2. a) En caso sea posible usando el teorema de Green determine la integral
2 2 2
32 2 2
, : 16, 0 xdx ydy zdz
x y z x y z x y z
Además determine si determina una región simplemente conexa.
b) Determine el trabajo realizado al desplazar una partícula desde el (0;1) hasta
el punto 1(1; )e sobre la curva
xy e , x 0 , siendo el campo vectorial
( , ) , F x y x y x y
4. Determine el valor de la siguiente integral, si 1 2( , ,..., )n X x x x
4
2 2
1 2 3 1 2 3 4. ( ... ), : 2 1, ... 0
n n X X dx dx dx dx x x x x x
.
5. Usando el teorema de Green encontrar el área de la región que encierra la curva:2 2 2 16 x y y
Además evalué en caso exista , : 1, 0. x y dx zdy z dz x z y
EJERCICIOS
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 162/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 162
UNIVERSIDAD NACIONAL DEINGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
“MATEMÁTICAS III”
PRESENTACIÓN: Solución de Ejercicios
TEMA: Multiplicadores de Lagrange
PROFESOR: Víctor Daniel Rojas Cerna
CÓDIGO Y SECCIÓN DEL CURSO: MA133Q
ESTUDIANTES: CÓDIGO
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 163/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 163
Crisóstomo Yance, Pamela 20084105H
Salas Villegas, Jhon 20080088A
FECHA DE ENTREGA: 05 / 05 / 09.
Ciudad Universitaria, Mayo 2009.
EJERCICIOS
I. Resuelva los siguientes problemasa) Determine el punto sobre el plano 2x – y + z = 1 que este mas cercano al
punto (-4, 1, 3)
Solución:
2 2 2
1 3d x y y z
2 2 22, , 4 1 3
, , 2 1 0
Sea f x y z d x y z
g x y z x y z
Entonces aplicando Lagrange:
f g
2 4 2
2 1
2 3
x
y
z
2 2
4
2 10
x y
y z
z y
2x y z 1 0 ….. (1)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 164/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 164
Reemplazando en (1)
2 2z 10 4 z z 1 0
25 1 5z = ; y = - ; x = -
6 6 3
5 1 25Punto más cercano es ; ;
3 6 6
2
min
5 1 25 49d f ; ;
3 6 6 6
7d = 6
6
b) Determine los puntos máximos y mínimos de la función a b c x y z , tal que a,
b y c son constantes y también se cumple 100 x y z .
Solución:
Tenemos dos funciones: ( , , ) a b c f x y z x y z y la restricción
( , , ) 100 g x y z x y z .
Aplicamos Lagrange: f g
1 1 1( , , ) (1,1,1)a b c a b c a b cax y z bx y z cx y z
Obtenemos el sistema de ecuaciones:
1
1
1
a b c
a b c
a b c
ax y z
bx y z
cx y z
De donde despejamos:ay
xb
ycy
z b
Reemplazando en la restricción:
100
100
100
a x
a b c
b y
a b c
c z
a b c
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 165/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 165
c) Calcule el volumen de la caja rectangular mas grande que este en el
primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un
vértice en el plano x + 2y + 3z = 6.
Solución:
Volumen:
f x,y,z xyz
Restricción:
g x,y,z x 2y 3z 6
max
Piden calcular el volumen maximo f
Usamos el método de los multiplicadores de Lagrange:
f g
yz,xz,xy 1,2,3
yz
xz 2
xy 3
xyz
x 2y 3z k
(x,y,z)
(vértice en el plano
(x,0,0)
(x,y,0)
(0,y,0)
(0,0,z)
P
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 166/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 166
Reemplazando en g x,y,z
k kk 2 3 6
2 3
k 2
El punto P 2,1,2 3 (Al ser unico punto critico, se asume como máximo)
max 3
2 4V 2 . 1 . u
3 3
II. Calcule los valores máximos y mínimos de f(x,y) sobre el conjunto D:a) f x,y 1 xy x y , D es una región acotada por la parábola y = x2 y la
recta y = 4.
Solución:
f x,y 1 xy x y 2
1 y x 0
Puntos críticos:
x = y
y = 44
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 167/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 167
Fy 1 0
x
Fx 0
y
0P 0,1
Puntos en la parábola
2
1F y - x = 0 .... (1)
y 1 2x
x 2y 1 2x
Reemplazando en (1): 1x3
1
2
1 1P ,
33
1 1P ,
33
En la recta y – 4 = 0
Reemplazando en (1): x 2
3
4
P 2,4
P 2,4
Luego:
f 0,1 0
1 1f , 0,281733
1 1f , 1,051
33
f 2,4 3 max.
f 2,4 9 min.
b) 2 2
f x,y 2x x y 2 , 2 2
D x,y / x y 4
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 168/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 168
Solución:
df 4x 1 0
dxdf
2y 0dy
1x = - y = 04
Punto crítico
0
1P : ;0
4
Puntos en la frontera:
2 2
2 2 2
2
x y 4
f x,y x y x x 2
4 x x 2
f 2x 1 0
x
1 15
x y2 2
1
2
1 15P : ;
2 2
1 15
P : ;2 2
4
y
x
x +y < 4
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 169/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 169
1 17f ,0
4 8
1 15 7f ;
2 2 4
1 15 7f ;
2 2 4
7Máximo de f =
4
17Mínimo de f = -
8
c) 3 4f x,y 2x y , 2 2D x,y / x y 1
Solución:
Sabemos que D es una región encerrada por una circunferencia de radio r = 1.
Determinamos los puntos críticos de la función situados:
- Dentro del círculo
r=1
D
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 170/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 170
2 3
1
f 0
6x ,4y 0,0 D x 0 y 0 P 0,0
- Contorno del círculo: 2 2D x,y / x y 1
2 3
f D
6x ,4y 2x,2y
2
3
6x 2x
4y 2y
2
2
3x 2y
3x
y2
Reemplazando en la restricción
2 3xx 1 0
2
2x 1 x 2 0
2
2
1 3 3x y y =
2 4 2
1x y 3 (NO)
2
2 3
1 3 1 3P , ;P ,
2 2 2 2
Entonces tenemos 3 puntos críticos: 1 2 3
1 3 1 3P 0,0 ;P , ;P ,
2 2 2 2
Comparamos el valor de la función en cada valor:
1 2 3
1 3 13 1 3 13P 0,0 0; P , ; P ,
2 2 16 2 2 16
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 171/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 171
El mínimo absoluto esta en 1P 0,0 y el máximo en
2
1 3P ,
2 2
y
3
1 3P ,
2 2
d) 3 3f x,y x 3x y 12y, D es el cuadrilátero cuyos vértices son
(-2,3), (2,3), (2,2) y (-2,-2).
Solución:
Determinamos puntos críticos dentro del cuadrilátero
2 2
f 0
3x 3,12 3y 0,0
2
2
3x 3 0 3
3x 0 3
x 1
2
2
12 3y 0
12 3y
2 y
(2,2)
(2,3)(-2,3)
(-2,-2)
L1
L2 L3
L4 x
y
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 172/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 172
1 2 3 4P 1,2 ; P 1,2 ; P 1, 2 ; P 1, 2
No D No D
Determinamos los puntos críticos de la función condicionada por el contorno,
cada lado por separado:
3 3f x,y x 3x y 12y
L1: y = 3
3 3f x,y x 3x y 12y
g (x,y) = L2: x = -2
Hacemos f g
2 23x 3,12 3y 1,0
2
2
12 3y 0
4 y
2 y
23x 3 x
Pero x = -2
5 6P 2, 2 ; P 2,2
3 3f x,y x 3x y 12y
g (x,y) = L3: x = 2
Hacemos f g
2 23x 3,12 3y 1,0
2
3 4
f ' x 0 3x 31 x
P 1,3 ,P 1,3
3
3
f x x 3x 27 36
f x x 3x 9
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 173/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 173
2
2
12 3y 0
4 y
2 y
23x 3 x
Pero x = 2
7 8P 2,2 ; P 2, 2
No g(x,y) porque
2 y 3 2 g x,y
3 3f x,y x 3x y 12y
4
4
4
4
L : 2,2 t 1,1x 2 t
L :y 2 t
L : x 2 y 2
L : x y
3 3f x,y x 3x x 12x
f x 9x
f ' x 0 9
En los vértices también pueden haber puntos críticos
8 9
P 2,3 ; P 2,3
Comparamos el valor de la función en cada punto crítico
1 2 3 4 5
6 7 8 9
P 1,2 = 14 ; P 1,2 = 18 ; P 1,3 = 7 ; P 1,3 = 11 ; P 2, 2 = -18
P 2,2 = 14 ; P 2,2 = 18 ; P 2,3 = 7 ; P 2,3 = 11
Luego el mínimo absoluto esta en 5P 2, 2 y el máximo en 2P 1,2 y 7
P 2,2
III. Resuelva los siguientes problemas:
1. Hállense los puntos sobre la elipse x2 + 2y2 = 1 donde f x,y xy tiene
sus valores extremos.
Solución:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 174/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 174
f G
yy 2x =
2x
x= 2y
xx 4y =
2y
2 2
22
x 2y 1 ..... (1)
1En (1) - 2y 2y 1 y =
2
1 1
2 2
3 3
4 4
2 1 2P : ; f P 42 2
2 1 2P : ; f P Máximo42 2
2 1 2P : ; f P Mínimo42 2
2 1 2P : ; f P42 2
2
3
2 1f tiene un máximo en P = ;
2 2
2 1f tiene un mínimo en P = ;
2 2
2. Hállense los valores extremos de f x,y xy sujetos a la restricción
2 2g x,y x y 10 0 .
Solución:
f G x2 + y2 - 10 = 0 .... (1)
(y,x) 2 ,2x
y = 2x
x = 2y x 2y
En (1)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 175/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 175
2 2x y 10 0 x 5
1 1
2 2
3 3
4 4
P : 5; 5 f P 5
P : 5; 5 f P 5 Máximo
P : 5; 5 f P 5 Mínimo
P : 5; 5 f P 5
f tiene un máximo en 5; 5 5; 5
f tiene un mínimo en 5; 5 5; 5
3. Hállese el valor máximo de 2 2f x,y 9 x y sobre la recta x + 3y = 12.
Solución:
Por Lagrange:
f = g
2x-2y = 3
y = 3x
x 3y 12 0 ........ (1)
En (1) x + 3 3x - 12 = 0
6x
5
18y
5
6 18 6 18 27f toma su maximo en P = ; ,f , ,
5 5 5 5 5
4. Calcúlese la distancia mínima entre la recta y = x + 1 y la parábola y2 = x.
Solución:
Recta: 1y x 1 g 1 x y
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 176/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 176
Parábola: 2 2
2y x g x y
La función distancia es:
Sea (x,y) un punto de la parábola y (a,b) un punto de la recta
Entonces: 2 2
d x a y b
2 2 2f x,y x a y b d
Hacemos F 0
Tal que 1 2F f x g g
1
2
2
g 1 a b
g x y
2 2 2 2F x,y,a,b, , x a y b d 1 a b x y
2
F 0 2x 2a ,2y 2b 2y ,2a 2x ,2b 2y ,1 a b,x y 0,0,0,0,0,0
x2 = y
y2 = x1
-1
y = x + 1
x
y
d
(a,b)
(x,y)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 177/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 177
2
2x 2a 0
2y 2b 2y 0
2a 2x 0
2b 2y 0
1 a b 0x y 0
0
2y
1 1y x
2 4
12a 0
2
1 2b 0
32a 2b
2
a b 3 4
a b 1
2a 1 4
a 1 8 b = 7 8
1
1 1 1 7P , ,2 4 8 8
Siendo único punto crítico, entonces la distancia mínima será:
2 21 1 1 7 5
d 22 8 4 8 8
5. Determínense los valores extremos de 2f x,y x y sobre la recta x + y =
3.
Solución:
2f x,y x y sobre x + y = 3 restricción
g x,y x y 3
Aplicamos f g
22xy,x 1,1
2
2xy
x
2y x
x = 2y x
Reemplazamos en la restricción
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 178/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 178
2y y 3
y 1
Entonces cuando
y 1 x 2
y 1 x 2
Luego evaluamos 1P 2,1 y 2P 2, 1 y obtenemos los valores extremos:
1
2
P 2,1 4 máximo
P 2, 1 4 mínimo
6. Determínense los puntos sobre la curva x2y = 2 mas próximos al origen.Solución:
Curva: x2y = 2
Desde el origen a la curva la distancia se determina con d2 = x2 + y2
Debemos minimizar d
Tomemos así: 2 2 2 2f x,y x y d y su restricción g x,y x y 2
Aplicamos
2
f g
2x,2y 2xy,x
2
2x 2xy
2y x 2 2
x 2y
Reemplazamos en la restricción 22y y 2 0
3y 1
y = 1 x 2
Tenemos entonces 1P 2,1 y
2P 2,1
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 179/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 179
Evaluamos en la función 1
P 2,1 2
P 2,1 3
1P 2,1 y 2P 2,1 puntos mas próximos al origen.
IV.
1. Determinar los máximos, mínimos y puntos de silla de las superficies:
a) 2 2z 3x 6xy 7y 2x 4x
Solución:
f x,y z 3x2 6xy 7y2 2x 4y
df 6x 6y 2 0
dx
df 6x 14y 4 0
dy
13x
12
3y
4
0
2
2
2
2
13 3Punto crítico : P = ;12 4
f f 6 ; = 6
x x y
f f 14 ; = 6
y y x
2
6 6H x 6 14
6 6 1 0 6 6P
6 14 0 1 6 14
P 20 48
1
2
10 2 13 (+)
10 2 13 (+)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 180/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 180
13 3 31Po es un mínimo, f ;
12 4 12
b)1 8
z xyx y
Solución:
2
2
f 1y 0
x x
f 1x 0
y y
1x
2
y 4
o
2
2 3
2
2 3
1Punto crítico : P = ;4
2
f 2 f ; = 1
x x x y
f 16 f ; = 1
y y y x
3
o
3
2
21 16 1
xH x ; H P 1
16 11 4
y
16 14 65 12
P1 414
1
2
(+)
(+)
o
1En P existe un mínimo, f ;4 6
2
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 181/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 181
2. Hallar los valores máximo y mínimo de 2 2f x,y y x sujeto a la
condición2
2xy 1
4
Solución:
2 2f x,y y x sujeto a 2
2xg x,y y 1
4
Aplicamos:
f g
x2x,2y ,2y
2
x2x
2
2y 2y
Si hacemos y 0 habra solución
absurda, entonces hacemos y = 0
Reemplazando en la restricción:
2
2x1 x 4 x 2
4
Teniendo 1P 2,0 y 2
P 2,0
Evaluando:
1
2
P 2,0 4
P 2,0 4
Evaluamos ahora en la matriz Hessiana
22 0
H x H x 4 2 2 00 2
Hessiana para
2
2
todo punto
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 182/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 182
Entonces como las raíces son de signos diferentes no hay máximo ni mínimo.
(2,0) y (-2,0) son puntos de silla.
3. Encontrar el área máxima que pueda tener un rectángulo si la longitud de
su diagonal es 2.
Solución:
2 2
Area : f x,y xy
Diagonal (restricción)
g x,y x y 4 0
Hacemos
f g
y,x 2x,2y
y 2x
x 2y
y x
2x 2y
y xy x (asumiendo valores positivos
por ser longitud)
Reemplazando en la restricción
2 2g x,y x x 4 0
2x 2
x 2 y 2 (formación de un cuadrado)
y
2 2x y 2 x
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 183/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 183
El punto crítico es 2, 2 . El área maximizada es:
2
max A 2 2 2u
V. Encontrar la distancia mínima del punto (1,1,0) a la superficie 2 2 2x y z 4
Solución:
Superficie: 2 2 2g x,y,z x y z 4
Debemos hallar distancia mínima al punto (1,1,0) desde la curva
Sea x,y,z g x,y,z , la distancia es: 2 22 2d x 1 y 1 z al punto
(1,1,0)
Tenemos así 2 2 2 2f x,y,z x 1 y 1 z d
f g
2x 2,2y 2,2z 2x,2y,2z
2x 2 2x
2y 2 2y
2z 2z
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 184/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 184
Notamos que si damos a z 0 habrá solución absurda, sin embargo si z = 0,
resulta
x 1 y 1
x y
Reemplazando en la restricción
2 2
2
x x 4 0
2x 4
x 2 y z 0
Teniendo 1 2 3 4P 2, 2,0 ; P 2, 2,0 ; P 2, 2,0 ; P 2, 2,0
Evaluando en la función:
1 2
3 4
P 2, 2,0 0,6 ; P 2, 2,0 = 6
P 2, 2,0 = 6 ; P 2, 2,0 3,41
La distancia mínima 0,6
Aclaración1) armónica
¿ ?
2) Demostrar
3) Si
,transformar
en
términos de y
4) Encontrar usando Lagrange la distancia
mínima entre
4) Encontrar la distancia mínima entre la recta
tangente a la curva
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 185/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 185
a la esfera
Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición deun punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y unaaltura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que setratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal . Se trata de unaversión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.
Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, ), donde:
ρ: Coordenada radial , definida como la distancia del punto al eje , o bien la
longitud de la proyección del radio vector sobre el plano φ: Coordenada acimutal , definida como el ángulo que forma con el eje la
proyección del radio vector sobre el plano . : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el
punto P al plano .
Los rangos de variación de las tres coordenadas son
La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada
radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.
Relación con otros sistemas de coordenadas
Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre
las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:
Base coordenada
A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial encada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Estanueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianasmediante las relaciones
e inversamente
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 186/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 186
En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala
Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión delvector de posición en estas coordenadas es:
Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.
Efectivamente:
Diferencial de línea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por
Diferenciales de superficie
La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas escomplicada.
Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el
resultado es
y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son
ρ=cte:
φ=cte:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 187/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 187
z=cte:
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, asu vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
que para coordenadas cilíndricas da
Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Éstas son:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
Coordenadas esféricas
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 188/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 188
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante unadistancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el
radio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la
medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado
Relación con las coordenadas cartesianas
Sobre los conjuntos abiertos:
Existe una correspondencia unívoca entre las coordenadas cartesianas ylas esféricas, definidas por las relaciones:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 189/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 189
Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje , donde
, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún
punto tal que .
La función inversa entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos delas relaciones inversas:
Relación con las coordenadas cilíndricas
Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de lascoordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones
y sus inversas
Base coordenada
A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianasmediante las relaciones
e inversamente
En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala
Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 190/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 190
Nótese que no aparecen término en o . La dependencia en estas coordenadas estáoculta en el vector .
Diferencial de línea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por
Diferencial de superficie
La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas escomplicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada,
el resultado es
y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son
=cte:
θ=cte:
φ=cte:
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, asu vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
que para coordenadas esféricas da
Operadores diferenciales en coordenadas esféricas
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:
Gradiente
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 191/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 191
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales
El gradiente viene dado por:
La divergencia viene dada por:
El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 192/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 192
El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 193/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 193
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER A Ciclo Académico : 2011-3FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Fecha: 14/02/12 DEPARTAMENTOS CIENCIAS BASICAS Duración: 2 horas
CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133 M-N
TIPO DE PRUEBA: PRACTICA No. Ex. PARCIAL EX. FINAL
PRACTICA DIRIGIDA
1. Determine , , / 1 2 , 0 2 xy dxdy x y x y
2. Evalue , , / 1 2 , 0 2 x y dxdy x y x y
.
3. Calcular , , / 1 2 , 0 2 x y x dxdy x y x y
.
4. Calcular 2 , , / 1 2 , 0 2 xy y dxdy x y xy x y
.
5. Determine 2 22 , , / 1 2 , 0 2 x yx y dxdy x y y x y x
.
6. Calcular 2 2 22 , , / 1 , 0 x yx y dxdy x y y x y x
.
7. Determine 2, , / 1 x y x y dxdy x y x y
.
8. Determine 2 2
0, , / 0,1 , x ye dx dy x y x y R
.
9. Encontrar , , / 2 x y x y dx dy x y x y
10. Determine 2 2 2
10( 1)
, , / 0,1 , x y
dx dy x y x y R
11.Determine / , , / 4 4 1 x y x y dx dy x y x y
12. Determine1 1
0 0
xdxdy
y
x x x
y y y
13. Encontrar el volumen encerrado por
2 2
2 2
4 ( 1) ( 1)
1 ( 1) ( 1)
5
z x y
x y
z
14. Usando el teorema de Pappus halle el volumen del solido al rotar la región
y=3x, y= alrededor de y=4x
15. Demuestre que , , E E
f x y dxdy f x y dxdy .
16. Encontrar 2 2 4
2 21
( 1), , / 16
x ydx dy x y x y
.
17. Calcule 2 2 , , / 1 2, 4 , , 0 , 0 x y dx dy x y xy y x y x x y
.
18. Calcule 2 2 2 2
5 , , / 0 , 4 16 x y dx dy x y y x y .
19. Determine el centrodie de una lamina delgada de densidad uniforme si
ocupa la región
2 2( , ) / 0 , 1 x t y x x y
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 194/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 194
20. Sea la region el espacio limitada por:
5
1)1()1(
)1()1(4
22
22
z
y x
y x z
Solución:
Haciendo la transformación:
z z
rsen y
r x
1
cos1
r
z
z z
r
z z
y y
r
y z
x x
r
x
Del gráfico : 54 2 z r , evaluando en la integral :
2
0
1
0
5
4 22/3
r rdzdrd
2. Hallar el volumen de intersección de los cilindros222222 , a z xa y x (a>0)
Solución:
De acuerdo a la simetría del grafico
calcularemos solo el volumen del 1er octante
V = 8 V1
x
y
z
4--
a
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 195/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 195
Calculo de V1 : la altura corresponde a : 22),( xa y x f z
a xa adydx xaV
0
322
22
3
2, evaluando
3
1618
3a
V V
3. PROBLEMA
Calcular1 1
0 0
xdxdy
y
, si: x x x
y y y
SOLUCION:
1 1
( ) ( )0 0
...( ) I II
x x x x x xdxdy dxdy dxdy
y y y y y y
La región donde se va integrar es:
Seccionando:
1
1 1
1
I
II
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 196/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 196
Para (I): 0 1 0 0 x x
y x y y
1 1
( ) ( )0 0
1
4 I I
x x x x
dxdy dxdy dxdy y y y y
( )
1
4 I
xdxdy
y
Para (II):
: ,
1 1
1( 1)
xSea k k
y
xk k x
y y xk k
ky x k y
Podemos expresar la integral doble como la suma de integrales en cada subregión de II:
1
( )1 0
1
lim
x
k n
n II
k x
k
x xdxdy dxdy
y y
1 1
( )1 10 0
lim limn n
n n II
k k
k
x x x xdxdy dydx k dydx
y y y y
x y
k
1
x y
k
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 197/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 197
1
1 1 1lim ln( )
2 ( 1)
n
n
k
k
k k
( )
1 1
1 1 1lim ln( )
2 ( 1)
n n
n II
k k
x k dxdy
y k k
1
( )1
1 1lim ln( 1) ( 1)
2
n
n II
k
xdxdy n
y k
1
( )1
1 1 1lim ( ln( 1))
2 2
n
n II
k
xdxdy n
y k
De ( ) reemplazamos lo obtenido:
1
1
1 1
( ) ( )0 0
1 1 1 1lim ( ln( 1))
4 2 2
1 1 1
10 0
1 1 1 1lim ( ln( 1))
4 2 2
n
n
k
I II
nk
n
n
k
x x x x xdxdy dxdy dxdy
y y y y y
xdxdy n
y k
1 1 1
10 0
. ( )
3 1 1 1lim ( ln( 1))
4 2 2
n
n
k
cte deEuler
xdxdy n
y k
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 198/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 198
Delta de kronecker
Ejercicios
1) Demostrar
ijk ist js kt ks jt
Solución:
Comenzamos la solución de la siguiente relación
ir is it
ijk rst jr js jt
kr ks kt
Para el índice i = r quedaría de la siguiente forma:
ii is it
ijk ist ji js jt
ki ks kt
3( ) ( ) ( )ijk ist js kt ks jt js kt ks jt jt ks kt js
Usamos la propiedad de substitución del Delta de Kronecker y la convención de la suma, y
logramos reducir a :
ijk ist js kt ks jt
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 199/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 199
2) Demostrar
3ij jk
Solución:
1 2 3ij jk j jk j jk j jk
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
ij jk k k k
k k k
k k k
Pero sabemos que el delta de Kronecker esta definido como:
1,
0,ij
i j
i j
Entonces quedaría:
1 2 3ij jk k k k
11 12 13 21 22 23 31 32 33ij jk
11 22 33ij jk
3ij jk
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 200/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 200
3) Demostrar
6ijk ijk
Solución:
De la expresión del ejercicio 1:
ijk ist js kt ks jt
Solamente igualamos los índices j = s y k = t,
ijk ijk jj kk kj jk
2ijk ijk kk
6ijk ijk
4) Demostrar
0ijk j k A A
Solución:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 201/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 201
1 2 3ijk j k jk j k jk j k jk j k A A A A A A A A
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
ijk j k k k k k k k
k k k k k k
k k k k k k
A A A A A A A A
A A A A A A
A A A A A A
Pero conocemos que el Símbolo de Levi-Civita esta definido como:
1, 123, 231,3121, 321, 213,132
0, dos indices son iguales
ijk
ijk ijk
La expresión anterior de reduciría a:
12 2 13 3
21 1 23 3
31 1 32 2
ijk j k k k k k
k k k k
k k k k
A A A A A A
A A A A
A A A A
Se reduce nuevamente y solamente quedaría:
123 2 3 132 3 2
213 1 3 231 3 1
312 1 2 321 2 1
ijk j k A A A A A A
A A A A
A A A A
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 202/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 202
2 3 3 2
1 3 3 1
1 2 2 1
ijk j k A A A A A A
A A A A
A A A A
0ijk j k A A
5) Hallar
1.( ) ?r r
1 1 1.( ) .( ) ( ).r r r r r r
2.( )n nr nr r
1 1 3.( ) (3) 1 .r r r r r r
1 1 3.( ) 3 1r r r r
EJERCICIOS DESARROLLADOS.
1. Determine ∫ donde:
,
SOL:
Graficando:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 203/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 203
Parametrizando las ecuaciones:
Donde
Reemplazando en la integral ∫ tenemos:
Integrando obetenemos que:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 204/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 204
2. determine: ∫ , donde:
, || , ,
Sol.
Hallaremos la curva de interseccion ||
Sea:
Entonces la parametrizacion de la interseccion sera:
||
De donde:
Ademas de:
Luego:
3.- Determine ∫ donde:
,
SOL:
Graficando:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 205/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 205
De forma análoga al ejercicio anterior parametrizamos las ecuaciones:
Donde
Reemplazando en la integral ∫ tenemos:
Reduciendo al expresión
Integrando obetenemos que:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 206/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 206
4. encontrar el centro de gravedad del casquete semiesferico de radio R, con centro en (R,0,0)
Sol.
La ecuacion de la esfera de radio R y centro (R,0,0) es:
Entonces la ecuacion del casquete semiesferico sera:
En centroide de un solido esta dado por:
∭ ∭ ,
∭ ∭ ,
∭ ∭
Dado que una esfera es simetrica respecto a un eje diametral, entonces segun la ubicacion del
casquete, las coordenadas de su centroide es: , ∭ ∭
Haciendo una traslacion de ejes al punto (R,0,0) determinaremos la coordenada
Entonces la ecuacion del casquete en el nuevo sistema es:
∭ ∭ ...(*)
Usamos coordenadas cilindricas para calcular la integral:
Luego:
√
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 207/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 207
El volumen del casquete semiesferico (mitad de una esfera) es: ∭
Reemplazamos en (*):
∭ ∭
Por lo tanto, el centroide del casquete semiesferico es:
5.-Hallar el área de la superficie limitada por:
SOL: Graficando
:
Sabemos que área está dada por al integral:
Entonces parametrizando la ecuación:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 208/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 208
Se observa que por simetría del grafico:
Analizando el dominio de y pasándola a coordenadas polares.
Si
… reemplazando en la ecuación obtenemos:
Entonces:
||
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 209/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 209
Entonces la integral será:
Integrando obtenemos que:
Del grafico
PARTE 2
2. Determine el area de la superficie del elipsoide , limitada por el
cono eliptico
SOL
El area de una superficie esta determinada por:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 210/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 210
∬ ................(1)
Le ecuacion del elipsoide es:
√
Luego, la ecuacion de la mitad superior del elipsoide es: √
Entonces:
Hallando las derivadas parciales de :
√ √
( √ ) √
√
Reemplazamos en (1):
(
√ )
(
√ )
Simplificando” R”
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 211/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 211
Sea:
√ √
Donde:
∬ √ .......(2)
Hallando la interseccion del cono eliptico y el elipsoide, obtenemos la elipse:
, reemplazando por (*): √
Entonces la region , sobre la cual integraremos, es la encerrada por dicha elipse.
En (2):
√ √
3.-Determine el area de la superficie del cilindro limitada por el cono circular √ .
SOL: Graficando:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 212/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 212
Parametrizando las ecuaciones:
√
| | √
Entonces el area de la superficie está dada por: √
Analizando el dominio de y pasándola a coordenadas polares.
√
√
√
Entonces:
√
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 213/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 213
√
Integrando obtenemos que:
√
4. determine el area de la superficie: |x|+ , limitada por el cilindro , R>0
Sol.
Graficando vemos que la superficie es simetrica respecto al eje Z, luego:
..........(*)
Donde: es la porcion de la superficie que se encuentra en el primer octante.
Asi, siendo
Luego:
Hallando las derivadas parciales de
:
El area de una superficie viene dada por:
∬
Entonces:
∬ ∬ √ .........(1)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 214/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 214
Segun el grafico la region es la region encerrada por la circunferencia en el
primer cuadrante.
Usando coordenadas polares:
Reemplazamos en (1):
√
√
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y
ROTACIONAL
Expresión en los sistemas de coordenadas curvilíneas.
Sea φ una función escalar y 332211 eAeAeAA una función vectorial de las
coordenadas curvilíneas ortogonales 1μ , 2μ , 3μ .Se verifica:
3
33
2
22
1
11
eμh
1e
μh
1e
μh
1φ
321
3
213
2
132
1321
Ahhμ
Ahhμ
Ahhμhhh
1divAA.
332211
321
332211
321
AhAhAh
μμμ
eheheh
hhh
1rotAA
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 215/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 215
2 Laplaciano de =
33
21
322
13
211
32
1321
1
h
hh
h
hh
h
hh
hhh
332211 ef ef ef φ
3
3
2
2
1
1
μμ
r μ
μ
r μ
μ
r r
333222111 μehμehμehr
333222111 uf huf huf hr φ.φ 3
3
2
2
1
1
μμ
φμ
μ
φμ
μ
φφ
3332221113
3
2
2
1
1
uf huf huf hμμ
φμ
μ
φμ
μ
φ
111
1
h f ,
222
1
h f ,
333
1
h f
33
3
22
2
11
1
μh
e
μh
e
μh
e
Sean 1μ , 2μ , 3μ coordenadas curvilíneas ortogonales.
Demostrar : 1
ρρhμ
1,2,3ρ
Sea: 1μφ 2
2
2
2
1
1
1
11
μ
μ
h
e
μ
μ
h
eμ
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 216/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 216
1
1h
1μ
Demostrar que :
3232 μμhhe
1
11
h
eμ
2
22
h
eμ
3
33
h
eμ
3232 μμhhe
Demostrar en coordenadas curvilíneas ortogonales :
a)
1
321
321
11μ
hhA
hhh
1eA.
32321 μμhhA.
3232132321 μμ.hhAμμ.hhA.
0h
e
h
e.hhA
3
3
2
2321
32
1321
hh
e.hhA
32
1
321
33
3
321
22
2
321
11
1
hh
e.hhA
μh
ehhA
μh
ehhA
μh
e
321
1321
hhAμhhh
1
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 217/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 217
b) 11
221
3
11
313
2
11hA
μhh
ehA
μhh
eeA
111111 μhAμhA
0h
eAh
1
111
1
1
11
33
3
11
22
2
11
11
1
h
eAh
μh
eAh
μh
eAh
μh
e
c) Expresar .AdivA en coordenadas curvilíneas ortogonales
332211 eAeAeA..A
332211 eA.eA.eA.
3
213
2
131
1
321
321 μ
hhA
μ
hhA
μ
hhA
hhh
1
d) Expresar en coordenadas curvilíneas ortogonales :
332211 eAeAeAA
332211 eAeAeA
2
11
21
3
3
11
31
2
μ
hA
hh
e
μ
hA
hh
e
22
332
122
121
3 hAμhh
ehA
μhh
e
33
113
2
33
232
1 hAμhh
ehA
μhh
e
33
1
11
313
2
22
3
33
232
1h Ah A
hh
eh Ah A
hh
e
11
2
22
121
3 h Ah Ahh
e
332211
321
332211
321
1
h Ah Ah A
eheheh
hhh A
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 218/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 218
e) Expresar ψ2 en coordenadas curvilíneas ortogonales :
33
3
22
2
11
1
μ
ψ
h
e
μ
ψ
h
e
μ
ψ
h
eψ
ψA ,11
1μh
ψA
,22
2μ
ψ
h
1A
,
33
3μ
ψ
h
1A
ψψ..A 2
332211 eAeAeA.
33
3
22
2
11
1321
eAμ
eAμ
eAμhhh
1
33
21
322
31
211
32
1321μ
ψ
h
hh
μμ
ψ
h
hh
μμ
ψ
h
hh
μhhh
1
Problema1
Demostrar que: 1.
u v w v w u w u v
u v w
f f h h f h h f h hh h h u v w
Si: u u v v w w f f e f e f e .
Solución
Usando la definición de divergencia:
0
1. .lim
V s
f f dS V
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 219/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 219
Sea , , P u v z el punto central del elemento de volumen curvilíneo dV .y sea
u v wdV h h h dudvdw
Como u u v v w w f f e f e f e , entonces el flujo para la normal externa a través de la
superficie ABCD para u constante es:
1
2u v w u v w f h h dvdw f h h dudvdw
u
…(1)
Y a través de la superficie EFGH es
1
2u v w u v w f h h dvdw f h h dudvdwu
…(2)
(Hacemos despreciables los infinitésimos de orden superior).sumando (1) con (2), el flujo de
salida a través de las dos superficies para u constante, es:
u v w f h h dudvdw
u
Sumando los elementos semejantes para las otras dos parejas de superficies,
. u v w v w u w u v
s
f dS f h h f h h f h h dudvdwu v w
Dividiendo poru v w
dV h h h dudvdw se obtiene:
1.
u v w v w u w u v
u v w
f f h h f h h f h hh h h u v w
Problema2
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 220/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 220
Demostrar que:1
u u v v w w
u v w
u u v v w w
h e h e h e
f h h h u v w
h f h f h f
Solución
Por la definición del rotacional dado por:
0
1.lim
S C
n f f dr S
Calculemos primero ue f .considerando una curva cerrada uC (ABCD) de la superficie u
constante, además el elemento de superficie dS encerrado por uC es:
v wdS h h dvdw
La circulación alrededor de la curva cerrada uC es:
. . . . . D C B A
C A D C B
f dr f dr f dr f dr f dr
De nuevo despreciando los infinitésimos de orden superior,
.
D
v v
A
f dr h f dv
.
C
w w w w
D
f dr h f h f dv dwv
.
B
v v v v
C
f dr h f h f dw dvw
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 221/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 221
.
A
w w
B
f dr h f dw
Sumando estos resultados se obtiene:
.w w v v
C
f dr h f h f dvdwv w
Dividiendo porv w
dS h h dvdw se obtiene
1u w w v v
v w
e f h f h f h h v w
Por la permutación cíclica de los índices se obtiene las dos componentes restantes de f
,en consecuencia:
1 1 1w w v v u u u w w v v v u u w
v w w u u v
f h f h f e f h f h e f h f h eh h v w h h w u h h u v
Que es igual a:
1
u u v v w w
u v w
u u v v w w
h e h e h e
f
h h h u v wh f h f h f
Problema3
Demostrar que la divergencia se puede escribir en coordenadas esféricas de la siguiente
forma:
2
2
1 1r
f f r f sen f
r r rsen
Solución
Ya calculamos anteriormente que:
1.
u v w v w u w u v
u v w
f f h h f h h f h hh h h u v w
De donde en nuestro caso: 1u r
h h ,v
h h r y
wh h rsen
Además: u r f f , v f f y w f f .que reemplazando se obtiene:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 222/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 222
1. . .1. 1. .
1. .r
f r rsen f rsen f r f r rsen r
2
2
1.
r f sen r f r sen f r f
r sen r
2
2
1 1r
f f r f sen f
r r rsen
Problema4
Demostrar que en coordenadas esféricas el rotacional es.
1 1 1 1
r r r
f f f
f sen f e rf e rf ersen r sen r r r
Solución
Anteriormente demostramos que:
1 1 1w w v v u u u w w v v v u u w
v w w u u v
f h f h f e f h f h e f h f h eh h v w h h w u h h u v
En este caso: 1u r h h , vh h r y wh h rsen
Además:u r
f f ,v
f f yw
f f .que reemplazando se obtiene:
1 1 11. 1.
. .1 1.r r r f rsen f rf e f rsen f e rf f e
r rsen rsen r r r
2
1 1 1r r r
f r sen f r f e f sen rf e rf f er sen rsen r r r
1 1 1 1r r r
f f f f sen f e rf e rf e
rsen r sen r r r
Problema5
Sea 1 2 3, ,u u u un campo escalar, demostrar que el gradiente del campo escalar con la
notación abreviada seria.
1i
i ieh u
. Como operador
1i
i ieh u
.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 223/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 223
Solución
El operador nabla en coordenadas cartesianas: i j k x y z
La forma de este operador puede definirse como:i
i g
Donde:
i
g Son los vectores de la base reciproca:i
i
mm g g
i Son las coordenadas de la base natural:
i g
La notación puede verse en la siguiente tabla:
base Vectores base componentes
naturali g
iv contravariantes
Natural fisicai
i
i
g e
g
iv físicos covariantes
Reciproca i
g iv covariantes
Reciproca física ii
i
g e
g
i
v físicos covariantes
La representación de un vector cualquiera utilizando estas bases es entonces:
i iiiiii i
V v g v g v e v e
Para coordenadas ortogonales:i
i g g
; factor de escala
i
iii
e e g h
Entonces:21
2
11 1 1 1 2
1
11 g g g g g h
h
1 1 1
12
1 1 1
1 1 1i
i
i
e g g e e g
h h h h
Con esto podemos expresar el operador nabla como:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 224/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 224
1i
ii i
k i
ee
h u h u
Además:
1ii
ieh u
Problema6
Demostrar que el gradiente en coordenadas esféricas se puede escribir como:
1 1r
e e er r rsen
Solución
En coordenadas esféricas se tiene: 1u r
h h ,v
h h r y wh h rsen
Del problema anterior se tiene:1
i
i i
eh u
; entonces:
= r
r
eee
h r h h
=r
eeer r rsen
1 1r
e e er r rsen
Problema7
Hallar el gradiente en coordenadas cilíndricas.
Solución
Según el problema 5 se tiene que1
ii
i
eh u
Pero en coordenadas cilíndricas se tiene que: 1r h ; h r y 1
z h .
Reemplazando en la expresión anterior se tiene:
1 1 1r z
r z
e e eh r h h z
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 225/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 225
1 1 1
1 1r z
e e er r z
Practica Dirigida 7
1. Sea 1/22 2 2( , , ) f x y z x y z
. Demostrar que la circulación en el
sentido antihorario del campo F f alrededor del círculo 2 2 2 x y a escero.
2. Use la identidad 0 x f y el teorema de Stokes para obtener la circulación
del campo (2 ,2 ,2 ) F x y z alrededor de cualquier superficie suave orientable en el
espacio es cero.
3. Use la integral de superficie en el teorema de Stokes para calcular el flujo del
rotacional del campo ( , , ) F y z z x x y a través de la superficie
2cos , ,9 / 0 3 , 0 2S r rsen r r
4. f(x,y,z)=Determine el valor de
i j k ij ik jk i j kV
(x x x )(1 )(1 )(1 )dxdx dx
donde
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3V (x ,x ,x ) / x x x , x 2 x x.
5. Usando el teorema de Green, encuentre el área encerrada por la curva
x x y y 1, si y 0x,y /
y 0, si y 0.
6. Determine el trabajo realizado al desplazar una partícula desde el ( 4 ,0)
hasta el punto (6,2) sobre la curva xy e , x 0 , siendo el campo vectorial
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 226/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 226
( , ) , F x y x y x y
4. Determine el valor de 2 2 2 2, : 1 x y dx yxdy x y
.
5. Encontrar el valor de
2 2 2 2, , / 4, 1 2 x y dxdydz x y x y z
.
6. Encontrar el centroide para el sólido de densidad constante, y que ocupa
la región 2 2 2 22 2 1 z x y z x y .
7. Encuentre los momentos de inercia de la región limitada por
2 2 , 1 z x y x y z 8. Usando Green encontrar
el valor de la integral
( 2 ) , ( , ) / 1 x y dxdy x y x y
9. Usando Green encontrar el valor de la integral
2 2( ) , : 2 1 xydx x y dy x y
.
10. Usando el teorema de Green encontrar el área de la región que encierra lacurva:
2 22 16 x y y
11. .- Sea U la región limitada abajo por el plano z=0, arriba por la esfera2 2 2 4 x y z y lateralmente por el cilindro 2 2 1 x y .Establezca las
integrales triples en coordenadas cilíndricas que dan el volumen de U,usando los siguientes órdenes de integración:a) dzdrd b) drdzd c) d dzdr
12. Resuelva en cada caso:a) Hallar el volumen de la región U más pequeña cortada de la esferasólida
2 por el plano z=1.b)Hallar el volumen de la porción de la esfera sólida 3 , en el primer
octante, que se encuentra entre los planos : z y , 3 z y
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 227/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 227
13. Calcular 3 2 ( / ) cos( / ) cos( / )C
xsen y x y y x dx x y x dy ,donde C es el
arco de la semielipse superior 2 24 16 12 0 x y x , que va de (1;0) a(3;0).
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA N° 3 (2008-III)
1. Demuestre que:
, , E E
f x y dxdy f x y dxdy
Solución:
Dado que las integrales dobles representan áreas o superficies, la integral , E
f x y dxdy
será considerada como la acción de un campo escalar f sobre dicha superficie, tal que
dicha función pueda ser positiva o negativa para cierto dominio.
Dividimos la superficie E en dos partes tal que en1 E y
2 E la integral siempre tenga un
valor positivo o negativo (Sea el valor en1 E igual a M y en
2 E igual a N ), entonces:
1 2
, , , E E E
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy M N
1 2 1 2
, , , , ,
,
E E E E E
E
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy
f x y dxdy M N M N
(Se puede sacar el valor absoluto de la integral porque en 1 E y2
E tendrán un solo valor,
positivo o negativo)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 228/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 228
Por desigualdad triangular tendremos que:
M N M N
Entonces queda demostrado que:
, , E E
f x y dxdy f x y dxdy
2. Hallar el volumen de la intersección de los cilindros 2 2 2 x y a y 2 2 2 x y a , 0a
Solución:
Debido a la simetría que se presente en el sólido, solo trabajaremos con la octava parte del
volumen total.
Del gráfico mostrado el volumen será:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 229/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 229
2 2
2 2
0 0
8a a x
V a x dydx
2 2
08
a
V a x dx
316
3V a
3. Demostrar que:
2 4 2
31 2
4 2
2 2
x
x x
x xSen dydx Sen dydx
y y
Solución:
Las acotaciones son:
1 2
2 4
2
x
x y x
x
x y
Graficando el dominio:
x=y
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 230/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 230
Haciendo un cambio en las variables de integración:
22
3
1
4 8
2
y
y
xSen dxdy
y
2
2
3
1
4 2
2
y
y
xSen dxdy
y
4. Hallar el centroide de la región E en el primer cuadrante limitada por la parábola 2 4 y ax ,
el eje x y el lado recto de esta parábola ( 0 y ).
Solución:
1 2 4
2
1
2 y x x y
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 231/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 231
2 4 y ax
La fórmula canónica de la parábola es: 2 4 y ap
p a
2 2 AB p a
0
0 2
x a
y ax
2
0 0
2
0 0
3
2
4
354 5
3
a ax
a ax
xdA x
dA
xdydx x
dydx
a x a
a
2
0 0
2
0 0
3
2
3
4 4
3
a ax
a ax
ydA y
dA
ydydx y
dydx
a y a
a
El centroide de E se encuentra en3 3
;5 4
a a
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 232/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 232
5. Hallar el volumen de la porción de E de la esfera 2 2 2 2 x y z a ( 0a ), que se
encuentra dentro del cilindro ( )r aSen .
Solución:
2 2 2 2
1 :S x y z a
( )r aSen
2 2
2:S x y y
Transformando a coordenadas cilíndricas:
( )
( )
x rCos
y rSen
z z
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 233/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 233
2 2 2 2
0 ( )
0
r aSen
a r z a r
2 2
2 20 0
aSen a r
a r V
V dV rdzdrd
22 43 3
V a a
6. Calcule la integral 2 2
D
y z dV siendo D el sólido interior al elipsoide cuya ecuación es
2 2 24 16 x y z y exterior al paraboloide de ecuación 2 212 x y z .
Solución:
2 2 2
1
2 2
2
: 4 16
:12
S x y z
S x y z
En coordenadas cilíndricas:
x z
y rCos
z rSen
0
0 4
0 22
r
z x
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 234/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 234
Donde:
r y se obtienen de proyectar el sólido en el plano yz y
0 x se obtiene de intersecar las superficies1S y
2S
1 2
2 2 2
0
2 2 2
0
2 2
0
2
0 0
2
0 0
0 0
0
:4 16
16 4
12
12 16 4
3 4 0
3 1 0
1
S S x y z
y z x
x y z
x x
x x
x x
x
(0
x pertenece al eje x )
2 2 2
1 2 42 2 2
2 0 0
2 2128
D D D
D
D
y z dV rdV r drd dz
y z dV r drd dz
y z dV
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 235/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 235
7. Calcular ydx zdy xdz
donde es la intersección de la superficie 2 x y y
2 2 22 x y z x y , recorrida en sentido horario vista desde el origen.
Solución:
1
2 2 2
2
2 2 2
: 2
: 2
1 1 2
S x y
S x y z x y
x y z
Parametrizando:
1
1
2 2
x Cos t dx Sen t dt
y Cos t dy Sen t dt
z Sen t dz Cos t dt
0 2t
Reemplazando y evaluando en la integral de línea:
2
0
2 2
ydx zdy xdz y t dx t z t dy t x t dz t
ydx zdy xdz
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 236/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 236
8. Calcular la integral 2 y dx xdy
a lo largo del astroide .
Solución:
Sea la ecuación del astroide:
2 2 2
3 3 3: x y a
Parametrizando:
3 2
3 2
3
3
x aCos t dx aCos t Sen t dt
y aSen t dy aSen t Cos t dt
0 2t
2
2 2
0
2 23
8
y dx xdy y t dx t x t dy t
y dx xdy a
9. Demostrar mediante integrales dobles:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 237/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 237
2 2k xe dx
k
, 0k
Solución:
Sea:
2 2 2 2k x k y E e dx e dy
2 2 2 2 2 2 2 2
2 .k x k y k x k y E e dx e dy e e dxdy
A continuación transformaremos la integral doble en coordenadas cartesianas a una integral
en coordenadas polares.
2 222
20 0
k r E re drd
k
Despejando de la expresión tenemos:
E k
2 2k xe dx
k
10. Un leñador corta una pieza W con forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio r
mediante dos cortes de sierra hacia el centro del árbol: uno horizontal y otro con ángulo .
Calcular el volumen de la cuña W .
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 238/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 238
Solución:
Ecuación plano que corta el cilindro para formar la cuña:
1
1
: 0
: , tan
S ax by cz d
hS z y donde h r
r
Ecuación de la base de la cuña:
2 2 2
2:S x y r
Las acotaciones en polares serían:
0 *
0 *
0
h z r sen
r
r r
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 239/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 239
*2
0 0 0
2* *
3
hr r sen
r V r dzdr d r h
32tan
3
V r
INTEGRALES TRIPLES
Si tenemos una función 3: , f R R siendo ella integrable en dicho dominio , lo
cual implicaría que sea continua por sectores., entonces definimos la integral triple como en el
caso de la integral doble, particionando el dominio de tal manera que la norma de la partición
tienda a cero. En este caso los rectángulos son ahora paralelepípedos, la norma seria la
diagonal.
Apreciaciones.
1. Si ( , , ) / , , x y z a z b c y d p x q es un paralelepípedo, siendo la
función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:
( , , ) ( , , )rf x y z dxdydz r f x y z dxdydz
2. Si ( , , ) / , , x y z a z b c y d p x q es un paralelepípedo, siendo la
función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:
( , , ) ( , , )
qb d
a c p
f x y z dxdydz f x y z dxdydz
.
3. Si ( , , ) / , , x y z a z b c y d p x q y1 2 3
( , , ) ( ) ( ) ( ) f x y z x y z ,
es decir admite una separación de variables, entonces,
1 2 3( , , ) ( ( ) )( ( ) )( ( ) )
qb d
a c p
f x y z dxdydz x dz y dy x dx
4. Si ( , , ) 1 f x y z , entonces el volumen del sólido , esta dado por
( )V dxdydz
.
5. Si ( , , ) : 0 ( , , ) ( , , ) x y z f x y z g x y z y si ambas son 9integrables sobre ,
entonces ( , , ) ( , , ) f x y z dxdydz g x y z dxdydz
6. Si 1 2 3 3( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a z b z y z y z x y z siendo la
función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:
2 4
1 3
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
z y z b
a z y z
f x y z dxdydz f x y z dxdydz
.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 240/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 240
7. Si 1 2 3 3( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a y b y z y y z x y z siendo la
función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:
2 4
1 3
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
y y z b
a y y z
f x y z dxdydz f x y z dxdzdy
.
8. Si 1 2 3 3( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a x b x z x x z y x z siendo la
función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:
2 4
1 3
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
x x z b
a x x z
f x y z dxdydz f x y z dydzdx
.
9. Si 1 2 3 3( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a x b x z x x z y x z siendo la
función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:
2 4
1 3
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
x x z b
a x x z
f x y z dxdydz f x y z dydzdx
.
10. Si 3: , f R R es integrable sobre , r una constante entonces rf es
integrable sobre y ( , , ) ( , , )rf x y z dxdydz r f x y z dxdydz
.
CENTROIDES DE SÓLIDOS.
Supongamos que tenemos un sólido 3 R , asumamos que la función de densidad es
( , , ) x y z , así tenemos las siguientes apreciaciones:
1. La masa de lámina será ( , , )m x y z dxdydz
.
2. Centroide. Tenemos que
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
, . , , , ,
, , , ,
y x z
x x y z dxdydz y x y z dxdydz z x y z dxdydz M M M
m m m m m m
x x y z dV y x y z dV z x y z dV
m m m
x y z
x y z
3. Momento de inercia.
2 2
2 2
2 2
( , , )
( , , )
( , , )
x
y
z
I y z x y z dxdydz
I x z x y z dxdydz
I x y x y z dxdydz
TRANSFORMACIONES
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 241/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 241
Cuando exista dificultades para determinar el valor de una integral triple, podemos
cambiar el orden de integración, o si el sólido ( región en caso de la integral doble)
podemos apelar a realizar un doble cambio de variables, para lo cual se demuestran que
hay una especie de cambio de escala dada por el Jacobiano
1. ,u v
u v
x x J u v
y y de la transformación, cuando estemos en dos variables.
2. , ,
u v w
u v w
u v w
x x x
J u v w y y y
z z z cuando se tenga tres variables.
3.
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
...
....
, ,..., ....
.......................
....
n
n
n
n
u u u
u u u
n u u u
u u u
x x x
y y y
J u u u z z z
w w w
si se tiene n variables..
Se puede apreciar que, hay casos interesantes por ejemplo, como en el caso de las
integrales triples el cambio a coordenadas cilíndricas y esféricas.
CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS.
Cambio a efectuar.
cos x r
x rsen
z z
( , , )
( , , )
cos 0
, , cos 0
0 0 1
r z
x y z
r z r z
r z
x x x rsen
J r z y y y sen r r
z z z
*
( , , ) ( ( , , ) ( , , ), ( , , )) f x y z dxdydz f x r z y r z z r z rdrd dz
* es la imagen de mediante la transformación..
Ejercicio:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 242/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 242
Halle el volumen acotado por la esfera 2 2 2 25 x y z
COORDENADAS ESFERICAS
Cambio a efectuar.
cos
cos
x sen
y sen sen
z
( , , ) 2
( , , )
cos cos cos
, , cos
cos 0
x y z
x x x sen sen sen
J y y y sen sen sen sen sen sen
sen z z z
*
( , , ) ( ( , , ) ( , , ), ( , , )) , , f x y z dxdydz f x y z J d d d
*
2( , , ) ( ( , , ) ( , , ), ( , , )) f x y z dxdydz f x y z sen d d d
* es la imagen de mediante la transformación..
Ejercicios.
1. Determine el volumen acotado por 2 2 , z x y z x y .
2. Hallar el volumen acotado por 3 22 2 2 2 2 216 x y z z y x .
3. Determine el valor de
2
2
cos 2 2 2, ( , , ) / 1 y xy
xdxdydz x y z x y z
Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición deun punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y unaaltura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que setratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal . Se trata de unaversión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.
Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, ), donde:
ρ: Coordenada radial , definida como la distancia del punto al eje , o bien la
longitud de la proyección del radio vector sobre el plano
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 243/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 243
φ: Coordenada acimutal , definida como el ángulo que forma con el eje la proyección del radio vector sobre el plano .
: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano .
Los rangos de variación de las tres coordenadas son
La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada
radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a
partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.
Relación con otros sistemas de coordenadas
Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre
las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:
Base coordenada
A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial encada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Estanueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianasmediante las relaciones
e inversamente
En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala
Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión delvector de posición en estas coordenadas es:
Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.
Efectivamente:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 244/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 244
Diferencial de línea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por
Diferenciales de superficie
La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es
complicada.
Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, elresultado es
y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son
ρ=cte:
φ=cte:
z=cte:
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a
su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
que para coordenadas cilíndricas da
Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones
particulares en coordenadas cilíndricas. Éstas son:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 245/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 245
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
Coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante unadistancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: elradio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la
medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 246/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 246
Relación con las coordenadas cartesianas
Sobre los conjuntos abiertos:
Existe una correspondencia unívoca entre las coordenadas cartesianas ylas esféricas, definidas por las relaciones:
Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje , donde
, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún
punto tal que .
La función inversa entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos delas relaciones inversas:
Relación con las coordenadas cilíndricas
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 247/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 247
Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de lascoordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones
y sus inversas
Base coordenada
A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas
mediante las relaciones
e inversamente
En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala
Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es
Nótese que no aparecen término en o . La dependencia en estas coordenadas estáoculta en el vector .
Diferencial de línea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por
Diferencial de superficie
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 248/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 248
La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas escomplicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada,
el resultado es
y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son
=cte:
θ=cte:
φ=cte:
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, asu vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
que para coordenadas esféricas da
Operadores diferenciales en coordenadas esféricas
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 249/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 249
Laplaciano
Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales
El gradiente viene dado por:
La divergencia viene dada por:
El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:
El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:
INTEGRALES DE LINEA O CURVILÍNEA
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 250/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 250
Sea γ una curva en Rn , con parametrización γ ( ), [ , ]r r t t a b donde γ es una curva
(regular),es decir,
[ , ] : '( ) 0t a b r t , entonces definimos la integral de una función : ,n n F R R
como:
( ( )) ( ( )) '( )b
a F r t dr F r t r t dt
F es un campo vectorial
La interpretación de la
F dr
No es otra que el trabajo que se realiza para desplazar una partícula desde el origen de la curva
( )r a hasta ( )r b
Ejemplo:
( , ) ( , )
: cos
F x y x y xy
r x r
y rsen r cte
γ: ( ) ( cos ; )r r rsen ; [0;2 ]
γ es una curva cerrada
F dr
=2
2
0( cos ; cos ).( ; cos )r rsen r sen rsen r d
( )r a
( )r b
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 251/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 251
=2
2 2 2
0(cos cos )r sen sen r sen d
INTERPRETACIÓN DE LA TRAYECTORIA
En caso F para algún campo escalar , entonces el valor de la integral no depende de
la trayectoria.
Ejemplo:
2 2
2
2
2
2
( ) 2
2
(2 , )( , )
(2 ; )
( , )
d x y xydx x dy
xydx x dy
xy x dx dy
F xy x
x y x y
F
Conceptos Topológicos
1.-Vecindad
0 0( ; ) /n x R x R x x R
2.-Vecindad Reducida
0 0 0'( ; ) ( ; ) /V x R V x R x
3.-Punto Interior
0
n x A R se dice que es un punto interior de A , si R >0/0
( ; )V x R A
4.-Conjunto Abierto
n A R es abierto, si todo punto de A , es un punto interior
5.-Convexo y Conexo
0 x R
0 x
R
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 252/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 252
n R
n A R es convexo, si , : x y A xy A ( xy es el segmento que uno x con y)
A es un conjunto convexo
n B R es conexo, si , : x
y x y A P B
B es un conjunto conexo
6.-Dominio
n R es un dominio, si es un conjunto abierto y conexo.
7.-Dominio Simplemente Conexo
n R es un dominio simplemente conexo si:
1) Dominio
2) conjunto simplemente conexo , se reduce aun punto sin salirse del dominio de Ω
Ω1 no es un dominio simplemente conexo
Ω2 no es un dominio simplemente conexo
8.-Punto Exterior
x A , n A R es un punto exterior si x es un punto interior de c A = /n R A
p
q
n R
pq
n R
xc
A
A
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 253/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 253
9.-Conjunto Cerrado
A es cerrado c A es Abierto
Ejemplo:
n R es abierto y cerrado
10.-Punto Frontera
Son Aquellos puntos que no son puntos interiores ni puntos exteriores de un conjunton A R
11.-Región
n R es un dominio con algunos puntos frontera, sea dominio región.
PROPIEDADES.
1. Si ( ( )). f r t dr
, entonces : ( ( )).a K af r t dr
. Además se cumple
( ( )). ( ( )).af r t dr a f r t dr
.
2. Si ( ( )). f r t dr
y ( ( )). g r t dr
entonces ( )( ( )). f g r t dr
además se cumple
que. ( )( ( )). f g r t dr
y también se cumple que
( )( ( )). ( ( )). ( ( )). f g r t dr f r t dr g r t dr
3. Si ,k m nm n P disjuntos salvo el punto de unión de las curvas,
entonces si ( ( )). f r t dr
se cumple ( ( )). ( ( )).
k
k
f r t dr f r t dr
.
4. Si es la curva recorrida en sentido contrario, entonces en caso
( ( )). f r t dr
se cumple ( ( )). f r t dr
y además se cumple también que
( ( )). ( ( )). f r t dr f r t dr
.
5. Si la curva es rectificable de longitud L, si f es continua en los puntos de , además
en caso f sea acotada en entonces se cumple: ( ( )). f r t dr ML
M es la cota
de f sobre .
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 254/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 254
Ejemplos.
Calcular:
2 2
xdy ydx I
x y
donde : 1 x y
Solución:
1
1 2 2
0
1
(1 ) I dt
t t
=01 x t
y t
1
2 2 2
0
1 2
(1 )
t I dt
t t
=ln5/21
x t
y t
1
3 2 2
0
1 2
( 1)
t I dt
t t
=0
1 x t
y t
1
4 2 2
0
2 1
( 1)
t I dt
t t
=01
x t
y t
1. Calcular ( ( )). ( ) , ( , , ) , , I f r t r t dt f x y z xz y yx x y
donde la curva es el
segmento que une el (1,1,0) (1, 1, 1) y .
2. Determine el valor de ( ( )). ( ) , ( , , ) , , I f r t r t dt f x y z z yx y
donde la curva
2: ( ) ( ,2 , ), 1,3r t t t t t .
3. Determine 1 2 1 1( ( )). ( ) , ( , ,..., ) , ,...,
n n n I f r t r t dt f x x x x x x
done la curva
: ( ) , 2 ,3 ,..., , 0, 20r t t t t nt t .
4. Determine el valor de , : ( ) cos , ,2 , 0,52 2 2
ydx zdy xdz I r t t sent t
x y z
Propiedad.1
Sea f donde es un campo escalar, entonces si es una curva que va de P hacia Q
dentro de un dominio simplemente conexo., entonces el valor de . ( ) (Q )dr P
es
decir no depende de la trayectoria de integración.
Propiedad.2
Si f donde es un campo escalar, entonces si es una curva simple cerrada dentro
de un dominio simplemente conexo., entonces el valor de
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 255/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 255
. 0dr
Campo Conservativo.
Dado un campo de fuerzas en un dominio simplemente conexo, diremos que es un campo
conservativo si cumple una de las siguientes condiciones.
1. Un campo es conservativo si, y sólo si, el trabajo que realiza la fuerza que genera el campo
de fuerzas entre dos puntos no depende de la trayectoria que une dos puntos de , dentro
del dominio simplemente conexo . Es decir :
1 2
. . f dr f dr
2. Un campo es conservativo si, y sólo si, el rotacional de ese campo vectorial en todos los
puntos de es cero: 0 x f
3. La mas importante, un campo de fuerzas es conservativo si, y sólo si, podemos encontraruna función escalar potencial llamada energía potencial, de la cual su gradiente sea esa fuerza.De tal modo que para esa fuerza el trabajo que realiza sobre una partícula o móvil, entre dospuntos cualesquiera del espacio es igual a la variación de esa función escalar entre esos dos
puntos, cambiada de signo.
. ( ) ( )
B
A
f dr W A W B
Otra propiedad interesante es que las curvas integrales de un campo vectorial conservativo,llamadas líneas de campo , no pueden ser cerradas.
Un campo de fuerzas donde el trabajo que es necesario para mover una partícula a lo largo de
una trayectoria simple cerrada contenida dentro del espacio ocupado por el campo es cero.
Ejemplo. El campo de fuerzas ( , ) , f x y y x es un campo conservativo en todo 2 R , pues
para cualquier trayectoria simple cerrada contenida en 2 R se cumple ( ( )). 0 f r t dr
Otros ejemplos.
El campo electrostático, el campo gravitatorio en mecánica clásica o las fuerzasintermoleculares en un sólido para pequeños valores de vibración son todos ellos casos defuerzas conservativas. El campo electrostático y el gravitatorio en mecánica clásica de un
cuerpo en reposo y a grandes distancia del mismo tiene la forma aproximada:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 256/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 256
Donde ˆr u es un vector unitario dirigido desde la fuente del campo hacia el punto donde semide el campo, , ,q mr r r son respectivamente el vector de posición del punto donde se mide
el campo, el vector posición de la carga que crea el campo gravitatorio y el vector de laposición de la masa que crea el campo gravitatorio Las fuerzas intermoleculares pueden serescritas por unas fuerzas del tipo:
Donde ( ; ; )i i i ir x y z representa el vector de posición de la molécula i -ésima y las , ,m i jk
son constantes elásticas que dependen de la red cristalina del material o su estructura interna.La energía potencial es la correspondiente problema de oscilaciones acopladas y viene dadopor una forma cuadrática de las coordenadas:
El campo magnético es un ejemplo de campo no conservativo que no puede ser derivado deun potencial escalar. Esto se refleja por ejemplo que las líneas de campo del campo magnéticoson cerradas.
Relación entre integrales.
En física y matemática, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea
alrededor de una curva cerrada simple y una integral doble sobre la región plana
limitada por . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es
un caso especial del más general teorema de Stokes..
Teorema de Green
Sea ( , ),Q( , ) P x y x y dos funciones de un dominio , en R con derivadas parciales
continuas, es un conjunto simplemente conexo que encierra un dominio simplemente
conexo , Entonces ( , ) Q( , ) Q ( , ) ( , ) x y
P x y dx x y dy x y P x y dA
.
Consecuencia.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 257/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 257
Podemos apreciar que si existe el área de una región , dominio simplemente conexo, con
frontera , entones el área está dada por:
1( )2
A ydx xdy
Para lo cual podemos aplicar el teorema de Green, las funciones ( , ) ,Q( , ) P x y y x y x
1 1 2 2 ydx xdy dA dA A
12
A ydx xdy
.
Comprobar que el área del círculo es 2 A R .
X=rcost, Y=rsent
2 2
2
0 0
1 cos ( cos )2
A Rsent Rsent R t R t dt dt R
Ejercicios:
Hallar el Área de una Elipse
Solución:
El área de un región es invariable con respecto a cualquier
rotación y/o traslación
x= acost
y= bsent
2 2
0 0
1 1cos ( cos )2 2
A bsent asent a t b t dt ab dt ab
Dominio Múltiplemente Conexo
1 es doblemente conexo
12
A ydx xdy
1
2
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 258/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 258
1
2 3
2 es triplemente conexo
Ejemplo:
Calcular: 4 x dx xydy
11
4
0 0
0
y
x dx xydy y dxdy
1
0
2 31
0
(1 )
] 1/ 62 3
y y dy
y y
Calcular el área de la curva
3
3
cos x t
y sen t
Solución:
Aplicando green
2
3 2
0
, / 1
( , ) 0 ( , )
33cos cos
8
x y P Q Q P
P x y Q x y x
dxdy Pdx Qdy t tsen tdt
Limitaciones del Teorema de Green
1
2
1
1
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 259/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 259
Sea2 2
ˆ ˆ
( , )yi xj
F x y x y
a) Calcular su integral de línea sobre el circulo 2 2 1 x y
b) Calcular x yQ P dxdy
región encerrada por
c) Discutir si estos resultados están o no de acuerdo con el teorema de Green
Solución:
a) 2 2 2 2
, , y x
dx dy x y x y
2 2
ydx xdy
x y
x=cost , y =sent 0;2t
2
2 2
0
cos 2 sen t t dt
b) 2 2
2 2
( , )
( , )
y P x y
x y
x
Q x y x y
2 2 2 2
2 22 2 2 2
,
0
x y
x y
y x y xQ P
x y x y
Q P
0 x y
Q P dxdy
c) No se cumple el teorema de Green , porque P y Q no tienen derivadas parciales en el(0;0), punto interior de ( región encerrada por )
FUNCIONES DIFERENCIABLES
DEFINICIÓN
Una función : , n f A R A R se dice que es diferenciable en 0a A si
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 260/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 260
1.
2.( ) ( ) ( ).( )
lim 0 x a
f x f a f a x a
x a
La matriz de orden 1xn dada por el gradiente se le denomina matriz jacobiana para
f en .a
CASO PARTICULAR DE 2 VARIABLES.
Una función 2: , f A R A R se dice que es diferenciable en 0
1 2( , )a a a A si
3. Existen números A y B tales que:
4.1 2
1 2 1 2
2 2( , ) ( , )
1 2
( , ) ( , ) ( ) ( )lim 0( ) ( ) x y a a
f x y f a a A x a B x a x a x a
En este caso el plano1 2 1 2
( , ) ( ) ( ) z f a a A x a B y a es el plano tangente a la grafica de
f en1 2
( , )a a a .
DEFINICIÓN
Una función : ,m n f A R A R se dice que es diferenciable en 0a A si la función f
tiene sus m componentes , 1,2,..., j f j m diferenciables en .a
5. La condición de diferenciabilidad seria:
6.
( ) ( ) ( )lim 0m
x an
f x f a M x a
x a
Done la matriz jacobiana es
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 261/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 261
7.
1 1 1 1
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
3 3 3 3
1 2 3
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ... ( )( )
..........................................................
....
n
n
f
n
f f f f a a a a
x x x x
f f f f a a a a
x x x x
f f f f a a a a M M a
x x x x
1 2 3
......................................................
( ) ( ) ( ) ... ( )m m m m
n
f f f f a a a a
x x x x
8. Apreciación.
9. Una función : , n f A R A R es diferenciable en 0a A , si lasderivadas parciales de orden 1, son todas continuas en .a
REGLA DE LA CADENA.
Sean A y B dos conjuntos abiertos de n m R y R respectivamente, : ,m n f A R A R ,
: , p m g B R B R , de manera que ( ) Ran f B . Si f es derivable en 0a A y g es
derivable en ( ) f a , entonces gof es derivable en .a
Además se cumple:
10. ( ( )) ( ) gof g f M M f a M a
11.
Problemas resueltos de matemáticas III
1) Determinar el área de la superficie de la esfera limitado
por el cono circular
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 262/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 262
Solución:
En coordenadas polares:
x y
z
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 263/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 263
)
2) Determinar el área de la superficie del elipsoide , limitado por el
cono elíptico
Solución:
De
xy
z
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 264/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 264
3) Determine el area de la superficie del cilindro limitado por el cono
circular
Solución:
De
De S1 hacemos:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 265/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 265
4) Determine el area de la superficie de limitado por el cilindro
Solución :
Analizando el primer octante
5) Determine donde
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 266/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 266
6) Determine donde
Solución:
x
y
z
S1
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 267/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 267
7) Determine donde
S2
S1
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 268/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 268
8) Encontrar el centro de gravedad del casquete semiesférico radio R, con centro en
Solución:
El centro del casquete semiesférico es
8) Hallar el área de la superficie limitada por:
0,0,0, 22222222 RX Y X RX Y X R R Z Y X
Solución:
Mostramos los gráficos de la región de espacio y de su campo.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 269/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 269
Z
Y
X
Y
R
R
(R/2,0)(R/2,0)
Entonces procedemos a calcular:
Debido a la simetría de la región, entonces calcularemos el área de la
superficie que se encuentra en un octante, entonces el campo quedaría como:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 270/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 270
Y
R
(R/2,0)
22 X RY
22 )2
()2
(R
X R
Y
8
T S = dA
Y
Z
X
Z
]1)()([22 = dydx
Z
Y
Z
X R X R
R X
R
0
)2
()2
(
22
22
22
1)()( =
dydx Z R
R X R
R X
R
0
)2
()2
(
22
22
= dx X R
Y Rarcsen
RX R
R X
R
0 )2
()2
(
22
22
22
)( = dx X R
X arcsen R
R
0
)2
(
=
R R
dx X R
X arcsen R
RX
002
=
R R
RX R
X R
X R
X Xarcsen R
RX
00
]arctan[2
=2
)1(2
R
EXAMEN FINAL
Pregunta 1:
Considere una esfera hueca de material homogéneo, con un radio interno “a” y
un radio externo “b”, con una temperatura internaa
T y una temperatura
externa bT . Determine la temperatura en estado estable en función de la
distancia r con respecto al centro, para valores entre “a” y “b”.
Solución:
De acuerdo a la ecuación de Fourier se tiene que:dT
H kAdr
, donde en caso de que se
trate de un estado estacionario H , que es la cantidad de calor que pasa a través de un área
A por unidad de tiempo, es constante.
Entonces integrando para nuestro caso de la esfera hueca se tiene:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 271/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 271
2
4 ( )
1 14( )
b
a
T b
a b
T a
k T T H dr dT H
k r
a b
Por lo tanto:
1 1( )
4
( ) 1 1( ) ,
1 1( )
r a
a br a
H T T
k r a
T T T T a r b
r a
a b
Pregunta 2:
Evaluar la siguiente integral 2( )(1 )(1 )(1 )i j k ij ik jk i j k
v
x x x dx dx dx , siendo:
V = 2 2 2
1 2 3 1 2 3( ; ; ) / 4 x x x x x x
Solución:
Simplificando se tiene que: (aplicando la definición del delta de Krocner)
2( )i j k i j k
v
x x x dx dx dx , siendo i j k
y de la restricción se puede notar que para cada combinación subíndices, que
cumplan la restricción anterior, el resultado es el mismo.
Dado que hay 6 combinaciones posibles:
2( )
i j k i j k
v
x x x dx dx dx =6 2
1 2 3 3 2 1( )
v
x x x dx dx dx ,
Pasando esta ecuación a coordenadas esféricas:
2 2
2 2 2 2
0 0 0
( ( )cos( ) ( ) cos ( )) ( ) sen sen sen d d d
=128
15
Entonces:
2( )
i j k i j k
v
x x x dx dx dx =6 2
1 2 3 3 2 1( )
v
x x x dx dx dx =256
5
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 272/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 272
Pregunta 3:
Usando una transformación ( , , )u v wT , demostrar la siguiente relación:
1 1 1 1
210 0 0
( 1)
1
n
n
dv
xy n
Solución:
Integrando respecto de z se tiene:
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
1ln(1 )
1
dv xy dydx
xy xy
, ahora aplicando la serie de Taylor para poder
expandir el logaritmo respecto a “y”, se obtiene: 1 1 1 1 2 2 3 3
0 0 0 0
1 2 3
3 3 3 3
0
1ln(1 ) (1 ...)
2 3 4
1 1 1 1(1 ...) 1 ...
4 9 16 2 3 4 5
xy x y x y xy dydx dydx
xy
x x xdx
Y esto es igual a:
1
21
( 1)
n
n n
Pregunta 4:
Calcule el área de la superficie2 2 x y z e , si la proyección al plano XY es la
región acotada por la circunferencia: 2 2 4 x y
Solución:
Se sabe que la integral de superficie es:
2 22 2 2 2 2( )1 ( ) ( ) 1 4( ) x y
s s
z z dydx x y e dydx
x y
Pasando a coordenadas polares se tiene:
22 2
2 2
0 01 4 4.45
r
r r e drd
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 273/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 273
Pregunta 5:
Calcule el volumen del Sólido acotado por las siguientes superficies:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1:S b c x a c y a b z a b c y
2 2 2 22
2 2 2: 2
c x c yS cz c
a b
Solución:
Simplificando las ecuaciones anteriores se tiene:
2 2 2
1 2 2 2
2 2
2 2 2
: 1
: 2 1
x y z S
a b c
x y z S
a b c
Y haciendo el cambio de:
, , x ax y by z cz
Entonces: dv abcz y x
Por lo que el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas será:V
abcdz dy dx
Para ver el dominio sobre el que están definidos x e y, se interseccionan las dossuperficies:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 274/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 274
21 2 1 3 1 z z z
Ahora pasando a coordenadas cilíndricas se tiene:
2
2
2 3 32 1
0 0 1
2
r
r
abc rdzdrd
=
2 3/ 2
(2 3 3) ( 2 3 4) 2 3 3 1(2 )( )8 3 4 3
abc
0.12V abc
Problema 6:
Calcular la siguiente integral doble R
x dxdy y , siendo R la región acotada por el
triángulo de vértices (1/2 ; 1/2) ; (0;1) ; (1;1)
Solución:
Para la región sobre la que se nos pide evaluar la integral:
x
y=0, pues y>x, excepto sobre la rectas y=x, donde vale 1. Pero entonces se
interpretaría como el área sobre la región en la que esté definida, la cual es una
recta y como su área es 0.
Entonces: R
xdxdy
y =0
Problema 7:
Del octante de la esfera 2 2 2 2 x y z c ; ( 0; 0; 0) x y z se ha quitado el
cuerpo OABC , limitado por los planos de coordenadas y por el plano 1 x y
a b
(a<0,b<0,c<0). ( 0, 0, 0)a b c y O es el origen de las coordenadas.
Calcule la masa de este cuerpo si su densidad en cada punto (x;y;z) es igual a su
cota z.
Solución:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 275/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 275
La masa total del cuerpo se puede calcular como la masa del octavo de esfera
menos la masa encerrada entre el plano dado y los ejes coordenados. Esto es:
2 24/ 2 / 2
0 0 0 0 0 0
cos ( )
bb x
x yc a a
M sen d d d zdzdydx
Entonces operando:4 3 3 2
16 24 24 4
c a b ab abc M
Problema 8:
Se sabe que un cierto camino en el plano 2x+2y+2z=1 se proyecta en la
circunferencia unidad 2 2 1 x y del plano XY . Sea c una constante y sea
R xi yj zk . Calcule mediante el teorema de Stokes ( ).ck R dr
.
Solución:
Por el teorema de Stokes se sabe que: ( ). ( ).S
ck R dr x ck R dS
Operando se tiene: ( ) 2 x ck R ck
Por lo que:
( ). (2 ) (2,2,1) 2S S
ck R dr ck x dydx c dydx
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 276/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 276
Y como el área proyectada en el plano XY es un círculo, entonces:
( ). 2ck R dr c
Problema 9:
Demuestre que la medida (“volumen”) de una n-bola en n de radio “a” está
dada por
1
2
( )
(1 )2
n
n
aV a
n
Solución:
Tenemos la n-esfera, definida como el lugar geométrico de los puntos en el
espacio euclídeo n-dimensional que equidistan de uno llamado centro (en
nuestro caso el origen).En otras palabras, 2 2 2 2 2
1 2 3...
n x x x x r .Y
queremos calcular su superficie y volumen. Para ello, consideramos la
integral:
2
n
r
R
I e dV
Donde integramos sobre todo el espacio. Pero podemos usar una identidad
conocida para simplificarnos la vida:
2 2 22 2231 2
1 2 3
1
( ).( ).( )...( ) ( )n i
n
n x x x x xr
n i
i R
I e dV e dx e dx e dx e dx e dx
Ahora bien, cada una de las integrales del producto vale raíz de pi, por lo
que:
2 / 2
1
( )in x n
i
i
I e dx
Bien, guardemos este resultado un momento, y vayamos a otra cosa.
Hasta ahora no nos hemos ocupado directamente de la esfera. Vamos a
ello, haciendo una simplificación que resultará ser esencial:
En el jacobiano del cambio a coordenadas polares n-dimensionales, lavariable radial r sólo aparece mediante un factor de 1nr .
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 277/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 277
En efecto, veamos qué es un cambio a polares n-dimensional. Básicamente
es un cambio del tipo:
1
2
cos....
cos....
x r
x r
Etc., etc. con la variable r apareciendo sólo delante del (habitualmente
inmenso) producto de senos, cosenos, etc. Las variables angulares
aparecen sólo dentro de senos y cosenos por muchas razones, una de las
cuales es que el cambio a polares en n dimensiones es una generalización
del cambio a polares plano y tridimensional, y en éstos se procede mediante
senos y cosenos. Y aunque no fuera un producto de senos y cosenos, sino
una función arbitraria de los ángulos, eso no invalidaría para nada nuestro
argumento. Desarrollar por completo las coordenadas polares es complicado
y sería desviarse del tema principal, pero de todas formas es algointeresante. Decíamos que la variable r sólo aparece delante del producto
de senos y cosenos, y esto es así porque cuando r=1 las coordenadas
polares deberían parametrizar la superficie de la esfera de radio 1. Al
multiplicar las coordenadas por un r arbitrario deberían parametrizar la
esfera de radio r. Calculemos su jacobiano, y fijémonos en una cosa: La
variable r aparece en todas las columnas, sencillamente multiplicando a
todo lo demás, menos en la primera. Esto es lógico, pues la primera
columna del jacobiano corresponde a tomar la derivada parcial respecto a r,
y por la forma del cambio de coordenadas eso elimina a la variable r. En
resumen, el jacobiano tendrá la forma:
... .... .... ....
... .... .... ....
... .... .... ....
r r r
r r r
r r r
Donde los puntos suspensivos son montones de funciones trigonométricas
de las variables angulares que no vienen al caso ahora. La cuestión es que
una de las propiedades del determinante dice que si una fila o columna está
multiplicada por un número, digamos, r, entonces el determinante es igual
a la constante r por el determinante sin la fila multiplicada por la constante.Aplicando eso sucesivamente a las columnas 2, 3...n-1,n del determinante J
queda que
1( ) (1)n J r r J
Donde J(1) es el valor del jacobiano cuando r=1, y que por tanto no
contiene factores de r. Es decir, la única dependencia de la variable r que
puede tener jacobiano general J(r) es mediante un factor de 1nr . Como se
quería demostrar.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 278/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 278
Antes de hallar el volumen de la n-esfera hallaremos el área de esta.
Primero, demostraremos que:
1
1 2 3 4(1) ... ( )n
n
A
r J d d d d d S r
Donde A es el conjunto de todos los valores posibles que toman las
variables angulares1 2, , ... En el caso plano, por ejemplo, el conjunto A es
sencillamente [0,2 ] .En un caso más general será un producto cartesiano
del tipo [ , ] [ , ] ...a b x c d x . Y S(r) es la superficie de la esfera de radio r. Por
ejemplo, para 2 dimensiones, tenemos que A=[0,2pi] y J(1)=1, y por tantola integral de arriba toma la forma:
2
0
2rd r
Que es precisamente la superficie de la esfera de radio 1 (en este caso,
longitud).
En fin, vamos a demostrarlo:
Consideremos la integral:
. ( )S S
x NdA rdA rS r
Donde S es la superficie de la esfera de radio 1, y N es el vector normal
unitario a la superficie de la esfera. La igualdad de la derecha se produce
porque el vector normal a la superficie y el de posición son paralelos, uno
de módulo 1 y el otro de módulo r. Por tanto el valor del producto escalar
en el integrando es r.
Si aplicamos el Tª de la divergencia al lado de la izquierda, siendo V el
volumen de la esfera de radio r, teniendo en cuenta que i
i X x n donde
n es el número de dimensiones del espacio, tenemos que:
1 2 3 4
0
1 1
1 2 3 4 1 2 3 4
0 0
. . ( ) ...
(1) ... ( ).( (1) ... )
r
n
S V V A
r r
n n n
n n
A A
x NdA xdV ndV nJ n drd d d d d
nr J drd d d d d nr dr J drd d d d d r
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 279/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 279
Con lo que queda demostrada la afirmación de arriba. Nótese que ello
implica dos cosas:
1
1 2 3 4
( ) (1)
(1) (1) ...
n
n
A
S r r S
S J drd d d d d
Bueno, ahora sí que sí vamos a calcular la superficie de la n-esfera.
Recordemos de las demostraciones anteriores que:
2/ 2
n
r n
R
e dV
21 /2
1 2 3 4
0
(1) ...n r n
n
A
r e J drd d d d d
21 /2
0
(1) n r nS r e dr
Si ahora en la integral que obtenemos, hacemos el cambio de variable 2t r , la integral queda:
2 11 2
0 0
1
2
n
n r t r e dr t e dt
Pero recordemos que la función gamma se define como:
1
0
( )n t
n t e dt
Así que la integral nos queda que vale1
( )2 2
n .En otras palabras, nuestra
ecuación de arriba queda:
/ 2
/ 2
1(1) ( )2 2
(1)1
( )2 2
n
n
nS
S n
Y ahora, multiplicando ambos lados por 1nr , obtenemos la Superficie de
la n-esfera de radio r:
/ 2 12
( )
( )2
n nr
S r
n
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 280/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 280
Volumen de la n-esfera
Se obtiene de forma directa, mediante el uso del teorema de la divergencia.
Sea una esfera de radio r, S su superficie y V su volumen, tenemos que:
. .S V
x NdA xdV
Por los mismos argumentos que los empleados en el cálculo de una integral
similar hecha anteriormente, se tiene que:
/ 2
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
2 2
V
n n
rS r n dV
rS r nV r
r r
V r S r n nn
Ahora bien, si recordamos que la función gamma cumple la propiedad de
recurrencia:
( ) ( 1) x x x
y sustituimos esto en la ecuación, nos queda el Volumen de la n-esfera
de radio r:
/ 2
( )
(1 )2
n nr
V r n
Por lo que termina el problema.
Problema 10:
Suponga que u ; v ; w son coordenadas curvilíneas ortogonales para las cuales2 2 2 2 2
ds v du u dv dw .
a) Calcule la divergencia de u , donde u es el vector
unitario tangente a la curva u.
b) Determine el laplaciano de la función f=uvw .
Solución:
a) Se sabe que:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 281/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 281
1 2 3 2 1 3 3 1 2
1 2 3 1 2 3
1. [ ( ) ( ) ( )] F F h h F h h F h h
h h h u u u
Y dado que:1 2 3
; ; 1h v h u h
Además: 1 0 0 F u v w
Entonces:
1 ( ) 1. ( )
uu
uv u uv
b) Parecido al caso anterior, se tendría que evaluar en:
2 2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1[ ( ) ( ) ( )]
h h h h h h f f f f
h h h u h u u h u u h u
Entonces:
2 2w f
uv
EXAMEN FINAL 2010-2
4.- Si A= rcosθεr θεθ vaú ∫dS alrededor de la trayectoria que
es el contorno de un trapecio circular en el primer cuadrante formado
por dos circunferencias concéntricas cuyos radios miden 2u y 3u, y los
rayos trazados desde el origen de coordenadas formando ángulos
agudos de medidas 3⁰ y ⁰ j d a aba E d d atrayectoria es contrario a las manecillas del reloj.
Mediante el teorema de Stokes:
1) ∮dS ∬xA)d
dS = rdrdθεzxA = εr [(1/r) Az/θ-θ εθAr/t-Az/r)
εzrrθr-
Ap/
θ
2) xA=(0-εr + (0-εθ rθεz
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 282/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 282
∬ ∬
=
∫ ∫
=[(√ 7/2
5: demuestre el teorema de la divergencia
Sea S una superficies cerrada en la que toda recta
paralela a los ejes coordenados la corta a lo sumo en
dos puntos. Suponiendo que las ecuaciones de las
superficies limites inferior y superior con
z = respectivamente y
llamando R a la proyección de la superficie sobre el
plano xy, se tiene
En la cara superior ya que la normal
Agudo
En la cara superior ya que la normal
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 283/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 283
Obtuso
Por lo tanto
∬ -∬ ∬ +∬
∬ S
Luego :
∭ ∬ S
Analogamente
6:
Demostrar que
es una condicion necesaria y suficiente para
∮ =0 alrededor
de cualquier curva suave simple cerrada c
Si
Luego por el teorema de Stokes
7:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 284/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 284
Luego :
8:
∬
0<x<3
0<y<3-x
Luego
∬ /3
=45/4
9.-Usando transformaciones T(u,v) determine el volumen del solido
acotado por un octaedro regular cuya arista mide l.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 285/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 285
l = a
Sea P el plano que limita la cara superior derecha
P: AX + BY +CZ = 0…
P*: u + v + w + a = 1
Una vez hecho el conveniente cambio de variable se procede con una
simple integral triple:
V = 2 ʃʃʃ J (u,v,w) dudvdw =2 a2ˆ(1/2)/3
10.- Use el teorema de Green, determine el área acotada por la
curva “ ҫ”
Denominado evoluta de una cardiode.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 286/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 286
r=a(1+cosθ)
r*=r+
ρN … evoluta de “r”
r*=a(1-cosθ X aθ Y aθ
S = 0.5 ʃ XdY-YdX
a/24
LEY DE GAUSS
Relaciona el flujo de un campo eléctrico E sobre una superficie “cerrada” S con carga neta Q
encerrada por la superficie a saber (En unidades adecuadas)
.S
E ds Q …..(1)
Superficie cerrada
Supóngase que el s
E En esto es; un múltiplo escalar constante de la normal unitaria
entonces la ley de Gauss, ecuación (1) anterior se convierte en
0 s s s
Q EdS EdS S dS
Pues s
E E n
0( )
Q E
A S …..(2)
S
E
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 287/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 287
Q
En el caso de que S sea la esfera de radio R , la ecuación (2) se convierte en2
04
Q E
R
El campo eléctrico debido a una carga Puntual Q
es0
1
4s
Q E r
r ……(3)
Aun cuando hemos demostrado el teorema de la divergencia solo para regiones solidas
simples, se puede demostrar también para regiones que son la unión de una cantidad finita de
regiones solidas simples. (El procedimiento es semejante al planeado para extender el teorema
de Green)
Por ejemplo, consideramos la región que se encuentra entre las superficies cerradas S1 y S2,
donde S1 es interior a S2. Sean1
n y2
n normales exteriores (dirigidas hacia afuera) de S1 y S2,
entonces la superficie frontera de E es S = S1 U S2 y su normal n está dada por1
n n sobre
S1 y2
n n sobre S2.
. . S
E S S
divFdV F dS F n dS
1 2
1 2
.( ) .( )S S
F n dS F n dS
1 2
. .S S
F dS F dS ……..(4)
Apliquemos esto al campo Eléctrico
3( )
Q E x x
x
0
1
4
Donde S es una pequeña esfera de radio a y centro en el origen, es posible verificar que
0divE por lo tanto la ecuación (4) da
2 2
. .S S
E dS E ndS
1S
2S
1n
1n
2n
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 288/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 288
Lo que interesa en este proceder es que podemos calcular la integral de superficie sobre S1
porque S1 es una esfera. El vector normal es x es x
xpor tanto
3 2 2. .Q x Q Q E n x x a x x
Porque la ecuación de S1 es x a , entonces tenemos
2 1
. .S S
E dS E ndS
2 2
1
( 1)S
Q QdS A S
a a
0
4Q
Q
Esto demuestra que el flujo eléctrico E a través de cualquier superficie cerrada S2 que
contenga el origen es 4 Q [este es un caso particular de la ley de Gauss para una carga
simple]
Supóngase ahora que el E surge de una carga puntual aislada a Q por simetría, es
razonable que el E En donde n es la normal a cualquier esfera con centro Q , por tanto secumple la ecuación (3).
Consideremos una segunda carga puntual Q 0 situada a una distancia R , de la fuerza F
que actúa sobre esta segunda carga esta dado por
00 0 2
0 4
QQ F EQ EQ n n
R
Así F es magnitud de F , tenemos 0
2
04
QQ F
R
Es la conocida ley de Columb para fuerzas entre dos cargas puntuales.
La ley de Gauss tiene la siguiente interpretación física. El potencial debido a una carga
puntual Q en (0,0,0) está dado por
2 2 20
( , , )4
Q Q x y z
r x y z
Y el campo correspondiente es
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 289/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 289
3
04
Q r E
r
Así la ley de Gauss asegura que el flujo eléctrico total .
M
E dS
(Esto es el fuljo de e
hacia afuera de la superficie M )
Es igual a0
Q
si la carga está dentro de M, y cero de no ser así. Nótese que aun si
(0,0,0) M, E continuara siendo diferente de cero en M.
Para una distribución continua de carga descrita por la densidad de carga el campo
E esta relacionado con la densidad mediante
.divE E
Así por el teorema de Gauss,
0 0
1.
S
Q E dS dV
O el flujo hacia afuera de la superficie es igual a la carga total que hay dentro.
ELECTROMAGNETISMO
Sean , E y H los campos magnéticos y eléctricos que dependen del tiempo respectivamente
en el espacio. Sea S una superficie con frontera definimos
. E dS
Voltaje alrededor de
.S
H dS Flujo magnético atreves de S
1. Evaluar:
Sol.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 290/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 290
Graficando observamos que el volumen “” donde integraremos es el superior al plano , en el primer octante.
Analizando la integral en cada región señalada, tenemos:
Donde:
2. Calcule el valor de ∫ , es la poligonal que une los puntos:
Sol.
Comprobamos si el campo
es
conservativo, para ello bastara con demostrar que la diferencial es
exacta, entonces tiene que cumplir la siguiente condición:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 291/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 291
Las igualdades se cumplen. Por lo tanto tenemos un campo conservativo.
Por ser una diferencial exacta, entonces existe una función tal que:
integramos cada ecuación:
Comparando las tres ecuaciones, tenemos:
Asi la integral ∫ se convierte en: ∫
Por ser un campo conservativo la integral ∫ no depende de la
trayectoria. Entonces bastara tomar los puntos extremos y de la trayectoria
para hallar dicha integral.
Entonces:
3. Usando el teorema de Green, determine el área de la región limitada por el hipocicloide.
Sol.
Podemos escoger la hipocicloide: ……(astroide)
Por Green: ∫ ………..(1)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 292/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 292
Parametrizando tenemos:
Reemplazando en (1):
4. Sea
, un conjunto convexo. ¿
es convexo?
Justifique su respuesta.
Sol.
Para que B sea convexo, toda recta que une dos puntos cualesquiera de su dominio esta
contenido en B.
Sea:
a b formamos la recta
a b a b a ab b
Ademas si: , entonces:
a b a b
Evaluamos en la recta
a a b b a b a b
Por lo tanto, B es un conjunto convexo.
5. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio
externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros.
Sol.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 293/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 293
El momento de inercia de la figura viene dado por:
Como la placa es homogénea, entonces:
, además:
Luego:
∬ ∬ …….(1)
Usando coordenadas polares:
En (1):
6. Usando transformación para integrales triples, calcule el volumen acotado por un
hexaedro de caras regiones triangulares equiláteras de lado a.
Sol.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 294/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 294
Tomamos la mitad del hexaedtro, entonces: ………..(1)
Del grafico: ……..(2)
Hallaremos la ecuación del plano ABC para calcular el volumen del solido O-MBC=
√ √
√ √ √ √
√
√ √ como vector normal al plano ABC
Luego: √ √ √ ……….(*)
Además la región es: √ √ ………….(**)
De (*)y(**):
√ √
√
√
√ √
√
√
√ √ √
√
En (2):
√ √
Finalmente en (1):
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 295/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 295
√ √
7. Evalue
∭
, siendo
Sol.
Para calcular la integral, transformaremos el volumen de integración.
Analizando las desigualdades determinaremos los dominios de x,y,z
………
………
………
z
Entonces hacemos los siguientes cambios de variable:
… y
…y v entonces: √ v
…z
Ahora hallamos los dominios de u,v,w:
v
v
Como:
Entonces:
√ v
Elevando al cuadrado: v
v
Asi el solido S queda transformado en:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 296/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 296
El jacobiano de la transformación es:
√ v √ v √ v
Entonces la integral pedida será:
√ v
√ v
√ v √
8. Sea el campo vectorial
Definido en Ω
a)¿en que región de , es conservativo y evalue ∫ ?
b) sea , a=(2,2), b=(2,y), c=(x,y)
calcule la función potencial f(x,y)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 297/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 297
f(x,y)=∫ ∫
sol.
a)Comprobaremos si
es conservativo:
…es conservativo con dominio:
Por ser una diferencial exacta, entonces existe una función tal que:
integramos cada ecuación:
Comparando ambas ecuaciones, obtenemos:
Asi tenemos que: ∫ ∫
b) dado que F es conservativo, entonces: f(x,y)=∫ ∫ =∫
luego: f(x,y)=
∫ ∫
f(x,y)=
9. Halle el trabajo maximo que se debe efectuar sobre una particula que se desplaza en la
curva
Si el campo de fuerzas esta definida por:
Sol.
El trabajo viene dado por:
∫
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 298/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 298
∫ …………..(1)
Tenemos la ecuación de la elipse:
Parametrizamos:
Reemplazamos en (1):
Luego:
Si ∫ ….es el trabajo máximo realizado en una
vuelta.
10. Hallar el área de la región acotada por la curva que es la podaría de una parábola,
usando el teorema de green.
Sol.
Sea la parábola
Entonces la podaría respecto a su vértice, tiene por ecuaciones parametricas:
Derivando :
Parametrizando la recta x=-p
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 299/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 299
Derivando :
Por el teorema de Green: ∫
Analizando por tramos:
∫
Entonces:
Por lo tanto, por Green comprobamos que el área acotada por una podaría no tiene valor
finito.
TEOREMA DE STOKES.
INTEGRALES DE SUPERFICIES.
Ecuaciones de superficies.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 300/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 300
Una superficie , , / ( , , ) 0,S x y z f x y z f continua es un conjunto de puntos de
3 R . Lo que nos interesa en estos momentos es hallar superficies limitadas de maneraque podamos determinar el área de esas superficies.
Una superficie , se dice que es una superficie suave, si las derivadas parciales de f son continuas en el dominio de la superficie S y nunca se anula.
Ahora deseamos encontrara su área, mediante una integral doble, sobre la región R,que viene a ser la proyección de la superficie sobre el plano piso o sea el plano XY.. Aunque puede ser cualquier otro plano sobre el cual se proyecte la superficie, pero nodebe existir dos puntos de la superficie que tengan dos imágenes de la proyección R.
Es decir bajo esta proyección es uno a uno, o sea inyectiva, o sea para cada punto dela proyección solamente hay una imagen.
Simbólicamente:
, ,0 : ! / ( , , ) XY x y R z f x y z c
Análogamente si se proyecta la superficie sobre otro plano.
,0, : ! / ( , , ) XZ x z R y f x y z c
,0, : ! / ( , , )YZ x z R x f x y z c
Aproximación.Tomemos un punto cualquiera de la superficie S , en el plano tangente a la superficie
S consideremos un paralelogramok
P , , el se puede considerar como una
aproximación parak
, la proyección de sobre la región XY
R la denotamosk
A
que viene a ser un rectángulo como se puede apreciar en la figura.
S
k P
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 301/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 301
Si el paralelogramo es paralelo al rectángulok
A , ellos serán congruentes. En
caso contrario será un paralelogramo con una área mayor que el área .
Ahora analizaremos la siguiente grafica
El área del paralelogramo que esta en el plano tangente, determinado por los vectores
es k k u x v y en la proyección el área de es .
k A = . cosk k k k k u x v n u x v n .
Luego: , donde cos 0k
, siempre que 0 f y no sea paralelo al XY
R
( o cualquiera de los otros casos).
Pensando en la refinamiento que podemos hacer, para mejorar la aproximación., alárea de la superficie, tendremos que :
cos
k k
k
A P
k P
k A
,k k
u vk A .k k
u x v n
cos
k k
k
A P
ukvk
n
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 302/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 302
Así tenemos esta aproximación de lo que se conoce como área de la superficie S , por lo que podemos apreciar que el área de la superficie será:
1.1
( )cos
k R
A S dA
1 1 1
.cos cos .k k
f
f n f n
f
( ).
R
f A S dA
f n
.
Donde n es un vector unitario normal a R y . 0 f n .
CONSECUENCIA.
Si S es la superficie definida por ( , ) z f x y , la cual tiene derivadas parciales
continuas a través de la región XY
R , tendremos que la ecuación que define la
superficie es
( , ) 0 f x y z , así tendremos que:
2 2( ) 1. .
XY XY XY
x y
R R R
f f A S dA dxdy f f dxdy f n f k
REPRESENTACION DE UNA SUPERFICIE.
El problema de expresar una superficie, la cual liga tres variables mediante unaecuación, lo cual se interpreta que hay dos variables que pueden tomar valoresarbitrarios, puede representarse implícitamente o explícitamente, es decir habría loque se llama dos grados de libertad.
Una tercera alternativa es la llamada representación parametrica de una superficie.
Así tendremos que:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 303/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 303
2. : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , )S r u v x u v i y u v j z u v k u v RxR que viene a ser la ecuación parametrica de la superficie.
Así tendremos que ( )u v u v
A S r xr dA r xr dudv
.
ÁREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCION.
Cuando el eje de rotación es el eje z cuya ecuación es
3. : ( ) ( ( ), ( ))r u f u g u
esta dada por 2
2 2
0
( ) 2 ( ) 1 ( ) ( )
b
a
A S f u f u g u dudv
.
Esto se deriva del hecho de que : ( ) ( ( )cos , ( ) , ( ))r u f u v f u senv g u
4. ( ( )cos , ( ) , ( ))u
r f u v f u senv g u (u
r
( ( ) , ( )cos ,0)v
r f u senv f u v
2 2x ( ) 1 ( ) ( )
u vr r f u f u g u
Definición.
Si R es la proyección de una superficie : ( , , )S f x y z c y la función g continua
g continua en los puntosa de la superficie S , entonces definimos la integral de g sobre S
como la integral
( , , ).
R R
f g x y z dA
f n
donde Rn es un vector unitario a R y . 0
R f n .
u
v
x
y
z
u,v
Ω
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 304/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 304
Centro de gravedad.
Dado el campo escalar f se interpreta como la densidad (masa por unidad de área)de una
lamina delgada que coincide con la superficie S tendremos que la masa de la lamina seria:
( , , )S
m f x y z dS
El centroide seria1
( , , ) ( , , )S S S
x y z xdS ydS zdS m
.
Momento de inercia: 2( , , ) ( , , ) L
S
I d x y z f x y z dS
Donde ( , , )d x y z es la distancia de un punto genérico de la lamina hacia la recta L .
INTEGRALES DE SUPERFICIE – TEOREMA DESTOKES
Preliminares
Es de nuestro interés inicialmente trabajar con superficies ( , , ) 0 f x y z donde
( , , ) f x y z , donde x, y, z están variando en su determinada extensión. Además inicialmente
consideraremos que: ( , , ) 0, ( , , ) f x y z x y z Domf (a veces se suele decir que la
superficie la “suave”). Podemos definir y determinar el área de esta superficie mediante unaintegral doble sobre su proyección R en algún plano coordenado (en la figura el plano piso o
sea xy). Sabemos también que la proyección sobre el plano coordenado es de uno a uno.
S
MS
R
T
H
CASO POR ANALIZAR CASO NO ANALIZADO INICIALMENTE
R
Al punto H le corresponden los puntos My T. (O sea la proporción de M y T es H)
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 305/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 305
Consecuencia
Ahora tomemos un diferencial de la
superficie S, que la denotamos comok S y
Tk P es el paralelogramo que determina
k S
proyectado al plano tangente.
Hemos considerado un punto ( , , )k k k k T x y z de k S y también estaría en un lado delparalelogramo que se encuentra en el plano tangente.
Tenemos que si el paralelogramo es paralelo al piso y por ende ak
A .k P será congruente
conk
A , en caso contrario el área deTk P será mayor que el área de
k A .
Denotemos un n el vector normal del plano piso pero unitario (si el piso es el plano XY, en
este caso k ), el plano tangente a la superficie S es ( , , )k k k
f x y z .
Visualizando la gráfica:
( , , )k k k
x y z
k S
Tk S
S
k A
S
CASO POR ANALIZAR
k A
( , , )k k k
f x y z k v
k u
n
El área de la proyección ortogonal del
paralelogramo determinado pork u y k v
sobre cualquier plano con normal n es:
k k u v n
(Valor absoluto del triple producto
escalar)
Luego por conocimientos elementales
de cálculo vectorial tenemos:
cosk k k k k k A u v n u v n
k Tk A A P
cos
k Tk
k
P P
, donde: cos 0
k
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 306/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 306
Podemos apreciar que la sumacos
k Tk
k
A P
, es una aproximación de lo que
llamamos el área de la superficie S, cuando más reducida sea la particiónk
A .
ÁREA DE UNA SUPERFICIE
Deducimos el área de una superficie ( , , ) 0 f x y z sobre una región plana, cerrada y acotada
en , así veremos que:
( ) R
f A s dA
f n
Donde n es un vector unitario normal a R y f , 0n y 0 f .
Casos Especiales
Cuando z se puede despejar de ( , , ) 0 f x y z , o sea z definida explícitamente por x e
y, además que tenga derivadas parciales continuas en una región R de R 2 (del plano
xy), entonces ( , ) z x y se tiene:
2 2 1
xy xy
x y
R R
f dA f f dxdy f n
Caso Paramétrico
Toda superficie gráfica de una función ( , ) z f x y , se podría decir que se trata de un punto
el cual tendría dos grados de libertad. En realidad tenemos que podríamos representar
implícitamente a la superficie ( , , )/ ( , , ) 0S x y z f x y z en tanto de ( , , ) 0 f x y z no
podemos despejar z, en caso contrario si podemos expresar ( , ) z h x y diremos que z está
representado explícitamente en términos de x e y. O sea que podemos expresar ( , , ) / ( , ), ( , ), ( , ),( , )S x y z x x u v y y u v z z u v u v R . Es decir:
2: ( , ), ( , ), ( , ), ( , )S x x u v y y u v z z u v u v
un conjunto simplemente conexo de 2 , así interpretamos que al variar u y v de manera
que ( , )u v se advierte que hay dos grados de libertad (2 variables toman valores
arbitrarios en un determinado conjunto).
v
z
u
( , )r u v
: .cte
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 307/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 307
O sea tenemos : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , )S r u v x u v i y u v j z u v k u v esta es la conocida
ecuación vectorial de la superficie S.
S es la imagen de , a través de la aplicación r , ella se denomina producto vectorial
fundamental.
Sea : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,( , )S r u v x u v i y u v j z u v k u v admitiendo que x, y, z son
diferenciables en , podemos ver que:
u u u u
v v v v
r x i y j z k
r x i y j z k
El producto vectorial u vr r se denomina el producto vectorial fundamental de la
representación de r .
Así tenemos:
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
u u u u u uu v u u u
v v v v v v
v v v
i j k y z z x x y y z z x x y
r r x y z i j k i j k y z z x x y u v u v u v
x y z
Si ( , )u v , para el cual ur y vr son continuos y 0u vr r , el punto imagen ( , )r u v se
denomina punto regular de r .
Si ur o vr no son continuas o si 0u vr r el punto ( , )u v se denomina punto singular de la
superficie de r .
SUPERFICIE REGULAR
: ( , ) ( , ) ( , ) ( , )S r u v x u v i y u v j z u v k se dice que es una superficie regular si todos sus
puntos son regulares.
Toda superficie S tiene más de una representación paramétrica. Podemos dar ejemplos de
puntos los cuales una representación paramétrica es regular y con otra singular.
u
u
v =constante
x
u
y
u
( , )u v
: .cte
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 308/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 308
Significado Geométrico
Sabemos que:( ) ' 0
// u v
f r r
n r r
Razón por la cual el vector, el vector u vr r se denomina normal a la superficie ( )r el
vector u vr r es no nula. El plano que pasa por P y tiene este vector como normal se
denomina plano tangente a la superficie en P.
SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE
Una superficie : ( , ) ( , ) ( , )S r x u v i y u v j z u v k es suave si: ur y vr son continuas y
nunca es nulo u vr r para ( , )u v . Definamos una superficie paramétrica general dada
por la ecuación ( , )r u v .
Como inicio consideremos un rectángulo, partimos en un rectángulo Rij por comodidad
R (rectángulo), en la parte de la superficie correspondiente a Rij denotada Sij tomamos un
punto ( , )i ju v como el vértice inferior de Rij. La parte Sij de la superficie S cuya proyección es
Rij se denomina parche y tiene el punto Pij como vector posición ( , )i j
r u v , sean:
PLANO TANGENTE
n
ur
vr
P
V= cte.
U= cte.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 309/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 309
* ( , )
* ( , )
u u i j
v v i j
r r u v
r r u v
Los vectores tangentes en P ij
Observemos que: ( )ij ij
r R S
Aclaremos la gráfica en 3 , específicamenteij
S .
En la figura se aprecia que los dos bordes del parche con vértice enij P se puede aproximar
mediante vectores tangentesu
ur y vvr .
Consecuencia
Un rectángulo que tenga un área u v se convierte en una porción de ( )r que se puede
aproximar por el paralelogramo determinado por los vectoresu
ur y vvr .
Así podemos aproximar
ijS
por dicho paralelogramo, lo que significa que:
vvr
u
vvr
u
v
v
u
u
x
u
y
u
( , )i j
u v
ijS
ij
P
ij R
u
uur
ijS
uur
ij P
z
u
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 310/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 310
1 1 1 1
0 0 0 0
( )
( ) ( )
ij ij u v
n n n n
ij u v
i j i j
A R S ur vr
A A R r r u v
Cuando la partición se refina, o sea n la suma ( ) A converge a la integral doble, así:
u vr r dudv
Como ( ) A deberá aproximarse, cada vez más al área de la superficie conforme n .
Definición
Si una superficie paramétrica suave S, dada por ( , )r u v , ( , )u v S se “cubre” solo una vez
cuando ( , )u v , entonces el área de la superficie S es:
( )S u v A r r dA
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Si tenemos una curva suave la cual no corta al eje Z con parametrización( ) ( ) ( )
: ( , )u u ur f g . Determinemos el área de la superficie obtenida al girar esta curva
alrededor del eje oz.
De la gráfica:
( ) ( ) ( ): ( , ) ( cos , , )u u ur u v r f v f senv g
a
v
u
u
x
u
y
u
( , )i ju v
( )u g
b
2
( )u f
( ) ( )( ,0, )
u u f g
z
u
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 311/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 311
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2( ) ( ) ( )
2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
0
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ' cos , ' , ' )
( , cos ,0)
' cos ... '
1 ' '
1 ' '
2 1 ' '
u u u u
v u u
u v u u u
u v u u u
b
S u u u
a
b
S u u u
a
r f v f senv g
r f senv f v
r r g vi f f k
r r f f g
A f f g dudv
A f f g
Área de la superficie de un cono trucado:
( , ) ( cos , , tan )
( , ) (cos , , tan )
( , ) (cos , , tan )
( , ) ( ,cos ,0)
(cos , , tan ) ( ,cos ,0)
r
r
r r rsen r
r r sen
r sen
r r sen
sen r sen
cos tan ( cos tan , tan ,1)
cos 0
r
i j k
sen r sen
sen
2
1
2 2 2 2 2
2
2 2( ) 2 1
0
cos tan tan 1 sec
( ( )) sec sec ( )
r
R
S
R
r sen r
A A r drd R R
2 z
u
u
r
u
2
2 R 1 R
1 R
( ) ( , )r
2
R
1 z
u
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 312/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 312
Región Esférica (Casquete Esférico)
2
( , ) ( cos , ,cos )
( , ) (cos cos ,cos , )
( , ) ( , cos ,0)
r R sen sen sen
r R sen sen
r R sen sen sen
r r R sen
2
1
2
2 2
1 2
0
( ( )) ( ) 2 (cos cos ) 2 E
A r A C R sen d d R Rh
Ejemplo de Aplicación:
Encuentre el área de la superficie sobre el
paraboloide 2 2 24 x y z R y el cilindro
2 2 2( ) x y R R . Proyectamos sobre el piso
Pxz para evitar que no sea uno a uno sobre la
proyección. La curva de intersección será:
2: (2 ), , 4 2 x y R y y y z R Ry
2 2 2( , , ) 2 , (2 ,2 2 ,0), 2 f x y z x y R f x y R f i x
2R
R
2
2
1
h
u
h
u
z
24 R
Por simetría tendremos que:
2 2
2
2 4
( )
0 4 2
2 R R
S
R Ry
f A
f i
2 2
2
2 4
( )
0 4 2
22
2
R R
S
R Ry
R A R dzdy
x
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 313/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 313
(OJO: la ecuación simétrica de 2
2: 1 4 22 4
y z L z R Ry
R R )
TEOREMA DE GREEN
ENUNCIADO DEL TEOREMA
Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F( x ;y ) = (P;Q)
un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre
una región abierta que contiene a la región D acotada por C . Entonces:
C D C
Qdy PdxdA y
P
x
QdrF·
PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar C
xydxdx x4 , donde C es
la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente.
SOLUCIÓN:
y
u
2 R
x
y
1
1
y = 1 - x
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 314/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 314
La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos:
y x
Q xy y xQ
y
P x y x P
);(
0);(4
Por lo tanto:
6
11
1
1
0
3
61
21
0 21
1
0
1
0
1
0
1
0
2
214
x
dx xdx y ydydxdA y
P
x
Q xydxdx x
D
x x
C
Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3 integrales
con las correspondientes parametrizaciones.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 315/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 315
y
x 1
1
-1
-1
2.) Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de la región
limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial
r(t ) = cos3
t i + sen3
t j , 0 t 2
SOLUCIÓN:
De la parametrización de la curva tenemos:
x = cos3t x 2/3 = cos2t
y = sen3t y 2/3 = sen2t
Sumando miembro a miembro tenemos:
1
1
2/33/21
1
1
1
2/33/23/23/2 1211
2/33/2
2/3
3/2
dx xdydx A x y y x x
x
Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green nos
permite transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del
enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Veamos:
El área de una región D viene dada por D
dA A 1 . Por lo tanto, para aplicar Green
deberíamos encontrar funciones P, Q / 1
y
P
x
Q. Un par de funciones sencillas que
cumplen esta condición son P = 0, Q = x . Si recordamos la parametrización, escribimos:
x = cos3t dx = -3 cos2t sent dt
y = sen3t dy = 3 sen2t cost dt
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 316/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 316
Luego:
8
3
6
2sen
8
4sen2cos2sen
2
4cos1
)2cos2sen2(sen4
2sen
2
2cos13
4
2sencos3
sencos3cossen3cos
2
0
3
21
83
2
0
2
83
2
0
22
83
2
0
22
0
22
2
0
242
0
23
t t t dt t t
t
dt t t t dt t t
dt t
t
tdt t tdt t t Qdy PdxdA y
P
x
Q A
C D
De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la región
encerrada por una curva cerrada, que se suma al método en coordenadas polares visto enAnálisis II y al cálculo por integral de área que ejecutamos cuando tenemos la expresión
cartesiana de la curva.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 317/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 317
3.) Limitaciones en la aplicación del Teorema de Green. Dado
F( x ;y )= (P;Q) = (-y i + x j) / ( x 2 + y 2)
a) Calcular su integral de línea sobre el círculo x 2 + y 2 = 1
b) Calcular dA y
P
x
Q
D
, donde D es la región encerrada por la curva del punto a).
c) Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green.
SOLUCIÓN:
a) Parametricemos el círculo.
20 , cossen
sencos
t
tdt dyt y
tdt dxt x
tdt Qdxtdt t t
t t yt xQ
tdt Pdxtdt t t
t t yt x P
2
22
2
22
coscoscossen
cos))();((
sensencossen
sen))();((
Integrando tendremos, así:
C
dt t t Qdy Pdx
2
0
22 2cossen
b) Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 318/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 318
00
2)(
2
222
22
222
22
222
22
222
22
dA y
P
x
Q
y
P
x
Q
y x
x y
y x
y y y x
y
P
y x
x y
y x
x x y x
x
Q
D
c) Aparentemente estos resultados contradirían el Teorema de Green. Sin embargo, este
último no es aplicable a la región en cuestión, dado que las funciones P y Q no tienen
derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que está contenido en la región.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 319/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 319
4.) Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con agujeros.
Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio
externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros.
SOLUCIÓN:
Determinaremos el momento de inercia
respecto al diámetro colineal con el eje x . De
Física sabemos que:
D
x dA y I 2
Donde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es
homogénea.
Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender el
teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:
D C C
Qdy PdxQdy PdxdA y
P
x
Q
1 2
Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales.
Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:
3
312
; 0 :ejemplo por ,tomamos; y P Q y y
P
x
Q
Aplicando Green con esta función tenemos:
y
x a b
C 2
C 1
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 320/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 320
2121
3
313
313
313
312
00C C C C D
x dx ydx ydydx ydydx ydA y I (1)
Parametrizando estas curvas tenemos
20 ,cossen
sencos
20 ,cossen
sencos
2
1
t t adyt a y
t adxt a xC
t t bdyt b y
t bdxt b xC
Reemplazando con esto en (1) tendremos:
2
0
444
31
2
0
2
0
33
3133
31 sen)sen(sen)sen(sen tdt abdt t at adt t bt b I x
M ab
abababdt t t
ab
dt t
t abdt t t ab
22
41
2222
4144
41
2
0
44
31
2
0
2244
31
2
0
2244
31
8
4cos1
2
cos1
4
2sensencos1sen
Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una
longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido.
2
2
2 4 2
( )2 2
0 04 2
1 22 2
2 2
R R R
S
R Ry
Ry A R dzdy R dy
Ry y Ry y
INTEGRALES DE SUPERFICIE
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 321/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 321
Una integral de línea generaliza la integral definida, de manera análoga una integral de
superficie generaliza una integral doble.
Definición
Sea : ( )S r una superficie paramétrica descrita por la función vectorial v diferenciable en el
dominio , determina una región en el plano uv y consideramos una función escalar
definida y acotada en S. La integral de superficie se representa con el símbolo( )r
fdS (a
veces ( , , )S
f x y z dS ) definida por:
( )
( ( , )) ( , ) ( , )u v
r
fdS f r u v r u v r u v dudv
Obviamente, en caso exista dicha integral.
Definición
Si es una región que es la proyección de una superficie S (a veces se le denomina la sombra
de S), : ( , , ) 0S f x y z si ( , , ) g x y z es una función continua en todos los puntos de S,
entonces:
( , , ) ( ) R R
f g x y z dA R
f n
Donde Rn es un vector unitario normal a y 0 R
f n .
Centro de Gravedad (Centroide)
Si el campo escalar f se interpreta como densidad (masa por unidad de área) de una lámina
delgada “adaptada” a la superficie S, la masa total de la superficie se define por:
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )S S
M f x y z dS x y z dS f x y z x y z
El centroide viene dado por:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 322/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 322
1( , , )
1( , , )
1( , , )
S
S
S
x x x y z dS M
y y x y z dS M
z z x y z dS M
CENTROIDE: ( , , ) x y z
Momento de Inercia
El momento de inercia con respecto a la recta , la denotamos L y tenemos que
2( , , ) ( , , ) L
S
d x y z x y z dS
Donde: ( , , )d x y z representa la distancia del punto genérico ( , , ) x y z de S a la recta L (eje).
Cambio de representación paramétrica:
u
u
A
G
v
u
L
u
S
u
B
S
r
T
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 323/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 323
Si S podemos representarla de dos formas ( ) ( )S r A T B admitiendo que existe una
:G B A , se tiene que:
( ) ( , )( ) ( ) ( )
B S t T B r G r G
Entonces tenemos el siguiente teorema:
Teorema
Sean r y T dos funciones regularmente equivalentes que cumplen( , )
( ) ( )S t
T B r G , donde
G ui v j es una aplicación uno a uno y con derivadas continuas en la región B del plano st
sobre una A del plano uv, entonces tenemos:
( , )( )
( , ) s t u v
u vT T r r
s t
Donde las derivadas parciales ur y vr están calculadas en el punto ( ( , ), ( , ))u s t v s t . Es decir el
producto vectorial fundamental de T es igual al de r , multiplicado por el jacobiano de la
transformación G.
Teorema
Si r y T son dos funciones regularmente equivalentes como las descritas en el teorema
anterior, y si( )r A fdS
entonces( )T B fdS
, además:
( ) ( )r A T B
fdS fdS
INTEGRACIÓN DE SUPERFICIE EN CAMPOS VECTORIALES
v
u
u
x
u
y
u
z
u
dS
u
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 324/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 324
Consideramos el campo vectorial F definido sobre S y representación paramétrica r , la
integral de superficie F sobre r denotado por:
. u v
r
F d S F r r dudv
SUPERFICIES ORIENTADAS
Tenemos que los vectores 1n y 2 1n n vectores normales de una superficie en un
determinado punto.
Definición
Una superficie orientada es una superficie de dos lados, uno de ellos el lado exterior o positivo,el otro el lado interior o negativo.
En cada punto ( , , ) x y z S tenemos dos normales 1n y 2n , 2 1n n cada uno asociado a un
lado de la superficie. Así para especificar un lado de la superficie de S, en cada punto
escogemos un vector normal unitario en n que apunta hacia afuera desde el lado positivo de S
en ese punto.
Una superficie suave, es orientable o tiene dos lados, si es posible definir un campo n de
vectores unitarios normales a S que varíe continuamente con la posición, cualquier parte de S
orientable, también es orientable.
Las superficies cerradas como el elipsoide son orientables. Por convención n lo tomamos
hacia afuera.
Una vez elegido n , diremos que hemos orientado S y llamaremos a S con su campo normal
una superficie orientada.
Definición
Si F es un campo vectorial continuo en una superficie S orientada con un vector unitario
normal sn , entonces la integral de superficie de F sobre S es:
s
S S
F d S F n d S
Esta integral se llama flujo de F a través de S.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 325/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 325
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO Y FÍSICO DE LA INTEGRAL DE SUPERFICIE
El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del triple producto escalar.
u v u vVol F ur vr F r r u v
El vectoru v
r r es una normal a la superficie en ( , , ) P x y z y apunta hacia afuera desde el
lado exterior de la superficie.
En general, el paralelepípedo está en el lado donde apunta F .
Si pensamos F como un campo de velocidad de un fluido ( , , ) F x y z apunta en la dirección
en la cual se mueve el fluido a través de la superficie área ( , , ) x y z , además el número:
u v F ur vr
Es la cantidad de fluido que pasa a través del paralelogramo tangente por unidad de tiempo,
como el signo de u v F ur vr es positivo si el vector ( , , ) F x y z apunta hacia afuera en
( , , ) x y z , o negativo si apunta hacia adentro ( , ) ( , )u i j v i jij
F r u v r u v u v es una
medida aproximada de la cantidad de fluido que fluye hacia afuera a través de la superficie por
unidad de tiempo.
F
u
P
u
S
u
F
u
vvr
u
v
u
u
x
u
y
u
ij R
u
z
u
v
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 326/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 326
LuegoS
F d S es la cantidad neta del flujo de un fluido en tres dimensiones. El flujo de F a
través de S es la tasa neta con el que el fluido atraviesa S en la dirección positiva tomada.
Ejemplo:
Encontrar el flujo de F a través de S, cuando:
a) 2
( , , ) ( , , ) F x y z x y z S es la helicoide recta
: ( , ) cos , ( , ) 0,1 0,2
(cos , , 0)
( , cos ,1)
u
v
S r u v u vi usenv j vk u v
r v senv
r usenv u v
cos 0 ( , cos , )
cos 1
u v
i j k
r r v senv senv v u
usenv u v
1 2
2 3
0 0( )
83
u v
r
F r r dudv v udvdu
(OJO:
2 2( ( , )).( , cos , ) ( cos , , ).( , cos , )u v
F r r F r u v senv v u u v usenv v senv v u v u
)
b) ( , , ) ( , 2 ,3 ) F x y z x y z , S es el cubo de vértices ( 1, 1, 1)
6
0
6i
i i
iS S S
F d S F nd S F n d A
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 327/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 327
PROBLEMAS DEL TEOREMA
FUNDAMENTAL DE LAS
INTEGRALES DE LÍNEA
TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL)
Sea C una curva suave dada por la función vectorial r(t), a t b. Sea f una función derivablede 2 ó 3 variables, cuyo vector gradiente f es continuo sobre C . Entonces:
))(())((· a f b f f C
rrdr
TEOREMA 2
C drF · es independiente de la trayectoria en D si y sólo si 0· C
drF para toda
trayectoria cerrada C en D.
TEOREMA 3
Sea F un campo vectorial continuo sobre una región abierta conexa D. Si C drF · es
independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial conservativo sobre D;
es decir, existe una función f tal que f = F.
TEOREMA 4
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 328/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 328
Si F( x ;y ) = P( x ;y ) i + Q( x ;y ) j es un campo vectorial conservativo, donde P y Q tienen derivadas
parciales de primer orden continuas sobre un dominio D, entonces en todo D tenemos que
xQ
y P
Este teorema se puede extender a 3 variables (se verá al estudiar el rotacional).
TEOREMA 5
Sea F( x ;y ) = P( x ;y ) i + Q( x ;y ) j un campo vectorial sobre una región simplemente conexa D.
Supóngase que P y Q tienen derivadas parciales continuas de 1º orden y que:
x
Q
y
P
Entonces F es conservativo (extensible a 3 variables).
EQUIVALENCIAS
F conservativo.
C drF · independiente de la trayectoria.
0· C drF en una trayectoria cerrada.
Derivadas parciales cruzadas de F iguales en una región simplemente conexa.
PROBLEMAS RESUELTOS
5.) Independencia del camino en una integral de línea. Calcular el trabajo llevado a cabo por elcampo de fuerza F al llevar un objeto desde A hasta B, siguiendo a) un camino compuesto de
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 329/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 329
un tramo horizontal seguido de uno vertical; y b) un camino compuesto por un tramo vertical
seguido de uno horizontal. Discutir si el resultado es lógico o no.
)2;4( ; )1;1( ; 2);( 2
2
B A
Q
x y
P
x y y x jiF
SOLUCIÓN:
a) Si llamamos C a la curva indicada, la podemossubdividir en las curvas C 1 y C 2 mostradas en la
figura. En tal caso tendremos:
21
C C C
Ejecutando ambas integrales por separado tendremos (escogiendo parametrizacionessimples):
43
49
23
3
0
2
41
21
3
02
43
3
0
3
0 21
2
1
4
)1(230 ,
1
4
1
1
1
130 ,
1
1
t t dt t
Qdy Pdxt t y
xC
t dt
t Qdy Pdxt
y
t xC
C
C
Con lo cual resulta:
0 -43
43 C
Qdy Pdx
x
y
(1;1)
C 1
(4;-2)
C 2
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 330/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 330
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 331/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 331
b) Llamando C * a este nuevo camino, vemos que lo
podemos separar en dos tramos C 3 y C 4.
Tendremos entonces, igual que en el apartado anterior,que
43
* C C C
Realizando parametrizaciones parecidas a las ejecutadas en el apartado anterior, llegamos a lo
siguiente:
31
4
)1(
)2(30 ,
2
1
32)1(1
)1(230 ,
1
1
3
0
3
0 2
2
2
3
0
23
03
4
3
t dt
t Qdy Pdxt
y
t xC
t t dt t
Qdy Pdxt t y
xC
C
C
Sumando esto se obtiene:
0 33*
C Qdy Pdx
Por ambas vías obtenemos el mismo resultado. Esto es lógico, ya que vemos que:
x
Q
x
y
y
P
2
2
Las derivadas cruzadas son iguales, excepto cuando x = 0, pero esto último no ocurre dentro de
un dominio simplemente conexo que abarca a ambos caminos analizados. Por lo tanto, por el
teorema 5 las integrales sobre ambos caminos deben ser iguales.
x
y
(1;1) C 3
(4;-2)
C 4
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 332/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 332
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 333/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 333
6.) Cálculo de una integral de línea usando una función potencial . Calcular la integral de línea
del campo vectorial F( x ;y ) = P( x ;y )i + Q( x ;y ) j = ey i + xey j a lo largo de la trayectoria:
r(t ) = (senh(5t 4
)/senh5; t 4
+ 5t 3
- 3t 2
- 2t ) , =0 t 1
SOLUCIÓN:
x
Qe
y
P y
F es conservativo. Por lo tanto puede expresarse como el gradiente de una
función potencial f ; esto es: f = F. Si obtenemos tal función f , podremos aplicar el teorema
fundamental de las integrales de línea.
Para ello notemos que:
)( y g xe f e P x
f y y
(1),
donde g(y ) es una función que depende solamente de la variable y . Si ahora derivamos la
función f obtenida respecto a y , debemos llegar a una expresión equivalente a la otra función
coordenada, esto es, Q.
K y g y g xeQ y g xe y
f y y
)(0)()(
Reemplazando este último resultado en (1), tenemos:
K xe f y (2)
Ya tenemos la función potencial. Ahora podemos aplicar el teorema fundamental de las
integrales de línea:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 334/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 334
))0(())1((·· rrdrdrF f f f C C
Calculando los puntos extremos de la curva con los valores correspondientes del parámetro
tenemos:
1;1213151;5senh
1senh)1(
)0;0(0;5senh
0senh)0(
55
1234
ee
eer
r
Aplicando ahora la función f dada por (2) a estos dos puntos tenemos:
K eee
ee f
K f
55
1
))1((
0))0((
r
r
Y finalmente:
eee
ee f f
C 55
1
))0(())1((·
rrdrF
De esta manera nos evitamos ejecutar una integral de línea sumamente engorrosa.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 335/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 335
7.) Cálculo de un trabajo mediante una función potencial. Dado el campo vectorial de fuerzas
F( x ;y ;z) =4 xez i + cosy j + (2 x 2ez + z) k ,
a) Determinar una función f tal que f = F.
b) Hallar el trabajo que desarrolla F cuando mueve una partícula desde el punto
0;;0 al ;;23
2
2
2
2
2
2 siguiendo el camino más corto sobre la esfera23222 z y x ,
expresándolo con 3 cifras decimales.
SOLUCIÓN
a) La función f que buscamos debe cumplir con las condiciones:
(i) f x = 4 xez
(ii) f y = cosy
(iii) f z = 2 x 2ez
Integrando la condición (i) tenemos:
);(24 1
2 z y g e xdx xe f z z
Derivando ahora con respecto a y e introduciendo el resultado en la ecuación (ii) tenemos:
)(sencos 211 z g y g y
y
g
y
f
Y ahora podemos introducir esta expresión en la correspondiente a f , y derivarlo con respecto
a z e introducir el resultado en (iii):
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 336/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 336
K z z g z e x z g e x f z g ye x z y x f z z
z
z 2
21
2
2
2
2
2
2 )(2)(2)(sen2);;(
Con esta expresión para g2, tenemos ahora la expresión final de f :
K z ye x z y x f z 2
212 sen2);;(
b) Por el teorema fundamental de las integrales de línea, podemos ahora calcular el trabajo
como la diferencia de valores de la función potencial entre sus extremos final e inicial:
987,19278,294072,0
);;(
94072,0)0;;0(
21
21
21
23
W
K f
K f
-2,269 es un resultado incorrecto que se obtiene con la calculadora puesta en grados.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 337/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 337
x
y
(-1;0)
C 1
(1;0)
C 2
8.) Limitaciones en la aplicación del Teorema Fundamental de las integrales de línea.
Sea22
);( y x
x y y x
jiF
a) Probar que x
Q
y
P
en todo el dominio.
b) Calcule 21
yC C
drFdrF , donde C 1 y C 2 son las mitades superior e inferior de la
circunferencia x 2 + y 2 = 1 de (1;0) a (-1;0). ¿Cómo se explica que la integral dependa del camino
en vista del resultado de (a)?
SOLUCIÓN
a)
y
Q
y
P
y x
x y
y x
x x y x
y
Q
y x
xQ
y x
x y
y x
y y y x
y
P
y x
y P
222
22
222
22
22
222
22
222
22
22
)2(1
)(2)1(
Nótese que este resultado es válido en todo el dominio, ya que, si bien las derivadas parciales
no están definidas en el (0;0), este último no pertenece al dominio.
b) Las curvas están indicadas en la figura. Parametrizando
C 1 e integrando F se tiene:
t0 ,
sen
cos1
t y
t xC
0
coscos)sen(sen
11
tdt t dt t t
Qdy PdxC C
drF
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 338/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 338
Haciendo un trabajo similar para C 2 es:
t0 ,
sen
cos
1
t y
t xC
02cos)cos(cos)sen(sen0011
tdt dt t t dt t t Qdy PdxC C
drF
La explicación es que cualquier región que abarque ambos caminos necesariamente debe ser
no simplemente conexa (debe excluirse alguna subregión que incluya el (0;0), que no
pertenece al dominio), y por ende no vale el teorema 5.
DIADAS Y TENSORES.
UN POCO DE HISTORIA.
En matemática un tensor es cierta clase de entidad geométrica, que generalizalos conceptos de escalar, vector y operador lineal de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. Los tensores sonde especial importancia en física.
Los tensores pueden ser representados por una matriz de componentes enalgunos casos.
Este artículo procura proporcionar una introducción no técnica a la idea detensores, y proporcionar una introducción a los artículos que describentratamientos diversos, complementarios de la teoría de tensores
detalladamente.
La palabra la introdujo William Rowan Hamilton en 1846, pero la usó para loque actualmente se conoce como módulo. La palabra se usó en su acepciónactual por Waldemar Voigt en 1899.
La notación fue desarrollada alrededor de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastrobajo el título de geometría diferencial absoluta, y lo hizo accesible a muchosmatemáticos con la publicación del texto clásico de Tullio Levi-Civita el cálculodiferencial absoluto en 1900 (en italiano; con posteriores traducciones). Laaceptación más amplia del cálculo tensorial se alcanzó con la introducción de lateoría de la relatividad general por parte de Einstein alrededor de 1915. Larelatividad general se formula totalmente en el lenguaje de los tensores, que
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 339/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 339
Einstein había aprendido del mismo Levi-Civita con gran dificultad. Pero lostensores se utilizan también dentro de otros campos por ejemplo la mecánicade medios continuos (véase tensor de tensiones o elasticidad lineal).
Díadas.
Una díada es un objeto formado con dos vectores con cierta ordenación, paralos vectores , A y B A B es una díada.
Aunque algunas veces se usa la super-flecha con los vectores, es decir se unecon una flecha de doble sentido.
Productos Diádicos.
Operación representada por dos vectores, en especial en del espacio, que es lo
fundamental para lo que estamos estudiando: A B . Se puede operar con unvector C tomando la posición de pre-factor o post-factor.
. .
. . .
C A B C A B
A B C A B C B C A
Producto de tres vectores.
En el espacio tomamos el vector A , y el vector unitario n , entonces tendremos
que: A n n A .
Podemos ver que al multiplicar escalarmente por n , .n A
Bases Ortogonales.
Dada la base ortogonal1 2 3, ,a a a , donde
1 2 3a a a así tendremos que el vector
A , se puede expresar como: 1 1 2 2 3 3 A A a A a A a la cual se puede simplificar
en su notación, y escribiremos: 1 1 2 2 3 3 , 1,2,3.i i A A a A a A a A a i
Representación de índices.
Lo que hemos hecho es una representación de índices y hemos convenido loque significa, lo cual será fructífero cuando trabajemos con gradientes,rotacionales, divergencias.
Consecuencias.
Producto escalar:
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 340/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 340
. . , , 1,2,3.i j i j
A B a b A B i j
Demostración.
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3
2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3
3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 1 3
. . . .. . .
. . .
j j j
j j j
j j j
A B a a A B a a A B a a A Ba a A B a a A B a a A B
a a A B a a A B a a A B
Así tendremos que: 1 1 2 2 3 3. A B A B A B A B .
Producto vectorial.
, , 1,2,3.i j i j
A B a b A B i j
Demostración.
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3
2 1 2 1 2 22 2 2 2 3 3 3
3 11 3 1 3 22 3 2 3 3 3 3
A B a a A B a a A B a a A B
a a A B a a A B a a A B
a a A B a a A B a a A B
Efectuando los productos, tenemos:
3 1 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3 2 3 1 1 3 2
2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3
A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B
A B A B a A B A B a A B A B a
Producto Diádico:
, , 1,2,3.i i j j
A B a A B b i j
Delta de Kronacker
Definimos el delta de Kronacker como:
1 ,.
0 ,
i
i k ik j
i k i i
i k
Consecuencia: . A B A Bi j ij
Símbolo de Levi-Civita
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 341/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 341
En matemáticas, y en particular en cálculo tensorial, se define el símbolo deLevi-Civita, también llamado el símbolo de permutación, como sigue:
Símbolo de Levi-Civita
nombrado así por Tullio Levi-Civita. Se utiliza en muchas áreas de lasmatemáticas y en física. Por ejemplo, en álgebra lineal, el producto cruzado dedos vectores se puede escribir como:
Consecuencia: , , 1,2,3. A B a A B i ji j k ijk
Demostración.
1 1 1 111 1 1 2 112 1 1 3 113
1 2 1 121 1 2 2 122 1 2 3 123
1 3 1 131 1 3 2 132 1 3 3 133
2 1 1 211 2 1 2 212 1 1 3 213
2 2 1 221 2 2 2 222 2 2 3 223
2 3 1 231 2
A B a A B a A B a A B
a A B a A B a A B
a A B a A B a A B
a A B a A B a A B
a A B a A B a A B
a A B a
3 2 232 2 3 3 233
3 1 1 311 3 1 2 312 3 1 3 313
3 2 1 321 3 2 2 322 3 2 3 323
3 3 1 331 3 3 2 332 3 3 3 333
A B a A B
a A B a A B a A B
a A B a A B a A B
a A B a A B a A B
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 342/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 342
1 2 3 123 1 3 2 132 1 1 3 213
2 3 1 231 3 1 2 312 3 2 1 321
1 1 11 2 3 1 3 2 1 1 3
1 1 12 3 1 3 1 2 3 2 1
A B a A B a A B a A B
a A B a A B a A B
a A B a A B a A B
a A B a A B a A B
2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 1 2 3 A B A B A B a A B A B a A B A B a
El tensor cuyas componentes son dadas por el símbolo de Levi-Civita (untensor covariante de rango 3) a veces se llama el tensor de permutación.
El símbolo de Levi-Civita se puede generalizar a dimensiones más altas:
Ver permutación par o grupo simétrico para una definición de 'permutación par'y de 'permutación impar'.
Ejemplo de aplicación: , , , 1,2,3.e ue i j k ij ij kk ij
11 11 11 22 33 11 11 22 33 11e e e ue e e e ue
12 12 11 22 33 12 12e e e ue ue
13 13 11 22 33 13 13e e e ue ue
21 21 11 22 33 21 21e e e ue ue
22 22 11 22 33 22 11 22 33 22e e e ue e e e ue
23 23 11 22 33 23 23
e e e ue ue
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 343/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 343
31 31 11 22 33 31 31e e e ue ue
32 32 11 22 33 32 32e e e ue ue
33 33 11 22 33 33 11 22 33 33e e e ue e e e ue
Otro ejemplo. Desarrollar , , 1,2,3.i iT a i j j j
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 31 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
T a a a a a a a a a
1 2 31 2 3T a a a
Gradiente: f un campo escalar, expresemos convenientemente el gradiente .
1 1 2 2 3 3, 1,2,3.
i i f f a f a f a f a i
Laplaciano.
, 1,2,3.11 22 33
u u u u u iii
Divergencia.
. , 1,2,3.i
i Div f f a i
Álgebra de díadas.
Si tenemos los vectores , , , ...., A B C H y sea la díada A A B CD EF GH
La díada , , 1,2,3.i ij j
A a A a i j
1 11 1 1 12 2 1 13 3
2 21 1 2 22 2 2 23 3
3 31 1 3 32 2 3 33 3
A a A a a A a a A a
a A a a A a a A a
a A a a A a a A a
La transpuesta de una díada.
Dada la díada A , denotamos la transpuesta de la díada como A a A ai ji j
siempre que la díada A a A ai ij j
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 344/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 344
Suma y resta de díadas.
A a A ai ij j
, B a B ai ij j
definimos:
A B a A a a B a a A B ai ij j i ij j i ij ij j
A B a A a a B a a A B ai ij j i ij j i ij ij j
Productos de díadas.
1. Díada por un escalar: mA
2. Producto escalar de vector y díada.
. .V A V a a A ak k i ij j
. . . .1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3
. . .2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3
. . .3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3
V A V a a A a V a a A a V a a A a j j j j j j
V a a A a V a a A a V a a A a j j j j j j
V a a A a V a a A a V a a A a j j j j j j
. .1 1 2 2 3 3 3 3
V A V A a V A a V a a A a V A a j j j j j j i ij j
De igual manera: . . A V a A a a V a A V i ij j j j i ij j
Ejercicios.
1. . .V A A V .
2. . . A V V A .
Producto Vectorial vector –díada.
V A V a a A ak k i ij j
A V a A a V ai ij j k k
Yuxtaposición de vector –díada.
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 345/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
2012-1 Página 345
V A a a a V Ak i j k ij
la dirección la da la díada.
AV a a a V Ai j k k ij
la dirección la da el vector.
Producto escalar de díadas.
Dadas las díadas , A B definimos el producto escalar de díadas como:
. . A B a A a a B ai ij j k kl l
Demostrar que: . A B a A B ai ij jl l
.
Ejercicio: . . A B A B
Doble producto escalar.
: : . . . A B a A a a B a a a a a A B ai ij j k kl l i l j k ij kl l
Doble producto de díadas
: . . A B C D A C B D
Doble producto vectorial-díada.
A B a a a a A Bi l j k ij kl
Díada unitaria.
La díada unitaria I
El factor identidad o díada unitaria I , se define por la relación. . , I V V I V I a ai i
Demostración.
. . I V a a a V i i j j
. . . .1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3
. . .
2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3. . .
3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3
I V a a a V a a a V a a a V
a a a V a a a V a a a V
a a a V a a a V a a a V
7/15/2019 File Download
http://slidepdf.com/reader/full/file-download-5632803fbeed0 346/346
UNI-FIEE MATEMÁTICAS III
.1 1 2 2 3 3
I V a V a V a V
Traza de una díada.
La traza de una díada A se representa por A y se define por el dobleproducto escalar de la díada A y la díada unitaria I .
:11 22 33
A A I A A A Aii
.
Vector rotación de una díada.
El vector rotación de una díada se representa por A se define por el doble
producto escalar- vectorial de la díada unitaria I y la díada A .
. . . A I A a a a A a a a a Ai i j jk i j i j jk
. . .1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 3 1 3 3
. . .2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3
. . .3 1 3 1 1 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3
A a a a a A a a a a A a a a a Ak k k
a a a a A a a a a A a a a a Ak k k
a a a a A a a a a A a a a a Ak k k
2 3 3 1 1 2 A a A a A a A
k k k
Demostrar que: . A B A B A B A B .
Reciproca de una díada.
Se define la reciproca de una díada A , en caso exista una díada1
A
tal quecumpla 1 1. . A A A A I .
Para calcular 1 A se expresa la díada en la forma:i i
A a c .
1 1 2 2 3 3 A a c a c a c
1
1 .1 2 3 3 2 1 3 1 2 1 2 3
A c c c c c a c c a c c a